Geometrijski trikovi i metode bez imena
|
|
- Φωτινή Αρβανίτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih do zadataka s HMO. Precizno crtanje slike. Vrlo bitna metoda koja vam može omogućiti da uočite da su neke točke kolinearne ili konciklične, što će vam dati ideju za rješenje. Crtanje slike u fazama. Ako je u zadatku mnogo kružnica i pravaca, nacrtajte samo jedan dio zadane konfiguracije i izvucite sve zaključke koje možete. Na primjer, nemojte crtati sve tri visine, već samo jednu. Nemojte zaboraviti širu sliku i što je potrebno dokazati. Angle chasing. Ovo je najpoznatija metoda u rješavanju planimetrijskih zadataka u kojima se pojavljuju tetivni četverokuti. Metoda se bazira na računanju kutova, te korištenju teorema o obodnom kutu, kutu tetive i tangente, uočavanju jednakokračnih trokuta i sličnim idejama. Korištenje polovišta. Ako se u zadatku pojavljuje polovište, razmišljajte možete li nacrtati/uočiti srednjicu kroz tu točku nekog trokuta, paralelogram kojem je ta točka sjecište dijagonala ili pravokutni trokut kojem je ta točka polovište hipotenuze. Algebarski uvjeti. Pojavljuje li se u zadatku neki algebarski uvjet, uvodimo novu točku na način da na jednom pravcu imamo dužine čije duljine su jednake onima koje se pojavljuju u izrazu. Na primjer, ako u trokutu ABC točka D leži na stranici AB tako da vrijedi BC = AD + AC, nacrtat ćemo točku E na produžetku stranice AB takvu da je AE = AC. Fantomska točka. U zadatku se pojavljuje točka T koja je definirana na jedan način. Potrebno je pokazati neka druga svojstva te točke, što nam nikako ne polazi za rukom na direktan način. Uvedemo točku T koja ima svojstva koja želimo pokazati za točku T i pokažemo da točka T zadovoljava svojstvo kojim je definirana točka T. Ako uvjeti na jedinstven način odreduju točku T, možemo zaključiti da je točka T = T, te smo time dokazali da točka T takoder ima svojstva koja ima i točka T. Konkurentnost. Želite li pokazati da se krivulje (npr. pravci, kružnice) p, q i k sijeku u jednoj točki ili ako treba pokazati da se presjek krivulja p i q nalazi na krivulji k, promijenite perspektivu tako da uvedete presjek krivulja p i k te pokažete da leži na krivulji q. Ovo je poseban slučaj uvodenja fantomske točke. Kolinearnost. Želite li dokazati da točke A, B i C leže na jednom pravcu, uvedite točku D i pokažite da su A, B i D kolinearne, te A, C i D.
2 Karakteristična točka trokuta. Želite li pokazati da je pravac koji prolazi točkom T okomica na stranicu (ili simetrala kuta) nekog trokuta, dokažite da je T ortocentar (ili središte upisane kružnice). Slično, ako želite pokazati da T dijeli neku dužinu u omjeru 2 : 1, pokušajte prepoznati T kao težište trokuta kojem je ta dužina težišnica. Simetrale kuta. Unutarnja i vanjska simetrala kuta se sijeku pod pravim kutom. Ta dva pravca možete iskoristiti kao koordinatne osi pri uvodenju koordinatnog sustava. Poznate točke na opisanoj kružnici. Na opisanoj kružnici trokuta nalaze se sjecište simetrale kuta i simetrale nasuprotne stranice, osnosimetrična slika ortocentra obzirom na stranicu, centralnosimetrična slika ortocentra obzirom na polovište stranice. Simetrija. Naučite koristiti simetriju u kombinaciji s fantomskom točkom. Uz osnu i centralnu simetriju, naučite koristiti rotaciju u dokazivanju sukladnosti. Dvije kružnice koje se diraju. Ako se dvije kružnice diraju (ili to želite dokazati), koristite kut izmedu tetive i tangente ili homotetiju koja prevodi jednu kružnicu u drugu. Eulerov pravac i Eulerova kružnica. Na kružnici 9 točaka (Eulerovoj kružnici) leže polovišta, nožišta visina i polovišta spojnica vrhova s ortocentrom trokuta. Na Eulerovom pravcu leže središte opisane kružnice, težište, središte kružnice 9 točaka i ortocentar. Ako je H ortocentar, O središte opisane kružnice, a P polovište stranice BC trokuta ABC, onda je AH = 2 OP. Radikalno središte. Pokažite da se tri pravca sijeku u jednoj točki tako da uočite da su to radikalne osi za tri kružnice. Dokažite da su tri točke na istom pravcu jer su dvije presjeci dvije kružnice, a treća radikalno središte te dvije kružnice s nekom trećom kružnicom. Primjeri 1. Dokažite da je četverokut ABCD paralelogram ako i samo ako se njegove dijagonale raspolavljaju. Napomena: Koristite samo sukladnost i transverzale. Paralelogram definiramo kao četverokut koji ima dva para paralelnih nasuprotnih stranica. 2. Neka je P polovište stranice AB trokuta ABC. Neka pravac p kroz točku P siječe stranice AC u točki Q. Dokažite da je Q polovište stranice AC ako i samo ako su pravci p i BC paralelni. Napomena: Koristite prethodni zadatak. Nacrtajte paralelogram na svrhovit način. 3. Neka je ABCD četverokut te K, L, M, N redom polovišta njegovih stranica. Dokažite da je KLM N paralelogram. Napomena: Uočite srednjice.
3 4. Nad stranicama AB i BC trokuta ABC konstruirani su prema van kvadrati ABDE i BCKM. Ako je P polovište dužine AC, dokaži da je DM = 2 BP. Napomena: Nadopunite do paralelograma. 5. U trokutu ABC kut kod vrha A je dvostruko veći od kuta kod vrha B. Neka simetrala kuta kod vrha C siječe stranicu AB u točki D. Dokaži da vrijedi BC = AD + AC. Napomena: Dodajte točku tako da dobijete jednakokračan trokut. 6. U trokutu ABC vrijedi AB = AC, a simetrala kuta ABC siječe stranicu AC u točki D tako da je BC = BD + AD. Odredi kutove tog trokuta. Napomena: Uvedite točku E tako da dobijete jednakokračan trokut. 7. Neka je ABCD tetivni četverokut u kojem vrijedi AD = AB + CD. Dokaži da se simetrale kutova ABC i BCD sijeku na dužini AD. Napomena: Promotrite presjek simetrale kuta BCD i dužine AD i pokažite da leži na simetrali kuta ABC. Uvedite točku na AD tako da dobijete dva jednakokračna trokuta. 8. Dokažite da se simetrala unutarnjeg kuta trokuta i simetrala nasuprotne stranice sijeku na opisanoj kružnici trokuta. Napomena: Promijenite perspektivu. 9. Neka su A 1, B 1, C 1 nožišta visina trokuta ABC. Dokažite da je ortocentar trokuta ABC središte kružnice upisane trokutu A 1 B 1 C 1. Napomena: Klasičan angle chasing. 10. Neka je H ortocentar, a AA promjer opisane kružnice trokuta ABC. Ako je M polovište stranice BC, dokaži da su točke A, M i H kolinearne. Napomena: Nužno je i dovoljno je pokazati da je BA CH paralelogram. Ovu tvrdnju se može iskoristiti u mnogim zadacima na natjecanjima (usp. županijsko 2015, 2.r. i IMO 2015, 6. zadatak) 11. Neka je ABCDEF pravilni šesterokut sa središtem O. Neka su M i N polovišta stranica CD i DE, a L točka presjeka pravaca AM i BN. Dokažite: P (ABL) = P (DMLN). ALO = OLN = 60. OLD = 90. Napomena: Koristite rotaciju.
4 12. U pravilnom šesterokut ABCDEF točka K je polovište dijagonale BD, a točka L polovište stranice EF. Dokažite da je trokut AKL jednakostraničan. Napomena: Koristite rotaciju. 13. Konveksni četverokut podijeljen je dijagonalama na četiri trokuta čije su upisane kružnice sukladne. Dokaži da je taj četverokut romb. Napomena: Uvedite fantomsku točku. 14. Neka je H ortocentar trokuta ABC. Dokažite da su kružnice opisane trokutima ABC, HBC, AHB i ABH medusobno sukladne. Napomena: Koristite simetriju i poznate činjenice o točkama na opisanoj kružnici. 15. Na stranici AC trokuta ABC nalaze se točke D i E tako da je točka D izmedu C i E. Neka je F sjecište kružnice opisane trokutu ABD s pravcem koji prolazi kroz točku E i paralelan je s BC tako da se točke E i F nalaze s različitih strana pravca AB. Neka je G sjecište kružnice opisane trokutu BCD s pravcem koji prolazi kroz točku E i paralelan je s AB tako da se točke E i G nalaze s različitih strana pravca BC. Dokaži da točke D, E, F i G leže na istoj kružnici. Napomena: Na preciznoj skici uočite kolinearne točke. Uvedite fantomsku točku. 16. U trokutu ABC kut pri vrhu B iznosi 120. Neka su A 1, B 1, C 1 redom točke na stranicama BC, CA, AB, takve da su AA 1, BB 1, CC 1 simetrale kutova trokuta ABC. Odredi kut A 1 B 1 C 1. Napomena: Točka A 1 je središte pripisane kružnice trokuta ABB Na polukružnici s promjerom AB dane su točke K i L. Simetrala dužine AB siječe dužinu KL u točki U i pritom su točke A i K s jedne strane te simetrale, a B i L s druge. Neka je N nožište okomice iz sjecišta pravaca AK i BL na pravac AB, a V točka na pravcu KL takva da je V AU = V BU. Dokaži da su pravci NV i KL medusobno okomiti. Napomena: Uvedite polovište dužine AB. Uočite radikalne osi i koristite potenciju točke. Teži zadaci 1. (Timisoara, 1986) Neka je ABCD tetivni četverokut i neka se pravci AB i CD sijeku u točki E. Točka F je centralno simetrična slika točke C obzirom na točku E. Dokaži da su pravci AF i BD okomiti ako i samo ako su pravci AB i CD okomiti. 2. (Češka, 2011) U šiljastokutnom trokutu ABC, koji nije jednakostraničan, točka P je nožište visine iz vrha C. Neka je H ortocentar tog trokuta, a O središte opisane kružnice. Neka je D presjek pravaca CO i AB, a E polovište dužine CD. Dokaži da pravac EP prolazi kroz polovište dužine OH.
5 3. (Kina, 2010) Neka je H ortocentar trokuta ABC, a D polovište stranice BC. Pravac kroz H siječe stranice AB i AC u točkama F i E redom tako da je AE = AF. Polupravac DH siječe opisanu kružnicu trokutu ABC u točki P. Dokaži da točke P, A, E, F leže na jednoj kružnici. 4. Neka je I središte, a D, E, F redom dirališta upisane kružnice sa stranicama BC, CA, AB u trokutu ABC. Neka je M nožište okomice iz točke D na pravac EF. Neka je P polovište dužine DM, a H ortocentar trokuta BIC. Dokaži da pravac P H raspolavlja dužinu EF. 5. (Rusija, 2014) U trokutu ABC vrijedi AB > BC, a točke M i N nalaze se redom na AB, BC, tako da je AM = CN. Pravci MN i AC sijeku se u K. Neka je P središte upisane kružnice trokuta AMK, Q središte pripisane kružnice trokuta CN K nasuprot vrha K. Dokaži da je polovište duljeg luka AC opisane kružnice trokuta ABC jednako udaljeno od točaka P i Q. 6. (SL 2010) Neka je ABCDE konveksan peterokut takav da je BC AE, AB = BC + AE i ABC = CDE. Neka je M polovište dužine CD i neka je O središte opisane kružnice trokutu BCD. Ako je DMO = 90, dokaži da je 2 BDA = CDE. 7. (SL 2000) Neka je O središte upisane kružnice, a H ortocentar ššiljastokutnog trokuta ABC. Dokaži da postoje točke D, E, F na stranicama BC, CA, AB redom, tako da vrijedi OD + DH = OE + EH = OF + F H i da su pravci AD, BE i CF konkurentni. 8. (Rumunjska 60 ) Neka su C i D različite točke na polukružnici s promjerom AB. Označimo s E, F i G polovišta dužina AC, CD i DB, redom. Okomica iz E na AF siječe tangentu na polukružnicu kroz točku A u točki M, a okomica iz G na BF siječe tangentu na polukružnicu kroz točku B u točki N. Dokaži da su pravci MN i CD paralelni. 9. (SL 2000) Neka je ABCD konveksan četverokut, pri čemu AB i CD nisu paralelni. Neka je točka X u unutrašnjosti ABCD takva da je ADX = BCX < 90 i DAX = CBX < 90. Ako je točka Y presjek simetrala dužina AB i CD, dokaži da je AY B = 2 ADX. 10. (SL 2002) Neka je Ω upisana kružnica šiljastokutnom trokutu ABC i neka pravac BC dira tu kružnicu u točki K. Neka je AD visina u trokutu ABC i neka je M polovište dužine AD. Ako je N drugo sjecište kružnice Ω i pravca KM, dokaži da se Ω i kružnica opisana trokutu BCN diraju u N. 11. (SL 2011) Neka je Ω opisana kružnica šiljastokutnom trokutu ABC. Neka je B 0 polovište dužine AC i neka je C 0 polovište dužine AB. Neka je D nožište visine iz A, te neka je G težište trokuta ABC. Neka je k kružnica koja prolazi kroz B 0 i C 0 i koja dira Ω u točki X A. Dokaži da su točke D, G i X kolinearne.
6 12. Neka su točke M i N unutar trokuta ABC takve da je MAB = NAC i MBA = NBC. Dokaži AM AN AB AC + BM BN BA BC + CM CN CA CB = (SL 2004) Neka je ABCD tetivan četverokut. Pravci AD i BC se sijeku u točki E, pri čemu je C izmedu B i E. Dijagonale AC i BD se sijeku u točki F. Neka je M polovište stranice CD, te neka je N M točka na opisanoj kružnici trokuta ABM takva da je AN BN = AM BM. Dokaži da su točke E, F i N kolinearne. 14. (SL 2002) Neka se kružnice K 1 i K 2 sijeku u točkama A i B. Pravac kroz točku A siječe K 1 u točki C i K 2 u točki D. Točke M, N i K leže na dužinama CD, BC i BD, redom, tako da je pravac MN paralelan pravcu BD, a MK paralelan pravcu BC. Neka su točke E i F redom na lukovima BC kružnice K 1 i BD kružnice K 2 koji ne sadrže A. Ako je pravac EN okomit na BC i F K okomit na BD, dokaži da je EMF = (SL 2014) Neka su Ω i O opisana kružnica i središte opisane kružnice šiljastokutnom trokutu ABC uz AB > BC. Simetrala kuta ABC siječe Ω u točki M B. Neka je Γ kružnica s promjerom BM. Simetrale kutova AOB i BOC sijeku Γ u točkama P i Q, redom. Točka R je odabrana na pravcu P Q tako da je BR = MR. Dokaži da je BR AC. (Ovdje se pretpostavlja da je simetrala kuta polupravac.) 16. (SL 2014) Neka je ABC trokut s opisanom kružnicom Ω i središtem upisane kružnice I. Neka pravac koji prolazi kroz točku I i okomit je na CI siječe dužinu BC i luk BC (koji ne sadrži A) kružnice Ω u točkama U i V, redom. Neka pravac koji prolazi kroz U i paralelan je pravcu AI siječe pravac AV u točki X i neka pravac koji prolazi kroz V i paralelan je s AI siječe pravac AB u točki Y. Neka su W i Z polovišta dužina AX i BC, redom. Dokaži da ako su točke I, X i Y kolinearne, onda su i točke I, W i Z kolinearne. 17. (IMO 2000) Neka su AH 1, BH 2 i CH 3 visine u šiljastokutnom trokutu ABC. Upisana kružnica dira stranice BC, CA i AB u točkama T 1, T 2 i T 3, redom. Promotrimo zrcalne slike pravcima H 1 H 2, H 2 H 3 i H 1 H 3 obzirom na pravce T 1 T 2, T 2 T 3 i T 1 T 3. Dokaži da te slike odreduju trokut čiji vrhovi leže na upisanoj kružnici trokutu ABC. 18. (IMO 2011) Neka je Γ opisana kružnica trokutu ABC. Neka je p tangenta na Γ i neka su p a, p b i p c pravci dobiveni zrcaljenjem pravca p preko pravaca BC, CA i AB, redom. Dokaži da opisana kružnica trokua odredenog pravcima p a, p b i p c dira kružnicu Γ.
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραProširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu
Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije
Διαβάστε περισσότεραProširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu
Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi o trokutu
1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα3. KRIVULJE DRUGOG REDA
3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραJoš neki dokazi leptirovog teorema
POUČAK 50 Još neki dokazi leptirovog teorema Šefket Arslanagić, Alija Muminagić U [] su dana četiri razna dokaza Leptirovog teorema (Butterfly s theorems), od kojih su dva čisto planimetrijska, jedan je
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραDODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU
DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU Izrada: Dalila Ljevo Lektorisala: Ivana Mostarac Tehnička obrada: Edin Tabak Sadržaj CIJELI BROJEVI...4 Svojstva zbrajanja
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
IMO pripreme 2015. Grgur Valentić, 6. 6. 2015. Uvod Projektivna geometrija Teorem 1 (Cevin teorem). Dan je trokut ABC, te točke D, E, F na pravcima BC, CA i AB. Ako su AD, BE i CF kopunktalni, tada je
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότερα1. PROJICIRANJE Uvod
1. PROJICIRANJE 1.1. Uvod Nacrtna geometrija je znanost o egzaktnim metodama koje omogućuju prikazivanje prostornih, trodimenzionalnih objekata na nekoj dvodimenzionalnoj ravnini i rješavanje prostornih
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007. Zadatak
Διαβάστε περισσότερα12 1. UVODNI DIO c 2 ) 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ). (F1)
11 1. Uvodni dio Da bi se s potpunim razumijevanjem mogao pratiti sadržaj ove knjige, nužna su neka znanja iz srednjoškolske nastave matematike. To se u prvom redu odnosi na temeljne pojmove geometrije
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1+ - skripta za dodatnu nastavu u 1. razredu srednje škole - Kristijan Kvaternik
Matematika + - skripta za dodatnu nastavu u. razredu srednje škole - Kristijan Kvaternik Sadržaj Obodni i središnji kut 2 Zadatci za vježbu............................ 8 2 Sukladnost i sličnost 9 Zadatci
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivne metode. U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. metoda afinosti, metoda kolineacije.
Iz rječnika metodike Konstruktivne metode Zdravko Kurnik, Zagreb U teoriji geometrijskih konstrukcija postoji niz razvijenih metoda rješavanja konstruktivnih zadataka, tako da se dobar dio tih zadataka
Διαβάστε περισσότερα7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina
Poglavlje 7 Stereometrija Stereometrijom nazovamo geometriju (trodimenzionalnog euklidskog) prostora. Osnovni elementi prostora su točke, pravci i ravnine. Aksiome geometrije prostora nećemo navoditi.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPriručnik za nastavnike
XV c b d r a a Matematika između realnog i virtualnog b c d Rata Glavnica Kamata Iznos rate 0 1.08, 1,58.97,91.08, 05,6.88,97.08, 197,6.80,0.08, 187,76.71,09 5.08, 178,8.6,15 6.08, 169,88.5,1 7.08, 160,9.,7
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivne metode u geometriji. prema predavanjima prof. Vladimira Voleneca
Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima prof. Vladimira Voleneca 1 Euklidske konstrukcije 1.1 Povijest Ravnalo i šestar su najstariji geometrijski instrumenti. Ne zna se gdje su i kada izumljeni,
Διαβάστε περισσότερα4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραGeometrija 1 Geometrija vježbenica. Sadržaj ove publikacije/emitiranog materijala isključiva je odgovornost XV. gimnazije
XV c b d r a a b c d Geometrija 1 Geometrija 2 Rata Glavnica Kamata Iznos rate 0 1 2.083,33 214,58 2.297,91 2 2.083,33 205,64 2.288,97 3 2.083,33 197,6 2.280,03 4 2.083,33 187,76 2.271,09 5 2.083,33 178,82
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραVanjska simetrija kristâla
Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραElementarna matematika 2 - Analiti ka geometrija
Elementarna matematika - Analiti ka geometrija Pravci i ravnine u prostoru. Odredite jednadºbu pravca koji prolazi ishodi²tem i sije e pravce s jednadºbama x 7 0 = y 3 = z 5, x + 3 = y = z + 9.. Odredite
Διαβάστε περισσότεραKut je skup točaka ravnine odre - den dvama polupravcima sa. Polupravci a i b su krakovi kuta, a njihov zajednički početak V je vrh kuta.
UDŽBENIK 2. dio Pojam kuta Dva polupravca sa zajedničkim početkom dijele ravninu na dva dijela (jače naglašeni i manje naglašeni dio). Svaki od tih dijelova zajedno s polupravcima zove se kut. Da bi se
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..
Διαβάστε περισσότερα