Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka"

Transcript

1 Doae emprsh formula z espermetalh podataa Zadata ftovaa espermetalh podataa Nea smo u clu aalze zavsost f() ee fzče velče od druge fzče velče, zvršl z merea dol taelu sa parovma zmereh vredost posmatrah velča: odoso espermetalh tačaa M (, ),,,...,. Postupa formulsaa fuce fˆ ( ), oa aprosmra epozatu zavsost f(), tao da odstupaa espermetalh vredost od račush procea doeh z e: ( ),, e fˆ,..., (.) udu u određeom smslu mala, azva se ftovae espermetalh podataa. Dale odarau fucu fˆ ( ), ou azvamo emprsa formula prlagođavamo (ftuemo, od eglese reč ft) espermetalm podacma. o emprsu formulu tražl u olu poloma, a ao rteruum za doro ftovae uzel uslov da odstupaa (.) udu edaa ul, rezultat o terpolaco polom P - (). Međutm terpolaco polom su adevate emprse formule er, ema smsla tačo reproduovat espermetale tače, oe svaao sadrže ezeže slučae greše merea, emprsa formula č graf e prolaz roz edu espermetalu taču M (, ), al prolaz lzu svh tačaa M,,,..., zravava (uglačava) loale epravlost, oe potču od grešaa merea, za razlu od terpolacoog poloma (Sla.). Iterpolaco polom, aročto vsoog stepea (već ro espermetalh tačaa) vugau t. poazuu estreme tače, oe su rezultat 44

2 stvare veze zmeđu mereh velča, ego zahteva da polom prođe roz sve tače, oe sadrže greše merea. ŷ ˆ fˆ ( ) e fˆ ( ) P - () Sla. - Emprsa formula terpolaco polom pogodo odaraa emprsa formula često, ar prlžo, odražava stvaru međuzavsost posmatrah velča, za razlu od terpolacoog poloma, o ema avu teoretsu osovu. Tao parametr adevate emprse formule mau određe fzč smsao za razlu od oefceata terpolacoog poloma. Na prmer z Clapero-ove (Klapero) edače: gde su, p dp dt RT h sp - lateta toplota sparavaa h sp V L ( z z ) z L, z V - fator stšlvost lučale tečost suvozasćee pare R - uverzala gasa ostata oa egzato opsue zavsost apoa pare ee čste supstace p od temperature T, tegracom uz aprosmace: z L, z V, h sp cost., se doa pozata Clausus-Claperoova edača za apo pare, oa dae dore procee u olast sh temperatura: l p Parametar B ma začee ezdmezoe latete toplote sparavaa posmatrae supstace, B T B h sp /R 45

3 Prolem ftovaa espermetalh podataa ouhvata dva zadata: zor tpa (ola) emprse formule, određvae epozath parametara u odarao formul a osovu usvoeog rteruma dorog ftovaa.. IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE Pr zoru ola emprse formule fˆ ( ), ao pomoć se orste: teoretsa zaa o međuzavsost posmatrah velča, grafč praz espermetalh tačaa, umerč rterum Grafča aalza Poređeem grafa razlčth fuca sa zamšleom lom oa spaa ucrtae espermetale tače M (, ) može se često suzt zor mogućh ola zavsost. Naedostav prmer e pravolsa zavsost, ao ucrtae tače M a dagramu padau oo zamšlee prave le. Numerč rterum Kao emprse formule se ead rau polom, al e terpolaco, već pogodo odaraog žeg stepea. Pr zoru stepea poloma umerč rterum e: prlža ostatost podeleh razla eog reda, odoso u slučau evdstath tačaa, prlža ostatost oačh razla eog reda (vd Pogl..4). Prmer : Meree su ocetrace reatata (mol/m 3 ) u razlčtm vremesm mometma (m) ao započaa ee hemse reace: Potreo e odarat ol emprse formule. U odsustvu teoretsh zaa o međuzavsost, često se ra polomsa zavsost, ao se mogu uočt prlžo ostate podelee l oače razle. Izračuata e taela oačh razla uapred do razla 3. reda, za date podate. Uočavamo prlžu ostatost oačh razla. reda, pa se dat podac mogu ftovat polomom. stepea: ( ) a+ c f ˆ + 46

4 Prmer : Kao što smo aglasl, pr zoru emprse formule trea orstt raspoložva teoretsa zaa o međuzavsost posmatrah velča. U Prmeru se rad o zavsost ocetrace reatata, c od vremea t, oa se teorets doa tegracom dferecalog lasa reatata: dc dt r ( c) gde e r(c) zraz za rzu hemse reace. o la u ptau reaca. reda, r c, tegracom dol espoecalu vremesu zavsost: ( ) c c t ( t) c e gde e c početa ocetraca reatata. Dale, ao pretpostavmo da se reaca ou sptuemo prlžo poaša ao reaca prvog reda, oda e adevata emprs model za ftovae raspoložvh espermetalh podataa: ( ) ae f ˆ Dat e Mathcad dagram - sa ucrtam espermetalm tačama Sla. uz Prmer - Espermetal podac Dagram e u suprotost sa pretpostavom, er zamšlea rva duž oe leže espermetale tače po olu odgovara grafu espoecale fuce. Za oačo prhvatae espoecalog modela eophod su precz rterum. Logartmovaem pretpostavlee zavsost doamo: l l a+ 47

5 o posmatra model o adevata, ova promelva Y l learo zavsla od : Y l a+ Zato ćemo espermetale tače ucrtat u dagram -Y l u l-log dagram -: 4.5 l( ) Sla. uz Prmer - Dagram trasformsah espermetalh podataa l-log dagram orgalh podataa Pošto tače prlžo leže duž ee prave, možemo da prhvatmo emprsu formulu, oa se azra a reac prvog reda. To potvrđue umerč rterum da su oače razle prvog reda za taelu - log prlžo ostate: Y log Y LINERIZOVNE DVOPRMETRSKE EMPIRIJSKE FORMULE Emprsu formulu oa sadrž parametara zvaćemo - parametarsa emprsa formula. Tao e formula u Prmeru troparametarsa a formula u Prmeru e dvoparametarsa. Dvoparametarsa emprsa formula, se eada, pogodom smeom promelvh: (, a ) fˆ, (.) (, ), Y Y ( ) X X, (.3) 48

6 može "spravt" l learzovat, t. prevest u pravolsu zavsost: gde su ov parametr ee fuce starh: Y + BX (.4) (, ), B B( a ) a, (.4a) Opsa postupa se zove learzaca l spravlae emprse formule. Na prmer, ao odaraa emprsa formula ma ol: gde su (, ), ϕ(, ) ψ (, ) a + ϕ(, ) ψ lo ave fuce, očgledo se ameće smea: (, ), Y ψ(, ), a B X ϕ, U Ta.. su date smee za spravlae eh dvoparametarsh emprsh formula. Taela. - Smee za learzacu dvoparametarse emprse formule rva smea prava. a Y log X log Y log a+ X. a) ) a ae Y Y log l X X Y log a+ log X Y l a+ X 3. a + / Y X / Y a + X 4. Y / X Y a + X a+ 5. a+ Y / X / Y + ax 6. a+ Y / X Y a + X 7. a+ Y / X / Y + ax 8. a+ Y / X Y a + X 9. log + a Y X log Y a + X U Prmeru smo dsutoval prmeu espoecale emprse formule (druga vrsta taele), prmel datu smeu grafč umerč rterum za proveru adevatost formule. 49

7 Zadata. Predložt smee promelvh za learzacu formule: Rešee: a ( + ) Polazo edač su evvalete edače: a a a a Smeom, Y formula se learzue: Y + B a ov parametr su: a a, B a Zadata. Merea e sla (D) oom a ravu ploču delue flud o e opstruava, pr razm rzama (cm/s) struaa fluda: Potreo e odarat dvoparametarsu emprsu formulu, oa prlžo opsue zavsost (). Rešee: Ucrtaćemo espermetale tače u dagram - : Dagram uazue a elearu vezu po olu zamšlee rve duž oe leže espermetale tače, to mogla t stepea zavsost, ( ) a 5

8 s ozrom da rva prlžo prolaz roz oordat početa (,). Learzova ol pretpostavlee formule doa se smeama datm u. vrst taele sledeć ora e ucrtavae espermetalh tačaa u log - log dagram l u X Y dagram, gde su X Y ove promelve X log, Y log: log( ).5.5 log( ) Sla uz Zadata. - Dagram trasformsah espermetalh podataa log-log dagram orgalh podataa Pošto tače u ovm dagramma prlžo leže duž ee prave, prhvatamo emprsu fomulu: ( ) a f ˆ Zadata.3 Odarat dvoparametarsu formulu za ftovae espermetalh podataa: Rešee: Ucrtaćemo espermetale tače u dagram a osovu ola zamšlee rve roz te tače odarat edu l vše formula avedeh u tael, a zatm ao learzace odarah formula, prmeom grafčog rteruma apravt oača zor Sla. uz Zadata.3 - Espermetale tače Dagram uazue a moguće postoae horzotale asmptote. Horzotalu asmptotu mau formule 4, 5, 6 7 u tael, al edo graf formule 4 e prolaz roz 5

9 oordat početa, što e u sladu sa espermetalm tačama. Dale ramo formulu: fˆ ( ) a+ Learzaca formule se postže smeom Y /. Ucrtavamo tače u dagram - Y pošto oe prlžo leže a pravo, oačo prhvatamo formulu Sla uz Zadata.3 - Trasformsae espermetale tače.3 METOD NJMNJIH KVDRT Kao mera odstupaa odarae emprse formule sa uupo (+) parametara,...,, : (,,,..., ) fˆ (, ) ( + ) fˆ < (.6) od espermetalh tačaa pogodo e uzet sumu vadrata odstupaa: [ fˆ (, )] S( ) e (.7) - vetor parametara, [ ],,,..., Prema metod amah vadrata (MNK), aole (optmale) vredost parametara,,..., u odarao emprso formul (.6) su oe za oe suma vadrata odstupaa ma mmum: S [ ] ( ) fˆ (, ) m 5

10 Nepozat parametr se doau z eophodog uslova mmuma fuce S: odoso: fˆ [ ( )] ( ) fˆ,,,...,,,,..., (.8) fˆ [ ( )] ( ) fˆ,,,...,,,,...,,,..., (.9) Jedače (.9) se azvau ormale edače oe su u opštem slučau eleare, u slučau egzstece vše rešea posmatraog sstema, t. vše loalh mmuma fuce S (,,..., ), ra se oo rešee oe dae amau vredost mmuma (gloal mmum). Kao mera valteta ftovaa espermetalh podataa doeom emprsom formulom, orst se srede vadrato odstupae formule od espermetalh vredost, defsao ao: s e ( + ) [ ˆ f (, ) ] ( + ) (.) Velča u meocu, oa predstavla razlu roa espermetalh tačaa uupog roa parametara u formul se u statstc azva ro stepe sloode. Uolo e s mae, utolo ea emprsa formula ole ftue espermetale podate, pa se oo orst pr poređeu razlčth emprsh edača za ste espermetale podate..4 EMPIRIJSK FORMUL LINERN PO PRMETRIM Opšt ol emprse formule leare po parametrma e: ( ) ϕ ( ) fˆ (.) gde su ϕ (),,,..., lo ave fuce, oe e sadrže parametre,,,..., Na prmer, formula: e leara po parametrma, do e formula: ˆ f + ( ) + l 53

11 fˆ ( ) + + eleara po parametrma. Pošto e za formulu ola (.): (,, ) fˆ,..., ϕ ( ) ormale edače (.9) su leare po tražem parametrma: ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ),,,..., o uvedemo ozae: ( ϕ, ϕ ) ϕ ( ) ϕ ( ), r, s, r s r s,..., (, ϕ ) ϕ ( ), s, s s,..., (.a) (.) ormale edače u matrčo form zgledau: Φ d (.3) Φ [( ϕ, ϕ )] +, +,,,..., (.3a) (, ϕ ),, d,..., (.3) (+) (+) matrca sstema, Φ e očgledo smetrča pošto e, ( ϕ, ϕ ) ( ϕ, ϕ ), r, s, r s s r,..., Tao e vetor tražeh parametara, rešee learog sstema (.3): Zadata.4 Dat su podac o apou pare etaa: Φ d (.4) Potreo e metodom amah vadrata odredt parametre u fomul: Rešee: T(K) p(ar) l p a+ T+ c l T o uvedemo smeu lp, T, rezultat e formula leara po parametrma: 54

12 ( ) a+ + c l a fuce uz parametre su: ϕ ( ), ϕ ( ), ϕ ( ) l( ) Da defsal matrcu sstema ormalh edača vetor sloodh oefceata, potree su am vredost fuca ϕ u svm tačama odoso tr vetora φ, φ φ ao vetor vredost uvedee promelve lp u svm tačama : φ φ φ Y U sladu sa edačama (.a,) (.3a,), poed elemet matrce sstema se doau ao razlčt salar prozvod vetora φ, φ φ : φ φ Φ : φ φ φ φ φ φ Φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ a slood oefcet salarm možeem vetora Y vetorma φ, φ φ redom Y φ d : Y φ d.5754 Y φ Rešee formraog sstema ormalh edača (3) dae tražee parametre u emprso formul: a a : Φ d c c.64 Izračuaćemo vetor apsoluth procetualh odstupaa račush od espermetalh prtsaa: ep rac a+ T c T e e p p p e + l, δ, p,..., 55

13 p rac p e δ ao srede vadrato odstupae (.) doee formule: ( ) e s : s. 4 3 o uvedemo ( +) matrcu espermeta, X, X [ ϕ ( )], +,,,...,,,,..., (.5) ča - ta vrsta sadrž vredost redom svh fuca ϕ,,..., u espermetalo tač, možemo zvest ompat postupa za geersae sstema ormalh edača, pogoda za realzacu u Mathcad-u. Lao e poazat da se matrca sstema ormalh edača vetor sloodh oefceata mogu zračuat z matrce espermeta, ao: gde e vetor espermetalh vredost. T T Φ X X, d X (.6) Zadata.5 Dat su espermetal podac o apou pare ezola (mmhg) a razlčtm temperaturama ( C): T p Metodom amah vadrata odredt parametre u Rdelovo (Redel) edač za apo pare: log p + + log T+ 3T T Rešee: (Prat., XX-). 56

14 57 Polomsa formula U polomso formul - tog stepea ( ) f ˆ (.7) fuce ϕ su: ( ) ϕ pa se elemet (+) (+) matrce sstema ormalh edača vetora sloodh oefceata doau ao: s r d r r s r r s s r,,...,,,, Φ Φ + (.8) Na prmer, sstem ormalh edača za vadratu formulu zgleda: (.9) Pravolsa formula Ovo e aedostvaa polomsa zavsost,. stepea: ( ) f ˆ + (.) Imamo: ( ) ( ) ϕ ϕ,, pa sstem ormalh edača zgleda: (.) a egovo rešee:

15 , (.) Zadata.6 Za podate z Prmera defsat metodom amah vadrata emprsu formulu ola: a) poloma. stepea: f ˆ( ) a+ + c ) espoecale fuce: f ˆ ( ) ae Uporedt tačost formula procet ostatu rze posmatrae hemse reace, pod pretpostavom da e oa prvog reda. Rešee: a) Račuamo sume eophode za defsae sstema ormalh edača (.9): s : s ( ) : s 3 ( ) 3 : s 4 : s : s : s : Sstem ormalh edača zračuavae parametara: ( ) ( ) 4 Φ : s s s 3 Φ d : s s s 3 s s s s s d a c : Φ d a c Zaoružvae doeh vredost a 4 začae cfre: a : roud ( a, ) : roud (, 3) c : roud ( c, 5) Izračuavae odstupaa sredeg vadrata odstupaa: rac : ( a + + c ) e : rac ( e ) s : s rac e a c

16 ) Smea promelvh zračuavae parametara: Y : l( ) B : Y ( ) Y Parametr u learzovao formul : Y B : B Parametr u orgalo formul ( vd taelu): a : ep( ) : B a.78.8 a : roud ( a, ) : roud (, 5) a.7.8 Izračuavae odstupaa sredeg vadrata odstupaa: rac : ( a ep( ) ) e : rac rac e ( e ) s : s.46 Pošto e sredevadrato odstupae za prvu formulu zato mae od oog za drugu, prva (polomsa) formula ole ftue espermetale podate. U espoecalo formul, oefcet - ma začee ostate rze hemse reace prvog reda. Dale, za posmatrau reacu prlžo. reda, za ostatu rze smo dol:.8 m - Zadata.7 Iz podataa u Zadatu.4, zračuat sredu vredost latete toplote sparavaa etaa u opsegu temperatura - 5K. Rešee: Sredu latetu toplotu sparavaa ćemo dot ao vredost parametra B u emprso formul (Klauzusova edača za apo pare): l p B T 59

17 oa ftue espermetale podate o apou pare u zadatom opsegu temperatura. T(K) p(ar) Da smo proverl prmelvost Klauzusove edače ucrtaćemo tače u dagram -, gde su ove promelve l p, /T. Pošto tače prlžo leže duž prave, formula e prmelva. l( p) T : Izračuavae parametara u formul: B : ( ) Parametr u formul : : roud (, 3) B : roud ( B, 3) B : B : B B B Sreda lateta toplota sparavaa etaa: J R : 8.34 h mol K sp : B R h sp J mol K.5 EMPIRIJSK FORMUL S VIŠE NEZVISNIH PROMENLJIVIH, LINERN PO PRMETRIM Formula sa m ezavso promelvh (+) parametara, (,,... ) ϕ (, ) m,... f ˆ (.3) m 6

18 l, ( ) ϕ ( ) fˆ (.3a) ma st ol ao formula sa edom ezavsom promelvom (.). Tao se (+) (+) sstem ormalh edača formra pomoću edača (.3-.3), gde su: ( ϕr, ϕs ) ϕr (,,..., m, ) ϕs (,,..., m, ), r, s,,..., (, ϕs ) ϕs (,,..., m, ), s,,..., (.4a) (.4) l pomoću formula (.6), gde ( +) X matrca espermeta: [ + ϕ (,,..., m, )],,,...,,,,..., ao oloe ma vetore vredost fuca ϕ (),,..., u espermetalh tačaa (,,..., m, ),,...,. Zadata.8 Taela espermetalh vredost 3 ezavso promelve velče odgovaraućh vredost velče, oa od h zavs e: Potreo e odredt parametre u learo emprso fomul: Rešee: (,, 3 ) a+ c3 + Fuce u emprso formul su: ϕ (), ϕ (), ϕ () 3 pa su vetor vredost fuca u espermetalm tačama: 6

19 φ 3.7 φ 4 φ Matrca vetor sloodh oefceata sstema ormalh edača doau se ao salar prozvod: :.. :.. Φ, : φ φ d : φ 9 Φ d Traže parametr: a c : Φ d a c Espermetale račuse vredost zavso promelve odstupaa: rac e Koačo, prmetmo da learu po parametrma formulu (.3) uve možemo da zamemo evvaletom edostavom learom formulom: f ( ) ˆ X (.5) uvođeem ovh ezavso-promelvh X,,,..., smeom: (,..., ),, X ϕ m,..., (.5a) 6

20 .6 METOD NJMNJIH KVDRT U MTHCD-u Formule sa edom ezavso promelvom, leare po parametrma Za zračuavae parametara u emprso formul learo po parametrma (.), metodom amah vadrata, u Mathcad-u služ fuca lft sa argumetma, redom: - uređe vetor espermetalh vredost ezavso promelve - odgovarauć vetor espermetalh vredost zavso promelve Φ - vetor fuca, Φ [ ϕ ( )] +,,,,..., Fuca vraća vetor vredost parametara:,,,..., Zadata.9 Rešt Zadata.5, orsteć fucu lft. Rešee: Mathcad (Prat., XX-3) Odseča ag u pravolso zavsost Odseča ag u pravolso zavsost (.) mogu se dot, pomoću fuca tercept slope sa argumetma, redom, če e začee sto ao od fuce lft, l, pomoću fuce le, sa stm argumetma, oa vraća vetor, č e prv elemet odseča, a drug ag. Zadata. a) Podate z prethodog zadata ftovat Klaperoovom edačom: log p + T orsteć Mathcad fuce tercept, slope le. ) Izračuat parametre u formul pomoću fuce lft c)uporedt valtete ftovaa dath podataa Rdelovom (Zadac.5.9) Klaperoovom formulom Formule sa edom ezavso promelvom, eleare po parametrma o formula e leara po parametrma, e parametr se doau teratvm postupom (ormale edače (.9), oe se rešavau su eleare), pomoću fuce geft č su parametr redom: - uređe vetor espermetalh vredost ezavso promelve 63

21 - odgovarauć vetor espermetalh vredost zavso promelve p - vetor polazh procea za parametre,,,..., F - vetor fuca, č e prv elemet emprsa formula, a preostalh (+) elemeata su parcal zvod formule po parametrma,,...,, redom Fuca vraća vetor zračuath vredost parametara,,,..., Zadata. a) Izračuat parametre u elearzovao Rdelovo edač za apo pare ezola, p + T+ logt+ 3T z podataa dath u Zadatu.5, orsteć fucu geft. ) Uporedt valtet ftovaa Rdelovh formula, doeh learom (Zadata.9) elearom MNK c) Isptat efeat smavaa parametra TOL a valtet doee eleare formule. Formule sa vše ezavso promelvh Za zračuavae parametara u emprso formul sa vše ezavso promelvh, learo l elearo po parametrma, orst se SOLVE BLOCK u ome se doau vredost parametara,,,...,, o mmzuu fucu S() (.7), tao što se umesto fuce Fd, a aaloga ač pozva fuca Merr oa prlžo "rešava" edaču: S() tao što prlžo alaz vetor, o dae amau moguću vredost fuce S(). Da se locralo želeo od vše mogućh rešea elearog prolema, uutar SOLVE BLOCK-a se mogu, orsteć Bulove operatore, defsat ogračea u vez sa vredostma tražeh parametara,,,...,. Kao od oršćea fuce Fd, posto mogućost zora ede od tr pouđee umerče metode (Pogl. 9.5). Zadata. Potreo e a az espermetalh vredost Reoldsovog roa Re, Pradtlovog roa Pr Nuseltovog roa Nu (Prat., XXI-) zračuat parametre u rteralo edač: Nu Re Pr a) Izračuat tražee parametre z learzovae rterale edače ) Izračuat parametre elearom MNK, pomoću SOLVE BLOCK-a sa fucom Merr provert efeat promee umerče metode vredost parametra TOL a valtet rešea (vredost fuce S()) c) Uporedt valtete ftovaa edača doeh learom elearom MNK Rešee: Mathcad (Prat.,XXI-4) 64

22 lteratvo, mmzaca fuce S() može se zvest pomoću fuce Mmze, č su parametr, redom: F - fuca oa se mmzue, prethodo defsaa (ovde S()) - polaza procea vetora vredost ezavso promelvh, u oma fuca F() ma mmum, ovde procea vetora Fuca vraća vetor zračuath oordata mmuma. o se žele postavt ogračea a vredost parametara, fuca se pozva a rau SOLVE BLOCK-a, u ome su, spod Gve formulsaa ogračea. Kao od oršćea fuca Fd Merr, a aaloga ač se može zarat eda od vše umerčh metoda Zadata.3 a) Nać parametre rterale edače z prethodog zadata, elearom MNK, pomoću fuce Mmze provert efeat zora umerče metode mmzace velče parametra TOL. ) Uporedt rešee sa om doem u prethodom zadatu () Rešee: Mathcad (Prat.,XXI-5) ZDCI. Izvest formulu za određvae parametra a u learo emprso formul a z espermetal tacaa (,,, ), metodom amah vadrata (MNK): Rešee: a. Date su, espermetalo određee adsorovae olče (m) NO a sla gelu, pr razlčtm parcalm prtscma (p) NO u vazduhu, a 5 C atm. p(mmhg) : g NO m g sla gela a) Metodom amah vadrata, za date podate odredt parametar u edostavo emprso emprrso formul: m p ) Learom MNK, za date podate odredt parametre m u Frodlhovo zoterm, m p c) Uporedt valtete ftovaa emprsh formula doeh u a) ) Rešee: a).36 ).5,.39 65

23 c) s a.55, s.4.3 Reaca zmeđu etle dromda () alum odda (B) se odva u tečo faz u prsustvu 99% metaola a 6 C. C H 4Br + 3KI CH 4 + KBr + KI 3 + 3B C + D + E Meree se ocetrace etle dromda C u šaržom reatoru u fuc vremea t. Počete ocetrace reataata su le: C.864 mol/m 3, C B.53 mol/m 3. Iz zmereh ocetraca račuat su stepe overze etle romda X, X C C C doee su sledeće vredost. Vreme, t (s) Koverza, X Teors zraz za stepee overze u fuc vremea, doe tegracom etčog zraza, za razlčte pretpostavlee parcale redove posmatrae reace su: Parc. redov zraz za rzu reace: po, po B, r C ) ( Teorsa edača: l t X po, po B ( r C C X B ) 3 l M CB t, M ( M 3) C X C a) Na osovu espermetalh podataa grafčog rteruma odarat parcale redove reace, odoso adevata zraz za rzu reace. ) Za oa modela zračuat z espermetalh podataa ostatu rze reace potvrdt zor u a) poređeem valteta ftovaa. Rešee: a) e prmećue se razla zmeđu modela ). (model, s.9-4 ),.84 (model, s.5-3 ).4 U STM postupu su meree temperature t do oe predestlše zaprems udeo ee afte : :

24 t, C : 7 85 potreo e z espermetalh podataa, learom MNK zračuat parametre u emprso edač: β t t p T α[ l( ) ], gde e T t t t p - temperatura početa destlace t - temperatura raa destlace Rešee: Za temperature početa ( ) raa destlace ( ) usvoee su procee sa grafa (t p 65 C, t p 9 C) doee su vredost parametara: α. 39, β.96 p.5 Dat su zmere parcal prtsc p (atm) odgovarauće olče hesaa c(mol/g), adsorovae po g sla gela a ormalom prtsu temperatur 7 C. Potreo e metodom amah vadrata odredt parametre a u emprso formul (Lagmrova zoterma): ap c + p p, atm c 5, mol/g a) Poazat da se uvođeem ove zavso promelve: trasformsat u evvaletu, learu po parametrma. ) Odredt tražee parametre leraom MNK. Rešee : ) a , 85., polaza formula može p.6 Polazec od reacoe smeše oa sadrž samo reatate B u ocetracama, 3 C CB. mol m, određvae su olče doeog prozvoda C po edc zapreme (, mol/m 3 ) u povrato reac, + B C () odgovarauće rze reace (mol/m 3 h) : : : a) Potreo e provert pretpostavu da e zavsost rze posmatrae hem. reace od olče doeog produta: ( ) ( C ) () (gde su epozate ostate rza drete suprote reace), pogodom smeom promelvh, oa zavsost () prevod u pravolsu. 67

25 ) Polazeć od learzovae formule Y (X), gde su X Y ove promelve, metodom amah vadrata procet ostate zračuat odgovarauć sred vadrat odstupaa račush espermetalh vredost rze reace,. c) Odredt ostate u () metodom amah vadrata, polazeć od orgalh podataa (,), uporedt sred vadrat odstupaa sa om doem u ) orazložt hov odos. Rešee: a) podelt levu desu strau edače sa (C - ) ).5,.3, s.3 c).5,.9, s.37.7 Polazec od reacoe smeše oa sadrž supstace B u ocetracama, 3 3 C.8mol m, CB.5 mol m, meree su ocetrace supstace (mol/m 3 ) u tou vremea t (m) zvođea povrate reace, B rad određvaa ostat rze drete suprote reace : t: 3 5 C : Podac poazuu da e ao m postguta reacoa ravoteža ( sastav reacoe smeše se vše e mea u tou vremea) da e ravoteža ocetraca supstace : 3 C e.5 mol m. Pozato e da su dreta suprota reaca elemetare, t. prvog reda, pa e rza promee ocetrace supstace data dferecalom edačom: dc dt C CB, C () C čom tegracom se doa sledeća edača oa opsue promeu ocetrace reatata u tou vremea : e C C l e + C C ( ) t () a) Polazeć od () relace za ravotežu ostatu K : e CB + C C K () C e pomoću metode amah vadrata odredt ostate ( m - ) ( m - ) ) Formulsat elearu edaču čm se rešavaem, z dath espermetalh podataa, metodom amah vadrata, zračuava parametar a + u fuc C (t) doeo z (). c) Izračuat parametar a z ) rešavaem doee edače pomoću fuce root. d) Izračuat parametar a z ) pomoću fuce geft. Rešee: a).74,.5 e e at ) C C + ( C C) e c) a.5 68

26 d) a.5.8 Podac za reacu slea sa romom a 7 C su dat u tael. Materal las šaržog reatora e: dcbr CBr () dt gde e C ocetraca roma u mol/dm 3, e ostata rze e red reace. Br a) Odredt dc Br dt za sve vredost t u tael dferecraem uog splaa (sa fucom csple) ) Odredt z learom MNK c) Odredt elearom MNK upored valtet ftovaa sa om o e ostvare learom MNK. Vreme t (m) Kocetraca Br (mol/dm 3 ) Vreme t (m) Kocetraca Br (mol/dm 3 ) Rešee: ).95,.55, s.9-4 c).94,.55, s Potreo e podate o specfčm toplotama T(K) c p ftovat polomom stepea m, orsteć fucu lft a) Odredt oefcete u polomu 3. stepea, P 3 (T). ) Odarat optmala stepe poloma m z uslova da e za ta polom srede vadrato odstupae emprse formule od espermetalh podataa: s mmalo e ( m + ) [ P ( )] m ( m + ) c) Poovt ) orsteć fuce regress terp Rešee: a)

27 ) polom 8-og stepaa (prolaz roz sve tače) pa će odstupae espermetalh od teorsh vredost t edao.. Dat su apo para oaa: t, C p, mmhg t, C p, mmhg Potreo e date podate ftovat toaovom edačom za apo pare: B l p, C + T T u stepema K a) Poazat da se toaova edača može prevest u evvaleta ol, leara po parametrma: gde e: l p l p a+ + c T T a, C B, c C (Pomoć: pomožt polazu edaču sa (C+T)...) ) Korsteć learu multvaralu (vše ezavso promelvh) MNK z dath podataa odredt parametre, B C rešavaem odgovaraućeg sstema ormalh edača. c) Learom multvaralom MNK odredt parametre, B C, orsteć fucu merr. d) Korsteć fucu geft, polazeć od vredost parametra doeh u ) c), odredt popravlee vredost parametara. Rešee: ) 5.97, B 3.9 3, C c) sto ao pod ) d) 5.97, B 3.9 3, C Potreo e apoe para oaa (prethod prolem) ftovat Harlaherovom edačom za apo pare oa e mplcta po p: B p l p + + C l( T ) + D, T u stepema K. T T a) Korsteć pogodu smeu zavso promelve, zračuat learom edovaralom MNK parametre, B C, ao se za parametar D uzme vredost z lterature, D ) Izračuat sva četr parametra learom multvaralom MNK rešavaem odgovaraućeg sstema ormalh edača. c) Odredt parametre learom multvaralom MNK orsteć fucu merr. 7

28 d) Polazeć od rezultata doeh u ) c) odredt tražee parametre pomoću eleare multvaraule MNK. e) Uporedt srede vadrata odstupaa formula doeh u a), c) d) Rešee: a) 74., B -8 3, C -8 ) 83., B , C -9.35, D 9. c) sto ao pod ) d) 76.4, B -8. 3, C -8.38, D 3. e) s a.7, s,c., s d 9-4. Merea e početa rza reace (-r ) za reacu u gaso faz: P (torr) P B (torr) -r (torr/s) Odredt parametre u emprso formul: a β r P PB Rešee: leara MNK: 6.5-3, α.49, β.5, eleara MNK: 6.4-3, α.49, β.5, 7

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi T E S T 3 u 6 Ime prezme de :. Potrebo e tovat espermetale podate:.... a Rad grače provere adevatost edostave emprse ormule a potrebo e ucrtat orgale l trasormsae esp. podate u dagram. Pogoda zbor dagrama

Διαβάστε περισσότερα

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina 77 8 Numerčo rešavae sstema elearh edača Zadata Čest problem u žeersm proračuma e alažee rešea eog sstema elearh edača:......... 8. odoso alažee vredost epozath... tao da bude zadovoleo uslova 8. l u vetorso

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad -

RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad - UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATICKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM SKORING SISTEMU - master rad - Profesor: dr. Zoraa Luža Autor: Jelea Burgjašev

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA Profesor: Zorca Stamrovć Asstet: Mara Ivaovć Izbor predmet: 5 goda, smerov: R I (master) Semestar: zmsk, 010 Lteratura: kga Kombatora optmzaca, autor Dragoš Cvetkovć,

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu

Διαβάστε περισσότερα

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n 4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0}

Διαβάστε περισσότερα

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke Prakkm Maemaka III Prredo DJočć smen br : Raz Forero red nkc eroda dan ormom za < za < : Izračna ds gde e k araboe od shodša o očke M : Izračna koordnae ežsa homogenog ka ckode a sn a ; : Izračna I e [

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: 1. Τι είναι ατομικό και τί μοριακό βάρος; Ατομικό βάρος είναι ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η μάζα του ατόμου από το 1/12 της

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA

JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Uverztet u Beogradu Elektrotehčk akultet Master rad JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Metor: Dr. Brako Maleševć, doc. Studet: Boa Baac Br. deksa: 00/5 Beograd, septembar 0 Sadrža

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora

Vježba 1. Analiza i sinteza sistema regulacije brzine vrtnje istosmjernog motora ortorjske vježe z predet ootk uprvljje prozvod sste Vjež Vjež Alz stez sste regulcje rze vrtje stosjerog otor Clj vježe: Stez regultor rze vrtje stosjerog otor pooću etod tehčkog setrčog optu Alzrt dčko

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * / ) ",. #

!  #  $ #% $ ! #&'() ' ( * / ) ,. # Ψ ƒ! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * +",-.'!( / ) ",. # 0# $"!"#$%# Ψ 12/345 6),78 94. ƒ 9)")1$/):0;3;::9 >'= ( ? 9 @ '&( % A! &*?9 '( B+)C*%++ &*%++C 0 4 3'+C( D'+C(%E $B B - " % B

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna

Διαβάστε περισσότερα

Numerička integracija

Numerička integracija umerčk tegrcj Zdtk umerčke tegrcje umerčk tegrcj je postupk zrčuvj prlže vredost određeog tegrl: < d. z vredost podtegrle ukcje dt uređeom telom čemu pretpostvljmo d je: pr... Bzr se ko umerčko derecrje

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ε Π Ι Σ Τ Ο Λ Η Δ Ι Ο Ι Κ Η Τ Η Α Υ Γ Ο Υ Σ Τ Ο Σ Μ η ν ι α ί α Ε π ι σ τ ο λ ή ι ο ι κ η τ ή 1 Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Σ ε λ ί δ ε ς Τ ο μ ή ν υ μ α τ

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU

ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU metor: Docet dr Mroslav Marć addat:

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 10 i 11 1

Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 10 i 11 1 Mš fule Beog - Meh 3 Peve lee lče ehe Geele ooe o e o e o elh č č olož e oeđe 3 Deovh oo ( o e elue holooh ecoh žvućh ve ( f α (α e olož e oeđe evh oo ev e o u ouo oeđuu olož elog e u oou vu e geele ooe

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

DESETA VEŽBA 1. zadatak:

DESETA VEŽBA 1. zadatak: DEETA VEŽBA zadata: Trasformator čiji su podaci: VA cu 4 W W u 5 % radi pri eom opterećeju uz fator sage φ 8 (id) ritom su omiali gubici u baru cu određei pri temperaturi od C Za radu temperaturu trasformatora

Διαβάστε περισσότερα

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD br VIZUALIZACIJA SIMULACIJE DINAMIKE PLINOVITIH FLUIDA. Kristina Štargel

DIPLOMSKI RAD br VIZUALIZACIJA SIMULACIJE DINAMIKE PLINOVITIH FLUIDA. Kristina Štargel SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 63 VIZUALIZACIJA SIMULACIJE DINAMIKE PLINOVITIH FLUIDA Krsta Štargel Zagreb lstopad 006. SADRŽAJ:. UVOD...4.. POVIJEST MODELIRANJA

Διαβάστε περισσότερα

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP Aleksandar Smiljanić Generacija 1996 / 1997 8 + SP Hamburg 2014 4 - SP Rio de Janeiro 1. Cvijetić Nikola (1997)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Wide Transport Stretcher Model 738

Parts Manual. Wide Transport Stretcher Model 738 Wide Transport Stretcher Model 738 Modèle 738 De Civière Large Pour Le Transport Breites Transport-Bahre-Modell 738 Breed Model 738 van de Brancard van het Vervoer Modello Largo 738 Della Barella Di Trasporto

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Couplage dans les applications interactives de grande taille Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena. Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

MALE OSCILACIJE. 1. Male oscilacije sustava

MALE OSCILACIJE. 1. Male oscilacije sustava Male oscilacie sustava MALE OSCILACIJE Razatrao ozervativi izolirai fiziali sustav s stupeva slobode gibaa Stae gibaa sustava opisao e supo od geeraliziraih oordiata i geeraliziraih brzia ( q i, q i )

Διαβάστε περισσότερα

Magneti opis i namena Opis: Napon: Snaga: Cena:

Magneti opis i namena Opis: Napon: Snaga: Cena: Magneti opis i namena Opis: Napon: Snaga: Cena: Magnet fi 9x22x28x29,5 mm 12 V DC 9 Magnet fi 9x22x28x29,5 mm 24 V DC 9 Magnet fi 9x22x28x29,5 mm 24 V AC 9 Magnet fi 9x22x28x29,5 mm 110 V DC 15 Magnet

Διαβάστε περισσότερα

Fax no +302106505936 To. 2310263139 Page: 1/12

Fax no +302106505936 To. 2310263139 Page: 1/12 rom Ktimatoiogio SA ax no +302106505936 To. 2310263139 Page: 1/12 Date 11/19/2015940.39 Mv1 EeNtKo KTHMATOAOnO a XAPTOrPAeHlH A.I. A911va, 18/11/2015 A.n.: 15317781L\.AK 926 nuos: YnoOT]KoAaKdo Nto)v

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit

Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Uvr{tavaju}i u prvu, tre}u i petu jedna~inu x = L, a u preostale x = 0, dobivamo: EA L

Uvr{tavaju}i u prvu, tre}u i petu jedna~inu x = L, a u preostale x = 0, dobivamo: EA L eora lsh osa~a II eoda deformaca 6. EODA DEFORACIJA eoda deformaca e meoda oom se mog prora~a sv sa~ ca od lsh ssema, bez obzra a o ao s zada rb ve. U s{ meodom deformaca se ra~a pomeraa odre eh a~aa lsog

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

Obrada empirijskih podataka

Obrada empirijskih podataka Obrada emprjskh podataka deskrptva statstka opsvaje podataka z uzorka l populacje u form osovh parametara osove vrste podataka po astaku varjable (upotreba razlčth mjerh ljestvca) se mogu klasfcrat a:.

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima OADP: Kompreija lie i ideo igala Ooi priipi ompreije D i 3D igala D traformaija ompaija eergije Katoaje D igala Kodoaje D igala Etimaija poreta u 3D igalima oi ad 06 traa OADP: Kompreija lie i ideo igala

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΧλΘ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 8 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Μάθημα 12ο O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Γενική και Ανόργανη Χημεία 201-17 2 Η χημεία ΠΠΠ (= προ περιοδικού πίνακα) μαύρο χάλι από αταξία της πληροφορίας!!! Καμμία οργάνωση των στοιχείων.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ & Φ.ΑΕΡΙΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ & Φ.ΑΕΡΙΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ & Φ.ΑΕΡΙΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ; ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΤΑΓΡΑΦΩΝ ΣΕ ΥΔΡΟΓΕΩΤΡΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Electronic Supplementary Information

Electronic Supplementary Information Electronic Supplementary Information The preferred all-gauche conformations in 3-fluoro-1,2-propanediol Laize A. F. Andrade, a Josué M. Silla, a Claudimar J. Duarte, b Roberto Rittner, b Matheus P. Freitas*,a

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα