Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka"

Transcript

1 Doae emprsh formula z espermetalh podataa Zadata ftovaa espermetalh podataa Nea smo u clu aalze zavsost f() ee fzče velče od druge fzče velče, zvršl z merea dol taelu sa parovma zmereh vredost posmatrah velča: odoso espermetalh tačaa M (, ),,,...,. Postupa formulsaa fuce fˆ ( ), oa aprosmra epozatu zavsost f(), tao da odstupaa espermetalh vredost od račush procea doeh z e: ( ),, e fˆ,..., (.) udu u određeom smslu mala, azva se ftovae espermetalh podataa. Dale odarau fucu fˆ ( ), ou azvamo emprsa formula prlagođavamo (ftuemo, od eglese reč ft) espermetalm podacma. o emprsu formulu tražl u olu poloma, a ao rteruum za doro ftovae uzel uslov da odstupaa (.) udu edaa ul, rezultat o terpolaco polom P - (). Međutm terpolaco polom su adevate emprse formule er, ema smsla tačo reproduovat espermetale tače, oe svaao sadrže ezeže slučae greše merea, emprsa formula č graf e prolaz roz edu espermetalu taču M (, ), al prolaz lzu svh tačaa M,,,..., zravava (uglačava) loale epravlost, oe potču od grešaa merea, za razlu od terpolacoog poloma (Sla.). Iterpolaco polom, aročto vsoog stepea (već ro espermetalh tačaa) vugau t. poazuu estreme tače, oe su rezultat 44

2 stvare veze zmeđu mereh velča, ego zahteva da polom prođe roz sve tače, oe sadrže greše merea. ŷ ˆ fˆ ( ) e fˆ ( ) P - () Sla. - Emprsa formula terpolaco polom pogodo odaraa emprsa formula često, ar prlžo, odražava stvaru međuzavsost posmatrah velča, za razlu od terpolacoog poloma, o ema avu teoretsu osovu. Tao parametr adevate emprse formule mau određe fzč smsao za razlu od oefceata terpolacoog poloma. Na prmer z Clapero-ove (Klapero) edače: gde su, p dp dt RT h sp - lateta toplota sparavaa h sp V L ( z z ) z L, z V - fator stšlvost lučale tečost suvozasćee pare R - uverzala gasa ostata oa egzato opsue zavsost apoa pare ee čste supstace p od temperature T, tegracom uz aprosmace: z L, z V, h sp cost., se doa pozata Clausus-Claperoova edača za apo pare, oa dae dore procee u olast sh temperatura: l p Parametar B ma začee ezdmezoe latete toplote sparavaa posmatrae supstace, B T B h sp /R 45

3 Prolem ftovaa espermetalh podataa ouhvata dva zadata: zor tpa (ola) emprse formule, određvae epozath parametara u odarao formul a osovu usvoeog rteruma dorog ftovaa.. IZBOR EMPIRIJSKE FORMULE Pr zoru ola emprse formule fˆ ( ), ao pomoć se orste: teoretsa zaa o međuzavsost posmatrah velča, grafč praz espermetalh tačaa, umerč rterum Grafča aalza Poređeem grafa razlčth fuca sa zamšleom lom oa spaa ucrtae espermetale tače M (, ) može se često suzt zor mogućh ola zavsost. Naedostav prmer e pravolsa zavsost, ao ucrtae tače M a dagramu padau oo zamšlee prave le. Numerč rterum Kao emprse formule se ead rau polom, al e terpolaco, već pogodo odaraog žeg stepea. Pr zoru stepea poloma umerč rterum e: prlža ostatost podeleh razla eog reda, odoso u slučau evdstath tačaa, prlža ostatost oačh razla eog reda (vd Pogl..4). Prmer : Meree su ocetrace reatata (mol/m 3 ) u razlčtm vremesm mometma (m) ao započaa ee hemse reace: Potreo e odarat ol emprse formule. U odsustvu teoretsh zaa o međuzavsost, često se ra polomsa zavsost, ao se mogu uočt prlžo ostate podelee l oače razle. Izračuata e taela oačh razla uapred do razla 3. reda, za date podate. Uočavamo prlžu ostatost oačh razla. reda, pa se dat podac mogu ftovat polomom. stepea: ( ) a+ c f ˆ + 46

4 Prmer : Kao što smo aglasl, pr zoru emprse formule trea orstt raspoložva teoretsa zaa o međuzavsost posmatrah velča. U Prmeru se rad o zavsost ocetrace reatata, c od vremea t, oa se teorets doa tegracom dferecalog lasa reatata: dc dt r ( c) gde e r(c) zraz za rzu hemse reace. o la u ptau reaca. reda, r c, tegracom dol espoecalu vremesu zavsost: ( ) c c t ( t) c e gde e c početa ocetraca reatata. Dale, ao pretpostavmo da se reaca ou sptuemo prlžo poaša ao reaca prvog reda, oda e adevata emprs model za ftovae raspoložvh espermetalh podataa: ( ) ae f ˆ Dat e Mathcad dagram - sa ucrtam espermetalm tačama Sla. uz Prmer - Espermetal podac Dagram e u suprotost sa pretpostavom, er zamšlea rva duž oe leže espermetale tače po olu odgovara grafu espoecale fuce. Za oačo prhvatae espoecalog modela eophod su precz rterum. Logartmovaem pretpostavlee zavsost doamo: l l a+ 47

5 o posmatra model o adevata, ova promelva Y l learo zavsla od : Y l a+ Zato ćemo espermetale tače ucrtat u dagram -Y l u l-log dagram -: 4.5 l( ) Sla. uz Prmer - Dagram trasformsah espermetalh podataa l-log dagram orgalh podataa Pošto tače prlžo leže duž ee prave, možemo da prhvatmo emprsu formulu, oa se azra a reac prvog reda. To potvrđue umerč rterum da su oače razle prvog reda za taelu - log prlžo ostate: Y log Y LINERIZOVNE DVOPRMETRSKE EMPIRIJSKE FORMULE Emprsu formulu oa sadrž parametara zvaćemo - parametarsa emprsa formula. Tao e formula u Prmeru troparametarsa a formula u Prmeru e dvoparametarsa. Dvoparametarsa emprsa formula, se eada, pogodom smeom promelvh: (, a ) fˆ, (.) (, ), Y Y ( ) X X, (.3) 48

6 može "spravt" l learzovat, t. prevest u pravolsu zavsost: gde su ov parametr ee fuce starh: Y + BX (.4) (, ), B B( a ) a, (.4a) Opsa postupa se zove learzaca l spravlae emprse formule. Na prmer, ao odaraa emprsa formula ma ol: gde su (, ), ϕ(, ) ψ (, ) a + ϕ(, ) ψ lo ave fuce, očgledo se ameće smea: (, ), Y ψ(, ), a B X ϕ, U Ta.. su date smee za spravlae eh dvoparametarsh emprsh formula. Taela. - Smee za learzacu dvoparametarse emprse formule rva smea prava. a Y log X log Y log a+ X. a) ) a ae Y Y log l X X Y log a+ log X Y l a+ X 3. a + / Y X / Y a + X 4. Y / X Y a + X a+ 5. a+ Y / X / Y + ax 6. a+ Y / X Y a + X 7. a+ Y / X / Y + ax 8. a+ Y / X Y a + X 9. log + a Y X log Y a + X U Prmeru smo dsutoval prmeu espoecale emprse formule (druga vrsta taele), prmel datu smeu grafč umerč rterum za proveru adevatost formule. 49

7 Zadata. Predložt smee promelvh za learzacu formule: Rešee: a ( + ) Polazo edač su evvalete edače: a a a a Smeom, Y formula se learzue: Y + B a ov parametr su: a a, B a Zadata. Merea e sla (D) oom a ravu ploču delue flud o e opstruava, pr razm rzama (cm/s) struaa fluda: Potreo e odarat dvoparametarsu emprsu formulu, oa prlžo opsue zavsost (). Rešee: Ucrtaćemo espermetale tače u dagram - : Dagram uazue a elearu vezu po olu zamšlee rve duž oe leže espermetale tače, to mogla t stepea zavsost, ( ) a 5

8 s ozrom da rva prlžo prolaz roz oordat početa (,). Learzova ol pretpostavlee formule doa se smeama datm u. vrst taele sledeć ora e ucrtavae espermetalh tačaa u log - log dagram l u X Y dagram, gde su X Y ove promelve X log, Y log: log( ).5.5 log( ) Sla uz Zadata. - Dagram trasformsah espermetalh podataa log-log dagram orgalh podataa Pošto tače u ovm dagramma prlžo leže duž ee prave, prhvatamo emprsu fomulu: ( ) a f ˆ Zadata.3 Odarat dvoparametarsu formulu za ftovae espermetalh podataa: Rešee: Ucrtaćemo espermetale tače u dagram a osovu ola zamšlee rve roz te tače odarat edu l vše formula avedeh u tael, a zatm ao learzace odarah formula, prmeom grafčog rteruma apravt oača zor Sla. uz Zadata.3 - Espermetale tače Dagram uazue a moguće postoae horzotale asmptote. Horzotalu asmptotu mau formule 4, 5, 6 7 u tael, al edo graf formule 4 e prolaz roz 5

9 oordat početa, što e u sladu sa espermetalm tačama. Dale ramo formulu: fˆ ( ) a+ Learzaca formule se postže smeom Y /. Ucrtavamo tače u dagram - Y pošto oe prlžo leže a pravo, oačo prhvatamo formulu Sla uz Zadata.3 - Trasformsae espermetale tače.3 METOD NJMNJIH KVDRT Kao mera odstupaa odarae emprse formule sa uupo (+) parametara,...,, : (,,,..., ) fˆ (, ) ( + ) fˆ < (.6) od espermetalh tačaa pogodo e uzet sumu vadrata odstupaa: [ fˆ (, )] S( ) e (.7) - vetor parametara, [ ],,,..., Prema metod amah vadrata (MNK), aole (optmale) vredost parametara,,..., u odarao emprso formul (.6) su oe za oe suma vadrata odstupaa ma mmum: S [ ] ( ) fˆ (, ) m 5

10 Nepozat parametr se doau z eophodog uslova mmuma fuce S: odoso: fˆ [ ( )] ( ) fˆ,,,...,,,,..., (.8) fˆ [ ( )] ( ) fˆ,,,...,,,,...,,,..., (.9) Jedače (.9) se azvau ormale edače oe su u opštem slučau eleare, u slučau egzstece vše rešea posmatraog sstema, t. vše loalh mmuma fuce S (,,..., ), ra se oo rešee oe dae amau vredost mmuma (gloal mmum). Kao mera valteta ftovaa espermetalh podataa doeom emprsom formulom, orst se srede vadrato odstupae formule od espermetalh vredost, defsao ao: s e ( + ) [ ˆ f (, ) ] ( + ) (.) Velča u meocu, oa predstavla razlu roa espermetalh tačaa uupog roa parametara u formul se u statstc azva ro stepe sloode. Uolo e s mae, utolo ea emprsa formula ole ftue espermetale podate, pa se oo orst pr poređeu razlčth emprsh edača za ste espermetale podate..4 EMPIRIJSK FORMUL LINERN PO PRMETRIM Opšt ol emprse formule leare po parametrma e: ( ) ϕ ( ) fˆ (.) gde su ϕ (),,,..., lo ave fuce, oe e sadrže parametre,,,..., Na prmer, formula: e leara po parametrma, do e formula: ˆ f + ( ) + l 53

11 fˆ ( ) + + eleara po parametrma. Pošto e za formulu ola (.): (,, ) fˆ,..., ϕ ( ) ormale edače (.9) su leare po tražem parametrma: ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ),,,..., o uvedemo ozae: ( ϕ, ϕ ) ϕ ( ) ϕ ( ), r, s, r s r s,..., (, ϕ ) ϕ ( ), s, s s,..., (.a) (.) ormale edače u matrčo form zgledau: Φ d (.3) Φ [( ϕ, ϕ )] +, +,,,..., (.3a) (, ϕ ),, d,..., (.3) (+) (+) matrca sstema, Φ e očgledo smetrča pošto e, ( ϕ, ϕ ) ( ϕ, ϕ ), r, s, r s s r,..., Tao e vetor tražeh parametara, rešee learog sstema (.3): Zadata.4 Dat su podac o apou pare etaa: Φ d (.4) Potreo e metodom amah vadrata odredt parametre u fomul: Rešee: T(K) p(ar) l p a+ T+ c l T o uvedemo smeu lp, T, rezultat e formula leara po parametrma: 54

12 ( ) a+ + c l a fuce uz parametre su: ϕ ( ), ϕ ( ), ϕ ( ) l( ) Da defsal matrcu sstema ormalh edača vetor sloodh oefceata, potree su am vredost fuca ϕ u svm tačama odoso tr vetora φ, φ φ ao vetor vredost uvedee promelve lp u svm tačama : φ φ φ Y U sladu sa edačama (.a,) (.3a,), poed elemet matrce sstema se doau ao razlčt salar prozvod vetora φ, φ φ : φ φ Φ : φ φ φ φ φ φ Φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ a slood oefcet salarm možeem vetora Y vetorma φ, φ φ redom Y φ d : Y φ d.5754 Y φ Rešee formraog sstema ormalh edača (3) dae tražee parametre u emprso formul: a a : Φ d c c.64 Izračuaćemo vetor apsoluth procetualh odstupaa račush od espermetalh prtsaa: ep rac a+ T c T e e p p p e + l, δ, p,..., 55

13 p rac p e δ ao srede vadrato odstupae (.) doee formule: ( ) e s : s. 4 3 o uvedemo ( +) matrcu espermeta, X, X [ ϕ ( )], +,,,...,,,,..., (.5) ča - ta vrsta sadrž vredost redom svh fuca ϕ,,..., u espermetalo tač, možemo zvest ompat postupa za geersae sstema ormalh edača, pogoda za realzacu u Mathcad-u. Lao e poazat da se matrca sstema ormalh edača vetor sloodh oefceata mogu zračuat z matrce espermeta, ao: gde e vetor espermetalh vredost. T T Φ X X, d X (.6) Zadata.5 Dat su espermetal podac o apou pare ezola (mmhg) a razlčtm temperaturama ( C): T p Metodom amah vadrata odredt parametre u Rdelovo (Redel) edač za apo pare: log p + + log T+ 3T T Rešee: (Prat., XX-). 56

14 57 Polomsa formula U polomso formul - tog stepea ( ) f ˆ (.7) fuce ϕ su: ( ) ϕ pa se elemet (+) (+) matrce sstema ormalh edača vetora sloodh oefceata doau ao: s r d r r s r r s s r,,...,,,, Φ Φ + (.8) Na prmer, sstem ormalh edača za vadratu formulu zgleda: (.9) Pravolsa formula Ovo e aedostvaa polomsa zavsost,. stepea: ( ) f ˆ + (.) Imamo: ( ) ( ) ϕ ϕ,, pa sstem ormalh edača zgleda: (.) a egovo rešee:

15 , (.) Zadata.6 Za podate z Prmera defsat metodom amah vadrata emprsu formulu ola: a) poloma. stepea: f ˆ( ) a+ + c ) espoecale fuce: f ˆ ( ) ae Uporedt tačost formula procet ostatu rze posmatrae hemse reace, pod pretpostavom da e oa prvog reda. Rešee: a) Račuamo sume eophode za defsae sstema ormalh edača (.9): s : s ( ) : s 3 ( ) 3 : s 4 : s : s : s : Sstem ormalh edača zračuavae parametara: ( ) ( ) 4 Φ : s s s 3 Φ d : s s s 3 s s s s s d a c : Φ d a c Zaoružvae doeh vredost a 4 začae cfre: a : roud ( a, ) : roud (, 3) c : roud ( c, 5) Izračuavae odstupaa sredeg vadrata odstupaa: rac : ( a + + c ) e : rac ( e ) s : s rac e a c

16 ) Smea promelvh zračuavae parametara: Y : l( ) B : Y ( ) Y Parametr u learzovao formul : Y B : B Parametr u orgalo formul ( vd taelu): a : ep( ) : B a.78.8 a : roud ( a, ) : roud (, 5) a.7.8 Izračuavae odstupaa sredeg vadrata odstupaa: rac : ( a ep( ) ) e : rac rac e ( e ) s : s.46 Pošto e sredevadrato odstupae za prvu formulu zato mae od oog za drugu, prva (polomsa) formula ole ftue espermetale podate. U espoecalo formul, oefcet - ma začee ostate rze hemse reace prvog reda. Dale, za posmatrau reacu prlžo. reda, za ostatu rze smo dol:.8 m - Zadata.7 Iz podataa u Zadatu.4, zračuat sredu vredost latete toplote sparavaa etaa u opsegu temperatura - 5K. Rešee: Sredu latetu toplotu sparavaa ćemo dot ao vredost parametra B u emprso formul (Klauzusova edača za apo pare): l p B T 59

17 oa ftue espermetale podate o apou pare u zadatom opsegu temperatura. T(K) p(ar) Da smo proverl prmelvost Klauzusove edače ucrtaćemo tače u dagram -, gde su ove promelve l p, /T. Pošto tače prlžo leže duž prave, formula e prmelva. l( p) T : Izračuavae parametara u formul: B : ( ) Parametr u formul : : roud (, 3) B : roud ( B, 3) B : B : B B B Sreda lateta toplota sparavaa etaa: J R : 8.34 h mol K sp : B R h sp J mol K.5 EMPIRIJSK FORMUL S VIŠE NEZVISNIH PROMENLJIVIH, LINERN PO PRMETRIM Formula sa m ezavso promelvh (+) parametara, (,,... ) ϕ (, ) m,... f ˆ (.3) m 6

18 l, ( ) ϕ ( ) fˆ (.3a) ma st ol ao formula sa edom ezavsom promelvom (.). Tao se (+) (+) sstem ormalh edača formra pomoću edača (.3-.3), gde su: ( ϕr, ϕs ) ϕr (,,..., m, ) ϕs (,,..., m, ), r, s,,..., (, ϕs ) ϕs (,,..., m, ), s,,..., (.4a) (.4) l pomoću formula (.6), gde ( +) X matrca espermeta: [ + ϕ (,,..., m, )],,,...,,,,..., ao oloe ma vetore vredost fuca ϕ (),,..., u espermetalh tačaa (,,..., m, ),,...,. Zadata.8 Taela espermetalh vredost 3 ezavso promelve velče odgovaraućh vredost velče, oa od h zavs e: Potreo e odredt parametre u learo emprso fomul: Rešee: (,, 3 ) a+ c3 + Fuce u emprso formul su: ϕ (), ϕ (), ϕ () 3 pa su vetor vredost fuca u espermetalm tačama: 6

19 φ 3.7 φ 4 φ Matrca vetor sloodh oefceata sstema ormalh edača doau se ao salar prozvod: :.. :.. Φ, : φ φ d : φ 9 Φ d Traže parametr: a c : Φ d a c Espermetale račuse vredost zavso promelve odstupaa: rac e Koačo, prmetmo da learu po parametrma formulu (.3) uve možemo da zamemo evvaletom edostavom learom formulom: f ( ) ˆ X (.5) uvođeem ovh ezavso-promelvh X,,,..., smeom: (,..., ),, X ϕ m,..., (.5a) 6

20 .6 METOD NJMNJIH KVDRT U MTHCD-u Formule sa edom ezavso promelvom, leare po parametrma Za zračuavae parametara u emprso formul learo po parametrma (.), metodom amah vadrata, u Mathcad-u služ fuca lft sa argumetma, redom: - uređe vetor espermetalh vredost ezavso promelve - odgovarauć vetor espermetalh vredost zavso promelve Φ - vetor fuca, Φ [ ϕ ( )] +,,,,..., Fuca vraća vetor vredost parametara:,,,..., Zadata.9 Rešt Zadata.5, orsteć fucu lft. Rešee: Mathcad (Prat., XX-3) Odseča ag u pravolso zavsost Odseča ag u pravolso zavsost (.) mogu se dot, pomoću fuca tercept slope sa argumetma, redom, če e začee sto ao od fuce lft, l, pomoću fuce le, sa stm argumetma, oa vraća vetor, č e prv elemet odseča, a drug ag. Zadata. a) Podate z prethodog zadata ftovat Klaperoovom edačom: log p + T orsteć Mathcad fuce tercept, slope le. ) Izračuat parametre u formul pomoću fuce lft c)uporedt valtete ftovaa dath podataa Rdelovom (Zadac.5.9) Klaperoovom formulom Formule sa edom ezavso promelvom, eleare po parametrma o formula e leara po parametrma, e parametr se doau teratvm postupom (ormale edače (.9), oe se rešavau su eleare), pomoću fuce geft č su parametr redom: - uređe vetor espermetalh vredost ezavso promelve 63

21 - odgovarauć vetor espermetalh vredost zavso promelve p - vetor polazh procea za parametre,,,..., F - vetor fuca, č e prv elemet emprsa formula, a preostalh (+) elemeata su parcal zvod formule po parametrma,,...,, redom Fuca vraća vetor zračuath vredost parametara,,,..., Zadata. a) Izračuat parametre u elearzovao Rdelovo edač za apo pare ezola, p + T+ logt+ 3T z podataa dath u Zadatu.5, orsteć fucu geft. ) Uporedt valtet ftovaa Rdelovh formula, doeh learom (Zadata.9) elearom MNK c) Isptat efeat smavaa parametra TOL a valtet doee eleare formule. Formule sa vše ezavso promelvh Za zračuavae parametara u emprso formul sa vše ezavso promelvh, learo l elearo po parametrma, orst se SOLVE BLOCK u ome se doau vredost parametara,,,...,, o mmzuu fucu S() (.7), tao što se umesto fuce Fd, a aaloga ač pozva fuca Merr oa prlžo "rešava" edaču: S() tao što prlžo alaz vetor, o dae amau moguću vredost fuce S(). Da se locralo želeo od vše mogućh rešea elearog prolema, uutar SOLVE BLOCK-a se mogu, orsteć Bulove operatore, defsat ogračea u vez sa vredostma tražeh parametara,,,...,. Kao od oršćea fuce Fd, posto mogućost zora ede od tr pouđee umerče metode (Pogl. 9.5). Zadata. Potreo e a az espermetalh vredost Reoldsovog roa Re, Pradtlovog roa Pr Nuseltovog roa Nu (Prat., XXI-) zračuat parametre u rteralo edač: Nu Re Pr a) Izračuat tražee parametre z learzovae rterale edače ) Izračuat parametre elearom MNK, pomoću SOLVE BLOCK-a sa fucom Merr provert efeat promee umerče metode vredost parametra TOL a valtet rešea (vredost fuce S()) c) Uporedt valtete ftovaa edača doeh learom elearom MNK Rešee: Mathcad (Prat.,XXI-4) 64

22 lteratvo, mmzaca fuce S() može se zvest pomoću fuce Mmze, č su parametr, redom: F - fuca oa se mmzue, prethodo defsaa (ovde S()) - polaza procea vetora vredost ezavso promelvh, u oma fuca F() ma mmum, ovde procea vetora Fuca vraća vetor zračuath oordata mmuma. o se žele postavt ogračea a vredost parametara, fuca se pozva a rau SOLVE BLOCK-a, u ome su, spod Gve formulsaa ogračea. Kao od oršćea fuca Fd Merr, a aaloga ač se može zarat eda od vše umerčh metoda Zadata.3 a) Nać parametre rterale edače z prethodog zadata, elearom MNK, pomoću fuce Mmze provert efeat zora umerče metode mmzace velče parametra TOL. ) Uporedt rešee sa om doem u prethodom zadatu () Rešee: Mathcad (Prat.,XXI-5) ZDCI. Izvest formulu za određvae parametra a u learo emprso formul a z espermetal tacaa (,,, ), metodom amah vadrata (MNK): Rešee: a. Date su, espermetalo određee adsorovae olče (m) NO a sla gelu, pr razlčtm parcalm prtscma (p) NO u vazduhu, a 5 C atm. p(mmhg) : g NO m g sla gela a) Metodom amah vadrata, za date podate odredt parametar u edostavo emprso emprrso formul: m p ) Learom MNK, za date podate odredt parametre m u Frodlhovo zoterm, m p c) Uporedt valtete ftovaa emprsh formula doeh u a) ) Rešee: a).36 ).5,.39 65

23 c) s a.55, s.4.3 Reaca zmeđu etle dromda () alum odda (B) se odva u tečo faz u prsustvu 99% metaola a 6 C. C H 4Br + 3KI CH 4 + KBr + KI 3 + 3B C + D + E Meree se ocetrace etle dromda C u šaržom reatoru u fuc vremea t. Počete ocetrace reataata su le: C.864 mol/m 3, C B.53 mol/m 3. Iz zmereh ocetraca račuat su stepe overze etle romda X, X C C C doee su sledeće vredost. Vreme, t (s) Koverza, X Teors zraz za stepee overze u fuc vremea, doe tegracom etčog zraza, za razlčte pretpostavlee parcale redove posmatrae reace su: Parc. redov zraz za rzu reace: po, po B, r C ) ( Teorsa edača: l t X po, po B ( r C C X B ) 3 l M CB t, M ( M 3) C X C a) Na osovu espermetalh podataa grafčog rteruma odarat parcale redove reace, odoso adevata zraz za rzu reace. ) Za oa modela zračuat z espermetalh podataa ostatu rze reace potvrdt zor u a) poređeem valteta ftovaa. Rešee: a) e prmećue se razla zmeđu modela ). (model, s.9-4 ),.84 (model, s.5-3 ).4 U STM postupu su meree temperature t do oe predestlše zaprems udeo ee afte : :

24 t, C : 7 85 potreo e z espermetalh podataa, learom MNK zračuat parametre u emprso edač: β t t p T α[ l( ) ], gde e T t t t p - temperatura početa destlace t - temperatura raa destlace Rešee: Za temperature početa ( ) raa destlace ( ) usvoee su procee sa grafa (t p 65 C, t p 9 C) doee su vredost parametara: α. 39, β.96 p.5 Dat su zmere parcal prtsc p (atm) odgovarauće olče hesaa c(mol/g), adsorovae po g sla gela a ormalom prtsu temperatur 7 C. Potreo e metodom amah vadrata odredt parametre a u emprso formul (Lagmrova zoterma): ap c + p p, atm c 5, mol/g a) Poazat da se uvođeem ove zavso promelve: trasformsat u evvaletu, learu po parametrma. ) Odredt tražee parametre leraom MNK. Rešee : ) a , 85., polaza formula može p.6 Polazec od reacoe smeše oa sadrž samo reatate B u ocetracama, 3 C CB. mol m, određvae su olče doeog prozvoda C po edc zapreme (, mol/m 3 ) u povrato reac, + B C () odgovarauće rze reace (mol/m 3 h) : : : a) Potreo e provert pretpostavu da e zavsost rze posmatrae hem. reace od olče doeog produta: ( ) ( C ) () (gde su epozate ostate rza drete suprote reace), pogodom smeom promelvh, oa zavsost () prevod u pravolsu. 67

25 ) Polazeć od learzovae formule Y (X), gde su X Y ove promelve, metodom amah vadrata procet ostate zračuat odgovarauć sred vadrat odstupaa račush espermetalh vredost rze reace,. c) Odredt ostate u () metodom amah vadrata, polazeć od orgalh podataa (,), uporedt sred vadrat odstupaa sa om doem u ) orazložt hov odos. Rešee: a) podelt levu desu strau edače sa (C - ) ).5,.3, s.3 c).5,.9, s.37.7 Polazec od reacoe smeše oa sadrž supstace B u ocetracama, 3 3 C.8mol m, CB.5 mol m, meree su ocetrace supstace (mol/m 3 ) u tou vremea t (m) zvođea povrate reace, B rad određvaa ostat rze drete suprote reace : t: 3 5 C : Podac poazuu da e ao m postguta reacoa ravoteža ( sastav reacoe smeše se vše e mea u tou vremea) da e ravoteža ocetraca supstace : 3 C e.5 mol m. Pozato e da su dreta suprota reaca elemetare, t. prvog reda, pa e rza promee ocetrace supstace data dferecalom edačom: dc dt C CB, C () C čom tegracom se doa sledeća edača oa opsue promeu ocetrace reatata u tou vremea : e C C l e + C C ( ) t () a) Polazeć od () relace za ravotežu ostatu K : e CB + C C K () C e pomoću metode amah vadrata odredt ostate ( m - ) ( m - ) ) Formulsat elearu edaču čm se rešavaem, z dath espermetalh podataa, metodom amah vadrata, zračuava parametar a + u fuc C (t) doeo z (). c) Izračuat parametar a z ) rešavaem doee edače pomoću fuce root. d) Izračuat parametar a z ) pomoću fuce geft. Rešee: a).74,.5 e e at ) C C + ( C C) e c) a.5 68

26 d) a.5.8 Podac za reacu slea sa romom a 7 C su dat u tael. Materal las šaržog reatora e: dcbr CBr () dt gde e C ocetraca roma u mol/dm 3, e ostata rze e red reace. Br a) Odredt dc Br dt za sve vredost t u tael dferecraem uog splaa (sa fucom csple) ) Odredt z learom MNK c) Odredt elearom MNK upored valtet ftovaa sa om o e ostvare learom MNK. Vreme t (m) Kocetraca Br (mol/dm 3 ) Vreme t (m) Kocetraca Br (mol/dm 3 ) Rešee: ).95,.55, s.9-4 c).94,.55, s Potreo e podate o specfčm toplotama T(K) c p ftovat polomom stepea m, orsteć fucu lft a) Odredt oefcete u polomu 3. stepea, P 3 (T). ) Odarat optmala stepe poloma m z uslova da e za ta polom srede vadrato odstupae emprse formule od espermetalh podataa: s mmalo e ( m + ) [ P ( )] m ( m + ) c) Poovt ) orsteć fuce regress terp Rešee: a)

27 ) polom 8-og stepaa (prolaz roz sve tače) pa će odstupae espermetalh od teorsh vredost t edao.. Dat su apo para oaa: t, C p, mmhg t, C p, mmhg Potreo e date podate ftovat toaovom edačom za apo pare: B l p, C + T T u stepema K a) Poazat da se toaova edača može prevest u evvaleta ol, leara po parametrma: gde e: l p l p a+ + c T T a, C B, c C (Pomoć: pomožt polazu edaču sa (C+T)...) ) Korsteć learu multvaralu (vše ezavso promelvh) MNK z dath podataa odredt parametre, B C rešavaem odgovaraućeg sstema ormalh edača. c) Learom multvaralom MNK odredt parametre, B C, orsteć fucu merr. d) Korsteć fucu geft, polazeć od vredost parametra doeh u ) c), odredt popravlee vredost parametara. Rešee: ) 5.97, B 3.9 3, C c) sto ao pod ) d) 5.97, B 3.9 3, C Potreo e apoe para oaa (prethod prolem) ftovat Harlaherovom edačom za apo pare oa e mplcta po p: B p l p + + C l( T ) + D, T u stepema K. T T a) Korsteć pogodu smeu zavso promelve, zračuat learom edovaralom MNK parametre, B C, ao se za parametar D uzme vredost z lterature, D ) Izračuat sva četr parametra learom multvaralom MNK rešavaem odgovaraućeg sstema ormalh edača. c) Odredt parametre learom multvaralom MNK orsteć fucu merr. 7

28 d) Polazeć od rezultata doeh u ) c) odredt tražee parametre pomoću eleare multvaraule MNK. e) Uporedt srede vadrata odstupaa formula doeh u a), c) d) Rešee: a) 74., B -8 3, C -8 ) 83., B , C -9.35, D 9. c) sto ao pod ) d) 76.4, B -8. 3, C -8.38, D 3. e) s a.7, s,c., s d 9-4. Merea e početa rza reace (-r ) za reacu u gaso faz: P (torr) P B (torr) -r (torr/s) Odredt parametre u emprso formul: a β r P PB Rešee: leara MNK: 6.5-3, α.49, β.5, eleara MNK: 6.4-3, α.49, β.5, 7

, i= 0,1,2,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate =, odnosno uređena tabela: i n x. R n (x)

, i= 0,1,2,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate =, odnosno uređena tabela: i n x. R n (x) Iterpolaca Zadata terpolace Nea su u tačama vredost ee uce,,,, Treba ać polom P,,,,,..., oe su poređae u rastućem redosledu zadate, odoso uređea tabela:,...... P a a a... a o aprosmra ucu P a tervalu [,

Διαβάστε περισσότερα

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi T E S T 3 u 6 Ime prezme de :. Potrebo e tovat espermetale podate:.... a Rad grače provere adevatost edostave emprse ormule a potrebo e ucrtat orgale l trasormsae esp. podate u dagram. Pogoda zbor dagrama

Διαβάστε περισσότερα

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina 77 8 Numerčo rešavae sstema elearh edača Zadata Čest problem u žeersm proračuma e alažee rešea eog sstema elearh edača:......... 8. odoso alažee vredost epozath... tao da bude zadovoleo uslova 8. l u vetorso

Διαβάστε περισσότερα

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (

Διαβάστε περισσότερα

Parcijalne molarne veličine

Parcijalne molarne veličine arcale molare velče 2.5.5. Hemsk potecal 2.5.6. 2.5.6.2. arcale molare velče. Ukolko e kolča supstace u sstemu promelva zbog razmee matere zmeđu sstema okole zbog reverzble hemske reakce l reverzble razmee

Διαβάστε περισσότερα

Da se podsetimo Algoritam optimizacije. Odrediti vrednosti parametara kola koje će garantovati da odziv F(x, p) ima željenu vrednost F * (x).

Da se podsetimo Algoritam optimizacije. Odrediti vrednosti parametara kola koje će garantovati da odziv F(x, p) ima željenu vrednost F * (x). Aotam otmzac Da s odstmo Aotam otmzac Aotam otmzac Aotam otmzac : Oddt vdost aamtaa oa [,... ] o ć aatovat da odzv (x, ma žu vdost * (x. Mtod: až mmuma fuc š E(x,; (oma za vattatvu ocu odstuaa dobo od

Διαβάστε περισσότερα

Metoda najmanjih kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak C Numeričko rešavanje jednačina

Dodatak C Numeričko rešavanje jednačina Dodata Numerčo rešavaje jedača. Numerčo rešavaje jede jedače U hemjso žejersm proračuma se često susrećemo sa problemom rešavaja ee jedače. po epozatoj, pr čemu je moguće aaltčo rešavaje. Fucja čju ulu

Διαβάστε περισσότερα

Numeričko rešavanje običnih diferencijalnih jednačina

Numeričko rešavanje običnih diferencijalnih jednačina 9 Numerčo rešavaje obč dferecjal jedača 9. UVOD Matematč model velog broja procesa u emjsom žejerstvu maju formu dferecjal jedača. Obča dferecjala jedača ODJ je jedača u ojoj u opštem slučaju fguršu: ezavso

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

10.1. Bit Error Rate Test

10.1. Bit Error Rate Test .. Bt Error Rat Tst.. Bt Error Rat Tst Zadata. Izračuat otrba broj rth formacoh bta u BER tstu za,, ogršo dttovaa bta a rjmu, tao da s u sstmu sa brzoom sgalzacj od Mbs mož tvrdt da j vrovatoća grš rosa

Διαβάστε περισσότερα

DODATAK C Numeričko rešavanje jednačina

DODATAK C Numeričko rešavanje jednačina OT Numerčo rešavaje jedača. Numerčo rešavaje jede jedače U žejersm proračuma se često susrećemo sa problemom rešavaja ee jedače po epozatoj odoso alažeja ule ucje pr čemu je moguće aaltčo rešavaje. Geometrjs

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam

Polarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE

AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE E Aksomatka teorje verovatoće Polaz se od osovh stavova, tzv. aksoma, a osovu kojh se sve ostale osobe mogu dokazat. Za posmatra prostor el. shoda aksomatzacja daje odgovore

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad -

RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad - UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATICKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM SKORING SISTEMU - master rad - Profesor: dr. Zoraa Luža Autor: Jelea Burgjašev

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 4. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekonometrja 4 Ekonometrja, Osnovne studje Predavač: Aleksandra Nojkovć Struktura predavanja Nelnearne zavsnost Prmene u ekonomskoj analz Prmer nelnearne zavsnost Isptujemo zavsnost zmeđu potrošnje dohotka.

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

REGRESIJSKA ANALIZA. U razvoju regresijske analize najznačajniju ulogu su imali: Carl Friedrich Gauss ( ) Francis Galton (

REGRESIJSKA ANALIZA. U razvoju regresijske analize najznačajniju ulogu su imali: Carl Friedrich Gauss ( ) Francis Galton ( SEMINAR U razvoju regresjske aalze ajzačajju ulogu su mal: Carl Fredrch Gauss (822 9) Fracs Galto (822 9) Karl Pearso (857 936) George Udy Yule (87 95) SEMINAR Regresjska aalza je matematčko-statstčk postupak

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA Profesor: Zorca Stamrovć Asstet: Mara Ivaovć Izbor predmet: 5 goda, smerov: R I (master) Semestar: zmsk, 010 Lteratura: kga Kombatora optmzaca, autor Dragoš Cvetkovć,

Διαβάστε περισσότερα

Jeux d inondation dans les graphes

Jeux d inondation dans les graphes Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Trgnmetrjsk blk kmpleksng brja Da se pdsetm: Kmpleksn brj je blka je realn de, je magnarn de kmpleksng brja, - je magnarna jednca, ( Dva kmpleksna brja su jednaka ak je Za brj _ je knjugvan kmpleksan brj.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke Prakkm Maemaka III Prredo DJočć smen br : Raz Forero red nkc eroda dan ormom za < za < : Izračna ds gde e k araboe od shodša o očke M : Izračna koordnae ežsa homogenog ka ckode a sn a ; : Izračna I e [

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Klasični linearni regresioni model (KLRM)

Klasični linearni regresioni model (KLRM) Profesor Zorca Mladeovć Klasč lear regreso model (KLRM) Zorca Mladeovć Ključe teme Postavka pretpostavke KLRM Svojstva ocea parametara u KLRM Elemet statstčkog zaključvaja u KLRM Predvđaje u KLRM Ekoomsk

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n 4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0}

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković

Ekonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković Ekoometja 5 Ekoometja, Osove studje Pedavač: Aleksada Nojkovć Stuktua pedavaja Klasč dvostuk (všestuk) lea egeso model - metod ONK. Petpostavke všestukog KLM. Koelacja u všestukom KLM. Oča kogova. Dvostuk

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA PREDAVANJE

UNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA PREDAVANJE UNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA - - 4. PREDAVANJE - Dr Darko Mhajlov, doc. 1. ČAS Sredšte (cetar) sstema paralelh sla; Težšte krutog tela;

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΟΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: 1. Τι είναι ατομικό και τί μοριακό βάρος; Ατομικό βάρος είναι ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η μάζα του ατόμου από το 1/12 της

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA

JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Uverztet u Beogradu Elektrotehčk akultet Master rad JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Metor: Dr. Brako Maleševć, doc. Studet: Boa Baac Br. deksa: 00/5 Beograd, septembar 0 Sadrža

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * / ) ",. #

!  #  $ #% $ ! #&'() ' ( * / ) ,. # Ψ ƒ! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * +",-.'!( / ) ",. # 0# $"!"#$%# Ψ 12/345 6),78 94. ƒ 9)")1$/):0;3;::9 >'= ( ? 9 @ '&( % A! &*?9 '( B+)C*%++ &*%++C 0 4 3'+C( D'+C(%E $B B - " % B

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Linearna korelacija. Vrijedi: (1) 1 r 1

Linearna korelacija. Vrijedi: (1) 1 r 1 Leara korelacja Korelacja je mjera leare zavsost dvju serja podataka 1,,..., 1,,...,. Drugm rječma, ako su točke 1, 1,,,..., gruprae oko regresjskog pravca, oda govormo da su podatc korelra learo korelra.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Dvostrukom integracijom jedna~ine c) dobiva se: M (6.38)

Dvostrukom integracijom jedna~ine c) dobiva se: M (6.38) Stata ostrca I Prora~ pomeraa 63 Deformacoa la {tapa Deformacoa la {tapa predstavla dmeze obl {tapa ao deformace Uolo aalzramo delovae popre~og optere}ea a prav {tap rav, {tap mea samo obl La oom se praze

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Iterativne metode - vježbe

Iterativne metode - vježbe Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle

Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Vers un assistant à la preuve en langue naturelle Thévenon Patrick To cite this version: Thévenon Patrick. Vers un assistant à la preuve en langue naturelle. Autre [cs.oh]. Université de Savoie, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

HONDA. Έτος κατασκευής

HONDA. Έτος κατασκευής Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes. Diego Torres Machado To cite this version: Diego Torres Machado. Radio

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2009/10)

ITU-R P (2009/10) ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R

Διαβάστε περισσότερα

T r. T n. Naponi na bokovima zubaca

T r. T n. Naponi na bokovima zubaca Napoi a bokovima zubaca U treutoj tački dodira spregutih profila zubaca dejstvuje ormala sila i to u pravcu dodirice profila. Na mestima dodira spregutih zubaca astaju lokale elastiče deformacije, tako

Διαβάστε περισσότερα

KOPOLIMERIZACIJA. UGRADNJA VIŠE RAZLIČITIH MONOMERA u istu makromolekulu Je li stupnjevita polimerizacija tipa A 2. kopolimerizacija?

KOPOLIMERIZACIJA. UGRADNJA VIŠE RAZLIČITIH MONOMERA u istu makromolekulu Je li stupnjevita polimerizacija tipa A 2. kopolimerizacija? KOPOLIERIZIJ UGRDNJ VIŠE RZLIČITIH ONOER u stu maomoleulu Je l stunevta olmezaca ta oolmezaca? ltenauć (zmenčn) oolme KOPOLIERIZIJ POLIURETNI Stunevta oolmezaca: ugadna vše azlčth monomea ste unconalnost

Διαβάστε περισσότερα

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016

Διαβάστε περισσότερα

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4

Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ι Ε Θ Ν Ε Σ Ρ Ο Τ Α Ρ Υ Π Ε Ρ Ι Φ Ε Ρ Ε Ι Α 2 4 8 4 Ε Π Ι Σ Τ Ο Λ Η Δ Ι Ο Ι Κ Η Τ Η Α Υ Γ Ο Υ Σ Τ Ο Σ Μ η ν ι α ί α Ε π ι σ τ ο λ ή ι ο ι κ η τ ή 1 Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Σ ε λ ί δ ε ς Τ ο μ ή ν υ μ α τ

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα