Ratomir Paunović i Radovan Omorjan, Tehnološki fakultet u Novom Sadu

Transcript

1 PREDGOVOR Ova kjga predstavlja uvod u statstku amejea je pre svega studetma prmejeh tehčkh auka, kao žejerma. Psal smo je sa cljem da pomogemo zateresovaom čtaocu da razume pravlo korst osove statstčke metode pr doošeju zaključaka a osovu rapoložvh ekspermetalh podataka, kao da mu pružmo dobru osovu za dalje prošrvaje zaja u oblast prmejee statstke. Pr tom smo astojal da teorjska zlagaja budu oolko stroga kolko je, shodo postavljeom clju, eophodo, al sa mmalm matematčkm aparatom, kojm se ače ovladava u okvru osovh kurseva vše matematke a tehčkm fakultetma. Dat je zata broj prmera, kao zadataka za samostalo rešavaje, rad provere zaja. Osov pojmov teorje verovatoće, eophod za zučavaje statstke dat su u prve tr glave. Prva glava je osmšljea tako da čtaoca upoza sa osovm dejama teorje verovatoće postupcma zračuavaja verovatoća slučajh događaja. Kroz prmere su zložee osove deje prmee teorje verovatoće pr aalz pouzdaost tehčkh sstema. Predmet druge glave su slučaje velče model jedodmezoalh raspodela verovatoća, ajčešće koršće u praks kao u zvođejma ketčke teorje statstčke fzke ca cljem da zateresavaom čtaocu pomoge u razumevaju ovh zvođeja. Bvarjable raspodele verovatoće su zložee u trećoj glav, da b se obezbedla eophoda osova za dublje razumevaje statstčke aalze međuzavsost slučajh promeljvh. U četvrtoj glav su ukratko zlože osov zadac statstke, ukjučujuć elemete opse deskrptve statstke teorje ocejvaja sredje vredost dsperzje tačkaste ocee kao ajvažjh parametara eke slučaje promeljve. Itervale ocee th parametara su objašjee dskutovae u šestoj glav. Peta glava je posvećea statstčkoj aalz grešaka eposredh posredh mereja u fzc, hemj tehc, koja je ajčešće predmet posebh udžbeka prručka. Defsa su osov pojmov kao što su vrste grešaka pr mereju, poovljvost preczost mere metode td. zlože postupc dobjaja reprezetatvog rezultata eposredh poovljeh mereja jegove greške. Koačo, objašje je postupak procejvaja grešaka posredh mereja. Testraje statstčkh hpoteza kao metod objektvog zaključvaja a osovu raspoložvh ekspermetalh podataka, predmet je sedme glave. Učje je apor da se čtaocu što bolje objase osov pojmov deje, formulsaje statstčka osova testa, ezbež rzc jhovo procejvaje. Dat je skroma zbor, ajčešće koršćeh, parametarskh testova, osmšlje ustvar kao prkaz zložeh prcpa metodologje testraja. Od eparametarskh testova dat je čuve Prsoov test saglasost, kao za ekspermetatore vrlo korsta, krterjum odbacvaja sumjvh mereja. Isptvaje začajost leare međuzavsost dve slučaje promeljve korelacoa aalza zložeo je u osmoj, a formulsaje statstčka aalza learh emprjskh zavsost devetoj glav.

2 U posledjoj desetoj glav zložee su osove statstčke kotrole kvalteta sa aglaskom a obrazlagaju postupaka kotrole, a osovu prcpa metoda zložeh u četvrtoj, šestoj sedmoj glav. Smatramo da b se u okvru jedosemestralog kursa statstke, sa ukupm edeljm fodom od 4 časa, mogao obradt zlože materjal, zuzmajuć treću, petu desetu glavu. Mada, s obzrom a postavlje glav clj, smo uključl prmeu statstčkog softvera, pretpostavljamo da se pr realzacj kursa svakako korst softverska podrška Ecel, Mathcad l ek od velkog broja statstčkh paketa, da b se studet rastereto mukotrph za razumevaje evažh račuaja. Dugujemo velku zahvalost recezetma Prof. dr Dušak Peršč, Prof. dr Dragoslavu Stoljkovću Prof. dr Zvomru Suturovću kao kolegama mr Mrja Brdar dr Aleksadru Takaču a veoma korsm predlozma u toku uoblčavaja ovog materjala. Ratomr Pauovć Radova Omorja, Tehološk fakultet u Novom Sadu

3 Elemet teorje verovatoće Teorja verovatoće proučava zakotost koje važe za slučaje pojave slučaje ekspermete, tj. pojave čj se tok e može sa sgurošću predvdet, odoso ekspermete čj se rezultat e mogu sa sgurošću predvdet. Razlka zmeđu pojave ekspermeta je ta što pojavu samo pratmo dok ekspermet zvodmo. Prmer slučajh pojava su: kretaje temperature vazduha u ekom mestu tokom vremea, pojava espravh prozvoda u procesu prozvodje, promea sastava prrodh srova, td. Prmer slučajh ekspermeata su: bacaje kocke l ovčća, ekspermet koje zvodmo u laboratorjama rad proučavaja ekh slučajh pojava u hemjsko-tehološkm procesma. Pod slučajm ekspermetom l optom u teorj verovatoće podrazumeva se ekspermet koj se može eograče broj puta obavt pod stm uslovma, al čj shod se e može sa sgurošću predvdet. Rezultate shode takvog ekspermeta zvaćemo slučajm događajma. Uzmmo populara prmer slučajog ekspermeta: bacaje kocke sa brojevma 6. Nek slučaj događaj koj mogu astupt u tom slučajom ekspermetu su recmo: dobjaje parog broja, pojavljvaje broja majeg od 5, dobjaje šestce. Prva dva događaja u datom prmeru se mogu ostvart a vše ača. Tako se prv realzuje ako je rezultat bacaja, 4 l 6, dok se drug realzuje ako je rezultat,,3 l 4.,4,6, dok drugom možemo da dodelmo skup Dakle, prvom događaju odgovara skup { } {,,3,4}. Za razlku od prva dva događaja, treć se može ostvart samo a jeda ač zato ga zovemo elemetara događaj odgovara mu jedočla skup { 6 }. Prva dva događaja možemo zvat složem. Složeom događaju odgovaraju všečla skupov

4 čj su elemet pojed elemetar događaj, čje astupaje povlač l uključuje ostvarvaje datog složeog događaja. Uopšte, ako ek događaj elemetara l slože povlač realzacju ekog drugog događaja, zač da je skup elemetarh shoda, koj odgovara prvom događaju, podskup skupa elemetarh shoda za drug događaj. Na prmer, događaj da se bacajem kocke dobje l 3, kome odgovara skup {,3}, povlač ostvarvaje događaja da se bacajem kocke dobja epara rezultat, kome odgovara skup {,3,5}. Veza zmeđu skupova je: {,3} {,3,5 }.. KLASIČNA DEFINICIJA VEROVATNOĆE Skup svh mogućh elemetarh događaja za ek ekspermet zvaćemo prostor elemetarh događaja. Klasča defcja verovatoće je prmeljva a slučaje ekspermete kod kojh je prostor elemetarh događaja koača, tj. sadrž elemetarh događaja pr tome svak od jh ma jedaku mogućost da astup. Tpč prmer su bacaje kocke l ovčća bez kakvh trkova sa cljem dobjaja željeog rezultata. Zamslmo dakle ek ekspermet kod koga je podjedako moguće astupaje blo kog od ukupo elemetarh događaja. Verovatoća astupaja ekog događaja A jedaka je kolčku broja povoljh shoda, m, tj. broja elemetarh događaja koj povlače ostvareje događaja A, broja svh mogućh shoda. m P A. Prmer a Kolka je verovatoća dobjaja parog broja pr bacaju kocke? Rešeje Elemetar događaj koj povlače astupaje posmatraog složeog događaja, A su dobjaje, 4 l 6 ma h 3, m 3.Ukupa broj svh elemetarh događaja je ovde 6, 6. Prema formul: 3 P A 6 Prmer b Slučaj ekspermet se sastoj u zvlačeju jede od kuglca z kese koja sadrž 64 kuglce, od toga: 8 crveh 5 belh 4 cre 7 aradžasth Kolka je verovatoća događaja A - zvlačeje crvee kuglce?

5 Rešeje Broj povoljh događaja, zvlačeja blo koje crvee kuglce, jedak je broju crveh kuglca, m 8. Ukupa broj mogućh shoda je 64: 8 P A 64 8 Vdmo da događajma koj se češće javljaju kao shod ekspermeta prpada veća verovatoća. Tako, verovatoću ekog događaja možemo da posmatramo kao meru mogućost da taj događaj astup. Iz samog začeja bojeva m sled da je m, što kao posledcu ma: P A Ako je ek događaj emoguć, odgovara mu praza skup elemetarh događaja tj. mamo m jegova verovatoća mogućost da astup, jedaka je ul: PΦ, gde smo sa Φ ozačl emoguć događaj. Naprotv, ako svak od mogućh shoda povlač ostvareje ekog događaja, kažemo da je o sgura događaj, E pošto je m, jegova verovatoća je jedaka jedc: PE. Da b se račuala verovatoća po klasčoj defcj., u složejm slučajevma, eophodo je pozavaje kombatorke.. PERMUTACIJE, KOMBINACIJE I VARIJACIJE Kombatorka se bav problemom zdvajaja podskupova z koačh skupova rasporedom elemeata u jma. Varjacje bez poavljaja Neka je dat skup A {a, a,..., a } od elemeata. Varjacja k - te klase bez poavljaja od elemeata je uređe podskup, odoso z od k k razlčth elemeata skupa A. Dakle, dve varjacje pošto predstavljaju zove od k elemeata, se međusobo razlkuju, po elemetma koje sadrže ako je k < l po jhovom redosledu. Prmer. Od cfara,, 3 4 obrazovat sve trocfree brojeve sa razlčtm cframa. Rešeje Skup A je {,,3,4}. Traže brojev, pošto se razlkuju među sobom l po cframa l po rasporedu sth cfara, predstavljaju varjacje treće klase od 4 elemeta: 3

6 Imamo 4 razlčta zbora za prvu cfru,, 3, 4. Za odabrau prvu cfru mamo 3 mogućost za zbor druge je dozvoljeo poavljaje cfara, a za svak od zbora prve druge cfre, kojh očgledo ukupo ma 4 3, preostaju dva zbora za posledju cfru. Dakle, ukupa broj trocfreh brojeva je Uopšte, može se dokazat da je broj varjacja klase k od elemeata jedak: V k!... k + k +. k! Permutacje bez poavljaja Svak moguć raspored od razlčth elemeata azvamo permutacjom. Dakle, permutacja ustvar predstavlja varjacju -te klase. Tako z., za k, dobjamo broj permutacja bez poavljaja elemeata: Prmer.3 Obrazovat sve permutacje elemeata,, 3. Rešeje P!.3 Tr elemeta je moguće poređat a 3! 6 razlčth ača. Th 6 permutacja su: 3, 3, 3, 3, 3, 3 Kombacje Svak podskup od k k razlčth elemeata skupa A {a, a,..., a } azvamo kombacja klase k od elemeata. Dakle, kao podskupov a e zov dve kombacje se razlkuju po zboru elemeata koje sadrže, dok jhov redosled je bta. Pošto od svake kombacje možemo da obrazujemo, promeom redosleda, odoso permutovajem elemeata, k! razlčth varjacja Jed..3, to je u skladu sa., broj kombacja k-te klase od elemeata: C k Vk k!! k! k! k.4 4

7 Prmer.4 U skupu od 5 prozvoda alaz se 4 dobrh espravh. Na kolko ača se može obrazovat uzorak od 5 prozvoda, al tako da u jemu budu 3 dobra esprava loša prozvoda? Rešeje Pošto za uzorak je bta poredak elemeata već samo jegov sadržaj, u ptaju su kombacje. Tr od ukupo 4 dobrh prozvoda, moguće je odabrat a C ača. C 4 4! !37! Dva od lošh elemeata moguće je uzet a C! 9! 8! 45 C ača: Pr obrazovaju uzorka od 5 elemeata 3 dobra loša, svak podskup od 3 dobra elemeta moguće je kombovat sa svakm od podskupova defekth, pa je ukupa broj tražeh uzoraka: C C Varjacje permutacje sa poavljajem Mogu se posmatrat zov od k elemeata, uzet z skupa A {a, a,..., a }, kod kojh člaov e moraju bt obavezo razlčt. Tada se rad o varjacjama l permutacjama sa poavljajem. Na prmer, varjacje klase od 4 elemeta {,, 3, 4} sa poavljajem su: ma h ukupo 4 6. Broj varjacja sa poavljajem klase k o elemeata jedak je: Ako sa P k, k,..., k k V k.5 ozačmo broj svh permutacja sa poavljajem elemeata skupa A kod kojh se elemet a poavlja k puta, a, k puta,, a, k puta, tada je: k+ k k! Pk, k,..., k.6 k! k! k! 5

8 Brojlac b, prema formul.3, bo broj permutacja kada b zamsll da se sv elemet a razlkuju među sobom, kao elemet a,..., a. S druge strae, od svake permutacje, u kojoj se ek elemet a poavlja k puta, može se apravt tačo k! permutacja, ako b zamsll da se elemet a razlkuju. Tako, polazeć od.3, zvodmo gorju formulu. Prmer.5 Kolko ma permutacja za: aabbb? Rešeje 5 5! Ovde je k, k 3, k +k 5 pa je odgovor: P,3!3! To su: aabbb baabb bbaab bbbaa ababb babab bbaba abbab babba abbba Prmetmo, da duć po vrstama, svak ared raspored je dobje cklčm permutovajem prethodog, sa pomerajem elemeata u deso. Iduć po koloama, svaka areda permutacja je od prethode dobjea zameom mesta dva suseda elemeta..3 PRIMERI RAČUNANJA VEROVATNOĆA Prmer.6 Isporučoc garatuje da u pošljc od 3 jegovh prozvoda ema vše od 3 espravh. Ako pretpostavmo da se u pošljc alaz tačo 3 espravh prozvoda, kolka je verovatoća događaja A da se u uzorku od 4 komada ađu 3 loša? Rešeje Broj svh mogućh shoda u posmatraom slučajom ekspermetu jedak je broju ača a koj je moguće od 3 prozvoda uzet uzorak od 4 komada: 3 3 3! C !96! 4 Broj povoljh shoda m, dobjamo a sledeć ač. Tr od ukupo 3 espravh komada moguće je uzet a C ača, a jeda dobar od ukupo 7 7, kolko h ma u pošljc, a C ača. Pošto se svak zbor od tr loša može kombovat sa svakm zborom od jedog dobrog, ukupa broj mogućost, tj. broj povoljh shoda za posmatra događaj je: m C3 C Tako je tražea verovatoća događaja A: 3 3 m P A

9 Prmer.7 Bacaju se dve kocke za gru. Nać verovatoću događaja A da zbr brojeva koj padu bude jedak 7? Rešeje Rezultat bacaja dve kocke je uređe par, j. Povolj shod su:, 6, 6,,, 5, 5,, 3, 4, 4, 3. Dakle, m 6. Ukupa broj mogućh shoda predstavlja, očgledo, broj varjacja druge klase sa 6 elemeata dva elemeta se uzmaju z skupa {,, 3, 4, 5, 6} to sa poavljajem: V 6 6 m P A 6 Prmer.8 U kutj je a belh b crh kuglca. Nać verovatoću da će obe zvučee kuglce bt bele boje ako se, Rešeje a A - zvlače odjedom dve kuglce, l jeda pa druga, al bez vraćaja prve u kutju; b B - zvuče prva, vrat u kutju, a oda zvuče druga. a Ukupa broj mogućost se može dobt kao broj varjacja druge klase od ukupo a + b elemeata: a + ba + b - Oda će broj povoljh mogućost bt broj varjacja druge klase od a elemeata: m aa - a a P A a + b a + b Pošto ovde redosled elemeata je bta, problem b mogl da rešmo pomoću kombacja: a + b / a + b a + b a m a a / b Zbog vraćaja prve zvučee kuglce u kutju oa može bt dvaput zvučea, pa su u ptaju varjacje druge klase od a + b elemeata, sa poavljajem: a + b Razmšljajuć a st ač, m a, pa je: a P B a+ b 7

10 Prmer.9 Iz špla od 3 karte se a slučaja ač zvlače jeda za drugom 4 karte. Kolka je verovatoća događaja A - da su sve karte ste boje događaja B - da su sve karte razlčte boje, ako se zvlačeje obavlja: Rešeje a sa vraćajem, b bez vraćaja zvučee karte a Broj mogućh shoda zvlačeja je 3 4 V 4 3. Svaka od 4 boje se u šplu javlja 8 puta, pa je broj povoljh shoda za događaj A jedak 4 broj mogućh ača da se od 8 karata zvuku 4, sa poavljajem: m 4 V P A Broj povoljh shoda za događaj B jedak je broj povoljh mogućost ako se utvrd redosled boja broj mogućh redosleda četr boje. Broj povoljh mogućost za utvrđe redosled boja, pošto u svakoj boj ma po 8 karata je: V 4 Broj mogućh redosleda četr boje je jedak P 4, pa je: m V 8 4 P 4 8 4! 4 8 4! P B b Sada su, zbog uslova da se karte ako zvlačeja e vraćaju u špl, u ptaju varjacje klase 4 bez poavljaja: 3 V 4 Za događaj A, 8 m 4 V 4 4V P A V Za događaj B, broj povoljh mogućost je jedak kao u a: m 8 4 4! 4 8 4! P B Kako u ovom slučaju redosled karata pr zvlačeju je bta, problem b se mogao rešt pomoću kombacja, odoso: 8

11 C4 4! m 4 C4 4!.4 STATISTIČKA DEFINICIJA VEROVATNOĆE Kod mogh slučajh pojava l ekspermeata je moguće uapred apror, pomoću klasče defcje. odredt verovatoću ekog događaja. Na prmer, u ekom tehološkom procesu e može se teorjsk, tj. uapred odredt verovatoća pojave škarta. Posmatrajmo sada pozat ekspermet bacaja kocke. Formula. za verovatoću događaja A da se pr bacaju kocke pojav, recmo, broj 6 daje: m P A To zač, da ako bacamo kocku puta, možemo da očekujemo da ćemo šestcu dobt prblžo m /6 puta. Na prmer, u 6 bacaja očekujemo da ćemo šestcu dobt oko puta. Broj ostvarvaja ekog događaja m u poovljeh ekspermeata zvaćemo apsoluta učestalost l frekveca događaja. U posmatraom prmeru, u poovljeh ekspermeata, očekvaa frekveca dobjaja šestce jedaka je /6. Isto tako, ako zamslmo da smo ekako došl do verovatoće pojave espravog prozvoda p, u ekoj serjskoj prozvodj, recmo p., tada u uzorku od komada možemo očekvat espravh, al stvaro taj broj može bt 8, 9,, td., dakle ek broj oko broja. Dakle, očekvaa učestalost pojave škarta u uzorku od komada je m. Kolčk učestalost m broja poavljaja ekspermeta, azva se relatva učestalost frekveca događaja A: ω A Možemo očekvat da će relatva učestalost dobjaja šestce pr bacaju kocke bt prblžo /6, odoso ωa PA. Naravo, u ekh bacaja kocke ω će mat jedu vredost, a u aredh bacaja eku drugu vredost. Oo što skustvo pokazuje je da ako je dovoljo velko, relatve učestalost ekog događaja u razlčtm serjama od po zvođeja ekspermeata malo se razlkuju među sobom. Šta vše, kada raste, frekvece ostvaree u pojedm serjama se sve maje među sobom razlkuju. Tako, ako b kocku bacal 6, 6, 6 puta, mogl b dobt sledeće učestalost pojavljvaja šestce: odoso relatve učestalost: m 5, 983, 5, 5.75,.64,.7,.68 9

12 Prmećujemo da se relatva učestalost prblžava teorjskoj verovatoć posmatraog događaja /6.68 kada se uvećava. Svojstvo relatvh frekvec slučajog događaja da se grupšu oko ekog broja kada se broj poavljaja slučajh ekspermeata eogračeo povećava, u skladu je sa tzv. zakoom velkh brojeva, omogućuje da se verovatoća slučajog događaja defše preko relatvh frekvec, buduć da je broj oko koga se relatve frekvece grupšu upravo jedak verovatoć: m P A velko.7 Daćemo, bez dokaza, Beruljev Berull zako velkh brojeva, a kome se zasva formula.7 za određvaje verovatoće događaja ako realzacje ekspermeata aposteror. Kada, relatva učestalost događaja A, ω A m / tež po verovatoć stvaroj verovatoć događaja: za prozvoljo mal broj ε. U kraćoj otacj: m lm P P A < ε.8 m verov. ω A P A.8a Zač da će za dovoljo velko, relatva učestalost gotovo sguro bt, dobra aproksmacja stvare verovatoće događaja PA. Prmer. U dužem vremeskom tervalu utvrđeo je da maša za automatsko pakovaje hrae daje % paketa spod propsae teže. Kotrolor je uzeo slučaja uzorak od 5 paketa. Odredt očekva broj espravh paketa. Rešeje Podatak. % predstavlja relatvu frekvecu pojave defektog paketa A u skladu sa.7 usvojćemo ga kao proceu verovatoće pojave defektog paketa: PA ωa. Očekva broj defekth paketa u 5 komada bće jedak apsolutoj frekvec: m ω A 5..5 ALGEBRA DOGAĐAJA. VEROVATNOĆE SLOŽENIH DOGAĐAJA

13 Događaj u teorj verovatoće se kao što smo vdel defšu kao skupov elemetarh događaja. Tako se mogu defsat algebarske operacje sa događajma, aaloge operacjama sa skupovma zahvaljujuć tome defsat pravla za zračuavaje verovatoća složeh događaja. Suprot događaj Događaj koj se ostvaruje uvek oda kada se događaj A e ostvaruje, azva se suprotm za A, po aalogj sa skupovma, ozačava sa A. Na slc je prkaza pomoću Veovog djagrama, suprota događaj za prozvolja slučaja događaj A, gde E predstavlja prostor elemetarh događaja koj sadrž elemetarh događaja. A E A Slka l. Suprota događaj Iz defcje suprotog događaja sled: A A Kako je broj povoljh shoda suprotog događaja, m A jedak: z formule. se dobja, l m P A m A A P A A + P A P.9 Prmer suproth događaja su emoguć Φ sgura E događaj, Φ E. Prmer. Skup se sastoj z 7 dobrh 5 espravh prozvoda. Iz tog skupa uzmemo tr prozvoda. Kolka je verovatoća da Rešeje a sva tr uzeta prozvoda budu dobra, b bar jeda od jh bude esprava. a Problem možemo da rešmo pomoću kombacja je bta redosled elemeata.

14 C m C P A b Ako je bar jeda od jh esprava, zač da su sva tr prozvoda dobra je astupo događaj A, pa je u ptaju suprota događaj događaju A, čja je verovatoća, prema.9: P A P A. 84 Zbr prozvod događaja Zbrom događaja A B azvamo događaj koj se ostvaruje tačo oda kada se ostvar bar jeda od događaja A B, ozačavamo ga sa A+B. Skup elemetarh događaja koj odgovara zbru događaja A+B predstavlja uju skupa elemetarh događaja koj odgovara događaju A skupa koj odgovara događaju B Sl.. A B E Slka. Zbr događaja Na prmer, pr bacaju kocke, eka je A pojavljvaje parog broja, A {,4,6} pojavljvaje broja deljvog sa 3, B { 3,6} događaj, 3, 4, 6, dakle A + B {,3,4,6 }, a B. Događaju A+B prpadaju elemetar Ako slučaj događaj A B e mogu da astupe zajedo, tj. ako e postoj jeda elemetara događaj koj b povukao realzacju oba događaja, kažemo da se međusobo sključuju l da su esaglas, l da su espojv. Događaj A B z prethodog prmera su međusobo sključv jer pojava rezultata 6 zač stovremeo astupaje A B. Nesaglasm događajma odgovaraju stome dsjukt skupov Sl..3, pa se u lteratur sreće term dsjukt događaj.

15 B A E Slka.3. Nesaglas događaj Verovatoća zbra dva esaglasa događaja A B, tj. verovatoća da će se dogodt jeda l drug od jh, jedaka je u skladu sa.: Zasta, broj elemetarh događaja, m A B A+B jedak je: m A B m A + m B A B P A P B P koj povlače astupaje zbra događaja + broj elemeata uje dva dsjukta skupa deljejem sa brojem mogućh shoda, dobjamo formulu. Može se defsat zbr vše događaja: A,,, N esaglas, važ, N A A AN. Tada, ako su događaj N P A P A. Ako zbr esaglash događaja predstavlja sgura događaj, E A, kažemo da o če potpu sstem događaja. Tako, za potpu sstem događaja važ: P N E A P. Prmer potpuog sstema događaja je prostor elemetarh događaja. Drug prmer: događaj A jemu suprota događaj A. Prmer. Bacaju se dve kocke. Neka je događaj A da kocke pokažu brojeve čj je prozvod, a događaj B da pokažu brojeve čj je zbr 6. Odredt verovatoću astupaja događaja A+B. Rešeje Događaj A B sadrže sledeće elemetare događaje: A:, 6, 6,, 3, 4, 4, 3, ma 4 B:, 5, 5,, 3, 3,, 4, 4,, mb 5 Očgledo je da su skupov elemetarh događaja dsjukt, tj. da su A B 6 esaglas. Pošto je ukupa broj mogućh shoda za oba događaja, V 6, 4 5 P A, P B, P A+ B P A + P B

16 Za događaj čje se ostvarvaje sastoj u stovremeom astupaju događaja A B kažemo da predstavlja prozvod događaja A B ozačavamo ga sa AB. Prozvodu dva događaja AB odgovara presek skupova, defsah događajma A B Sl..4. E A AB B Slka.4. Prozvod dva događaja Prozvod dva esaglasa događaja je, očgledo, emoguć događaj, jer je presek P AA P Φ. dsjukth skupova praza skup. Na prmer, Prozvod ekog događaja A sgurog događaja je događaj A: lako uvert pomoću Veovog djagrama. vd Sl.. AE A, u što se Sada možemo da zračuamo verovatoću astupaja zbra dva događaja A B koj se e sključuju. Kako je, z. dobjamo: m P A + B m A + m B m AB A B P A + P B P AB Uopšte, za verovatoću zbra vše događaja, važ: +.3 A gde jedakost važ ako su događaj A esaglas. Prmer.3 Dokazat De Morgao-ve formule Rešeje A + B A B, AB A + B P P A.4 A+ B se ostvaruje kada se e ostvar A+ B A l B, a to zač kada se e ostvar A tj. ostvar A B tj. ostvar B, odoso, kada se ostvar A B. Slčo dokazujemo drugu formulu. Prmer.4 Iz serje prozvoda zvučea su tr. a Neka su događaj: 4

17 A - sva tr zvučea prozvoda su sprava B - bar jeda od jh je esprava C - dva su sprava, a jeda esprava. Izrazt opsae složee događaje preko događaja D, 3 da je -t zvuče prozvod sprava. b Opsat događaje: A+ B, AB? Rešeje a Događaj A je prozvod događaja D : A D DD3 Događaj B je suprota događaju A: B A D DD3 D+ D+ D3 C predstavlja zbr tr događaja: C D D D + D D D + D D b A+ B je sgura događaj jer, A + B B+ B B+ B E AB je emoguć događaj jer je AB vd Sl.. BB Φ 3 3 D3 Prmer.5 Reaktor a destlacoa koloa b veza su a red šema : a b Šema. Rad povećaja pouzdaost postrojeja smajea verovatoća spada mogu se stalrat dva reaktora dve koloe, u dve paralele lje šema. a b a b Šema. Treća šema obezbeđuje povezvaje svakog od dva reaktora, po potreb, sa svakom od dve koloe: 5

18 a b a b Šema 3. Neka je A događaj da reaktor a u ekom perodu vremea fukcoše spravo, a B događaj da je u tom perodu vremea sprava koloa b. Tako događaj A,, zač sprava rad reaktora a, dok je B,,, događaj da koloa b bude sprava u stom perodu. Formulsat događaje S, S, S 3 da šeme, 3 fukcošu spravo u datom vremeskom perodu. Rešeje Da b šema radla, moraju bt obe kompoete a b sprave, pa mamo: S AB Da b šema fukcosala, potrebo je dovoljo da bar jeda od dve paralele lje fukcoše, pa je: S A B + A B Da b šema 3 fukcosala, potrebo je dovoljo da je sprava bar jeda od reaktora bar jeda od koloa: A+ A B S + 3 B Prmer.6 Jeda tehčk sstem se sastoj od elemeata a, b, c, d, e f: Ako su spad kvarov ovh elemeata, događaj A, B, C, D, E, F respektvo, formulsat događaj S da je sstem sprava. 6

19 Rešeje Da b sstem bo sprava mora a bt spravo A dva podsstema, koj predstavljaju paralele šeme, vezae sa a a red. Da b prv podsstem bo sprava potrebo je dovoljo da bar jeda od elemeata b, c d rad, pa je događaj da je prv podsstem sprava: B + C+ D. Aalogo, događaj da je drug podsstem sprava je: E+ F. Tako, koačo mamo, S A B+ C+ D E+ F A BCD EF S obzrom da su događaj defsa skupovma, jaso je da će zako koj važe za operacje sa skupovma uja presek važt za operacje sabraja možeja događaja: A + A A, AA A A + B B+ A, AB BA B+ C A+ B + C A BC ABC A +, A + B C AC + BC, A+ BC A+ B A+ C pr čemu se, slčo kao u klasčoj algebr, smatra da možeje ma predost u odosu a sabraje tj: A + BC A + BC.6 USLOVNA VEROVATNOĆA Ako pr određvaju verovatoće ekog događaja B e postoje kakva ogračeja, oda se takva verovatoća azva bezuslova l apsoluta. Nekada smo, međutm, u stuacj da razmatramo verovatoću astupaja događaja B pod pretpostavkom l uslovom da je prethodo astupo događaj A. Verovatoća astupaja slučajog događaja B pod uslovom da se ostvaro događaj A azva se uslova verovatoća događaja B u odosu a događaj A ozačava sa PB/A. Posmatrajmo prmer da se z kutje sa 8 crveh, 5 belh, 4 cre 7 aradžasth kuglca zvlače dve kuglce to tako što se posle prvog zvlačeja: a zvučea kuglca vraća u kutju, b e vraća u kutju. Kolka je verovatoća da se u drugom zvlačeju zvuče bela kuglca, uz uslov da je u prvom zvlačeju zvučea crvea kuglca? Ako sa A ozačmo događaj - zvlačeje crvee kuglce, a sa B događaj - zvlačeje bele kuglce, maćemo u skladu sa., u slučaju a: a u slučaju b: 5 P B / A P B 64 7

20 5 P B / A P B 63 gde PB predstavlja apsolutu verovatoću događaja B, kada je uslovljeo da se događaj A prethodo ostvaro, pa je oa jedaka verovatoć astupaja događaja B u prvom zvlačeju. Prmećujemo da, u slučaju a astupaje događaja A ema utcaja a verovatoću astupaja događaja B, u slučaju b uslov da se događaj A ostvaro, zmeo je verovatoću astupaja događaja B. Sada možemo da defšemo uzajamu ezavsost događaja. Za dva događaja A B koj su međusobo sključv, kažemo da su ezavs ako važ: l što je ekvvaleto, B A P B P /.5a A B P A P /.5b Dakle, ako je događaj B ezavsa od A.5a tada je A ezavsa od B.5b - uzajama ezavsost, što ćemo kasje strogo pokazat. Ako jedakost.5 a,b e važe, kažemo da su posmatra događaj zavs. Da b smo zvel formulu za zračuavaje uslove verovatoće, razmotrmo sledeć model. U jedom skupu mamo osoba, muškaraca žea, od kojh ek puše, a ek e puše. Ozačmo sa A događaj da je slučajo zvučea osoba z skupa muškarac, a sa B da je pušač. Neka mamo sledeću strukturu skupa: A muškarc A žee B pušač m k B epušač m k m + m + k + k m +m k +k Odredmo verovatoće da će slučajo zvučea osoba bt: muškarac A pušač B muškarac koj puš AB Iz formule.: m+ m A P m+ k B P m AB P 8

21 A A m +m A A A A B B m +k B m AB Odredmo sad verovatoću da će eka osoba bt pušač, ako zamo da je pod uslovom da je muškarac. Zač da treba da odredmo verovatoću da je slučajo zvuče muškarac pušač. U ptaju je uslova verovatoća PB/A. S obzrom a postavlje uslov, pr određvaju verovatoće PB/A kao prostor elemetarh događaja posmatramo podskup potpuog skupa elemetarh događaja, koj sadrž muškarce: A EA m +m m B Dakle, pod datm uslovom, broj mogućh događaja je m +m. Broj povoljh shoda je očgledo m pa mamo, m m / P AB P B / A m+ m m+ m / P A Došl smo do sledeće relacje za uslovu verovatoću događaja B u odosu a događaj A: Aalogo zvodmo, AB A P P B A.6a P AB B P P A B.6b P Verovatoća prozvoda uslov ezavsost događaja Iz formula.6a,b sled formula za verovatoću prozvoda dva esključva događaja: AB P A P B / A P B P A B P /.7 Formula se može uopštt recmo za tr događaja A, B C glas: ABC P A P B A P C AB P.8 9

22 Iz defcje.5a formule.7 zvodmo: Događaj A B su ezavs ako samo ako važ: P AB P A P B.9 Ako je B ezavso od A, dakle ako važ.5a, tada z jedakost.7 sled.5b, odoso A je takođe ezavso od B. Treba prmett da su sključv događaj, za koje je PAB, uvek zavs. Zasta, buduć da su su verovatoće dva moguća događaja razlčte od ule, uslov ezavsost.9 e može bt spuje. Uslov ezavsost se e može eposredo prošrt a slučaj vše od dva događaja. Name, uslov: P A A A P A P A P A. je samo potreba, al e dovolja da b događaj bl potpuo ezavs. Događaj A, A,..., A su potpuo ezavs, ako je svak od jh ezavsa od svakog od preostalh, kao od svh prozvoda koj se mogu formrat od vše jh. Ako su događaj A, A,..., A potpuo međusobo ezavs važ., al ako važ. to e zač da su o potpuo ezavs. Prmer.7 Pokazat da, ako su događaj A B ezavs, takođe su ezavs događaj A B. Rešeje Posmatrajmo događaje jedak je događaju A: Tako mamo: AB AB B+ B AE A AB + AB A. O su očgledo espojv, a jhov zbr P A P AB+ AB P AB + P AB Pošto su A B ezavs, umesto P AB stavljamo A P B P AB P A P A P B P A P B P A P B što je traže dokaz. Dakle, za ezavse događaje A B važ: A B P A B P A P P dalje: l rečma: verovatoća jedog od jh ostaje sta bez obzra da l se drug dogodo l e. Prmer.8 Kolka je verovatoća p da se pr zvlačeju dve kuglce, zvuče jeda crvea jeda bela kuglca z kutje, koja sadrž 8 crveh, 5 belh, 4 cre 7 aradžasth kuglca? Rešeje Problem ćemo rešt a dva ača: a preko defcje verovatoće. b kao verovatoću složeog događaja.

23 a Kutja sadrž ukupo N 64 kuglce. N N N N C, p N N 5 m C 8 C b Ekspermet je ekvvaleta - ma stu verovatoću - oom pr kome b zvlačl jedu pa drugu kuglcu bez vraćaja prve u kutju. Događaj da smo pr tome zvukl jedu belu jedu crveu kuglcu bće ostvare ako u prvom zvlačeju zvučemo belu, a u drugom crveu kuglcu događaj C, l ako u prvom zvlačeju zvučemo crveu, a u drugom belu kuglcu događaj D. U ptaju je, očgledo, zbr dva međusobo sključva događaja PCD, pa u skladu sa pravlom sabraja verovatoća espojvh događaja. mamo: C P D P C+ D P + C D predstavljaju prozvode dva događaja, a ako sa A ozačmo događaj - zvlačeje bele, a sa B - zvlačeje crvee kuglce, bće prema.7: koačo, C P A P B A, P D P B P A B P A P B A P B P A B P C+ D P + Potrebe verovatoće su prema.: 5 P A, N posle smee: P B / A 8, N P B 8, N P A/ B p P C + D + N N N N N N N Prmer.9 Verovatoće tr potpuo ezavsa događaja su: P A, P B, P C 8 5 Izračuat verovatoće da astupe: a sva tr događaja stovremeo b događaj A B, al e C c samo događaj B d A l B, al e C 7 Rešeje a U ptaju je prozvod ABC ezavsh događaja, pa važ pravlo možeja verovatoća.:

24 P ABC P A P B P C b U ptaju je događaj AB C : 4 P ABC P A P B P C P A P B P C c Tražmo verovatoću događaja A BC : P ABC P A P B P C d Tražmo verovatoću događaja A+ BC. Kako su događaj A,B,C potpuo ezavs o se e sključuju da se sključuju bl b zavs!, tako da je blo koja verovatoća prozvoda ovh događaja razlčta od ule. Tako je: P A + B C P AC + BC P AC + P BC P ABC 8 56 uz čjecu da je C C C. Dalje je: P AC + P BC P ABC P A + P B P A P B P C P A + P B P A P B P C Prmer. Jeda torba sadrž 3 crvee, 5 crh, a druga 4 zelee 7 belh kuglca. Jeda kuglca se zvlač z prve torbe, a dve z druge. Odredt verovatoće shoda: a jeda crvea dve bele kuglce b jeda zelea kuglca c l jeda cra dve zelee, l jeda cra dve bele kuglce Rešeje a Ozačmo događaje: A - crvea kuglca z prve torbe B - bela kuglca z druge torbe U ptaju je slože događaj ABB gde BB ozačava slože događaj uzastopog zvlačeja dve bele kuglce z druge torbe bez vraćaja kuglca ako zvlačeja. 3 4 A BB P A P BB A, P BB P B P B / B P Pošto su događaj A B pa prema tome A BB ezavs: b A BB P ABB P A P BB P A P B P B B P 3 7 P A, P B, P B / B 8 PABB 63/44 Ako ozačmo događaje: 6

25 A - zelea kuglca z prve torbe B - zelea kuglca z druge torbe C - bela kuglca z druge torbe u ptaju je događaj: P A P A, A B B, l pošto su B C suprot događaj: A CC P ACC P A P CC P A P C P C / C P ACC 55 P C 7, P C / C 6 c Neka su događaj: A - cra kuglca z prve torbe B - zelea kuglca z druge torbe C - bela kuglca z druge torbe tražmo PABB + ACC Pošto su posmatraa dva događaja ABB ACC međusobo sključv: ABB+ ACC P ABB P ACC P + Dalje, pošto su A, BB A, CC parov ezavsh događaja: ABB P A P BB P A P B P B B P ACC P A P CC P A P C P C C P ABB+ ACC P A [ P B P B B P C P C C ] P P A, P B, 8 7 P ABB+ ACC 88 P C 7, P B / B 3, P C / C Prmer. U dužem vremeskom tervalu utvrđeo je da maša za automatsko pakovaje hrae daje % paketa spod propsae teže. Kotrolor je uzeo slučaja uzorak od 5 paketa. Odredt verovatoću da jeda paket u uzorku je defekta. 6 Rešeje Za verovatoću pojave defektog paketa događaj A uzećemo datu relatvu frekvecu Prmer.. Verovatoća pojave spravog paketa B predstavlja verovatoću suprotog događaja: P B P A. 98 Događaj da jeda paket u uzorku je defekta C, slože je događaj sastoj se u tome da 5 puta astup događaj B: 3

26 C BB... B 5 Pošto su u ptaju ezavs događaj. P C P B BAJESOVA TEOREMA Neka su događaj H,...,, H H espojv eka če potpu sstem događaja za dat ekspermet. Neka je A prozvolja događaj u okvru stog ekspermeta tj. stog prostora elemetarh događaja. Kako se pr realzacj ekspermeta mora ostvart ek od događaja H, H,..., H, to će se događaj A ostvart stovremeo bar sa jedm od jh: Pr tom se događaj koj se sabraju, je prema.4: H + H + + H A H A+ H A+ H A A EA H A,,..., međusobo sključuju Sl..5, pa P A P H A odoso, korsteć formulu.7 dobjamo jedaču: P A P H A P H P A H. Jedača. je u lteratur pozata pod azvom formula potpue verovatoće oa daje verovatoću da će se događaj A ostvart u posmatraom ekspermetu. Formula zahteva pozavaje verovatoća pojedh espojvh događaja H, koj se azvaju hpoteze, a jhove verovatoće, PH - aprore verovatoće. H H H 5 E H 3 H 6 A H 4 H 8 H 7 Slka.5 Ilustracja uz Bajesovu teoremu 4

27 Prmer. Rešmo sledeć problem. Dva automobla du oću jeda drugom u susret. Pozata je verovatoća da je blo koj od dva vozača pospa: p.. Pozate su sledeće verovatoće: ako vozač su pospa, automobl će se bezbedo mmoć sa verovatoćom.999 ako je samo vozač pospa, verovatoća bezbedog mmolažeja je.7 ako je samo vozač pospa, verovatoća bezbedog mmolažeja je.8 ako su oba vozača pospaa, mmoć će se bezbedo sa verovatoćom.4 Kolka je verovatoća da se automobl mmođu bezbedo? Rešeje Potpu sstem događaja H, ovde če događaj: H jeda od vozača je pospa, H pospa je samo vozač, H 3 pospa je samo vozač, H 4 oba vozača su pospaa Imajuć u vdu da je događaj da je vozač pospa, ezavsa od događaja da je pospa vozač, potrebe verovatoće hpoteza račuamo kao: Provermo, H p, P H P H p p P H p P 3, H p + p p + p [ p + p] P Broje vredost su: P H.8, P H P H.9, P H. 3 4 Posmatra događaj A u ovom ekspermetu je: A bezbedo mmolažeje dva automobla. Imamo verovatoće jegovog astupaja pod pretpostavkom da se dogodo ek od događaja H,,4 : P A H.999, P A H.7, P A H.8, P A H Koačo, z formule totale verovatoće, dobjamo tražeu verovatoću bezbedog mmolažeja: P A Prmer.3 U ekoj fabrc se ostvaruje 4% a maš, % a maš a maš 3 ostatak prozvodje. Ako maša daje.5% škarta,.% škarta maša,.7% škarta maša 3, kolka je verovatoća škarta, odoso verovatoća da slučajo odabra prozvod bude esprava? Rešeje Idetfkujmo hpoteze: H,,3 - ek prozvod je zrađe a maš. Posmatramo događaj A dobje je esprava prozvod. Prema podacma, 4 5

28 P H P H.4, P H. 3 Date su verovatoće da je esprava prozvod dobje a maš, l 3, redom: P A H.5, P A H., P A H. 7 3 Tražeu verovatoću škarta dobjamo z formule totale verovatoće: P A U praktčm problemma je važo, ako se posmatra događaj A ostvaro, ać kolka je verovatoća da je to posledca ostarvaja eke od hpoteza H,,. Odgovor daje Bajesova teorema. Iteresuje as uslova verovatoća P H A dobjamo je z formule.6a: P H A P H A P A formule. za verovatoću PA: P H A H P A H P,,..., P H P A H. Jedača. je Bajesova teorema l formula. Vdmo da će ajveću verovatoću mat oa od hpoteza, čj je dopros totaloj verovatoć ostvarvaja događaja A, P H P A, ajveć. jedak H Prmer.4 Ako podacma u prethodom prmeru dodamo podatak da je slučajo odabra predmet esprava, potrebo je odredt verovatoće da je prozvede a maš, l 3. Rešeje Korstmo Bajesovu formulu.: P P P H A H A H A Prema očekvaju, ajverovatje je prozvod zrađe a maš 3, čj je dopros verovatoć astajaja škarta ajveć:.4.7 >.4.5 >.. 6

29 ZADACI. U jedom uzorku od 5 prozvoda alaz se 5 sa greškom. a Kolka je verovatoća da prv asumce uzet prozvod bude sa greškom? b Ako z uzorka uzmemo odjedom pet prozvoda, kolka je verovatoća da među jma budu dva esprava?. Iz kutje sa a belh b crh kuglca zvlačmo dve, to: a odjedom b jedu po jedu, s tm što se prva zvučea vraća u kutju. Izračuat verovatoću da će zvučee kuglce bt razlčte boje..3 Iz slova A, B, C, D, E F slučajm zborom sastavljamo reč od 4 slova. Kolka je verovatoća da se u toj reč ađu slova A D?.4 Kolka je verovatoća da tr kocke pokažu razlčte brojeve?.5 Iz za brojeva,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 uzmemo asumčo dva broja. Kolka je verovatoća da jeda bude maj od 5, a drug već od 5?.6 Lutrja ma 4 kuglca umersah od do 4. a Ako zvlačmo dve kuglce, kolka je verovatoća da će prva kuglca mat ozaku a druga ozaku 5? b Ako zvučemo pet kuglca, kolka je verovatoća da se među jma ađu 5?.7 Dat je z brojeva,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. a Ako asumčo zvučemo tr broja, kolka je verovatoća da o budu već l ajmaje jedak 3? b Ako z za uzmemo broj 3 još dva broja slučajm zborom, kolka je verovatoća da broj 3 bude maj od dva zvučea broja?.8 Bačea su tr ovčća. a Izračuaj verovatoću da sva tr padu a grb. b Kolka je verovatoća da će bar jeda past a psmo?.9 U skupu od 8 prozvoda alaze se tr loša L 5 dobrh D. Kolka je verovatoća da u tr uzastopa zvlačeja bez vraćaja dobjemo rezultat LDD l DLD?. Skup se sastoj od 8 dobrh 3 loše osove 5 dobrh 4 loša ležaja. Slučajm zborom uzmemo dva ležaja jedu osovu sastavmo sklop. Kolka je verovatoća da se u sklopu ađu dva loša ležaja dobra osova?. Za pošljku od 5 prozvoda, prozvođač tvrd da e sadrž vše od 5 lošh komada. Ako je ova tvrdja tača, kolka je verovatoća da u uzorku od 3 prozvoda e bude jeda loš?. U ekom ekspermetu događaj A astupa sa verovatoćom p /3. Kolko je opta eophodo zvršt da b smo sa verovatoćom od,99 mogl očekvat bar jedo pojavljvaje događaja A?.3 Tehčk sstem se sastoj z elemeata a,,...,5. Ako su verovatoće otkaza elemeata p,,..,5 redom:.5,.3,.3,.4.6, odredt verovatoću otkaza sstema pod pretpostavkom da su kvarov pojedh elemeata međusobo ezavs. 7

30 .4 U prozvodom sstemu povezao je a red maša M,,...,. Da b se povećala pouzdaost sstema verovatoća da o spravo rad u toku ekog peroda vremea, o je duplra sa još maša m,,..., to a dva ača: a b Ako je verovatoća da maša M rad spravo u datom vremeskom tervalu PM, a da maša m rad spravo Pm, kolke su pouzdaost sstema a b? 4.5 Pozate su verovatoće P A, P A+ B. Odredt verovatoću p P B a ako su događaj A B esaglas b ako je događaj A deo događaja B c ako su događaj A B ezavs.6 Date su verovatoće: P A, P B, P AB a P A+ B b P A P B c P AB d P A+ B e P A B P B A Nać 8

31 f P A B P B A g P [ A+ B B].7 Letlca se gađa dva puta. U prvom gađaju, verovatoća pogotka je.3, a u drugom.6. Jedom pogođea letlca se ruš sa verovatoćom., a dva puta pogođea, sa verovatoćom.9. Prmeom formule ukupe verovatoće odredt verovatoću da se letlca obor..8 U jedoj velkoj serj, 96% prozvoda ma propsa kvaltet. Prozvod se podvrgavaju gruboj kotrol, koja proglašava prozvod dobrm sa verovatoćom.98, ako je prozvod stvaro dobar, a sa verovatoćom.5, ako je o stvaro loš. a Kolka je verovatoća da kotrola proglas ek prozvod dobrm? b Ako je kotrola proglasla prozvod dobrm, kolka je verovatoća da je o stvaro dobar? 9

32 Slučaja promeljva Ako se svakom shodu ekog slučajog ekspermeta može prpsat ek broj z ekog skupa brojeva, oda se t brojev mogu smatrat mogućm vredostma jede promeljve velče X, koju zovemo slučaja promeljva l slučaja velča. Slučaje promeljve ozačavamo velkm slovma X, Y,, a jhove vredost odgovarajućm malm slovma,,,,, Prmetmo da se uapred, pr zvođeju ekspermeta, e može tvrdt koju vredost će slučaja velča X uzet, već se može samo govort o verovatoć da X uzma ovu l ou vredost l verovatoću da će jea vredost past u ek terval. Slučaje velče možemo da klasfkujemo a dskrete eprekde l kotuale. Za slučaju velču kažemo da je dskreta ako može da uzma samo koačo l prebrojvo mogo razlčth vredost:,,...,. Ako je skup vredost slučaje promeljve terval a brojoj pravoj koača l beskoača kažemo da je oa eprekda. Prmer dskreth slučajh velča su rezultat bacaja kocke, broj espravh prozvoda u ekom uzorku, td. Prmer kotuale slučaje promeljve su rezultat mereja temperature. Na prmer, temperatura vazduha se e može uapred tačo predvdet pa je rezultat jeog mereja slučaja, a o može bt blo koj broj z ekog tervala, recmo -5 C, 45 C. I rezultat mereja temperature u ekom uređaju u procesu, ako se oa drž pod kotrolom, je strogo govoreć, takođe slučaja velča jer sadrž ezaoblazu grešku mereja, koja je slučaja velča.. DISKRETNE SLUČAJNE PROMENLJIVE Svaku od za vredost,,...,, dskreta slučaja promeljva uzma sa određeom verovatoćom. p P X p,..., 3

33 Fukcja p PX defsaa samo za,,..., azva se zako raspodele verovatoće l kratko raspodela verovatoće dskrete slučaje promeljve. Očglede su sledeće osobe zakoa raspodele: p >.a p p.b Name, događaj: X, X,..., X predstavljaju potpu sstem događaja. Zako raspodele,p,,..., se prkazuje ajčešće a tr ača: tabelom trakastm djagramom bar graph polgoom raspodele le graph Tablč ač prkazvaja. Uzmmo a prmer da su rad kotrole rada maše za pakovaje u određem vremeskm razmacma uzma uzorc od po 5 prozvoda za svak uzorak je ustaovljeo kolko sadrž espravh prozvoda. Za takvh uzoraka dobje su sledeć podac: broj espravh prozvoda broj uzoraka sa espravh prozvoda m relatva frekveca espravh prozvoda ω / 35 35/ 4 4/ 3 / 4 5 5/ Ako relatve frekvece u skladu sa statstčkom defcjom verovatoće.7 usvojmo kao procee verovatoća, oda prva treća koloa daju zako raspodele, tačje govoreć emprjsk zako raspodele broja defekth prozvoda u uzorku: 3 4 p Na Sl.. je dat jeda ač grafčkog prkazvaja - trakast djagram. Vsa vertkale trake a pozcj jedaka je p. 3

34 p Slka.. Trakast djagram Polgo raspodele je drug grafčk ač prkazvaja. Dobja se spajajem tačaka, p ljama. Za posmatra prmer, polgo raspodele je dat a Sl..: p Slka. Polgo raspodele Kod polgoa raspodele treba uvek mat u vdu da je u ptaju dskreta slučaja velča koja e uzma vredost zmeđu tačaka,,...,, što je tako očto kao kod trakastog. Fukcja raspodele Fukcja: F P X<. 33

35 defsaa a celom tervalu - < <, azva se fukcjom raspodele verovatoće slučaje promeljve X, l kumulatv zako raspodele. Iz defcje. sled: F - F.3a.3b Za dskretu slučaju promeljvu X, koja uzma vredost,,...,, fukcja raspodele se z zakoa raspodele, p,,..., dobja kao: Odoso, p p + p F p + p F p p < za za < za za za > < < Iz.4.a sled da je fukcja raspodele mootoo eopadajuća fukcja. Nje grafk je dat a Sl Slka.3. Fukcja raspodele Fukcja raspodele je u svakoj tačk eprekda s leve strae, a u tačkama,,..., ma prekde skokove s dese strae. Velča skoka u tačk je tačo p, odoso: Koačo, može se zvest praktča relacja: p F + F.5 34

36 P a X < b F b F a.6 Prmer. Strelac koj ma ukupo 4 metka gađa u clj dok ga e pogod, l dok e potroš metke. Verovatoća pogotka pr svakom gađaju je.6. Defsat zako fukcju raspodele verovatoće za slučaju promeljvu - broj eutrošeh metaka. Rešeje Ozačmo događaj da je strelac pogodo metu sa A. Suprota događaj - promašaj bće A : P A p.6, P A q - p. 4 Možemo da formramo sledeću tabelu: Broj preostalh metaka, : Događaj Ops događaja Verovatoća događaja 3 A Pogodak u prvom pokušaju A A Prv pokušaj - promašaj, a drug pogodak A A A Prv drug pokušaj su promašaj, a treć pogodak A A A A + A A A A Provermo da l je spuje eophoda uslov.b Prva tr pokušaja su promašaj, a četvrt l pogodak l promašaj p.6 qp.4 q p.96 q 3 p + q 4.64 p + qp + q p + q 3 p + q 4 p + q + q 4 q p + q q + q q 4 q p p 4 + q 4 Tako su, zako fukcja raspodele promeljve X: 3 p F.6.4 za za < za < za < 3 za > 4 35

37 . NEPREKIDNE SLUČAJNE PROMENLJIVE Za razlku od dskrete slučaje promeljve verovatoća da eprekda slučaja promeljva X uzme baš eku određeu vredost z tervala mogućh vredost jedaka je ul, PX, što je logčo jer se rad o jedoj od eprebrojvo mogo mogućh vredost. Zato je ovde logčo govort o verovatoć da vredost slučaje promeljve pade u ek terval. I za eprekdu slučaju promeljvu defše se fukcja raspodele, F jedačom.. Pr uvećaju broja mogućh vredost eke dskrete slučaje promeljve, broj skokova stepeaste krve F raste, a sam skokov se smajuju. Tako, pr prelazu dskrete slučaje promeljve u eprekdu, stepeast oblk fukcje F Sl..3 prelaz u eprekdu krvu. Na Sl..4 dat je prkaz fukcje raspodele eprekde slučaje velče za slučajeve kada je oblast mogućh vredost X: ograče terval [a, b] eograče terval -, U slučaju b fukcja raspodele ma horzotale asmptote: F, F Slka.4 Fukcja raspodele Gusta raspodele Ako je, pored toga što je eprekda, fukcja raspodele F dferecjabla, može se defsat gusta raspodele f. df f.7 d Iz mootoost fukcje F.7 sled: f.8 36

38 Na Sl..5 skcra je grafk guste raspodele - krva guste raspodele u slučaju eogračee oblast mogućh vredost slučaje promeljve. Dferecjal fd se zove dferecjal verovatoće l elemet verovatoće predstavlja, u skladu sa Jed..6 verovatoću da slučaja promeljva prm vredost z tervala, +d: P < X < + d P X < + d.6 F + d F df f d Geometrjsk, elemet verovatoće predstavlja površu elemetarog pravougaoka vse f šre d Sl..5 f fd +d Slka.5 Krva guste raspodele Sada možemo da odredmo verovatoću P a< X< b da vredost slučaje promeljve pade u terval a,b, pomoću guste raspodele. U ptaju je zbr elemetarh verovatoća a tervalu a,b, odoso tegral: b P a< X< b f d.9 Geometrjsk, to je površa spod krve guste, ad tervalom a,b - vd Sl..6 f a a b Slka.6 Geometrjska terpretacja Jed..9 37

39 Kako je po defcj, F P X < P < X < gusta f fukcja raspodele F su povezae relacjom: F f t dt, R. kozstetom sa.7. Na Sl..7 dat je geometrjska terpretacja. f F Slka.7 Veza zmeđu guste fukcje raspodele S obzrom da je F, z. sled f d. Dakle, površa spod krve guste f Sl..7 jedaka je jedc. Koačo, da b smo obrazložl azv gusta verovatoće za f, avešćemo sledeću aalogju. Zamslmo žcu duže L čja je masa jedaka m kg ma promeljvu ljsku gustu ρ kg/m ρ lm Masu žce dobjamo kao tegral m dm d L < < L < < m ρ d ρ d očgleda je aalogja zmeđu f guste ρ. L 38

40 Prmer. Slučaja promeljva X ma gustu raspodele: a cos f π π za za sve ostale vredost a Nać kostatu a fukcju raspodele. b Kolka je verovatoća da X bude maje od π 6? π c Kolka je verovatoća P < X? 4 π d Odredt verovatoću P X >. 4 Rešeje a Kostatu a ćemo ać z uslova. f d π/ d + a s π/ π/ π/ π/ a cos d + a π/ d a Grafk guste f fukcje raspodele F Fukcju raspodele alazmo z.. Oa je, zbog ogračee oblast mogućh vredost slučaje promeljve X, defsaa sa 3 zraza vd slku uz prmer: < π, F f t dt dt 39

41 π π F, f t dt f t dt+ f t + a > π, F π π cost dt π s π t π π dt + s f t dt f t dt+ f t dt+ f t dt + + Dakle, π π F b + s π π < π > π π + s π π P X < F odoso P X c π < 6. π/ 6 f d π/ d + s π/ 6 π/ π/ 6 π / cos d 3 4 π + s π π 4 + s P < X F F 4 4 odoso 4 P < X π 4.9 π/ 4 f d s π / d π + s π π π 4 P X > P X F odoso

42 P X > π 4 π/ 4 s cos d π/ π / 4 π/ 4.46 l P X > π 4 f d π / cos d s π/ π/ 4 π / 4 π/ 4 4 Vredost slučaje promeljve, u kojoj gusta jee raspodele ma maksmum zove se ajverovatja vredost l moda. Kako treba razumet pojam ajverovatje vredost eke eprekde slučaje velče? Verovatoća da eprekda slučaja velča uzme ajverovatju vredost jedaka je ul kao što je verovatoća blo koje određee vredost jedaka ul. Zato ma smsla govort o tervalu oko ajverovatje vredost može se reć da je ajverovatje da će se vredost slučaje promeljve grupsat oko te tzv. ajverovatje vredost. Raspodela slučajh grešaka mereja Mada su zako fzke egzakt, strumet e daju egzakte tače vredost meree fzčke velče duža, masa, temperatura td.. Razlka zmeđu zmeree tače vredost eke fzčke velče, azva se greška mereja. I u slučaju kada se otkloe sstematske grube greške Pogl.5., preostaju ezbeže greške, koje zovemo slučaje greške mereja. Oe su rezultat delovaja velkog broja čoca, koj maju slučaja karakter: male, ekotrolsae promee fzčkh uslova u kojma se zvod mereje apr. utcaj atmosfere epreczost strumeta epreczost oog koj zvod mereja subjektv slučaj faktor Teorjsk model raspodele verovatoće slučajh grešaka mereja, l kraće raspodele slučajh grešaka je Gausova l ormala raspodela Pogl..8. Nju je teorjsksk zveo Laplas Laplace, 783 gode, a Gaus Gauss kasje dokazao. Gusta raspodele slučajh grešaka, X Gausova raspodela je: f e. π Parametar raspodele se azva stadardo odstupaje Pogl..4. Gusta raspodele greške je smetrča u odosu a - osu para fukcja, ma zvoast oblk, sa maksmumom u ul prevojm tačkama ±. Spljošteost zvoa, odoso razvučeost raspodele je utolko veća ukolko je stadardo odstupaje veće Sl..8 4

43 Slka.8 Rapodela slučajh grešaka mereja Najverovatja vredost slučaje greške mereja je ula. Dakle, slučaje greške poovljeh mereja eke fzčke velče grupšu se oko ule to uz prblžo jedak broj egatvh poztvh grešaka. Name, za gustu raspodele, zbog smetrčost f f, važ: Zasta, Iz.9. oda sled: t f d f d f d f t dt f t dt f t dt f d P < X < P < X < odoso,verovatoća da slučaja greška mereja bude poztva, jedaka je verovatoć da bude egatva. Drugm rečma, u ekom broju poovljeh mereja, prblžo pola od jh će dat veće vredost meree velče od tače, a druga polova će podbacvat. Stadardo odstupaje, odoso razvučeost raspodele u vez je sa stepeom raspaja slučajh grešaka oko ule, odoso sa preczošću mereja. Ukolko je stadardo odstupaje veće, utolko su verovatje veće greške po apsolutoj vredost, tj. utolko je veće raspaje grešaka. To zač veće raspaje rezultata mereja oko tače vredost meree velče kažemo da je mereje maje preczo, odoso strumet maje precza. Zasta, poredeć šrafrae površe a Sl..8, vdmo da je verovatoća da greške upadu u ek terval čj je cetar blž ul veća, ako je razvučeost raspodele maja, odoso stadardo odstupaje maje. S druge strae, verovatoća da greška pade u ek terval čj je cetar udaljej od ule veće raspaje je veća ako je razvučeost veća, odoso veće. 4

44 Raspodela brza molekula gasa Zbog eprestaog sudaraja velkog broja molekula u mas gasa, je moguće tačo odredt brze pojedh molekula. Dakle, brza molekula gasa je slučaja velča predmet stražvaja u molekularoj fzc je fukcja raspodele verovatoće za brze molekula u mas gasa. Gustu raspodele brza jedoatomog dealog gasa defsao je 86 g. Maksvel Mawell. Maksvelova gusta raspodele tezteta brza molekula gasa Sl..9 glas: f v 4 u v e v, v π u 3.3 gde je kt u.3a m v - teztet brze molekula gasa m/s m - masa molekula kg T - apsoluta temperatura gasa K k - Bolcmaova Boltzma kostata, J/K Elemet verovatoće fvdv predstavlja udeo u ukupom broju molekula gasa, oh molekula čja se brza kreće u tervalu v, v+dv. d f v dv To sled z statstčke defcje verovatoće: verovatoća da ek molekul ma brzu u tervalu v, v+dv jedaka je kolčku broja molekula čja je brza u datom tervalu d ukupog broja molekula. Slka.9 Maksvelova raspodela brza molekula Korso je odredt modu raspodele, odoso ajverovatju brzu molekula v m. Nalazmo je z uslova maksmuma guste raspodele: 43

45 Dakle, df v dv 8v πu 8v πu 3 3 e e v u v u 8v 3 πu v u 5 e v u kt v m u.4 m Za razlku od Gausove, Maksvelova raspodela je smetrča, odoso površa sa dese strae mode v m je uvek veća od površe sa leve strae. To zač da je a datoj temperatur u gasu već broj molekula sa brzom većom od v m ego oh čja je brza maja od v m. Kao što se sa Sl..9 vd, sa povećajem temperature, a to zač sa povećajem parametra u.4, maksmum krve brze se pomera ka većm brzama, stovremeo povećava razvučeost raspodele. Povećaje razvučeost raspodele, kao što smo se a prmeru slučajh grešaka uverl, zač porast verovatoće većh vredost slučaje promeljve. Drugm rečma, broj molekula sa većm brzama je utolko već ukolko je temperatura gasa veća, što je u skladu sa fzčkm začejem temperature. Raspodela vremea spravog rada tehčkog uređaja Vreme spravog rada, T ekog tehčkog uređaja l elemeta uređaja je slučaja velča. To je momeat u kome se des kvar, račuato od mometa startovaja uređaja. Iskustvo je pokazalo da verovatoća da je uređaj ako ekog vremea t od početka rada dalje sprava opada ekspoecjalo sa t. Drugm rečma, udeo uređaja u odosu a ukupa broj uređaja stog tpa, koj su u mometu t dalje u radu, ekspoecjalo opada sa t počev od jedce za t u startu su sv uređaj sprav, asmptotsk se prblžavajuć ul ako dugog peroda rada, praktčo sv uređaj će se pokvart. U ptaju je verovatoća da je vreme spravog rada veće od t u perodu vremeu t je došlo do kvara. Tako, majuć u vdu da je verovatoća jede određee vredost eprekde slučaje promeljve jedaka ul, mamo: R λt t P T > t P T t e, t.5 Fukcja Rt, koja daje verovatoću da posmatra uređaj eće otkazat za vreme t zove se fukcja pouzdaost relablt fucto datog uređaja. Fukcja raspodele, po defcj, predstavlja verovatoću da slučaja promeljva uzme vredost maju od date, pa je fukcja raspodele vremea spravog rada uređaja: F λt t P T < t R t e, t Imajuć u vdu da je po defcj fukcja raspodele defsaa a celom tervalu -, važ zraz 44

46 za t < F t.6 λt e za t gde je λh - parametar raspodele koj se u lteratur sreće pod otkaza. azvom teztet Slka. Fukcja raspodele vremea spravog rada Dferecrajem fukcje raspodele dobjamo gustu raspodele vremea spravog rada uređaja: za t < f t.7 λt λe za t Slka. Ekspoecjala raspodela U lteratur se fukcja.7 azva ekspoecjala raspodela Sl... Očgledo je da se razvučeost raspodele povećava sa opadajem tezteta otkaza λ, a to zač da se povećava udeo uređaja u ukupom broju uređaja stog tpa, koj maju duže vreme spravog rada. Prmer.3 Vreme spravog rada ekog uređaja ma ekspoecjalu raspodelu.7, sa teztetom otkaza λ.da -. Kolka je verovatoća da će a uređaj spravo radt 8 daa? b do otkaza doć u toku 365 daa? Rešeje a Tražmo verovatoću da je vreme spravog rada bar 8 daa: 45

47 P 8λ.8 T > 8 R 8 e e. 835 b Verovatoću da je T maje od 365 dobjamo kao vredost fukcje raspodele: P 365λ T < 365 F 365 e SREDNJA VREDNOST SLUČAJNE PROMENLJIVE Raspodela verovatoće slučaje promeljve sadrž sve formacje o posmatraoj promeljvoj. Iz je je korso zvuć eke opšte odlke u vdu brojh umerčkh parametara koj karakteršu bte crte raspodele. Te sumare l umerčke karakterstke raspodele se mogu podelt a: parametre koj reprezetuju vredost slučaje promeljve - pokazatelje cetra vredost parametre koj predstavljaju pokazatelje raspaja mogućh vredost oko reprezetatve vredost cetra. Najvažja umerčka karakterstka koja ukazuje a cetar vredost slučaje velče, odoso a zvesta ač reprezetuje sve moguće jee vredost, azva se sredja vredost mea value l očekvaa vredost epected value slučaje promeljve l matematčko očekvaje. Sredja vredost slučaje promeljve X, koju ćemo ozačavat sa MX l kraće sa µ defsaa je kao: p za dskretu promeljv u a M X µ.8 f d za eprekdu promeljv u b Do jedače.8b možemo da dođemo polazeć od.8a, ako zamslmo da dskreta slučaja promeljva prelaz u eprekdu. Tada verovatoće p zamejujemo elemetma verovatoće f d, a suma prelaz u tegral. Sredja vredost je u vez sa prosečom vredošću l artmetčkom sredom, koju račuamo pr statstčkoj obrad rezultata mereja eke fzčke velče. Da b smo dobl što pouzdaju proceu tače vredost eke fzčke velče, zvodmo poovljea mereja pod stm uslovma. Za reprezetatvu vredost ou koju smatramo da predstavlja tražeu velču uzmamo sumu svh zmereh vredost, podeljeu sa ukupm brojem mereja, N tj. artmetčku sredu. Pretpostavmo da smo u N mereja, m puta dobl vredost, m puta vredost,,..., m puta vredost,. Prema datoj defcj, artmetčka sreda zmereh vredost, će bt: m + m + + m N, N m+ m + m odoso, m m m N N N 46

48 Ako je broj poovljeh mereja dovoljo velk, kolčc prblžavaju verovatoćama pojedh vredost, m P N X p m N,,..., se a artmetčka sreda se prblžava sredjoj vredost.8a. Dakle artmetčku sredu možemo da smatramo proceom sredje vredost z raspoložvh vredost slučaje promeljve. Osobe sredje vredost Navešćemo sledeće osobe sredje vredost: Sredja vredost kostate c jedaka je samoj kostat: Mc c.9 Sredja vredost leare kombacje vše slučajh promeljvh jedaka je learoj kombacj jhovh sredjh vredost: M c X + c X c X c M X + c M X c M X. Iz.9. sled posebo, McX cmx. MX + Y MX + MY. Ako je raspodela smetrča u odosu a pravu a, odoso ako je kod eprekde slučaje promeljve: a f a f + za blo koju realu vredost, sredja vredost je jedaka a: Prmer.4 Dokazat osobe.9.. Rešeje M X a.3 Ako je u ptaju kostata c, to zač da oa uzma tu jedu jedu vredost c sa verovatoćom p. Iz.8a dobjamo, Mc p c c Ako dskreta slučaja promeljva X uzma vredost,,...,, sa verovatoćama p, p,..., p redom, tada očgledo slučaja promeljva cx uzma vredost c, c,..., c sa stm verovatoćama. Tako.8a daje: c p+ c p + + c p c p cm M cx X Aalogo, ako je gusta verovatoće eprekde slučaje promeljve X jedaka f, stu gustu verovatoće ma promeljva cx, pa.8b daje: 47

49 c f d c f d cm M cx Prmer.5 Zadata je raspodela dskotuale slučaje promeljve: a Izračuat verovatoće PX < 4 PX 4. b Izračuat sredju vredost slučaje promeljve. c Izračuat sredju vredost slučaje promeljve X - 3. Rešeje a PX < 4 F4 P + P 3 7/3 P X 4 F5 P + P 3 + P 4 5/3 b µ Prmetmo da sredja vredost dskotuale slučaje promeljve, koja u ekom smslu, reprezetuje slučaju promeljvu može da bude razlčta od blo koje jee moguće vredost. Tako, u ovom prmeru, slučaja promeljva e može mat vredost 4.5. U posmatraom prmeru, sredja vredost je smeštea tačo a sred tervala kome prpadaju moguće vredost slučaje promeljve, što je posledca smetrčost zakoa raspodele vd.3. Dalje je: X µ P X 4.5 P X < 5 F5.5 P Uopšte, za sve smetrče raspodele važ: P X µ P X > µ.5 c Prema.: p /3 5/3 8/3 8/3 5/3 /3 M X 3 M X M 3 M X 3 6 Prmer.6 Ako promeljva ma ekspoecjalu raspodelu.7, odredt a jeu očekvau vredost; b očekvao vreme spravog rada uređaja z Prmera.3; c verovatoću da posmatra uređaj eće otkazat u toku očekvaog vremea spravog rada. 48

50 Rešeje a Prmejujemo formulu.8b, M λt te dt T tf t dt tf t dt+ tf t dt + λ Vredost esvojstveog tegrala dobjamo metodom parcjale tegracje λt u t, dv e dt λt v e dt e λ λt te uv vdu λ λt te te dt λ Imajuć u vdu: λt λ λt λt + e dt λt λ λt λt lm e lm te t t za tegral dobjamo koačo: λt e te λ λ e λt te λt te dt λ λt e λ λt λ a za tražeu sredju vredost, M T λ b M T λ /. daa c U ptaju je verovatoća T M T P >, a to je odgovarajuća vredost fukcje pouzdaost uređaja.8: T > M T e P.368 Za razlku od smetrče raspodele raspodela slučajh grešaka pr., gde je verovatoća da vredost slučaje promeljve bude veća od sredje vredost jedaka.5, u ovom slučaju oa je maja od.5 zbog asmetrčost raspodele. Sredja vredost fukcje slučaje promeljve Ako je Y ϕx fukcja slučaje promeljve X, verovatoća da oa uzme vredost ϕ, tačo je jedaka verovatoć da slučaja promeljva X uzme vredost : [ Y ϕ ] P X P 49

51 Tako je sredja vredost fukcje slučaje promeljve, u skladu sa.8 a,b, jedaka M Y M [ ϕ X ] ϕ p za dskretu promeljvu a µ.3 ϕ f d za eprekdu promeljvu b Tača očekvaa vredost meree fzčke velče Rezultat mereja X predstavlja, pod uslovom da e postoje sstematske grube greške, zbr tače vredost posmatrae velče, * slučaje greške X: X * + X.4 pa sam predstavlja slučaju velču. Šta je, oda, sredja l očekvaa vredost rezultata mereja? Prema..9, uzmajuć u obzr da je * kostata za dato mereje: M * * * X M + X M + M X + M X.5 Buduć da je raspodela slučajh grešaka smetrča oko ule, uzmajuć u obzr.3 zaključujemo, očekvaa vredost slučaje greške mereja jedaka je ul tj. M X očekvaa vredost sredja vredost rezultata mereja jedaka je tačoj * vredost meree velče tj. M X µ Sredje vredost brze ketčke eergje molekula gasa U ketčkoj teorj gasova, začaju prmeu maju sredja brza sredja ketčka eergja molekula gasa. Ako mamo u vdu da je gusta raspodele fv defsaa a celom tervalu - < < kao: za v < v f v prmeom formule.8b dobjamo: 4 u e 3 π u vf v dv 3 M V v 4 π u za v e v u 3 v dv 5

52 Metodom parcjale tegracje, za vredost tegrala dobjamo: e v u 4 3 u v dv što za sredju brzu, uz zraz za u.3a daje pozatu formulu u ketčkoj teorj gasova: µ v M V u π 8kT πm Ketčka eergja molekula gasa je fukcja jegove brze: Ek mv pa jeu sredju vredost dobjamo kao sredju vredost fukcje slučaje velče V.3b v u mv m 4 M Ek M mv f v dv 3 π e v dv u Vredost tegrala se može dobt [Hadžć O., Đ. Takač,.] dvostrukom parcjalom tegracjom prmeom pozatog rezultata z matematčke aalze Tako je: π e d v e u 4 v dv 3 8 πu 5 Smeom ovog zraza u jedaču za sredju vredost ME k dobjamo pozat zraz: 3 M E k kt.4. DISPERZIJA, STANDARDNO ODSTUPANJE I KOEFICIJENT VARIJACIJE Sredja vredost je ajvažja umerčka karakterstka raspodele slučaje promeljve. Ipak oa je dovolja za sagledavaje bth karakterstka slučaje promeljve. Ako dve slučaje promeljve maju stu sredju vredost, vredost jede od jh mogu da se vše raspaju oko sredje vredost ego vredost druge. Na prmer, je svejedo da l se slučaje greške mereja maje l vše raspaju oko ulte vredost, odoso da l se zmerea vredost maje l vše razlkuje od tače. Najšre 5

53 prhvaće pokazatelj raspaja vredost slučaje promeljve oko jee sredje vredost je dsperzja. Dsperzja DX predstavlja sredju vredost kvadrata odstupaja X M X X µ D X M[ X µ ].4 Poztva vredost korea dsperzje zove se stadardo odstupaje stadard devato : DX.5 Pošto stadardo odstupaje ma ste dmezje kao slučaja promeljva X, oo je pogodje kao pokazatelj odstupaja vredost X od sredje vredost ego dsperzja. U skladu sa defcjom, dsperzja se određuje kao: µ p za dskretu promeljv u a D X.6 µ f d za eprekdu promeljv u b Izvešćemo z.4 praktčju formulu za zračuavaje dsperzje: D µ X M[ X µ ] M[ X µ X + µ ] M X µ M X + D µ.7 X M X Osove osobe dsperzje su: Dsperzja kostate jedaka je ul: Dc.8 Dsperzja zbra kostate slučaje promeljve X jedaka je dsperzj za X: DX + c DX.9 Dsperzja prozvoda kostate slučaje promeljve X jedaka je prozvodu kvadrata kostate dsperzje X: DcX c DX.3 Prmer.7 Dokazat osobu.3 dsperzje. Rešeje D cx M[ cx M cx ] M[ cx cm X ] M c [ X µ ] c M X µ c D X 5

54 Prmer.8 Izračuat dsperzju slučaje promeljve X z prmera.5. kao slučaje promeljve X - 3. Rešeje Pogodo je korstt formulu.7: M X D X p 4 M X µ Dalje, prmea osoba.9-3 daje: D X 3 D X Često se kao relatva mera raspaja slučaje promeljve oko jee sredje vredost korst koefcjet varjacje koj predstavlja odos stadardog odstupaja sredje vredost δ.3 µ Naravo, kada je sredja vredost jedaka ul pr. za slučaju grešku meraje tada koefcjet varjacje je defsa. Pr koršćeju koefcjeta varjacje, treba bt obazrv ako je sredja vredost eke slučaje promeljve blska ul jer je tada o jako osetljv a promee stadardog odstupaja. Dsperzja slučaje greške mereja Za dsperzju slučaje greške mereja. se prmeom.6b dobja: D X e d π korsteć metod parcjale tegracje pozat rezultat z matematčke aalze: e d π Dakle, parametar u ormalom zakou raspodele. predstavlja upravo stadardo odstupaje. Tako, stadardo odstupaje ovde ma začeje pokazatelja greške eke mere metode l merog strumeta. Kao maksmala vredost slučaje greške mereja može se usvojt trostruka vredost stadardog odstupaja tzv. pravlo tr sgme. Name u Pogl..8 ćemo pokazat da je verovatoća da apsoluta vredost slučaje greške prekorač gracu od 3 vrlo mala, 53

55 P X > 3. 6 Stadardzovaa slučaja promeljva Ako je X slučaja promeljva sa sredjom vredošću µ stadardm odstupajem, slučaja velča Z X µ.3 se azva stadardzovaa l ormraa slučaja promeljva. Oa ema dmezja, a z osoba sredje vredost dsperzje zvodmo: µ z z,.33 Normalzovaa slučaja promeljva ma ultu sredju vredost jedču dsperzju..5 MOMENTI SLUČAJNE PROMENLJIVE Sredja vredost dsperzja predstavljaju specjale slučajeve parametara koj se azvaju momet. Pod cetralm mometom k-tog reda slučaje promeljve X podrazumeva se očekvaa vredost: ν k k M [ X µ ].34 Počet momet reda k se defše kao očekvaa vredost: k m M X.35 k Jaso je da je sredja vredost µ počet momet prvog reda, a da je dsperzja cetral momet drugog reda: µ m, ν Koefcjet asmetrje spljošteost Koefcjet asmetrje slučaje promeljve X je umerčka karakterstka koja daje formacju o stepeu asmetrčost jee raspodele. Defsa je kao kolčk cetralog mometa trećeg reda stadardog odstupaja: ν3 γ.36a 3 54

56 Koefcjet asmetrje skewess γ je bezdmezo parametar koj je jedak ul za smetrču raspodelu ν 3, a jegova egatva l poztva vredost ukazuje da je raspodela asmetrča Sl..a. γ > γ f γ <.a. Guste raspodele sa razlčtm koefcjetma asmetrje Koefcjet spljošteost kurtoss se defše kao ν4 γ 3.36b 4 za datu slučaju promeljvu pokazuje stepe spljošteost jee raspodele koj je jedak ul za ormalu raspodelu. Tako se ovaj koefcjet može posmatrat kao mera odstupaja od ormale raspodele po vs - krve guste sa oštrjm vrhom maju poztva koefcjet spljošteost a spljošteje krve maju egatva koefcjet spljošteost Sl..b γ > γ f γ <.b. Guste raspodele sa razlčtm koefcjetma spljošteost.6 BINOMNA RASPODELA 55

57 Ova dskreta raspodela ma velku prmeu u kotrol kvalteta prozvoda pogl. Posmatrajmo z ezavsh ekspermeata u lteratur pozat kao Beruljeva šema tj. za svak od jh važ da je jegov shod ezavsa od shoda ostalh opta. Neka je za svak od ekspermeata veza događaj A eka je verovatoća jegovog astupaja jedaka p, PA p. Bom zako daje verovatoću da će se u ekspermeata l proba posmatra događaj A dogodt puta. Dakle, broj astupaja događaja A u proba je slučaja velča X, koja ma bomu raspodelu verovatoće. Uzmmo sledeć prmer. Zamslmo da z torbe sa veoma velkm brojem kuglca, od kojh je % crveh, zvlačmo 5 kuglca. Ako je broj kuglca mogo već od 5, eće bt začajo da l kuglce ako zvlačeja vraćamo u torbu da b zvlačeja bla ezavsa l e. Kolka je verovatoća da će od pet zvučeh kuglca dve bt crvee? Ovde je događaj A zvlačeje crvee kuglce u blo kom zvlačeju jegova verovatoća je kostata jedaka: P A p Ozačmo verovatoću suprotog događaja A je zvučea crvea kuglca sa q, q - p. Treba am verovatoća da će u 5 poovljeh ekspermeata 5, događaj A astupt dva puta, odoso verovatoća događaja B: od pet zvučeh kuglca dve su crvee. Događaj B se može realzovat a razlčth međusobo sključvh ača, pa predstavlja zbr esaglash događaja defsah u prvoj kolo tabele. Pošto je verovatoća svakog od jh, buduć da je u ptaju prozvod ezavsh događaja, jedaka p q 3 dva puta događaj A tr puta događaj A mamo: pb p q 3.79 Faktor možemo dobt kao broj ača da z skupa od 5 elemeta zvlačeja:,, 3, 4, 5. zaberemo oa zvlačeja u kojma je dobjea crvea kuglca, dakle kao broj kombacja druge klase od 5 elemeta. Tabela uz Prmer zvlačeja 5 kuglca Događaj Izvlačeja u kojma se Kometar događaj A realzovao A A A A A, Crvee kuglce u prva dva zvlačeja A A A A A,3 Crvee kuglce u. 3. zvlačeju A A A A A,4 A A A A A,5 A A A A A,3 A A A A A,4 A A A A A,5 A A A A A 3,4 A A A A A 3,5 A A A A A 4,5 Kombacje su date u drugoj kolo tabele. 56

58 57 Možemo sada da zvedemo bom zako. Tražmo verovatoću, b,,p da u opta posmatra događaj A astup puta. Verovatoća svakog od događaja u kome je A u proba astupo puta je: p q - a ukupa broj takvh, međusobo sključvh događaja jedak je broju kombacja klase od elemeata. Tako je, q p p b X P,...,,,,,,.37 Za slučaju promeljvu, čj je zako raspodele dat jedačom.37, kažemo da je raspodeljea po bomom zakou. Nazv bom potče od toga što je q p,...,,,, + - v čla u razvoju boma p + q po bomoj formul: + q p q p Kako je p + q, mamo:,, q p p b tj. spuje je uslov.b. Podsetmo se da za bome koefcjete važ: k k.38a.38b.38c Prmer.9 Neka maša prozvod kompoeata/h tokom dužeg peroda svakh 3 muta je uzmao po uzoraka rad kotrole. Tako je uočeo da je proceat škarta %. Kolka je verovatoća da u slučajom uzorku od 6 kompoeata: a bude 4 esprava b e bude vše od 3 esprava c e bude jeda esprava Rešeje Prepozajemo bom model.37. Događaj A je dobjaje esprave kompoete, a jegova verovatoća, dobjea emprjsk, je

59 p /5, q p Broj opta, 6. Dat su tabela polgo raspodele p p q 5 4 6! 4!! a P X 4 b4,6, p. 54 b U ptaju je zbr događaja: P X 3 q b,6, p p q + pq + p q pq + 5p q + p q c Zač da je pa mamo P X b,6, p q q p q 3 3 Prmer. Paket hrae se pue automatsk udeo paketa, čja je teža spod omale, u veoma velkom uzorku je p. Uzorak od paketa je uzet slučajo. a Koj zako raspodele ma slučaja velča - broj defekth paketa u posmatraom uzorku? b Kolka je verovatoća da je vše od paketa u uzorku defekto, ako je p %, a velča uzorka? 58

60 59 Rešeje a Boma raspodela: b,, p b U ptaju je događaj suprota događaju da je ajvše paket defekta: [ ] [ ] 597.,,,, + + > pq q p b p b X P Sredja vredost dsperzja Sredju vredost slučaje promeljve sa bomom raspodelom račuamo kao: µ q p q p p b X M,, Kako je, [ ]!!!!!! dalje mamo: q p p q p p µ Prepozajemo - v stepe boma: p q p p + µ Slčm postupkom se z defcje dobja dsperzja. Tako su sredja vredost dsperzja slučaje promeljve sa bomom raspodelom parametr bome raspodele: p µ.39 pq q µ.4 Prmer. Odredt očekva broj espravh paketa u uzorku od komada ako je verovatoća pojave espravog paketa p. Prmer.9. Rešeje µ p. Prmer. Detaljom proverom kvalteta ampula pujeh tečošću utvrđeo je da je a ampula 75 spravh. a Odredt zako raspodele verovatoće slučaje promeljve: broj spravh ampula u slučajom uzorku od 6 ampula. b Odredt očekvau vredost dsperzju slučaje promeljve. c Koj broj spravh ampula u uzorku od 6 komada je ejverovatj?

61 Rešeje 3 a U ptaju je bom zako: b,6,, P X b,6,,,,,..., Slede tabelar grafčk prkaz zakoa raspodele: p p b µ p 4.5, DX pq.5 c Najverovatj broj ampula u uzorku je 5. Vdmo da je taj broj blzak očekvaoj vredost. Najverovatja vredost Kao što se z prethodog prmera vd, boma raspodela ma maksmum, tj. modu. Za ajverovatju vredost l modu m slučaje promeljve X, koja ma bomu raspodelu važ: b,, p < b,, p > b +, p m m m, z tog uslova se zvod terval u kome lež ajverovatja vredost: p - q m p + p.4 Prmer.3 Automat daje 8% espravh komada. Prozvod se, bez kotrole, pakuju u kutje od po 3 komada. Kolko će espravh komada bt ajčešće u kutj? 6

62 Rešeje Broj espravh komada u kutj ma bomu raspodelu sa 3 p.8. Tražmo ajverovatju vredost m : p < m m < Dakle u kutj će se ajčešće ać esprava komada. Deobom jedače.4 sa dobjamo: q m p p + Vdmo da kada eogračeo raste, ajverovatja vredost relatve frekvece posmatraog događaja A se prblžava jegovoj verovatoć p. Ovo je u skladu sa zakoom velkh brojeva statstčkom defcjom verovatoće Pogl..4. p.7 POASONOVA RASPODELA Poasoov Posso zako raspodele se može dobt kao grač slučaj bomog modela, kada obm uzorka tež beskoačost uz uslov da pr tom prozvod obma uzorka verovatoće posmatraog događaja, µ p ostae ograče. Tako se Poasoov model korst za opsvaje verovatoće retkh p je malo, međusobo ezavsh uslov za bom zako događaja kao što su: radoaktv raspad ekh zotopa, tj. emtovaje radoaktvh čestca cdet u dobro regulsaom saobraćaju smetje u telefoskom saobraćaju preosu podataka greške u račuarskm sstemma Slučaja promeljva je broj astupaja retkog događaja u vremeskom tervalu date duže vd Prmer 7.. Izvešćemo sada Poasoov zako polazeć od bomog, kao jegovu gracu, kada, p, a pr tom prozvod p µ ostaje kostata. lm b,, p lm p q p p cost p p cost Umesto p q zamejujemo: p µ/, q - µ/ 6

63 Kako su, lm b,, p p µ cost lm µ cost + µ! µ µ lm! µ µ µ mamo: lm µ lm µ lm e µ µ µ µ lm b,, p lm e!! S obzrom da smo uzel eogračeo velko, jaso je da dskreta slučaja promeljva X ma beskoačo mogo vredost,,,, podskup celh brojeva. Da zaključmo da slučaja promeljva X ma Poasoovu raspodelu ako je je zako raspodele gde je µ ek poztva broj. µ µ P X P, µ e,! µ,,,....4 Sredja vredost dsperzja Očekvau vredost dsperzju za Poasoovu raspodelu možemo dobt kao grače vredost th parametara za bomu raspodelu, kada, p, µ cost: µ p µ, lm p p p p cost p µ Dakle, sredja vredost dsperzja slučaje promeljve X raspodeljee po Poasoovom zakou su: µ µ.43 6

64 Aproksmacja bome raspodele Poasoovom Račuaje verovatoća je zato obmje kod bome ego kod Poasoove raspodele. Za dovoljo velko malo p boma raspodela se može aproksmrat Poasoovom. Praktč krterjum za prmeljvost takve aproksmacje je [Chatfeld C., 983.]: >, µ p < 5.44 Prmer.4 Proceat škarta pr prozvodj kompoeata u ekoj fabrc je %. Odredt verovatoću da je u uzorku od 6 kompoeata espravo: a 3 komada; b e vše od 3; c bar dva. Rešeje U ptaju je bom zako. Pošto je 6 > µ p 6.. < 5 spuje je uslov.44 možemo rešavaje problema zato uprostt zamejujuć bom zako Poasoovm. a µ µ.. P X 3 p3 P3, µ e e.867 3! 3! b c P P X 3 p + p + p + p3 P, µ + P, µ + P, µ + P3, µ 3 µ µ + µ + + e 6 µ.966 X P X < [ p + p ] µ µ [ P, µ + P, µ ] [ e + µ e ] Prmer.5 Automat daje 4% espravh prozvoda. Prozvod se pakuju u kutje po komada. U kom procetu kutja će se ać ajvše jeda esprava prozvod.? Rešeje Tražeu relatvu frekvecu ω ćemo, u skladu sa statstčkom defcjom verovatoće ω p, ać kao verovatoću da se u slučajom uzorku od komada ađe ajvše jeda defekta prozvod. U ptaju je slučaja promeljva sa bomom raspodelom b,,.4, pa mamo: ω PX p + p b,, p + b,, p ω q + p q % Pokušaćemo problem prblžo da rešmo aproksmrajuć bom zako Poasoovm, mada prv od uslova.44 je spuje: 63

65 ω p + p P, µ + P, µ µ.4 [ + µ ] e [ +.4] e % Dobl smo pak dobru proceu, koja se od tače vredost razlkuje maje od %..8 NORMALNA RASPODELA Ovo je ajvažja raspodela za prmee u statstčkoj obrad ekspermetalh podataka u društvem, prrodm tehčkm aukama. Sa jom smo se već delmčo upozal kroz dskusju slučajh grešaka mereja Pogl...4. Za eprekdu slučaju promeljvu X kažemo da ma ormalu l Gausovu raspodelu sa parametrma µ, što kratko ozačavamo sa ako je jea gusta: X : Nµ, µ f e, µ, >.45 π Sredja vredost dsperzja U odosu a Gausovu krvu raspodele slučajh grešaka Pogl.., krva guste.45 je pomerea u deso za µ jedca, pa je smetrča u odosu a pravu µ, te u skladu sa svojstvom sredje vredost za smetrču raspodelu.3, sredja vredost ormalo raspodeljee slučaje velče X jedaka je parametru µ: M µ µ.46 Drugm rečma, slučaja promeljva Y X µ, ma raspodelu detču raspodel slučajh grešaka mereja sa ultom sredjom vredošću u skladu sa osobama sredje vredost..9: M X M Y + µ M Y + M µ µ U skladu pak sa osobom.9 dsperzje rezultatom.3: D X D Y + µ D Y Dakle, dsperzja ormalo raspodeljee slučaje velče jedaka je kvadratu parametra, D X.47 Stadardzovaa ormala raspodela Laplasova fukcja 64

66 Može se pokazat Prmer. da ako je X slučaja promeljva sa ormalom raspodelom X:Nµ,, tada slučaja promeljva Y, koja je dobjea learom trasformacjom, Y ax + b, a ma takođe ormalu raspodelu. Dakle, stadardzovaa.3 ormalo raspodeljea slučaja promeljva, µ Z X koja ma ultu sredju vredost jedču dsperzju.33 ma takođe ormalu raspodelu, koja se zove stadardzovaa ormala raspodela, Z:N, sa gustom: fukcjom raspodele, z f z e.48 π z t F z P Z < z e dt.49 π Za praktče proračue potrebe su vredost fukcje stadardzovae ormale raspodele, F z. Pokazaćemo da se oe mogu dobt z Laplasove fukcje, Φz defsae kao: z Φ z.5 π e du F z u.5 Laplasova fukcja predstavlja verovatoću da vredost ormalzovae slučaje promeljve Z bude u tervalu,z: Φ z P < Z < z F z F F z.5 Geometrjsk, oa predstavlja površu spod krve guste stadardzovae ormale raspodele, f z, ad tervalom [,z] 65

67 Slka.3 Geometrjsk prkaz Laplasove fukcje S obzrom da je stadardzovaa ormala raspodela smetrča, važ: F -z - F z vd Sl..4 pa je: z F z.5 F z.5. F z Φ z Φ 5 Slka.4 Prkaz relacje F -z - F z Pokazal smo da je Laplasova fukcja, Φz epara fukcja zato je u oa u tablcama Prlog A, Tab. A data samo za poztve vredost argumeta z. Nalažeje vredost fukcje raspodele F eke slučaje promeljve sa ormalom raspodelom X:Nµ,, u okvru zračuavaja verovatoća, svod se a alažeje vredost Laplasove fukcje Φz jer je uzmajuć u obzr.5 X µ µ F X P X < P < P Z < z F. 5 z F z Φ z +.5 Neka se a prmer traž verovatoća da vredost ormalo raspodeljee slučaje promeljve X bude u tervalu,. Pošto je, P.6 µ µ µ µ < X < P < Z < F F ako skorstmo relacju.5, tražeu verovatoću račuamo z odgovarajućh vredost Laplasove fukcje, ađeh u tabel: µ µ P < X < Φ Φ.5 66

68 Apsoluto odstupaje od sredje vredost pravlo tr sgme Apsoluto odstupaje vredost slučaje promeljve od jee sredje vredost, X je slučaja promeljva: X X M X X µ.53 U praktčm problemma je često zamljvo ać kolka je verovatoća da apsoluto odstupaje.53 bude maje od zadate grace ε, odoso da vredost slučaje promeljve X pade u terval polušre ε, oko sredje vredost? Imajuć u vdu ekvvalecju, P X < ε P µ ε < X < µ + ε? X µ < ε X µ < ε tražea verovatoća je jedaka: P X < ε P Z < ε P ε < Z < ε Φ Koačo, ako uzmemo u obzr da je Laplasova fukcja epara: ε Φ ε P X < ε Φ.54 Nameće se deja da se kao polušra tervala ε oko sredje vredost kao cetra, uzme celobroj umožak stadardog odstupaja,. Dakle ptamo se kolka je verovatoća da vredost posmatrae slučaje velče pade u terval µ ±, µ ±, µ ± 3 td Iz formule.54 odgovarajućh tabelarh vredost Laplasove fukcje alazmo: P X < Φ a P X < Φ b P X < 3 Φ c Tako, a osovu dobjeh verovatoća možemo da zaključmo da u slučaju velkog broja poovljeh mereja eke fzčke velče sa ormalom raspodelom, oko /3 svh vredost pada u terval µ ± oko 95% svh vredost pada u terval µ ± oko 99.7% svh vredost pada u terval µ ± 3 Ako posmatramo pak verovatoće suproth događaja,.374,.456,.6, zapažamo da se vredost koja od sredje vredost odstupa, vše od, javlja prblžo jedom u tr mereja ε 67

69 vše od, javlja prblžo jedom u mereja 5% vše od 3, javlja prblžo jedom u 4 mereja.5% Dakle događaj da zmerea vredost odstup od tače vredost sredja vredost vše od 3, l drugm rečma da slučaja greška mereja bude po apsolutoj vredost veća od 3 je vrlo redak verovatoća maja od.3%, pa se kao maksmala slučaja greška mereja može usvojt trostruko stadardo odstupaje. To je pozato pravlo tr sgme. Prmer.6 Odstupaje, X deblje prozvedee glazrae keramčke pločce, X od omale vredost µ, X X - µ se može aproksmrat slučajom velčom sa ormalom raspodelom, X : N,.3. Odredt: a Očekva škart u prozvedeh komada, ako se kao sprave prhvataju pločce čja deblja odstupa od omale ajvše ε.5 mm. b Očekva broj pločca u komada čje su deblje: X µ -. l X µ +.5 c Očekva broj pločca u komada čje su deblje u tervalu: µ -.3 X µ +.4 Rešeje a Verovatoću da odstupaje X bude veće od.5 dobćemo preko verovatoće suprotog događaja P X >.5 P X Φ Φ.67 U tablc vredost Laplasove fukcje alazmo Φ , pa je P X > Ako mamo verovatoću događaja - pojava defekte pločce, p.95, oda je u skladu sa bomm zakoom l u skladu sa statstčkom defcjom verovatoće očekva broj defekth pločca m, u slučajom uzorku od komada jedak: m p b Kako su to dva sključva događaja, mamo: P X µ. + X µ +.5 P X µ. + P X µ P X µ. F µ. Φ Φ Φ Φ.667 Φ P X µ P X.5.5 µ +.5 P X < µ +.5 Φ Φ

70 Tako je tražea verovatoća p a očekva broj pločca m p c P µ.3 X µ +.4 Φ Φ.4.3 Φ + Φ Φ.33 + Φ m p Prmer.7 Odredt smetrča terval oko sredje vredost µ u koj vredost ormalo raspodeljee slučaje promeljve, X : Nµ, pada sa verovatoćom a 95% b 99% Rešeje Rešavamo problem, koj je obrut oome z prethodog prmera: mamo zadatu verovatoću, treba ać odgovarajuć terval vredost slučaje promeljve, čja je sreda µ. Polušra tražeog tervala, ε predstavlja gracu apsolutog odstupaja.53 defsaa je jedačom.54: P X < ε Φ ε a Zadata je verovatoća p.95, tražmo ε z jedače, Φ ε p.475 U Tab. A alazmo da Laplasova fukcja ma datu vredost.475 za vredost argumeta.96. Dakle, ε.96, ε. 96 traže terval je: µ.96, µ b Laplasova fukcja uzma vredost.99/.495, za vredost argumeta prblžo jedaku.58, pa je traže terval: µ.58, µ

71 Prmer.8 Vek trajaja elektroske lampe, h u časovma ma ormalu raspodelu X:N,5 a Nać verovatoću da ova elektroska lampa stog tpa traje ajmaje 5 časova. b Ako je jeda elektroska lampa već zdržala 9 časova, kolka je verovatoća da će zdržat još 5? Rešeje a Izračuaćemo tražeu verovatoću z verovatoće suprotog događaja, 5 P X 5 P X < 5 Φ Φ b Traž se uslova verovatoća: verovatoća da će astupt događaj, X > 5 pošto je astupo događaj, X > 9 račuamo je pomoću formule.6a: P X > 5/ X P > 9 [ X > 5 X > 9 ] P X > 9 P X > 5 P X > 9 9 P X > 9 P X 9 Φ Φ.5 + Φ P X > 5 P X > 5/ X > P X > 9 Kao što se moglo očekvat, dobjea je ešto veća verovatoća ego u a. Prmer.9 Neka fabrka margara pakuje margar u pakovaja, propsae mase, 5 g. Zbog ezbežh slučajh grešaka maše za pakovaje, mase pakovaja odstupaju od propsae. Kotrolom tokom dužeg vremeskog peroda je utvrđeo da % pakovaja ma masu maju od 5 g, dok 5% pakovaja ma masu jedaku l veću od 58 g. a Pretpostavljajuć da mase pakovaja margara maju ormalu raspodelu, zračuat sa preczošću od decmala mesta sredju vredost stadardo odstupaje. b Izračuat očekvae deve troškove prozvodje margara, ako su troškov po jedom pakovaju, dat formulom: masa pakovaja, g a deva prozvodja fabrke je 75 pakovaja. Rešeje a Na osovu podataka, P P odoso,.5 d kom. 5 µ 58 µ.5 Φ X < 5g F 5 Φ X > 58g F

72 5 µ Φ 58 µ Φ.4.45 Negatva vredost Laplasove fukcje, ukazuje a egatva argumet vd sl..3 majuć u vdu da je oa epara, prvu jedaču ćemo zamet ekvvaletom: µ Φ 5.4 Iz tabele vredost Laplasove fukcje alazmo, korsteć verzu learu terpolacju, vredost argumeata za dve date vredost fukcja:.4.45, Φ Φ t.4 t t.45 t. 645 Tako dobjamo dve jedače sa dve epozate: µ 5.88 µ µ.645 µ Rešeje sstema jedača, sa zadatom preczošću, je: µ 53.5 g,. 73 g b Očekvae troškove po jedom pakovaju, t dobjamo kao očekvau vredost slučaje promeljve defsae datom jedačom troškova: t M 6.75 Pošto je X µ, M X 6.79 X M X 6.79 M X M a u skladu sa Jed..7, X µ + za očekvae troškove po pakovaju margara dobjamo: t t. 53 d kom pa su očekva dev troškov prozvodje margara, 7

73 kom d T da kom d da.9 PRIMENE NORMALNE RASPODELE Normala raspodela je ajvažja kotuala raspodela u teorj prme matematčke statstke. Razlog za to je što su moge slučaje promeljve raspodeljee prblžo po ormalom zakou. Fzčko-hemjska mereja Rezultat mogh fzčko-hemjskh mereja se mogu dobro aproksmrat ormalom raspodelom. Takvh mereja ma dva tpa: mereja kod kojh su raspaja rezultata mereja posledca slučaje greške mereja mereja kojma se prate slučaje pojave pr. atmosferske prlke, pros poljoprvredh prozvoda, raze pojave u bologj sl. u kojma postoje prrode varjacje Log ormala raspodela Neke slučaje promeljve koje uzmaju samo poztve vredost emaju ormalu raspodelu, a jhova fukcja guste je asmetrča sa poztvm koefcjetom asmetrje Jed..36, Sl... Ako se, međutm, jhove vredost logartmuju, a dobjea gusta raspodele je prblžo smetrča, moguća je dobra aproksmacja takve raspodele ormalm zakoom. Drugm rečma, ako slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu X:Nµ, tada promeljva Y e X ma tzv. Log-ormalu raspodelu Y:logNµ, sa poztvm koefcjetom asmetrje. Zač da slučaja promeljva Y logartmovajem postaje ormala, tj. promeljva ly ma ormalu raspodelu. Za fukcju guste Log-ormale raspodele, postupkom opsam u Pog.. se može zvest: f Sredja vredost dsperzja raspodele su: e π l µ > Y µ e M µ+ 7

74 D µ+ e Y e Log-ormala raspodela, jee modfkacje, takođe ma začaju prmeu u auc tehc. Kako su ormala Log-ormala raspodela usko povezae, za proraču verovatoća Log-ormale raspodele se može korstt stadardzovaa ormala raspodela Pog..: F l µ l P Y < P X < P X < l P Z < F µ Aproksmacja bome raspodele Može se pokazat da je ormala raspodela dobra aproksmacja bome za velke vredost pod uslovom da p je blsko jedc ul. Na prmer za > aproksmacja je dobra za. 3 < p <.7 što je veće, šr je dozvolje opseg za p [Chatfeld C., 983.]. Kao krterjume dobre aproksmacje, Pavlć [Pavlć I., 97.] avod: < p <, + + pq > 9 pr čemu, za datu bomu raspodelu odgovarajuća ormala raspodela ma parametre µ p, pq.56 Prmer. Kocka se baca puta. Nać verovatoću da će se četvorka pojavt maje od 5 puta. Rešeje U ptaju je tpča problem bome raspodele sa, p, pa je rešeje: P X < 5 b,, p koje zahteva obma raču. Zato ćemo prblžo rešeje dobt zameom bome ormalom raspodelom sa parametrma, pošto su zadovolje krterjum.56. Parametr ormale raspodele su: µ p, pq , 4.8 Moramo da rešmo sledeć praktč problem veza za aproksmacju dskrete slučaje promeljve kotualom. Zamo da je za X sa bomom raspodelom: P b X 4 P b X < 5 gde deks b ozačava bomu raspodelu. Postavlja se ptaje da l tražeu verovatoću dobt prblžo kao: P N X 4 l P N X < 5, gde N ozačava 73

75 ormalu raspodelu, jer će se dobt dva razlčta rezultata. Može se postupt tako što će se kao rezultat usvojt artmetčka sreda dva rezultata: P X< 5 P X 4 + P X< 5 / N N l što će se kao rezultat usvojt verovatoća dobjea za gracu koja je artmetčka sreda zmeđu dve dskrete vredost: X< 5 P X< 4.5 P N Usvojćemo ovaj drug ač koj zahteva maje račua. Korstćemo Jed..5: P N X < 4.5 P Z < Φ Φ Φ Leara kombacja slučajh velča Može se pokazat da slučaja promeljva Y, koja predstavlja learu kombacju, međusobo ezavsh slučajh velča Y c X + c X + + c X.57 X,,,..., sa ormalom raspodelom N µ,,,...,, ma takođe ormalu raspodelu sa parametrma: µ c µ, c.58 To svojstvo se, a prmer, prmejuje pr kotrol kvalteta složeh prozvoda čje kompoete odlkuje ormala raspodela. Prmer. Maša pakuje prozvode čja je masa X ormalo raspoređea oko µ 5 g, sa stadardm odstupajem.4 g. Masa omota Y je raspodeljea po ormaloj raspodel sa µ 5 g.4 g. Odredt grace u kojma će bt masa % puh kutja u koje se pakuje po opsah paketa, a čja masa Z, kad su praze, ma raspodelu N3 g, g. Rešeje Masa puh kutja, V predstavlja sledeć zbr: V Z + X + Y ma ormalu rapodelu sa sledećm parametrma.58: µ v µ z + µ + µ g v v z g g 74

76 Prema.55b, P V µ <.9544 v v tj % puh kutja maće masu u gracama: 58 ± 9. g Zbr velkog broja slučajh promeljvh Uopšte, ormala zako raspodele se pojavljuje kad god se rad o slučajoj promeljvoj koja astaje kao rezultat utcaja velkog broja čoca, tj. kada predstavlja zbr velkog broja promeljvh, pr čemu je utcaj svakog pojedačog čoca ezata u odosu a ukupo dejstvo svh čloca zajedo. Ova tvrdja se zasva a cetraloj gračoj teorem [Vukadovć S., 99.]. Tpča prmer su slučaje greške mereja, koje su rezultat delovaja velkog broja ekotrolsah faktora od kojh jeda ema domata utcaj. U teorj formacja se pokazuje da ormala raspodela sadrž mmalu kolču formacja u odosu a blo koju drugu koja ma stu dsperzju, pa se pr aproksmacj eke raspodele ormalom e precejuje tačost posmatraja.. FUNKCIJA SLUČAJNE PROMENLJIVE Neka pozajemo gustu raspodele f eke slučaje promeljve, X. Kako defsat gustu raspodele g slučaje promeljve Y, koja je eka fukcja od X: X Y ϕ.59 Ogračćemo se a slučaj da je fukcja ϕ u tervalu mogućh vredost slučaje promeljve X strogo mootoo opadajuća l mootoo rastuća, eka se jee vredost kreću u tervalu m, M, koj može bt eograče: m < Y< Pretpostavka mootoost obezbeđuje uzajamo jedozaču korespodecju zmeđu vredost, odoso egzstecju verze fukcje, M ψ ϕ.6 Verovatoća da vredost Y pade u beskoačo mal terval, + d jedaka je, < Y< + d g d P Tačo tolka je verovatoća da X uzme vredost z tervala šre d to:, + d za d > fukcje ϕ ψ rastuće 75

77 gde vredost odgovara vredost, + d, za d < fukcje ϕ ψ opadajuće ψ a d je prraštaj promeljve X, kada vredost promeljve Y poraste za d. Dakle, jedak su odgovarajuć elemet verovatoće: g d f d f ψ d, d > Odos prraštaja d d daje prv zvod, d d ψ pa mamo, g d f ψ ψ d, d > koačo dobjamo tražeu gustu raspodele za Y: g f ψ ψ m < < M m M.6 Prmer. Pokazat da, ako slučaja promeljva X ma ormalu raspodelu Nµ,, slučaja promeljva, Y ax + b, a ma takođe ormalu raspodelu. Rešeje Data je gusta raspodele promeljve X: f µ ep π a fukcja a + b fukcja je, ψ ϕ je l rastuća a > l opadajuća a <. Iverza b a defsaa a celom tervalu + ψ a Formula.6 daje,,. Treba am je prv zvod: 76

78 77 µ + π µ + π µ π ψ ψ ep ep ep a b a a a b a a a a b f g poredeć sa ormalom raspodelom, zaključujemo da je u ptaju ormala raspodela sa parametrma: + µ µ a b a, Prmer.3 Polazeć od Maksvelove raspodele brza molekula dealog gasa, zvest raspodelu ketčkh eergja molekula dealog gasa. Rešeje Maksvelova raspodela za brzu molekula gasa, V data je jedačom.3: >, 4 / 3 v v v e kt m v f kt mv π Ketčka eergja je rastuća fukcja brze molekula mv Ek Iverza fukcja, defsaa a tervalu e k je zvod su, ', ψ ψ k k k k k e me e m e e v Prema formul.6, k k kt e k k me m e e kt m e e f k 4 3 / π ψ ψ pa je tražea gusta raspodele > π 3/ k k k kt e k e e e e kt e g k

79 ZADACI. U kutj se alaze 4 bele 3 crvee kuglce. Uzma se slučaja uzorak od 3 kuglce. a Defsat zako raspodele za slučaju promeljvu: broj belh kuglca u uzorku b Izračuat sredju vredost dsperzju. Uzorak velče uzma se a slučaja ač z osovog skupa sa N elemeata u kome je udeo elemeata koj maju eku karakterstku jedak p a prmer dobr prozvod, dok ostal elemet emaju tu karakterstku loš prozvod. Zako raspodele koj defše verovatoću da će se u uzorku ać elemeata koj maju posmatrau karakterstku zove se Hpergeometrjsk zako. Izvest ga..3 Verovatoća da je ek prozvod z serje prozvoda defekta je kostata jedaka p. Izvest zako raspodele p za slučaju promeljvu X, koja predstavlja red broj prvog defektog prozvoda u serj,,... provert da l je spuje uslov p..4 Događaj A astupa u ekom ekspermetu sa verovatoćom p.3. Neka je X broj astupaja događaja A u zu od 5 opta. a Kako glas zako verovatoće za X, b Izračuat PX 3, c Izračuat sredju vredost dsperzju..5 Odredt, a Verovatoću da se u 8 bacaja kocke šestca pojav 3 puta b Očekva broj šestca u 8 bacaja kocke?.6 Verovatoća pogotka clja u jedom gađaju je p.. Kolko gađaja treba zvest da b sa verovatoćom e majom od.9 clj bo pogođe bar jedom?.7 U serj prozvoda ma % škarta. Kolk treba da je uzorak pa da verovatoća pojave bar jedog škarta u uzorku e bude maja od.95?.8 Kvaltet prozvedeh kompoeata se sptuje a uređaju čja je pouzdaost 9% u % slučajeva pogrešo razvrstava prozvode. Da b se povećala pouzdaost kotrole, svaka kompoeta se testra 5 puta smatra spravom ako je rezultat testa poztva 3 l vše puta. Kolka je verovatoća pogreše klasfkacje?.9 Slučaja promeljva X ma Poasoovu raspodelu sa µ 3. Nać verovatoću da X a bude maje od sredje vredost b bude poztvo.. Automat daje 4% defekth prozvoda. Prozvod se pakuju u kutje po 5 komada. a U kolko će se posto kutja alazt ajvše jeda defekta komad? b Postže l se Poasoovom raspodelom zadovoljavajuća aproksmacja, ako se dozvoljava maksmala greška rezultata od.5%? 78

80 . Slože mehazam se sastoj od podjedako pouzdah elemeata. Verovatoća kvara svakog od jh je.5. Nać verovatoću da mehazam otkaže, ako otkazvaje astupa kada otkaže bar jeda od elemeata.. Za odvjaje jedog procesa eophodo je da stovremeo rad stoveth maša. Pouzdaost svake od jh je 95%. a U kom procetu slučajeva b proces bo prekut, ako e b blo rezervh maša? b Kolko rezervh maša je eophodo pa da se sa verovatoćom 99% može očekvat da eće bt prekda procesa?.3 Jeda velka serja sadrž 4% defekth prozvoda. Prozvod se bez prethode kotrole zdvajaja lošh pakuju u kutje od 5 komada. a Kolko će defekth prozvoda sadržavat ajveć broj kutja? b Kolk je proceat takvh kutja?.4 Ako je u prozvodj ekh artkala % espravh, ać verovatoću da se u uzorku od artkala ađu a tr esprava; b ajmaje tr esprava..5 Automat daje u proseku % defekth prozvoda. U kojm će se gracama kretat broj defekth prozvoda u uzorcma od prozvoda, sa verovatoćom 95%?.6 Duže klova koje prozvod eka fabrka maju ormalu raspodelu sa µ 3.7,.. Klov krać od.983 l duž od 3. smatraju se defektm. Odredt očekva broj prekratkh predugačkh klova u uzorku od 3 komada..7 Maša prozvod metale špke duže 4 cm sa toleracjom ε.5 cm. Na osovu dužeg posmatraja utvrđeo je da je.3 cm. a Kolk broj špk će bt u tervalu toleracje? b Kolka b trebalo da bude toleracja da b prozvodja dala 95% metalh špk sa dužom u tervalu toleracje?.8 Slučaje greške mereja maju ormalu raspodelu sa µ, 8 mm. Nać verovatoću da od tr greške međusobo ezavsh mereja a bar jeda e bude veća od 4 mm, b bar jeda, po apsolutoj vredost, e bude veća od 4 mm..9 Slučaja promeljva ma ormalu raspodelu N3,4. Izračuat P X > 9 P X > 9 / X > 5. Nek prozvođač deterdžeta ma mašu za pakovaje po 5 g deterdžeta u jedu kutju. Dužom kotrolom prozvoda utvrđeo je da je sredja masa deteržeta u kutj 56 g, sa stadardm odstupajem g. Uz pretpostavku da mase deterdžeta u kutjama maju ormalu raspodelu, a Izračuat proceat kutja koje sadrže vše od propsae kolče deterdžeta., b Izračuat ou sredju vredost stadardo odstupaje raspodele masa deterdžeta, koj b prepolovl proceat prepujeh kutja u sto vreme obezbedl da ajvše % kutja sadrž maje od 497 g. c Kolka b se proseča ušteda u deterdžetu % postgla?. U pogou za pasterzacju mleka, pasterzovao mleko se automatsk pu u tetrapak-pakovaje, zapreme l. Dužm posmatrajem, kostatovao je da 8% 79

81 pakovaja sadrž maje od propsae kolče mleka, dok 3% pakovaja sadž vše od.5 l. Ako se pretpostav da kolča mleka u tetra pakovaju ma ormalu raspodelu, a Izračuat sredju vredost stadardo odstupaje sa preczošću od tr decmale. b Izračuat očekvau vsu troškova prozvodje l pasterzovaog mleka, ako je formula za zračuvaje troškova prozvodje ltara mleka: t d. Otpor elektrčh otporka ma ormalu raspodelu N5Ω,.Ω. Slučajm zborom uzmemo dva takva otporka vežemo h a red. Kolka je verovatoća da taj spoj ma otpor zmeđu 9.5.5Ω?.3 Verovatoća da jeda sjalca traje duže od t časova jedaka je, u >. a Defsat gustu verovatoće očekvau vredost vremea trajaja sjalce. b Ako je sredje vreme trajaja sjalca 5 h, sa kolkm rzkom možemo da očekujemo da će sjalca trajat bar 3 h? c Koje sredje vreme trajaja obezbeđuje da ajvše jeda od hljadu sjalca toga tpa pregoreva pre 5 sat upotrebe?.4 Ako slučaja promeljva ma ekspoecjalu raspodelu, defsat gustu raspodele, g za slučaju promeljvu: a Y 3 X+ X b Y e U oba slučaja provert uslov: g d.5 Slučaja promeljva X ma raspodelu Nµ,. Ako je raspodelu: f e π Kako se zove ova raspodela? l µ > t e u X Y e, pokazat da Y ma 8

82 3 Dvodmezoala slučaja promeljva Često je u praks eophodo da se paralelo prate vredost vše slučajh promeljvh. Na prmer, pr praćeju kvalteta prozvedeh keramčkh pločca, kotrolšu se sve tr dmezje. Sstem od slučajh promeljvh X, X,..., X azva se - dmezoala slučaja promeljva l - dmezoal slučaj vektor. Ogračćemo razmatraja a dvodmezoale slučaje velče. 3. DISKONTINUALNA SLUČAJNA PROMENLJIVA X,Y Pretpostavmo da, u okvru stog ekspermeta l pojave, slučaja promeljva X može da uzma vredost,,...,, a slučaja promeljva Y, vredost,,...,m. Fukcja, p, j P X, Y j pj,...,,, j,..., m 3. kojom se svakom paru vredost, j slučaje promeljve X,Y prdružuje odgovarajuća verovatoća p j, predstavlja zako raspodele verovatoće dvodmezoe dskotuale promeljve X,Y. Jaso je da mora bt zadovolje uslov: m j p 3.a Raspodelu verovatoća po pojedm parovma, j, koju ćemo kratko zvat dvodmezoala raspodela, pogodo je prkazat tabelom, tj. matrcom koja se dobja kada se m matrca verovatoća 3., p j ], m j P [ 3.b prošr koloom sa vredostma promeljve X vrstom sa vredostma promeljve Y Tab

83 Tabela 3. - Raspodela verovatoća dskrete dvodmezoale promeljve j m p p p j p m p p p j p m p p p j p m p p p j p m p p p j Sume verovatoća po pojedm vrstama date su u posledjoj kolo: p p p p p m m j p pj,,..., a sume verovatoća po pojedm koloama, u posledjoj vrst tabele: 3. U skladu sa 3.a: p pj, j,..., m p m j p j 3.3 Fukcja raspodele Fukcja raspodele F, dvodmezoale slučaje promeljve X, Y predstavlja verovatoću stovremee realzacje događaja: X <, Y < : 8 F, PX <, Y < 3.4 Drugm rečma, oa daje verovatoću da slučaja tačka X,Y u rav O pade u beskoača kvadrat sa gorjm desm temeom u tačk,. Jaso je da je: F, eopadajuća fukcja po oba argumeta F,, F, Prmer 3.: Data je raspodela dvodmezoale slučaje promeljve: 3/8 /8 /8 6/8 3 /8 3/8 /8 6/8 4 /8 /8 4/8 6/8 5/8 6/8 7/8 a Kolka je verovatoća događaja: X 3, Y?

84 b Odredt vredost fukcje raspodele: F,4, F,, F5,3, F.5,.5, F3.5,. Rešeje a P X, Y p 8 3, 3 b Pošto slučaje promeljve e uzmaju egatve vredost F F,4 P X<, Y< 4, P X<, Y< Pošto sve moguće slučaje tačke X, Y prpadaju oblast < 5, < 3 F 5,3 P X< 5, Y< 3 U oblast <.5, <. 5 lež samo jeda moguća slučaja tačka, sa koordatama,, pa je F.5,.5 F3, P X< 3, Y< p 3 8, F3.5, predstavlja zbr svh elemeata podmatrce matrce P, 3.b koju obrazuju prva druga vrsta < 3.5 < 4 prva druga koloa < : 3/8 /8 p, j ],, j, F3.5, 9/8/ /8 3/8 [ Margale raspodele U skladu sa pravlom sabraja verovatoća, apsoluta verovatoća da slučaja promeljva X uzme vredost bez obzra koju će vredost uzet druga slučaja promeljva Y, jedaka je p Jed.3.. Tako parov, p,,..., Tab. 3. defšu jedodmezoalu raspodelu slučaje promeljve X, koja se zove margala raspodela promeljve X, m p p, p j,..., j 3.5a Slčo, parov j, p j, j,...,m defšu margalu raspodelu promeljve Y. p p, j m p j j j,..., 3.5b Tabela Margale raspodele X p p p p Y m p p p p m 83

85 Margala raspodela promeljve X data je prvom posledjom koloom tabele Tab. 3., a margala raspodela za Y prvom posledjom vrstom otuda potče azv margale vče. Iz date defcje sled defcja margalh fukcja raspodele. Ako drugom argumetu, u fukcj 3.4 dodelmo vredost zač, blo koja vredost, dobjamo margalu fukcju raspodele promeljve X, P X <, Y < F, F 3.6a Aalogo defšemo margalu fukcju raspodele promeljve Y P X <, Y < F F, 3.6b Prmer 3. Za dvodmezoalu raspodelu datu u prethodom prmeru, a Odredt verovatoću događaja X 3 bez obzra koju vredost uzme Y? b Formrat margale raspodele p p j. Rešeje a PX 3 p, + p, + p,3 /8 + 3/8 + /8 6/8 b 3 4 p 6/8 6/8 6/8 p 5/8 6/8 7/8 p dobjamo kao zbrove elemeata pojedh vrsta matrce P 3.b, a p j kao zbrove elemeata pojedh koloa te matrce. Vdmo da slučaja promeljva X ma ravomeru raspodelu verovatoće cost. p 3. NEPREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA X,Y Ako je fukcja raspodele F, 3.4 eprekde slučaje promeljve X,Y, eprekda dferecjabla, može se defsat gusta dvodmezoale eprekde raspodele: F, f, 3.7 Geometrjsk, fukcja f, predstavlja površ u trodmezoalom prostoru Sl. 3.. Verovatoća da slučaja tačka sa koordatama X,Y pade u eku oblast D, data je tegralom: [ X, Y D] P f, dd 3.8 Oa predstavlja zbr elemetarh verovatoća f,dd da slučaja tačka X,Y pade u pravougaok sa jedm temeom u tačk, stracama d d Sl. 3.. D 84

86 Slka 3. Dvodmezoala raspodela Slka 3. Elemet verovatoće Očgleda je, a osovu Jed. 3.8, sledeća veza zmeđu guste fukcje raspodele: kao uslov: F, P X<, Y< f u, v dudv 3.9 f, dd 3. Geometrjsk, uslov3. zač da je zaprema tela ogračeog sa rav O površ f, vd Sl. 3. jedaka jedc. Prmer 3.3 Data je sledeća raspodela dvodmezoala ekspoecjala raspodela: e f, + za, ace a Provert uslov 3.. b Izračuat verovatoću P < X <, < Y < c Izračuat verovatoću PX > Y d Nać fukcju raspodele F,. 85