Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor"

Transcript

1 Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute axiomele: i) operaţia " " este asociativă, ii) operaţia " " admite element neutru, iii) orice element din G este simetrizabil faţă de operaţia " ". Dacă, în plus, este satisfăcută axioma: iv) operaţia " " este comutativă, atunci spunem că grupul (G, ) este comutativ (abelian). Cel mai adesea vom nota operaţia unui grup sub formă multiplicativă, elementul său neutru cu e, iar inversul unui element x cu x -1. Propoziţia 1. Pentru un semigrup (G, ), următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) (G, ) este grup. ii) Pentru orice a, b G, ecuaţiile ax = b şi ya = b admit soluţii în G. iii)a)există e d G (respectiv e s G) astfel încât xe d = x (respectiv e s x = x), pentru orice x G. 1

2 b)pentru orice x G există ' x d G (respectiv ' x s G) astfel încât x x = e d (respectiv ' d ' xs x = e s ). Definiţia 2. O submulţime nevidă H a unui grup (G, ) se numeşte subgrup al lui G (şi notăm acest fapt prin H G), dacă îndeplineşte următoarele condiţii: i) H este parte stabilă a lui G. ii) H înzestrată cu operaţia indusă este grup. Propoziţia 2. Pentru o submultime nevidă H a unui grup (G, ), următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) H este subgrup al lui G. ii) a)pentru orice x, y H rezultă xy H. b)pentru orice x H rezultă xx -1 H. iii) Pentru orice x, y H rezultă xy -1 H. Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, atunci {e} şi G sunt subgrupuri ale lui G numite improprii; orice alt subgrup al lui G va fi numit propriu. Propoziţia 3. Dacă (G, ) este un grup şi (H i ) i I este o familie de subgrupuri ale lui G, atunci i I H i este subgrup al lui G. Definiţia 3. Fie (G, ) un subgrup şi S o submulţime a lui G. Intersecţia tuturor subgrupurilor lui G care conţin mulţimea S (această intersecţie fiind un subgrup, conform propoziţiei precedente) se numeşte subgrupul generat de S în G şi se notează cu [S]. 2

3 Dacă H este un subgrup al lui G şi H = [S], atunci spunem că S este un sistem de generatori al lui H sau că S generează pe H. Dacă, în plus, S este finit, atunci spunem că H este finit generat sau de tip finit. Un subgrup H al lui G care admite un sistem de generatori format dintr-un singur element s se numeşte subgrup ciclic generat de s şi se notează cu [s]. Propoziţia 4. Dacă (G, ) este un grup şi S este o submulţime a lui G, atunci subgrupul [S] al lui G generat de S este format din toate produsele finite de elemente din S şi de inverse ale acestora. Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, L(G) = {H H G} şi introducem următoarele operaţii binare pe L(G): i) " " : L(G) L(G) L(G), (H 1, H 2 ) H 1 H 2 = H 1 H 2, ii) " " : L(G) L(G) L(G), (H 1, H 2 ) H 1 H 2 = [H 1 H 2 ], atunci (L(G),, ) este o latice completă, numită laticea subgrupurilor grupului G. Fie, în cele ce urmează, un grup G şi H un subgrup al lui G. Considerăm pe G relaţiile binare R s şi R d definite prin: x R s z, dacă x -1 y H, x R d y, dacă xy -1 H. R s şi R d sunt relaţii de echivalenţă pe G, numite relaţiile de congruenţă la stânga, respectiv la dreapta modulo H. Clasa de echivalenţă a unui element x G relativ la R s (respectiv R d ) este xh = {xh h H} (respectiv Hx = {hx h H}). 3

4 xh G/ R s d Propoziţia 5. Aplicaţia ϕ : G/ R G/ R, ϕ(xh) = Hx -1, oricare ar fi s este o bijecţie. s d În particular, dacă una din mulţimile factor G/ R sau G/ R este finită, atunci şi cealaltă este finită şi ele au acelaşi număr de elemente. Spunem în acest s d caz că H are indice finit în G, iar numărul G/ R = G/ R se numeşte indicele lui H în G şi se notează cu [G : H]. Definiţia 4. Dacă G este un grup finit, atunci numărul elementelor sale se numeşte ordinul lui G şi se notează cu ordg. Propoziţia 6. (teorema lui Lagrange) Dacă G este un grup finit şi H un subgrup al său, atunci : ordg = [G : H] ordh. Propoziţia 7. Fie (G, ) un grup şi H un subgrup al lui G. Următoarele condiţii sunt echivalente: i) Relaţiile de congruenţă la stânga şi la dreapta modulo H coincid. ii) Pentru orice x G, avem xh = Hx. iii) Pentru orice x G, avem xhx -1 H. Definiţia 5. Spunem că subgrupul H este divizor normal sau subgrup normal al grupului G (şi notăm aceasta prin H G), dacă îndeplineşte condiţiile echivalente ale propoziţiei anterioare. Spunem că G este grup simplu, dacă nu admite divizori normali proprii. 4

5 Observaţie. Dacă (G, ) este un grup, H un divizor normal al lui G şi s d introducem pe mulţimea factor G/ H = G/ R = G/ R (unde R s şi R d sunt relaţiile de congruenţă modulo H) operaţia algebrică (xh) (yh) = xyh, x, y G, atunci (G / H, ) este grup. Elementul său neutru este eh = H, iar inversul unui element xh G / H este x -1 H. Numim grupul (G / H, ) grupul factor (cât) al lui G în raport cu divizorul normal H. Observaţie. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri şi G 1 G 2 = {(x 1, x 2 ) x 1 G 1 şi x 2 G 2 } produsul lor cartezian. Pe G 1 G 2 definim următoarea operaţie algebrică: (x 1, x 2 ) ( x, x ) = (x 1 ' 1 ' 2 ' x 1, x 2 ' x 2 ). Atunci (G 1 G 2, ) este un grup, în care elementul neutru este perechea (e 1, e 2 ), iar inversul unui element (x 1, x 2 ) este perechea ( x, x ) (unde am notat prin e i elementul neutru al grupului G i şi prin x i -1 simetricul elementului x i în grupul G i, i = = 1, 2). Grupul (G 1 G 2, ) se numeşte produsul direct (extern) al grupurilor G 1 şi G Propoziţia 8. Fie (G, ) un grup şi H 1, H 2 două subgrupuri ale sale. Următoarele condiţii sunt echivalente: i) a) H 1 G, H 2 G. b)g = H 1 H 2. c)h 1 H 2 = {e}. ii) a)orice element x G se scrie în mod unic sub forma x = x 1 x 2, cu x 1 H 1 şi x 2 H 2. b)pentru orice pereche (x 1, x 2 ) H 1 H 2, avem x 1 x 2 = x 2 x 1. 5

6 În acest caz spunem că G este produsul direct (intern) al subgrupurilor H 1 şi H 2. II.2. Ordinul unui element; grupuri ciclice Fie (G, ) un grup, a G şi k Z. Notăm a k = a a a a, pentru k > 0, k ori e, pentru k = 0, a a a, pentru k < 0. ( k ) ori Definiţia 1. Spunem că a are ordin infinit dacă a k e, pentru orice k Z *. Spunem că a are ordin finit dacă există k 0 Z * astfel încât a k 0 = e.în acest caz avem {k N* a k = e}, iar numărul natural nenul inf{k N* a k = e} se numeşte ordinul lui a şi se notează cu ord(a). Propoziţia 1. (proprietăţi ale ordinului) Fie (G, ) un grup. Au loc: i) Un element a G are ordin finit, dacă şi numai dacă există k 1, k 2 k 2 Z, k 1 k 2 astfel încât 1 k a = a. ii) Un element a G are ordin infinit, dacă şi numai dacă, pentru orice k 2 k 1, k 2 Z, k 1 k 2, avem 1 k a a. iii) Pentru un element a de ordin n, avem a k = e (k Z), dacă şi numai dacă n / k. iv) ord(a) = ord(a -1 ), pentru orice a G. v) ord(ab) = ord(ba), pentru orice a, b G. 6

7 vi) ord(xax -1 )= ord(a), pentru orice a, x G. Propoziţia 2. Dacă (G, ) este un grup finit, atunci orice element al său are ordin finit şi ordinul oricărui element este divizor al ordinului grupului. Definiţia 2. Spunem că grupul (G, ) este ciclic dacă există a G astfel încât G coincide cu subgrupul ciclic [a] generat de a. În acest caz spunem că a este generator al grupului ciclic G. Propoziţia 3. Fie (G, ) un grup, a G şi [a] grupul ciclic generat de a. Atunci: i) [a] este infinit, dacă şi numai dacă generatorul a are ordin infinit. ii) [a] este finit şi ord[a] = n, dacă şi numai dacă generatorul a are ordin finit şi ord(a) = n. În prima situaţie avem [a] = {, a -1, a -1, e, a 1, a 2, } (şi îl notăm prin [a] ), iar în cea de-a doua avem [a] = {e, a, a 2,, a n-1 } (şi îl notăm prin [a] n ). Propoziţia 4. i)orice grup ciclic este comutativ. ii)orice subgrup şi orice grup factor ale unui grup ciclic sunt ciclice. Observaţie. Mai multe proprietăţi ale ordinului unui element şi ale grupurilor ciclice vor fi prezentate sub formă de probleme. 7

8 II.3. Morfisme de grupuri; teoreme de izomorfism Definiţia 1. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri. O aplicaţie f : G 1 G 2 se numeşte morfism de grupuri dacă : f(x y) = f(x) f(y), pentru orice x, y G 1. Dacă, în plus, f este aplicaţie injectivă (respectiv surjectivă, respectiv bijectivă), atunci morfismul f va fi numit monomorfism (respectiv epimorfism, respectiv izomorfism) de grupuri. În situaţia în care f este izomorfism, spunem că grupurile (G 1, ) şi (G 2, ) sunt izomorfe şi notăm acest fapt prin G 1 G 2. Dacă G este un grup, atunci un morfism (respectiv un izomorfism) de grupuri f : G G va fi numit endomorfism (respectiv automorfism) al grupului G. Exemple. Fie (G, ) un grup şi H un subgrup al său. 1)Aplicaţia u : H G, u(h) = h, pentru orice h H, este un monomorfism de grupuri, numit incluziunea canonică. 2)Dacă, în plus, H G, atunci aplicaţia p : G G/H, p(x) = xh, pentru orice x G este un epimorfism de grupuri, numit proiecţia canonică. 3)Aplicaţia identică 1 G : G G, 1 G (x) = x, pentru orice x G, este un automorfism al grupului G. Definiţia 2. Fie (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri şi f : G 1 G 2 un morfism de grupuri. Atunci mulţimile: Kerf = {x G 1 f(x) = e 2 }, Imf = {y G 2 există x G 1 astfel încât f(x) = y}, sunt numite nucleul, respectiv imaginea morfismului f. 8

9 Propoziţia 1. Considerând (G 1, ) şi (G 2, ) două grupuri, f : G 1 G 2 un morfism de grupuri şi notând cu e 1, e 2 elementele neutre din G 1, G 2, respectiv cu x, x simetricele elementelor x 1 G 1, x 2 G 2, avem: i) f(e 1 ) = e 2. ii) f( x ) = [f(x 1 )] -1, pentru orice x 1 G iii) Imf G 2, Kerf G 1. iv) f este monomorfism, dacă şi numai dacă Kerf = {e 1 }. v) f este epimorfism, dacă şi numai dacă Imf = G 2. vi) f este izomorfism, dacă şi numai dacă există un morfism de grupuri g : G 2 G 1 astfel încât f g = 1G 2 şi g f = 1G 1. Propoziţia 2. Fie f : G 1 G 2 un morfism de grupuri şi H 1 G 1, H 2 G 2. Atunci: i) a) f -1 (H 2 ) G 1. b) Dacă, în plus, H 2 G 2, avem f -1 (H 2 ) G 1. ii) a) f(h 1 ) G 2. b) Dacă, în plus, H 1 G 1 şi f este epimorfism, avem f(h 1 ) G 2. Propoziţia 3. (teorema 1 de izomorfism pentru grupuri) Dacă f : G 1 G 2 este un morfism de grupuri, atunci există un izomorfism canonic de grupuri ϕ : G 1 / Kerf Imf, ϕ(x Kerf) = f(x), pentru orice x G 1. Propoziţia 4. (teorema 2 de izomorfism pentru grupuri) Fie f : G 1 G 2 un morfism de grupuri. Au loc: 9

10 i) Dacă H 2 G 2 şi H 1 = f -1 (H 2 ) atunci există un monomorfism canonic de grupuri f : G1/ H1 G2 / H2, f (xh 1 ) = f(x)h 2, pentru orice x G 1. ii) Dacă, în plus, f este epimorfism, atunci: a) Există o corespondenţă biunivocă între mulţimea subgrupurilor H 1 ale lui G 1 ce conţin Kerf şi mulţimea subgrupurilor H 2 ale lui G 2 (anume H 1 f(h 1 )). b) f este izomorfism. Corolar. Fie G un grup, H G şi p : G G / H proiecţia canonică. Atunci: i)există o corespondenţă biunivocă între mulţimea subgrupurilor K ale lui G ce conţin pe H şi mulţimea subgrupurilor K ale lui G / H (K p(k) = K / H). ii)dacă K G astfel încât H K,atunci K / H G / H şi există un izomorfism canonic ϕ : G / K (G / H) / (K / H). Propoziţia 5. (teorema 3 de izomorfism pentru grupuri) Dacă G este un grup, H G şi K G, atunci există un izomorfism canonic de grupuri Ψ : K / K H (KH) / H. Propoziţia 6. Orice grup ciclic este izomorf fie cu grupul (Z, +) (în cazul în care este infinit), fie cu grupul (Z n, +) (în cazul în care este finit de ordin n). 10

11 Observaţie. Fie G un grup. Atunci mulţimea AutG ={f : G G f = =automorfism} împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor este un grup, numit grupul automorfismelor grupului G. II.4. Grupuri de permutări Observaţie. Fie M o mulţime nevidă. Atunci mulţimea S(M) = {f : M M f = bijectivă}, împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor, este un grup, numit grupul permutărilor mulţimii M (sau grupul simetric asociat mulţimii M). Dacă N este o mulţime având proprietatea că există o bijecţie între N şi M, atunci grupurile S(N) şi S(M) sunt izomorfe. Definiţia 1. Fie n N, n 2. Grupul permutărilor mulţimii {1, 2,, n} se numeşte grupul permutărilor (substituţiilor) de grad n (sau grupul simetric de grad n) şi se notează cu S n. O permutare α S n va fi notată α = 1 2 n, iar α(1) α(2) α( n) permutarea identică a lui S n cu e. Observaţie. 1)ordS n = n!. 2)S n este grup necomutativ, pentru n 3. Definiţia 2. Fie I = {i 1, i 2,, i r } {1, 2,, n} (unde r n). O permutare σ S n se numeşte permutare ciclică (ciclu) de lungime r determinată de mulţimea I, dacă: 11

12 i) σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,, σ(i r ) = i 1 ; ii) σ(i) = i, pentru orice i {1, 2,, n} \ I. Notăm σ = (i 1, i 2,, i r ). Observaţie. 1) Pentru orice k {1, 2,, r}, avem : (i 1 i 2 i r ) = (i k i k+1 i r i 1 i k-2 i k-1 ). 2) Au loc: i)σ h (i k ) = i h+k, dacă 1 h + k r, ii)σ h (i k ) = i h+k-r, dacă r < h + k 2r. 3) ord(σ) = r. 4) Dacă r = 1, atunci σ = e. Definiţia 3. Doi cicli σ = (i 1 i 2 i r ) şi τ = (j 1 j 2 j s ) se numesc disjuncţi, dacă {i 1, i 2,, i r } {j 1, j 2,, j s } =. Propoziţia 1. Orice doi cicli disjuncţi comută. Propoziţia 2. Orice permutare din S n se scrie în mod unic ca un produs finit de cicli disjuncţi, abstracţie făcând de ordinea factorilor şi de ciclii de lungime 1. Propoziţia 3. Dacă α S n este descompusă în produs de cicli disjuncţi α = σ 1 σ 2 σ k, atunci ord(α) = c.m.m.m.c.{ord(σ 1 ), ord(σ 2 ),, ord(σ k )}. Definiţia 4. Un ciclu de lungime 2 se numeşte transpoziţie. 12

13 Propoziţia 4. Orice permutare din S n se scrie ca un produs finit de transpoziţii; scrierea nu este unică, dar, pentru orice scriere a unei permutări ca produs de transpoziţii, paritatea numărului factorilor este aceeaşi. 1 2 n Observaţie. Fie α = S n. O pereche (i, j) se α(1) α(2) α( n) numeşte inversiune a permutării α, dacă i < j şi α(i) > α(j). Notăm cu inv(α) numărul inversiunilor permutării α. Definim, de asemenea, aplicaţia ε : S n {-1, 1}, εα ( ) = ε(α) poartă numele de semnul (signatura) permutării α. Avem ε (α) = (-1) inv(α), pentru orice α S n. α( j) α( i). j i 1 < i j n Definiţia 5. O permutare α S n se numeşte pară, dacă ε(α) = +1 şi se numeşte impară, dacă ε(α) = -1. Observaţie. Considerăm transpoziţia σ = (i j) S n. Dacă presupunem i < j, atunci inv(σ) = 2(j 1) 1. Avem ε(α) = -1, deci σ este o permutare impară. Cum avem şi ε(e) = (-1) inv(e) = (-1) 0 = 1, obţinem că aplicaţia ε este surjectivă. Propoziţia 5. Aplicaţia ε : S n {-1, 1} este un morfism surjectiv de grupuri între grupul S n al permutărilor de grad n şi grupul multiplicativ {-1, 1}. 13

14 Observaţie. Notăm cu A n nucleul morfismului şi îl numim grupul altern de grad n. Conform teoremei 1 de izomorfism a grupurilor, avem avem izomorfismul de grupuri: deci [S n : A n ] = 2 şi orda n = S n / A n {-1, 1}, n!. 2 de grad n. În concluzie, există n! n! permutări pare de grad n şi 2 2 permutări impare Propoziţia 6. (teorema lui Cayley) Orice grup este izomorf cu un grup de permutări. În particular, orice grup finit de ordin n este izomorf cu un subgrup al lui S n. II.5. Acţiuni ale grupurilor pe mulţimi ; p grupuri ; teoremele lui Sylow Fie (G, ) un grup şi M o mulţime nevidă. Definiţia 1. Spunem că G acţionează la stânga pe mulţimea M (sau că M este o G mulţime la stânga) dacă avem o aplicaţie α : G M M, α(g, x) = = g x, oricare ar fi g G şi x M, ce verifică următoarele relaţii: i) e x = x, oricare ar fi x M; ii) g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 ) x, oricare ar fi g 1, g 2 G şi x M. α se numeşte acţiune la stânga a lui G pe M. 14

15 Observaţii. 1) Notăm cu (M M, ) monoidul funcţiilor de la M în M (relativ la compunere). Avem o bijecţie între mulţimea acţiunilor lui G pe M şi mulţimea morfismelor de monoizi de la (G, ) în (M M, ) : ϕ : α ϕ α, ϕ α (g)(x) = α(g, x) = g x, oricare ar fi g G şi x M. Acţiunea α a lui G pe M se numeşte fidelă dacă morfismul de monoizi ϕ α asociat este injectiv. S(M). 2) Dacă Ψ : (G, ) (M M, ) este un morfism de monoizi atunci Im Ψ Un morfism de grupuri Ψ : (G, ) (S(M),) se numeşte reprezentare a grupului G prin permutări ale mulţimii M. A da o acţiune la stânga a grupului G pe mulţimea M este echivalent cu a da o reprezentare a lui G prin permutări ale lui M. echivalenţă " 3) Dacă M este o G mulţime la stânga, atunci pe M avem relaţia de " definită prin: G x y, dacă şi numai dacă există g G astfel încât y = g x. G Notăm cu O x clasa de echivalenţă a unui element x M modulo numeşte orbita elementului x. ; O x se G Pentru orice x M, mulţimea Stab G (x) = {g G g x = x} este un subgrup al lui G numit stabilizatorul lui x (sau subgrupul de izotropie al lui x) relativ la acţiunea lui G pe M. O acţiune a lui G pe M se numeşte tranzitivă, dacă M are o singură orbită relativ la relaţia de echivalenţă există g G astfel încât g x = y). (adică, pentru orice x, y M, G 15

16 Propoziţia 1. Fie M o G mulţime. Atunci: i) Pentru orice x M, există o bijecţie între mulţimea claselor de echivalenţă la stânga ale lui G modulo Stab G (x) şi mulţimea O x. ii) Dacă, în plus, G şi O x sunt mulţimi finite, atunci avem O x / ordg şi O x = [G : Stab G (x)]. Observaţii. Fie M o G mulţime. 1) Dacă M este finită şi S M este un sistem complet şi independent de reprezentanţi al lui M modulo, atunci avem relaţia: G (*) M = [ G: StabG ( x)], x S numită formula descompunerii în orbite. 2) O orbită O x se numeşte trivială, dacă O x = 1. Avem echivalenţele: O x = trivială O x = {x} Stab G (x) = G. Mulţimea Fix M (G) = {x M O x = trivială} se numeşte submulţimea punctelor fixe ale G mulţimii M. Exemple de acţiuni. 1) Dacă (G, ) este un grup, atunci G acţionează pe G prin translaţii la stânga: α 1 : G G G, α 1 (g, x) = gx, pentru orice g, x G. α 1 este o acţiune fidelă şi tranzitivă. 16

17 2) Dacă (G, ) este un grup, H un subgrup al său şi G / R s mulţimea claselor de echivalenţă la stânga ale lui G modulo H, atunci G acţionează pe G / R s prin translaţii la stânga: α 2 : G G / R s G / R s, α 2 (g, xh) = (gx)h, pentru orice g, x G. α 2 este o acţiune tranzitivă. 3) Dacă (G, ) este un grup şi H un divizor normal al său, atunci G acţionează pe H prin conjugare: α 3 : G H H, α 3 (g, x) = g x g -1, pentru orice (g, x) G H. În particular, putem considera acţiunea prin conjugare a lui G pe G. Atunci, pentru un element x G, i) O x ={g x g -1 g G} se numeşte clasa de conjugare a lui x. ii) Stab G (x) = {g G g x g -1 = x} se numeşte centralizatorul lui x în G şi se notează cu C G (x). O x este trivială, dacă şi numai dacă x Z(G) (centrul grupului G (a se vedea problema 32, III.1)). Dacă G este finit şi S este un sistem de reprezentanţi distincţi pentru clasele de conjugare ce au măcar două elemente, atunci, din formula descompunerii în orbite deducem egalitatea: numită ecuaţia claselor grupului G. (**) G = Z(G) + [ G: C ( x)], x S 4) Dacă (G, ) este un grup şi L(G) mulţimea tuturor subgrupurilor lui G, atunci G acţionează la stânga pe L(G) prin conjugare: pentru orice (g, H) G L(G). α 4 : G L(G) L(G), α 4 (g, H) = ghg -1, Două subgrupuri H 1 şi H 2 ale lui G se numesc conjugate dacă avem H 1 H 2 (adică există g G astfel încât H 2 = gh 1 g -1 ). G G 17

18 Dacă H L(G), atunci Stab G (H) = {g G ghg -1 = H} se numeşte normalizatorul lui H în G şi se notează cu N G (H). Propoziţia 2. (teorema lui Cauchy) Dacă G este un grup finit şi p un divizor prim al ordinului lui G, atunci G conţine cel puţin un element de ordin p. Propoziţia 3. Dacă G este un grup finit şi p un număr prim, atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) Orice element al lui G are ordinul o putere a lui p. ii) Există n N astfel încât ordg = p n. Definiţia 2. Un grup finit G ce verifică condiţiile echivalente ale propoziţiei anterioare se numeşte p-grup. Propoziţia 4. Dacă G este un p-grup netrivial, atunci Z(G) {e}. În cele ce urmează, considerăm G un grup finit cu ordg = p n m, unde p este un număr prim, n N, m N* şi p ł m. Definiţia 3. Un subgrup al lui G se numeşte p-subgrup Sylow, dacă ordinul său este p n. Un subgrup al lui G se numeşte subgrup Sylow, dacă este p-subgrup Sylow pentru un anumit număr prim p. 18

19 Observaţii. 1) {e} este p-subgrup Sylow al lui G, dacă şi numai dacă p ł ordg. 2) Un subgrup H al lui G este p-subgrup Sylow, dacă şi numai dacă p ł [G : H]. Propoziţia 5. (teoremele lui Sylow) Fie G un grup finit cu ordg = p n m, unde p este un număr prim, n N, m N* şi p ł m. i) Pentru orice k {0, 1,, n}, G conţine cel puţin un subgrup de ordin p k. În particular, G conţine cel puţin un p-subgrup Sylow. ii) Dacă P este un p-subgrup Sylow al lui G şi H este un p-subgrup oarecare al lui G, atunci există x G astfel încât H xpx -1. În particular, orice două p-subgrupuri Sylow ale lui G sunt conjugate. iii) Numărul n p al p-subgrupurilor Sylow ale lui G are următoarele proprietăţi: a) n p 1 (mod p). b) n p / m. c) n p = [G : N G (P)], unde P este un p-subgrup Sylow arbitrar al lui G. În încheierea părţii introductive prezentăm toate tipurile de grupuri finite de ordin 10: 1) (de ordin 1) grupul cu un element {e}; 2) (de ordinul 2) grupul ciclic (Z 2, +); 3) (de ordinul 3) grupul ciclic (Z 3, +); 4) (de ordinul 4) grupul ciclic (Z 4, +) şi grupul lui Klein (Z 2 Z 2, +); 5) (de ordinul 5) grupul ciclic (Z 5, +); 19

20 6) (de ordinul 6) grupul ciclic (Z 6, +) şi grupul simetric de grad 3 (S 3, ); 7) (de ordinul 7) grupul ciclic (Z 7, +); 8) (de ordin 8) Grupul ciclic (Z 8, +), grupul (Z 4 Z 2, +), grupul (Z 2 Z 2 Z 2, +), grupul diedral D 4 şi grupul cuaternionilor C; 9) (de ordin 9) grupul ciclic (Z 9, +) şi grupul (Z 3 Z 3, +); 10) (de ordinul 10) grupul ciclic (Z 10, +) şi grupul diedral D 5. Reamintim cititorului că grupul diedral de grad n D n este grupul cu 2n elemente definit prin generatorii a, b şi relaţiile a n =b 2 = e, ba = a n-1 b, iar grupul cuaternionilor C este grupul cu 8 elemente definit prin generatorii a, b şi relaţiile a 4 = e, a 2 =b 2, ba = a 3 b. Probleme. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor abelian. 1. Arătaţi că, dacă A este o mulţime nevidă, atunci (P(A), Δ) este un grup Indicaţie. Se utilizează proprietăţile diferenţei simetrice, prezentate în capitolul "Mulţimi. Relaţii. Funcţii". 2. Fie f : R R o funcţie bijectivă cu f(1) = 0. Pe R definim următoarea lege de compoziţie: 20

21 a b = f(f -1 (a) + f -1 (b) 1), pentru orice a, b R. Arătaţi că (R, ) este grup abelian. 3. Fie H o submulţime a lui M n (R) având proprietăţile: i)a, B H implică A + B H, ii)a, B H implică AB H, iii)a H, α R implică αa H, iv)i n H. Considerăm mulţimea G = {A H A = inversabilă}. Arătaţi că (G, ) este grup. Indicaţie. Se verifică axiomele grupului. Vom arăta doar că are loc implicaţia : "A G A -1 G". Fie ϕ A = det(xi n A) = X n - α 1 X n (-1) n deta polinomul caracteristic asociat matricii A. Conform teormei Hamilton Cayley, avem ϕ A (A) = A n - α 1 A n (-1) n (deta)i n = O n Astfel, dacă A G (adică A H şi A inversabilă), atunci avem A -1 G, deoarece A -1 H şi A -1 este inversabilă. 1- x 0 x 4. Fie G = { A(x) = x 0 1-x x R \ { 2 1 }}. i) Arătaţi că mulţimea G, în raport cu înmulţirea matricelor, este un grup abelian. ii) Pentru x fixat, calculaţi (A(x)) n, n N*. 21

22 5. Fie (G, ) un semigrup. Pentru fiecare a G, construim aplicaţiile f a, g a : : G G, f a (x) = ax, g a (x) = xa, pentru orice x G. i)arătaţi că (G, ) este grup, dacă şi numai dacă, pentru orice a G, aplicaţiile f a şi g a sunt surjective. ii)dacă, în plus, G este finit, atunci (G, ) este grup, dacă şi numai dacă, pentru orice a G, aplicaţiile f a şi g a sunt injective. Deduceţi de aici că orice semigrup finit cu simplificare este grup. grup abelian. 6. Arătaţi că, pe oricare mulţime nevidă finită se poate defini o structură de Indicaţie. Fie G = {x 0, x 1,, x n-1 }, unde n N*. Avem funcţia bijectivă f : Z n G, f( kˆ ) = x k, oricare ar fi k {0, 1,, n-1}. Definim pe G operaţia " " prin x i x j = x i j, unde " " simbolizează adunarea modulo n. (G, ) este grup abelian. 7. Fie G un grup şi a, b G satisfăcând a 2 = e şi aba -1 = b n, cu n N şi n 2. Arătaţi că b = e. Generalizare. n 2 1 Avem b 2n = (b n ) 2 = (aba -1 )(aba -1 ) = ab 2 a -1 şi, inductiv, b kn = ab k a -1, oricare ar fi k N. Atunci n 2 b 1 = ab n a -1 b -1 = a(aba -1 )a -1 b -1 = a 2 ba -2 b -1 = bb -1 = e. Ca generalizare, se poare arăta că, dacă a, b G satisfac a m = e şi aba -1 = =b n, cu m N*, n N, n 2, atunci n m 1 b = e. 22

23 8. Fie (G, ) un grup. Arătaţi că fiecare din următoarele condiţii este suficientă pentru ca G să fie abelian: i) (xy) 2 = x 2 y 2, oricare ar fi x, y G. ii) x 2 = e, oricare ar fi x G. iii) xy comută cu toate elementele lui G, oricare ar fi x, y G. iv) Printre oricare 3 elemente distincte ale lui G, există două care comută. v) Există a G astfel încât x 3 = axa, oricare ar fi x G. vi) În G are loc implicaţia "xy 2 = z 2 x y = z" vii) (xy) 2 = (yx) 2, oricare ar fi x, y G şi z 2 e, oricare ar fi z G \ {e}. viii) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât (xy) α =(yx) α şi (xy) β =(yx) β, oricare ar fi x, y G. ix) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât xy α = y α x şi xy β = y β x, oricare ar fi x, y G. x) Există α, β Z* cu (α, β) = 1 astfel încât x α y α = y α x α şi x β y β = y β x β, oricare ar fi x, y G. xi) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k-1, k, k + 1, oricare ar fi x, y G. xii) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k, k + 2, k + 4, oricare ar fi x, y G. xiii) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k + 1, 2k + 1, 3k + 2, oricare ar fi x, y G. xiv) Există k Z astfel încât (xy) i = x i y i, pentru i = k + 1, 2k + 1, 4k 1, oricare ar fi x, y G. xv) Există α, β N*, cel puţin unul din ele fiind par, astfel încât x α y β = =xy, oricare ar fi x, y G. 23

24 xvi) Există α, β Z cu ( α( α 1, ) β( β 1) ) ( xy) α α α x y = şi ( xy) β β β Care din aceste condiţii este şi necesară? = 2 astfel încât = x y, oricare ar fi x, y G. iv) Fie x, y G \ {e} şi G x,y = {x, y, xy}. Din ipoteză avem că x şi y comută, sau x şi xy comută, sau y şi xy comută. Dacă x xy = xy x, atunci xy = yx, iar dacă y xy = xy y, atunci xy = yx. Prin urmare, x şi y comută. v) Punând în relaţia din ipoteză ax în loc de x, obţinem (ax) 3 = ax ax ax= = aaxa, de unde rezultă x(axa) = axa. Prin urmare, avem x 5 = x 3, sau, echivalent, x 2 = e, oricare ar fi x G. În particular, G este abelian. vi) Fie x, y G. Avem x -1 (xy) 2 = x -1 xyxy = yxy = yxyxx -1 = (yx) 2 x -1, de unde obţinem xy = yx. vii) Fie x, y G. Se verifică că elementul z = (yx) -1 (xy) are proprietatea că z 2 = e. Prin urmare, y = e, deci xy = yx. viii) Cum (α,β) = 1, există p, q Z astfel încât pα + qβ = 1. Atunci xy = (xy) 1 = (xy) pα +qβ = [(xy) α ] p [(xy) β ] q = [(yx) α ] p [(yx) β ] q = (yx) pα +qβ = yx. ix), x) Similar cu viii). xi) Din cea de a doua relaţie, avem (xy) k = x(yx) k - 1 y = x k y k, de unde obţinem (yx) k - 1 = x k - 1 y k - 1 ; folosind şi prima relaţie obţinem (yx) k - 1 = (xy) k - 1 sau, echivalent, (yx) 1 - k = (xy) 1 - k. Procedând analog, din ultimele două relaţii, rezultă (yx) k = (xy) k. Atunci yx = = (yx) 1 = (yx) 1 k + k = (yx) 1 - k (yx) k = (xy) 1 - k (xy) k = (xy) 1 = xy. xii), xiii), xiv) Similar cu xi). xv) Din ipoteză, obţinem xy = y α x β = x αβ y αβ, oricare ar fi x, y G. (1) 24

25 Putem presupune β = 2k şi α > β, celelalte cazuri studiindu-se analog. Punând succesiv în relaţia din ipoteză y = x, y = x 2,..., y = x α +β - 1, obţinem x α + β = x 2, x α + 2β = x 3,..., x α + (α + β - 1)β = x α +β = x 2. De asemenea, schimbând elementele x şi y între ele şi procedând similar, obţinem x β + α x 2, x β + 2α = x 3,..., x β + (α + β - 1) α = x β + α = x 2. Avem : ( ) x αβ = x α +(β - 1)α = x β + (β - 1)α x α - β = x β x α - β = x α, oricare ar fi x G. (2) 2 2 αk Pe de altă parte, ( ) ( ) αβ αk α + β αk αβ k+ α 2 k x = x = x = x = x = αβ k α 2 k α k+ α 2 k β + α 2 k α k β α k+ 1 α k β 2 α k β + 1 αβ β + 1 = x x = x = x x = x x = x = x, de unde x e β 1 =, oricare ar fi x G. Se obţine imediat şi G. Avem astfel abelian. αβ β+ ( α 1) β β = =, oricare ar fi x G. (3) x x x x e α 1 =, oricare ar fi x αβ αβ α β Din relaţiile (1), (2) şi (3), rezultă xy = x y = x y = yx, deci G este xvi) Din ( xy) α α α = x y şi ( xy) α 1 α 1 β 1 β 1 β 1 = y x şi ( xy) y x ( α ) vβ( β ) β β β 1 = x y obţinem ( xy) α = =. Fie u, v Z astfel încât uα = 2. Se obţin succesiv următoarele relaţii: x α y α y α x α x β y β y β = = x β şi, ( xy) αα ( 1) ( yx) αα ( 1) ( xy) β( β 1) ( yx) β( β = = 1) de unde obţinem ( ) ( ) şi, ( ) α( α ) + β( β ) α( α ) + β( β ) ( ) 2 u 1 v 1 u 1 v 1 2 xy = xy = yx = yx. Se verifică că x αα ( 1) β( β 1), x Z(G), oricare ar fi x G. Atunci u u + v u v 1 ( ) ( ) ( ) α( α ) β( β ) α α β( β ) α α β β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy = xy = xy xy = xy xy = v 25

26 2 = x 1 y 1 x 1 y 1 = x y = x y, deci u v α( α ) α( α ) β( β ) β( β ) uα α vβ β uα α vβ β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy = yx, oricare ar fi x, y G. Condiţiile i), iii), iv), viii), ix), x), xi), xii), xiii), xiv), xvi) sunt necesare, în timp ce condiţiile ii), v), vi), vii), xv) nu sunt necesare pentru ca G să fie abelian. 9. Fie f : R R o funcţie având proprietatea că mulţimea T f = {t R * f(x + t) = f(x), pentru orice x R } este nevidă. i) Arătaţi că T f este subgrup al grupului (R, +). ii) Determinaţi acest subgrup în următoarele situaţii: a) f(x) = sin2πx, pentru orice x R. 1, x Q b) f(x) = 0, x R \ Q. Indicaţie. i) Verificare directă. ii) Pentru cazul a) se obţine T f = (Z, +), iar pentru cazul b) se obţine T f = (Q, +). 10. Arătaţi că grupul U n al rădăcinilor de grad n N* ale unităţii complexe este unicul subgrup de ordin n al grupului (C*, ). Fie H un subgrup de ordin n al grupului (C*, ). Utilizând propoziţia 2, III.2, obţinem că z n = 1, oricare ar fi z H, deci H U n. Cum ordh = ordu n = n, rezultă că H = U n. 26

27 11. Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor întregi. Arătaţi că: i) Pentru orice n N, nz este subgrup al lui Z. ii) Orice subgrup al lui Z este de tipul nz, pentru un anumit n N. iii) Pentru orice m, n N, avem egalităţile: mz + mz = (m, n)z; mz nz = [m, n]z. i) Verificare directă. ii) Fie H Z. Dacă H = {0}, atunci avem H = 0Z. Dacă H {0}, atunci H conţine cel puţin un număr întreg strict pozitiv. Astfel A = { a H a 1}. Cum A este o submulţime a lui N*, deducem că există cel mai mic element a 0 A. Arătăm că H = a 0 Z. Cum a 0 H, avem a 0 Z H. (1) Reciproc, fie a H. Aplicând teorema împărţirii cu rest în Z, obţinem a = = a 0 q + r, unde q Z, r N, 0 r < a 0. Din incluziunea (1), deducem că a 0 q H. Atunci r = a a 0 q H şi, având în vedere minimalitatea lui a 0, obţinem r = 0. Prin urmare, a = a 0 q a 0 Z, deci H a 0 Z. (1) Relaţiile (1) şi (2) ne dau egalitatea H = a 0 Z. iii) Se ţine cont de modul de definire a celui mai mare divizor comun, respectiv a celui mai mic multiplu comun a două numere naturale. 12. Fie G un grup având proprietatea că există a G astfel încât G \ {a} este subgrup al lui G. Arătaţi că ordg = 2. 27

28 Presupunem că G are cel puţin 3 elemente distincte e, a, b. Ecuaţia bx = a are în G o soluţie unică x 0. Avem x 0 e (în caz contrar obţinem a = b) şi x 0 a (în caz contrar obţinem b = e). Astfel elementele b, x 0 G \ {a} satisfac bx 0 = a G \ {a}. Rezultă ordg 2. Cum cazul ordg = 1 este exclus prin ipoteză, avem ordg = Fie (G, ) un grup, H, K două subgrupuri ale lui G şi mulţimea HK = ={hk h H, k K}. Arătaţi că HK este subgrup al lui G, dacă şi numai dacă HK= = KH. Presupunem HK G. Fie hk HK. Cum HK G rezultă că există h 1 H şi k 1 K astfel încât (hk) -1 = h 1 k 1 HK. Atunci hk = (h 1 k 1 ) -1 KH, deci HK KH. Fie acum kh KH. Avem h -1 k -1 HK, de unde obţinem kh = (h -1 k -1 ) -1 HK, deci KH HK. Reciproc, presupunem că avem HK = KH. Fie h 1 k 1 şi h 2 k 2 două elemente din HK. Atunci (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) -1 = h 1 k 1 k -1 2 h Cum k -1 2 h -1 2 KH şi KH = HK, rezultă că există h 3 k 3 HK astfel încât k h 2 = h 3 k 3. De asemenea, cum k 1 h 3 KH şi KH = HK, rezultă că există h 4 k 4 HK astfel încât k 1 h 3 = h 4 k 4. Atunci (h 1 k 1 )(h 2 k 2 ) -1 = h 1 k 1 k -1 2 h -1 2 = h 1 k 1 h 3 k 3 = h 1 h 4 k 4 k 3 HK şi prin urmare HK G. 14. Fie (G, ) un grup abelian, H un subgrup al său şi n N, n 2. Notăm n H = {x G x n H}. Arătaţi că: 28

29 i) n H este subgrup al lui G ce conţine pe H : în plus, pentru orice i, j N, i, j 2, avem i j H ij = H. ii) Dacă ordh = m <, atunci H m {} e. iii) Dacă (K, +, ) este un corp comutativ, G 1 = (K *, ) şi H 1 G 1, ordh 1 = m1 =m 1 2, atunci H 1 = {1}. iv)dacă G 2 = (C*, ) şi H 2 = p {1}, atunci, pentru fiecare r N, r 2, p 2 avem r H2 = H2. Indicaţie. Afirmaţiile i) şi ii) sunt imediate. m1 iii) Din ii), avem H 1 {1 }. (1) m1 {1 } = {x K* x m m1 = 1}. În corpul K, polinomul X 1 are cel mult m1 m 1 rădăcini, deci ord {1 } m 1. (2) Ţinând cont de (1), (2) şi de faptul că ordh = m 1, obţinem egalitatea dorită. iv) Mai avem de arătat doar r H 2 H 2. Fie x r H 2. Atunci x r H 2, deci există s N, s 2 astfel încât x r s 1} {. Deducem relaţia x {} 1 {} 1 rs. Dar rs {} 1 H 2, de unde x H 2. r s, care, conform punctului i), se rescrie x 15. Fie (G, ) un grup finit. Arătaţi că: 29

30 i) Dacă G este abelian şi x 2 = e pentru mai mult de jumătate din elementele x ale lui G atunci x 2 = e pentru orice x G. ii) Dacă în G mai mult de jumătate din elementele sale comută cu toate elementele grupului, atunci G este abelian. iii) Dacă ordg este impar şi mai mult de o treime din elementele sale comută cu toate elementele grupului, atunci G este abelian. i) Fie H = {x G x 2 = e}. H este subgrup al lui G. Din teorema lui Lagrange avem ordh / ordg, iar din ipoteză ordh > 1 2 ordg. Prin urmare ordh = ordg, deci H = G. ii) Se demonstrează analog cu i). iii) Avem ordz(g) / ordg şi ordz(g) > 1 3 ordg. Cum ordg este impar, rezultă ordz(g) = ordg, deci Z(G) = G. 16. Fie (G, ) un grup cu proprietatea că există o submulţime nevidă finită A a sa astfel încât G \ A este subgrup al lui G. Arătaţi că: i) G este finit şi ordg 2 A. ii) Dacă A este număr prim, atunci ordg = A + 1 sau ordg = 2 A. i) Fie H = G \ A şi a A un element fixat. Pentru fiecare h H, ecuaţia hx = a are o soluţie unică x A. Avem H {ax -1 x A}, deci H este finit şi ordh A. Atunci ordg = ordh + A 2 A. 30

31 ii) Fie A = p şi ordg = n. Din teorema lui Lagrange,avem existenţa unui q N* astfel încât ordg = qordh. Egalitatea ordg = ordh + A devine n = n q + p, sau, echivalent, n(q 1) = qp. Rezultă (q -1) / qp şi, cum (q-1, q) = 1, obţinem (q-1) / /p ; prin urmare q - 1 {1, p}. Dacă q - 1 = 1, atunci q = 2, deci n = 2p. Dacă q - 1 = p, atunci q = p + 1, deci n = p Fie A, B, C trei subgrupuri ale grupului finit G. Arătaţi că: i) AB A B = A B. ii) Dacă A B, atunci [C B : C A] [B : A]. iii) [G : A B] [G : A][G : B]. iv) [A : A B] [[A B] : B]. v) Dacă ([G : A], [G : B]) = 1, atunci [G : A B] =[G : A][G : B] şi G = = AB. i) Pe produsul cartezian A B definim relaţia binară "~" prin: (a, b) ~ (a', b'), dacă şi numai dacă ab = a'b'. Se verifică că "~" este o relaţie de echivalenţă şi că, pentru fiecare element (a, b) A B, clasa sa de echivalenţă ( ab, ) A B/ ~ are A B elemente. Aplicaţia f : A B / ~ AB, f(( ab)), = ab, oricare ar fi ab, A B / ~, este o bijecţie. Atunci AB = A B / ~ = A B A B = A B A B. 31

32 ii) Deoarece A B, avem CA CB. Ţinând cont de i), obţinem C A C B C B B, sau, echivalent,. C A C B C A A Din această ultimă inegalitate rezultă [C B : C A] [B : A]. iii) Avem AB G, de unde, folosind i), deducem A B A B G. Rezultă [G : A][G : B]. G G G adică [G : A B] A B A B iv) Raţionăm similar ca la iii), plecând de la AB [A B]. v) Avem [G : A] = [G : AB] [AB : A] şi [G : B] = [G : AB] [AB : B]. Obţinem [G : AB] / ([G : A],[G : B]), de unde avem [G : AB] = 1, adică G = AB. Atunci, din i), deducem egalitatea [G: A B] = [G: A][G : B]. 18. Fie (G, ) un grup având proprietatea că, pentru orice x, y G cu x z, există H 1, H 2 două subgrupuri ale lui G astfel încât x H 1, y H 2 şi H 1 H 2 = = {e}. i) Arătaţi că G este abelian. ii) Pentru n N* şi a G fixate, rezolvaţi în G ecuaţia x n = a. i) Fie x G \ {e}. Atunci x 2 x, deci există H 1, H 2 G astfel încât x H 1, x 2 H 2 şi H 1 H 2 = {e}. Cum x H 1, avem x 2 H 1 şi, prin urmare, x 2 H 1 H 2. Obţinem x 2 = e. În concluzie, G are proprietatea că x 2 = e, oricare ar fi x G, deci este abelian. 32

33 e, n - par ii)avem x n =, oricare ar fi x G. x, n - impar Dacă n este par, ecuaţia nu are nici o soluţie pentru a e şi are ca soluţie oricare element al lui G pentru a = e. Dacă n este impar, ecuaţia are soluţie unică x = a. 19. Fie (G, ) un grup abelian cu proprietatea că, pentru orice n N*, ecuaţia x n = e are exact n soluţii (distincte) în grupul G; notăm cu G n mulţimea acestor soluţii. Arătaţi că: i) G n este subgrup al lui G. ii) Dacă H este un subgrup finit al lui G, atunci există n N* astfel încât H = G n. iii) G n G m, dacă şi numai dacă n / m. iv) G n G m = G d, unde d = (n, m). i) Pentru orice x, y G n, avem (xy -1 ) n = x n (y n ) -1 = e, deci xy -1 G n. ii) Fie H G cu ordh = n. Atunci, pentru orice x H, avem x n = e. Rezultă H G n. Cum ambele mulţimi au câte n elemente, avem H = G n. iii) Dacă G n G m, atunci G n este subgrup al lui G m şi, conform teoremei lui Lagrange, avem n / m. Dacă n / m, atunci există k N* astfel încât m = nk. Atunci, pentru orice x G n, obţinem x m = x nk = e k = e, deci x G m. Prin urmare, G n G m. iv) Cum G n şi G m sunt subgrupuri ale lui G, rezultă că 33

34 G n G m G. Conform cu ii), există d N* astfel încât G n G m = G d. Avem G d G n şi G d G m, deci d / n şi d / m. Fie d' N* astfel încât d' / n şi d' / m. Din iii), deducem G d' G n şi G d' G m. Rezultă G d' G n G m = G d, de unde obţinem d' / d. Din cele arătate, avem d = (n, m). 20. Daţi exemplu de grup finit (G, ) şi de un număr natural n 2 pentru care ecuaţia x n = e are în grupul G mai mult de n soluţii. În grupul lui Klein, pentru n = 2, ecuaţia x 2 = e are 4 soluţii, adică toate elementele grupului. 21. Fie G un grup şi H G, H G. Arătaţi că [G \ H] = G. Avem [G \ H] = P P G GH \ P. Fixăm un element a G \ H. Fie P G, cu G \ H P şi h H. Ecuaţia hx = a are o soluţie unică x G \ H. Atunci x -1 G \ H şi h = ax -1 P. Prin urmare, avem H P. Rezultă G = = (G \ H) H P, deci P = G. 22. Fie G un grup şi H un subgrup propriu al său. Arătaţi că nu există o parte stabilă proprie a lui G care să conţină pe G \ H. Indicaţie. A se vedea problema precedentă. 34

35 23. Fie (G, ) un grup şi H 1, H 2 două subgrupuri proprii ale sale astfel încât H 1 H 2 = {e} şi există a H 1 H 2 cu a 2 e. Arătaţi că mulţimea (G \ (H 1 H 2 )) {e} nu este parte stabilă a lui G. Indicaţie. Presupunem a H 1. Fie b H 2 \ {e} şi x = ab, y = b -1 a. Se verifică că x, y G \ (H 1 H 2 ) şi xy (H 1 H 2 ) \ {e}. 24. Arătaţi că: i) Dacă G este un grup şi H 1, H 2 sunt două subgrupuri ale sale, atunci H 1 H 2 este subgrup al lui G, dacă şi numai dacă H 1 H 2 sau H 2 H 1. ii) Un grup nu se poate scrie ca reuniunea a două subgrupuri proprii ale sale. i)dacă H 1 H 2 sau H 2 H 1, atunci H 1 H 2 = H 2 sau H 1 H 2 = H 1, deci H 1 H 2 este subgrup al lui G. Reciproc presupunem H 1 H 2 G şi H 1 H 2, H 2 H 1. Atunci există x H 1 \ H 2 şi y H 2 \ H 1.Cum x,y H 1 H 2 avem xy H 1 H 2, adică xy H 1 sau xy H 2. Insă, xy H 1 implică y H 1 şi xy H 2 implică x H 2 ; contradicţie. ii)dacă G este un grup şi H 1, H 2 sunt două grupuri ale sale astfel încât G = =H 1 H 2, atunci avem H 1 H 2 G. Folosind punctul i), obţinem H 1 H 2, sau H 2 H 1, deci G = H 2 sau G = H 1. 35

36 25. Arătaţi că nu există grupuri care să se poată scrie ca reuniunea a 3 subgrupuri proprii, dintre care două au câte 3 elemente. Fie G un grup astfel încât G = H 1 H 2 H 3, unde H i, i = 1,2,3 sunt subgrupuri proprii ale lui G cu ordh 1 = ordh 2 = 3. Atunci H 1 şi H 2 sunt ciclice. Fie H 1 = {e, a 1, a 1 2 } şi H 2 = {e, a 2, a 2 2 }. Avem a 1 a 2 (în caz contrar, G s-ar scrie ca reuniunea a două subgrupuri proprii ale sale). De asemenea, avem H i H j = {e}, pentru orice i, j {1, 2, 3}, i j. Fie x = a 1 a 2 şi y = a 1 2 a 2. Obţinem x, y H 3. Cum x H 3 şi a 1 H 1, rezultă y = a 1 x H 2, deci y H 2 H 3. Rezultă y = e. Din a 1 2 a 2 = e, deducem a 2 = ea 2 = 3 aa 1 2 = a 1 y = a 1 ; contradicţie. 26. Fie G un grup şi H 1, H 2, H 3 trei subgrupuri proprii ale sale astfel încât G = H 1 H 2 H 3. Arătaţi că x 2 H 1 H 2 H 3, pentru orice x G. Avem H 1 \ (H 2 H 3 ), H 2 \ (H 3 H 1 ), H 3 \ (H 1 H 2 ) (dacă, spre exemplu, H 1 H 2 H 3, atunci G = H 2 H 3, ceea ce contrazice afirmaţia ii) a problemei 24). Fie un element arbitrar x G. Dacă x H 1 H 2 H 3, atunci x 2 H 1 H 2 H 3. Dacă x H 1 H 2 H 3, atunci: 36

37 a) Presupunem x H 1 şi x H 2 H 3. Considerăm y H 1 \ (H 2 H 3 ) şi z = yx. Obţinem z H 1 H 2 H 3 = G. b) Presupunem x H 1 H 2 şi x H 3. Considerăm y H 1 \ (H 2 H 3 ) şi z = yx. Obţinem z H 2. Fie t = zx = yx 2. Avem t H 2 (în caz contrar, x H 2 ) şi t H 3 (în caz contrar, z H 3 ); prin urmare t H 1. Cum y H 1 rezultă x 2 = y -1 t H 1 ; în mod similar deducem că x 2 H 2. De asemenea, faptul că x H 3 implică x 2 H 3, deci x 2 H 1 H 2 H 3. Din motive de simetrie, celelalte situaţii se analizează similar. 27. Arătaţi că fiecare dintre următoarele grupuri se poate scrie ca reuniunea a 3 subgrupuri proprii ale sale: i) grupul lui Klein, K. ii) grupul diedral, D 4. i) K = {e, a, b, c}, unde a 2 = b 2 = c 2 = e, ab = ba = c, ac = ca = b, bc = cb = a. Fie H 1 = {e, a}, H 2 = {e, b}, H 3 = {e, c}. Avem H 1, H 2, H 3 subgrupuri proprii ale K şi K = H 1 H 2 H 3. ii) D 4 = {e, ϕ, ϕ 2, ϕ 3, ε, ϕσ, ϕ 2 ε, ϕ 3 }, unde ϕ 4 = ε 2 = e şi εϕ = ϕ 3 ε.. Oricare subgrup al lui D 4 are ordin 2 sau 4. Subgrupurile de ordin 2 ale lui D 4 sunt: H 1 = {e, ϕ 2 }, H 2 = {e, ε}, H 3 = {e, ϕε}, H 4 = {e, ϕ 2 ε}, H 5 = {e, ϕ 3 ε}. Subgrupurile de ordin 4 ale lui D 4 sunt: H 6 = {e, ϕ, ϕ 2, ϕ 3 }, H 7 = {e, ϕ 2, ε, ϕ 2 ε}, H 8 = {e, ϕ 2, ϕε, ϕ 3 ε}. Observăm că D 4 = H 6 H 7 H 8. 37

38 28. Fie (G, ) un grup, n 3 un număr natural şi H 1, H 2,, H n subgrupuri ale lui G ce satisfac: i)g = n i= 1 H ii)h i H j i i j, pentru orice i = 1, n Arătaţi că pentru fiecare x G, există k N* cu k (n 1)! astfel încât x k n Hi. i= 1 Fie x G. Arătăm că pentru oricare t N, 1 t n 1, dacă x se găseşte în t din subgrupurile H 1, H 2,, H n, atunci există k {1, 2,, n l} astfel încât x k să se găsească în t + 1 din subgrupuriile H 1, H 2,, H n. Presupunem x t Hi. Fie h G \ i= 1 t i= 1 H i. Atunci, pentru oricare m N*, x m h t i= 1 H i, deci x m h n H. j j=+ t 1 Prin urmare, există m N* cu t + 1 m n şi există k 1, k 2 {1, 2,, n 2 t + 1} astfel încât { k i k x hx, h } H m. Notăm k = k 2 k 1. Avem x k k2 k1 1 = ( x h)( x h) H m. t Dar x k Hi, deci x k ( Hi ) H m. i= 1 t i= 1 38

39 Din cele arătate anterior, obţinem existenţa numerelor naturale k 1, k 2,, k n-2 cu k i n i, pentru orice i = 1, n -2 astfel încât, notând k = n 2 i= 1 k i, să avem x k n H. i i= Pentru un număr natural n 2 următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) n este prim. ii) Orice grup cu n elemente are exact două subgrupuri. i) ii) Fie G un grup cu ordg = n şi H un subgrup al său. Conform teoremei lui Lagrange, avem ordh / n şi, cum n este prim, obţinem ordh {1, n}. Rezultă H {{e}, G}. ii) i) Presupunem, prin absurd, că n nu este prim. Fie p un divizor prim al lui n şi q N astfel încât n = qp. În aceste condiţii grupul aditiv Z n are cel puţin 3 subgrupuri distincte: { } 0, Z n, q ; contradicţie. 30. Fie G un grup cu n elemente, n 4 şi p N, 1 < p < n. Arătaţi că, dacă G conţine p 1 C n 1 subgrupuri cu p elemente, atunci p = 2 şi x2 = e, pentru orice x G. Considerăm toate submulţimile lui G cu proprietatea că fiecare dintre ele conţine elementul neutru e şi încă p 1 elemente din G \ {e}.numărul 39

40 acestora este C p 1 n 1, deci familia lor coincide cu familia subgrupurilor cu p elemente ale lui G. Presupunem, prin absurd, că p > 2 şi alegem x, y G \ {e}, x y. Cum n 3 p 2 1, putem alege p 2 elemente din mulţimea G \ {e, x, y}. Fie acestea a 1, a 2,, a p-2 şi H 1 = {e, x, a 1,, a p-2 }, H 2 = { e, y, a 1,, a p-2 }. Avem că H 1 şi 1 H 2 sunt subgrupuri ale lui G. Atunci xa 1 H 1, însă xa 1 e (în caz contrar, x = H 2 ), xa 1 x (în caz contrar, a 1 = e) şi xa 1 a i, pentru orice i = 1, n. (în caz contrar, x = a i a -1 1 H 2 ); contradicţie. a Fie (G. ) un grup finit având proprietatea că orice două subgrupuri distincte ale sale au ordine diferite. Arătaţi că orice subgrup al lui G este divizor normal. Fie H un subgrup al lui G şi x G. Atunci xhx -1 = {xhx -1 h H} este subgrup al lui G, iar aplicaţia f : H xhx -1, f(h) = xhx -1, pentru orice h H, este bijectivă. Prin urmare avem ordh = ord(xhx -1 ). Ţinând cont de ipoteză, deducem că H = xhx -1. Cum egalitatea anterioară are loc pentru orice x G, rezultă H G. 32. Arătaţi că: i) Dacă (G, ) este un grup, atunci orice subgrup de indice 2 al lui G este divizor normal. ii) Dacă (G, ) este un grup, atunci Z(G) = {x G xy = yx, pentru orice y G} este divizor normal al lui G (numit centrul grupului G). iii) Dacă (G, ) este un grup şi, pentru orice x, y G, notăm [x, y] = 40

41 = xyx -1 y -1 (numit comutatorul elementelor x şi y), atunci subgrupul D(G) generat de mulţimea tuturor comutatorilor elementelor lui G este divizor normal al lui G (numit subgrupul comutator al lui G). În plus, D(G) are proprietăţile: a)grupul factor G / D(G) este abelian (notat cu G ab şă numit abelianizatul grupului G). b)dacă H este un divizor normal al lui G, atunci grupul factor G / H este abelian, dacă şi numai dacă D(G) H. iv) Dacă K este un corp comutativ, n N* şi GL n (K) este grupul multiplicativ al matricelor pătratice nesingulare de ordin n peste K (numit grupul liniar de ordin n peste K), atunci mulţimea SL n (K) = ={A GL n (K) deta = 1} este un divizor normal al lui GL n (K) (numit grupul liniar special de ordin n peste K). Dacă, în plus, K este corp finit, determinaţi ordinele grupurilor GL n (K) şi SL n (K). 33. Un grup abelian (G, ) se numeşte divizibil, dacă pentru orice a G şi orice n Z* există x G astfel încât nx = a. Arătaţi că orice grup divizibil este infinit. Deduceţi că orice subgrup al grupului (Q, +) diferit de Q, are indice infinit. Presupunem, prin absurd, că G este finit. Fie n = ordg şi a un element nenul arbitrar al lui G. Atunci, pentru orice x G avem nx = 0 a; contradicţie. Fie H Q, H Q. Din faptul că (Q, +) este divizibil deducem că grupul factor Q / H este divizibil. Atunci Q / H este infinit, deci [Q : H] este infinit. 41

42 II.2. Ordinul unui element; grupuri ciclice 1. Fie (G, ) un grup. Arătaţi că: i) Dacă x, y G satisfac condiţiile: xy = yx, ord(x) = m <, ord(y) = = n < şi (n, m) = 1, atunci ord(xy) = mn. ii) Dacă x G având ord(x) = mn, m, n N*, (m, n) = 1, atunci există şi sunt unice elementele y, z G astfel încât x = yz = zy şi ord(y) = m, ord(z) = n. i) Avem (xy) mn = x mn y mn = (x m ) n (y n ) m = e n e m = e. (1) Fie k Z astfel încât (xy) k = e. Atunci x k y k = e sau, echivalent, x k = y -k. Ridicând la puterea n, obţinem x kn = y -kn = (y n ) -k = e. Rezultă m / kn, şi cum (m, n) = 1, deducem m / k. În mod similar, se obţine n / k. Cum (m, n) = 1, rezultă mn / k. (2) Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(xy) = mn. ii) Fie α, β Z astfel încât αm + βn = 1 şi y = x βn, z = x αm. Avem x = x 1 = =x αm+βn = x αm x βn = x βn x αm. De asemenea, y m = x βmn = (x mn ) β = e β = e, iar dacă k Z astfel încât y k = e, atunci x βnk = e, de unde obţinem m / k; prin urmare, ord(y) = = m. În mod similar se arată că ord(z) = n. Fie y 1, z 1 G astfel încât x = y 1 z 1 = z 1 y 1 şi ord(y 1 ) = m, ord(z 1 ) = n. Atunci y = x βn = (y 1 z 1 ) βn = y βn βn n 1 z 1 = y β 1 = 1 y αm 1 = y 1 y 1 -αm = y 1 şi z = x αm = (y 1 z 1 ) αm = =y 1 αm z 1 αm = z 1 αm = z 1 1-βn = z 1 z 1 -βn = z 1. 42

43 n = ( mn, ) 2. Fie (G, ) un grup şi x G cu ord(x) = n <. Arătaţi că ord(x m ) =, pentru orice m N*. Fie d = (m, n) şi m 1, n 1 N* astfel încât m = dm 1, n = dn 1. Avem 1 m n n ( ) ( ) 1 mn1 dm1n nm m 1 1 m1 x = x = x = x = x = e = e. (1) Fie k Z astfel încât (x m ) k = e. Atunci x mk = e, deci n / mk. Obţinem n 1 / m 1 k şi, cum (n 1, m 1 ) = 1, deducem n 1 / k. (2) n Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(x m ) = n 1 = ( mn., ) 3. Fie (G, ) un grup şi x un element de ordin finit al său. Arătaţi că, dacă există m, n N cu (m, n) = 1 astfel încât ord(x m ) = n şi ord(x n ) = m, atunci ord x = = mn. Avem x mn = (x m ) n = e. (1). Fie k Z astfel încât x K = e. Atunci (x m ) k = x mk = (x k ) m = e, de unde obţinem n / k şi (x n ) k = x nk = (x k ) n = = e, de unde obţinem m / k. Cum m şi n sunt relativ prime, rezultă mn / k. (2) Relaţiile (1) şi (2) arată că ord(x) = mn. O altă variantă de rezolvare a problemei este următoarea : Fie k = ord(x). Folosind problema anterioară, obţinem egalităţile: m k n k n = ord x =, m = ord x =, ( km, ) ( kn, ) 43

44 de unde deducem k = n(k, m) = m(k, n). Rezultă n / m(k, n) şi m / n(k, m); cum m şi n sunt relativ prime, rezultă n / (k, n) şi m / (k, m), deci n = (k, n) şi m = (k, m). Prin urmare, n / k şi m / k, ceea ce implică mn / k. Avem însă şi k / mn, aşadar k = mn. 4. Fie (G, ) un grup finit de ordin n şi k N* astfel încât n ± 1 (mod k). Arătaţi că, pentru orice a G, ecuaţia x k = a admite o soluţie unică în G. Presupunând n -1 (mod k), n = α k 1, α N*. Atunci e = a n = a αk - 1 = = a αk a -1, deci (a α ) k = a. Prin urmare, a α este o soluţie a ecuaţiei considerate. Fie b G o altă solţie a acesteia. Avem b k = a, de unde obţinem b = be = = bb n = bb αk - 1 = b αk = (b k ) α = a α. Cazul n +1 (mod k) se tratează analog. 5. Arătaţi că un grup (G, ) în care are loc implicaţia: este abelian. "a, b G, a b ord(a) ord(b)" Pentru orice a, b G, avem ord(ab) = ord(ba). Ţinând cont de ipoteză, obţinem ab = ba. 6. Dacă (G, ) este un grup finit de ordin n, atunci orice element a al lui G are ordin finit şi ord(a) / n. Indicaţie. Considerând subgrupul ciclic generat de a şi aplicând teorema lui Lagrange se obţine concluzia problemei. 44

45 7. Fie (G, ) un grup abelian finit şi x 0 un element de ordin maxim n al său. Arătaţi că x n = e, pentru orice x G. 8. Arătaţi că mulţimea elementelor de ordin impar dintr-un grup ciclic finit formează un subgrup de ordin egal cu cel mai mare divizor impar al ordinului grupului. Indicaţie. Fie G un grup ciclic de ordin 2 k p cu k N, p 1 (mod 2), γ un generator al său şi H = [ γ ]. Atunci avem H = {x G ord(x) 1 (mod 2)} şi ordh = p. 2 k 9. Fie (G, ) un grup ciclic, a un generator al său şi k Z. Arătaţi că: i) Dacă G este finit şi ordg = n, atunci a k este generator al lui G, dacă şi numai dacă (n, k) = 1. Determinaţi în această situaţie numărul generatorilor lui G. Caz particular : G = (Z 24, +). ii) Dacă G este infinit, atunci a k este generator al lui G, dacă şi numai dacă k {-1, 1}. i) Avem G = [a] n = {e, a,, a n-1 }. " " Dacă a k este generator al lui G, atunci G = [a k ]. Rezultă a [a k ], deci a = a αk, pentru un α Z. Urmează a kα - 1 = e, de unde obţinem n / (kα - 1). Atunci există β Z astfel încât kα - 1 = nβ.. Ultima egalitate arată că (n, k) = 1. 45

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006 1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013)

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) ALGEBRĂ (Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) CUPRINS Pentru specializările Matematică şi Matematică informatică: 1 Introducere 1 2 Grupuri,

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9

3.1. Ecuaţii de gradul întâi Inecua tii de gradul întâi Modul unui număr real... 9 Cuprins 1 Operaţii cu numere reale 1 11 Radicali, puteri 1 111 Puteri 1 112 Radicali 1 12 Identităţi 2 13 Inegalităţi 3 2 Funcţii 4 21 Noţiunea de funcţii 4 22 Funcţii injective, surjective, bijective

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică

POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE. Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică POLINOAME ŞI ECUAŢII ALGEBRICE Andrei Mărcuş Universitatea Babeş-Bolyai Facultatea de Matematică şi Informatică 6 martie 2015 Cuprins 1 Ecuaţii algebrice 1 1.1 Ecuaţii binome. Grupul rădăcinilor de ordin

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ -

Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Metode de demonstraţie pentru teorema de completitutine - studiu comparativ - Denisa Diaconescu 1 1 Introducere Teorema de completitudine a lui Gödel pentru logica de ordinul I este unul dintre cele mai

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi,

Grupul ortogonal. Mircea Crasmareanu. Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, Grupul ortogonal Mircea Crasmareanu Facultatea de Matematică Universitatea Al. I. Cuza Iaşi, 700506 România mcrasm@uaic.ro http://www.math.uaic.ro/ mcrasm Curs de Perfecţionare 2007 9 Figuri Abstract However

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE

METODA FUNCTIILOR GENERATOARE METODA FUNCTIILOR GENERATOARE LIVIU I. NICOLAESCU ABSTRACT. In aceasta nota vom descriem o tehnica deosebit de flexibila de abordare a multor probleme de combinatorica enumerativa. CONTENTS Introducere.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα