Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
|
|
- Νίκων Ιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice sut î materia prevăzută la cl. a X-a petru olimpiada de matematică, cosiderăm că abordarea uui asemeea subiect este utilă atât elevilor cât şi profesorilor. Vom prezeta câteva rezultate privid polioamele Fiboacci şi cele ciclotomice şi legătura ditre ele. 1. Polioame Fiboacci - defiire, legătura cu triughiul lui Pascal. Polioamele Fiboacci sut defiite pri relaţia de recureţă F +1 (x) =xf (x)+f 1 (x), cu F 1 (x) =1 şi F 2 (x) =x (1) saupriurmătoarea formulă explicită [( 1)/2] X µ 1 F (x) = =0 µ 1 ude [x] este partea îtreagă aluix, iar C 1. F 0 =0. Observaţie. Polioamele Fiboacci pot fi defiite pri relaţia de recureţă x 2 1, (2) Se covie ca F (x) =xf 1 (x)+f 2 (x), cu F 0 (x) =0 şi F 1 (x) =1. (1 0 ) Exemple: F 1 (x) =1, F 2 (x) =x, F 3 (x) =x 2 +1, F 4 (x) =x 3 +2x, F 5 (x) =x 4 +3x 2 +1 etc. Luâd x =1î (2), obţiem F (1) = F, ude F este şirul lui Fiboacci. Lema 1 (proprietatea de divizibilitate). Dacă m este divizor al lui, atuci F m este divizor al lui F. Dacă p este u umăr prim, atuci F p (x) este poliom ireductibil. Teorema 1. Fie F 0, F 1, F 2,... polioamele Fiboacci peste câmpul Galois de dimesiue 2. Atuci, avem: 1) F 2+1 sut sigurii termei de grad par şi u sut divizibili cu x; F 2 sut sigurii termei de grad impar, 0; 2) F t + F +t = xf F t, petru 0 t ; 3) F 2 = xf, 2 petru 0; 4) F 2+1 = F 2 + F+1, 2 petru 0; 5) F m (x) =F m (x) F (xf m (x)), petru petru m, 0; 6) F 2m p = xf m F m p + F p, petru 0 p m; 7) F 2m+p = xf m F m+p + F p. µ kπ Rădăciile poliomului F (x) sut de forma x k = 2i cos, petru k = 1,..., 1. Petru p umăr prim, aceste rădăcii sut de 2i ori partea reală a 1 Profesori, Colegiul Naţioal "Eudoxiu Hurmuzachi", Rădăuţi (Suceava) 8
2 rădăciilor poliomului ciclotomic de ordiul p. Aalizâdcoeficieţii primelor polioame Fiboacci se observă legătura ditre triughiul lui Pascal şi aceste polioame: F 1 (x) =1x 0 F 2 (x) =1x 1 F 3 (x) =1x 2 + 1x 0 F 4 (x) =1x 3 + 2x F 5 (x) =1x 4 + 3x 2 + 1x 0 F 6 (x) =1x 5 + 4x 3 + 3x 1 F 7 (x) =1x 6 + 5x 4 + 6x 2 + 1x 0 F 8 (x) =1x 7 + 6x x 3 + 4x 1 F 9 (x) =1x 8 + 7x x x 2 + 1x 0 F 10 (x) =1x 9 + 8x x x 2 + 5x 1. A. N. Philippou şi asociaţii săi [4] au studiat polioamele Fiboacci de ordiul k, k 2, pecarele-audefiite astfel: F (k) 0 (x) =0,F (k) 1 (x) =1 F (k) P (x) = x k F (k) (x), =1 =2, 3,...,k; (3) F (k) P (x) = k x k F (k) (x), =1 = k +1,k+2,... Observaţie. Petru k =2acestea se reduc la F (x), iarpetruk =1se reduc la şirul lui Fiboacci F (k) de ordiul k. 2. Polioame ciclotomice - defiire, proprietăţi. Petru fiecare umăr atural 1 rădăciile complexe ale ecuaţiei x =1se umesc rădăciile de ordi ale uităţii. Acestea sut umere complexe de forma x k =cos 2kπ 2kπ + i si, k =1, 2,..., 1. (4) Mulţimea acestor rădăcii se otează cu U = {x C x =1}. Teorema 2. Mulţimea U este u grup ciclic faţă deîmulţirea umerelor complexe, umit grupul rădăciilor de ordiul ale uităţii. Propoziţie. Fie U = x k =cos 2kπ 2kπ + i si ; k =1, 2,..., 1.ª.Atuci hx k i = U (k, ) =1. (5) Grupul ciclic U are ϕ () geeratori, ude ϕ () este umărul umerelor aturale maimicica, relativ prime cu (idicatorul lui Euler). Cele ϕ () rădăcii de ordiul ale uităţii care geerează grupul U,adică umerele complexe de forma x k =cos 2kπ 2kπ + i si,k=1, 2,..., 1, (k, ) =1. (6) se umesc rădăciile primitive de ordiul ale uităţii. Notăm cu P mulţimea rădăciilor primitive de ordiul ale uităţii şi cu ζ orădăciă primitivă (oarecare) de ordiul a uităţii. 9
3 Teorema 3. P = o ζ k 0 k 1, (k, ) =1. (7) Observaţie. Dacă = p = umăr prim, atuci P p = U p \{1}. Teorema 4. 1) S P d = U, 2) P d1 T Pd2 =, d 1, d 2 divizori aturali ai lui, d 1 6= d 2. Poliomul moic ale cărui rădăcii sut rădăciile primitive de ordiul ale uităţii, se umeste al -lea poliom ciclotomic şi are forma Φ (X) = Y (X ζ), N. (8) ζ P Gradul poliomului ciclotomic Φ (X) este egal cu cardialul mulţimii P, adică ϕ (). Teorema 5 (relaţia lui Dedekid). X 1= Y Φ d (X) (9) ude produsul se face după toţi divizorii aturali ai lui. Demostraţie. Folosid descompuerea î factori a poliomului X 1 şi Teorema 4, avem X 1= Y ζ U (X ζ) = Y (X ζ) = ζ S P d Y Y (X ζ) = Y Φ d (X). ζ P d Teorema 6. Petru p>0, umăr prim, avem: Φ p (X) =X p 1 + X p X +1. (10) ³ Observaţie. Φ p k (X) =Φ p X pk 1, k N, p umăr prim, p>0. Exemple. Primele 10 polioame ciclotomice: Φ 1 (X) =X 1 Φ 2 (X) =X +1 Φ 3 (X) =X 2 + X +1 Φ 4 (X) =X 2 +1 Φ 5 (X) =X 4 + X 3 + X 2 + X +1 Φ 6 (X) =X 2 X +1 Φ 7 (X) =X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X +1 Φ 8 (X) =X 4 +1 Φ 9 (X) =X 6 + X 3 +1 Φ 10 (X) =X 4 X 3 + X 2 X +1. Teorema 7 (relaţia lui Möbius-Dedekid). Petru orice N există relaţia: Φ (X) = Y X d 1 µ( d ), (11) 10
4 ude µ : N { 1, 0, 1} este fucţia lui Möbius, dată pri 1, dacă =1, µ () = ( 1) k,dacă = p 1 p 2 p k (p 1,p 2,...,p k prime disticte), 0, dacă se divide pri patratul uui umar prim. Alte proprietăţi ale polioamelor ciclotomice: 1) Φ (X) Z [X], N, 2) Φ (X) este ireductibil î ielul Z [X], N, 3) Φ (X) este u poliom reciproc, 2, 4) Petru N şi p>0 u umăr prim avem: i) dacă p divide, Φ p (X) =Φ (X p ), ii) dacă p u divide, Φ p (X) = Φ (X p ) Φ (X), 5) Φ 2 (X) =Φ ( X), petru>1, umăr atural impar. 3. Legătura ditre polioamele Fiboacci şi polioamele ciclotomice. Această legătură afostexpusădek. Kuwao î The Desig of Mathematic Workshop (î apoeză), Scietist, 2004 şi apoi preluată dek. Motose î [3]. Cosiderâd două variabile x şi y şi otâd cu X = x + y şi Y = xy, vomdefii polioamele simetrice F (X, Y ) pri F (X, Y )= x y x y, (12) umite polioame Fiboacci de două variabile. Exemple. F 0 =0, F 1 =1, F 2 = x + y = X, F 3 = x 2 + y 2 + xy = X 2 Y etc. Lema 2. i) F m+ = F m F +1 YF m 1 F, petru 0 şi m 1; î particular, F +2 = XF +1 YF. (13) ii) Dacă m este divizor al lui, atucif m este divizor al lui F. Demostraţie. i) direct pri îlocuire î formula (12). ii) Deoarece x m y m este divizor al lui x y,rezultăafirmaţia. Observaţie. Dacă cosiderăm î formula (13) X = 1 şi Y = 1, obţiem şirul lui Fiboacci, fapt petru care polioamele F (X, Y ) au fost umite polioame Fiboacci. O altă formă a polioamelor Fiboacci de două variabile este: F (x, y) = [( 1)/2] X =0 µ 1 x 2 1 y, 1. (14) Î mod iductiv, vom defii polioamele ciclotomice de două variabile Φ 1 (x, y) =x y, x y = Y Φ d (x, y). (15) Lema 3. i) Φ (x, y) = Q x d y d µ( d ). ii) Φ (x) =Φ (x, 1). iii) Φ (x, y) =Φ (y,x), petru 2. 11
5 Demostraţie. i) rezultă di formula de iversiue a lui Möbius, iar ii) di i) şi defiiţia lui Φ (x). iii) decurge di puctul i) şi formula P µ d =0petru 2. Deoarece polioamele Φ (x, y) sut simetrice petru 2, putem defii polioamele P (X, Y ) ude X = x + y, Y = xy astfel îcât Φ (x, y) =P (X, Y ). De exemplu, P 6 = x 2 + y 2 xy = X 2 3Y. Teorema 8. Vom covei ca P 1 =1.Atuci,avem: 1) P este ireductibil î Z [X, Y ]; 2) F = Q P d ; 3) P = Q F µ( d ) d ; 4) (F m,f )=F (m,),ude(,) reprezită c.m.m.d.c.; î particular (F,F +1 )= 1. Demostraţie. 1) P Z [X, Y ] di defiiţie. Dacă P = ST, cus, T Q[X, Y ] polioame ecostate, atuci Φ (x)= Φ (x, 1)= P (x+1,x)= S (x+1,x) T (x+1,x) petru polioamele ecostate S (x +1,x),T (x +1,x) Q [x], cotrar ireductibilităţii peste Q. 2) Rezultă diurmătoarea ecuaţie: F (X, Y )= x y x y = Y Φ d (x, y) =Y P d (x, y). 1 3) Rezultă di formula de iversiue a lui Möbius. 4) Dacă mai îtâi cosiderăm P d = P d 0 atuci avem: Φ d (x) =Φ d (x, 1) = P d (x +1,x)=P d 0 (x +1,x)=Φ d 0 (x) şi astfel d = d 0.DiLema2,ii), ştim că F (m,) este divizor comu al lui F m şi F. Dacă P d este divizor comu al lui F m şi F, atuci d este divizor comu al lui m şi şi deci d este divizor al lui (m, ). AstfelP d este divizor al lui F (m,). Deci, dacă D este divizor comu al lui F m şi F,atuciD este divizor al lui F (m,), deoarece D este u produs al polioamelor ireductibile disticte P d, ceea ce implică afirmaţia. Bibliografie 1. T. M. Apostol - Resultats of Cyclotomic Polyomials. Proc. Amer. Math. Soc. 24(1970), T. Koshy - Fiboacci ad Lucas Numbers with Applicatios. New York: Wiley, K. Motose - O values of cyclotomic polyomials. VII, Math J. Okayama Uiv., A. N. Philippou, C. Georghiou, G. N. Philippou - Fiboacci polyomials of order k, multiomial expasios ad probability, Iterat. J. Math. Math. Sci., 6(1983), M. Ţea - Rădăciile uităţii, Soc. Şt. Mat., Bucureşti, W. A. Webb, E. A. Parberry - Divizibility Properties of Fiboacci Polyomials, Fiboacci Quarterly 7.5 (1969),
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραmatricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente
LECłII DE SINTEZĂ î vederea pregătirii sesiuii iulie-august a eameului de BACALAUREAT - M petru cadidańii absolveńi ai liceelor di filiera tehologică, profil: servicii, resurse aturale şi protecńia mediului,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραAritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs
Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότερα1 Corpuri finite. 1.1 Introducere. Reamintim mai intai
1 Corpuri finite. 1.1 Introducere Reamintim mai intai Definiţie 1 Se numeşte corp un inel comutativ (K,+, ) cu proprietatea ca orice element nenul x din k este inversabil, i.e. există x 1 k astfel încât
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"
aprilie 0 Filiera tehologică: profilul servicii, resurse aturale şi protecţia mediului Clasa a IX-a BAREM. Cosiderăm mulțimea A = / i ;00, j ;00 i j. a) Stabiliți dacă 88 și sut sau u elemete ale mulțimii
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME
Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότερα