Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6 Παράγωγος"

Transcript

1 Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της f ( ), σε ένα συγκεκριµένο σηµείο πάνω στη συνάρτηση f ( ) έχει την ιδιότητά ότι είναι η κλίση της εφαπτοµένης στο συγκεκριµένο αυτό σηµείο.

2 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα από 5 6. Η Έννοια της Παραγώγου Στην παράγραφο αυτή θα εισάγουµε την έννοια της παραγώγου δίνοντας την γεωµετρική της ερµηνεία. Εάν A και B είναι δύο σηµεία πάνω σε µία καµπύλη τότε Α Β η γραµµή που ενώνει τα σηµεία Α και Β ονοµάζεται χορδή η γραµµή που τέµνει την καµπύλη µόνο στο σηµείο Α ονοµάζεται εφαπτοµένη στο Α. Είναι γεγονός ότι µία καµπύλη δεν έχει σε όλα τα σηµεία της την ίδια κλίση. Η έννοια λοιπόν της παραγώγου µίας συνάρτησης προήλθε από την ανάγκη να προσδιοριστεί η εφαπτοµένη µίας καµπύλης σε ένα συγκεκριµένο σηµείο. Β Α Τ Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι κινούµαστε πάνω στην καµπύλη αυτή, από το σηµείο B στο σηµείο A ( B A ), και στο σηµείο Α η κλίση αλλάζει και παραµένει σταθερή. Εάν αυτό συµβεί, τότε θα κινούµαστε πάνω στη ευθεία γραµµή ΑΤ, δηλαδή πάνω στη εφαπτοµένη στο σηµείο Α. Άρα η κλίση της καµπύλης στο σηµείο Α είναι η ίδια µε την κλίση της εφαπτοµένη στο σηµείο Α. Ας πάρουµε λοιπόν δύο σηµεία Α (, y ) και Β (, ) y πάνω στη καµπύλη y f( ) και ας υποθέσουµε ότι κινούµαστε πάνω στην καµπύλη αυτή, από το σηµείο B στο σηµείο A, και ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την παράγωγο στο σηµείο Α. Την κίνηση αυτή µπορούµε να δούµε στο παρακάτω σχήµα.

3 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα από 5 Y Β (, y ) Τ Α (, y ) X Αυτό σηµαίνει ότι το µεν σηµείο Α παραµένει σταθερό, ενώ το σηµείο Β κινείται και πλησιάζει προς το σηµείο Α. Όσο πιο κοντά είναι το Β στο Α, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση που θα πάρουµε. ηλαδή, B A ή η κλίση της ευθείας (χορδής) ΑΒ κλίση της εφαπτοµένης ΑΤ ή lim ( κλίση χορδής ΑΒ ) κλίση της εφαπτοµένης ΑΤ. B A Ας κοιτάξουµε τώρα µεταξύ δύο πολύ κοντινών σηµείων πάνω στην καµπύλη, Υ f( + ) Β f ( ) A + Χ όπου είναι ένας αριθµός πολύ κοντά στο µηδέν. Η κλίση της ευθείας (χορδής) ΑΒ δίνεται από τον τύπο Μεταβολη του Μεταβολη του y f ( + ) f( ) ( + ) ή f( + ) f( ) f

4 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα από 5 f όπου είναι ο λόγος µεταβολής της συνάρτησης f ( ) και τείνει σε ένα συγκεκριµένο όριο. Ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης στο σηµείο ονοµάζεται παράγωγος της συνάρτησης και ορίζεται ως f ( + ) f( ) f ( ) lim Ορισµός Η παράγωγος µίας συνάρτησης y f( ) είναι η συνάρτηση f ( ) που η τιµή της σε κάθε ορίζεται από τον κανόνα f ( ) lim f ( + ) f( ) όταν υπάρχει αυτό το όριο. Το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο των σηµείων του πεδίου ορισµού της f όπου υπάρχει το εν λόγω όριο. Οι συνηθέστεροι συµβολισµοί για την παράγωγο της συνάρτησης y f( ) είναι f ( ) y,,, f ( ), f. Το δηλώνει την παράγωγο ως προς το σηµείο. 6.. Παραδείγµατα ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f( ) +. Λύση [( + ) + ] ( + ) f ( ) lim lim lim + lim ( + ).

5 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα 5 από 5 ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) +. Λύση [( ) ( ) ] ( ) ( ) lim f + lim ( ) lim + + lim( + + ). ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f ( ). Λύση + ( + )( + + ) f ( ) lim lim ( + + ) ( + ) lim lim lim ( + + ) ( + + ) ( + + ). Παραγώγιση σε Ακραίο Σηµείο ιαστήµατος Έστω µία συνάρτηση f ( ) που ορίζεται στο διάστηµα [ α, β ] και που δεν ορίζεται έξω από αυτό. Τότε η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) δεν ορίζεται στα δύο άκρα της α και β αφού η f ( + ) f( ) f ( ) lim είναι η γνωστή δίπλευρη παράγωγος και στα δύο άκρα µόνο µονόπλευρα όρια έχουν νόηµα. Για να αντεπεξέλθουµε στις εδικές αυτές περιπτώσεις ορίζουµε παραγώγους από αριστερά (αριστερή πλευρική παράγωγος) και δεξιά (δεξιά πλευρική παράγωγος). ηλαδή : f ( + ) f( ) f ( ) lim και αντίστοιχα. f ( ) lim + + f ( + ) f( )

6 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα 6 από Ορισµός Μία συνάρτηση f θα λέγεται παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ α, β ] εάν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες :. Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα ( α, β ).. Η f είναι παραγωγίσιµη από τα αριστερά στο α.. Η f είναι παραγωγίσιµη από τα δεξιά στο β. Ασκήσεις 6. Με βάση τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος f ( ), των παρακάτω συναρτήσεων. ) f ( ) 9 6) f ( ) ( + ) ) f( ) ) f( ) ( ) ) f( ) ( )(+ 5) 8) f( ) ) f( ) ( ) 9) f( ) α + β α,β σταθερές 5) ( + ) f( ) 0) f( ).

7 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 7 από 5 6. Τεχνικές Παραγώγισης Ευτυχώς κάθε φορά που θέλουµε να παραγωγίσουµε µία συνάρτηση δεν χρειάζεται να επαναλαµβάνουµε την παραπάνω διαδικασία (µε βάση τον ορισµό) αφού ειδικές κατηγορίες συναρτήσεων µπορούν να παραγωγιθούν χρησιµοποιώντας ορισµένους κανόνες. Τους κανόνες αυτούς θα εξετάσουµε στην συνέχεια. Παραγώγιση σταθεράς f ( ) c Έστω η συνάρτηση f ( ) c, όπου c είναι µία σταθερά, έχουµε δηλαδή την εξίσωση µίας ευθείας γραµµής παράλληλη στον άξονα των. ηλαδή Άρα, f( + ) f( ) c c f ( ) lim lim lim Εποµένως η κλίση της f ( ) είναι 0. ηλαδή, f 0 Παράγωγος του a όπου a σταθερά Έστω η συνάρτηση f ( ) a, έχουµε δηλαδή την εξίσωση µίας ευθείας γραµµής µε κλίση a. Άρα, f( + ) f( ) ( a+ ) a f ( ) lim lim lim lim Εποµένως η κλίση της είναι. ηλαδή, f a

8 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 8 από 5 Παράγωγος του n όπου n ακέραιος y Από τον παραπάνω πίνακα συµπεραίνουµε τον ακόλουθο κανόνα, Πράγµατι, n ( ) n n n f ( + ) f( ) ( + ) f ( ) lim lim nn ( ) + n n +! lim n n n n n n n n nn ( ) n n n n n +! lim nn ( ) lim n n ! n n n n Όταν το 0 όλοι οι παράγοντες εκτός του πρώτου πάνε στο µηδέν. Εποµένως, n f ( ) n Παράγωγος του Εάν f ( ), τότε ( ) Πράγµατι, f ( + ) f( ) + f ( ) lim lim

9 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 9 από 5 ( + )( + + ) + lim ( + + ) ( + + ) lim 0 lim lim ( + + ) + + lim + Σταθερά Πολλαπλάσια Έστω a µία σταθερά. Εάν η f ( ) είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του τότε ισχύει ( af ( ) ) a ( f ( ) ) Πράγµατι, af ( + ) af ( ) f ( + ) f ( ) f ( a) lim lima f ( + ) f( ) a lim 0 af ( ) Παραγώγιση αθροίσµατος και διαφοράς 6.. Θεώρηµα Εάν f και g είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις του, τότε το άθροισµα τους f είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του για την οποία ισχύει ο κανόνας + g ( f + g) f + g Απόδειξη ( f g) [ f ( + ) + g( + ) ] [ f( ) + g( ) ] + lim [ f ( + ) f( ) ] + [ g( + ) g( ) ] lim f ( + ) f( ) g( + ) g( ) lim + lim

10 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 0 από 5 f g + Το θεώρηµα 6.. ισχύει και για διαφορά δύο συναρτήσεων. ηλαδή, ( f g) f g 6.. Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y, ) 5 y ) y , ) y Λύση ) 0, ) 5, ) , ) Παραγώγιση γινοµένου 6.. Θεώρηµα Εάν δύο συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες ως προς τότε το γινόµενο τους f g είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του για την οποία ισχύει ο κανόνας ( fg) f g + g f Απόδειξη f( + ) g( + ) f( ) g( ) ( fg ) lim Προσθέτοντας και αφαιρώντας f ( + ) g( ) στον αριθµητή παίρνουµε f( + g ) ( + ) f( + g ) ( ) + f( + g ) ( ) f( g ) ( ) ( fg ) lim g ( + ) g ( ) f( + ) f( ) lim f( ) g( ) + +

11 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από 5 g ( + ) g ( ) f( + ) f( ) lim f( + )lim + lim g( ) lim g f lim f( + ) + lim g( ) Το όριο lim g ( ) g ( ) αφού δεν εξαρτάτε από το. Η f() είναι παραγωγίσιµη στο και εποµένως και συνεχής στο. Άρα lim f ( + ) f( ). Εποµένως, g f ( fg) f + g 6.. Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y ( )( 7 + ), ) y ( ), ) y ( + )( ) Λύση ) ( 7 + ) ( ) + ( ) ( 7 + ) ( )( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 9 ) + ( ) ) ( ) ( + ) + ( + ) ( )

12 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από 5 ( )( ) ( )( ) Παραγώγιση πηλίκου 6..5 Θεώρηµα Εάν δύο συναρτήσεις f και g, όπου g 0 είναι παραγωγίσιµες ως προς τότε το πηλίκο y f / g είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του για την οποία ισχύει ο κανόνας f g g f f g g Απόδειξη f ( + ) f( ) f g ( + ) g ( ) lim g lim f ( + g ). ( ) f( ). g ( + ) g. ( + ). g( ) Προσθέτοντας και αφαιρώντας f ( ). g( ) στον αριθµητή παίρνουµε f f( + ) g( ) f( ) g( ) f( ) g( + ) + f( ) g( ) lim ( + ) ( ) g g g f ( + ) f( ) g( + ) g( ) g ( ) f( ) lim g ( + g ) ( ) f ( + ) f( ) g( + ) g( ) lim g ( )lim lim f( )lim lim g ( + )lim g ( ) f g lim g ( ) lim f( ) lim g ( + ) lim g ( ) Το όριο lim g ( ) g ( ) και το lim f ( ) f( ) αφού δεν εξαρτώνται από το.

13 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από 5 Η g() είναι παραγωγίσιµη στο και εποµένως και συνεχής στο. Άρα lim g ( + ) g ( ). Εποµένως, f g g f f g g 6..6 Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y +, ) y +, ) + y 5 Λύση ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( )( ) ( + )( ) ( ) ( ) ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) 5 ( )( ) ( )( ) ( + ) ( + ) ) ( 5) ( + ) ( + ) ( 5) ( 5) ( )( ) ( )( ) ( 5) ( 5)

14 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από Θεώρηµα Εάν η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιµη στο και f( ) 0 τότε η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιµη στο και ( f ( ) ) f ( ) f( ) ( ) Ο αναγνώστης µπορεί πολύ εύκολα να απόδείξη το θεώρηµα 6..7 χρησιµοποιώντας το θεώρηµα 6..5 (παραγώγιση πηλίκου) Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y, ) y + Λύση ) ) ( ) ( + ) ( ) ιαδοχική παραγώγιση Εάν η παράγωγος της συνάρτησης y f( ) είναι παραγωγίσιµη στο, και την παραγωγίσουµε για άλλη µία φορά, τότε η νέα συνάρτηση θα µας δώσει την δεύτερη παράγωγο της y f( ). Οι συνηθέστεροι συµβολισµοί για την δεύτερη παράγωγο της y f( ) είναι y f( ) y,,, f ( ), f. Γενικότερα το αποτέλεσµα της διαδοχικής παραγώγισης µίας συνάρτησης y f( ) n -φορές δηλώνεται ως :

15 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 5 από 5 y f( ) y f f n n ( n) ( n) ( n),,, ( ), n n Παράδειγµα Εάν y τότε, y + 5 y y 0 y () y 0 y () y 0 ( ) (5) (6) ( n) y 0, y 0,, y 0 n.

16 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 6 από 5 Ασκήσεις 6. Να βρεθεί η f ( ) και η f ( ) των παρακάτω συναρτήσεων ) ) f ( ) f ( ) 5 5) 6) + f( ) 5 f( ) ( + ) ) f ( ) 7) f( ) π ) f ( ) 8) f( ) α + β + γ+ δ, α,β,γ,δ σταθερές + 5) f ( ) ( ) 9) f( ) 5 6) f ( ) + 0) f ( ) ( + ) 7) f( ) ( )( + ) ) f ( ) ( 5) + 8) f( ) ) f( ) ( 7)( + + ) 9) f ( ) ) f( ) + + 0) f( ) ) f( ) 5 ) f( ) + 5) f( ) + + ( + )( 5) ) f( ) + 6) f( ) 7 + ) f( ) ( 6) + 7) f( ) ) f ( ) + 8) f( ) ( + )

17 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Σελίδα 7 από 5 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Η παράγωγος της τριγωνοµετρικής συνάρτησης ορισµό της παραγώγου, είναι το όριο y sin ως προς και µε βάση τον sin( + ) sin lim. Χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα sin( + ) sin cos + cos sin καθώς και τα ακόλουθα δύο γνωστά όρια ότι sin( + ) sin lim sin cos + cos sin sin lim 0 [ ] sin cos + cossin lim sin lim και cos lim 0 έχουµε cos sin lim sin + lim cos cos sin sin lim + cos lim sin 0 + cos cos. Με τον ίδιο τρόπο ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει ότι η παράγωγος της συνάρτησης y cos είναι y sin και η παράγωγος της συνάρτησης y tan είναι sec. y cos

18 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Σελίδα 8 από Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y tan, ) sin y, ) + cos y cos Λύση + + ) ( ) ( ) tan tan tan sec ) ( + cos) ( sin) sin ( + cos) ( + cos) ( + cos)( cos) sin( sin) ( + cos) cos + cos + sin cos + + ( + cos) ( + cos) cos ) cos cos cos () ( ) 0 ( sin ) sin cos cos cos sin sec tan cos cos.

19 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Σελίδα 9 από 5 Ασκήσεις 6. Να βρεθεί η f ( ) των παρακάτω συναρτήσεων ) y cos 6) ) y + 7sin tan 7) ) y sin 8) ) sin cos y + tan sin y + cos y sin y + cos sin 9) ( )( ) 5) ( sin ) y + sec 0) y cos + sin

20 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα 0 από 5 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Παράγωγος εκθετικών συναρτήσεων Στην άλγεβρα, οι ακέραιοι εκθέτες και οι ρητοί εκθέτες ενός αριθµού a µπορούν να οριστούν ως, n a, n a n a a a a n φορε ς p 0 p/ q q p q a, a a ( a), a p/ q. p/ q a Το γράφηµα της συνάρτησης y a εξαρτάται από τις τιµές που µπορεί να πάρει το a. Το παρακάτω γράφηµα µας δείχνει την συνάρτηση y a για 0 < a <, a και a >. 6.. Πρόταση Έστω a > 0. Αν f : R (0, + ) µε f ( ) a, τότε f ( ) a lna. Ειδικά, για a e παίρνουµε: ( e ) e. Απόδειξη Έχουµε την ανισότητα: + e, για κάθε (,). Για αρκούντως µικρό κατ απόλυτη τιµή ( < ln a, για a, ενώ για a το µπορεί να είναι οτιδήποτε) έχουµε ln a (,). Άρα, ln + a lna e lna, ήτοι lna + lna a lna a. lna lna a lna Εάν > 0, παίρνουµε ln a και επειδή lna a (από το κριτήριο της παρεµβολής) ότι lim ln a. 0 + ln a lim ln a, έπεται 0 lna

21 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα από 5 a lna a Εάν < 0, παίρνουµε ln a, οπότε lim ln a. lna 0 a Άρα f (0) lim ln a. 0 Με βάση τώρα, τον ορισµό της παραγώγου η παράγωγος της συνάρτηση y a δίνεται από τον τύπο + ( a a a a ) a f ( ) lim lim a lim a lna. Εάν, a e τότε η συνάρτηση γίνεται y e και η παράγωγός της ορίζεται ως ( e ) e 6.. Σηµείωση Ο αριθµός e ορίζεται ως ( ) / k e lim + lim + k k 0!!! n!.788 Παράγωγος λογαριθµικών συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση f ( ) log b. Η f ( ) ορίζεται ως log ( + ) log ( ) log lim b b ( b ) lim log b( + ) log b( ) [ ] + lim log b ( ) loga XY loga X + logay lim logb + εάν u τότε u 0 όταν 0 και εποµένως, ( log ) lim log ( + u) b u 0 u b

22 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα από 5 lim logb + u 0 u u 0 ( u) u lim log + b ( u) / u log b lim + ( u) / e lim( + ) / u 0 0 logb e Εποµένως, ( log ) b logbe, > 0 αλλάζοντας την βάση του λογαρίθµου παίρνουµε ( logb ), > 0 ln b log z log log a a z Στην περίπτωση όπου b e τότε ( ln( ) ), 0 > [ log ] a a

23 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα από 5 Ασκήσεις 6. Να βρεθεί η παράγωγος, f ( ), των παρακάτω συναρτήσεων. ) f ( ) ln ) f( ) + ) f( ) ( ) ) f ( ) e sin e ) f( ) ) f( ) ln sin ) f ( ) sin cos ) f ( ) log e 5) f ( ) tan, 5) f( ) e e e 6) f( ) 6) f( ) + + 7) f( ) ( )ln( ) 7) f( ) 8) f ( ) sin ln 8) f( ) sin 9) f( ) 9) f( ) cos cos ln 0) f( ) 0) f( ) sin ln( )

24 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα από Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Για να υπολογίσουµε την παράγωγο σύνθετων συναρτήσεων χρησιµοποιούµε τον κανόνα της αλυσιδωτής παραγώγισης ή κανόνα της αλυσίδας Πρόταση (κανόνας της αλυσίδας) Έστω g: A B παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 A και f : B R παραγωγίσιµη στο σηµείο g ( 0) B, όπου Α, Β ανοικτά διαστήµατα του R. Τότε η f g είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 A και ισχύει: ( f g)( 0) f ( g( 0)) g ( 0). Απόδειξη Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ : A R µε τύπο f( g( )) f( g( 0 )), αν g ( ) g ( 0 ) ϕ( ) g ( ) g ( 0) f ( g ( 0)), αν g ( ) g ( 0) Πρώτα θα αποδείξουµε ότι η φ είναι συνεχής στο σηµείο 0. Έστω λοιπόν ε > 0. Εφόσον η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο g ( 0), υπάρχει δ > 0 µε την ιδιότητα: f( y) f( g( 0)) y B και 0 < y g( 0) < δ f ( g( 0)) < ε. () y g( ) 0 Τώρα, εφόσον η g είναι συνεχής στο 0 (γιατί είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό), υπάρχει δ > 0 µε την ιδιότητα: A και 0 < 0 < δ g( ) g( 0) < δ. Για κάθε A µε 0 < 0 < δ διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: (i) Αν g ( ) g ( 0), τότε ϕ( ) f ( g( 0)) ϕ( 0) και άρα ϕ( ) ϕ( 0 ) 0< ε και (ii) 0 < g ( ) g ( 0) < δ, f( g( )) f( g( 0 )) οπότε, βάσει της (), f ( g( 0 )) < ε, g ( ) g ( ) ϕ( ) f ( g( )) < ε. Παρατηρούµε τώρα ότι για κάθε A { } ισχύει: δηλαδή f ( g ( )) f( g ( 0)) g ( ) g ( 0) ϕ ( ). 0 0

25 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 5 από 5 f( g ( )) f( g ( 0)) g ( ) g ( 0) [Αν g ( ) g ( 0), τότε 0, ενώ αν g ( ) g ( 0) 0 0 ( ( )) ( ( 0)) ( ( )) ( ( 0)) ( ) ( 0) ( ) ( 0) τότε f g f g f g f g g g ( ) g ϕ g ]. g ( ) g ( ) Εποµένως, f ( g ( )) f( g ( 0)) g ( ) g ( 0) ( f g) ( 0 ) lim lim ϕ ( ) lim f ( g ( )) g ( ). 0 0 Με άλλα λόγια εάν και εποµένως, ( ( )) y f g και u g( ) τότε y f( u) u u 6.5. Παραδείγµατα ) Να βρεθεί η παράγωγος της y ( ) Λύση u u και y u u u. Άρα, u u. u. π ) Να βρεθεί η παράγωγος της y sin(θ ) Λύση π u u θ θ και y sin u cosu u Άρα, π cosu cos(θ ). θ

26 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 6 από Σηµείωση Ουσιαστικά ο υπολογισµόs της παραγώγου µίας σύνθεσης δύο ή και περισσοτέρων παραγωγίσιµων συναρτήσεων, δεν είναι τίποτε άλλο παρά το γινόµενο των παραγώγων κάθε συνάρτησης αρχίζοντας την παραγώγιση της σύνθεσης από έξω προς τα µέσα. Έτσι λοιπόν εάν έχουµε τις συναρτήσεις r ( ) g( f( )) ή p( ) g( f( ( ))), η παραγώγιση της σύνθεσης από έξω προς τα µέσα g f () ή g f () θα µας δώσει τους παρακάτω δύο τύπους r ( ) g ( f( )) f ( ) ή p ( ) g ( f( ( ))) f ( ( )) ( ) Παραδείγµατα ) Να βρεθεί η παράγωγος της y e Λύση Εδώ έχουµε δύο συναρτήσεις την e και την. Άρα, ( ) ( ) y e e e e. ) Να βρεθεί η παράγωγος της y sin ( e ) Λύση Εδώ έχουµε τρεις συναρτήσεις την sin ( e ) την e και την. Άρα, ( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ) e cos( e ) y e e e e e e e sin cos cos cos ( ) 5 ) Να βρεθεί η παράγωγος της y cos( ) Λύση ( ) 5 5 Εδώ έχουµε τρεις συναρτήσεις την cos( ) την ( ) cos και την 5.

27 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 7 από 5 Άρα, (( cos( )) ) 5 ( cos( 5) ) ( cos( 5 )) cos ( ( )) ( sin ( ))( ) ( ) sin( )( cos( )) y ( ) ( ( )) cos sin Παράγωγος του r όπου r ρητός αριθµός. n Στην παράγραφο 6. είδαµε πώς να βρίσκουµε την παράγωγο του για ακέραιες τιµές του n αλλά και για n /. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας θα δούµε ότι η ίδια τεχνική µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για οποιαδήποτε ρητή δύναµη του. ηλαδή, r r ( ) r. Απόδειξή Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση y p/ q. Εάν παραγωγίζοντας ως προς και u αντίστοιχα παίρνουµε Χρησιµοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας έχουµε u /q και q u και q y u p u τότε p p. u p u p q u q p p p + q q q q q q q p p p q q q p q q p

28 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 8 από 5 Ασκήσεις 6.5 Να βρεθεί η παράγωγος f ( ) των παρακάτω συναρτήσεων. ) ) f ( ) e ) f( ) ( ) 5 + ) f ( ) e sin f( ) e sinθ ) f( ) ( ) 5 + ) f ( θ) sin( θ + ) ) f( ) sinθ ) f ( ) ln( sincos) 5) 6) f( ) sin θ 5) f( ) ( ) + 6) sin f( ) ln cos f ( ) cos (sin( )) 7) f( ) 7) 5 f( ) + e 8) f( ) 8) f ( ) sin (5 ) e 9) f( ) 9) f ( ) cos(cos ) sinθ 0) f ( ) e e + 0) f( ) ( sin( ) + tan ( 7 )) 5

29 6.6 Παράγωγος Αντίστροφων Συναρτήσεων Σελίδα 9 από Παράγωγος Αντίστροφων Συναρτήσεων 6.6. Πρόταση Εάν η συνάρτηση y f( ) είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση µε αντίστροφη συνάρτηση την f ( y) g( y), τότε η ( ) f ( ) 0 και /. g y θα είναι παραγωγίσιµη Απόδειξη Αφού η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιµη, θα είναι και συνεχής έτσι ώστε Η συνάρτηση ( ) y f( + ) f( ) 0 όταν το 0. g y είναι συνεχής, άρα 0 όταν y 0. Εποµένως, όταν lim lim / y 0 y y 0 y y lim / y 0 Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί και γραφτεί και ως g ( y) f f g y ή διαφορετικά, αλλάζοντας τις µεταβλητές ( ) ( ( )) δηλαδή, ( ) g f ( f ( ) ) ( g ( )) f f ( ( ))

30 6.6 Παράγωγος Αντίστροφων Συναρτήσεων Σελίδα 0 από 5 Παράγωγος Αντίστροφων Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Ας πάρουµε την συνάρτηση y sin ( arcsin ) γραφτεί σαν. Η εξίσωση αυτή µπορεί να sin y. Εάν τώρα παραγωγίσουµε ως προς y θα πάρουµε cos y. cos y. Εποµένως, Γνωρίζουµε όµως ότι cos y sin y. Εποµένως, ( ) Σηµείωση π π Επειδή < <, τότε < y <. Για αυτές τις τιµές του y cos( ) 0. Άρα cos( y) ( ) [ και όχι ( ) ]. Με τον ίδιο τρόπο ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει ότι η παράγωγος της και η παράγωγος της ( arccos ) y cos είναι ( ) ( arctan ) είναι +. y tan

31 6.7 Συνοπτικός Πίνακας Παραγώγισης Σελίδα από Συνοπτικός Πίνακας Παραγώγισης Οι τύποι παραγώγισης που αναπτύξαµε σε αυτό το κεφάλαιο δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Οι συναρτήσεις u και v που βλέπετε στους τύπους θεωρούνται ότι είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις του. Το γράµµα c δηλώνει µία αυθαίρετη σταθερά. y c, (c σταθερά) 0 y sinθ cosθ θ y n n n y cosθ sinθ θ y a y e y e a n an n y tan θ e y sin a a ae y cos a sec θ θ a a y a a ln a y a a a + tan y ln Κανόνας Γινοµένου : y uv., u v v + u Κανόνας Πηλίκου : u v v u u y, v v Κανόνας Αλυσίδας : u u

32 6.8 ιαφορικά Σελίδα από ιαφορικά Μέχρι στιγµής έχουµε αντιµετωπίσει τον συµβολισµό / ως ένα απλό σύµβολο για την παραγώγιση. Τα σύµβολα και, τα οποία και ονοµάζονται διαφορικά, δεν είχαν από µόνα τους κάποια συγκεκριµένη σηµασία. Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως τα σύµβολα αυτά, και, µπορούν να χρησιµοποιηθούν έτσι ώστε το / να ερµηνευτεί ως το πηλίκο των δύο αυτών διαφορικών. Εάν y f( ) και η f είναι παραγωγίσιµη στο, τότε µπορούµε να ορίσουµε το ως f ( ) () Εάν 0, τότε µπορούµε να διαιρέσουµε και τα δυο µέλη της () µε για να µας δώσει f ( ) () Η εξίσωση () µας λεει ότι µπορούµε να θεωρήσουµε το σύµβολο για την παράγωγο ως πηλίκο των δύο διαφορικών Ορισµός Για την συνάρτηση y f( ) ορίζουµε (α) ως διαφορικό του το µε την σχέση (β) ως διαφορικό του y το µε την σχέση f ( ) Εποµένως το διαφορικό της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι από τον ορισµό ίσο µε την µεταβολή της µεταβλητής. Το διαφορικό όµως της εξαρτηµένης µεταβλητής y δεν ισούται µε την µεταβολή της. Αυτό µπορεί να γίνει πιο κατανοητό βλέποντας το παρακάτω σχεδιάγραµµα. y y f ( ) y + ( + )

33 6.8 ιαφορικά Σελίδα από 5 Είναι εµφανές ότι το y. Όσο ποιο µικρό είναι το διάστηµα είναι η προσέγγιση του διαφορικού στο y. τόσο καλύτερη Οι τύποι παραγώγων που παραθέσαµε στον συνοπτικό πίνακα παραγώγισης στην παράγραφο 6.9 µπορούν να εκφραστούν και σε διαφορικά. Οι τύποι αυτοί δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Συνοπτικός Πίνακας ιαφορικών c () 0 (c σταθερά) ( n n ) n ( n n a ) an (sin θ ) cos( θ) θ (cos θ ) sin( θ) θ (tan ) sec ( ) θ θ θ e ( ) a ( e ) e a ae sin a a cos a a a ( ) aln( a ) (ln ) Κανόνας Γινοµένου : ( uv) vu + uv a a + tan a Κανόνας Πηλίκου : u vu uv v v

34 6.9 Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από Λύσεις Ασκήσεων Ασκήσεις 6. ) 8 9, ) 7, ), ) 8, 5), 6) 7), 8), 9) α, 0). /, Ασκήσεις 6. 5 ) 5, 0 ) 5,, ), 9, ),, 5), 9, 6),, 7),, 8) +,, 9) , + 6 0) 0, ), ( ) / 8 5 9, ) 7, + 56, ) 8 +, 6, 9 ) 0 +, 6, 5) / 5, 5 6) 6 +, ) 0, 8) a + b + c, 6a + b, 9),, 0) , ) 5, 5 8, ) , 0 8+, ) 8 + +, 5, ) ,, 5),, ( 5 ) ( 5 ) ( + + ) ( + + ) ),, 7) ( ) ( ) , 8), ( ) ( ) Ασκήσεις 6. ) + sin, ) 7cos sec, ) cos + sin, ) cos tan sec + 5) sec tan + sec + sec, 6), 7) ( + tan) 8) sin cos cos sin sin, 0) 0., 9) ( ), + cos Ασκήσεις 6. 5 )+ ln, ) ( ) ln, ) cos sin, ln, ) ( )

35 6.9 Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 5 από 5 5) cos, 6) e ( ), 7)+ ln( ), 8) cos ln + sin, ( ) 9) ( + tan ), 0) cos sin, ), ) e ( sin + cos ), ( + ) e ( sin cos ) ), ) ln +, 5), 6), 7) sin ln0 ( e e, ) ( + ) cos sin ( )ln( ) ln 8), 9), 0). ( ) ( )ln ( ) Ασκήσεις 6.5 ) e, ) 5( + ), ) 0 ( + ), ) θ cos( θ ), 5) sinθ cosθ, 6) ( + ), cosθ 7), 8) e + e, 9), 0) 6e + e,) sin e cos, / ( ) sin θ sinθ ) 6e cos( θ ), ) θ ( θ ) + cos( θ + ) ( 5) 6) 6 cos (sin( )).sin(sin( )).cos( ), 7) ( + ) 8) 0 sin(5 ) cos(5 ) + sin (5 ), 9) sin sin(cos ), cos( ), ) sin(, 5), ) sin 0) 5( sin( ) tan ( 7 )).( cos( ) sin( ) 8 6 tan ( 7 ) sec ( 7 )) ,

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Ασκήσεις 19/09/2012

2.3 Ασκήσεις 19/09/2012 . Ασκήσεις 19/09/01 Ασκηση 1. ορισµού της Αν η συνάρτηση f έχει έναν από τους παρακάτω τύπους να ϐρεθεί το πεδίο a) x + x 5 b) x + 1 + x 5 c) tan x d) 1 x 1 tan + sin x x a) Παρατηρούµε ότι η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ Έστω ένας πραγµατικός αριθµός. ίνουµε τον εξής ορισµό: Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του και το συµβολίζουµε [ ], τον πιο µεγάλο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον. Έτσι [ 3,98]

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα