Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 6 Παράγωγος"

Transcript

1 Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της f ( ), σε ένα συγκεκριµένο σηµείο πάνω στη συνάρτηση f ( ) έχει την ιδιότητά ότι είναι η κλίση της εφαπτοµένης στο συγκεκριµένο αυτό σηµείο.

2 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα από 5 6. Η Έννοια της Παραγώγου Στην παράγραφο αυτή θα εισάγουµε την έννοια της παραγώγου δίνοντας την γεωµετρική της ερµηνεία. Εάν A και B είναι δύο σηµεία πάνω σε µία καµπύλη τότε Α Β η γραµµή που ενώνει τα σηµεία Α και Β ονοµάζεται χορδή η γραµµή που τέµνει την καµπύλη µόνο στο σηµείο Α ονοµάζεται εφαπτοµένη στο Α. Είναι γεγονός ότι µία καµπύλη δεν έχει σε όλα τα σηµεία της την ίδια κλίση. Η έννοια λοιπόν της παραγώγου µίας συνάρτησης προήλθε από την ανάγκη να προσδιοριστεί η εφαπτοµένη µίας καµπύλης σε ένα συγκεκριµένο σηµείο. Β Α Τ Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι κινούµαστε πάνω στην καµπύλη αυτή, από το σηµείο B στο σηµείο A ( B A ), και στο σηµείο Α η κλίση αλλάζει και παραµένει σταθερή. Εάν αυτό συµβεί, τότε θα κινούµαστε πάνω στη ευθεία γραµµή ΑΤ, δηλαδή πάνω στη εφαπτοµένη στο σηµείο Α. Άρα η κλίση της καµπύλης στο σηµείο Α είναι η ίδια µε την κλίση της εφαπτοµένη στο σηµείο Α. Ας πάρουµε λοιπόν δύο σηµεία Α (, y ) και Β (, ) y πάνω στη καµπύλη y f( ) και ας υποθέσουµε ότι κινούµαστε πάνω στην καµπύλη αυτή, από το σηµείο B στο σηµείο A, και ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την παράγωγο στο σηµείο Α. Την κίνηση αυτή µπορούµε να δούµε στο παρακάτω σχήµα.

3 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα από 5 Y Β (, y ) Τ Α (, y ) X Αυτό σηµαίνει ότι το µεν σηµείο Α παραµένει σταθερό, ενώ το σηµείο Β κινείται και πλησιάζει προς το σηµείο Α. Όσο πιο κοντά είναι το Β στο Α, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση που θα πάρουµε. ηλαδή, B A ή η κλίση της ευθείας (χορδής) ΑΒ κλίση της εφαπτοµένης ΑΤ ή lim ( κλίση χορδής ΑΒ ) κλίση της εφαπτοµένης ΑΤ. B A Ας κοιτάξουµε τώρα µεταξύ δύο πολύ κοντινών σηµείων πάνω στην καµπύλη, Υ f( + ) Β f ( ) A + Χ όπου είναι ένας αριθµός πολύ κοντά στο µηδέν. Η κλίση της ευθείας (χορδής) ΑΒ δίνεται από τον τύπο Μεταβολη του Μεταβολη του y f ( + ) f( ) ( + ) ή f( + ) f( ) f

4 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα από 5 f όπου είναι ο λόγος µεταβολής της συνάρτησης f ( ) και τείνει σε ένα συγκεκριµένο όριο. Ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης στο σηµείο ονοµάζεται παράγωγος της συνάρτησης και ορίζεται ως f ( + ) f( ) f ( ) lim Ορισµός Η παράγωγος µίας συνάρτησης y f( ) είναι η συνάρτηση f ( ) που η τιµή της σε κάθε ορίζεται από τον κανόνα f ( ) lim f ( + ) f( ) όταν υπάρχει αυτό το όριο. Το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο των σηµείων του πεδίου ορισµού της f όπου υπάρχει το εν λόγω όριο. Οι συνηθέστεροι συµβολισµοί για την παράγωγο της συνάρτησης y f( ) είναι f ( ) y,,, f ( ), f. Το δηλώνει την παράγωγο ως προς το σηµείο. 6.. Παραδείγµατα ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f( ) +. Λύση [( + ) + ] ( + ) f ( ) lim lim lim + lim ( + ).

5 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα 5 από 5 ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) +. Λύση [( ) ( ) ] ( ) ( ) lim f + lim ( ) lim + + lim( + + ). ) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f ( ). Λύση + ( + )( + + ) f ( ) lim lim ( + + ) ( + ) lim lim lim ( + + ) ( + + ) ( + + ). Παραγώγιση σε Ακραίο Σηµείο ιαστήµατος Έστω µία συνάρτηση f ( ) που ορίζεται στο διάστηµα [ α, β ] και που δεν ορίζεται έξω από αυτό. Τότε η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) δεν ορίζεται στα δύο άκρα της α και β αφού η f ( + ) f( ) f ( ) lim είναι η γνωστή δίπλευρη παράγωγος και στα δύο άκρα µόνο µονόπλευρα όρια έχουν νόηµα. Για να αντεπεξέλθουµε στις εδικές αυτές περιπτώσεις ορίζουµε παραγώγους από αριστερά (αριστερή πλευρική παράγωγος) και δεξιά (δεξιά πλευρική παράγωγος). ηλαδή : f ( + ) f( ) f ( ) lim και αντίστοιχα. f ( ) lim + + f ( + ) f( )

6 6. Η Έννοια της Παραγώγου Σελίδα 6 από Ορισµός Μία συνάρτηση f θα λέγεται παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ α, β ] εάν ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες :. Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα ( α, β ).. Η f είναι παραγωγίσιµη από τα αριστερά στο α.. Η f είναι παραγωγίσιµη από τα δεξιά στο β. Ασκήσεις 6. Με βάση τον ορισµό της παραγώγου να βρεθεί η παράγωγος f ( ), των παρακάτω συναρτήσεων. ) f ( ) 9 6) f ( ) ( + ) ) f( ) ) f( ) ( ) ) f( ) ( )(+ 5) 8) f( ) ) f( ) ( ) 9) f( ) α + β α,β σταθερές 5) ( + ) f( ) 0) f( ).

7 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 7 από 5 6. Τεχνικές Παραγώγισης Ευτυχώς κάθε φορά που θέλουµε να παραγωγίσουµε µία συνάρτηση δεν χρειάζεται να επαναλαµβάνουµε την παραπάνω διαδικασία (µε βάση τον ορισµό) αφού ειδικές κατηγορίες συναρτήσεων µπορούν να παραγωγιθούν χρησιµοποιώντας ορισµένους κανόνες. Τους κανόνες αυτούς θα εξετάσουµε στην συνέχεια. Παραγώγιση σταθεράς f ( ) c Έστω η συνάρτηση f ( ) c, όπου c είναι µία σταθερά, έχουµε δηλαδή την εξίσωση µίας ευθείας γραµµής παράλληλη στον άξονα των. ηλαδή Άρα, f( + ) f( ) c c f ( ) lim lim lim Εποµένως η κλίση της f ( ) είναι 0. ηλαδή, f 0 Παράγωγος του a όπου a σταθερά Έστω η συνάρτηση f ( ) a, έχουµε δηλαδή την εξίσωση µίας ευθείας γραµµής µε κλίση a. Άρα, f( + ) f( ) ( a+ ) a f ( ) lim lim lim lim Εποµένως η κλίση της είναι. ηλαδή, f a

8 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 8 από 5 Παράγωγος του n όπου n ακέραιος y Από τον παραπάνω πίνακα συµπεραίνουµε τον ακόλουθο κανόνα, Πράγµατι, n ( ) n n n f ( + ) f( ) ( + ) f ( ) lim lim nn ( ) + n n +! lim n n n n n n n n nn ( ) n n n n n +! lim nn ( ) lim n n ! n n n n Όταν το 0 όλοι οι παράγοντες εκτός του πρώτου πάνε στο µηδέν. Εποµένως, n f ( ) n Παράγωγος του Εάν f ( ), τότε ( ) Πράγµατι, f ( + ) f( ) + f ( ) lim lim

9 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 9 από 5 ( + )( + + ) + lim ( + + ) ( + + ) lim 0 lim lim ( + + ) + + lim + Σταθερά Πολλαπλάσια Έστω a µία σταθερά. Εάν η f ( ) είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του τότε ισχύει ( af ( ) ) a ( f ( ) ) Πράγµατι, af ( + ) af ( ) f ( + ) f ( ) f ( a) lim lima f ( + ) f( ) a lim 0 af ( ) Παραγώγιση αθροίσµατος και διαφοράς 6.. Θεώρηµα Εάν f και g είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις του, τότε το άθροισµα τους f είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του για την οποία ισχύει ο κανόνας + g ( f + g) f + g Απόδειξη ( f g) [ f ( + ) + g( + ) ] [ f( ) + g( ) ] + lim [ f ( + ) f( ) ] + [ g( + ) g( ) ] lim f ( + ) f( ) g( + ) g( ) lim + lim

10 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 0 από 5 f g + Το θεώρηµα 6.. ισχύει και για διαφορά δύο συναρτήσεων. ηλαδή, ( f g) f g 6.. Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y, ) 5 y ) y , ) y Λύση ) 0, ) 5, ) , ) Παραγώγιση γινοµένου 6.. Θεώρηµα Εάν δύο συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες ως προς τότε το γινόµενο τους f g είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του για την οποία ισχύει ο κανόνας ( fg) f g + g f Απόδειξη f( + ) g( + ) f( ) g( ) ( fg ) lim Προσθέτοντας και αφαιρώντας f ( + ) g( ) στον αριθµητή παίρνουµε f( + g ) ( + ) f( + g ) ( ) + f( + g ) ( ) f( g ) ( ) ( fg ) lim g ( + ) g ( ) f( + ) f( ) lim f( ) g( ) + +

11 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από 5 g ( + ) g ( ) f( + ) f( ) lim f( + )lim + lim g( ) lim g f lim f( + ) + lim g( ) Το όριο lim g ( ) g ( ) αφού δεν εξαρτάτε από το. Η f() είναι παραγωγίσιµη στο και εποµένως και συνεχής στο. Άρα lim f ( + ) f( ). Εποµένως, g f ( fg) f + g 6.. Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y ( )( 7 + ), ) y ( ), ) y ( + )( ) Λύση ) ( 7 + ) ( ) + ( ) ( 7 + ) ( )( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( 9 ) + ( ) ) ( ) ( + ) + ( + ) ( )

12 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από 5 ( )( ) ( )( ) Παραγώγιση πηλίκου 6..5 Θεώρηµα Εάν δύο συναρτήσεις f και g, όπου g 0 είναι παραγωγίσιµες ως προς τότε το πηλίκο y f / g είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση του για την οποία ισχύει ο κανόνας f g g f f g g Απόδειξη f ( + ) f( ) f g ( + ) g ( ) lim g lim f ( + g ). ( ) f( ). g ( + ) g. ( + ). g( ) Προσθέτοντας και αφαιρώντας f ( ). g( ) στον αριθµητή παίρνουµε f f( + ) g( ) f( ) g( ) f( ) g( + ) + f( ) g( ) lim ( + ) ( ) g g g f ( + ) f( ) g( + ) g( ) g ( ) f( ) lim g ( + g ) ( ) f ( + ) f( ) g( + ) g( ) lim g ( )lim lim f( )lim lim g ( + )lim g ( ) f g lim g ( ) lim f( ) lim g ( + ) lim g ( ) Το όριο lim g ( ) g ( ) και το lim f ( ) f( ) αφού δεν εξαρτώνται από το.

13 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από 5 Η g() είναι παραγωγίσιµη στο και εποµένως και συνεχής στο. Άρα lim g ( + ) g ( ). Εποµένως, f g g f f g g 6..6 Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y +, ) y +, ) + y 5 Λύση ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( )( ) ( + )( ) ( ) ( ) ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) 5 ( )( ) ( )( ) ( + ) ( + ) ) ( 5) ( + ) ( + ) ( 5) ( 5) ( )( ) ( )( ) ( 5) ( 5)

14 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα από Θεώρηµα Εάν η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιµη στο και f( ) 0 τότε η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιµη στο και ( f ( ) ) f ( ) f( ) ( ) Ο αναγνώστης µπορεί πολύ εύκολα να απόδείξη το θεώρηµα 6..7 χρησιµοποιώντας το θεώρηµα 6..5 (παραγώγιση πηλίκου) Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y, ) y + Λύση ) ) ( ) ( + ) ( ) ιαδοχική παραγώγιση Εάν η παράγωγος της συνάρτησης y f( ) είναι παραγωγίσιµη στο, και την παραγωγίσουµε για άλλη µία φορά, τότε η νέα συνάρτηση θα µας δώσει την δεύτερη παράγωγο της y f( ). Οι συνηθέστεροι συµβολισµοί για την δεύτερη παράγωγο της y f( ) είναι y f( ) y,,, f ( ), f. Γενικότερα το αποτέλεσµα της διαδοχικής παραγώγισης µίας συνάρτησης y f( ) n -φορές δηλώνεται ως :

15 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 5 από 5 y f( ) y f f n n ( n) ( n) ( n),,, ( ), n n Παράδειγµα Εάν y τότε, y + 5 y y 0 y () y 0 y () y 0 ( ) (5) (6) ( n) y 0, y 0,, y 0 n.

16 6. Τεχνικές Παραγώγισης Σελίδα 6 από 5 Ασκήσεις 6. Να βρεθεί η f ( ) και η f ( ) των παρακάτω συναρτήσεων ) ) f ( ) f ( ) 5 5) 6) + f( ) 5 f( ) ( + ) ) f ( ) 7) f( ) π ) f ( ) 8) f( ) α + β + γ+ δ, α,β,γ,δ σταθερές + 5) f ( ) ( ) 9) f( ) 5 6) f ( ) + 0) f ( ) ( + ) 7) f( ) ( )( + ) ) f ( ) ( 5) + 8) f( ) ) f( ) ( 7)( + + ) 9) f ( ) ) f( ) + + 0) f( ) ) f( ) 5 ) f( ) + 5) f( ) + + ( + )( 5) ) f( ) + 6) f( ) 7 + ) f( ) ( 6) + 7) f( ) ) f ( ) + 8) f( ) ( + )

17 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Σελίδα 7 από 5 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Η παράγωγος της τριγωνοµετρικής συνάρτησης ορισµό της παραγώγου, είναι το όριο y sin ως προς και µε βάση τον sin( + ) sin lim. Χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα sin( + ) sin cos + cos sin καθώς και τα ακόλουθα δύο γνωστά όρια ότι sin( + ) sin lim sin cos + cos sin sin lim 0 [ ] sin cos + cossin lim sin lim και cos lim 0 έχουµε cos sin lim sin + lim cos cos sin sin lim + cos lim sin 0 + cos cos. Με τον ίδιο τρόπο ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει ότι η παράγωγος της συνάρτησης y cos είναι y sin και η παράγωγος της συνάρτησης y tan είναι sec. y cos

18 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Σελίδα 8 από Παραδείγµατα Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων ) y tan, ) sin y, ) + cos y cos Λύση + + ) ( ) ( ) tan tan tan sec ) ( + cos) ( sin) sin ( + cos) ( + cos) ( + cos)( cos) sin( sin) ( + cos) cos + cos + sin cos + + ( + cos) ( + cos) cos ) cos cos cos () ( ) 0 ( sin ) sin cos cos cos sin sec tan cos cos.

19 6. Παράγωγος Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Σελίδα 9 από 5 Ασκήσεις 6. Να βρεθεί η f ( ) των παρακάτω συναρτήσεων ) y cos 6) ) y + 7sin tan 7) ) y sin 8) ) sin cos y + tan sin y + cos y sin y + cos sin 9) ( )( ) 5) ( sin ) y + sec 0) y cos + sin

20 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα 0 από 5 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Παράγωγος εκθετικών συναρτήσεων Στην άλγεβρα, οι ακέραιοι εκθέτες και οι ρητοί εκθέτες ενός αριθµού a µπορούν να οριστούν ως, n a, n a n a a a a n φορε ς p 0 p/ q q p q a, a a ( a), a p/ q. p/ q a Το γράφηµα της συνάρτησης y a εξαρτάται από τις τιµές που µπορεί να πάρει το a. Το παρακάτω γράφηµα µας δείχνει την συνάρτηση y a για 0 < a <, a και a >. 6.. Πρόταση Έστω a > 0. Αν f : R (0, + ) µε f ( ) a, τότε f ( ) a lna. Ειδικά, για a e παίρνουµε: ( e ) e. Απόδειξη Έχουµε την ανισότητα: + e, για κάθε (,). Για αρκούντως µικρό κατ απόλυτη τιµή ( < ln a, για a, ενώ για a το µπορεί να είναι οτιδήποτε) έχουµε ln a (,). Άρα, ln + a lna e lna, ήτοι lna + lna a lna a. lna lna a lna Εάν > 0, παίρνουµε ln a και επειδή lna a (από το κριτήριο της παρεµβολής) ότι lim ln a. 0 + ln a lim ln a, έπεται 0 lna

21 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα από 5 a lna a Εάν < 0, παίρνουµε ln a, οπότε lim ln a. lna 0 a Άρα f (0) lim ln a. 0 Με βάση τώρα, τον ορισµό της παραγώγου η παράγωγος της συνάρτηση y a δίνεται από τον τύπο + ( a a a a ) a f ( ) lim lim a lim a lna. Εάν, a e τότε η συνάρτηση γίνεται y e και η παράγωγός της ορίζεται ως ( e ) e 6.. Σηµείωση Ο αριθµός e ορίζεται ως ( ) / k e lim + lim + k k 0!!! n!.788 Παράγωγος λογαριθµικών συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση f ( ) log b. Η f ( ) ορίζεται ως log ( + ) log ( ) log lim b b ( b ) lim log b( + ) log b( ) [ ] + lim log b ( ) loga XY loga X + logay lim logb + εάν u τότε u 0 όταν 0 και εποµένως, ( log ) lim log ( + u) b u 0 u b

22 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα από 5 lim logb + u 0 u u 0 ( u) u lim log + b ( u) / u log b lim + ( u) / e lim( + ) / u 0 0 logb e Εποµένως, ( log ) b logbe, > 0 αλλάζοντας την βάση του λογαρίθµου παίρνουµε ( logb ), > 0 ln b log z log log a a z Στην περίπτωση όπου b e τότε ( ln( ) ), 0 > [ log ] a a

23 6. Παράγωγος Εκθετικών και Λογαριθµικών Συναρτήσεων Σελίδα από 5 Ασκήσεις 6. Να βρεθεί η παράγωγος, f ( ), των παρακάτω συναρτήσεων. ) f ( ) ln ) f( ) + ) f( ) ( ) ) f ( ) e sin e ) f( ) ) f( ) ln sin ) f ( ) sin cos ) f ( ) log e 5) f ( ) tan, 5) f( ) e e e 6) f( ) 6) f( ) + + 7) f( ) ( )ln( ) 7) f( ) 8) f ( ) sin ln 8) f( ) sin 9) f( ) 9) f( ) cos cos ln 0) f( ) 0) f( ) sin ln( )

24 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα από Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Για να υπολογίσουµε την παράγωγο σύνθετων συναρτήσεων χρησιµοποιούµε τον κανόνα της αλυσιδωτής παραγώγισης ή κανόνα της αλυσίδας Πρόταση (κανόνας της αλυσίδας) Έστω g: A B παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 A και f : B R παραγωγίσιµη στο σηµείο g ( 0) B, όπου Α, Β ανοικτά διαστήµατα του R. Τότε η f g είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 A και ισχύει: ( f g)( 0) f ( g( 0)) g ( 0). Απόδειξη Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ : A R µε τύπο f( g( )) f( g( 0 )), αν g ( ) g ( 0 ) ϕ( ) g ( ) g ( 0) f ( g ( 0)), αν g ( ) g ( 0) Πρώτα θα αποδείξουµε ότι η φ είναι συνεχής στο σηµείο 0. Έστω λοιπόν ε > 0. Εφόσον η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο g ( 0), υπάρχει δ > 0 µε την ιδιότητα: f( y) f( g( 0)) y B και 0 < y g( 0) < δ f ( g( 0)) < ε. () y g( ) 0 Τώρα, εφόσον η g είναι συνεχής στο 0 (γιατί είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό), υπάρχει δ > 0 µε την ιδιότητα: A και 0 < 0 < δ g( ) g( 0) < δ. Για κάθε A µε 0 < 0 < δ διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: (i) Αν g ( ) g ( 0), τότε ϕ( ) f ( g( 0)) ϕ( 0) και άρα ϕ( ) ϕ( 0 ) 0< ε και (ii) 0 < g ( ) g ( 0) < δ, f( g( )) f( g( 0 )) οπότε, βάσει της (), f ( g( 0 )) < ε, g ( ) g ( ) ϕ( ) f ( g( )) < ε. Παρατηρούµε τώρα ότι για κάθε A { } ισχύει: δηλαδή f ( g ( )) f( g ( 0)) g ( ) g ( 0) ϕ ( ). 0 0

25 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 5 από 5 f( g ( )) f( g ( 0)) g ( ) g ( 0) [Αν g ( ) g ( 0), τότε 0, ενώ αν g ( ) g ( 0) 0 0 ( ( )) ( ( 0)) ( ( )) ( ( 0)) ( ) ( 0) ( ) ( 0) τότε f g f g f g f g g g ( ) g ϕ g ]. g ( ) g ( ) Εποµένως, f ( g ( )) f( g ( 0)) g ( ) g ( 0) ( f g) ( 0 ) lim lim ϕ ( ) lim f ( g ( )) g ( ). 0 0 Με άλλα λόγια εάν και εποµένως, ( ( )) y f g και u g( ) τότε y f( u) u u 6.5. Παραδείγµατα ) Να βρεθεί η παράγωγος της y ( ) Λύση u u και y u u u. Άρα, u u. u. π ) Να βρεθεί η παράγωγος της y sin(θ ) Λύση π u u θ θ και y sin u cosu u Άρα, π cosu cos(θ ). θ

26 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 6 από Σηµείωση Ουσιαστικά ο υπολογισµόs της παραγώγου µίας σύνθεσης δύο ή και περισσοτέρων παραγωγίσιµων συναρτήσεων, δεν είναι τίποτε άλλο παρά το γινόµενο των παραγώγων κάθε συνάρτησης αρχίζοντας την παραγώγιση της σύνθεσης από έξω προς τα µέσα. Έτσι λοιπόν εάν έχουµε τις συναρτήσεις r ( ) g( f( )) ή p( ) g( f( ( ))), η παραγώγιση της σύνθεσης από έξω προς τα µέσα g f () ή g f () θα µας δώσει τους παρακάτω δύο τύπους r ( ) g ( f( )) f ( ) ή p ( ) g ( f( ( ))) f ( ( )) ( ) Παραδείγµατα ) Να βρεθεί η παράγωγος της y e Λύση Εδώ έχουµε δύο συναρτήσεις την e και την. Άρα, ( ) ( ) y e e e e. ) Να βρεθεί η παράγωγος της y sin ( e ) Λύση Εδώ έχουµε τρεις συναρτήσεις την sin ( e ) την e και την. Άρα, ( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ) e cos( e ) y e e e e e e e sin cos cos cos ( ) 5 ) Να βρεθεί η παράγωγος της y cos( ) Λύση ( ) 5 5 Εδώ έχουµε τρεις συναρτήσεις την cos( ) την ( ) cos και την 5.

27 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 7 από 5 Άρα, (( cos( )) ) 5 ( cos( 5) ) ( cos( 5 )) cos ( ( )) ( sin ( ))( ) ( ) sin( )( cos( )) y ( ) ( ( )) cos sin Παράγωγος του r όπου r ρητός αριθµός. n Στην παράγραφο 6. είδαµε πώς να βρίσκουµε την παράγωγο του για ακέραιες τιµές του n αλλά και για n /. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας θα δούµε ότι η ίδια τεχνική µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για οποιαδήποτε ρητή δύναµη του. ηλαδή, r r ( ) r. Απόδειξή Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση y p/ q. Εάν παραγωγίζοντας ως προς και u αντίστοιχα παίρνουµε Χρησιµοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας έχουµε u /q και q u και q y u p u τότε p p. u p u p q u q p p p + q q q q q q q p p p q q q p q q p

28 6.5 Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Σελίδα 8 από 5 Ασκήσεις 6.5 Να βρεθεί η παράγωγος f ( ) των παρακάτω συναρτήσεων. ) ) f ( ) e ) f( ) ( ) 5 + ) f ( ) e sin f( ) e sinθ ) f( ) ( ) 5 + ) f ( θ) sin( θ + ) ) f( ) sinθ ) f ( ) ln( sincos) 5) 6) f( ) sin θ 5) f( ) ( ) + 6) sin f( ) ln cos f ( ) cos (sin( )) 7) f( ) 7) 5 f( ) + e 8) f( ) 8) f ( ) sin (5 ) e 9) f( ) 9) f ( ) cos(cos ) sinθ 0) f ( ) e e + 0) f( ) ( sin( ) + tan ( 7 )) 5

29 6.6 Παράγωγος Αντίστροφων Συναρτήσεων Σελίδα 9 από Παράγωγος Αντίστροφων Συναρτήσεων 6.6. Πρόταση Εάν η συνάρτηση y f( ) είναι µία παραγωγίσιµη συνάρτηση µε αντίστροφη συνάρτηση την f ( y) g( y), τότε η ( ) f ( ) 0 και /. g y θα είναι παραγωγίσιµη Απόδειξη Αφού η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιµη, θα είναι και συνεχής έτσι ώστε Η συνάρτηση ( ) y f( + ) f( ) 0 όταν το 0. g y είναι συνεχής, άρα 0 όταν y 0. Εποµένως, όταν lim lim / y 0 y y 0 y y lim / y 0 Το αποτέλεσµα αυτό µπορεί και γραφτεί και ως g ( y) f f g y ή διαφορετικά, αλλάζοντας τις µεταβλητές ( ) ( ( )) δηλαδή, ( ) g f ( f ( ) ) ( g ( )) f f ( ( ))

30 6.6 Παράγωγος Αντίστροφων Συναρτήσεων Σελίδα 0 από 5 Παράγωγος Αντίστροφων Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων Ας πάρουµε την συνάρτηση y sin ( arcsin ) γραφτεί σαν. Η εξίσωση αυτή µπορεί να sin y. Εάν τώρα παραγωγίσουµε ως προς y θα πάρουµε cos y. cos y. Εποµένως, Γνωρίζουµε όµως ότι cos y sin y. Εποµένως, ( ) Σηµείωση π π Επειδή < <, τότε < y <. Για αυτές τις τιµές του y cos( ) 0. Άρα cos( y) ( ) [ και όχι ( ) ]. Με τον ίδιο τρόπο ο αναγνώστης µπορεί να αποδείξει ότι η παράγωγος της και η παράγωγος της ( arccos ) y cos είναι ( ) ( arctan ) είναι +. y tan

31 6.7 Συνοπτικός Πίνακας Παραγώγισης Σελίδα από Συνοπτικός Πίνακας Παραγώγισης Οι τύποι παραγώγισης που αναπτύξαµε σε αυτό το κεφάλαιο δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Οι συναρτήσεις u και v που βλέπετε στους τύπους θεωρούνται ότι είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις του. Το γράµµα c δηλώνει µία αυθαίρετη σταθερά. y c, (c σταθερά) 0 y sinθ cosθ θ y n n n y cosθ sinθ θ y a y e y e a n an n y tan θ e y sin a a ae y cos a sec θ θ a a y a a ln a y a a a + tan y ln Κανόνας Γινοµένου : y uv., u v v + u Κανόνας Πηλίκου : u v v u u y, v v Κανόνας Αλυσίδας : u u

32 6.8 ιαφορικά Σελίδα από ιαφορικά Μέχρι στιγµής έχουµε αντιµετωπίσει τον συµβολισµό / ως ένα απλό σύµβολο για την παραγώγιση. Τα σύµβολα και, τα οποία και ονοµάζονται διαφορικά, δεν είχαν από µόνα τους κάποια συγκεκριµένη σηµασία. Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως τα σύµβολα αυτά, και, µπορούν να χρησιµοποιηθούν έτσι ώστε το / να ερµηνευτεί ως το πηλίκο των δύο αυτών διαφορικών. Εάν y f( ) και η f είναι παραγωγίσιµη στο, τότε µπορούµε να ορίσουµε το ως f ( ) () Εάν 0, τότε µπορούµε να διαιρέσουµε και τα δυο µέλη της () µε για να µας δώσει f ( ) () Η εξίσωση () µας λεει ότι µπορούµε να θεωρήσουµε το σύµβολο για την παράγωγο ως πηλίκο των δύο διαφορικών Ορισµός Για την συνάρτηση y f( ) ορίζουµε (α) ως διαφορικό του το µε την σχέση (β) ως διαφορικό του y το µε την σχέση f ( ) Εποµένως το διαφορικό της ανεξάρτητης µεταβλητής είναι από τον ορισµό ίσο µε την µεταβολή της µεταβλητής. Το διαφορικό όµως της εξαρτηµένης µεταβλητής y δεν ισούται µε την µεταβολή της. Αυτό µπορεί να γίνει πιο κατανοητό βλέποντας το παρακάτω σχεδιάγραµµα. y y f ( ) y + ( + )

33 6.8 ιαφορικά Σελίδα από 5 Είναι εµφανές ότι το y. Όσο ποιο µικρό είναι το διάστηµα είναι η προσέγγιση του διαφορικού στο y. τόσο καλύτερη Οι τύποι παραγώγων που παραθέσαµε στον συνοπτικό πίνακα παραγώγισης στην παράγραφο 6.9 µπορούν να εκφραστούν και σε διαφορικά. Οι τύποι αυτοί δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Συνοπτικός Πίνακας ιαφορικών c () 0 (c σταθερά) ( n n ) n ( n n a ) an (sin θ ) cos( θ) θ (cos θ ) sin( θ) θ (tan ) sec ( ) θ θ θ e ( ) a ( e ) e a ae sin a a cos a a a ( ) aln( a ) (ln ) Κανόνας Γινοµένου : ( uv) vu + uv a a + tan a Κανόνας Πηλίκου : u vu uv v v

34 6.9 Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από Λύσεις Ασκήσεων Ασκήσεις 6. ) 8 9, ) 7, ), ) 8, 5), 6) 7), 8), 9) α, 0). /, Ασκήσεις 6. 5 ) 5, 0 ) 5,, ), 9, ),, 5), 9, 6),, 7),, 8) +,, 9) , + 6 0) 0, ), ( ) / 8 5 9, ) 7, + 56, ) 8 +, 6, 9 ) 0 +, 6, 5) / 5, 5 6) 6 +, ) 0, 8) a + b + c, 6a + b, 9),, 0) , ) 5, 5 8, ) , 0 8+, ) 8 + +, 5, ) ,, 5),, ( 5 ) ( 5 ) ( + + ) ( + + ) ),, 7) ( ) ( ) , 8), ( ) ( ) Ασκήσεις 6. ) + sin, ) 7cos sec, ) cos + sin, ) cos tan sec + 5) sec tan + sec + sec, 6), 7) ( + tan) 8) sin cos cos sin sin, 0) 0., 9) ( ), + cos Ασκήσεις 6. 5 )+ ln, ) ( ) ln, ) cos sin, ln, ) ( )

35 6.9 Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 5 από 5 5) cos, 6) e ( ), 7)+ ln( ), 8) cos ln + sin, ( ) 9) ( + tan ), 0) cos sin, ), ) e ( sin + cos ), ( + ) e ( sin cos ) ), ) ln +, 5), 6), 7) sin ln0 ( e e, ) ( + ) cos sin ( )ln( ) ln 8), 9), 0). ( ) ( )ln ( ) Ασκήσεις 6.5 ) e, ) 5( + ), ) 0 ( + ), ) θ cos( θ ), 5) sinθ cosθ, 6) ( + ), cosθ 7), 8) e + e, 9), 0) 6e + e,) sin e cos, / ( ) sin θ sinθ ) 6e cos( θ ), ) θ ( θ ) + cos( θ + ) ( 5) 6) 6 cos (sin( )).sin(sin( )).cos( ), 7) ( + ) 8) 0 sin(5 ) cos(5 ) + sin (5 ), 9) sin sin(cos ), cos( ), ) sin(, 5), ) sin 0) 5( sin( ) tan ( 7 )).( cos( ) sin( ) 8 6 tan ( 7 ) sec ( 7 )) ,

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 0-0 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων 5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx, Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1 Γενικά Πρόοδος μαθήματος Σάββατο 24/11 στις 14:00 2 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010 Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 6: Παράγωγοι Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διαφορικός Λογισμός Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 1 Σκοποί ενότητας 4

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2

Η f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2 1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης

Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια. Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης 3 η Διάλεξη Ρυθµοί µεταβολής Παράγωγος σε σηµείο Όρια 26 Σεπτεµβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2

Κριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2 Κριτήριο Παρεμβολής Υποθέτουµε ότι κοντά στο µια συνάρτηση f εγκλωβίζεται ανάµεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το τείνει στο, οι g και h έχουν κοινό όριο l, τότε όπως φαίνεται και στο σχήµα, η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

I.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c}

I.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c} I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(), = f(), = (), F(, ) = c}.μηδενικά.μονοτονίες 3.Ασυνέχειες 4.Θετικές δυνάμεις 5.Αρνητικές δυνάμεις 6.Εκθετική 7.Λογαριθμική 8.Αλλαγή βάσης 9.Πολυωνυμικές.Ρητές.Σύνθεση.Πλεγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ 2/11/2018

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ 2/11/2018 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ 2/11/2018 1. i. Έστω = (, ) R. Αν 0 η συνάρτηση στο σημείο είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Αν = 0 θα εξετάσουμε αν lim h = 0 = 0. Αν h = (h, h ) έχουμε: lim h

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy Διαφορικός λογισµός ΦΥΣ 111 - Διαλ.5 1 Έστω y = f(x) µια συναρτησιακή σχέση της µεταβλητής y ως προς την µεταβλητή x: y = f(x) = αx 3 + bx 2 + cx + H παράγωγος του y ως προς το x ορίζεται ως το όριο των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

6 Εφαρµογές των παραγώγων στον υπολογισµό ορίων α- προσδιόριστων µορφών - Κανόνες L Hôpital

6 Εφαρµογές των παραγώγων στον υπολογισµό ορίων α- προσδιόριστων µορφών - Κανόνες L Hôpital 6 Εφαρµογές των παραγώγων στον υπολογισµό ορίων α- προσδιόριστων µορφών - Κανόνες L Hôpital Στην ενότητα αυτή ϑα µελετήσουµε εφαρµογές των παραγώγων συναρτήσεων στον υπολογισµό απροσδιόριστων µορφών ορίων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. i) α) ============================================================== α > 0. Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται ο λογάριθµος, δηλ.

Άσκηση 1. i) α) ============================================================== α > 0. Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται ο λογάριθµος, δηλ. http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 007-008: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ενότητα 4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκήσεις για λύση ). Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο 0, όταν: i) f ( ), 0 ii) f()=, 0 iii f ). Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

12 Το αόριστο ολοκλήρωµα

12 Το αόριστο ολοκλήρωµα Το αόριστο ολοκλήρωµα. Αντιπαράγωγοι Εστω ότι η y = f ( ορίζεται στο διάστηµα I, οποιουδήποτε τύπου. Αν µια δεύτερη συνάρτηση y = F(, που ορίζεται στο ίδιο διάστηµα I, έχει την ιδιότητα F ( = f (, για

Διαβάστε περισσότερα