6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)"

Transcript

1 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης των παραμέτρων ενός πληθυσμού μπορεί να αυξήσει την ακρίβεια των αποτελεσμάτων, χωρίς απαραίτητα να προϋποθέτει αύξηση του μεγέθους του δείγματος. Το συμπέρασμα είναι, επομένως, ότι μεταξύ δυο δειγματοληπτικών τεχνικών, που χρησιμοποιούν ισομεγέθη δείγματα, προτιμητέα είναι αυτή που οδηγεί στο μικρότερο τυπικό σφάλμα. Φυσικά, σημαντικό ρόλο στην επιλογή της κατάλληλης τεχνικής παίζει και το κόστος ανά δειγματοληπτική μονάδα. Αυτό, που ουσιαστικά επιδιώκεται, είναι η μέγιστη δυνατή ακρίβεια με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Η επιδίωξη χαμηλότερου κόστους οδηγεί στην λεγόμενη δειγματοληψία κατά ομάδες (cluster sampling). Για την ευκολότερη κατανόηση αυτής της δειγματοληπτικής τεχνικής, ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, τους εξής δυο ενδεχόμενους τρόπους επιλογής ενός δείγματος 00 νοικοκυριών από ένα πληθυσμό 0000 νοικοκυριών μιας πόλης:. Αν υπάρχει κατάλογος αυτών των 0000 νοικοκυριών, επιλέγουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα μεγέθους 00 από τον κατάλογο.. (α) Διαιρούμε την πόλη σε 400 περιοχές 50 νοικοκυριών. Επιλέγουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα 4 περιοχών και περιλαμβάνουμε στο δείγμα όλα τα νοικοκυριά που ανήκουν σ αυτές. (β) Εναλλακτικά, διαιρούμε την πόλη σε 400 περιοχές Ν, Ν,, Ν 400 νοικοκυριών, αντίστοιχα και επιλέγουμε με

2 αναλογική ή βέλτιστη στρωματοποιημένη δειγματοληψία ένα δείγμα 00 νοικοκυριών από τις περιοχές αυτές. Γενικά, όπως θα δούμε στις εφαρμογές, η μέθοδος οδηγεί σε μικρότερο τυπικό σφάλμα από αυτό της μεθόδου. Όμως, η πρώτη συνεπάγεται μεγαλύτερο κόστος γιατί το δείγμα θα είναι περισσότερο απλωμένο γεωγραφικά και, επομένως, το κόστος μετάβασης για τον εντοπισμό των μονάδων που επιλέγονται και το κόστος εποπτείας είναι υψηλότερο. Στην δεύτερη περίπτωση, το δείγμα είναι λιγότερο απλωμένο μια και οι δειγματοληπτούμενες μονάδες είναι σύνθετες. Ουσιαστικά, η δειγματοληψία γίνεται σε πρώτο στάδιο από ένα σύνθετο πληθυσμό, του οποίου οι μονάδες είναι ομάδες μονάδων του αρχικού πληθυσμού. Ακόμη και στην υποπερίπτωση (β), το δεύτερο στάδιο της δειγματοληψίας διεξάγεται σε γεωγραφικά μικρότερη έκταση, με αποτέλεσμα την μείωση του κόστους διεξαγωγής και εποπτείας. Από την στιγμή που οι ομάδες (clusters) επιλέγονται, ο ερευνητής μπορεί να περιλάβει στο δείγμα όλες τις στοιχειώδεις μονάδες του αρχικού πληθυσμού που ανήκουν σ αυτές (περίπτωση (α)) ή να επιλέξει ένα δείγμα μικρότερων σύνθετων ομάδων ή και στοιχειωδών μονάδων από τις αρχικές σύνθετες μονάδες (περίπτωση (β)). Ορισμός 6.: Δειγματοληψία κατά ομάδες σε ένα στάδιο (single-stage cluster sampling) ονομάζεται η δειγματοληπτική τεχνική, η οποία διαιρεί τις στοιχειώδεις μονάδες του πληθυσμού σε ομάδες (clusters), επιλέγει ένα δείγμα των ομάδων αυτών και περιλαμβάνει στο τελικό δείγμα των στοιχειωδών μονάδων όλες τις στοιχειώδεις μονάδες που ανήκουν στις ομάδες αυτές. Ορισμός 6.: Δειγματοληψία κατά ομάδες σε πολλά στάδια (multistage cluster sampling) ονομάζεται η δειγματοληπτική τεχνική όταν, μετά το πρώτο στάδιο, επιλέγονται δείγματα μικρότερων και μικρότερων ομάδων με τελικό στάδιο την επιλογή δείγματος στοιχειωδών μονάδων (ή την περίληψη όλων των στοιχειωδών μονάδων της τελευταίας κατηγορίας σύνθετων ομάδων). 3

3 Παρατήρηση : Η περίπτωση (α) αναφέρεται σε δειγματοληψία κατά ομάδες σε ένα στάδιο (single-stage cluster sampling), ενώ η (β) σε δειγματοληψία κατά ομάδες σε δυο στάδια (two-stage cluster sampling). Παρατήρηση : Αν, κατά τα διάφορα στάδια της δειγματοληψίας, οι σύνθετες μονάδες επιλέγονται με απλή τυχαία δειγματοληψία, το δειγματοληπτικό σχήμα ονομάζεται απλή δειγματοληψία κατά ομάδες (simple cluster sampling) σε ένα ή περισσότερα στάδια. Παρατήρηση 3: Όταν οι σύνθετες μονάδες είναι ομάδες στοιχείων βασισμένες σε γεωγραφικές περιοχές, ο σχεδιασμός ονομάζεται δειγματοληψία κατά περιοχές (area sampling). Παράδειγμα: Έστω ότι πρόκειται να εκτιμηθεί ο μέσος μισθός (σε ευρώ) του πληθυσμού του πίνακα 6. με βάση ένα δείγμα μεγέθους 4. Άτομο Πίνακας 6. Μισθός (y) Α 300 Β 6300 Γ 300 Δ 000 Ε 3600 Ζ 00 Η 800 Θ 700 Ι 500 Κ 900 Λ 4800 Μ 900 Σύνολο 300 Μέση τιμή μ 675 4

4 Να υπολογισθεί το τυπικό σφάλμα του μέσου X 4 του δείγματος στην περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας και να συγκριθεί με το τυπικό σφάλμα του μέσου ˆμ c ενός δείγματος που έχει ληφθεί με δειγματοληψία κατά ομάδες σε ένα στάδιο θεωρώντας την εξής διαίρεση του πληθυσμού σε ομάδες (clusters): Ομάδα (cluster) 3 Άτομο Μισθός (y) Α 300 Δ 000 Κ 900 Μ 900 Ζ 00 Η 800 Θ 700 Ι 500 Β 6300 Γ 300 Ε 3600 Λ 4800 Λύση: Περίπτωση δειγματοληψίας κατά ομάδες: Προφανώς, θα πρέπει να επιλέξουμε με απλή τυχαία δειγματοληψία μια ομάδα (ένα cluster) και να περιλάβουμε στο δείγμα μας όλα τα άτομα της ομάδας αυτής. Υπάρχουν 3 δυνατά τέτοια δείγματα (, και 3) και οι μέσοι U i, i =,, 3 των δειγμάτων αυτών είναι Δείγμα 3 Μέσος U i

5 Αν, λοιπόν, επιλεγεί μια ομάδα με απλό τυχαίο τρόπο και θεωρήσουμε ως δείγμα μας τα τέσσερα στοιχεία που την απαρτίζουν, ο μέσος του δείγματος αυτού θα είναι η ζητούμενη εκτιμήτρια μˆ c του μέσου μισθού μ του πληθυσμού. Πιο συγκεκριμένα, αν επιλεγεί η i 0 ομάδα, τότε μ ˆ c = Ui 0. Ισχύει, επομένως, ότι Ε( μˆ c ) = ( )/3 = 675. Δηλαδή, η αναμενόμενη τιμή της θεωρηθείσας εκτιμήτριας συμπίπτει με την τιμή του μέσου μισθού που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Άρα, η εκτιμήτρια μˆ c είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του μέσου μισθού μ. η διασπορά του μέσου μˆ c είναι ίση με 3 μˆ i c σ = (U 675) 3 = 650 και, επομένως, το τυπικό σφάλμα είναι σ ˆ = 650 = 73. μc Περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας: Η διασπορά του μέσου X 4 ενός απλού τυχαίου δείγματος μεγέθους 4 είναι ίση με σ 4 σ = X 4 4, όπου σ είναι η διασπορά ολόκληρου του πληθυσμού και είναι ίση με Δηλαδή, τελικά, i 675 σ = (y ) = X4 σ = 4553, 6

6 και, επομένως, σ X = Είναι, δηλαδή, το τυπικό σφάλμα της εκτιμήτριας μεγαλύτερο από το τυπικό σφάλμα του μέσου X 4. μˆ c.98 φορές Παρατήρηση: Είναι δυνατόν να χωρισθεί ο πληθυσμός σε κατάλληλες ομάδες και να επιλεγεί ένα δείγμα με διασπορά μικρότερη ή ίση της διασποράς ενός απλού τυχαίου δείγματος του αυτού μεγέθους. Αν, για παράδειγμα, οι ομάδες είχαν ορισθεί ως εξής: Ομάδα Άτομα Μέσος μισθός U i ΕΓΗΚ 350 ΑΘΛΜ ΒΖΔΙ 3000 θα είχαμε και πάλι Ε( ˆμ c ) = 675, αλλά μˆ c σ = 7047, δηλαδή, σ μˆ = 65. c Εδώ, οι ομάδες είναι λιγότερο ομοιογενείς από αυτές της προηγούμενης διαίρεσης. Γενικά, όσο λιγότερο ομοιογενείς είναι οι ομάδες, τόσο μικρότερο τυπικό σφάλμα επιτυγχάνεται. Στην πράξη βέβαια, αυτό είναι αδύνατο να ελεγχθεί. Πάντως, ο βασικός στόχος της δειγματοληψίας κατά ομάδες δεν είναι η επίτευξη του πιο αξιόπιστου δείγματος στοιχειωδών μονάδων, αλλά η επίτευξη των πιο αξιόπιστων αποτελεσμάτων ανά μονάδα κόστους. 6. Εκτίμηση της Μέσης Τιμής Από τα προηγούμενα, προκύπτει ότι η δειγματοληψία κατά ομάδες προϋποθέτει ότι ο πληθυσμός διαιρείται σε υποπληθυσμούς. Μερικοί 7

7 από αυτούς εκπροσωπούνται στο δείγμα είτε εξ ολοκλήρου (ένα στάδιο) είτε εν μέρει μέσω κάποιου δείγματος (δύο ή περισσότερα στάδια). Η διαφορά της απλής δειγματοληψίας κατά ομάδες από την απλή στρωματοποιημένη δειγματοληψία έγκειται στο ότι, στην πρώτη, μόνο ορισμένα από τα στρώματα εκπροσωπούνται στο δείγμα, ενώ, στην δέυτερη, εκπροσωπούνται όλα τα στρώματα και πάντα μέσω απλών τυχαίων υποδειγμάτων. Στην περίπτωση της απλής δειγματοληψίας κατά ομάδες, ο πληθυσμός {y, y,, y N } διαιρείται σε Μ ομάδες (υποπληθυσμούς, clusters) υ, υ,, υ Μ μεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ, αντίστοιχα, όπου M Ni = N. Δηλαδή, αν με y ij συμβολίσουμε την τιμή της j μονάδας της i ομάδας, τότε υ i = {y i, y i,, y in i }, i =,,, M και, επομένως, ο αρχικός πληθυσμός είναι η ένωση Προφανώς, υ υ... υm. M N= Ni M= N M (6..) συμβολίζει το μέσο μέγεθος των ομάδων αυτών. Έστω {U, U,, U m } ένα απλό τυχαίο δείγμα m ομάδων από τον πληθυσμό Μ ομάδων. Το j στοιχείο της i επιλεγείσας ομάδας θα συμβολίζεται με U ij, j =,,, N i, i =,,, m. Δηλαδή, U i = {U i, U i,..., U in }. Εδώ, N i i συμβολίζει το μέγεθος της i επιλεγείσας ομάδας. Αυτό αντιστοιχεί στο πρώτο στάδιο της δειγματοληψίας. Στην περίπτωση που επακολουθεί και δεύτερο στάδιο, 8

8 το σύνολο {U i, U i,..., U in i }, i =,,, m θα συμβολίζει ένα απλό τυχαίο δείγμα n i μονάδων από την ομάδα U i που επελέγη κατά το πρώτο στάδιο (,,, m). Τότε, m n = ni m= μέσο μέγεθος των m υποδειγμάτων (6..) n i Ui = Uij ni = μέσος του i υποδείγματος, i =,,, m j = (6..3) n i S i = (Uij U i) (ni ) j = = (άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων των (ni ) παρατηρήσεων του i δείγματος από τον μέσο του) = διασπορά του i δείγματος, i =,,, m (6..4) Περιοριζόμενοι στην περίπτωση διεξαγωγής της δειγματοληψίας σε ένα στάδιο μόνο (N i n i ), έχουμε M Ni μ= yij N = μέση τιμή του αρχικού πληθυσμού (μέση τιμή του υπό j= εξέταση χαρακτηριστικού ανά στοιχειώδη μονάδα) (6..5) Ni μ i = yij Ni = μέση τιμή της i ομάδας (του i υποπληθυσμού), j =,,,M (6..6) 9

9 M Ni yij M j= M = N i μi M = μέση τιμή του χαρακτηριστικού ανά σύνθετη μονάδα (ανά ομάδα) (6..7) μ= Προφανώς, M M μ= N i μ i / Ni =μ N (6..8) Για την εκτίμηση της μέσης τιμής μ του αρχικού πληθυσμού θα περιορισθούμε στην περίπτωση ενός σταδίου (n i =N i και U=μ i i,,,, M) και θα διακρίνουμε τις εξής υποπεριπτώσεις: Περίπτωση (i): N i =N j, i j (Ισομεγέθεις ομάδες, δηλαδή N i = N,,,, M). Στην περίπτωση αυτή, τα μεγέθη N i των ομάδων που θα επιλεγούν θα είναι ίσα με N, δηλαδή, N i = N,,,, m. Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m N μ ˆ c = y ij (mn) j= ή, ισοδύναμα, η στατιστική συνάρτηση 0

10 m m μ ˆ c = U i m = μi m (6..9) είναι η αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέσης τιμής μ με διασπορά M N M m V( μˆ c) y ij μ (M ) M m N j= M M m = ( μi μ) (M ) (6..0) M m i = (Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι μ= Nμ και Ni N yij = yij = Niμ i = Nμi). j = j = Πρόταση 6..: Η στατιστική συνάρτηση m M m S ˆ = (U i ˆ c) μ μ c M m (m ) (6..) αποτελεί μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της V( μ ˆ c). Πρόταση 6..: Η στατιστική συνάρτηση Yˆ = MNμ ˆ c (6..) είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του συνολικού μεγέθους y=mμ =M N μ. Προφανώς, ˆ V(Y) = (MN) V( μ ˆ c) (6..3)

11 Περίπτωση (ii): N i N j, i j(ανισομεγέθεις ομάδες). Τότε, ισχύει το εξής θεώρημα: Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m N i m c ij i j= ˆ U N μ = (6..4) είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου μ με διασπορά M N M m i V( μˆ c) yij Niμ. M m N M j= Πόρισμα: Η στατιστική συνάρτηση m N i M m S ˆ = Uij Ni ˆ μ c c M μ (6..5) mn m j= είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του V( μ ˆ c). Παρατήρηση: Για την εκτίμηση του συνολικού μεγέθους y ισχύουν και πάλι οι σχέσεις (6..) και (6..3). Παράδειγμα: Το παράδειγμα της ενότητας 6. αποτελεί εφαρμογή των σχέσεων (6..9) και (6..0) με Μ=3 και m=. 6. Περίπτωση Ποσοστών Έστω πληθυσμός μεγέθους Ν, ο οποίος διαιρείται σε Μ ομάδες (clusters) μεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ. Έστω p το ποσοστό των μονάδων του

12 πληθυσμού, οι οποίες ανήκουν σε μια κατηγορία Α. Το πρόβλημα που θα αντιμετωπισθεί είναι η εκτίμηση του p με βάση ένα δείγμα που θα επιλεγεί με απλή δειγματοληψία κατά ομάδες. (i) Έστω N A ο αριθμός των μονάδων της ομάδας i που ανήκουν (i) στην κατηγορία Α και p i = N A /N i το ποσοστό των μονάδων της i ομάδας που ανήκουν στην κατηγορία Α,,,, Μ. Προφανώς, ισχύει ότι M M p= Nipi Ni. (6..) Έστω ότι, από το σύνολο των Μ ομάδων, επιλέγεται ένα απλό τυχαίο δείγμα m ομάδων U, U,, U m (πρώτο στάδιο) και έστω ότι, από την i επιλεγείσα ομάδα, επιλέγεται ένα απλό τυχαίο δείγμα στοιχειωδών μονάδων μεγέθους n i (δεύτερο στάδιο). Αν Χ (i) συμβολίζει τον αριθμό των μονάδων του i δείγματος που ανήκουν στην κατηγορία Α, τότε μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του p i είναι η ˆp (i) i = X n i,,,, m (6..) Περιοριζόμενοι στην περίπτωση δειγματοληψίας σε ένα στάδιο μόνο, μπορούμε να εφαρμόσουμε την θεωρία της προηγούμενης ενότητας για την εκτίμηση του p, αν θεωρήσουμε τις αντιστοιχίες μ i p i, μ p. Συγκεκριμένα, οδηγούμεθα στα εξής συμπεράσματα. (i) Περίπτωση ισομεγεθών ομάδων (Ν i = N, pˆ i =p i,,,, M) Στην περίπτωση αυτή, οπότε, ' N i = N,,,, m, 3

13 (i) ˆpi = X N,,,, m (6..3) και ισχύει το εξής θεώρημα. Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m pˆc = pˆi m (6..4) είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου p με διασπορά M M m V(p ˆ c) = (pi p). (6..5) M m M i = Πρόταση 6..: Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της V(p ˆc) είναι η στατιστική συνάρτηση m M m S = ˆp (pˆi p ˆc). (6..6) c M m m i = (ii) Περίπτωση ανισομεγεθών ομάδων (Ν i Ν j, i j). Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m m (i) ˆpc X N i = (6..7) είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου p με διασπορά 4

14 M M m V(p ˆ (i) c) = (N A Nip) (6..8) M mn M Απόδειξη: Η αμεροληψία είναι προφανής. Για την απόδειξη της (6..8), αρκεί να παρατηρηθεί ότι, επειδή τα Ν i είναι εν γένει άγνωστα, η (6..7) είναι ουσιαστικά μια εκτιμήτρια λόγου δύο μεγεθών. Κατά συνέπεια, μπορεί να εφαρμοσθεί η θεωρία της ενότητας.6, αν θεωρηθεί η (i) αντιστοιχία y i N A, R p, μ x N και x i N i. Επομένως, η (6..8) είναι άμεση συνέπεια της (.6.). Πρόταση 6..: Η στατιστική συνάρτηση m M m (i) = ˆp iˆ c c M mn m S (X N p ) ή η υπολογιστικά περισσότερο προσφερόμενη μορφή της m m m M m (i) (i) = ˆp ˆ c i + ˆ c i c M mn m S X p X N p N είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της V(p ˆ c). (6..9) Παράδειγμα: Έστω ότι οι 660 φοιτητές του τμήματος Στατιστικής ενός πανεπιστημίου μπορούν να διαιρεθούν σε 0 τάξεις των 6 φοιτητών έτσι, ώστε κάθε φοιτητής να ανήκει σε μια μόνο τάξη. Για να εξετασθεί πώς αντιμετωπίζεται μια μελετώμενη μεταβολή στο πρόγραμμα σπουδών, επιλέγονται τυχαία τάξεις και όλοι οι φοιτητές των τάξεων 5

15 αυτών περιλαμβάνονται στο δείγμα. Έστω ότι οι αριθμοί υπέρ της μεταβολής είναι Τάξη (i) Σύνολο Αριθμός φοιτητών υπέρ (Χ (i) ) Να εκτιμηθεί το πραγματικό ποσοστό p των φοιτητών του τμήματος που είναι υπέρ της μεταβολής. Λύση: Προφανώς, m=, Μ=0, Ν i =6,,,,0. Τότε, από την (6..4) έχουμε (i) pˆc = pˆi = X (6 ) = 0.5. Επίσης, από την (6..6) προκύπτει ότι Άρα, 0 ˆ ˆp i c i S = (p 0.5) = = Sˆp c = Σημείωση: Ένα απλό τυχαίο δείγμα 66 φοιτητών, που ενδεχομένως θα έδινε την ίδια εκτίμηση για το p, θα οδηγούσε σε διασπορά της εκτίμησης ίση με p( ˆ p) ˆ N n (0.5)(0.5) S = = = ˆp n N και, επομένως, σε τυπικό σφάλμα ίσο με 6

16 Sˆp = Παρατήρηση: H -ανά-k συστηματική δειγματοληψία είναι μια μορφή δειγματοληψίας κατά ομάδες σε ένα στάδιο. Οι ομάδες είναι τα k δυνατά συστηματικά δείγματα (M=k) και το απλό τυχαίο δείγμα ομάδων που επιλέγεται είναι μεγέθους (m=). 6.3 Επίδραση του Δειγματοληπτικού Σχήματος (The Design Effect (deff)) Μια χρήσιμη ποσότητα που εισήχθη το 965 από τον L.Kish, σε σχέση με σύνθετα δειγματοληπτικά σχήματα, είναι η λεγόμενη επίδραση του δειγματοληπτικού σχήματος (design effect (deff)). Η ποσότητα αυτή ορίζεται ως ο λόγος της διασποράς της εκτίμησης που προκύπτει από ένα δείγμα, το οποίο ελήφθη σύμφωνα με την χρησιμοποιηθείσα σύνθετη δειγματοληπτική μέθοδο, προς την διασπορά της εκτίμησης που προκύπτει από ένα απλό τυχαίο δείγμα του ίδιου μεγέθους. Ορίζεται από την σχέση V deff = A, VB όπου V A και V R συμβολίζουν την διασπορά της εκτίμησης από το δείγμα (του σύνθετου σχήματος) και από το απλό τυχαίο δείγμαν αντίστοιχα. Το μέτρο αυτό χρησιμοποιείται κυρίως στις εξής δύο περιπτώσεις: Στον προσδιορισμό του απαιτούμενου δειγματικού μεγέθους και στον υπολογισμό της αποτελεσματικότητας των σύνθετων δειγματοληπτικών σχημάτων. Για παράδειγμα, για την εκτίμηση του ποσοστού των ατόμων ενός πληθυσμού, τα οποία έχουν κάποιο χαρακτηριστικό, είναι συχνά προτιμότερο να χρησιμοποιείται μια συνθετότερη δειγματοληπτική μονάδα από το άτομο. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την περίπτωση των φοιτητών του παραδείγματος της ενότητας 6.. Ως δειγματοληπτική μονάδα στο παράδειγμα αυτό, χρησιμοποιήθηκε η τάξη έξι φοιτητών. Για την εκτίμηση του ποσοστού των φοιτητών που ήταν υπέρ της 7

17 μελετώμενης μεταβολής στο πρόγραμμα σπουδών του τμήματός τους, ένα απλό τυχαίο δείγμα έντεκα τάξεων των έξι φοιτητών οδήγησε σε εκτίμηση, της οποίας η διασπορά εκτιμήθηκε ίση με ˆV A = S = ˆp Υπολογίσθηκε επίσης ότι ένα απλό τυχαίο δείγμα 66 φοιτητών, που θα οδηγούσε στην ίδια εκτίμηση του p, θα έδινε διασπορά ίση με ˆV R = S = ˆp Μια εκτίμηση, επομένως, του μέτρου deff παρέχεται από την τιμή ^ Sˆp c deff =.708 S ˆp = =. Όταν η τιμή του λόγου f=n/n είναι μικρή, μπορούμε, επομένως, να εκτιμήσουμε το μέγεθος του απαιτούμενου δείγματος υπολογίζοντας την τιμή του n (του αριθμού των ατόμων ) που απαιτούνται με ένα απλό τυχαίο δείγμα ατόμων και πολλαπλασιάζοντας στην συνέχεια με.708. Γενικότερα, υπολογίζοντας την τιμή της παραμέτρου deff για τις εκτιμήσεις των σημαντικών παραμέτρων με βάση ένα σύνθετο δειγματοληπτικό σχήμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους απλούς τύπους υπολογισμού του απαιτούμενου μεγέθους του δείγματος στην περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας για να υπολογίσουμε το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος του συνθετότερου σχήματος, πολλαπλασιάζοντας με την τιμή του deff. Ταυτόχρονα, έχουμε την ευκαιρία να κρίνουμε κατά πόσο το σύνθετο δειγματοληπτικό σχήμα πλεονεκτεί ως προς την αποτελεσματικότητα σε σχέση με το απλό τυχαίο δείγμα. Παραδείγματα τέτοιων υπολογισμών δίνονται για την περίπτωση της στρωματοποιημένης τυχαίας δειγματοληψίας, της συστηματικής δειγματοληψίας και της δειγματοληψίας κατά ομάδες στα παραδείγματα των ενοτήτων 3., 5. και 6, αντίστοιχα. 8

18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μια ομάδα 6 λεπρών υποβλήθηκε σε μια θεραπεία 48 εβδομάδων. Για τον έλεγχο της αποτελεσματικότητας της θεραπείας, η παρουσία βακίλων ελέγχθηκε βακτηριολογικά σε 6 σημεία του σώματος κάθε ασθενούς. Οι αριθμοί των αρνητικών σημείων περιέχονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθμός αρνητικών σημείων (y) αριθμός ασθενών με y αρνητικά σημεία Να εκτιμηθεί το ποσοστό των αρνητικών σημείων στον πληθυσμό και να εκτιμηθεί το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης θεωρώντας κάθε ασθενή ως ομάδα έξι σημείων.. Να συγκριθεί η ακρίβεια της εκτίμησης του p της προηγούμενης άσκησης με αυτή που θα είχαμε στην περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας. 3. Ένα απλό τυχαίο δείγμα 30 νοικοκυριών επελέγη και τα μέλη των νοικοκυριών αυτών ταξινομήθηκαν σύμφωνα με το φύλο τους. Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει την συχνότητα ν ij των νοικοκυριών με i άνδρες και j γυναίκες. j i Σύνολο Σύνολο

19 Να εκτιμηθεί το ποσοστό p των ανδρών σε ολόκληρο τον πληθυσμό θεωρώντας κάθε νοικοκυριό ως μια ομάδα μελών. 4. Να συγκριθεί η διασπορά της εκτίμησης της προηγούμενης άσκησης με την διασπορά της εκτίμησης του ποσοστού p, αν αυτή είχε βασισθεί σε ένα απλό τυχαίο δείγμα του ίδιου μεγέθους. 5. Από τον πληθυσμό των 0 οικοδομικών τετραγώνων μιας μικρής πόλης επιλέγεται ένα απλό τυχαίο δείγμα 5 τετραγώνων και οι εργαζόμενοι όλων των καταστημάτων λιανικής πώλησης περιλαμβάνονται στο δείγμα. Να εκτιμηθεί ο συνολικός αριθμός των εργαζομένων σε καταστήματα λιανικής πώλησης της πόλης αυτής, αν τα αποτελέσματα της δειγματοληψίας είναι ως εξής: οικοδομικό τετράγωνο αριθμός εργαζομένων Να εκτιμηθεί το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης. 30

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Επιλογή δείγματος Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφική

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling)

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling) . ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Radom Samplig) Η στοιχειωδέστερη μορφή δειγματοληψίας κατά πιθανότητα είναι η απλή τυχαία δειγματοληψία. Το σχήμα αυτό χρησιμοποιείται ευρύτατα, κυρίως λόγω της απλότητάς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ B ΕΚΔΟΣΗ ΑΘΗΝΑ 2004 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή και επεξεργασία δεδομένων από πεπερασμένους πληθυσμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου Σχηματική παρουσίαση της ερευνητικής διαδικασίας ΣΚΟΠΟΣ-ΣΤΟΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ερευνητικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Οι τεχνικές δειγματοληψίας είναι ένα σύνολο μεθόδων που επιτρέπει να μειώσουμε το μέγεθος των δεδομένων που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. Ματσάγκος Ιωάννης-Μαθηματικός

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ. Ματσάγκος Ιωάννης-Μαθηματικός 1 ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ -Είναι γνωστό, ότι στη Στατιστική, όταν χρησιμοποιούμε τον όρο πληθυσμός, δηλώνουμε, το σύνολο των ατόμων ή αντικειμένων, στα οποία αναφέρονται οι παρατηρήσεις μας Τα στοιχεία του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III 0 TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III Νοέμβριος Eστω,,, τυχαίο δείγμα από κατανομή f( x; ), όπου συμβολίζει άγνωστη παράμετρο (a) Να ορισθεί η έννοια του επαρκούς στατιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής & Κοινωνιολογικής Έρευνας

Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής & Κοινωνιολογικής Έρευνας Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής & Κοινωνιολογικής Έρευνας Ενότητα 4: Η Δειγματοληπτική έρευνα (2/2) 2ΔΩ Διδάσκοντες: Χ. Κασίμης- Ελ. Νέλλας Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας και Ανάπτυξης Μαθησιακοί στόχοι Η εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Στάδιο Εκτέλεσης

Στάδιο Εκτέλεσης 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο 1.4.2.2 Στάδιο Εκτέλεσης Το στάδιο της εκτέλεσης μίας έρευνας αποτελεί αυτό ακριβώς που υπονοεί η ονομασία του. Δηλαδή, περιλαμβάνει όλες εκείνες τις ενέργειες από τη στιγμή που η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική υπόθεση. Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές.

Ερευνητική υπόθεση. Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Ερευνητική υπόθεση Η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη πρόβλεψη σχετικά με τη σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Στα πειραματικά ερευνητικά σχέδια, η ερευνητική υπόθεση αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ

4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ 4.ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (STRATIFIED RANDOM SAMPLING) Στην τυχαία δειγµατοληψία κατά στρώµατα ο πληθυσµός των Ν µονάδων (πρόκειται για τον στατιστικό πληθυσµό και τις στατιστικές µονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή Δείγματος. Απόστολος Βανταράκης Αναπλ. Καθηγητής Ιατρικής

Επιλογή Δείγματος. Απόστολος Βανταράκης Αναπλ. Καθηγητής Ιατρικής Επιλογή Δείγματος Απόστολος Βανταράκης Αναπλ. Καθηγητής Ιατρικής Δειγματοληψία Να κατανοηθούν: Γιατί κάνουμε δειγματοληψία Ορισμοί δειγματοληψίας Αντιπροσωπευτικότητα Κύριοι μέθοδοι δειγματοληψίας Λάθη

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων Δειγματοληψία - Μέθοδοι συλλογής στοιχείων Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος ppapant@upatras.gr Πάτρα, 2017 Στόχοι Βασικές έννοιες στατιστικής Μέθοδοι συλλογής στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Σκοπός Έρευνας

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Σκοπός Έρευνας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Σκοπός Έρευνας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο βασικός σκοπός της παρούσας μελέτης είναι η αξιολόγηση των παραγόντων που επιδρούν και διαμορφώνουν τη γνώμη, στάση και αντίληψη των νέων (μαθητών)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson Έλεγχος Ανεξαρτησίας x του Parso Έστω ότι λαμβάνουμε δείγμα μεγέθους. Η πιθανότητα π εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού να βρεθεί στο κελί (i,j) κάτω από την υπόθεση Η 0 της ανεξαρτησίας δίνεται από την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ

7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ 7. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝ ΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 7.. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ Στα προηγούµενα κεφάλαια αναφέρθηκαν λεπτοµερώς τα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα των διαφόρων στρατηγικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα θέσης και διασποράς

Μέτρα θέσης και διασποράς Μέτρα θέσης και διασποράς Η επικρατούσα τιμή ως μέτρο κεντρικής τάσης Εύκολο στον υπολογισμό Επικρατούσα τιμή Η πιο συχνή ή η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο τιμών 11, 3, 8, 2, 1, 5, 3, 7 Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ 2009

ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 9/ 12/2010 Δ Ε Λ Τ Ι Ο Τ Υ Π Ο Υ ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ 2009 Οικονομική ανισότητα Από την Ελληνική Στατιστική Αρχή

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 6. Δειγματοληψία 6-1

Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα. Earl Babbie. Κεφάλαιο 6. Δειγματοληψία 6-1 Εισαγωγή στην κοινωνική έρευνα Earl Babbie Κεφάλαιο 6 Δειγματοληψία 6-1 Σύνοψη κεφαλαίου Σύντομη ιστορία της δειγματοληψίας Μη πιθανοτική δειγματοληψία Θεωρία και λογική της πιθανοτικής Δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδική έρευνα γνώμης ΠΕΙΡΑΙΑΣ Νοέμβρι Νοέμβρ ος 200 ιος 2007 Έρευνα 1 2/11

Πανελλαδική έρευνα γνώμης ΠΕΙΡΑΙΑΣ Νοέμβρι Νοέμβρ ος 200 ιος 2007 Έρευνα 1 2/11 Πανελλαδική έρευνα γνώμης ΠΕΙΡΑΙΑΣ Νοέμβριος 2007 1 Ταυτότητα της έρευνας Ανάθεση : Εφημερίδα ΤΟ ΠΑΡΟΝ. Περίοδος έρευνας: Η έρευνα διεξήχθη από 1 έως και 2 Νοεμβρίου 2007. Τύπος έρευνας: Τηλεφωνική έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο Στατιστική ΙI Ενότητα : Εκτίμηση Διαστήματος Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Aν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική ΙΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1 Εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδική έρευνα Πανελλαδική έρευνα γνώμης Απρίλιος Απρίλ 2010 ιος Έρευνα 20-23/04

Πανελλαδική έρευνα Πανελλαδική έρευνα γνώμης Απρίλιος Απρίλ 2010 ιος Έρευνα 20-23/04 Πανελλαδική έρευνα γνώμης Απρίλιος 2010 1 Ανάθεση: www.zoomnews.gr. Ταυτότητα της έρευνας Περίοδος έρευνας: Η έρευνα διεξήχθη από 20 έως και 23 Απριλίου 2010. Τύπος έρευνας: Τηλεφωνική έρευνα προσωπικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής Chapter 1 Student Lecture Notes 1-1 Ανάλυση Δεδομένων και Στατιστική για Διοικήση Επιχειρήσεων [Basic Business Statistics (8 th Edition)] Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή και Συλλογή Δεδομένων Περιεχόμενα Γιατί ένας

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ 10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στις συγχρονικές επιδημιολογικές μελέτες

Δειγματοληψία στις συγχρονικές επιδημιολογικές μελέτες Δειγματοληψία στις συγχρονικές επιδημιολογικές μελέτες Μάθημα «Επιδημιολογία και Μεθοδολογία Έρευνας» Δημήτρης Παπαμιχαήλ Νοσηλευτής ΠΕ, MSc, MPH Υποψήφιος διδάκτορας Τμήματος Ιατρικής ΑΠΘ Γιατί χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή στοιχείων 20 έως 22 Μαΐου 2008

Συλλογή στοιχείων 20 έως 22 Μαΐου 2008 Πανελλαδική πολιτική έρευνα γνώμης Μάιος 2008 1 Ταυτότητα της έρευνας Ανάθεση : Εφημερίδα ΤΟ ΠΑΡΟΝ. Περίοδος έρευνας: Η έρευνα διεξήχθη από 20 έως και 22 Μαΐου 2008. Τύπος έρευνας: Tηλεφωνική έρευνα προσωπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ)

Κεφάλαιο 3 ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ) Κεφάλαιο ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ Σύνοψη Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η Στρωμματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ που είναι και το είδος της δειγματοληψίας με την πιο συχνή χρήση κύρια σε εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων

Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων Ποιό το πρόβλημα; Περιγραφή ενός πληθυσμού Σύγκριση δύο πληθυσμών Είδος δεδομένων; Είδος δεδομένων Ποσοτικά Ποιοτικά Ποσοτικά Ποιοτικά Ποιά παράμετρος; Z tet & δ.ε. του p Ποιά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

PIAAC GREECE Σχέδιο δειγµατοληψίας Κύριας Έρευνας (MS)

PIAAC GREECE Σχέδιο δειγµατοληψίας Κύριας Έρευνας (MS) PIAAC GREECE Σχέδιο δειγµατοληψίας Κύριας Έρευνας (MS) ΙωάννηςΝικολαΐδης, Ελληνική Στατιστική Αρχή Προϊστάµενος του Τµήµατος Μεθοδολογίας, Ανάλυσης και Μελετών e-mail: giannikol@statistics.gr 1. Ερευνώµενος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα