6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)"

Transcript

1 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης των παραμέτρων ενός πληθυσμού μπορεί να αυξήσει την ακρίβεια των αποτελεσμάτων, χωρίς απαραίτητα να προϋποθέτει αύξηση του μεγέθους του δείγματος. Το συμπέρασμα είναι, επομένως, ότι μεταξύ δυο δειγματοληπτικών τεχνικών, που χρησιμοποιούν ισομεγέθη δείγματα, προτιμητέα είναι αυτή που οδηγεί στο μικρότερο τυπικό σφάλμα. Φυσικά, σημαντικό ρόλο στην επιλογή της κατάλληλης τεχνικής παίζει και το κόστος ανά δειγματοληπτική μονάδα. Αυτό, που ουσιαστικά επιδιώκεται, είναι η μέγιστη δυνατή ακρίβεια με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Η επιδίωξη χαμηλότερου κόστους οδηγεί στην λεγόμενη δειγματοληψία κατά ομάδες (cluster sampling). Για την ευκολότερη κατανόηση αυτής της δειγματοληπτικής τεχνικής, ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, τους εξής δυο ενδεχόμενους τρόπους επιλογής ενός δείγματος 00 νοικοκυριών από ένα πληθυσμό 0000 νοικοκυριών μιας πόλης:. Αν υπάρχει κατάλογος αυτών των 0000 νοικοκυριών, επιλέγουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα μεγέθους 00 από τον κατάλογο.. (α) Διαιρούμε την πόλη σε 400 περιοχές 50 νοικοκυριών. Επιλέγουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα 4 περιοχών και περιλαμβάνουμε στο δείγμα όλα τα νοικοκυριά που ανήκουν σ αυτές. (β) Εναλλακτικά, διαιρούμε την πόλη σε 400 περιοχές Ν, Ν,, Ν 400 νοικοκυριών, αντίστοιχα και επιλέγουμε με

2 αναλογική ή βέλτιστη στρωματοποιημένη δειγματοληψία ένα δείγμα 00 νοικοκυριών από τις περιοχές αυτές. Γενικά, όπως θα δούμε στις εφαρμογές, η μέθοδος οδηγεί σε μικρότερο τυπικό σφάλμα από αυτό της μεθόδου. Όμως, η πρώτη συνεπάγεται μεγαλύτερο κόστος γιατί το δείγμα θα είναι περισσότερο απλωμένο γεωγραφικά και, επομένως, το κόστος μετάβασης για τον εντοπισμό των μονάδων που επιλέγονται και το κόστος εποπτείας είναι υψηλότερο. Στην δεύτερη περίπτωση, το δείγμα είναι λιγότερο απλωμένο μια και οι δειγματοληπτούμενες μονάδες είναι σύνθετες. Ουσιαστικά, η δειγματοληψία γίνεται σε πρώτο στάδιο από ένα σύνθετο πληθυσμό, του οποίου οι μονάδες είναι ομάδες μονάδων του αρχικού πληθυσμού. Ακόμη και στην υποπερίπτωση (β), το δεύτερο στάδιο της δειγματοληψίας διεξάγεται σε γεωγραφικά μικρότερη έκταση, με αποτέλεσμα την μείωση του κόστους διεξαγωγής και εποπτείας. Από την στιγμή που οι ομάδες (clusters) επιλέγονται, ο ερευνητής μπορεί να περιλάβει στο δείγμα όλες τις στοιχειώδεις μονάδες του αρχικού πληθυσμού που ανήκουν σ αυτές (περίπτωση (α)) ή να επιλέξει ένα δείγμα μικρότερων σύνθετων ομάδων ή και στοιχειωδών μονάδων από τις αρχικές σύνθετες μονάδες (περίπτωση (β)). Ορισμός 6.: Δειγματοληψία κατά ομάδες σε ένα στάδιο (single-stage cluster sampling) ονομάζεται η δειγματοληπτική τεχνική, η οποία διαιρεί τις στοιχειώδεις μονάδες του πληθυσμού σε ομάδες (clusters), επιλέγει ένα δείγμα των ομάδων αυτών και περιλαμβάνει στο τελικό δείγμα των στοιχειωδών μονάδων όλες τις στοιχειώδεις μονάδες που ανήκουν στις ομάδες αυτές. Ορισμός 6.: Δειγματοληψία κατά ομάδες σε πολλά στάδια (multistage cluster sampling) ονομάζεται η δειγματοληπτική τεχνική όταν, μετά το πρώτο στάδιο, επιλέγονται δείγματα μικρότερων και μικρότερων ομάδων με τελικό στάδιο την επιλογή δείγματος στοιχειωδών μονάδων (ή την περίληψη όλων των στοιχειωδών μονάδων της τελευταίας κατηγορίας σύνθετων ομάδων). 3

3 Παρατήρηση : Η περίπτωση (α) αναφέρεται σε δειγματοληψία κατά ομάδες σε ένα στάδιο (single-stage cluster sampling), ενώ η (β) σε δειγματοληψία κατά ομάδες σε δυο στάδια (two-stage cluster sampling). Παρατήρηση : Αν, κατά τα διάφορα στάδια της δειγματοληψίας, οι σύνθετες μονάδες επιλέγονται με απλή τυχαία δειγματοληψία, το δειγματοληπτικό σχήμα ονομάζεται απλή δειγματοληψία κατά ομάδες (simple cluster sampling) σε ένα ή περισσότερα στάδια. Παρατήρηση 3: Όταν οι σύνθετες μονάδες είναι ομάδες στοιχείων βασισμένες σε γεωγραφικές περιοχές, ο σχεδιασμός ονομάζεται δειγματοληψία κατά περιοχές (area sampling). Παράδειγμα: Έστω ότι πρόκειται να εκτιμηθεί ο μέσος μισθός (σε ευρώ) του πληθυσμού του πίνακα 6. με βάση ένα δείγμα μεγέθους 4. Άτομο Πίνακας 6. Μισθός (y) Α 300 Β 6300 Γ 300 Δ 000 Ε 3600 Ζ 00 Η 800 Θ 700 Ι 500 Κ 900 Λ 4800 Μ 900 Σύνολο 300 Μέση τιμή μ 675 4

4 Να υπολογισθεί το τυπικό σφάλμα του μέσου X 4 του δείγματος στην περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας και να συγκριθεί με το τυπικό σφάλμα του μέσου ˆμ c ενός δείγματος που έχει ληφθεί με δειγματοληψία κατά ομάδες σε ένα στάδιο θεωρώντας την εξής διαίρεση του πληθυσμού σε ομάδες (clusters): Ομάδα (cluster) 3 Άτομο Μισθός (y) Α 300 Δ 000 Κ 900 Μ 900 Ζ 00 Η 800 Θ 700 Ι 500 Β 6300 Γ 300 Ε 3600 Λ 4800 Λύση: Περίπτωση δειγματοληψίας κατά ομάδες: Προφανώς, θα πρέπει να επιλέξουμε με απλή τυχαία δειγματοληψία μια ομάδα (ένα cluster) και να περιλάβουμε στο δείγμα μας όλα τα άτομα της ομάδας αυτής. Υπάρχουν 3 δυνατά τέτοια δείγματα (, και 3) και οι μέσοι U i, i =,, 3 των δειγμάτων αυτών είναι Δείγμα 3 Μέσος U i

5 Αν, λοιπόν, επιλεγεί μια ομάδα με απλό τυχαίο τρόπο και θεωρήσουμε ως δείγμα μας τα τέσσερα στοιχεία που την απαρτίζουν, ο μέσος του δείγματος αυτού θα είναι η ζητούμενη εκτιμήτρια μˆ c του μέσου μισθού μ του πληθυσμού. Πιο συγκεκριμένα, αν επιλεγεί η i 0 ομάδα, τότε μ ˆ c = Ui 0. Ισχύει, επομένως, ότι Ε( μˆ c ) = ( )/3 = 675. Δηλαδή, η αναμενόμενη τιμή της θεωρηθείσας εκτιμήτριας συμπίπτει με την τιμή του μέσου μισθού που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Άρα, η εκτιμήτρια μˆ c είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του μέσου μισθού μ. η διασπορά του μέσου μˆ c είναι ίση με 3 μˆ i c σ = (U 675) 3 = 650 και, επομένως, το τυπικό σφάλμα είναι σ ˆ = 650 = 73. μc Περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας: Η διασπορά του μέσου X 4 ενός απλού τυχαίου δείγματος μεγέθους 4 είναι ίση με σ 4 σ = X 4 4, όπου σ είναι η διασπορά ολόκληρου του πληθυσμού και είναι ίση με Δηλαδή, τελικά, i 675 σ = (y ) = X4 σ = 4553, 6

6 και, επομένως, σ X = Είναι, δηλαδή, το τυπικό σφάλμα της εκτιμήτριας μεγαλύτερο από το τυπικό σφάλμα του μέσου X 4. μˆ c.98 φορές Παρατήρηση: Είναι δυνατόν να χωρισθεί ο πληθυσμός σε κατάλληλες ομάδες και να επιλεγεί ένα δείγμα με διασπορά μικρότερη ή ίση της διασποράς ενός απλού τυχαίου δείγματος του αυτού μεγέθους. Αν, για παράδειγμα, οι ομάδες είχαν ορισθεί ως εξής: Ομάδα Άτομα Μέσος μισθός U i ΕΓΗΚ 350 ΑΘΛΜ ΒΖΔΙ 3000 θα είχαμε και πάλι Ε( ˆμ c ) = 675, αλλά μˆ c σ = 7047, δηλαδή, σ μˆ = 65. c Εδώ, οι ομάδες είναι λιγότερο ομοιογενείς από αυτές της προηγούμενης διαίρεσης. Γενικά, όσο λιγότερο ομοιογενείς είναι οι ομάδες, τόσο μικρότερο τυπικό σφάλμα επιτυγχάνεται. Στην πράξη βέβαια, αυτό είναι αδύνατο να ελεγχθεί. Πάντως, ο βασικός στόχος της δειγματοληψίας κατά ομάδες δεν είναι η επίτευξη του πιο αξιόπιστου δείγματος στοιχειωδών μονάδων, αλλά η επίτευξη των πιο αξιόπιστων αποτελεσμάτων ανά μονάδα κόστους. 6. Εκτίμηση της Μέσης Τιμής Από τα προηγούμενα, προκύπτει ότι η δειγματοληψία κατά ομάδες προϋποθέτει ότι ο πληθυσμός διαιρείται σε υποπληθυσμούς. Μερικοί 7

7 από αυτούς εκπροσωπούνται στο δείγμα είτε εξ ολοκλήρου (ένα στάδιο) είτε εν μέρει μέσω κάποιου δείγματος (δύο ή περισσότερα στάδια). Η διαφορά της απλής δειγματοληψίας κατά ομάδες από την απλή στρωματοποιημένη δειγματοληψία έγκειται στο ότι, στην πρώτη, μόνο ορισμένα από τα στρώματα εκπροσωπούνται στο δείγμα, ενώ, στην δέυτερη, εκπροσωπούνται όλα τα στρώματα και πάντα μέσω απλών τυχαίων υποδειγμάτων. Στην περίπτωση της απλής δειγματοληψίας κατά ομάδες, ο πληθυσμός {y, y,, y N } διαιρείται σε Μ ομάδες (υποπληθυσμούς, clusters) υ, υ,, υ Μ μεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ, αντίστοιχα, όπου M Ni = N. Δηλαδή, αν με y ij συμβολίσουμε την τιμή της j μονάδας της i ομάδας, τότε υ i = {y i, y i,, y in i }, i =,,, M και, επομένως, ο αρχικός πληθυσμός είναι η ένωση Προφανώς, υ υ... υm. M N= Ni M= N M (6..) συμβολίζει το μέσο μέγεθος των ομάδων αυτών. Έστω {U, U,, U m } ένα απλό τυχαίο δείγμα m ομάδων από τον πληθυσμό Μ ομάδων. Το j στοιχείο της i επιλεγείσας ομάδας θα συμβολίζεται με U ij, j =,,, N i, i =,,, m. Δηλαδή, U i = {U i, U i,..., U in }. Εδώ, N i i συμβολίζει το μέγεθος της i επιλεγείσας ομάδας. Αυτό αντιστοιχεί στο πρώτο στάδιο της δειγματοληψίας. Στην περίπτωση που επακολουθεί και δεύτερο στάδιο, 8

8 το σύνολο {U i, U i,..., U in i }, i =,,, m θα συμβολίζει ένα απλό τυχαίο δείγμα n i μονάδων από την ομάδα U i που επελέγη κατά το πρώτο στάδιο (,,, m). Τότε, m n = ni m= μέσο μέγεθος των m υποδειγμάτων (6..) n i Ui = Uij ni = μέσος του i υποδείγματος, i =,,, m j = (6..3) n i S i = (Uij U i) (ni ) j = = (άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων των (ni ) παρατηρήσεων του i δείγματος από τον μέσο του) = διασπορά του i δείγματος, i =,,, m (6..4) Περιοριζόμενοι στην περίπτωση διεξαγωγής της δειγματοληψίας σε ένα στάδιο μόνο (N i n i ), έχουμε M Ni μ= yij N = μέση τιμή του αρχικού πληθυσμού (μέση τιμή του υπό j= εξέταση χαρακτηριστικού ανά στοιχειώδη μονάδα) (6..5) Ni μ i = yij Ni = μέση τιμή της i ομάδας (του i υποπληθυσμού), j =,,,M (6..6) 9

9 M Ni yij M j= M = N i μi M = μέση τιμή του χαρακτηριστικού ανά σύνθετη μονάδα (ανά ομάδα) (6..7) μ= Προφανώς, M M μ= N i μ i / Ni =μ N (6..8) Για την εκτίμηση της μέσης τιμής μ του αρχικού πληθυσμού θα περιορισθούμε στην περίπτωση ενός σταδίου (n i =N i και U=μ i i,,,, M) και θα διακρίνουμε τις εξής υποπεριπτώσεις: Περίπτωση (i): N i =N j, i j (Ισομεγέθεις ομάδες, δηλαδή N i = N,,,, M). Στην περίπτωση αυτή, τα μεγέθη N i των ομάδων που θα επιλεγούν θα είναι ίσα με N, δηλαδή, N i = N,,,, m. Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m N μ ˆ c = y ij (mn) j= ή, ισοδύναμα, η στατιστική συνάρτηση 0

10 m m μ ˆ c = U i m = μi m (6..9) είναι η αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέσης τιμής μ με διασπορά M N M m V( μˆ c) y ij μ (M ) M m N j= M M m = ( μi μ) (M ) (6..0) M m i = (Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι μ= Nμ και Ni N yij = yij = Niμ i = Nμi). j = j = Πρόταση 6..: Η στατιστική συνάρτηση m M m S ˆ = (U i ˆ c) μ μ c M m (m ) (6..) αποτελεί μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της V( μ ˆ c). Πρόταση 6..: Η στατιστική συνάρτηση Yˆ = MNμ ˆ c (6..) είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του συνολικού μεγέθους y=mμ =M N μ. Προφανώς, ˆ V(Y) = (MN) V( μ ˆ c) (6..3)

11 Περίπτωση (ii): N i N j, i j(ανισομεγέθεις ομάδες). Τότε, ισχύει το εξής θεώρημα: Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m N i m c ij i j= ˆ U N μ = (6..4) είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου μ με διασπορά M N M m i V( μˆ c) yij Niμ. M m N M j= Πόρισμα: Η στατιστική συνάρτηση m N i M m S ˆ = Uij Ni ˆ μ c c M μ (6..5) mn m j= είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του V( μ ˆ c). Παρατήρηση: Για την εκτίμηση του συνολικού μεγέθους y ισχύουν και πάλι οι σχέσεις (6..) και (6..3). Παράδειγμα: Το παράδειγμα της ενότητας 6. αποτελεί εφαρμογή των σχέσεων (6..9) και (6..0) με Μ=3 και m=. 6. Περίπτωση Ποσοστών Έστω πληθυσμός μεγέθους Ν, ο οποίος διαιρείται σε Μ ομάδες (clusters) μεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ. Έστω p το ποσοστό των μονάδων του

12 πληθυσμού, οι οποίες ανήκουν σε μια κατηγορία Α. Το πρόβλημα που θα αντιμετωπισθεί είναι η εκτίμηση του p με βάση ένα δείγμα που θα επιλεγεί με απλή δειγματοληψία κατά ομάδες. (i) Έστω N A ο αριθμός των μονάδων της ομάδας i που ανήκουν (i) στην κατηγορία Α και p i = N A /N i το ποσοστό των μονάδων της i ομάδας που ανήκουν στην κατηγορία Α,,,, Μ. Προφανώς, ισχύει ότι M M p= Nipi Ni. (6..) Έστω ότι, από το σύνολο των Μ ομάδων, επιλέγεται ένα απλό τυχαίο δείγμα m ομάδων U, U,, U m (πρώτο στάδιο) και έστω ότι, από την i επιλεγείσα ομάδα, επιλέγεται ένα απλό τυχαίο δείγμα στοιχειωδών μονάδων μεγέθους n i (δεύτερο στάδιο). Αν Χ (i) συμβολίζει τον αριθμό των μονάδων του i δείγματος που ανήκουν στην κατηγορία Α, τότε μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του p i είναι η ˆp (i) i = X n i,,,, m (6..) Περιοριζόμενοι στην περίπτωση δειγματοληψίας σε ένα στάδιο μόνο, μπορούμε να εφαρμόσουμε την θεωρία της προηγούμενης ενότητας για την εκτίμηση του p, αν θεωρήσουμε τις αντιστοιχίες μ i p i, μ p. Συγκεκριμένα, οδηγούμεθα στα εξής συμπεράσματα. (i) Περίπτωση ισομεγεθών ομάδων (Ν i = N, pˆ i =p i,,,, M) Στην περίπτωση αυτή, οπότε, ' N i = N,,,, m, 3

13 (i) ˆpi = X N,,,, m (6..3) και ισχύει το εξής θεώρημα. Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m pˆc = pˆi m (6..4) είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου p με διασπορά M M m V(p ˆ c) = (pi p). (6..5) M m M i = Πρόταση 6..: Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της V(p ˆc) είναι η στατιστική συνάρτηση m M m S = ˆp (pˆi p ˆc). (6..6) c M m m i = (ii) Περίπτωση ανισομεγεθών ομάδων (Ν i Ν j, i j). Θεώρημα 6..: Η στατιστική συνάρτηση m m (i) ˆpc X N i = (6..7) είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου p με διασπορά 4

14 M M m V(p ˆ (i) c) = (N A Nip) (6..8) M mn M Απόδειξη: Η αμεροληψία είναι προφανής. Για την απόδειξη της (6..8), αρκεί να παρατηρηθεί ότι, επειδή τα Ν i είναι εν γένει άγνωστα, η (6..7) είναι ουσιαστικά μια εκτιμήτρια λόγου δύο μεγεθών. Κατά συνέπεια, μπορεί να εφαρμοσθεί η θεωρία της ενότητας.6, αν θεωρηθεί η (i) αντιστοιχία y i N A, R p, μ x N και x i N i. Επομένως, η (6..8) είναι άμεση συνέπεια της (.6.). Πρόταση 6..: Η στατιστική συνάρτηση m M m (i) = ˆp iˆ c c M mn m S (X N p ) ή η υπολογιστικά περισσότερο προσφερόμενη μορφή της m m m M m (i) (i) = ˆp ˆ c i + ˆ c i c M mn m S X p X N p N είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της V(p ˆ c). (6..9) Παράδειγμα: Έστω ότι οι 660 φοιτητές του τμήματος Στατιστικής ενός πανεπιστημίου μπορούν να διαιρεθούν σε 0 τάξεις των 6 φοιτητών έτσι, ώστε κάθε φοιτητής να ανήκει σε μια μόνο τάξη. Για να εξετασθεί πώς αντιμετωπίζεται μια μελετώμενη μεταβολή στο πρόγραμμα σπουδών, επιλέγονται τυχαία τάξεις και όλοι οι φοιτητές των τάξεων 5

15 αυτών περιλαμβάνονται στο δείγμα. Έστω ότι οι αριθμοί υπέρ της μεταβολής είναι Τάξη (i) Σύνολο Αριθμός φοιτητών υπέρ (Χ (i) ) Να εκτιμηθεί το πραγματικό ποσοστό p των φοιτητών του τμήματος που είναι υπέρ της μεταβολής. Λύση: Προφανώς, m=, Μ=0, Ν i =6,,,,0. Τότε, από την (6..4) έχουμε (i) pˆc = pˆi = X (6 ) = 0.5. Επίσης, από την (6..6) προκύπτει ότι Άρα, 0 ˆ ˆp i c i S = (p 0.5) = = Sˆp c = Σημείωση: Ένα απλό τυχαίο δείγμα 66 φοιτητών, που ενδεχομένως θα έδινε την ίδια εκτίμηση για το p, θα οδηγούσε σε διασπορά της εκτίμησης ίση με p( ˆ p) ˆ N n (0.5)(0.5) S = = = ˆp n N και, επομένως, σε τυπικό σφάλμα ίσο με 6

16 Sˆp = Παρατήρηση: H -ανά-k συστηματική δειγματοληψία είναι μια μορφή δειγματοληψίας κατά ομάδες σε ένα στάδιο. Οι ομάδες είναι τα k δυνατά συστηματικά δείγματα (M=k) και το απλό τυχαίο δείγμα ομάδων που επιλέγεται είναι μεγέθους (m=). 6.3 Επίδραση του Δειγματοληπτικού Σχήματος (The Design Effect (deff)) Μια χρήσιμη ποσότητα που εισήχθη το 965 από τον L.Kish, σε σχέση με σύνθετα δειγματοληπτικά σχήματα, είναι η λεγόμενη επίδραση του δειγματοληπτικού σχήματος (design effect (deff)). Η ποσότητα αυτή ορίζεται ως ο λόγος της διασποράς της εκτίμησης που προκύπτει από ένα δείγμα, το οποίο ελήφθη σύμφωνα με την χρησιμοποιηθείσα σύνθετη δειγματοληπτική μέθοδο, προς την διασπορά της εκτίμησης που προκύπτει από ένα απλό τυχαίο δείγμα του ίδιου μεγέθους. Ορίζεται από την σχέση V deff = A, VB όπου V A και V R συμβολίζουν την διασπορά της εκτίμησης από το δείγμα (του σύνθετου σχήματος) και από το απλό τυχαίο δείγμαν αντίστοιχα. Το μέτρο αυτό χρησιμοποιείται κυρίως στις εξής δύο περιπτώσεις: Στον προσδιορισμό του απαιτούμενου δειγματικού μεγέθους και στον υπολογισμό της αποτελεσματικότητας των σύνθετων δειγματοληπτικών σχημάτων. Για παράδειγμα, για την εκτίμηση του ποσοστού των ατόμων ενός πληθυσμού, τα οποία έχουν κάποιο χαρακτηριστικό, είναι συχνά προτιμότερο να χρησιμοποιείται μια συνθετότερη δειγματοληπτική μονάδα από το άτομο. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την περίπτωση των φοιτητών του παραδείγματος της ενότητας 6.. Ως δειγματοληπτική μονάδα στο παράδειγμα αυτό, χρησιμοποιήθηκε η τάξη έξι φοιτητών. Για την εκτίμηση του ποσοστού των φοιτητών που ήταν υπέρ της 7

17 μελετώμενης μεταβολής στο πρόγραμμα σπουδών του τμήματός τους, ένα απλό τυχαίο δείγμα έντεκα τάξεων των έξι φοιτητών οδήγησε σε εκτίμηση, της οποίας η διασπορά εκτιμήθηκε ίση με ˆV A = S = ˆp Υπολογίσθηκε επίσης ότι ένα απλό τυχαίο δείγμα 66 φοιτητών, που θα οδηγούσε στην ίδια εκτίμηση του p, θα έδινε διασπορά ίση με ˆV R = S = ˆp Μια εκτίμηση, επομένως, του μέτρου deff παρέχεται από την τιμή ^ Sˆp c deff =.708 S ˆp = =. Όταν η τιμή του λόγου f=n/n είναι μικρή, μπορούμε, επομένως, να εκτιμήσουμε το μέγεθος του απαιτούμενου δείγματος υπολογίζοντας την τιμή του n (του αριθμού των ατόμων ) που απαιτούνται με ένα απλό τυχαίο δείγμα ατόμων και πολλαπλασιάζοντας στην συνέχεια με.708. Γενικότερα, υπολογίζοντας την τιμή της παραμέτρου deff για τις εκτιμήσεις των σημαντικών παραμέτρων με βάση ένα σύνθετο δειγματοληπτικό σχήμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους απλούς τύπους υπολογισμού του απαιτούμενου μεγέθους του δείγματος στην περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας για να υπολογίσουμε το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος του συνθετότερου σχήματος, πολλαπλασιάζοντας με την τιμή του deff. Ταυτόχρονα, έχουμε την ευκαιρία να κρίνουμε κατά πόσο το σύνθετο δειγματοληπτικό σχήμα πλεονεκτεί ως προς την αποτελεσματικότητα σε σχέση με το απλό τυχαίο δείγμα. Παραδείγματα τέτοιων υπολογισμών δίνονται για την περίπτωση της στρωματοποιημένης τυχαίας δειγματοληψίας, της συστηματικής δειγματοληψίας και της δειγματοληψίας κατά ομάδες στα παραδείγματα των ενοτήτων 3., 5. και 6, αντίστοιχα. 8

18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μια ομάδα 6 λεπρών υποβλήθηκε σε μια θεραπεία 48 εβδομάδων. Για τον έλεγχο της αποτελεσματικότητας της θεραπείας, η παρουσία βακίλων ελέγχθηκε βακτηριολογικά σε 6 σημεία του σώματος κάθε ασθενούς. Οι αριθμοί των αρνητικών σημείων περιέχονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθμός αρνητικών σημείων (y) αριθμός ασθενών με y αρνητικά σημεία Να εκτιμηθεί το ποσοστό των αρνητικών σημείων στον πληθυσμό και να εκτιμηθεί το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης θεωρώντας κάθε ασθενή ως ομάδα έξι σημείων.. Να συγκριθεί η ακρίβεια της εκτίμησης του p της προηγούμενης άσκησης με αυτή που θα είχαμε στην περίπτωση απλής τυχαίας δειγματοληψίας. 3. Ένα απλό τυχαίο δείγμα 30 νοικοκυριών επελέγη και τα μέλη των νοικοκυριών αυτών ταξινομήθηκαν σύμφωνα με το φύλο τους. Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει την συχνότητα ν ij των νοικοκυριών με i άνδρες και j γυναίκες. j i Σύνολο Σύνολο

19 Να εκτιμηθεί το ποσοστό p των ανδρών σε ολόκληρο τον πληθυσμό θεωρώντας κάθε νοικοκυριό ως μια ομάδα μελών. 4. Να συγκριθεί η διασπορά της εκτίμησης της προηγούμενης άσκησης με την διασπορά της εκτίμησης του ποσοστού p, αν αυτή είχε βασισθεί σε ένα απλό τυχαίο δείγμα του ίδιου μεγέθους. 5. Από τον πληθυσμό των 0 οικοδομικών τετραγώνων μιας μικρής πόλης επιλέγεται ένα απλό τυχαίο δείγμα 5 τετραγώνων και οι εργαζόμενοι όλων των καταστημάτων λιανικής πώλησης περιλαμβάνονται στο δείγμα. Να εκτιμηθεί ο συνολικός αριθμός των εργαζομένων σε καταστήματα λιανικής πώλησης της πόλης αυτής, αν τα αποτελέσματα της δειγματοληψίας είναι ως εξής: οικοδομικό τετράγωνο αριθμός εργαζομένων Να εκτιμηθεί το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης. 30

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling)

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling) . ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Radom Samplig) Η στοιχειωδέστερη μορφή δειγματοληψίας κατά πιθανότητα είναι η απλή τυχαία δειγματοληψία. Το σχήμα αυτό χρησιμοποιείται ευρύτατα, κυρίως λόγω της απλότητάς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΑΓΟΥΜΙΝΤΖΗΣ, ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΣ, PHD ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Οι τεχνικές δειγματοληψίας είναι ένα σύνολο μεθόδων που επιτρέπει να μειώσουμε το μέγεθος των δεδομένων που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 3: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 5 Συλλογή Δεδομένων & Δειγματοληψία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

PIAAC GREECE Σχέδιο δειγµατοληψίας Κύριας Έρευνας (MS)

PIAAC GREECE Σχέδιο δειγµατοληψίας Κύριας Έρευνας (MS) PIAAC GREECE Σχέδιο δειγµατοληψίας Κύριας Έρευνας (MS) ΙωάννηςΝικολαΐδης, Ελληνική Στατιστική Αρχή Προϊστάµενος του Τµήµατος Μεθοδολογίας, Ανάλυσης και Μελετών e-mail: giannikol@statistics.gr 1. Ερευνώµενος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση........................................... 13 Πρόλογος στην πρώτη έκδοση............................................ 17 Εισαγωγή................................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2011:

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2011: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 2 / 11 / 2012 Δ Ε Λ Τ Ι Ο Τ Υ Π Ο Υ ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ 2011 Οικονομική ανισότητα Από την Ελληνική Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Σεμινάριο ΕΚΠ65 ιπλωματικές Εργασίες Αθήνα, 11 Οκτωβρίου 2009

Σεμινάριο ΕΚΠ65 ιπλωματικές Εργασίες Αθήνα, 11 Οκτωβρίου 2009 Με δείγματα ευκολίας δεν γίνεται έρευνα: Η επιλογή των υποκειμένων της έρευνας Βιβή Βασάλα ΣΕΠ στο ΕΑΠ Ερωτήματα Πώς προσδιορίζονται τα όρια του ερευνητικού πληθυσμού; ; Ποιος είναι ο τρόπος-μέθοδος επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2011:

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2011: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 / 9 / 2014 Δ Ε Λ Τ Ι Ο Τ Υ Π Ο Υ ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ: 2011 Από την Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδική έρευνα γνώμης. Ιανουάριος 2014

Πανελλαδική έρευνα γνώμης. Ιανουάριος 2014 Πανελλαδική έρευνα γνώμης Ιανουάριος 2014 Ταυτότητα της έρευνας Ανάθεση: Εφημερίδα Τύπος της Κυριακής. Περίοδος έρευνας: Η έρευνα διεξήχθη από 14 έως και 16 Ιανουαρίου 2014. Τύπος έρευνας: Τηλεφωνική έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2013:

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2013: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 18 / 11 / 2014 Ε Λ Τ Ι Ο Τ Υ Π Ο Υ ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ ΕΤΟΥΣ 2013 (Περίοδος αναφοράς εισοδήµατος 2012) Υλική στέρηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδική Έρευνα Γνώμης Ευρωεκλογές 2014

Πανελλαδική Έρευνα Γνώμης Ευρωεκλογές 2014 Πανελλαδική Έρευνα Γνώμης Ευρωεκλογές 2014 Μάιος 2014 Ταυτότητα Έρευνας Ταυτότητα της έρευνας Ανάθεση: Action 24. Περίοδος έρευνας: Η έρευνα διεξήχθη από 29 Απριλίου έως και 2 Μαΐου 2014. Τύπος έρευνας:

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας

1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Εφαρμογές Θεωρίας 1. Κατανομή πόρων σε συνθήκες στατικής αποτελεσματικότητας Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης για την κατανάλωση του νερού ενός φράγματος (εκφρασμένη σε ευρώ) είναι q = 12-P και το οριακό κόστος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ ΑΠΑΝΩΝ

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ ΑΠΑΝΩΝ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ ΑΠΑΝΩΝ ΤΟΥΡΚΟΚΥΠΡΙΩΝ ΣΤΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (2 η έρευνα, Ιούνιος 2005) 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατά το 2004 καταγράφηκαν 2,152.469 διελεύσεις Τ/Κυπρίων προς τις ελεύθερες

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2012:

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ: ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, 2012: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 9 / 12 / 2013 Ε Λ Τ Ι Ο Τ Υ Π Ο Υ ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ 2012 (Περίοδος αναφοράς εισοδήµατος 2011) Οικονοµική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, ΕΤΟΥΣ 2009

ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, ΕΤΟΥΣ 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 9/ 12/2010 Δ Ε Λ Τ Ι Ο Τ Υ Π Ο Υ ΕΡΕΥΝΑ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΔΙΑΒΙΩΣΗΣ ΤΩΝ ΝΟΙΚΟΚΥΡΙΩΝ, ΕΤΟΥΣ 2009 Δείκτες συνθηκών διαβίωσης Από την Ελληνική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση ¾½ Ø Å Ñ Ø Ò È Ø Ì Ü Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ ¾¼ Å ÓÙ ¾¼¼ 1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) 0, 8 και P (B) 0, 4 να αποδείξετε ότι: (αʹ) 0, P (A B) 0, 4 (βʹ) Τα A και B δεν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα επικαιρότητας

Θέματα επικαιρότητας ΕΡΕΥΝΑ ΣΕ ΑΘΗΝΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΑΤΤΙΚΗ Θέματα επικαιρότητας ΜΑΙΟΣ 2014 «ΑΝΑΤΡΟΠΗ» - MEGA GREEK PUBLIC OPINION ΕΡΕΥΝΑ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ & ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΩΝ ΕΚΛΟΓΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ «ΑΝΑΤΡΟΠΗ» ΤΟΥ MEGA 5 ΜΑΙΟΥ 2014 1 Ταυτότητα της

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδική έρευνα γνώμης. Σεπτέμβριος 2013

Πανελλαδική έρευνα γνώμης. Σεπτέμβριος 2013 Πανελλαδική έρευνα γνώμης Σεπτέμβριος 2013 Ταυτότητα της έρευνας Ανάθεση: Εφημερίδα Ελεύθερος Τύπος. Περίοδος έρευνας: Η έρευνα διεξήχθη από 19 έως και 21 Σεπτεμβρίου 2013. Τύπος έρευνας: Τηλεφωνική έρευνα

Διαβάστε περισσότερα