Γ5. Αν για τα α, β έχουµε α β= 0, ισχύει πάντα ότι α = 0 ή β= 0. Μονάδες 10

Transcript

1 7 ο Γενικό Λύκειο Περιστερίου ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9 / / 01 ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ:.... ΘΕΜΑ 1o Α. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου µε εξίσωση x + y = ρ (ρ > 0) στο σηµείο του A(x 1 y 1) έχει εξίσωση xx 1 + yy 1 = ρ. Μονάδες 10 Β. Τι ονοµάζουµε έλλειψη; Μονάδες Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα αναφοράς σας τη λέξη "Σωστό" αν η πρόταση είναι σωστή και "Λάθος" αν η πρόταση είναι λανθασµένη δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε µία από τις προτάσεις: Γ1 Γ Γ Γ και Γ. Γ1. H ευθεία µε εξίσωση y y0= λ(x x 0) εκφράζει όλες τις ευθείες που περνούν από το σηµείο (x 0 y 0). Γ. Η ευθεία µε εξίσωση Ax + By + Γ = 0 όπου Α Β Γ R εκφράζει πάντα ευθεία όταν A + B 0. Γ. Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 µε Α Β Γ R παριστάνει πάντα κύκλο. Γ. Αν για τα α β έχουµε ότι α/ / β τότε ισχύει πάντα ότι α β = α β. Γ. Αν για τα α β έχουµε α β= 0 ισχύει πάντα ότι α = 0 ή β= 0. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ o ίνεται το διάνυσµα u µε u = και ότι η γωνία των uab είναι 60 ο όπου Α( ) Β( 1). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ. β) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Κ που είναι το σηµείο τοµής του ΑΒ και της κάθετης ευθείας στην AB που διέρχεται από το σηµείο Ο. γ) Να βρείτε τις συντεταγµένες της προβολής του u πάνω στο AB. Μονάδες 7 δ) Να βρείτε τη γωνία των OAOB. 1

2 ΘΕΜΑ o ίνεται ο κύκλος C 1 µε κέντρο το σηµείο Ε( 0) και ακτίνα 1. Έστω επίσης η έλλειψη C µε εστίες Ε Ε ( 0) και µήκος µεγάλου άξονα 10. Α. α) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C και τις συντεταγµένες των κορυφών της. Μονάδες 8 β) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων την έλλειψη C και τον κύκλο C 1 και χρησιµοποιώντας το σχήµα να βρείτε την ελάχιστη και τη µέγιστη απόσταση ανάµεσα στις δύο καµπύλες. Μονάδες 8 Β. Έστω ε 1 ε οι εφαπτοµένες του κύκλου C 1 που διέρχονται από το Ε. α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε 1 ε. β) Αν Κ είναι ένα από τα τέσσερα σηµεία τοµής των εφαπτοµένων ε 1 ε µε την έλλειψη C να υπολογίσετε το άθροισµα ΚΕ + ΚΕ. Μονάδες ΘΕΜΑ o ίνονται οι εξισώσεις (ε λ ) (λ+ )x + (λ+ )y = 0 λ R. Α. α) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις (ε λ ) εκφράζουν ευθεία για κάθε λ R και διέρχονται από σταθερό σηµείο Α του οποίου να υπολογίσετε τις συντεταγµένες. β) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζονται από τις ευθείες µε εξισώσεις (ε λ ) για λ = 0 ή λ = 1 είναι οι ( 1 ) x+ ( 1 ) y 1+ = 0 ή ( 1+ ) x+ ( 1+ ) y 1 = 0 Μονάδες 7 Β. Έστω επιπλέον η παραβολή που έχει διευθετούσα την ευθεία (ε λ ) που είναι παράλληλη στον άξονα y y κορυφή το (0 0) και άξονα συµµετρίας τον άξονα x x. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής είναι y = 1x. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής που διέρχεται από το σηµείο Κ( 6). Καλή Επιτυχία Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Παπαβλάχος Ευστάθιος Ψύχαλος Γεώργιος Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

3 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8. Β. Σχολικό βιβλίο σελίδα Γ. Γ1. Λ Γ. Σ Γ. Λ Γ. Λ Γ. Λ. ΘΕΜΑ o α) λ ( 1) ΑΒ = = οπότε η ευθεία ( ) ΑΒ έχει εξίσωση y ( ) = (x ) x + y = 10. β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που είναι κάθετη στην ΑΒ είναι λ= και αφού η ευθεία διέρχεται από το (0 0) έχει εξίσωση y= x. Οι συντεταγµένες του σηµείου Κ προσδιορίζονται από τη λύση του συστήµατος 16 x+ y= 10 6 x+ x= 10 x= 6 8 δηλαδή K y= x 8 y= x. y = = = µε ΑΒ = ( ) + =. γ) Έχουµε ότι: ΑΒ ( 1 ( ) ) ( ) Επίσης ισχύει: Έστω ότι Αφού ^ 1 u ΑΒ= u ΑΒ συν uαβ = = 10. προβ u= λ ΑΒ λ R. AB AB προβ u AB= u ΑΒ έχουµε ότι λ ΑΒ AB= u ΑΒ οπότε λ = 10 λ=. 8 6 Συνεπώς προβ u= ΑΒ = ( ) = AB. δ) Έχουµε ότι: ΟΑ = ( ) και ΟΒ ( 1) = λ ΑΒ = u ΑΒ

4 ΟΑ ΟΒ= ( 1) = + = 0 οπότε ( ) δηλαδή η γωνία των OAOB είναι 90 ο. ΘΕΜΑ o Α. α) Έχουµε ότι γ = και α = 10 α = οπότε β= α γ = =. Αφού οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται πάνω στον άξονα x x και είναι συµµετρικές ως προς το (0 0) η εξίσωση της έλλειψης έχει µορφή x y x y + = 1 δηλαδή έχει εξίσωση + = 1. α β 16 Οι κορυφές του µεγάλου άξονα είναι Α( 0) και Α ( 0) ενώ οι κορυφές του µικρού άξονα είναι Β( 0) και Β ( 0). β) Ο κύκλος C 1 έχει εξίσωση (x ) + y = 1. H ελάχιστη απόσταση ανάµεσα στις δύο καµπύλες δίνεται από το µήκος του τµήµατος Α που είναι 1 ενώ η µέγιστη απόσταση από το µήκος του τµήµατος Α που είναι 9. Β. Έστω Μ(α β) το σηµείο του κύκλου που είναι το σηµείο επαφής της ζητούµενης εφαπτοµένης µε τον κύκλο οπότε ισχύουν οι σχέσεις: (α ) + β = 1 (Ι) και ΜΕ ΜΕ'. Συνεπώς: ΜΕ ΜΕ' = 0 ( α0 β) ( α0 β) = 0 β = 9 α (ΙΙ) Από την (Ι) προκύπτει: (α ) + 9 α = 1 6α+ 9+ 9= 1 89 άρα β = 9 = β=± Συνεπώς Μ ή 17 Μ α = 6 α 9+ β = 0

5 Αν Λ 1 (x y) είναι σηµείο της εφαπτοµένης του κύκλου στο Μ 1 έχουµε: Μ1Ε ΛΜ1 Μ1Ε Μ1Λ= 0 0 x y = x y+ = 0 x y+ = Αν Λ (x y) είναι σηµείο της εφαπτοµένης του κύκλου στο Μ έχουµε: ΜΕ ΛΜ ΜΕ ΜΛ= x y + = x + y+ = 0 x+ y+ = β) Από τον ορισµό της έλλειψης ισχύει ΚΕ + ΚΕ = α = 10. ΘΕΜΑ o Α. α) Για λ οι εξισώσεις (ε λ ) παριστάνουν ευθείες. Για λ= έχουµε ότι ( ε ) : 0x+ y 0 = η οποία είναι εξίσωση ευθείας οπότε για κάθε λ R οι εξισώσεις (ε λ ) παριστάνουν ευθείες. Για λ = 0 έχουµε (ε 0 ): x+ y = 0 ενώ για λ = 1 έχουµε (ε 1 ): x+ y = 0. Τότε: x+ y = 0 y= 1 x y= 1 = x+ y = 0 x+ (1 x) = 0 x=

6 δηλαδή «υποψήφιο» σταθερό σηµείο είναι το Α( ). Επαληθεύουµε στις εξισώσεις (ε λ ). (λ+ ) + (λ+ )( ) = 6λ+ 1 6λ 10 = 0 οπότε οι ευθείες µε εξισώσεις διέρχονται από το σηµείο Α( ). β) Έστω M(x y) σηµείο των διχοτόµων οπότε ισχύει: x+ y 1 x+ y d(mε 0) = d(mε 1) = (x+ y 1) = (x+ y ) ή 1(x+ y 1) = (x+ y ) ( 1 ) x+ ( 1 ) y 1+ = 0 ή ( 1+ ) x+ ( 1+ ) y 1 = Β. α) Για λ ε : x 0 + = x = είναι η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον άξονα y y. Αφού η παραβολή που έχει διευθετούσα την ευθεία (ε λ ) που είναι παράλληλη στον άξονα y y κορυφή το (0 0) και άξονα συµµετρίας τον άξονα x x έχει τη p µορφή y = px µε διευθετούσα την ευθεία µε εξίσωση x=. p Συνεπώς = p= 6 και η εξίσωση της παραβολής είναι y = 1x. β) Το Κ( 6) είναι σηµείο της παραβολής αφού 6 = 1( ) και κατά συνέπεια η ζητούµενη εφαπτοµένη έχει εξίσωση: y 6= 6(x ) y= x+. = έχουµε ότι ( ) 6