Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni"

Transcript

1 UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni MASTER RAD Autor Snežana Milosavljević Mentor dr Miroslava Antić Beograd 2014.

2 Sadržaj Predgovor 2 1 Algebarski pojmovi Osnovne algebarske strukture Ternarni prsten Afine ravni Tri aksiome afinih ravni. Preslikavanja Koordinatizacija afine ravni Pitanje jedinstvenosti ternarnog prstena Četvrta aksioma Konstrukcija tela Uvoîenje koordinata Dezargova i Paposova teorema Dezargova teorema Paposova teorema i komutativni zakon Konstrukcije zbira i proizvoda Afini prostor Primeri ne-dezargovih i ne-paposovih ravni Ravan Multona Halovo kvazipolje Andreovo kvazipolje Klasa prstena sa deljenjem Diksonov komutativni prsten sa deljenjem Literatura 52

3 Predgovor Dezargova i Paposova teorema spadaju u teoreme klasične (realne) projektivne geometrije, koje stoga važe i u afinoj realnoj ravni, koja je uz dodate idealne tačke model te geometrije. Algebarski pristup geometriji i konstrukcije projektivnih i afinih ravni nad algebarskim strukturama koje nisu polje realnih brojeva aktualizovale su i pitanje važenja Dezargove i Paposove teoreme u njima. Naime, one nisu posledica aksioma projektivne (odnosno afine) ravni. U ovom radu bavimo se afinim ravnima i vezom izmeîu algebarske strukture koja odgovara jednoj takvoj ravni i činjenice da li je ona ne-dezargova ili ne- Paposova. U prvom poglavlju su predstavljene algebarske strukture prstena, kvazipolja, tela, polja, prstena sa deljenjem, ternarnog i ravanskog ternarnog prstena itd. Tu takoîe dajemo primer kvaterniona koji čine tela i oktonione koji su primer prstena sa deljenjem. U drugom poglavlju uvodimo afine ravni i pojam izomorfizma meîu njima. Uvodimo pojmove translacije i dilatacije, pokazujemo kako se jedna afina ravan može koordinatizovati pomoću ravanskog ternarnog prstena i bavimo se pitanjem izomorfizma dve takve ravni. Pokazaćemo da je afina ravan definisana nad telom ako i samo ako u njoj važi Dezargova teorema, odnosno neophodnost asocijativnosti u ternarnom prstenu nad kojim je afina ravan izgraîena. Pokazaćemo i da Paposova teorema povlači Dezargovu, kao i da je neophodan i dovoljan uslov da ona važi komutativnost množenja u ravanskom ternarnom prstenu. U trećem poglavlju dajemo primere nekih ravanskih ternarnih prstena koji nisu asocijativni ili komutativni i koji stoga odreîuju ne-paposove i ne-dezargove ravni. Za čitaoce koji bi dublje da istraže ovu temu preporučujemo E. Artin [1] za upoznavanje sa teorijom afinih i projektivnih ravni (videti [1], Glava II) i D. Hughes i F. Piper [5], verovatno najsveobuhvatniju knjigu o projektivnim ravnima (studija koja je u suštini ekvivalentna studiji o afinim ravnima). Zahvalila bih se članovima komisije, dr Zoranu Rakiću i dr Srîanu Vukmiroviću, na pažljivom čitanju rada i korisnim komentarima koji su ga poboljšali. 2

4 1 Algebarski pojmovi 1.1 Osnovne algebarske strukture U ovom poglavlju daćemo kratak pregled algebarskih pojmova, a posebno struktura koje će nam biti od značaja u radu. Dekartov proizvod proizvoljnih skupova A i B je skup čiji su elementi svi ureîeni parovi (a,b) gde je a A i b B i označavamo ga A B = {(a,b) : a A,b B}. Ako je A = B, onda skup A A označavamo sa A 2 = {(a,b) : a,b A} i zovemo Dekartovim kvadratom skupa A. Binarna operacijaunepraznomskupuajesvakopreslikavanjeω : A 2 A kojim se proizvoljnom paru (a, b) njegovih elemenata a i b pridružuje odreîen element ω(a,b) tog istog skupa A. Taj element još označavamo a ω b. Slično, ternarna operacija na skupu A je svako preslikavanje ω : A 3 A kojim se proizvoljnoj trojci (a,b,c) elemenata a,b,c A pridružuje odreîen element ω(a,b,c) iz tog skupa. Binarna operacija na skupu A je 1. asocijativna ako (a b) c = a (b c), a,b,c A 2. komutativna ako a b = b a, a,b A. Neka je dat skup A sa dve binarne operacije + i koje zovemo sabiranje i množenje. Tada kažemo da je operacija 1. levo distributivna u odnosu na operaciju + ako a (b+c) = a b+a c, a,b,c A 2. desno distributivna u odnosu na operaciju + ako (b+c) a = b a+c a, a,b,c A 3. distributivna u odnosu na + ako je levo i desno distributivna. Ureîeni par (A, ), gde je A neki skup i binarna operacija u tom skupu nazivamo grupoid. Asocijativni grupoid nazivamo polugrupom. Ukoliko u polugrupi postoji element e takav da a e = a,e a = a, a A onda taj element nazivamo neutral, a polugrupu sa neutralom nazivamo monoid. Neprazni skup G sa binarnom operacijom zvaćemo kvazigrupom ako važi: 1. a x = b ima jedinstveno rešenje x, za sve a,b G, 3

5 2. y a = b ima jedinstveno rešenje y za sve a,b G. Ukoliko u kvazigrupi postoji neutral, tada je G petlja. Petlja G ispunjava osobinu desnog inverza ako x G, x 1 G,(y x) x 1 = y, y G. Slično, u G važi osobina levog inverza ako x G, x 1 G,x 1 (x y) = y, y G. Ako u G važe osobine desnog i levog inverza onda u G važi osobina inverza. Element a A jednog monoida je inverzibilan ako postoji element b A takav da je a b = e, b a = e. Tada je b njegov inverz i još ga označavamo sa a 1. Monoide u kojima su svi elementi inverzibilni nazivamo grupama. Grupa je Abelova, odnosno, komutativna ako je komutativna operacija. Neka su na skupu K definisane dve binarne operacije + i. Ureîena trojka (K, +, ) je prsten ako zadovoljava sledeće uslove: 1. (K, +) je komutativna grupa 2. (K, ) je monoid 3. operacija je distributivna u odnosu na +. U prstenu neutral za sabiranje obično nazivamo nulom i označavamo sa 0, a neutral za množenje zovemo jedinicom i označavamo sa 1. S obzirom da u prstenu važi distributivni zakon sledi da je a A, a 0 = 0 a = 0. Zato, ukoliko prsten ima bar dva elementa važi 1 0, i pri tom 0 nema inverz za množenje. Slabo (levo) kvazipolje W je skup sa dve binarne operacija + i koji zadovoljava: 1. (W,+) je Abelova grupa sa neutralom za sabiranje 0 2. (W\{0}, ) je petlja 3. važi 0 x = 0 x W 4. x (y +z) = x y +x z x,y,z W. Ako umesto uslova 4. važi uslov 4. (y +z) x = y x+z x x,y,z W onda W nazivamo slabo desno kvazipolje. Lema 1.1 Ako je W slabo kvazipolje onda 1. a 0 = 0 a W 2. a ( b) = (a b) a,b W. 4

6 Jezgro slabog kvazipolja W je skup svih elemenata k W takvih da važi 1. (x+y) k = x k+y k 2. (x y) k = x (y k) x,y W. Kvazipolje (levo) je slabo levo kvazipolje (K,+, ) takvo da za a a jednačina ax = a x+b ima jedinstveno rešenje za x. Desno kvazipolje je slabo desno kvazipolje (K,+, ) takvo da za a a jednačina xa = xa +b ima jedinstveno rešenje za x. Levo skoro polje je levo kvazipolje sa asocijativnim množenjem. Nenula elementi skorogpolja činegrupu u odnosu namnoženje. Desno skoropolje je desno kvazipolje sa asocijativnim množenjem. Konačno slabo kvazipolje je kvazipolje. Svako kvazipolje koje ima asocijativno množenje naziva se skoro polje. Kvazipolje koje zadovoljava desni distributivni zakon nazivamo prstenom sa deljenjem. Kako je prsten sa deljenjem ujedno i desno i levo kvazipolje, on sadrži levo i desno jezgro. Takoîe sadrži i srednje jezgro. Ove podskupove nazivamo seminukleusima. Desni nukleus N d prstena sa deljenjem D je skup svih elemenata d iz D takvih da je (xy)d = x(yd) x,y D. Levi i srednji nukleus se definišu analogno; N l,n s,n d su seminukleusi od D. Presek N ova tri seminukleusa od D zovemo nukleus ili jezgro, dok skup svih n N takvih da je dn = nd, d D nazivamo centrom od D i obeležavamo sa Z. Neka je D prsten sa deljenjem. Ako D zadovoljava levi i desni alternativni zakon (levi: x(xy) = x 2 y, desni: (xy)y = xy 2 x,y D) onda D zovemo alternativnim prstenom sa deljenjem. Teorema 1.1 Prsten sa deljenjem D sa osobinom desnog inverza je alternativni. Teorema 1.2 Svaki alternativni prsten sa deljenjem D zadovoljava osobinu inverza. Teorema 1.3 Svaki konačan alternativni prsten sa deljenjem je polje. Prstene u kojima jedino nula nema inverz zovemo telima. Lema 1.2 Asocijativni prsten sa deljenjem je telo. Komutativna tela zovemo poljima. Ako je n najmanji prirodan broj takav da je n1 = = 0 tada kažemo da je n karakteristika polja. Ako takav prirodan broj ne postoji, onda kažemo da je karakteristika polja. Navodimo Vederburnovu teoremu. 5

7 Teorema 1.4 Svako konačno telo je polje. Ako je K polje, možemo govoriti o polinomima nad K. Predstavićemo ih u obliku f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 gde su a i elementi iz K i x novi simbol koji nazivamo neodreîenom. Sabiranje i množenje polinoma je definisano na uobičajeni način. Za neko b iz K govorimo o vrednosti f(x) u b: to je f(b) = a n b n +a n 1 b n 1 + +a 1 b+a 0 što je element iz K. Reći ćemo da je f(x) nesvodljiv ako ne postoje polinomi g(x) i h(x), oba manjeg stepena od f(x), takvi da f(x) = g(x)h(x). Neka je p prost broj i q = p n. Tada postoji jedinstveno polje, zvano Galoaovo polje sa q elemenata, koje označavamo sa GF(q). Svako konačno polje je izomorfno sa nekim GF(q). Važi: 1. GF(q) je karakteristike p. 2. Multiplikativna grupa od GF(q) je ciklična. 3. Ako je p = 2 onda je svaki element iz GF(q) kvadrat, a ako je p 2 onda su tačno pola od nenula elemenata iz GF(q) kvadrati. 4. Svaki element iz GF(q) je suma dva kvadrata. Za neko telo K, automorfizam od K je 1 1 preslikavanje α : K K,α(x) = x α takvo da je (x+y) α = x α +y α i (xy) α = x α y α, x,y K. Skup automorfizama tela K čini grupu Aut(K). Anti-automorfizam od K je 1 1 preslikavanje β tako da je (x+y) β = x β +y β i (xy) β = y β x β x,y K. Neka je (V,+) Abelova grupa, K telo i : K V V preslikavanje takvo da je 1. k (v +u) = k v+k u 2. (k l) u = k (l u) 3. (k +l) v = k v+l v 4. 1 v = v, gde je u,v V i k,l K i 1 jedinični element u K. Tada je V levi vektorski prostor nad telom K. Ako je : V K V preslikavanje takvo da je 1. (v +u) k = v k +u k 2. u (k l) = (u k) l 3. v (k +l) = v k+v l 4. v 1 = v, 6

8 gde u,v V i k,l K i 1 jedinični element u K, onda je V desni vektorski prostor nad telom K. Ako je K polje, odnosno množenje je komutativno, prethodne dve definicije se ne razlikuju i tada jednostavno kažemo da je V vektorski prostor nad poljem K. Navešećemo nekoliko definicija vezanih za leve vektorske prostore. Odgovarajuće definicije za desne vektorske prostore formulišu se u analogiji sa njima. Neka je V levi vektorski prostor nad telom K. Vektor α 1 v 1 + +α n v n,v i V,α i K je linearna kombinacija vektora v 1,...,v n. Vektori v 1,...,v n su linearno nezavisni ako jednačina α 1 v α n v n = 0 ima po α i samo trivijalno rešenje α 1 = = α n = 0. Vektori v 1,...,v n generišu prostor V, odnosno čine njegovu generatrisu ako se svi njegovi elementi mogu predstaviti kao linearne kombinacije v 1,...,v n. Generatrisa čiji su elementi linearno nezavisni naziva se bazom tog prostora. Svake dve baze imaju isti broj elemenata i taj broj nazivamo dimenzijom tog prostora. Neka su V 1 i V 2 dva leva vektorska prostora nad telom K. Preslikavanje f : V 1 V 2 je homomorfizam ako je (α 1 v 1 + α 2 v 2 ) f = α 1 v f 1 + α 2v f 2,α 1,α 2 K,v 1,v 2 V 1. Ako je, pri tom, f bijekcija tada kažemo da je f izomorfizam. Svi levi vektorski prostori dimenzije n nad telom K su izomorfni. Svi vektorski prostori dimenzije n nad poljem K su izomorfni. Neka su V i W levi vektorski prostori nad telom K i α automorfizam od K. Ako je φ : V W preslikavanje takvo da 1. v 1,v 2 V : (v 1 +v 2 ) φ = v φ 1 +vφ 2 2. v V,k K : (kv) φ = k α (v φ ) onda je φ semi-linearna transformacija iz V u W sa pridruženim automorfizmom α. Očigledno je semi-linearna transformacija sa pridruženim identitetom tela K homomorfizam. Tada φ nazivamo još i linearnom transformacijom. Sada, posmatrajmo semi-linearne transformacije levog vektorskog prostora V na sebe samog; dobijamo zatvoren skup. Ako su φ 1 i φ 2 semi-linearne transformacije sa pridruženim automorfizmima α 1 i α 2, onda je φ 1 φ 2 definisano sa: v φ1φ2 = (v φ1 ) φ2 i ima pridruženi automorfizam α 1 α 2. Semi-linearna transformacija iz V u V je ne-singularna ako je 1 1 i na. Skup ne-singularnih semi-linearnih transformacija obrazuje grupu ΓL(V). Teorema 1.5 Jezgro J slabog kvazipolja W je telo. Štaviše, W se može smatrati desnim vektorskim prostorom nad J. Teorema 1.6 Neka je W slabo kvazipolje sa jezgrom J. Ako je W konačno dimenzioni vektorski prostor nad nekim pod-telom H od J onda je W kvazipolje. Primer 1.1 Neka je H = {a1 + bi + cj + dk a,b,c,d R}. Za svaka dva elementa q 1 = a b 1 i + c 1 j + d 1 k i q 2 = a b 2 i + c 2 j + d 2 k skupa H 7

9 definišemo binarnu operaciju + na sledeći način: q 1 +q 2 = (a 1 1+b 1 i+c 1 j +d 1 k)+(a 2 1+b 2 i+c 2 j +d 2 k) = (a 1 +a 2 )1+(b 1 +b 2 )i+(c 1 +c 2 )j +(d 1 +d 2 )k. Nazivamoje sabiranjem u skupu H. Ureîeni par(h,+)je grupoid. Operacija+ je asocijativna jer se asocijativnost operacije + svodi na asocijativnost sabiranja u skupu R. Naime, iz definicije operacije + sledi: (q 1 +q 2 )+q 3 = ((a 1 +a 2 )1+(b 1 +b 2 )i+(c 1 +c 2 )j +(d 1 +d 2 )k)+(a 3 1+b 3 i+c 3 j +d 3 k) = ((a 1 +a 2 )+a 3 )1+((b 1 +b 2 )+b 3 )i+((c 1 +c 2 )+c 3 )j +((d 1 +d 2 )+d 3 )k = (a 1 +(a 2 +a 3 ))1+(b 1 +(b 2 +b 3 ))i+(c 1 +(c 2 +c 3 ))j +(d 1 +(d 2 +d 3 ))k = (a 1 1+b 1 i+c 1 j +d 1 k)+((a 2 +a 3 )1+(b 2 +b 3 )i+(c 2 +c 3 )j +(d 2 +d 3 )k) = q 1 +(q 2 +q 3 ) odakle sledi da je (H, +) polugrupa. Na osnovu definicije sabiranja kvaterniona sledi da je njen neutral element 01+0i+0j +0k, a kvaternion q = a1 bi cj dk nazivamo inverzom kvaterniona q = a1+bi+cj+dk. Kako se komutativnost operacije sabiranja kvaterniona svodi na komutativnost sabiranja u skupu R, time smo dokazali da je algebarska struktura (H,+) Abelova grupa. Sada možemo definisati i jednu spoljnu R-operaciju na skupu H tako da za svako α R i svako q H važi α q = (αa)1+(αb)i+(αc)j +(αd)k. (1) Tako definisanu spoljnu R-operaciju zovemo množenje skalarima. Dakle, struktura(h, +, ) postaje jedan vektorski prostor nad poljem R koji ćemo obeležavati sa H = (H,+, ). Prema definiciji strukture H sledi da se svaki element a1 + bi+cj+dk H može na jedinstven način zapisati kao linearna kombinacija elemenata 1,i,j,k. To upravo znači da je skup {1,i,j,k} i jedna baza vektorskog prostora H. Tada skup realnih brojeva identifikujemo sa skupom {a1 a R}, a element a1+bi+cj +dk zapisujemo i kao a+bi+cj +dk. Množenje na skupu H uvodimo kao distributivnu operaciju, koja je na baznim vektorima data sledećom tablicom množenja 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1, dok je (α q 1 ) q 2 = α (q 1 q 2 ) = q 1 (α q 2 ),q 1,q 2 H,α R. Element 1 je neutral množenja, a direktnom proverom zaključujemo da je množenje na skupu H asocijativno. Za proizvoljna dva elementa q 1,q 2 H dobijamo q 1 = (a 1 +b 1 i+c 1 j +d 1 k), q 2 = (a 2 +b 2 i+c 2 j +d 2 k) q 1 q 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 )+(a 1 b 2 +b 1 a 2 +c 1 d 2 d 1 c 2 )i +(a 1 c 2 b 1 d 2 +c 1 a 2 +d 1 b 2 )j +(a 1 d 2 +b 1 c 2 c 1 b 2 +d 1 a 2 )k. 8

10 Dakle (H, +, ) je prsten, a njegove elemente nazivamo kvaternionima. Množenje na skupu H nije komutativno, npr. i j = j i = k. Slično skupu kompleksnih brojeva i u skupu H možemo definisati operaciju konjugovanja kvaterniona. Neka je q = a+bi+cj +dk proizvoljan kvaternion iz skupa H. Tada njegov konjugat definišemo sa q = a bi cj dk. Pri tom važi q = q. Važi sledeća lema: Lema 1.3 Neka su q 1 = a 1 + b 1 i +c 1 j +d 1 k i q 2 = a 2 +b 2 i+c 2 j +d 2 k dva proizvoljna kvaterniona iz skupa H. Tada važi: q 1 +q 2 = q 1 +q 2 i q 1 q 2 = q 2 q 1. Dokaz: Na osnovu definicije sabiranja kvaterniona imamo q 1 +q 2 = (a 1 +b 1 i+c 1 j +d 1 k)+(a 2 +b 2 i+c 2 j +d 2 k) = (a 1 +a 2 )1+(b 1 +b 2 )i+(c 1 +c 2 )j +(d 1 +d 2 )k = (a 1 +a 2 )1 (b 1 +b 2 )i (c 1 +c 2 )j (d 1 +d 2 )k = (a 1 b 1 i c 1 j d 1 k)+(a 2 b 2 i c 2 j d 2 k) = q 1 +q 2. Slično se dokazuje i druga relacija q 1 q 2 = (a 1 +b 1 i+c 1 j +d 1 k) (a 2 +b 2 i+c 2 j +d 2 k) = (a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 )+(a 1 b 2 +b 1 a 2 +c 1 d 2 d 1 c 2 )i +(a 1 c 2 b 1 d 2 +c 1 a 2 +d 1 b 2 )j +(a 1 d 2 +b 1 c 2 c 1 b 2 +d 1 a 2 )k = (a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 ) (a 1 b 2 +b 1 a 2 +c 1 d 2 d 1 c 2 )i (a 1 c 2 b 1 d 2 +c 1 a 2 +d 1 b 2 )j (a 1 d 2 +b 1 c 2 c 1 b 2 +d 1 a 2 )k. S druge strane važi q 2 q 1 = (a 2 b 2 i c 2 j d 2 k) (a 1 b 1 i c 1 j d 1 k) = (a 2 a 1 b 2 b 1 c 2 c 1 d 2 d 1 ) (a 2 b 1 +b 2 a 1 +c 2 d 1 d 2 c 1 )i (a 2 c 1 b 2 d 1 +c 2 a 1 +d 2 b 1 )j (a 2 d 1 +b 2 c 1 c 2 b 1 +d 2 a 1 )k. Kako su desne strane ovih jednakosti jednake, sledi da su i leve strane jednake. Neka je q = a +bi+cj + dk proizvoljan kvaternion i q = a bi cj dk njemu konjugovani kvaternion. Množenjem ova dva kvaterniona q q = (a+bi+cj +dk) (a bi cj dk) = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 dobijamo da je taj broj realan i nenegativan. Stoga možemo govoriti i o normi kvaterniona q = qq = a 2 +b 2 +c 2 +d 2. Na osnovu definicije norme kvaterniona sledi da važi q = q q = qq = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = q, 9

11 kao i qq = (qq)(qq) = (qq)(qq) = (qq) (qq) = q q = q 2 = q q. Koristeći konjugaciju i normu kvaterniona možemo da definišemo inverz kvaterniona. Proizvod nenula kvaterniona i inverza treba da bude jednak 1, pa je inverz kvaterniona q dat sa q 1 = q q 2. Ovim smo dokazali da je struktura (H {0}, ) jedna grupa. Ova grupa nije Abelova, jer operacija nije komutativna. Dakle, algebarska struktura (H, +, ) je nekomutativno polje, odnosno telo. Uočimo sledeće. Kompleksne brojeve C možemo identifikovati sa R 2 gde je element i = (0,1) i pišemo (a,b) = a+bi,a,b R. Sabiranje je definisano kao standardno sabiranje na Dekartovom proizvodu, a množenje se sa R distributivno proširuje na C sa i 2 = 1. Slično, kvaternione možemo predstaviti kao H = C 2 = C C = {(x,y) x,y C} gde je j = (0,1), a element tog skupa je (a,b) = a+bj,a,b C. Sabiranje je definisano kao standardno sabiranje Dekartovog proizvoda, a množenje se sa C distributivno proširuje uz uslov j 2 = 1. Konjugovanje je tada dato sa a+bj = a bj. Primer 1.2 Slično kao u prethodnom primeru definišemo skup oktoniona kao skup O = H 2 = H H = {(x,y) x,y H}. Svaki oktonion je oblika ξ = x+ye gde su x,y kvaternioni i e = (0,1). Sabiranje je definisano kao sabiranje Dekartovog proizvoda. Kako je (H,+) Abelova grupa, sledi i da je (H 2,+) Abelova grupa kao i vektorski prostor nad R. Definišimo množenje na skupu O. Označimo f = ie, g = je, h = ke. Uz uslov da je množenje distributivno u odnosu na sabiranje i da važi α(ξ 1 ξ 2 ) = (αξ 1 )ξ 2 = ξ 1 (αξ 2 ),α R,ξ 1,ξ 2 O množenje oktoniona je na jedinstven način zadato sledećom tablicom 1 i j k e f g h 1 1 i j k e f g h i i 1 k j f e h g j j k 1 i g h e f k k j i 1 h g f e e e f g h 1 i j k f f e h g i 1 k j g g h e f j k 1 i h h g f e k j i 1. Na slici 1. 1 grafički su prikazani meîusobni proizvodi baznih elemenata. 10

12 g k e i f j h Sl. 1.1 Pored trojki koje su ilustrovane kao kolinearne, smatramo i da su i,j,k u istoj relaciji. Tada, proizvod dva elementa jednak je preostalom elementu sa odgovarajuće prave, a znak zavisi od orijentacije prave. Na primer, jf = h, a ej = g, ji = k. Element 1 je neutral za množenje. Uočimo, operacija nije asocijativna, na primer (ie)g = fg = k, a i(eg) = ij = k, a takoîe operacija nije ni komutativna jer ij = ji. Konjugovanje uvodimo analogno sa prethodnim primerima. Pomoću njega lako se dobija da jednačine ξ 1 x = ξ 2 i yξ 1 = ξ 2 imaju jedinstvena rešenja po x i y, te je ureîeni par (O, ) petlja. S obzirom da operacija množenja zadovoljava zakon distributivnosti struktura O = (O, +, ) je prsten sa deljenjem. Kako oktonioni nisu asocijativni, oni ne zadovoljavaju Lemu 2, pa O nije telo. 1.2 Ternarni prsten Neka je T skup i T ternarna operacija definisana na skupu T. Ureîeni par (T, T) sa ternarnom operacijom se naziva ternarni prsten. Ako postoje dva elementa ternarnog prstena, koje ćemo obeležiti sa 0 i 1, takvi da važi T1 T(a,0,c) = T(0,b,c) = c, a,b,c T T2 T(a,1,0) = T(1,a,0) = a, a T T3 zasvea,b,c,d T,a cpostojijedinstvenox TtakvodajeT(x,a,b) = T(x,c,d) T4 za sve a,b,c T postoji jedinstveno x T takvo da je T(a,b,x) = c T5 za sve a,b,c,d T,a c postoji jedinstven ureîen par (x,y) T takav da je T(a,x,y) = b i T(c,x,y) = d onda je T ravanski ternarni prsten. Uočimo da u ternarnom prstenu ne moraju biti definisane binarne operacije sabiranja i množenja. Ipak ako je T ravanski ternarni prsten tada na prirodan način možemo definisati ove dve operacije, i to na sledeći način. Za a,b T definišemo a+b = T(1,a,b) i a b = T(a,b,0). 11

13 Teorema 1.7 Ako je T ravanski ternarni prsten, onda su (T,+) i (T, ) petlje sa jediničnim elementima 0 i 1, gde je T skup nenula elemenata iz T. Dokaz: Dokažimo prvo da je (T,+) petlja. Za bilo koje a T, 0+a = T(1,0,a) = a i a+0 = T(1,a,0) = a na osnovu svojstava T2. i T1. ternarne operacije, pa je 0 neutral za sabiranje. Jednačinaa+x = bimajedinstvenorešenjepoxakoisamoakot(1,a,x) = b ima jedinstveno rešenje po x. Ovo važi na osnovu svojstva T4. Jednačina x+a = b ima jedinstveno rešenje po x ako i samo ako T(1,x,a) = b ima jedinstveno rešenje po x. Na osnovu svojstva T5. postoji jedinstven ureîeni par x,y takav da je T(1,x,y) = b i T(0,x,y) = a. Na osnovu svojstva T1, T(0,x,y) = a ima y = a za rešenje, pa postoji jedinstveno x takvo da je T(1,x,a) = b. Dakle, (T,+) je petlja. Pokažimo da je (T, ) petlja. Važi da je 1 x = T(1,x,0) = x i x 1 = T(x,1,0) = x na osnovu svojstva T2, pa je 1 jedinični element u (T, ). Takoîe treba pokazati i da je operacija zatvorena u skupu T. Pretpostavimo da je x y = 0 i y 0. Jednačina T(u,y,0)= T(u,0,0) ima jedinstveno rešenje po u koje je očigledno u = 0. Kako važi T(x,y,0) = 0 = T(x,0,0) onda je rešenje po x, x = 0. Zato je operacija množenja zatvorena u skupu T. Jednačinaa x = b ima jedinstveno rešenjeza x ako i samo ako T(a,x,0) = b ima jedinstveno rešenje za x. Na osnovu svojstva T5 važi T(a,x,y) = b, T(0,x,y) = 0. (2) Kako druga jednakost (2) povlači da je y = 0, onda T(a,x,0) = b ima jedinstveno rešenje po x. Jednačina x a = b ima jedinstveno rešenje za x ako i samo ako T(x,a,0) = b ima jedinstveno rešenje za x. Na osnovu svojstva T3 T(x,a,0) = T(x,0,b) ima jedinstveno rešenje po x (jer je a 0), a na osnovu T1 T(x,0,b) = b x, pa T(x,a,0) = b ima jedinstveno rešenje po x i (T, ) je petlja. Neka je K levo ili desno kvazipolje. Tada ternarnu operaciju (a, x, b) = [ax+b] možemo definisati sa [ax+b] = ax+b i pokazaćemo da je K sa ovom ternarnom operacijom i elementima 0, 1 ternarni prsten. Pokažimo da je svako levo kvazipolje ternarni prsten sa nulom i jedinicom. T1 važi na osnovu 3. osobine levog kvazipolja. T2 takoîe važi na osnovu 3. osobine levog kvazipolja. T3 neka su a,b,a,b K i a a pa je xa + b = xa + b pa na osnovu 1. osobine levog kvazipolja ovo je ekvivalentno sa ax = a x+(b b ), a po 5. osobini levog kvazipolja ova jednačina ima jedinstveno rešenje. T4 sledi iz 1. osobine levog kvazipolja. T5 neka su x,y,x,y K i x x. Jednačine y = ax+b i y = ax +b za a,b postaju y y = ax ax 12

14 na osnovu 1. osobine levog kvazipolja i y y = a(x x ) na osnovu4. osobine levogkvazipolja. Ako je y y jednačinaje rešivapo a na osnovu 2. osobine levog kvazipolja. Ako znamo a onda lako možemo izračunati b iz jednačina y = ax+b i y = ax +b. Jasno, b je jedinstveno. Ovo dokazuje T5 za slučaj y y. Ako je y = y onda a = 0 na osnovu 2. osobine levog kvazipolja (jer je x x 0). Odatle, b = y = y. Ovo dokazuje T5 za slučaj y = y. 13

15 2 Afine ravni 2.1 Tri aksiome afinih ravni. Preslikavanja U ovom poglavlju uvešećemo pojam afinih ravni i predstaviti za njih karakteristična preslikavanja. Data su nam dva osnovna pojma: skup čije elemente nazivamo tačkama i klasu njegovih podskupova koje nazivamo pravama. Ukoliko tačka P pripada pravoj p, kažemo i da su P i p incidentni. Prva aksima koju ovi skupovi treba da ispunjavaju je sledeća: Aksioma 1 Neka su date dve različite tačke P i Q. Tada postoji jedinstvena prava l koja sadrži obe tačke P i Q. Za takvu pravu l koristićemo zapis l = P +Q. Definicija 2.1 Ako su l i m dve prave takve da je ili l = m ili prave l i m ne sadrže nijednu zajedničku tačku, onda kažemo da su one paralelne i pišemo l m. Ako l m, onda postoji tačno jedna tačka P koja pripada i l i m. Ako bi postojale dve takve tačke onda bi po prethodnoj aksiomi l = m i to znači da je l m što je suprotno od onoga što smo pretpostavili. U ovom slučaju kažemo da se l i m seku u P. Aksioma 2 Neka su date tačka P i prava l. Tada postoji jedna i samo jedna prava m koja prolazi kroz tačku P i paralelna je pravoj l. Teorema 2.1 Relacija paralelnosti pravih je relacija ekvivalencije. Dokaz: Očigledno je da je ta relacija simetrična (l 1 l 2 l 2 l 1 ) i refleksivna (l 1 l 1 ), treba dokazati da je tranzitivna. Pretpostavimo da je l 1 l 2 i l 2 l 3. Ako ne postoji tačka koja pripada obema pravama l 1 i l 3 onda je l 1 l 3. Ako postoji tačka P koja pripada obema pravama l 1 i l 3, onda je l 1 = l 3 po aksiomi 2 i zato što je l 1 l 2 i l 2 l 3, pa opet l 1 l 3. Definicija 2.2 Klasa ekvivalencije paralelnih pravih se naziva pramenom paralelnih pravih. Teorema 2.2 Pretpostavimo da postoje tri različita pramena paralelnih pravih π 1,π 2,π 3. Tada su svi pramenovi te ravni iste kardinalnosti k, a tada je i sa proizvoljnom pravom te ravni incidentno k tačaka. Dokaz: Neka je l prava pramena π 1, m prava pramena π 2. Tada, kako l m, postoji tačno jedna tačka P koja pripada obema pravama l i m. Neka je Q proizvoljna tačka na pravoj l. Tada postoji tačno jedna prava m koja je paralelna sa m i sadrži tačku Q, sledi da m π 2. Dakle, postoji 1 1 preslikavanje izmeîu tačaka prave l i pravih pramena π 2 : broj tačaka prave l jednak je broju pravih pramena π 2. Dokazali smo da ako su data dva različita pramena onda svaka prava jednog pramena sadrži onoliko tačaka koliko je pravih u drugom pramenu. Ako je π proizvoljan pramen, onda je on različit od najmanje dva od 14

16 data tri pramena; neka je π π 1 i π π 2. Broj tačaka na proizvoljnoj pravoj iz pramena π 1 jednak je broju pravih iz pramena π i jednak je broju pravih iz pramena π 2. Odavde lako sledi tvrîenje teoreme. Navedimo sada i treću aksiomu. Aksioma 3 Postoje tri različite tačke A,B i C takve da tačka C ne pripada pravoj A + B. Kažemo da postoje tri nekolinearne tačke. Prave A+B i A+C nisu paralelne jer imaju bar jednu zajedničku tačku A, a tada bi A, B i C pripadale istoj pravoj. Zato A+B B+C i A+C B+C. To znači da sada postoje tri različita pramena paralelnih pravih i Teorema 2.2 važi. Ukoliko skup tačaka i pravih zadovoljavaju tri gore navedene aksiome, onda kažemo da te tačke čine afinu ravan. Primer 2.1 Uočimo da R 2 tj. skup ureîenih parova realnih brojeva, gde je prava skup tačaka (x,y) takvih da ax+by +c = 0 zadovoljava askiome. Primer 2.2 Primer afine ravni sa konačnim brojem tačaka je Fanoova ravan. Ova ravan se sastoji od četiri tačke i šest pravih, pri čemu svaka prava sadrži tačno dve tačke (slika 2.1). D C A B Sl. 2.1 Ovim tačakama možemo pridužiti koordinate (0 : 0),(0 : 1),(1 : 0),(1 : 1) odnosno reći da su njene koordinate iz polja Z 2. Definišimo sada i preslikavanja koja odgovaraju afinoj geometriji ravni, odnosno ona koja čuvaju invarijante afine geometrije ravni. Definicija 2.3 Preslikavanje dve afine ravni koje preslikava kolinearne tačke u kolinearne, odnosno čuva relaciju incidencije naziva se kolineacija. Ukoliko je pri tom i bijekcija zovemo je i izomorfizam. Navedimo sada i jednu vrstu kolineacija afine ravni. Definicija 2.4 Preslikavanje σ afine ravni (koje tačke slika u tačke) naziva se dilatacija ako zadovoljava sledeće svojstvo: neka su P i Q proizvoljne dve razne tačke, a njihove slike P i Q ; ako je prava l paralelna sa pravom P +Q i sadrži tačku P, onda tačka Q pripada pravoj l. 15

17 Primer 2.3 a) Preslikavanje u kom se sve tačke slikaju u neku fiksnu tačku. Za takvu dilataciju kažemo da je degenerisana. U suprotnom je nedegenerisana. b) Identitet. Primer 2.4 Primeri dilatacije u afinoj ravni R 2 su sledeća preslikavanja. a) (x,y) (x+a,y +b) gde su a,b R. Zove se translacija realne ravni za (a,b). b) (x,y) ((1 λ)a + λx,(a λ)b + λy),a,b,λ R. Ovo preslikavanje je homotetija realne ravni sa centrom (a, b) i koeficijentom λ. Primer 2.5 Jedan primer dilatacije u Fanoovoj ravni je dat sa f : ( A D B C D A C B Teorema 2.3 Dilatacija σ je jednoznačno odreîena slikama P i Q dve razne tačke P i Q. Ako je P = Q onda je σ degenerisana dilatacija i sve tačke se slikaju u P. Ako je P Q onda je σ bijekcija. Dokaz: Treba pokazati da je za svaku tačku ravni njena slika odreîena na jedinstven način slikama tačaka P i Q. Neka je, zato, prvo R proizvoljna tačka ravni koja ne pripada pravoj P + Q. Tada su R + P i R + Q dve neparalelne prave. Neka su l 1 i l 2 prave redom incidentne sa tačkama P i Q i paralelne R + P i R + Q. Tada su i l 1 i l 2 neparalelne i imaju tačno jednu zajedničku tačku, a pri tom obe sadrže sliku tačke R. Tada je slika tačke R jedinstveno odreîena. Pri tom, ako je P = Q, prave l 1 i l 2 seku se u toj tački pa je i R = P. Ako tačka R pripada pravoj P + Q, R P, neka je S tačka koja ne pripada pravoj P + Q. Tada su P,S,R tri nekolinearne tačke. S obzirom da je slika tačke S odreîena na jedinstven način, ponavljajući postupak za tačke P,S i R zaključujemo da je slika tačke R jedinstveno odreîena. Pri tom, ako je P = Q tada je i P = S, pa i R = P. Dakle, ako se slike dve tačke poklapaju, onda se sve tačke ravni slikaju u istu tačku. Zato, ukoliko se za neke dve razne tačke P i Q njihove slike P i Q razlikuju, onda će se razlikovati i slike bilo kog drugog para različitih tačaka. Tada je preslikavanje injektivno. Pokažimo da je tada preslikavanje i surjektivno. Ako je R proizvoljna tačka ravni koja ne pripada pravoj P +Q, prave P +R i Q +R su neparalelne. Ako su p 1 i p 2 prave njima paralelne, a redom, incidentne sa P i Q, tada se p 1 i p 2 seku u tački koja se ovim preslikavanjem slika u R. Ako tačka R pripada pravoj P +Q, R P, neka je S tačka van te prave i S njen original. Ponavljajući prethodni postupak sa tačkama P,S i R dobijamo tačku koja se preslikala u R. ). 16

18 Posledica 1 Ako dilatacija σ ima dve fiksne tačke, onda je σ identitet, što ćemo zapisivati σ = 1. Definicija 2.5 Neka je σ nedegenerisana dilatacija i P neka tačka. Svaka prava koja sadrži P i σp naziva se trag tačke P. Ako je P σp onda je trag tačke P jedinstveno odreîen, i to je prava P +σp. Teorema 2.4 Neka je σ nedegenerisana dilatacija, P proizvoljna tačka i l trag tačke P. Ako tačka Q pripada pravoj l onda i tačka σq pripada pravoj l. Dokaz: Možemo pretpostaviti da je Q P tako da je l = P + Q. Tada je σq σp i σp + σq l po definiciji dilatacije. Meîutim, prave l i σp +σq imaju zajedničku tačku σp, to znači da se poklapaju. Sledi, σq pripada pravoj l. Znači, akoje praval tragneke (svoje)tačke, onda je ujedno i tragsvih svojih tačaka. Neka se dva razna traga l 1 i l 2 seku u tački S. Tada su i l 1 i l 2 tragovi tačke S pa je ona fiksna tačka preslikavanja. Zato je i bilo koja druga prava incidentna sa S trag. Pretpostavimo da postoji trag l 3 koji nije incidentan sa S. Tada l 3 seče bar jednu od pravih l 1 i l 2, recimo l 1 u tački M, i pretpostavimo M S, a tada je i M fiksna tačka preslikavanja, a dilatacija sa bar dve fiksne tačke je identitet. Tada je svaka prava ravni trag. Ako dilatacija nije identičko preslikavanje, sledi da l 3 mora biti incidentna sa S. Sa druge strane, ako su neka dva traga neidentičke dilatacije paralelna onda svi tragovi pripadaju istom pramenu paralelnih pravih. Tada preslikavanje nema fiksnih tačaka. Dakle, zaključujemo sledeće. Neka je σ nedegenerisana dilatacija: 1. Sve prave ravni su trag neke njene tačke ako i samo ako je σ = Ako je σ 1 tada je skup svih tragova te dilatacije pramen pravih koje se seku u datoj tački P ako i samo ako je P fiksna tačka dilatacije σ. 3. Ako je σ 1 tada je skup svih tragova te dilatacije pramen paralelnih pravih ako i samo ako dilatacija σ nema fiksne tačke. Definicija 2.6 Nedegenerisana dilatacija τ naziva se translacija ako je ili τ = 1 ili τ nema fiksnu tačku. Ako je τ translacija koja nije identitet (τ 1) onda tragovi translacije τ formiraju pramen π paralelnih pravih koji nazivamo smerom translacije τ. Primer 2.6 Primetimo da su translacije realne ravni translacije i po ovoj definiciji. Primer 2.7 Preslikavanje dato u Primeru 5 je translacija Fanoove ravni. Teorema 2.5 Translacija τ je jedinstveno odreîena slikom proizvoljne tačke P. Dokaz: Neka je l trag translacije τ koji sadrži tačku P. Svaka prava paralelna sa l takoîe je trag preslikavanja τ; neka je l l,l l,q tačka koja pripada l. 17

19 Tada tačka τq mora biti na l. Neka je m = P +Q i neka je m prava paralelna pravojmikojasadržitačkuτp. Podefiniciji dilatacijetačkaτq morapripadati m. Sada tačka τq pripada obema pravama l i m, pri čemu l m jer l m. Tako je tačka τ Q odreîena jednoznačno, a dilatacija je jednoznačno odreîena slikom dve tačke. Od sada ćemo pretpostaviti da je dilatacija nedegenerisana osim ako nije drugačije rečeno, odnosno, od sada pod dilatacijom podrazumevamo afinu transformacijuravnitakvudavaži: akojep QondajeσP σqip+q σp+σq. Neka su date dve dilatacije σ 1 i σ 2. Njihovu kompoziciju P σ 1 (σ 2 (P)) obeležavamo sa σ 1 σ 2. Ako je P Q onda je σ 2 P σ 2 Q, pa sledi da je σ 1 σ 2 P σ 1 σ 2 Q i P + Q σ 2 P +σ 2 Q σ 1 σ 2 P +σ 1 σ 2 Q. Zato je preslikavanje σ 1 σ 2 je dilatacija. Kako je σ bijekcija to je moguće formirati inverzno preslikavanje koje je takoîe bijekcija. Ako je P Q, onda σ 1 P σ 1 Q i σ 1 P +σ 1 Q σ(σ 1 P)+σ(σ 1 Q) = P +Q, a odavde sledi da je i σ 1 dilatacija. Dakle, važi sledeće tvrîenje. Teorema 2.6 Dilatacije afine ravni obrazuju grupu u odnosu na kompoziciju funkcija. Neka je τ translacija. Ako τ 1 nema fiksnih tačaka onda je ona translacija. Pretpostavimo da preslikavanje τ 1 ima fiksnu tačku P. Tada je τ 1 P = P, pa i P = τp što je moguće samo ako je τ = 1, a u tom slučaju je i τ 1 = 1 takoîe translacija. Neka su τ 1 i τ 2 translacije. Ako njihova kompozicija nema fiksnih tačaka, onda je u pitanju translacija. Pretpostavimo da njihova kompozicija ima fiksnu tačku, τ 1 τ 2 P = P. Tada je τ 2 P = τ 1 1 P. Tada τ 2 i τ 1 1 na isti način preslikavaju tačku P, a kako je translacija na jedinstven način odreîena slikom jedne njene tačke sledi τ 2 = τ 1 1. Tada je τ 1τ 2 = 1 translacija. Vidimo da je τ 1 τ 2 translacija u bilo kom slučaju. Teorema 2.7 Translacije afine ravni obrazuju grupu, podgrupu grupe dilatacija afine ravni. Definicija 2.7 Grupu dilatacija označavamo sa D, a grupu translacija sa T. Teorema 2.8 Grupa T je normalna podgrupa grupe D. Ako je σ dilatacija a τ translacija (τ 1), onda τ i στσ 1 imaju isti smer. Dokaz: Pokažimo prvo da je στσ 1 = τ 1 translacija. Ako preslikavanje τ 1 ima fiksnu tačku P onda je στσ 1 P = P, a odatle sledi τσ 1 P = σ 1 P. Tačka σ 1 P je fiksna tačka preslikavanja τ. Sledi τ = 1, tj. τ 1 = 1 je translacija. Pretpostavimo sada da τ 1 i da je π smer preslikavanja τ. Prava σ 1 P + τσ 1 P je τ-trag tačke σ 1 P i prema tome to je prava pramena π. Pošto je σ dilatacija, onda σ 1 P + τσ 1 P σ(σ 1 P)+στσ 1 P = P + στσ 1 P. Prava P +στσ 1 P takoîe pripada pramenu π i ona je στσ 1 -trag tačke P. Odavde sledi da στσ 1 takoîe ima smer π. 18

20 Teorema 2.9 Translacije, odreîene datim smerom - pramenom paralelnih pravih π zajedno sa identitetom obrazuju grupu. Dokaz: Ako je τ 1 onda prava P + τp = τp + τ 1 τp je τ-trag tačke P i τ 1 -trag tačke τp. Ako translacije τ 1 i τ 2 (τ 1 1,τ 2 1) imaju pravac π, onda prava P +τ 2 P pripada pramenu π i sadrži tačku τ 2 P. Po Teoremi 2.4 ona sadrži i tačku τ 1 τ 2 P. Ako je τ 1 τ 2 P = P, onda je τ 1 τ 2 = 1; ako je τ 1 τ 2 P P onda je prava P +τ 2 P = P +τ 1 τ 2 P trag preslikavanja τ 1 τ 2 i pripada pramenu π. Teorema 2.10 Ako postoje translacije sa različitim smerovima onda je grupa T komutativna. Dokaz: Neka su τ 1 i τ 2 translacije u neparalelnim smerovima. Tada τ 1 τ 2 τ1 1 i τ 2, kao i τ2 1 imaju iste smerove. Pretpostavimo da translacija τ = τ 1 τ 2 τ1 1 τ 1 2 nije identitet. Tada kao kompozicija τ 1 τ 2 τ1 1 i τ2 1, τ ima smer kao i τ 2, a kao kompozicija τ 1 i τ 2 τ 1 1 τ 1 2 ima isti smer kao i τ 1, što je kontradikcija. Zato je τ = 1 i τ 2 τ 1 = τ 1 τ 2. Ako su τ 1 i τ 2 translacije istog smera, neka je τ 3 translacija nekog drugog smera. Tada τ 3 komutira sa τ 1 i τ 2. Pri tom τ 2 τ 3 ima drugačiji smer od τ 2, a samim tim i od τ 1. Zato i τ 2 τ 3 i τ 1 takoîe komutiraju, pa važi (τ 1 τ 2 )τ 3 = τ 1 (τ 2 τ 3 ) = (τ 2 τ 3 )τ 1 = τ 2 (τ 3 τ 1 ) = τ 2 (τ 1 τ 3 ) = (τ 2 τ 1 )τ 3 odakle sledi tvrîenje. 2.2 Koordinatizacija afine ravni U ovom poglavlju ćemo pokazati kako u proizvoljnoj afinoj ravni možemo uvesti koordinate, odnosno jednoznačnu korespondenciju izmeîu tačaka te ravni i skupa K 2 = K K, gde je K ravanski ternarni prsten. Pokazaćemo da važi i obrnuto, odnosno da skup K 2 sa izvesnom klasom podskupova koji zovemo prave zadovoljava aksiome afine ravni. Tada za afinu ravan kažemo da je izgraîena nad K. Ispitaćemo takoîe da li se jedna afina ravan moze izgraditi nad dva različita ternarna prstena. Neka je A afina ravan i l i m njene dve prave koje se seku i koje nazivamo osama. Njihovu tačku preseka označimo sa O. Zvaćemo je nadalje koordinatnim početkom. Neka je P proizvoljna tačka ravni i l 1 i m 1 prave incidentne sa P i redom paralelne pravama l i m. Tačke preseka l i m 1, odnosno m i l 1 označimo redom sa x i y. Tački P pridružujemo ureîen par (x,y). m m 1 y P(x,y) l 1 O x Sl. 2.2 l 19

21 Na ovaj način definišemo preslikavanje φ : A l m. Obrnuto, svakom ureîenom paru tačaka (x,y) l m možemo pridružiti jedinstvenu tačku ravni u kojoj se seku prave incidentne sa tačkama x i y, a redom paralelne osama m i l. Time dobijamo preslikavanje ψ : l m A. Preslikavanja φ i ψ su očigledno, jedno drugom inverzna, x i y nazivamo kordinatama tačke P. Kako svaka prava sadrži više od jedne tačke postoje tačke D 1 i D 2 različite od O na osama l i m. Prava d 1 njima odreîena nije paralelna osama. Zato se prava incidentna sa O paralelna d 1 razlikuje od osa l i m. Dakle, postoji prava kroz O različita od l i m. Neka je d jedna takva prava. m d O D 2 l D 1 Sl. 2.3 Neka je x proizvoljna tačka ose l, z tačka u kojoj prava incidentna sa x i paralelna m seče d, a y tačka ose m u kojoj prava incidentna sa z a paralelna l seče m. Na ovaj način smo definisali bijekciju izmeîu osa l i m. S obzirom na ovu bijekciju identifikujemo tačke prave l i tačke prave m i tako dobijeni skup označimo sa K. m m 1 d y z l 1 O x Sl. 2.4 l Sadamožemoda identifikujemo afinuravanasaskupom K 2. Pri tom, tačke prave d imaju koordinate (x,x),x K. Pokazaćemo da je skup K ternarni prsten, te da je afina ravan izgraîena nad ternarnim prstenom K. Iako još nismo definisali operacije u ovom skupu, formalno koordinatnom početku dodeljujemo koordinate (0,0). Neka je D d proizvoljna, od sada fiksirana tačka različita od koordinatnog početka. Njene koordinate od sada nazivamo (1, 1). Time su odreîene i tačke jedinica na osama l i m. 20

22 m m 1 d (0,1) D(1, 1) l 1 O(0, 0) (1,0) Sl. 2.5 l Ako je prava afine ravni paralelna osi l kažemo da je nagiba 0, odnosno horizontalna. Ako je prava paralelna osi m, kažemo da je nagiba, odnosno da je vertikalna. Neka je sada p proizvoljna prava, ni horizontalna, ni vertikalna, a p 0 njoj paralelna prava incidentna sa koordinatnim početkom. Prava p 0 seče vertikalnu pravu kroz(1, 0) u nekoj tački sa koordinatama(1, a). Kažemo, onda, dajeppravanagibaa. Očiglednojedaparalelnepraveimajuistenagibe, postoji jednoznačna korespondencija izmeîu klasa paralelnih pravih i skupa K { }, odnosno klasa paralelnih pravih koje nisu vertikalne i K. Ako p nije vertikalna prava, onda ona seče m u tački oblika (0,b). Očigledno je p na jedinstven način odreîena koordinatom b i svojim nagibom a. p 0 p m m 1 (0,0) (0,1) (1,a) (1,0) Sl. 2.6 D(1, 1) d l Neka je x K proizvoljno. Tada p seče vertikalnu pravu kroz x u tački (x, y) i uspostavlja preslikavanje x y. Ovo preslikavanje koje koordinati x tačke prave p dodeljuje njenu y koordinatu tada možemo formalno označiti i sa y = [ax+b] i reći da je prava l data ovom jednačinom. Za vertikalne prave ćemo tada reći da su date jednačinama oblika x = c gde je c K. Posmatrajmo ternarno preslikavanje (a,x,b) [ax+b] u skupu K. Teorema 2.11 Ternarni prsten K je ravanski ternarni prsten, odnosno, u njemu važi 1. [1x+0] = x = [x1+0] 2. [a0+b] = [0a+b] = b 3. za proizvoljne a,x,y K postoji jedinstveno b K takvo da je [ax+b] = y 4. ako su a,a 1,b,b 1 K takvi da je a a 1 tada jednačina [ax+b] = [a 1 x+b 1 ] ima jedinstveno rešenje x K 21

23 5. ako su x,x 1,y,y 1 K takvi da je x x 1 tada postoji jedinstveni par a,b K takav da je [ax+b] = y i [ax 1 +b] = y 1. Dokaz: 1. [1x + 0] = x važi jer je d prava nagiba 1 incidentna sa koordinatnim početkom, a pri tom njene tačke su oblika (x,x),x K. S obzirom da je nagib prave kroz (0,0) i (1,x) jednak x, važi i [x1+0] = x. 2. Kako prava y = [ax + b] sadrži tačku (0,b) važi i [a0 + b] = b, a kako horizontalna prava incidentna sa (0,b) sadrži tačke oblika (a,b),a K važi i [0a+b] = b. 3. Ako su a,x,y K, postoji jedinstvena prava incidentna sa (x,y) nagiba a, pa i jedinstveno b K takvo da je [ax+b] = y. 4. S obzirom da se dve neparalelne prave seku u tačno jednoj tački sledi i da za a a 1 jednačina [ax+b] = [a 1 x+b 1 ] ima tačno jedno rešenje po x. 5. Ako je x x 1, sledi da tačke čije su ovo koordinate ne pripadaju istoj vertikalnoj pravoj. Ali tada postoji tačno jedna prava konačnog nagiba njima odreîena, odnosno postoji tačno jedan par a,b K takav da je y = [ax+b] i y 1 = [ax 1 +b]. Dakle, u proizvoljnu afinu ravan uveli smo koordinate iz ternarnog prstena K. Kako je K ravanski ternarni prsten, operacije sabiranja i množenja su u njemu date sa a+b = [1a+b] i a b = [ab+0] i pri tom (K,+) i (K\{0}, ) su petlje. Učimo, meîutim da ovakav ternarni prsten nije jedinstveno odreîen. Prilikom njegove konstrukcije izabrali smo par neparalelnih pravih l i m, zatim sa njima konkurentnu pravu d, a pomoću nje i tačke pravih l i m sa koordinatama 1. Ovaj poslednji izbor je ekvivalentan izboru tačke z koja nije incidentna sa pravama l i m i kojoj dodeljujemo koordinate (1,1). Dakle, polje K je odreîeno izborom pravih l i m i tačke z. Pokažimo da važi i obrnuto tvrîenje, odnosno da nad svakim ternarnim prstenom možemo izgraditi afinu ravan. Teorema 2.12 Neka je K ternarni prsten. Ako elemente skupa K 2 zovemo tačkama, dok podskupove oblika {(x,y) y = [ax+b]} pravama, tada ovi pojmovi zadovoljavaju aksiome afine ravni. 22

24 Dokaz: 1. Neka su date tačke P(x 1,y 1 ) i Q(x 2,y 2 ), P Q. Ako P i Q ne pripadaju vertikalnoj pravoj, tj. pravoj nagiba, onda na osnovu uslova 5. postoji tačno jedna prava konačnog nagiba njima odreîena. Inače P i Q pripadaju vertikalnoj pravoj, dakle postoji prava njima odredjena. Ovim je dokazano da važi aksioma Razmataramo dva slučaja: 1.1 Neka su date tačka P l: P(x,y) i prava l: y = [ax+b]. Tada prava m koja sadrži tačku P ima oblik y = [a 1 x + b 1 ]. Da bi m l mora biti a = a 1, a kako P l i P m, mora biti [ax + b] = [a 1 x + b 1 ] odnosno [ax+b] = [ax+b 1 ] pa je i b = b 1. Tada prava m ima oblik y = [ax+b] a to je upravo prava l koja je jedinstvena. 1.2 Neka su date tačka P l: P(x,y) i prava l: y 1 = [ax 1 +b]. Tada prava m koja sadrži tačku P ima oblik y = [a 1 x + b 1 ] i m l ako je a 1 = a. Dakle m: y = [ax+b 1 ] je jedinstvena prava kroz P paralelna sa l. Ovim je dokazano da važi aksioma Da bismo dokazali da važi aksioma 3 pretpostavimo da su date tačka A(0,0),B(1,0),C(0,1) i treba pokazati da ove tri tačke nisu kolinearne. Na osnovu 5. sledi da postoji jedinstvena prava odreîena tačkama A i B, tj. da postoji tačno jedan par (a,b) K 2 takav da 0 = [a0 + b] i 0 = [a1+b]. Odavde dobijamo da je b = 0,a = 0. Da bi tačka C pripadala pravoj A+B mora biti 1 = [a0+b] odnosno 1 = [0+0] što je nemoguće, pa tačka C ne pripada pravoj A+B. Ovim je dokazano da važi aksioma Pitanje jedinstvenosti ternarnog prstena Ako su A i A 1 afine ravni izgraîene, redom, nad ternarnim prstenima K i K 1 odreîenim pravama l i m i tačkom z, odnosno, l 1 i m 1 i tačkom z 1 onda će postojati izomorfizam, odnosno kolineacija f : A A 1 koja slika redom l,m i z u l 1,m 1 i z 1 ako i samo ako postoji bijekcija F : K K 1 takva da je F(0) = 0,F(1) = 1, i F([ax + b]) = [F(a)F(x) + F(b)] za sve a,x,b K, odnosno ako postoji izomorfizam ternarnih prstena. Naglasimo da ukoliko ovaj izbor učinimo manje strogim, odnosno tačku z ne preslikamo u z 1 već u neku drugu, ternarni prsteni K i K 1 tako dobijeni više, u opštem slučaju ne moraju biti izomorfni. Ipak, pokazaćemo da važi sledeće tvrîenje. Teorema 2.13 Neka je K telo, a K 1 ternarni prsten. Neka su afine ravni K 2 i K 2 1 izomorfne. Tada su ternarni prsteni K i K 1 izomorfni. Dokazaćemo ovo tvrîenje u nekoliko koraka. Lema 2.1 Neka je K telo, a l i m ose afine ravni K 2, dok su z i z 1 dve tačke neincidentne sa osama. Tada postoji izomorfizam afine ravni K 2 koji preslikava ose l i m u sebe, a tačku z u tačku z 1. 23

25 Dokaz: Neka su koordinate tačaka z i z 1, redom (1,1) i (u,v). Pri tom, u,v 0 jer z 1 ne pripada osama. Neka je preslikavanje ravni dato sa f(x,y) = (ux,vy). Tada, očigledno, f(1,1) = (u,v). Neka je prava data jednačinom y = ax + b. Množenjem ove jednačine sa v sa leve strane dobijamo vy = v(ax)+vb = (vau 1 )ux+vb, prvo zbog zakona leve distributivnosti, a zatim i zbog asocijativnosti množenja. Kako se tačka (x,y) slika u (ux,vy) sledi da se prava y = ax+b slika u pravu datu jednačinom y = (vau 1 )x + vb. Takoîe, očigledno je i da se vertikalne prave x = c preslikavaju u prave x = cu. Dakle, preslikavanje f zadovoljava uslove leme. Lema 2.2 Neka je K telo i l i m ose ravni K 2, a l 1 i m 1 neki par pravih te ravni koji se seku. Tada postoji izomorfizam ravni K 2 kojim se l i m slikaju u l 1 i m 1. Dokaz: Dokazaćemo prvo da su sledeća preslikavanja izomorfizmi afine ravni. 1. Preslikavanjef 1 (x,y) = (y,x) je izomorfizamjer slika pravux = a u pravu y = 0x+a, i pravu y = 0x+b u pravu x = b. Ako je a 0, onda pravu y = ax + b, odnosno x = a 1 y a 1 b slika u pravu y = a 1 x a 1 b. Iskoristili smo levu distributivnost i asocijativnost množenja. 2. Za c,d K preslikavanje f 2 (x,y) = (x+c,y +d) je izomorfizam jer slika pravux = aupravux = a+cipravuy = ax+bupravuy = ax ac+b+d. Ovde smo iskoristili levu distributivnost. 3. Za c K preslikavanje f 3 (x,y) = (x,y cx) je izomorfizam jer slika svaku pravu x = a na sebe a pravu y = ax+b slika u pravu y = (a c)x +b. Ovde smo iskoristili desnu distributivnost. 4. Za c K preslikavanje f 4 (x,y) = (x cy,y) je izomorfizam jer se može predstaviti kao kompozicija izomorfizama f 4 = f 1 f 3 f 1 Preslikavanje f 2 nam omogućava da možemo da pretpostavimo da se l 1 i m 1 seku u koordinatnom početku, a preslikavanje f 1 da se prava l 1 ne poklapa sa osom m. Zato l 1 ima jednačinu oblika y = cx. Tada se preslikavanjem f 3 prava l 1 preslikava u osu l. Pri tome m 1 sadrži koordinatni početak i ukoliko se ne poklapa sa osom m ima jednačinu oblika x = cy, pa se preslikavanjem f 4 slika u m. Pri tome, prava l je invarijantna za preslikavanje f 4, pa je kompozicija ovih izomorfizama traženi izomorfizam. Dakle, na osnovu prethodne dve leme zaključujemo da u slučaju tela K postoji izomorfizam afine ravni K 2 koji preslikava jedan par osa l i m i tačku z u drugi par osa l 1 i m 1 i tačku z 1, odnosno za svaki par pravih koje se seku i tačku koja sa njima nije incidentna možemo reći da su ose i tačka jedinice. Nekajesadaf : K1 2 K 2 izomorfizamafinihravniizgraîenihnadternarnim prstenom i telom. Ako se ose ravni K1 2, p i q i tačka jedinice w redom, slikaju u pravel imitačkuz, naosnovuprethodnog,možemol improglasitiosamaravni 24

26 K 2, a z tačkom jedinice, a tada, kao što smo već zaključili, izomorfizam koji ose, koordinatni početak i jedinice jedne ravni slika u ose, koordinatni početak i jedinicu druge ravni indukuje izomorfizam ternarnih prstena. Kako je jedan od njih telo, tada je to i drugi. 2.4 Četvrta aksioma Navešćemo još jednu aksiomu koju afine ravni mogu, ali ne moraju zadovoljavati. Videćemo da ukoliko ova aksioma važi u afinoj ravni da je onda ona izgraîena nad telom. Četvrtu aksimu smo podelili u dva iskaza: 4a i 4b Konstrukcija tela Aksioma 4a Za svaki par tačaka P,Q postoji translacija τ P,Q koja tačku P slika u tačku Q: τ P,Q (P) = Q. Primer 2.8 Primer jedne afine ravni u kojoj ne važi Aksioma 4a je Multonova ravan, a o kojoj opširnije možete pročitati u sekciji 3.1. Primedba Kako je translacija odreîena slikom jedne tačke, to znači da je τ P,Q jednoznačno odreîeno; posebno, τ P,P = 1. Kako sada imamo translacije sa različitim pravcima, sledi da je grupa translacija T, ukoliko važi Aksioma 4a, komutativna. Definicija 2.8 Preslikavanje α : T T naziva se homomorfizam koji čuva trag ako: 1. je ono homomorfizam grupe T, tj. (τ 1 τ 2 ) α = τ α 1 τ α 2. (Simbol τ α koristimo za označavanje slike preslikavanja τ prilikom dejstva preslikavanja α.) 2. ono čuva tragove, ili bolje rečeno: tragovi translacije τ su u isto vreme tragoviτ α. To znači da ili τ α = 1, ili translacije τ i τ α imaju iste smerove. Navedimo važne primere homomorfizama koji čuvaju tragove. 1) Preslikavanje koje svaku translaciju τ iz T slika u identitet: τ α = 1, τ T. Označićemo ovo preslikavanje sa 0 i pisati τ 0 = 1. 2) Identitet, koji cemo označiti simbolom 1; sledi τ 1 = τ, τ T. 3) Preslikavanjekojesvaki element τ slika u njemu inverzniτ 1. Označićemo ovo preslikavanje sa 1. Tada važi (τ 1 τ 2 ) 1 = τ2 1 τ 1 1 = τ1 1 τ 1 2 pošto je grupa T komutativna. Translacije τ 1 i τ imaju iste smerove. 4) Neka je σ fiksna dilatacija. Tada σ indukuje preslikavanje svake translacije τ na στσ 1. Već znamo da τ i στσ 1 imaju iste tragove. Šta više, σ(τ 1 τ 2 )σ 1 = στ 1 σ 1 στ 2 σ 1. Skup svih homomorfizama koji čuvaju tragove označavamo sa K. Primer 2.9 Odredimo homomorfizme u ravni R 2. Translacije τ v i τv α imaju iste pravce, pa je tada τv α = τ f(v) v (ako je τv α = 1 ako i samo ako f(v) = 0). 25

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Ago O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva - Master rad- Mentor: dr Bojan Bašić

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Rang i idempotentni rang u nekim polugrupama transformacija

Rang i idempotentni rang u nekim polugrupama transformacija UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivana Ðurđev Rang i idempotentni rang u nekim polugrupama transformacija -master teza- Mentor: dr Igor Dolinka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα