Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio"

Transcript

1 3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables, o cadrado e o cubo dun binomio. Aplicar a Regra de Ruffini e o Teorema do Resto. Calcular a descomposición factorial de algúns polinomios. Antes de empezar 1.Polinomios.... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2.Operacións con polinomios... páx. 6 Suma, diferenza, produto División 3.Identidades notables...páx. 8 (a+b) 2 (a-b) 2 (a+b) (a-b) Potencia dun binomio 4.División por x-a páx. 10 Regra de Ruffini Teorema do Resto 5.Descomposición factorial.... páx. 12 Factor común x n Raíces dun polinomio Exercicios para practicar Para saber máis Resumen Auto-avaliación Actividades para enviarlle ao titor MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 1

2 2 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

3 Antes de empezar Utilidade dos polinomios Os polinomios non só están na base da informática; en economía, os cálculos de intereses e duración das hipotecas realízanse con expresións polinómicas. Así, o capital C, a unha porcentaxe x en 3 anos, convértese en C (1+x) 3, que é o cubo dun binomio. A medicina e outras ramas da ciencia avanzan axudadas desta ferramenta alxébrica. Investiga na web as utilidades dos polinomios. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 3

4 1. Polinomios Grao e coeficientes O polinomio x 3 +4x+2 está formado pola suma de tres monomios: x 3, 4 x e 2; o seu grao, ou máximo expoñente de x é 3 e os coeficientes deste polinomio son 1, 0, 4, 2. 1 é o coeficiente de grao 3 0 é o coeficiente de grao 2 4 é o coeficiente de grao 1 2 é o coeficiente de grao 0 Pídelle a un compañeiro que memorice unha destas figuras pero que non diga cal. Ti, por telepatía, vala adiviñar. Pregúntalle se a figura escollida está en cada unha das seguintes tarxetas Preténdese que se identifique x 3 +4x+2 coa súa expresión en coeficientes SI =1 Valor numérico Ao substituír a variable x dun polinomio por un número obtense o valor numérico do polinomio. Así o valor numérico en 3 do polinomio P(x)=2x 3 -x+4 es P(3)= =55 NON =0 Podes utilizar a calculadora para achar o valor numérico dun polinomio. Lembra que para realizar a potencia 7 4 utilízase a tecla x y, 7 x y 4= 2041 NON =0 O valor numérico en 10 do polinomio de coeficientes 2, 4, 6 é 246. Esta coincidencia do valor en 10 cos coeficientes débese a que o noso sistema é de base 10 e 246 é igual a Se o número 347 está expresado en base 8, a súa expresión no noso sistema usual, o decimal, é = 231, que é o valor en 8 do polinomio de coeficientes 3, 4, 7. No sistema binario as cifras empregadas son 0 e 1, aquí o valor decimal de en binario é =70 A cantidade de cor adóitase expresar en sistema hexadecimal ou de base 16; este sistema ten 16 cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a=10, b=11, c=12, d=13, e=14, f=15 e neste sistema a cantidade 38 de cor azul equivale a =56 en decimal. SI =1 NON =0 Con cada resposta afirmativa escribe 1, coa negativa un 0, para o resultado 10010, a figura é a =18, o círculo verde. Só hai que calcular o valor en 2 do polinomio cuns coeficientes que se obteñen con 1 ou 0, con Si ou Non. 4 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

5 EXERCICIOS resoltos 1. Acha a expresión en coeficientes dos polinomios P(x)=5x 2 +2x+1; Q(x)=x 3-3x; R(x)=0,5x 2 4 As respectivas expresións en coeficientes son P(x) 5 2 1; Q(x) ; R(x) 0, Escribe as expresións polinómicas dos polinomios que teñen por expresión en coeficientes: P(x) ; Q(x) ; R(x) 3/ P(x)=2x 3 +x 2 +3x-1; Q(x)=x 3 +3x 2 ; R(x)=3/4 x 3 -x Completa a táboa: EXPRESIÓN POLINÓMICA EXPRESIÓN EN COEFICIENTES GRAO -2x 3 +x 5-3x 2 x 2 / x 2-2 π ,3 0-1/7 Estes polinomios son polinomios nunha variable, x, con coeficientes no corpo dos números reais. O conxunto destes polinomios desígnase por lr[x]. POLINÓMICA COEFICIENTES GRAO -2x 3 +x 5-3x x 2 /3-1 1/ π x 2-2x 3-2 π x 3 +1,3x 2-1/7-2 1,3 0-1/ x Acha o valor numérico en 1, 0 e -2 dos polinomios do exercicio anterior POLINOMIO Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2 x 5-2x 3-3x x 2 /3-1 -2/3-1 1/3-2x 3 +π x 2-2+π π -2x 3 +1,3x 2-1/7-59/70-1/7 737/35-2 x MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 5

6 2. Operacións Para operar con polinomios pode resultar cómodo pasalos ás súas expresións en coeficientes, operar con estas e dar o resultado en forma polinómica. Suma P(x)=8x 4 +x 2-5x-4 Q(x)=3x 3 +x 2-3x-2 Súmanse os coeficientes de igual grao: P(x) Q(x) P(x)+Q(x) P(x)+Q(x)=8x 4 +3x 3 +2x 2-8x-6 Diferenza P(x)=3x 3 +x 2 +5x+4 Q(x)=3x 3 +3x+2 Réstanse os coeficientes de igual grao: P(x) Q(x) P(x)-Q(x) P(x)-Q(x)=x 2 +2x+2 Multiplicación P(x)=3x 3 +5x-4 Q(x)=x 2 -x+2 Observa o grao do resultado: gr(p ± Q) max(gr(p), gr(q)) Multiplícase coeficiente a coeficiente: P(x) Q(x) P(x) Q(x) P(x) Q(x)=3x 5-3x 4 +11x 3-9x 2 +14x-8 División P(x)=3x 3 -x 2 +5x-4 Q(x)=x 2-3x Cociente=3x+8 Resto=23x-20 Dividir dous polinomios D(x), dividendo, entre d(x), divisor, é atopar un cociente c(x) e un resto r(x) que cumpran Dividendo=divisor cociente +resto grao de r(x)<grao de d(x) Un exemplo operando coa variable, comezamos dividindo as potencias de maior grao continuamos gr(p Q)=gr(P)+gr(Q) gr(c)=gr(d)-gr(d) P(x)=12x 3 +6x-5 Q(x)=4x Cociente=3x Resto=-3x-5 6 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

7 EXERCICIOS resoltos 5. Acha P(x)+Q(x) e 2 P(x)-Q(x) P(x)=x 4 +x 3 +3x Q(x)=2x 3 +x 2-4x+5 P(x) P(x) Q(x) Q(x) P(x)+Q(x) P(x)-Q(x) P(x)+Q(x)=x 4 +3x 3 +x 2 -x+5 2 P(x)-Q(x)=2x 4 -x 2 +10x-5 6. Cal é o grao do cociente ao dividir un polinomio de grao 5 entre outro de grao 2? o grao do cociente é o grao do dividendo, 5, menos o do divisor, 2, daquela Multiplica P(x)=x 3 +6x 2 +4x-6 por Q(x)= x 3 +3x 2 +5x-2 P(x) (Q(x)=x 6 +9x 5 +27x 4 +34x 3-10x 2-38x Fai en cada caso a división de P(x) entre Q(x) 7 65 X 8 64 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 7

8 3. Identidades notables Suma ao cadrado (a+b) 2 =a 2 +2 a b+b 2 Demostración a b x a b ab b 2 a 2 ab a 2 +2ab+ b 2 A suma ao cadrado é igual a cadrado do 1 0 +dobre do 1 0 polo 2 0 +cadrado do 2 0 Diferenza ao cadrado (a-b) 2 =a 2-2 a b+b 2 Demostración a -b x a -b -ab b 2 a 2 -ab a 2-2ab+ b 2 A diferenza ao cadrado é igual a cadrado do 1 0 +dobre do 1 0 polo 2 0 +cadrado do 2 0 Suma por diferenza (a+b) (a-b)= a 2 - b 2 A suma por diferenza é igual á diferenza de cadrados. Demostración a b x a -b -ab -b 2 a 2 ab a 2 -b 2 o cubo dun binomio (a+b) 3 =a 3 +3 a 2 b +3 a b 2 + b 3 Esta igualdade dedúcese facilmente ao observar na figura as 8 pezas en que descompón o cubo de lado (a+b) r Cada termo deste triángulo obtense sumando os dous superiores. As filas deste triángulo son os coeficientes das potencias de (x+1) Así a terceira fila son os coeficientes de (x+1) 3 8 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

9 EXERCICIOS resoltos 9. Observa como se aplican as identidades notables Para desenvolver (x+3) 2 Cadrado do 1 0 x 2 Dobre do 1 0 por o x 3=6x Cadrado do =9 polo tanto (x+3) 2 =x 2 +6x+9 Para descompoñer o polinomio x 2-10x+25, téntase ver un dos membros dunha identidade notable, ao seren os signos dos coeficientes alternativos, + - +, compárase coa diferenza ao cadrado. 25=5 2 e 10x=dobre de x por 5 x 2-10x+25=(x-5) 2 Para descompoñer o polinomio 4x 2-25 téntase ver se é unha identidade notable, ao ser 0 o coeficiente de grao un, compárase coa diferenza de cadrados 4x 2 =(2x) 2 ; 25=5 2 4x 2-25=(2x+5) (2x-5) 10. Desenvolve as seguintes expresións Expresión Solución Expresión Solución (x+4) 2 x 2 +8x+16 (x-2) 2 x 2-4x+4 (4x+3) 2 16x 2 +24x+9 (3-2x) 2 4 x 2-12x+9 (2x/3+5) 2 4x 2 /9+20x/3+25 (x/2-3) 2 x 2 /4-3x+9 ( 2 x+1) 2 2x x+1 (x- 3 ) 2 x x Acha a expresión en coeficientes dos seguintes produtos Produtos Solución Produtos Solución (x+4) (x-4) x 2-16; (x-1/2) (x+1/2) 1 0-1/4 (2x+5) (2x-5) (3+ 2 x) ( x) 11. Resolve aplicando as identidades notables a ecuación x 2 +10x+16=0 Compárase a primeira parte, x 2 +10x, cunha identidade notable, con (x+5) 2 Pois (x+5) 2 = x 2 +10x+25, polo tanto, x 2 +10x=(x+5) 2-25 e o primeiro membro da ecuación é x 2 +10x+16=(x+5) , (x+5) 2-9=0 (x+5) =0 (x+5+3) (x+5-3)=0 Solucións x=-8 e x= Calcula o cubo dun binomio Binomio ao cubo Solución Binomio ao cubo Solución (x+2) 3 x 3 +6x 2 +12x+8 (x-1) 3 x 3-3x 2 +3x-1 (2x-3) 3 8x 3-36x 2 +18x-27 (3+x/3) 3 x 3 /27+x 2 +9x Acha a fila 5 do triángulo de Pascal, e calcula (x+1) 5 a fila 5 do triángulo é , que son os coeficientes de (x+1) 5, polo tanto, (x+1) 5 =x 5 +5x 4 +10x 3 +10x 2 +5x+1 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 9

10 4. División por x-a Regra de Ruffini A regra de Ruffini é útil para dividir polinomios entre x-a. No exemplo da dereita divídese 3x 3-5x 2 +1 entre x-2, obtendo de cociente 3x 2 +x+2 e de resto 5. A regra explicada para a=2, vale tamén cando a é un número racional ou real, no seguinte exemplo tómase a=-3/2 e representa a división de 4x 2 +5x+2 entre x+3/ /2-6 3/ /2 resto cociente 4x-1 Observa a división e como se realiza a Regra de Ruffini paso a paso Regra de Ruffini Teorema do resto Exemplo Dividendo=x 4-2; divisor=x-4 Fai a división no teu caderno Resulta, cociente=x 3 +4x 2 +16x+64 e resto=254 Escribe a igualdade Dividendo = divisor cociente+resto x 4-2=(x-4) ( x 3 +4x 2 +16x+64)+254 Substitúe a x por =(4-4) ( ) =0 ( ) =0 ( ) =0+254 Conclusión, ao substituír a x por 4 no dividendo dános o resto da división entre x-4 Teorema do resto. Para calcular o resto da división dun polinomio P(x) entre x-a abonda con substituír en P(x) o x por a. Lembra P(x) é divisible entre x-a <=> P(a)=0 A miúdo, para calcular o resto dunha división entre x-a, resulta máis cómodo aplicar a regra de Ruffini que substituír o x. O teorema do resto sérvenos para resolver problemas como o seguinte: achar m para que o polinomio P(x)=x 3 +mx-4 sexa divisible por x-2, que se resolve substituíndo o x por 2, igualando a 0 e despexando m, así m=-2. Vólvese multiplicar e sumar, obtendo Coa calculadora Para calcular o valor numérico dun polinomio coa calculadora, valor de P(x)= 3x 3-5x 2 +1 en x=2 Podemos aplicar a regra de Ruffini, para iso teclea a seguinte secuencia: 2M in x = 1 x MR + 0= 2 x MR + 1 =5 Obtemos: 5 que é o resto de dividir P(x) para x-2 e o valor numérico en x=2. De paso foron saíndo os coeficientes do cociente cada vez que se premía =. 10 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

11 EXERCICIOS resoltos 14. Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=x 3 +5x 2-2x+1, Q(x)=2x 4-5 e R(x)=x 3-4x+3x 2 entre x ) ) ) Cociente x 2 +8x+22 Cociente 2x 3 +6x 2 +18x+54 Cociente x 2 +6x+14 Resto 67 Resto 157 Resto Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=x 3 +3x 2-2x+1, Q(x)=x 4-2 e R(x)=x 3-4x 2 -x entre x ) ) ) Cociente x 2 +2x-4 Cociente x 3 -x 2 +x-1 Cociente x 2-5x+4 Resto 5 Resto -1 Resto Aplica a regra de Ruffini para dividir P(x)=3x 3 +5x 2-2x+1 e Q(x)=6x 4-2 e entre x+2/ /3) /3-2/3) -4 8/3-16/9 32/ / /3-16/9-22/27 Cociente 3x 2 +3x-4 Cociente 6x 3-4x x Resto 11/3 Resto 22/ Se o valor numérico dun polinomio en 2 é igual a 3 e o cociente da súa división de entre x-2 é x, sabes de que polinomio se fala? Dividendo = divisor cociente +resto, o divisor é x-2, o cociente x e o resto 3, polo tanto o polinomio é x 2-2x Acha m para que mx 2 +2x-3 sexa divisible entre x+1 O polinomio será divisible entre x+1 se o seu valor en -1 é 0, daquela ha de ser m-2-3=0, é dicir, m=5 19. Existe algún valor de m para que o polinomio x 3 +mx 2-2mx+5 sexa divisible por x-2? Polo teorema do resto abonda con resolver a ecuación 2 3 +m 2 2-2m 2+5=0, o que dá unha igualdade imposible 13 =0; xa que logo, non hai ningún valor de m para o cal o polinomio sexa divisible por x-2 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 11

12 5. Descomposición factorial Sacar factor común unha potencia de x Chámanse divisores impropios dun polinomio P(x), con coeficientes en IR, os números reais e os polinomios obtidos ao multiplicar P(x) por un número real. Chámase multiplicidade dunha raíz ao número de veces que aparece na descomposición. Os primos de IR[x] son os polinomios de grao un e os polinomios de grao dous, ax 2 +bx+c, con b 2-4ac<0 Un polinomio é primo se non ten divisores propios e o seu grao é maior ca cero (os polinomios de grao cero chámanse unidades ou invertibles porque teñen inverso). O primeiro paso para descompoñer un polinomio en factores primos é sacar factor común unha potencia de x, cando sexa posible; isto explícase na animación da dereita. Exemplos de descomposición factorial x 5-5x 4 +6x 3 =x 3 (x 2-5x+6)=x 3 (x-2) (x-3) Sacouse factor común x 3 de todos os sumandos, ou monomios, para o segundo paso resolveuse a ecuación de segundo grao x 2-5x+6=0, pois segundo o teorema do resto, x 2-5x+6 é divisible por (x-a) se a 2-5a+6 vale cero, daquela a é solución da ecuación x 2-5x+6=0 x 4 está en todos os sumandos Sacouse factor común unha potencia de x x 2-6x+9=(x-3) 2 Aplicouse unha identidade notable para descompoñelo. x 3-1=(x-1) (x 2 +x+1) A ecuación x 2 +x+1=0 non ten solución real, daquela o polinomio é primo. 2x 2 +3x+1=2 (x+1) (x+1/2) As solucións da ecuación 2x 2 +3x+1=0 son -1 e -1/2. Hai que ter coidado, en factorizacións deste tipo, de non esquecer o factor de x 2. Raíces dun polinomio Se x-a é un divisor do polinomio P(x), dise que a é raíz de P(x), polo teorema do resto sabemos que isto equivale a dicir que P(a)=0. P(x)=p n x n +p n-1 x n p 1 x+p 0 e a raíz de P(x), p n a n +p n-1 a n p 1 a+p 0 =0, e despexando p 0 p 0 =-p n a n -p n-1 a n p 1 a Polo tanto, se os coeficientes de P(x) son números enteiros e a tamén, p 0 é múltiplo de a. As raíces non nulas dun polinomio con coeficientes enteiros son divisores do coeficiente de menor grao do polinomio. A descomposición dun polinomio de terceiro grao con raíces 4, 1 e -2 será a (x-4) (x-1) (x+2). Descomposición factorial de x 4-15x 2 +10x+24 As posibles raíces racionais deste polinomio son os divisores de 24 Coa regra de Ruffini imos vendo que divisores son raíces ) ) ) x 4-15x 2 +10x+24= (x+1) (x-2) (x-3) (x+4) 12 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

13 EXERCICIOS resoltos 21. Saca factor común unha potencia de x en cada un dos seguintes polinomios: P(x)=2x 3 +3x Q(x)= x 4 +2x 6-3x 5 R(x)=2x 6 +6x 5 +8x 3 Solución: P(x)=x (2x 2 +3) Q(x)=x 4 (2x 2-3x+1) R(x)=2x 3 (x 3 +3x 2 +4), neste último caso púidose sacar factor común tamén un número Acha a descomposición factorial de x 7 -x 6-4x 4 x 7 -x 6-4x 4 =x 4 (x 3 -x 2-4). Sacouse factor común x 4. As posibles raíces enteiras de x 3 -x 2-4 son os divisores de -4: 1,-1, 2,-2, 4,-4 Vexamos pola regra de Ruffini se 1 é raíz de P ) , 1 non é raíz de P Vexamos pola regra de Ruffini se -1 é raíz de P ) non é raíz de P Vexamos pola regra de Ruffini se 2 é raíz de P ) é raíz de P = x 2 +x+2 a ecuación x 2 +x+2=0 non ten solucións reais, polo tanto, é primo x 7 -x 6-4x 4 =x 4 (x-2) (x 2 +x+2) 23. Acha a descomposición factorial de x 4 +x 3 -x 2-2x-2 As posibles raíces enteiras de x 4 +x 3 -x 2-2x-2 son os divisores de -2: 1,-1, 2,-2 Vexamos pola Regra de Ruffini se 1 é raíz de P ) distinto de 0, 1 non é raíz de P Vexamos pola Regra de Ruffini se 2 é raíz de P ) distinto de 0, 2 non é raíz de P Vexamos pola Regra de Ruffini se -1 é raíz de P ) distinto de 0, -1 non é raíz de P Vexamos pola Regra de Ruffini se 1 é raíz de P ) distinto de 0, -2 non é raíz de P x 4 +x 3 -x 2-2x-2 Non ten raíces enteiras Non podemos achar a descomposición factorial deste polinomio. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 13

14 EXERCICIOS resoltos 25. Se os coeficientes de P(x)=p n x n +p n-1 x n p 1 x+p 0 son números enteiros, as posibles raíces racionais de P(x) son da forma Acha a descomposición factorial de 12x 3 +4x 2-17x+6 As posibles raíces en Q de 12x 3 +4x 2-17x+6 son os cocientes dos divisores de 6 entre os divisores de 12,. É fácil ver coa regra de Ruffini que nin 1, nin -1 son raíces de P. Vexamos pola Regra de Ruffini se 1/2 é raíz de P /2) /2 é raíz de P. 12x 3 +4x 2-17x+6=12 (x-1/2) (x+3/2) (x-2/3) Ao resolver a ecuación 12x 2 +10x-12=0, obtense que -3/2 e 2/3 son raíces de P. 26. Acha a descomposición factorial de x 4-4 Busquemos as raíces racionais de x 4-4. As posibles raíces en Q son os cocientes dos divisores de -4 (coeficiente de menor grao) entre os divisores de 1 (coeficiente de maior grao),. É fácil ver coa regra de Ruffini que ningún dos posibles valores son raíces de x 4-4. O polinomio non ten raíces racionais. Se se recoñece x 4-4 como unha diferenza de cadrados, (x 2 ) resultará fácil a descomposición factorial: x 4-4=(x 2 +2) (x 2-2) O primeiro factor é primo, pero o segundo volve ser unha diferenza de cadrados x 2-2=(x + 2) (x 2) x 4-4=(x 2 +2) (x + 2) (x 2) 14 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

15 EXERCICIOS resoltos 27. Acha a descomposición factorial de x 3-7x 2 +4x+12 As posibles raíces racionais deste polinomio son os divisores de 12 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 6 ± 12 Coa regra de Ruffini miramos que divisores son raíces do polinomio ) ) x 3-7x 2 +4x+12=(x+1) (x-2) (x-6) 28. Acha a descomposición factorial de (2x 3 +x+3/2) 2 -(x 3 +5x-3/2) 2 Aplícanse as identidades notables: diferenza de cadrados = suma por diferenza: (2x 3 +x+3/2) 2 -(x 3 +5x-3/2) 2 =(3x 3 +6x) (x 3-4x+3) O primeiro factor (3x 3 +6x) descomponse sacando factor común 3x, (3x 3 +6x)=3x (x 2 +2); x 2 +2 é primo pois a ecuación de segundo grao x 2 +2=0 non ten raíces reais. Para (x 3-4x+3) búscanse as súas raíces racionais Vemos que 1 é raíz ) (x 3-4x+3)=(x-1) (x 2 +x-3) Para descompoñer x 2 +x-3 resólvese a ecuación de segundo grao x 2 +x-3=0 que ten por solucións (2x + x + ) (x + 5x ) = 3x (x + 2) (x 1) (x ) (x + ) 2 2 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 15

16 Para practicar 1. O número 5352 está en base 7. Cal é o seu valor no sistema decimal? Débese calcular o valor numérico en 7 do polinomio de coeficientes A cantidade de cor adóitase expresar no sistema hexadecimal ou de base 16, este sistema ten 16 cifras:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a=10, b=11, c=12, d=13, e=14, f=15 e neste sistema a cantidade 38 de cor azul equivale a =56 en decimal 10. Resolve as seguintes ecuacións aplicando as identidades notables: a) x 2 +4x-21=0 b) x 2-10x+9=0 11. Acha a fila 4ª do triángulo de Pascal Cal é o coeficiente de grao 2 de (x+1) 4? 12. Simplifica as seguintes fraccións alxébricas Expresa en decimal as cantidades hexadecimais 62 e 5d de cor azul. a) b) c) 2 x + 8x x x 12 2 x 4x x + 4x x 3 3. Acha P(x)-5 Q(x) sendo P(x)=4x 2 +4x e Q(x)=6x 2 +2x. 4. Multiplica os polinomios P(x)=4x 2-7x+3 e Q(x)=-x Acha o cociente e o resto da división de 4x 3 +7x 2 -x-5 entre 2x 2-5x Fai a división de 3x 3 +x-4 entre x+2 coa regra de Ruffini. 7. Aplica o teorema do resto para calcular o resto da división de 3x 3-5x 2 +7 entre x a) Acha m para que x 3 +mx 2-3mx+3 sexa divisible por x+5 b) Acha m para que x 3 +mx 2-5mx+6 sexa divisible por x Efectúa las potencias a) (2x+3) 2 b) (2x-1) 3 c) (x-3) 2 d) (x+2) Acha a descomposición en factores primos dos seguintes polinomios a) 4x 7 +12x 6-4x 5-12x 4 b) 3x 8 +9x 7-12x 5 c) 12x 3-16x 2-7x+6 d) 8x 3-20x 2 +22x-7 e) 2x 3-9x 2 +5x Aplica as identidades notables para descompoñer os seguintes polinomios a) x b) x 4 -x 2-24x-12 2 c) x 4-98x Un polinomio de grao 3 ten por raíces 1, 4 e 1. Acha a súa descomposición factorial sabendo que o seu valor en 2 é MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

17 Para saber más Polinomios Os polinomios noutras ciencias Se investigaches na web, é probable que atopases moitos polinomios con nome propio: Polinomios de Lagrange, Hermite, Newton, Chevichev... copiamos aquí un extracto dun blog que fala dos polinomios de Zernike e a súa aplicación na óptica para corrixir defectos visuais....as matemáticas, cos polinomios de Zernike, ofrécennos un método para descompoñer superficies complexas nas súas compoñentes máis simples. Así, con este procedemento matemático podemos xerarquizar e definir todas as aberracións visuais. Un esquema que está presente con moita frecuencia nas consultas de cirurxía refractiva é o das diferentes aberracións agrupadas e xerarquizadas: O da xerarquía é fundamental, porque segundo cal sexa o grupo da aberración, terá máis ou menos importancia, será máis ou menos doada de corrixir, etc. Por exemplo, o número 4 corresponde á miopía (e o seu inverso, a hipermetropía), e o 3 e 5 corresponden ao astigmatismo... Extracto da página Algoritmo de Euclides A descomposición factorial de números ou de polinomios serve para simplificar fraccións. Numéricas Polinómicas = = x x x (x 1) x = = 2 x + x (x 2) (x 1) x 2 Pero non resulta doado con este método simplificar calquera fracción, xa que a descomposición factorial pode resultar difícil de calcular. O algoritmo de Euclides é un método seguro para calcular o m.c.d. e poder así simplificar calquera fracción; baséase en que o m.c.d. do dividendo e do divisor é o m.c.d. do divisor e do resto. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 17

18 Lembra o máis importante Operacións con polinomios Regra de Ruffini e Teorema do resto O resto da división por x-a é o valor numérico do dividendo en a Raíces dun polinomio Regra de Ruffini P(2)=0 P(-2)=0 Para calcular a descomposición factorial dun polinomio terase en conta as seguintes ferramientas: Regra de Ruffini Ecuación de 2º grao Identidades notables 18 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

19 Auto-avaliación 1. Acha os coeficientes de P(x) Q(x)+P(x) R(x) sendo P(x)=2x+1, Q(x)=5x 2-5 e R(x)=x 2 +11x. 2. Calcula o cociente e o resto da división de 6x 3-5x 2 +4 entre x Cales son os coeficientes de (x+4) 3? 4. É certa a igualdade 4x 2 +10x+25=(2x+5) 2? 5. Calcula m para que o resto de a división de 8x 2 +mx+3 entre x+2 sexa Se P(x)=ax 2 +bx+5 e a 6 2 +b 6=4, cal é o resto da división de P(x) entre x-6? 7. Acha unha raíz enteira do polinomio x 3 +5x 2 +6x+8 8. Acha unha raíz racional de 4x 3 +5x 2 +25x+6 9. O polinomio 5x 3 +7x 2-28x-12 ten por raíces 2 e 3 Cal é a outra raíz? 10. As raíces dun polinomio de grao 3 son 5, 0 e 6. Calcula o valor numérico do polinomio en 7 sabendo que o seu coeficiente de maior grao é 3. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO 19

20 Solucións dos exercicios para practicar , x 2-6x 4. 4x 5 +7x 4-17x 2-35x Cociente=2x-17/2, resto= 79 x Cociente resto = a) m=61/20, b) Non pode divisible entre x-5 9. a) 4x 2 +12x+9 b) 8x 3-12x 2 +6x-1 c) x 2-6x+9 d) x 3 +6x 2 +12x a) (x+2) =(x+2+5) (x+2-5); -7 e 3 b) (x-5) =(x-5+4) (x-5-4);1 e a) x b) 3x + 6 x 2 c) 2x + 1 6x a) 4x 4 (x+3) (x+1) (x-1) b) 3x 5 (x+2) 2 (x-1) c) 12 (x+2/3) (x-3/2) (x-1/2) d) (x-1/2) (8x 2-16x+14) e) (x + ) 2 (x ) (x ) a) (x 2 +36) (x+6) (x-6) b) (x 2 +x+12) (x-4) (x+3) c) (x+7) 2 (x-7) (x+1) (x-1) (x-4) Solucións AUTO-AVALIACIÓN Cociente 6x-5, resto 18x No, (2x+5) 2 =4x 2 +20x m= /4 9. 2/ MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Académicas 4º ESO

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Expresións alxébricas... páx. 64 De expresións a ecuacións Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Expresións alxébricas... páx. 64 De expresións a ecuacións Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás: A traballar con expresións literais para a obtención de valores concretos en fórmulas e ecuacións en diferentes contextos. A regra de Ruffini. O teorema

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

A circunferencia e o círculo

A circunferencia e o círculo 10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.

Διαβάστε περισσότερα

Áreas de corpos xeométricos

Áreas de corpos xeométricos 9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar. 7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo. Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro 9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 138 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 138 Definición Elementos dun poliedro 8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson 1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes

Διαβάστε περισσότερα

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 5 FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora:

Διαβάστε περισσότερα

Obxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles.

Obxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles. 8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir as clases de corpos xeométricos. Construíloss a partir do seu desenvolvemento plano. Calcular as súas áreas e volumes. Localizar

Διαβάστε περισσότερα

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome: DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor

Διαβάστε περισσότερα

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación: VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó

Διαβάστε περισσότερα

1. Formato da proba [CS.PE.B02]

1. Formato da proba [CS.PE.B02] Páxina 1 de 9 [CS.PE.02] 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións, distribuídas deste xeito: Problema 1: tres cuestións tipo test. Problema 2: tres cuestións tipo test. Problema 3:

Διαβάστε περισσότερα

Catálogodegrandespotencias

Catálogodegrandespotencias www.dimotor.com Catálogogranspotencias Índice Motores grans potencias 3 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión y Alta tensión.... 3 Serie Y2 Baja tensión 4 Motores asíncronos trifásicos Baja Tensión

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 FÍSICA

PAU XUÑO 2011 FÍSICA PAU XUÑO 2011 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A ou B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan igual, é dicir,

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2012 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2012 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

O MÉTODO CIENTÍFICO. ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES. cifras significativas

O MÉTODO CIENTÍFICO. ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES. cifras significativas PROGRAMACIÓN DE AULA MAPA DE CONTIDOS 1. OBTENCIÓN DA INFORMACIÓN O MÉTODO CIENTÍFICO ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES 3. EXPLICACIÓN DAS LEIS PROGRAMACIÓN DE AULA E mediante utilizando na análise

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA PAU SETEMBRO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;

Διαβάστε περισσότερα

b) Segundo os datos do problema, en tres anos queda a metade de átomos, logo ese é o tempo de semidesintegración.

b) Segundo os datos do problema, en tres anos queda a metade de átomos, logo ese é o tempo de semidesintegración. FÍSICA MODERNA FÍSICA NUCLEAR. PROBLEMAS 1. Un detector de radioactividade mide unha velocidade de desintegración de 15 núcleos min -1. Sabemos que o tempo de semidesintegración é de 0 min. Calcula: a)

Διαβάστε περισσότερα

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo

Διαβάστε περισσότερα

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Solucionario Trigonometría ACTIVIDADES INICIALES.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, y cm. Por esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2013 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema) Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:

Διαβάστε περισσότερα

RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS

RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS RADIACTIVIDADE. PROBLEMAS 1. Un detector de radiactividade mide unha velocidade de desintegración de 15 núcleos/minuto. Sabemos que o tempo de semidesintegración é de 0 min. Calcula: a) A constante de

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS SATÉLITES 1. O período de rotación da Terra arredor del Sol é un año e o radio da órbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpiter ten un período de aproximadamente 12

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. ) xiran arredor da Terra con órbitas estables de diferente raio sendo r A. > m B

FÍSICA. ) xiran arredor da Terra con órbitas estables de diferente raio sendo r A. > m B ÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada apartado). Cuestións 4 puntos ( cada

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) 1 0 0 1-1 -1 Sexan as matrices

Διαβάστε περισσότερα

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO 1. Punto e recta 2. Lugares xeométricos 3. Ángulos 4. Trazado de paralelas e perpendiculares con escuadro e cartabón 5. Operacións elementais 6. Trazado de ángulos

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 FÍSICA

PAU XUÑO 2012 FÍSICA PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica) Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)).

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)). 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas, 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións, 4 puntos

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE 11 IES A CAÑIZA Traballo de Física CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE Alumno: Carlos Fidalgo Giráldez Profesor: Enric Ripoll Mira Febrero 2015 1. Obxectivos O obxectivo da seguinte practica é comprobar,

Διαβάστε περισσότερα

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación As Mareas INDICE 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación Introducción A marea é a variación do nivel da superficie libre

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

PAU Xuño Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU Xuño 00 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA OPCIÓN 1. ; calcula: a) o período de rotación do satélite, b) o peso do satélite na órbita. (Datos R T. = 9,80 m/s 2 ).

FÍSICA OPCIÓN 1. ; calcula: a) o período de rotación do satélite, b) o peso do satélite na órbita. (Datos R T. = 9,80 m/s 2 ). 22 Elixir e desenrolar unha das dúas opcións propostas. FÍSICA Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Non se valorará a simple

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Xeometría. Unidade didáctica 2. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Xeometría. Unidade didáctica 2. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 2 Xeometría Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da unidade

Διαβάστε περισσότερα

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( ) .. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03b. Ondas

Exercicios de Física 03b. Ondas Exercicios de Física 03b. Ondas Problemas 1. Unha onda unidimensional propágase segundo a ecuación: y = 2 cos 2π (t/4 x/1,6) onde as distancias se miden en metros e o tempo en segundos. Determina: a) A

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU Xuño 015 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

ONDAS. segundo a dirección de vibración. lonxitudinais. transversais

ONDAS. segundo a dirección de vibración. lonxitudinais. transversais PROGRAMACIÓN DE AULA MAPA DE CONTIDOS propagan enerxía, pero non materia clasifícanse ONDAS exemplos PROGRAMACIÓN DE AULA E magnitudes características segundo o medio de propagación segundo a dirección

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2016 FÍSICA

PAU XUÑO 2016 FÍSICA PAU XUÑO 2016 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica) Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Filipenses 2:5-11. Filipenses

Filipenses 2:5-11. Filipenses Filipenses 2:5-11 Filipenses La ciudad de Filipos fue nombrada en honor de Felipe II de Macedonia, padre de Alejandro. Con una pequeña colonia judía aparentemente no tenía una sinagoga. El apóstol fundó

Διαβάστε περισσότερα

REACCIÓNS DE TRANSFERENCIA DE PROTÓNS

REACCIÓNS DE TRANSFERENCIA DE PROTÓNS REACCIÓNS DE TRANSFERENCIA DE PROTÓNS 1. Concepto de ácido e base segundo as teorías de Arrhenius e Brönsted-Lowry. 2. Concepto de par ácido-base conxugado. 3. Forza relativa dos ácidos e bases. Grao de

Διαβάστε περισσότερα

Académico Introducción

Académico Introducción - Σε αυτήν την εργασία/διατριβή θα αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... general para un ensayo/tesis Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση, θα επικεντρωθούμε πρώτα... Para introducir un área específica

Διαβάστε περισσότερα

Uso e transformación da enerxía

Uso e transformación da enerxía Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 4 Unidade didáctica 5 Uso e transformación da enerxía Páxina 1 de 50 Índice 1. Introdución...3

Διαβάστε περισσότερα

Inmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura.

Inmigración Estudiar. Estudiar - Universidad. Indicar que quieres matricularte. Indicar que quieres matricularte en una asignatura. - Universidad Me gustaría matricularme en la universidad. Indicar que quieres matricularte Me quiero matricular. Indicar que quieres matricularte en una asignatura en un grado en un posgrado en un doctorado

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2014 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Panel lateral/de esquina de la Synergy. Synergy πλαϊνή σταθερή πλευρά τετράγωνης καμπίνας. Rohová/boční zástěna Synergy

Panel lateral/de esquina de la Synergy. Synergy πλαϊνή σταθερή πλευρά τετράγωνης καμπίνας. Rohová/boční zástěna Synergy Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.

Διαβάστε περισσότερα

Puerta corredera de la Synergy Synergy Συρόμενη πόρτα Posuvné dveře Synergy Porta de correr da Synergy

Puerta corredera de la Synergy Synergy Συρόμενη πόρτα Posuvné dveře Synergy Porta de correr da Synergy Instrucciones de instalación Suministrar al usuario ADVERTENCIA! Este producto pesa más de 19 kg, puede necesitarse ayuda para levantarlo Lea con atención las instrucciones antes de empezar la instalación.

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03a. Vibracións

Exercicios de Física 03a. Vibracións Exercicios de Física 03a. Vibracións Problemas 1. No sistema da figura, un corpo de 2 kg móvese a 3 m/s sobre un plano horizontal. a) Determina a velocidade do corpo ó comprimirse 10 cm o resorte. b) Cal

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά - Τα απαραίτητα Podría ayudarme? Παράκληση για βοήθεια Habla inglés? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Habla_[idioma]_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα No hablo_[idioma]_. Διασαφήνιση ότι δεν

Διαβάστε περισσότερα

Profesor: Guillermo F. Cloos Física e química 1º Bacharelato O enlace químico 3 1

Profesor: Guillermo F. Cloos Física e química 1º Bacharelato O enlace químico 3 1 UNIÓNS ENTRE ÁTOMOS, AS MOLÉCULAS E OS CRISTAIS Até agora estudamos os átomos como entidades illadas, pero isto rara vez ocorre na realidade xa que o máis frecuente é que os átomos estea influenciados

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. 2.- Cando se bombardea nitróxeno 14 7 N con partículas alfa xérase o isótopo 17 8O e outras partículas. A

FÍSICA. 2.- Cando se bombardea nitróxeno 14 7 N con partículas alfa xérase o isótopo 17 8O e outras partículas. A 22 FÍSICA Elixir e desenvolver unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Non se valorará a simple

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEMAS E CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE

PROBLEMAS E CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE PROBLEMAS E CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE O KMnO en presenza de H SO transforma o FeSO en Fe (SO ), formándose tamén K SO, MnSO e auga: a) Axusta a reacción molecular. b) Cantos cm de disolución de KMnO 0,5

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) Setembro 2009

PAAU (LOXSE) Setembro 2009 PAAU (LOXSE) Setembro 2009 Código: 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada

Διαβάστε περισσότερα

Indución electromagnética

Indución electromagnética Indución electromagnética 1 Indución electromagnética 1. EXPERIECIA DE FARADAY E HERY. A experiencia de Oersted (1820) demostrou que unha corrente eléctrica crea ao seu redor un campo magnético. Como consecuencia

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Teoría atómica (unha longa historia)

2.6 Teoría atómica (unha longa historia) 2.6 Teoría atómica (unha longa historia) Milleiros de resultados experimentais avalan a idea de que as partículas que forman os gases, os sólidos e os líquidos, en todo o universo, están constituídas por

Διαβάστε περισσότερα

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA INTEACCIÓNS GAVITATOIA E ELECTOSTÁTICA AS LEIS DE KEPLE O astrónomo e matemático Johannes Kepler (1571 1630) enunciou tres leis que describen o movemento planetario a partir do estudo dunha gran cantidade

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA PAU SETEMBRO 014 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 FÍSICA

Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 FÍSICA Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 Código: 23 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado)

Διαβάστε περισσότερα

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά

Ονομαστική Γενική Αιτιατική Κλητική Αρσ. γλ υκοί γλ υκών γλ υκούς γλ υκοί Θηλ. γλ υκές γλ υκών γλ υκές γλ υκές Ουδ. γλ υκά γλ υκών γλ υκά γλ υκά Επίθετα και Μετοχές Nic o las Pe lic ioni de OLI V EI RA 1 Apresentação Modelo de declinação de adjetivos e particípios (επίθετα και μετοχές, em grego) apresentado pela universidade Thessaloniki. Só é

Διαβάστε περισσότερα

S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA EXTRACCIÓN DO ADN EXTRACCIÓN DO ADN CUANTIFICACIÓN. 260 280 260/280 ng/µl

S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA EXTRACCIÓN DO ADN EXTRACCIÓN DO ADN CUANTIFICACIÓN. 260 280 260/280 ng/µl CUANTIFICACIÖN 26/VI/2013 S1301005 A REACCIÓN EN CADEA DA POLIMERASA (PCR) NA INDUSTRIA ALIMENTARIA - ESPECTROFOTÓMETRO: Cuantificación da concentración do ADN extraido. Medimos a absorbancia a dúas lonxitudes

Διαβάστε περισσότερα

PAU MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS

PAU MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS PAU 2011-2012 MATEMÁTICAS II APLICADAS ÁS CCSS Circular informativa curso 2011-2012 Como directora do Grupo de Traballo de Matemáticas Aplicadas ás Ciencias Sociais e no nome de todo o grupo, póñome en

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEMAS DE SELECTIVIDADE: EQUILIBRIO QUÍMICO

PROBLEMAS DE SELECTIVIDADE: EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS DE SELECTIVIDADE: EQUILIBRIO QUÍMICO 3013 2. Para a seguinte reacción: 2NaHCO 3(s) Na 2 CO 3(s) + CO 2(g) + H 2 O (g) ΔH

Διαβάστε περισσότερα

A actividade científica. Tema 1

A actividade científica. Tema 1 A actividade científica Tema 1 A ciencia trata de coñecer mellor o mundo que nos rodea. Para poder levar a cabo a actividade científica necesitamos ter un método que nos permita chegar a unha conclusión.

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) Setembro 2004

PAAU (LOXSE) Setembro 2004 PAAU (LOXSE) Setembro 004 Código: FÍSICA Elixir e desenvolver unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou

Διαβάστε περισσότερα

Tema 8. CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS DE CORRENTE CONTINUA Índice 1. O CIRCUÍTO ELÉCTRICO...2

Tema 8. CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS DE CORRENTE CONTINUA Índice 1. O CIRCUÍTO ELÉCTRICO...2 Tema 8. CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS DE CORRENTE CONTINUA Índice 1. O CIRCUÍTO ELÉCTRICO...2 1.1 Concepto de corrente eléctrica...2 1.1 Concepto de corrente eléctrica...2 1.2 Características dun circuíto de corrente

Διαβάστε περισσότερα

AVALIACIÓN DE DIAGNÓSTICO

AVALIACIÓN DE DIAGNÓSTICO (Para cubrir polo centro educativo) Código do centro: Nome do centro: (Para cubrir pola persoa que aplica a proba) Número de identificación do alumno ou alumna: (Este número debe coincidir co número de

Διαβάστε περισσότερα

Problemas y cuestiones de electromagnetismo

Problemas y cuestiones de electromagnetismo Problemas y cuestiones de electromagnetismo 1.- Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µc cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

Onde posso encontrar o formulário para? Onde posso encontrar o formulário para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

Onde posso encontrar o formulário para? Onde posso encontrar o formulário para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα - Γενικά Onde posso encontrar o formulário para? Onde posso encontrar o formulário para? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Quando foi emitido seu/sua [documento]? Για να ρωτήσετε πότε έχει

Διαβάστε περισσότερα

PAU Setembro 2010 FÍSICA

PAU Setembro 2010 FÍSICA PAU Setembro 010 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2014 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B)

ELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B) 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A o B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan do mesmo xeito,

Διαβάστε περισσότερα

Escenas de episodios anteriores

Escenas de episodios anteriores Clase 09/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje

Διαβάστε περισσότερα

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN

MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN IB DIPLOMA PROGRAMME PROGRAMME DU DIPLÔME DU BI PROGRAMA DEL DIPLOMA DEL BI M06/2/ABMGR/SP1/GRE/TZ0/XX/M MARKSCHEME BARÈME DE NOTATION ESQUEMA DE CALIFICACIÓN May / mai / mayo 2006 MODERN GREEK / GREC

Διαβάστε περισσότερα

την..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente

την..., επειδή... Se usa cuando se cree que el punto de vista del otro es válido, pero no se concuerda completamente - Concordar En términos generales, coincido con X por Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Uno tiende a concordar con X ya Se usa cuando se concuerda con el punto de vista de otro Comprendo

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Τρώγοντας έξω. Τρώγοντας έξω - Στην είσοδο. Τρώγοντας έξω - Παραγγελία φαγητού

Ταξίδι Τρώγοντας έξω. Τρώγοντας έξω - Στην είσοδο. Τρώγοντας έξω - Παραγγελία φαγητού - Στην είσοδο Eu gostaria de reservar uma mesa para _[número de pessoas]_ às _[hora]_. Για να κάνετε κράτηση Uma mesa para _[número de pessoas]_, por favor. Για να ζητήσετε τραπέζι Eu gostaria de reservar

Διαβάστε περισσότερα

FISICA 2º BAC 27/01/2007

FISICA 2º BAC 27/01/2007 POBLEMAS 1.- Un corpo de 10 g de masa desprázase cun movemento harmónico simple de 80 Hz de frecuencia e de 1 m de amplitude. Acha: a) A enerxía potencial cando a elongación é igual a 70 cm. b) O módulo

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά - Τα απαραίτητα Podría ayudarme? Παράκληση για βοήθεια Habla inglés? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Habla_[idioma]_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα No hablo_[idioma]_. Διασαφήνιση ότι δεν

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 FÍSICA

PAU XUÑO 2010 FÍSICA PAU XUÑO 1 Cóigo: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 caa cuestión, teórica ou practica) Problemas 6 puntos (1 caa apartao) Non se valorará a simple anotación un ítem como solución ás cuestións;

Διαβάστε περισσότερα

Química P.A.U. ÁCIDOS E BASES 1 ÁCIDOS E BASES

Química P.A.U. ÁCIDOS E BASES 1 ÁCIDOS E BASES Química P.A.U. ÁCIDOS E BASES 1 ÁCIDOS E BASES PROBLEMAS ÁCIDO/BASE DÉBIL 1. Unha disolución de amoníaco de concentración 0,01 mol/dm 3 está ionizada nun 4,2%. a) Escriba a reacción de disociación e calcule

Διαβάστε περισσότερα

MÓDULO 3 SEMIPRESENCIAL NATUREZA UNIDADE 2: MESTURAS E DISOLUCIÓNS 1. UNIDADE 2 Mesturas e disolucións

MÓDULO 3 SEMIPRESENCIAL NATUREZA UNIDADE 2: MESTURAS E DISOLUCIÓNS 1. UNIDADE 2 Mesturas e disolucións MÓDULO 3 SEMIPRESENCIAL NATUREZA UNIDADE 2: MESTURAS E DISOLUCIÓNS 1 UNIDADE 2 Mesturas e disolucións 2.1. Coñecer as características dos tres estados da materia. 2.2. Diferenciar substancias puras e mesturas.

Διαβάστε περισσότερα

VI. VECTORES NO ESPAZO

VI. VECTORES NO ESPAZO VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 9, kg) = -1, C; m e

FÍSICA. = 9, kg) = -1, C; m e 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 01. Gravitación

Exercicios de Física 01. Gravitación Exercicios de Física 01. Gravitación Problemas 1. A lúa ten unha masa aproximada de 6,7 10 22 kg e o seu raio é de 1,6 10 6 m. Achar: a) A distancia que recorrerá en 5 s un corpo que cae libremente na

Διαβάστε περισσότερα