Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Conditional Probability)
|
|
|
- ÔΠοσειδῶν Παπάζογλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Condtonal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα εμφάνισης του άλλου (π.χ. Α). ( ) : δεσμευμένη ή υπο-συνθήκη πιθανότητα (condtonal probablty) να συμβεί το Α υπό την γνώση (δοθέντος) του Β. Ερμηνεία Η γνώση του Β σημαίνει ότι όλα τα αποτελέσματα του πειράματος περιορίζονται στο Β. Το Α συμβαίνει μόνο όταν το αποτέλεσμα βρίσκεται στη τομή τους. ( ) 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 1 )
2 Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Condtonal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα εμφάνισης του άλλου (π.χ. Α). ( ) : δεσμευμένη ή υπο-συνθήκη πιθανότητα (condtonal probablty) να συμβεί το Α υπό την γνώση (δοθέντος) του Β. Ερμηνεία Η γνώση του Β σημαίνει ότι όλα τα αποτελέσματα του πειράματος περιορίζονται στο Β. Το Α συμβαίνει μόνο όταν το αποτέλεσμα βρίσκεται στη τομή τους. ( ) 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 2 )
3 Δεσμευμένη Πιθανότητα (συν.) Παρατηρήσεις: 1. Αν Α=Β τότε 2. Αν 1, 2 ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ( δηλ. 1 2 = ): 3. Ισχύει ότι ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ' Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 3 )
4 Πολλαπλασιαστικός τύπος () = (,) : από-κοινού πιθανότητα (jont probablty) να συμβαίνουν ταυτόχρονα 2 ενδεχόμενα. Ερμηνεία: Για να ισχύουν ταυτόχρονα τα Α και Β θα πρέπει να ισχύει ένα από τα 2 (π.χ. το Β) και, εφόσον ισχύει αυτό, να ισχύει και το άλλο (π.χ. Α). ή Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 4 )
5 Παραδείγματα 1) Από δοχείο με 4 Μαύρες {1,2,3,4} και 6 Λευκές {5,6,7,8,9,10} σφαίρες επιλέγουμε μία σφαίρα και σημειώνουμε χρώμα και αριθμό. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α= σφαίρα Μαύρη, = αριθμός ζυγός, Γ= αριθμός > 5. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( ) και ( Γ). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 5 )
6 Παραδείγματα 2) Η πιθανότητα να ζήσει ένας άντρας τουλάχιστον 70 έτη είναι 0.85, ενώ τουλάχιστον 75 έτη είναι Αν επιλέξουμε έναν άντρα 70 ετών, ποια ή πιθανότητα να ζήσει τουλάχιστον επιπλέον 5 έτη? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 6 )
7 Παραδείγματα 3) Πολυκατάστημα μελέτησε τις αγοραστικές συνήθειες των πελατών του για 3 προϊόντα και πήρε τον διπλανό πίνακα. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: ) Να αγοράσει τα β και γ δεδομένου ότι αγόρασε το α ) Να αγοράσει το β ή το γ δεδομένου ότι αγόρασε το α ) Να αγοράσει το α δεδομένου ότι αγόρασε τουλάχιστον ένα από τα β και γ Προϊόν Ποσοστό α 15 % β 25 % γ 38 % α & β 7 % α & γ 10 % β & γ 8 % α & β & γ 3 % Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 7 )
8 Παραδείγματα 4) Έστω 2 ενδεχόμενα, για τα οποία γνωρίζουμε ότι ()=0.2, ()=0.4 και ( )=0.1. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες να συμβεί: (α) τουλάχιστον ένα από τα Α, Β (β) ακριβώς ένα από τα Α, Β, (γ) κανένα από τα Α, Β. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 8 )
9 Παραδείγματα 5) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 9 )
10 Παράδειγμα Έστω δοχείο με 10 σφαίρες 4Μ και 6Λ. Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) «1 η σφαίρα Μ και 2 η σφαίρα Λ» β) «1 η >> Λ και 2 η >> Μ» γ) «1 η >> Λ και 2 η >> Λ» δ) «1 η >> Μ και 2 η >> Μ» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 10 )
11 Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 11 )
12 Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 12 )
13 Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Τότε η () ονομάζεται ολική πιθανότητα (total probablty) και υπολογίζεται ως εξής: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 13 )
14 Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Β 1 Β n-1 Β 2 Β n Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Τότε η () ονομάζεται ολική πιθανότητα (total probablty) και υπολογίζεται ως εξής: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 14 )
15 Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Β 1 Β n-1 Β 2 Β n Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Τότε η () ονομάζεται ολική πιθανότητα (total probablty) και υπολογίζεται ως εξής: n n 1 2 n 1 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 15 )
16 Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 16 )
17 Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: M M ο πείραμα αποτέλεσμα 1 ου πειράματος δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 17 )
18 Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: M1 1 2 M1 2 M M M δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 18 )
19 Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: M1 1 2 M1 2 M M M δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 19 )
20 (2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος Τα βάρη των ακμών είναι οι δεσμευμένες πιθανότητες (αδέσμευτες μόνο για το 1 ο πείραμα) (Λ 1 ) (M 1 ) 1o πείραμα Λ 1 Μ 1 (Λ 2 Λ 1 ) (Λ 2 M 1 ) (M 2 Λ 1 ) (M 2 M 1 ) 2o πείραμα Λ 2 Μ 2 Λ 2 Μ 2 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 20 )
21 (2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (M1) (Λ1) 1o πείραμα Λ1 Μ1 (Λ2 Λ1) (Λ2 M1) 2o πείραμα (M2 Λ1) Λ2 (M2 M1) Μ2 Λ2 Μ2 Ένα μονοπάτι από την ρίζα έως τα φύλλα του δέντρου προσδιορίζει μία ολοκληρωμένη πειραματική διαδικασία ως μια αλληλουχία πειραμάτων. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 21 )
22 (2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (M1) (Λ1) 1o πείραμα Λ1 Μ1 (Λ2 Λ1) (Λ2 M1) 2o πείραμα (M2 Λ1) Λ2 (M2 M1) Μ2 Λ2 Μ2 Ένα μονοπάτι από την ρίζα έως τα φύλλα του δέντρου προσδιορίζει την από-κοινού πιθανότητα η οποία υπολογίζεται ως το γινόμενο πιθανοτήτων των ακμών της διαδρομής. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 22 )
23 (2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (Λ 1 ) (M 1 ) 1o πείραμα Λ 1 Μ 1 (Λ 2 Λ 1 ) (Λ 2 M 1 ) (M 2 Λ 1 ) (M 2 M 1 ) 2o πείραμα Λ 2 Μ 2 Λ 2 Μ 2 κατάσταση (state) Λ 1 και Μ 2 (Λ1 M2) = (Λ1, M2) = (Λ1) * (M2 Λ1) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 23 )
24 (2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (Λ 1 ) (M 1 ) 1o πείραμα Λ 1 Μ 1 (Λ 2 Λ 1 ) (Λ 2 M 1 ) (M 2 Λ 1 ) (M 2 M 1 ) 2o πείραμα Λ 2 Μ 2 Λ 2 Μ 2 κατάσταση (state) Μ 1 και Λ 2 (Μ1, Λ2) = (Μ1) * (Λ2 Μ1) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 24 )
25 (3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή σφαίρας από κουτιά 2 κουτιά Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 25 )
26 (3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή σφαίρας από κουτιά 1. Επιλογή κουτιού 2. Επιλογή σφαίρας πιθανότητα Διαδικασία επιλογής Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 26 )
27 (3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή σφαίρας από κουτιά 1. Επιλογή κουτιού 2. Επιλογή σφαίρας πιθανότητα Πιθανότητα να επιλέξουμε τη σφαίρα 5 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 27 )
28 (3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή κουτιού και σφαίρας 1. Επιλογή κουτιού 2. Επιλογή σφαίρας πιθανότητα Πιθανότητα να επιλέξουμε τη σφαίρα 4 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 28 )
29 Παράδειγμα 1) Το 40% των μαθητών μιας τάξης είναι αγόρια (ενώ το 60% κορίτσια). Είναι γνωστό ότι τα αγόρια γνωρίζουν σκάκι σε ποσοστό 50%, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τα κορίτσια είναι 60%. Να βρεθεί η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγόμενος μαθητής της τάξης να γνωρίζει σκάκι. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 29 )
30 Παραδείγματα 1) Για τα ενδεχόμενα Α και Β είναι γνωστό ότι ()=0.6, ()=0.7 και ( )=0.3. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες ( ) και ( ). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 30 )
31 2) Σε μία ιατρική μελέτη εξετάστηκαν 15,000 άτομα και βρέθηκε ότι 6,000 πάσχουν από την ασθένεια Α1, 4,500 πάσχουν από την ασθένεια Α2, ενώ 3,000 παρουσιάζουν και τις δύο ασθένειες. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) Να έχει ένα άτομο την ασθένεια Α2 με δεδομένο ότι έχει την ασθένεια Α1, β) Να έχει την ασθένεια Α2 με δεδομένο ότι δεν έχει την ασθένεια Α1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 31 )
32 3) Το 14% των Αντρών και το 2% των Γυναικών ενός πληθυσμού έχουν ένα χαρακτηριστικό (Β). Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο του πληθυσμού που επιλέγεται τυχαία να έχει το χαρακτηριστικό Β, εάν ο πληθυσμός έχει (α) 40 Άντρες και 70 Γυναίκες, (β) ίσο πλήθος Αντρών και Γυναικών, (γ) 2πλάσιο αριθμό Αντρών Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 32 )
33 Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes ) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 33 )
34 Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes ) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 34 )
35 Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes ) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 35 )
36 Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes ) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). n j1 j j Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 36 )
37 Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes ) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Ολική Πιθανότητα n j1 j j Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 37 )
38 Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes ) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Ολική Πιθανότητα n j1 j j Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 38 )
39 Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) (): είναι η ολική πιθανότητα (όρος κανονικοποίησης) Ισχύει ότι Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 39 )
40 Ερμηνεία του Κανόνα του ayes ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) δηλ. η αδέσμευτη πιθανότητα n j j j 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 40 )
41 Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) (): είναι η ολική πιθανότητα (όρος κανονικοποίησης) Ισχύει ότι Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 41 )
42 Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) (): είναι η ολική (total) πιθανότητα (όρος κανονικοποίησης) Ισχύει ότι n 1 1 Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 42 )
43 Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 43 )
44 Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Επιλέγουμε μία σφαίρα και την παρατηρούμε. (έστω Μαύρη) ΔΕΝ γνωρίζουμε από ποιο κουτί προέρχεται. Κάθε κουτί έχει μία βαρύτητα που δίνεται από τις εκ των προτέρων πιθανότητες, () και (). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 44 )
45 Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Επιλέγουμε μία σφαίρα και την παρατηρούμε. (έστω Μαύρη) ΔΕΝ γνωρίζουμε από ποιο κουτί προέρχεται. Α ή Β Κάθε κουτί έχει μία βαρύτητα που δίνεται από τις εκ των προτέρων πιθανότητες, () και (). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 45 )
46 Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Επιλέγουμε μία σφαίρα και την παρατηρούμε. (έστω Μαύρη) ΔΕΝ γνωρίζουμε από ποιο κουτί προέρχεται. Α ή Β Κάθε κουτί έχει διαφορετική αρχική βαρύτητα κατά την επιλογή που δίνεται από τις εκ των προτέρων πιθανότητες, () και (). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 46 )
47 Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Μετά την παρατήρηση της σφαίρας ερχόμαστε εκ των υστέρων να αποφασίσουμε, με βάση τον κανόνα του ayes. Υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων και απόφαση με βάση την μεγαλύτερη πιθανότητα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 47 )
48 Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Μετά την παρατήρηση της σφαίρας ερχόμαστε εκ των υστέρων να αποφασίσουμε, με βάση τον κανόνα του ayes. Υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων και απόφαση με βάση την μεγαλύτερη πιθανότητα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 48 )
49 Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Μετά την παρατήρηση της σφαίρας ερχόμαστε εκ των υστέρων να αποφασίσουμε, με βάση τον κανόνα του ayes. Υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων και απόφαση με βάση την μεγαλύτερη πιθανότητα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 49 ) Α Β M M M M M M M M M M Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων
50 Παραδείγματα (1). Φοιτητής απαντά σε ερωτήματα πολλαπλών επιλογών (multple choce). Κάθε ερώτηση έχει 4 απαντήσεις. Η πιθανότητα να γνωρίζει την σωστή απάντηση είναι 70%. Σε περίπτωση όπου δεν γνωρίζει την σωστή απάντηση, τότε απαντά τυχαία. α) Ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά σε μια ερώτηση? β) Εάν είναι γνωστό ότι ο φοιτητής απαντά σωστά σε μια ερώτηση, ποια η πιθανότητα να γνώριζε την απάντηση? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 50 )
51 (2). Το 10% του πληθυσμού μιας πόλης έχει προσβληθεί από μια ασθένεια Β. Για την διάγνωσή της απαιτείται η διεξαγωγή ενός ιατρικού ελέγχου, ο οποίος παρουσιάζει κάποιο σφάλμα διάγνωσης. Συγκεκριμένα, αν το άτομο έχει την ασθένεια Β τότε υπάρχει 1% σφάλμα, ενώ αν δεν έχει την ασθένεια Β (υγιής) το σφάλμα ορθής διάγνωσης είναι 2%. (α) Ποια η πιθανότητα διάγνωσης της ασθένειας Β? (β) Εάν ο έλεγχος που διεξήχθη σε κάποιο άτομο είναι θετικός, ποια η πιθανότητα να έχει πράγματι προσβληθεί από την ασθένεια Β? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 51 )
52 (3). Μια ασφαλιστική εταιρεία έχει χαρακτηρίσει το 60% των ασφαλισμένων ως ασφαλισμένους χαμηλού κινδύνου (Χ) και τους υπόλοιπους 40% ως υψηλού (Υ). Όπως προκύπτει από τους ασφαλισμένους Χ δεν κάνουν καμία δήλωση το 80%, κάνουν μία δήλωση το 17%, ενώ σε ποσοστό 3% κάνουν πάνω από δύο δηλώσεις. Για τους ασφαλισμένους της ομάδας Υ τα αντίστοιχα ποσοστά είναι 50%,38%,12%. (α) Αν κάποιος δεν κάνει δήλωση, ποια η πιθανότητα να είναι της ομάδας Χ; (β) Αν κάποιος κάνει τουλάχιστον 2 δηλώσεις, ποια η πιθανότητα να ανήκει στο Υ; (γ) Αν κάποιος κάνει τουλάχιστον 1 δήλωση, ποια η πιθανότητα να ανήκει στο Υ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 52 )
Πιθανότητες & Στατιστική. Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα)
Πιθανότητες & Στατιστική Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. 3 βασικές έννοιες Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα) Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής,
Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes
Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Αντώνιος Οικονόμου Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής κ
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Παράδειγμα δεσμευμένης κλασικής πιθανότητας
ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Εστω (Ω,A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P
ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο
Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
Βιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Ορισμός της Πιθανότητας (Ι)
Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητα ενδεχομένου Α ( ) N( ) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: - μόνο
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Τι είδαμε την προηγούμενη φορά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 04/05/2018 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mal: argyros@csd.uoc.gr 07-May-18 1 1 07-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Μίατυχαία μεταβλητήvείναι κάθε
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι
1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω:
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Β1 α) Από τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( A B) P( A) P( A B) P( A B) P( A) P( A B) και από τα δεδομένα 3 5 1 παίρνουμε: P( A B) P( A B) 4 8 8 β)
Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.
ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε
Τι είδαμε την προηγούμενη φορά
HY8-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 04/05/207 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mal: argyros@csd.uoc.gr 04-May-7 04-May-7 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Μίατυχαία μεταβλητήvείναι κάθε μεταβλητή η
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως
1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος
1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να
Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ
10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 2 η Διάλεξη 1 2 Δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β (1) Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης και P(Β)>0, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα
Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β
Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.
3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Λήψη αποφάσεων κατά Bayes
Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Γνωριµία και ερµηνεία των πιθανοτήτων Χρήση σε πρακτικά προβλήµατα και σε θέµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας. Προσθετικός και πολλαπλασιαστικός κανόνας των πιθανοτήτων Έννοια της
3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο
ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ: ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ:
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2017-2018 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ: Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ: ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6 / 6 / 2018 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ:
Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 968, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ ής Ι. Μ ητ ρ
Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά
Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους
Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν
Θέματα Στατιστικής. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Στατιστική. Δημόσια Διοίκηση Πάντειο. 24 θέματα σε 5 σελίδες
Θέματα Στατιστικής Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Στατιστική Δημόσια Διοίκηση Πάντειο 24 θέματα σε 5 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 2 9 / 3 / 2 0
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008
Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (Συνδυασμένη, ολική και δεσμευμένη) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 KELLER
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 4 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 9684, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής Ι. Μητρόπουλο
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας
Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις
β. Αν το διαγώνισμα αποτελείται από 2 τέτοιες ερωτήσεις, ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά και στις 2 ερωτήσεις;
ΘΕΜΑ 1 ο Ένας φοιτητής απαντά σε ερωτήσεις ενός διαγωνίσματος πολλαπλής επιλογής με 4 απαντήσεις ανά ερώτηση, εκ των οποίων μόνο η μία είναι σωστή κάθε φορά. Η πιθανότητα να γνωρίζει ο φοιτητής την σωστή
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν
Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) Οι απαντήσεις και οι λύσεις
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 04/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 07-May-18 1 1 Θεωρία πιθανοτήτων 07-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Μία τυχαία μεταβλητή Vείναι κάθε
Στατιστική λήψη αποφάσεων
Στατιστική λήψη αποφάσεων Εποπτευόμενη Μάθηση: Χρησιμοποιώντας ένα σετ κατάρτισης (training set) για τον σχεδιασμό του ταξινομητή -> Χρησιμοποιώντας ένα ξεχωριστό σύνολο δοκιμών (test set ) για ακρίβεια.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία
Έστω η συνάρτηση ορισμένη σε μια σ-άλγεβρα με πεδίο τιμών το, δηλαδή
Τι εννοούμε με τον όρο «πιθανότητα»? Ο όρος πιθανότητα έχει δυο διαφορετικές πλην όμως σχετιζόμενες ερμηνείες. Η πρώτη είναι η καθαρά μαθηματική ερμηνεία του όρου πιθανότητα σύμφωνα με την οποία η πιθανότητα
Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:
Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε
Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Προβλήματα 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσιο Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο Χαμηλή
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ )
ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) Ενίοτε η πραγματοποίηση ενός γεγονότος εξαρτάται από την πραγματοποίηση άλλου τινός γεγονότος. Κατ' αντιστοιχία, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μπορεί να εξαρτάται
2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-
Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β
ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε
Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)
ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου
ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.
α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:
ΘΕΜΑ 2 (479) α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii) B Γ iii) (A B) Γ iv) A (Μονάδες 12) β) Στο παρακάτω
2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκων: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα Σύντομη ανασκόπηση βασικών εννοιών, προτάσεων και τύπων Πείραμα τύχης - Η έννοια του τυχαίου Δειγματικός
ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ για το ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ για το ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Κεφ. 5 : σελ. 73-85 (εκτός: όλα τα ένθετα, οι χημικοί τύποι και οι φωτογραφίες) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΟΥΜΕ
5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια
1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 013 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 31 Μαΐου
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:
. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω
1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.
ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:
ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:
Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από
Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:
1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον
Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);
Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες
Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων
Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το
ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς