(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)"

Transcript

1 Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije f u tački : f + f. f n f n, n N, f 0 f. Pravila diferenciranja:. f + g f + g ;. fg f g + fg ; 3. f f g fg g g ; 4. f g f g g. Lajbnicova formula n ti izvod proizvoda: fg n n k0 n f k g n k k n k0 n f n k g k. k

2 Izvod inverzne funkcije: f y f. Logaritamski izvod funkcije f ϕ ψ : log f log ϕ ψ ψ log ϕ log f ψ log ϕ f f ψ log ϕ + ψ ϕ ϕ f ϕ ψ ψ log ϕ + ψ ϕ ϕ. Izvodi parametarski definisane funkcije { ϕt, y ψt : y dy d dψ dt dϕ dt ψ tt ψt ϕ t t ϕt, y d d Diferencijal: dy d d d ψ t t ϕ t t d dt ψ t t dt ϕ t t d d dt ψ tϕ t ψ tϕ t ϕ t 3 ψt ϕt ψt ϕt ϕt 3. df f d, d n f f n d n, n N. ψ t t ϕ t t d dt Napomena. U celokupnom izlaganju podrazumeva se log log e.

3 3 Tablica izvoda: n n n ; arcsin ; e e ; arccos ; a a log a; arctan + ; log ; arccot + ; sin cos ; sinh cosh ; cos sin ; cosh sinh ; tan cos ; tanh cosh ; cot sin ; coth sinh. Zadaci. Po definiciji odrediti f ako je: a f + ; b f sin ; c f e. Rešenje: a Kako je f 3, to je f f f lim lim lim +. + lim +

4 4 b Slično odred ujemo f f f sin sin sin + sin lim lim lim sin cos + cos sin sin lim Kako je sin lim cos + sin lim cos cos sin cos sin sin cos lim, lim, lim 0,. dobija se f cos. c S obzirom na poznatu graničnu vrednost važi sledeće: e lim log e, f f f e e lim lim lim ee e.. Odrediti izvode sledećih eksplicitno zadatih funkcija: a y cos π + sin π; b y sinlog + coslog ; c y arctan e e + ; d y esin + e cos sin cos e y log loge ; f y log cos + cos + ; g y log sin + cos sin cos ; h y arcsin 3.

5 5 Rešenje: a Najpre koristimo pravilo za izvod proizvoda, a zatim za izvod složene funkcije: y cos π + sin π cos π + sin π + cos π + sin π π sin π π sin π + sin π + cos π + sin π + cos π π sin π + sin π cos π + sin π + sin π + sin π π sin3 π + sin π. + sin π π sin π cos π b Za odred ivanje izvoda primenjujemo pravilo za izvod količnika, a posle toga pravilo za izvod zbira i izvod složene funkcije: sinlog + coslog y sinlog + coslog sinlog + coslog coslog log sinlog log sinlog + coslog coslog sinlog sinlog + coslog coslog sinlog sinlog coslog sinlog. c U ovom slučaju najpre primenjujemo pravilo za izvod složene funkcije, a zatim za izvod količnika, zbira i ponovo složene funkcije: y arctan e e e + e e + + e + e + e e + e e + e + + e e +

6 6 e e + e e e 4 + e + + e 4 e + e e + e + e 4 + e e 4 +. e d y sin + e cos sin cos e sin + e cos sin cos e sin + e cos sin cos sin cos e sin cos + e cos sin sin cos e sin + e cos cos + sin sin cos e sin + e cos sin cos cos sin cos e sin + sin ecos sin cos cos esin sin e cos sin cos sin + cos e sin + ecos sin cos. e y log loge loge e e + e loge loge + loge. loge e e f y log cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + cos + sin + sin + cos + cos + cos + sin cos cos + cos + sin cos + sin cos cos +

7 7 cos + cos + sin cos +. cos sin + + cos cos + g y sin + cos log logsin + cos logsin cos sin cos sin + cos cos sin cos + sin sin cos cos sin sin + cos sin + cos sin cos cos + sin cos sin sin sin cos cos sin cos sin + cos cos cos. h y arcsin Odrediti izvode sledećih implicitno zadatih funkcija: a y + arctan y ; b cos + y + sin + y y ; c e cos y log + y ; d tany arctan + y; e + y cosy; f y log + y 0; g y + + y y + y ; h y y.

8 8 Rešenje: a Imajući u vidu da je y zavisno promenljiva, tj. funkcija nezavisno promenljive, tražimo izvod leve i desne strane jednakosti i dobijamo: y + arctan y, y + arctan y, y + y + + y y. Rešavanjem dobijene jednačine po y imamo: y + y + y + y + y, + y + y + y y y + y y + y +. b Opisanim postupkom dobijamo y kroz sledeći niz jednakosti: cos + y + sin + y y, sin + y + y + cos + y + y y y, sin + y + y + cos + yy + y y y, sin + y + y + cos + yy + y y y, 3 cos + y sin + y y sin + y y cos + y y. Konačno je y sin + y y cos + y y 3 cos + y sin + y. c e cos y log + y, e cos y log + y, e cos y cos y + y + y,

9 9 e cos y sin yy + y + yy, + y sin y e cos y y + yy, y + + y sin y e cos y y, y y + + y sin y e cos y. d tany arctan + y, tany arctan + y, cos y y + y + + y + y, + + y y + y cos y + y, + + y cos y y cos y y + + y, y cos y y + + y + + y cos y. e + y cosy, + y cosy, + y + y sinyy + y, + y + siny y + y y siny, y + y + y siny + y + siny. f y log + y 0, y log + y 0, y + y + y + y 0, + yy + y + y 0,

10 0 + y y y + y, y y + y + y. g y + + y y + y, y + + y + y, y y + y + + y y y + + yy y y + y + y y + y + y y y, y y, + y + + y y yy + y + y + y y y yy + y + y + y, + y. Konačno, dobijamo y yy + + yy + y. y + y h Najpre logaritmujemo, a zatim diferenciramo jednakost: log y log y, y log log y, y log log y, y log + y log y + y y.

11 Traženi izvod y se dobija rešavanjem dobijene jednačine: 4. Odrediti izvode sledećih funkcija: yy log + y y log y + y, y log y y log y y, y y log y y y log. a y log ; b y arctan ; tan c y ; d y sin +cos. + Rešenje: a Kako je funkcija zadata u obliku stepena u kome i osnova i izložilac zavise od nezavisno promenljive, najpre logaritmujemo jednakost i dobijamo log y log log log log, tj. log y log. Diferenciranje dobijene jednakosti daje: log y log, y y log, y y log, y log log. b Sličnim postupkom dobijamo: y arctan, log y logarctan logarctan, log y logarctan, y y logarctan + arctan +,

12 y y logarctan + arctan +, y arctan arctan logarctan + +. tan c y, + log y tan log log y, + tan log, + y y cos log + tan + + y y cos log y y cos log + tan + + +, tan,, y tan + cos log + tan +. + d y sin +cos, log y + cos logsin, log y + cos logsin, y y cos sin logsin + + cos cos, sin y y sin cos logsin + + cos cos, sin y cos sin cos + cos sin logsin.

13 3 5. Odrediti izvode sledećih parametarski zadatih funkcija: a { te t, y arctan t; b { t cos t, y t sin t; c { t 3 +, y t 3 + t + ; d { t log t, y log t. t Rešenje: a Kako je t te t e t + te t + te t, y t arctan t + t, to je y y t t + t + te t e t + t + t + t 3. b t cos t, y t sin t, y y t t t sin t t cos t t sin t + t cos t sin t + t cos t t cos t cos t t sin t. t sin t c t 3 +, y t 3 + t +, y y t t 3 t + t + t 3 + 3t + 3t + 3t. d t log t, y log t, t y y t t log t t t log t t t log t t log t + t t log t t + log t.

14 4 6. Odrediti vrednosti y i y 0 ako je funkcija y zadata sa: log a y arctan, 0 e ; b y y + 6 0, 0 3, y 0 ; c y + cos, 0 0; d { t sin t, y cos t, 0 π, y 0. log Rešenje: a Funkcija y arctan je diferencijabilna na 0, + i u svakoj tački tog intervala je Za 0 /e e važi y 0 y e y log + log. log e e + log e e + e + e. b Primenjujući postupak za odred ivanje izvoda implicitno zadate funkcije opisan u zadatku 3. nalazimo izvod funkcije y u proizvoljnoj tački iz oblasti definisanosti: y y y + 6 y. y + 6 y Zato je y 0 y 0 y 0 0 y , 0 y y 0 tj., y

15 5 c Kao u zadatku 4., jednakost y + cos logaritmujemo, a zatim diferenciramo: odakle dobijamo Specijalno, log y log + cos, y y log + cos + sin + cos, y + cos + cos log + cos sin. y 0 + cos 0 + cos 0 log + cos 0 0 sin 0 log 3. d Izvod parametarski zadate funkcije t sin t, y cos t u proizvoljnoj tački je y y t cos t t t sin t sin t cos t. Da bismo odredili vrednost patametra t 0 tako da je t 0 0, yt 0 y 0, rešavamo sistem jednačina t sin t π, cos t. Iz druge jednačine zaključujemo da je cos t, tj. t π + kπ, k Z. Zamenom u prvoj jednačini dobijamo π + kπ sinπ + kπ π, odakle je kπ 0, tj. k 0. Prema tome, t 0 π, pa je y 0 sin t 0 cos t Odrediti y i y 0 ako je funkcija y zadata eksplicitno: a y e tan + + ; b y arctan cos.

16 6 Rešenje: a y e tan + cos, y e tan cos cos sin etan + sin cos, e y y tan + sin cos e tan cos + cos cos e tan + sin cos sin cos 4 etan + cos 3 + sin cos e tan + sin cos cos 4 etan + sin cos + cos cos + sin cos 4 etan + sin + cos + sin cos 4, y 0 etan 0 + sin 0 + cos 0 + sin 0 b y arctan +, cos 4 0. y, y / 3/, y Odrediti y i y 0 ako je funkcija y zadata implicitno: a + y + y 4 + y, 0 ; b e y + y, 0 0; c log y + y, 0 0.

17 7 Rešenje: a Primetimo da su jednačinom + y + y 4 + y implicitno zadate dve funkcije y y i y y. Primenom postupka opisanog u zadatku 3. dobijamo njihov prvi izvod: y y + + y. Diferenciranjem dobijene jednakosti nalazimo drugi izvod obeju funkcija u proizvoljnoj tački oblasti definisanosti: Za imamo y y y + + y y + + y y + + y + + y y + + y y + y + + y 3 + y + + y. y 3 + y + + y. Za odred ivanje y zamenimo u jednačini + y + y 4 + y i dobijamo tj. + y + y 4 + y, y + 4y 5 0, čija su rešenja y i y 5. Sada je y y + + y 0, y y + + y 6 3

18 8 i y 3 + y + + y 3 3 3, y 3 + y + + y b Izvodi funkcije implicitno zadate sa e y + y u proizvoljnoj tački su y yey e y, ye y y y e y yey e y ye y e y e y y e y ye y y + y e y ye y e y + e y y + y e y e y y + yy + y e y + ye y + y + y e y e y ey + y y + ye y + y e y. Zamenom 0 u jednačini e y + y dobijamo y0, pa je y 0 e0 0 e 0 0, y 0 e 0 0 e e e 0. c Jednačinu možemo da transformišemo u oblik y log y + y, a zatim diferenciranjem i rešavanjem dobijene jednačine po y dobijamo prvi izvod funkcije u proizvoljnoj tački: y log y.

19 9 Ponovnim diferenciranjem dobijamo i drugi izvod: y y log y log y y y y y log y. Vrednost funkcije u tački 0 je y0 e, a vrednosti izvoda su y 0, y 0 e. Primetimo da se bez transformacije polazne jednačine dobijaju drugačiji oblici prvog i drugog izvoda funkcije: y y y, y y y y. Oni su ekvivalentni onima koji su prethodno dobijeni, što se može pokazati korišćenjem polazne jednačine. 9. Odrediti y i y 0 ako je funkcija y zadata parametarski: a { e t, y e t, 0 e; b { t cos t, y sin t, 0 π. Rešenje: a Prvi izvod parametarski zadate funkcije u proizvoljnoj tački je y dy d dy dt d dt et e t et e t e4t. Drugi izvod odred ujemo na sledeći način: y d dy d e 4t. d d d Primenjujući pravila za izvod složene funkcije: d e 4t d e 4t dt dt 4e4t d dt d d

20 0 i izvod inverzne funkcije: dobijamo dt d d dt e t, y 4e 4t e t e6t. Tačka čija je apscisa 0 e dobija se za vrednost parametra t 0 /. Zato je y e e 3 e 3. b Slično kao u prethodnom zadatku odred ujemo: y dy d y d d dy dt d dt dy d d d + sin t d dt sin t t cos t cos t + sin t cos t + sin t, cos t d cos t + sin t dt + sin t + sin t Specijalno, t cos t π se dobija za t 0 π/, pa je 0. Dokazati da je funkcija y π rešenje diferencijalne jednačine dt d + sin t + sin t. + sin π/ 8. y e + e y + y 4 y 0. Rešenje: Izvodi zadate funkcije su y e e, y e + e + 4.

21 Zamenom u levoj strani jednačine dobija se y + y 4 y e + e e e 4 e + + e + 4. Dokazati da funkcija f log e e + zadovoljava diferencijalnu jednačinu Rešenje: Kako je imamo f e 4 + f + e 4 f 0. 4e e 4, e 4 + f + e 4 f e + e 4 e + e 4 f 8e e 4 + e 4, e 4 + 4e e 4 e 4 8e. Odrediti y n n N ako je: e 4 + e 4 0. a y sina + b; b y cosa + b; c y e a+b ; d y loga + b. Rešenje: a Imajući u vidu da je prvih nekoliko izvoda funkcije jednako: y sina + b a cosa + b a sin a + b + π, y a sin a + b + π a cos a + b + π a sin a + b + π, y a sin a + b + π a 3 cos a + b + π a 3 sin a + b + 3 π, y 4 a 3 sin a + b + 3 π a 4 cos a + b + 3 π a 4 sin a + b + 4 π, 0.

22 možemo da pretpostavimo da je izvod reda n n N oblika y n a n sin a + b + nπ Dokaz izvodimo matematičkom indukcijom. Za n tvrd enje važi. Pretpostavimo da važi za neki prirodni broj k, tj. da je y k a k sin a + b + kπ. Tada je y k+ y k a k sin a + b + kπ a k+ cos a + b + kπ a k+ sin a + b + kπ + π a k+ k + π sin a + b +, što znači da važi i za prirodan broj k +. Prema tome, tvrd enje važi za svaki prirodan broj n, tj. y n sina + b n a n sin a + b + nπ.. b Na isti način dobijamo cosa + b n a n cos a + b + nπ n N. c Kako za funkciju y e a+b važi: y ae a+b, y a e a+b, y a 3 e a+b,... pretpostavljamo da je y n e a+b n a n e a+b n N. Tvrd enje se dokazuje matematičkom indukcijom na prethodno opisan način. d Za funkciju y loga + b imamo: y a a + b, a y a + b, y a 3 a + b 3, y4 3 a4 a + b 4.

23 3 S obzirom na prva četiri izvoda pretpostavljamo da je y n n an n! a + b n i dokazujemo matematičkom indukcijom. Za n tvrd enje važi. Iz indukcijske pretpostavke da tvrd enje važi za n k, tj. sledi y k+ y k k ak k! a + b k, y k k ak k! a + b k k a k k! a + b k k a k k! kaa + b k k a k+ k! a + b k+, što znači da važi i za n k +. Prema tome, važi y n loga + b n n an n! a + b n n N. 3. Ako je n N, odrediti: a n ; b n ; c 3 n. 4 9 Rešenje: a Na način opisan u zadatku. d dokazujemo da je n n n n! 3 3 n+. b Kako je važi , + 3 n + 6 n n 6 n 6 n n! n+.

24 4 c Transformišemo datu racionalnu funkciju na sledeći način: odakle dobijamo , + 3 n n n n! n 6 3 n+ n n n! + 3 n+ n n n! n+ + 3 n+ n n Odrediti n n N, a zatim, koristeći dobijeni rezultat, odrediti i + + n n N. Rešenje: Neka je f. Tada je: f / 3/, f 3/ 3 5/, f 3 5/ 3 5 7/. Uočavanjem pravilnosti pretpostavljamo da za proizvoljno n N važi f n n n 3 3 n n+/. n!! n n+. Dokaz matematičkom indukcijom opisan u zadatku. biće izostavljen.

25 5 Za odred ivanje + + n primenjujemo Lajbnicovu formulu fg n n k0 n f n k g k, k pri čemu je g + +. Kako je g +, g, g k 0, k 3, 4,... u navedenoj sumi su svi sabirci za k 3, 4,..., n jednaki nuli. Zato je fg n n n k k0 n 0 f n k g k n n f n g + f n g + f n g n!! n + + n 3!! n+ + n n + n n 5!! + nn n. n 3 Sred ivanjem poslednjeg izraza dobijamo + + n 3n 5!! n n+ 6n + 4n n Za n N odrediti a e 3+ n ; b e 3+ n. Rešenje: a Izvod reda n funkcije f e 3+ je videti zadatak. c f n e 3+ n 3 n e 3+. b Izvod e 3+ n odred ujemo primenom Lajbnicove formule za izvod proizvoda funkcija f e 3+ i g

26 6 Izvodi ovih funkcija su pa važi: f k 3 k e 3+, k 0,,,..., g , g 6 +, g 6, g k 0, k 3, 4,..., e 3+ n fg n n 0 n 0 f n g 0 + k0 n f n g + n n k n f n k g k f n g n 3 n e n e n e n3 + + nn 3 n e n + + n + n + 3. n 3 n e Odrediti 3 3 n n N. Rešenje: Matematičkom indukcijom se može dokazati da za proizvoljno n N važi: 3 n 3 log n 3, 3 n log 3 n 3. Primenom Lajbnicove formule dobijamo: 3 3 n n n 3 k 3 n k k k0 n n 3 log n 3 log 3 n k 3 k k0 log 3 n 3 3 n k0 n k 3 log log 3 log 3 n log log 3 n log 3 n 3 log log n 3 log 3 n 3 3 log n 7. k

27 7 Do istog rezultata se može doći i bez korišćenja Lajbnicove formule na sledeći način: 3 3 n 3 3 n 7 n 7 log log n Dokazati da funkcija f arctan zadovoljava diferencijalnu jednačinu + f f 0 i odrediti f 0 i f 0. Da li se može odrediti f n 0 za proizvoljno n N? Rešenje: Izvodi date funkcije su pa je zaista f, f, f f 0. Da bismo odredili f n 0 za proizvoljno n N, potražimo nti izvod izraza na levoj i desnoj strani jednakosti primenom Lajbnicove formule: n k0 f f, f n f n, n n k f n k k k0 n k f n k. k Kako je f n k f n k+, f n k f n k+,,, k 0, k 3, 4,... i, k 0, k, 3,...,

28 8 imamo: tj. n 0 f n+ + n n f n+ + n n f n+ + 0 f n f n, f n+ nf n+ nn f n f n+ + nf n. Za 0 jednakost postaje f n+ 0 n f n 0, n N. Imajući u vidu da je f 0 / i f 0 0, važi sledeće: f 0, f 4 0 0, f 5 0 3, f 6 0 0, f , f Pretpostavku da je za proizvoljno k N f k+ 0 k!!, f k 0 0. treba dokazati matematičkom indukcujom, što prepuštamo čitaocu.

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Tejlorova formula i primene

Tejlorova formula i primene MATEMATIQKA GIMNAZIJA Maturski rad iz matematike Tejlorova formula i primene Uqenik Benjamin Linus Mentor mr Srđan OgƬanovi Beograd, 007 Sadrжaj Uvod 3 Tejlorova formula 4 Tejlorova formula za polinome

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni problem interpolacije je egzistencija funkcije koja u tačkama

Osnovni problem interpolacije je egzistencija funkcije koja u tačkama Glava 1 Interpolacija Osnovni problem interpolacije je egzistencija funkcije koja u tačkama x k ima zadate vrednosti f k. Tačke (x k, f k ) nazivamo čvorovima interpolacije, a funkciju f interpolacionom

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem 26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz Matematike I

Zbirka zadataka iz Matematike I UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009.

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; II EO KC Niš, 9. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ) ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα