Matematika PIRMOJI KNYGA. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei

Transcript

1 Mtemtik Išplėstinis kurss Vdovėlis gimnzijos IV klsei PIRMOJI KNYGA

2 Turinys Trigonometrinės funkcijos 5 Rdininis kmpo mts Posūkio kmpi 5 Bet kokio kmpo sinuss, kosinuss, tngents ir kotngents 9 Funkcijos f(x) = sin x ir f(x) = cos x 4 Funkcijos f(x) = tg x ir f(x) = ctg x 7 5 Trigonometrinių funkcijų grfikų trnsformvims 6 Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 8 7 Lygčių sin x = ir cos x = sprendims 8 Lygčių tg x = ir ctg x = sprendims 8 9 Redukcijos tisyklė 40 0 To pties kmpo trigonometrinės formulės 4 Kmpų sumos ir skirtumo trigonometrinės formulės 45 Sudėtingesnių trigonometrinių lygčių sprendimo ūdi 5 Trigonometrinių nelygyių sprendims 56 Sntruk 60 Psitikrinkite 6 Diferencilinis skičivims 64 Argumento ir funkcijos pokytis 64 Funkcijos išvestinės sąvok 68 Išvestinių skičivimo tisyklės 7 4 Sudėtinė funkcij ir jos išvestinė 75 5 Logritminės, rodiklinės ir lipsninės funkcijos išvestinės 78 6 Trigonometrinių funkcijų išvestinės 8 7 Funkcijos grfiko liestinė 85 8 Funkcijos kitims ir jos ryšys su išvestine 88 9 Funkcijos ekstremumi 9 0 Funkcijos didžiusioji ir mžiusioji reikšmės uždrjme intervle 99 Funkcijų tyrims ir jų grfiki 04 Sntruk 08 Psitikrinkite 09 Integrlinis skičivims Pirmykštė funkcij Pirmykščių funkcijų rdimo tisyklės 6 Kreivinė trpecij Apirėžtinis integrls Niutono ir Leinico formulė 0 4 Apirėžtinio integrlo svyės 5 5 Kreivinės trpecijos ploto pskičivims 9 Sntruk 6 Psitikrinkite 7

3 4 Tikimyių teorij 40 4 Komintorikos uždvinii 40 4 Gretinii 4 4 Kėlinii Derinii Veiksmi su tsitiktiniis įvykiis Atsitiktinio įvykio tikimyė Nesutikomieji įvykii Nepriklusomieji įvykii ir jų tikimyė Binominii ndymi Atsitiktinis dydis ir jo skirstinys 75 4 Skitinės tsitiktinio dydžio chrkteristikos 79 Sntruk 84 Psitikrinkite 86 Atskymi 90 Dlykinė rodyklė 96 Nudot litertūr 99

4 Diferencilinis skičivims Diferencilinis skičivims ARGuMeNTO IR FuNKcIJOs POKYTIs ŠIAME SKYRELYJE Susipžinsite su tolydžiosios funkcijos sąvok, išmoksite pskičiuoti tolydžiosios funkcijos reikšmių pokytį, prisiminsite, kip rėžimi funkcijų grfiki Pngrinėkime, kip glim piūdinti funkcijos reikšmių kitimą rtimoje psirinktos rgumento reikšmės x 0 plinkoje Kitos rgumento reikšmės gli ūti didesnės r mžesnės už psirinktąją rgumento reikšmę x 0 Pvyzdžiui, ištirkime, kip kint pveiksle pvizduotos funkcijos f(x) = x reikšmės, ki x reikšmės rtėj prie Apskičiuokime kelis funkcijos f(x) reikšmes rtimoje tško x = plinkoje: x,,0,00,000,999,99,9 f(x) 7,6 7,06 7,006 7, ,994 6,94 6,4 Iš lentelės mtome, kd, ki x rtėj prie iš kirės, funkcijos reikšmės rtėj prie 7, o ki x rtėj prie iš dešinės, funkcijos reikšmės tip pt rtėj prie 7 Todėl glime skyti, kd funkcijos riinė reikšmė tške x 0 = yr 7 Trumpiu ti glime užršyti tip: ki x, ti f(x) 7 r lim f(x) = 7* x Funkcijos f(x) = x reikšmė tške x 0 = yr f() = = 7 Tigi funkcijos ri sutmp su funkcijos reikšme tške x 0 Toki funkcij yr tolydi * Simolis lim lotyniško žodžio limes, lietuviški reiškinčio ri, sntrump pv

5 tškè x 0 jei funkcij yr tolydi kiekvienme intervlo tške, ti skome, kd ji tolydi visme intervlè Tolydžiõsios fùnkcijos grfiką glim nurėžti netitrukus pieštuko nuo popierius lpo Pvyzdžiui, tiesinė funkcij f(x) = x + ( pv, ), kvdrtinė funkcij g(x) = x + + x ( pv, ) yr tolydžios visoje pirėžimo srityje Žiūrėdmi į pveiksle pteiktą funkcijos f(x) = ) grfiką, pngri x, ki x H 0, 0, 5x, ki x 0 nėkime, kip kint funkcijos reikšmės, ki rguments x rtėj prie nulio Ki rguments x rtėj prie nulio iš kirės, ti f(x) 0, ki x rtėj prie nulio iš dešinės, ti f(x) Šiuo tveju, rgumentui rtėjnt prie nulio, funkcijos reikšmės rtėj prie skirtingų reikšmių, todėl skome, kd funkcij tške x = 0 rios neturi, o tšks x = 0 yr funkcijos trū kio tãšks ) ) pv pv Funkcijos, kurios turi trūkio tškų (jų grfiki nutrūkstnčios kreivės), vdinmos netolydžiõsiomis Pvyzdžiui, funkcij f(x) = yr netolydi tške x = 0 (4 pv, ), funkcij g(x) = x = tg x netolydi tškuose x = π + πk, k Z (4 pv, ) ) ) 4 pv Pžvelkime į 5 pveiksle pteiktų trijų funkcijų grfikus Pveikslo dlyje ištisine linij nurėžts visoje pirėžimo srityje tolydžiosios funkcijos f(x) = x grfiks; dlyje pvizduot tiesė nutrūkst tške x = ti netolydžiosios tške x = = funkcijos f(x) = x grfiks; c dlyje pvizduots grfiks yr netolydžiosios x

6 Diferencilinis skičivims tške x = funkcijos f(x) = x grfiks Tški x = ir x = yr ptrtų netolydžiųjų funkcijų trūkio tški x + ) ) c) 5 pv užduotis Nurėžkite funkcijų grfikus Remdmiesi jis, nusttykite, r funkcijos yr tolydžiosios x, ki xg, x, ki xg, ) f(x) = ) ) f(x) = ) x, ki x; x, ki x Ngrinėkime funkciją y = f(x), kuri yr tolydi intervle (; ) Iš šio intervlo prinkime dvi nepriklusomo kintmojo reikšmes x ir x 0 APIBRĖŽTIS Skirtums x x 0 vdinms rgumeñto x pókyčiu Žymims x Ki x = x x 0, ti x = x 0 + x Skome, kd nepriklusomo kintmojo prdinė reikšmė x 0 įgijo pokytį x Pvyzdžiui, jei rguments kito nuo reikšmės x 0 = iki reikšmės x =,0, ti pokytis x =,0 = 0,0; jei x 0 = 5 ir x = 4,6, ti pokytis x = 0,04 APIBRĖŽTIS Skirtums f(x) f(x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) vdinms fùnkcijos reikšmių pókyčiu tške x 0 Žymims f(x 0 ) r y: f(x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) Iš 6 pveiksle pteikto grfiko mtome, kd rgumento pokytį titink grfiko tškų scisių skirtums, o funkcijos pokytį jos grfiko tškų ordinčių skirtums 6 pv

7 Rskime funkcijos f(x) = x pokytį, ki rgumento reikšmė keičisi nuo iki 4 Žinome: x 0 =, x = 4 Td f() = f(4) f() = 0,75 Atskyms 0,75 Rskime funkcijos f(x) = x + pokytį f(x 0 ) f(x 0 ) = x 0 +, f(x 0 + x) = (x 0 + x) + = x 0 x 0 x x +, f(x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) = x 0 x x Atskyms x 0 x x Kurie iš šių grfikų yr tolydžiųjų funkcijų grfiki (7 pv)? A B c D e 7 pv Suskirstykite funkcijos grfiko (8 pv) tškus į dvi grupes tškus, kuriuose funkcij yr tolydi, ir tškus, kuriuose funkcij yr netolydi Užršykite funkcijos tolydumo intervlus 8 pv Nurižykite funkcijos, kuri nėr tolydi tškuose, 0 ir, grfiką 4 Nurėžę funkcijų grfikus, nusttykite, r funkcijos yr tolydžiosios x x, ki xg, ) f(x) = ) ) f(x) =, ki x H 0, x, ki x; ) c) f(x) = [x]; x+, ki x0; x+ x d) f(x) = x x ; e) f(x) = x

8 Diferencilinis skičivims čiu Prdiniu liko momentu pirmsis utomoilis nuo snkryžos yr nutolęs 5 km tstumu, o kits 4 km tstumu Po kurio liko tstums trp utomoilių us mžiusis? 76 Grlivio, plukinčio ežeru, išlidos km ilgio keliui pskičiuojmos pgl formulę K(v) = 0,00v + 60 v, kur v grlivio greitis (km/h) Koks turi ūti grlivio greitis, kd išlidos vienm kilometrui ūtų mžiusios? 77 Lietus lšs, kurio prdinė msė lygi m 0, veikims trukos jėgos krint žemyn, tolygii išgruodms ir kiekvieną sekundę netekdms k msės vienetų Po kelių sekundžių nuo kritimo prdžios lšo kinetinė energij E(t) us didžiusi? (Jei lšo kritimo prdinis greitis v 0, ti kinetinė energij išreiškim m0 t v0 gt formule E(t) = ] g] + g ll FUNKCIJŲ TYRIMAS IR JŲ GRAFIKAI ŠIAME SKYRELYJE Išsiiškinsite, koki tvrk tirimos funkcijos, mokysitės užršyti tyrimo rezulttus ir pgl juos nurižyti grfiką Pprsčiusių funkcijų grfikus rižėme psirinkę kelis rgumento reikšmes ir pskičivę funkcijos reikšmes r psinudodmi žiniomis pie funkcijų grfikų trnsformvimą Sudėtingų funkcijų grfikus teisingi nurėžti turint kelis tškus gn sudėting Todėl pirmiusi reiki ištirti funkciją, t y išsiiškinti jos svyes, piūdinnčis funkcijos kitimą Tirdmi funkciją, likysimės tokios tvrkos: Nusttysime funkcijos pirėžimo sritį Nusttysime, r funkcij lyginė, r nelyginė Rsime funkcijos grfiko ir koordinčių šių snkirtos tškus 4 Rsime kritinius tškus 5 Nusttysime funkcijos reikšmių didėjimo ir mžėjimo intervlus, pskičiuosime funkcijos mksimumo ir minimumo tškų koordintes 6 Remdmiesi tskleistomis svyėmis, rižysime scheminį funkcijos grfiką 04 Ištirkime funkciją f(x) = 9x 5 + x ir nurėžkime jos grfiką Funkciją tirkime nurodyt tvrk Funkcijos pirėžimo sritis vis reliųjų skičių iė: D f = R f( x) = 9 ( x) 5 + ( x) = 9x 5 x = (9x 5 + x ) = f(x), todėl funkcij nelyginė, jos grfiks simetrišks koordinčių prdžios tško tžvilgiu

9 Rndme grfiko ir koordinčių šių snkirtos tškus Ki x = 0, grfiks kert y šį, f(0) = 0; ki f(x) = 0, grfiks kert x šį: 9x x = 0 Išsprendę lygtį, gunme x = 0; f(0) = 0 Koordinčių šių ir grfiko snkirtos tšks yr O(0; 0) 4 Ieškome kritinių tškų fʹ(x) = 45x 4 + 9x ; fʹ(x) = 0, ki 45x 4 + 9x = 0 Išsprendę lygtį, rndme kritinį tšką x = 0 5 Tirime funkcijos kitimą kritinio tško plinkoje Ki x < 0, ti fʹ(x) > 0; ki x > 0, ti fʹ(x) > 0 Funkcijos išvestinė teigim, todėl funkcij yr didėjnčioji visoje pirėžimo srityje Pereinnt kritinį tšką, išvestinės reikšmių ženkls nesikeiči, todėl funkcij ekstremumo tškų neturi 6 Apskičiuojme dr dvi funkcijos reikšmes, psirinkdmi x reikšmes rti kritinio tško: f( ) =, f() = Atsižvelgdmi į tyrimo rezulttus, rižome scheminį funkcijos grfiką (7 pv) 7 pv Ištirkime funkciją g(x) = x 4 x 4 ir nurėžkime jos grfiką Funkcijos pirėžimo sritis D g = R g( x) = ( x) 4 ( x) 4 = x 4 x 4; f( x) = f(x) Funkcij yr lyginė ir jos grfiks simetrišks ordinčių šies tžvilgiu Ki x = 0, grfiks kert y šį, g(0) = 4, ki g(x) = 0, grfiks kert x šį: x 4 x 4 = 0 Išsprendę lygtį, gunme x = ir x = Koordinčių šių ir grfiko snkirtos tški yr (0; 4), (; 0) ir ( ; 0) 4 Ieškome kritinių tškų: gʹ(x) = 4x 6x; gʹ(x) = 0, ki 4x 6x = 0 Išsprendę lygtį, rndme kritinius tškus: x = 0, x =, x = 5 Tirime funkcijos reikšmių kitimą kritinių tškų plinkoje (8 pv) 8 pv Funkcijos reikšmės mžėj intervluose ; l ir ; 0 l, didėj intervluose ; 0 l ir ; + l Funkcij g(x) turi minimumą tškuose x = ±, mksimumą tške x = 0 Apskičiuojme funkcijos minimumus g! l = 6,5 ir mksimumą g(0) = 4 6 Koordinčių plokštumoje pžymėję tškus (0; 4), (; 0), ( ; 0), kuriuose grfiks kert koordinčių šis, ekstremumų tškus! ;, 6 5 l, (0; 4) ir tsižvelgę į tyrimo rezulttus, rėžime scheminį funkcijos grfiką (9 pv) 9 pv 05

10 Diferencilinis skičivims 78 Ištirkite funkciją, nurėžkite jos grfiką: ) f(x) = x + x ; ) f(x) = x 4 x ; c) f(x) = x x x ; d) f(x) = x 0,5x 4 ; e) f(x) = (x ) ; f) f(x) = (x + ) (x ) Psinudodmi kompiuterių progrm, ptikrinkite, r teisingi nurižėte grfiką 79 Ištirkite funkciją, nurėžkite jos grfiką: ) g(x) = x (x 8); ) g(x) = x + x ; c) g(x) = 4 + x ; d) g(x) = x x + Psinudodmi kompiuterių progrm, ptikrinkite, r teisingi nurižėte grfiką 80 ) Funkcijos f(x) = x + x kritinii tški yr: A 0 B C ir 0 D E 0 ir ) Funkcijos g(x) = x kritinii tški yr: A 0 B C D 0 ir E ir c) Funkcijos g(x) = 6x x ekstremums lygus: A B 4 C 9 0 D 0 ir E 9 0 ir 4 d) Funkcijos g(x) = cos 4 x sin 4 x didžiusioji reikšmė intervle [0; π] lygi: π A 0 B C D E π e) Jei funkcij f yr diferencijuojm ir neįgyj vienodų reikšmių iėje R, ti: A fʹ gli ūti lygi nuliui B f gli turėti ekstremumų f) Kurie teiginii tink funkciji f(x) = (x + ) x? A Yr mžėjnčioji intervle ` ; + j B Yr didėjnčioji intervle ; ` j C Yr didėjnčioji intervle ( ; ) D Neturi ekstremumų g) Ar teisingi šie teiginii, jei funkcij f yr diferencijuojm iėje R? A Jei f neturi nulių, ti ir fʹ neturi nulių B Jei f turi nulį, ti ir fʹ turi nulį C Jei f turi dugiu kip vieną nulį, ti ir fʹ turi nulį D Jei fʹ turi nulį, ti ir f turi nulį h) Kurie teiginii tink prolės y = x x + 6 liestinei tške x 0? A Neegzistuoj π B Su teigimąj x šies kryptimi sudro kmpą, lygų 4 06

11 C Su teigimąj y šies kryptimi sudro kmpą, lygų π 4 D Yr koordinčių šių sudryto kmpo pusiukmpinė Dro grupėmis užduotys Lngo, kurio ptinė dlis yr stčikmpio formos, o viršutinė pusskritulio formos, perimetrs lygus 8 m Koks turi ūti pusskritulio spindulys, kd lngs prleistų dugiusi šviesos? Lngo pgrindą pžymėję x, sudrykite funkciją, piūdinnčią lngo plotą Ištirkite šią funkciją Nurėžkite ištirtos funkcijos grfiko eskizą Pršykite išvdą Trikmpio pgrindo ir ukštinės ilgių sum 0 dm Kokio ilgio turi ūti pgrinds, kd trikmpio plots ūtų didžiusis? Trikmpio pgrindo ilgį pžymėję, sudrykite funkciją, piūdinnčią trikmpio plotą Ištirkite šią funkciją Nurėžkite ištirtos funkcijos grfiko eskizą Pršykite išvdą Skičius išreikšts trijų dėmenų sum Du iš tų dėmenų yr lygūs Rskite visus tris dėmenis, jei žinom, kd jų sndug yr didžiusi Vieną dėmenį pžymėję, sudrykite funkciją, piūdinnčią trijų dėmenų sndugą Ištirkite šią funkciją Nurėžkite ištirtos funkcijos grfiko eskizą Pršykite išvdą 4 Kūgio sudromosios ilgis 0 dm Kokio ilgio turi ūti kūgio ukštinė, kd jo tūris ūtų didžiusis? Kūgio ukštį pžymėję h, sudrykite funkciją, piūdinnčią kūgio tūrį Ištirkite šią funkciją Nurėžkite ištirtos funkcijos grfiko eskizą Pršykite išvdą 07

12 Diferencilinis skičivims SANTRAUKA Skirtums x x 0 vdinms nepriklusomo kintmojo, r rgumento, pokyčiu ir žymims x Skirtums f(x) f(x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) vdinms funkcijos pokyčiu tške x 0 ir žymims f(x 0 ) r y Funkcijos y = f(x) išvestine tške x 0 vdinms skičius, prie kurio rtėj sntykis T f fx Tx = ] 0 + Txg f] x0g Tx, ki x rtėj prie 0 v(t) = s (t), (t) = v (t) k = tg β = f (x 0 ) y = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) Išvestinės fizikinė prsmė Išvestinės geometrinė prsmė Liestinės lygtis Išvestinių pskičivimo tisyklės ir formulės (u(x) ± v(x)) = u (x) ± v (x) (u(x) v(x)) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Sumos (skirtumo) išvestinė Sndugos išvestinė u(x) x(x) = u (x) v(x) u(x) v (x), v(x) 0 v (x) Dlmens išvestinė y = f (g(x)) g (x) Sudėtinės funkcijos y = f(g(x)) išvestinė c = 0, x = (log x) = x ln, (ln x) = x Pstoviojo skičius ir rgumento išvestinės Logritminės funkcijos išvestinė ( x ) = x ln, (e x ) = e x Rodiklinės funkcijos išvestinė (x n ) = n x n Lipsninės funkcijos išvestinė (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tg x) = cos x, (ctg x) = sin x Trigonometrinių funkcijų išvestinės Pknkmoji ekstremumo sąlyg Jei funkcijos f(x) išvestinės f (x) ženkls keičisi, ki x didėdms perein kritinį tšką x 0, ti šime tške funkcij turi ekstremumą: mksimumą, jei f (x) ženkls keičisi iš + į ; minimumą, jei f (x) ženkls keičisi iš į + 08

13 PASITIKRINKITE 8 Rskite funkcijos išvestinę, gutą išrišką suprstinkite: ) f(x) = x 8x + ; ) f(x) = x ; 5x + c) f(x) = x cos x; d) f(x) = 6 x, e) f(x) = sin x cos x + sin ; f) f(x) = log x log 8; g) f(x) = x ; h) f(x) = ln x + x+ ; i) f(x) = e x ln x 8 Apskičiuokite: ) f ` j, ki f(x) = x 5; ) f π l, ki f(x) = sin ( x) 6 8 Žinom funkcij f(x) = 0 x 5x Sudrykite funkciją f(5x) Išspręskite lygtį fʹ(5x) = 6 5fʹ(x) 84 Išspręskite nelygyę fʹ(x) > gʹ(x), ki f(x) = ln (x ) 7, g(x) = ln (x ) Mterilusis tšks jud pgl dėsnį s(t) = t + 4t + 9t (m) Rskite: ) liko momentą t (sekundėmis), ki tško pgreitis lygus nuliui; ) greitį, kuriuo tšks jud tuo liko momentu 86 Kokiu kmpu prolės y = x 4x 7 liestinė, nurėžt per tšką, kurio scisė x 0 =,5, kert x šį? 87 Įrodykite, kd funkcijos f(x) = x 4 grfiko liestinės šio grfiko snkirtos su x koordinčių šimis tškuose yr lygigrečios 88 Pršykite funkcijos f(x) = x x 4 grfiko liestinės, nurėžtos per tšką x 0 =, lygtį 89 Pršykite funkcijos f(x) = x + x grfiko liestinės lygtį, jei ji: ) lygigreti su tiese y = x ; ) sttmen tiesei y + 0,5x = 90 Nudodmiesi 40 pveiksle pteiktu funkcijos grfiku, nusttykite, kurie teiginii yr teisingi 40 pv 09

14 Diferencilinis skičivims Tęsinys A Ki x ( 5; ), šios funkcijos išvestinės reikšmės neigimos B Ki x ( ; ), šios funkcijos išvestinės reikšmės neigimos C Funkcijos išvestinė lygi nuliui, ki x = 7, x = 5, x =, x = 5, x = 0,5 D Funkcijos išvestinė lygi nuliui, ki x = 4, x =, x =, x = 6 E Funkcijos didžiusioji reikšmė intervle [ ; 6] yr lygi 4 F Funkcijos didžiusioji reikšmė intervle [ ; 6] yr lygi G Funkcijos ekstremumo tški intervle ( 5; 7) yr x =, x = 6, x = 4 ir x = H Funkcijos ekstremumo tški intervle ( 5; 7) yr x = ir x = 6 9 Vienos upės vg yr prolės y = x formos, o kitos vg tiesės x y = = 0 formos Šių upių vgs norim sujungti tiesiu knlu, kurio ilgis ūtų pts trumpiusis Kuriuos prolės ir tiesės tškus reikėtų sujungti? Nusttykite šių tškų koordintes 9 Rskite funkcijos reikšmių didėjimo ir mžėjimo intervlus: ) f(x) = x + x x; ) f(x) = x (x 6) ; c) f(x) = x x Rskite funkcijos ekstremumus: ) f(x) = x 4 + x + ; ) f(x) = ln x x ; c) f(x) = x + x 94 Apskičiuokite funkcijos didžiusiąją ir mžiusiąją reikšmę intervle: ) f(x) = x 9x 4, [ ; ]; ) f(x) = (x ) e x, [0; ln 00]; c) f(x) = 0,5cos x + sin x, π ; ; D 4 π 95 Ištirkite funkciją ir nurėžkite jos grfiką: ) f(x) = 0,5x x; ) f(x) = x 4 + x; c) f(x) = x 4 + 8x 4 96 Atlieknt funkcijos tyrimą, uvo nusttytos tokios funkcijos svyės: pirėžimo sritis yr vis reliųjų skičių iė; funkcij yr nelyginė; ji yr tolydi ir fʹ(x) < 0, ki x ( 9; 4), fʹ(x) > 0, ki x ( 4; ), fʹ(x) < 0, ki x ( ; 0), fʹ( 4) = fʹ( ) = 0, f( 9) = 0, f( 4) =, f( ) = 0, f( ) = Remdmiesi pteiktomis funkcijos svyėmis, nurižykite funkcijos f(x) grfiką intervle [ 9; 9] 97 Dviejų skičių sum lygi 4 Rskite tuos skičius, jei žinom, kd jų sndug įgyj didžiusiąją reikšmę 98 Rskite skičių, kurį sudėję su jo kvdrtu gutumėte mžiusiąją sumą 0

15 Tęsinys 99 Trpecijos ABCD krštinių AB, BC ir CD ilgis lygus AD > BC Koks turi ūti kmpo CDA didums, kd trpecijos plots ūtų didžiusis? 00 Reiki pgminti uždrą ritinio formos ką, kurio tūris ūtų lygus 7 cm Kokio ilgio turi ūti ko pgrindo spindulys x ir ukštinė H, kd minėto tūrio kui pgminti ūtų sunudot mžiusii lkštinio plieno? 0 Kūgis pirėžts pie rutulį, kurio spindulys cm Kokio ilgio turi ūti kūgio ukštinė, kd jo tūris ūtų mžiusis? 0 Ūkininko sody yr 50 km tstumu nuo miesto ir 0 km tstumu nuo plento, kuris ein per tą miestą Krovinius pervežti plentu yr krtus pigiu negu pervežti keliu Kokiu kmpu į plentą reiki nutiesti kelią iš sodyos, kd krovinius vežti į miestą ūtų pigiusi? 0 Iš miestelio v km/h greičiu išėjo psivikščioti poilsiutojs Jm nuėjus 6 km, iš to pties miestelio išvživo dvirtininks, kurio greitis 9 km/h didesnis už poilsiutojo greitį Ki dvirtininks psivijo poilsiutoją, u psuko tgl ir krtu grįžo į miestelį 4 km/h greičiu ) Įrodykite, kd psivikščiojimo metu poilsiutojo sugišto liko priklusomyė nuo greičio v išreiškim funkcij t(v) = v v 6 ) Kokiu greičiu turi eiti poilsiutojs, kd psivikščiojimo metu sugištų mžiusii liko? Apskičiuokite sugištą liką 04 Per tšką P(; ) nurėžt tiesė m, kurios krypties koeficients k < 0 Tiesė koordinčių šis kert tškuose M(x; 0) ir N(0; y) ) Įrodykite, kd tstumų OM ir ON (O koordinčių prdžios tšks) sndug OM ON, kip kintmojo k funkcij, išreiškim formule f(k) = 4k + 4k k ) Rskite, su kuri k reikšme sndug OM ON įgyj mžiusią reikšmę c) Apskičiuokite tą mžiusiąją sndugos OM ON reikšmę d) Pršykite tiesės m lygtį 05 Iš rąsto, kurio pjūvio spindulio ilgis r, išpjut sij Medžigų tsprumo teorijoje įrodom, kd stčikmpio pjūvio sijos psipriešinims lenkimui yr tiesiogii proporcings jos pločiui ir ukščio kvdrtui: P = k Koks turi ūti tspriusios lenkimui sijos pjūvis?

16 Integrlinis skičivims SANTRAUKA Funkcij F(x) vdinm funkcijos f(x) pirmykšte funkcij, ki Fʹ(x) = f(x) Ki kurių funkcijų pirmykštės funkcijos: f(x) F(x) f(x) F(x) x + C sin x cos x + C x x C cos x sin x + C e x e x + C cos x x x ln + C sin x x ln x + C tg x + C ctg x + C Pirmykščių funkcijų rdimo tisyklės: ki h(x) = f(x) + g(x), ti jos pirmykštė funkcij H(x) = F(x) + G(x) + C; ki g(x) = k f(x), ti jos pirmykštė funkcij G(x) = k F(x) + C; funkcijos f(k x + ) pirmykštė funkcij yr k F(k x + ) + C, kur k ir skičii Kreivine trpecij vdinme figūrą, priotą tiesėmis x =, x =, y = 0 ir intervle [; ] tolydžiosios funkcijos f(x) grfiku Kreivinės trpecijos plots S = F() F() Intervle [; ] tolydžiosios funkcijos f(x) pirėžtiniu integrlu vdinm dydžių S n = f(x 0 ) Δx + f(x ) Δx + f(x ) Δx + + f(x n ) Δx sumos ri, ki n Apirėžtinis integrls žymims y fx ] gdx Niutono ir Leinico formulė: y fx ] gdx = F(x) = F() F() Ji tikom pskičiuojnt pirėžtinius integrlus ir kreivinių trpecijų plotą Apirėžtinio integrlo svyės: y fx ] gdx = y fx ] gdx, y fx ] gdx = 0, c y fx ] gdx + y fx ] gdx = y kf] xgdx = k y kf] xgdx, y ] gx ] g+ hx ] gg dx = y gx ] gdx + y hx ] gdx, y fkx ] + gdx = k Fkx ] + g c y fx ] gdx, 6

17 PASITIKRINKITE 4 Įsitikinkite, kd pirmoji funkcij yr ntrosios funkcijos pirmykštė funkcij, ki: ) F(x) = x + 4x 4 9, f(x) = x + 6x ; 4 ) F(x) = x, f(x) = x + ; c) F(x) = + x, f(x) = ; x x x d) F(φ) = cos 5φ + φ; f(φ) = 5 sin 5φ + 4 Įrodykite, kd funkcij F(x) = x 5 pirmykštė funkcij + x 0 yr funkcijos f(x) = x x x x x 4 Pršykite viss funkcijos f(x) pirmykštes funkcijs F(x), ki: ) f(x) = x + ; ) f(x) = x; c) f(x) = cos x; d) f(x) = sin x; e) f(x) = e x ; f) f(x) = 4 x; g) f(x) = ; h) f(x) = x cos ; i) f(x) = x x 44 Pršykite funkcijos f(x) pirmykštę funkciją F(x), įgyjnčią nurodytą reikšmę duotme tške: ) f(x) = 4x, F( ) = ; ) f(x) = 7 4 x x 5, F( ) = 6; c) f(x) = cos 4x, F π l 4 = ; d) f(x) = x + 4 l, F() =, x 45 Pršykite funkcijos f(x) pirmykštę funkciją, kurios grfiks ein per nurodytą tšką: ) f(x) = 4x, A( ; 8); ) f(x) = x 5 x, B 4; ` j; c) f(x) = sin x, M π ; 6 l; d) f(x) =, N ; sin x π l 46 ) Nurodykite teigimą reikšmę, su kuri teising lygyė y x dx = A B 4 C D 4 m x ) Nurodykite viss m reikšmes, su kuriomis teising nelygyė y e dx > A < m < B m <, m > C ln < m < ln D m > ln c) Figūros, kurią rioj prolė y = + x x ir tiesė y = 0, plots lygus: A 6 4 B 4 C 4 4 D 5 6 d) Kreivinės trpecijos, kurią rioj prolė y = x ir kreivė y = x, plotą glim išreikšti tip: A y ] x xgdx B y x dx + y x dx C y ] x x gdx D y ] x x gdx e) S kreivinės trpecijos, priotos hiperole y = x 6 ir tiesėmis x = ei x =, plots, o S kreivinės trpecijos, kurią rioj t pti hiperolė ir tiesės x = ei x = 6, plots Kip susiję S ir S? A S = S B S > S C S > S D S + S = 0 4 m 0 4 7

18 Integrlinis skičivims Tęsinys 47 Apskičiuokite pirėžtinį integrlą: ) y dx; ) y x 5 dx; c) y x dx; 0 π e d) y ] x x g dx; e) cosx sin x y ` + j dx; f) dx y dx; x π 6 g) y 5x 5x dx; h) x y ]] g] x + gg dx; i) x + 8 π 8 5 y dx cos x 48 Apskičiuokite y fx ] gdx, ki funkcij f(x) pirėžt 0 pveiksle pteiktu grfiku: ) y fx ] gdx; ) y fx ] gdx; c) y fx ] gdx π 8 pv 49 Apskičiuokite figūros, priotos nurodytomis linijomis, plotą: ) y = x x ir y = 4 ; ) y = 4 x +, y = x + ir y = ; c) y = (x ) + ir y = x + ; d) y = 4 x ir y = x ; e) y = x ir y = x; f) y = x 5 ir y = 6 x 50 ) Mteriliojo tško, judnčio išilgi koordinčių šies, greitis v(t) = t (m/s) Pršykite formulę, pgl kurią ūtų glim pskičiuoti tško koordintę x = = x(t), jei prdiniu liko momentu ji lygi (m) ) Kūns prded judėti iš koordinčių prdžios tško greičiu v(t) = t (m/s) Apskičiuokite kūno koordintę prėjus s ir 4 s nuo judėjimo prdžios Koks yr kūno koordintės pokytis per liko intervlą [; 4] s? c) Tiesieigii judnčio kūno greitis kint pgl dėsnį v(t) = 4t (m/s) Apskičiuokite kūno nueitą kelią per ketvirtąją sekundę d) Apskičiuokite figūros, priotos kuine prole y = x ir tiesėmis x =, x = ei y = 0, plotą A 4 4 B 4 4 C 4 D 4 8

19 Tęsinys 5 Su kuriomis m reikšmėmis teisingos lygyės: m ) x y dx = 4 ; ) + y x dx = 4? m m m 5 Figūrą rioj prolė, jos liestinė, nurėžt per tšką, kurio scisė x 0, ir ordinčių šis Apskičiuokite figūros plotą ) y = x, x 0 = ; ) y = x + 4x + 0, x 0 = ; c) y = x x + 5, x 0 = 5 Apskičiuokite figūros, kurią rioj funkcijos f(x) ir jos pirmykštės funkcijos F(x) grfiki, plotą: ) funkcijos f(x) = 4x grfiks pirmykštės funkcijos F(x) grfiką kert dviejuose tškuose, kurių vieno koordintės ( ; 4); ) funkcijos f(x) = x ir pirmykštės funkcijos F(x) grfiki susikert dviejuose tškuose, kurių vieno koordintės yr (; 6) 54 Išspręskite nelygyių sistemą: Fl] xg 0, ) ) ki f(x) = x, o F(0) = 4; Fx ] g 0, Fl] xg 0, ) ) ki f(x) = x, o F(0)= Fx ] g 0, 55 Iš 0 mm storio skrdinio lkšto gminm trm, kurios viršutinis ir ptinis kontūri yr susikertnčios prolės ( pveiksle pvizduots trmos skerspjūvis) Atstums trp prolių snkirtos tškų lygus m, tstums trp prolių viršūnių lygus m, o tstums nuo žemės iki trmos tip pt lygus m ) Pršykite prolių lygtis ) Apskičiuokite trmos skerspjūvio plotą c) Apskičiuokite trmos msę Ptrims Msė pskičiuojm pgl formulę m = ρ S d, kur ρ plieno tnkis (ρ = 7,8 0 kg/m ), S trmos skerspjūvio plots, d trmos storis pv 9

20 Mtemtikos vdovėlio mokomąjį komplektą gimnzijos IV klsei, vidurinės mokyklos XII klsei sudro: Vdovėlis Pirmoji knyg Antroji knyg ISBN