Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.
|
|
- Ἀριστομάχη Γεωργιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk z dodtno usvršvnje i npredovnje: Bermn: Zbirk zdtk iz Mtemtike nlize, Nun knjig, 978 Peri, Tomi, Kri: Zbirk riješenih zdtk iz Mtemtike II, Svjetlost, 987 Ušumli, Milii: Zbirk zdtk iz Mtemtike II, Nun knjig, Ferenci, Ungr, omi, Cvijetnovi, Uzelc: Zbirk zdtk iz Mtemtike z studente Tehnikih fkultet, Nun knjig, 98 Zei, Husknovi, Aljbegovi: Mtemtik I z tehnike fkultete, MF, 9 Dodtk A Osnovene formule iz Mtektike II 5 Sedmic broj 8, 9 i (Krivoliniski integrli) Krivoliniski integrli prve vrste (po luku) i njegov primjen: Runnje površine cilindrine površi. 9 Krivoliniski integrli druge vrste (po koordintm). Green formul. 7 Primjen krivoliniski integrli druge vrste: Runnje površine rvne figure. Nezvisnost krivol. integrl od vrste konture. Odreivnje primitivnih f-j. 55 Sedmic broj i (Površinski integrli) Površinski integrli I (prve) i II (druge) vrste 75 Primjen površinskog integrl. Stoksov formul. Formul Gus-Ostrogrdskog. (svesk je skinut s strnice pf.unze.b\nbokov U svesci je mogu pojv grešk. Z sve uoene greške pisti n inforrt@gmil.com) Sedmic broj (Integrli ovisni o prmetru) Diferencirnje svojstvenog i nesvojstvenog integrl ovisnog o prmetru 9 Sedmic broj i 5 (Vektorsk teorij polj) Sklrno polje. Grdijent sklrnog polj. Vektorsko polje. Rotor i divergencij vektorskog polj. 9 Cirkulcij i fluks vektorskog polj. 57 Dodtk B (Ispitni rokovi) Svi ispitni rokovi iz. i. godine 7
2 (ov strnic je ostvljen przn) (ov strnic je ostvljen przn)
3 Dio tblic integrl.. u du = u+ + C,. + du u. u du = u = d =ln u + C. u. u du = u ln + C; e u du = e u + C.. sin du = cos u + C. 5. cos du =sinu + C. 6. du =tgu + C. cos u Osnovne formule iz Mtemtike II 7. sin du = ctg u + C. u du 8. u + = rc tg u + C. du 9. u = ln u + C. u + du. u =rcsinu + C. du. u + =ln u + u + + C. Newton-Leibnizov formul. b b f(u)du = f(u)du = F (u) b = F (b) F (), gdje je F (u) =f(u). Osobine određenih integrl. b. f()d = f()d. b. f()d =. b c b. f()d = f()d + f()d. c b b. [f ()+f () f ()]d = f ()d + 5. b b cf()d = c b f()d. b b f ()d f ()d. Smjen promjenjivih u određenom integrlu. = ϕ(t) = = ϕ(α) t = α β β f()d = d = ϕ (t)dt = b b = ϕ(β) t = β = f(ϕ(t))ϕ (t)dt = h(t)dt α α Neprvi integrli. + f()d = lim b b f()d, b f()d = lim b f()d,... b d Rčunnje površine rvne figure. U zvisnosti od izgled slike: P = f()d, P = g()d, c b b d P = f()d, P = [η() μ()]d, P = [g() h()]d,... = η(t) Zpremin rotcionog tijel. Ako, kriv dt u prmetrskom obliku C : = μ(t) t t t oko -ose, zpremine se rčun po formuli t V = π [μ(t)] η (t) dt. t c t Ist kriv ko rotir oko -ose, V = π [η(t)] μ (t) dt. Iz ove dvije formule, z funkcije = f() i = g(), slijedi V = π b t [f()] d i V = π d c [g()] d. 5 rotir C : Dužin luk krive. C : { b = f() b,l= = η(t) = μ(t) t t t +[ ()] d; C :,l= t t [η (t)] +[μ (t)] dt; { d = g() c d,l= c +[g ()] d; Komplncij obrtne površi. Površin omotč tijel dobijenog rotcijom krive = η(t) t C : = μ(t), oko -ose, se rčun po formuli: P =π μ(t) [η (t)] +[μ (t)] ]dt; t t t t { b = f() C : b, P =π f() +[f ()] ]d;... Funkcije dvije nzvisno promjenjive.... Prcijlni izvodi f-j više pomjenjivih. z = f(, ), z = z = lim f( +Δ, ) f(, )... Δ Δ Diferencirnje funkcij više promjenjivih. u = f(,, z), du = u d + u u d + dz... z Diferencirnje složenih funkcij.... Prcijlni izvodi višeg red složenih funkcij.... Ekstremne vrijednosti f-j dvije promjenjive.... Uslovni ekstremi f-j dvije promjenjive.... Jednčin tngentne rvni i jednčin normle n površ. Ako je S u obliku F (,, z) = Dvojni integrli. α : F (,,z )( )+F (,,z )( )+F z(,,z )(z z )= D D n : F (,,z ) = F (,,z ) = z z F z(,,z ) b f(, ) = d f(, ) = c d d h() g() μ() η() f(, )d = f(, )d = b h() g() d μ() c η() f(, )d d, f(, )d d... Smjen promjenjivih u dvojnim integrlim. Z prelzk s prvougonih n polrne = r cos(ϕ) koordinte koristimo smjene = r sin(ϕ), poopštene plrne koordinte su oblik dd = rdrdϕ = rcos(ϕ), ( >) = brsin(ϕ), (b >) dd = brdrdϕ J = u u v v Trojni integrli...., z proizvoljne smjene 6 = η(u, v) = μ(u, v) dd = J dudv, gdje je J Jkobijn,
4 Rčunnje trojnih integrl uvođenjem cilindričnih i sfernih koordint. = r cos(ϕ) = r sin(ϕ) N cilindrične koordinte prelzimo pomoću z = z dddz = rdrdϕdz Primjen dvostrukih integrl. () P =, opis tčke je Z prelzk s prvougonih n sferne koordinte koristimo = r sin(ϕ)cos(θ) = r sin(ϕ) sin(θ) sljedeće smjene, z = r cos(ϕ) dddz = r sin(ϕ)drdϕdθ (opis tčke je prikzn n slici lijevo). D dd. (b) V = D f(, )dd. Primjen trostrukih integrl. () V = dddz. Ω (b) T ( T, T,z T ), T = dddz, T = dddz,z T = zdddz. V V V Krivoliniski integrl prve vrste (po luku). = η(t) t C : = μ(t), f(, )ds = t t t C t { b = f() C : b, z(, )ds = C Ω Ω f(η(t),μ(t)) (η (t)) +(μ (t)) dt. z(, f()) +(f ()) d. Primjen krivoliniskog integrl { prve vrste - Rčunnje površine cilindrične površi. F (, ) = C :, P = z(, )ds. z = Krivoliniski integrl druge vrste (po koordintm). = η(t) t C : = μ(t), P (, )d + Q(, )d = [P (η(t),μ(t))η (t)+q(η(t),μ(t))μ (t)]dt. t t t C t { b = f() C : b, P (, )d + Q(, )d = [P (, f()) + Q(, f())f ()]d. C Krivoliniski integrl druge vrste ovisi o smjeru put integrcije. Formul Green. ( Q P (, )d + Q(, )d = P ) dd. C S Primjen krivoliniskog integrl druge vrste - Rčunnje površine rvne figure. P = d d. C Nezvisnost krivoliniskog integrl od vrste konture. Određivnje primitivnih funkcij...., Q = P u,..., du(, ) = ud + d,... 7 C Ω Površinski integrl prve vrste. ( ) ( ) η η D projekcij od S: z = η(, ) n - f(,, z)ds = f(,, η(, )) + + dd. S D ( ) ( ) μ μ E projekcij od S: = μ(, z) nz - f(,, z)ds = f(, μ(, z), z) + + ddz. z S E ( ) ( ) γ γ F projekcij od S: = γ(, z) nz - f(,, z)ds = f(γ(, z),,z) + + ddz. z S F Površinski integrl druge vrste. Ako je integrl oblik P (,, z)ddz + Q(,, z)ddz + R(,, z)dd obično g podjelimo n tri S dijel P (,, z)ddz, Q(,, z)ddz, R(,, z)dd. Nekje n =(cosα, cos β,cos γ) vektor S S S normle n površinu S, gdje su α, β i γ uglovi koje vektor normle zklp s, i z osom. Td S : = η(, z), nek je D projekcij od S n z rvn, I = P (,, z)ddz = = ± P (η(, z),,z)ddz gdje S nek je α ugo koji vektor normle n S zklp s -osom, D vrijednost z ± zvisi od cos(α) (cos(α) > stvljmo +, z cos(α) < stvljmo -, z cos(α) = immo I = ). Slično z I i I S : = μ(, z), nek je E projekcij od S n z rvn, I = Q(,, z)ddz = = ± Q(, μ(, z), z)ddz. S nek je β ugo koji vektor normle n S zklp s -osom, E S : z = δ(, ), nek je F projekcij od S n rvn, I = R(,, z)dd = = ± R(,, δ(, ))dd. S nek je γ ugo koji vektor normle n S zklp s -osom, F Primjen površinskog integrl prve vrste - Izrčunvnje površine dijel gltke površi. ( ) ( ) η η P = ds = + + dd, gdje je D projekcij od S: z = η(, ) n rvn. S D Stoksov formul.... Formul Guss-Ostrogrdski. S P (,, z)ddz + Q(,, z)ddz + R(,, z)dd = Ω ( P + Q + R ) dddz z Integrli ovisni o prmetru. b(α) b(α) I(α) = f(, α)d = I (α) = f α(, α)d + b (α)f(b(α),α) (α)f((α),α). (α) (α) b Ako grnice i b ne zvise od α td I (α) = f α(, α)d. Vektorsk teorij polj.... Cirkulcij i fluks vektorskog polj. C = v d r = v d + v d + v z dz. c c Φ= v n ds = v ddz + v ddz + v z ddz. S S 8
5 9
6
7
8 5 6
9 7 8
10 9
11
12
13 5 6
14 7 8
15 9
16
17
18 5 6
19 7 8
20 9
21
22 . Izrunj krivolinijski integrl od tke A(,) do tke B(,). d d I L ) ( ) po prvoj += b) duž prbole c) duž elipse =cost ; = sint Rješenj: ) Skicirjmo dtu prvu (uput vidi sliku desno). += = - d = -d 6 ) 6 ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( d d d d d d d I L b) Skicirjmo prbolu (uput: vidi sliku iznd). d d d d d d d d d d I L ) ( d c) Skicirjmo elipsu (uput: vidi sliku s prethodne strnice). = cost = sint d = costdt sin cos : t t t L sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos ) cos sin sin sin (cos sin cos ) sin cos sin ( cos sin cos ) sin ( ) sin (cos ) ( t t t c t c u du u du tdt u t tdt t c t c u du u du tdt du tdt u t tdt t tdt t tdt tdt t dt t t t t t tdt t dt t t t tdt t t tdt t t d d I L
23 5 6
24 7 8
25 9 5
26 5 5
27 5 5
28 55 56
29 . Izrunti površinu figure koj je ogrnien krivom: ) elipsom cost, bsint ; b) petljom Dekrtovim listom. Rješenj: ) Koristit emo sljedeu formulu: Slik : elips P d d, C gdje je (vidi sliku ) cost C bsint t Izrunjmo izvode od i : d sint dt d bcost dt Uvrstimo u formulu: P d d cost b cost b sint ( ) sint dt C ( ) bcos t b sin t dt b cos t sin t dt b dt b t b b Konno rješenje: P b
30 b) Slik : Dekrtov list D bismo koristili formulu P d d, C mormo prei n prmetrsku jedninu krive uzevši: t, t Vidimo d polrni rdijus OM (vidi sliku ), gdje je O(,) i M(,), opisuje cijelu petlju krive kd t ide od do +. Uvrstimo smjenu t u te n dobiveni rezultt unijeti i smjenu t p emo imti: t t t t /: t ( t ) t t t t t t t t t t t t t t P dlje runmo izvod z : t t ( t ) d dt ( t ) t t( t ) d dt ( t ) t d dt ( ) t te i z : 6 t t t ( t ) d dt ( t ) t t( t ) d t dt ( t ) t t d t dt ( t ) t d t dt ( t ) Pomnožimo izvode s d i d s i, redom t t d t dt t ( t ) Sd uvrstimo dobijene rezultte: d 9 t dt d 9 t dt t t t t d dt t ( t ) t t t ( t ) t t P d d 9 9 t t C t ( t ) t t t 9 9 t dt t dt dt 59 6
31 6 6
32 6 6
33 65 66
34 67 68
35 69 7
36 7 7
37 7 7
38 75 76
39 77 78
40 79 8
41 . Izrunti površinski integrl: ), gdje je ds z I ) 6 ( oblst rvni ++z = 6, u prvom oktntu; b) ds z K W ) (, gdje je W površin cilindr, koj se nlzi izmeu rvni z = i z = h. Rješenj: ) Skicirjmo oblst (vidi sliku desno) ++z = 6/:6 6 z segmentni oblik jednine rvni z z 6 z dd z z z f ds z f D )), (,, ( ),, ( z z z z Projekcij n O rvn izgled: Ncrtti projekciju (uput:vidi O rvn s slike iznd) D 6 : 5 6) 5 (9 ) ( 6) 6 (6 6 ) (6 5 ) (6 6 ) (6 ) ( ) ( d d d d d d d dd dd ds z I D D b) ds z K W ) ( z = i z = h Skicirjmo oblst W (vidi sliku n sljedeoj strnici) dd z z z f ds z f W D ) ),, (, ( ),, ( 8
42 z K K K i h z D : ddz ddz ddz ds h h D D W zdz d dz d ddz z ddz z ds z K cos cos sin cos sin cos cos sin h h t h h dt h h t tdt h h t tdt h h t tdt h h t t tdt d t d h h 8 dd ds z sin cos cos sin h t h dt h t tdt h t t tdt d t d h z d zdz d ddz z ddz z ds z K h h D D W h h h h h h h K 8
43 85 86
44 87 88
45 89 9
46 9 9
47 9 9
48 95 96
49 97 98
50 99
51
52
53 5 6
54 7 8
55 9
56
57
58 5 6
59 7 8
60 9
61
62
63 5 6
64 7 8
65 9
66
67
68 5 6
69 (Zdci su skinuti s strnice: \pf.unze.b\nbokov Z uočene greške pisti n inforrt@gmil.com) 7 8
70 9
71
72
73 5 6
74 7 8
75 9 5
76 5 5
77 5 5
78 55 56
79 57 58
80 59 6
81 6 6
82 6 6
83 65 66
84 p i j k kroz elipsoidu. Ni protok (fluks) vektorskog polj z b c. Rješenje: Slik : elipsoid Kko je S ztvoren površ možemo primijeniti formulu Guss - Ostrogrdski v v v z pn ds div p dddz dddz z S Immo: p v v v,, z,, v v vz,, z z b c dddz (*) Oblst je ogrnien elipsoidom (vidi sliku ) Uvedimo sferne koordinte: 67 68
85 rsin cos rbsinsin z rccos d d dz r sin bc dr d d r ' * ( rb sin sin) r sinbc dr d d ' bc r dr sin d rb sin sin d bc r dr ( rb sin ( cos cos )sin d bc r dr ( rb sin )sin d bc r dr sin d bc r dr sin d bc ( cos bc ( ( ) bc r dr cos )r dr )r dr bc ( ) bc (Zdci su skinuti s strnice: \pf.unze.b\nbokov Z uočene greške pisti n inforrt@gmil.com) Prem tome bc. 69 7
86 Grup A Pismeni dio ispit iz Mtemtike II (MF),.... A rctg tg d. sincos 5. Odrediti ekstreme funkcije z.. Dt je trostruki integrl d d dz i oblst. I ddz dzd zdd, ko je S donj strn dijel Grup B površi z kojeg isjec površ. B rctg rctg S. tg d. sin6cos7. Odrediti ekstreme funkcije z e 9. I z d ddz, unutršnjost lopte z.. nti površinski integrl I ddz dzd z dd, ko je S vnjsk strn tijel,, z h i dijelom konus S. z u prvom oktntu. Stri progrm: n n n. Ispitti konvergenciju red. n n iv. cos.. I z d ddz, unutršnjost lopte z.. I ddz dzd z dd, ko je S vnjsk strn tijel,, z h i dijelom konus S 7 z u prvom oktntu. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II (MF), 7... GRUPA A. stje rotcijom oko ( ) i prvm,.. I d, ko je D dio krug u D prvom kvdrntu.. 5t 5t,, t. 5 5 t t ln. I d. GRUPA B. cijom oko ose figure u drugom kvdrntu ( ) i prvm,.. I d, ko je oblst D D,.. I t t,,t. t t. I. Stri progrm:. red: rctg d n n n n n.... t t,,t. t t. I rctg d. ferencirnj po prmetru. 7
87 Drugi prcijlni ispit, GRUPA A : z 6, z, z. ds, ko je c kriv t, t, z t,t. I zds, S : z, z. GRUPA B c S Drugi prcijlni ispit, : z, z, z. z ds, ko je c kriv t, t, z t,t. c E z z ds, S z z S :,. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II,.6.. GRUPA A. lom, i normlom n prbolu koj zklp ugo od 5 s osom.. z b, ko je.. I dddz, ko je z,, z, z,.. I ddz dzd z dd, ko je S vnjski dio površi z, z. GRUPA B b., b, b. b. z c, A,, c S okomit je n rvn.. z I I dddz, ko je, z, z, z,.. I z z sin ddz z sin z dzd z dd, ko je S S ovršim z, z. i Stri progrm.. n n n n5.. z. I dddz, ko je obls, z, z, z,.. I z z sin ddz z sin z dzd z dd, ko je S S z, z. 7 7
88 GRUPA A. unti integrl Pismeni ispit iz Mtemtike II, d rctg. 76. Promijeniti poredk integrcije u integrlu I d f, d Odrediti brojeve i b tko d vektorsko polje v z, z b z, z ju duž prvolinijske,, B,,. A. ds, cos. GRUPA B. nti integrl rcsin d.. Promijeniti poredk integrcije u integrlu c d f, d.. Dokzti d je vektorsko polje v z, z, z tog polj kroz vnjsku strnu sfere z A,,, B,,, C9,,. 5 5 ABC, c ko je c desn ltic lemniskte z ds, ko je c kontur trougl Stri progrm. Rzviti u Fourierov red funkciju f,,... v z, z b z, z. Odrediti brojeve i b tko d vektorsko polje bude,, B,,. A. ds, cos. c 75 ko je c desn ltic lemniskte GRUPA A Pismeni ispit iz Mtemtike II, Odrediti zpreminu tijel nstlog rotcijom krive ( ) ( ) oko ose.. z dddz, :, z z,. ko je d d c. pozitivno orjentisn kontur kružnice.. zddz dzd dd, ko je S dio sfere unutr cilindr,. GRUPA B S. Odrediti zpreminu tijel nstlog rotcijom krive ( ) ( ) oko ose.., ko je c z d d dz, ko je oblst z i z 5.. olinijski integrl e de d, c linijm,.. zddz dzd zdd, tijel koje pripd prvom oktntu,, z, z. Stri progrm:. Rzviti u Fourierov red funkciju f,,... S, te rvnim d d c. nove formule krivolinijski integrl pozitivno orjentisn kontur kružnice.. zddz dzd dd, ko je S dio sfere unutr cilindr,. S 76, ko je c z
89 Pismeni dio ispit iz Mtemtike II,... GRUPA A. Ni površinu figure koj je ogrnien linijm,.. Ni ekstreme funkcije z 5.. Ni zpreminu tijel ogrnienog rvnim,,, 5, z, z.. Izrunti krivolinijski integrl I c z zds, ko je c kriv r r cos t, cos t, z rsin t, t,. GRUPA B. Izrunti površinu rotcionog tijel koje se dobije rotcijom prbole od tke do tke.. Ni uslovne ekstreme funkcije z 6 uz uslov.. Ni zpreminu tijel ogrnienog rvnim,,,, z, z.. Izrunti krivolinijski integrl I c zds, ko je c kriv 6 sin t, cos t, z sin t, t,. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, 8.. GRUPA A d. Izrunti integrle: I d, I. sin cos. Izmjeniti poredk integrcije u integrlu I d f, d.. Izrunti površinski integrl P z d, z u prvom oktntu.. Izrunti integrl I ko je. e e S S S je dio sfere d pomou diferencirnj po prmetru GRUPA B d sin. Izrunti integrle: I, I d. sin cos. Izmjeniti poredk integrcije u integrlu I d f, d.. Izrunti površinski integrl S ds, gdje je (S) omot površi z, z. 9. Izrunti pomou diferencirnj po prmetru integrl GRUPA A I ln sin cos d,. Pismeni dio ispit iz Mtemtike II,.6... Izrunti dužinu luk krive e ln e od tke s pscisom do tke s pscisom.. Izrunti pomou dvostrukog integrl zpreminu tijel kojeg ogrnivju površi z,,.. Izrunti pomou Greenove formule krivolinijski integrl I d ln d, ko je c kontur koj c ogrniv oblst,,.. Izrunti površinski integrl I z ds, ko je S polulopt z z 9,. S GRUPA B. Izrunti dužinu luk krive ln ( ) B, ln.. Izrunti pomou dvostrukog integrl zpreminu tijel kojeg ogrnivju ( ),, z z i rvn z. površi od tke A, do tke 77 78
90 . Izrunti krivolinijski integrl ds, ko je c lemniskt,.. Izrunti površinski integrl I z ds, z z,. c ko je S polulopt Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, Grup A z. Odrediti jedninu tngentne rvni n površ, koj je normln n b c z prvoj.. Izrunti integrl po gltkom luku koji spj tke A i B d d dz z z, A(,,), B(,,), AB,, z:,, z z AB S. Izrunti zpreminu onog dijel lopte z koji se nlzi unutr cilindr ( ).. Dto je vektorsko polje A ( e z,, e z).pokzti d je polje A potencijlno i odrediti mu potencijl. Izrunti integrl A dr, gdje je L duž PQ, P (,, -), Q (,, ), orijentisn od P prem Q. L Grup B. Dokzti d proizvoljn tngentn rvn površi S: z (,konstnt) obrzuje s 9 koordintnim rvnim tetredr stlne zpremine V.. Izrunti integrl po gltkom luku koji spj tke A i B zd dz zd A (7,,), B(5,,), z. ( z) AB. Izrunti zpreminu tijel koje je ogrnieno površim,, z, z.. Dto je vektorsko polje A ( ( z) z, z ( ) z, z ( ) ).Pokzti d je polje A potencijlno i odrediti mu potencijl. Izrunti fluks vektorskog polj A kroz spoljnu strnu polusfere : z z, Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, GRUPA A. Izrunti površinu figure koju odreuju prv i dio elipse 9 6 u prvom kvdrntu. 79. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl 8 I d. Izrunti površinu dijel površi z koji se nlzi iznd rvni z. d d d d. Dti su krivolinijski integrli I, I, gdje je c duž GRUPA B c c AB, A,, B,, orjentisn od tke A prem tki B, c je prbol koj prolzi kroz tke A,, B, i C,. Dokzti d je I I i izrunti tj broj.. Izrunti površinu krivolinijskog etverougl omeenog prbolm,,,.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl ln d I d.. Izrunti površinu dijel sfere z koji se nlzi u unutršnjosti cilindr, b. b. Izrunti krivolinijski integrl rctg I d e d, ko je c pozitivno orjentisn kontur oblsti odreene isjekom kružnog prsten,. c Pism eni dio ispit iz Mtemtike II,.9.. GRUPA A. Izrunti površinu figure koju odreuju prv i dio elipse 9 6 u prvom kvdrntu.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl I d 8 d. 5. Izrunti površinu dijel površi z koji se nlzi iznd rvni z. 8 d. 5
91 d d d d. Dti su krivolinijski integrli I, I, gdje je c duž AB, B A,, B, i c c c A,,,, orjentisn od tke A prem tki B, je prbol koj prolzi kroz tke tj broj. C,. Dokzti d je I I i izrunti GRUPA B. Izrunti površinu krivolinijskog etverougl omeenog prbolm,,,.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl I d ln d.. Izrunti površinu dijel sfere z koji se nlzi u unutršnjosti cilindr, b. b. Izrunti krivolinijski integrl rctg I d e d, ko je c pozitivno orjentisn kontur oblsti odreene isjekom kružnog prsten,. c Pismeni dio ispit iz Mtemtike II, oktobr. z. Odrediti jedninu tngentne rvni n površ, koj je normln n b c z prvoj.. Promijeniti poredk integrcije i izrunti dvostruki integrl ln d I d.. Izrunti krivolinijski integrl ds, ko je c lemniskt, c.. Dto je vektorsko polje A ( ( z) z, z ( ) z, z ( ) ). Pokzti d je polje A potencijlno i odrediti mu potencijl. Izrunti fluks vektorskog polj A kroz spoljnu strnu polusfere : z z,. 8
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραKrivolinijski integral
Poglvlje 4 Krivolinijski integrl 4.1 Vektorsko polje U ovom i nrednom poglvlju, osim sklrnih, rdićemo i s vektorskim funkcijm više promenljivih, F : R n R m, F = (F1,...,F m ), F i : R n R, i = 1,...,m,
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότεραPrimjene odreženog integrala
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότερα1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih u odre denom integralu Primjena odre denog integrala 3. 3 Furijeovi redovi 4
150 ispitnih zadataka za vježbu podjeljenih po oblastima - detaljno raspisana rješenja ovih zadataka možete skinuti sa stranice pf.unze.ba\nabokov\za vjezbu Sadržaj 1 Odre deni integrali. Smjena promjenjivih
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραPRIMENA INTEGRALA
www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα
Διαβάστε περισσότεραRelativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću
Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραPismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραPRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA
PRIJEMNI ISPIT MATEMATIKA Skupovi Brojevi Osnovni zkoni Opercije Rcionlizcij Proporcije Polinoi Množenje, deljenje, rstvljnje n činioce, njnji zjednički sdržilc, njveći zjednički delilc Ekvivlentne trnsforcije
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.
Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραa) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac
) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραxsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραMimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα