Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester"

Transcript

1 Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester

2

3 . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon f : X Ñ Y ðñ eeskiri, mis hulga X igale elemendile sea vastavusse kindla elemendi f pq hulgast Y. X kujutuse f lähtehulk (e. määramispiirkond), Y kujutuse f sihthulk, f px q tf pq: P X u kujutuse f väärtuste hulk (e. muutumispiirkond). Olgu f : X Ñ Y ja g : U Ñ V. f g ðñ $ & % X U, Y P X U f pq gpq. Teatavasti R m tp,..., m q:,..., m P Ru. Sageli tähistame hulga R m elemente ka suurte tähtedega, näiteks X p,..., m q. Olgu X,Y PR m. }Y X} py q... py m m q (punktide X ja Y vaheline kaugus). Olgu δ ning A P R m. U δ paq tx P R m : }X A} δu (punkti A δ-ümrus). Olgu D R m. A on D sisepunkt A on D rajapunkt ðñ Dδ U δ paq D. " Uδ paqxd H, U δ paqxpr m zdq H. D tx P R m : X on D sisepunktu (hulga D sisemus), BD tx P R m : X on D rajapunktu (hulga D raja). Lause. D D. Lause. Hulga R m iga punkt kuulu täpselt ühte kolmest hulgast: D, BD, pr m zdq. D on lahtine ðñ D D. D on kinnine ðñ BD D. 3

4 Olgu D R, f : D Ñ R. Gr f tp, y, f p, yqq: p, yq P Du (funktsiooni f graafik). Analoogiliselt ineeritakse funktsiooni graafik, kui D R m.. Leidke järgmiste funktsioonide määramispiirkonnad D ja joonistage need. Leidke hulgad BD. Määrake, millised hulkadest D on kinnised ja millised on lahtised.? a) f p, yq y; ) f p, yq 4 y ; c) f p, yq lnp4 y q; d) f p, yq lnp yq; e) f p, yq lnp yq ln ; f) f p, yq 3 p yq ; g) f p, yq a e arccos y; h) f p, yq y ; i) f p, yq p yq ; j) f p, yq lnp yq sin ; k) f p, yq a? ; y lnp q l) f p, yq lnp yq ; m) f p, yq lnp y 3 q y ; n) f p, yq lnp y 4 q y ; o) f p, yq a y sin ; p) f p, yq cosp y 3q; q) f p, yq lncosp y q; r) f p, yq sinp y q; s) f p, yq arcsin y ; t) f p, yq a sinπ sinπy 6 py 4q Millistes järgmistes paarides on samad funktsioonid ja millistes erinevad? a) f p, yq y, gp, yq y sgn sgn y; ) f p, yq ln ln y, gp, yq lnp yq; c) f p, yq y, gp, yq? y; d) f p, yq y, gp, yq y y ; e) f p, yq lnp y q, gp, yq ln y ; f) f p, yq lnp yq, gp, yq lnp? yq; g) f p, yq y, gp, yq e ln y. 3. Määrake määramispiirkonnad D nii, et järgmistes paarides oleksid samad funktsioonid. a) f p, yq ln ln y, gp, yq ln ln y; ) f p, yq?? y, gp, yq? y; c) f p, yq ye e y, gp, yq ye y. 4. Arvutage järgmiste funktsioonide väärtused antud punktides A, B ja C. a) f p, yq y arctanp yq, A p,q; ) f p, yq y arctanpy q, B p,q; π c) f p, yq lnpsin cos yq, C,. 5. Joonistage järgmiste funktsioonide graafikud. a) f p, yq y, kus y ; ) f p, yq y, kus f p, yq 4; c) f p, yq y, kus, y ; d) f p, yq y, kus f p, yq. 4

5 6. Leidke f py, q, f p, yq, f, ja y f p, yq, kui f p, yq y. y 7. Leidke f, ja f y y,, kui f p, yq y. 8. Leidke järgmiste kolme muutuja funktsioonide määramispiirkonnad E.??? a) f p, y, zq y z; ) f p, y, zq pz q a ye z ; c) f p, y, zq lnp yq ln z; d) f p, y, zq arcsin arccospy zq; e) f p, y, zq 4 y z ; f) f p, y, zq 3 cosπ cosπy cosπz. 9. Arvutage järgmiste funktsioonide väärtused antud punktides A, B ja C.? arctanp y zq 3 a) f p, y, zq arctanp y zq, A,,? 3 ; ) f p, yq u w w u v, up, yq y, vp, yq y, wp, yq y, B p,q; c) f p, y, zq sinpuvq cospv wq, upq arcsin, vpyq ln y, wpzq arccos z, C p,e, q.. Veenduge, et järgmised funktsioonid on elementaarfunktsioonid ja leidke nende graafikud.? a) w z y; c) w z? y ; ) w y lnpz q; y d) w z lnp y q.. Leidke funktsioon f p, y, zq, kui a) f p, y z, zq ln y z; ) f p y, y, zq y y z.. Leidke funktsioonid f ja g, kui?? a) gp, y, zq f p, yq z ja gp, y,q y; ) gp, y, zq f p?,e y? q y z ja gp, y,q y. 3*. Olgu antud hulgad D,D R m. Tõestage, et BpD X D q pbd qypbd q.. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. Olgu D R m. A P R m on hulga D kuhjumispunkt pu δ paqztauqxd H. Olgu f : D Ñ R. Olgu A hulga D kuhjumispunkt ning L P R. lim ðñ Dδ P D }X A} δ ñ f pxq L ε. Analoogiliselt ühe muutuja piirväärtusega ineeritakse ka lõpmatud piirväärtused ning piirväärtus protsessis }X} Ñ 8. Lisaks sellele ineeritakse veel mõningad lõpmatud piirväärtused, näiteks juhul D R lim f p, yq L ðñ Ña yñ Dδ,DM : p a δ ^ y Mq ñ f p, yq L ε. 5

6 Sellise võttega saa ineerida ka ühepoolseid piirväärtusi, nõudes, et mingi muutuja erinevus oma lõppväärtusest oleksmingi kindla märgiga. Kuna iga lahtise kera sees on lahtine risttahukas ja vastupidi, siis või nõude p a q... p m a m q δ asendada nõudega mint a,..., m a m u δ. Olgu D D. f alt tõkestatud hulgas D ðñ tf pxq: X P D u on alt tõkestatud, f ülalt tõkestatud hulgas D ðñ tf pxq: X P D u on ülalt tõkestatud, f tõkestatud hulgas D ðñ f on alt ja ülalt tõkestatud hulgas D. Lause. f tõkestatud hulgas D ðñ DK P D f pxq K. Kõik ühe muutuja funktsiooni piirväärtuse omadused piirväärtuse monotoonsus, ühesus, aritmeetika, lause tõkestatud ja hääuva suuruse korrutisest ning keskmise muutuja omadus on põhimõtteliste muutusteta ümer kirjutatavad mitme muutuja juhule. Teoreem (Heine kriteerium). Olgu L P RYt 8u, olgu A hulga D R m kuhjumispunkt, olgu f : D Ñ R. lim q DztAu limx pnq A ñ lim f px pnq q L. XÑA n n Teoreem. Olgu L P RYt 8u, olgu A hulga D R m kuhjumispunkt, olgu f : D Ñ R. Tähistame " " punkti A läivad pidevaid jooni määravad vektorfunktsioonid järgmiselt: * γ: p,q Ñ R, kus γptq pptq, yptqq ja, y : p,q Ñ R on pidevad, L γ:. γpq A lim f pxq L P L lim f pγptqq L. XÑA tñ Heine kriteerium ja piirväärtus pidevate joonte kaudu kehtivad ka lõpmatute protsesside jaoks. 4. Leidke järgmised piirväärtused. a) lim p,yqñp,q y; ) lim p 3yq; p,yqñp,4q sinπ c) lim ; p,yqñp,q y y sin d) lim ; p,yqñp,q sin y e) lim ; p,yqñp,q y y f) lim? ; p,yqñp,q y 4 a 6 y g) lim p,yqñp,q y ; y h) lim p,yqñp,q y ;? y ln ; i) lim Ñ yñ j) lim Ñ yñ lnp yq sin y ; y k) lim p,yqñp8,8q y ; l) y lim p,yqñp,q y ; m) y lim p,yqñp8,8q 4 y 4 ; n) lim p,yqñp,q p y qsin 3 y ; y o) lim p,yqñp,q tan y ; sin5 p) lim p,yqñp,q y ; y y q) lim p,yqñp8,8q y ; y y ; r) lim p,yqñp8,8q y s) lim ; Ñ3 y yñ8 t) lim p,yqñp,q p y q y ; u) lim p,yqñp,q p y q y. 6

7 5. Näidake, et järgmised piirväärtused ei eksisteeri. a) lim p,yqñp,q y ; ) y lim p,yqñp,q y y ; y c) lim p,yqñ8 y ; d) lim p,yqñp,q y. 6. Leidke korduvad piirväärtused lim lim f p, yq : A ja lim lim : B järgmistest funktsioonidest märgitud punktis P Ña yñ yñ Ña pa,q. a) f p, yq y y, P lnp yq p,q; ) f p, yq, P p,q; sin y c) f p, yq sin y, P p8,8q. 7. Näidake, et järgmistel funktsioonidel piirväärtus punktis (,) on olemas, kuid korduvaid piirväärtusi lim lim f p, yq ja lim lim f p, yq ei eksisteeri. Ñ yñ yñ Ñ a) f p, yq p yqsin sin y ; ) f p, yq p yqcos sin cos y y. 8. Näidake, et järgmised funktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas. y $ a) f p, yq sin e y ; & y c) f p, yq % y, kui y,, kui y ; # ) f p, y, zq y z y sin, kui, ; d) f p, yq ln z, kui. 9. Millised järgmistest funktsioonidest on punktis A p, q pidevad, pidevad muutuja või muutuja y järgi. $ $ & y & y a) f p, yq %, kui y, y c) f p, yq %, kui y, y, kui y ;, kui y ; ) f p, yq # y y, kui y,, kui y ; d) f p, yq y y ; #, kui y, e) f p, yq ln y, kui y. *. Tõestage, et funktsioon f p, yq on pidev lahtisel hulgal D, kui gpq f p, yq on pidev muutuja funktsioon iga y korral, hpyq f p, yq rahulda Lipschitzi tingimust, s.o. leidu konstant L, et hpyq hpy q L y y 7

8 suvaliste punktide p, yq P D ja p, y q P D korral. 3. Katkevuspunktid. Osatuletiste arvutamine. Olgu D R, A pa,q P D, f : D Ñ R. f paq f p,q f pa,q f pa h,q f pa,q lim lim (osatuletis muutuja järgi punktis A). Ña a hñ h Osatuletise seos ühe muutuja funktsiooni tuletisega on järgmine. Defineerime funktsiooni f pq f p,q, siis f määramispiirkond on t P R: p,q P Du. Nüüd f paq f paq. Levinud tähis f paq asemel on ka B f B paq. Osatuletisfunktsiooniks ehk osatuletiseks (muutuja järgi) nimetatakse funktsiooni, mis punktile A P D sea vastavusse arvu f paq. Tähis: f või B f B. Osatuletis muutuja y järgi ineeritakse analoogiliselt. Ka ruumis R m ineeritakse osatuletised analoogiliselt.. Leidke järgmiste funktsioonide katkevuspunktid. # a) f p, yq, kui y, d) f p, yq sin y y ; #, kui y ; y e) f p, y, zq, kui y, y z ; ) f p, yq y f) f p, yq, kui y ; c) f p, yq y ln y. 3 y 3 ;. Kõrvaldage järgmistel funktsioonidel katkevus märgitud hulgas D, s.t. lisage funktsioonile f katkevuspunktides sellised väärtused, et f oleks pidev kogu hulgas D. a) f p, yq sin y, D R ; sin cos y ) f p, yq, D tp, yq : y u; ln y e y c) f p, yq 3 cot p yq, D R ; d) f p, yq? y p yq, D tp, yq : 7 y u Leidke järgmiste funktsioonide osatuletised. a) f p, yq 3 y ; ) f p, yq y ; c) f p, yq e 3y ; d) f p, yq 3 y ; e) f p, y, zq 3 y z 7y; f) f p, y, zq lnpzq lnpy zq; g) f p, yq p yq 5 h) f p, yq 4; y i) f p, yq y 4 ; j) f p, yq cosp4 yq; k) f p, yq sin y; l) f p, yq tan y ; 8

9 m) f p, yq arctan y ; n) f p, yq y ; o) f p, yq p yq y ; p) f p, yq p yq y ; q) f p, yq sin y ; r) f p, y, zq y z. 4. Leidke järgmiste funktsioonide osatuletised. # sin y, kui, a) f p, yq, kui ; # arctan y, kui, ) f p, yq, kui ; " y lnp y q, kui y, c) f p, yq $, kui y ; & y d) f p, yq %, kui y, y, kui y. 5*. a) Näidake, et punkti p,q ümruses funktsioonil " p yq sinp y f p, yq q, kui y,, kui y on olemas osatuletised f ja f y, mis katkevad punktis p,q, kuid siiski funktsioon f on diferentseeruv selles punktis p,q. ) Näidake, et puntki p,q ümruses funktsiooni " p y qsinp y q, kui y, f p, yq, kui y osatuletised f ja f y eksisteerivad ja on tõkestamata (seega punkt p,q on nende katkevuspunkt), kuid siiski funktsioon f on dierentseeruv selles punktis p,q. 4. Osatuletiste arvutamine. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus. Täisdiferentsiaal. Kõrgemat järku osatuletised. D R, A pa,q P D, f : D Ñ R. f on diferentseeruv punktis A ðñ DM, N P R : lim ph,h qñ f pa h, h q f pa,q M h N h }ph,h q}. " Df paq, f Lause. f dif-v punktis A ùñ y paq P R, f dif-vuse initsioonis M f paq, N f y paq. Olgu f diferentseeruv punktis A. Avaldist d A f ph,h q f paq h f y paq h nimetatakse funktsiooni f täisdiferentsiaaliks punktis A argumendi muudu ph,h q korral. Sageli tähistatakse argumendi muutu ph,h q asemel pd,dyq. Kui kontekst on selge, jäetakse punkt A või muut ära, või kui muut on teada, asetatakse punkt A sulgudesse. Nii siis d A f ph,h q, df, df paq võivad sõltuvalt kontekstist tähistada üht ja sama avaldist. Kõik diferentseeruvusega seotud initsioonid ja tulemused on analoogiliselt kirja pandavad ka ruumis R m. Nii näiteks muuduks on sellisel juhul vektor ph,...,h m q, f-ni f täisdiferentsiaaliks punktis A selle muudu korral avaldis f paq h... f m paq h m jne. 9

10 Olgu A pa,,cq P R, r pu, v, w q,r pu, v, w q P R ztu, kusjuures vektorsüsteem r,r olgu lineaarselt sõltumatu (see tähenda, et vektorid r ja r ei ole kollineaarsed). Pinda π : ta t r t r : t, t P Ru nimetatakse tasandiks. Vektorsüsteemi r,r nimetatakse selle tasandi rihiks. v Tähistame n w, w u v w, w u u v. u v Vektorit n : pa, B,Cq nimetatakse tasandi π normaalvektoriks. Lause. ta t r t r : t, t P Ru tp, y, zq: A p aq B py q C pz cq u. Võrrandit A B y C z p Aa B Ccq nimetatakse selle tasandi üldvõrrandiks. (Sageli tähistatakse D Aa B Cc, siis omanda üldvõrrand kuju A B y C z D.) Üldvõrrandist on mugav välja lugeda tasandi normaalvektorit pa, B,Cq. Sirget, mis läi punkti A ja mille sihivektor on n, nimetatakse tasandi π normaaliks punktis A. Normaalvektorit või korrutada suvalise nullist erineva arvuga, tulemusena saadav vektor määra ikka sama sirge. Ruumi R m vektorite p pp,..., p m q ja q pq,..., q m q korral tähistame p,qy p q... p m q m (skalaarkorrutis) ning }p} p, py (vektori p pikkus). Teoreem (Cauchy P R m p,qy }p} }q}. Olgu p,q. Tähistame =pp,qq arccos p,qy (vektorite vaheline nurk). Cauchy võrratuse tõttu }p} }q} on vektorite vaheline nurk korrektselt ineeritud. Paneme tähele, et =pp,qq P r,πs. Olgu l sirge sihivektoriga s ja π tasand normaalvektoriga n. =pl,πq π =ps,nq (sirge ja tasandi vaheline nurk). Tähistame punktide A ja B korral neid punkte läiva sirge tähisega AB. Niisiis AB A t ÝÑ AB: t P ( R. Olgu Ω R 3 ning olgu antud tasand π R 3. Olgu A P ΩXπ. π on Ω puutujatasand punktis A Dδ P Ω }X A} δ ñ=pax,πq ε. Tingimust, et π on Ω puutujatasand, või lühemalt kirjutada nii: lim =pax,πq. Analoogiliselt ineeritakse ka see, millal sirge l on Γ R puutujasirge: nõutakse, et A P l X Γ ning lim =pax,lq. XÑA XPΩ Sealjuures =pl,l q =ps,s q, kus s,s P R on vastavalt sirgete l ja l sihivektorid. Ruumi R 3 punktihulkade kirjapanekul märgitakse sageli üles ainult punktihulka määrav(ad) tingimus(ed). Nii näiteks kirjutatakse tp, y, f p, yqq: P Du asemel z f p, yq. Hiljem$ näeme, et ka parameetriliselt & pu, vq, antud pinna tppu, vq, ypu, vq, zpu, vqq: pu, vq P u asemel kirjutatakse y ypu, vq, % z zpu, vq. Lause. Olgu f pidev punktis A. punktihulgal z f p, yq leidu z-teljega mitteparalleelne f dif-v punktis A pa,q ðñ puutujatasand punktis pa,, f pa,qq. (z-teljega mitteparalleelsus tähenda, et puutujatasandi normaalvektor pa, B,Cq ei ole kollineaarne vektoriga p,,q ehk et pa,bq p,q.) Juhul, kui f on dif-v punktis A, siis puutujatasandi võrrand on z f pa,q f paq p aq f y paq py q. XÑA XPΩ

11 Niisiis täisdiferentsiaali avaldis d A f p a, y q märgi z koordinaadi muutu pinna z f p, yq puutujatasandil punktis pa,, f pa,qq, kui y-tasandil liigutakse punktist pa,q punkti p, yq. Lause. f, f y pidevad p-s A ùñ f on dif-v punktis A. Lause (Schwarz). f y, f y pidevad p-s A ùñ f y paq f y paq. Lause. f, f y dif-vad p-s A ùñ f y paq f y paq. Olgu n P N. f on n korda diferentseeruv p-s A ðñ f kõik n-järku osatuletised on diferentseeruvad p-s A. Nii näiteks f on kaks korda diferentseeruv p-s A ðñ f ja f y on dif-vad punktis A. Olgu f n korda dif-v p-s A. f n-ndat järku täisdiferentsiaaliks punktis A argumendi muudu ph,h q korral nimetatakse avaldist B n f B k k n By k paq h k hk. Tähis: dn A ph,h q. 6. Leidke järgmiste funktsioonide osatuletised. # arctan y a) f p, yq y arctan, kui ^ y, y, kui _ y ; # 3 y 3 sin, kui y, ) f p, yq y, kui y ; # y sin, kui y, c) f p, yq y, kui y. 7. Leidke järgmiste funktsioonide teist järku osatuletised. a) f p, yq y; ) f p, yq 3 y y 3 ; c) f p, yq y y ; d) f p, yq sinp yq; e) f p, yq y y ; f) f p, yq y ; g) f p, yq lnp y q; h) f p, yq arctan y y ; i) f p, y, zq y z lnp y zq; j) f p, y, zq sinp y zq. 8. Näidake, et funktsioonil f p, yq ", kui _ y,, kui ^ y punktis p, q osatuletised on olemas, kuid ta on katkev selles punktis. # y 9. Näidake, et funktsioonil f p, yq y, kui y, punktis p,q osatuletised f p,q, kui y ja f y p,q eksisteerivad, kuid ta on katkev selles punktis. $ & y y 3. Näidake, et funktsioonil f p, yq % y, kui y, punktis p, q segatuletised, kui y f y ja f y eksisteerivad, kuid f y p,q f y p,q. 3. Leidke järgmiste funktsioonide segaosatuletised f y.

12 a) f p, yq y sin ; ) f p, yq cos y ln ; c) f p, yq y cos y e y. 3. Leidke järgmiste funktsioonide märgitud osatuletised. a) f p, yq lnp yq, f y?; ) f p, yq e y e y z, f y z?; c) f p, yq y 3 sin y y 3 sin, f y y y?. 33. Leidke järgmiste funktsioonide täisdiferentsiaalid. a) f p, yq 3y; ) c) f p, yq 4 y; f p, yq y; d) f p, yq y ; e) f p, yq e y ; f) f p, yq cosp yq; g) f p, yq y ; h) f p, y, zq tanp y 3zq; i) f p, y, zq cosp y zq; j) f p, y, zq epp y z q. 34*. Olgu n positiivne täisarv. Öeldakse, et funktsioon f on n korda diferentseeruv punktis A, kui tema kõik n-järku osatuletised on diferentseeruvad punktis A. Tõestage, kasutades ainult alapeatükis 9. (Loone-Soomer) sõnastatud tulemusi, et kui f on kolm korda diferentseeruv punktis A, siis f on kaks korda diferentseeruv ja diferentseeruv punktis A. 5. Mitme muutuja funktsiooni diferentseeruvus. Kõrgemat järku osatuletised ja täisdiferentsiaalid. Liitfunktsiooni osatuletised. Olgu D R, Q R, f : Q Ñ R, ϕ,ψ: D Ñ R, kusjuures ϕpdq,ψpdq Q. Tähistame iga p, yq P D korral Fp, yq f pϕp, yq,ψp, yqq. Lause. Olgu A P D, B :* pϕpaq,ψpaqq. Dϕ paq,ψ paq P R, ùñ F f on dif-v punktis B paq f u pbq ϕ paq f v pbq ψ paq. Analoogiline lause kehti osatuletise jaoks muutuja y järgi. Analoogiline lause kehti ka juhul, kui Q R n ja D R m, kus n ja m on suvalised naturaalarvud. 35. Leidke järgmiste funktsioonide märgitud täisdiferentsiaalid. a) f p, yq 3 y, d f?; ) f p, yq y, d f?; c) f p, yq y, d f?; d) f p, yq sin y, d f?; e) f p, yq 3 y 3, d 3 f?; f) f p, yq 4 y, d 3 f?; g) f p, y, zq y y z, d f?; h) f p, y, zq y sin z, d f?; i) f p, y, zq y z, d 3 f?; j) f p, y, zq 3 y z, d 3 f?. 36. Näidake, et punktis p,q funktsioon f p, yq y

13 on pidev ja oma osatuletisi f p,q ja f y p,q, kuid ei ole diferentseeruv selles punktis p,q. 37. Näidake, et funktsioon $ & f p, yq % y y, kui y,, kui y on pidev ja ta osatuletised f ja f y on lõplikud, kuid punktis p,q funktsioon ei ole diferentseeruv. 38. Leidke järgmiste liitfunktsioonide tuletised. a) z e 3y, sin t, y cos t; 3 ) z lnp yq, t, y t 3 ; c) u y z, sin t, y cos t, z t; d) z t y, t, y? t; e) z tanpt yq, t, y t 5 ; f) z arctanp yq, y e ; g) u e py zq, y sin, z cos ; h) u up, y, zq, t, y ln t, z t ; i) z f p, yq ln y, t, y e sin t. 39. Leidke järgmiste liitfunktsioonide osatuletised. a) z u v, u cos y, v sin y; ) z u ln v, u y, v e y ; c) z ue v, u, v ln y; d) z arccot u, u sin y, v cos y; v e) w u v, u z, v y z; f) w ye uv, u, v lnp yq. y z 4*. Olgu funktsioonil f : R m Ñ R pidevad osatuletised, kusjuures leidugu K nii, et B f pxq B j K kõigi punktide X P R m ja indeksite j,...,m korral. Tõestage, et f on Lipschitzi funktisoon, st. leidu konstant L selliselt, et mistahes punktide X,Y P R m jaoks kehti võrratus f pxq f pyq L X Y. 6. Tuletis antud suunas, gradient. Olgu l pl,l q. Olgu D R, f : D Ñ R ning A P D. B f f pa t lq f paq paq lim (tuletis vektori l suunas). Bl tñ t}l} Eksisteerigu f paq, f y paq P R. grad f paq f paq pf paq, f y paqq (f-ni f gradient p-s A). Lause. f dif-v p-s A ùñ B B F f Bl paq f paq, }l} l. Paneme tähele, et vektori l pikkus on. Taolist vektori läijagamist oma pikkusega (et saada ühikvektor) nimetatakse vektori }l} normeerimiseks. 3

14 Lause. f dif-v p-s A ùñ B f Bl paq } f paq}. Sealjuures B f paq } f paq} ô lò f paq, Bl B f paq } f paq} ô lö f paq. Bl 4. Leidke järgmiste funktsioonide u gradient punktis P. a) u y, P p,q; ) u y, P p, q; c) u y, P p,q; d) u y, P p, q; e) u y, P p,q; f) u y, P p,q; g) u y z, P p,,q; h) u 4z arctan y, P p,,q; i) u y pz 8q y pz 8q, P p9,,8q. 4. Leidke gradu ja tema pikkus, kui u y z. 43. Millistes punktides gradu, kui u ln r, kus r p aq py q pz cq? 44. Näidake, et funktsioon u lnp y z q rahulda seost u ln u ln Olgu u z ln. Leidke punktid, kus gradu, 6 y 9,. 46. Olgu u p y q 3? 5z. Leidke punktid, milles u gradiendi pikkus on Tõestage järgmised valemid, kus C const ning f, u ja v on diferentseeruvad funktsioonid. a) gradpu Cq gradu; ) gradcu C gradu; c) gradpu vq gradu grad v; d) graduv v gradu u grad v; e) grad u v v gradu u grad v v, kus v ; f) grad f puq f puqgradu. 48. Leidke järgmiste funktsioonide u tuletised antud ühikvektori m suunas punktis P. a) u y y z, m,,?, P p,,q;?3 ) u a y z, m,?,?, P p??? 3, 3, 3q Leidke järgmiste funktsioonide u tuletised antud vektori k suunas punktis P. a) u y, k p4, 3q, P p3,4q; ) u y y z, k p, 3, 4q, P p,, q. 4

15 5. Leidke funktsiooni u y tuletised punktis P p3,4q koordinaattasandi esimese veerandi nurgapoolitaja suunas ja punkti P raadiusvektori suunas. 5. Leidke funktsiooni u y z tuletis punktis P p,,q selle punkti raadiusvektori suunas. 5. Leidke punktid, milles funktsiooni u e p y 3 3yq tuletis igas suunas on null. 53. Millises suunas funktsioon u sin z y cos z punktis p,, q muutu kõige kiiremini? 54. Millises suunas pea liikuma punkt P p, y, zq, läides punkti P p,, q, et funktsioon u y z kasvaks maksimaalse kiirusega? y z 55*. Tuntud on järgmine tulemus: tähistame FpXq f pϕ pxq,ϕ pxqq, siis D Bϕ B paq, Bϕ, paq P R,. B - ñ D BF B paq B f Bu pbq Bϕ B paq f dif-v punktis B : pϕ paq,ϕ paqq B f Bv pbq Bϕ B paq. Tooge näide, et f diferentseeruvuse eeldust ei saa nõrgendada, see tähenda, tooge näide funktisoonidest ϕ, ϕ ja f ning punktist A, mis vääraks implikatsiooni D Bϕ B paq, Bϕ, paq P R, /. B D B f Bu pbq, B f Bv pbq P R /- ñ D BF B paq B f Bu pbq Bϕ B paq B f Bv pbq Bϕ B paq. 7. Võrranditega F p, yq ning F p, y, zq määratud ilmutamata funktsioonide diferentseerimine. Joone F p, yq puutuja ja normaal, pinna F p, y, zq puutujatasand ja normaal (erijuhuna pinna z f p, yq puutujatasand ja normaal). Tähistame R δ,δ pa,q U δ paq U δ pq (lahtine ristkülik). Analoogiliselt ineerime ka lahtise risttahuka. Teoreem (Ilmutamata funktsioonide põhiteoreem). Olgu D R, F : D Ñ R, A pa,q P D. Dθ : F ja F y pidevad U θ paq-s, FpAq, F y paq,. - ùñ Dδ,σ, Df : U δpaq Ñ U σ pq : yq P R δ,σ pa,q Fp, yq ô y f pq. Teoreem (Ilmutamata funktsioonide põhiteoreem). Olgu D R, F : D Ñ R, A pa,q P D., Dδ,σ Dθ : F, F ja F y pidevad U θ paq-s,. $, Df : U δ paq Ñ U σ pq : FpAq, - ùñ yq P R δ,σ pa,q Fp, yq ô y f pq, : F y paq P U δ paq f pq F p, f pqq F y p, f pqq. Teoreem (Ilmutamata funktsioonide, põhiteoreem). Olgu D R 3, F : D Ñ R, A pa,,cq P D. Dθ : F ja F z pidevad U θ paq-s,. FpAq, - ùñ Dδ,δ,σ, Df : R δ,δ pa,q Ñ U σ pcq : y, zq P R F z paq δ,δ,σpa,,cq Fp, y, zq ô z f p, yq. 5

16 Teoreem (Ilmutamata funktsioonide põhiteoreem). Olgu D R 3, F : D Ñ R, A pa,,cq P D., Dδ,δ$,σ, Df : R δ,δ pa,q Ñ U σ pcq : Dθ : F, F, F y ja F y, zq P R /. δ,δ,σpa,,cq Fp, y, zq ô z f p, yq, pidevad U θ paq-s, '& ùñ f FpAq p, yq F p, y, f p, yqq, : F yq P R F z paq δ,δ pa,q z p, y, f p, yqq, '% f y p, yq F yp, y, f p, yqq F z p, y, f p, yqq. Olgu D R 3, F : D Ñ R, A pa,,cq P D. Olgu Ω tx P R 3 : FpXq u. Lause., A P Ω,. F, F, F y, F z pidevad p-s A, - ùñ F paq p aq F y paq py q F z paq pz cq on Ω puutujatasand punktis A. FpAq Olgu D R, F : D Ñ R, A pa,q P D. Olgu Γ tx P R : FpXq u. Lause., A P Γ,. F, F, F y pidevad p-s A, - ùñ F paq p aq F y paq py q on Γ puutujasirge punktis A. FpAq Funktsiooni f : R Ñ R tasemejooneks (tasemel k) nimetatakse punktihulka tp, yq: f p, yq ku. Funktsiooni f : R 3 Ñ R tasemepinnaks (tasemel k) nimetatakse punktihulka tp, y, zq: f p, y, zq ku. 56. Skitseerige järgmiste funktsioonide tasemejooned/tasemepinnad. a) f p, yq y; ) f p, yq y ; c) f p, yq y ; d) f p, yq? y; e) f p, yq y ; f) f p, yq y ; g) f p, y, zq y z; h) f p, y, zq y z ; i) f p, y, zq y z. 57. Kas järgmised võrrandid määravad antud punkti P ümruses pideva ühese fuktsiooni y ypq? Kas sel funktsioonil y on olemas pidev tuletis selle punkti P ümruses? Tuletise olemasolu korral leidke see tuletis. a) 3 y y, P, 3 ; c) 4 y y, P p,q; ) e y lnp y q, P p,q; 58. Leidke järgmiste ilmutamata funktsioonide y ypq tuletised y. d) y 3 sin y, P p,q. a) y sin y e ; ) y e y ; c) y y ; d) lnp y q arctan y. 59. Kas järgmised võrrandid määravad antud punkti P ümruses pideva ühese fuktsiooni z zp, yq? Kas sel funktsioonil on olemas pidevad osatuletised z ja z y selle punkti P ümruses? Osatuletiste olemasolu korral leidke need osatuletised. a) y z z, P p,, q ; ) z y sin z, P p,,q; c) z p y q 3 arctan z, P p,,q. 6. Leidke järgmiste ilmutamata funktsioonide z zp, yq osatuletised z ja z y. 6

17 a) y z sin z ; ) y z e y z ; c) cos cos y cos z ; d) z p zq y. 6. Leidke järgmiste kõverate puutujad ja normaalid antud punktides. a) y 64, M p6,6.4q; ) y ln y, M p,q. 6. Leidke kõvera 3 y 6 puutuja ja normaali võrrandid punktis, mille ordinaat y Leidke puutuja võrrand kõverale 5 y 5 y punktis p,q. 64. Leidke puutuja ja normaali võrrandid kõverale y y punktis p,q. 65. Leidke puutujatasand ja normaal järgmistele pindadele märgitud punktis Q. a) f p, yq y, Q p,,q; ) f p, yq y, Q p,,5q; c) f p, yq y, Q p,,q; d) f p, yq arctan y, Q e) f p, yq y, Q p,,q;,, π ; 4 f) f p, yq y, Q p,,q. 66. Leidke järgmiste pindade puutujatasandid ja normaalid antud punktis P. y z a) 3 7, P p,,3q; ) y z 3, P p,,q; c) y z e z 3, P p,,q; d) 3 y 3 z 3 y z 6, P p,,q. 67*. On antud funktsioon Fp, yq 5 4 y 3y 34 y 45. Kas võrrand Fp, yq määra punkti A p, q ümruses pideva ilmutamata funktsiooni y f pq? 68*. Tõestage, et astroidi 3 y 3 a 3 pa q puutujalõik (puutuja osa, mis jää koordinaattelgede vahele) on alati konstantse pikkusega. 69*. Tõestage, et kaks hüperoolide peret y a ja y moodustavad ortogonaalse võrestiku, st. nende perede mistahes kaks esindajat lõikuvad täisnurkade all. 7*. Tõestage, et paraoolide pered y 4apa q ja y 4p q pa, q moodustavad ortogonaalse võrestiku. 7*. Tõestage, et hüperooli y a puutepunkt poolita puutujalõigu. 8. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Olgu D R m, f : D Ñ R ja A P D. F-nil f on punktis A range lokaalne maksimum ðñ Dδ P U δ paqztau f pxq f paq. F-nil f on punktis A range lokaalne miinimum ðñ Dδ P U δ paqztau f pxq f paq. Mitterangete variantide korral jäetakse sõna rangelt ära ning nõutakse mitterangeid võrratusi. Üldnimetus lokaalse maksimumi ja miinimumi jaoks: lokaalne ekstreemum. A on f statsionaarne punkt ðñ f paq... f m paq. Lause. * Df paq,..., f m paq P R, ùñ A on f-ni f statsionaarne punkt. f-nil f on punktis A lokaalne ekstreemum 7

18 Olgu nüüd A P Mat m prq, kusjuures A T A (sümmeetriline maatriks). Ruutfunktsiooni Φ: R m Ñ R, m mis on antud seosega Φph,...,h m q a i j h i h j nimetatakse maatriksile A vastavaks ruutvormiks. Olgu Φ ruutvorm. Φ on positiivselt määratud i,j P R m ztu Φphq. Φ on negatiivselt määratud P R m ztu Φphq. Φ on määramata ðñ Dh,h P R m : Φphq, Φph q. Teoreem (Sylvester). Olgu Φ ruutvorm, mis vasta sümmeetrilisele maatriksile A. Φ on posit. määratud ðñ a, a a,..., det A. a a Φ on negat. määratud ðñ a, a a,..., p q n det A. a a NB! Sylvesteri teoreem ei kehti samal kujul poolmääratuse juhtude korral Φphq ja jaoks). Leidugu funktsioonil f kõik teist järku osatuletised. f, paq f, paq... f, m paq H f paq f, paq f, paq... f, m paq (f-ni f hessiaan p-s A) f m, paq f m, paq... f m, m paq Teoreem., f on kaks korda dif-v punktis A, /. A on f-ni f statsionaarne punkt, ùñ f hessiaanile H f paq vastav ruutvorm /- on positiivselt määratud f on kaks korda dif-v punktis A, A on f-ni f statsionaarne punkt, f hessiaanile H f paq vastav ruutvorm on negatiivselt määratud f on kaks korda dif-v punktis A, A on f-ni f statsionaarne punkt, f hessiaanile H f paq vastav ruutvorm on määramata, /. /-, /. /- ùñ ùñ f-nil f on punktis A range lokaalne miinimum, f-nil f on punktis A range lokaalne maksimum, f-nil f punktis A ranget lokaalset ekstreemumit ei ole. NB! Kui asendada määratus positiivselt/negatiivselt poolmääratusega (@h h T H f paqh ), siis teoreemi väide ei tarvitse kehtida. Lause. Olgu A P Mat prq. Maatriksile A vastav ruutvorm on määramata ðñ det A. 7. Leidke järgmiste funktsioonide lokaalsed ekstreemumid. a) f p, yq p q y ; ) f p, yq 3 y 3; c) f p, yq py q ; d) f p, yq y ; e) f p, yq y y y; f) f p, yq 3 y 3 a 3 y; g) f p, yq y ; h) f p, yq y lnp yq. 8

19 73. Leidke järgmiste funktsioonide lokaalsed ekstreemumid. a) f p, yq sin sin y sinp yq, p, yq P tp, yq :, y πu; ) f p, yq 4 y 4 y y ; c) f p, y, zq y z 4y 6z; d) f p, y, zq y z 3 p7 y 3zq; e) y z y 4z. 74*. Funktsioon f : R Ñ R on ineeritud võrdusega f p, yq ye y. Leidke funktsiooni f kõik lokaalsed ekstreemumid. Leidke (koos põhjendusega!) funktsiooni f suurim ja vähim väärtus. 9. Mitme muutuja funktsiooni suurimad ning vähimad väärtused antud piirkonnas. Olgu D R m, f : D Ñ R, A P D. F-nil f on punktis A gloaalne maksimum P D f pxq f paq. F-nil f on punktis A gloaalne miinimum P D f pxq f paq. Rangete variantide korral nõutakse, et X P DztAu ning nõutakse rangeid võrratusi. D on tõkestatud ðñ DK P D }X} K. Teoreem (Weierstrass)., Olgu f : D Ñ R. D kinnine,. " f-nil f on punktis A gloaalne maksimum, D tõkestatud, - ùñ DA,B P D : f-nil f on punktis A gloaalne miinimum. f pidev D on kumer P P p,q λx p λqy P D. Lause. Olgu D R m kumer hulk, f : D Ñ, R ning A P D. f on kaks korda dif-v P D hessiaan H f pxq /. on ñ f -l on punktis A range gloaalne miinimum, positiivselt määratud, /- A on f stats. punkt f on kaks korda dif-v P D hessiaan H f pxq on negatiivselt määratud, A on f stats. punkt, /. ñ /- f -l on punktis A range gloaalne maksimum. 75. Leidke järgmiste funktsioonide gloaalsed ekstreemumid ma f ja min f. a) f p, yq y y, p, yq P tp, yq : y u; ) f p, yq y, p, yq P tp, yq : y u; c) f p, yq y, p, yq P tp, yq :, y, y u; d) f p, yq y y, p, yq P tp, yq : y u; e) f p, yq p 3 3y qepp y q, p, yq P tp, yq : y 4u. 76. Näidake, et funktsioonil f p, yq 3 4 y y, p, yq P tp, yq : 5 5, y u on üksainus lokaalne ekstreemum, mis ei ole gloaalseks ekstreemumiks. 77. Näidake, et funktsioonil f p, yq p e y qcos ye y on lõpmata palju lokaalseid maksimume 9

20 ja mitte ühtegi lokaalset miinimumi. 78. Jaotage arv 3 kolmeks positiivseks liidetavaks nii, et nende korrutis oleks maksimaalne. 79. Esitage arv 8 nelja positiivse arvu korrutisena nii, et nende summa oleks minimaalne. 8. Kõikidest risttahukatest, millel on ühesugune ruumala, leidke see, mille täispindala on minimaalne. 8. Missuguste mõõtmete korral on antud ruumalaga V risttahuka kujulisel vannil vähim pindala? 8. Antud kerasse raadiusega R joonestage suurima ruumalaga risttahukas. 83. Kõikidest ühe ja sama alusega ning tipunurgaga kolmnurkadest leidke see, mille pindala on suurim. 84. Kõikidest antud perimeetriga kolmnurkadest leidke see, millel on maksimaalne pindala. 85. Leidke antud perimeetriga p ristkülik, mis pöörlemisel ümer oma ühe külje moodusta maksimaalse ruumalaga keha. 86. Leidke antud perimeetriga p kolmnurk, mis pöörlemisel ümer oma ühe külje moodusta maksimaalse ruumalaga keha. 87. Joonestage ellipsoidi y z a sisse maksimaalse ruumalaga risttahukas. c 88. Missugune pea olema kolmnurga kuju, et kolmnurga sisenurkade siinuste korrutis oleks maksimaalne? 89. Missugune pea olema kolmnurga kuju, et kolmnurga sisenurkade siinuste summa oleks maksimaalne? 9. Näidake, et mittenegatiivsete arvude,..., n geomeetriline keskmine ei ületa aritmeetilist keskmist. 9*. Olgu antud kaks korda diferentseeruv funktsioon f : R Ñ R. Tähistame iga punkti X P R korral Φ X pl,l q f pxq l f ypxq l l f y y pxq l. Olgu iga X korral Φ X positiivselt määratud, see tähenda, iga X ja iga pl,l q korral Φ X pl,l q, ehk iga X korral f pxq ja f pxq f y pxq f y pxq f y y pxq. Tõestage, et funktsioonil f on ülimalt üks statsionaarne punkt (see tähenda, punkt X, kus f pxq f y pxq ).. Kahekordse integraali arvutamine. Olgu R ra,s rc,ds. Vaatleme lõikude ra,s ja rc,ds alajaotusi p,..., n q ja py,..., y r q. Tähistame iga k P t,...,nu ja l P t,...,r u korral R kl r k, k s ry l, y l s ja S Rkl p k k q py l, y l q. Tähistame T T rr kl s pr,...,r nr q ristküliku R alajaotuse. Tähistame λpt q ma k,...,n l,...,r p k k q py l y l q. Tähistagu Ξ px,...,x nr q suvalist vektorit, kus X kl P r k, k s ry l, y l s iga k P t,...,nu ja l P t,...,r u korral. Olgu T tt : T on ristküliku R alajaotusu. Olgu f : R Ñ R. ðñ f on integreeruv ristkülikus R ðñ DI P R Dδ P λpt q δ ñ ņ ŗ k l f px k lqs Rkl I ε.

21 Arvu I nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks ristkülikus R ja tähistatakse f p, yqddy. R Olgu D R tõkestatud hulk. Olgu f : D Ñ R. Olgu R " R selline ristkülik, et R D. f pxq, kui X P D, Defineerime funktsiooni F : R Ñ R võrdusega F pxq, kui X P RzD. f on integreeruv hulgas D ðñ F on integreeruv ristkülikus R, f p, yqddy F p, yqddy. D R S D ddy. D NB! Saa kontrollida, et eelnevad initsioonid ei sõltu ristküliku R D valikust. Olgu D X R, f, g : X Ñ R. * Lause. f ja g int-vad hulgas P D f pxq gpxq f p, yqddy g p, yqddy. D ùñ D Lause. * f int-v hulkades D ja D, ùñ f p, yqddy f p, yqddy f p, yqddy. D X D H D YD D D Lause. * f int-v hulgas D, ùñ λf p, yqddy λ f p, yqddy. λ P R D D Lause. f, g int-vad hulgas D ùñ pf p, yq gp, yqqddy f p, yqddy g p, yqddy. D D D Lause. BD on tükiti sile joon ùñ DS D. Teoreem (Leesgue i kriteerium). Olgu E tx P D : f on katkev punktis Xu. Olgu f tõkestatud hulgas D. Leidugu pindala S D. S E ðñ f on integreeruv hulgas D. Leesgue i kriteeriumil on laialdased rakendused. Näiteks: kui hulgal D on pindala ning f on tõkestatud ja pidev hulgas D, siis f on integreeruv hulgas D; kui hulgal D on pindala ning f on tõkestatud hulgas D ja tal on hulgas D lõplik arv katkevuspunkte, siis f on integreeruv hulgas D. Olgu ψ,ϕ: ra,s Ñ R sellised funktsioonid, P ra,s ψpq ϕpq. Olgu D tp, yq: P ra,s, y P rψpq,ϕpqsu (kõvertrapets). Lause. ψ, ϕ pidevad lõigus ra,s ùñ DS D. Lause., DS D, f integreeruv kõvertrapetsis D, /. ϕpq ϕpq ùñ f p, yqddy f p, yqdy d. P ra,s D f p, yqdy /- a ψpq ψpq 9. Joonistage järgmised integreerimispiirkonnad D ning asetage integreerimisrajad integraalis f p, yqd dy valemite d βpq d f p, yqdy ja dy δpyq D a αpq c γpyq a) D on kolmnurk tippudega p,q, p,q, p,q; ) D on kolmnurk tippudega p,q, p,q, p,q; f p, yqd järgi.

22 c) D on ristkülik tippudega p,q, p,q, p,q, p,q; d) D on ring y ; e) D on on piiratud joontega y, y ; f) D on on piiratud joontega y, y Muutke integreerimisjärjekord järgmistes integraalides. a) ) c) d) e) e d f p, yqdy; ln d f p, yqdy; dy? y f p, yqd; y d f p, yqdy; d f p, yqdy; f) g) h) dy? y f p, yqd? y? y dy f p, yqd;? y π π d π d cos sin f p, yqdy; f p, yqdy. 94. Leidke järgmised integraalid. a) d dy, kus D on kolmnurk tippudega p,q, p,q ja p,q; D ) y d dy, kus D on piiratud joontega y, ja y ; D c) D d) sinp yqd dy, kus D on piiratud joontega y, y ja π; cosp yqd dy, kus D on piiratud joontega y, y ja π; D e) e y d dy, kus D r,ln4s r,lns; f) D ln y g) D D d dy, kus D on piiratud joontega y, y ja e; d dy, kus D on piiratud joontega y, y ln ja e. 95*. Leidke integraal D y d dy,

23 kus D on piiratud -teljega ja tsükloidi apt sin tq, y ap cos tq kaarega, kui t π ja a.. Kahekordse integraali arvutamine. Üleminek polaarkoordinaatidele. Olgu T : R Ñ R, kus T pu, $ vq pξpu, vq,ηpu, vqq. T on injektiivne, '& ξ T on regulaarne ðñ u, ξ v, η u, η v on pidevad R -s, vq P R Jpu, vq : ξ u pu, vq η u pu, vq ξ v pu, vq. η v pu, vq Teoreem. Olgu Λ R lihtne, kinnine tükiti sile joon. Olgu B Λ. Olgu D T p q. T on regulaarne,. f on integreeruv D-s, ξ vu ja η vu pidevad R - D ùñ f p, yqddy f pξpu, vq, ηpu, vqq Jpu, vq dudv. -s Olgu E tx P D : punktis X on rikutud T mõni regulaarsuse tingimusu. Muutujate vahetuse teoreem kehti ka olukorras, kus S E ja S T peq. Levinud peaaegu regulaarsed muutujavahetused: T pu, vq pu cos v,u sin vq (polaarkoordinaadid), T pu, vq pau cos v, u sin vq (elliptilised polaarkoordinaadid), T pu, vq? pu v,u vq (pööre nurga π 4 võrra). Olgu D R selline, et DS D. Olgu f, g : D Ñ R sellised, P D f pq gpq. Olgu K tp, y, zq: p, yq P D z P rf p, yq, gp, yqsu. V K pgp, yq f p, yqqddy. D Olgu nüüd K ra,s R. Iga P ra,s korral tähistame D tpy, zq: p, y, zq P K u. Nõuame, et keha K rahuldaks järgmisi tingimusi: P ra,s DS D dydz; D P ra,s pd D q_pd D q; 3) tähistame S : ra,s Ñ R, kus Spq S D, olgu S pidev. Siis V K Spqd. a 96. Leidke järgmised integraalid. a) arctan arccot y p qp y d dy, kus D r,s r,s; q D ) p yqd dy, kus D on piiratud joontega y ja y. D 97. Leidke järgmised integraalid, minnes üle polaarkoorinaatidele. a) y d dy, kus D tp, yq: y 4,, y u; D ) p y q d dy, kus D tp, yq: y, y u; D 3

24 c) y d dy, kus D tp, yq: y u; D d) sinp y qd dy, kus D tp, yq: π y 4π u; D e) arctan y d dy, kus D tp, yq: y,, y u. D 98*. Tähistagu U kolmnurka tippudega p,q, p,q ja p,q. Tõestage, et U y e y d dy sh, kus sh t et e t (hüperoolne siinus).. Kahekordse integraali arvutamine. Üleminek polaarkoordinaatidele. Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, keha ruumala, ruumilise pinnatüki pindala). 99. Leidke järgmised integraalid, minnes üle polaarkoorinaatidele. a) y d dy, kus D tp, yq: p q y u; D ) d dy, kus D tp, yq: py q, u; D c) y d dy, kus D tp, yq: py q u; D d) p y qd dy, kus D tp, yq: py q 4u; D e) y d dy, kus D tp, yq: 4 D y 8, y u.. Leidke y-tasandil asetsevate kujundite pindalad, kui need kujundid on piiratud järgmiste joontega. Arvud a ja on positiivsed. a) y 3, y, ; ) y e, y e, y e; c) y, y, y 4; d) y 4, y 5; e) 3 5y, 5y 9; f) y a ; g) r a cosϕ, r cosϕ, p aq; h) r ap cosϕq (kardioid); i) r a cos4ϕ (neljaleheline roos); j) p y q a y; k) p y q a p y q (Bernoulli lemniskaat); l) p y q a 3.. Leidke järgmiste pindadega piiratud kehade E ruumalad V E, kasutades valemit V E f p, yqd dy. D 4

25 a) Tasandid, y, z ja y z. ) Tasandid, y, z, 4 ja y 4 ning pöördparaoloid z y. c) Tasandid, y, z ja y ning elliptiline paraoloid z d) Tasandid z ja z 6 ning silindrid y? ja y?. y. e) Tasand z, pöördparaoloid z y ja silinder y. *. Leidke kahekordne integraal p 3 3 y qd dy, R kus R tp, yq: p q y 9, p q y u. Koostage arvuti ail joonis, millel kujutatakse integrandi graafikut tp, y, 3 3 y q: p, yq P Ru. NB! Muid punkte peale nende, mis vastavad argumendile p, yq hulgast R, mitte graafikule kanda! (Nõutav graafik näe välja nagu auguga kartulikrõps.) 3. Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, keha ruumala, ruumilise pinnatüki pindala). 3. Leidke järgmiste pindadega piiratud kehade E ruumalad V E, kasutades valemit V E f p, yqd dy. D a) Koordinaattasandid, silinder y ja pind z 4 y, kus y, ja y. ) Tasandid, y ja z ning hüperoolne paraoloid z y. c) Tasandid, y, z ja 3y ning silinder y z. d) Tasandid z ja z 3 4y ning elliptiline silinder 4y 4. e) Sfäär y z 3 ja pöörparaoloid z y. f) Silindrid y ja z. g) Pöördparaoloidid z 4 y ja z y. h) Silinder y 3 ja kahekatteline hüperoloid z y 3. i) z cos cos y, z, y π ja y π. 4. Leidke järgmiste ruumiliste pindade märgitud osade pindalad. a) Tasandi 6 3y z osa, kus, y ja z. ) Pinna z y osa, mis asu silindri y sees. c) Sfääri y z a osa, mis on silindri y p aq sees. d) Koonuse z y osa, mille eralda temast silidriline pind z y. e) Silindri z 4 osa, mille eraldavad temast silinder y 4 ja tasand. f) Sfääri y z a osa, mille lõika temast välja silinder y a. g) Koonuse y z osa, mis asu silindri y sees. 4. Kolmekordse integraali arvutamine. Kolmekordse integraali mõiste ineeritakse ja omadused sõnastatakse ning tõestatakse põhimõtteliselt samasugusel viisil nagu kahekordse integraali mõiste ja vastavad omadused. Kõigepealt ineeritakse see integraal risttahukate ra, s rc, ds ru, vs jaoks, kasutades risttahuksummasid. Seejärel suvalise tõkestatud hulga K korral valitakse risttahukas R K (jätkates hulgas K määratud funktsiooni 5

26 risttahukal R määratud funktsiooniks F nullfunktsiooni ail) ning ineeritakse, et f p, y, zqddydz Fp, y, zqddydz. K R Olgu K R 3 tõkestatud hulk. V K ddydz (keha K ruumala). K Leesgue i kriteerium väida analoogiliselt kahe muutuja juhuga: olgu f : K Ñ R tõkestatud funktsioon, olgu E tx P K : f on katkev punktis Xu ja leidugu ruumala V K, siis V E ðñ f on integreeruv hulgas K. Nii näiteks, kui hulgal K leidu ruumala V K ja f on pidev hulgas K, siis f on integreeruv hulgas K. Olgu D R selline, et DS D. Olgu ψ,ϕ: D Ñ R sellised funktsioonid, yq P D ψp, yq ϕp, yq. Olgu K tp, y, zq: p, yq P D, z P rψp, yq,ϕp, yqsu (kõversilinder). Lause. ψ, ϕ pidevad hulgas D ùñ DV K. Lause., DV K, f integreeruv kõversilindris K, /. ϕp,yq ϕp,yq ùñ f p, y, zqddydz f p, y, zqdz ddy. K yq P D D f p, y, zqdz /- ψp,yq ψp,yq Olgu nüüd K ra,s R. Iga P ra,s korral tähistame D tpy, zq: p, y, zq P K u. Nõuame, et keha K rahuldaks järgmisi tingimusi: P ra,s DS D dydz; D P ra,s pd D q_pd D q; 3) tähistame S : ra,s Ñ R, kus Spq S D olgu S pidev., DV K, /. f integreeruv kehas K, P ra,sd f p, y, zqdydz /- K ùñ f p, y, zqddydz f p, y, zqdydz d. a D D Regulaarse kujutuse T : R 3 Ñ R 3 initsioon on samuti analoogiline, kusjuures T pu, v, wq pξpu, v, wq, ηpu, v, wq, ζpu, v, wqq korral jakoiaan on kujul ξ u puq ξ v puq ξ w puq JpUq η u puq η v puq η w puq ζ u puq ζ v puq ζ w puq. Levinud peaaegu regulaarsed muutujavahetused: T pu, v, wq pu cos v,u sin v, wq (silindrilised koordinaadid), T pu, v, wq pu cos v sin w,u sin v sin w,u cos wq (sfäärilised koordinaadid). Olgu D R m, olgu D sidus. iga pideva lihtsa kinnise joone γpiq korral D on ühelisidus ðñ γpiq poolt piiratud hulk E sisaldu hulgas D. Olgu R selline ühelisidus hulk, et leidu S. Olgu, y, z : Ñ R. Olgu Ω: Ñ R 3, kus Ωptq ppu, vq, ypu, vq, zpu, vqq iga pu, vq P korral. Vektorfunktsiooni Ω väärtuste hulka Ωp q tωpu, vq: pu, vq P u nimetatakse pinnaks ruumis R 3. Kui on antud funktsioonid, y ja z, öeldakse mõnikord, et pind on antud parameetriliselt. 6

27 Olgu U pu, vq P. Tähistame y npuq papuq, BpUq,CpUqq u puq z u puq y v puq z v puq, z u puq u puq z v puq v puq, u puq y u puq v puq y v puq p u puq, y u puq, z u puqq p v puq, y v puq, z v puqq. " u, Ωp q on sile ðñ v, y u, y v, z u, z v pidevad P papuq,bpuq,cpuqq. Lause. Olgu Ωp q sile pind. Olgu U P. Tähistame π tx: npu q,x ΩpU qy u. Kehti koondumine lim dpωpuq,πq UÑU }U U }. Lause näita, et siledal pinnal on igas tema punktis ΩpUq puutujatasand π U, mille normaalvektor on npuq. Olgu kinnine ühelisidus hulk, kusjuures leidugu $ S. Olgu Ωp q sile pind. & Y...Y n, T p,..., n q on hulga alajaotus % k on kinnine ja DS k l ñ k X l H. Tähistame λpt q ma diamp kq. k,...,n Iga tasandi π tp, y, zq: A B y C z D u korral tähistame tähisega p π puq punkti ΩpUq projektsiooni tasandile π. Arvutuslikult: p π puq ΩpUq πpωpuqq n π, kus n π pa,b,cq ja πp, y, zq }n π } A B y C z D. Hulga iga alajaotuse T korral valime iga k,...,n jaoks U k P k ning tähistame Ω k p πuk p k q. Saa näidata, et hulkadel Ω k leidu pindala. ņ S Ωp q lim S Ωk (pinnatüki Ωp q pindala). λpt qñ k Lause. S Ωp q }npu, vq} dudv. βp,yq 5. Asetage integraalis d a Dpq E f p, y, zqd dy dz rajad valemite f p, y, zqdy dz järgi, kui E on piiratud järgmiste pindadega. D d dy a) Silinder y p q ning tasandid z, z 3 ja. ) Silinder y ning tasandid z ja z 4. c) Tasandid, y, z ja y z. d) Pind z y ja tasand z. e) Ellipsoid y z a c. αp,yq 6. Leidke järgmised integraalid. a) y z d dy dz, kus E tp, y, zq: 3, y, z u; E f p, y, zqdz ja 7

28 ) y d dy dz, kus E tp, y, zq: 3, y, z yu; E c) pz 4qd dy dz, kus E tp, y, zq:, y, z u; E d dy dz d), kus E tp, y, zq:, y 5, z 4u. y E 7. Leidke järgmised integraalid. a) p q y d dy dz, kus E r,s r,s r,s; E ) y z 3 d dy dz, kus E on piiratud hüperoolse paraoloidiga z y ja tasanditega, E y ja z ; c) p 3y zqd dy dz, kus E on piiratud tasanditega, y, z, z 3 ja y. E 8. Olgu B tp, y, zq: e z, y z, y z 4u. Koostage hulga B kohta arvuti aiga kolmemõõtmeline kontuurjoonis. Tõestage, et B d dy dz 8 4?. 3 9*. Tõestage, et iga lõigus r, as integreeruva funktsiooni f korral kehti valem a y d dy f pzqdz a pa zq f pzqdz. *. Kahekordset integraali kasutades leidke piirväärtus pm,n P Nq m ņ lim m,nñ8 mn l kl sin n mn. k l *. Tõestage, et iga lõigus r,s integreeruva funktsiooni f korral kehti valem d dy y f pzqdz p z qf pzqdz p zq f pzqdz. 5. Kolmekordse integraali arvutamine. Silindrilised koordinaadid, sfäärilised koordinaadid. Keha ruumala leidmine kolmekordse integraali ail.. Üleminekuga silinderkoordinaatidele leidke järgmised integraalid. 8

29 a) z d dy dz, kus E on piiratud silindriga y p, y q ja tasanditega, E y, z ja z ; d dy dz ) pz q, kus E tp, y, zq: y, z u; E c) z d dy dz, kus E on piiratud silindriga y a p, y q ja tasanditega z, E z, y ja y? 3; d) y d dy dz, kus E on piiratud silindriga y, tasandiga z ja paraoloidiga E z y ; e) z y d dy dz, kus E on piiratud silindriga y py q ja tasanditega z, E z c ja y ; f) p y qd dy dz, kus E tp, y, zq: a y z, z u. E 3. Üleminekuga sfäärkoordinaatidele leidke järgmised integraalid. a) z d dy dz, kus E on piiratud sfääri osaga y z py, z q ja tasanditega y E ja z ; ) y z d dy dz, kus E tp, y, zq: y z, y u; E c) y z d dy dz, kus E on kera y z z; E d dy dz d) a y pz q, kus E on kera y z ; E e) p y qd dy dz, kus E tp, y, zq: y z a, z u; E f) p y qd dy dz, kus E tp, y, zq: a y z u. E 4. Leidke kehade ruumalad, kui nad on piiratud järgmiste pindadega. Arv a on positiivne. a) Silindrid z 9 y ja z y ning tasandid ja 5. ) Paraoloidid z y ja z y ning silinder y. c) Paraoloidid z y ja z y ning tasandid, y ja y. d) Silindrid y ja 3y 4 ning tasandid z ja z 9. e) Hüperoolne paraoloid z y ning tasandid, y, y ja y z. f) Paraoloidid z y ja z y, silinder y ning tasand y. g) Pind p y z q a 3 z. 9

30 5*. Olgu a. Tõestage, et ellipsi täisvõnke kaarepikkusega, kui c a a. " a cos t, y sin t pikkus on võrdne sinusoidi y c sin ühe 6*. Leidke näide sirgestuvast joonest L R ning funktsioonidest f, g, h : L Ñ R nii, et f p, yq gp, yq hp, yq iga p, yq P L korral, aga L f p, yqd L gp, yqd ja gp, yqd L hp, yqd. L Märkus. Ülesanne näita, et teist liiki joonintegraal üldiselt ei ole monotoonne. 6. Esimest liiki joonintegraali arvutamine üle tasandilise joone. Esimest liiki joonintegraali arvutamine üle ruumilise joone (parameetriliselt antud joonte korral). Olgu ϕ,ϕ : ra,s Ñ R. Olgu γptq pϕ ptq,ϕ ptqq. Olgu L γpra,sq lihtne pidev sirgestuv kaar. Tähistame T tt : T on lõigu ra, s alajaotusu. Olgu T rt,..., t n s lõigu ra,s mingi alajaotus. Tähistame s k l γprtk,t k sq iga k,...,n korral (osakaarte γprt k, t k sq pikkused). Tähistame λpt q ma pt k t k q. Tähistagu ξ pξ,...,ξ n q suvalist vektorit, kus Q k γpξ k q P γprt k, t k sq iga k,...,n korral. Tähistame iga k,...,n korral k,...,n k ϕ pt k q ϕ pt k q ja y k ϕ pt k q ϕ pt k q. Olgu f : L Ñ R ja I P R. ðñ Tähis: f p, yqds. L ðñ Funktsiooni f esimest liiki joonintegraal üle joone L on I DI P R Dδ P λpt q δ ñ ņ k f pq k qs k I Funktsiooni f teist liiki joonintegraal koordinaadi järgi üle joone L on I ðñ ņ ðñ DI P R Dδ P λpt q δ ñ f pq k q k I k Tähis: f p, yqd. L Funktsiooni f teist liiki joonintegraal koordinaadi y järgi üle joone L on I ðñ ðñ Tähis: f p, yqdy. L DI P R Dδ P λpt q δ ñ 3 ņ k f pq k q y k I ε. ε. ε.

31 Lause. $ '& f p, yqds f pγptqq ϕ ptq ϕ ptq dt, * L a L sile, ùñ f p, yqd f pγptqqϕ f pidev ptqdt, L a '% f p, yqdy f pγptqqϕ ptqdt L a NB! Nii esimest kui teist liiki joonintegraalidel on kõik harilikud määratud (ja kahekordse) integraali aritmeetikaomadused: aditiivsus, homogeensus ja aditiivsus piirkonna järgi. NB! Esimest liiki joonintegraalil on ka järjestusega seotud integraali omadused: monotoonsus ja keskmise muutuja omadus. Teist liiki joonintegraalil üldiselt ei ole järjestusega seotud omadusi. (Nende olemasolu sõltu joont määravate koordinaatfunktsioonide ϕ ja ϕ monotoonsusest.) NB! Teist liiki joonintegraal vaheta märki, kui vahetada joone läimise suunda. NB! Ülaltoodud mõisted saa ineerida ja tulemused kehtivad ka juhul, kui mõiste lihtne asendada mõistega lihtne kinnine. Teist liiki joonintegraali korral märgi tähis L või lihtsalt L kinnise joone läimist nii, et joone L poolt piiratud hulk jää vasakule, ja L vastupidises suunas. 7. Leidke järgmised tasandilised joonintegraalid mööda antud joont AB või L. ds a) y, AB : y, A p, q, B p4,q; AB y ) ds, AB : y, A p, q, B p, 3q; y AB ds c), AB : y 3, A p3,5q, B p5,q; AB d) y ds, AB : cos t, y sin t, t P, π, A p,q, B p,q; AB? e) y ds, L : apt sin tq, y ap cos tq, t P r,πs; f) L y ds, L g) y ds, h) p yqds, AB L : apt sin tq, y ap cos tq, t P r,πs; AB : r cosϕ, ϕ P, π ; AB : r cosϕ, ϕ P π, π ; AB i) p y qds, L : r a sinϕ, ϕ P r,πs; L j) arctan y ds, kui L on Archimedese spiraali r ϕ osa, kus r π; L k) y ds, AB : y a, p q, A pa,q, B p, aq; AB 3

32 l) p yqds, L : y ; m) n) o) p) L ds, L : y ay; L p yqds, kui L on kolmnurga ABC kontuur, kus A p,q, B p,q ja C p,q; L y ds, kui L on ristküliku ABC D kontuur, kus A p,q, B p4,q, C p4,q ja D p,q; L y ds, kui L on lemniskaat p y q a p y q pa q. L 8. Leidke järgmised joonintegraalid mööda antud ruumilist joont L. 3z ds a), kus L on kruvijoone a cos t, y a sin t, z at esimene keerd p t πq; y L ) p 3zqds, kui L on joone 3t, y 3t?, z t 3 osa, kus t ; c) L z ds, kui L on koonilise kruvijoone t cos t, y t sin t, z t osa, kus t?. L 7. Joone kaare pikkus. Silinderpinna pindala. 9. Leidke järgmiste y-tasandil asetsevate joonte pikkused. a) y?, P r,7s; ) y ch, P r,s; c) lnpt q, y lnpt d) r e ϕ, ϕ P r,πs; e) r sin 3 ϕ ; 3 f) y lncos, P a t q, π. 4 a t, t P r,e s;. Leidke järgmiste ruumiliste joonte märgitud kaarte pikkused. a) 3t, y 3t, z t 3, A p,,q, B p3,3,q; ) e t cos t, y e t sin t, z e t, t P r,8q.. Leidke vertikaalsete silinderpindade pindalad, kui pindade alumised servad on y-tasandil ja ülemised servad on määratud järgmiste joontega. a) y, z y, p, y q; c) y, z p 4q. ) y 4, z 4; 3

33 . Leidke silinderpinna y pindala, mis asu silindri z 4 sees. 3. Leidke silinderpinna y selle osa pindala, mis asu kera y z 4 sees. 4. Leidke y-tasandil oleva kõvera cos t, y sin t, t π mass, kui tema joontihedus on pp, yq y. 8. Teist liiki joonintegraali arvutamine üle tasandilise joone. Teist liiki joonintegraali arvutamine üle ruumilise joone (parameetriliselt antud joonte korral). Üldise teist liiki joonintegraali leidmine. 5. Leidke järgmised joonintegraalid mööda y-tasandil asetsevat joont AB. a) y d, AB : y sin, A p,q, B pπ,q; ) c) d) e) f) g) h) y d, AB : y, A p4,q, B p,q; p y qdy, AB :? y, A p,q, B p,4q; AB AB AB AB AB AB AB dy, y d, dy, cos y dy, e y d, AB : 3 y 6, A p,q, B p,3q; AB : cos t, y sin t, t P, π ; AB : cos t, y sin t, t P r,πs; AB : -telg, A p,q, B p4,q; AB : sirglõik, mis ühenda punkte A p,q ja B p,6q; AB i) dy, kui L on kolmnurga ABC kontuur, kus A p,q, B p3,q ja C p,q; j) L p y qd, kui L on kontuur, mille moodustavad sirged, 5, y ja y 3. L 6. Leidke järgmised üldised teist liiki joonintegraalid. a) cos y d sin dy, AB : y, A p,q, B pπ,πq; AB ) y d dy, c) L : a cos t, y a sin t, t P, π ; L p yqd dy, AB : t sin t, y cos t, A p,q, B pπ,q. AB 33

34 7. Leidke y-tasandil olevate tasandiliste kujundite pindalad, kui nad on piiratud järgmiste joontega. a) Ellips a cos t, y sin t, t P r,πs; ) astroid a cos 3 t, y sin 3 t, t P r,πs; c) kardioid apcos t costq, y apsin t sintq; d) y, y ; e) joone p yq 3 y silmus; f) Bernoulli lemniskaat p y q a p y q. 9. Greeni valemi ail pindala leidmine. Integreerimisteest sõltumatud tasandilised joonintegraalid. Teoreem (Greeni valem)., Olgu G R lahtine ja ühelisidus. Olgu F,G : G Ñ R. Olgu D G. D on kinnine, /. BD on tükiti sile, ùñ G F ja G on pidevad, p, yq F y p, yq ddy F p, yqd Gp, yqdy. D /- BD F y ja G on pidevad Lause. * D on kinnine, ùñ S BD on tükiti sile D dy BD BDp yqd Olgu G R lahtine ja sidus. Olgu A,B P G. Olgu F,G : G Ñ R pidevad. $ '& Tähistame L Joonintegraal γ: '% $ '& '% p y d dyq. BD γ: r,s Ñ R, kus γptq pptq, yptqq ja, y : r,s Ñ R, γpr,sq on tükiti sile joon, γpq A, γpq B F d G dy on sõltumatu AB punkte A ja B ühendavast integreerimisteest hulgas G G dy. Lause. Olgu G lahtine ja ühelisidus, F,G : G Ñ R pidevad, G,F y P G G pxq F y pxq ðñ ðñ iga tükiti sileda kinnise joone L G korral, /.. /- ðñ@γ,γ P L F d G dy γ pr,sq γ pr,sq F d Fp, yqd Gp, yqdy L F p, yqd Gp, yqdy ðñ iga kahe punkti A, B P G korral AB on sõltumatu integreerimisteest hulgas G ðñ DU : G Ñ R nii, et U on dif-v ja U F, U y G. 8. Leidke Greeni valemi ail järgmised joonintegraalid. a) p qy d p y qdy, L : y a ; ) L p y yqd p y yqdy, L L : a y ; 34 ðñ ðñ

Lokaalsed ekstreemumid

Lokaalsed ekstreemumid Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.

4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom. Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale

Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon

2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon 2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid

Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus

1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =

sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α = KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α

Διαβάστε περισσότερα

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül. Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)

Διαβάστε περισσότερα

HULGATEOORIA ELEMENTE

HULGATEOORIA ELEMENTE HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad

Διαβάστε περισσότερα

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets

Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga

Διαβάστε περισσότερα

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120

Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas

Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Õpitulemused I kursus-arvuhulgad. Avaldised. Võrrand, võrratus. 1) eristab ratsionaal-, irratsionaal- ja reaalarve; 2) eristab võrdust, samasust, võrrandit ja võrratust;

Διαβάστε περισσότερα

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ P P Ó P r r t r r r s 1 r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s Pr s t P r s rr r t r s s s é 3 ñ í sé 3 ñ 3 é1 r P P Ó P str r r r t é t r r r s 1 t r P r s rr 1 1 s t r r ó s r s st rr t s r t s rr s r q s

Διαβάστε περισσότερα

2. HULGATEOORIA ELEMENTE

2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs

Διαβάστε περισσότερα

Skalaar, vektor, tensor

Skalaar, vektor, tensor Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.

DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka

Διαβάστε περισσότερα

,millest avaldub 21) 23)

,millest avaldub 21) 23) II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.

Διαβάστε περισσότερα

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist

Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi

Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35 Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

Deformatsioon ja olekuvõrrandid

Deformatsioon ja olekuvõrrandid Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,

Διαβάστε περισσότερα

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses

Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010 KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE

3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava

Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava 1. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused Lai matemaatika koosneb 14 kursusest: 10 klass: 1. Avaldised ja arvuhulgad 2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid

Διαβάστε περισσότερα

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged

Pinge. 2.1 Jõud ja pinged Peatükk 2 Pinge 1 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

SKEMA PERCUBAAN SPM 2017 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS 2

SKEMA PERCUBAAN SPM 2017 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS 2 SKEMA PERCUBAAN SPM 07 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS SOALAN. a) y k ( ) k 8 k py y () p( ) ()( ) p y 90 0 0., y,, Luas PQRS 8y 8 y Perimeter STR y 8 7 7 y66 8 6 6 6 6 8 0 0, y, y . a).. h( h) h h h h h h 0

Διαβάστε περισσότερα

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias

Vektorid. A=( A x, A y, A z ) Vektor analüütilises geomeetrias ektorid Matemaatikas tähistab vektor vektorruumi elementi. ektorruum ja vektor on defineeritud väga laialt, kuid praktikas võime vektorit ette kujutada kui kindla arvu liikmetega järjestatud arvuhulka.

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.

Διαβάστε περισσότερα

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...

1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud... Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega

Διαβάστε περισσότερα

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.

Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9

Διαβάστε περισσότερα

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016 KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me

Διαβάστε περισσότερα

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES 5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,

Διαβάστε περισσότερα

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale

Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale POLITECNICO DI TORINO Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale Alterazioni del sistema cardiovascolare nel volo spaziale Relatore Ing. Stefania Scarsoglio Studente Marco Enea Anno accademico 2015 2016

Διαβάστε περισσότερα

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2 Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala

Διαβάστε περισσότερα

; y ) vektori lõpppunkt, siis

; y ) vektori lõpppunkt, siis III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise

Διαβάστε περισσότερα

Prés té r t r P Ô P P é té r t q r t t r2 t r t r t q s t r s t s t t s à t té rt rs r r ss r s rs tés r r ss r s rs tés 1 1 t rs r st r ss r s rs tés P r s 13 è îtr ér s r P rr îtr ér s rt r îtr ér s

Διαβάστε περισσότερα

Mesh Parameterization: Theory and Practice

Mesh Parameterization: Theory and Practice Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is

Διαβάστε περισσότερα

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36

Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36 Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

5. Phương trình vi phân

5. Phương trình vi phân 5. Phương trình vi phân (Toán cao cấp 2 - Giải tích) Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle Nội dung 1 Khái niệm Phương trình vi phân Bài

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

Answers to practice exercises

Answers to practice exercises Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2

Vektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2 Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

70. Let Y be a metrizable topological space and let A Ď Y. Show that Cl Y A scl Y A.

70. Let Y be a metrizable topological space and let A Ď Y. Show that Cl Y A scl Y A. Homework for MATH 4603 (Advanced Calculus I) Fall 2017 Homework 14: Due on Tuesday 12 December 66 Let s P pr 2 q N let a b P R Define p q : R 2 Ñ R by ppx yq x qpx yq y Show: r s Ñ pa bq in R 2 s ô r ppp

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02) &' (

ITU-R P (2012/02) &' ( ITU-R P.530-4 (0/0) $ % " "#! &' ( P ITU-R P. 530-4 ii.. (IPR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. ITU-T/ITU-R/ISO/IEC (http://www.itu.int/publ/r-rec/en ) () ( ) BO BR BS

Διαβάστε περισσότερα

➂ 6 P 3 ➀ 94 q ❸ ❸ q ❼ q ❿ P ❿ ➅ ➅ 3 ➁ ➅ 3 ➅ ❾ ❶ P 4 ➀ q ❺ q ❸ ❸ ➄ ❾➃ ❼ 2 ❿ ❹ 5➒ 3 ➀ 96 q ➀ 3 2 ❾ 2 ❼ ❸ ➄3 q ❸ ➆ q s 3 ➀ 94 q ➂ P ❺ 10 5 ➊ ➋➃ ❸ ❾ 3➃ ❼

➂ 6 P 3 ➀ 94 q ❸ ❸ q ❼ q ❿ P ❿ ➅ ➅ 3 ➁ ➅ 3 ➅ ❾ ❶ P 4 ➀ q ❺ q ❸ ❸ ➄ ❾➃ ❼ 2 ❿ ❹ 5➒ 3 ➀ 96 q ➀ 3 2 ❾ 2 ❼ ❸ ➄3 q ❸ ➆ q s 3 ➀ 94 q ➂ P ❺ 10 5 ➊ ➋➃ ❸ ❾ 3➃ ❼ P P P q r s t 1 2 34 5 P P 36 2 P 7 8 94 q r Pq 10 ❶ ❶ ❷10 ❹❸ ❸ 9 ❺ ❼❻ q ❽ ❾ 2 ❿ 2 ❼❻ ➀ ➁ ➂ ❿ 3➃ ➄ 94 ➁ ➅ ❽ ➆ ➇ ➉➈ ➊ ➋ ➌ ➊ ➍ ➎ ➋ ➏➃ ➃ q ❺➐ 8 ➄ q ❷ P ➑ P ➅ ➇ ❽ ➈➃ ➒➇ ➓ ➏ ➎ ➄ P q 96 5P q 4 ❿ ➅ ➇➃❽ ➈➃ ➇ ➓

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα