AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA"

Transcript

1 Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1

2 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Kursinių projektų rengimo metodika Vilnius Technika 1

3 S. Lisauskas. Automatinio valdymo teorija: kursinių projektų rengimo metodika. Vilnius: Technika, p. [3,97 aut. l ]. Šis technologijos mokslų srities, elektronikos ir elektros mokslo krypties leidinys skirtas Elektronikos fakulteto pagrindinių nuolatinių ir ištęstinių studijų studentams, studijuojantiems automatinio valdymo teorijos kursą. Jame pateikiama kursinio darbo metodika ir reikalingos teorinės žinios. Leidiniu galės naudotis ir kitų fakultetų studentai. Leidinį rekomendavo VGTU Elektronikos fakulteto studijų komitetas Recenzavo: prof. habil. dr. Roma Rinkevičienė, VGTU Automatikos katedra prof. habil. dr. Algimantas Juozas Poška, VGTU Automatikos katedra Leidinys parengtas vykdant projektą VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas. Leidinio rengimą ir leidybą finansavo Vilniaus Gedimino technikos universitetas ir Europos socialinis fondas (sutarties Nr. VP1-.-ŠMM-7-K-1-47). VGTU leidyklos TECHNIKA 139-S mokomosios metodinės literatūros knyga Redaktorė Reda Asakavičiūtė Maketuotojas Donaldas Petrauskas eisbn doi:1.3846/139-s Saulius Lisauskas, 1 Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 1

4 Turinys Įvadas Automatinio valdymo sistemų sandara Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas Automatinio valdymo sistemų klasifikacija Atviroji automatinio valdymo sistema Reguliavimo pagal trikdį principas Uždaroji automatinio valdymo sistema Kombinuoto reguliavimo principas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų dinamikos lygtys Automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferencialinės lygtys Diferencialinių lygčių ištiesinimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funkcijos Laplaso transformacija Sistemos operacinių lygčių sudarymas Automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų struktūrinės schemos Struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinių sistemų statika Statinis reguliavimas Astatinis reguliavimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinio valdymo sistemų dinaminės ir dažninės charakteristikos Automatinio valdymo sistemų signalai

5 6.. Automatinio valdymo sistemų dinaminės charakteristikos Dažninės charakteristikos Tipinės dinaminės grandys ir jų charakteristikos Grandžių klasifikacija Ideali stiprinimo grandis Aperiodinė (inercinė) grandis Integravimo grandis Diferencijavimo grandis Švytavimo grandis Vėlinimo grandis Kontroliniai klausimai ir užduotys Automatinių valdymo sistemų stabilumo tyrimas Sistemų stabilumas Algebriniai stabilumo kriterijai Rauso ir Hurvico stabilumo kriterijai Michailovo stabilumo kriterijus Naikvisto stabilumo kriterijus Logaritminis stabilumo kriterijus Automatinių sistemų koregavimas Kontroliniai klausimai ir užduotys Literatūra

6 Įvadas Automatinio valdymo teorijos kursinių projektų metodikos tikslas padėti studentams suvokti teorinę paskaitų medžiagą, įgyti gebėjimų projektuoti, analizuoti automatinio valdymo sistemas, praktiškai pritaikyti teorines žinias, išmokti sudaryti automatinių sistemų matematinius ir kompiuterinius modelius, jų struktūrines schemas, gauti dinamines charakteristikas, tirti sistemų stabilumą. Kursinį projektą sudaro tokie pagrindiniai skyriai: automatinio valdymo sistemos veikimo principo aprašymas, elementų diferencialinių ir operacinių lygčių sudarymas, atvirosios sistemos stiprinimo koeficiento skaičiavimas, logaritminių dažninių charakteristikų gavimas, sistemos koregavimas, sistemos modeliavimas ir dinaminių charakteristikų gavimas, kokybinių pereinamojo proceso rodiklių skaičiavimas, sistemos stabilumo tyrimas, išvados ir grafinė dalis. Kursinių projektų metodikoje išnagrinėti visi minėti automatinio valdymo sistemų projektavimo ir tyrimo etapai. Kiekvieno skyriaus pradžioje pateikiama reikalinga teorinė medžiaga. Toliau nurodomi pavyzdžiai ir MATLAB Simulink modeliai ar skaičiavimo programos. Skyriaus pabaigoje pateikiami kontroliniai klausimai ir savarankiškam darbui skirtos užduotys. 5

7 1. Automatinio valdymo sistemų sandara 1.1. Bendros žinios apie automatinio valdymo sistemas Visos sistemos turi įėjimo ir išėjimo kintamuosius. Sistemos reakcija yra aprašoma išėjimo kintamojo priklausomybe nuo įėjimo kintamojo. Tokios priklausomybės tarp vieno ar kelių kintamųjų paprastai aprašomos matematinėmis lygtimis, kurios yra pagrįstos fizikiniais dėsniais arba gaunamos eksperimentiškai. Sistema apima įvairius komponentus, valdymo algoritmus, įrenginius ir prietaisus, kurie sąveikauja tarpusavyje. Ji gali turėti bet kokį skaičių įėjimų ir išėjimų. Tokia sistemos koncepcija parodyta 1.1 paveiksle. 1.1 pav. Sistemos koncepcija Valdymo sistemos esmė yra stebėti kintamuosius, rasti sprendimus, kaip efektyviai reguliuoti įėjimus, kad būtų galima gauti pageidaujamą išėjimą. Valdymo sistemos užduotis sąlygiškai galime suskirstyti į tris dalis: 1. Išėjimo kintamųjų stebėjimas juos matuojant.. Racionalių valdymo sprendimų priėmimas ar algoritmų taikymas, atsižvelgiant į situaciją ir remiantis informacija apie esamą ir pageidaujamą sistemos būseną. 3. Efektyvus tokių sprendimų įgyvendinimas. Paprasčiausią valdymo sistemą sudaro du komponentai valdiklis (reguliatorius) ir valdomas objektas. Įrenginys, kuriame vyksta 6

8 reguliavimas ar valdymas, vadinamas reguliuojamu arba valdomu objektu. Automatiniu reguliavimu vadinamas kokio nors fizikinio dydžio reikšmės palaikymas specialiais automatiniais reguliatoriais be žmogaus pagalbos. Valdomo objekto darbas priklauso nuo visumos trikdžių, valdymo poveikių ir valdomų kintamųjų, kurie bendru atveju yra vektoriai: ( i) (1) (1) (1) u y z () () () u y z u =, y =, z =, ( p) ( l) ( r) u y z (1.1) čia u valdymo poveikis, i = 1,,..., p; y valdomas kintamasis, j = 1,,..., l; z trikdis, m = 1,,..., r. Valdomo objekto bloki- ( m) nė schema parodyta 1. paveiksle. ( j) 1. pav. Valdomo objekto blokinė schema Valdymo poveikiai tai kintamieji, kuriuos galime keisti ir jie turi įtakos valdomiems kintamiesiems. Pvz., keisdami įtampą, keičiame variklio greitį ar elektrinio šildytuvo temperatūrą. Trikdžiai tai kintamieji, kurie taip pat turi įtakos valdomam objektui. Pvz., apkrova elektros pavarai, generatoriui, išorės temperatūros pokytis 7

9 temperatūros reguliavimo sistemoje. Juos galima suskirstyti į dvi rūšis: kontroliuojamus (matuojamus darbo metu) ir nekontroliuojamus išorinius poveikius. Jeigu žinomas objekto matematinis aprašymas, tai žinoma ir lygčių sistema, valdomuosius kintamuosius susiejanti su visais išoriniais poveikiais, veikiančiais objektą. Todėl pagal išorinius užduotus poveikius galima rasti valdomuosius kintamuosius y( u, z). Paprastuose objektuose yra tik vienas valdantysis poveikis u ir vienas valdomas kintamasis y. Esant statiniam režimui, išoriniai poveikiai z ir valdantieji poveikiai u yra pastovūs ir nekinta laikui bėgant. Nagrinėjant objekto dinamiką, aprašomos priklausomybės y ( u, z ), charakterizuojamos diferencialinėmis objekto lygtimis ir esant užduoties poveikiams u( t), z( t). Bendru atveju objekto diferencialinės lygtys yra netiesinės. Jei šio lygtys yra tiesinės, tai valdymo objektas vadinamas tiesiniu. Valdymo objektas gali būti stabilus, nestabilus ir neutralus. Objektas yra stabilus, jei, pasibaigus išoriniam poveikiui, jis grįžta į nusistovėjusią padėtį, kurią nulemia jo statinė charakteristika. Nestabiliame objekte, pasibaigus poveikiui, kad ir koks mažas jis bebūtų, išėjimo dydis tebekinta ir objektas negrįžta į nusistovėjusią padėtį. Neutralūs tai yra tokie objektai, kuriuose, pasibaigus poveikiui, nusistovi nauja neapibrėžta pusiausvyros padėtis, priklausanti nuo įvykdyto poveikio. Reguliuojamų objektų pavyzdžiai: rezervuaras, kuriame reikia palaikyti pastovų užduotą skysčio lygį, esant skirtingam skysčio panaudojimui; elektros pavara, kur reikia palaikyti pastovų sukimosi greitį ar momentą. 8

10 1.. Automatinio valdymo sistemų klasifikacija Pagal automatinių sistemų nusistovėjusios paklaidos didumą sistemos skirstomos į statines ir astatines. Jeigu esant pastoviam nuostatui ( u = const ) arba trikdančiam ( z = const ) poveikiui sistemoje, dirbančioje nusistovėjusiu režimu, statinė paklaida nelygi nuliui st, tai tokia automatinio valdymo sistema (AVS) nagrinėjamojo poveikio atžvilgiu yra statinė. Jeigu esant pastoviam poveikiui paklaida yra lygi nuliui, tuomet tokia sistema yra astatinė. Pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį sistemos klasifikuojamos taip: 1. Stabilizavimo sistema tai automatinė sistema, kuri duotu tikslumu palaiko pastovų reguliuojamąjį parametrą, su paklaida, ne didesne už leistiną.. Programinio valdymo sistema tai tokia sistema, kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto nustatytą programą, priklausančią nuo duotojo poreikio. 3. Sekos sistema vadinama automatinio reguliavimo sistema (ARS), kuri keičia reguliuojamąjį parametrą pagal iš anksto nežinomą laiko funkciją, apibūdinamą nuostatu. Šiose sistemose reguliuojamas dydis turi sekti nuostato poveikį, kuris paprastai yra lėtai kintanti iš anksto nežinoma laiko funkcija. Dar sistemos gali būti klasifikuojamos pagal: 1) fizikinio dydžio pobūdį (įtampa, lygis, greitis); ) naudojamos energijos pobūdį (elektromechaninės, elektroninės, pneumatinės, hidraulinės); 3) signalų, veikiančių sistemoje, pobūdį (tolydžios, diskrečiosios); 4) diferencialinių lygčių pobūdį (tiesinės, netiesinės); 5) sistemos parametrų stabilumą laike (su pastoviais ir kintamais parametrais). Sistemos su pastoviais parametrais 9

11 vadinamos determinuotos, arba stacionarios; su kintamais laike nestacionarios; 6) valdomų kintamųjų skaičių; 7) pagal savybę prisitaikyti prie pasikeitusių išorinių darbo sąlygų ir pagerinti savo darbą, remiantis sukaupta patirtimi (paprastos ir susiderinančios). AVS taip pat galima suskirstyti į: 1) atvirąją AVS; ) atvirąją AVS, įvertinant trikdžius; 3) uždarąją AVS; 4) kombinuotas AVS Atviroji automatinio valdymo sistema Atviroji AVS neturi grįžtamojo ryšio. Paprasčiausia automobilio greičio reguliavimo sistema parodyta 1.3 paveiksle. 1.3 pav. Paprasčiausia atviroji AVS Tokioje sistemoje nėra galimybės palyginti esamą ir norimą greitį. Dėl įvairių priežasčių aktualus greitis gali nutolti nuo užduotos reikšmės, pvz., dėl vėjo, kalno ar nuokalnės ir pan Reguliavimo pagal trikdį principas Šiose sistemose valdymo poveikis formuojamas išmatavus objekto trikdantį poveikį. Sistemos, sudarytos šiuo principu, neturi grįžtamojo ryšio, t. y. jos yra atviros. Tokios sistemos skirstomos į dvi grupes: trikdžio kompensavimo ir programinio valdymo sistemas. Automatinės trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema parodyta 1.4 paveiksle. 1

12 1.4 pav. Automatinės trikdžio kompensavimo sistemos struktūrinė schema Valdymo poveikio didumas ir ženklas turi būti tokie, kad visiškai ar gerokai kompensuotų trikdžio poveikį reguliuojamam objektui. Pagrindinis šio principo privalumas didelis kompensavimo grandžių greitaeigiškumas, nes sistema šiuo atveju reaguoja ne į pasekmę, t. y. reguliavimo parametro nuokrypą, bet į jo priežastį. Jei sistemą veikia keletas trikdžių, naudojamos kelios kompensavimo grandys. Tačiau ne visus trikdžius galima išmatuoti ir kompensuoti. Tai pagrindinis šio principo trūkumas Uždaroji automatinio valdymo sistema Jei automatinėje sistemoje valdymo poveikis formuojamas pagal reguliuojamojo parametro nuokrypą nuo nuostato reikšmės, tai laikoma, jog tokia sistema sudaryta reguliavimo pagal nuokrypą arba grįžtamojo ryšio principu. Tokių sistemų reguliavimo įtaise palyginamos reguliuojamojo parametro esamosios ir nuostato reikšmės ir pagal gautą skirtumą formuojamas valdymo signalas. Šis reguliavimo principas taikomas sistemose su grįžtamuoju ryšiu. Jų struktūrinė schema atskleidžiama 1.5 paveiksle. 11

13 1.5 pav. ARS su grįžtamuoju ryšiu struktūrinė schema Valdymo poveikis šioje sistemoje formuojamas atsižvelgiant į skirtumą ε ( t) tarp nuostato ynu ( t) ir esamosios reguliuojamojo parametro y( t ) reikšmių: u = F( ε ). (1.) Grįžtamasis ryšys yra automatinių sistemų, veikiančių reguliavimo pagal nuokrypą principu, būdingas bruožas. Grįžtamuoju ryšiu vadinamas ryšys, kuriuo informacija apie valdomo objekto būvį perduodama iš sistemos išėjimo į reguliavimo įtaiso įėjimą. Grįžtamasis ryšys laikomas neigiamu, jei reguliavimo įtaise palyginimo elementas nustato nuokrypą ε ( t) = ynu ( t) y( t). Reguliavimo pagal nuokrypą principas yra universalus ir efektyvus, nes juo galima valdyti nestabilius objektus, keisti reguliuojamąjį parametrą pagal norimą dėsnį, kai paklaida ε gana maža, neatsižvelgiant į ją sukėlusias priežastis. Grįžtamasis ryšys būdingas ne tik techninėms sistemoms, bet ir gyviems organizmams Kombinuoto reguliavimo principas Didelio tikslumo automatinės sistemos sudaromos kombinuoto reguliavimo principu, panaudojant reguliavimo pagal nuokrypą ir pagal trikdį savybes. Tokios sistemos struktūrinė schema parodyta 1.6 paveiksle. 1

14 1.6 pav. Kombinuoto valdymo sistema Kombinuoto valdymo sistemose, be pagrindinio grįžtamojo ryšio, yra pagrindinio trikdančiojo poveikio z( t ) kompensavimo grandis. Neįvertintų trikdžių poveikį kombinuotose ARS kompensuoja arba gerokai susilpnina reguliavimo pagal nuokrypą kontūras Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kas yra sistema?. Kokia valdymo sistemos užduotis? 3. Iš ko susideda paprasčiausia AVS? 4. Nuo ko priklauso valdomo objekto darbas? 5. Koks objektas yra stabilus, nestabilus ir neutralus? 6. Apibrėžkite statinę ir astatinę valdymo sistemą ir skirtumą tarp jų? 7. Kaip klasifikuojamos AVS pagal išėjimo dydžio kitimo dėsnį? 8. Apibrėžkite uždarąją ir atvirąją AVS. Koks pagrindinis skirtumas tarp jų? 9. Apibrėžkite reguliavimo pagal trikdį principą. Koks pagrindinis šio principo privalumas ir trūkumas? 13

15 . Automatinio valdymo sistemų dinamikos lygtys.1. Automatinio valdymo sistemų ir jų elementų diferencialinės lygtys Sistemų dinamika tiria pereinamuosius vyksmus. Pereinamasis vyksmas tai objekto išėjimo parametro kitimas laike veikiant nuostatui arba trikdančiajam poveikiui. Pereinamasis vyksmas gali būti surastas žinant visos sistemos elementų diferencialines lygtis. Iš visų elementų diferencialinių lygčių sudaroma viena bendra sistemos diferencialinė lygtis, kuri gali būti tiesinė ar netiesinė. n = n n F ( y, y, y,, y ) F ( z, z, z, z, u, u, u,, u ). (.1) Tiesinėms sistemoms galima taikyti superpozicijos metodą. Tuomet F ( y, y, y,, y ) = F ( z, z, z, z ) + + F ( u, u, u,, u ); n n n n (.) čia y, y, y,, y valdomas dydis ir jo išvestinės; u, u, u,, u n įėjimo (nuostato, uždavimo) dydis ir jo išvestinės; z, z, z, z trikdantysis poveikis ir jo išvestinės. Sistemos pereinamąjį vyksmą galima gauti įvairiais būdais: analitiniu, grafiniu, modeliuojant kompiuteriu. Klasikinis diferencialinių lygčių sprendimo metodas leidžia gauti analitinį sprendinį. Bendrasis diferencialinės lygties sprendinys: x = x + x (.3) iš iš n laisv; čia x iš bendrasis sprendinys, charakterizuojantis išėjimo dydžio kitimą laike; x priverstinė nusistovėjusio dydžio reikšmė; iš n n 14

16 x laisv laisvasis judesys, aprašomas diferencialine lygtimi, kurios dešinioji pusė lygi nuliui: n n d xiš d xiš dxiš n n n 1 n 1 iš a + a + + a + a x =. (.4) dt dt dt Šios lygties sprendinys: n αt αt αnt laisv = n = i i= α t x C e C e C e C e i ; (.5) čia C i integravimo konstantos; α i būdingosios lygties šaknys. Būdingoji lygtis gaunama diferencialinėje lygtyje pakeitus d α : dt n n a α + a α + + a α + a = (.6) n n. Aukštos eilės lygčių šaknys randamos apytikriais metodais. Naudojant programinį paketą Matlab, šaknys randamos taip: 1. Sudaroma matrica A iš lygties koeficientų: a = [ an an an a a].. Panaudojama komanda roots(a)..1 pavyzdys 4 3 Duotos būdingosios lygtys: s 5s + 1; s + 3s 15s s + 9 ; 4 s +. Raskime jų šaknis. Matlab kodas: A1=[1-5 1] roots(a1) A=[ ] roots(a) A3=[1 1] roots(a3). 15

17 Pirmos lygties šaknys: 4,7913,,87. Antros: 5,5745,,5836,,7951,,786. Trečios lygties šaknys gaunamos kompleksinės:,771 +,771i,,771,77,,771 +,77,,771,77.. pavyzdys Užrašykime.1 paveiksle parodytos schemos diferencialinę lygtį. i1 i 3 i uį I II u i š.1 pav. Elektrotechninė schema Naudodami Kirchhofo dėsnius.1 paveiksle parodytai schemai galime užrašyti: Pirmam kontūrui: di1 1 uį ( t) = L Ri. dt + + C (.7) Antram kontūrui: t uiš ( t) = Ri + i ( τ) dτ + uc (). (.8) C Mazgui a: i1 i i3 =. (.9) Jei schema nebus apkrauta, tai i 3 =. Tuomet: i = i = i. (.1) 16

18 Iš (.7) ir (.8) formulių gauname: tada galime užrašyti: di uį ( t) L u ( t), dt 1 = + iš (.11) t 1 i ( t) = u ( ) u ( ) d. L τ τ τ (.1) 1 į iš Įvertindami (.1) lygtį, i įrašome į (.8) lygtį: 1 u ( t) = R u ( τ) u ( τ) dτ + iš į iš L t τ1 1 + uį ( τ) uiš ( τ) dτdτ 1 + uc (). CL t Du kartus diferencijavę (.13) lygtį gauname: iš d u dt pertvarkę gauname: R duį duiš 1 = + L dt dt CL ( uį uiš ), (.13) (.14) d uiš du du iš į CL + CR + u iš = CR + uį. (.15) dt dt dt Pažymėkime T = RC ir T = LC. Gauname, kad tokios schemos matematinis modelis aprašomas antros eilės diferencialine lygtimi: d uiš du du iš į T + T 1 + uiš = T1 + uį. (.16) dt dt dt.3 pavyzdys. paveiksle parodyta automatinė nuolatinės srovės variklio greičio reguliavimo sistema, kai greitis reguliuojamas keičiant va- 17

19 riklio inkaro įtampą. Parodytoje schemoje darbo mašiną sukančio variklio greičiui matuoti naudojamas tachogeneratorius, kurio išėjimo įtampa U BR lyginama su etalonine (užduota) įtampa U e. Gautą įtampų skirtumą U galime sustiprinti pridėdami įtampą U. Tuomet įtampa U s tiekiama į stiprintuvą, kuri formuoja tiristorinio lygintuvo valdymo įtampą U v. Atsižvelgiant į šią įtampą, keičiasi valdomo lygintuvo išėjimo įtampa, o kartu ir variklio greitis. V =co n st T G V ŽA M T L k s { U v Ts Us U + - U e U pav. Nuolatinės srovės variklio greičio reguliavimas, kai keičiama variklio inkaro įtampa Užrašykime. paveiksle parodytos AVS elementų diferencialines lygtis: Palyginimo mazgas: u = u. e ubr (.17) 18

20 Stiprintuvui: u = u + u. (.18) s du v T uv ksus dt Tiristoriniam keitikliui: + =. (.19) U = k U (.) k v. Nuolatinės srovės variklio inkarui: diin u( t) = e( t) + Riniin + Lin ; (.1) dt Variklio dinamikos lygtis: Grįžtamojo ryšio lygtis: e = cφω ; (.) U ω = ; (.3) c Φ M = cφ i in. (.4) dω M M = J. (.5) dt u BR s = k ω. (.6) BR.4 pavyzdys.3 paveiksle pateikta erdvėlaivio saulės sekimo sistemos schema. Erdvėlaivio saulės sekimo sistema skirta erdvėlaivio padėčiai valdyti saulės atžvilgiu dideliu tikslumu..3 paveiksle pateikta schema paaiškina aprašytos erdvėlaivio saulės sekimo sistemos veikimo bei valdymo principus. Priimta, kad saulė juda tik viena plokštuma. 19

21 Saulės spindulys Paklaidos diskriminatorius C a W α b L B A f oto elem en ta s fo to elem en tas ia ib θ Išėjimo reduktorius 1/n R _ θv R Saulės ašis α Įrenginio ašis θv R + + e _ + e s _ S tip rin tu va s K s + e a _ M Nuolatinės srovės variklis _ e t + BR Tachogeneratorius.3 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos schema Pagrindiniai saulės sekimo sistemos paklaidų diskriminatoriaus elementai yra du stačiakampiai silicio fotogalvaniniai elementai (A fotoelementas ir B fotoelementas), montuojami už stačiakampio plyšio gaubte. Fotoelementai įrengti taip, kad fotojutikliai būtų nuolat nukreipti į saulę, o šviesos spindulys kristų pro plyšį ant abiejų fotoelementų. Pro plyšį patekęs W pločio saulės spindulys (šviesos spindulys) krenta ant abiejų fotoelementų (A ir B). Spindulio kritimo kampas yra α, o kiekvieno fotoelemento aukštis yra C. Šviesos spindulys nuo plyšio vietos iki fotoelementų praeina atstumą, lygų L. Šviesos virtimas elektros energija dėl fotogalvaninio efekto: fotono energija sužadina elektronus (fotonai absorbuojami, o jų energija panaudojama elektronams sužadinti). Kadangi į fotoelementus krenta skirtingos vertės fotonų srautai, fotoelementų išėjimuose kuriamos skirtingo dydžio srovės: i a (iš A fotoelemento) ir i b (iš B fotoelemento). Kai fotoelementai yra nukreipti tiksliai į saulę, tuomet srovės lygios ir jų skirtumas lygus nuliui, ir kampas α (t) =. Šios srovės priešingu poliarumu patenka į integralinio sumatoriaus su grįžtamojo ryšio varža R įėjimus. Jo išėjime gaunama sustiprinta įtampa e. Ši įtampa sumuojama su tachogeneratoriaus įtampa e t

22 ir gaunama suminė stiprintuvo įėjimo įtampa e s. Stiprintuvo išėjime gaunama įtampa e a, kuria maitinamas nuolatinės srovės variklis M. Variklis tam tikru kampu suka θ m išėjimo reduktorių sistema pozicionuojasi (sistema tiksliai atsukama į didžiausio apšviestumo padėtį). Projektuojama valdymo sistema tarp kampų θ r (t) ir θ (t) turi palaikyti paklaidą, artimą. Užrašykime.3 paveiksle parodytos AVS elementų diferencialines lygtis: Paklaidos diskriminatorius: α = θ ( ) θ ( t ). (.7) r t Kai šviesai jautrūs elementai nukreipti į saulę α ( t) =, i ( t) = i ( t) arba i ( t) i ( t) =, tada: a b a Operacinis stiprintuvas: Stiprintuvas: b α k = i ( t) i ( t);. (.8) α a b [ ] e = R ia ( t) ib ( t). (.9) e ( t) = k e ( t). (.3) a s s Reduktoriaus išėjimo posūkio kampas siejasi su variklio posūkio kampu: θ m = ω m dt; (.31) θ = θ m N. (.3) Nuolatinės srovės variklis aprašomas lygtimis: diin ea ( t) = eb ( t) + Riniin + Lin ; (.33) dt e ( t) = k ω ( t); (.34) b b m e = cφω ; (.35) 1

23 M ( t) = cφ i ( t); (.36) in dωm ( t) M ( t) M s ( t) = J + Bω m ( t). (.37) dt Į inkaro apvijos induktyvumą L in, variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B ir statinį apkrovos momentą M st neatsižvelgsime. Todėl L in =, B = ir M st =. Tachogeneratorius: e ( t) = k ω ( t). (.38) t t m.. Diferencialinių lygčių ištiesinimas Lygčių ištiesinimas tai netiesinių diferencialinių lygčių pakeitimas apytikrėmis tiesinėmis su prielaida, kad viso reguliavimo proceso metu visi kintamieji mažai nukrypsta nuo nusistovėjusių reikšmių (.4 paveikslas). Bendru atveju, užrašant diferencialines lygtis prieaugiams, naudojamas analitinės funkcijos skleidimas Teiloro eilute su sąlyga, kad parametrai įgauna mažas nuokrypas nuo nusistovėjusių reikšmių. Lygčių ištiesinimas ir jų užrašymas prieaugių forma leidžia gauti nulines pradines sąlygas. Tiesinant lygtis priimama, kad x = x + x, x kintamasis, x jo pradinė reikšmė, x prieaugis. Tuomet: n x x x ( n) f ( x) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( x ). (.39)!! n! Taikant šią formulę, į antros eilės ir aukštesnius narius neatsižvelgiama, todėl galima laikyti, kad: f ( x) = f ( x ) + f ( x ) x. (.4)

24 f ( x) f ( x ) A f ( x ) x x x.4 pav. Diferencialinių lygčių ištiesinimas Toliau iš (.39) formulės atimamos nusistovėjusio režimo funkcijos reikšmės f ( x ) ir gaunami funkcijos prieaugiai: f ( x) = f ( x) f ( x ); (.41) f ( x) = x f ( x ); (.4) čia f ( x ) = tgα funkcijos išvestinė pagal įėjimo dydį, randama kaip statinės charakteristikos polinkio kampo tangentas darbo taške A, esant įėjimo dydžiui x (.5 paveikslas). f ( x) f ( x ) A α.5 pav. Charakteristikos polinkio kampas x x 3

25 .3. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kas yra pereinamasis vyksmas? Kaip galime gauti sistemos pereinamąjį vyksmą?. Naudodami programinį paketą Matlab, raskite duotų charakteringųjų lygčių šaknis: 1s 5s 3s s + 1, 6s 16s 1, s 16s Kas yra diferencialinių lygčių ištiesinimas? 4. Užrašykite.6 paveiksle parodytų schemų diferencialines lygtis. uį uiš uį u iš.6 pav. Schemos 4

26 3. Automatinio valdymo sistemų operacinės lygtys ir perdavimo funkcijos 3.1. Laplaso transformacija Laplaso transformacija skirta spręsti tiesines diferencialines lygtis. Šis metodas turi du privalumus: 1. Homogeninės lygtys ir daliniai integralai sprendžiami naudojant vieną operaciją.. Diferencialinės lygtys paverčiamos į algebrines ir joms spręsti galima taikyti algebrinių lygčių sprendimo metodus, o galutinį sprendimą gauti naudojant atvirkštinę Laplaso transformaciją. Duota funkcija f ( t ), kuri tenkina sąlygas: f ( t) e dt <, (3.1) σt tuomet realiems σ tiesioginė Laplaso transformacija bus: arba simboliškai F( s) = L[ f ( t)]. F( s) = f ( t) e dt, (3.) Čia s = σ + jω yra kompleksinis kintamasis, vadinamas Laplaso operatoriumi. Grafiškai s galime pavaizduoti, kaip parodyta 3.1 paveiksle, kur σ yra realioji dalis, o ω menamoji dalis. st 5

27 Im( s) ω σ Re( s) 3.1 pav. Grafinis Laplaso operatoriaus vaizdavimas Svarbiausios Laplaso transformacijos teoremos: 1. Daugyba iš konstantos:. Suma ir atimtis: [ ] L kf ( t) = kf( s). (3.3) L[ f ( s) ± f ( s)] = F ( s) ± F ( s). (3.4) 3. Diferencijavimas: df ( t) L sf( s) lim f ( t) sf( s) f (); dt = = t (3.5) n d f ( t) n n ( ) () n = L s F s s f dt n (1) ( n 1) s f () f (). (3.6) 4. Integravimas: t F( s) L f ( τ) dτ = ; s (3.7) t t tn tn F( s) L f ( τ) dτ dtdt dtn dtn =. n s (3.8) 6

28 5. Poslinkis laike: [ ] Ts L f ( t T ) u ( t T ) = e F( s). (3.9) 6. Pradinių reikšmių teorema: t s lim f ( t) = lim sf( s). (3.1) s 7. Galutinių reikšmių teorema: lim f ( t) = lim sf( s). (3.11) t 8. Complex shifting: ± at 9. Kompleksų daugyba: s L[ e f ( t)] = F( s ± a). (3.1) t F ( s) F ( s) = L f( τ) f( t τ) dτ = t = f( τ) f( t τ) dτ = L[ f( t) f( t) ]; čia yra kompleksų sandauga. (3.13) 3.1 pavyzdys Apibrėžkime funkciją f ( t ), kurios reikšmė lygi konstantai, kai t, ir lygi nuliui, kai t <. Raskime šios funkcijos Laplaso transformaciją: st st F( s) = f ( t) e dt = e = [ 1 ] =. (3.14) s s s 3. pavyzdys Funkcija f ( t) = e at, kai t ir a = const. Raskime šios funkcijos Laplaso transformaciją: 7

29 st at st ( s+ a) t F( s) = f ( t) e dt = e e = e dt = ( s+ a) = e =. s + a s + a (3.15) Funkcijos f ( t ) gavimas iš transformuotos F( s ) vadinamas atvirkštine Laplaso transformacija: σ+ jω st f ( t) = F( s) e ds. (3.16) π j σ jω Simboliškai tai žymima: f ( t) = L [ F( s) ]. Funkcijos pirmavaizdis randamas naudojant Laplaso transformaciją atskirai kiekvienam poveikiui. Tam pasitelkiamos atvaizdų lentelės arba Hevisaido skaidybos formulės. Daugelį inžinerinių problemų galima spręsti naudojant Laplaso transformacijų lentelę. 3.1 lentelėje pateiktos pagrindinės Laplaso transformacijos. 3.1 lentelė. Laplaso transformacijos Laplaso transformacija, F( s) 8 Laiko funkcija f ( t) δ( t) (impulsas, kai t = ) s s n! n s + s + a us ( t ) (šuolinė funkcija, kai t = ) t (Ramp at t = ) n t ( n teigiamas skaičius) e at

30 s ( s + a)( s + b) s ω n + ωn s n s + ω ( s + a) n! ( s + a ) n+ ω n n ( s + a) + ω s + a ( s + a) + ωn (1 + st ) n ωn + ζω ns + ωn ωn + ζω ns + ωn s( s ) ω n T ζ n e e e at e b a sin ω cos ω bt n t n t te at n at t e at at sin ω t n cosω t t ( n 1)! e ζωn t n n sin ω e n t T ζ t ( n t ) 1 ζω 1+ e n t sin ω 1 ζ φ ; 1 ζ čia φ = tan ζ ζ 9

31 s ω ( ) n ζω e n t sin ωn 1 ζ t + φ + ζω + ω s ωn ns n 1 ζ ; čia φ = tan ζ ζ t s(1 + st ) e T s(1 + st ) s (1 + st ) t + T e T t T t T + ( t + T ) e T t + as t s (1 + st ) t ( a T ) 1 e + T s ( s + ω ) n ( s + ω n1 ) ( s + ωn ) s s n ( s + ω ) ω ω n ωn ω n n t sin ω t n ( cosω t cosω t) n n ( sin ω t + ω cosω t) n n n 3.3 pavyzdys s + 3 Gaukime perdavimo funkcijos G( s) = ( s + 1)( s + ) Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją: s + 3 A B G( s) = = + ; ( s + 1)( s + ) s + 1 s + atvirkštinę (3.17) 3

32 čia: s A = ( s + 1) G( s) s= = = = ; s + + s= s B = ( s + ) G( s) s= = = = 1; s + + s= (3.18) (3.19) tuomet gauname: s G( s) = = +. ( s + 1)( s + ) s + 1 s + (3.) Funkcijos G( s ) atvirkštinė Laplaso transformacija: g( t) = L + L s s = s t t L = e 1 e, kai t. s pavyzdys Gaukime perdavimo funkcijos Laplaso transformaciją. Išskaidome funkciją: G( s) = s ( s + 1) A A B G( s) = ; s ( s + 1) = s + s + s + (3.1) atvirkštinę (3.) čia d d A = s G( s) s= = = dt dt s + = 1; = ( s + 1) s= A s G s s= 31 s= s= = ( ) = = 1; s + (3.3) (3.4)

33 B = ( s + 1) G( s) s= = = 1. (3.5) s s= Tuomet galime užrašyti: G( s) = = + +. s ( s + 1) s s s + (3.6) Funkcijos G( s ) atvirkštinė Laplaso transformacija: g( t) = L + + L s s s = s + +. (3.7) t + L + L = + t + e s s + Tiesioginę ir atvirkštinę Laplaso transformaciją galima atlikti pasitelkiant Matlab programinį paketą. Tam naudojamos komandos laplace tiesioginei ir ilaplace atvirkštinei transformacijai gauti. 3.5 pavyzdys t Raskime funkcijos f ( t) = 5e Laplaso transformaciją. Matlab kodas: Pirmiausia reikia aprašyti simbolinį kintamąjį t. Todėl rašome komandą: >>syms t. t Tuomet įvedame funkciją f ( t) = 5e : >>f=5*exp(-*t) ir užrašome laplaso transformacijos komandą: L=laplace(f). Gaunamas rezultatas: L = 5/(s + ). 3

34 3.6 pavyzdys Raskime funkcijos f ( t) = 1 d y Laplaso transformaciją. Matlab kodas: dt >>laplace(1*diff(sym( y(t) ),)). Gaunamas rezultatas: 1*s^*laplace(y(t), t, s) - 1*s*y() - 1*D(y)(); čia y() pradinės sąlygos. 3.7 pavyzdys s 5 Gaukime funkcijos F( s) = atvirkštinę Laplaso transformaciją. s( s + ) Matlab kodas: >> syms t s >> F=(s-5)/(s*(s+)^); >> ilaplace(f) ans = 5/(4*exp(*t)) + (7*t)/(*exp(*t)) - 5/4 >>pretty(ans) 5 7 t exp( t) exp( t) Sistemos operacinių lygčių sudarymas Sudarant operacines lygtis pagal sistemos diferencialines lygtis, reikia žinoti pradines sąlygas. Jei duota diferencialinė lygtis: dxiš ( t) T + xiš ( t) = kxį ( t), (3.8) dt tai, esant pradinėms nulinėms sąlygoms, operacinė lygtis sudaroma pakeičiant išvestines ir integralo ženklus operatoriumi: 33

35 n d d d n = s, = s, = s, dt. dt n = (3.9) dt dt s Tuomet iš (3.8) lygties gauname: iš iš į t TsX ( s) + X ( s) = kx ( s). (3.3) Sudarant AVS, susidedančias iš kelių elementų operacinių lygčių, pirmiausia užrašoma sistemos diferencialinių lygčių sistema, po to taikomas Laplaso pakeitimas ir gaunama operacinių lygčių sistema, kuri išsprendžiama išėjimo signalo atžvilgiu: n n 1 ( n n L ) i m m 1 ( m m L ) a s + a s + + a s + a X ( s) = 1 1 š = b s + b s + + b s + b X ( s) + k 1 1 į k 1 k 1 L 1 + ( C s + C s + + C s + C ) Z( s). k (3.31) Iš šios lygties, esant užduotam įėjimo dydžiui xá ( t ) ar trikdžiui z( t ), gauname išėjimo dydžio operacinę lygtį: X iš B( s) Xį ( s) + C( s) Z( s) ( s) = ; (3.3) A( s) čia A( s), B( s), C( s ) kompleksinio kintamojo operaciniai daugianariai. 3.8 pavyzdys Duota diferencialinė lygtis. Ją užrašykime operacine forma ir gaukime jos sprendimą naudodami atvirkštinę Laplaso transformaciją: d d t f ( t) + 3 f ( t) + f ( t) = e, (3.33) dt dt d pradinės sąlygos f () = f ( t) =. Užrašome operacinę lygtį pagal (3.33) dt formulę: s F( s) + 3 sf( s) + F( s) =. (3.34) s + 34

36 Iškeliame F( s ) : F( s) =. s + s + 3s + Norėdami gauti lygties sprendimą, turime ją išskaidyti: F( s) = +. s + s + ( s + 1) Naudodamiesi 3.1 lentele gauname: t t t (3.35) (3.36) f ( t) = e e + te. (3.37) 3.3. Automatinio valdymo sistemų perdavimo funkcijos Taikant tiesioginį Laplaso pakeitimą ir esant pradinėms nulinėms sąlygoms, galima gauti operacinę lygtį: A( s) X ( s) = B( s) X ( s) + C( s) Z( s). (3.38) iš Perdavimo funkcija tai išėjimo dydžio operacinio atvaizdo santykis su operaciniu įėjimo dydžio atvaizdu, esant nulinėms pradinėms sąlygoms. Skiriamos grandies atvirosios ir uždarosios sistemų perdavimo funkcijos. Užrašykime perdavimo funkciją, kai veikia įėjimo signalas X į : į į Xiš ( s) B( s) W ( s) = =. (3.39) X ( s) A( s) Veikiant trikdžiui Z, perdavimo funkcija užrašoma taip: Xiš ( s ( ) ) C ( s W ) z s =. Z( s) = A( s) (3.4) AVS sistemų elementų perdavimo funkcijos naudojamos struktūrinėms schemoms sudaryti. 35

37 3.9 pavyzdys Užrašykime. pavyzdyje nagrinėtos sistemos perdavimo funkciją. Užrašome operacinę lygtį: Sutvarkę gauname: iš 1 iš iš 1 į į. T s u + T su + u = T su + u (3.41) 1 iš 1 į ( T s + T s + 1) u = ( T s + 1) u. (3.4) Užrašome perdavimo funkciją: u ( s) T s + 1 W ( s) = =. u ( s) T s + T s + 1 iš 1 į 1 (3.43) 3.1 pavyzdys Užrašykime. paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis ir perdavimo funkcijas. Naudodamiesi anksčiau užrašytomis sistemos diferencialinėmis lygtimis (.13.) gauname: Palyginimo mazgas: U ( s) = Ue ( s) UBR ( s); (3.44) Us ( s ) U ( s ) U ( s ). = + (3.45) Pagal (3.44) ir (3.45) lygtis sudaryta struktūra parodyta 3. paveiksle. 3. pav. Sumavimo mazgai 36

38 Stiprintuvo, kaip periodinės grandies, operacinė lygtis: ( Ts + 1) U ( s) = k U ( s). (3.46) v s s Iš (3.46) lygties gauname stiprintuvo perdavimo funkciją: Uv ( s) ks Ws ( s) = =. (3.47) Us ( s) Ts + 1 Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu pateikta 3.3 paveiksle. 3.3 pav. Struktūrinės schemos dalis su stiprintuvu Variklio inkaro grandinės operacinė lygtis: U ( s) = E( s) + RinIin ( s) + LinsIin ( s). (3.48) Kitos lygtys, susiejančios variklio parametrus: E( s) = cφ ω( s); (3.49) U ( s) ω ( s) = ; cφ (3.48) lygtį perrašome tokia forma: (3.5) M ( s) = cφ Iin ( s). (3.51) Lin U ( s) E( s) = Rin (1 + s) Iin ( s). (3.5) Rin Skaitiklį ir vardiklį padalijame iš c Φ ir pažymime U ( s) E( s) Rin = (1 + T e s) Iin( s). cφ cφ cφ L i n T e = : Rin (3.53) 37

39 Pritaikę (3.49) ir (3.5) lygtis, gauname: Rin ( s) ( s) = (1 + T e s) Iin ( s). cφ ω ω (3.54) Inkaro srovė išreiškiama iš (3.51) lygties: ir įrašoma į (3.54) lygtį: ( ) in ( ) M s I s = cφ (3.55) Rin ω ( s) ω( s) = (1 + T ) ( ). e s M s c Φ (3.56) Variklio dalies, kai įėjimas yra greitis, o išėjimas sukuriamas momentas, perdavimo funkcija yra: M ( s) c Φ Wm ( s) = =, ω ( s) ω( s) Rin ( Te s + 1) o gauta struktūrinė schema parodyta 3.4 paveiksle. (3.57) 3.4 pav. Variklio inkaro grandinės struktūrinė schema Variklio tuščiosios eigos greitis ω su inkaro įtampa siejamas lygtimi. Pagal šią lygtį struktūrinės schemos dalis pateikta 3.5 paveiksle. U 1 C 3.5 pav. Įtampos ir greičio ryšys 38

40 Pavaros dinamikos lygtis: M ( s) M s ( s) = Jsω( s). (3.58) Iš (3.58) lygties randame variklio mechaninę inerciją įvertinančią perdavimo funkciją: ω( s) 1 Wd ( s) = =. M ( s) M s ( s) Js (3.59) Šios dalies struktūra parodyta 3.6 paveiksle. 3.6 pav. Variklio struktūrinės schemos dalis Tachogeneratoriaus operacinė lygtis: UBR ( s) = kbrω( s). (3.6) Iš (3.6) lygties randamas tachogeneratoriaus perdavimo koeficientas: U k BR BR =. (3.61) ω Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis parodyta 3.7 paveiksle. U BR ω 3.7 pav. Tachogeneratoriaus struktūrinės schemos dalis 39

41 3.11 pavyzdys Užrašykime.3 paveiksle parodytos sistemos operacines lygtis ir perdavimo funkcijas. Į inkaro apvijos induktyvumą L in ir variklio veleno klampiosios trinties koeficientą B neatsižvelgsime. Paklaidos diskriminatorius: θ ( ) θ ( ) = α ( ); (3.6) r s s s Ia ( s) Ib ( s) α( s) kα = Ia ( s) Ib ( s) W ( s) = = kα. α( s) Operacinis stiprintuvas: [ ] a b Ia ( s) Ib ( s) (3.63) E ( s) I ( s) I ( s) R = E ( s) W = = R. (3.64) Stiprintuvas: E ( s ) Et ( s ) = Es ( s ); (3.65) E ( s) E ( s) k = E ( s) W ( s) = = k. (3.66) a s s a 3 s Es ( s) Nuolatinės srovės variklis: I ( s) ( ) ( ) ( ) ; (3.67) E in a s E b s = R in I in s W 4 = = E a ( s ) E b ( s ) R in E ( s) E ( s) k ( s) W ( s) k ; b b = bω m 5 = = b ωm ( s) (3.68) M ( s) M ( s) = C Φ Iin ( s) W6 ( s) = C ki; I ( s) = Φ = (3.69) M ( s) M ( s) = Jsω ( s) + Bω ( s) ωm ( s) W7 ( s) = =. M ( s) M ( s) Js + B in s m m s (3.7) 4

42 Reduktorius: θm ( s) θ m ( s) = ωm ( s) W8 = = ; s ω ( s) s θ( s) θ ( s) = θm ( s) W9 = =. N θ ( s) N m m (3.71) (3.7) Tachogeneratorius: Et ( s) = ktωm ( s) Et ( s) θ m ( s) = θ m ( s) = ωm ( s) s kt s Et ( s) W = = skt. θ ( s) m (3.73) 3.4. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Užrašykite tiesioginės ir atvirkštinės Laplaso transformacijos formules.. Kas yra perdavimo funkcija? 3. Raskite Laplaso transformacija funkcijų: f ( t) = cos t ; f ( t) = sin t ; f ( t) = cos(3 t) ; 5t f ( t) = t e ; x f ( x) = e sin x Gaukite atvirkštinę Laplaso transformaciją perdavimo funkcijų: G( s) = s 3 s + G( s) =. ( s + 5)( s + 1s + 5) + s ; 1 6 G( s) = + 3 s s + 4 ; G( s) = ; s( s + 4) 5. Užrašykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų (elementų) diferencialines ir operacines lygtis, perdavimo funkcijas. 41

43 F k R R 3 m y i C R 4 i3 f u r R 1 i 1 R u c a) b) + ur R 1 R 1 R R3 R ua M u k U f Trigeris Lygintuvas NS variklis ω Apkrova M - Tachogeneratorius + c) 3.8 pav. Sistemos: a) mechaninė; b) operacinis stiprintuvas; c) nuolatinės srovės pavaros automatinio valdymo sistema 4

44 4. Automatinio valdymo sistemų struktūrinės schemos 4.1. Struktūrinių schemų sudarymas ir prastinimas Dėl savo paprastumo ir universalumo struktūrinės schemos dažnai naudojamos aprašyti įvairias AVS. Struktūrinės schemos leidžia paprastai aprašyti sistemos sudėtį ir ryšius tarp jos elementų. Sudarant šias schemas naudojamos perdavimo funkcijos, kurias pasitelkiant aprašoma elemento išėjimo signalo priklausomybė nuo įėjimo signalo paveiksle parodyti trys pagrindiniai struktūrinių schemų jungimo būdai ir jų prastinimas. R( s ) C( s) G ( s) G ( s) 4.1 pav. Nuoseklus jungimas R( s) C( s) = G ( s) G ( s) R( s), (4.1) G ( s) G ( s) C( s) C( s) G ( s) G ( s). R( s ) = (4.) 43

45 G ( s) + R( s ) C( s) G ( s) + 4. pav. Lygiagretus jungimas [ ] C( s) = G ( s) + G ( s) R( s), (4.3) R( s) G ( s) + G ( s) C( s) C( s) G ( s) G ( s). R( s ) = + (4.4) R( s ) ε( s) C( s) G( s) H ( s) 4.3 pav. Uždaroji AVS C( s) = G( s) E( s); (4.5) E( s) = R( s) H ( s) C( s); (4.6) [ ] C( s) = G( s) R( s) H ( s) C( s) ; (4.7) 44

46 G( s) C( s) = R( s); (4.8) 1 + G( s) H ( s) R ( s ) G ( s ) 1 + G( s) H ( s) C( s) C( s) G( s) =. (4.9) R( s) 1 + G( s) H ( s) Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės pateiktos 4.1 lentelėje. 4.1 lentelė. Struktūrinių schemų prastinimo taisyklės Nr. Originali schema Ekvivalentinė schema R( s ) 1 G ( s) G ( s) C( s) R( s ) C( s) G ( s) G ( s) G ( s) R( s ) C( s) G ( s) ± + R( s ) C( s) G ( s) ± G ( s) R( s ) ε( s) C( s) G( s) 3 ± R ( s ) G ( s ) 1 ± G( s) H ( s) C( s) H ( s) W Z Y 4 W Z X Y X 45

47 5 X Y G Z X Y G G Z 6 X Y G Z X Y G G Z 7 G G G 8 G G G 4.1 pavyzdys Raskime 4.4 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: R( s ) + 4 s + s C( s) - Pritaikę 1 taisyklę gauname: 4.4 pav. AVS struktūrinė schema R( s ) + 4 C( s) s( s + 1) 46

48 Pagal 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavimo funkciją: 4 C( s) s( s + 1) 4 = =. R( s) 4 + s + s + 4 s( s + 1) (4.1) 4. pavyzdys Raskime 4.5 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: R( s) + G ( s) + G ( s) C( s) - - H ( s) 4.5 pav. AVS struktūrinė schema Naudodami 3 taisyklę suprastiname sistemą: R( s) + - G ( s) G ( s) 1 + G ( s) H ( s) C( s) Remdamiesi 1 taisykle gauname: R( s ) + G ( s) G ( s) C( s) 1 + G ( s) H ( s) - 47

49 Pasitelkdami 3 taisyklę gauname uždarosios sistemos perdavimo funkciją: G ( s) G ( s) C( s) 1 + G ( s) H ( s) G ( s) G ( s) = = R( s) 1 + G ( s) H ( s) + G ( s) G ( s) 1 ( ) ( ). (4.11) G ( s) G ( s) + + G s H s 4.3 pavyzdys Raskime 4.6 paveiksle parodytos uždarosios AVS perdavimo funkciją: G 5 ( s) R( s) + G ( s) + + G ( s) G 3 ( s) C( s) - G 4 ( s) 4.6 pav. AVS struktūrinė schema Struktūrinėje schemoje G ir G 5 sudaro uždarąją sistemą. Todėl surandame jos perdavimo funkciją, naudodami 3 taisyklę. R( s) + - G ( s) G ( s) 1 G ( s) G ( s) 5 G 3 ( s) C( s) G 4 ( s) 48

50 Remdamiesi 8 taisykle gauname tokią struktūrinę schemą: R( s) + - G ( s) G ( s) 1 G ( s) G ( s) 5 G 3 ( s) C( s) G 4 ( s) G ( s) 3 Naudodami 1 taisyklę gauname: R( s ) + G ( s) G ( s) G ( s) C( s) G ( s) G ( s) 5 G4 ( s) G ( s) 3 Pasitelkdami 3 taisyklę randame uždarosios sistemos perdavimo funkciją: G1 ( s) G ( s) G3 ( s) C( s) 1 G ( s) G5 ( s) = = R( s) G1 ( s) G ( s) G3 ( s) G4 + 1 G ( s) G ( s) G 5 3 G1 ( s) G ( s) G3 ( s) =. 1 G ( s) G ( s) + G ( s) G ( s) G ( s) (4.1) 4.4 pavyzdys Gaukime sistemos su dviem įėjimais perdavimo funkciją. Vienas sistemos įėjimas yra nuostato signalas, o kitas apkrovos trikdžio signalas: 49

51 D( s) R( s ) + + G ( + ( C( s) - H ( s) Pagal superpozicijos principą galima užrašyti, kad sistemos išėjimo dalis C ( s), kurią kuria nuostato signalas, egzistuoja tik tada, kai D( s ) = : G ( s) G ( s) ( ) = R( s). (4.13) 1 + G ( s) G ( s) H ( s) C s Kita dalis C ( s), kuriama trikdžio, egzistuoja tik tada, kai R( s ) = : G ( s) C ( s) = D( s). (4.14) 1 + G ( s) G ( s) H ( s) Bendrą perdavimo funkciją gauname: G ( s) G ( s) C( s) = C ( s) + C ( s) = R( s) G ( s) G ( s) H ( s) G ( s) + D( s). 1 + G ( s) G ( s) H ( s) (4.15) G ( s) G ( s) H ( s ) yra atvirosios sistemos perdavimo funkcija, o 1 + G ( s) G ( s) H ( s) = charakteringoji lygtis. 4.5 pavyzdys Nubraižykime. paveiksle parodytos sistemos struktūrinę schemą. 5

52 Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis ir paveikslus sudarome struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.7 paveiksle. M s U U Us Uv e k s u U BR Ts+ k k u CΦ ω ω ω C Φ R ( T s + ) in e M M Js ω k BR 4.7 pav. Variklio greičio reguliatoriaus struktūrinė schema Sistemai tirti laikome, kad atsiranda įtampos U e pokytis U e, o įtampa U 1 ir apkrovos momentas nekinta ir t. y. M s =. Perbraižome struktūrinę schemą pokyčiams (4.8 paveikslas). U v 4.8 pav. Reguliatoriaus struktūrinė schema, perbraižyta pokyčiams Suprastinkime 4.7 paveiksle parodytą struktūrinę schemą. Pirmiausia suprastiname variklio uždarą struktūrą: ( CΦ) Rin ( Te s + 1) Js ( CΦ) Wvu = = ( CΦ ) JRinTe s + JRin s + ( CΦ) + Rin ( Te s + 1) Js. (4.16) 51

53 (4.16) padaliję iš ( CΦ ), gauname: Wvu =, JRin JR T in es + s + ( CΦ) ( CΦ) (4.17) pažymėję T m = JRin ( ), CΦ gauname: Wvu =. TmTe s + Tm s + (4.18) Suprastinę uždarą variklio struktūrą, gauname tokią struktūrinę schemą: U e U k s Ts + U v k k U ω CΦ TmTe s + Tm s + ω U BR k BR Užrašykime atvirosios sistemos perdavimo funkciją: k W s = k k = s a ( ) k BR Ts + CΦ TmTe s + Tm s + (4.19) k k k =. C Φ ( Ts + 1)( T T s + T s + 1) s k BR m e m 4.6 pavyzdys Nubraižykime.3 paveiksle parodytos sistemos struktūrinę schemą. 5

54 Naudodami trečiame skyriuje gautas operacines lygtis, sudarome struktūrinę schemą, kuri parodyta 4.9 paveiksle. θ r + - α k α ia i b R e es e t k s e a e b Ra ia M k ωm i Js+ B k b s θm θ N sk t 4.9 pav. Erdvėlaivio saulės sekimo sistemos struktūrinė schema Erdvėlaivio saulės sekimo sistemoje veikia tokie signalai: - θ r apkrovos kampas tarp saulės ašies ir atskaitymo ašies; - θ m apkrovos kampas tarp variklio ašies ir atskaitymo ašies; - θ apkrovos kampas tarp fotoelementų korpuso ašies ir atskaitymo ašies; - α kampas tarp įrenginio ašies ir saulės ašies; - i a srovė, tekanti iš A fotoelemento; - i b srovė, tekanti iš B fotoelemento; - e integralinio sumatoriaus išėjimo įtampos signalas; - e s stiprintuvo įėjimo įtampos signalas; - e t tachogeneratoriaus BR įtampos signalas; - e a stiprintuvo išėjimo įtampos signalas; - e b tachogeneratoriaus išėjimo įtampos signalas; - M variklio kuriamas momentas; - ω m variklio išėjimo veleno kampinis greitis. 4.9 paveiksle pateikta struktūrinė schema gali būti suprastinta ir užrašyta analitiškai. Tam tikslui signalus užrašome kaip signalų pokyčius (i a i a ir t. t.). Naudodami 4.1 lentelės 3 taisyklę, suprastiname vidinius grįžtamuosius ryšius: 53

55 W u ki ki Ra Js Ra Js = = = R ajs + kik + k b i kb R Js R Js a kira Js ki = = R Js( R Js + k k ) R Js + k k a a i b a i b a. (4.) Gautą funkciją padaliję iš ( cφ ) = kkkb, gausime: W u kb kv ( s) = = ; Ra Js T ms + + k k i b (4.1) čia T m laiko pastovioji; k v variklio konstanta. Nutraukus išorinį grįžtamąjį ryšį galima gauti atvirosios saulės sekimo sistemos perdavimo funkciją: kα R ks ki 1/ N kα R ks ki 1/ N Wa ( s) = =. (4.) R Js + k k s s( R Js + k k ) a i b a i b 4.. Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kam naudojamos struktūrinės schemos?. Sudarykite 3.8 paveiksle parodytų sistemų struktūrines schemas. 3. Suprastinkite 4.1 paveiksle parodytas struktūrines schemas. 54

56 H ( s) R( s) + G ( s) G ( s) G 3 ( s) C( s) - H ( s) a) R( s) + - G ( s) + G ( s) G 3 ( s) C( s) H ( s) H 3 ( s) H ( s) b) H 3 ( s) R( s) + - G ( s) + G ( s) G 3 ( s) G 4 ( s) C( s) H ( s) H ( s) c) 4.1 pav. AVS struktūrinės schemos 55

57 5. Automatinių sistemų statika 5.1. Statinis reguliavimas Nagrinėjant automatinės sistemos darbo režimus statiniu požiūriu, visi sistemos parametrai laiko atžvilgiu yra pastovūs. Pagrindiniai klausimai, kuriuos nagrinėja statika, yra: sistemos tikslumas; sistemos elementų ir jų statinių charakteristikų analizė. Sistemos statinė charakteristika tai jos išėjimo dydžio priklausomybė nuo įėjimo dydžio ar trikdžio nusistovėjusio režimo atveju. Pagal charakteristikų pobūdį AVS skirstomos į statines ir astatines. Statinis reguliatorius yra toks reguliatorius, kuris palaiko nustatytą išėjimo dydį su leistina statine paklaida. Reguliavimas vyksta pagal nuokrypos principą. Tokie reguliatoriai naudojami įvairiems parametrams stabilizuoti: greičiui, įtampai, srovei, lygiui ir t. t. Kai reguliatorius atjungtas, sistema vadinama atvirąja. Atvirosios sistemos išėjimo ir įėjimo parametrų pokyčių santykis vadinamas atvirosios sistemos stiprinimo koeficientu: xiš ka =. (5.1) xį Išėjimo dydžio nuokrypa nuo nustatytos reikšmės, atsiradusi veikiant trikdžiui, vadinama reguliavimo paklaida. Santykinė statinė paklaida: xiš δ = ; (5.) xišv čia x išv išėjimo parametro vardinė reikšmė. Reguliuojamojo dydžio nuokrypos ir užduoto reguliuojamojo dydžio santykis, esant didžiausiai apkrovai, vadinamas statizmu S. 56

58 Atvirajai sistemai: S atv uždarajai sistemai: xišatv + xiš xiš min atv xišatv = = 1 = ; (5.3) x x x išatv išatv išatv S uzd xišužd =. (5.4) x išužd Atvirosios sistemos statizmas yra didesnis negu uždarosios. Jei Sužd, tai reguliavimas (valdymas) vadinamas statiniu, o sistema statinė, jei S užd =, tai reguliavimas vadinamas astatiniu, o sistema astatine. Išnagrinėsime nuolatinės srovės variklio greičio stabilizavimo sistemą, parodytą. paveiksle. Statinės reguliatoriaus charakteristikos parodytos 5.1 paveiksle ω ω ωmin už ω min atv δ ω gr. r tr = ω uždaroji atviroji M max M 5.1 pav. Statinės reguliatoriaus charakteristikos Jei sistema yra atviroji (t. y. reguliatorius yra atjungtas), tai, keičiantis variklio apkrovos momentui nuo nulio iki maksimalios reikšmės, variklio greitis pasikeičia dydžiu: ω = = ω ω (5.5) tr 57 min atv; čia ω tuščiosios eigos variklio sukimosi greitis; ω min atv variklio sukimosi greitis esant maksimaliai apkrovai; ω sukimosi

59 greičio nuokrypa atvirojoje sistemoje (t. y. tr reguliuojamo parametro nuokrypa atvirojoje sistemoje). Kai reguliavimo sistema uždaroji (esant įjungtam reguliatoriui), variklio greitis negali būti idealiai pastovus ir, keičiantis apkrovai nuo nulio iki maksimalios reikšmės, pakinta dydžiu: ω = ω ω = δ (5.6) už min už. Uždarojoje sistemoje šis nukrypimas nuo nustatyto dydžio, atsiradęs veikiant trikdžiui, vadinamas reguliavimo paklaida δ. Apkrovus variklį didžiausiu momentu, variklio greitis sumažėja tr = ω, o veikiant grįžtamajam ryšiui padidėja dydžiu: Statinė paklaida lygi: ω = δ (5.7) gr. r. ka. Tuomet (5.7) įrašę į (5.8) gauname: δ = ω (5.8) tr gr. r.. δ = tr δ ka ; (5.9) k a tr = 1. (5.1) δ 5.. Astatinis reguliavimas Sistemos, kurių išėjimo dydis esant nusistovėjusiam režimui palaikomas pastovus, vadinamos astatinėmis. Išėjimo dydžio kitimo greičio santykis su įėjimo signalu vadinamas astatinės sistemos stiprinimo koeficientu: xi š ka = ; (5.11) x čia dxiš xi š = išėjimo dydžio kitimo greitis. dt 58 į

60 Minimali stiprinimo koeficiento reikšmė randama iš nusistovėjusio režimo reikalavimų. Apskaičiuokime.3 paveiksle parodytos erdvėlaivio saulės sekimo sistemos stiprinimo koeficientą. Užduoti tokie reikalavimai: 1. Nusistovėjusio režimo paklaida α ( t) (į vienetinį augantį θ r signalą) turi būti ne didesnė už,1 rad/s nuo nusistovėjusios greičio vertės, t. y α ( t) < 1%.. Maksimali dinaminė nuokrypa į šuolinį vienetinį įėjimą neturi viršyti 5 % arba turi būti kiek galima mažesnė 3. Pereinamojo proceso trukmė t p <. s. Pagal galutinės (nusistovėjusios) reikšmės teoremą dydžiui α ( t) nurodoma: lim α ( t ) = lim s A ( s ) = lim s θr ( ) 1 + W ( s) s ; (5.1) t s s čia = Wε ( s) + ( s) W a a paklaidos perdavimo funkcija; A( s) = Wε ( s) θr ( s) išėjimo signalo (paklaidos) vaizdas; θ r (s) sistemos įėjimo signalas. Vienetinis augantis θ (s) poveikis parodytas 5. paveiksle. r θ r t, s 5. pav. Vienetinis augantis θ (s) poveikis 59 r

61 Kai θ ( ) = t, tai θ ( ) : r t r s θ r ( s ) =. (5.13) s Tarkime, kad apskaičiuota atvirosios saulės sekimo sistemos 5ks perdavimo funkcija: Wa ( s) =. Tuomet tokios sistemos sti- s( s + 5) prinimo koeficientas apskaičiuojamas taip: lim α ( t) = lim s = 5k + s s( s + 5) t s s s( s + 5) 1 = lim s = s s ( s + 5) + 5 k s s s + 5,1 = lim =. s s( s + 5) + 5k k s s (5.14) Pagal sistemos reikalavimus nusistovėjusio režimo paklaida α ( t) turi būti mažesnė nei,1. Tuomet,1,1. Vadinasi, k s turi būti didesnis už vienetą arba blogiausiu atveju lygus vienam ( ks ). Galima sudaryti būdingąją lygtį (perdavimo funkcijos s( s + 5) s( s + 5) + 5k s k s vardiklį prilyginus nuliui): s s( s + 5) + 5 = ; (5.15) + 5s + 5 = / 5;,4s +,1+ 1 = ; T s + T s + 1 =. 6

62 Remiantis tuo galima teigti, kad laiko pastoviosios: T =,4 =, s; T =,1s. Iš gautos lygties galima išskaičiuoti slopinimo koeficientą ξ : T,1 ξ = = =,5. T, (5.16) Galima daryti išvadą, kad pereinamojo proceso pobūdis yra švytuojamasis Kontroliniai klausimai ir užduotys 1. Kokius klausimus nagrinėja statika?. Kas yra sistemos statinė charakteristika? 3. Kaip skirstomos sistemos pagal statines charakteristikas? 4. Kas yra statinis reguliatorius? 5. Kas yra statizmas? 6. Kas yra atvirosios sistemos stiprinimo koeficientas? 7. Kas yra santykinė statinė paklaida? 61

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

1 teorinė eksperimento užduotis

1 teorinė eksperimento užduotis 1 teorinė eksperimento užduotis 2015 IPhO stovykla DIFERENCINIS TERMOMETRINIS METODAS Šiame darbe naudojame diferencinį termometrinį metodą šiems dviems tikslams pasiekti: 1. Surasti kristalinės kietosios

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof. Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Techninis aprašymas Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Aprašymas Šie vožtuvai skirti naudoti su AMV(E) 335, AMV(E) 435 arba

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC standartą

Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC standartą Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC 60364-6 standartą TURINYS 1. Įžanga 2. Standartai 3. Iki 1000V įtampos skirstomojo tinklo sistemos 4. Kada turi būti atliekami bandymai?

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 58 kab. Darbo tel.: 861033946 Vytautas.Stankus@ktu.lt Bendrosios fizikos

Διαβάστε περισσότερα

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Zita SAVICKIENĖ TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Prjekt kdas VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047 VGTU Elektrniks fakultet I pakps studijų prgramų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 2012 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

Διαβάστε περισσότερα

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA Marijonas Bogdevičius RANSPORO PRIEMONIŲ DINAMIKA Projekto kodas VP-.-ŠMM 7-K--3 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

Aviacinės elektronikos pagrindai

Aviacinės elektronikos pagrindai Antanas Savickas Aviacinės elektronikos pagrindai Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotechnika ir elektronika modulio konspektas

Elektrotechnika ir elektronika modulio konspektas KAUNO TECHNIKOS KOLEGIJA ELEKTROMECHANIKOS FAKULTETAS MECHATRONIKOS KATEDRA Elektrotechnika ir elektronika modulio konspektas Parengė: doc. dr. Marius Saunoris KAUNAS, 0 TURINYS ĮŽANGINIS ŽODIS...6 3.

Διαβάστε περισσότερα

PAPILDOMA INFORMACIJA

PAPILDOMA INFORMACIJA PAPILDOMA INFORMACIJA REKOMENDACIJOS, KAIP REIKIA ĮRENGTI, PERTVARKYTI DAUGIABUČIŲ PASTATŲ ANTENŲ ŪKIUS, KAD BŪTŲ UŽTIKRINTAS GEROS KOKYBĖS SKAITMENINĖS ANTŽEMINĖS TELEVIZIJOS SIGNALŲ PRIĖMIMAS I. BENDROSIOS

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 9: Σύστημα 2 ης τάξης: Χρονική απόκριση και χαρακτηριστικά μεγέθη (φυσικοί συντελεστές) Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs

Διαβάστε περισσότερα

MATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA

MATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA MATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA Matavimo priemonių metrologin priežiūra (teisin metrologija) Pagrindin s metrologin s priežiūros (pagal metrologijos įstatymą) rūšys: tipo patvirtinimas pirmin

Διαβάστε περισσότερα

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 04 m. birželio 6 d. Nr. (.)-V-69birželio 4 04 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA I dalis Kiekvieno I dalies klausimo

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

, t.y. per 41 valandą ir 40 minučių. (3 taškai) v Braižome h = f(t) priklausomybės grafiką.

, t.y. per 41 valandą ir 40 minučių. (3 taškai) v Braižome h = f(t) priklausomybės grafiką. 5 m. Lietuvos 7-ojo fizikos čempionato UŽDUOČIŲ SPENDIMI 5 m. gruodžio 5 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas taškų, visa galimų taškų suma ). L 5 m ilgio ir s m pločio baseino dugno profilis pavaizduotas

Διαβάστε περισσότερα

MONOLITINIO GELŽBETONIO BALKONO PLOKŠČIŲ ARMAVIMAS ELEMENTAIS SU IZOLIUOJANČIU INTARPU

MONOLITINIO GELŽBETONIO BALKONO PLOKŠČIŲ ARMAVIMAS ELEMENTAIS SU IZOLIUOJANČIU INTARPU VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS HALFEN-DEHA Bronius Jonaitis, Arnoldas Šneideris MONOLITINIO GELŽBETONIO BALKONO PLOKŠČIŲ ARMAVIMAS ELEMENTAIS SU IZOLIUOJANČIU INTARPU Mokomoji knyga Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

SKYSČIŲ MECHANIKA. HIDRAULINIŲ IR PNEUMATINIŲ SISTEMŲ ELEMENTAI IR PAVAROS

SKYSČIŲ MECHANIKA. HIDRAULINIŲ IR PNEUMATINIŲ SISTEMŲ ELEMENTAI IR PAVAROS Bronislovas SPRUOGIS SKYSČIŲ MECHANIKA. HIDRAULINIŲ IR PNEUMATINIŲ SISTEMŲ ELEMENTAI IR PAVAROS Projekto kodas VP1-.-ŠMM 07-K-01-03 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų

Διαβάστε περισσότερα

Palmira Pečiuliauskienė. Fizika. Vadovėlis XI XII klasei. Elektra ir magnetizmas KAUNAS

Palmira Pečiuliauskienė. Fizika. Vadovėlis XI XII klasei. Elektra ir magnetizmas KAUNAS Palmira Pečiuliauskienė Fizika Vadovėlis XI XII klasei lektra ir magnetizmas KAUNAS UDK 53(075.3) Pe3 Turinys Leidinio vadovas RGIMANTAS BALTRUŠAITIS Recenzavo mokytoja ekspertė ALVIDA LOZDINĖ, mokytojas

Διαβάστε περισσότερα

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009 1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.

Διαβάστε περισσότερα

MIKROSCHEMŲ TECHNOLOGIJŲ ANALIZĖ

MIKROSCHEMŲ TECHNOLOGIJŲ ANALIZĖ Romualdas NAVICKAS Vaidotas BARZDĖNAS MIKROSCHEMŲ TECHNOLOGIJŲ ANALIZĖ Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika

Διαβάστε περισσότερα

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()

Διαβάστε περισσότερα

9. KEVALŲ ELEMENTAI. Pavyzdžiai:

9. KEVALŲ ELEMENTAI. Pavyzdžiai: 9. KEVALŲ ELEMENTAI Kealai Tai ploni storio krptii kūnai, sudarti iš kreių plokštuų. Geoetrija nusakoa iduriniu pairšiui ir storiu t. Kiekiena pairšiaus taške galia rasti di kreies, atitinkančias inialius

Διαβάστε περισσότερα

Riebalų rūgščių biosintezė

Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių (RR) biosintezė Kepenys, pieno liaukos, riebalinis audinys pagrindiniai organai, kuriuose vyksta RR sintezė RR grandinė ilginama jungiant 2C atomus turinčius

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRINĖS OPTIKOS PAGRINDAI

GEOMETRINĖS OPTIKOS PAGRINDAI OPTINĖS SISTEMOS GEOMETRINĖS OPTIKOS PAGRINDAI sites.google.com/site/optinessistemos/ I. ĮVADAS Ženklai geometrinėje optikoje LABAI SVARBU! Fizikinė optika ir geometrinė optika Fizikinė optika - bangų

Διαβάστε περισσότερα

Fotodetektoriai. Fotodetektoriai. Fotodetektoriai. Fotodetektoriai: suskirstymas 6/2/2017

Fotodetektoriai. Fotodetektoriai. Fotodetektoriai. Fotodetektoriai: suskirstymas 6/2/2017 Fotodetektoriai Fotodetektoriai Galios detektoriai Signalas proporcingas krentančios šviesos galiai; Fotonų detektoriai Signalas proporcingas krentančiam fotonų skaičiui per laiko vienetą. Kai spinduliuotė

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Teorinė mechanika I. Uždavinių sprendimo vadovas

Teorinė mechanika I. Uždavinių sprendimo vadovas VILNIUS GEDIINO TEHNIKOS UNIVERSITETS R. UŠYS, J. KSNUSKS Teorinė mechania I. Uždavinių sprendimo vadovas OKOOJI KNYG Vilnius Technia 00 R. aušs, J. Kasnausas. TEORINĖ EHNIK I. UŽDVINIŲ SPRENDIO VDOVS

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Πλυντήριο πιάτων Indaplovė Машинa за прање посуђа Pomivalni stroj ESL 46010 2 electrolux Περιεχόμενα Electrolux. Thinking of

Διαβάστε περισσότερα

KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS

KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Statybinių konstrukcijų katedra Tatjana Sankauskienė KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS AutoCAD sistemoje Mokomoji knyga inžinerinių specialybių

Διαβάστε περισσότερα

AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS

AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Romualdas Malinauskas AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS SISTEMOS Mokomoji knyga Vilnius 2007 UDK 621.396.9:629.7(075.8) Ma 308 Romualdas Malinauskas. AVIACINĖS RADIOLOKACINĖS

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

TRUMAN. Vartotojo vadovas

TRUMAN. Vartotojo vadovas TRUMAN Vartotojo vadovas Jūsų PRESIDENT TRUMAN ASC iš pirmo žvilgsnio DĖMESIO! Prieš pradedant naudotis stotele, pirmiausia būtina prie jos prijungti anteną (jungtis, esanti prietaiso galinėje dalyje)

Διαβάστε περισσότερα

GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA ATITINKA EN GRADE 2, CLASS II REIKALAVIMUS

GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA ATITINKA EN GRADE 2, CLASS II REIKALAVIMUS GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA VADOVASESIM264 INSTALIAVIMO ATITINKA EN 50131-1 GRADE 2, CLASS II REIKALAVIMUS Turinys 1. Bendroji informacija...8 1.1 Paskirtis... 8 2. Techninė specifikacija... 11 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Aktuali redakcija versijoms: CP v4.01; KM20 v3.3xx

Aktuali redakcija versijoms: CP v4.01; KM20 v3.3xx Aktuali redakcija versijoms: CP v4.01; KM20 v3.3xx Turinys 1. Saugos instrukcija 3 2. Terminų žodynas 5 3. Apsaugos sistemos struktūra 7 4. Sistemos specifikacijos 8 4.1. Centralių techninės galimybės

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Naudojimo instrukcija

Naudojimo instrukcija 60 6303 3405 09/2002 LT Naudotojui Naudojimo instrukcija Reguliavimo įtaisai Logamatic 2107, Logamatic 2107 M ABTOPEЖUM 11:15 21 1...7 Tag Zeit Temp PROG Urlaub Auswahl So/Wi Anzeige Install Zurück 90

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS

Διαβάστε περισσότερα

TEDDY Vartotojo vadovas

TEDDY Vartotojo vadovas TEDDY Vartotojo vadovas Jūsų PRESIDENT TEDDY ASC iš pirmo žvilgsnio DĖMESIO! Prieš pradedant naudotis stotele, pirmiausia būtina prie jos prijungti anteną (jungtis, esanti prietaiso galinėje dalyje) ir

Διαβάστε περισσότερα

201_ m... d. INFRASTRUKTŪROS NUOMOS SUTARTIS NR. 5 PRIEDĖLIS. FIZINĖ BENDRO NAUDOJIMO VIETA TECHNOLOGINĖSE PATALPOSE

201_ m... d. INFRASTRUKTŪROS NUOMOS SUTARTIS NR. 5 PRIEDĖLIS. FIZINĖ BENDRO NAUDOJIMO VIETA TECHNOLOGINĖSE PATALPOSE 2 priedo 5 priedėlis 201_ m....... d. INFRASTRUKTŪROS NUOMOS SUTARTIS NR. 5 PRIEDĖLIS. FIZINĖ BENDRO NAUDOJIMO VIETA TECHNOLOGINĖSE PATALPOSE 1. Bendrosios nuostatos 1.1. Technologinės patalpos patalpos,

Διαβάστε περισσότερα

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes

Διαβάστε περισσότερα

Ląstelės biologija. Laboratorinis darbas. Mikroskopavimas

Ląstelės biologija. Laboratorinis darbas. Mikroskopavimas Ląstelės biologija Laboratorinis darbas Mikroskopavimas Visi gyvieji organizmai sudaryti iš ląstelių. Ląstelės yra organų, o kartu ir viso organizmo pagrindinis struktūrinis bei funkcinis vienetas. Dauguma

Διαβάστε περισσότερα

1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija

1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija 1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija Mokslas, kaip viena protinės veiklos sudėtinė dalis - tai žmonių veikla, kurios funkcijos yra gauti ir teoriškai sisteminti objektyvias žinias apie tikrovę.

Διαβάστε περισσότερα

Deivydas Dusevièius MEDŽIAGŲ APDIRBIMAS CNC STAKLĖMIS. CNC STAKLIŲ PROGRAMAVIMAS

Deivydas Dusevièius MEDŽIAGŲ APDIRBIMAS CNC STAKLĖMIS. CNC STAKLIŲ PROGRAMAVIMAS Deivydas Dusevièius MEDŽIAGŲ APDIRBIMAS CNC STAKLĖMIS. CNC STAKLIŲ PROGRAMAVIMAS Konspektas sukurtas finansuojant projekto Virtualiųjų ir nuotolinių laboratorijų aplinka pramonės inžinerijos studijoms

Διαβάστε περισσότερα

2 TEMOS SKAITINIAI. Z.Lydeka. Rinkos ekonomikos tapsmas: teoriniai svarstymai. Kaunas: VDU leidykla, 2001, p.27-33; 45-60; ;

2 TEMOS SKAITINIAI. Z.Lydeka. Rinkos ekonomikos tapsmas: teoriniai svarstymai. Kaunas: VDU leidykla, 2001, p.27-33; 45-60; ; 2 TEMOS SKAITINIAI Z.Lydeka. Rinkos ekonomikos tapsmas: teoriniai svarstymai. Kaunas: VDU leidykla, 2001, p.27-33; 45-60; 112-117; 126-135. Mokslinėje literatūroje sutinkamus požiūrius į ekonominę sistemą,

Διαβάστε περισσότερα

Termochemija. Darbas ir šiluma.

Termochemija. Darbas ir šiluma. Termochemija. Darbas ir šiluma. Energija gyvojoje gamtoje. saulės šviesa CO 2 H 2 O O 2 gliukozė C 6 H 12 O 6 saulės šviesa Pavyzdys: Fotosintezė chloroplastas saulės 6CO 2 + 6H 2 O + šviesa C 6 H 12 O

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

(OL L 344, , p. 1)

(OL L 344, , p. 1) 2006D0861 LT 01.07.2009 001.001 1 Šis dokumentas yra skirtas tik informacijai, ir institucijos nėra teisiškai atsakingos už jo turinį B KOMISIJOS SPRENDIMAS 2006 m. liepos 28 d. dėl transeuropinės paprastųjų

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 004 m. gegužės 7 d. įsakymu Nr. ISAK-75 MATEMATIKOS PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO PROGRAMA NEPRIGIRDINČIŲJŲ IR KURČIŲJŲ MOKYKLOMS

Διαβάστε περισσότερα

DVB-T, DVB-S ir WiMAX sistemų radijo sąsajų signalų tyrimas

DVB-T, DVB-S ir WiMAX sistemų radijo sąsajų signalų tyrimas Vilniaus universiteto Fizikos fakultetas, Radiofizikos katedra Telekomunikacijų sistemų mokomoji laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 9 DVB-T, DVB-S ir WiMAX sistemų radijo sąsajų signalų tyrimas Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

Elektronika ir elektrotechnika Vilniaus Gedimino technikos universitetas Elektronikos fakultetas

Elektronika ir elektrotechnika Vilniaus Gedimino technikos universitetas Elektronikos fakultetas Dvyliktosios Lietuvos jaunųjų mokslininkų konferencijos Mokslas Lietuvos ateitis programa Elektronika ir elektrotechnika Vilniaus Gedimino technikos universitetas Elektronikos fakultetas 2009 03 20 Maloniai

Διαβάστε περισσότερα

Išorinės duomenų saugyklos

Išorinės duomenų saugyklos Išorinės duomenų saugyklos HDD, SSD, sąsajos 5 paskaita Išorinė atmintis Ilgalaikiam informacijos (programų ir duomenų) saugojimui kompiuteriuose naudojami: standieji diskai; lankstieji diskeliai (FDD);

Διαβάστε περισσότερα

NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS

NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Žemėtvarkos katedra Audrius ALEKNAVIČIUS NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS Metodiniai patarimai Akademija, 2007 UDK 332.6(076) Spausdino UAB Judex, Europos pr. 122, LT-46351

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Matavimo vienetų perskaičiavimo lentelės

Matavimo vienetų perskaičiavimo lentelės Matavimo vienetų perskaičiavimo lentelės Matavimo vieneto pavadinimas Santrumpa Daugiklis Santrumpa ILGIO MATAVIMO VIENETAI Perskaičiuojamo matavimo Pavyzdžiui:centimetras x 0.3937 = colis centimetras

Διαβάστε περισσότερα

Automobilių degalų sąnaudų nustatymo ir normavimo metodikos

Automobilių degalų sąnaudų nustatymo ir normavimo metodikos VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS Valentinas Mickūnaitis, Alvydas Pikūnas Automobilių degalų sąnaudų nustatymo ir normavimo metodikos Metodikos nurodymai Vilnius 2005 V. Mickūnaitis, A. Pikūnas.

Διαβάστε περισσότερα

KOMISIJOS REGLAMENTAS (ES)

KOMISIJOS REGLAMENTAS (ES) 2012 12 21 Europos Sąjungos oficialusis leidinys L 353/31 KOMISIJOS REGLAMENTAS (ES) Nr. 1230/2012 2012 m. gruodžio 12 d. kuriuo įgyvendinamas Europos Parlamento ir Tarybos reglamentas (EB) Nr. 661/2009

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

PRAKTINIO TAIKYMO VADOVAS ĮVADAS

PRAKTINIO TAIKYMO VADOVAS ĮVADAS STR.05.05:005 prieas PRAKTINIO TAIKYMO VADOVAS ĮVADAS Šiame praktinio nauojimo vaove yra pateikti reikalavimai pastatų ir statinių betonin ms ir gelžbetonin ms konstrukcijoms projektuoti iš sunkaus ir

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

Gyvųjų organizmų architektūra: baltymai

Gyvųjų organizmų architektūra: baltymai Gyvųjų organizmų architektūra: baltymai Dr. Zita Naučienė Baltymai yra gausiausia biologinių makromolekulių klasė randama visose ląstelėse. Baltymų įvairovė yra labai didelė, nei viena makromolekulių klasė

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

STATYBOS TECHNINIS REGLAMENTAS STR :2006 LANGAI IR IŠORINĖS ĮĖJIMO DURYS

STATYBOS TECHNINIS REGLAMENTAS STR :2006 LANGAI IR IŠORINĖS ĮĖJIMO DURYS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos aplinkos ministro 2006 m. vasario 1 d. įsakymu Nr. D1-62 STATYBOS TECHNINIS REGLAMENTAS STR 2.05.20:2006 LANGAI IR IŠORINĖS ĮĖJIMO DURYS I. BENDROSIOS NUOSTATOS 1. Reglamentas

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė.

Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra m. brandos egzaminų užduočių analizė. Nacionalinis egzaminų centras Projektas Brandos egzaminų kokybės sistemos plėtra 2007 m. brandos egzaminų užduočių analizė Matematika Vilnius 2008 Išleista Europos Socialinio fondo ir Lietuvos Respublikos

Διαβάστε περισσότερα

Kodėl mikroskopija? Optinė mikroskopija: įvadas. Žmogaus akis. Žmogaus akis. Žmogaus akis. Vaizdo formavimasis žmogaus akyje

Kodėl mikroskopija? Optinė mikroskopija: įvadas. Žmogaus akis. Žmogaus akis. Žmogaus akis. Vaizdo formavimasis žmogaus akyje Kodėl mikroskopija? Todėl, kad pamatyti reiškia patikėti... Optinė mikroskopija: įvadas Žmogaus akis Žmogaus akis Mato šviesą, kurios bangų ilgis nuo 400 nm (violetinė) iki 750 nm (mėlyna) Stiebelių ir

Διαβάστε περισσότερα

Ištirti dujų spinduliuotės spektrų ypatumus ir spalvoto tirpalo šviesos sugertį.

Ištirti dujų spinduliuotės spektrų ypatumus ir spalvoto tirpalo šviesos sugertį. 1 Darbo tikslai Ištirti dujų spinduliuotės spektrų ypatumus ir spalvoto tirpalo šviesos sugertį. Užduotys 1. Atlikti gardelinio spektrometro kalibravimą. 2. Išmatuoti vandenilio dujų spinduliuotės spektro

Διαβάστε περισσότερα

XXXVII TARPTAUTINĖ FIZIKOS OLIMPIADA 2006 m. liepos 8 17 d., Singapūras

XXXVII TARPTAUTINĖ FIZIKOS OLIMPIADA 2006 m. liepos 8 17 d., Singapūras XXXVII TARPTAUTINĖ FIZIKOS OLIMPIADA 006 m. liepos 8 17 d., Singapūras Teorinė užduotis 1 Gravitacija neutronų interferometre Nagrinėsime Collela, Overhauser and Werner neutronų interferencijos eksperimentą

Διαβάστε περισσότερα

Naudojimo instrukcija Logamax plus GB162-25/35/45 V3. Prieš naudodami atidžiai perskaitykite. Dujiniai kondensaciniai įrenginiai

Naudojimo instrukcija Logamax plus GB162-25/35/45 V3. Prieš naudodami atidžiai perskaitykite. Dujiniai kondensaciniai įrenginiai Dujiniai kondensaciniai įrenginiai 6720808118 (2015/08) LT 6 720 806 997-000.1TD Naudojimo instrukcija Logamax plus GB162-25/35/45 V3 Prieš naudodami atidžiai perskaitykite. Įžanga Įžanga Mielas (-a) kliente,

Διαβάστε περισσότερα

XI. MIKROSKOPAI OPTINĖS SISTEMOS. XI. Mikroskopai. sites.google.com/site/optinessistemos/ 2016 pavasario semestras

XI. MIKROSKOPAI OPTINĖS SISTEMOS. XI. Mikroskopai. sites.google.com/site/optinessistemos/ 2016 pavasario semestras OPTINĖS SISTEMOS XI. Mikroskopai sites.google.com/site/optinessistemos/ Mikroskopas Pagrindiniai mikroskopijos principai Vaizdų susidarymas Kohler apšvietimas Tiesioginis ir invertuotas mikroskopas Objektyvai

Διαβάστε περισσότερα

klasės (grupės) mokinio (-ės) (vardas ir pavardė) 2016 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis

klasės (grupės) mokinio (-ės) (vardas ir pavardė) 2016 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S (miestas / rajonas, mokykla) klasės (grupės) mokinio (-ės) (vardas ir pavardė) 06 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis 06 m. gegužės

Διαβάστε περισσότερα

lt, Red. 4. GSA-AA tipo pervadiniai izoliatoriai Montavimo ir techninės priežiūros vadovas

lt, Red. 4. GSA-AA tipo pervadiniai izoliatoriai Montavimo ir techninės priežiūros vadovas 2750 515-137 lt, Red. 4 GSA-AA tipo pervadiniai izoliatoriai Montavimo ir techninės priežiūros vadovas Originali instrukcija Šiame dokumente pateikta informacija yra bendrojo pobūdžio ir neapima visų galimų

Διαβάστε περισσότερα

Jūsų PRESIDENT TAYLOR III ASC iš pirmo žvilgsnio

Jūsų PRESIDENT TAYLOR III ASC iš pirmo žvilgsnio Vartotojo vadovas Jūsų PRESIDENT TAYLOR III ASC iš pirmo žvilgsnio . DĖMESIO! Prieš pradedant naudotis stotele, pirmiausia būtina prie jos prijungti anteną (jungtis, esanti prietaiso galinėje dalyje) ir

Διαβάστε περισσότερα

VIESMANN. Montažo ir aptarnavimo instrukcija VITOCAL 300-G. specialistui

VIESMANN. Montažo ir aptarnavimo instrukcija VITOCAL 300-G. specialistui Montažo ir aptarnavimo instrukcija specialistui VIESMANN Vitocal 300-G Tipas BW/BWS 301.B06 iki B17, 5,9 iki 17,0 kw Tipas BWC 301.B06 iki B17, 5,9 iki 17 kw 1 ir 2 pakopų šilumos siurblys Galiojimo nuorodos

Διαβάστε περισσότερα

VIESMANN. Montažo ir aptarnavimo instrukcija VITOCAL 300-G PRO VITOCAL 300-W PRO. specialistui

VIESMANN. Montažo ir aptarnavimo instrukcija VITOCAL 300-G PRO VITOCAL 300-W PRO. specialistui Montažo ir aptarnavimo instrukcija specialistui VIESMANN Vitocal 300-G Pro Tipas BW 301.A090 iki 302.A250 Vitocal 300-W Pro Tipas WW 301.A125 iki 302.A300 Galiojimo nuorodos žr. paskutinį puslapį VITOCAL

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas Vi du ri nio ug dy mo ben drų jų pro gra mų 3 prie das Matematika Redakcinė grupė: Alvyda Ambraškienė, Regina Rudalevičienė, Marytė Skakauskienė, dr. Eugenijus

Διαβάστε περισσότερα