1 AkoloujÐec pragmatik n arijm n. 3 Fragmènec akoloujðec

Transcript

1 AkoloujÐec pragmatik arijm Ορισμός. Κάθε συνάρτηση f : A N R, όπου A = και μή πεπερασμένο, λέγεται άπειρη ακολουθία πραγματικών αριθμών ή απλά ακολουθία. Αντί να γράφουμε f() για την τιμή της f στο γράφουμε f. Ομοια αντί f θα γράφουμε (f ) =,,3,... ή πιο απλά (f ) αν είμαστε σίγουροι ότι ο αναγνώστης μας θα αναγνωρίσει εύκολα ότι το (και όχι κάποια άλλη μεταβλητή) είναι εκείνη η μεταβλητή που αντικαθιστώντας την με τις τιμές,, 3,... θα πάρει τις διαδοχικές τιμές της f. Η τιμή f λέγεται ο -ιοστός όρος της ακολουθίας f. Για τις ακολουθίες συνήθως δεν χρησιμοποιούμε το γράμμα f, αλλά γράμματα όπως a, b, c, x, y, z, α, β, γ κ.λπ. Συχνά το πεδίο ορισμού A της f θα είναι όλο το σύνολο N. Διαφορετικά, το A μπορούμε να το απαριθμήσουμε ως εξής A = {a, a,, a, } (όπου τα a i έχουν τοποθετηθεί κατά αύξουσα σειρά δηλ. a < a < a 3 < ) οπότε αντί της f θα μπορούσαμε να πάρουμε στη θέση της την f : N R με ορισμό f () := f(a ). Prˆxeic akolouji Άθροισμα, Γινόμενο, Πηλίκο 3 Fragmèec akoloujðec Ορισμός 3. Μια ακολουθία a λέγεται άνω φραγμένη αν υπάρχει M R ώστε a M για κάθε N. Μια ακολουθία a λέγεται κάτω φραγμένη αν υπάρχει m R ώστε a m για κάθε N. Μια ακολουθία a λέγεται φραγμένη αν είναι και άνω και κάτω φραγμένη δηλαδή, αν υπάρχουν M, m R ώστε m a M για κάθε N. Μια ακολουθία a λέγεται απολύτως φραγμένη αν υπάρχει M R ώστε a M για κάθε N. Πρόταση 3. Μια ακολουθία a είναι φραγμένη αν και μόνο αν είναι απολύτως φραγμένη. Απόδειξη: Αν η a είναι απολύτως φραγμένη, τότε υπάρχει ένας αριθμός M N ώστε a M για κάθε N. Συνεπώς, M a M και άρα η a είναι φραγμένη. Αν η a είναι φραγμένη, τότε υπάρχουν αριθμοί m, M R ώστε για κάθε N να ισχύει m a M. Θέτουμε K = max{ m, M }. Τότε ισχύουν τα εξής: a M M max{ m, M } = K,

2 και a m m max{ m, M } = K. Συνεπώς K a K, δηλαδή a K, ολοκληρώνοντας την απόδειξη. 4 Moìtoec akoloujðec Ορισμός 4. Μια ακολουθία a λέγεται αύξουσα για κάθε N ισχύει a a +. Μια ακολουθία a λέγεται γνησίως αύξουσα για κάθε N ισχύει a < a +. Μια ακολουθία a λέγεται φθίνουσα για κάθε N ισχύει a a +. Μια ακολουθία a λέγεται γνησίως φθίνουσα για κάθε N ισχύει a > a +. Μια ακολουθία a λέγεται μονότονη αν είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα. Μια ακολουθία a λέγεται γνησίως μονότονη αν είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα. Παρατήρηση 4. Οπως θα δούμε αργότερα κάθε μονότονη ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει κάποιο όριο. Αν η ακολουθία δεν είναι άνω φραγμένη τότε το όριο αυτό είναι το + αν δεν είναι κάτω φραγμένη τότε το όριο είναι το και αν είναι φραγμένη τότε το όριο είναι ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός. Άσκηση 4.3 Εστω ότι a =, a > 0 τότε η ακολουθία a = a είναι γνησίως αύξουσα. Στην συνέχεια δείξτε ότι η b = a είναι γνησίως φθίνουσα. = +a+ + a. Οπότε για a > έχουμε + a + + a < a και άρα a > a a δηλ. a (a ) > a. Ομοια για 0 < a < έχουμε a a = +a+ +a > a Λύση: Εχουμε από τις ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου ότι a a οποτε a a > a και άρα a > ( a)a. Οπότε a (a ) > a. Χρησιμοποιώντας αυτήν την σχέση μπορούμε να δείξουμε ότι a δηλ. το ζητούμενο. Για να δείξουμε ότι a > a + + Οποτε η προηγούμενη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα ως b+ b < b+ + που ισχύει διότι φυσικα b > 0. ορίζουμε b = a < a+ + (+). > b + δηλ.

3 5 'Oria akolouji Ορισμός 5. Λέμε ότι μια ακολουθία (a ) συγκλίνει στο μηδέν, ή ότι είναι μηδενική αν για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 = 0 (ε) N, ώστε για κάθε 0 ισχύει a ε. Με όμοιο τρόπο θα λέμε ότι η ακολουθία (a ) συγκλίνει στο αριθμό l R η (a l) είναι μηδενική δηλ. αν για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 = 0 (ε) N, ώστε για κάθε 0 ισχύει a l ε. Παρατήρηση 5. Παρατηρήστε ότι στον παραπάνω ορισμό είτε γράψουμε a ε, είτε γράψουμε a < ε είναι το ίδιο διότι: Αν a < ε τότε προφανώς a ε. Αν εφαρμόσουμε τον παραπάνω ορισμό για ε/ τότε θα υπάρχει 0 N ώστε αν 0 να ισχύει a ε/ και συνεπώς a < ε. Παράδειγμα 5.3 Η ακολουθία με γενικό όρο a = 3 +4( ) τον αριθμό. έχει όριο Άσκηση 5.4 Δείξτε ότι η ακολουθία με γενικό όρο το a = είναι μηδενική. Απλά παραδείγματα ακολουθιών. Σταθερές ακολουθίες (a ) = (c), για κάποιο c R. Τότε προφανώς αυτές είναι συγκλίνουσες ακολουθίες και επίσης μπορούν να θεωρηθούν αύξουσες ή φθίνουσες Αριθμητικές πρόοδοι. Είναι οι ακουλουθίες που κάθε νέος όρος a + βρίσκεται αν προσθέσουμε στον προηγούμενο a ένα σταθερό αριθμό d. Η με άλλα λόγια a = c, a = a + d. Φυσικά τέτοιες ακολουθίες αποκλίνουν αν d = 0. Αν d > 0 τότε παίρνουμε γνησίως αύξουσα πρόοδο ενώ εάν d < 0 τότε παίρνουμε γνησίως φθίνουσα πρόοδο. Γεωμετρικές πρόοδοι. a = c = 0, a = a d Ο γενικός όρος της α- κολουθίας είναι ίσος με a = cd (για την απόδειξη χρειαζόμαστε επαγωγή στο. ) Αν d > τότε προφανώς a > a δηλ. οι όροι αυξάνουν σε μέγεθος και άρα όλοι είναι μεγαλύτεροι από τον c κατ α- πόλυτη τιμή. Αν (a ) l για κάποιο όριο l τότε θα έπρεπε η διαφορά a a να είναι αυθαίρετα μικρή(όπως θα αποδείξουμε παρακάτω), όμως a a = (d )a (d ) c που σημαίνει ότι η απόσταση a a δεν μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρή. Άρα η (a ) αποκλίνει. Εάν 0 < d < τότε η (a ) είναι μηδενική. Για να το αποδείξουμε απλώς χρειάζεται να αποδείξουμε ότι η ακολουθία (d ) είναι μηδενική για 0 < d <. (Δείτε άσκηση παρακάτω). (Γενίκευση των προόδων) Ακολουθίες που ορίζονται από αναδρομικές σχέσεις. Η γενική μορφή τέτοιων ακολουθιών είναι η εξής: a = c, a = f(a, ). Ετσι, για παράδειγμα, a = f(c, ), a 3 = f(a, 3) = f(f(c, ), 3). Η μονοτονία ή η σύγκλιση τέτοιων ακολουθιών εξαρτάται από τις συγκεκριμμένη τιμή του c και από την συνάρτηση f. 3

4 Παραδείγματα ακολουθιών που ορίζονται με αναδρομικές σχέσεις. ) Ο Newto γνώριζε την ακολουθία a = a f(a ) f (a με αρχικό όρο a ) = c όπου f(c) είναι κοντά στο 0(δηλαδή η c είναι περίπου ρίζα της f) έχει όριο μια ρίζα της f. )Η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων. Αν μας δίνουν την ακολουθία (b ) μπορούμε να πάρουμε και τα μερικά αθροίσματα της δηλ. την ακολουθία a = b, a = f(a, ) := a + b Γράφουμε απλά a = m= b m ή ακόμα πιο αναλυτικά a = b + b + + b και αν η (a ) είναι συγλίνουσα(όχι πάντα, μπορεί να αποκλίνει ακόμα και αν η (b ) είναι συγλίνουσα) το όριο της συμβολίζεται με = b ή πιο απλά με b + b + b 3. 3)Η ακολουθία των μερικών γινομένων. Αν μας δίνουν την ακολουθία (b ) μπορούμε να πάρουμε και τα μερικά γινόμενά της δηλ. την ακολουθία c = b, c = g(c, ) := c b Γράφουμε απλά c = m= b m ή ακόμα πιο αναλυτικά c = b b b και αν η (c ) είναι συγλίνουσα το όριο της συμβολίζεται με = b ή πιο απλά με b b b 3. Άσκηση 5.5 Δείξτε ότι για 0 < d < η ακολουθία (d ) είναι μηδενική. (υπόδειξη: ένας τρόπος είναι με χρήση του log 0 στον τύπο d < ε για να βρούμε το 0 και ό άλλος είναι με χρήση της Beroulli(βλέπε για την ανισότητα παρακάτω) για θ = d > 0 οπότε θα προκύψει d θ = επί μια θετική σταθερά. Οπότε, d (jetik stajerˆ), οπότε με χρήση του ορισμού και επειδή η (jetik stajerˆ) μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρή για μεγάλο 0 παίρνουμε το ζητούμενο.) Μελετήστε την μονοτονία της (cd ) για c > 0 και διάφορες τιμές του d. Ορισμός 5.6 Αν x είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε με [x] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού x δηλ. τον μεγαλύτερο ακέραιο μικρότερο από τον x. Απο τον ορισμό προκύπτει ότι [x] x < [x] +. Για παράδειγμα [π] = 3 και [ π] = 4. Ομοια με [log x] παριστάνουμε φυσικά το μεγαλύτερο μη αρνητικό ακέραιο για τον οποίο ισχύει ότι η δύναμη του με βάση το είναι μικρότερη του x δηλ. [log x] x < [log x]+ ενώ με [ x] παριστάνουμε τον μη αρνητικό ακέραιο για τον οποίο ισχύει [ x] x < ([ x]+). Με l a για a > 0 παριστάνουμε τον νεπέριο ή φυσικό λογάριθμο του a εκείνο δηλ. τον αριθμό x για τον οποίο ισχύει e x = a. Να θυμίσουμε ότι με e παριστάνουμε έναν αριθμό μεταξύ του και του 3 που τον όρισε ο Euler. Με log b a παριστάνουμε τον λογάριθμο του a > 0 με βάση τον b =, b > 0. Για παράδειγμα αν b = τότε log a = a. Μπορούμε να βρίσκουμε εύκολα το όριο μιας δοθείσας ακολουθίας αν γνωρίζουμε κάποιες βασικές ιδιότητες των ορίων των ακολουθιών. Επίσης για την εύρεση των ορίων είναι χρήσιμες να γνωρίζουμε κάποιες γενικές προτάσεις. Ας δούμε μερικές από αυτές. 4

5 Πρόταση 5.7 )(άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου) + l + l + + l = l l )(γενίκευση του ) Εστω x = y και k ακέραιος. Τότε x k y k x y = xk + x k y + x k 3 y + + xy k + y k 3)(Μαθηματική επαγωγή στους ακεραίους). Εστω ότι θέλουμε να δείξουμε ότι ισχύει η πρόταση φ() για όλους τους ακέραιους 0, όπου ειδικά για τον ακέραιο 0 έχουμε ελέγξει ότι ισχύει δηλ. ισχύει φ( 0 ). Τότε είναι αρκετό να δείξουμε την παρακάτω συνεπαγωγή που είναι γνωστή ως το επαγωγικό βήμα: ( k 0, k Z)(φ(k) φ(k + )) Εφαρμογές με χρήση της μαθηματικής επαγωγής: ( N) = (+), έχει μόνο θετικούς όρους και είναι φραγμένη απ το 3, η ακολουθία (a ) με ορισμό a = 4, a + = a 3a + 3 έχει μόνο θετικούς όρους και είναι γνησίως αύξουσα, η ακολουθία (a ) με ορισμό a = 3, a + = + a έχει μόνο θετικούς όρους και είναι φραγμένη. Άλλες εφαρμογές : ( N)( ), διότι ( k 3)(k k + ). Οπότε για [log x] στη θέση του απίρνουμε την χρήσιμη σχέση [log x] [log x] x 4) (Η ανισότητα Beroulli) Αν θ R, θ >, τότε μπορούμε να δείξουμε(με την παραπάνω μαθηματική επαγωγή για 0 = ) ότι ισχύει η ακολουθία (a ) με ορισμό a =, a + = a+3 3a + ( N)( + θ) + θ Εφαρμογή: Αν a, a R τότε ( N)( a < a ). Πράγματι, θέτουμε θ = a. Οπότε θ+ = a και άρα a = (θ+) +θ > θ. Οπότε, θ < a. 5) Διωνυμικό ανάπτυγμα. (x+y) = x + ( ) x y+ ( ) x y + ( ) xy + y όπου για τους συνδυασμούς ισχύει η τριγωνική ιδιότητα του Pascal: ( ) + ( k = ( k) + ( k ) και επίσης ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες ( 0) =, ( ) =, ) = ) ( =, ( k k). 6)(ανισότητα Cauchy) 7) Ριζικά: a +a + a m a = m a = m a = a a a a a+a+ +a m. 8) Για το! = μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα ότι [ ][ ]+!. Για να αποδείξετε την αριστερή ανισότητα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την σχέση ( k) ( k + ) ( k) k+ που αποδεικνύεται εύκολα με μαθηματική επαγωγή στο k και πάρτε k = [ ]. 5

6 Άσκηση 5.8 Δείξτε ότι για κάθε m Q+ ισχύει m + m. Υπόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι m + Ομως από ανισότητα Cauchy παίρνουμε m m m/+( m) = m +. m m Άσκηση 5.9 Δείξτε ότι για κάθε θ > και Q+ ισχύει ( + θ) m + m θ +θ. Υπόδειξη: φράξτε από πάνω την ποσότητα (( + θ) ) m χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy. Άσκηση 5.0 α)χρησιμοποιώντας το διωνυμικό ανάπτυγμα για το = ( + ) δείξτε ότι για κάθε φυσικό k < ισχύει > ( ) ( k+ )k+ (k+)!. β) Δείξτε ότι για αρκετά μεγάλα ισχύει > k με τον παρακάτω τρόπο. Από την α) έχουμε > k+ k+ (k+)! και άρα k+ (k+)! > k. Επειδή η ποσότητα k+ (k + )! είναι σταθερή(δηλ. ανεξάρτητη απ το ) προκύπτει ότι η θετική ποσότητα k+ (k+)! μικραίνει πάρα πολύ(π.χ. μικρότερη του ) για αρκετά μεγάλο και άρα προκύπτει ότι για όλα τα > k και αρκετά μεγάλα(μεγαλύτερα από καποιο 0 ) ισχύει > k. Άσκηση 5. Αφού δείξετε με μαθηματική επαγωγή ότι για κάθε φυσικό α- ριθμό k > ισχύει (k + ) k 3, χρησιμοποιείστε το για να δείξετε ότι < ([ ] + ) [ ] 3 και στη συνέχεια να δείξετε ότι log < για αρκετά μεγάλα. Απόδειξη: log < log ([ ] 3 ) < log [ ] = [ ]. Άσκηση 5. Δείξτε ότι για κάθε λ > και k N ισχύει λ k για αρκετά μεγάλα. Απόδειξη: Επειδή log έχουμε log log k log λ log για αρκετά μεγάλα διότι (όπως θα δούμε αργότερα) log + δηλ. οι τιμές της log μπορούν να γίνουν αυθαίρετα μεγάλες για μεγάλα. Άρα log λ k log δηλ. λ k. 5. Idiìthtec mhdeik akolouji Ας δούμε τώρα τις βασικές ιδιότητες των μηδενικών ακολουθιών δηλ. των ακολουθιών που έχουν όριο το 0 και στην συνέχεια θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των συγλινουσών ακολουθιών. Ιδιότητα 5.3 (απόλυτες τιμές) Για κάθε ακολουθία a ισχύει lim a = 0 lim a = 0. Απόδειξη: Εστω lim a = 0 και έστω ότι μας δόθηκε ένα ε > 0. Τότε επειδή μπορούμε να βρούμε 0 ώστε για κάθε 0 ισχύει a ε συνεπάγεται ότι a ε, και συνεπώς lim a = 0. 6

7 Αντίστροφα, αν lim a = 0 και μας έχει δοθεί ένα ε > 0, βρίσκουμε 0 N ώστε για κάθε 0 να ισχύει a ε, οπότε επειδή a = a, συμπεραίνουμε ότι a ε, και άρα lim a = 0. Σχόλιο: Για την γενική περίπτωση κοιτάξτε παρακάτω. Ιδιότητα 5.4 Για κάθε ακολουθία a ισχύει lim a = 0 = η a είναι φραγμένη. Απόδειξη: Θα αποδείξουμε παρακάτω ενα γενικότερο αποτέλεσμα. Ιδιότητα 5.5 (γραμμικοί συνδυασμοί) Για κάθε ακολουθία a, κάθε α- κολουθία b και κάθε λ, μ R ισχύει lim a = lim b = 0 = lim(λa + μb ) = 0. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι λ = 0 = μ, και έστω ότι μας δόθηκε ένα ε > 0. Εφαρμόζουμε τον ορισμό της σύγκλισης στο μηδέν για τις ακολουθίες a και b χρησιμοποιώντας για «ε» τα ε/( λ ) > 0 και ε/( μ ) > 0 αντίστοιχα. Ετσι βρίσκουμε ένα N για την a και ένα για την b ώστε να ισχύουν τα εξής: και για κάθε ισχύει a για κάθε ισχύει b ε λ () ε μ. () Θέτωντας 0 = max{ 0, }, αν 0 θα ισχύουν ταυτόχρονα και η () και η (). Οπότε για 0 θα έχουμε ε λa + μb λa + μb = λ a + μ b λ λ + μ ε μ = ε, ολοκληρώνοντας την απόδειξη. Ιδιότητα 5.6 (μηδενική επί φραγμένη ακολουθία) Για κάθε ακολουθία a και κάθε ακολουθία b ισχύει Απόδειξη: Εύκολη. lim a = 0 και b φραγμένη = lim(a b ) = 0. Ιδιότητα 5.7 (μηδενική επί μηδενική) Για κάθε ακολουθία a και κάθε ακολουθία b ισχύει lim a = 0 και lim b = 0 = lim(a b ) = 0. 7

8 Απόδειξη: Κάθε μηδενική ακολουθία είναι προφανώς φραγμένη οπότε το αποτέλεσμα προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα. Σχόλιο: Δεν είναι σαφές πιό θα είναι το όριο(αν βέβαια υπάρχει) lim a b δυο μηδενικών ακολουθιών (a ) και (b ). Εξαρτάται κάθε φορά απο ποιές ακριβώς είναι αυτές οι ακολουθίες. Ιδιότητα 5.8 (πολλαπλάσια) Για κάθε ακολουθία a και κάθε λ R, λ = 0 ισχύει lim a = 0 lim(λa ) = 0. Απόδειξη: Η ακολουθία (b ) = (λ) είναι φραγμένη. Οπότε απ την παραπάνω ιδιότητα παίρνουμε το αποτέλεσμα. Για την = κατεύθυνση χρησιμοποιούμε ξανά την παραπάνω ιδιότητα: αφού lim(λa ) = 0 και η (b ) = ( λ ) είναι φραγμένη, τελειώσαμε. Άλλος τρόπος να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 5.5. Ιδιότητα 5.9 (αυξάνοντας τους δείκτες κατά σταθερά) Για κάθε α- κολουθία a και κάθε k N ισχύει lim a = 0 lim a +k = 0. Απόδειξη: Εύκολα απ τον ορισμό του ορίου. Σύμβαση: Μερικές φορές μπορεί κάποιοι απ τους αρχικούς όρους μιας α- κολουθίας (a ) να μην ορίζονται αλλά απ τον k -ιοστό και πάνω να μην υπάρχει κανένα πρόβλημα και επίσης να υπάρχει το όριο lim a +k = l. Σε τετοιες περιπτώσεις θα γράφουμε καταχρηστικά lim a = l και θα εννοούμε lim a +k = l. Παράδειγμα γράφουμε ( ) 0 διότι ( + ) 0(εδώ k = ). Η σύμβαση αυτή ισχύει παντού από δώ και πέρα και θα την χρησιοποιούμε χωρίς να κάνουμε κάποια μνεία. Ιδιότητα 5.0 (ριζικά) Για κάθε ακολουθία a και κάθε k N ισχύει lim a = 0 = lim k a = 0. Απόδειξη: Δείτε παρακάτω το γενικό αποτέλεσμα. Άσκηση 5. Δείξτε ότι η ακολουθία ( ) είναι μηδενική. Δείξτε όμοια ότι η ( ) είναι μηδενική. Ιδιότητα 5. (κριτήριο παρεμβολής για μηδενικές ακολουθίες) Για κάθε ακολουθία a και κάθε ακολουθία b ισχύει 0 a b για κάθε 0, και lim b = 0 = lim a = 0. Απόδειξη: Εύκολα απ τον ορισμό του ορίου. 8

9 Πρόταση 5.3 (Κριτήριο λόγου) Εστω ότι για μια ακολουθία a υπάρχει ένα 0 N και ένα 0 λ <, ώστε για κάθε 0 να ισχύει a = 0 και a + a λ. Τότε lim a = 0. Απόδειξη: Μπορούμε να δείξουμε με επαγωγή ότι για κάθε ισχύει ότι a +0 λ a 0. Ομως (λ ) 0 και άρα και (λ a 0 ) 0 και άρα και (a +0 ) 0(γιατί;). Οπότε και (a ) 0(γιατί;). Παράδειγμα 5.4 /3 0 διότι /3 + /3 = 3 < για κάθε N. Άσκηση 5.5 Εστω η (a ) με a = 0 για κάθε =,,. Αν lim a + a < τότε lim a = 0. Άσκηση 5.6 Βρείτε τα όρια lim x, lim x (όπου x < ), lim 4 lim. Ορισμός 5.7 Η ακολουθία (a ) συγλίνει στο + αν για κάθε πραγματικό M > 0(οσοδήποτε μεγάλο) υπάρχει 0 N ώστε για κάθε 0 ισχύει a > M. Γράφουμε lim a = +. Παρόμοια ορίζουμε το lim a = αλλά μπορούμε να το ορίσουμε πιο απλά και ως εξής: lim a = ανν lim a = +. Ιδιότητα 5.8 (απείρου) Αν a = 0 για κάθε 0 τότε και όμοια (γράφουμε συμβολικά + = 0) lim a = 0 lim a = + lim a = + lim a = 0 Προσοχή: Οι μορφές των ορίων +, 0 0, + +, 0 (+ ) κ.ο.κ. είναι απροσδιόριστες και απαιτούν αρκετή προσπάθεια και κάποιες τεχνικές για τον προσδιορισμού του ορίου(αν βέβαια υπάρχει). και 9

10 Ορισμός 5.9 Με R συνβολίζουμε το σύνολο R {+, } οπότε εάν lim a = l και l R αυτό σημαίνει ότι το όριο είναι είτε ένας πραγματικός αριθμός είτε το + είτε το. Άσκηση 5.30 Εστω η (a ) με a > 0 για κάθε =,,. Αν τότε lim a = +. lim a + a > (Υπόδειξη: Από το κτιτήριο του λόγου έχουμε ότι η ακολουθία b = a είναι μηδενική οπότε απ την ιδιότητα του απείρου η a = b = a συγκλίνει στο +.) Άσκηση 5.3 Δείξτε ότι η ακολουθία [log ] είναι μηδενική, όπου με [log a] (με a ) εννούμε το ακέραιο μέρος του log ή με απλά λόγια τον μικρότερο ακέραιο m a έτσι ώστε m a. (Υπόδειξη: Δείξτε ότι η [log ] αποκλίνει στο + π.χ. από το γεγονός [log ] [log ] [log ] Δείτε επίσης και 5.50) Άσκηση 5.3 (νιοστή δύναμη ενός αριθμού). Δείξτε με το κριτήριο του λόγου ότι αν 0 < l < τότε η ακολουθία (l ) συγκλίνει στο 0. Επίσης με την βοήθεια της 5.30 δείξτε ότι αν l > τότε αναγκαστικά (l ) Idiìthtec sugklious akolouji Εδώ θα αναφέρουμε τις βασικές ιδιότητες γενικά των συγλινουσών ακολουθιών. Φυσικά σε αυτές συμπεριλαμβάνονται και οι μηδενικές ακολουθίες. Ιδιότητα 5.33 Για κάθε ακολουθία (a ) και l R ισχύει lim a = l lim(a l) = 0 Ιδιότητα 5.34 Για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία (a ) το όριο είναι μοναδικό, δηλ. αν (a ) a και (a ) a τότε a = a. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι και τα δύο εκ των a, a είναι πραγματικοί αροθμοί(αν κάποιος ή και τα δύο εκ των a, a είναι ± αφήνεται ως άσκηση). Εις άτοπο απαγωγή. Εστω a = a. Εχουμε a a = a a +a a a a + a a οπότε από κριτήριο παρεμβολής για μηδενικές ακολουθίες έχουμε ότι a a 0 άτοπο. Άλλος τρόπος: Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κατ ευθείαν τον ορισμό του ορίου ή την ιδιότητα 5.46 παρακάτω. Ιδιότητα 5.35 (πρόσθεση μιας σταθεράς) Για κάθε ακολουθία (a ) και l R και t R ισχύει: lim a = l = lim(a + t) = l + t 0

11 (γενίκευσή της θα δούμε στους γραμμικούς συνδυασμούς παρακάτω) Ιδιότητα 5.36 Για κάθε ακολουθία (a ) και l R ισχύει lim a = l = lim a = l. Η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει πάντα! Απόδειξη:Χρησιμοποιείστε την ιδιότητα x y x y. Ιδιότητα 5.37 (αυξάνοντας τους δείκτες κατά θετική σταθερά) Για κάθε ακολουθία (a ) και κάθε k N και l R ισχύει lim a = l lim a +k = l. Άσκηση 5.38 (υπακολουθίες) Εστω (λ ) μια γνησίως αύξουσα ακολουθία με όρους θετικούς ακέραιους αριθμούς δηλ. ( N)(λ N). Δείξτε ότι αν (a ) l R τότε αναγκαστικά (a λ ) l όπου με (a λ ) εννοούμε φυσικά την υπακολουθία με όρους a λ, a λ, a λ3,. Το αντίστροφο δυστυχώς δεν ισχύει πάντα(να κατασκευάσετε αντιπαράδειγμα)! Απόδειξη: Επειδή η λ είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι για κάθε N : λ. Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητος ότι l R. Οπότε για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 N έτσι ώστε a l < ε, για κάθε 0. Ομως λ λ 0 0 οπότε a λ l < ε για κάθε 0. Σχόλιο: Στην απόδειξη απλά χρειαζόμαστε την σχέση για κάθε 0 : λ. Δεν είναι δύσκολο να κάνουμε την παρακάτω γενίκευση: Αν η (λ ) μπορεί να πάρει (τελικά) οσοδήποτε μεγάλη τιμή δηλ. αν ( 0 N)( N)( )(λ 0 ) και η a είναι (απλά) αύξουσα για 0 και (a ) l R τότε και (a λ ) l. Ετσι για παράδειγμα αν η (a ) είναι συγκλίνουσα τότε και οι (a [ ] ), (a [ ] ), (a 3! ) συγκλίνουν ακριβώς στο ίδιο όριο αν και βέβαια δεν είναι όλες υπακολουθίες της (a ). Προσέξτε ότι μόνο η (a 3! ) είναι υπακολουθία της (a ) διότι η λ = 3! είναι φυσικά γνησίως αύξουσα. Πόρισμα 5.39 Αν υπάρχουν δυο υπακολουθίες (a λ ) και (a ρ ) με διαφορετικά όρια τότε δεν μπορεί η (a ) να έχει κάποιο όριο. Άσκηση 5.40 Αν λ είναι μια γνησίως αύξουσα ακολουθία μέ όρους φυσικούς αριθμούς δηλ. λ N, και έχει πεδίο τιμών το σύνολο N ή με άλλα λόγια αν κάθε φυσικός αριθμός m είναι κάποιος όρος της ακολουθίας τότε αναγκαστικά η ακολουθίας μας είναι η ταυτοτική: για κάθε N, a =. Άσκηση 5.4 Δείξτε ότι αν η ακολουθία (( ) ) αναγκαστικά αποκλίνει. Ομοια η a = ( ) mod 3 +. Υπόδειξη: Για την πρώτη θεωρείστε τις υπακολουθίες (( ) ) και (( ) + ).

12 Ιδιότητα 5.4 Για κάθε ακολουθία (a ) και l R ισχύει lim a = l = η a είναι φραγμένη. Η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει πάντα! Απόδειξη: Η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει. Για παράδειγμα η (( ) ) είναι προφανώς φραγμένη αλλά όχι συγκλίνουσα! Για να αποδείξουμε την πρόταση εφαρμόζουμε τον ορισμό της σύγκλισης για ε =. Οπότε θα υπάρχει 0 N ώστε για κάθε 0 να ισχύει a l. Δηλαδή ο αριθμός m = max{ l+, l } αποτελεί άνω φράγμα για την ακολουθία a αλλά όχι για όλα τα N αλλά μόνο για τα που είναι μεγαλύτερα ή ίσα με το 0. Θέτουμε τώρα ώστε να είμαστε σίγουροι ότι M = max{m, a, a,..., a 0 } a M για κάθε N. Ετσι, η ακολουθία a είναι απολύτως φραγμένη και άρα (Πρόταση 3.) φραγμένη. Άσκηση 5.43 Δείξτε ότι αν η ακολουθία (a ) έχει κάποιο όριο τότε αναγκαστικά οι διαδοχικοί όροι αυθαίρετα πλησιάζουν με την έννοια ότι (a + a ) 0 το αντίστροφο δυστυχώς δεν ισχύει! Οπως θα δούμε αργότερα η σειρά δηλ. η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων ( m= m ) αποκλίνει! Εφαρμογή: Αν η (a ) είναι μια ακολουθία ακεραίων αριθμών που συγκλίνει στο l R τότε αναγκαστικά η (a ) πρέπει τελικά να είναι σταθερή δηλ. για κάποιο 0 N και για κάθε 0 a = a 0. Αυτό διότι για κάποιο 0 N έχουμε a + a < / για 0 και άρα αναγκαστικά a 0+ = a 0. Συνεχίζουμε όμοια και για τους υπόλοιπους όρους με > 0. Άσκηση 5.44 Μια ακολουθία (a ) λέγεται ακολουθία Cauchy όταν για κέθε ε > 0 υπάρχει 0 N ώστε για κάθε, m 0 να ισχύει a a m < ε. Δείξτε ότι αν η ακολουθία (a ) έχει κάποιο όριο l R τότε αναγκαστικά είναι ακολουθία Cauchy. Το αντίστροφο ευτυχώς ισχύει όπως θα δούμε αργότερα. Ιδιότητα 5.45 (ομόσημοι αριθμοί) Για κάθε ακολουθία (a ) και l = 0, l R ισχύει lim a = l = υπάρχει 0 N ώστε για κάθε 0 τα a και l είναι ομόσημοι αριθμοί. Ακριβέστερα, για l > 0 τότε υπάρχει 0 N έτσι ώστε l < a < 3l ενώ για l < 0 τότε υπάρχει 0 N έτσι ώστε 3l < a < l.

13 Απόδειξη: Ιδιότητα 5.46 (η μια μικρότερη της άλλης) Εστω ότι οι ακολουθίες (a ) και (b ) συγκλίνουν στα l και l αντίστοιχα, και επιπλέον υπάρχει N ώστε για κάθε ισχύει a b. Τότε l l. Εαν το l είναι + τότε αναγκαστικά και l = +. Εάν το l είναι τότε αναγκαστικά και l =. Απόδειξη: Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητος ότι, l > 0, l > 0, a > 0, b > 0 για όλα τα N. Η ακολουθία (l b l a ) είναι μηδενική και l b l a (l l )a. Οπότε από κριτήριο παρεμβολής για μηδενικές ακολουθίες έχουμε l l. Άλλος τρόπος: Αν υποθέσουμε ότι l < l τότε από l < l b + ε a + ε l + ε έχουμε το άτοπο... Οι άλλες περιπτώσεις προκύπτουν εύκολα με χρήση των ορισμών ή με χρήση της 5.8. Πρόταση 5.47 (γενίκευση) Εστω (a ) l και l R έτσι ώστε για κάθε ε(οσοδήποτε μικρό) υπάρχει 0 έτσι ώστε για κάθε 0 να ισχύει a l + ε. Τότε l l. Ορισμός (Ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες) Δυο συγκλίνουσες ακολουθίες (a ), (b ) λέγονται ισοσυγκλίνουσες αν και μόνον αν συγκλίνουν στο ίδιο όριο l R. Πρόταση 5.48 (Ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες-κριτήριο παρεμβολής) Εστω ότι οι ακολουθίες (a ), (b ) και (c ) ικανοποιούν την ανισότητα a b c, για 0 και ότι lim a = lim c = l R. Τότε αναγκαστικά lim b = l. Εάν l = + και a b και lim a = + τότε και lim b = +.(χωρίς να χρειαστεί να αναφερθούμε και σε κάποια c που φράζει την b απο πάνω) Τέλος αν l = και b c και lim c = τότε και lim b =. Απόδειξη: Θα πάρουμε μόνο την περίπτωση l R. (Για l = ± το αφήνουμε ως άσκηση). Η ακολουθία (b a ) είναι μηδενική διότι 0 b a c a. Οπότε, (b ) = (b a +a ) και άρα lim(b l) = lim(b a )+lim(a l) = 0. Άλλος τρόπος(αν ξέραμε ότι η (b ) είναι συγκλίνουσα στο l :) από την προηγούμενη ιδιότητα l l l. Για να αποδείξουμε ότι πράγματι η (b ) είναι συγκλίνουσα θα πρέπει για παράδειγμα να αποδείξουμε ότι η (b ) είναι Cauchy που δεν είναι πολύ δύσκολο. Άσκηση 5.49 Δείξτε ότι [ ]. Λύση. Από την σχέση [ ] < [ ] + προκύπτει ότι = = οπότε από κριτήριο παρεμβολής... < [ ] Πρόταση 5.50 (γενίκευση) Εστω (b ) l με l R έτσι ώστε για κάθε ε(οσοδήποτε μικρό) υπάρχει 0 έτσι ώστε για κάθε 0 να ισχύει b a l + ε. Τότε (a ) l. 3

14 Πρόταση 5.5 (Ισοσυγκλίνουσες ακολουθίες-κριτήριο του λόγου) Εστω ότι οι ακολουθίες (a ), (b ) έχουν θετικούς όρους και lim b a =. Αν lim a = l τότε αναγκαστικά lim b = l. Ομοια αν lim a = + τότε αναγκαστικά lim b = + Απόδειξη: Εστω > ε > 0 και 0 N έτσι ώστε για κάθε 0 να ισχύει ( ε) < b a < ( + ε). Οπότε ( ε) a < b a a < ( + ε) a. δηλ. ( ε)a < b < ( + ε)a. Άρα a εa < b < a + εa. Οπότε b a < εa. Αν υποθέσουμε ότι το M > 0 είναι φράγμα των όρων της (a ) προκύπτει ότι b a < εm. Επειδή το ε είναι όσο θέλουμε (αυθαίρετα) μικρό προκύπτει ότι lim(b a ) = 0 και άρα lim b = l(δείτε ιδιότητα 5.55). Για την περίπτωση + δουλεύουμε όμοια με την βοήθεια της Ιδιότητα 5.5 Για κάθε ακολουθία (a ) και l R ισχύει lim a = l lim( a ) = l. Απόδειξη: Βλέπετε γενικότερο αποτέλεσμα παρακάτω. Ιδιότητα 5.53 (γραμμικοί συνδυασμοί) Εστω ότι οι ακολουθίες (a ) και (b ) συγκλίνουν στα l R και l R αντίστοιχα, και λ, μ R. Τότε lim(λa + μb ) = λl + μl. Απόδειξη: Η ακολουθία (λ(a l ) + μ(b l )) είναι μηδενική. Οπότε... Άσκηση 5.54 Να μελετήσετε την περίπτωση που κάποιο ή και τα δύο εκ των l, l είναι το +. Υπόδειξη: Είναι προφανώς αν μόνο ένα εκ των l, l είναι + π.χ το l, ότι τό όριο είναι το + αν λ > 0 και αν λ < 0. Αν βέβαια λ = 0 τότε το όριο είναι το μl. Στην περίπτωση που και τα δύο l, l είναι + τότε για να έχουμε κάποιο αποτέλεσμα δηλ. όριο θα πρέπει τα λ, μ να είναι ομόσημοι μη μηδενικοί αριθμοί διότι διαφορετικά έχουμε περιπτώσεις απροσδιοριστίας π.χ της μορφής +. Αν κάποιο απ τα λ, μ είναι μηδέν τότε τα πράγματα απλουστεύονται. Π.χ. αν λ = 0 τότε το όριο είναι + ή ανάλογα με το πρόσημο του μ. Ιδιότητα 5.55 (συγκλίνουσα συν μηδενική) Αν ισχύει (a b ) 0 και η (a ) συγλίνει τότε αναγκαστικά θα συγκλίνει και η (b ) στο ίδιο όριο. 4

15 Απόδειξη: Εύκολα απο την προηγούμενη ιδιότητα. Άσκηση 5.56 Αν (a ) a και (b ) b τότε να βρείτε το όριο της (ba ab ). Ιδιότητα 5.57 (γινόμενο) Εστω ότι οι ακολουθίες (a ) και (b ) συγκλίνουν στα l R και l R αντίστοιχα. Τότε lim(a b ) = l l. (πηλίκο) Αν επιπλέον υποθέσουμε ότι l = 0, l R τότε υπάρχει 0 ώστε για κάθε >, N ισχύει b = 0 (γιατί αυτό;) και επιπλέον lim a + b + = l l. (αντίστροφος) Αν βέβαια (a ) = () τότε παίρνουμε lim b + = l Απόδειξη: Ιδιότητα 5.58 (δυνάμεις) Για κάθε ακολουθία (a ) και k N και l R ισχύει lim a = l = lim a k = l k. Απόδειξη: Ιδιότητα 5.59 (ριζικά) Για κάθε ακολουθία (a ) και k N ισχύει lim a = l = lim k a = k l. Απόδειξη: Για l = 0 ή l = + η απόδειξη είναι πολύ απλή. Εστω λοιπόν l R, l > 0 και 0 N τέτοιο ώστε ( 0, N) a > l. Θέτουμε x = k a και y = k l. Οπότε, από τον τύπο x y = x k y k x k + x k y + x k 3 y + + xy k + y k Κάθε ένας από τους αθροιστέους του παρανομαστή είναι θετικός και μεγαλύτερος του k l k (γιατί;). Οπότε, x y xk y k a l k k = l k σταθερά. Οπότε, τελειώσαμε! Ιδιότητα 5.60 (εκθετικά) Για κάθε ακολουθία (a ) 0 με ( N)(a Q, a 0) ισχύει lim a = Απόδειξη: Εστω m N (πολύ μεγάλο) και ε = m. Από τις σχέσεις a + a m και a < ε προκύπτει = ε a +a /, για κάθε 0 οπότε από την Πρόταση 5.63 παρακάτω και την γενίκευση του κριτηρίου παρεμβολής παίρνουμε το ζητούμενο. 5

16 Ορισμός 5.6 Εστω f : X R με X R μια πραγματική συνάρτηση με x 0 X. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 0 αν για κάθε ε(οσοδήποτε μικρό) υπάρχει κάποιο δ > 0 ώστε αν x Xκαι x x 0 < δ τότε f(x) f(x 0 ) < ε Ολες οι παραπάνω ιδιότητες (γραμμικοί συνδυασμοί, δυνάμεις, ριζικά, εκθετικά, αντίστροφος) στηρίζονται στην παρακάτω ιδιότητα. Ιδιότητα 5.6 (συνεχής συνάρτηση) Αν lim a = x 0 και υπάρχει 0 N έτσι ώστε για καθε 0 (a X) και η f είναι συνεχής στο x 0 τότε και lim f(a ) = f(x 0 ). Γνωστά: Αν οι f και g είναι δύο συνεχείς συναρτήσεις με το ίδιο πεδίο ορισμού X τότε και οι max{f, g} και mi{f, g} είναι όμοια συνεχής συνάρτηση. Ομοια αν f : X Y, g : Y R και η f ειναι συνεχής στο x 0 X και η g στο f(x 0 ), τότε και η σύνθεση g f είναι συνεχής στο x 0. Η log a x είναι συνεχής συνάρτηση για κάθε x 0 R. 5.3 ParadeÐgmata orðw apl akolouji Πρόταση 5.63 (νιοστή ρίζα ενός αριθμού) Για κάθε a > 0 ισχύει ( a). Επίσης εαν a > τότε η ( a) είναι γνησίως φθίνουσα ενώ για a < είναι γνησίως αύξουσα. Απόδειξη: Αν a τότε a. Θέτουμε v = a 0, οπότε a = ( + v ). Από την ανισότητα Beroulli και λύνοντας ως προς v : a = ( + v ) + v 0 v a. Η τελευταία στα δεξιά ακολουθία είναι μηδενική, οπότε από την Πρόταση 5.48 lim v = 0. Ετσι a = + v + 0 =. Αν 0 < a < τότε a > οπότε lim( a ) οπότε από ιδιότητα του αντιστόφου που είδαμε παραπάνω έχουμε το ζητούμενο. Άλλος τρόπος: γράψτε την διαφορά a a = κάτι μεγαλύτερο του.) Άσκηση 5.64 Να βρεθεί το όριο καθώς και η μονοτονία της ( a ) όπου a > 0. Πρόταση 5.65 (γενίκευση: νιοστή ρίζα συγκλίνουσας ακολουθίας) Αν a l > 0, l R, τότε a. Εαν l = 0 τότε δεν είναι σίγουρο ότι έχουμε a. (Αντιπαράδειγμα η a =!, διότι a 0). 6

17 Απόδειξη: Από τον ορισμό της σύγκλισης (για ε = l/ > 0), υπάρχει ένα 0 R ώστε αν 0 τότε a l < l. Συνεπώς και άρα, l < a < 3l, l/ < a < 3l/. Από την Πρόταση 5.63 οι ακολουθίες l/ και 3l/ συγκλίνουν στο, και από την Πρόταση 5.48 συγκλίνει στο και η a.(άλλος τρόπος: δείξτε ότι ( a l) 0 δουλεύοντας όπως στην Άλλος τρόπος: μπορούμε να υποθέσουμε ότι a (στην ανάγκη μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και την a με π.χ. με l ) απο 0 a < a προκύπτει ότι...) Πρόταση 5.66 (νιοστή ρίζα του ) ( ). γνησίως φθίνουσα για 3. Επίσης η ( ) είναι Απόδειξη: Παρατηρούμε ότι = ( ), και δείχνουμε πρώτα ότι lim = ακολουθώντας την ίδια απόδειξη με την Πρόταση 5.63: θέτουμε v = 0 οπότε = ( + v ) + v, και λύνοντας ως προς v, 0 v. Η τελευταία ακολουθία είναι μηδενική (γιατί;), οπότε (από την Πρόταση 5.48) lim v = 0. Συνεπώς = + v + 0 =. Τέλος, από την Ιδιότητα 5.58, lim = lim ( ) = ( lim ) = =. (Άλλος τρόπος: Από [log ]+ παίρνουμε...) Επειδή ( + ) < 3 για 3 (δείτε παρακάτω για τις ιδιότητες της ακολουθίας ( + ) ) έπεται ότι ( + ) < για 3 και άρα ( + ) < + άρα είναι γν. φθίνουσα για 3. Άσκηση 5.67 Να βρεθεί το όριο της (! ). Χρησιμοποιείσετε κριτήριο παρεμβολής. Εχουμε!. Άσκηση 5.68 Να βρεθεί το όριο της (!). (Υπόδειξη: επειδή το! είναι τεράστιο(αφού! [ ]([ ]+) ) έπεται ότι (!) [ ] (+[ ]) [ ] ([ ]+) (+[ ]) = [ ] + ) 7

18 Άσκηση 5.69 Για ποιές τιμές του l συγκλίνει η (a ) = (( l +l ) ) Άσκηση 5.70 Να υπολογιστούν τα όρια lim, lim, lim + 3, lim , lim si()+cos(3), lim 5+si(π/5) ++, lim si(!) ( ) 4, lim!, ( 3 ) ++ Πρόταση 5.7 (νιοστή δύναμη μιας συγκλίνουσας ακολουθίας) Αν η (a ) έχει μη αρνητικούς όρους και (a ) l και 0 l < τότε και a 0. Αν + l > τότε a +. Τέλος αν l = δεν έπεται απαραίτητα ότι η (a ) είναι συγλίνουσα. Υπάρχουν αντιπαραδείγματα που η νιοστή δύναμη (a ) συγκλίνει σε κάποιο πραγματικό αριθμό διαφορετικό από το και άλλα αντιπαραδείγματα που η (a ) αποκλίνει. Πόρισμα 5.7 Αν η (a ) έχει μη αρνητικούς όρους και ( a ) l και 0 l < τότε και a 0. Αν + l > τότε a +. Τέλος αν l = δεν έπεται απαραίτητα ότι η (a ) είναι συγλίνουσα. Υπάρχουν αντιπαραδείγματα που η νιοστή δύναμη (a ) συγκλίνει σε κάποιο πραγματικό αριθμό διαφορετικό από το και άλλα αντιπαραδείγματα που η (a ) αποκλίνει. Άσκηση 5.73 (με αθροίσματα) Να βρεθούν τα όρια των , + (+) + (). Λύση: Επειδή έπεται ότι για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 N, τέτοιο ώστε για κάθε > 0 οπότε αθροίζοντας < + ε,... < + ε, < ( 0 )( + ε). Σπάζουμε το ζητούμενο άθροισμα σε δύο κομμάτια < = ( + ε) < φραγμένος + ( + ε). Το φραγμένος είναι μικρότερο του ε για κάποιο N και για οπότε το τελευταίο είναι < ε + + ε = + ε οπότε συνεχίζουμε με την γενίκευση του κριτηρίου παρεμβολής. Για το δεύτερο απλως χρησιμοποιούμε το κριτ. παρεμβολής 0 + ( + ) + () + + = + = +. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο του σπασίματος του αθροίσματος που αναπτύξαμε για το πρώτο άθροισμα μπορούμε να δείξουμε την παρακάτω πρόταση του Cauchy. 8

19 Πρόταση 5.74 (μέσος όρος) Αν a 0 τότε και a+a+ +a 0. Γενίκευση: Αν a a R τότε a+a+ +a a. Η γενίκευση(για a = +, ) προκύπτει απο την ειδική περίπτωση εάν θεωρήσουμε την ακολουθία a = a a που τείνει φυσικά στο 0. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά αλλά μόνο σε μερικές περιπτώσεις όπως η παρακάτω. Πρόταση 5.75 Αν η ακολουθία (a ) είναι μονότονη και a+a+ +a a R τότε και a a. Υπόδειξη: Υποθέσετε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι a R, η (a ) είναι αυξουσα και η a+a+ +a έχει όριο το 0(αλλιώς παιρνουμε το (a a)+(a a)+ +(a a) ) και χρησιμοποιήσετε την σχέση οπότε Από την σχέση [ ] [ ]a + a + + a [ ] [ ] a a + a + + a, [ ] a + a + + a [ ] [ ] a a + a + + a. / και το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο. Άσκηση 5.76 (θεωρία) ) Είναι γνωστό ότι max{s, t} = s+t + s t και mi{s, t} = s+t s t. Χρησιμοποιώντας αυτές τις σχέσεις να βρείτε τα όρια των ακολουθιών (max{a, b }) και (mi{a, b }) αν είναι γνωστό ότι (a ) l R και (b ) l R ) Αν a > 0 και b > 0 και lim a = lim b = 0 τότε lim a +b a +b = 0. 3) Εστω (a ) μια μονότονη ακολουθία. Τότε (a ) + ανν η (a ) δεν είναι άνω φραγμένη. 4) Αν η (c ) είναι υπακολουθία της (b ) και η (b ) της (a ) τότε η (c ) είναι υπακολουθία της (a ). 5) Αν η (a ) είναι μια ακολουθία θετικών όρων τέτοια ώστε lim a+ a = a R τότε και lim a = a 5.4 Basikˆ jewr mata stic akoloujðec Πρόταση 5.77 (υπακολουθίες που καλύπτουν την ακολουθία) Αν οι υπακολουθίες (a λ ) και (a ρ ) της (a ) συγλίνουν στο ίδιο όριο l R και καλύπτουν όλους τους όρους της (a ) με την έννοια τότε και (a ) l. {a : N} = {a λ : N} {a ρ : N} Παράδειγμα: Αν (a ) l και (a m ) l τότε και (a ) l. Η παραπάνω πρόταση γενικεύεται και στην περίπτωση που έχουμε τρείς ή περισσότερες υπακολουθίες που καλύπτουν την (a ). Για παράδειγμα η 9

20 a =, αν 0 mod 3 (+), αν mod 3!, αν mod 3 θα χωριστεί στις υπακολουθίες (a 3m ), (a 3l ) l=,,..., και (a 3r ) r=,,... που καλύπτουν όλους τους όρους της (a ) και όλες φυσικά συγκλίνουν στο 0. Άρα και η (a ) 0. Οι υπακολουθίες μιας ακολουθίας μας δίνουν πάντα αρκετές πληροφορίες για την συμπεριφορά της ίδιας της ακολουθίας. Οπως έχουμε ήδη δεί αν η (a ) συγκλίνει τότε και κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο ίδιο όριο. Αν δεν συγκλίνει τότε φυσικά είτε μια τουλάχιστον απο τις υπακολουθίες (a )(όροι με άρτιους δείκτες) και (a m )(όροι με περιττούς δείκτες) είναι αποκλίνουσα είτε οι (a ) και (a m ) είναι συγκλίνουσες αλλά δεν συγλίνουν στο ίδιο όριο. Οπως θα δούμε σε λίγο κάθε αποκλίνουσα ακολουθία (a ) έχει δύο τουλάχιστον μονότονες υπακολουθίες που συγλίνουν σε διαφορετικά όρια. Άσκηση 5.78 Δείξτε ότι η a = ( ) + δεν μπορεί να συγκλίνει. Ομοια δείξτε ότι για l < η b = l αποκλίνει. Υπόδειξη: a / και a l / άρα η a αποκλίνει. Ομοια b = ( l ) = l + και b t = ( l ) t = ( l t ). Αν μια ακολουθία (ή μια υπακολουθία μιας ακολουθίας) είναι μονότονη τότε αποκτά ιδιαίτερη αξία διότι είναι πάντα συγκλίνουσα σε κάποιο όριο l R. Θεώρημα 5.79 Κάθε μονότονη ακολουθία παραγματικών αριθμών συγκλίνει σε κάποιο l R. Συγκεκριμένα αν η (a ) είναι αύξουσα και φραγμένη τότε (a ) sup{a : N}. Αν η (a ) είναι αύξουσα αλλά όχι φραγμένη τότε (a ) +. Αν η (a ) είναι φθίνουσα και φραγμένη τότε (a ) if{a : N}. Αν η (a ) είναι φθίνουσα αλλά όχι φραγμένη τότε (a ). Πόρισμα 5.80 Αν η (a ) είναι μια μονότονη ακολουθία παραγματικών αριθμών τότε είναι συγκλίνουσα σε κάποιο πραγματικό αριθμό ανν είναι φραγμένη. Άσκηση 5.8 Να εξηγήσετε γιατί συγκλίνει η ακουλουθία που ορίζεται ως a =, a + = a+ 3 και να βρεθεί το όριό της. Απάντηση: Μπορούμε να δείξουμε με μαθηματική επαγωγή ότι N( a ). Επίσης a+ 3 < a ανν a που το αποδείξαμε. Άρα είναι γνησίως φθίνουσα και άρα συγκλίνει σε κάποιο l R. Εχουμε l = l+ 3 και άρα l =. Ορισμός 5.8 Εστω (a ) μια φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών. Τότε όπως γνωρίζουμε από το αξίωμα της πληρότητος υπάρχουν οι αριθμοί b := sup{a, a +,..., } και c := if{a, a +,..., }. Ομως είναι σχεδόν φανερό ότι η (b ) είναι φθίνουσα και φραγμένη ενώ η (c ) είναι αύξουσα και φραγμένη, οπότε από 5.80 έχουν αντίστοιχα όρια τα l και l. Το πρωτο συμβολίζεται στα μαθηματικά με lima και λέγεται άνω όριο της (a ) και το δεύτερο με lima και 0

21 λέγεται κάτω όριο της (a ). Αν η (a ) δεν είναι άνω φραγμένη τότε θέτουμε lima = + και αν η (a ) δεν είναι κάτω φραγμένη τότε θέτουμε lima =. Αν a + τότε επίσης θέτουμε lima = + και αν a τότε επίσης θέτουμε lima =. Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι πάντοτε ισχύει lima lima και μεταξύ των lima, lima βρίσκεται το όριο οποιασδήποτε μονότονης υπακολουθίας της (a ). Πρόταση 5.83 Εστω x R. Τότε, lima = x ανν ) ε > 0)( 0 N)( 0 )(x + ε a ) και ) ( ε > 0)( 0 N)( 0 )(x ε < a ). Ομοια lima = x ανν ) ε > 0)( 0 N)( 0 )(x ε a ) και ) ( ε > 0)( 0 N)( 0 )(x + ε > a ). Άσκηση 5.84 Εστω (a ) είναι φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών. Τότε η (a ) συγκλίνει στον αριθμό a R ανν lima = lima = a. Θεώρημα 5.85 (Bolzao - Weierstrass) Κάθε ακολουθία πραγματικών α- ριθμών (a ) έχει μια μονότονη υπακολουθία. Συγκεκριμένα αν η (a ) δεν είναι άνω φραγμένη τότε μπορούμε να ανακαλύψουμε μια αύξουσα υπακολουθία της με όριο το +. Αν η (a ) δεν είναι κάτω φραγμένη τότε μπορούμε να ανακαλύψουμε μια φθίνουσα υπακολουθία της με όριο το. Τέλος αν η (a ) είναι φραγμένη τότε μπορούμε να ανακαλύψουμε μια μονότονη (φραγμένη) υπακολουθία της και άρα σύμφωνα με το 5.80 θα συγλίνει σε κάποιο πραγματικό αριθμό. Άσκηση 5.86 (όριο ακολουθιών που ορίζονται αναδρομικά) Δίνεται η ακολουθία που ορίζεται ως a = και a = ( + το πλήθος από ). Αφού βρείτε τον αναδρομικό ορισμό της να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και φραγμένη. Να συμπεράνετε από το 5.80 ότι έχει κάποιο όριο και στην συνέχεια να το βρείτε. Υπόδειξη: Προφανώς a + = + a. Για να ισχύει a + > a θα πρέπει και αρκει < a <. Προφανώς 0 < a και το a < το αποδεικνύουμε με μαθηματική επαγωγή. Άρα υπάρχει όριο l που θα πρέπει να ικανοποιεί την σχέση l = + l άρα l =. Βέβαια υπαρχουν περιπτώσεις που δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το 5.80 κατ ευθείαν διότι δεν είναι μονότονη η αναδρομική ακολουθίας μας. Τότε ίσως θα ήταν χρήσιμο να βρήσκαμε τον γενικό τύπο της ακολουθίας μας και απ αυτόν το ζητούμενο όριο. Άσκηση 5.87 Δίνεται η ακολουθία που ορίζεται αναδρομικά με τις σχέσεις a = a, a = b, a + = a + a + με b > a. Να δείξετε ότι συγλίνει και να βρείτε το όριό της. Υπόδειξη: Θέτουμε d = a + a. Για παράδειγμα d = b a. Εύκολα προκύπτει ότι d + = d και άρα η d είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο το -/ και άρα

22 έχει γενικό τύπο d = (b a)( ) και συνεπώς έχει όριο το 0. Για να βρούμε το όριο της a παρατηρούμε ότι a a = (a a ) + (a a ) + + (a a ) = ( ) (b a).παίρνοντας το όριο έχουμε... ( ) Θεώρημα 5.88 Κάθε ακολουθία (a ) που αποκλίνει έχει τουλάχιστον δυο μονότονες υπακολουθίες που συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια l R, l R. Πόρισμα 5.89 Κάθε φραγμένη ακολουθία (a ) που αποκλίνει έχει τουλάχιστον δυο μονότονες υπακολουθίες που συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια l R, l R. Φυσικά, ισχύει και το αντίστροφο δηλ. μια φραγμένη ακολουθία (a ) που έχει δυο μονότονες συγκλίνουσες υπακολουθίες που συγκλίνουν σε διαφορετικό όριο τότε αναγκαστικά η (a ) αποκλίνει. Τέτοια όρια έχουν ιδιαίτερη σημασία για την ακολουθία γιατί γύρω απ αυτά μαζεύονται άπειροι όροι της ακολουθίας μας. Ας δώσουμε τον παρακάτω ορισμό. Ορισμός 5.90 Ενας πραγματικός αριθμός l R λέγεται σημείο συσσώρευσης της (a ) αν υπάρχει υπακολουθία της (a λ ) που συγκλίνει στο l. Για παράδειγμα η ( ) έχει σημείο συσσώρευσης μόνο το 0, μια (a ) R έχει σημείο συσσώρευσης μόνο το όριο της l, η ( ) έχει σημεία συσσώρευσης μόνο τα +, - και τέλος μια μονότονη ακολουθία είτε δεν θα έχει κανένα σημείο συσσώρευσης (αν δεν είναι φραγμένη) ή θα έχει ένα μόνο σημείο συσσώρευσησ(αν είναι φραγμένη και το σημείο αυτό θα είναι το όριό της). Άσκηση 5.9 Δείξτε ότι αν l είναι σημείο συσσώρευσης της (a ) τότε lima l lima. Αν η (a ) είναι φραγμένη τότε οι πραγματικοί αριθμοί lima, lima είναι σημεία συσσώρευσης της ακολουθίας. Ακόμα χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 5.85 αποδείξτε ότι υπάρχει αύξουσα υπακολουθία με όριο το lima και μια άλλη φθίνουσα με όριο το lima. 5.5 O arijmìc e tou Euler kai oi idiìthtèc tou Η ακολουθία (a ) = (( + ) ) μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αυξουσα και φραγμένη και άρα έχει κάποιο όριο που το λέμε e, όπου e = περίπου. Ομοια η (b ) = ((+ )+ ) μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι φθίνουσα και φραγμένη και έχει το ίδιο όριο e. Επίσης ισχύει b > e > a για κάθε N. Παράδειγμα 5.9 Να βρεθεί το όριο lim( + ) Λύση: lim(+ ) = lim( + ) = lim( + + ) ( + ) = lim( + + )+ lim + + lim(+ ) = lim( + + )+ e = e. Με όμοιο τρόπο και με κατάλληλη χρήση της μαθηματικής επαγωγής στους φυσικούς μπορούμε να δείξουμε ότι Πρόταση 5.93 Για κάθε r = k m Q ισχύει ότι lim( + r ) = e r. Φυσικά ισχύει και το πιο γενικό. Πρόταση 5.94 Για κάθε x R + η ακολουθία ((+ x ) ) είναι γνησίως αύξουσα και φραγμένη. Άρα έχει όριο (που το ορίζουμε να είναι το e x ).

23 Απόδειξη: Η απόδειξη της μονοτονίας παραλείπεται(στηρίζεται στο διωνυμικό ανάπτυγμα του ((+ x ) ). Εστω ότι εχουμε δείξει το πρώτο σκέλος δηλ. η ((+ x ) ) είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x. Το ότι είναι φραγμένη η (( + x ) ) προκύπτει τότε εύκολα. Πράγματι έστω κάποιος ρητός r > x, οπότε η (( + x ) ) είναι < απ την (( + r ) )(τουλάχιστον για μεγάλα έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε ότι οι ποσότητες ( + r ), ( + x ) είναι θετικές) η οποία συγκλίνει στο er σύμφωνα με την πρόταση Άρα το e r είναι ένα άνω φράγμα για την (( + r ) ) άρα και για την (( + x ) ). Πρόταση 5.95 Ας (x ) είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών με όριο το x 0 τότε lim( + x ) e x. Απόδειξη: Η πρόταση είναι προφανής για x = 0. Εστω x > 0. Θεωρούμε την ακολουθία ( + x ) και δύο ρητούς r > q, ε κοντά στο x δηλ. x + ε > r > x > q > x ε > 0 οπότε υπάρχει 0 N ώστε για κάθε 0 να ισχύει r > x > q. Οπότε (+ q ) < (+ x ) < (+ r ). Ομως επειδή (+ r ) e r, (+ q ) e q έχουμε για αρκετά μεγάλα, e q ε < ( + q ) < ( + x ) < ( + r ) < e r + ε. Οπως θα δούμε η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχής, και άρα μπορούμε να πάρουμε τα r, q τόσο κοντά στο x ώστε η απόσταση e r e x να είναι < του ε και όμοια για το e x e q. Οπότε αναγκαστικά έχουμε το ζητούμενο από το κριτήριο παρεμβολής: e x ε < ( + x ) < e x + ε. Παράδειγμα 5.96 Δείξτε ότι η ακολυθία a = ( a ) για a > συγκλίνει στο l a. Λύση: Ως γνωστό η ακολουθία a = a/ / είναι φθίνουσα και προφανώς κάτω φραγμένη από το 0. Άρα έχει καποιο όριο έστω l 0. Οπότε, a l και άρα lim( + a ) e l. Ομως ( + a ) = a και άρα e l = a απ όπου έχουμε το ζητούμενο. 5.6 O arijmìc γ kai oi idiìthtèc tou Πρόταση 5.97 Η ακολουθία a = l είναι φθίνουσα και φραγμένη και άρα συγκλίνει σε κάποιο όριο(περίπου ) που λέγεται σταθερά γάμμα του Euler. Με l, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, συμβολίζουμε το Νεπέριο λογάριθμο δηλ. τον λογάριθμο με βάση το e του Euler. 6 Orismìc tw Pragmatik Arijm Τους πραγματικούς αριθμούς τους φανταζόμαστε σαν όρια φραγμένων ακολουθιών από ρητούς αριθμούς. Φυσικά ένας ρητός r Q είναι όριο για παράδειγμα της σταθερής ακολουθίας ρητών (r ) με r = r. (στον ορισμό 5., το ε είναι οποιοσδήποτε μικρός θετικός ρητός αριθμός). Οπότε κάθε ρητός είναι ένας πραγματικός αριθμός. Ομως αν μας δώσουν μια τυχαία φραγμένη ακολουθία ρητών αριθμών 3

24 (a ) πώς θα μπορέσουμε να βεβαιωθούμε(χρησιμοποιώντας κάποιο απλό και γενικό κριτήριο) ότι πράγματι είναι συγκλίνουσα(σε κάποιο όριο l R) ή διαφορετικά ότι αποκλίνει; Ενα άλλο σοβαρό πρόβλημα είναι ότι, ακόμα και αν διαπιστώσουμε με κάποιο κριτήριο ότι πράγματι η ακολουθία συγκλίνει σε κάποιο όριο, το όριο αυτό να μην μπορεί να περιγραφεί με ένα απλό και κατανοητό τρόπο (βέβαια υ- πάρχουν μερικοί άρρητοι όπως για παράδειγμα το που περιγράφονται με πολύ απλό τρόπο, = ο αριθμός που το τετράγωνο του είναι το ). Οπότε σε τέτοιες περιπτώσεις, ο μόνος τρόπος για να τον περιγράψουμε θα είναι ο εξής ο l είναι το όριο της ακολουθίας (a ) (!) Είναι λοιπόν πολύ σπουδαίο να βρούμε κάποιο ή κάποια γενικά κριτήρια που θα είναι ικανά και αναγκαία ώστε να ελέγχουμε αν μια ακολουθία ρητών είναι συγκλίνουσα ή όχι χωρίς να χρειαστούμε άμεσα να αναφερόμαστε στο ορισμό του ορίου 5. και στο όριο της. Θεώρημα 6. (κριτήριο σύγκλισης του Cauchy) Εστω (a ) μια φραγμένη ακολουθία. Η ακολουθία συγκλίνει αν και μόνον αν για κάθε ε > 0 (το ε μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε μικρός ρητός αριθμός) υπάρχει 0 N έτσι ώστε για κάθε δυο m, 0 ισχύει a a m < ε. Με άλλα λόγια μια ακολουθία είναι συγκλίνουσα ανν είναι Cauchy. Άσκηση 6. Αποδείξτε ότι κάθε μονότονη και φραγμένη (από κάποιον φυσικό M) ακολουθία ρητών αριθμών (x ) είναι αναγκαστικά Cauchy. Για την απόδειξή σας να χρησιμοποιήσετε μόνο απλές ιδιότητες των ρητών αριθμών και όχι κάποια βαριά αξιώματα για τους πραγματικούς αριθμούς όπως για παράδειγμα ότι το σύνολο των R είναι πλήρες δηλ. ικανοποιεί το αξίωμα της πληρότητος. Υπόδειξη: Εις άτοπο απαγωγή δηλ. ισχυριζόμαστε ότι η η(x ) δεν είναι Cauchy. Το μόνο που θα χρειαστούμε για να φτάσουμε στο άτοπο είναι ότι για κάθε ρητό r > 0 υπάρχει κάποιος φυσικός αριθμός m N έτσι ώστε mr > M. Με βάση λοιπόν τον παραπάνω θεώρημα μπορούμε να φανταστούμε ότι ένας πραγματικός αριθμός είναι το όριο κάποιας φραγμένης ακολουθίας Cauchy από ρητούς αριθμούς. Φυσικά μπορεί να υπάρχουν πολλές ακολουθίες ρητών αριθμών που μπορούν να συγκλίνουν στο ίδιο όριο. Για παράδειγμα οι (+/) και ( /). Πώς μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι πίσω απο δύο συγκλίνουσες ακολουθίες ρητών (a ) και (b ) κρύβεται το ίδιο όριο χωρίς να χρειαστεί να το βρούμε; Η απάντηση είναι πολύ απλή: Αν η (a b ) είναι μηδενική ακολουθία τότε συγκλίνουν ακριβώς στο ίδιο όριο, αλλιώς σε διαφορετικό. Επειδή το όριο μιας ακολουθίας Cauchy (x ), ακόμα και αν είναι άγνωστο, είναι μοναδικό θα γράφουμε (x ) x ή lim x = x. Ορισμός (άρρητοι αριθμοί) Εστω (x ) x μια ακολουθία ρητών που συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό x. Ο x θα λέγεται άρρητος αν δεν είναι ρητός αριθμός ή να το πούμε με την ορολογία των ακολουθιών αν δεν υπάρχει καμία ακολουθία ρητών που να συγκλίνει στον x που τελικά να σταθεροποιείται δηλ για κάποιο δείκτη 0 N ( 0 )(x = x 0 ). Ορισμός 3 (πράξεις στους πραγματικούς) Εστω (x ) x μια ακολουθία ρητών που συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό x και (y ) y μια 4

25 ακολουθία ρητών που συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό y. Τότε ορίζουμε x + y := lim(x + y ), x y := lim(x y ), xy := lim(x y ). Για να ορίσουμε τον λόγο x y θα πρέπει επιπλέον y = 0 οπότε στην θέση της (y ) ίσως πρέπει να πάρουμε κάποια άλλη ακολουθία για την οποία είμαστε βέβαιοι ότι υπάρχει θετικός ρητός q έτσι ώστε ( N) y > q. Σε αυτή την περίπτωση ορίζουμε λοιπόν y := lim y, x x y = lim y. Η απόσταση x y των x, y φυσικά ορίζεται ως το lim x y. Ορισμός 4 Λέμε ότι ο x R είναι θετικός και γράφουμε x > 0 αν και μόνον εάν για κάθε ακολουθία ρητών (x ) x υπάρχει κάποιος θετικός ρητός r > 0 και κάποιος δείκτης 0 N, που όλοι οι όροι της με δείκτη μεγαλύτερο ή ίσο του 0 N είναι μεγαλύτεροι του r. Ομοια γράφουμε x < 0 αν και μόνον εάν x > 0. (Επειδή κάθε πραγματικός αριθμός x είναι κάποιο όριο είναι εύκολο να δείξουμε ότι είτε x < 0 ή x > 0 ή x = 0.) Λέμε ότι ο x > y αν x y > 0 που είναι ισοδύναμο με το εξής(γιατι;): αν για κάθε δύο ακολουθίες ρητών (y ) y, (x ) x υπάρχουν κάποιοι ρητοί έστω ο q, p με q > p και κάποιος δείκτης 0 N έτσι ώστε όλοι οι όροι της (y ) με δείκτη μεγαλύτερο ή ίσο του 0 N είναι μικρότεροι του p ενώ όλοι οι αντίστοιχοι όροι της (x ) είναι μεγαλύτεροι του q. Με x = 0 εννοούμε ότι ισχύει είτε x > 0 είτε x < 0 ή με άλλα λόγια για κάθε ακολουθία (x ) με όριο το x υπάρχει κάποιος θετικός ρητός έστω ο q και κάποιος δείκτης 0 N έτσι ώστε ( 0 ) x > q. Με x = y εννοούμε φυσικά ότι x y = 0 ή με άλλα λόγια για για οποιεσδήποτε συγκλίνουσες ακολουθίες ρητών (x ), (y ) στα x και y αντίστοιχα, υπάρχει κάποιος θετικός ρητός q και κάποιος δείκτης 0 N ώστε να ισχύει ( 0 ) x y > q. Άσκηση Δείξτε ότι οι παραπάνω ορισμοί είναι ανεξάρτητοι από το ποιά ή ποιές ακολουθίες χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε τους παραπάνω πραγματικούς. Για παράδειγμα δείξτε ότι εάν (y ) y και (z ) y έτσι ώστε για κάποιους θετικούς ρητούς q, q ισχύει ( N) y > q και ( N) z > q, τότε lim y = lim z. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους ορισμούς μπορούμε να αποδείξουμε όλες τις γνωστές και απλές ιδιότητες που γνωρίζουμε για τους πραγματικούς όπως για παράδειγμα η ιδιότητα αν x > 0 και y > z τότε και xy > xz. Άσκηση Δείξτε ότι αν z, z > 0 και k N τότε z < z ανν z k < z k. Επίσης αν a > και k, k δυο φυσικοί τότε a k < a k ανν k < k. Αν όμως 0 < a < τότε a k > a k ανν k < k Λύση: Εστω z < z οπότε έστω p, q δύο θετικοί ρητοί έτσι ώστε y < p < q < t για 0 όπου (y ) z και (t ) z δυο ακολουθίες θετικών ρητών που συγκλίνουν στα z, z. Οπότε y k < p k < q k < t k και άρα z k < z k. Εστω τώρα ότι (a ) a και a > και a >. Τότε για k < k έχουμε a k < a k οπότε στο όριο a k a k. Αν a k = a k τότε a k = a k+k k οπότε a k k =. Ομως επειδή k k μπορούμε να επαναλάβουμε την παραπάνω απόδειξη και να πάρουμε a k k a = a. Οπότε θα έπρεπε a πράγμα άτοπο. Άρα a k < a k. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε τα υπόλοιπα. 5

26 Άσκηση 3 Δείξτε ότι αν για την ακολουθία ρητών (x ) ισχύει ( N) x + x m όπου m > 0 ένας (σταθερός) φυσικός αριθμός, τότε η ακολουθία (x ) είναι Cauchy και άρα συγκλίνει σε ένα πραγματικό αριθμό x. Αντίστροφα, αν m > x > 0 είναι ένας πραγματικός αριθμός που φράσεται από πάνω από κάποιο φυσικό αριθμό m και ορίζεται με κάποιο τρόπο(π.χ. ώς όριο κάποιας συγκεκριμένης ακολουθίας (ρητών ή) πραγματικών έστω m > y > 0) τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε (με την μέθοδο της διχοτόμησης στο διάστημα 0 έως m) μια ακολουθία ρητών με x = 0 έτσι ώστε (x ) x και επιπλέον να ισχύει ( N) x + x m. Αντίστοιχα δουλεύομε αν m < x < 0 αλλά παίρνουμε το x αντί του x, οπότε αν βρούμε μια κατάλληλη ακολουθία (y ) x με την παραπάνω ιδιότητα τότε η ( y ) x και έχει την ζητούμενη ιδιότητα. Απόδειξη: Εστω > k οπότε x x k x x + x x + + x k+ x m( + + ) m ( + +). Ομως + + = k k k k ( ) και άρα m ( ) 0. Αντίστροφα, αντί της (y k k k ) μπορούμε να πάρουμε στην θέση της κατάλληλη μονότονη υπακολουθία της (y λ ) που ικανοποεί την σχέση y λ+ y λ m (η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτήν του + θεωρήματος 5.85). Οπότε ορίζουμε τα x με την μέθοδο της διχοτόμησης του διαστήματος (0, m) δηλ. x = ο πλησιέστερος από τα αριστερά εκ των 0, m στο y λ, x 3 = ο πλησιέστερος από τα αριστερά εκ των 0, m 4, m 4, 3m 4 στο y λ, x 4 = ο πλησιέστερος από τα αριστερά εκ 0, m 8, m 8, 3m 8, 4m 8, 5m 8, 6m 8, 7m 8 στο y λ3 κ.ο.κ. Η παραπάνω άσκηση είναι πολύ χρήσιμη στην πράξη όπως όταν θέλουμε να κατασκευάσουμε άνα πραγματικό αριθμό (π.χ τη νιοστή ρίζα a ενός θετικού πραγματικού a για N). Άσκηση 4 Να κατασκευαστεί η a ενός θετικού πραγματικού a για N, ως όριο μιας ακολουθίας ρητών. Στην συνέχεια να αποδείξετε τις ιδιότητες των ριζών που γνωρίζετε από το γυμνάσιο. Λύση: Για απλότητα θα πάρουμε μόνο την περίπτωση =. Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της διχοτόμησης του διαστήματος (0, a). Παίρνουμε ως m ένα ακέραιο μεγαλύτερο του a. Παίρνουμε x = 0. x = ο πλησιέστερος από τα αριστερά εκ των 0, m στο a(δηλ. αν 0 < a < ( m ) τότε παίρνουμε x = 0 αλλιώς το m ), x 3 = ο πλησιέστερος από τα αριστερά εκ των 0, m 4, m 4, 3m 4 στο a, κ.ο.κ. Π.χ. αν ( m 4 ) a < ( 3m 4 ) τότε παίρνουμε x 3 = m 4. Για την ακολουθία που κατασκευάσαμε ισχύει x + x m (γιατί;) οπότε είναι Cauchy και άρα συγκλίνει σε κάποιο όριο l. Προφανώς l a. Αν l < m a τότε προφανώς ο l a είναι ένας θετικός αριθμός οπότε υπάρχει κάποια δύναμη του που είναι μεγαλύτερη απ αυτόν π.χ. η k οπότε m < l a και στο διάστημα από το l έως το a θα k υπάρχει κάποιο πολλαπλάσιο του m. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι αυτό αντιφάσκει k με τον ορισμό του x k. Άρα l = a. Η απόδειξη των γνωστών ιδιοτήτων των ριζών δεν είναι τίποτα δύσκολο. Για παράδειγμα ας δείξουμε ότι για a > η a είναι γνησίως αυξουσα και μεγαλύτερη του. Εστω λοιπόν < a < a. Τότε αν a a τότε θα έπρεπε a = ( a ) ( a ) = a άτοπο. Επίσης αφού a > αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κάποιος x k από τους όρους της αύξουσας ακολουθίας (x m ) a που είναι μεγαλύτερος από το (αν δεν ισχύει αυτό θα 6