Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση

Transcript

1 Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση α) Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση λίγο πριν και αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος, Η ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ του διπλανού σχήματος έχει μήκος L=1,2m και μάζα M=4kg και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο με τη βοήθεια άρθρωσης που βρίσκεται στο δεξιό άκρο της. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια καθώς το αριστερό της άκρο Γ είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό σχοινί όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται. Να υπολογιστούν: β) η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν γίνεται η ράβδος γίνεται για 1 η φορά κατακόρυφη. Ομογενής σφαίρα μάζας m=2kg και ακτίνας R= m ισορροπεί ακίνητη σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμ- φανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=. Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η οποία θεωρείται ως t=0, το άκρο της Γ της ράβδου συγκρούεται ελαστικά με σημείο της περιφέρειας της ομογενούς σφαίρας, το οποίο απέχει από το έδαφος απόσταση d=r. γ) Να υπολογιστούν τα μέτρα της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση και της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. δ) Να μελετηθεί η κίνηση της σφαίρας. ε) Το συνημίτονο της μέγιστης γωνίας σε σχέση με την κατακόρυφη που θα διαγράψει η ράβδος μετά την ελαστική της κρούση με την σφαίρα. στ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t 1 που σταματάει η ολίσθηση της σφαίρας στο οριζόντιο επίπεδο. ζ) Να γίνει η γραφική παράσταση ω=f(t) της γωνιακή ταχύτητας της σφαίρας σε συνάρτηση με τον χρόνο από την χρονική στιγμή t=0 έως την χρονική στιγμή t 2 =3,3s, και να βρεθεί ο αριθμός των περιστροφών στην παραπάνω χρονική διάρκεια. Δίνεται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος σε αυτή Ι ρ = και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ι σφ = και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s

2 Λύση: α) Όσο η ράβδος ισορροπεί με τη βοήθεια του νήματος έχουμε: =0 += (1) και () =0 () + () + () =0 0+!=0 = " = #$ =20 (2) Οπότε η (1) γράφεται: F=Mg-N=40-20 &=' Αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος, η ισορροπίας καταργείται. Σκεφτόμαστε ως εξής: Επειδή η ράβδος δεν έχει αρχική γωνιακή ταχύτητα, η αρχική κεντρομόλος επιτάχυνση (= ). *",,- (/) =0 είναι μηδενική, οπότε η δύναμη από την άρθρωση F δεν έχει οριζόντια συνιστώσα, διότι εάν είχε, σε αυτή θα οφειλόταν η κεντρομόλος επιτάχυνση. Άρα, η F αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος θα είναι πάλι κατακόρυφη, αλλά με διαφορετικό μέτρο από αυτό που είχε πριν το κόψιμο του νήματος. Από τον Θεμελιώδη Νόμο της Στροφικής Κίνησης αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος: () =1 () ( 234! 2 =1 3 7! ( 234 = 39 2! 8 234=12,5;8</= Οπότε για την κίνηση του κέντρου μάζας της ομογενούς ράβδου: =78 = ! = ! 2 = ,5 0,6 =' β) Στην ράβδο ασκείται το βάρος της που είναι συντηρητική δύναμη και η δύναμη από την άρθρωση που δεν εκτελεί έργο, οπότε η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ θεωρώντας ως επίπεδο μηδενι- 2

3 κής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου, όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη: C DE +F DE =G HIJ +F HIJ 0+79! 2 =1 2 K ! 2 = L! 0 0=M 39! =M3 10 1,2 N = OPQ/R γ) Από την Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής, και θεωρώντας ότι μετά την κρούση δεν αλλάζει η φορά περιστροφής της ράβδου, παίρνουμε: 10 S =10 +TU >?! 1 3 7! 0 S = 1 3 L! 0 +TU >?! 7! (0 S 0 )=3TU >?! 7!(0 S 0 )=3TU >? (3) Επειδή η κρούση είναι ελαστική, η κινητική ενέργεια του συστήματος ράβδος-σφαίρα λίγο πριν και αμέσως μετά την κρούση παραμένει σταθερή. Οπότε: S = TU >? 1 3 7! 0 S = 1 3 L! 0 +TU >? 7! (0 S 0 )=3TU >? 7! (0 S 0 )(0 S +0 )=3TU >? (4) Με διαίρεση κατά μέλη των (4) και (3) παίρνουμε: Με αντικατάσταση της (5) στην (3) παίρνουμε:!(0 S +0 )=U >? (5) άρα: 7!(0 S 0 )=3T!(0 S +0 ) N = ( ) W+ N (6) 0 = N = OPQ/R το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει ότι μετά την κρούση αλλάζει η φορά περιστροφής της ράβδου, ενώ το μέτρο της γωνιακής της ταχύτητας είναι 1 rad/s. Με αντικατάσταση της (6) στην (5): X Y = W W+ N (5) 3

4 άρα: U >? = ,2 X Y=Z,[ /R δ)αμέσως μετά την κρούση το σημείο επαφής της σφαίρας με το οριζόντιο επίπεδο έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας o, =4,8m/s, δηλ. ταχύτητα με φορά προς τα δεξιά, οπότε στο κατώτερο σημείο εμφανίζεται τριβή ολίσθησης με φορά προς τ αριστερά. Η τριβή επιβραδύνει την μεταφορική κίνηση, ενώ παράλληλα δημιουργεί επιταχύνουσα ροπή περί τον άξονα περιστροφής της σφαίρας προκαλώντας δεξιόστροφη γωνιακή επιτάχυνση. Έτσι, το μέτρο της ταχύτητας αρχίζει να ελαττώνεται και της γωνιακής ταχύτητας να αυξάνεται. Όταν =ωr, η ολίσθηση θα μετατραπεί σε κύλιση(χωρίς ολίσθηση). Από την στιγμή αυτή και μετά η τριβή καταργείται, οπότε η κίνηση της σφαίρας γίνεται ομαλή δηλαδή η μεταφορική είναι ευθύγραμμη ομαλή και η στροφική επίσης ομαλή. ε) Εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ μέχρι την θέση όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στιγμιαία ακινητοποιείται: C DE +F DE =G HIJ +F HIJ 1 2 K 0 +0=0+79h L! 0 =L9! 2 (1 ]^_`?ab )!0 39 =1 ]^_`?ab 1 ]^_`?ab = S, S. c Sd h=! 2! 2 ]^_`?ab efgh Pi =,j h= (1 ]^_`?ab) 4

5 στ) Από τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής ΣF = M a T = M a μ Mg = Mα a = μ g Από τον Θεμελιώδη Νόμο της στροφικής κίνησης: Στ = Ι α γων,σφ Τ R= 2 5 MR 2 a γων,σφ μμg= 2 Μ R a 5 γων, σφ α γων, σφ = 5μ g 2R Η μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη, οπότε η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι: = o, a t = o, μgt Η περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου είναι ομαλά επιταχυνόμενη, οπότε για την γωνιακή ταχύτητα ισχύει: ω σφ = a γων, σφ 5μ g t ω= t 2R Η ολίσθηση γίνεται κύλιση, όταν η ταχύτητα του σημείου Σ γίνει ίση με μηδέν, δηλαδή: Σ o, 5μ g = 0 = ωr o, μgt1= t1 R 2R o, 4,8 ωοr = 3,5μ g t1 t1 = = 3,5μ g 3, t 1 =1,6s ζ) To μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας είναι: ( 234,kl = 5m9 2n =5 6 p p =7,5;8</= 7 Οπότε την χρονική στιγμή t 1 =1,6s, η σφαίρα έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα 0 S,kl =( 234,kl q=7,5 1,6=12;8</= Η οποία από την χρονική στιγμή t 1 και μετά παραμένει σταθερή, οπότε η γραφική παράσταση ω=f(t) θα είναι η παραπάνω: Η συνολική γωνία στροφής της σφαίρας από την χρονική στιγμή t=0 μέχρι t=3,3s, ισούται αριθμητικά με το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν στην γραφική παράσταση ω=f(t): r sj = ,6+12 (3,3 1,6)=9,6+20,4=30;8< Οπότε ο συνολικός αριθμός περιστροφών μέχρι την χρονική στιγμή t 2 είναι: 5

6 = r sj 2v w= x xyz{e z}hέ Επιμέλεια: Πέτρος Καραπέτρος 6