BÀI GIẢNG CHI TIẾT (Dùng cho 75 tiết giảng) Học phần: GIẢI TÍCH II Nhóm môn học: Giải tích Bộ môn: Toán Khoa: Công nghệ Thông tin

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BÀI GIẢNG CHI TIẾT (Dùng cho 75 tiết giảng) Học phần: GIẢI TÍCH II Nhóm môn học: Giải tích Bộ môn: Toán Khoa: Công nghệ Thông tin"

Transcript

1 BỘ MÔN DUYỆT Chủ nhiệm Bộ môn Tô Văn Ban BÀI GIẢNG CHI TIẾT (Dùng cho 75 tiết giảng) Học phần: GIẢI TÍCH II Nhóm môn học: Giải tích Bộ môn: Toán Khoa: Công nghệ Thông tin Tha mặt nhóm môn học Tô Văn Ban Chủ biên: Thành viên: PGS S Tô Văn Ban TS Tạ Ngọc Ánh TS H Đức Mạnh ThS Nguễn Văn Hồng ThS Nguễn Hồng Nam ThS Bùi Văn Định Thông tin về nhóm môn học TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị 1 Tô Văn Ban PGS TS Nguễn Xuân Viên PGS TS 3 Nguễn Đức Nụ Giảng viên chính TS 4 Vũ Thanh Hà Giảng viên chính TS 5 Tạ Ngọc Ánh Giảng viên TS 6 Bùi Văn Định Giảng viên ThS 7 Bùi Hoàng Yến Giảng viên ThS 8 Nguễn Thị Thanh Hà Giảng viên chính ThS 9 Nguễn Văn Hồng Giảng viên ThS 10 Nguễn Thu Hương Giảng viên ThS 11 Đào Trọng Quết Giảng viên ThS 1 Nguễn Hồng Nam Giảng viên ThS Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1408, Nhà A1 (Gần đường HQ Việt) Điện thoại, , bomontoan_hvktqs@ahoocom Bài giảng 1: Hàm số nhiều biến số Chương, mục: 1 Tiết thứ: 1-5 Tuần thứ: 1 Mục đích, êu cầu: Nắm sơ lược về Học phần, các qu định chung, các chính sách của giáo viên, các địa chỉ và thông tin cần thiết, bầu lớp trưởng Học phần Nắm được các khái niệm căn bản về các loại tập mở, đóng, miền trong n Một số kết quả căn bản về giới hạn, liên tục của hàm nhều biến, tương đồng với những khái niệm nà ở hàm 1 biến 1

2 Nắm được khái niệm và thuần thục tính đạo hàm riêng, vi phân của hàm nhiều biến - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: Giới thiệu về môn học và các qu định Chương 1: Hàm số nhiều biến số 11 Giới hạn Liên tục 1 Đạo hàm Vi phân Giới thiệu học phần GIẢI TÍCH II (15 phút) Để thấ bản chất của hiện tượng cũng như mở rộng khả năng đi vào cuộc sống của toán học chúng ta cần nghiên cứu giải tích trong phạm vi nhiều biến Với hàm nhiều biến, nhiều khái niệm và kết quả với hàm một biến không còn bảo toàn mà có những biến thể tinh vi, uển chuển và hứa hẹn những ứng dụng vô cùng rộng lớn GTII - một sự tiếp tục Giải tích I - hướng chủ ếu vào phép tính vi phân, phép tính tích phân của hàm nhiều biến Chúng ta sẽ thấ rất nhiều ví dụ, bài tập liên quan đến thực tiễn cho thấ mảng ứng dụng vô tiền khoáng hậu của lý thuết, đảm bảo sự trường tồn của toán học Các khái niệm, định lý, tính chất thường được phát biểu bằng lời và kết hợp với công thức Chính sách riêng Mỗi lần lên bảng chữa bài tập đúng được ghi nhận, cộng vào điểm quá trình 05 điểm Chữa bài tập sai không bị trừ điểm Sự hiện diện trên lớp: Không đi học 5 buổi sẽ không được thi Tài liệu tham khảo TT Tên tài liệu Tác giả Nb Năm b 1 Giáo trình Giải Tô Văn Ban Nb Giáo dục 01 tích II Giải tích II & III Trần Bình KH và KT Toán học cao cấp Nguễn Đình Giáo dục 007 (T3-) Trí và 4 Bài tập Giải sẵn giải tích, 3 Trần Bình KH và KT Calculus: A R Adams Addison Wesle 1991

3 Complete Course 6 Calculus (Earl Transcendentals), Jon Rogawski WHFreeman and Co 007 Đề Bài tập về nhà GTII (trong tài liệu [1]) Ví dụ: Tự đọc; Bài tập: Chữa trên lớp CHƯƠNG I Bổ trợ: 3(b); 4(a, b, d); 5(a); 8(c,d); 10(a); 1(b); 15; 18(b); 1(b); ; 3(a); 4(a); 30(a); 34(c, g); 35(d, e); 37(a); 39(c); 41(a, e) Chính: 6(a, b, c, d, e); 13(b, c); 4(c); 6(d); 33; 34(f); 35(i, j, k, l); 36(e, f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); VD 117; VD 16A; VD 17; VD 18; VD 19 (i, ii); VD 130; VD 137; VD 139 CHƯƠNG II Bổ trợ: 1(b, d); (b, c); 3(b); 4(a, b); 5(a, c, d); 6(b); 7(d, c); 8(a); 9(d, f); 10(c); 15; 17; 19(b); 0(a, c); 4; 7(a) Chính: 1(e); 5(f); 6(a); 7(e, f); 8(b, d); 9(g); 10(f, g, h); 14(c, d); 19(c); 0(f); 1(c, d); (b, c, e); 3(a, b) VD 11; VD 13; VD5 ; VD 6; VD 7; VD 33; VD 34; VD37 ; VD 40 CHƯƠNG III Bổ trợ: 1(d,e),, 4 5(a), 11, 14(a), 15(a, c), 17(a), 18(d), 19(a, d), (a, e), 6(c), 7(a); 9(a, b), 30 Chính: 7; 8; 14(c); 16(c, d); (d); 4(c, d, e, f, h); 5 VD316 ; VD33 ; VD33 ; VD35 ; VD3 6 ; VD37 ; VD38 ; VD3 9 ; VD331 ; VD33 ; VD 333; VD334 CHƯƠNG IV Bổ trợ: (a); 3(a) 8; 10(e); 1(b); 15(b,c); 18(b); 0(a); 1(d); 3(a); 4(b, e); 6(a, b, d); 8(a, b); 31(c) Chính: 3(b); 10(b, c, d, e); 1(e, f, g); 13(b); 15(f, g); 18(c, d); 19(a, b, c, d, e); 4(e); 6(f, h, i, j); 7(c, d,e); 8(d, e, f, g); 30(d, e, f); 31(b); 3; 33(a, b, c) VD 4 34; VD 435 ; VD 436; VD 448; VD 449; VD 450; VD 451 ; VD 45; VD 453; VD 454((i), (ii)) CẤU TRÚC ĐỀ THI, CÁCH THỨC CHO ĐIỂM Câu số Về phần Số điểm 1 Lý thuết 0 Chương 1: Hàm số nhiều biến số 0 3 Chương : Tích phân bội 0 4 Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt 0 5 Chương 4: phương trinh vi phân 0 Điểm bài thi 10đ 3

4 Điểm quá trình Điểm chuên cần Tổng điểm = điểm chuên cần 10% + điểm quá trình 0% + điểm bài thi 70% Hình thức thi: Thi viết Bầu lớp trưởng lớp học phần Kết quả: Số điện thoại giáo viên: Địa chỉ cần: Webside cần: Danh sách SV (Ít nhất 7 cột kiểm tra sĩ số) 10đ 10đ 10đ Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 11 GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 111 Tập hợp trong n n a Không gian Xét V là tập hợp các bộ n số thực có thứ tự ( 1,, n), i (Hiện thời ta viết đậm các phần tử của V) Trong V đưa vào phép cộng và và phép nhân với vô hướng: (,, ), (,, ),,, 1 n 1 n i i (,, ), 1 1 n n (,, ), 1 n Khi đó V trở thành không gian véc tơ trên ; phần tử của V gọi là véc tơ, đôi khi gọi là điểm * Tích vô hướng Tích vô hướng của hai véc tơ và là một số thực, ký hiệu là, (có tài liệu viết là, ) ác định bởi: 1 1 n n n * Không gian Euclide Không gian véc tơ V có trang bị tích vô hướng n vừa nêu gọi là không gian Euclide n chiều, ký hiệu là Tích vô hướng nêu trên có các tính chất thông thường đã biết ơt phổ thông Khi 0 ta nói hai véc tơ và là trực giao với nhau, và viết * Khoảng cách Khoảng cách giữa ( 1,, n ) và ( 1,, n ) ký hiệu bởi d(, ), ác định theo công thức d(, ) ( ) ( ) 1 1 n n d(, ) ( ) ( ) (11) Khoảng cách nà còn gọi là khoảng cách Euclide, có các tính chất sau đâ: d(, ) d(, ) : tính đối ứng 4

5 Trong d(, ) 0; d(, ) 0 : tính ác định dương d(,) d(,z) d(,z ) : bất đẳng thức tam giác, điểm ha được ký hiệu là (,), trong 3 là (,,z) Đồng nhất điểm M với bộ số (,,z) là toạ độ của nó trong một hệ toạ độ trức chuẩn; tha cho điểm M, ta viết (,,z) ha đầ đủ hơn M(,, z) Khoảng cách (11) chính là khoảng cách thông thường Trong : Điểm M có thể đồng nhất với toạ độ (, ) của nó; tha cho điểm M ta viết (, ), ha đầ đủ hơn M(, ) Trong phần còn lại của chương nà các kết quả được trình bà chủ ếu n trong Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho b Phân loại tập hợp trong ; n Lân cận Cho a lân cận của điểm a (còn gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ), kí hiệu U ( a ), là tập hợp ác định bởi: U ( a) { : d(, a) } Điểm a được gọi là điểm trong của tập hợp E nếu E chứa một hình cầu mở nào đó tâm a: U ( ) E, ( 0) Đồng thời, tập E gọi là một lân cận của điểm a Tập mở Tập hợp E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong của nó Dễ nhận thấ rằng, tập hợp U ( a ) là tập mở Điểm biên Điểm gọi là điểm biên của E nếu trong một -lân cận bất kì của đều chứa ít nhất một điểm thuộc E và một điểm không thuộc E Tập các điểm biên của E kí hiệu là (E), gọi là biên của E Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E; điểm biên của E có thể thuộc E, có thể không thuộc E Tập đóng E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó: E đóng E E E 5

6 (a) (b) (c) (d) Hình 11 (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng, (d) mặt cầu (tập đóng) trong Chẳng hạn, các tập sau đâ là đóng (em Hình 11): + Hình cầu đóng tâm a, bán kính + Mặt cầu đóng tâm a, bán kính Tập bị chặn Tập E được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình cầu mở nào đó chứa nó hình cầu đóng nào đó chứa nó hình cầu đóng tâm O chứa nó Tập compắc Tập đóng và bị chặn được gọi là tập compact Miền Mỗi tập mở là một miền mở Miền mở cùng với biên của nó gọi là miền đóng Miền mở, miền đóng gọi chung là miền Miền mà từ điểm bất kỳ của nó có thể nối với nhau bởi một đường gẫ khúc nằm hoàn toàn trong miền gọi là miền liên thông nữa Sau đâ, khi đã quen, ta không còn phải viết chữ đậm cho phần tử của Ví dụ 11 Cho các tập hợp sau đâ trong (em Hình 1): D 1 {(, ) : a b, c d} : tập hợp mở (Không chứa biên) D {(, ) : a b, c d} : Không mở, không đóng D 3 {(, ) : a b, c d} : tập hợp đóng (chứa biên) Người ta còn dùng ký hiệu tích Descartes để chỉ các hình chữ nhật đó: D 1 được ký hiệu bởi (a, b) (c, d),, D 3 bởi [a, b] [c, d] # n 6

7 A B A B A B d d d Hình 1 Hình chữ nhật trong 11 Hàm nhiều biến số 7 n a Định nghĩa Cho D Ánh ạ f : D (,, ) f () f (,, ) 1 n 1 n được gọi là hàm số trên D D: tập ác định, f: hàm số; : biến số (ha đối số) Lưu ý rằng biến số có n thành phần, mỗi thành phần em như một biến độc n lập (cho nên hàm số trên ha được gọi là hàm nhiều biến) u D 1 D D 3 c c c D C D C D C b Các phương pháp biểu diễn hàm số ( ) Biểu diễn bằng biểu thức giải tích Biểu diễn bằng đồ thị Sử dụng các đường (đồng) mức Bảng dữ liệu 113 Giới hạn của hàm nhiều biến a Giới hạn của dã điểm Ta nói dã điểm {u n} {( n, n )} hội tụ đến u 0 ( 0, 0) nếu lim d(u,u ) 0 (1) n n 0 Khi đó ta viết lim ( n, n ) ( 0, 0), ha đơn giản lim u n u 0 hoặc n n u (khi n ) n 0 a b a b a b Giới hạn của dã điểm tương đương với giới hạn của từng tọa độ: lim (, ) (, ) lim ; lim (13) n n 0 0 n 0 n 0 n n n * Điểm giới hạn (điểm tụ) Điểm a được gọi là điểm giới hạn của tập n D nếu có một dã {u n} các phần tử khác a của D hội tụ đến a b Giới hạn của hàm số Định nghĩa Cho hàm số f(u) ác định trên D và a ( 0, 0) là một điểm giới hạn của D Ta nói hàm f(u) có giới hạn khi u dần đến a nếu: 0, 0, sao cho u D, 0 d(u,u 0) f (u) (14) Khi đó ta viết lim f (u) ha f (u) khi u a u a

8 Để đầ đủ, ta còn viết lim f (, ) (ha f (, ) khi (, ) (, )) (15) (,) ( 0, 0) 0 0 Định lý 11 Hàm f(u) có giới hạn khi u dần đến a khi và chỉ khi {u } D; u a; lim u a lim f (u ) (16) n n n n n n Hệ quả Nếu lim f (u) thì với u (,) dần đến a ( 0, 0) theo một u a đường cong tuỳ ý trong D, f(u) dần đến Hình 15 Điểm dần đến ( 0, 0) theo những đường khác nhau Lưu ý Các kết quả thông thường đối với giới hạn của hàm 1 biến như giới hạn của tổng, hiệu, định lý kẹp vẫn còn đúng cho giới hạn của hàm nhiều biến Ví dụ 14 Tìm giới hạn i) 1 lim ( )sin (, ) (1,0) ; ii) 8 1 lim ( )sin (, ) (0,0) 1 Giải i) lim ( )sin sin1, 1,0 ii) Hàm số ác định trên /{(0,0)} Ta có 0 f (, ) 0 (khi (, ) (0,0) Theo định lí kẹp, lim f (, ) 0 lim f (, ) 0 (, ) (0,0) (, ) (0,0) Định nghĩa giới hạn vô hạn tương tự như với hàm một biến Chẳng hạn khi (, ) (0,3) ; e 1 z 114 Sự liên tục của hàm số khi (,,z) (0,0,0) # Cho hàm số f (, ), (, ) D, trong đó D là tập tuỳ ý của và ( 0, 0) D là điểm giới hạn của D Ta nói f(, ) liên tục tại ( 0, 0) nếu lim f (, ) f (, ) (17) (, ) ( 0, 0) 0 0 Giả sử a ( 0, 0) D, u (, ) (0, 0 ) D Đặt f f (0,0 ) f ( 0, 0)

9 Khi đó hàm số f(u) liên tục tại ( 0, 0) khi và chỉ khi lim f 0 (18) (, ) (0,0) * Hàm f(,) được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm (, ) D 0 0 Lưu ý Các định lí về tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến gần như vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến Chẳng hạn Định lý 1 Hàm f(,) liên tục trên tập đóng, giới nội D thì bị chặn trên đó và đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: ( 1, 1), (, ) D để f (, ) m Min f (, ); f (, ) M Ma f (,) 1 1 (,) D (,) D Định lý 13 Hàm f(,) liên tục trên tập đóng, giới nội thì liên tục đều trên đó, tức là với mọi 0, tìm được số sao cho với (, ), (, ) D mà d((, ), (, )) thì f (, ) f (, ) (, ) (0,0) Ví dụ 15 Cho hàm số u f, 0 (, ) (0,0) Rõ ràng hàm liên tục tại mỗi điểm ( 0, 0) (0,0) (vì là thương hai hàm liên tục, mẫu khác 0) Tại ( 0, 0) (0,0), theo bất đẳng thức Cauch 1 ( ) ( ) 0 ( ) Trường hợp 1: 1 1 lim f (, ) ( lim d(u,0) 1)/ 0 f (0,0) (,) (0,0) u0 Vậ f(,) liên tục tại (0,0) Trường hợp : 1 Xét (, ) (0,0) theo đường = 1 f, f, 0 khi 0 Vậ f(,) không 1 liên tục tại (0,0) # 1 ĐẠO HÀM - VI PHÂN 11 Đạo hàm riêng Định nghĩa Cho hàm số z f (,) ác định trong tập mở D, lấ điểm M 0( 0, 0) D Cố định 0 thì f (, 0) là hàm một biến Nếu hàm nà có đạo hàm tại 0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của hàm 9

10 z f (, ) theo biến (biến thứ nhất) tại điểm M 0( 0, 0), kí hiệu bởi một trong các cách sau: z( 0, 0) f ( 0, 0) z ( 0, 0), f ( 0, 0),, Như vậ, cho đủ nhỏ sao cho (0, 0) D Đặt: z f (0, 0) f ( 0, 0) gọi là số gia riêng của hàm số z f (, ) đối với biến tại ( 0, 0) Khi đó f ( 0, 0) z lim 0 0 ( 0, 0) (0, 0) O 0 0 Hình 16 Cách lập số gia riêng của hàm số Đạo hàm riêng theo biến tại ( 0, 0), kí hiệu là f ( 0, 0) z ( 0, 0) f ( 0, 0), z ( 0, 0), ha n 3: định nghĩa tương tự Qu tắc Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta chỉ việc coi các biến khác không đổi, rồi lấ đạo hàm theo biến đó như lấ đạo hàm với hàm một biến Ví dụ 17 Tính các đạo hàm riêng của hàm số i Giải i ii z, ( 0) ii z 1 z ; ln z arctan, ( 0) z 1 1 z 1 ; 1 ( / ) 1 ( / ) 1 Vi phân của hàm nhiều biến Định nghĩa Cho hàm số z f (,) ác định trong tập mở D Trong D lấ các điểm (, ), (, ) (, ) Biểu thức f f (, ) f ( ) được gọi là số gia toàn phần của hàm f(,) tại ( 0, 0) Nếu số gia f có thể biểu diễn dưới dạng 10 #

11 f A B (19) trong đó A, B là những hằng số không phụ thuộc vào, (chỉ phụ thuộc vào (, ) ), (, ) 0, (, ) 0 khi 0 vµ 0 thì ta nói: Hàm số f(,) khả vi tại ( 0, 0) ; + Biểu thức A B gọi là vi phân toàn phần của hàm z tại ( 0, 0) (ứng với số gia, của đối số, tương ứng), kí hiệu là dz( 0, 0) ha df ( 0, 0) Như vậ, dz( 0, 0) A B * Hàm số z f (, ) gọi là khả vi trên D nếu nó khả vi tại mọi điểm của D Tính chất Nếu f(,) khả vi tại ( 0, 0) thì liên tục tại đó CM: f A B 0 khi, 0 Vậ hàm liên tục tại ( 0, 0) Định lí 15 Cho hàm f(,) ác định trong tập mở D và ( 0, 0) D (i) (Điều kiện cần để hàm khả vi) Nếu f(,) khả vi tại điểm ( 0, 0 ) thì tồn tại các đạo hàm riêng f ( 0, 0), f ( 0, 0) Các hằng số A, B trong định nghĩa vi phân cho bởi A f ( 0, 0), B f ( 0, 0) ; nói cách khác, df (, ) f (, ) f (, ) (ii) (Điều kiện đủ để hàm khả vi) Nếu hàm số z f (, ) có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận của điểm ( 0, 0) thì khả vi tại đó và dz(, ) f (, ) f (, ) (110) Chứng minh (i) Từ giả thiết, f A B Xét 0 const thì 0 và f f A Do đó: f A f ( 0, 0) lim lim A 0 0 ' Tương tự, f ( 0, 0) B (ii) Với, đủ nhỏ thì f f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến dẫn đến f f (, ) f (, ) trong đó 0 1 1; Vì f, f liên tục tại ( 0, 0 ) nên 11

12 f f ( 0, 0) f ( 0, 0) trong đó 0, 0 khi 0, 0 f f (, ) f (, ) (đpcm) Vậ Chú ý Giống như trường hợp một biến, nếu, là biến độc lập thì d ; d Từ đó, df (, ) f (, )d f (, )d Hệ quả Nếu f (, ), f (,) liên tục trong tập mở D thì f (,) f (, ) df (, ) d d (111) Ví dụ 18 Xét sự khả vi và tính vi phân dz(,), dz(0,1) (nếu có) của các 3 3 hàm số z 3 z z Giải 3 3, 3 3, là những hàm liên tục trên Vậ hàm số là khả vi trên và dz 3[( )d ( )d] dz(0,1) 3d 3d 3( d d) # Chú ý Đối với hàm nhiều biến, sự tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm bảo để hàm số khả vi Xét ví dụ sau Ví dụ 19 (tài liệu [1]) # Ứng dụng vi phân để tính gần đúng Nếu đặt, (ha, ), từ định nghĩa vi phân ta có z f (, ) f (, ) 0 0 f (, )( ) f (, )( ) ( ) ( ) f (, )( ) f (, )( ) df (, ) Dẫn đến công thức ấp ỉ f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) ( f ( 0, 0) df ( 0, 0) ) (11) Công thức nà cho phép tính giá trị gần đúng của hàm số dùng vi phân Vế phải là biểu thức tuến tính của các biến, nên công thức cũng có tên là ấp ỉ tuến tính của hàm f tại lân cận điểm ( 0, 0) 1

13 Hình 17 Ý nghĩa hình học của vi phân Giống như trường hợp một biến, khi áp dụng công thức (11) để tính giá trị ấp ỉ của biểu thức A nào đó chúng ta phải: + Xác định dạng hàm f, + Xác định điểm ( 0, 0), ở đó dễ tính (hoặc có sẵn) f ( 0, 0), các đạo hàm riêng f ( 0, 0), f ( 0, 0), + Xác định các số gia, ; các số gia nà phải đủ bé Ví dụ 110 Tính ấp ỉ 1,0 A arctan 0,95 Các bạn hã trả lời câu hỏi giá như? ( 0, 0) Giá trị lẻ thứ nhất Giá trị lẻ thứ hai Giải Xét hàm số } Dạng hàm f(,) z arctan tại lân cận điểm (1,1) 1 1 z 1,1, 1,1 1 1, z 1,1 1,1 1 1,1 Su ra A z1 0,05;1 0,0 z1,1 ( 1/ ) 0,05 (1/ ) 0,0 0,035 0, 785 0,035 0,80 (Giá trị đúng A 0,809 ) # 4 13

14 Công thức (11) được áp dụng hiệu quả để tính sai số của đại lượng đo b) Thảo luận - Về tập mở, đóng, biên, bị chặn, com pắc, liên thông, miền mở, miền đóng, miền - Sự giống, khác nhau của hàm 1 biến, nhiều biến c) Tự học - Định nghĩa giưới hạn hàm số, - Định nghĩa liên tục, liên tục đều - Định nghĩa vi phân theo biến d) Bài tập chuẩn Bài 6, (Chương I) bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1], tr Chú ý: Bài tập về nhà cho cả chương CHƯƠNG I Bổ trợ: 3(b); 4(a, b, d); 5(a); 8(c,d); 10(a); 1(b); 15; 18(b); 1(b); ; 3(a); 4(a); 30(a); 34(c, g); 35(d, e); 37(a); 39(c); 41(a, e) Chính: 6(a, b, c, d, e); 13(b, c); 4(c); 6(d); 33; 34(f); 35(i, j, k, l); 36(e, f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); VD 117; VD 16A; VD 17; VD 18; VD 19 (i, ii); VD 130; VD 137; VD

15 Bài giảng : Hàm số nhiều biến số (tiếp) Chương, mục: 1 Tiết thứ: 6-10 Tuần thứ: Mục đích, êu cầu: Kiểm tra kiến thức, rèn luện kỹ năng tính Giới han và ét tính liên tục Nắm được khái niệm và biết cách tính ĐH hàm hợp, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm theo hướng, ý nghĩa ĐH theo hướng - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: Chữa bài tập phần Giới han Liên tục 1 Đạo hàm Vi phân ĐS 6 a) Continuous, discontinuous, C; b) D; c) C; d) D; e) C 1 ĐẠO HÀM - VI PHÂN 13 Đạo hàm riêng của hàm hợp F(, ) f (u(, ), v(, )), (, ) D Tính chất Hợp của các hàm liên tục là hàm liên tục f f Định lí 16 Giả sử hàm f (u,v) có các đạo hàm riêng, liên tục trong u v u u v v, các hàm u(, ), v(, ) có các đạo hàm riêng,,, liên tục trong F F D Khi đó trong D tồn tại các đạo hàm riêng, và F F u F v, u v F F u F v u v (113) Để tiện kí hiệu, ta không phân biệt f và F khi tính đạo hàm riêng, vậ f f u f v f f u f v, u v u v Xem CM trong [1] Chú ý i) Trường hợp z f (u(, )) thì 15

16 z df (u(, )) u(, ) z df (u(, )) u(, ) ; (114) du du ii) Trường hợp z f (,), () z f (, ()) (hàm một biến) thì dz f f d (115) d d iii) Trường hợp z f (, ), (t), (t) z f ((t), (t)) thì dz f d f d dt dt dt (116) iii) Trường hợp z f (u, v, w) thì f f (u(, ),v(, ),w(, )) Lúc đó f f u f v f w, u v w f f u f v f w u v w (117) u u(, ) iv) Cho phép đổi biến biến mỗi điểm (, ) D thành điểm v v(, ) (, ) (u(, ), v(, )), ma trận u v J u v gọi là ma trận Jacobi của phép đổi biến u u(,), v v(, ) Định thức của ma trận J gọi là định thức Jacobi ha Jacobian của phép đổi biến, ký hiệu là D(u,v) D(,) : D u,v D, u det v u (118) v Nhận ét ký hiệu: Các biến tham gia ở tử: Chỉ hàm số Các biến tham gia ở mẫu: Chỉ đối số Ví dụ 11 Tính đạo hàm của hàm số hợp i) Giải i) z ln(u v ) với u, v / ; ii) z e ln( ) z z u z v u v 1 ; u v u v u v z z u z v u v ( 1) u v 4 u v u v ( 1) 4 16

17 ii) Thực ra, khi đạo hàm ta không cần viết ra các hàm trung gian u, v, w, nên viết trực tiếp theo các biến cuối cùng,, z # Sự bất biến dạng của vi phân Xét z f (u,v), u, v là hai biến độc lập Khi đó f f dz du dv (*) u v Vẫn ét z f (u,v) nhưng với u, v là biến phụ thuộc: u u(, ), v v(, ) z f (u(, ),v(, )) Áp dụng (*): Từ chỗ f f dz d d f f u f v,, tha vào được u v f u f v f u f v dz d d u v u v f u f f v v d d d d u v f f du dv (**) u v Như vậ công thức (**) cùng dạng với (*) Ta nói: Vi phân cấp một bất biến dạng (có cùng dạng (*) dù là biến độc lập ha biến phụ thuộc) Áp dụng Nếu u u(, ), v v(, ) là các hàm khả vi thì d u v du dv; d(uv) udv vdu; u vdu udv d ; df (u) f (u)du (119) v v Các công thức nà đúng cho u, v là biến độc lập nên đúng cho u, v là biến phụ thuộc Ví dụ 113 Tính vi phân của các hàm số sau Giải i) i) z arc sin ; ii) z arc tan ( ) d d ( d d) dz d 1 17

18 ii) 1 1 dz d( ) ( d d) 4 1 ( ) 1 14 Đạo hàm hàm số ẩn a Khái niệm (*) Cho trước một hệ thức giữa hai biến và : F(,) = 0 (10) Nếu với mọi giá trị 0 trong một khoảng nào đó, có một (hoặc một số) giá trị 0 sao cho F( 0, 0) 0 thì ta nói rằng hệ thức (10) ác định một (hoặc một số) hàm ẩn theo : () trong khoảng ấ Vậ hàm số f () được ác định một cách ẩn bởi hệ thức (10) nếu khi thế f () vào (10), ta được đồng nhất thức: f (,()) 0 Ví dụ a 1, b a a và b 18 a a, b ( a, a) Ta nói hệ thức 1 ác định hàm ẩn trong khoảng ( a, a) a b Không phải lúc nào cũng tìm được biểu thức tường minh Chẳng hạn, ta không thể giải qua ha qua từ biểu thức 1 (, 0), mặc dầu tồn tại mối quan hệ hàm (ẩn) từ ràng buộc nà Hàm ẩn vừa nói từ 1 ràng buộc, ràng buộc có biến Mở rộng: Từ 1 (, 3) ràng buộc, các ràng buộc có nhiều biến Chẳng hạn * Hệ hai phương trình F(,,z,u,v) 0 G(,,z,u, v) 0 Nếu từ đâ có thể giải ra được một (hoặc một số) cặp hàm u u(,,z) v v(,,z) (1) (13) ác định trong một miền G nào đó, sao cho khi tha vào (1) ta nhận được những đồng nhất thức, thì ta nói (1) ác định một (hoặc một số) cặp hàm ẩn u, v của 3 biến,, z Nói chung, khi n biến độc lập được liên kết với nhau bởi m ràng buộc (0 m n), thì có nhiều nhất m biến trong chúng là hàm của các biến còn lại b Cách tính đạo hàm hàm ẩn Định lí 17 Định lý tồn tại và khả vi của hàm ẩn: Xem [1] Giả sử các điều kiện của Định lí 17 thoả mãn, tha = f() vào (10) thì F(, ()) 0 với mọi đủ gần 0 Lấ đạo hàm vế theo : F F (, ()) F (, ()) () 0 (,()), F (, ())

19 ha viết gọn: F d() d F CÁCH NHỚ! (14) Định lí 18 Cho F(,,z) là hàm ba biến ác định trên tập mở G, ( 0, 0,z 0) G sao cho F( 0, 0,z 0) 0 Giả sử rằng hàm F liên tục và có các đạo hàm riêng F, F, Fz liên tục tại lân cận ( 0, 0,z 0) Hơn nữa, giả sử rằng F z ( 0, 0,z 0) 0 Khi đó tồn tại hàm ẩn z z(, ) tại một lân cận của ( 0, 0), liên tục, khả vi liên tục tại lân cận ( 0, 0) và z( 0, 0) z0 Để tính các đạo hàm riêng của z(,), ta tha z z(, ) vào (11): F(,,z(,)) 0 với mọi (,) trong lân cận ( 0, 0) Lấ đạo hàm hai vế theo biến, rồi theo biến ta được F F z 0 z F F z 0 z Do Fz 0, điều nà dẫn đến F F z z, CÁCH NHỚ! (15) F F z z Ví dụ 114 Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn z z(, ) ác định từ phương trình Giải z 3 F(,,z) e z 1 0 z F, F z e 3z z z F # F z e 3z 15 Đạo hàm theo hướng - Gradient Bổ đề là véc tơ đơn vị (cos, cos, cos ), (,, lần lượt là góc hợp bởi với các tia O, O, Oz ) Định nghĩa Cho hàm u(,,z) ác định trong tập mở M (,,z ) D, (a,b,c) là véc tơ đơn vị Nếu hàm một biến F(t) u(0 ta, 0 tb, z0 tc) 19 z 3 3 D, có đạo hàm tại t 0 thì F (0) được gọi là đạo hàm theo hướng của hàm u( u(,,z) tại M 0, kí hiệu là 0, 0, z 0) u(m (ha 0) )

20 Bâ giờ lấ i (1, 0,0) là véc tơ đơn vị của trục O thì F(t) u(0 t, 0,z 0), F (0) u ( 0, 0,z 0) Vậ: Đạo hàm theo hướng i bằng đạo hàm riêng theo biến : Tương tự, u u u u, j k z u u i * Lưu ý rằng t 0 M M0 theo hướng Vậ, đao hàm theo hướng biểu thị tốc độ biến thiên của hàm số theo hướng đó Định nghĩa Nếu không là véc tơ đơn vị ( 1 ), gọi 0 là véc tơ đơn vị của ; đặt u u 0 Chúng ta có thể tự hiểu đạo hàm theo hướng trong Định lý 110 Nếu hàm số u tại đó có đạo hàm theo mọi hướng và u(,,z) khả vi tại điểm M 0( 0, 0,z 0) thì u(m 0) u(m 0) u(m 0) u(m 0) cos + cos cos z trong đó,, là góc tạo bởi với các trục O, O, Oz Chứng minh Vì u(,,z) khả vi tại M 0 nên F(t) F(0) 1 u( 0 t cos, 0 t cos,z 0 t cos ) u( 0, 0,z 0 ) t t 1 [u (M ) t cos 0 u (M ) t cos u (M ) t cos 0 0 t P t cos Q t cos R t cos ] trong đó P, Q, R 0 khi t 0 (19) Qua giới hạn khi t 0 ta được đpcm Hệ quả u u ( ) * Gradient Định nghĩa Gradient của hàm u tại M 0 là véc tơ, ký hiệu bởi grad u(m 0), ác định như sau u(m 0) u(m 0) u(m 0) grad u(m 0),, (130) z (Giả sử các ĐHR tồn tại) u(m Như vậ: 0) u(m 0) u(m 0) grad u(m 0) i j k z 0

21 Hệ quả Cho u(,,z) khả vi tại M 0( 0, 0,z 0) Khi đó u(m (i) 0) grad u(m 0) ; u(m (ii) 0) grad u(m 0) grad u(m 0) (131), (i) trực tiếp su ra từ (19) Chứng minh (cos, cos,cos ) Ta nhận được (ii) từ chỗ grad u(m ) grad u(m ) cos grad u(m ), Hệ quả Cho u là hàm khả vi tại M 0 Giá trị cực đại của đạo hàm theo u(m hướng 0) là grad u(m 0) (u ) (u ) (u z ), ả ra khi cùng chiều với gradu(m 0) grad u(m 0) là hướng mà theo đó, tại M 0 hàm số biến thiên nhanh nhất: + Theo hướng grad u : Hàm tăng nhanh nhất; + Theo hướng -grad u : Hàm giảm nhanh nhất Nếu u(,,z) là nhiệt độ của chất điểm M(,,z) thì: Khi di chuển theo hướng grad u, chất điểm đến chỗ ấm hơn nhanh nhất; Theo hướng ngược lại, sẽ đến chỗ lạnh hơn nhanh nhất u Ví dụ 115 Cho hàm số u z 3z ; tính grad u và tại M0 1, 1 biết là véc tơ đơn vị của M0M1 với M1,0,1 u 3 3z Giải u 3 3z grad u 3( z, z, z ) u z 3z 3 + grad u(m 0) 3( 1,3,3) M + 0M 1 (1,, ) 1 M0M1 1,,,, M0M u(m 0) 1 grad u(m 0) u(m Su ra 0) grad u(m 0) grad u(m 0) 3 19 Dấu = ả ra khi grad u(m 0) # 1

22 Chữa bài tập (1 tiết) 13(b, c); 4(c); 6(d); 33 b) Thảo luận - Sự giống, khác nhau của d; d - Nhắc lại các công thức vi phân hàm ẩn - Đưa ra 1 hàm mà bạn thích, tính grad tại điểm tổng quát, tại điểm đặc biệt c) Tự học - Chuẩn bị cho bài mới: Đạo hàm, vi phân cấp cao, CT Talor d) Bài tập chuẩn Các bài tập còn lại bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1], tr

23 Bài giảng 3: Hàm số nhiều biến số (tiếp) Chương, mục: 1 Tiết thứ: Tuần thứ: 3 Mục đích, êu cầu: Kiểm tra kiến thức, rèn luện kỹ năng tính đạo hàm riêng, vi phân, đạo hàm hàm ẩn, đạo hàm theo hướng Nắm được ĐL Schwarz về đổi thứ tự lấ ĐH khi tính ĐH riêng cấp cao Thuần thục tính vi phân cấp của hàm, 3 biến Nắm được QT tìm cực trị của hàm, 3 biến Xử lý trong trường hợp đặc biệt Nắm chắc phương pháp nhân tử Lagrange để tìm CT điều kiện Tìm được GTLN, GTNN của một số hàm đơn giản - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: Chữa bài tập phần Đạo hàm Vi phân 1 Đạo hàm Vi phân 13 Cực trị 14 Giá trị LN, NN 1 ĐẠO HÀM - VI PHÂN 16 Đạo hàm và vi phân cấp cao Định nghĩa Giả sử f (,), f (, ) tồn tại trong tập mở D Như vậ, các đạo hàm riêng cấp một là những hàm số Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một, nếu tồn tại, gọi là đạo hàm riêng cấp hai Có 4 đạo hàm riêng cấp hai: f f f f f (, ), f (,), f f f f f (, ), f (, ) Cứ thế ta định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn Ví dụ 116 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z ln 3

24 z ln( ), z 3 ( ) z ln( ), z, z ( ) ( ) ( ) Định lí 111 (Schwarz) Nếu trong một lân cận của điểm ( 0, 0) tồn tại các đạo hàm riêng hỗn hợp f (, ), f (, ) và các đạo hàm riêng nà liên tục tại ( 0, 0) thì chúng bằng nhau tại ( 0, 0) : f (, ) f (, ) (13) Như vậ, với các điều kiện của định lý, đạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự lấ đạo hàm Định lý còn đúng cho trường hợp số biến n 3 cũng như cấp các đạo hàm riêng hỗn hợp 3 Vi phân cấp cao Giả sử ta đã tính được vi phân cấp một df f d f d Vi phân của df - khi coi d, d là những hằng số - nếu tồn tại, được gọi là vi phân cấp hai của z, kí hiệu d f : d d f d(df ) d(f d f d) (133) Cứ như vậ, ta định nghĩa vi phân cấp cao hơn Công thức tính Khi, là những biến độc lập, các số gia d, không phụ thuộc vào, Giả sử tồn tại d f d(df ) d(fd fd) (f d f d) d (f d f d) d f (d) (f f )d d f (d) 4 d f thì Giả sử f, f liên tục, khi đó chúng bằng nhau Vậ d f f (d) f d d f (d) (134) Công thức tượng trưng d f d d f Tương tự n # (135) n d f d d f (136) Xả ra công thức tương tự cho hàm nhiều biến hơn, d f (,,z) d d dz f z f f d d f f f f dz dd ddz ddz z z z

25 Nếu, không là biến độc lập thì giống trường hợp một biến, bất biến dạng không còn đối với vi phân cấp cao Ví dụ 117 Cho z là hàm của, ác định từ ln z 1 Tính z dz,d z Giải Có thể tính các đạo hàm riêng rồi tha vào công thức tính vi phân Song cách sau đơn giản hơn Giả sử z 0, vi phân vế phương trình đã cho, dùng (119) thu được: zd dz dz zd z z zd dz zdz z d 0 z(d zd) dz z 0; z ( z) Vi phân hai vế (*) rồi rút gọn dẫn đến: z (d d) d z 3 ( z) (*) # 17 Công thức Talor Định lí 11 Giả sử hàm z f (, ) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n 1 trong một -lân cận nào đó của điểm M 0( 0, 0) Giả sử M(0, 0 ) cũng thuộc -lân cận đó Khi đó ả ra đẳng thức 1 1 f (0, 0 ) f ( 0, 0) d f ( 0, 0) d f ( 0, 0)! 1 n 1 (n1) d f ( 0, 0) d f (0, 0 ), n! (n 1)! (0< < 1) (137) Khi dùng lũ thừa tượng trưng, ta có thể viết lại (137) dưới dạng n 1 f (M) f (M ) f (M ) ha viết phần dư dạng Peano: 0 0 k1 k! k n1 1 f (M 1) n 1! ( M 1 thuộc đoạn M0M 1) n 1 f (M) f (M ) f (M ) 0 0 k1 k! + n k (138) (, ) (139) với lim (, ) 0 (, ) (0,0) 5

26 Đặc biệt, với n = 1 ta được công thức số gia giới nội cho hàm nhiều biến f (M 1) f (M 1) f (M) f (M 0) M 1 là điểm trên đoạn thẳng MM 0 Chứng minh (Xem [1]) 13 CỰC TRỊ 131 Cực trị địa phương của hàm nhiều biến (140) Định nghĩa z f (, ), (, ) D, M 0( 0, 0) là một điểm trong của D Giả sử U là một lân cận đủ nhỏ của M 0 * M U mà f (M) f (M 0) thì: M 0 gọi là điểm cực tiểu của hàm f(,); Hàm f(,) được gọi là đạt cực tiểu tại M 0, f (M 0) gọi là giá trị cực tiểu * Tương tự với cực đại Điểm cực tiểu, cực đại gọi chung là điểm cực trị; giá trị cực đại, giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị z O 0 0 D M 0 Hình 18 Cực trị địa phương của hàm biến Ví dụ 118 Xét cực trị hàm số z 4 7 G z ( 1) ( ) Dấu bằng đạt được 1, Vậ ( 1, ) là đểm cực tiểu của hàm số đã cho, zct z( 1, ) # Định lí 113 (Điều kiện cần của cực trị) Giả sử hàm số z f (, ) đạt cực f (M trị tại M 0( 0, 0), và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng 0) f (M 0), Khi đó f (M 0) f (M 0) 0 (141) 6

27 Chú ý * Điều ngược lại không đúng Cụ thể là: Có thể tại ( 0, 0), cả hai đạo hàm riêng triệt tiêu ( f f 0), nhưng hàm số không đạt cực trị tại ( 0, 0) * Ta chỉ việc tìm cực trị tại những điểm tại đó: + f f 0: điểm dừng + Hoặc ít nhất một trong các đạo hàm riêng } điểm tới hạn (nghi ngờ CT) Định lí 114 (Điều kiện đủ của cực trị) Cho D là một tập mở của Giả sử hàm hai biến z f (, ), (, ) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng ( 0, 0) D Coi vi phân cấp hai f ( 0, 0) f ( 0, 0) f ( 0, 0) o o d f (, ) d d d d là dạng toàn phương của các biến d, d i) Nếu d f ( o, o) ác định dương thì f đạt cực tiểu tại M 0 ii) Nếu d f ( o, o) ác định âm thì f đạt cực đại tại M 0 iii) Nếu d f ( o, o) đổi dấu thì M 0 không là điểm cực trị Lưu ý Nếu d f (, ) su biến (tồn tại d, d không đồng thời bằng 0 để d f (,,z ) 0 ) thì chưa có kết luận Chứng minh ( ) (Xem tài liệu [1]) Nhận ét Đặt o o f (M ) f (M ) f (M ) A, B, C, B AC (14) A B Ma trận của dạng toàn phương d f ( o, o) là B C Từ Đại số tuến tính ta biết rằng dạng toàn phương ác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó dương; ác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính đổi dấu, định thức con chính thứ nhất âm Từ đó Định lý 114' Giả sử ả ra các giả thiết của Định lý 114 Khi đó i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại M 0 ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại M 0 iii) Nếu 0 thì M 0 không là điểm cực trị 7

28 Hình 19 Điểm ên ngựa Lưu ý Khi 0, chưa có kết luận: Hàm f có thể đạt, cũng có thể không đạt cực trị tại M 0 Để tiện lợi, người ta gọi điểm M 0 ở trường hợp iii) là điểm ên ngựa (saddle point) (em Hình 19a, b), dù rằng thực ra tình huống như ở Hình 19a mới đáng gọi là như thế Tổng quát cho trường hợp số biến lớn hơn 3 Định lí 115 Cho D là một tập mở trong Giả sử hàm z f (,, z), (,,z) D có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng M 0( 0, 0, z 0) D, tại đó f ( 0, 0,z 0) f ( 0, 0,z 0) f ( 0, 0, z 0) 0 (143) z Xét dạng toàn phương của các biến d, d, dz d f ( 0, 0,z 0) d d dz f ( 0, 0,z 0) z Khi đó, trị Nếu d f ( 0, 0, z 0) ác định dương thì ( 0, 0,z 0) là điểm cực tiểu; Nếu d f ( 0, 0,z 0) ác định âm thì ( 0, 0,z 0) là điểm cực đại; Nếu d f ( 0, 0,z 0) không ác định thì ( 0, 0,z 0) không là điểm cực Ví dụ 119 Xét cực trị của hàm số z 3 z M 0(0, 0) Giải là các điểm dừng z M (1,1) z 6; z 3; z 6 + Tại M 0 : A 0; B 3; C : Không đạt cực trị

29 + Tại M 1 : A 6; B 3; C Vậ M 1 là điểm cực tiểu của z (z đạt cực tiểu tại M 1 ), zct z(1,1) 5 # Ví dụ 10 Tìm cực trị của hàm số 9 z u (,,z 0) 4 z Giải Điểm dừng của hàm số ác định từ hệ u z 1 u 0 M,1,1 (điểm dừng du nhất) z u z 0 z 1 z z 4 u, u, u 0, u, u, u z Tính các đạo hàm riêng cấp hai nà tại M, dẫn đến 3 z 3 z zz 3 d u(m) 4d 3d 6dz 4dd 4ddz Đâ là dạng toàn phương của các biến d, d, dz Ma trận của dạng toàn 4 0 phương nà là A Xét các định thức con chính của nó, A1 4 0, A 8 0, A Vậ A là ma trận ác định dương, từ đó d u(m) ác định dương (Để chứng tỏ tính ác định dương của d u(m) ta còn có thể dùng cách sơ cấp hơn sau đâ : d u(m) 4d 3d 6dz 4dd 4ddz 1 1 4(d dd d ) (d ddz dz ) 4dz d d (d dz) 4dz 0) Vì vậ hàm u đạt cực tiểu tại M, uct u(m) 4 # 13 Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa Cho hàm số f (, ), (, ) D Nếu f (M) f (M 0), M D, giá trị A f (M 0) được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) - ha cực đại toàn cục - của hàm f trên D Tương tự, ta định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) - ha cực tiểu toàn cục

30 Khi đã tìm được các điểm cực trị (địa phương), ta cần làm thêm các lí luận phụ để kiểm tra em đấ có phải là điểm cực trị toàn cục ha không Trường hợp 1: miền đóng, giới nội Chúng ta biết rằng, nếu hàm f liên tục trên miền đóng, giới nội D thì đạt GTLN - GTNN trên đó Vậ nếu GTLN (GTNN) đạt tại một điểm trong của D thì điểm trong đó phải là điểm tới hạn Cũng có thể GTLN-GTNN đạt được trên biên Dẫn đến qu tắc sau Qu tắc (Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, giới nội) Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: M 1,, M k ; Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: N 1,,N Tính giá trị hàm số tại các điểm nà: f (M 1); ; f (M k ); f (N 1);; f (N ) ; Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Ma, Min các giá trị nhận được Hình 110 Các điểm tới hạn bên trong và trên biên của miền đóng, giới nội Trường hợp : miền không giới nội Các nhận ét sau là có ích trong một số trường hợp: + (, ) : lim z(, ) : Hàm số không đạt GTLN; (,) ( 0, 0) ( 0, 0) : lim z(, ) : Hàm số không đạt GTNN (,), 0 0 (Chỉ cần (,) ( 0, 0) theo một đường cong (L) nào đó) + z(z,) liên tục trên, ( 0, 0) là điểm dừng du nhất, z(, ) khi : ( 0, 0) là điểm cực tiểu Ví dụ 11 Tìm GTLN - GTNN của hàm số Giải z 3 trong miền D {0, 0 } z 3 0 M 1(1,1), M (0,0), M 3(3,0), M 4(0,3) z 3 0 Tu nhiên chỉ có điểm M 1(1,1) là điểm trong của D, z(1,1) 1 30

31 * 0, [0, ] z 0 *, [0, ] z, z 4 ; 1 z tại, z, z() 4, z(0) 0 Vai trò, như nhau, so sánh mọi giá trị đã tính, ta thấ: Ma z Ma{ 1, 0, 4} 4, đạt được tại (,) Cực tiểu điều kiện là -11, đạt được tại (, 0) 31 Min z Min{ 1, 0, 4} 1, đạt được tại (1,1) # Ví dụ 1 Chứng tỏ rằng hàm số 3 4 f (, ) (1 ) có một điểm dừng du nhất, cũng là điểm cực tiểu địa phương, nhưng hàm số không đạt được giá trị nhỏ nhất ' ' Giải Hệ f f 0 = = 0, vậ (0,0) là điểm dừng du nhất 3 4 f (, ) f (0,0) (1 ) 0, và 1 Vậ (0,0) là điểm cực tiểu địa phương Mặt khác, lim f (, ) lim 1 nên f không có GTNN Rõ ràng hàm f cũng không có GTLN # 133 Cực trị có điều kiện Baì toán1 Tìm cực trị của hàm u f (,,z) với điều kiện F(,,z) 0 Cách 1 Từ điều kiện F(,,z) = 0 giải ra z z(, ), thế vào hàm đã cho ta được u f (,,z(, )) : Bài toán cực trị với hàm hai biến đã biết Phải lưu ý giá trị hàm thu được trên biên của tập ác định (mới) Ví dụ 13 Tìm cực trị của hàm số Giải Từ điều kiện nhận thì z 6 ( ) z 4, z 0 0 z 0 z Như vậ cực đại điều kiện là 5, đạt được tại (, ) ; z 6 1 với điều kiện

32 Cách (Phương pháp nhân tử Lagrange) i) Lập hàm Lagrange (,, z, ) f (,,z) F(,, z) ii) Ta tìm các điểm dừng (thông thường) của hàm 4 biến nà ha z 0 f (,,z) F (,,z) 0 f (,,z) F (,,z) 0 f z (,,z) F z (,,z) 0 F(,,z) 0 (144) iii) Từ đâ ta tính được i và N i( i, i,z i) Các điểm N i( i, i,z i) gọi là các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện iv) Coi cố định, lập hàm 3 biến,,z (,, z) f (,, z) F(,,z) (145) Tính vi phân cấp hai của hàm nà: d (,, z) d f (,,z) d F(,,z) (146) v) Tha i, (,,z) ( i, i, z i) và d, d, dz thỏa mãn điều kiện df(n ) F (N )d F (N )d F (N )dz 0 (147) i i i z i vào biểu thức của d (,,z) ở (146) ta được phương của trong 3 biến d, d, dz vi) Kết luận: d (N ), là một dạng toàn * d (N ) 0 N (,,z ) là điểm cực tiểu điều kiện i i i i i i * d (N ) 0 N (,,z ) là điểm cực đại điều kiện i i i i i i * d (N i) không ác định N i( i, i,z i) không là điểm CTĐK i * Khi cần tìm GTLN-GTNN điều kiện, nếu tập {(,,z) : F(,,z) 0} là compact (đóng và giới nội), không cần thực hiện bước iv - vi, chỉ cần so sánh giá trị của hàm f(,,z) tại các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện N i( i, i,z i) Baì toán Tìm cực trị của hàm z f (, ) với điều kiện F(,) = 0 Tương tự BT 1, (một chút tha đổi về ký hiệu) Các bài toán trên được tổng quát sang trường hợp có nhiều biến hơn, và (hoặc) có nhiều ràng buộc hơn Baì toán3 Tìm cực trị của hàm u f (,,z) với hai ràng buộc G(,,z) 0 (148) H(,,z) 0 ta tiến hành tương tự Bài toán 1, cụ thể như sau i) Lập hàm Lagrange của 5 biến (,,z,, ) f (,,z) F(,,z) G(,,z) (149) i i 3

33 ii) Tìm điểm dừng của hàm thỏa mãn z 0 : f (,,z) F (,,z) G (,,z) 0 f (,,z) F (,,z) G (,,z) 0 f z (,,z) F z (,,z) G z(,,z) 0 F(,,z) 0 G(,,z) 0 (150) iii) Giải ra i, i và các điểm nghi ngờ cực trị điều kiện N i( i, i,z i ) iv) Coi, cố định, lập hàm ba biến,, z (,,z) f (,,z) F(,,z) G(,,z) Tính vi phân cấp hai của hàm nà d (,,z) d f (,,z) d F(,,z) d G(,,z) (151) v) Tha i, i; (,,z) ( i, i, z i), và d, d, dz thỏa mãn: df(n i ) F (N i)d F (N i)d F z (N i)dz 0 dg(n i) G (N i)d G (N i)d G z (N i)dz 0 (15) vào biểu thức của d (,,z) ở (151) ta được d (N ii i) là dạng toàn phương của một trong 3 biến d, d, dz vi) Kết luận tương tự như đã làm ở Bài toán 1 Ví dụ 14 Tìm cực trị điều kiện của các hàm số với điều kiện chỉ ra ở bên i) ii) Giải i) Đặt z, 1; z u z, 1 (a b c) a b c (,, ) ( 1) / 1 1/, 1/, điểm dừng điều kiện tương 1 1 ứng là ( 1, 1), và 1 1 (, ), Đặt (, ) ( ) d (, ) ; d (, ) (d d ) d, d: d( 1) 0 d d * Với 1, ( 1, 1), 33

34 d, d: 1 1 d d 0 d d 1 d 1 1, 1 (d d ) d 0 (d 0) 1 1 Vậ, là cực tiểu điều kiện (CTĐK), z CTĐK z( 1, 1) * Với, làm tương tự trên, (, ), là điểm cực đại điều kiện và z(, ) Nếu chỉ cần tìm GTLN - GTNN điều kiện, vì đường tròn 1 là đóng và giới nội nên sau khi tìm được các giá trị 1,, ( 1, 1), (, ) ta thực hiện như sau: ii) Đặt f ( 1, 1), f (, ), GTLN ĐK Ma(, ), GTNN ĐK = Min(, ) z (,, z, ) z 1 a b c / a 0 / b 0 z z / c 0 z 1 0 a b c 0 0 z 0 Từ 3 phương trình đầu ta được,, a b c * Đặt 1 1, c M (0, 0, c), 3,4 b M (0, b, 0), 3 5,6 a M ( a, 0, 0) 34 z (,, z) z 1 a b c d d dz d (,, z) d d dz a b c 1 d 1 d 1 dz a b c

35 Xác định d, d, dz từ ràng buộc: + Tại Khi đó z d d zdz df(,, z) d 1 0 a b c a b c 1 c và M M1,, ràng buộc (*) trở thành cdz 0 ha dz 0 c c c d (0,0, c) 1 d 1 d 0 1 a b Vậ (0, 0, c) là điểm cực tiểu điều kiện và * Làm tương tự, su ra ( a, 0, 0) là điểm CĐĐK và * Với 3,4 z(0, 0, c) c (*) z( a, 0, 0) a b, M M (0, b, 0)), tương tự trên, phải có d = 0 b b d (0, b,0) 1 d 1 dz a c Vì a b c nên đâ là dạng toàn phương không ác định Vậ hàm số không có cực tiểu điều kiện tại điểm nà # Chữa Bài tập 35(i, j, k, l); 36(e) ĐS 35 i) (6,3) is maimum, (0,0) is saddle; j) (3,1) is a saddle point, ( 1,1) is minimum; k) 0,0 is minimum, l) (,) are minima, 36 e) minimum 5,0, 1, 4 are saddle points; 3 0, is a saddle point 5 f (, ) 8, (0,0) is a saddle; b) Thảo luận - Nhắc lại về vi phân cấp của hàm, 3 biến - Qu tắc tính cực trị của hàm biến c) Tự học - Chuẩn bị cho bài mới: d) Bài tập chuẩn Các bài tập còn lại bị tối thiểu Tài liệu Tài liệu [1], tr 35

36 Bài giảng 4: Hàm số nhiều biến số (tiếp) Chương, mục: 1 Tiết thứ: 16-0 Tuần thứ: 4 Mục đích, êu cầu: Kiểm tra kiến thức, rèn luện kỹ năng tính đạo hàm riêng cấp cao, vi phân cấp cao, tìm cực trị, cực trị có điều kiện và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Nắm được khái niệm độ cong, bán kính cong, tâm cong Phương trình tiếp tuến ĐC PT pháp diện, pháp tuến của mặt cong Ý nghĩa của véc tơ grad - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: Chữa bài tập phần Đạo hàm Vi phân và Cực trị, GTLN, NN 15 Sơ lược về hình học vi phân * Chữa bài tập ( tiết) 36(f, g, h, i, j, k); 37(c, d, e, f); 40( d, e, f); ĐS 36 f) minimum f ( 1,,3) 4; g) maimum z(0;1) / 1; h) minimum z(1,1) z( 1, 1), (0,0) is a saddle i) minimum z(1, 1) 3; j) (1,0) is a saddle; 4 k) maimum z 0,, (0,0) is a saddle d) Minu u( 1,0, 0) 1, Ma u u(0,0, ) 4 ; e) Min u u( 1,0,1) 0; f) Ma u u(,, 1) 9, Minu u(,,1) 9 15 SƠ LƯỢC VỀ HÌNH HỌC VI PHÂN Hình học vi phân: Dùng các phương pháp của phép tính vi phân để nghiên cứu hình học 151 Đường cong phẳng a Tiếp tuến, pháp tuến Ở phổ thông chúng ta biết rằng, nếu đường cong C là đồ thị của hàm số f () thì phương trình tiếp tuến tại điểm M (, ) ( f ( )) trên đường cong là f ( )( )

37 Bâ giờ giả sử đường cong C có phương trình tham số (t) t, (t), (t) là liên tục (t) Đường cong trơn: (t), (t) khả vi liên tục trên [, ], (t) (t) 0 t Nếu tại điểm t 0 [, ] nào đó mà (t 0) (t 0) 0 thì điểm tương ứng M 0((t 0), (t 0)) trên C gọi là điểm kỳ dị Chúng ta không ét trường hợp đường cong có điểm kỳ dị Bâ giờ lấ t 0 [, ] và giả sử điểm tương ứng trên đường cong là (t M 0( 0, 0) Ta đã biết hệ số góc của tiếp tuến tại M 0 là 0) k Vậ (t 0) (t phương trình tiếp tuến có dạng 0) 0 ( 0) ha (t ) (153) (t ) (t ) Véc tơ chỉ phương của tiếp tuến là (t ) ( (t ), (t )) Su ra phương trình pháp tuến: (t )( ) (t )( ) 0 (154) b Độ cong Định nghĩa độ cong của đường cong tại 1 điểm (em [1]) Cách tính độ cong + Đường cong cho dưới dạng phương trình f () thì K (1 ) 3/ 0 (155) + Đường cong cho dưới dạng tham số (t), (t) thì K ( ) 3/ (156) c Đường tròn mật tiếp Cho trước điểm M trên đường cong Nhiều khi cần phải ấp ỉ đường cong tại lân cận điểm M bằng một cung tròn nào đó Đường tròn chứa cung tròn đó phải tiếp úc với đường cong tại M, có cùng bề lõm với đường cong và có độ cong bằng độ cong của đường cong tại M (Hình 114) Đường tròn đó gọi là đường tròn mật tiếp (còn gọi là đường tròn chính khúc) với đường cong tại M Bán kính của đường tròn mật tiếp gọi là bán kính cong, tâm của đường tròn mật tiếp gọi là tâm cong của đường cong (tại điểm M) 37

38 M 0 Hình 114 Đường tròn mật tiếp, tâm cong, bán kính cong d Bán kính cong Theo trên, bán kính cong bằng nghịch đảo của độ cong Vâ, Nếu đường cong cho dưới dạng phương trình f () - tương ứng phương trình tham số - thì bán kính cong được tính lần lượt theo công thức: 3/ (1 ) R 3/ ( ) R, (157) (158) e Tọa độ tâm cong Lưu ý Người ta cũng có công thức tính độ cong, bán kính cong cho trường hợp đường cong cho dưới dạng tọa độ cực f Túc bế, thân khai Xét đường cong phẳng C Mỗi điểm M trên C có tương ứng một tâm cong I Quỹ tích L các tâm cong I của đường cong C gọi là đường túc bế của C, còn C gọi là thân khai cuả L (em Hình 115) Nếu C cho bởi phương trình = f() ha phương trình tham số thì phương trình túc bế dưới dạng tham số lần lượt là M Hình 115 Đường thân khai C và đường túc bế L (1 ) X 1 Y (tham số hoặc ) (161) 38

39 ( ) 0 ( ) 0 Ví dụ157 Tìm đường túc bế của parabole Giải Rõ ràng là 0, ta có p 39 (tham số t) (16) p (p 0) p p Vì,, tha vào (161) nhận được túc bế 3 X 3 p X p p 3 ( p ) ha Y 3 p Y p (em Hình 114 khi p = ) # 15 Đường cong trong không gian a Hàm véc tơ của đối số vô hướng Định nghĩa Nếu với mỗi t [a, b] có tương ứng với một véc tơ V V(t) thì ta nói, ta đã có một hàm véc tơ của đối số vô hướng t, ký hiệu V V(t), t [a, b] Các véc tơ nói đến ở định nghĩa là véc tơ tự do Ta có thể đưa chúng về cùng gốc là gốc tọa độ O bằng cách đặt OM V(t) Ký hiệu r(t) OM gọi là hàm bán kính véc tơ của điểm M Từ đâ, ta chỉ cần ét hàm bán kính véc tơ r r(t) Nếu M có tọa độ (,,z) thì (t), (t), z z(t) (163) r (t) i (t) j z(t) k (164) Khi t biến thiên từ a đến b, điểm M vạch nên đường cong C nào đó trong không gian C được gọi là tốc đồ của hàm véc tơ r r(t) Hệ (163) được gọi là phương trình tham số của C, (164) gọi là phương trình véc tơ của C Sự liên tục Hàm véc tơ r r(t) được gọi là liên tục nếu các hàm (t), (t), z(t) là những hàm liên tục Khi đó đường cong C được gọi là đường cong liên tục Sự khả vi Hàm véc tơ r r(t) gọi là khả vi tại điểm t 0 nếu các hàm (t), (t), z(t) là khả vi tại t 0; gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm t (a, b) Đạo hàm của hàm véc tơ r r(t), ký hiệu bởi r r (t) tính theo công thức

40 r r (t) (t) i (t) j z (t)k (165) Nếu các hàm (t), (t), z(t) là khả vi trong khoảng (a, b) thì đường cong C gọi là đường cong trơn Ta cũng chỉ ét trường hợp đường cong không có điểm bất thường, nghĩa là chỉ ét trường hợp (t) (t) z (t) 0, t Nếu đường cong C liên tục, có thể phân thành một số hữu hạn cung trơn thì C được gọi là trơn từng khúc (em Hình 116) Lưu ý Để đường C trơn từng khúc, trước hết nó phải liên tục Hình 116 Đường cong trơn từng khúc Ý nghĩa của véc tơ đạo hàm * Ý nghĩa hình học Véc tơ đạo hàm của hàm véc tơ trùng phương với phương của tiếp tuến của tốc đồ của hàm véc tơ tại điểm tương ứng * Ý nghĩa cơ học Khi coi t là tham số thời gian, độ dài của véc tơ đạo hàm r r (t) của hàm bán kính véc tơ tại thời điểm t bằng tốc độ của điểm M tại thời điểm đó và được tính theo công thức dr V(t) (t) (t) z (t) (166) dt b Phương trình tiếp tuến và pháp tuến của đường cong Như đã nói, véc tơ chỉ phương của tiếp tuến là T r (t) (t) i (t) j z (t)k Vậ, phương trình tiếp tuến tại điểm M 0( 0, 0,z 0) trên đường cong ứng với giá trị t 0 của tham số là: 0 0 z z0 (t ) (t ) z (t ) (167) (qu ước khi mẫu số bằng 0 thì tử số cũng vậ), và phương trình mặt phẳng pháp với đường cong tại M 0 là: (t 0)( 0) (t 0)( 0) z (t 0)(z z 0) 0 (168) Với r (t) i (t) j z (t)k, đặt i j k i j k B r r z (t) (t) z (t), z (t) (t) z (t) N B T 40

41 (C) Chuẩn hóa các véc tơ B,T, N ta được T B N,, T B N Mặt phẳng qua M 0, + Có cặp véc tơ chỉ phương, (véc tơ pháp ) gọi là mặt phẳng mật tiếp; + Có cặp véc tơ chỉ phương, (véc tơ pháp ) gọi là mặt phẳng pháp; + Có cặp véc tơ chỉ phương, (véc tơ pháp ) gọi là mặt phẳng trực đạc Các véc tơ đơn vị,, với các mặt phẳng vừa nêu gọi là tam diện Frénet Với đường cong trong không gian, người ta cũng ét độ cong, bán kính cong, hơn nữa độ oắn; tu nhiên chúng ta không trình bà ở đâ Ví dụ 158 Tìm các véc tơ,, của đường đinh ốc trụ là quỹ đạo của một điểm M vừa qua đều ung quanh một trục d với vận tốc góc không đổi, vừa tịnh tiến dọc theo trục đó với vận tốc không đổi C Giải Lập hệ trục Oz (em Hình 117) Chiếu M uống mặt O được điểm M gọi là góc hợp bởi trục O với OM Theo giả thiết t, từ đó phương trình tham số của chuển động là a cos t, a sin t, z Ct (t 0) Tính các đạo hàm ta được asin t, acost, z C; a cost, a sin t, z 0 Từ đó nhận được i j k B asin t acos t C a cost a sin t 0 3 Ca sin t i Ca cos t j a k, N B T a (C a )cost i a (C a )sin t j Vậ các véc tơ đơn vị cần tìm là M 0 41

42 T asin t acos t C i j k, T a C a C a C B Csin t Ccost a i j k, B a C a C a C N cos t i sin t j N Trong trường hợp a C 1, t thì M(-1, 0, π) ,,, 0,,, ( 1, 0, 0) Mặt phẳng mật tiếp (véc tơ pháp ) là: z 0, Mặt phẳng pháp (véc tơ pháp ) là : z 0, Mặt phẳng trực đạc (véc tơ pháp ) là : 1 0 # Hình 117 Đường đinh ốc trụ 153 Mặt cong a Khái niệm mặt cong Cho hàm ba biến F(,,z) ác định trong miền điểm M(,,z) thỏa mãn phương trình F(,,z) G Tập hợp S các ha tổng quát hơn F(,,z) k (169) được gọi là mặt cong, phương trình (169) gọi là phương trình của mặt Đôi khi từ (169) ta có thể giải ra dưới dạng z z(, ), ha (,z), ha (z,) (170) thì mỗi phương trình nà cũng được gọi là phương trình của mặt, mặt được gọi là cho dưới dạng hiện Chúng ta chỉ ét trường hợp mặt cong liên tục, ở đó hàm F(,,z) liên tục

43 Mặt S được gọi là trơn nếu hàm F(,,z) có các đạo hàm riêng liên tục và không đồng thời bằng không: Nói cách khác, trên S thì véc tơ gradient grad F(M) khác không Mặt S được gọi là trơn từng mảnh nếu nó liên tục, có thể phân thành hữu hạn mảnh trơn Lưu ý Để mặt S trơn từng mảnh, trước hết nó phải liên tục b Phương trình pháp tuến và tiếp diện của mặt cong Giả sử mặt S cho bởi (169) Tại M 0( 0, 0, z 0) S, + Véc tơ pháp tuến với mặt: n n(m ) F (M ) i F (M ) j F (M )k z 0 (17) Ta còn viết véc tơ pháp tuến dưới dạng tọa độ n(m ) F (M ), F (M ), F (M ) (173) z 0 + Phương trình pháp tuến và phương trình tiếp diện lần lượt là 0 0 z z 0, (174) F (M ) F (M ) F (M ) 0 0 z 0 F (M )( ) F (M )( ) F (M )(z z ) 0 (175) z 0 0 Hình 118 Pháp tuến và tiếp diện của mặt cong Đặc biệt, nếu mặt cho dưới dạng z f (, ) F(,,z) z f (, ), tại điểm M 0( 0, 0,f ( 0, 0)) S thì véc tơ pháp tuến, phương trình pháp tuến và phương trình tiếp diện lần lượt là n f (, ), f (, ), 1, (176) z z f (, ) f (, ) , (177) f (, )( ) f (, )( ) (z z ) 0 z z f (, )( ) f (, )( ) (178) ha

44 Ví dụ 159 Viết phương trình tiếp diện của mặt S: song với mặt P : z 0 44 z 10 song Giải (Q 1) : ( ) ( ) (z 1) 0 z 5 0 (Q ) : ( ) ( ) (z 1) 0 z 5 0 # TÓM TẮT CHƯƠNG 1 (Tự đọc) TÓM TẮT CHƯƠNG 1 Các định lí về giới hạn, liên tục của tổng, hiệu, tích, thương, luỹ thừa, hợp hàm của các hàm, các hàm liên tục, định nghĩa hàm sơ cấp và tính liên tục của chúng, các khái niệm và kết quả về sự liên tục đều đối với hàm một biến vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta coi các biến khác không đổi, rồi lấ đạo hàm theo biến đó như lấ đạo hàm với hàm một biến Đạo hàm hàm hợp: F F(u(, ), v(, )) F F u F v F F u F v, u v u v Đạo hàm hàm số ẩn: z z(, ) ác định từ F(,,z) 0 z F F z, F F z Các phép toán về vi phân d (u v) du dv, d (uv) udv vdu, z u vdu udv d, df (u) f (u)du v v Dù u, v là biến độc lập ha biến phụ thuộc luôn có f f dz du dv u v Tính gần đúng f (0, 0 ) f ( 0, 0) f ( 0, 0) f ( 0, 0) Đạo hàm theo hướng (cos, cos, cos ) : u(m 0) u(m 0) u(m 0) u(m 0) grad u(m 0) cos + cos cos z u grad u u u uz Dấu bằng ả ra khi cùng phương với grad u Điều kiện cần của cực trị f (, ) khả vi, đạt cực trị tại M 0 thì f (M 0) f (M 0) 0

45 Điều kiện đủ của cực trị Cho M 0( 0, 0) là điểm dừng của hàm z f (, ) Đặt f (M ) f (M ) f (M ) A, B, C, 45 B AC i) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực tiểu tại M 0 ii) Nếu 0; A 0 ( C 0) thì f đạt cực đại tại M 0 iii) Nếu 0 thì M 0 không là điểm cực trị Trường hợp 3 biến Tại điểm dừng M 0( 0, 0,z 0) D của hàm u f (,,z) tính d f (M 0) d d dz f (M 0) z Nếu d f (M 0) ác định dương thì M 0 là điểm cực tiểu Nếu d f (M 0) ác định âm thì M 0 là điểm cực đại Tìm GTLN - GTNN trên miền đóng, giới nội D + Tìm những điểm tới hạn bên trong của D: M 1,, M k ; + Tìm những điểm tới hạn trên biên của D: N 1,, N ; + Tính: f (M 1); ; f (M k ); f (N 1);; f (N ) ; + Kết luận: GTLN - GTNN của hàm là Ma, Min các giá trị nhận được Cực trị có điều kiện Tìm cực trị của hàm f(,,z) với điều kiện F(,,z) 0, ta có thể dùng a) Đưa về trường hợp ít biến hơn b) Phương pháp nhân tử Lagrange: i) Lập hàm Lagrange (,, z, ) f (,,z) F(,, z) ii) Tìm các nghiệm i, i, i, z i, i 1,,k từ hệ f (,,z) F (,,z) 0 f (,,z) F (,, z) 0 z f z (,,z) F z (,,z) 0 F(,,z) 0 iii) Kiểm tra em các điểm dừng điều kiện N i( i, i,z i) có là điểm cực trị điều kiện ha tại đó đạt GTLN, GTNN điều kiện ha không Tiếp tuến của đường - pháp tuến, tiếp diện của mặt Tiếp tuến của đường cong (t), (t), z z(t) tại điểm M 0( 0, 0,z 0) trên đường ứng với giá trị t t0 của tham số là: 0 0 z z0 (t ) (t ) z (t ) 0 0 0

46 Pháp tuến và tiếp diện của mặt cong F(,, z) 0 tại điểm M 0( 0, 0,z 0) trên mặt có phương trình lần lượt là: 0 0 z z 0, F (M ) F (M ) F (M ) 0 0 z 0 F (M ) ( ) F (M ) ( ) F (M ) (z z ) z 0 0 Bài giảng 5: Tích phân bội Chương, mục: Tiết thứ: 1-5 Tuần thứ: 5 Mục đích, êu cầu: Nắm định nghĩa TP bội, cách ác định cận TP Một số ứng dụng Thấ lợi ích của dùng đổi biến toạ độ cực Nắm được một số các đổi biến tổng quát khác - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: 1 Tích phân kép 1 TÍCH PHÂN KÉP Chương TÍCH PHÂN BỘI 11 Mở đầu a Định nghĩa Cho hàm số z f (,), ác định trên D là miền giới nội, có diện tích Chia D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau Gọi các mảnh nhỏ đó là ( S 1),,( S n ) và diện tích tương ứng của chúng là S 1,, Sn Trên mỗi mảnh ( Si ) lấ điểm Mi tù ý: M i( i, i) ( S i) Lập tổng tích phân Hình 1 Hình trụ cong 46

47 I n f (, ) S (1) n i i i i1 Gọi d i là đường kính của mảnh ( Si ): di d( S i) Sup{MN : M, N ( S i)} Nếu khi n sao cho Ma(d i) 0, In dần đến giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn các điểm M i trên ( Si ) thì ta nói: D + Hàm f(,) khả tích trên D; + I được gọi là tích phân kép của hàm f(,) trên D, ký hiệu là f (,) dd ; + D là miền lấ tích phân; f(,) là hàm dưới dấu tích phân Lưu ý Ở trên ta dùng thuật ngữ miền có diện tích (ha cầu phương được) Không cần quan tâm nhiều, đại thể đó là các tập thông thường b Ý nghĩa hình học Thể tích V f (, )dd () D Cho f (, ) 1, được công thức tính diện tích miền phẳng: dt(d) dd (3) D c Điều kiện tồn tại Cho D là miền giới nội, (có diện tích) * Nếu f(,) bị chặn, liên tục trên D thì khả tích trên D * Nếu f(,) bị chặn, liên tục từng mảnh trên D thì khả tích trên D Chú ý Để tham khảo, chúng ta nên biết điều kiện rộng rãi nhất của khả tích (em [15] tr 130): d Tính chất của tích phân kép Tích phân kép có các tính chất giống với tích phân ác định Định lý 1 Cho f(,), g(,) là các hàm khả tích trên miền (có diện tích) D nào đó, và a là một số thực Khi đó i) Các hàm f (, ) g(, ), af(,), f (, ) khả tích trên D và D D D D (f (, ) g(, ))dd f (, )dd g(, )dd, a f (, )dd a f (, )dd, D 47

48 f (, )dd f (, ) dd (4) D D ii) Nếu D có thể tách thành hai miền (có diện tích) và không dẫm lên nhau (phần chung chỉ có thể là một phần biên của mỗi miền): D D1 D, thì f (, )dd f (, )dd f (,)dd (5) D D1 D iii) Nếu f (, ) g(, ), (, ) D thì f (, )dd g(, )dd (6) D iv) Các hàm D f (, )g(, ), f (, ), g (, ) khả tích trên D và f (,)g(, )d d f (, ) d d g (, )d d D D D (7) (Bất đẳng thức Cauch-Schwarz) Nghiệm đúng Định lý về giá trị trung bình 1 Cách tính trong tọa độ Descates a Miền lấ tích phân có dạng hình chữ nhật Định lý Cho D {(, ) : a b, c d} và giả sử f(,) là hàm liên tục trên D Khi đó tích phân D a c a c d f (, )d ác định với mọi [a, b] và c b d b d f (, )dd f (, )d d : d f (, )d Đổi vai trò hai biến ta thu được D c a d b f (, )dd d f (, )d (9) Xét trường f (, ) Hệ quả h()k() Theo Định lý, b d b d h()k()d d d h()k() d h()d k()d D a c a c Ví dụ 1 Tính i) {ab; cd} a c b h()k()dd h()d k()d (10) 0,1 ( )dd, ii) d sin d d {0 /, 1 } 48

49 Giải i) ii) I d ( )d 0 d d / / cos 3 J sin d d ln ln # b Miền lấ tích phân có dạng bất kỳ Nếu D là hình thang cong D {(, ) : a b, () 1 ()} (Hình a), 1(), () liên tục trên [a, b], hàm f(,) liên tục trên D thì b () b () f (, )dd d f (, )d f (, )d d (11) D a 1() a 1() D-hình thang cong đá//o: D {(, ) : c d, () 1 ()} f(,), 1(), () là những hàm liên tục thì 1 0 Hình Một số miền lấ tích phân thông dụng trong D c () c 1 1() 49 d () d () f (, )dd d f (, )d f (, )dd (1) D vừa có dạng ở Hình a, vừa có dạng ở Hình b (em Hình c): Chọn một trong hai công thức (11) hoặc (1) Từ đó b () d () f (, )dd d f (, )d d f (, )d (13) D a 1() c () 1 Dường như luôn có một thứ tự lấ tích phân thuận lợi hơn thứ tự kia! Hướng dẫn cách ác định cận TP (em [1]) Ví dụ Tính và Giải D I ( )dd, D là miền giới hạn bởi các đường 0 Giao điểm:, 0, 1

50 I d ( )d d 504 # 0 0 Ví dụ 3 Cho D là miền giới hạn bởi các đường, 1, 1, 3 3 Giải Tính D I ( )dd D {(, ) :1 3, 1 } 1 O I d ( )d 1 d ( 1) ( 1) d # 1 Ví dụ 4 Tính tích phân 1 0 d e d (Không có nguên hàm sơ cấp) / I d e d e d e d( ) e e 1 13 Đổi biến số với tích phân kép a Công thức đổi biến tổng quát Để tính tích phân kép nhiều khi ta dùng phép đổi biến (u, v) (u,v), (u,v) D ' (14) + (u,v), (u,v) là các hàm liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, giới nội D O, ( Dcó diện tích); + (14) ác định một song ánh (đơn ánh và lên) từ D D O ; + Định thức Jacobi D(, ) u v J det 0, (u, v) D' D(u, v) u ; v (có thể trừ ra tại một số hữu hạn đường) Khi đó 50

51 f (, )dd f ((u,v), (u,v)) J dudv (15) D D' Chú ý i) Tính chất của định thức Jacobi là: D(u, v) D(, ) 1 0 (16) D(, ) D(u, v) D(u, v) D(, ) Điều nà có thể giúp ta tính định thức Jacobi J thuận lợi hơn ii) Bằng đổi biến u, v ta nhận được kết quả hữu ích sau: * Cho D là miền đối ứng qua trục O, D 1 là phần miền D phía trên trục O (em Hình 3a) thì D f (,)dd, f (, ) ch½n víi biõn f (, ) dd D 1 0, f (, ) lî víi biõn (17) (Hàm f(,) chẵn với biến nếu f (, ) f (, ), (, ) D lẻ với biến nếu f (, ) f (, ), (, ) D ) * Tương tự khi miền D đối ứng qua trục tung Hình 3 Miền đối ứng qua trục O (a) và qua trục O (b) Ví dụ 5 Tính tích phân 4 5 D I ( ) ( ) dd trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng, 3, 1, Giải D {(, ) : 3, 1 } Đặt 1 1 u v u J det v u v

52 Khi đó miền D trở thành D {(v,v) : u 3, 1 v } u 3 v I du u v dv 147, 7 Chú ý Dùng tính chất (16) ta có cách thứ hai để tính J thuận lợi hơn: D(u, v) 1 1 D(, ) J # D(, ) 1 D(u, v) D(u, v) 3 D(, ) b Đổi biến tọa độ cực Xét đổi biến tọa độ cực r r cos Định thức Jacobi của phép biến đổi là rsin D(, ) r cos rsin J det r 0 D(r, ) sin r cos D D' (trừ ra tại O(0,0)) f (, )dd f (r cos,r sin )r drd (18) Đặc biệt, nếu miền D có dạng hình quạt như ở Hình 4 ta nhận được D {, r 1( ) r r ( )}, r ( ) f (, )dd d f (r cos,r sin )r dr (19) D r 1( ) Hình 4 Miền hình quạt Cách ác định cận: Xem [1] Ví dụ 6 i) Chứng minh rằng 4 R ( )dd { R 4 } 1 ii) Tính tích phân I sin( dd với D là nửa trên hình tròn tâm O, bán kính 1, D 1 5

53 Giải i) Đặt r cos, rsin thì J r, từ đó ii) R 4 4 r R R 0 I d r r dr I sin( ) dd dd I I D D 1 I 0 (lý do?) 1 I : đặt r cos, rsin, J r, r r I I d dr d dr 0 0 1r cos r sin 0 0 1r 1 d(r 1) 1 0 # r = d 1 r ( 1) Tọa độ cực co giãn ( ) (em tài liệu [1]) r cos a r cos a b r sin r sin b (0) Nhận ét Hình dung tọa độ cực co giãn thuận lợi thông qua các đường đồng mức (Hình 5b) Các điểm trên trục tọa độ O, O có góc cực như nhau với tọa độ cực thông thường cũng như tọa độ cực co giãn: Với cả hai loại tọa độ cực, các điểm trên tia O đều có góc cực là 0, các điểm trên tia O đều có góc cực là /, các đường đồng mức 0, /,, 3 /,, vẫn là các tia O, O, ( ) Khi dùng tọa độ cực co giãn a r cos, brsin, định thức Jacobi của phép biến đổi là J ab r Từ đó ta nhận được f (, )dd ab f (arcos,brsin ) r drd (1) D D' Ví dụ 7 Tính diện tích hình giới hạn bởi elip 9 4 i) ( 0) ; ii) / 3 ( 0) 1, tia O và tia: 3r cos Giải Xét phép đổi biến tọa độ cực (co giãn) ; J 6r rsin i) rsin 3r cos tan 3 / 1 arctan (3 / ) 53

54 D 0 0 r 3 S dd d 6r dr 6 3 3arctan Nhận ét Nhiều người nhầm 1 / 4 ii) / 3 rsin ( / 3)3r cos tan 1 / 4 / r 3 S dd d 6r dr Ví dụ 8 Tính Giải # D ( sin( ))dd ; D D D D D I ( )dd dd sin ( )dd I I I D là miền đối ứng qua trục O, hàm f(,) = lẻ với biến, vậ I 0 3 Tương tự, D đối ứng qua O, sin ( ) lẻ với biến nên I 3 0 Từ đó 1 D I I dd 4 ( )dd D1 trong đó D1 1,, Đặt 3rcos, 4 r sin, J 1r, ta được 1 / r I 4 dr (3rcos 4 r sin 16r s in )1r d / 4,1 (6sin 8(1 cos ))d 4(3 ) 4 # 0 Chú ý i) Để thuận lợi, người ta còn dùng phép đổi trục X X Y Y để đưa gốc về ( 0, 0) ; tiếp theo dùng đổi biến X rcos, Y rsin Việc ác định cận của các biến r, nhiều khi khá dễ Thực chất của hai lần đổi biến trên là sử dụng phép đổi biến tọa độ cực dịch chuển r cos 0 0 r cos r sin 0 0 r sin, với J r ii) Nhiều khi miền lấ tích phân cho phép ta sử dụng cả tọa độ cực thông thường và tọa độ cực dịch chuển Tu nhiên khi thực hiện lấ tích phân lặp với loại tọa độ nà thì dễ, với loại khác lại khó hơn nhiều Không có một gợi ý cho điều nà iii) Đôi khi, người ta còn dùng đổi biến tọa độ cực co giãn dịch chuển

55 0 a r cos, với J ab r 0 brsin 14 Ứng dụng của tích phân kép a Ứng dụng hình học Diện tích mảnh phẳng + Thể tích vật thể (đã biết) Diện tích mặt cong (S) : z f (, ), (, ) D () D dt(s) 1 (f ) (f ) dd Để áp dụng (), D: Hình chiếu của S lên O Ví dụ 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Lemniscat (L): ( ) a ( ) (a 0) Giải r cos, rsin, dẫn đến (r ) a (r cos r sin ) r a cos Từ tính đối ứng, /4 a cos /4 r r a cos 1 r0 S S 4S 4 dd 4 d r dr 4 d /4 /4 0 0 a cos d a sin a # Ví dụ 10 Tính diện tích của mặt ác định bởi giao của các mặt trụ z a, z a (a 0) Giải Từ tính đối ứng, dt(s) 16dt(S 1), trong đó S 1 là mặt như Hình 6 Trên (S 1) thì hình chiếu của 1 z a, z 0 ha (S 1): (S ) uống mặt O, (tam giác OAB) Vậ z a, (, ) D ; D là a 1 D 0 0 a dt(s ) 1 (z ) (z ) dd d 1 dd 55

56 a a d d a a 0 0 Su ra dt(s) 16a # và mặt cầu Ví dụ 11 Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi mặt trụ z 4 56 Giải Khi chiếu vật thể V lên mặt O ta được miền D giới hạn bởi đường ( 1) 1: đường tròn tâm I(1,0) bán kính 1 z 4, z 0 z 4 Từ tính đối ứng, thể tích V được tính bởi D V 4 dd Chuển qua tọa độ cực: r cos, r sin thì J r, r cos r sin r cos r cos / cos V d 4 r r dr / 0 / 3/ cos 0 # / 1 16(3 4) (4 r ) d 3 9 b Một số ứng dụng cơ học * Khối lượng bản phẳng D: m (, )dd; (3) D * Trọng tâm G( G, G) : 1 1 G (, ) dd, (, ) dd m G m (6) D D Đặc biệt, nếu vật đồng chất thì (, ) const, công thức trên trở thành 1 1 G dd, dd S G S (7) D D

57 trong đó S là diện tích miền D Ví dụ 1 Tính khối lượng, mô men quán tính với các cạnh OA, OB, điểm O cũng như tọa độ trọng tâm của một phần tư hình tròn D, biết rằng khối lượng riêng tại điểm M trên D tỷ lệ với khoảng cách đến mỗi cạnh OA, OB Giải Xét hệ trục như Hình 8 Ta có, (, ) : R D 0, 0 Khối lượng riêng là (, ) K Hình 8 1/4 hình tròn * * R R R 4 1 R K R 0 8 D m K dd d Kd K d OA OB R R 6 3 K R M M K dd K d d D * D D R R 5 K R (, ) dd K dd K d d 5 4 K R KR 8 8 G : R Từ tính đối ứng, G G R # * Chữa bài tập ( tiết): ĐS 1 e) (e - ); 5 f): 0/3; 6(a): ; 7 e) (3 ln ) / 4; f) 8 ln(1 ) 8: b) 5 3 ; d) (1/3) ln (b/a); 9: g) 7/4 ; : f) 64 / 3; g) 8 ; h) 16a / : c) ; d) a ( ) 1 b) Thảo luận - Viết công thức chuển TP kép sang TP lặp, cận của biến trước, cận của biến sau; Ngược lại - Nêu toạ độ Descates và toạ độ cực của vài điểm đặc biệt - Vẽ một số hình, nêu cách ác định cận tích phân c) Tự học VD 11; VD5 ; VD 6; VD 7; d) Bài tập Bổ trợ: 1(b, d); (b, c); 3(b); 4(a, b); 5(a, c, d); 6(b); 7(d, c); 8(a); 9(d, f); 10(c); 15; 17; Tài liệu Tài liệu [1], tr 15

58 Bài giảng 6: Tích phân bội (tiếp) Chương, mục: Tiết thứ: 6-30 Tuần thứ: 6 Mục đích, êu cầu: Nắm cách ác định cận TP Một số ứng dụng Nắm được một số các đổi biến tổng quát khác Thực chất đổi biến toạ độ trụ là gì - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: Tích phân bội ba TÍCH PHÂN BỘI BA 1 Mở đầu a Định nghĩa Cho 3 u f (,,z), (,, z) V, V: miền giới nội, có thể tích Chia V thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau Gọi các mảnh nhỏ đó là ( V 1),,( V n ) và thể tích tương ứng của chúng là V 1,, Vn Trên mỗi mảnh ( Vi ) lấ điểm M i tù ý: M i( i, i,z i) ( V i) Lập tổng TP I n f (,,z ) V, (8) n i i i i i1 Gọi d i là đường kính của mảnh ( Vi ): di d( V i) Sup{MN : M, N V i} Nếu khi n sao cho Ma(d 1,,d n ) 0, In dần đến giới hạn I hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn các điểm M i trên ( V i ) thì ta nói: + Hàm f(,,z) khả tích trên V; + I được gọi là tích phân bội ba của hàm f(,,z) trên V, ký hiệu là f (,,z) dddz (ha f dddz ha f (,,z) dv ); V V 58 V

59 + V là miền lấ tích phân; f(,,z) là hàm dưới dấu tích phân Lưu ý Ở trên ta dùng thuật ngữ miền có thể tích Đại thể, đó là miền không quá "lạ lùng"; miền ta ét thông thường luôn có thể tích b Điều kiện tồn tại Cho V là miền giới nội, (có thể tích) * f(,,z) liên tục trên V thì khả tích trên V; * f(,,z) bị chặn, liên tục từng mảnh trên V thì khả tích trên V c Tính chất của tích phân bội ba Giống với tích phân ác định Cách tính trong tọa độ Descates a Miền lấ tích phân là hình hộp V = {(,,z) : a b, c d, e z f} b d f f (,,z)dv dd f (,,z)dz V a c e (Có thể đổi sang một thứ tự khác) b Miền lấ tích phân có dạng hình trụ cong V {(,,z) : (, ) D, z (, ) z z (, )} 1 z (,) z (,) I f (,,z)dddz f (,,z)dzdd : dd f (,,z)dz V D z 1(,) D z 1(,) Hình 9 Miền hình trụ cong Hơn nữa, nếu miền D là hình thang cong có đá // O (em Hình 9) D {(,): a b, 1() ()}, 59

60 () z (,) V a 1() z 1(,) b (30) I f (,,z)dddz d d f (,,z)dz Lưu ý (ii) Miền D chính là hình chiếu của vật thể V lên mặt O (iii) Để ác định các cận tích phân: Xem [1] Nếu vật thể có dạng hình trụ cong, với đường sinh song song với trục O (hoặc O) thì cần điều chỉnh thủ tục đi ít nhiều; chẳng hạn để tìm miền D ta phải chiếu vật thể V lên các mặt Oz (hoặc Oz) Ví dụ 13 Tính tích phân bội ba I 1 dddz 3 V (1 z), V là vật thể giới hạn bởi các mặt tọa độ và mặt phẳng z 1 G z 1 z 1 ( ) Chiếu V uống mặt phẳng O ta nhận được tam giác OAB Vậ các mặt I d d dz 3 (1 z) (1 z) z d 1 z0 0 0 d Hình 10 Vật thể ở Ví dụ d d ln 0 0 (1 ) # Ví dụ 14 Tính tích phân 0, 0, z 0, 1,, z I z dddz với V là miền giới hạn bởi V 60

61 Hình 11 Miền ở Ví dụ 14 Giải Chiếu V uống O ta được D {0 1, 0 } Vậ 1 1 z z 11 I d d z dz d z0 d 60 # c Tính tích phân theo thiết diện V a S() b f (,,z)dddz d f (,,z)ddz (31) Xả ra công thức tương tự khi ét các thiết diện O ha Oz Ví dụ 15 Tính tích phân I trong đó V là miền giới hạn bởi elipsoid Giải Bởi vì Từ đó V 4 dddz z 1 a b c a a a I d ddz d ddz dt(s())d a S() a S() a z z 1 1 ha a b c b c a z b 1 c 1 a a a a a 1 dt(s()) bc1 a I bc 1 d bca # 61

62 3 Đổi biến số trong tích phân bội ba a Công thức đổi biến tổng quát Có thể dùng đổi biến (u,v,w) 3 (u,v,w) (u,v, w) V (3) z z(u, v,w) + Các hàm (u,v,w), (u,v,w), z(u,v,w) liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng V Oz, ( Vcó thể tích); + (3) ác định một song ánh (đơn ánh và lên) từ V V Oz ; + Định thức Jacobi u v w D(,, w) J det u v w 0 (u, v, w ) V D(u,v,w) zu zv zw (33) (có thể trừ ra tại một số hữu hạn mặt) Khi đó f (,,z)dddz f ((u,v,w), (u,v,w),z(u,v, w)) J dudvdw (34) V hữu ích sau: V Nhận ét Bằng cách đổi biến u, v, w z ta nhận được kết quả * Cho V là miền đối ứng qua mặt phẳng O, V 1 là phần miền V phía trên mặt phẳng O thì V f (,, z)dddz, nõu f(,,z) ch½n víi biõn z f (,,z)dddz V 1 0, nõu f(,,z) lî víi biõn z * Phát biểu tương tự khi miền V đối ứng qua mặt Oz hoặc Oz b Đổi biến tọa độ trụ * Toạ độ trụ M(,,z) trong hệ tọa độ Descates vuông góc Oz, tọa độ trụ của nó là bộ ba số (r,,z), trong đó (r, ) là tọa độ cực của hình chiếu M của M lên mặt phẳng O (em Hình 13 ) 6

63 z M(,,z) r M' Hình 13 Tọa độ trụ Rõ ràng là r 0, 0, z r cos rsin z z (35) Du chỉ có các điểm trên trục Oz thì r 0, tù ý, z ác định Các điểm khác có tương ứng 1-1 giữa hai loại tọa độ Ta có thể viết M(,,z) hoặc M(r,, z) Tọa độ trụ su rộng ở đó r, có thể nhận giá trị bất kỳ, kể cả giá trị âm, ha tọa độ trụ co giãn Định thức Jacobi của phép đổi biến (35) là cos rsin 0 J det sin r cos 0 r Nhận được công thức tích phân bội ba trong tọa độ trụ f (,,z) dddz f (r cos,rsin,z) r ddr dz (36) V V Hình 14 Miền hình trụ cong trong tọa độ trụ 63

64 Khi miền V có dạng hình trụ cong và hình chiếu của nó lên mặt phẳng O có dạng hình quạt (em Hình 14) thì mặt r ( ) z (r cos, r sin ) f (,,z) dddz d dr f (r cos,rsin,z) r dz V r 1( ) z 1(r cos, r sin ) Ví dụ 16 Tính tích phân z và z h (h 0) Giải Xét đổi biến tọa độ trụ r cos rsin z z J r I zdddz với V là miền giới hạn bởi các V z h z r cos r sin r h h Hình 15 Hình nón h h h h 4 z h r h r r # I d dr zr dz d r dr (h r )dr Nhận ét Để thuận lợi khi ác định các cận của tích phân lặp, trước hết ta chiếu miền V lên mặt O Dùng công thức (9) ta được z (,) I f (,,z)dddz f (,,z)dzdd V D z 1(,) rồi dùng tọa độ cực để tính tích phân trên miền D Thủ tục "đưa về tọa độ cực" thuận lợi hơn dùng trực tiếp tọa độ trụ 4 Ứng dụng của tích phân bội ba a Ứng dụng hình học Thể tích vật thể: V dddz (44) V Ví dụ 18 Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt 1 (S ) : z 9, (S ) : 8z 64

65 Giải Vật thể V nằm giữa mặt dưới z 9 ( ) 0 Giao tuến hai mặt: 65 1 z ( ) / 8 và mặt trên z 9 8 8z z 1 D {(,) : 8}, là hình tròn tâm O, bán kính R 8 Từ đó z (,) 1 8 V D z 1(,) D V dddz dd dz 9 ( ) ( ) dd Dùng tọa độ cực rcos, r sin với J r Vậ (đvtt) # I d 9 r r r dr b Một số ứng dụng cơ học Khối lượng riêng (,,z) tại điểm M(,,z) V * Khối lượng vật thể V: V, (,,z) m (,,z)dddz (45) * Tọa độ trọng tâm G, G,z G của V: z G G G 1 m 1 m 1 m V V V (,, z)dddz, (,, z) dddz, z (,, z) dddz Đặc biệt, (,, z) const (vật đồng chất), dddz, dddz, z z dddz G G G V V V V V V (46) (47) V: là thể tích vật thể V Ví dụ 19 Tính tọa độ trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn bởi các mặt trụ parabolic và các mặt z, z 0, 1 Giải Mặt dưới và mặt trên của vật thể là z 0 và z Ta có V dddz d d dz d d 5 V 1 0 1

66 Từ tính đối ứng, V dddz dddz d d dz d d 7 V z dddz d d zdz d d 7 V Vậ ( G, G,z G) 0,, 7 14 Chữa bài tập Hình 19 Miền ở Ví dụ 19 ĐS 19c) 0; 0 f) π/60; 1: c) (e ) ; d) # 16a / 9 a ( ) b) Thảo luận - Viết công thức chuển TP bội ba sang TP lặp, cận của biến trước, cận của biến sau rồi đến của z; Thứ tự khác - Nêu một số đổi biến tổng quát với miền lấ TP cụ thể (không tính TP) c) Tự học VD 13; d) Bài tập Bổ trợ: Tài liệu Tài liệu [1], tr 66

67 Bài giảng 7: Tích phân bội (tiếp) Chương, mục: Tiết thứ: Tuần thứ: 7 Mục đích, êu cầu: Thấ lợi ích đặc biệt của đổi biến toạ độ cầu Khi nào nên dùng đổi biến TĐ cầu Lợi ích của TP phụ thuộc tham số - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: Tích phân bội ba (tiếp) 3 Tích phân phụ thuộc tham số TÍCH PHÂN BỘI BA c Đổi biến tọa độ cầu (1 tiết) * Tọa độ cầu Cho ứng mỗi điểm M(,,z) trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oz với bộ ba số (r,, ) như Hình 16, được gọi là tọa độ cầu của điểm M Gốc tọa độ O ứng với r 0, và tù ý Các điểm còn lại trên trục Oz có r ác định, tù ý, 0 hoặc Đối với các điểm còn lại có tương ứng 1-1 giữa tọa độ cực và tọa độ cầu: 3 Oz {(r,, ) : 0 r, 0, 0 } (Cũng có thể chọn khoảng biến thiên của là ) r cos sin rsin sin z r cos (38) 67

68 z r M(,,z) M' Hình 16 Tọa độ cầu Nhận ét Một số tài liệu ký hiệu góc OM là φ, góc zom là Tu nhiên, ta ký hiệu như trên để phù hợp với nhiều tài liệu khác, và đặc biệt là phù hợp với các phần mềm tính toán hiện đại Hà Nội có tọa độ (cầu) (6300, 108, 69) (ở đâ góc tính theo độ) * Đổi biến số dùng tọa độ cầu Dùng đổi biến tọa độ cầu (38) để tính tích phân bội ba rất hiệu quả Định thức Jacobi của phép đổi biến là: cos sin r sin sin r cos cos J det sin sin r cos sin r sin cos r sin cos 0 rsin I f (,, z) dddz V (39) f (r cos sin,rsin sin,r cos ) r sin drd d (40) V Công thức đúng kể cả khi miền V có chứa những điểm trên trục Oz Trong trường hợp miền cho ở Hình 17 thì: 1( ) r (, ) (41) 1 1( ) r 1(, ) I d d f (r cossin,rsin sin,rcos ) r sin dr 68

69 Hình 17 Xác định cận tích phân bội ba trong tọa độ cầu Xác định các cận tích phân: Xem [1] Tọa độ cầu co giãn Để tính tích phânbội ba người ta cũng ha dùng tọa độ cầu co giãn: a r cossin, brsin sin, (4) z cr cos, (a,b,c 0) Lưu ý rằng khi đó J abc r sin, ta được (43) V I abc f (r cos sin,r sin sin,r cos ) r sin dr d d Ví dụ 17 Tính tích phân bởi mặt cầu (S 1) : z 1, (S ) : z 4 (z 0) V 1 z nằm phía trên mặt phẳng O Giải Xét phép đổi biến r cossin rsin sin ta được J r sin z r cos 69 dddz với V là phần giới hạn

70 phân Trên (S 1) : (r cos sin ) (r sin sin ) (r cos ) 1 r 1, Tương tự, trên (S ) : r Từ đó / 1 / r 0 1 r # I d d r sin dr ( cos ) 3 Ta nên dùng kiểu đổi biến nào cho bài toán tích phân bội ba cụ thể? Theo kinh nghiệm của chúng tôi, điều nà chủ ếu dựa vào miền lấ tích 3 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 31 Tích phân thường phụ thuộc tham số Định nghĩa Cho f(,) ác định trên D [a, b] [c, d] sao cho với mọi cố định trên đoạn [c, d], hàm số f(,) khả tích (theo biến ) trên đoạn [a, b] Đặt b I() f (, )d, [c, d] a Tích phân I() được gọi là tích phân phụ thuộc tham số (Là hàm của ) d J() f (, )d, [a, b] c Định lý 3 Nếu f(,) là hàm liên tục trên D [a, b] [c, d] thì: (i) I() là hàm liên tục trên đoạn [c, d], J() là hàm liên tục trên đoạn [a, b]; (ii) I() là hàm khả tích trên [c, d], J() là hàm khả tích trên [a, b] và d b b d df (, )d d f (, )d (51) c a a c (công thức đổi thứ tự lấ tích phân) f (, ) (iii) Ngoài ra, nếu giả thiết thêm rằng tồn tại và liên tục trên D thì b b d f (, ) I () f (, )d d, [c, d] d a a (công thức đạo hàm dưới dấu tích phân) Chứng minh ( ) Ví dụ 0 Tính các tích phân i) (5) 1 b a 1 d I d (0 a b), ii) J (0 a) ln ( a )

71 Giải i) Nhận thấ rằng b ln a b 1 b d I d d a 0 a Áp dụng công thức đổi thứ tự lấ tích phân ta đi đến b 1 b 1 b 1 1 b 1 I d d 0 d d ln 1 1 a 1 a 0 a a ii) Xuất phát từ đẳng thức 1 d 1 1 a a 0 a J(a) arctan, a L trong đó, L là những số dương bất kỳ, L Áp dụng công thức đạo hàm dưới dấu tích phân ta được J (a) d a d arctan a ( a ) a a 1 a 0 a a J J (a) d arctan ( a ) a a a (a 1) (*) 3 0 Vì, L dương tù ý nên (*) đúng với mọi a dương 1 d J (a), n 3, 4, # n n 0 ( a ) 3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số v() I() u() f (, )d trong đó hàm số f(,) ác định trên hình chữ nhật [a, b] [c, d], các hàm u(), v() ác định trên đoạn [c, d] và nhận giá trị trên đoạn [a, b]: a u() b, a v() b, [c, d] Định lý 4 Nếu hàm số f(,) liên tục trên hình chữ nhật [a, b] [c, d], các hàm số (), () liên tục trên đoạn [c, d] và nhận giá trị trên đoạn [a, b] thì (ii) (i) I() là hàm liên tục trên [c, d] v() v() d f (, ) f (, )d d f (v(), )v () f (u(),)u () d u() u() 71 sin Ví dụ 1 Tính đạo hàm hàm số f () sin (t)dt

72 sin Giải f () t cos(t)dt sin( sin )cos sin # 33 Tích phân su rộng phụ thuộc tham số Xét tích phân su rộng với cận vô hạn phụ thuộc tham số I() f (, )d (54) a trong đó f(,) là hàm số ác định trên dải vô hạn [a, ) [c, d] Định nghĩa Giả sử tồn tại tích phân b b I () f (, )d [c, d], b a a * Tích phân su rộng (54) gọi là hội tụ tại [c, d] nếu tồn tại giới hạn hữu hạn b Cụ thể là: b lim I b() lim f (, )d I() b a 0, B 0 : b B I b() I() * Tích phân su rộng (54) được gọi là hội tụ đều trên đoạn [c, d] nếu 0, B 0 : b B, [c, d] I b() I() Nếu tích phân su rộng I() hội tụ đều trên đoạn [c, d] thì cũng hội tụ đều trên đoạn con [, ] bất kỳ của nó Định lý 5 Nếu tồn tại hàm g() sao cho (i) f (, ) g() [a, ), [c, d], (ii) Tích phân su rộng g()d hội tụ thì tích phân I() hội tụ tuệt đối và đều trên [c, d] Ví dụ Xét tích phân Ta thấ sin a I() sin d 0 1 ; tích phân 7 1 d hội tụ Vậ tích 0 1 phân đã cho hội tụ đều trên # Định lý 6

73 I() [c, d] a) Nếu hàm số f(,) liên tục trên [a, ) [c, d] còn tích phân su rộng f (, )d hội tụ đều trên đoạn [c, d] thì I() là hàm số liên tục trên a b) Với những giả thiết ở phần a) thì d d f (, )d d f (, )d d c a a c (55) c) Giả sử Khi đó (Công thức đổi thứ tự lấ tích phân) * f(,) liên tục trên [a, ) [c, d] ; * Tích phân I() * Đạo hàm riêng * Tích phân a a f (, )d hội tụ với mọi [c, d] ; a f (, ) tồn tại và liên tục trên [a, ) [c, d] ; f (, ) d hội tụ đều trên [c, d] d f (, ) f (, ) d d [c, d] d (56) a (Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân) Ta thấ công thức đạo hàm dưới dấu tích phân khá giống với công thức đạo hàm dưới dấu tổng ét đến ở Giáo trình Giải tích I Lưu ý Tất cả các định nghĩa, tính chất vừa nêu ở trên về tích phân su rộng với cận vô hạn vẫn còn đúng khi chuển sang tích phân su rộng của hàm không bị chặn trên đoạn hữu hạn Độc giả có thể phát biểu các định lý cho riêng mình Ví dụ 3 Tính các tích phân i) ii) a b e e I d (a, b 0), 0 0 I e d (tích phân Poisson-Euler) Giải i) Không hạn chế tổng quát coi 0 a b Xét tích phân 73

74 1 0 I() e d ( 0) a Ta thấ 0 f (, ) e e, tích phân a e d hội tụ a Vậ I() hội tụ đều trên [a, b] Lấ tích phân hai vế ta được Từ đó I b b a b b e e 1 b d e d d e d d d ln a a 0 0 a 0 a ln(b / a) Công thức đúng cả khi 0 < b < a ii) Đặt ut, (u 0), ta được Nhân hai vế với Vế trái là 0 u I u e d u e rồi lấ tích phân trên đoạn [0, ) : e I du ue e d du ue e d du u u u u u I Đổi thứ tự lấ tích phân ở vế phải ta được u (1 ) 1 d I ue du d d I Nhận ét Chúng ta nhận được tích phân Poisson-Euler nổi tiếng ha dùng trong Lý thuết Xác suất: e d # Ví dụ 4 ( Hàm Gamma Γ()) Hàm Gamma ác định theo công thức 1 t () t e dt ( 0) 0 Trước hết ta có 1 1 t 1 t 1 () t e dt t e dt () () 0 1 Sau đâ là một số tính chất của hàm Gamma * (1) 1 * (n 1) n! (n 1,,) 1 * ( 1) () ( 0) * 74

75 1 1 u u e udt e dt u # 0 0 Chữa bài tập: 5 5 : b) 4 (R r ) /15 ; c) 8π/5 ; e) / 48 3 a) 3 a / 40 ; b) 3 / 3 TÓM TẮT CHƯƠNG (Tự học) TÓM TẮT CHƯƠNG TP kép TP bội ba Cách tính Đổi biến tổng quát Đổi biến toạ độ cực Ứng dụng Cách tính 75 b d h()k() d d h()d k()d [a, b] [c,d] a c () {ab, () 1 ()} a 1() D D' b f (,)dd d f (, )d (u,v), (u,v), (u,v) D, D D thì f (, )dd f ((u, v), (u, v)) J dudv D đối ứng qua O thì f dd, f (,) ch½n víi biõn f dd D D 1 0, f (, ) D là hình quạt: r cos, rsin r ( ) D r 1( ) lî víi biõn f (, )dd d f (r cos,r sin )r dr D là một phần của ellip: Dùng toạ độ cực co giãn DT mảnh phẳng: dt(d) d d KL: m D (, )dd 1 Trọng tâm: G( G, G ), G m D D (, ) dd, DT mặt cong: dt(s) 1 (f ) (f ) dd TT hình trụ cong: V D D f (, )dd z (,) f dddz dd f (,, z)dz (,) D D z 1(,) z 1(,) zz (,)

76 Đổi biến tổng quát Đổi biến toạ độ trụ Đổi biến toạ độ cầu Ứng dụng () z (,) {ab, () 1 () a 1() z 1(,) z 1(,) zz (,) } b V a S() b f dddz d d f dz f (,,z)dddz d f (,,z)ddz (u,v, w), (u,v,w), z z(u,v,w), V V f dv f ((u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w)) J dudvdw V V V đối ứng qua mặt O thì: V f dddz nõu f(,,z) ch½n víi biõn z f dddz V 1 0 nõu f(,,z) lî víi biõn z V là hình trụ cong, hình chiếu lên O là hình quạt: z (,) f dddz f (,, z) dz dd V D z 1(,) Dùng toạ độ cực để tính tích phân kép thu được V là phần hình cầu: r cos sin, rsin sin, z r cos, I 1 ( ) r (, ) d d f (rcossin,rsin sin,r cos ) r sin dr 1 1 ( ) r 1(, ) Thể tích: Khối lượng: V m V V dddz (,,z)dddz Trọng tâm: G( G, G,z G ): 1 G (,, z) dddz, m V b) Thảo luận - Liên hệ toạ độ D với toạ độ cầu - Công thức đối biến TĐ cầu - Xác định cận tích phân trong TĐ cầu c) Tự học VD37 ; VD 40 d) Bài tập Bổ trợ: (d); 4(c, d, e, f, h); 5 Tài liệu Tài liệu [1], tr 76

77 Bài giảng 8: Tích phân đường và tích phân mặt Chương, mục: 3 Tiết thứ: Tuần thứ: 8 Mục đích, êu cầu: Tích phân đườngt loại I: Nắm được công thức tính, vài ứng dụng TP đường loại II: Các công thức tính, Cách nhớ và áp dụng của công thức Green Điều kiện TP độc lập với đường lấ TP - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: 31Tích phân đường loại I 3 Tích phân đường loại II Chương 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - TÍCH PHÂN MẶT 31 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 311 Mở đầu a Bài toán khối lượng đường cong vật chất (em [1]) b Định nghĩa u f (M) ác định trên cung L AB là đường cong liên tục trong không gian, không tự cắt, (có độ dài) Chia AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia liên tiếp A0 A, A 1,, An B Gọi độ dài cung A i1a i là si Trên cung A i 1Ai chọn điểm M i tù ý Lập tổng TP I n f (M ) s n i i i1 Nếu khi n sao cho Ma s 0 mà tổng tích phân dần đến giới hạn i i1,,n hữu hạn I ác định, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn các điểm M thì: i + Giới hạn I được gọi là tích phân đường loại một của hàm f(m) trên cung AB, và ký hiệu là f (M)ds (ha f (M)ds, f (,, z)ds, f ds ) AB L Lưu ý Trong định nghĩa có nói đến đường cong có độ dài, là đường cong thông thường ta vẫn gặp, coi mọi đường cong ta ét đều có độ dài L L 77

78 c Điều kiện tồn tại Nếu cung AB giới nội, trơn từng khúc, còn f(m) bị chặn và liên tục từng khúc trên AB thì hàm f(m) khả tích trên AB d Tính chất i) Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của đường cong: f (M)ds f (M)ds AB BA ii) Tích phân đường loại một có các tính chất khác giống với tích phân ác định thông thường như tính chất tuến tính, hệ thức Chasles, ác định dương e Ý nghĩa hình học - cơ học * Chiều dài s của cung AB có thể tính thông qua tích phân đường loại một: s ds (3) AB * Diện tích của bức rèm (ha hàng rào) (Hình 31) cho bởi S f (, )ds C Hình 31 Bức rèm * Nếu cung vật chất AB có khối lượng riêng (M) (,,z) tại điểm M(,,z) thì khối lượng đường cong được tính bởi công thức m (,,z)ds (33) AB Trọng tâm G( G, G, z G) của cung AB ác định như sau: 78

79 1 G (,,z)ds m AB 1 G (,, z)ds m AB 1 zg z (,, z)ds m AB 31 Cách tính (34) AB: (t), (t), z z(t), a t b Khi đó b f (,, z)ds f ((t), (t), z(t)) (t) (t) z (t) dt (35) AB a AB: đồ thị của hàm số f (), a b b f (, )ds f (, ()) 1 ()d (36) AB a Ví dụ 31 Tính tích phân L là đường tròn, L I ds a (a 0) a a Giải L : 4 Xét phép đổi biến tọa độ cực r cos, r sin Phương trình của L là r a cos,, su ra phương trình tham số a cos a sin của nó là Từ đó a Vậ (a / )sin a cos / # / I a cos a d a 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 31 Mở đầu a Bài toán công của lực biến đổi (Cùng đọc sách) Ta biết rằng, nếu chất điểm di chuển trên đoạn thẳng AB dưới tác động của lực không đổi F thì công của lực sinh ra là AB F Tổng quát hiện tượng nà (em [1]) cùng nhiều hiện tượng vật lý khác người ta dẫn đến khái niệm TP đường loại II sau đâ 79

80 b Định nghĩa Trong mặt phẳng O ét đường cong định hướng L AB (chiều đường cong đi từ A đến B) Cho P(,), Q(,) là những hàm ác định trên AB Lập hàm véc tơ F P(, )i Q(,) j Chia AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia liên tiếp A0 A, A 1,, An B Gọi hình chiếu lên các trục O, O của véc tơ Ai 1Ai lần lượt là i, i Lấ điểm M tù ý trên cung A i 1Ai Lập tổng tích phân i n n I F(M ) A A P(M ) Q(M ), n i i1 i i i i i i1 i1 Nếu khi n sao cho Ma i, Ma i 0 mà tổng I n dần đến i1,, n 80 i1,, n giới hạn I hữu hạn ác định, không phụ thuộc vào cách chia cung AB, cách chọn các điểm M thì: i + Giới hạn I được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm P(,), Q(,) (ha của trường véc tơ F(, ) P(,) i Q(,) j ) trên cung AB và ký hiệu là P(, ) d Q(, )d ha AB Pd Qd ha Pd Qd; AB + Các hàm P(,), Q(,) được gọi là khả tích trên AB Chú ý Tích phân được viết đơn giản hơn khi thành phần P (hoặc Q) triệt tiêu, cũng như khi có thừa số chung: Qd (hoặc AB Pd ); AB c Điều kiện tồn tại HP d HQd H P d Qd AB Nếu AB là đường cong liên tục, trơn từng khúc, các hàm P(,), Q(,) liên tục hoặc liên tục từng khúc và bị chặn thì tích phân đường loại hai Pd Qd tồn tại AB d Tính chất + Chiều đường cong có vai trò quan trọng: Nếu đường cong được lấ theo chiều ngược lại thì tích phân đường loại hai cùng trị tuệt đối nhưng đổi dấu: P d Qd Pd Qd AB BA + Ngoài ra, TP đường loại hai cũng có các tính chất khác của TP ác định thông thường e Ý nghĩa cơ học Công của lực F P(, )i Q(, ) j tác động trên đường cong (định hướng) trơn từng khúc AB cho bởi AB L

81 W Pd Qd AB 3 Mối liên hệ giữa tích phân đường loại một và loại hai Giả sử đường cong định hướng L trơn từng khúc và tại điểm M(,) có véc tơ tiếp tuến đơn vị (M) ( (M), (M)) Khi đó L L P(, )d Q(, )d P(, ) (, ) Q(, ) (, ) ds ha một cách tương đương: P(, )d Q(, )d F(, ) (, )ds F ds L L L Một số tài liệu dùng vế phải của PT nà làm định nghĩa (và ký hiệu) của tích phân đường loại II 33 Cách tính a Đường cong cho dưới dạng tham số Nếu đường cong L AB cho dưới dạng tham số: (t), (t), a t b, ( t a ứng với điểm đầu A, t b ứng với điểm cuối B), các hàm (t), (t) liên tục, khả vi từng khúc, P(,), Q(,) là những hàm liên tục trên L thì I P(, )d Q(, )d L b a P((t), (t)) (t) Q((t), (t)) (t) dt (*) b Đường cong cho dưới dạng phương trình hiện + L AB : (), a b, () là hàm liên tục, khả vi từng khúc, = a ứng với điểm đầu A, = b ứng với điểm cuối B của đường; + P(,), Q(,) liên tục trên L thì L b a I P(, )d Q(, )d P(, ()) Q(, ()) () d Chú ý * Nếu đường cong chưa có dạng tham số thì khi lấ tích phân đường loại hai ta phải tham số hóa đường cong * Trong không gian, cũng ĐN TP đường loại hai của các hàm P(M), Q(M), R(M) (ha của trường véc tơ F(M) P(M) i Q(M) j R(M)k ) lấ trên đường cong định hướng L: I Pd Qd Rdz L Các tính chất, cách tính tương tự với trường hợp đường cong phẳng, chẳng hạn, công thức (31) trở thành: 81

82 L P d Qd Rdz b a P((t), (t), z(t)) (t) Q((t), (t), z(t)) (t) R((t), (t), z(t))z (t) dt Ví dụ 3 Cho tích phân I ( )d d (a) Vẽ một số véc tơ của trường F L (b) Tích phân mang dấu gì khi L là cung nối O(0,0) với A(1, 1) theo: (i) cung parabol ; (i) đoạn thẳng AB? Hã tính giá trị của I để khẳng định nhận ét vừa đưa ra Giải (a) F (, ) (Hình 33- Độ dài các véc tơ đã được co 5 lần) (b) Ta thấ toàn bộ chuển động đều uôi theo trường, vậ I 0 Cụ thể: Tiếp tuến của đường cong đều tạo với véc tơ của trường một góc nhọn Mọi số hạng F(M i) Ai 1Ai trong tổng tích phân đều dương; tổng tích phân cũng vậ, và do đó tích phân sẽ dương (i) Trên cung AB thì, vậ I ( )d vậ (ii) Trên đoạn AB thì, 1 4 I ( )d # 3 0 Nhận ét Đối với trường đã cho, TP trên hai đường cong nối O với A cho ra hai kết quả khác nhau Hình 33 Trường ở Ví dụ 3 34 Công thức Green Nhắc lại và đưa ra vài khái niệm phụ trợ n * Miền liên thông Miền E được gọi là liên thông (liên thông đường) nếu ta có thể nối hai điểm bất kì của nó bằng một đường gã khúc nằm hoàn toàn trong E Nếu E mở thì có thể tha cụm từ đường gã khúc bằng đường cong trơn từng khúc * Miền đơn liên Miền liên thông U trong được gọi là một miền đơn liên nếu mọi đường cong kín, có độ dài (đo được Jordan) đều bao bọc một miền nằm hoàn toàn trong U Nói cách đơn giản, miền đơn liên là miền "không có lố 8

83 thủng" và không thể chứa hai mẩu riêng biệt Miền không đơn liên (miền có "lỗ thủng") là miền đa liên (a) (b) (c) Hình 34 Miền liên thông(a,b) - không liên thông (c) đơn liên (a), nhị liên (b) trong * Hướng dương của biên của miền liên thông D - đơn liên cũng như đa liên - là hướng mà một người đi theo hướng đó sẽ thấ phần miền D gần nhất luôn ở bên trái (Xem Hình vẽ) Hình Hướng dương của biên của miền đơn liên (a) và nhị liên (b) Định lý (Công thức Green) Cho D là miền đóng, bị chặn, liên thông, có biên L gồm một số hữu hạn đường cong kín, trơn từng khúc, rời nhau đôi một và có hướng dương Giả sử P(,), Q(,) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng là những hàm liên tục trên D Khi đó ta có công thức Q P Pd Qd dd L D Chứng minh * Giả sử D là miền đơn giản, ở đó mọi đường thẳng song song với trục O hoặc O sẽ cắt biên L của nó tại không quá điểm (Hình a) Áp dụng công thức chuển tích phân kép sang tích phân lặp ta được b () P P () I dd d d P(, ) 1() d D a 1() a b b a P(, ())d 1 a b P(, ())d Theo cách tính tích phân đường loại hai, vế phải là CÁCH NHỚ! 83

84 P(, )d P(, )d P(, )d P(, )d AmB AnB AmBnA L Hình Miền đơn giản (a), hình thang cong (b), và miền đa liên (c) Tương tự, Su ra Q J dd Q(, )d D D L Q P J I dd Pd Qd * D là hình thang cong có đá // O, tức là mọi đường thẳng đi qua điểm trong của miền và // O sẽ cắt biên L của nó tại đúng hai điểm (em Hình), ta thêm vào tích phân trên đoạn CB và AD, ta nhận được kết quả tương tự tròn L * Các trường hợp khác: Bỏ qua chứng minh (em [1]) Ví dụ Tính I (e sin )d (e cos 1)d với AO là nửa đường AO 4 ( 0), chạ từ A(4,0) đến O(0,0) Giải 4 ( ) 4 ĐT C tâm (,0), bán kính AO chưa kín, ta thêm vào đoạn thẳng OA để được đường kín Từ đó, I AO AO OA OA L OA 84

85 L: biên của nửa trên của hình tròn (theo hướng dương) Vậ, L D Trên OA thì (e cos e cos 1)dd 0 0 Tóm lại I 0 OA Nhận ét Phương trình tọa độ cực của AO là r 4cos, do đó dạng tham số của nó là 4cos, sin, 0 / Tu nhiên, tính trực tiếp tích phân I dùng công thức (*) theo tham số sẽ khó khăn # 35 Sự độc lập của tích phân đối với đường lấ tích phân Nói chung, TP Pd Qd phụ thuộc vào A, B cũng như vào bản thân AB đường cong nối A với B (em Ví dụ 3) Trong một số trường hợp, tích phân nà chỉ phụ thuộc vào các mút A, B của đường mà không phụ thuộc vào đường nối A với B Định lý 3 Cho D là một tập mở, đơn liên trong Giả sử P(,), Q(,) cùng các đạo hàm riêng của chúng là các hàm liên tục trong D Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương với nhau: Q(, ) P(, ) a) với mọi (, ) D b) Pd Qd 0 với mọi đường cong L kín, không tự cắt, trơn từng L khúc nằm hoàn toàn trong D c) Tích phân AB Pd Qd, trong đó AB là cung trơn từng khúc, không tự cắt, nằm hoàn toàn trong D, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu A, điểm cuối B mà không phụ thuộc vào đường cong trơn từng khúc, không tự cắt, nằm hoàn toàn trong D nối A với B d) Biểu thức Pd Qd là vi phân toàn phần, tức là tồn tại hàm u(,) có các đạo hàm riêng (cấp hai) liên tục trong D và du Pd Qd Chứng minh Ta sẽ chứng minh theo sơ đồ a) b) c) d) a) * a) b) Giả sử L là đường cong kín bất kỳ, không tự cắt, trơn từng khúc, nằm trong D Vì D là miền đơn liên nên miền (hữu hạn) G có biên là L cũng nằm trong D Theo công thức Green ta có Q P P d Qd dd 0 L G 85

86 * b) c) Giả sử AmB, AnB là hai cung bất kỳ trơn từng khúc, có hai điểm chung du nhất là A và B, nằm hoàn toàn trong D Khi đó AmBnA là đường cong kín trong D Từ chỗ mệnh đề b) là đúng, ta có 0 P d Qd Pd Qd P d Qd AmBnA AmB BnA Pd Qd Pd Qd AmB AnB Hình 37 Những cung nối A với B (a): Không cắt nhau, (b): Cắt nhau Chú ý i) Giả thiết đơn liên của miến D không bỏ qua được (em Ví dụ 33, 330) Nếu D không đơn liên thì từ khẳng định a) ta không thể su ra các khẳng định còn lại Muốn nhận được các khẳng định còn lại, ta phải hạn chế ét trong miền đơn liên con D nào đó chứa trong D ii) Nếu tồn tại hàm u(,) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D nói trên sao cho du Pd Qd thì F (P,Q) gọi là trường thế, hàm u(,) gọi là hàm thế (hàm thế năng, hàm thế vị) của trường, (chúng ta sẽ ét kỹ hơn về trường ở Bài 35) và có thể chứng minh rằng B P d Q d u(b) u(a) u(m) A (315) AB iii) Nếu D mở, đơn liên và một trong 4 khẳng định nêu trong Định lý 34 thỏa mãn, (Khẳng định (a) dễ kiểm tra hơn cả!) có thể tính hàm thế u(,): u(, ) P d Qd + C (316) AM trong đó AM là đường cong tù ý trơn từng khúc, không tự cắt, nằm trong D nối A với M Đặc biệt, nếu đường gấp khúc ACM (mỗi khúc của nó song song với một trong hai trục tọa độ) nằm trong D Vậ u(, ) P(, )d Q(, )d P(, )d Q(, )d C AC CM 86

87 P(, )d Q(, )d C Tương tự cho trường hợp khi đường gấp khúc ABM nằm trong D Như vậ, nếu đường gấp khúc ACM (hoặc ABM) nằm trong D thì u(, ) (chỉ số 0 đính vào biến một lần, đính vào biến nà ở tích phân lấ theo biến kia) B M(,) 0 A( 0, 0 ) C O 0 Hình 39 Đường gấp khúc mà mỗi khúc // trục tọa độ nối A với M Ví dụ 35 Tính tích phân sin đi từ A(,0) O(0,0) I e d (1 )d, với AO là cung AO Giải P(, ) e P e ( ) ; Q(, ) e (1 ) Q e ( ) Vậ P Q Các hàm P, Q, P, Q liên tục Từ đó, tích phân không phụ thuộc vào đường lấ tích phân, ta chọn đoạn thẳng AO nối A với O Trên AO, = 0 nên # I P d Qd Pd 0d 0 AO AO a 0 87

88 Ví dụ 36 Chứng tỏ rằng biểu thức 6(e )d (3 )e d là vi phân toàn phần của hàm u(,) nào đó Tìm hàm u(,) đó là đường Áp dụng: Tính tích phân trong đó L L I 6(e )d (3 )e d đi từ điểm O(0,0) tới điểm A(1,1) Giải * Vì Q P 6 e, các hàm P, Q, Q P, liên tục (trên ) nên theo Định lý 3 biểu thức đã cho là vi phân toàn phần Chọn ( 0, 0) (0,0), áp dụng công thức (317), 0 0 u(, ) (30 )e d 6(e ) d C ( )de 6 e C e ( 3 3 ) C * Theo (315), I u(1,1) u(0,0) e 5 Nhận ét Theo ngôn ngữ của lý thuết trường, Ví dụ trên nghĩa là: Chứng tỏ F 6(e ) i (3 ) e j là trường thế; tìm hàm thế Tìm lưu số của trường khi một chất điểm di chuển từ O(0,0) tới A(1,1) ) Vì F là trường thế, tích phân đã cho bằng hiệu hai giá trị của hàm thế tại A và O: I u(1,1) u(0,0) e 5 # Bài tập chữa trên lớp 7 / ; 8 ; 14 c) 7 a / ; 16 c) 3 / ; d) 3 / 4 4 b) Thảo luận c) Tự học VD33 ; VD35 ; VD3 6 ; VD37 ; VD38 ; VD3 9 ; VD331 d) Bài tập (1t) 3(b); 10(b, c, d, e); Tài liệu Tài liệu [1], tr 88

89 Bài giảng 9: Tích phân đường và tích phân mặt (tiếp) Chương, mục: 3 Tiết thứ: Tuần thứ: 9 Mục đích, êu cầu: Nắm được điều kiện TP độc lập với đường lấ TP Làm được bài tập Nắm được khái niệm tích phân mặt loại I,loại II - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: 3 Tích phân đường loại II (tiếp: Sự độc lập của TP vào đường trong KG) Bài tập tích phân đường 33Tích phân mặt loại I 34Tích phân mặt loại II 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI Định lý 3 cũng được tổng quát sang trường hợp không gian 3 Định lý Trong cho U là một tập mở, đơn liên mặt (em [1]) Các hàm P(,,z), Q(,,z), R(,,) cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên U Khi đó 4 mệnh đề sau là tương đương với nhau (a) (b) Q P R Q P R,, z z L 89 với mọi (,,z) U CÁCH NHỚ! Pd Qd Rdz 0 với mọi đường cong L không tự cắt, kín, trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong U (c) Tích phân AB Pd Qd Rdz, trong đó AB là cung trơn từng khúc, không tự cắt, nằm hoàn toàn trong U, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu A, điểm cuối B mà không phụ thuộc vào đường cong trơn từng khúc, không tự cắt, nằm hoàn toàn trong U nối A với B (d) Biểu thức Pd Qd R dz là vi phân toàn phần, tức là tồn tại hàm u(,,z) có các đạo hàm riêng (cấp hai!) liên tục trong U và du Pd Qd Rdz

90 Chú ý (i) Nếu tồn tại hàm u(,,z), có các đạo hàm riêng liên tục trong miền U nói trên sao cho du Pd Qd Rdz thì trường F (P,Q,R) gọi là trường thế, u(,,z) gọi hàm hàm thế (ha hàm thế vị, hàm thế năng) của trường, và có thể chứng minh rằng B P d Q d Rdz u(b) u(a) u(m) A AB (ii) Nếu miền D mở, đơn liên mặt và một trong 4 khẳng định nêu trong Định lý 33 thỏa mãn thì có thể tính hàm u(,,z) theo công thức u(,, z) P d Qd Rdz +C AM trong đó AM là đường cong tù ý trơn từng khúc, không tự cắt, nằm trong U nối A với M Đặc biệt, với A( 0, 0,z 0), B(, 0,z 0), C(,,z 0), M(,,z) mà đường gấp khúc ABCM (các đoạn của nó lần lượt song song với các trục O, O, Oz) nằm trong U, thì z0 (317) u(,,z) P(,,z )d Q(,,z )d R(,,z)dz C Tương tự với các trường hợp khác của đường gấp khúc nối A với M (iii) Giả thiết đơn liên của miền U là không bỏ qua được 3 3 Ví dụ 38 Chứng tỏ rằng z d z d 3 z dz là vi phân toàn phần của hàm u(,,z) nào đó, tìm hàm nà (Nói cách khác: Chứng tỏ rằng 3 3 F z i z j 3 z k là trường thế, tìm hàm thế vị) Giải 3 3 P z, Q z, R 3 z Rõ ràng các điều kiện về khả vi thỏa mãn Ta có Q 3 P R Q P R z, 6z, 3 z z z Theo Định lý, biểu thức đã cho là vi phân toàn phần Đặt (,, z ) (0,0,0), hàm thế vị có thể tính như sau: z 3 # u(,,z) 0d 0d 3 z dz C z C Chữa bài trên lớp d) a(h a) ; 4 c) 1 / 5; d) 0; e) 5 / 3 z 3 4 a / 3; f) 3 4 a ; h) 0 90

91 33 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT 331 Mở đầu a Định nghĩa S: mặt hữu hạn, (có diện tích), Hàm số f (M) f (,,z) ác định trên S Chia S thành n mảnh nhỏ, gọi các mảnh nà là ( S 1),,( S n ) và diện tích của chúng lần lượt là S 1,, Sn Trên mảnh Si lấ điểm M i( i, i,z i) tù ý Lập tổng I n f (M ) S n i i i1 Gọi d i là đường kính của mảnh Si Nếu khi n sao cho Ma d 0 mà các tổng I n dần đến một giới hạn I hữu hạn ác định, không i 1,, n i phụ thuộc vào cách chia mặt S cũng như cách chọn các điểm M i thì giới hạn đó được gọi là tích phân mặt loại một của hàm f(,,z) trên S và ký hiệu là f (,,z)ds ha f (M)dS ha f ds S S S Nếu mặt S kín thì ký hiệu là f (M)dS S b Điều kiện tồn tại Giả sử rằng: i) Mặt S liên tục, giới nội, (có diện tích), trơn từng mảnh; ii) Hàm f(,,z) liên tục hoặc bị chặn và liên tục tùng mảnh trên S Khi đó tồn tại tích phân mặt loại một của hàm f(,,z) trên S c Tính chất Giống tính chất của TP ác định 33 Ý nghĩa a Ý nghĩa hình học Nếu mặt S liên tục, giới nội, trơn từng mảnh thì diện tích S của nó có thể tính theo công thức dt(s) ds (318) S b Ý nghĩa cơ học Nếu khối lượng riêng của mặt tại mỗi điểm M(,,z) của nó là (,,z) thì: i) Khối lượng của mặt cho bởi m (,,z)ds ; (319) S ii) Trọng tâm G( G, G,z G ) có các tọa độ được tính theo công thức 91

92 z G G G 1 m 1 m 1 m S S S (,, z)ds, (,, z)ds, z (,,z)ds 333 Cách tính + S: z z(,), (, ) D (D miền đóng, giới nội) + z(,) cùng các đạo hàm riêng cấp một z, z liên tục trên D Khi đó (30) f (,,z)ds f (,,z(, )) 1 z z dd (31) S D Tự đặt ra công thức tương tự cho các trường hợp khác Hình 311 Mặt cho bởi phương trình hiện (a) và mặt ở Ví dụ 39 (b) Ví dụ 39 Tính tích phân I z a (a 0);,, z 0 S z ds, trong đó S là một phần tám mặt cầu Giải Trên S thì z a ( ), (, ) D với D là phần hình tròn tâm O, bán kính a nằm ở góc phần tư thứ nhất Ta có z z, a ( ) a ( ) z z a 1 a ( ) 9

93 a I (a ( )) dd a ( ) D a a ( ) dd D / a 4 a I a d a r r dr (Tọa độ cực) # 34 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI 341 Mặt định hướng Yêu cầu về hệ pháp tuến của mặt: Biến thiên liên tục Phía mà các pháp tuến n(m) hướng vào là phía dương, phía còn lại là phía âm Hình 313 Phía của mặt: (a) phía trên, (b) phía dưới, (c) phía ngoài Đối với mặt S cho bởi phương trình z z(, ), phía của S ứng với pháp tuến làm với tia Oz một góc nhọn là phía trên, phía kia gọi là phía dưới (em Hình 313a,b) Nếu mặt S cho bởi phương trình (,z), ta có thể ét phía trước - phía sau Nếu S cho bởi phương trình (z,), ta có thể nói đến phía trái - phía phải Thực ra các từ trên - dưới, trước - sau, trái - phải ở đâ chỉ có tính ước lệ, phụ thuộc vào vị trí tương đối của hệ trục với người quan sát Mặt kín bất kỳ không tự cắt S (mặt cầu, mặt elipsoide ) là mặt hai phía Phía có pháp tuến hướng vào miền trong giới hạn bởi mặt S được gọi là phía trong của S, phía kia được gọi là phía ngoài của S (em Hình 313c) Bạn hã nói những phía có thể của chiếc chum? Mặt trụ, mặt cầu, mặt nón? Lưu ý: Có những rắc rối khi ác định phía của mặt: băng Möbius Ta lấ một băng giấ hình chữ nhật ABCD; oắn băng lại nửa vòng; dán chéo A với C, B với D, ta sẽ được băng Möbius (em Hình 31) 93

94 A C B D Hình 31 Băng Möbius Một con kiến có thể bò ở trên cả hai phía của mặt mà không cần bò qua biên Mặt như thế là mặt 1 phía Tu nhiên người ta loại đi những trường hợp rắc rối nà, chỉ ét mặt phía Cho một mặt định hướng S được giới hạn bởi biên C gồm một (nếu mặt đơn liên) hoặc một số (nếu mặt đa liên) đường cong kín, liên tục, trơn từng khúc Ta gọi hướng dương trên C ứng với phía đã chọn của mặt S là hướng mà một người quan sát đứng thẳng theo hướng của pháp tuến của mặt, đi dọc theo hướng dương của đường cong sẽ thấ phần gần nhất của mặt S luôn ở về bên trái (em Hình 314) (a) (b) Hình 314 Hướng dương của biên của mặt đơn liên (a) và của mặt đa liên (b) Mặt S được gọi là định hướng từng mảnh nếu nó là liên tục, được phân chia bởi một số hữu hạn đường trơn từng khúc thành một số hữu hạn mảnh định hướng, hướng trên mỗi mảnh được ác định sao cho hai hướng dương trên phần biên chung của hai mảnh kề nhau là ngược nhau A (a) (b) S 1 B S Hình 315 Mặt định hướng từng mảnh (a), phía ngoài của hình hộp (b) Theo nguên tắc nà, hình hộp có thể định hướng ra ngoài (Hình 315b) - hoặc ngược lại, định hướng vào trong 94

95 34 Tích phân mặt loại hai a Bài toán thông lượng Chất lỏng có vận tốc v không đổi theo thời gian cũng như không phụ thuộc vào vị trí của điểm em ét Xét một mảnh phẳng S đặt trong chất lỏng, biết rằng S là mặt định hướng với véc tơ pháp tuến đơn vị n và với diện tích S Trong một đơn vị thời gian, lượng chất lỏng chả qua mặt S (từ trái sang phải) là thể tích hình trụ iên (em Hình 316): V v cos (n, v) S n v S (3) Ở đâ chúng ta qu ước rằng mang giá trị dương nếu góc hợp bởi véc tơ pháp tuến n với v là góc nhọn, mang giá trị âm nếu đó là góc tù còn được gọi là thông lượng của trường vận tốc v qua mặt S n v S Hình 316 Lượng chất lỏng chả qua mặt S trong một đơn vị thời gian Tổng quát hóa tình huống trên khi vận tốc v phụ thuộc vào điểm đặt M trong môi trường, mật độ vẫn coi là không đổi, và mặt S là mặt cong định hướng, cũng như nhiều hiện tượng vật lý khác, người ta đi đến khái niệm tích phân mặt loại hai b Định nghĩa Trong miền không gian G ét hàm véc tơ F F(M) P(M) i Q(M) j R(M)k Trong G cho mặt định hướng S ở đó véc tơ pháp tuến đơn vị tại điểm M S là n n(m) (cos (M), cos (M),cos (M)) Chia S thành các mảnh nhỏ ( S 1),, ( S n ) không dẫm lên nhau và gọi diện tích tương ứng của chúng là S 1,, S n Trên mảnh ( Si ) chọn một điểm M i tù ý Lập tổng sau đâ, gọi là tổng tích phân: I n n F(M i) n(m i) Si i1 n P(M i)cos (M i) Q(M i)cos (M i) R(M i)cos (M i) Si i1 Nếu khi n sao cho Ma di 0 ( d i là đường kính của mảnh ( Si )) mà tổng I n dần đến giới hạn I hữu hạn ác định, không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn các điểm M i thì giới hạn đó được gọi là tích phân mặt loại hai của các hàm P(M), Q(M), R(M) (ha của trường véc tơ F(M) ) trên S và được ký hiệu là P(,, z)ddz Q(,, z)dzd R(,, z)dd (33) S 95

96 (hoặc đơn giản hơn, P ddz Qdzd R dd) S Nếu S là mặt định hướng từng mảnh, tích phân trên S là tổng các tích phân trên những mảnh nhỏ định hướng: Pddz Qdzd R dd Pddz Qdzd R dd S 1 Sn i1 Si Chú ý Tích phân được viết đơn giản hơn khi một (ha hai) thành phần P, Q, R triệt tiêu, cũng như khi có thừa số chung, chẳng hạn Pddz, ; S S n HPddz HQdz d H(P ddz Qdzd) Mặt cong kín S là biên của miền hữu hạn V nào đó trong không gian và không có chỉ dẫn gì thêm thì ta qu ước tích phân lấ trên S theo phía ngoài là: Pddz Qdzd R dd S c Điều kiện tồn tại Nếu S là mặt định hướng từng mảnh và các hàm P, Q, R liên tục trên S thì tồn tại tích phân mặt loại hai của các hàm nà trên S d Tính chất Sự phụ thuộc vào hướng của mặt Nếu mặt được chọn theo hướng ngược lại thì tích phân có cùng trị tuệt đối nhưng đổi dấu: Pddz Qdzd R dd Pddz Qdzd R dd (34) S S ở đâ S là mặt S với hướng dương đã chọn ban đầu, S là mặt S với hướng ngược lại Mối liên hệ với tích phân mặt loại một Nhắc lại: n(m) (cos (M), cos (M), cos (M)) - véc tơ pháp tuến đơn vị tai điểm M của mặt định hướng S S P ddz Q dzd Rdd (P cos Q cos R cos ) ds S S S F n ds (35) Ngoài ra, tích phân mặt loại có các tính chất thông thường của tích phân như tính chất tuến tính, hệ thức Chasles, Lưu ý Một số tài liệu dùng vế phải của phương trình (35) làm định nghĩa cũng như ký hiệu của tích phân mặt loại hai 343 Ý nghĩa Đối với trường véc tơ F Pi Q j R k, thông lượng của trường qua mặt định hướng S là tích phân mặt loại hai của F trên S: 96

97 Pddz Qdzd R dd S (Nhớ lại trường vận tốc: lượng chất lỏng chả qua mặt theo chiều ác định trong một đơn vị thời gian) 344 Cách tính * Sử dụng công thức liên hệ hai loại tích phân mặt * Mặt cho bởi phương trình hiện z z(, ) S: z z(, ), (, ) D (D là hình chiếu của S uống mặt O), Phía của mặt là phía trên thì các véc tơ pháp tuến sẽ tạo với trục Oz một góc nhọn N ( z, z, 1) (thành phần thứ 3 của pháp tuến 0 ), pháp tuến đơn vị tương ứng là z z 1 n,, 1 z z 1 z z 1 z z Tha vào (35) và sử dụng cách tính tích phân mặt loại một ta được: z P z Q I ds S 1 z z 1 z z 1 z z D ( z P(,, z(, )) z Q(,, z(, )) R(,, z(, )))dd Nếu phía của mặt là phía dưới (pháp tuến tạo với trục Oz một góc tù) thì ta phải thêm dấu trừ vào vế phải Định lý 34 Giả sử mặt cong (S) cho bởi phương trình hiện z z(, ), là hàm liên tục cùng các đạo hàm riêng z, z trên miền đóng, giới nội (có diện tích) D trong Cũng giả sử rằng P, Q, R là những hàm liên tục trên (S) Khi đó ả ra công thức P ddz Q dzd R dd ( z P z Q R)dd (36) S D Đặc biệt, R(,, z)dd R(,,z(, ))dd (37) S D Dấu cộng "+" ha trừ " " tù thuộc vào phía của mặt chọn là phía trên ha phía dưới Ví dụ 310 Tính tích phân mặt loại hai S R dd zddz, trong đó S là phần của mặt z nằm phía trên hình vuông D: 1 1, 1 1 và hướng lên phía trên Giải thức (36) nhận được z, z, z Vì mặt lấ theo phía trên, theo công 97

98 S dd zddz zddz 0dzd dd S 3 4 ( )z(, ) 1 dd ( )dd # 3 D D Ví dụ 311 Tính thông lượng của trường véc tơ F i j 4k S là phần tám thứ nhất của mặt cầu z 1 và hướng ra ngoài trong đó Giải z 1, z 0 z z 1,, z 1 1 Mặt hướng ra ngoài cũng là hướng lên trên Theo (36), ddz dzd 4dd S 4 dd D 1 1 4dd 4dt(D) 4 4 # D Ví dụ 31 Tính tích phân mặt loại hai S ddz dzd zdd, trong đó S là mặt ung quanh của tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ 0, 0, z 0 và mặt z 1, hướng ra phía ngoài Giải I I1 I I3 I4, trong đó I i là tích phân lấ trên mặt S i, i 1,4 Hình 317 Tứ diện ở Ví dụ 31 98

99 Vì định hướng ra phía ngoài nên mặt S 1 hướng uống phía dưới, véc tơ pháp tuến đơn vị là k (0, 0, 1) Vậ I ddz dzd zdd (0 0 z( 1)dS 1 S1 S1 (D là tam giác OAB) z ds 0dd 0 S1 D (Có thể nhận ét rằng, trên S 1 thì z 0 dz 0 ddz dzd 0 Vậ I ddz dzd zdd 0 0 z dd 0 1 ) S1 S1 Từ tính đối ứng su ra I I3 I1 0 Để tính I 4, ta thấ z 1 N ( z, z,1) (1,1,1), dùng (36): 1 I4 ddz dzd z dd ( z(, ))dd 1dd Su ra S4 D D 1 I * Thực ra sau đâ sử dụng công thức Ostrogradski-Gauss ở mục 346 sẽ tiện lợi hơn nhiều # 345 Công thức Stokes Định lý 35 (Công thức Stokes) Giả sử S là mặt định hướng được từng mảnh, biên của S là đường cong L kín, trơn từng khúc, hướng của L được ác định phù hợp với hướng dương của mặt Giả sử các hàm P(,,z), Q(,,z), R(,,z) liên tục cùng với các đạo hàm 3 riêng của chúng trên tập mở nào đó của chứa S Khi đó L Pd Qd Rdz Q P R Q P R dd ddz dzd z (39) z S Ví dụ 313 Tính tích phân C d d z dz, trong đó C là giao tuến của hình trụ 1 và mặt phẳng z định hướng sao cho hình chiếu của nó trên mặt phẳng O có chiều ngược kim đồng hồ hình tròn Giải Gọi E là elip có biên C, định hướng lên trên Hình chiếu E lên O là D : 1 Theo công thức Stokes, S I 3 3 dd (0 0)ddz (0 0)dzd

100 dd 3 r rdr # D Công thức Ostrogradski-Gauss Định lý 35 (Công thức Ostrogradski-Gauss) (ha Định lý Divergence) 3 Giả sử V là miền giới nội, đóng trong với biên là mặt S kín, trơn từng mảnh, định hướng được Cũng giả sử rằng các hàm P(,,z), Q(,,z), R(,,z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng của chúng trên tập mở chứa V Khi đó P Q R P ddz Qdzd Rdd dddz z (330) S Tích phân trên mặt S ở vế trái được lấ theo phía ngoài Ví dụ 314 Tính tích phân trong đó S là mặt ngoài của hình trụ V ddz dzd ( )z dd, S 1, 0 z 1, hướng ra ngoài Giải Gọi hình chiếu của hình trụ lên mặt phẳng O là D, theo công thức Ostrogradski-Gauss, V I ( z( ))dddz ( )(z 1)dddz # D 1 0 D ( )(z z) dd ( )dd Ví dụ 315 Tính tích phân V z ddz ( e )dzd cos()dd, S trong đó S là mặt ung quanh của miền G giới hạn bởi hình trụ parabolic z 1 và các mặt phẳng z 0, 0, z, hướng ra ngoài Giải Tính trực tiếp tích phân đã cho là khó khăn vì phải tính trên 4 mảnh khác nhau Ta sử dụng công thức Ostrogradski-Gauss, 1 1 z 184 I ( )dddz 3 d dz d 35 # V

101 Hình 318 Miền ở Ví dụ 315 Ví dụ 316 Tính tích phân mặt loại hai S I ddz dzd 3z dd, với S là phần mặt cầu z 4 nằm trong góc phần tám thứ nhất 0, 0,z 0, hướng ra phía ngoài (không kể các hình rẻ quạt nằm trên các mặt phẳng tọa độ) Giải Nếu ta dùng công thức (36) ta sẽ đi đến tích phân khó khăn Bổ sung thêm các mặt S 1 : 0, S : 0, S 3 : z 0, cùng với S ta được một mặt kín S (em Hình 311b) Gọi V là miền giới hạn bởi S, theo công thức Ostrogradski-Gauss, I S S1 S S3 3 dddz 3 dddz V S1 S S3 V (Tích phân mặt trên mỗi mặt S 1, S, S 3, đều bằng 0) Chuển sang tọa độ cầu, rcos sin, rsin sin, z r cos, J r sin / / # I 3 d d (r cos sin )(r sin ) dr 3 Ví dụ 317 Dùng công thức Ostrogradski-Gauss để tính tích phân ở Ví dụ 31 Giải 1 1 I (1 11) dddz 3 dddz # V b) Thảo luận c) Tự học VD33 ; VD 333; VD334 V d) Bài tập (1t) Tài liệu Tài liệu [1], tr 101

102 Bài giảng 10: Tích phân đường và tích phân mặt (tiếp) Chương, mục: 3 Tiết thứ: Tuần thứ: 10 Mục đích, êu cầu: Làm được các bài tập căn bản của chương Thấ sự gắn kết chặt chẽ của các loại TP với lý thuết trường Phạm vi ứng dụng của TP, Trường trong thực tế, trong kỹ thuật - Hình thức tổ chức dạ học: Hình thức chủ ếu: Lý thuết, thảo luận - tự học, tự nghiên cứu - Thời gian: Lý thuết, thảo luận: 5t - Tự học, tự nghiên cứu: 5t - Địa điểm: Giảng đường do P phân công - Nội dung chính: Bài tập Tích phân đường loại II 35 Lý thuết trường d) a(h a) ; 4 c) 1 / 5; d) 0; e) 3 4 a / 3; f) 3 4 a ; h) 0 5 / 3 35 LÝ THUYẾT TRƯỜNG 351 Trường vô hướng a Định nghĩa Trường vô hướng là phần không gian G mà tại mỗi điểm M của nó có ác định một đại lượng vô hướng u(m) ( ) Như vậ, bản chất toán học của trường là hàm u(m), gọi là hàm vô hướng của trường Để đơn giản, ta gọi là trường vô hướng u(m), ha trường u Giả sử trong hệ trục Oz cho trước nào đó điểm M có tọa độ (,,z) Việc cho trường tương đương với việc cho hàm số u u(,,z) ác định trên G Ta chỉ ét trường mà hàm u không phụ thuộc vào thời gian, gọi là trường dừng Hơn nữa, ta cũng chỉ ét những trường mà các đạo hàm riêng của hàm u tồn tại và không đồng thời bằng 0 b Mặt mức Cho trường vô hướng u(m) Phương trình u(,,z) c, (c const) ác định một mặt nào đó, gọi là mặt mức (ha mặt đẳng trị) Rõ ràng là các mặt mức khác nhau thì không cắt nhau Hơn nữa, các mặt mức lấp đầ miền G Tại mỗi điểm của G có một và chỉ một mặt mức đi qua c Gradient Lấ một điểm M 0( 0, 0,z 0) G Đặt u0 u( 0, 0,z 0) Xét mặt mức qua, đó là mặt (S) : u(,,z) u u(,,z) u 0 M0 0 0 Theo (173), véc tơ pháp của (S) tại điểm là u(m 0) u(m 0) u(m 0),,, được gọi là véc tơ gradient của trường tại, ký z M 0 hiệu là grad u(m ) (ha u(m ) ) Như vậ M 0

103 u(m 0) u(m 0) u(m 0) gradu(m 0),, z Điều nà ả ra tại điểm bất kỳ, vậ ta có M 0 u u u grad u,, (331) z (luôn giả thiết grad u 0) Chúng ta nhận được định lý sau Định lý 37 Gradient của trường vô hướng u u(,,z) tại một điểm bất kỳ đồng phương với véc tơ pháp tuến của mặt mức của trường đi qua điểm ấ Hình 319 mô tả các đường đồng mức của trường phẳng Taị điểm M bất kỳ, véc tơ grad vuông góc với véc tơ tiếp tuến của mặt mức Hình 319 Véc tơ gradient thẳng góc với mặt mức Hệ quả Nếu là hướng tiếp úc với mặt mức qua điểm M trong trường u u(m) thì đạo hàm của hàm u(,,z) theo hướng triệt tiêu: 0 Tính chất Cho u 1,u là hai trường vô hướng trên G, f là hàm số khả vi, C là hằng số thực bất kỳ Khi đó grad (u1 u ) grad u1 grad u, grad (Cu) Cgrad u, grad (u1u ) u1grad u u grad u 1, grad f (u) f (u)grad u (33) Như vậ, khi coi gradient như một toán tử, tính chất của nó rất giống tính chất của toán tử đạo hàm 35 Trường véc tơ a Định nghĩa Trường véc tơ là phần không gian mà tại mỗi điểm M(,,z) của nó có ác định một véc tơ F : F F(M) F(,, z) Giống như trường vô hướng, quan trọng ở đâ là hàm véc tơ F(M) 103

104 Thông thường, trường véc tơ gắn với khái niệm vật lý cụ thể, ví dụ: trường lực hấp dẫn, trường vận tốc của những hạt chất lỏng chứa đầ trong một miền không gian nào đó và chuển động, từ trường, điện trường Như vậ, trường véc tơ chính là một hàm véc tơ ác định trên một miền trong không gian Việc cho trường véc tơ F tương đương với việc cho ba hàm vô hướng 3 P(,,z)), Q(,,z), R(,,z) trong G để F(,,z) P(,,z) i Q(,,z) j R(,,z)k (ha F Pi Qj Rk) Chúng ta chỉ ét những trường véc tơ mà các hàm P, Q, R có các đạo hàm riêng liên tục trong G Để biểu diễn trường, người ta vẽ các véc tơ F(M 1),, F(M n ) tại các điểm tương ứng M,, M thuộc trường (em Hình 30) 1 n Ví dụ 318 i) Xét một điện tích q (q 0) đặt tại gốc tọa độ O Giả sử tại điểm M(,,z) ta đặt một điện tích đơn vị q1 1 Theo định luật Coulomb, lực đẩ đặt lên q 1 ác định bởi q r E r A, r r trong đó 0 8,8510 1, r OM i j z k, r r z E được gọi là véc tơ điện trường, trường E ung quanh gốc O gọi là điện trường Hình 30 Điện trường (trái) và dòng hải lưu ở một vùng biển (phải) ii) Xét một chất lỏng chuển động trong một vùng không gian nào đó Vận tốc của hạt chất lỏng tại điểm M là véc tơ V(M) Vậ, trong chất lỏng ta đã có một trường vận tốc V Véc tơ V có ba thành phần V, V, Vz (em Hình 30 (phải) (từ [18])) # b Đường dòng (đường sức) Đường dòng của trường véc tơ là mỗi đường cong mà tiếp tuến của nó tại một điểm tù ý đồng phương với véc tơ của trường đặt tại điểm nà 104

HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận tại một điểm. 1. Định nghĩa Hàm 2 biến. Miền xác định của hàm f(x,y) là miền VD:

HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận tại một điểm. 1. Định nghĩa Hàm 2 biến. Miền xác định của hàm f(x,y) là miền VD: . Định nghĩa Hàm biến. f : D M (, ) z= f( M) = f(, ) Miền ác định của hàm f(,) là miền VD: f : D HÀM NHIỀU BIẾN M (, ) z= f(, ) = D sao cho f(,) có nghĩa. Miền ác định của hàm f(,) là tập hợp những điểm

Διαβάστε περισσότερα

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n Cơ sở Toán 1 Chương 2: Ma trận - Định thức GV: Phạm Việt Nga Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam Bộ môn Toán () Cơ sở Toán 1 - Chương 2 VNUA 1 / 22 Mục lục 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma

Διαβάστε περισσότερα

Năm Chứng minh Y N

Năm Chứng minh Y N Về bài toán số 5 trong kì thi chọn đội tuyển toán uốc tế của Việt Nam năm 2015 Nguyễn Văn Linh Năm 2015 1 Mở đầu Trong ngày thi thứ hai của kì thi Việt Nam TST 2015 có một bài toán khá thú vị. ài toán.

Διαβάστε περισσότερα

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Tru cập website: hoc36net để tải tài liệu đề thi iễn phí ÀI GIẢI âu : ( điể) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 8 3 3 () 8 3 3 8 Ta có ' 8 8 9 ; ' 9 3 o ' nên phương trình () có nghiệ phân

Διαβάστε περισσότερα

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b huỗi bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định Nguyễn Văn inh Năm 2015 húng ta bắt đầu từ bài toán sau. ài 1. (US TST 2012) ho tam giác. là một điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là các điểm trên,

Διαβάστε περισσότερα

Kinh tế học vĩ mô Bài đọc

Kinh tế học vĩ mô Bài đọc Chương tình giảng dạy kinh tế Fulbight Niên khóa 2011-2013 Mô hình 1. : cung cấp cơ sở lý thuyết tổng cầu a. Giả sử: cố định, Kinh tế đóng b. IS - cân bằng thị tường hàng hoá: I() = S() c. LM - cân bằng

Διαβάστε περισσότερα

I 2 Z I 1 Y O 2 I A O 1 T Q Z N

I 2 Z I 1 Y O 2 I A O 1 T Q Z N ài toán 6 trong kì thi chọn đội tuyển quốc gia Iran năm 2013 Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại Thương 1 Giới thiệu Trong ngày thi thứ 2 của kì thi chọn đội tuyển quốc gia Iran năm 2013 xuất hiện

Διαβάστε περισσότερα

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA

Suy ra EA. EN = ED hay EI EJ = EN ED. Mặt khác, EID = BCD = ENM = ENJ. Suy ra EID ENJ. Ta thu được EI. EJ Suy ra EA EB = EN ED hay EA ài tập ôn đội tuyển năm 015 guyễn Văn inh Số 6 ài 1. ho tứ giác ngoại tiếp. hứng minh rằng trung trực của các cạnh,,, cắt nhau tạo thành một tứ giác ngoại tiếp. J 1 1 1 1 hứng minh. Gọi 1 1 1 1 là tứ giác

Διαβάστε περισσότερα

Môn: Toán Năm học Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi 116. (Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Môn: Toán Năm học Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi 116. (Thí sinh không được sử dụng tài liệu) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP TRƯỜNG THPT TRUNG GIÃ Môn: Toán Năm học 0-0 Thời gian làm bài: 90 phút; 50 câu trắc nghiệm khách quan Mã đề thi (Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Διαβάστε περισσότερα

Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1

Năm 2017 Q 1 Q 2 P 2 P P 1 Dùng phép vị tự quay để giải một số bài toán liên quan đến yếu tố cố định Nguyễn Văn Linh Năm 2017 1 Mở đầu Tư tưởng của phương pháp này khá đơn giản như sau. Trong bài toán chứng minh điểm chuyển động

Διαβάστε περισσότερα

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN 1

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN 1 SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 0 LẦN THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 80 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ

Διαβάστε περισσότερα

https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2 ĐỀ 56

https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2 ĐỀ 56 TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU TỔ TOÁN Câu ( điểm). Cho hàm số y = + ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 5-6 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 8 phút (không tính thời gian phát đề ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ

Διαβάστε περισσότερα

Ngày 26 tháng 12 năm 2015

Ngày 26 tháng 12 năm 2015 Mô hình Tobit với Biến Phụ thuộc bị chặn Lê Việt Phú Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Ngày 26 tháng 12 năm 2015 1 / 19 Table of contents Khái niệm biến phụ thuộc bị chặn Hồi quy OLS với biến phụ

Διαβάστε περισσότερα

Năm 2014 B 1 A 1 C C 1. Ta có A 1, B 1, C 1 thẳng hàng khi và chỉ khi BA 1 C 1 = B 1 A 1 C.

Năm 2014 B 1 A 1 C C 1. Ta có A 1, B 1, C 1 thẳng hàng khi và chỉ khi BA 1 C 1 = B 1 A 1 C. Đường thẳng Simson- Đường thẳng Steiner của tam giác Nguyễn Văn Linh Năm 2014 1 Đường thẳng Simson Đường thẳng Simson lần đầu tiên được đặt tên bởi oncelet, tuy nhiên một số nhà hình học cho rằng nó không

Διαβάστε περισσότερα

5. Phương trình vi phân

5. Phương trình vi phân 5. Phương trình vi phân (Toán cao cấp 2 - Giải tích) Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle Nội dung 1 Khái niệm Phương trình vi phân Bài

Διαβάστε περισσότερα

Q B Y A P O 4 O 6 Z O 5 O 1 O 2 O 3

Q B Y A P O 4 O 6 Z O 5 O 1 O 2 O 3 ài tập ôn đội tuyển năm 2015 guyễn Văn Linh Số 8 ài 1. ho tam giác nội tiếp đường tròn () có là tâm nội tiếp. cắt () lần thứ hai tại J. Gọi ω là đường tròn tâm J và tiếp xúc với,. Hai tiếp tuyến chung

Διαβάστε περισσότερα

O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B.

O 2 I = 1 suy ra II 2 O 1 B. ài tập ôn đội tuyển năm 2014 guyễn Văn inh Số 2 ài 1. ho hai đường tròn ( 1 ) và ( 2 ) cùng tiếp xúc trong với đường tròn () lần lượt tại,. Từ kẻ hai tiếp tuyến t 1, t 2 tới ( 2 ), từ kẻ hai tiếp tuyến

Διαβάστε περισσότερα

* Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi: 27/01/2013 * Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ:

* Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi: 27/01/2013 * Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ: Họ và tên thí sinh:. Chữ kí giám thị Số báo danh:..... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 0 CẤP TỈNH NĂM HỌC 0-03 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Gồm 0 trang) * Môn thi: VẬT LÝ (Bảng A) * Ngày thi:

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN (Chương trình đào tạo tín chỉ, từ Khóa 2011)

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN (Chương trình đào tạo tín chỉ, từ Khóa 2011) Đề cương chi tiết Toán cao cấp 2 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP. HCM KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc 1. Thông tin chung về môn học ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC

Διαβάστε περισσότερα

Năm Pascal xem tại [2]. A B C A B C. 2 Chứng minh. chứng minh sau. Cách 1 (Jan van Yzeren).

Năm Pascal xem tại [2]. A B C A B C. 2 Chứng minh. chứng minh sau. Cách 1 (Jan van Yzeren). Định lý Pascal guyễn Văn Linh ăm 2014 1 Giới thiệu. ăm 16 tuổi, Pascal công bố một công trình toán học : Về thiết diện của đường cônic, trong đó ông đã chứng minh một định lí nổi tiếng và gọi là Định lí

Διαβάστε περισσότερα

có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[]

có thể biểu diễn được như là một kiểu đạo hàm của một phiếm hàm năng lượng I[] 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đều biết: không có lý thuyết tổng quát cho phép giải mọi phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến Au [ ] = 0; (1) trong đó A[] ký hiệu toán

Διαβάστε περισσότερα

x y y

x y y ĐÁP ÁN - ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP THPT Bài Năm học 5 6- Môn: TOÁN y 4 TXĐ: D= R Sự biến thiên lim y lim y y ' 4 4 y ' 4 4 4 ( ) - - + y - + - + y + - - + Bài Hàm số đồng biến trên các khoảng

Διαβάστε περισσότερα

Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH

Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH Câu 1: Bài Tập Môn: NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH Cho văn phạm dưới đây định nghĩa cú pháp của các biểu thức luận lý bao gồm các biến luận lý a,b,, z, các phép toán luận lý not, and, và các dấu mở và đóng ngoặc tròn

Διαβάστε περισσότερα

c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ).

c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ). Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K6 Nhóm ngành 3 Mã số : MI 3 ) Kiểm tra giữa kỳ hệ số.3: Tự luận, 6 phút. Nội dung: Chương, chương đến hết

Διαβάστε περισσότερα

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 8 phút Câu (, điểm) Cho hàm số y = + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết

Διαβάστε περισσότερα

1.6 Công thức tính theo t = tan x 2

1.6 Công thức tính theo t = tan x 2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 1 Công thức lượng giác 1.1 Hệ thức cơ bản sin 2 x + cos 2 x = 1 1 + tn 2 x = 1 cos 2 x tn x = sin x cos x 1.2 Công thức cộng cot x = cos x sin x sin( ± b) = sin cos

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047)

ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047) ĐỀ BÀI TẬP LỚN MÔN XỬ LÝ SONG SONG HỆ PHÂN BỐ (501047) Lưu ý: - Sinh viên tự chọn nhóm, mỗi nhóm có 03 sinh viên. Báo cáo phải ghi rõ vai trò của từng thành viên trong dự án. - Sinh viên báo cáo trực tiếp

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ 83. https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2

ĐỀ 83. https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv2 ĐỀ 8 https://www.facebook.com/nguyenkhachuongqv GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số - https://huongphuong.wordpress.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA 016 LẦN TRƯỜNG THPT MINH

Διαβάστε περισσότερα

O C I O. I a. I b P P. 2 Chứng minh

O C I O. I a. I b P P. 2 Chứng minh ài toán rotassov và ứng dụng Nguyễn Văn Linh Năm 2017 1 Giới thiệu ài toán rotassov được phát biểu như sau. ho tam giác với là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn () bất kì đi qua và. ựng một đường

Διαβάστε περισσότερα

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ).

M c. E M b F I. M a. Chứng minh. M b M c. trong thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ). ài tập ôn đội tuyển năm 015 Nguyễn Văn inh Số 5 ài 1. ho tam giác nội tiếp () có + =. Đường tròn () nội tiếp tam giác tiếp xúc với,, lần lượt tại,,. Gọi b, c lần lượt là trung điểm,. b c cắt tại. hứng

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2017 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian giao đề (50 câu trắc nghiệm)

ĐỀ SỐ 16 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2017 Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian giao đề (50 câu trắc nghiệm) THẦY: ĐẶNG THÀNH NAM Website: wwwvtedvn ĐỀ SỐ 6 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài: phút; không kể thời gian giao đề (5 câu trắc nghiệm) Mã đề thi 65 Họ, tên thí sinh:trường: Điểm mong muốn:

Διαβάστε περισσότερα

Chương 12: Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt

Chương 12: Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt /009 Chương : Chu trình máy lạnh và bơm nhiệt. Khái niệm chung. Chu trình lạnh dùng không khí. Chu trình lạnh dùng hơi. /009. Khái niệm chung Máy lạnh/bơmnhiệt: chuyển CÔNG thành NHIỆT NĂNG Nguồn nóng

Διαβάστε περισσότερα

A. ĐẶT VẤN ĐỀ B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A. ĐẶT VẤN ĐỀ B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN . ĐẶT VẤN ĐỀ Hình họ hông gin là một hủ đề tương đối hó đối với họ sinh, hó ả áh tiếp ận vấn đề và ả trong tìm lời giải ài toán. Làm so để họ sinh họ hình họ hông gin dễ hiểu hơn, hoặ hí ít ũng giải đượ

Διαβάστε περισσότερα

A 2 B 1 C 1 C 2 B B 2 A 1

A 2 B 1 C 1 C 2 B B 2 A 1 Sáng tạo trong hình học Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại thương 1 Mở đầu Hình học là một mảng rất đặc biệt trong toán học. Vẻ đẹp của phân môn này nằm trong hình vẽ mà muốn cảm nhận được chúng

Διαβάστε περισσότερα

Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα - Γενικά Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Khi nào [tài liệu] của bạn được ban hành? Για να ρωτήσετε πότε έχει

Διαβάστε περισσότερα

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA I. Vcto không gian Chương : VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯ BA PHA I.. Biể diễn vcto không gian cho các đại lượng ba pha Động cơ không đồng bộ (ĐCKĐB) ba pha có ba (hay bội ố của ba) cộn dây tato bố

Διαβάστε περισσότερα

Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường

Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường Sử dụngụ Minitab trong thống kê môi trường Dương Trí Dũng I. Giới thiệu Hiện nay có nhiều phần mềm (software) thống kê trên thị trường Giá cao Excel không đủ tính năng Tinh bằng công thức chậm Có nhiều

Διαβάστε περισσότερα

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG IV

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG IV KỸ THẬT ĐỆN HƯƠNG V MẠH ĐỆN PH HƯƠNG V : MẠH ĐỆN PH. Khái niệm chung Điện năng sử ụng trong công nghiệ ưới ạng òng điện sin ba ha vì những lý o sau: - Động cơ điện ba ha có cấu tạo đơn giản và đặc tính

Διαβάστε περισσότερα

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức

Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa

Διαβάστε περισσότερα

MALE = 1 nếu là nam, MALE = 0 nếu là nữ. 1) Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong hàm hồi quy mẫu trên?

MALE = 1 nếu là nam, MALE = 0 nếu là nữ. 1) Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong hàm hồi quy mẫu trên? Chương 4: HỒI QUY VỚI BIẾN GIẢ VÀ ỨNG DỤNG 1. Nghiên cứu về tuổi thọ (Y: ngày) của hai loại bóng đèn (loại A, loại B). Đặt Z = 0 nếu đó là bóng đèn loại A, Z = 1 nếu đó là bóng đèn loại B. Kết quả hồi

Διαβάστε περισσότερα

Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012.

Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại Học của các trường trong nước năm 2012. wwwliscpgetl Tuyển chọn Đề và đáp án : Luyện thi thử Đại ọc củ các trường trong nước năm ôn: ÌN Ọ KÔNG GN (lisc cắt và dán) ÌN ÓP ài ho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh, tm giác đều, tm giác vuông cân

Διαβάστε περισσότερα

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC NGÀY THI : 19/06/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC NGÀY THI : 19/06/2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ TI TUYỂN SIN LỚP NĂM ỌC 9- KÁN OÀ MÔN : TOÁN NGÀY TI : 9/6/9 ĐỀ CÍN TỨC Thời gian làm bài: phút (không kể thời gian giao đề) ài ( điểm) (Không dùng máy tính cầm tay) a Cho biết

Διαβάστε περισσότερα

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1- Độ dài đoạn thẳng Ax ( ; y; z ), Bx ( ; y ; z ) thì Nếu 1 1 1 1. Một Số Công Thức Cần Nhớ AB = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ). 1 1 1 - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Διαβάστε περισσότερα

Phần 3: ĐỘNG LỰC HỌC

Phần 3: ĐỘNG LỰC HỌC ài giảng ơ Học Lý Thuết - Tuần 7 4/8/011 Phần : ĐỘNG LỰ HỌ Vấn đề chính cần giải quết là: Lập phương trình vi phân chuển động Xác định vận tốc vàgiatốc hi có lực tácđộng vào hệ hương 10: Phương trình vi

Διαβάστε περισσότερα

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Tăng Vũ 1. Đường thẳng Euler. Bài toán 1. Trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng. (Đường thẳng

Διαβάστε περισσότερα

x = Cho U là một hệ gồm 2n vec-tơ trong không gian R n : (1.2)

x = Cho U là một hệ gồm 2n vec-tơ trong không gian R n : (1.2) 65 TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 53, 2009 HỆ PHÂN HOẠCH HOÀN TOÀN KHÔNG GIAN R N Huỳnh Thế Phùng Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế TÓM TẮT Một phân hoạch hoàn toàn của R n là một hệ gồm 2n vec-tơ

Διαβάστε περισσότερα

Lecture-11. Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace

Lecture-11. Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biếnđổi Laplace Lecture- 6.. Phân tích hệ thống LTI dùng biếnđổi Laplace 6.3. Sơđồ hối và thực hiện hệ thống 6.. Phân tích hệ thống LTI dùng biếnđổi Laplace 6...

Διαβάστε περισσότερα

x i x k = e = x j x k x i = x j (luật giản ước).

x i x k = e = x j x k x i = x j (luật giản ước). 1 Mục lục Chương 1. NHÓM.................................................. 2 Chương 2. NHÓM HỮU HẠN.................................... 10 Chương 3. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH....................... 14 2 CHƯƠNG

Διαβάστε περισσότερα

Phụ thuộc hàm. và Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu. Nội dung trình bày. Chương 7. Nguyên tắc thiết kế. Ngữ nghĩa của các thuộc tính (1) Phụ thuộc hàm

Phụ thuộc hàm. và Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu. Nội dung trình bày. Chương 7. Nguyên tắc thiết kế. Ngữ nghĩa của các thuộc tính (1) Phụ thuộc hàm Nội dung trình bày hương 7 và huẩn hóa cơ sở dữ liệu Nguyên tắc thiết kế các lược đồ quan hệ.. ác dạng chuẩn. Một số thuật toán chuẩn hóa. Nguyên tắc thiết kế Ngữ nghĩa của các thuộc tính () Nhìn lại vấn

Διαβάστε περισσότερα

Chương 11 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN ĐƠN BIẾN

Chương 11 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN ĐƠN BIẾN Chương 11 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN ĐƠN BIẾN Ths. Nguyễn Tiến Dũng Viện Kinh tế và Quản lý, Trường ĐH Bách khoa Hà Nội Email: dung.nguyentien3@hust.edu.vn MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Sau khi học xong chương này, người

Διαβάστε περισσότερα

Vectơ và các phép toán

Vectơ và các phép toán wwwvnmathcom Bài 1 1 Các khái niệm cơ bản 11 Dẫn dắt đến khái niệm vectơ Vectơ và các phép toán Vectơ đại diện cho những đại lượng có hướng và có độ lớn ví dụ: lực, vận tốc, 1 Định nghĩa vectơ và các yếu

Διαβάστε περισσότερα

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ. Hồ Chí Minh.

Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ. Hồ Chí Minh. Bài giảng Giải tích 3: Tích phân bội và Giải tích vectơ HUỲNH QUANG VŨ Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. E-mail: hqvu@hcmus.edu.vn e d c f 1 b a 1 TÓM

Διαβάστε περισσότερα

BÀI TẬP. 1-5: Dòng phân cực thuận trong chuyển tiếp PN là 1.5mA ở 27oC. Nếu Is = 2.4x10-14A và m = 1, tìm điện áp phân cực thuận.

BÀI TẬP. 1-5: Dòng phân cực thuận trong chuyển tiếp PN là 1.5mA ở 27oC. Nếu Is = 2.4x10-14A và m = 1, tìm điện áp phân cực thuận. BÀI TẬP CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT BÁN DẪN 1-1: Một thanh Si có mật độ electron trong bán dẫn thuần ni = 1.5x10 16 e/m 3. Cho độ linh động của electron và lỗ trống lần lượt là n = 0.14m 2 /vs và p = 0.05m 2 /vs.

Διαβάστε περισσότερα

7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nế

7. Phương trình bậc hi. Xét phương trình bậc hi x + bx + c 0 ( 0) Công thức nghiệm b - 4c Nếu > 0 : Phương trình có hi nghiệm phân biệt: b+ b x ; x Nế TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG ÀI TẬP TÁN 9 PHẦN I: ĐẠI SỐ. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.. Điều kiện để căn thức có nghĩ. có nghĩ khi 0. Các công thức biến đổi căn thức.. b.. ( 0; 0) c. ( 0; > 0) d. e.

Διαβάστε περισσότερα

Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE

Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE ài tập ôn luyện đội tuyển I năm 2016 guyễn Văn inh ài 1. (Iran S 2007). ho tam giác. ột điểm nằm trong tam giác thỏa mãn = +. Gọi, Z lần lượt là điểm chính giữa các cung và của đường tròn ngoại tiếp các

Διαβάστε περισσότερα

Tính: AB = 5 ( AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + πa 2 = 23 π a 2. b) V = 3 π = 1.OA. (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

Tính: AB = 5 ( AOB tại O) * S tp = S xq + S đáy = 2 π a 2 + πa 2 = 23 π a 2. b) V = 3 π = 1.OA. (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a) Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu ài : Trong không gin cho tm giác vuông tại có 4,. Khi quy tm giác vuông qunh cạnh góc vuông thì đường gấp khúc tạo thành một hình nón tròn xoy. b)tính thể tích củ khối nón 4 )

Διαβάστε περισσότερα

(CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Ch4 - Phân tích phương sai, so sánh và kiểm định 1

(CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Ch4 - Phân tích phương sai, so sánh và kiểm định 1 TIN HỌC ỨNG DỤNG (CH4 - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI, SO SÁNH VÀ KIỂM ĐỊNH) Phan Trọng Tiến BM Công nghệ phần mềm Khoa Công nghệ thông tin, VNUA Email: phantien84@gmail.com Website: http://timoday.edu.vn Ch4 -

Διαβάστε περισσότερα

Nội dung. 1. Một số khái niệm. 2. Dung dịch chất điện ly. 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan

Nội dung. 1. Một số khái niệm. 2. Dung dịch chất điện ly. 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan CHƯƠNG 5: DUNG DỊCH 1 Nội dung 1. Một số khái niệm 2. Dung dịch chất điện ly 3. Cân bằng trong dung dịch chất điện ly khó tan 2 Dung dịch Là hệ đồng thể gồm 2 hay nhiều chất (chất tan & dung môi) mà thành

Διαβάστε περισσότερα

Dao Động Cơ. T = t. f = N t. f = 1 T. x = A cos(ωt + ϕ) L = 2A. Trong thời gian t giây vật thực hiện được N dao động toàn phần.

Dao Động Cơ. T = t. f = N t. f = 1 T. x = A cos(ωt + ϕ) L = 2A. Trong thời gian t giây vật thực hiện được N dao động toàn phần. GVLê Văn Dũng - NC: Nguyễn Khuyến Bình Dương Dao Động Cơ 0946045410 (Nhắn tin) DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA rong thời gian t giây vật thực hiện được N dao động toàn phần Chu kì dao động của vật là = t N rong thời

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a Trần Thanh Phong 0908 456 ĐỀ THI HỌC KÌ MÔN TOÁN LỚP 9 ----0O0----- Bài :Thưc hiên phép tính (,5 đ) a) 75 08 b) 8 4 5 6 ĐỀ SỐ 5 c) 5 Bài : (,5 đ) a a a A = a a a : (a > 0 và a ) a a a a a) Rút gọn A b)

Διαβάστε περισσότερα

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG II

KỸ THUẬT ĐIỆN CHƯƠNG II KỸ THẬT ĐỆN HƯƠNG DÒNG ĐỆN SN Khái niệm: Dòng điện xoay chiều biến đổi theo quy luật hàm sin của thời gian là dòng điện sin. ác đại lượng đặc trưng cho dòng điện sin Trị số của dòng điện, điện áp sin ở

Διαβάστε περισσότερα

Ví dụ 2 Giải phương trình 3 " + = 0. Lời giải. Giải phương trình đặc trưng chúng ta nhận được

Ví dụ 2 Giải phương trình 3  + = 0. Lời giải. Giải phương trình đặc trưng chúng ta nhận được CHƯƠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Những ý tưởng cơ bản của phương trình vi phân đã được giải thích trong Chương 9, ở đó chúng ta đã tập trung vào phương trình cấp một. Trong chương này, chúng ta nghiên

Διαβάστε περισσότερα

- Toán học Việt Nam

- Toán học Việt Nam - Toán học Việt Nam PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌ KHÔNG GIN ẰNG VETOR I. Á VÍ DỤ INH HỌ Vấn đề 1: ho hình chóp S. có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng () là điểm H thuộc

Διαβάστε περισσότερα

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ. đến va chạm với vật M. Gọi vv, là vận tốc của m và M ngay. đến va chạm vào nó.

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ. đến va chạm với vật M. Gọi vv, là vận tốc của m và M ngay. đến va chạm vào nó. HOC36.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP IỄN PHÍ CHỦ ĐỀ 3. CON LẮC ĐƠN BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VA CHẠ CON LẮC ĐƠN Phương pháp giải Vật m chuyển động vận tốc v đến va chạm với vật. Gọi vv, là vận tốc của m và ngay sau

Διαβάστε περισσότερα

x + 1? A. x = 1. B. y = 1. C. y = 2. D. x = 1. x = 1.

x + 1? A. x = 1. B. y = 1. C. y = 2. D. x = 1. x = 1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ NGHIỆM Đề thi gồm có 6 trang) KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 7 Bài thi : TOÁN Thời gian làm ài : 9 phút, không kể thời gian phát đề HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Soạn ởi

Διαβάστε περισσότερα

Dữ liệu bảng (Panel Data)

Dữ liệu bảng (Panel Data) 5/6/0 ữ lệu bảng (Panel ata) Đnh Công Khả Tháng 5/0 Nộ dung. Gớ thệu chung về dữ lệu bảng. Những lợ thế kh sử dụng dữ lệu bảng. Ước lượng mô hình hồ qu dữ lệu bảng Mô hình những ảnh hưởng cố định (FEM)

Διαβάστε περισσότερα

Tối ưu tuyến tính. f(z) < inf. Khi đó tồn tại y X sao cho (i) d(z, y) 1. (ii) f(y) + εd(z, y) f(z). (iii) f(x) + εd(x, y) f(y), x X.

Tối ưu tuyến tính. f(z) < inf. Khi đó tồn tại y X sao cho (i) d(z, y) 1. (ii) f(y) + εd(z, y) f(z). (iii) f(x) + εd(x, y) f(y), x X. Tối ưu tuyến tính Câu 1: (Định lý 2.1.1 - Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) là không gian mêtric đủ, f : X R {+ } là hàm lsc bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và z Z thỏa Khi đó tồn tại y X sao cho (i)

Διαβάστε περισσότερα

Μετανάστευση Σπουδές. Σπουδές - Πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε

Μετανάστευση Σπουδές. Σπουδές - Πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε - Πανεπιστήμιο Θα ήθελα να εγγραφώ σε πανεπιστήμιο. Για να δηλώσετε ότι θέλετε να εγγραφείτε Tôi muốn ghi danh vào một trường đại học Θα ήθελα να γραφτώ για. Tôi muốn đăng kí khóa học. Για να υποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU

CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ ĐIỆN XOAY CHIỀU Tà lệ kha test đầ xân 4 Á ÔNG THỨ Ự TỊ ĐỆN XOAY HỀ GÁO VÊN : ĐẶNG VỆT HÙNG. Đạn mạch có thay đổ: * Kh thì Max max ; P Max còn Mn ư ý: và mắc lên tếp nha * Kh thì Max * Vớ = hặc = thì có cùng gá trị thì

Διαβάστε περισσότερα

Ý NGHĨA BẢNG HỒI QUY MÔ HÌNH BẰNG PHẦN MỀM EVIEWS

Ý NGHĨA BẢNG HỒI QUY MÔ HÌNH BẰNG PHẦN MỀM EVIEWS Ý NGHĨA BẢNG HỒI QUY MÔ HÌNH BẰNG PHẦN MỀM EVIEWS CẦN KÍ TÊN Ý NGHĨA XEM HIỆU 1 Dependent Variable Tên biến phụ thuộc Y Phương pháp bình Method: Least phương tối thiểu (nhỏ OLS Squares nhất) Date - Time

Διαβάστε περισσότερα

Câu 2. Tính lim. A B. 0. C D Câu 3. Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng A. C 3 10

Câu 2. Tính lim. A B. 0. C D Câu 3. Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng A. C 3 10 ĐỀ THAM KHẢO THPT QUỐC GIA 8 MÔN TOÁN (ĐỀ SỐ ) *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam website: wwwvtedvn Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại wwwvtedvn Thời gian làm bài: 9 phút (không kể thời gian

Διαβάστε περισσότερα

TRANSISTOR MỐI NỐI LƯỠNG CỰC

TRANSISTOR MỐI NỐI LƯỠNG CỰC hương 4: Transistor mối nối lưỡng cực hương 4 TANSISTO MỐI NỐI LƯỠNG Ự Transistor mối nối lưỡng cực (JT) được phát minh vào năm 1948 bởi John ardeen và Walter rittain tại phòng thí nghiệm ell (ở Mỹ). Một

Διαβάστε περισσότερα

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Khó học LTðH KT-: ôn Tán (Thầy Lê á Trần Phương) THỂ TÍH KHỐ HÓP (Phần 4) ðáp Á À TẬP TỰ LUYỆ Giá viên: LÊ Á TRẦ PHƯƠG ác ài tập trng tài liệu này ñược iên sạn kèm the ài giảng Thể tich khối chóp (Phần

Διαβάστε περισσότερα

ShaMO 30. f(n)f(n + 1)f(n + 2) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) = n(n + 1) 2 (n + 2) 3 (n + 3) 4.

ShaMO 30. f(n)f(n + 1)f(n + 2) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) = n(n + 1) 2 (n + 2) 3 (n + 3) 4. ShaMO 30 A1. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 6 và a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 12. Chứng minh rằng 36 4 ( a 3 + b 3 + c 3 + d 3) ( a 4 + b 4 + c 4 + d 4) 48. A2. Cho tam giác ABC, với I

Διαβάστε περισσότερα

1.3.3 Ma trận tự tương quan Các bài toán Khái niệm Ý nghĩa So sánh hai mô hình...

1.3.3 Ma trận tự tương quan Các bài toán Khái niệm Ý nghĩa So sánh hai mô hình... BÀI TẬP ÔN THI KINH TẾ LƯỢNG Biên Soạn ThS. LÊ TRƯỜNG GIANG Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 0, tháng 06, năm 016 Mục lục Trang Chương 1 Tóm tắt lý thuyết 1 1.1 Tổng quan về kinh tế lượng......................

Διαβάστε περισσότερα

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2007 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ Biên soạn :

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ PEN-CUP SỐ 01. Môn: Vật Lí. Câu 1. Một chất điểm có khối lượng m, dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc. Cơ năng dao động của chất điểm là.

ĐỀ PEN-CUP SỐ 01. Môn: Vật Lí. Câu 1. Một chất điểm có khối lượng m, dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc. Cơ năng dao động của chất điểm là. Hocmai.n Học chủ động - Sống tích cực ĐỀ PEN-CUP SỐ 0 Môn: Vật Lí Câu. Một chất điểm có khối lượng m, dao động điều hòa ới biên độ A à tần số góc. Cơ năng dao động của chất điểm là. A. m A 4 B. m A C.

Διαβάστε περισσότερα

PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG HÀI TRONG TRẠM BÙ CÔNG SUẤT PHẢN KHÁNG KIỂU SVC VÀ NHỮNG GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC

PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG HÀI TRONG TRẠM BÙ CÔNG SUẤT PHẢN KHÁNG KIỂU SVC VÀ NHỮNG GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC Luận văn thạc sĩ kỹ thuật 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP --------------------------------------- VŨ THỊ VÒNG PHÂN TÍCH ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG HÀI TRONG TRẠM BÙ CÔNG SUẤT PHẢN KHÁNG KIỂU SVC

Διαβάστε περισσότερα

B. chiều dài dây treo C.vĩ độ địa lý

B. chiều dài dây treo C.vĩ độ địa lý ĐỀ THI THỬ LẦN 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG QUẢNG NINH MÔN VẬT LÝ LỜI GIẢI: LẠI ĐẮC HỢP FACEBOOK: www.fb.com/laidachop Group: https://www.facebook.com/groups/dethivatly.moon/ Câu 1 [316487]: Đặt điện áp

Διαβάστε περισσότερα

L P I J C B D. Do GI 2 = GJ.GH nên GIH = IJG = IKJ = 90 GJB = 90 GLH. Mà GIH + GIQ = 90 nên QIG = ILG = IQG, suy ra GI = GQ hay Q (BIC).

L P I J C B D. Do GI 2 = GJ.GH nên GIH = IJG = IKJ = 90 GJB = 90 GLH. Mà GIH + GIQ = 90 nên QIG = ILG = IQG, suy ra GI = GQ hay Q (BIC). ài tập ôn đội tuyển I năm 015 Nguyễn Văn inh Số 7 ài 1. (ym). ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (I). G là điểm chính giữa cung không chứa. là tiếp điểm của (I) với. J là điểm nằm

Διαβάστε περισσότερα

BÀI TẬP LỚN MÔN THIẾT KẾ HỆ THỐNG CƠ KHÍ THEO ĐỘ TIN CẬY

BÀI TẬP LỚN MÔN THIẾT KẾ HỆ THỐNG CƠ KHÍ THEO ĐỘ TIN CẬY Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Khoa Cơ Khí BÀI TẬP LỚN MÔN THIẾT KẾ HỆ THỐNG CƠ KHÍ THEO ĐỘ TIN CẬY GVHD: PGS.TS NGUYỄN HỮU LỘC HVTH: TP HCM, 5/ 011 MS Trang 1 BÀI TẬP LỚN Thanh có tiết iện ngang hình

Διαβάστε περισσότερα

Tự tương quan (Autocorrelation)

Tự tương quan (Autocorrelation) Tự ương quan (Auocorrelaion) Đinh Công Khải Tháng 04/2016 1 Nội dung 1. Tự ương quan là gì? 2. Hậu quả của việc ước lượng bỏ qua ự ương quan? 3. Làm sao để phá hiện ự ương quan? 4. Các biện pháp khắc phục?

Διαβάστε περισσότερα

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓA: * * CHUYÊN ĐỀ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓA: * * CHUYÊN ĐỀ TRƯỜNG THT HUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH NIÊN KHÓ: 2011-2012 * * HUYÊN ĐỀ ỘT SỐ ÀI TOÁN HÌNH HỌ HẲNG LIÊN QUN ĐẾN TỨ GIÁ TOÀN HẦN Người thực hiện han Hồng Hạnh Trinh Nhóm chuyên toán lớp 111 Kon Tum, ngày 26

Διαβάστε περισσότερα

A E. A c I O. A b. O a. M a. Chứng minh. Do XA b giao CI tại F nằm trên (O) nên BXA b = F CB = 1 2 ACB = BIA 90 = A b IB.

A E. A c I O. A b. O a. M a. Chứng minh. Do XA b giao CI tại F nằm trên (O) nên BXA b = F CB = 1 2 ACB = BIA 90 = A b IB. Đường tròn mixtilinear Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại thương 1 Giới thiệu Đường tròn mixtilinear nội tiếp (bàng tiếp) là đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác và tiếp xúc trong (ngoài)

Διαβάστε περισσότερα

Xác định nguyên nhân và giải pháp hạn chế nứt ống bê tông dự ứng lực D2400mm

Xác định nguyên nhân và giải pháp hạn chế nứt ống bê tông dự ứng lực D2400mm Xác định nguyên nhân và giải pháp hạn chế nứt ống bê tông dự ứng lực D2400mm 1. Giới thiệu Ống bê tông dự ứng lực có nòng thép D2400 là sản phẩm cung cấp cho các tuyến ống cấp nước sạch. Đây là sản phẩm

Διαβάστε περισσότερα

+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7)

+ = k+l thuộc H 2= ( ) = (7 2) (7 5) (7 1) 2) 2 = ( ) ( ) = (1 2) (5 7) Nhớm 3 Bài 1.3 1. (X,.) là nhóm => a X; ax= Xa= X Ta chứng minh ax=x Với mọi b thuộc ax thì b có dạng ak với k thuộc X nên b thuộc X => Với mọi k thuộc X thì k = a( a -1 k) nên k thuộc ax. Vậy ax=x Tương

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Tam giác. R 2 2Rr = d 2 (2.1.1) 1 R + d + 1. R d = 1 r (2.1.2) R d r + R + d r = ( R + d r. R d r

2.1 Tam giác. R 2 2Rr = d 2 (2.1.1) 1 R + d + 1. R d = 1 r (2.1.2) R d r + R + d r = ( R + d r. R d r Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại thương 1 Giới thiệu Một đa giác lồi được gọi là lưỡng tâm khi đa giác đó vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn. Những đa giác

Διαβάστε περισσότερα

Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC

Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC Bài Giảng Môn học: OTOMAT VÀ NGÔN NGỮ HÌNH THỨC TS. Nguyễn Văn Định, Khoa CNTT Lời nói đầu Ngôn ngữ là phương tiện để giao tiếp, sự giao tiếp có thể hiểu là giao tiếp giữa con người với nhau, giao tiếp

Διαβάστε περισσότερα

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Đ/S: a) 4,1419 triệu b) 3,2523 triệu Đ/S: nên đầu tư, NPV=499,3 $

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Đ/S: a) 4,1419 triệu b) 3,2523 triệu Đ/S: nên đầu tư, NPV=499,3 $ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết: a) Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm. b) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được

Διαβάστε περισσότερα

Μπορείτε να με βοηθήσετε να γεμίσω αυτή τη φόρμα; Για να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα

Μπορείτε να με βοηθήσετε να γεμίσω αυτή τη φόρμα; Για να ρωτήσετε αν κάποιος μπορεί να σας βοηθήσει να γεμίσετε μια φόρμα - Γενικά Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Tôi có thể tìm mẫu đơn đăng kí ở đâu? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Για να ρωτήσετε πότε έχει εκδοθεί ένα έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Tự tương quan (Autoregression)

Tự tương quan (Autoregression) Tự ương quan (Auoregression) Đinh Công Khải Tháng 05/013 1 Nội dung 1. Tự ương quan (AR) là gì?. Hậu quả của việc ước lượng bỏ qua AR? 3. Làm sao để phá hiện AR? 4. Các biện pháp khắc phục? 1 Tự ương quan

Διαβάστε περισσότερα

1. Nghiên cứu khoa học là gì?

1. Nghiên cứu khoa học là gì? Nội dung cần trình bày Bài 1: Khái niệm về NCKH và các bước viết một đề cương nghiên cứu PGS.TS. Lưu Ngọc Hoạt Viện YHDP và YTCC Trường ĐH Y Hà Nội 1. Nghiên cứu khoa học là gì? 2. Tại sao cán bộ y tế

Διαβάστε περισσότερα

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1. Một số công thức cơ tính đạo hàm [c] = [] = 1 [ α ] = α α 1 [sin] = cos [cos] = sin 1 [tan] = cos -1 [cot] = sin [ln] = 1 [log a ] =

Διαβάστε περισσότερα

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU...

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU... MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU... 5 Chƣơng I: Mở đầu... 8 1.1 Tập hợp và các cấu trúc đại số... 8 1.1.1 Tập hợp và các tập con... 8 1.1.2 Tập hợp và các phép toán hai ngôi... 9 1.3 Quan hệ và quan hệ tương đương...

Διαβάστε περισσότερα

CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC

CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC 2003 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights reserved. The First E CHƯƠNG: 01 CƠ HỌC LÝ THUYẾT: TĨNH HỌC ThS Nguyễn Phú Hoàng CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Khoa KT Xây dựng Trường CĐCN Đại

Διαβάστε περισσότερα

TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG

TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN TOÁN THCS TỈNH HẢI DƯƠNG hieuchuoi@ Tháng 7.006 GIỚI THIỆU Tuyển tập đề thi này gồm tất cả 0 đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Nguyễn Trãi Tỉnh Hải Dương (môn Toán chuyên) và

Διαβάστε περισσότερα

có nghiệm là:. Mệnh đề nào sau đây đúng?

có nghiệm là:. Mệnh đề nào sau đây đúng? SỞ GD & ĐT TỈNH HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU (Đề có 6 trng) ĐỀ THI THỬ THPT QG MÔN TOÁN LẦN NĂM HỌC 7-8 MÔN TOÁN Thời gin làm bài : 9 Phút; (Đề có câu) Họ tên : Số báo dnh : Mã đề 84 Câu : Bất phương

Διαβάστε περισσότερα

1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng... 13

1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng... 13 Mục lục Lời nói đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Không gian L p và tính đo được.............. 7 1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes...... 8 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc.........

Διαβάστε περισσότερα

Tứ giác BLHN là nội tiếp. Từ đó suy ra AL.AH = AB. AN = AW.AZ. Như thế LHZW nội tiếp. Suy ra HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên

Tứ giác BLHN là nội tiếp. Từ đó suy ra AL.AH = AB. AN = AW.AZ. Như thế LHZW nội tiếp. Suy ra HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên MỘT SỐ ÀI TOÁN THẲNG HÀNG ài toán 1. (Imo Shortlist 2013 - G1) ho là một tm giác nhọn với trực tâm H, và W là một điểm trên cạnh. Gọi M và N là chân đường co hạ từ và tương ứng. Gọi (ω 1 ) là đường tròn

Διαβάστε περισσότερα

HỒI QUY TUYẾN TÍNH ĐƠN. GV : Đinh Công Khải FETP Môn: Các Phương Pháp Định Lượng

HỒI QUY TUYẾN TÍNH ĐƠN. GV : Đinh Công Khải FETP Môn: Các Phương Pháp Định Lượng 1 HỒI QUY TUYẾN TÍNH ĐƠN GV : Đnh Công Khả FETP Môn: Các Phương Pháp Định Lượng Knh tế lượng là gì? Knh tế lượng được quan tâm vớ vệc xác định các qu luật knh tế bằng thực nghệm (Thel, 1971) Knh tế lượng

Διαβάστε περισσότερα