Mαθηματικός Λόγος ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ. ΧΡΟΝΟΣ 1 ος. - τεύχος 1 ο

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mαθηματικός Λόγος ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ. ΧΡΟΝΟΣ 1 ος. - τεύχος 1 ο"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΝ ΙΔΡΥΜΑ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 1 ος - τεύχος 1 ο Mαθηματικός Λόγος 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

2 μαθηματικός λόγος ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 1ος - τεύχος 1 ο ΑΡΧΙΣΥΝΤΑΚΤΡΙΑ Όλγα Κυριαζή Στο τεύχος συνεργάστηκαν οι: Ειρήνη Αϊδίνη Αντιγόνη Αλειφέρη Ελένη Αλεξανδράκη Άγγελος Βακάλης Άννα Ελευθεριάδου Όλγα Κυριαζή Ελεάννα Πρωτοπαπά Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Math Art - Algorithmic Art Της Όλγας Κυριαζή... 4 Συμμετρία: Το στοιχείο της τάξης Της Ελεάννας Πρωτοπαπά... 9 Αρχιμήδης: Ο μετριόφρων επιστήμων Της Όλγας Κυριαζή Évariste Galois Του Άγγελου Βακάλη Curiosity Rover Της Άννας Ελευθεριάδου Διαβάσαμε και απαντάμε Της Ειρήνης Αϊδίνη Της Ελένης Αλεξανδράκη Της Αντιγόνης Αλειφέρη Είπαν για τα Μαθηματικά Της Της Όλγας Κυριαζή ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ Χρίστος Κωνσταντόπουλος Αλέξανδρος Μαναρίδης 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

3 EDITORIAL Ένας λόγος για ανάγνωση Κατανοώ πως ο καθένας από εμάς έχει και κάποια ίσως πιο ενδιαφέρουσα ασχολία από το να διαβάσει το περιοδικό της Μαθηματικής Σκέψης. Λογικό να μην έχουμε απεριόριστο ελεύθερο χρόνο και να πνιγόμαστε από τις υποχρεώσεις του σχολείου για να αφιερώσουμε χρόνο προκειμένου να διαβάσουμε για μαθηματικούς, ρητά και επιτεύγματα. Ας δώσουμε όμως μια ευκαιρία σε αυτό το περιοδικό που γράφτηκε από τους μαθητές της Μαθηματικής Σκέψης της Α Λυκείου και όχι μόνο. Οι σελίδες του περιοδικού μας είναι γεμάτες από τον μαγικό κόσμο των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά, μια επιστήμη που όσο κι αν φαίνεται περίεργο δεν είναι και δεν αφορά μόνο στις ιδιοφυΐες αλλά και σε εμάς που ενδιαφερόμαστε και τη μελετούμε γιατί την αγαπάμε. Την αγαπάμε και είμαστε περίεργοι πόσο μακριά θα μας ταξιδέψει. Πόσο θα κουράσει τα αγύμναστα μυαλά μας; Θα προλάβει ποτέ να αναδείξει τις απεριόριστες δυνατότητες και τους τομείς τους οποίους απασχολεί και επηρεάζει; Θα παύσει να μας μαγεύει; Θα τελειώσει ποτέ αυτό το ταξίδι ή θα μας φτάσει μέχρι (της ζωής) το άπειρο; «Ο Μαθηματικός Λόγος». Πολλά μπορούν να ειπωθούν. Όλοι μπορούν να σχολιάσουν κάτι διαφορετικό. Η Μαθηματική Σκέψη αφήνει αυτές τις τρεις λέξεις στη δικιά σας φαντασία και σας εύχεται καλή ανάγνωση. Καλή Ανάγνωση! Η αρχισυντάκτρια Όλγα Κυριαζή 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

4 Math Art Algorithmic Art της Όλγας Κυριαζή Τα Μαθηματικά και η τέχνη είχαν ανέκαθεν μια στενή σχέση. Πολλά είναι τα ιστορικά παραδείγματα που επιβεβαιώνουν τους συνεκτικούς δεσμούς μεταξύ τους. Επιπλέον, είναι πολλοί εκείνοι που εμπνευσμένοι από τα μαθηματικά, τα σπούδασαν με απώτερο σκοπό να τελειοποιήσουν τα έργα τους. Μπορεί να μην το αντιλαμβανόμαστε, αλλά ακόμη και σε καθημερινό επίπεδο βλέπουμε ή ακούμε την εφαρμογή των μαθηματικών στην τέχνη. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, Έλληνες και Ρωμαίοι γνώριζαν τη χρυσή τομή και την ενσωμάτωναν στο σχεδιασμό μνημείων, όπως ο Παρθενώνας και το Κολοσσαίο. Ο Έλληνας γλύπτης Πολύκλειτος ορίζει μια σειρά από μαθηματικές διαστάσεις για να σκαλίσει με ιδανικό τρόπο έναν γυμνό άντρα. Τέλος, Αναγεννησιακοί ζωγράφοι, στράφηκαν στα μαθηματικά ενώ μερικοί, όπως ο Piero della Francesca, έγιναν οι ίδιοι επιτυχημένοι μαθηματικοί. Ποιος δεν περπατά καθημερινά σε πλακόστρωτα; Ποιος όταν ήταν παιδί δεν κοιτούσε κάτω ενώ περπατούσε προσπαθώντας να πατάει ανά δύο τα τετράγωνα, ή να μην πατάει στις γραμμές ή οτιδήποτε άλλο μπορούσε να σκεφτεί; Δεν είναι όλα αυτά παραδείγματα της εφαρμογής των μαθηματικών στην τέχνη; Το παιδί που περπατά μόνο σε συγκεκριμένα τετραγωνάκια των πλακόστρωτων έχει ορίσει ένα μοτίβο το οποίο ακολουθεί. Τα πλακόστρωτα κατασκευάζονται με συγκεκριμένο αλγόριθμο. Επομένως, μαθηματικές εξισώσεις δε λείπουν ούτε από την αρχιτεκτονική. Η Αλάμπρα στη Γρανάδα χαρακτηρίζεται ως Παλάτι της συμμετρίας. Η είσοδος του, η οροφή του και τα πλακάκια του είναι κατασκευασμένα με βάση επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Ειδικοί αναφέρουν ότι το χαρακτηριστικό της εισόδου της Αλάμπρα είναι η ιδιαιτερότητα των εικόνων, που την αποτελούν, να ταιριάζουν απόλυτα σε όποια θέση και αν τις μετατοπίσει κανείς. Επιπρόσθετα, οι καλλιτέχνες του Ισλάμ χρησιμοποιούσαν σε μεγάλο βαθμό τη συμμετρία πιστεύοντας ότι με αυτό τον τρόπο εκφράζουν την άπειρη σοφία και μεγαλοπρέπεια του Θεού. 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

5 Είναι αξιοσημείωτη η σύνδεση που πέτυχε ο Μπαχ ανάμεσα στη σύνθεση κλασσικής μουσικής και στα μαθηματικά. Χωρίς φυσικά να έχει fractals (φράκταλς, μορφοκλάσματα) στο μυαλό του κατά τη σύνθεση κομματιών, παρ όλ αυτά στα κομμάτια του παρατηρείται μια κίνηση που έχει επαναλαμβανόμενη δομή σε διαφορετικές (μουσικές) κλίμακες χαρακτηριστικές ενός φράκταλ. Η αναδρομική μορφή αυτής της μουσικής δομής μπορεί να οπτικοποιηθεί ως μια δομή φράκταλ. Συγκεκριμένα στη συλλογή του The Goldberg Variations υπάρχουν τριάντα παραλλαγές (variations) ταξινομημένες σε δέκα ομάδες των τριών. Κάθε σετ τριών κομματιών είναι μια ελεύθερη παραλλαγή σε ντουέτα και κανόνα. μέσους όρους «προς ένα στόχο». Σαν βάση για τη μουσική του σύνθεση χρησιμοποίησε τουλάχιστον 15 μαθηματικές θεωρίες. Σήμερα, στον 21ο αιώνα, άνθρωποι με μεράκι, αγάπη για τα μαθηματικά και δημιουργικότητα δημιουργούν ιστοσελίδες, αναρτούν άρθρα και εικόνες τόσο εντυπωσιακές που δύσκολα φαντάζεται κανείς ότι από πίσω τους κρύβουν μαθηματικές εξισώσεις. Σχήματα επαναλαμβανόμενα, κύκλοι, τετράγωνα, πολύγωνα, σχήματα, σχήματα ακανόνιστα και πολλές γραμμές με χρώματα. Όλα αυτά δεσμεύουν την προσοχή του καθένα και του δίνουν τη δυνατότητα να τα μεταφράσει όπως εκείνος θέλει με οδηγό την φαντασία του! Ποιος λοιπόν μπορεί να αρνηθεί τώρα το πάντρεμα των μαθηματικών με τις διάφορες μορφές τέχνης; Αρχιτεκτονική, γλυπτική, ζωγραφική, μουσική μπορούν να βασιστούν σε μαθηματικά μοτίβα και συμμετρίες. Αυτά που διδασκόμαστε στην τάξη και που δύσκολα έλκουν το ενδιαφέρον και την προσοχή των προκατειλημμένων μαθητών για την σημασία των μαθηματικών, φτάνουν τώρα να είναι η βάση πολλών μορφών τέχνης. Κάντε απλώς ένα κλικ στο Διαδίκτυο γράφοντας Math art! Κάτι παρόμοιο επιχείρησε με επιτυχία και ο Ιάννης Ξενάκης, Έλληνας που σταδιοδρόμησε στη Γαλλία. Ο Ιάννης Ξενάκης εργαζόταν ως αρχιτέκτονας ενώ σπούδαζε μουσική. Έτσι εξηγείται η συνήθεια του να χρησιμοποιεί μαθηματικές και αρχιτεκτονικές έννοιες στη μουσική δομή. Ασχολήθηκε συστηματικά με τη μεταφορά στη μουσική των μαθηματικών «Νόμων των πιθανοτήτων», ενώ επινόησε τον όρο «Στοχαστική μουσική», που βασίζεται στην ιδέα ανάπτυξης του ηχητικού υλικού, με στατικούς 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

6 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

7 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

8 Βιβλιογραφία Θεωρία των Ομάδων o μαθηματικός, η sυμμετρία, και το τέρας, Marcus du Sautoy ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

9 Σ Υ Μ Μ Ε Τ Ρ Ι Α : Το στοιχείο της τάξης Ησυμμετρία ενδιαφέρει ανθρώπους από πολλούς κλάδους, όπως τον μαθηματικό, τον καλλιτεχνικό, το χώρο της φυσικής και τον χώρο της αρχιτεκτονικής. Ωστόσο, αξιοσημείωτο είναι το γεγονός πως η κάθε επιστήμη αντιλαμβάνεται διαφορετικά τον όρο «συμμετρία». Δεν παύει, ενώ αποτελί παγκόσμια αρχή να εμφανίζεται σπάνια στην καθημερινότητά μας καθώς σε αυτήν δεν κυριαρχ η ασσυμετρία. Η συμμετρία συνδέεται άμεσα με την ταξινόμηση και τα όρια, ενώ η ασσυμετρία είναι απεριόριστη. της Ελεάννας Πρωτοπαπά σε κάθε λεπτομέρεια, ενώ περιοδικότητα είναι η κανονική απόσταση μεταξύ στοιχείων στη συμμετρία. Αν, λοιπόν, παρατηρείται έλλειψη αυτών των στοιχείων τότε πολύ πιθανό είναι να υπάρχει έλλειψη συμμετρίας. Φωτογραφία 2 Η απλούστερη μορφή συμμετρίας είναι το μοτίβο, το οποίο μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε σειρές. Ένα αναγνωρίσιμο μοτίβο αποτελείται από τρία ή περισσότερα αντικείμενα διατεταγμένα με κάποια σειρά (φωτογραφία 1). Αυτό το μοτίβο αν επεκταθεί θα σχηματίσει μία σειρά από τα ίδια αντικείμενα το ένα μετά το άλλο. Για να κάνουμε όμως λόγο για συμμετρία θα πρέπει το μοτίβο ή η σειρά να μην μετα- Φωτογραφία 1 Τα περισσότερα είδη συμμετρίας παρουσιάζουν της έννοιες της ισοομοιότητας και της περιοδικότητας. Ένας σύντομος ορισμός της ισοομοιότητας είναι πως τα επιμέρους στοιχεία που συμμετέχουν στην συμμετρία ταυτίζονται Φωτογραφία 3 9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

10 Φωτογραφία 4 βάλλονται για το συγκεκριμένο διάστημα που εξετάζουμε ως παρατηρητές. Στην καθημερινότητά μας, μοτίβα και σειρές εντοπίζουμε στο καλαμπόκι (φωτογραφία 2), στα ψάρια και ερπετά (φωτογραφία 3), στα σπίτια (φωτογραφία 4) και σε ρούχα, όπως για παράδειγμα φουλάρια. Η ακτινική συμμετρία ανήκει στην κατηγορία της σημειακής συμμετρίας και κατηγοριοποιείται σε τρεις ομάδες. Η πρώτη αφορά τις δύο διαστάσεις και θέτει ως σημείο αναφοράς ένα τυχαίο σημείο στο επίπεδο. Από αυτό το σημείο ξεκινούν ημιευθείες προς όλες τις κατευθύνσεις (φωτογραφία 5). Η δεύτερη και η τρίτη ομάδα αφορούν τις τρεις διαστάσεις. Η δεύτερη ορίζει και εκείνη ως κέντρο ένα σημείο, αυτή τη φορά, στο χώρο. Φωτογραφία 8 Η κλασσική συμμετρία απόκτησε ξανά ενδιαφέρον την περίοδο της Αναγέννησης. Έχει τις ρίζες της σε ελληνικές ιδέες σε θέματα όπως η τάξη και η αρμονία. Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του υποστήριξαν ότι η γεωμετρία είναι το κλειδί της κατανόησης του κόσμου. Αν αναλογιστούμε και παρατηρήσουμε την αρχαία αρχιτεκτονική θα αντιληφθούμε πως οι αναλογίες και οι γραμμές βοηθούν στην κατασκευή γαλήνιων και συμμετρικών κτηρίων (φωτογραφία 9). Έτσι, λοιπόν, λόγω της ανάπτυξης των τεχνών κατά την περίοδο της Αναγέννησης οι καλλιτέχνες αντιλήφθηκαν τη σημασία της κλασσικής συμμετρίας και την εφάρμοσαν. Φωτογραφία 5 Φωτογραφία 6 Από εκεί ξεκινά η ακτινική συμμετρία και απλώνεται σε όλες τις διευθύνσεις του χώρου (φωτογραφία 6). Τέλος, στην τρίτη ομάδα σημείο αναφοράς αποτελεί ένας πολικός άξονας περιστροφής (φωτογραφία 7). Φωτογραφία 7 Στην καθημερινή μας ζωή η ακτινική συμμετρία εντοπίζεται στις χιονονιφάδες, στα φυτά, στις ρόδες των αυτοκινήτων και στα φρούτα (φωτογραφία 8). Φωτογραφία 9 Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πόση αξία έχει η συμμετρία στη ζωή μας, αλλά και πόσο μεγάλη επίδραση έχει στους ανθρώπους, παρά το γεγονός πως η συμμετρία λείπει στην καθημερινότητά μας. Η συμμετρία και οι έννοιες που σχετίζονται άμεσα με αυτήν έχουν προβληματίσει πολλούς επιστήμονες και έχουν βοηθήσει στην πρόοδο των ανθρώπων. Συμπερασματικά, λοιπόν, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε για αυτήν, αλλά και για τις διάφορες εκφάνσεις της Βιβλιογραφία: Wade, D. (2012), Συμμετρία: Το στοιχείο της τάξης, Αλεξάνδρεια, 1-3, 8-9, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

11 ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Ο μετριόφρων επιστήμων της Όλγας Κυριαζή ΟΑρχιμήδης ήταν μια ξεχωριστή και πολυεπίπεδη προσωπικότητα. Γεννήθηκε στις Συρακούσες το 287π.Χ, από πλούσια οικογένεια. Ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία. Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια, όπου πιθανά να γνώρισε τον Ευκλείδη. Εκεί συναναστράφηκε με διάφορους Έλληνες επιστήμονες. Γνώρισε τον Κόνωνα το Σάμιο, τον Δοσίθεο και τον Ερατοσθένη. Σε εκείνους έστελνε αργότερα τις ανακαλύψεις του, πριν τις κοινοποιήσει, για να πάρει την άποψή τους. Συχνά έστελνε λανθασμένα θεωρήματα για να ελέγχει κάποιους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας που παρουσιάζονταν ως μοναδικοί γνώστες της γεωμετρίας. Αργότερα όμως επέστρεψε στην γενέτειρά του και εκεί αφοσιώθηκε στα Μαθηματικά και πραγματοποίησε τις περισσότερες ανακαλύψεις του. Ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε κυρίως με τα Μαθηματικά αλλά και με τη Φυσική, την Αστρονομία ενώ πραγματοποίησε εφευρέσεις εξαιρετικής σημασίας και πρωτοποριακές για την εποχή του στον τομέα της Μηχανικής. Πρώτ απ όλα, είναι αξιοσημείωτη η συμβολή του στα Μαθηματικά. Παρουσίασε μια μέθοδο προσδιορισμού του αριθμού π και των πολύ μεγάλων αριθμών και υπολόγισε το εμβαδόν τμήματος παραβολής, σφαίρας και κυλίνδρου. 11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

12 Επιπλέον, ο Αρχιμήδης ήταν εκείνος που εισήγαγε το μέγεθος του χρόνου, τον κινηματικό ορισμό της έλικας και τρία καινούργια στερεά εκ περιστροφής, το ελλειψοειδές, το παραβολοειδές και το υπερβολοειδές. Δεύτερον, στο χώρο της Φυσικής ο Αρχιμήδης ανακάλυψε την έννοια της υδροστατικής πίεσης, τυχαία ενώ έκανε μπάνιο, και τη θεωρία για τα κέντρα βάρους. Τρίτον, ασχολήθηκε με την αστρονομία, χωρίς να έχουν σωθεί οι ανακαλύψεις του. Παρ όλ αυτά, είναι γνωστό ότι αυτά που τον απασχόλησαν ήταν η απόσταση του Ήλιου και των άλλων πλανητών από τη Γη, η συμπεριφορά του φωτός στα κάτοπτρα, η μελέτη των ηλιοστασίων και ο υπολογισμός της διάρκειας του έτους. Όσον αφορά τη Μηχανική εφηύρε τους μοχλούς, τα καυστικά κάτοπτρα, ένα μοναδικό μηχανισμό με τον οποίο έκαιγε τα πλοία των Ρωμαίων με τη βοήθεια των ακτινών του Ηλίου, τον ατέρμονα κοχλία, το ρωμαϊκό ζυγό, το υδραυλικό ρολόι, τους καταπέλτες, με μακρινή και κοντινή εμβέλεια και τις άρπαγες, μηχανισμούς που ανύψωναν και αναποδογύριζαν τα εχθρικά πλοία. Ο Αρχιμήδης είχε την ικανότητα να χρησιμοποιεί πρωτότυπους και εξαιρετικούς τρόπους στην απόδειξη των θεωρημάτων του. Πρώτον, χρησιμοποιώντας ελάχιστα αξιώματα απέδειξε ότι κάθε μη αβαρές σώμα έχει κέντρο βάρους. Δεύτερον, υπολόγισε το κέντρο βάρους ομογενών σωμάτων εφαρμόζοντας πρώτα μεθόδους μηχανικής ύστερα γεωμετρίας και χρησιμοποιώντας ένα εκπληκτικό σύστημα ανισοτήτων. Επιπρόσθετα, διατύπωσε το «συνεχές» ως άθροισμα άπειρων αδιαιρέτων τμημάτων ή χωρίων. Δηλαδή το εμβαδόν ως άθροισμα ευθύγραμμων τμημάτων και τον όγκο ως άθροισμα επίπεδων τομών, για να υπολογίσει τον τετραγωνισμό τμήματος της παραβολής. Επιπλέον, αποδείχθηκε ότι η λογική των ανισοτήτων που χρησιμοποιούσε ήταν ένα προφητικό μαθηματικό εργαλείο (Μέθοδος της εξάντλησης). Τέλος, η χρήση των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων σχημάτων του επέτρεψε να προσεγγίσει έννοιες κλειδιά. Το συγγραφικό του έργο είναι πλούσιο, με δεκαέξι βιβλία εκ των οποίων τα πέντε σώζονται στην αραβική γλώσσα. Κάποια από τα σημαντικότερα βιβλία του είναι ο «Ψαμμίτης», το «Περί ελίκων» και το «Βοεικό πρόβλημα». Στο τελευταίο υπάρχει ένα ποίημα στο οποίο εξηγείται ένα πρόβλημα που βασάνιζε τον Αρχιμήδη αναφορικά με το πλήθος των βοδιών του θεού του Ήλιου. Ο Αρχιμήδης σκοτώθηκε το 212π.Χ, απορροφημένος από τη λύση ενός προβλήματος. Όταν ένας Ρωμαίος στρατιώτης τον πλησίασε και εκείνος του είπε «Μη μου τους κύκλους τάραττε», ο στρατιώτης εξαγριώθηκε και τον σκότωσε. Στον τάφο του είναι χαραγμένη μια σφαίρα μέσα σε έναν κύλινδρο, όπως εκείνος είχε ζητήσει, επειδή είχε θεωρήσει πολύ σημαντική την ανακάλυψη του σχετικά με την επιφάνεια και τον όγκο της σφαίρας. Ο Πλούταρχος αναφέρει πως «σε όλη τη γεωμετρία δεν μπορούν να βρεθούν δυσκολότερες και βαθύτερες θεμελιώδεις προτάσεις διατυπωμένες απλούστερα και καθαρότερα από τη μέθοδο του Αρχιμήδη». Ο ίδιος ο Αρχιμήδης θεωρεί ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετεί πρακτικές ανάγκες ή οικονομικό κέρδος. 12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

13 Évariste Galois του Άγγελου Βακάλη OÉvariste Galois γεννήθηκε στις 26 Οκτωβρίου του 1811, στην αρχαία κωμόπολη του Bourg-la-Reine, η οποία βρίσκεται περίπου 10 χιλιόμετρα από το Παρίσι. Ο πατέρας του, Nicholas-Gabriel ήταν διευθυντής ενός εκπαιδευτικού ιδρύματος που προοριζόταν για τους νέους της περιοχής, ενώ το 1815 εκλέχθηκε και δήμαρχος της περιοχής. Τα πρώτα δώδεκα χρόνια της ζωής του ο Évariste ανατράφηκε και μορφώθηκε από την μητέρα του, Adelaide Marie Demante. Χαρακτηριστικό της μόρφωσης που έλαβε ήταν πως έμαθε ελληνικά, καθώς επίσης και λατινικά. Ο Évariste στις 6 Οκτωβρίου 1823 γράφτηκε στην 4η τάξη του College de Louis-le-Grand στο Παρίσι. Εκεί μάλιστα είχαν σπουδάσει και μεγάλες μορφές της Γαλλίας όπως ο Ροβεσπιέρος και ο Βίκτωρ Ουγκώ. Στο σχολείο αυτό, μια που θεωρούταν από τα σημαντικότερα στη Γαλλία, καλλιεργούταν ένα ιδιαίτερο πάθος τόσο για τη δουλειά που θα μπορούσε να επιφέρει ακαδημαική πρόοδο, όσο και τις φιλελεύθερες και προοδευτικές ιδέες. Μετά από μερικά χρόνια, έχοντας απογοητευτεί από το σχολείο του, θεωρώντας ότι οι καθηγητές του ήθελαν να τον αποσπάσουν από τα Μαθηματικά, ήθελε διακαώς να εισαχθεί στη Γαλλική Πολυτεχνική Σχολή, που ήταν προορισμένη για την εκπαίδευση των νέων επιστημόνων ως μελλοντικών πολιτικών. Αυτή η επιλογή του βασιζόταν στην αντίληψή του ότι αυτή η σχολή θα του εξασφάλιζε τις καλύτερες δυνατές προοπτικές για μία μετέπειτα καριέρα μαθηματικού, ενώ κυριαρχούσε το πολιτικό πνεύμα, κάτι που του άρεσε χάρη στην ανατροφή του, τόσο σε οικογενειακό, όσο και σε σχολικό περιβάλλον. Έτσι, προετοιμάστηκε μόνος του, αλλά τον Ιούνιο του 1828 έδωσε εξετάσεις όπου και απέτυχε να εισαχθεί. Παρά τη μεγάλη του απογοήτευση, συνέχισε να δουλεύει μόνος του, παρακολουθώντας μαθήματα Μαθηματικών από τον Louis-Paul-Emile Richard. Στις 2 Ιουλίου 1829 ο πατέρας του Évariste, αυτοκτόνησε στο Παρίσι. Κρεμάστηκε σε ένα διαμέρισμα στην 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

14 Jean de Beauvais, πολύ κοντά στο Louis-le- Grande. Αιτία της αυτοκτονίας του ήταν ο διασυρμός του ονόματος του στην Bourg-la- Reine από τους πολιτικούς του αντιπάλους, καθώς ο Nicolas Galois ήταν διαρκώς στόχος των κληρικών. Το 1831, πριν τη διάλυση του Πυροβολικού, 19 αξιωματικοί είχαν συλληφθεί με την κατηγορία της συνομωσίας κατά της κυβέρνησης, καθώς προσπαθούσαν να δώσουν κανόνια στο λαό. Στις 9 Μαΐου περίπου 200 άτομα μαζεύτηκαν σε ένα εστιατόριο όπου οργανώθηκε ένα συμπόσιο για να γιορτάσουν την αθωωτική απόφαση για τους 19. Κατά τη διάρκεια αυτής της γιορτής, και ενώ γίνονταν προπόσεις από τους συμμετέχοντες, ο Galois θέλησε να κάνει μια πρόποση. Ύψωσε το ποτήρι του στο ένα χέρι και το στιλέτο του στο άλλο και φώναξε "Στον Louis-Philippe!". Στην αρχή η φράση του παρερμηνεύθηκε, αλλά μόλις οι συμμετέχοντες παρατήρησαν το ανοιχτό στιλέτο στο χέρι του Évariste, άρχισαν να τον επευφημούν για αυτή του την απειλή εναντίον του βασιλιά. Σύντομα ακολούθησαν και άλλοι, και η συγκέντρωση διαλύθηκε με τους ρεπουμπλικάνους να φωνάζουν στους δρόμους κατά του Βασιλιά. Συνελήφθη την επόμενη ημέρα στο σπίτι της μητέρας του στο Παρίσι και κρατήθηκε στη φυλακή Sainte-Pelagie μέχρι τις 15 Ιουνίου οπότε και έγινε η δίκη. Μετά την δίκη του, αθωώθηκε, με βασικό κριτήριο την έπαρση λόγω της ηλικίας του. Λίγους μήνες αργότερα, έδωσε αφορμή στη μυστική αστυνομία να τον συλλάβει και κρατήθηκε στη φυλακή. Επειδή υποπτεύονταν ότι έχει χολέρα μεταφέρθηκε στο νοσοκομείο της φυλακής όπου στις 29 Απριλίου του 1832 εξέτισε την ποινή του αλλά παρέμεινε για λίγο καιρό ακόμη στο νοσοκομείο. Εκεί γνώρισε και ερωτεύτηκε τη Stephanie-Felice du Motel, κόρη του θεράποντος ιατρού του. Η γνωριμία και ο έρωτάς του αυτός απέβη μοιραίος, μια που η Stephanie υπήρξε η αιτία διαμάχης του Galois με δύο φίλους της, που κατέληξε σε μονομαχία και θάνατο του ιδίου. Το τέλος του οφειλόταν σε οξεία περιτονίτιδα που προκλήθηκε σφαίρα που εβλήθη από απόσταση 25 βημάτων. Το έργο αυτού του σπουδαίου μυαλού αξίζει ιδιαίτερη αναφορά. Είχε πολλές αξιόλογες δημοσιεύσεις, παρά τις δυσκολίες που αντιμετώπισε. Μέσα από τη δουλειά του πέτυχε να δώσει απάντηση στο πότε είναι ή όχι επιλύσιμη μια αλγεβρική εξίσωση θέτοντας τις βάσεις της «θεωρίας των ομάδων». Το έργο του ξεκινώντας από την επίλυση ενός κλασικού προβλήματος οδήγησε στη δημιουργία μιας νέας θεωρίας που αποτελεί σήμερα βασικό κορμό της σύγχρονης άλγεβρας. Η Θεωρία Galois είναι ο κλάδος της άλγεβρας που συνδέει τη θεωρία σωμάτων με τη θεωρία ομάδων. Πιο συγκεκριμένα, η θεωρία Galois χρησιμοποιεί ομάδες μεταθέσεων για να περιγράψει τις σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου καθώς και για να περιγράψει το σώμα ριζών του. Συνολικά, μπορεί κανείς να αντιληφθεί τη σημασία του Galois για τη θεμελίωση της επιστήμης της άλγεβρας, όπως την ξέρουμε σήμερα. Το μόνο σίγουρο είναι πως, αν δεν έχανε τόσο γρήγορα τη ζωή του, θα είχε γράψει το όνομά του κάτω από πολλές ακόμα θεωρίες 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

15 CURIOSITY ROVER Τον Αύγουστο του 2012 οι επιστήμονες της ΝΑΣΑ κατάφεραν να προσγειώσουν ένα ρομποτικό όχημα, το Curiosity, στον Άρη. Η αποστολή του οχήματος, με στόχο την εξερεύνηση του κόκκινου πλανήτη, είναι η πιο ακριβή και τεχνολογικά προηγμένη που εστάλη ποτέ από τη Γη στον Άρη. Αποτελεί ακόμα ένα επίτευγμα μείζονος σημασίας, καθώς οι έρευνες στον Άρη θα συντελέσουν στην διευκόλυνση και άλλων μελλοντικών εξερευνήσεων. Οι επιστήμονες οι οποίοι εργάστηκαν για αυτό το εγχείρημα κατέβαλαν μια τεράστια προσπάθεια προκειμένου το Curiosity να φτάσει ασφαλές στον προορισμό του, έτσι ώστε τελίκα, να κάνει με επιτυχία τα πρώτα του βήματα στην επιφάνεια του Άρη. Ειδικότερα, για να επιτευχθεί η προσεδάφισή του στον Κόκκινο Πλανήτη οι μηχανικοί της ΝΑSA είχαν προσομοιώσει επανηλλειμένα τη στιγμή της προσγείωσής του με της Άννας Ελευθεριάδη τη χρήση μαθηματικών μοντέλων και εξισώσεων. Τελικά, τo ποσοστό επιτυχίας των προσομοιώσεων επιβεβαίωσε την ομάδα της ΝΑΣΑ κατα 95% ότι η προσγείωση του Curiosity θα ήταν επιτυχής, με την προϋπόθεση ωστόσο, ότι όλες οι σημαντικές μεταβλητές είχαν ληφθεί υπόψη. Το ρομποτικό όχημα, αλλιώς γνωστό και ως ρόβερ, εξερευνά τον κρατήρα Γκέιλ στον Άρη, ως μέρος της αποστολής της ΝΑΣΑ Mars Science Laboratory mission (MSL). Εκτοξεύθηκε τις 26 Νοεμβρίου από το ακρωτήριο Κανάβεραλ, ενώ έφτασε στον Άρη στον κρατήρα Γκέιλ στις 6 Αυγούστου, μετά από ταξίδι απόστασης 563 εκατομμυρίων χιλιομέτρων. Η αποστολή συνολικά θα διαρκέσει 23 μήνες και οι επιστήμονες ευελπιστούν ότι ως τότε θα έχουν αποκτήσει μια λεπτομερότερη και πιο ολοκληρομένη εικόνα για τον κόκκινο πλανήτη. 15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

16 Ο στόχος της πολυδάπανης αυτής αποστολής είναι η εξερεύνηση του κλίματος και της γεωλογίας του Άρη. Επιπλέον, μέσω αυτού οι επιστήμονες επιδιώκουν να διαπιστώσουν εαν οι συνθήκες που επικρατούν στον Άρη ήταν ή θα είναι ποτέ ευνοϊκές για την ύπαρξη μικροβιακής ζωής και για την εξερεύνηση από τους ανθρώπους. Ακόμα, επιχειρούν να εξακριβώσουν τον ρόλο και τη σημασία του νερού στον Άρη. Προκειμένου να επιτύχει τον στόχο του, το Curiosity θα ερευνήσει την ύπαρξη νερού, οξυγόνου, αζώτου, άνθρακα, υδρογόνου και άλλων χημικών στοιχείων, εξετάζοντας την σύσταση του εδάφους. Το βάρος του Curiosity υπολογίζεται σε 889 κιλά, το μήκος του σε 2,9 μέτρα, το πλάτος του σε 2,7 μέτρα, ενώ το ύψος του σε 2,2 μέτρα. Το Curiosity έχοντας μέγεθος μικρού αυτοκινήτου, διαθέτει ακόμα έναν εξελιγμένο εξοπλισμό, ο οποίος επιτρέπει τον εντοπισμό, την συλλογή και την ανάλυση των ευρημάτων. Επιπλέον, μέσω αυτού του επιστημονικού εξοπλισμού, το Curiosity έχει την δυνατότητα να αναλύει τη χημική σύσταση δειγμάτων που λαμβάνει. Ο εξοπλισμός περιλαμβάνει εκτός άλλων την Κάμερα Χειρός ή MAHLI, η οποία είναι σχεδιασμένη για τη μελέτη βράχων σχεδόν σε μικροσκοπικό επίπεδο, το Φασματόμετρο σωματιδίων Άλφα - Ακτίνων Χ (APXS), το οποίο προσδιορίζει τη χημική σύσταση, και το σύστημα ChemCam, το οποίο χρησιμοποιεί μια υπέρυθρη δέσμη λέιζερ για να εξαερώνει ίχνη πετρωμάτων και να προσδιορίζει τη σύσταση των αερίων. Ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του τροχοφόρου ρομπότ ήταν να αγγίξει, ξεδιπλώνοντας το μηχανικό του βραχίονα, έναν μικρό βράχο στην επιφάνεια του πλανήτη Άρη. H εξωγήινη πέτρα από βασάλτη δεν είχε ιδιαίτερη επιστημονική σημασία, ωστόσο η κίνηση αυτή του έδωσε τη δυνατότητα να εξετάσει την αποτελεσματικότητα των εργαλείων του. Το ρομποτικό όχημα ανέλυσε τη χημική σύσταση του μικρού βράχου χρησιμοποιώντας ειδικές ακτίνες λέιζερ. Το πείραμα καταγράφηκε από το σύστημα ChemCam, το οποίο δύναται να διακρίνει περισσότερα από διαφορετικά μήκη κύματος στο υπεριώδες, υπέρυθρο και ορατό φάσμα του φωτός, ενώ έχει σχεδιαστεί για να λάβει περίπου μετρήσεις. Η συγκεκριμένη τεχνική έχει επίσης χρησιμοποιηθεί για την εξέταση της σύνθεσης των υλικών σε ακραίες συνθήκες περιβάλλοντος, σε πειραματικές μελέτες καθώς και στην ανίχνευση του καρκίνου. Μετά την ολοκλήρωση της άσκησης με τον αναδιπλούμενο βραχίονα, το Curiosity θα μεταβεί σε μια τοποθεσία, καλούμενη από τους επιστήμονες ως «Γκλένελγκ», περίπου 400 μέτρα από το σημείο προσεδάφισης, καθώς δορυφορικά δεδομένα δείχνουν ότι στην περιοχή αυτή συναντώνται τρία διαφορετικά πετρώματα που θα άξιζε να μελετηθούν 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

17 ΔΙΑΒΑΣΑΜΕ & ΑΠΑΝΤΑΜΕ Ο Ίωνας φιλόσοφος Ηράκλειτος διατύπωσε την άποψη ότι «Παντών πατήρ πόλεμος».ο Αρχιμήδης αναφέρει ότι «Δεν θα γράψω τίποτε για τις εφευρέσεις μου, που αφορούν τον πόλεμο». Σχολιάστε την αντίθεση που διατυπώνεται στα παραπάνω «πόλεμος πατήρ πάντων» Παρόλο που μέχρι σήμερα η φράση του Εφεσίου διδασκάλου και φιλόσοφου Ηράκλειτου παραμένει δυσερμήνευτη, σίγουρα όμως, έρχεται σε αντιπαράθεση με τα λεγόμενα του Αρχιμήδη στο συγκεκριμένο απόσπασμα από τον διάλογό του με τον Ιέρωνα. Η φράση «πόλεμος πατήρ πάντων» είναι μία από τις πιο γνωστές ρήσεις του Ηράκλειτου που συνδέεται στην ουσία με το «τα πάντα ρει» καθώς τα πάντα στον κόσμο είναι σε συνεχή ροή, κίνηση και διεργασία (δηλαδή σε πόλεμο). Κατά τον έλληνα φιλόσοφο, κάθε πράγμα για να υπάρχει και να ορισθεί, απαιτεί την ύπαρξη και άλλων πραγμάτων κατά τρόπο που να εκφράζει τη ταυτότητά του σε σύγκριση με τα άλλα. Αυτή η έννοια ορίζεται από τον Ηράκλειτο ως πόλεμος, ή αντίθεση μεταξύ των αντιθέτων (πχ. Φλόγα και πάγος). Από την άλλη, όπως βλέπουμε στο συγκεκριμένο απόσπασμα, ο Αρχιμήδης αναφέρεται στην κυριολεκτική σημασία του πολέμου. Πόλεμος είναι η δυσάρεστη γι αυτόν κατάσταση μάχης μεταξύ ομοεθνών ή και ξένων, με πολλές απώλειες. Για τον λόγο αυτό, δεν θέλει να εμπλακεί και να γίνει συνένοχος ως βοηθός σ ένα «έγκλημα». Οι εφευρέσεις του είναι για να βοηθούν/ διευκολύνουν τους ανθρώπους στη ζωή τους για καλό σκοπό. Ο Αρχιμήδης δεν θέλει να σπείρει ένα σπόρο «δηλητηριώδους» φυτού που θα διαδώσει το κακό στους ανθρώπους. Έτσι, αρνείται να γράψει τίποτε για τις εφευρέσεις του που αφορούν τον πόλεμο της Ειρήνης Αϊδίνη 17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

18 Ο Ίωνας φιλόσοφος Ηράκλειτος υποστηρίζει πως «Πάντων πατήρ πόλεμος». Η συγκεκριμένη φράση προβάλλει την άποψη πως σε συνθήκες πολέμου ο άνθρωπος είναι ικανός να μεγαλουργήσει στην προσπάθειά του να αντιμετωπίσει τον εχθρό, ευφευρίσκοντας νέες μηχανές, στρατηγικές, καθώς και τρόπους επίλυσης προβλημάτων. Σύμφωνα λοιπόν με τον Ηράκλειτο, η πίεση του πολέμου βάζει τον άνθρωπο σε εγρήγορση και επιφυλακή, ενώ ταυτόχρονα η επιτακτική ανάγκη για ασφάλεια και το πάθος για την υπεράσπιση της πατρίδας τον ωθούν να σκεφτεί έξω από το καθεστημένο. Κατ αυτόν τον τρόπο, ο άνθρωπος γίνεται δημιουργικός και καινοτόμος, κατασκευάζοντας έτσι πρωτότυπες μηχανές, αναπτύσσοντας νέες ιδεολογίες και τέλος εξελίσσοντας την επιστήμη και την τεχνολογία. Από την άλλη πλευρά, ο Αρχιμήδης αναφέρει σε διάλογό του με τον Ιέρωνα πως «Δεν θα γράψω τίποτε για τις εφευρέσεις μου, που αφορούν στον πόλεμο». Ο κύριος λόγος για τον οποίο ο Αρχιμήδης δηλώνει τα προηγούμενα, είναι επειδή πιστεύει, σε αντίθεση με τον Ηράκλειτο, πως απαραίτητη προϋπόθεση για να παραχθεί οτιδήποτε είναι ο νους του ανθρώπου να βρίσκεται σε ηρεμία. Δηλαδή, προκειμένου να κατασκευάσει ή να ανακαλύψει κάτι ο άνθρωπος πρέπει να βρίσκεται σε περιβάλλον ειρήνης. Μόνον τότε θα έχει την δυνατότητα να αφοσιωθεί στο έργο του ή να βυθιστεί στις σκέψεις του και να οδηγηθεί τελικά σε ένα συμπέρασμα ή σε κάποια ανακάλυψη. Ως εκ τούτου, ο Αρχιμήδης δηλώνει πως δεν θα αφήσει στοιχεία σχετικά με τις πολεμικές του μηχανές, καθώς γνωρίζει πως όχι μόνο θα χρησιμοποιηθούν στον πόλεμο αλλά ενδέχεται να αποτελέσουν και αφορμή για το ξέσπασμα μιας καινούργιας διαμάχης, γεγονός που θα συντελέσει στο να μην βρίσκονται οι άνθρωποι σε ηρεμία και συνεπώς να μην είναι σε θέση να καινοτομήσουν και να προοδεύσουν. Κατά τη γνώμη μου και οι δύο απόψεις, τόσο αυτή του Ηράκλειτου όσο και αυτή του Αρχιμήδη, είναι σωστές, καθώς οι άνθρωποι διαφέρουν μεταξύ τους. Το γεγονός αυτό έχει ως άμεση συνέπεια η αποδοτικότητα του καθενός να ποικίλει ανάλογα με το περιβάλλον στο οποίο βρίσκεται. Δηλαδή, άλλοι λειτουργούν καλύτερα υπό συνθήκες πίεσης και άγχους, ενώ άλλοι έχουν ανάγκη από μια ήρεμη ατμόσφαιρα προκειμένου να εργαστούν σωστά και αποτελεσματικά. Συνεπώς, βλέπουμε πως ο άνθρωπος μπορεί να είναι ευφευρετικός τόσο σε συνθήκες πολέμου όσο και σε περιόδους ειρήνης ανάλογα με τον χαρακτήρα και τον τρόπο σκέψης του της Ελένης Αλεξανδράκη 18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

19 Ο Αρχιμήδης αναφέρει τον όρο «μαθηματικά μοντέλα». Τι εννοεί με τον όρο αυτό; της Αντιγόνης Αλειφέρη Μαθηματικό μοντέλο ονομάζεται ένα πρότυπο (συνάρτηση) που μας βοηθάει να προβλέψουμε ικανοποιητικά την εξέλιξη ενός φαινομένου. Ουσιαστικά, πρόκειται για έναν τρόπο με τον οποίο εμπλέκονται τα μαθηματικά σε όλους τους υπόλοιπους τομείς της ζωής μας. Στον κόσμο μας η ερμηνεία πολλών φαινομένων μπορεί αρκετές φορές να είναι απλή και να εξηγείται μέσω θεωριών που θεμελιώνονται με την εξέλιξη της επιστήμης και προσδιορίζει την αξία χρήσης αυτής της επιστήμης. Για παράδειγμα η δυνατότητα που παρέχει μια συγκεκριμένη επιστήμη σχετικά με την πρόβλεψη ενός φαινομένου ντετερμινιστικά. Το πρώτο βήμα προς την πρόβλεψη είναι η ύπαρξη ενός τέλειου τέτοιου μοντέλου που μπορεί να περιγράψει κάθε φυσικό φαινόμενο και δεύτερο βήμα είναι η επίλυση του αλγοριθμικά (σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων). Η έννοια «τέλειο μοντέλο» τοποθετείται στο επίπεδο του ικανοποιητικού, δηλαδή του κατά πόσο μπορεί να προσεγγιστεί το φαινόμενο. Γι αυτόν τον σκοπό η εξέλιξη μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους: είτε με την συνεξέλιξη μιας μαθηματικής θεωρίας στο πλαίσιο που οριοθετείται από το πρόβλημα, είτε με την ανάπτυξη μιας νέας μαθηματικής θεωρίας σε περισσότερο αφηρημένο επίπεδο, η οποία θα αναδιαμορφωθεί έτσι, ώστε να χρησιμοποιηθεί ως μία καλύτερη προσέγγιση του προβλήματος. Η ικανότητα επίλυσης των μοντέλων είναι το σημαντικότερο πλεονέκτημα μιας τέτοιας χρήσης των μαθηματικών, γι'αυτό εξάλλου και συντελείται μεγάλη προσπάθεια για μια τέτοιου είδους προσέγγιση. Ακόμα, κι όταν δεν είχες πλήρως σωστά αποτελέσματα (κι αυτό είναι σύνηθες) μπορείς να καταφέρεις να γνωρίζεις, έστω και πειραματικά, την απόκλιση του μοντέλου από την καθημερινότητα. Τελικά, το «κέρδος» από την, όπως παραπάνω περιγράφηκε, συνεξέλιξη των μαθηματικών και των άλλων επιστημών υπήρξε σημαντικό. Αφενός μεν για τα μαθηματικά στην αναδιαμόρφωσή τους και μετεξέλιξη τους με μια αξία χρήσης που τους προσδόθηκε και, κατά κύριο λόγο, με τις «νέες πηγές» έμπνευσης για αυτά με τη μορφή πεδίων καινούριων αποτελεσμάτων. Αφετέρου, για τις υπόλοιπες επιστήμες, στη διαμόρφωση μιας εγκυρότητας γι' αυτές (στο μέτρο που τα μαθηματικά είναι έγκυρα) και μιας προβλεψιμότητας, υπό τη μορφή αιτίας-αποτελέσματος που επιβάλλεται από τα μαθηματικά μοντέλα (=πρότυπα). Όμως, ως αντιστάθμισμα υπάρχουν, βεβαίως, κάποια μειονεκτήματα, τα οποία αξίζουν επίσης ιδιαίτερης διεύρυνσης και ελέγχου 19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

20 Είπαν...για τα Μαθηματικά της Όλγας Κυριαζή Α 4 Lorn Kelvin Ευγένιος Ιονέσκο Tα μαθηματικά είναι η μόνη αξιόλογη μεταφυσική Χαϊδέψτε έναν κύκλο, και θα γίνει φαύλος Bertrand Russell Για να είσαι καλός φιλόσοφος, πρέπει να αποκηρύξεις τη μεταφυσική, αλλά να είσαι καλός μαθηματικός 20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

21 Κάρολος Δαρβίνος Ο μαθηματικός είναι ένας τυφλός σε ένα σκοτεινό δωμάτιο που ψάχνει για μια μαύρη γάτα που δεν είναι εκεί Αλβέρτος Αϊνστάιν Τα καθαρά Μαθηματικά είναι, κατά κάποιο τρόπο, η ποίηση των λογικών ιδεών. Όταν οι νόμοι των μαθηματικών ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σαφείς, και όταν είναι σαφείς, δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα François Fénelon Carl Friedrich Gauss Mην επιτρέψεις στον εαυτό σου να παραπλανηθεί από τη διαβολική έλξη της Γεωμετρίας Oι μαθηματικοί στηρίζονται ο ένας στους ώμους του άλλου 21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

22 J. B. Shaw Ο μαθηματικός συναρπάζεται από την απίστευτη ομορφιά στους τύπους που δημιουργεί, και μέσα στην ομορφιά αυτή βρίσκει αδιαμφισβήτητη αλήθεια Edward Gibbon Τα μαθηματικά χαρακτηρίζονται από το ιδιαίτερο προνόμιο, ότι στην πορεία της ιστορίας πάντα προοδεύουν και ποτέ δεν οπισθοδρομούν Πυθαγόρας James Jeans Πάντα κατ αριθμόν γίνονται (Τα πάντα γίνονται σύμφωνα με αριθμούς) O μεγάλος Αρχιτέκτονας του Σύμπαντος αρχίζει να μοιάζει τώρα σαν ένας γνήσιος μαθηματικός. 22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

23 Georg Cantor Στα μαθηματικά, η τέχνη του να διατυπώνεις σωστά το ερώτημα, βρίσκεται ψηλότερα από το να δίνεις σωστά την απάντηση Οδυσσέας Ελύτης Φτασμένες οι προλήψεις σε μια καθαρότητα μαθηματική, μας οδηγούν στη βαθύτερη γνώση του κόσμου Πηγές: -quotes-you-probably-never-heard-of.html 23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Αγαπητέ μαθητή/ αγαπητή μαθήτρια, Διεξάγουμε μια έρευνα και θα θέλαμε να μάθουμε την άποψή σου για τo περιβάλλον μάθησης που επικρατεί στην τάξη σου. Σε παρακαλούμε

Διαβάστε περισσότερα

6. '' Καταλαβαίνεις οτι κάτι έχει αξία, όταν το έχεις στερηθεί και το αναζητάς. ''

6. '' Καταλαβαίνεις οτι κάτι έχει αξία, όταν το έχεις στερηθεί και το αναζητάς. '' 1. '' Τίποτα δεν είναι δεδομένο. '' 2. '' Η μουσική είναι η τροφή της ψυχής. '' 3. '' Να κάνεις οτι έχει νόημα για σένα, χωρίς όμως να παραβιάζεις την ελευθερία του άλλου. '' 4. '' Την πραγματική μόρφωση

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Μέρος πρώτο ΣΚΟΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να εξηγηθούν βασικές έννοιες της φυσικής, που θα βοηθήσουν τον φοιτητή να μάθει: Τι είναι οι ακτίνες Χ Πως παράγονται Ποιες είναι

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Εργασία για το σπίτι Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Απαντά η Μαρίνα Βαμβακίδου Ερώτηση 1. Μπορείς να φανταστείς τη ζωή μας χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

A film by 8o dimotiko Agiou dimitriou

A film by 8o dimotiko Agiou dimitriou A film by 8o dimotiko Agiou dimitriou Kostas and Sofia pictures present... TA ΠΑΙΔΙΚΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΙΑ Γεννήθηκε στην Πίζα της Ιταλίας και από νωρίς έδειξε σημεία μιας αξιοσημείωτης ιδιοφυΐας. Ο πατέρας του

Διαβάστε περισσότερα

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες ΑΡΧΑΙΟΙ ΧΡΟΝΟΙ Πυθαγόρας (580-500π.Χ) Ευκλείδης (350-270π.Χ) Αρχιμήδης (287-212π.Χ) Διοκλής (240-180π.Χ) ΠΡΩΤΟΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Ήρων (1 Ος αιώνας μ.χ) Υπατία (370-416

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανόηση γραπτού λόγου

Κατανόηση γραπτού λόγου Κατανόηση γραπτού λόγου Επίπεδο Α (αρχάριο) Τρίτη διδακτική πρόταση Μικρές Αγγελίες Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Ενσωμάτωση δεξιοτήτων: Υλικό: 1 διδακτική ώρα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 Η ενότητα 7 περιλαμβάνει την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών μέχρι το 10, στρατηγικές πρόσθεσης/αφαίρεσης και επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. ΔΕΙΚΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Ορισμοί της Τεχνολογίας Τεχνολογικό περιβάλλον ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης Επιπτώσεις της Τεχνολογίας Ορισμός σχολικού βιβλίου για την Τεχνολογία Με την ευρεία έννοια του όρου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι η σελήνη; Πως Δημιουργήθηκε; Ποιες είναι οι κινήσεις της; Σημάδια ζωής στη σελήνη. Πόσο απέχει η σελήνη από την γη; Τι είναι η πανσέληνος;

Τι είναι η σελήνη; Πως Δημιουργήθηκε; Ποιες είναι οι κινήσεις της; Σημάδια ζωής στη σελήνη. Πόσο απέχει η σελήνη από την γη; Τι είναι η πανσέληνος; Τι είναι η σελήνη; Πως Δημιουργήθηκε; Ποιες είναι οι κινήσεις της; Σημάδια ζωής στη σελήνη. Πόσο απέχει η σελήνη από την γη; Τι είναι η πανσέληνος; Μαγνητικό πεδίο. Κρατήρες. Ο πρώτος άνθρωπος που πήγε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητα εκπαιδευτικού σεναρίου

Ταυτότητα εκπαιδευτικού σεναρίου Ταυτότητα εκπαιδευτικού σεναρίου Τίτλος: Συμβάντα και ενέργειες - Το πολύχρωμο σκαθάρι Σύντομη περιγραφή: Ένα εκπαιδευτικό σενάριο για την διδασκαλία των συμβάντων και ενεργειών στον προγραμματισμό, με

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες.

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Γαλιλαίος (1581-1643) Γεννήθηκε στην Πίζα το 1581 Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Ως δευτεροετής φοιτητής ανακάλυψε: 1. Τον

Διαβάστε περισσότερα

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Υπατία Τετάρτη20 Νοεµβρίου 2013 Σχολικό έτος 2013-2014 Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Τµήµα Β1 Βιογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΔΕΛΤΙΩΣΗ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΔΕΛΤΙΩΣΗ Ημερομηνία 10/3/2016 Μέσο Συντάκτης Link http://www.in.gr Τζωρτζίνα Ντούτση http://www.in.gr/entertainment/book/interviews/article/?aid=1500064083 Νικόλ Μαντζικοπούλου: Το μυστικό για την επιτυχία είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΥΙΛΙΑΜ ΛΑΝΤΕΪ συνέντευξη στον Ελπιδοφόρο Ιντζέμπελη

ΟΥΙΛΙΑΜ ΛΑΝΤΕΪ συνέντευξη στον Ελπιδοφόρο Ιντζέμπελη Ημερομηνία 25/2/2015 Μέσο Συντάκτης Link diastixo.gr Ελπιδοφόρος Ιντζέμπελης http://diastixo.gr/sinentefxeis/xenoi/3524-william-landay ΟΥΙΛΙΑΜ ΛΑΝΤΕΪ συνέντευξη στον Ελπιδοφόρο Ιντζέμπελη Δημοσιεύτηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ένα φωτοευαισθητοποιημένο χαρτί από άλατα αργύρου. Ωστόσο, ο

ένα φωτοευαισθητοποιημένο χαρτί από άλατα αργύρου. Ωστόσο, ο Είναι γνωστό πως η φωτογραφία αποτελεί πλέον ένα σημαντικό κομμάτι της σύγχρονης εποχής καθώς κυριαρχεί τόσο στο διαδίκτυο και τα περιοδικά, όσο και στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων που απαθανατίζουν διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο. Πώς να ζήσετε 150 χρόνια µε Υγεία

Εισαγωγή. Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο. Πώς να ζήσετε 150 χρόνια µε Υγεία Εισαγωγή «Όποιος έχει υγεία, έχει ελπίδα. Και όποιος έχει ελπίδα, έχει τα πάντα.» Τόμας Κάρλαϊλ Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο Ο πατέρας μου είναι γιατρός, ένας από τους καλύτερους παθολόγους που

Διαβάστε περισσότερα

Εμπλουτισμένο μάθημα της Ιστορίας για τη Γ Δημοτικού. Κωνσταντίνος Πατσαρός

Εμπλουτισμένο μάθημα της Ιστορίας για τη Γ Δημοτικού. Κωνσταντίνος Πατσαρός Εμπλουτισμένο μάθημα της Ιστορίας για τη Γ Δημοτικού Κωνσταντίνος Πατσαρός Master in Education University of Manchester Σκοπός: Να γνωρίσουν οι μαθητές την ακρόπολη των Μυκηνών. Να γνωρίσουν την αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 24.05.12 Χ. Χαραλάμπους Πίσω στην Άλγεβρα... Έως το τέλος του 18 ου αιώνα, άλγεβρα ήταν η μελέτη πολυωνυμικών εξισώσεων (κλασσική άλγεβρα). Το 20 ο αιώνα η άλγεβρα έγινε η μελέτη αφηρημένων

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιχνηλάτες ταξιδεύουν σε άγνωστα νερά

Οι ιχνηλάτες ταξιδεύουν σε άγνωστα νερά Οι ιχνηλάτες ταξιδεύουν σε άγνωστα νερά Μια φορά κι έναν καιρό μια παρέα από μαθητές και μαθήτριες που αγαπούσαν την περιπέτεια και ήθελαν να γνωρίσουν τον κόσμο αποφάσισε να κάνει ένα ταξίδι μακρινό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΔΙΟΥ- «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;»

ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΔΙΟΥ- «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;» ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΔΙΟΥ- «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έρευνα «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;» πραγματοποιήθηκε τους μήνες Φεβρουάριο-Μάρτιο 2014 σε πέντε σχολεία της Θεσσαλονίκης

Διαβάστε περισσότερα

Πώς και γιατί μετακινούμαστε;

Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Διδακτική πρόταση 1: Συνοπτικό πλαίσιο μετακίνησης και εγκατάστασης Ερωτήματα-κλειδιά Γιατί και πώς μετακινούμαστε από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα; Πού μένουμε από τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την 1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Ειρήνη Σταματούδη, LL.M., Ph.D. Διευθύντρια Ο.Π.Ι.

Εισαγωγή. Ειρήνη Σταματούδη, LL.M., Ph.D. Διευθύντρια Ο.Π.Ι. Εισαγωγή Ο οδηγός που κρατάς στα χέρια σου είναι μέρος μιας σειράς ενημερωτικών οδηγών του Οργανισμού Πνευματικής Ιδιοκτησίας. Σκοπό έχει να δώσει απαντήσεις σε κάποια βασικά ερωτήματα που μπορεί να έχεις

Διαβάστε περισσότερα

10 DaniEl GolEman PEtEr SEnGE

10 DaniEl GolEman PEtEr SEnGE Eισαγωγή Για σκεφτείτε το: ένα άτομο κάτω των δεκαοκτώ ετών κατά πάσα πιθανότητα δεν έχει ζήσει ποτέ χωρίς ίντερνετ. Επιπλέον, σε όλο και πιο πολλά μέρη της υφηλίου, τα περισσότερα παιδιά κάτω των δέκα

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν.

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν. Είναι γνωστή σε όλους η σειρά επιστημονικής φαντασίας Star Trek η οποία έχει φανατικούς θαυμαστές σε όλο τον κόσμο. Οι τεχνολογικές καινοτομίες και οι «φανταστικές» τεχνολογίες που είχε συμπεριλάβει στο

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα»

ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα» Ημερομηνία 8/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link http://artpress.sundaybloody.com/ Βασίλης Κάργας http://goo.gl/di6ugf Μαρίνα Γιώτη, συγγραφέαςεικονογράφος : «Τα παραμύθια είναι ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σχεδιασμός... αντιμετωπίζει ενιαία το πλαίσιο σπουδών (Προδημοτική, Δημοτικό, Γυμνάσιο και Λύκειο), είναι συνέχεια υπό διαμόρφωση και αλλαγή, για να αντιμετωπίζει την εξέλιξη,

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Γνωστικό Αντικείμενο: Πληροφορική Διδακτική Ενότητα: Ελέγχω-Προγραμματίζω τον Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού

Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Δραστηριότητες & Υλικό για τα Μαθηματικά του Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης kliapis@sch.gr 1 Ο Ρόλος του εκπαιδευτικού Αξιολογεί την αρχική μαθηματική κατάσταση κάθε παιδιού, ομαδοποιεί τα παιδιά σύμφωνα με

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες και συμβουλές για το τέλειο γραπτό

Οδηγίες και συμβουλές για το τέλειο γραπτό Οδηγίες και συμβουλές για το τέλειο γραπτό Μικρά «μυστικά» για ένα τέλειο γραπτό αποκαλύπτουν σήμερα στο «Εθνος- Παιδεία» οι καθηγητές που συμμετέχουν κάθε χρόνο στη βαθμολόγηση των γραπτών των Πανελλαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία. Μάθημα 3

Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία. Μάθημα 3 Σύμβολα και σχεδιαστικά στοιχεία Μάθημα 3 Τα αρχιτεκτονικά σύμβολα αποτελούν μια διεθνή, συγκεκριμένη και απλή γλώσσα. Είναι προορισμένα να γίνονται κατανοητά από τον καθένα, ακόμα και από μη ειδικούς.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009-2015 Σελίδα 1 από 13 Μηχανική Στερεού Σώματος 1. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται δύο όμοιες πλατφόρμες οι οποίες μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Διδάσκων: Βασίλης Γραμματικόπουλος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η 6η Δέσμη ΚΑΛΩΝ ΤΕΧΝΩΝ

Η 6η Δέσμη ΚΑΛΩΝ ΤΕΧΝΩΝ Η 6η Δέσμη ΚΑΛΩΝ ΤΕΧΝΩΝ Η Δέσμη Καλών Τεχνών προσφέρεται ως επιλογή στους μαθητές της Β' και Γ' λυκείου. Για την 6η Δέσμη δεν υπάρχει στην Α' λυκείου αντίστοιχη ΟΜΠ (Ομάδα Μαθημάτων Προσανατολισμού), έτσι

Διαβάστε περισσότερα

Μαρίνα Γιώτη, συγγραφέας-εικονογράφος «Τα παραμύθια είναι ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα»

Μαρίνα Γιώτη, συγγραφέας-εικονογράφος «Τα παραμύθια είναι ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα» Ημερομηνία 8/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link artpress.sundaybloody.com Βασίλης Κάργας http://artpress.sundaybloody.com/?it_books=%ce%bc%ce%b1%cf%81%ce%af%ce%bd%ce %B1-%CE%B3%CE%B9%CF%8E%CF%84%CE%B7- %CF%83%CF%85%CE%B3%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%AD%CE%B1%CF%82-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΠΩΛΗΣΗ Καταρχάς, βασική προϋπόθεση για το κλείσιμο μιας συνάντησης είναι να έχουμε εξακριβώσει και πιστοποιήσει ότι μιλάμε με τον υπεύθυνο που λαμβάνει μια απόφαση συνεργασίας ή επηρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Διοικώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Διοικώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Επαγγελματική Βελτίωση Διοικώ 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Τι είναι «διοίκηση» 2. Η «διοίκηση»

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ανάλυση θεωρίας

3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Ανάλυση θεωρίας Κεφάλαιο Εξέλιξη 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ανάλυση θεωρίας Πολλές από τις επιστημονικές απόψεις που έχουν κατά καιρούς διατυπωθεί δεν γίνονται εύκολα αποδεκτές, διότι αντιβαίνουν την αντίληψη που οι άνθρωποι διαμορφώνουν

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα.

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα. ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ 2 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΗΦΙΣΙΑΣ Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα. Μέχρι πριν από κάποια χρόνια αυτό θα ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ποδράσηη Χαλί πετά, ιστορία αρχινά! Σχέδια εργασίας σχολείων-μουσείων σχολικού έτους 2011-2012 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ

ποδράσηη Χαλί πετά, ιστορία αρχινά! Σχέδια εργασίας σχολείων-μουσείων σχολικού έτους 2011-2012 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ 9 ποδράσηη 5 Σχέδια εργασίας σχολείων-μουσείων σχολικού έτους 2011-2012 Μουσείο Μπενάκη 110ο Δημοτικό Σχολείο Αθηνών Χαλί πετά, ιστορία αρχινά! ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εντυπώσεις σεμιναρίου Σεξουαλικότητα & Εφηβεία

Εντυπώσεις σεμιναρίου Σεξουαλικότητα & Εφηβεία Εντυπώσεις σεμιναρίου Σεξουαλικότητα & Εφηβεία Καλύτερη πληροφόρηση Ένιωσα σίγουρη για τον εαυτό μου Πολλές απορίες που δεν είχα φανταστεί με σιγούρεψαν Η σημερινή ενημέρωση ήταν από τις καλύτερες που

Διαβάστε περισσότερα