Mαθηματικός Λόγος ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ. ΧΡΟΝΟΣ 1 ος. - τεύχος 1 ο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mαθηματικός Λόγος ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ. ΧΡΟΝΟΣ 1 ος. - τεύχος 1 ο"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΝ ΙΔΡΥΜΑ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 1 ος - τεύχος 1 ο Mαθηματικός Λόγος 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

2 μαθηματικός λόγος ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΧΡΟΝΟΣ 1ος - τεύχος 1 ο ΑΡΧΙΣΥΝΤΑΚΤΡΙΑ Όλγα Κυριαζή Στο τεύχος συνεργάστηκαν οι: Ειρήνη Αϊδίνη Αντιγόνη Αλειφέρη Ελένη Αλεξανδράκη Άγγελος Βακάλης Άννα Ελευθεριάδου Όλγα Κυριαζή Ελεάννα Πρωτοπαπά Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Math Art - Algorithmic Art Της Όλγας Κυριαζή... 4 Συμμετρία: Το στοιχείο της τάξης Της Ελεάννας Πρωτοπαπά... 9 Αρχιμήδης: Ο μετριόφρων επιστήμων Της Όλγας Κυριαζή Évariste Galois Του Άγγελου Βακάλη Curiosity Rover Της Άννας Ελευθεριάδου Διαβάσαμε και απαντάμε Της Ειρήνης Αϊδίνη Της Ελένης Αλεξανδράκη Της Αντιγόνης Αλειφέρη Είπαν για τα Μαθηματικά Της Της Όλγας Κυριαζή ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ Χρίστος Κωνσταντόπουλος Αλέξανδρος Μαναρίδης 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

3 EDITORIAL Ένας λόγος για ανάγνωση Κατανοώ πως ο καθένας από εμάς έχει και κάποια ίσως πιο ενδιαφέρουσα ασχολία από το να διαβάσει το περιοδικό της Μαθηματικής Σκέψης. Λογικό να μην έχουμε απεριόριστο ελεύθερο χρόνο και να πνιγόμαστε από τις υποχρεώσεις του σχολείου για να αφιερώσουμε χρόνο προκειμένου να διαβάσουμε για μαθηματικούς, ρητά και επιτεύγματα. Ας δώσουμε όμως μια ευκαιρία σε αυτό το περιοδικό που γράφτηκε από τους μαθητές της Μαθηματικής Σκέψης της Α Λυκείου και όχι μόνο. Οι σελίδες του περιοδικού μας είναι γεμάτες από τον μαγικό κόσμο των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά, μια επιστήμη που όσο κι αν φαίνεται περίεργο δεν είναι και δεν αφορά μόνο στις ιδιοφυΐες αλλά και σε εμάς που ενδιαφερόμαστε και τη μελετούμε γιατί την αγαπάμε. Την αγαπάμε και είμαστε περίεργοι πόσο μακριά θα μας ταξιδέψει. Πόσο θα κουράσει τα αγύμναστα μυαλά μας; Θα προλάβει ποτέ να αναδείξει τις απεριόριστες δυνατότητες και τους τομείς τους οποίους απασχολεί και επηρεάζει; Θα παύσει να μας μαγεύει; Θα τελειώσει ποτέ αυτό το ταξίδι ή θα μας φτάσει μέχρι (της ζωής) το άπειρο; «Ο Μαθηματικός Λόγος». Πολλά μπορούν να ειπωθούν. Όλοι μπορούν να σχολιάσουν κάτι διαφορετικό. Η Μαθηματική Σκέψη αφήνει αυτές τις τρεις λέξεις στη δικιά σας φαντασία και σας εύχεται καλή ανάγνωση. Καλή Ανάγνωση! Η αρχισυντάκτρια Όλγα Κυριαζή 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

4 Math Art Algorithmic Art της Όλγας Κυριαζή Τα Μαθηματικά και η τέχνη είχαν ανέκαθεν μια στενή σχέση. Πολλά είναι τα ιστορικά παραδείγματα που επιβεβαιώνουν τους συνεκτικούς δεσμούς μεταξύ τους. Επιπλέον, είναι πολλοί εκείνοι που εμπνευσμένοι από τα μαθηματικά, τα σπούδασαν με απώτερο σκοπό να τελειοποιήσουν τα έργα τους. Μπορεί να μην το αντιλαμβανόμαστε, αλλά ακόμη και σε καθημερινό επίπεδο βλέπουμε ή ακούμε την εφαρμογή των μαθηματικών στην τέχνη. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, Έλληνες και Ρωμαίοι γνώριζαν τη χρυσή τομή και την ενσωμάτωναν στο σχεδιασμό μνημείων, όπως ο Παρθενώνας και το Κολοσσαίο. Ο Έλληνας γλύπτης Πολύκλειτος ορίζει μια σειρά από μαθηματικές διαστάσεις για να σκαλίσει με ιδανικό τρόπο έναν γυμνό άντρα. Τέλος, Αναγεννησιακοί ζωγράφοι, στράφηκαν στα μαθηματικά ενώ μερικοί, όπως ο Piero della Francesca, έγιναν οι ίδιοι επιτυχημένοι μαθηματικοί. Ποιος δεν περπατά καθημερινά σε πλακόστρωτα; Ποιος όταν ήταν παιδί δεν κοιτούσε κάτω ενώ περπατούσε προσπαθώντας να πατάει ανά δύο τα τετράγωνα, ή να μην πατάει στις γραμμές ή οτιδήποτε άλλο μπορούσε να σκεφτεί; Δεν είναι όλα αυτά παραδείγματα της εφαρμογής των μαθηματικών στην τέχνη; Το παιδί που περπατά μόνο σε συγκεκριμένα τετραγωνάκια των πλακόστρωτων έχει ορίσει ένα μοτίβο το οποίο ακολουθεί. Τα πλακόστρωτα κατασκευάζονται με συγκεκριμένο αλγόριθμο. Επομένως, μαθηματικές εξισώσεις δε λείπουν ούτε από την αρχιτεκτονική. Η Αλάμπρα στη Γρανάδα χαρακτηρίζεται ως Παλάτι της συμμετρίας. Η είσοδος του, η οροφή του και τα πλακάκια του είναι κατασκευασμένα με βάση επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Ειδικοί αναφέρουν ότι το χαρακτηριστικό της εισόδου της Αλάμπρα είναι η ιδιαιτερότητα των εικόνων, που την αποτελούν, να ταιριάζουν απόλυτα σε όποια θέση και αν τις μετατοπίσει κανείς. Επιπρόσθετα, οι καλλιτέχνες του Ισλάμ χρησιμοποιούσαν σε μεγάλο βαθμό τη συμμετρία πιστεύοντας ότι με αυτό τον τρόπο εκφράζουν την άπειρη σοφία και μεγαλοπρέπεια του Θεού. 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

5 Είναι αξιοσημείωτη η σύνδεση που πέτυχε ο Μπαχ ανάμεσα στη σύνθεση κλασσικής μουσικής και στα μαθηματικά. Χωρίς φυσικά να έχει fractals (φράκταλς, μορφοκλάσματα) στο μυαλό του κατά τη σύνθεση κομματιών, παρ όλ αυτά στα κομμάτια του παρατηρείται μια κίνηση που έχει επαναλαμβανόμενη δομή σε διαφορετικές (μουσικές) κλίμακες χαρακτηριστικές ενός φράκταλ. Η αναδρομική μορφή αυτής της μουσικής δομής μπορεί να οπτικοποιηθεί ως μια δομή φράκταλ. Συγκεκριμένα στη συλλογή του The Goldberg Variations υπάρχουν τριάντα παραλλαγές (variations) ταξινομημένες σε δέκα ομάδες των τριών. Κάθε σετ τριών κομματιών είναι μια ελεύθερη παραλλαγή σε ντουέτα και κανόνα. μέσους όρους «προς ένα στόχο». Σαν βάση για τη μουσική του σύνθεση χρησιμοποίησε τουλάχιστον 15 μαθηματικές θεωρίες. Σήμερα, στον 21ο αιώνα, άνθρωποι με μεράκι, αγάπη για τα μαθηματικά και δημιουργικότητα δημιουργούν ιστοσελίδες, αναρτούν άρθρα και εικόνες τόσο εντυπωσιακές που δύσκολα φαντάζεται κανείς ότι από πίσω τους κρύβουν μαθηματικές εξισώσεις. Σχήματα επαναλαμβανόμενα, κύκλοι, τετράγωνα, πολύγωνα, σχήματα, σχήματα ακανόνιστα και πολλές γραμμές με χρώματα. Όλα αυτά δεσμεύουν την προσοχή του καθένα και του δίνουν τη δυνατότητα να τα μεταφράσει όπως εκείνος θέλει με οδηγό την φαντασία του! Ποιος λοιπόν μπορεί να αρνηθεί τώρα το πάντρεμα των μαθηματικών με τις διάφορες μορφές τέχνης; Αρχιτεκτονική, γλυπτική, ζωγραφική, μουσική μπορούν να βασιστούν σε μαθηματικά μοτίβα και συμμετρίες. Αυτά που διδασκόμαστε στην τάξη και που δύσκολα έλκουν το ενδιαφέρον και την προσοχή των προκατειλημμένων μαθητών για την σημασία των μαθηματικών, φτάνουν τώρα να είναι η βάση πολλών μορφών τέχνης. Κάντε απλώς ένα κλικ στο Διαδίκτυο γράφοντας Math art! Κάτι παρόμοιο επιχείρησε με επιτυχία και ο Ιάννης Ξενάκης, Έλληνας που σταδιοδρόμησε στη Γαλλία. Ο Ιάννης Ξενάκης εργαζόταν ως αρχιτέκτονας ενώ σπούδαζε μουσική. Έτσι εξηγείται η συνήθεια του να χρησιμοποιεί μαθηματικές και αρχιτεκτονικές έννοιες στη μουσική δομή. Ασχολήθηκε συστηματικά με τη μεταφορά στη μουσική των μαθηματικών «Νόμων των πιθανοτήτων», ενώ επινόησε τον όρο «Στοχαστική μουσική», που βασίζεται στην ιδέα ανάπτυξης του ηχητικού υλικού, με στατικούς 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

6 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

7 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

8 Βιβλιογραφία Θεωρία των Ομάδων o μαθηματικός, η sυμμετρία, και το τέρας, Marcus du Sautoy ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

9 Σ Υ Μ Μ Ε Τ Ρ Ι Α : Το στοιχείο της τάξης Ησυμμετρία ενδιαφέρει ανθρώπους από πολλούς κλάδους, όπως τον μαθηματικό, τον καλλιτεχνικό, το χώρο της φυσικής και τον χώρο της αρχιτεκτονικής. Ωστόσο, αξιοσημείωτο είναι το γεγονός πως η κάθε επιστήμη αντιλαμβάνεται διαφορετικά τον όρο «συμμετρία». Δεν παύει, ενώ αποτελί παγκόσμια αρχή να εμφανίζεται σπάνια στην καθημερινότητά μας καθώς σε αυτήν δεν κυριαρχ η ασσυμετρία. Η συμμετρία συνδέεται άμεσα με την ταξινόμηση και τα όρια, ενώ η ασσυμετρία είναι απεριόριστη. της Ελεάννας Πρωτοπαπά σε κάθε λεπτομέρεια, ενώ περιοδικότητα είναι η κανονική απόσταση μεταξύ στοιχείων στη συμμετρία. Αν, λοιπόν, παρατηρείται έλλειψη αυτών των στοιχείων τότε πολύ πιθανό είναι να υπάρχει έλλειψη συμμετρίας. Φωτογραφία 2 Η απλούστερη μορφή συμμετρίας είναι το μοτίβο, το οποίο μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε σειρές. Ένα αναγνωρίσιμο μοτίβο αποτελείται από τρία ή περισσότερα αντικείμενα διατεταγμένα με κάποια σειρά (φωτογραφία 1). Αυτό το μοτίβο αν επεκταθεί θα σχηματίσει μία σειρά από τα ίδια αντικείμενα το ένα μετά το άλλο. Για να κάνουμε όμως λόγο για συμμετρία θα πρέπει το μοτίβο ή η σειρά να μην μετα- Φωτογραφία 1 Τα περισσότερα είδη συμμετρίας παρουσιάζουν της έννοιες της ισοομοιότητας και της περιοδικότητας. Ένας σύντομος ορισμός της ισοομοιότητας είναι πως τα επιμέρους στοιχεία που συμμετέχουν στην συμμετρία ταυτίζονται Φωτογραφία 3 9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

10 Φωτογραφία 4 βάλλονται για το συγκεκριμένο διάστημα που εξετάζουμε ως παρατηρητές. Στην καθημερινότητά μας, μοτίβα και σειρές εντοπίζουμε στο καλαμπόκι (φωτογραφία 2), στα ψάρια και ερπετά (φωτογραφία 3), στα σπίτια (φωτογραφία 4) και σε ρούχα, όπως για παράδειγμα φουλάρια. Η ακτινική συμμετρία ανήκει στην κατηγορία της σημειακής συμμετρίας και κατηγοριοποιείται σε τρεις ομάδες. Η πρώτη αφορά τις δύο διαστάσεις και θέτει ως σημείο αναφοράς ένα τυχαίο σημείο στο επίπεδο. Από αυτό το σημείο ξεκινούν ημιευθείες προς όλες τις κατευθύνσεις (φωτογραφία 5). Η δεύτερη και η τρίτη ομάδα αφορούν τις τρεις διαστάσεις. Η δεύτερη ορίζει και εκείνη ως κέντρο ένα σημείο, αυτή τη φορά, στο χώρο. Φωτογραφία 8 Η κλασσική συμμετρία απόκτησε ξανά ενδιαφέρον την περίοδο της Αναγέννησης. Έχει τις ρίζες της σε ελληνικές ιδέες σε θέματα όπως η τάξη και η αρμονία. Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του υποστήριξαν ότι η γεωμετρία είναι το κλειδί της κατανόησης του κόσμου. Αν αναλογιστούμε και παρατηρήσουμε την αρχαία αρχιτεκτονική θα αντιληφθούμε πως οι αναλογίες και οι γραμμές βοηθούν στην κατασκευή γαλήνιων και συμμετρικών κτηρίων (φωτογραφία 9). Έτσι, λοιπόν, λόγω της ανάπτυξης των τεχνών κατά την περίοδο της Αναγέννησης οι καλλιτέχνες αντιλήφθηκαν τη σημασία της κλασσικής συμμετρίας και την εφάρμοσαν. Φωτογραφία 5 Φωτογραφία 6 Από εκεί ξεκινά η ακτινική συμμετρία και απλώνεται σε όλες τις διευθύνσεις του χώρου (φωτογραφία 6). Τέλος, στην τρίτη ομάδα σημείο αναφοράς αποτελεί ένας πολικός άξονας περιστροφής (φωτογραφία 7). Φωτογραφία 7 Στην καθημερινή μας ζωή η ακτινική συμμετρία εντοπίζεται στις χιονονιφάδες, στα φυτά, στις ρόδες των αυτοκινήτων και στα φρούτα (φωτογραφία 8). Φωτογραφία 9 Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πόση αξία έχει η συμμετρία στη ζωή μας, αλλά και πόσο μεγάλη επίδραση έχει στους ανθρώπους, παρά το γεγονός πως η συμμετρία λείπει στην καθημερινότητά μας. Η συμμετρία και οι έννοιες που σχετίζονται άμεσα με αυτήν έχουν προβληματίσει πολλούς επιστήμονες και έχουν βοηθήσει στην πρόοδο των ανθρώπων. Συμπερασματικά, λοιπόν, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε για αυτήν, αλλά και για τις διάφορες εκφάνσεις της Βιβλιογραφία: Wade, D. (2012), Συμμετρία: Το στοιχείο της τάξης, Αλεξάνδρεια, 1-3, 8-9, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

11 ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Ο μετριόφρων επιστήμων της Όλγας Κυριαζή ΟΑρχιμήδης ήταν μια ξεχωριστή και πολυεπίπεδη προσωπικότητα. Γεννήθηκε στις Συρακούσες το 287π.Χ, από πλούσια οικογένεια. Ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία. Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια, όπου πιθανά να γνώρισε τον Ευκλείδη. Εκεί συναναστράφηκε με διάφορους Έλληνες επιστήμονες. Γνώρισε τον Κόνωνα το Σάμιο, τον Δοσίθεο και τον Ερατοσθένη. Σε εκείνους έστελνε αργότερα τις ανακαλύψεις του, πριν τις κοινοποιήσει, για να πάρει την άποψή τους. Συχνά έστελνε λανθασμένα θεωρήματα για να ελέγχει κάποιους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας που παρουσιάζονταν ως μοναδικοί γνώστες της γεωμετρίας. Αργότερα όμως επέστρεψε στην γενέτειρά του και εκεί αφοσιώθηκε στα Μαθηματικά και πραγματοποίησε τις περισσότερες ανακαλύψεις του. Ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε κυρίως με τα Μαθηματικά αλλά και με τη Φυσική, την Αστρονομία ενώ πραγματοποίησε εφευρέσεις εξαιρετικής σημασίας και πρωτοποριακές για την εποχή του στον τομέα της Μηχανικής. Πρώτ απ όλα, είναι αξιοσημείωτη η συμβολή του στα Μαθηματικά. Παρουσίασε μια μέθοδο προσδιορισμού του αριθμού π και των πολύ μεγάλων αριθμών και υπολόγισε το εμβαδόν τμήματος παραβολής, σφαίρας και κυλίνδρου. 11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

12 Επιπλέον, ο Αρχιμήδης ήταν εκείνος που εισήγαγε το μέγεθος του χρόνου, τον κινηματικό ορισμό της έλικας και τρία καινούργια στερεά εκ περιστροφής, το ελλειψοειδές, το παραβολοειδές και το υπερβολοειδές. Δεύτερον, στο χώρο της Φυσικής ο Αρχιμήδης ανακάλυψε την έννοια της υδροστατικής πίεσης, τυχαία ενώ έκανε μπάνιο, και τη θεωρία για τα κέντρα βάρους. Τρίτον, ασχολήθηκε με την αστρονομία, χωρίς να έχουν σωθεί οι ανακαλύψεις του. Παρ όλ αυτά, είναι γνωστό ότι αυτά που τον απασχόλησαν ήταν η απόσταση του Ήλιου και των άλλων πλανητών από τη Γη, η συμπεριφορά του φωτός στα κάτοπτρα, η μελέτη των ηλιοστασίων και ο υπολογισμός της διάρκειας του έτους. Όσον αφορά τη Μηχανική εφηύρε τους μοχλούς, τα καυστικά κάτοπτρα, ένα μοναδικό μηχανισμό με τον οποίο έκαιγε τα πλοία των Ρωμαίων με τη βοήθεια των ακτινών του Ηλίου, τον ατέρμονα κοχλία, το ρωμαϊκό ζυγό, το υδραυλικό ρολόι, τους καταπέλτες, με μακρινή και κοντινή εμβέλεια και τις άρπαγες, μηχανισμούς που ανύψωναν και αναποδογύριζαν τα εχθρικά πλοία. Ο Αρχιμήδης είχε την ικανότητα να χρησιμοποιεί πρωτότυπους και εξαιρετικούς τρόπους στην απόδειξη των θεωρημάτων του. Πρώτον, χρησιμοποιώντας ελάχιστα αξιώματα απέδειξε ότι κάθε μη αβαρές σώμα έχει κέντρο βάρους. Δεύτερον, υπολόγισε το κέντρο βάρους ομογενών σωμάτων εφαρμόζοντας πρώτα μεθόδους μηχανικής ύστερα γεωμετρίας και χρησιμοποιώντας ένα εκπληκτικό σύστημα ανισοτήτων. Επιπρόσθετα, διατύπωσε το «συνεχές» ως άθροισμα άπειρων αδιαιρέτων τμημάτων ή χωρίων. Δηλαδή το εμβαδόν ως άθροισμα ευθύγραμμων τμημάτων και τον όγκο ως άθροισμα επίπεδων τομών, για να υπολογίσει τον τετραγωνισμό τμήματος της παραβολής. Επιπλέον, αποδείχθηκε ότι η λογική των ανισοτήτων που χρησιμοποιούσε ήταν ένα προφητικό μαθηματικό εργαλείο (Μέθοδος της εξάντλησης). Τέλος, η χρήση των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων σχημάτων του επέτρεψε να προσεγγίσει έννοιες κλειδιά. Το συγγραφικό του έργο είναι πλούσιο, με δεκαέξι βιβλία εκ των οποίων τα πέντε σώζονται στην αραβική γλώσσα. Κάποια από τα σημαντικότερα βιβλία του είναι ο «Ψαμμίτης», το «Περί ελίκων» και το «Βοεικό πρόβλημα». Στο τελευταίο υπάρχει ένα ποίημα στο οποίο εξηγείται ένα πρόβλημα που βασάνιζε τον Αρχιμήδη αναφορικά με το πλήθος των βοδιών του θεού του Ήλιου. Ο Αρχιμήδης σκοτώθηκε το 212π.Χ, απορροφημένος από τη λύση ενός προβλήματος. Όταν ένας Ρωμαίος στρατιώτης τον πλησίασε και εκείνος του είπε «Μη μου τους κύκλους τάραττε», ο στρατιώτης εξαγριώθηκε και τον σκότωσε. Στον τάφο του είναι χαραγμένη μια σφαίρα μέσα σε έναν κύλινδρο, όπως εκείνος είχε ζητήσει, επειδή είχε θεωρήσει πολύ σημαντική την ανακάλυψη του σχετικά με την επιφάνεια και τον όγκο της σφαίρας. Ο Πλούταρχος αναφέρει πως «σε όλη τη γεωμετρία δεν μπορούν να βρεθούν δυσκολότερες και βαθύτερες θεμελιώδεις προτάσεις διατυπωμένες απλούστερα και καθαρότερα από τη μέθοδο του Αρχιμήδη». Ο ίδιος ο Αρχιμήδης θεωρεί ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυπηρετεί πρακτικές ανάγκες ή οικονομικό κέρδος. 12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

13 Évariste Galois του Άγγελου Βακάλη OÉvariste Galois γεννήθηκε στις 26 Οκτωβρίου του 1811, στην αρχαία κωμόπολη του Bourg-la-Reine, η οποία βρίσκεται περίπου 10 χιλιόμετρα από το Παρίσι. Ο πατέρας του, Nicholas-Gabriel ήταν διευθυντής ενός εκπαιδευτικού ιδρύματος που προοριζόταν για τους νέους της περιοχής, ενώ το 1815 εκλέχθηκε και δήμαρχος της περιοχής. Τα πρώτα δώδεκα χρόνια της ζωής του ο Évariste ανατράφηκε και μορφώθηκε από την μητέρα του, Adelaide Marie Demante. Χαρακτηριστικό της μόρφωσης που έλαβε ήταν πως έμαθε ελληνικά, καθώς επίσης και λατινικά. Ο Évariste στις 6 Οκτωβρίου 1823 γράφτηκε στην 4η τάξη του College de Louis-le-Grand στο Παρίσι. Εκεί μάλιστα είχαν σπουδάσει και μεγάλες μορφές της Γαλλίας όπως ο Ροβεσπιέρος και ο Βίκτωρ Ουγκώ. Στο σχολείο αυτό, μια που θεωρούταν από τα σημαντικότερα στη Γαλλία, καλλιεργούταν ένα ιδιαίτερο πάθος τόσο για τη δουλειά που θα μπορούσε να επιφέρει ακαδημαική πρόοδο, όσο και τις φιλελεύθερες και προοδευτικές ιδέες. Μετά από μερικά χρόνια, έχοντας απογοητευτεί από το σχολείο του, θεωρώντας ότι οι καθηγητές του ήθελαν να τον αποσπάσουν από τα Μαθηματικά, ήθελε διακαώς να εισαχθεί στη Γαλλική Πολυτεχνική Σχολή, που ήταν προορισμένη για την εκπαίδευση των νέων επιστημόνων ως μελλοντικών πολιτικών. Αυτή η επιλογή του βασιζόταν στην αντίληψή του ότι αυτή η σχολή θα του εξασφάλιζε τις καλύτερες δυνατές προοπτικές για μία μετέπειτα καριέρα μαθηματικού, ενώ κυριαρχούσε το πολιτικό πνεύμα, κάτι που του άρεσε χάρη στην ανατροφή του, τόσο σε οικογενειακό, όσο και σε σχολικό περιβάλλον. Έτσι, προετοιμάστηκε μόνος του, αλλά τον Ιούνιο του 1828 έδωσε εξετάσεις όπου και απέτυχε να εισαχθεί. Παρά τη μεγάλη του απογοήτευση, συνέχισε να δουλεύει μόνος του, παρακολουθώντας μαθήματα Μαθηματικών από τον Louis-Paul-Emile Richard. Στις 2 Ιουλίου 1829 ο πατέρας του Évariste, αυτοκτόνησε στο Παρίσι. Κρεμάστηκε σε ένα διαμέρισμα στην 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

14 Jean de Beauvais, πολύ κοντά στο Louis-le- Grande. Αιτία της αυτοκτονίας του ήταν ο διασυρμός του ονόματος του στην Bourg-la- Reine από τους πολιτικούς του αντιπάλους, καθώς ο Nicolas Galois ήταν διαρκώς στόχος των κληρικών. Το 1831, πριν τη διάλυση του Πυροβολικού, 19 αξιωματικοί είχαν συλληφθεί με την κατηγορία της συνομωσίας κατά της κυβέρνησης, καθώς προσπαθούσαν να δώσουν κανόνια στο λαό. Στις 9 Μαΐου περίπου 200 άτομα μαζεύτηκαν σε ένα εστιατόριο όπου οργανώθηκε ένα συμπόσιο για να γιορτάσουν την αθωωτική απόφαση για τους 19. Κατά τη διάρκεια αυτής της γιορτής, και ενώ γίνονταν προπόσεις από τους συμμετέχοντες, ο Galois θέλησε να κάνει μια πρόποση. Ύψωσε το ποτήρι του στο ένα χέρι και το στιλέτο του στο άλλο και φώναξε "Στον Louis-Philippe!". Στην αρχή η φράση του παρερμηνεύθηκε, αλλά μόλις οι συμμετέχοντες παρατήρησαν το ανοιχτό στιλέτο στο χέρι του Évariste, άρχισαν να τον επευφημούν για αυτή του την απειλή εναντίον του βασιλιά. Σύντομα ακολούθησαν και άλλοι, και η συγκέντρωση διαλύθηκε με τους ρεπουμπλικάνους να φωνάζουν στους δρόμους κατά του Βασιλιά. Συνελήφθη την επόμενη ημέρα στο σπίτι της μητέρας του στο Παρίσι και κρατήθηκε στη φυλακή Sainte-Pelagie μέχρι τις 15 Ιουνίου οπότε και έγινε η δίκη. Μετά την δίκη του, αθωώθηκε, με βασικό κριτήριο την έπαρση λόγω της ηλικίας του. Λίγους μήνες αργότερα, έδωσε αφορμή στη μυστική αστυνομία να τον συλλάβει και κρατήθηκε στη φυλακή. Επειδή υποπτεύονταν ότι έχει χολέρα μεταφέρθηκε στο νοσοκομείο της φυλακής όπου στις 29 Απριλίου του 1832 εξέτισε την ποινή του αλλά παρέμεινε για λίγο καιρό ακόμη στο νοσοκομείο. Εκεί γνώρισε και ερωτεύτηκε τη Stephanie-Felice du Motel, κόρη του θεράποντος ιατρού του. Η γνωριμία και ο έρωτάς του αυτός απέβη μοιραίος, μια που η Stephanie υπήρξε η αιτία διαμάχης του Galois με δύο φίλους της, που κατέληξε σε μονομαχία και θάνατο του ιδίου. Το τέλος του οφειλόταν σε οξεία περιτονίτιδα που προκλήθηκε σφαίρα που εβλήθη από απόσταση 25 βημάτων. Το έργο αυτού του σπουδαίου μυαλού αξίζει ιδιαίτερη αναφορά. Είχε πολλές αξιόλογες δημοσιεύσεις, παρά τις δυσκολίες που αντιμετώπισε. Μέσα από τη δουλειά του πέτυχε να δώσει απάντηση στο πότε είναι ή όχι επιλύσιμη μια αλγεβρική εξίσωση θέτοντας τις βάσεις της «θεωρίας των ομάδων». Το έργο του ξεκινώντας από την επίλυση ενός κλασικού προβλήματος οδήγησε στη δημιουργία μιας νέας θεωρίας που αποτελεί σήμερα βασικό κορμό της σύγχρονης άλγεβρας. Η Θεωρία Galois είναι ο κλάδος της άλγεβρας που συνδέει τη θεωρία σωμάτων με τη θεωρία ομάδων. Πιο συγκεκριμένα, η θεωρία Galois χρησιμοποιεί ομάδες μεταθέσεων για να περιγράψει τις σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου καθώς και για να περιγράψει το σώμα ριζών του. Συνολικά, μπορεί κανείς να αντιληφθεί τη σημασία του Galois για τη θεμελίωση της επιστήμης της άλγεβρας, όπως την ξέρουμε σήμερα. Το μόνο σίγουρο είναι πως, αν δεν έχανε τόσο γρήγορα τη ζωή του, θα είχε γράψει το όνομά του κάτω από πολλές ακόμα θεωρίες 14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

15 CURIOSITY ROVER Τον Αύγουστο του 2012 οι επιστήμονες της ΝΑΣΑ κατάφεραν να προσγειώσουν ένα ρομποτικό όχημα, το Curiosity, στον Άρη. Η αποστολή του οχήματος, με στόχο την εξερεύνηση του κόκκινου πλανήτη, είναι η πιο ακριβή και τεχνολογικά προηγμένη που εστάλη ποτέ από τη Γη στον Άρη. Αποτελεί ακόμα ένα επίτευγμα μείζονος σημασίας, καθώς οι έρευνες στον Άρη θα συντελέσουν στην διευκόλυνση και άλλων μελλοντικών εξερευνήσεων. Οι επιστήμονες οι οποίοι εργάστηκαν για αυτό το εγχείρημα κατέβαλαν μια τεράστια προσπάθεια προκειμένου το Curiosity να φτάσει ασφαλές στον προορισμό του, έτσι ώστε τελίκα, να κάνει με επιτυχία τα πρώτα του βήματα στην επιφάνεια του Άρη. Ειδικότερα, για να επιτευχθεί η προσεδάφισή του στον Κόκκινο Πλανήτη οι μηχανικοί της ΝΑSA είχαν προσομοιώσει επανηλλειμένα τη στιγμή της προσγείωσής του με της Άννας Ελευθεριάδη τη χρήση μαθηματικών μοντέλων και εξισώσεων. Τελικά, τo ποσοστό επιτυχίας των προσομοιώσεων επιβεβαίωσε την ομάδα της ΝΑΣΑ κατα 95% ότι η προσγείωση του Curiosity θα ήταν επιτυχής, με την προϋπόθεση ωστόσο, ότι όλες οι σημαντικές μεταβλητές είχαν ληφθεί υπόψη. Το ρομποτικό όχημα, αλλιώς γνωστό και ως ρόβερ, εξερευνά τον κρατήρα Γκέιλ στον Άρη, ως μέρος της αποστολής της ΝΑΣΑ Mars Science Laboratory mission (MSL). Εκτοξεύθηκε τις 26 Νοεμβρίου από το ακρωτήριο Κανάβεραλ, ενώ έφτασε στον Άρη στον κρατήρα Γκέιλ στις 6 Αυγούστου, μετά από ταξίδι απόστασης 563 εκατομμυρίων χιλιομέτρων. Η αποστολή συνολικά θα διαρκέσει 23 μήνες και οι επιστήμονες ευελπιστούν ότι ως τότε θα έχουν αποκτήσει μια λεπτομερότερη και πιο ολοκληρομένη εικόνα για τον κόκκινο πλανήτη. 15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

16 Ο στόχος της πολυδάπανης αυτής αποστολής είναι η εξερεύνηση του κλίματος και της γεωλογίας του Άρη. Επιπλέον, μέσω αυτού οι επιστήμονες επιδιώκουν να διαπιστώσουν εαν οι συνθήκες που επικρατούν στον Άρη ήταν ή θα είναι ποτέ ευνοϊκές για την ύπαρξη μικροβιακής ζωής και για την εξερεύνηση από τους ανθρώπους. Ακόμα, επιχειρούν να εξακριβώσουν τον ρόλο και τη σημασία του νερού στον Άρη. Προκειμένου να επιτύχει τον στόχο του, το Curiosity θα ερευνήσει την ύπαρξη νερού, οξυγόνου, αζώτου, άνθρακα, υδρογόνου και άλλων χημικών στοιχείων, εξετάζοντας την σύσταση του εδάφους. Το βάρος του Curiosity υπολογίζεται σε 889 κιλά, το μήκος του σε 2,9 μέτρα, το πλάτος του σε 2,7 μέτρα, ενώ το ύψος του σε 2,2 μέτρα. Το Curiosity έχοντας μέγεθος μικρού αυτοκινήτου, διαθέτει ακόμα έναν εξελιγμένο εξοπλισμό, ο οποίος επιτρέπει τον εντοπισμό, την συλλογή και την ανάλυση των ευρημάτων. Επιπλέον, μέσω αυτού του επιστημονικού εξοπλισμού, το Curiosity έχει την δυνατότητα να αναλύει τη χημική σύσταση δειγμάτων που λαμβάνει. Ο εξοπλισμός περιλαμβάνει εκτός άλλων την Κάμερα Χειρός ή MAHLI, η οποία είναι σχεδιασμένη για τη μελέτη βράχων σχεδόν σε μικροσκοπικό επίπεδο, το Φασματόμετρο σωματιδίων Άλφα - Ακτίνων Χ (APXS), το οποίο προσδιορίζει τη χημική σύσταση, και το σύστημα ChemCam, το οποίο χρησιμοποιεί μια υπέρυθρη δέσμη λέιζερ για να εξαερώνει ίχνη πετρωμάτων και να προσδιορίζει τη σύσταση των αερίων. Ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του τροχοφόρου ρομπότ ήταν να αγγίξει, ξεδιπλώνοντας το μηχανικό του βραχίονα, έναν μικρό βράχο στην επιφάνεια του πλανήτη Άρη. H εξωγήινη πέτρα από βασάλτη δεν είχε ιδιαίτερη επιστημονική σημασία, ωστόσο η κίνηση αυτή του έδωσε τη δυνατότητα να εξετάσει την αποτελεσματικότητα των εργαλείων του. Το ρομποτικό όχημα ανέλυσε τη χημική σύσταση του μικρού βράχου χρησιμοποιώντας ειδικές ακτίνες λέιζερ. Το πείραμα καταγράφηκε από το σύστημα ChemCam, το οποίο δύναται να διακρίνει περισσότερα από διαφορετικά μήκη κύματος στο υπεριώδες, υπέρυθρο και ορατό φάσμα του φωτός, ενώ έχει σχεδιαστεί για να λάβει περίπου μετρήσεις. Η συγκεκριμένη τεχνική έχει επίσης χρησιμοποιηθεί για την εξέταση της σύνθεσης των υλικών σε ακραίες συνθήκες περιβάλλοντος, σε πειραματικές μελέτες καθώς και στην ανίχνευση του καρκίνου. Μετά την ολοκλήρωση της άσκησης με τον αναδιπλούμενο βραχίονα, το Curiosity θα μεταβεί σε μια τοποθεσία, καλούμενη από τους επιστήμονες ως «Γκλένελγκ», περίπου 400 μέτρα από το σημείο προσεδάφισης, καθώς δορυφορικά δεδομένα δείχνουν ότι στην περιοχή αυτή συναντώνται τρία διαφορετικά πετρώματα που θα άξιζε να μελετηθούν 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

17 ΔΙΑΒΑΣΑΜΕ & ΑΠΑΝΤΑΜΕ Ο Ίωνας φιλόσοφος Ηράκλειτος διατύπωσε την άποψη ότι «Παντών πατήρ πόλεμος».ο Αρχιμήδης αναφέρει ότι «Δεν θα γράψω τίποτε για τις εφευρέσεις μου, που αφορούν τον πόλεμο». Σχολιάστε την αντίθεση που διατυπώνεται στα παραπάνω «πόλεμος πατήρ πάντων» Παρόλο που μέχρι σήμερα η φράση του Εφεσίου διδασκάλου και φιλόσοφου Ηράκλειτου παραμένει δυσερμήνευτη, σίγουρα όμως, έρχεται σε αντιπαράθεση με τα λεγόμενα του Αρχιμήδη στο συγκεκριμένο απόσπασμα από τον διάλογό του με τον Ιέρωνα. Η φράση «πόλεμος πατήρ πάντων» είναι μία από τις πιο γνωστές ρήσεις του Ηράκλειτου που συνδέεται στην ουσία με το «τα πάντα ρει» καθώς τα πάντα στον κόσμο είναι σε συνεχή ροή, κίνηση και διεργασία (δηλαδή σε πόλεμο). Κατά τον έλληνα φιλόσοφο, κάθε πράγμα για να υπάρχει και να ορισθεί, απαιτεί την ύπαρξη και άλλων πραγμάτων κατά τρόπο που να εκφράζει τη ταυτότητά του σε σύγκριση με τα άλλα. Αυτή η έννοια ορίζεται από τον Ηράκλειτο ως πόλεμος, ή αντίθεση μεταξύ των αντιθέτων (πχ. Φλόγα και πάγος). Από την άλλη, όπως βλέπουμε στο συγκεκριμένο απόσπασμα, ο Αρχιμήδης αναφέρεται στην κυριολεκτική σημασία του πολέμου. Πόλεμος είναι η δυσάρεστη γι αυτόν κατάσταση μάχης μεταξύ ομοεθνών ή και ξένων, με πολλές απώλειες. Για τον λόγο αυτό, δεν θέλει να εμπλακεί και να γίνει συνένοχος ως βοηθός σ ένα «έγκλημα». Οι εφευρέσεις του είναι για να βοηθούν/ διευκολύνουν τους ανθρώπους στη ζωή τους για καλό σκοπό. Ο Αρχιμήδης δεν θέλει να σπείρει ένα σπόρο «δηλητηριώδους» φυτού που θα διαδώσει το κακό στους ανθρώπους. Έτσι, αρνείται να γράψει τίποτε για τις εφευρέσεις του που αφορούν τον πόλεμο της Ειρήνης Αϊδίνη 17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

18 Ο Ίωνας φιλόσοφος Ηράκλειτος υποστηρίζει πως «Πάντων πατήρ πόλεμος». Η συγκεκριμένη φράση προβάλλει την άποψη πως σε συνθήκες πολέμου ο άνθρωπος είναι ικανός να μεγαλουργήσει στην προσπάθειά του να αντιμετωπίσει τον εχθρό, ευφευρίσκοντας νέες μηχανές, στρατηγικές, καθώς και τρόπους επίλυσης προβλημάτων. Σύμφωνα λοιπόν με τον Ηράκλειτο, η πίεση του πολέμου βάζει τον άνθρωπο σε εγρήγορση και επιφυλακή, ενώ ταυτόχρονα η επιτακτική ανάγκη για ασφάλεια και το πάθος για την υπεράσπιση της πατρίδας τον ωθούν να σκεφτεί έξω από το καθεστημένο. Κατ αυτόν τον τρόπο, ο άνθρωπος γίνεται δημιουργικός και καινοτόμος, κατασκευάζοντας έτσι πρωτότυπες μηχανές, αναπτύσσοντας νέες ιδεολογίες και τέλος εξελίσσοντας την επιστήμη και την τεχνολογία. Από την άλλη πλευρά, ο Αρχιμήδης αναφέρει σε διάλογό του με τον Ιέρωνα πως «Δεν θα γράψω τίποτε για τις εφευρέσεις μου, που αφορούν στον πόλεμο». Ο κύριος λόγος για τον οποίο ο Αρχιμήδης δηλώνει τα προηγούμενα, είναι επειδή πιστεύει, σε αντίθεση με τον Ηράκλειτο, πως απαραίτητη προϋπόθεση για να παραχθεί οτιδήποτε είναι ο νους του ανθρώπου να βρίσκεται σε ηρεμία. Δηλαδή, προκειμένου να κατασκευάσει ή να ανακαλύψει κάτι ο άνθρωπος πρέπει να βρίσκεται σε περιβάλλον ειρήνης. Μόνον τότε θα έχει την δυνατότητα να αφοσιωθεί στο έργο του ή να βυθιστεί στις σκέψεις του και να οδηγηθεί τελικά σε ένα συμπέρασμα ή σε κάποια ανακάλυψη. Ως εκ τούτου, ο Αρχιμήδης δηλώνει πως δεν θα αφήσει στοιχεία σχετικά με τις πολεμικές του μηχανές, καθώς γνωρίζει πως όχι μόνο θα χρησιμοποιηθούν στον πόλεμο αλλά ενδέχεται να αποτελέσουν και αφορμή για το ξέσπασμα μιας καινούργιας διαμάχης, γεγονός που θα συντελέσει στο να μην βρίσκονται οι άνθρωποι σε ηρεμία και συνεπώς να μην είναι σε θέση να καινοτομήσουν και να προοδεύσουν. Κατά τη γνώμη μου και οι δύο απόψεις, τόσο αυτή του Ηράκλειτου όσο και αυτή του Αρχιμήδη, είναι σωστές, καθώς οι άνθρωποι διαφέρουν μεταξύ τους. Το γεγονός αυτό έχει ως άμεση συνέπεια η αποδοτικότητα του καθενός να ποικίλει ανάλογα με το περιβάλλον στο οποίο βρίσκεται. Δηλαδή, άλλοι λειτουργούν καλύτερα υπό συνθήκες πίεσης και άγχους, ενώ άλλοι έχουν ανάγκη από μια ήρεμη ατμόσφαιρα προκειμένου να εργαστούν σωστά και αποτελεσματικά. Συνεπώς, βλέπουμε πως ο άνθρωπος μπορεί να είναι ευφευρετικός τόσο σε συνθήκες πολέμου όσο και σε περιόδους ειρήνης ανάλογα με τον χαρακτήρα και τον τρόπο σκέψης του της Ελένης Αλεξανδράκη 18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

19 Ο Αρχιμήδης αναφέρει τον όρο «μαθηματικά μοντέλα». Τι εννοεί με τον όρο αυτό; της Αντιγόνης Αλειφέρη Μαθηματικό μοντέλο ονομάζεται ένα πρότυπο (συνάρτηση) που μας βοηθάει να προβλέψουμε ικανοποιητικά την εξέλιξη ενός φαινομένου. Ουσιαστικά, πρόκειται για έναν τρόπο με τον οποίο εμπλέκονται τα μαθηματικά σε όλους τους υπόλοιπους τομείς της ζωής μας. Στον κόσμο μας η ερμηνεία πολλών φαινομένων μπορεί αρκετές φορές να είναι απλή και να εξηγείται μέσω θεωριών που θεμελιώνονται με την εξέλιξη της επιστήμης και προσδιορίζει την αξία χρήσης αυτής της επιστήμης. Για παράδειγμα η δυνατότητα που παρέχει μια συγκεκριμένη επιστήμη σχετικά με την πρόβλεψη ενός φαινομένου ντετερμινιστικά. Το πρώτο βήμα προς την πρόβλεψη είναι η ύπαρξη ενός τέλειου τέτοιου μοντέλου που μπορεί να περιγράψει κάθε φυσικό φαινόμενο και δεύτερο βήμα είναι η επίλυση του αλγοριθμικά (σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων). Η έννοια «τέλειο μοντέλο» τοποθετείται στο επίπεδο του ικανοποιητικού, δηλαδή του κατά πόσο μπορεί να προσεγγιστεί το φαινόμενο. Γι αυτόν τον σκοπό η εξέλιξη μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους: είτε με την συνεξέλιξη μιας μαθηματικής θεωρίας στο πλαίσιο που οριοθετείται από το πρόβλημα, είτε με την ανάπτυξη μιας νέας μαθηματικής θεωρίας σε περισσότερο αφηρημένο επίπεδο, η οποία θα αναδιαμορφωθεί έτσι, ώστε να χρησιμοποιηθεί ως μία καλύτερη προσέγγιση του προβλήματος. Η ικανότητα επίλυσης των μοντέλων είναι το σημαντικότερο πλεονέκτημα μιας τέτοιας χρήσης των μαθηματικών, γι'αυτό εξάλλου και συντελείται μεγάλη προσπάθεια για μια τέτοιου είδους προσέγγιση. Ακόμα, κι όταν δεν είχες πλήρως σωστά αποτελέσματα (κι αυτό είναι σύνηθες) μπορείς να καταφέρεις να γνωρίζεις, έστω και πειραματικά, την απόκλιση του μοντέλου από την καθημερινότητα. Τελικά, το «κέρδος» από την, όπως παραπάνω περιγράφηκε, συνεξέλιξη των μαθηματικών και των άλλων επιστημών υπήρξε σημαντικό. Αφενός μεν για τα μαθηματικά στην αναδιαμόρφωσή τους και μετεξέλιξη τους με μια αξία χρήσης που τους προσδόθηκε και, κατά κύριο λόγο, με τις «νέες πηγές» έμπνευσης για αυτά με τη μορφή πεδίων καινούριων αποτελεσμάτων. Αφετέρου, για τις υπόλοιπες επιστήμες, στη διαμόρφωση μιας εγκυρότητας γι' αυτές (στο μέτρο που τα μαθηματικά είναι έγκυρα) και μιας προβλεψιμότητας, υπό τη μορφή αιτίας-αποτελέσματος που επιβάλλεται από τα μαθηματικά μοντέλα (=πρότυπα). Όμως, ως αντιστάθμισμα υπάρχουν, βεβαίως, κάποια μειονεκτήματα, τα οποία αξίζουν επίσης ιδιαίτερης διεύρυνσης και ελέγχου 19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

20 Είπαν...για τα Μαθηματικά της Όλγας Κυριαζή Α 4 Lorn Kelvin Ευγένιος Ιονέσκο Tα μαθηματικά είναι η μόνη αξιόλογη μεταφυσική Χαϊδέψτε έναν κύκλο, και θα γίνει φαύλος Bertrand Russell Για να είσαι καλός φιλόσοφος, πρέπει να αποκηρύξεις τη μεταφυσική, αλλά να είσαι καλός μαθηματικός 20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

21 Κάρολος Δαρβίνος Ο μαθηματικός είναι ένας τυφλός σε ένα σκοτεινό δωμάτιο που ψάχνει για μια μαύρη γάτα που δεν είναι εκεί Αλβέρτος Αϊνστάιν Τα καθαρά Μαθηματικά είναι, κατά κάποιο τρόπο, η ποίηση των λογικών ιδεών. Όταν οι νόμοι των μαθηματικών ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σαφείς, και όταν είναι σαφείς, δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα François Fénelon Carl Friedrich Gauss Mην επιτρέψεις στον εαυτό σου να παραπλανηθεί από τη διαβολική έλξη της Γεωμετρίας Oι μαθηματικοί στηρίζονται ο ένας στους ώμους του άλλου 21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

22 J. B. Shaw Ο μαθηματικός συναρπάζεται από την απίστευτη ομορφιά στους τύπους που δημιουργεί, και μέσα στην ομορφιά αυτή βρίσκει αδιαμφισβήτητη αλήθεια Edward Gibbon Τα μαθηματικά χαρακτηρίζονται από το ιδιαίτερο προνόμιο, ότι στην πορεία της ιστορίας πάντα προοδεύουν και ποτέ δεν οπισθοδρομούν Πυθαγόρας James Jeans Πάντα κατ αριθμόν γίνονται (Τα πάντα γίνονται σύμφωνα με αριθμούς) O μεγάλος Αρχιτέκτονας του Σύμπαντος αρχίζει να μοιάζει τώρα σαν ένας γνήσιος μαθηματικός. 22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

23 Georg Cantor Στα μαθηματικά, η τέχνη του να διατυπώνεις σωστά το ερώτημα, βρίσκεται ψηλότερα από το να δίνεις σωστά την απάντηση Οδυσσέας Ελύτης Φτασμένες οι προλήψεις σε μια καθαρότητα μαθηματική, μας οδηγούν στη βαθύτερη γνώση του κόσμου Πηγές: -quotes-you-probably-never-heard-of.html 23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Τεχνολογικό περιβάλλον. Ορισμοί της Τεχνολογίας. Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης. Επιπτώσεις της Τεχνολογίας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Ορισμοί της Τεχνολογίας Τεχνολογικό περιβάλλον ΕΙΣΑΓΩΓΗ στην ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Σχέση Τεχνολογίας και Επιστήμης Επιπτώσεις της Τεχνολογίας Ορισμός σχολικού βιβλίου για την Τεχνολογία Με την ευρεία έννοια του όρου

Διαβάστε περισσότερα

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Κατανόηση γραπτού λόγου

Κατανόηση γραπτού λόγου Κατανόηση γραπτού λόγου Επίπεδο Α (αρχάριο) Τρίτη διδακτική πρόταση Μικρές Αγγελίες Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Ενσωμάτωση δεξιοτήτων: Υλικό: 1 διδακτική ώρα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΥΙΛΙΑΜ ΛΑΝΤΕΪ συνέντευξη στον Ελπιδοφόρο Ιντζέμπελη

ΟΥΙΛΙΑΜ ΛΑΝΤΕΪ συνέντευξη στον Ελπιδοφόρο Ιντζέμπελη Ημερομηνία 25/2/2015 Μέσο Συντάκτης Link diastixo.gr Ελπιδοφόρος Ιντζέμπελης http://diastixo.gr/sinentefxeis/xenoi/3524-william-landay ΟΥΙΛΙΑΜ ΛΑΝΤΕΪ συνέντευξη στον Ελπιδοφόρο Ιντζέμπελη Δημοσιεύτηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα.

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα. ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ 2 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΗΦΙΣΙΑΣ Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα. Μέχρι πριν από κάποια χρόνια αυτό θα ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Εμπλουτισμένο μάθημα της Ιστορίας για τη Γ Δημοτικού. Κωνσταντίνος Πατσαρός

Εμπλουτισμένο μάθημα της Ιστορίας για τη Γ Δημοτικού. Κωνσταντίνος Πατσαρός Εμπλουτισμένο μάθημα της Ιστορίας για τη Γ Δημοτικού Κωνσταντίνος Πατσαρός Master in Education University of Manchester Σκοπός: Να γνωρίσουν οι μαθητές την ακρόπολη των Μυκηνών. Να γνωρίσουν την αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

ένα φωτοευαισθητοποιημένο χαρτί από άλατα αργύρου. Ωστόσο, ο

ένα φωτοευαισθητοποιημένο χαρτί από άλατα αργύρου. Ωστόσο, ο Είναι γνωστό πως η φωτογραφία αποτελεί πλέον ένα σημαντικό κομμάτι της σύγχρονης εποχής καθώς κυριαρχεί τόσο στο διαδίκτυο και τα περιοδικά, όσο και στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων που απαθανατίζουν διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες.

Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Γαλιλαίος (1581-1643) Γεννήθηκε στην Πίζα το 1581 Αρχικά σπούδασε Ιατρική, όμως ο καθηγητής του Οστίλιο Ρίτσι (μαθηματικός) τον έστρεψε στις Θετικές Επιστήμες. Ως δευτεροετής φοιτητής ανακάλυψε: 1. Τον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την 1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Υπατία Τετάρτη20 Νοεµβρίου 2013 Σχολικό έτος 2013-2014 Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Τµήµα Β1 Βιογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Δ Τάξης Κωνσταντίνος Χρίστου Ρίτα Παναούρα Δήμητρα Πίττα-Πανταζή Μάριος Πιττάλης Οκτώβριος 2014 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης:

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς

Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς A...Τα αισθήματα και η ενεργεία που δημιουργήθηκαν μέσα μου ήταν μοναδικά. Μέσα στο γαλάζιο αυτό αυγό, ένιωσα άτρωτος, γεμάτος χαρά και αυτοπεποίθηση.

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Διοικώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Διοικώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Επαγγελματική Βελτίωση Διοικώ 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Τι είναι «διοίκηση» 2. Η «διοίκηση»

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή

Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Σενάριο 14: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος: Προγραμματίζοντας ένα Ρομπότ ανιχνευτή Γνωστικό Αντικείμενο: Πληροφορική Διδακτική Ενότητα: Ελέγχω-Προγραμματίζω τον Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα»

ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα» Ημερομηνία 8/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link http://artpress.sundaybloody.com/ Βασίλης Κάργας http://goo.gl/di6ugf Μαρίνα Γιώτη, συγγραφέαςεικονογράφος : «Τα παραμύθια είναι ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιχνηλάτες ταξιδεύουν σε άγνωστα νερά

Οι ιχνηλάτες ταξιδεύουν σε άγνωστα νερά Οι ιχνηλάτες ταξιδεύουν σε άγνωστα νερά Μια φορά κι έναν καιρό μια παρέα από μαθητές και μαθήτριες που αγαπούσαν την περιπέτεια και ήθελαν να γνωρίσουν τον κόσμο αποφάσισε να κάνει ένα ταξίδι μακρινό.

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Aστρολάβος - Eξάντας

Aστρολάβος - Eξάντας Aστρολάβος - Eξάντας Αν πλέοντας προς την Αλεξάνδρεια το βάθος των νερών είναι 11 οργιές, θέλεις ακόμα ταξίδι μιας μέρας. Ηρόδοτος (4 ος αιώνας π.χ.) Από τα πανάρχαια χρόνια, οι ναυτικοί είχαν πάντα την

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ τεύχος Β

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ τεύχος Β ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ τεύχος Β Ελένη ΚΑΜΠΕΡΗ - ΤΖΟΥΡΙΑΔΟΥ Σχολική Σύμβουλος Προσχολικής Αγωγής Σταυρούλα ΠΑΝΤΑΖΗ Νηπιαγωγός ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2004 1 λίγα λόγια για τις δραστηριότητες Στο τεύχος αυτό περιλαμβάνονται:

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο. Πώς να ζήσετε 150 χρόνια µε Υγεία

Εισαγωγή. Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο. Πώς να ζήσετε 150 χρόνια µε Υγεία Εισαγωγή «Όποιος έχει υγεία, έχει ελπίδα. Και όποιος έχει ελπίδα, έχει τα πάντα.» Τόμας Κάρλαϊλ Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο Ο πατέρας μου είναι γιατρός, ένας από τους καλύτερους παθολόγους που

Διαβάστε περισσότερα

Ο συγγραφέας Θάνος Κονδύλης και το «Έγκλημα στην αρχαία Αμφίπολη Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015-10:2

Ο συγγραφέας Θάνος Κονδύλης και το «Έγκλημα στην αρχαία Αμφίπολη Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015-10:2 Ο συγγραφέας Θάνος Κονδύλης και το «Έγκλημα στην αρχαία Αμφίπολη Σάββατο, 10 Οκτωβρίου 2015-10:2 Συνέντευξη στη Μαίρη Γκαζιάνη «Τελικά οι σύγχρονοι Έλληνες φέρουμε στο αίμα μας το dna των αρχαίων προγόνων

Διαβάστε περισσότερα

Μια μέρα μπήκε η δασκάλα στην τάξη κι είπε ότι θα πήγαιναν ένα μακρινό ταξίδι.

Μια μέρα μπήκε η δασκάλα στην τάξη κι είπε ότι θα πήγαιναν ένα μακρινό ταξίδι. ΤΟ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΜΙΑΣ ΠΑΡΕΑΣ ΠΑΙΔΙΩΝ Μια μέρα μπήκε η δασκάλα στην τάξη κι είπε ότι θα πήγαιναν ένα μακρινό ταξίδι. Αμέσως χάρηκαν πολύ, αλλά κι απογοητεύτηκαν ταυτόχρονα όταν έμαθαν ότι θα ήταν ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα. Μαθηματικά. Άγγελος Μάρκος. Λέκτορας ΠΤΔΕ

Μοντέλα. Μαθηματικά. Άγγελος Μάρκος. Λέκτορας ΠΤΔΕ Μαθηματικά Μοντέλα Άγγελος Μάρκος Λέκτορας ΠΤΔΕ Ορισμός Μαθηματικό μοντέλο είναι η μαθηματική περιγραφή ενός φαινομένου. Τα ονομαζόμενα εφαρμοσμένα μαθηματικά έχουν ως άμεσο στόχο την αναζήτηση μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Ειρήνη Σταματούδη, LL.M., Ph.D. Διευθύντρια Ο.Π.Ι.

Εισαγωγή. Ειρήνη Σταματούδη, LL.M., Ph.D. Διευθύντρια Ο.Π.Ι. Εισαγωγή Ο οδηγός που κρατάς στα χέρια σου είναι μέρος μιας σειράς ενημερωτικών οδηγών του Οργανισμού Πνευματικής Ιδιοκτησίας. Σκοπό έχει να δώσει απαντήσεις σε κάποια βασικά ερωτήματα που μπορεί να έχεις

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες...

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Οι μεγάλες εξισώσεις. {...όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Ερευνητική εργασία μαθητών της Β λυκείου. E = mc 2 Στοιχεία ταυτότητας: Ε: ενέργεια (joule) m: μάζα (kg) c: ταχύτητα του φωτός στο κενό (m/s)

Διαβάστε περισσότερα

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν.

Αν και η πρώτη αντίδραση από πολλούς είναι η γελοιοποίηση για τη ανάλυση τέτοιων θεμάτων, παρόλα αυτά τα ερωτηματικά υπάρχουν. Είναι γνωστή σε όλους η σειρά επιστημονικής φαντασίας Star Trek η οποία έχει φανατικούς θαυμαστές σε όλο τον κόσμο. Οι τεχνολογικές καινοτομίες και οι «φανταστικές» τεχνολογίες που είχε συμπεριλάβει στο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου

Κείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου Κέντρο Ελληνικής Γλώσσας Πιστοποίηση Επάρκειας της Ελληνομάθειας 18 Ιανουαρίου 2013 A2 Κείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου Διάρκεια Εξέτασης 30 λεπτά Διάρκεια Εξέτασης 30 λεπτά Ερώτημα 1 (7 μονάδες) Διαβάζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ποδράσηη Χαλί πετά, ιστορία αρχινά! Σχέδια εργασίας σχολείων-μουσείων σχολικού έτους 2011-2012 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ

ποδράσηη Χαλί πετά, ιστορία αρχινά! Σχέδια εργασίας σχολείων-μουσείων σχολικού έτους 2011-2012 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ 9 ποδράσηη 5 Σχέδια εργασίας σχολείων-μουσείων σχολικού έτους 2011-2012 Μουσείο Μπενάκη 110ο Δημοτικό Σχολείο Αθηνών Χαλί πετά, ιστορία αρχινά! ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Ερευνώντας τις ερμηνείες φοιτητών και τις διδακτικές πρακτικές εκπαιδευτικών σε θέματα σχετικά με την έννοια της περιοδικότητας Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια, ΑΣΠΑΙΤΕ Επιστημονική υπεύθυνη:

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ. ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ.

ΙΙΙ. ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ. ΙΙΙ. ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ. Είδαμε πως το 4.2% των μαθητών στο δείγμα μας δεν έχουν ελληνική καταγωγή. Θα μπορούσαμε να εξετάσουμε κάποια ειδικά χαρακτηριστικά αυτών των ξένων μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

08/07/2015. Ονοματεπώνυμο: ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΚΟΥΤΡΑΣ. Ιδιότητα: ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ Β ΙΕΠ. (Υπογραφή)

08/07/2015. Ονοματεπώνυμο: ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΚΟΥΤΡΑΣ. Ιδιότητα: ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ Β ΙΕΠ. (Υπογραφή) Πράξη: «Ανάπτυξη μεθοδολογίας και ψηφιακών διδακτικών σεναρίων για τα γνωστικά αντικείμενα της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Γενικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης» Άξονες Προτεραιότητας 1-2-3 Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πώς και γιατί μετακινούμαστε;

Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Πώς και γιατί μετακινούμαστε; Διδακτική πρόταση 1: Συνοπτικό πλαίσιο μετακίνησης και εγκατάστασης Ερωτήματα-κλειδιά Γιατί και πώς μετακινούμαστε από τα πολύ παλιά χρόνια μέχρι σήμερα; Πού μένουμε από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ. Κόντου Έλενα. Μητρόπουλος Δημήτρης. Παπαθανασίου Ανθή. Παπακίτσος Αλέξανδρος. Πατρίκιος Σπύρος. Y.K: Κα.Περάκη

ΕΙΔΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ. Κόντου Έλενα. Μητρόπουλος Δημήτρης. Παπαθανασίου Ανθή. Παπακίτσος Αλέξανδρος. Πατρίκιος Σπύρος. Y.K: Κα.Περάκη ΕΙΔΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Κόντου Έλενα Μητρόπουλος Δημήτρης Παπαθανασίου Ανθή Παπακίτσος Αλέξανδρος Πατρίκιος Σπύρος Y.K: Κα.Περάκη 1 Περιεχόμενα Διαφημιστική φωτογραφία Φωτοειδησεογραφία (φωτορεπορτάζ) Αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

ρόλο στην προετοιμασία του θέματός μας αποτέλεσε το ιστόγραμμα που φτιάξαμε με τα παιδιά με πράγματα που ήθελαν να μάθουν για τους ζωγράφους.

ρόλο στην προετοιμασία του θέματός μας αποτέλεσε το ιστόγραμμα που φτιάξαμε με τα παιδιά με πράγματα που ήθελαν να μάθουν για τους ζωγράφους. Προπρονήπια Α 2015 ΠΙΝΑΚΕΣ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗΣ Το δίμηνο Οκτωβρίου-Νοεμβρίου ασχοληθήκαμε με το θέμα «Πίνακες Ζωγραφικής». Αφορμή στάθηκε μια συζήτηση που κάναμε με τα παιδιά για το φθινόπωρο και τις αλλαγές του

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα