ردپاى مبهم بهناز ساويزى دكتراى رياضى و دبير رياضى تهران

Transcript

1 ردپاى مبهم م اددد گد اعدادگن درذهن دانش ا موزان بهناز ساويزى دكتراى رياضى و دبير رياضى تهران احمد شاهورانى سمنانى دكتراى ا موزش رياضى دانشگاه ا زاد اسلامى واحد علوم و تحقيقات كليدواژه ها: اعداد گنگ مجموعة اعداد حقيقى بازنمايى اعداد گنگ محور اعداد برنامة درسى متوسطه برنامة درسى رياضيات در كشور ما عمدتا مبتنى بر توسعة مفاهيم و روابط مرتبط با مجموعة اعداد حقيقى شكل گرفته است. مفاهيم مربوط به مجموعة اعداد حقيقى با معرفى اعداد حسابى و طبيعى و روابط بين ا نها در اين برنامه از دبستان ا غاز مى شود و با ورود تدريجى اعداد گويا صحيح و گنگ تا هاى راهنمايىو دبيرستانگسترشمىيابد.شواهدگوناگون نشان مىدهد كه براى دانشا موزان دشوارىها ابهامات و بدفهمىهايى براى طى ا خرين پله يعنى وارد شدن به اعداد گنگ و عبور از مفهوم عدد گويا به عدد حقيقى وجود دارد. هدف اين نوشتار بررسى اين دشوارىها و بدفهمىهاست. ما بهعنوان معلم و محقق بارها شاهد بودهايم كه در انتهاى حل يك مسي له كه پاسخ ا ن يك عدد گنگ بوده است دانشا موزان پرسيدهاند: «ا يا بايد جاى π عدد بگذاريم» يا «ا يا بايد مقدار + را حسابكنيم».چنينمشاهداتىاينپرسشرا به ذهن متبادر مىسازد كه ا يا دانشا موزان اساسا كميتهاى گنگ را همچون ديگر انواع اعداد درك مىكنند و به رسميت مىشناسند ا يا اينگونه كميتها از نظر ا نها واقعا عدد است اگر هست چرا به دنبال جايگزينى مقدار ديگرى بهجاى اعداد گنگ هستند و اگر نيست دليل ا ن چيست جهت روشن شدن اين موضوع بود كه تحقيق حاضر در سال تحصيلى 90-9 انجام گرفت (ساويزى 9). گروه مورد مطالعه دانشا موزان دختر پاية دوم نظرى در يكى از مدارس دخترانه يكي از ناحيه هاي ا موزشي تهران بودند. در اينجا بدون پرداختن به جزي يات تحقيق تنها نتايج بيان مىشوند. بهطور كلى مىتوان علل برخى از بدفهمى دانشا موزان از اعداد گنگ را بهشرح زير خلاصه نمود:. روشبازنمايىاعدادگنگ جايگزينىتقريبهاى اعشارى. رويكرد نامنسجم و گاه مبهم كتب درسى در معرفى اعداد گنگ. شكل گستردة بازنمايى اعداد گنگ مربعى 4. غلبة جنبة فرايندى و عملياتى بر جنبة ساختارى و شىءگونى (عينى) اعداد گنگ در ذهن دانشا موزان 5. عدم درك و برداشت مناسب از كاركرد محور اعداد بهعنوان مدلى كه اعداد را از فضاى مجموعهها و حساب به فضاى اندازهها و هندسه منتقل و مرتبط مىسازد. البته برخى موارد فوق از ارتباط علت و معلولى برخوردار بوده و برخى نيز با يكديگر همپوشانى دارند. در ادامه به شرح هر يك پرداخته خواهد شد. در بخشى از تحقيق صورت گرفته دو پرسش از دانشا موزان به قرار زير مطرح شد:. برداشت شما از عدد گنگ 5 چيست + و 5 +. هر يك از اعداد + را روى محور اعداد نشان دهيد. در پاسخ به پرسش اول دانشا موزان تعريفهاي خودساخته شان را از اعداد گنگ بيان نموده بودند. در 5 ۱۲

2 5 واقع با گذشت بيش از يك سال از ا شنايى ا نها با اعداد گنگ تعريفهاي رسمى و دانش الگوريتمى ا نها در رابطه با اعداد گنگ فراموش شده بود و ا نچه بيان كرده بودند نمايانگر برداشت و ادراك شخصى ايشان از موضوع بود كه در ذهنشان تهنشين شده و باقى مانده بود. پاسخها به پرسش اول با نرمافزار تحليل متنMaxqda0 تحليل و كدگزارى شد. سه كد استخراج شده شامل «عمليات» «بازنمايى» و «تعلق» بود. برخى دانشا موزان عدد گنگ را عددى با بخش اعشارى نامتناهى و برخى نيز ا ن را عددى تعريف كرده بودند كه بازنمايى بهصورت كسر متعارفى ندارد. برچسب يا كد «بازنمايى» به اينگونه تعريفهاي خودساختة دانشا موزان تعلق گرفت. برخى دانشا موزان بيان كرده بودند كه اعداد گنگ اعدادى هستند كه جذر كامل ندارند يا اعدادى هستند كه بين ا نها عمليات حسابى مثل جمع يا تفريق انجام نمىشود (مثل +m ). تا كيد بر عمل جذرگيرى يا جمع و تفريق n 5 معيارى بود تا اين تعريفها با كد «عمليات» مشخص شوند و بالاخره تعريفهايى از قبيل اينكه اعداد گنگ «اعداد مشخص و كاملى نيستند» «اعدادى نامفهوم و نادقيقاند» «عدد حقيقىاند» و «عدد حقيقى نيستند» در كد «تعلق» جاى گرفتند. منظور از اين كد تعلق داشتن يا نداشتن عدد گنگ به يك مجموعة مشخص در ذهن دانشا موزان بود. بيشترين اظهارات دانشا موزان در كد «عمليات» جاى گرفت كه خود نشان از ديدگاه فرا يندى و عملياتى ايشان دارد. روش بازنمايى اعداد گنگ: جايگزينى تقريبهاىاعشارى يكى از دلايل بدفهى دانشا موزان جايگزينى غيرضرورىتقريبهاىاعشارى اعدادگنگتشخيصداده شد.نتيجة بررسىها 5 نشانداد كهبسيارىازدانشا موزان + و 5 + رابابازنمايى عبارتهاى + اعشارى روى محور اعداد نمايش داده بودند. البته تعداد افرادى كه عبارت + را با روش هندسى روى محور نشان داده بودند بيشتر از ديگر موارد بود و اين شايد بهدليل بيشتر بودن تعداد تمرينهاى كتاب ا نها براى شواهد گوناگون نشان مى دهد كه براى دانش ا موزان دشوارى ها ابهامات و بدفهمى هايى براى طى ا خرين پله يعنى وارد شدن به اعداد گنگ و عبور از مفهوم عدد گويا به عدد حقيقى وجود دارد +m باشد. تعداد زيادى از نمايش اعدادى بهشكل n دانشا موزانى كه اعداد گنگ را با بازنمايى اعشارى تعريف كرده بودند براى يافتن مكان عبارت روى محور اعداد از بازنمايى اعشارى استفاده نموده بودند. اين دسته از دانشا موزان اعداد گنگ را اعدادى مبهم نامعلوم نادقيق و ناكامل دانسته و مكان ا نها را روى محور اعداد تقريبى معرفى كرده بودند. بهنظر مىرسد بين بازنمايى اعشارى اعداد گنگ و بدفهمى ذكر شده ارتباط مستقيمى وجود دارد. يعنى جايگزينى تقريبهاى اعشارى توسط دانشا موزان اغلب اوقات حس ناكامل بودن نادقيق بودن و نامعلوم بودن اعداد گنگ را به ذهن ايشان متبادر مىسازد. در اينجا بهنظر مىرسد دانشا موزان انعطاف لازم را در ايجاد ارتباط بين بازنمايىهاى مختلف عدد ندارند و ساخت هندسى «اعداد گنگ مربعى» به كمك رابطة فيثاغورس كه در سال اول دبيرستان ا موختهاند بيشتر دانشى است الگوريتمى معمولي و غيرمرتبط با يافتن نقاط متناظر با اعداد گنگ روى محور اعداد. ۱۳

3 رويكرد كتاب درسى كتابهاى درسى نيز در ايجاد بدفهمىهاى مرتبط با اعداد گنگ بىتا ثير نيستند. اينكه دانشا موز مفهوم عدد گنگ را به مفهوم عدد گويا تقليل داده و از ا ن بهعنوان يك عدد گوياى نادقيق و تقريبى ياد مىكند بىارتباط با نحوة ا موزش كتاب درسى او نيست. در كتاب رياضيات () دبيرستان اعداد گنگ در بخشى با عنوان اعداد حقيقى مطرح شدهاند. در ا نجا بيان شده استكهروىمحوراعدادحقيقى نقاطىوجوددارندكه متعلق به هيچ يك از اعداد گويا نيستند بلكه اين نقاط مربوط به اعداد گنگ هستند. در ادامه هم بيان شده است: «با استفاده از نماد كه بهمعناى جذرگيرى است اعداد گنگ بسيارى را مىتوان معرفى نمود.» در هيچ كجاى كتاب بيان نشده (و مثالى نيز ا ورده نشده) كه عدد گنگ عددى است كه نتوان ا ن را بهصورت نسبت دو عدد صحيح (با مخرج غير صفر) يا يك كسر تحويلناپذير نوشت. در ضمن توضيح در مورد كاربرد جذرگيرى راديكال تفكر فرايندى و عملياتى را تقويت مىكند. وجود اين نگاه در مو لفان كتاب رياضيات () در رابطه با اعداد گنگ مربعى و نماد راديكال مىتواند نشان از نگاه و تفكر فرايندى اين مو لفان داشته باشد و اينگونه توضيحات كمكى در جهت ايجاد يك شي مستقل ذهنى از اعداد گنگ نمىنمايد. در بخش تقريبهاى اعشارى صفحة 8 كتاب رياضيات () چهار عدد و تقريبهاى اعشارى ا نها مورد بررسى قرار گرفته است. احتمالا منظور مو لفان از اين قسمت بيان اين مطلب بوده كه «همواره دنبالهاى از اعداد گويا وجود دارد كه به يك عدد گويا يا گنگ همگراست و بالطبع معرف ا ن عدد مى باشد». ولى نحوة بيان مطلب بسيار ابهام برانگيز است بهگونهاى كه به نظر نميرسد خوانندة متن بتواند تمايزى بين اعداد گنگ و گويا قاي ل شود. در ابتدا بيان شده «/4 به نزديك است /4 نزديكتر و /44 به بيشتر نزديك است. اين اعداد اعشارى را تقريبهاى اعشارى مىنامند.براىهرعدد حقيقى مىتوان از اين تقريب هاى اعشارى يافت و هرچه عدد اعشارى به عدد حقيقى نزديكتر باشد دقت تقريب بالاتر است». در ادامة مطلب ا مده» برابر هيچ عدد اعشارى نيست ولى مىتوانيم تقريبهاى اعشارى ا ن را بهدست ا وريم. با دقت يك رقم اعشارى برابر است با 0/ و با دقت دو رقم اعشار برابر است با 0/ و با دقت سه رقم اعشار برابر است با 0/. دقت اين تقريبها را هر چقدر بخواهيم مىتوانيم بالا ببريم». بيان مطالب فوق بهگونهاى است كه هيچ تمايزى بينعددگنگوعددگويا ايجادنمىكند.بهنظرمىرسد مو لفيامو لفاناينبخش بهساختاريكدنبالةنامتناهى همگرا به يك عدد حقيقى و نيز مفهوم حد در بىنهايت توجهى ننمودهاند. اينكه را با يك نگاه كلنگرانه حد يا جمعبندى نهايى يك دنبالة نامتناهى از اعداد گويا تلقى كنيم كه بازنمايى اعشارى مختوم يا متناوب ندارد با ديدگاهى كه دنبالة مذكور هر بار بهطور مقطعى و جزي ى مورد توجه قرار گيرد تفاوت دارد. با ديدگاه دوم عدد گنگ (و حتى اعداد گويا بهويژه با بازنمايى اعشارى متناوب) همواره نادقيق و ناكامل بهنظر مىرسند (و بيشترفرايندهستندتاشي مستقل). در توضيحات اراي ه شده در مورد نيز ابهاماتى در كتاب درسى وجود دارد. در كتاب بيان شده است كه» برابر هيچ عدد اعشارى نيست». با اين وصف a عددى با بازنمايى اعشارى...0/ بايد عددى گنگ باشد زيرا با هيچ كسر متعارفى مساوى نيست 4 در حالىكه مىتوان نشان داد: «هر كسر گوياى a b بهصورت يك عدد اعشارى پاياندار يا يك عدد اعشارى اى نامتناهى قابل بيان است به عكس هر بسط اعشارى پاياندار يا اى نامتناهى مساوى عدد گويايى است» (نيون 67). بهدنبال ا ن در مسي له هفتم از مساي ل صفحة 0 كتاب چهار كسر گويا مطرح و پرسيده شده است: «در بين اعداد گوياى زير عددهايى را كه اعشارى هستند مشخص كنيد و...». منظور اين پرسش احتمالا مشخص نمودن كسرها با بازنمايى اعشارى مختوم (پاياندار) مىباشد. ولى صورت سو ال اين ابهام را برمىانگيزد كه همواره كسرهاى گويايى وجود دارند كه هيچ بازنمايى اعشارى ندارند و اينگونه كسرها تنها تقريبا (نه دقيقا ) با يك عدد اعشارى برابرند. رويكرد ا موزشى كتاب بهگونهاى 5 ۱۴

4 5 ۱۵ است كه به جاى توسعة مجموعة اعداد گويا به مجموعة اعداد حقيقى به لحاظ مفهومى مجموعة اعداد حقيقى را به مجموعة اعداد گويا تحديد نموده و اين از طريق تا كيد بر تقريبات اعشارى صورت پذيرفته است. تا ثير اين ديدگاه را بر بدفهمى دانش ا موزان مى توان در مثال ديد. در مورد فوق دانش الگوريتمى ساخت هندسى اعداد گنگ مربعى به كار دانش ا موز نيامده و در عوض تا كيد بر عمليات و فرايند جذرگيرى موجب تناقض و ابهام دانش ا موز شده است. با رويكرد ا موزشى كتاب درسى انتظار چنين تصورى از جانب دانش ا موز بعيد نيست زيرا ا يا مىتوان + را روى محور اعداد دقيقا نشان داد (چرا و چگونه) توجه او هم به جاى جمع بندى و محصول نهايى به عنوان يك عدد گنگ به فرايند پايان ناپذير بسط اعشارى معطوف گشته و بنابراين دانش الگوريتمى ساخت هندسى عدد در عمل فايده و كارا يى اصلى خود را كه همان مكان يابى روى محور اعداد است از دست داده است. شكل گستردة اعداد گنگ مربعى در مطالعة صورت گرفته بازنمايى اعشارى و جايگزينى ا ن با تعريف اولية اعداد گنگ يكى از دلايل بدفهمى دانش ا موزان شناخته شد كه با نتايج تحقيقات بين المللى نيز مطابقت دارد (زازكيس و سيروتيك 004 سيروتيك و زازكيس 007 زازكيس و سيروتيك 00 پ ل د و هرشكو وتيز 999 و فوسكوگلو و كسيواس 0.) و در عين حال بررسى حل تكاليف دانش ا موزان نشان داد جايگزينى اعداد گنگ مربعى با تقريبات اعشارى يك عادت هميشگى در دانش ا موزان نيست بلكه به نوع اعداد نيز وابسته است. در اينجا لازم است در مورد اصطلاح «پذيرش عدم بسته بودن بازنمايى» توسط دانش ا موزان توضيحاتى داده شود. اين اصطلاح اولين بار توسط كوليس 5 به كار برده شد. كوليس بستگى 6 در بازنمايى را در چهار مرحله تقسيم بندى مى نمايد. در مرحلة اول دانش ا موز تنها با جايگزين كردن يك عبارت گسترده مانند جمع دو عدد با حاصل جمع كه يك عدد است ا شناست. در عبارت =6 x + حالت عملياتى با جايگزين كردن عدد 9 به حالت شىء گونى يا محصولى تبديل مى شود. در اين مرحله دانش ا موز به طور همزمان مفهوم عبارت گستردة عدد را به دو گونه محصول و فرايند شناسايى نمى كند. براى مثال دانشا موز در اين مرحله جاى خالى را در عبارت + = +6 با عدد 9 پر مىكند. كوليس سه مرحله ديگر را نيز در رابطه با بازنمايى عدد بيان كرده است. در مرحلة دوم فرد قادر است با عناصر تركيبى كار كند بىا نكه لازم باشد جواب يا عددى يكتا جايگزين ا نها كند. مثلا بدون محاسبة جواب درستى عبارت <5+8 + را مىفهمد. در اين مرحله قادر است بيش از يك عملگر را بهكار ب ر د مثل: +4-. دانشا موزان در مقاطع پايينتر در «پذيرش عدم بسته بودن» بازنمايى يا 7 ALC مشكل دارند (كوليس 975). اين مشكل در توسعة درك جبرى دانشا موزان ديده مىشود مثلا دانشا موزىكهمشكلدرALC دارد مايلاستمعادلة?= +7x را با 0x جايگزين نمايد. در مثال دانشا موز براى نمايش 5 + روى محور اعداد تقريبات اعشارى را جايگزين كرده است تا به عددى با بازنمايى بستة /6 برسد. وى در مورد + رابطة فيثاغورس را بهكار برده است. 7 رويكرد ا موزشى كتاب رياضيات به گونه اى است كه به جاى توسعة مجموعة اعداد گويا به مجموعة اعداد حقيقى به لحاظ مفهومى مجموعة اعداد حقيقى را به مجموعة اعداد گويا تحديد نموده و اين از طريق تا كيد بر تقريبات اعشارى صورت پذيرفته است مثال

5 مثال + را روى محور اعداد دقيقا نشان داد (چرا و چگونه) ا يا مىتوان 5 ا يا مىتوان + را روى محور اعداد دقيقا نشان داد (چرا و چگونه) 7 مثال 5 + را دقيقا روى محور اعداد نشان داد (چرا و چگونه) ا يا مىتوان مثال را دقيقا روى محور اعداد نشان داد (چرا و چگونه) ا يا مىتوان + را روى محور اعداد دقيقا نشان داد (چرا و چگونه) ا يا مىتوان 5 ا يا مىتوان + را روى محور اعداد دقيقا نشان داد (چرا و چگونه) 7 همان گونه كه گفته شد تغيير رويكرد دانش ا موز در مورد سو ال دوم شايد مربوط به نوع تمرين هاى كتاب باشد. در مورد مثال دانش ا موز توضيح داده است كه عدد به شكل داده شده را تنها به صورت جداگانه مى توان روى محور نمايش داد. به عبارتى وى كل عبارت را به شكل دو بخش يا دو عدد جداگانه فرض كرده و نمايش يك جاى عدد را منوط به جايگزينى تقريب اعشارى جمع دو بخش و رسيدن به يك عدد نهايى (با بازنمايى بسته) دانسته است. در مورد مثال 4 نيز شكل گستردة بازنمايى اعداد سبب شده تا دانش ا موز نمايش يك جاى عدد را روى محور امكان ناپذير بداند. 5 ۱۶

6 5 ۱۷ غلبة جنبة فرايندى و عملياتى بر جنبة ساختارىومحصولى همانگونه كه پيشتر بيان شد مشكلات ذكر شده در رابطه با اعداد گنگ مربعى گاهى همپوشانى داشته و گاه رابطة علت و معلولى دارند. بهنظر مىرسد بين عدم پذيرش شكل گستردة عدد گنگ و غلبة جنبة فرايندى و عملياتى در ذهن دانشا موزان ارتباطى وجود دارد. براى حصول اطمينان از اين ارتباط سو ال زير مطرح و پاسخها بررسى شد. مىشوند. مثلا تجريدى از شمارش تعداد اشياي واقعى منجر به ساخت مفهوم عدد مىشود. تال و گرى (999) بين «رويه «8 و «فرايند «9 تمايزى قاي ل مىشوند. رويه يك الگوريتم يا روش گامبهگام است كه در ا ن هر گام پس از تكميل گام قبلى برداشته مىشود. فرايند تركيبى از چندين رويه (همسو و هماثر) است بدون ا نكه به جزي يات گامها توجهى شود. اينكه يك مفهوم همزمان هم فرايند و هم شىء ذهنى محسوب شود كمى مبهم و پيچيده بهنظر مىرسد. سادهترين وسيله اين است كه يك نقطهنظر مشترك و يكسان از مفهوم شىء و فرايند اراي ه دهيم. در سرتاسر رياضيات از اين تركيبها فراوان مىتوان يافت: فرايند شمارش و مفهوم عدد مىتوان 7 شىء را شمارش كرد و يا 7 را يك عدد مستقل پنداشت. فرايند شمارش چند چيز و مفهوم جمع (حاصل جمع) 4+5 يك فرايند شمارش براى دو چيز است در عين حال يك حاصل جمع و عدد 9 مىباشد فرايند تقسيم دو عدد طبيعى و يا يك كسر بهعنوان يك شىء (4/). تال و گرى (999) ادعا مىكنند كه نمادهاى رياضى اغلب حاوى دو جنبة فرايندى و مفهومى هستند. ا نها واژة تركيبى و جديد «فرهوم» مركب از فرايند و مفهوم را براى اين مورد ابداع كردهاند. فرهوم نمادگزارى يا نمادى است كه هر دو جنبة فرايندى و مفهومى را دربردارد. برايمثال 4+ يك فرهوماست. «شمارشهمه «0 و «شمارش يكجا «را مىتوان دو رويه يا تكنيك جمع دانست. «شمارش همه» براى و 4 حالت «فرايند فرايند» را بهوجود مىا ورد. شمارش يكجاى (4) و شمارش همه () 4 حالت «فرهوم - فرايند «را ايجاد مىكند. جمع يكجا براى دو عدد حالت «فرهوم - فرهوم «را ايجاد مىكند. شكلهاى و موضوع را روشنتر مىكند: در پاسخ به پرسش اخير تنها 5 درصد از دانشا موزان عبارت مورد پرسش را بهعنوان يك حقيقت شناخته شده 4 يا يك عدد گنگ معرفى كرده بودند. بهعبارتى جنبة فرهوم فرهوم را درك كرده بودند. مثال 5 پاسخ دانشا موزى است كه از عبارت داده شده درك فرهوم- فرايندى دارد يعنى 7 را 7+ «چيست» در اينجا نيز لازم است بهطور كوتاه توضيحاتى در رابطه با اصطلاحات فرهوم فرايند و شىء ذهنى ا ورده شود. البته در شمارههاى پيشين اين مجله به بحث مذكور پرداخته شده است و توضيحات ا تى جنبة يادا ورى دارد (پگ و تال 005). نظريات شي فرايندى در ا موزش رياضيات عنوان كلى نظراتي همچون APOS 8 شي انگارى 9 اسفارد 0 و فرهوم تال و گرى مىباشد. اينگونه نظريهها نحوة شكلگيرى يك مفهوم رياضى را در ذهن دانشا موز شرح مىدهند و از نوع نظريههاي موضعى ا موزش رياضيات مىباشند. افراد مختلف نظرات (موضعى) گوناگونى را در رابطه با شكلگيرى مفهوم اراي ه دادهاند (انگليش و س ريرامن 00). پياژه بين تجريد تجربى 4 (از اشياء درك و مشاهده شده) و تجريد نيمه تجربى 5 (از فعاليتهاى صورت گرفته روى اشياء درك شده) تمايز قاي ل مىشود (تال 999). تجريد تجربى از مشاهده و حس كردن پديدهها در جهان واقعى حاصل مىشود و در تجريد نيمهتجربى استخراج دانش از طريق تجريد فرايند عمليات و انجام فعاليت روى اشياء صورت مىپذيرد. تال و گرى (999) تمايزى بين اشياء دركشده 6 و اشيايحسشده 7 قاي لمىشوند. اشياي حسشده تجريدى از اشياء در جهان واقعى هستند مثل اشكال هندسى. دايره تجريدى از اشياء بهظاهر گرد و خط تجريدى از يك امتداد راست در جهان واقعى و فيزيكى است. نوع ديگر يعنى اشياي ذهنى درك شده بر اثر تا مل روى فعاليتها و تا كيد بر روند فرايندها حاصل

7 يك عدد گنگ دانسته در حالى كه علامت جمع را بخشى از بازنمايى عدد گنگ محسوب نكرده و كل عبارت را يك فرايند جمع ارزيابى نموده است. در حالت فرايندى- فرايندى 5 دانش ا موزان چنين پاسخ داده بودند كه جذر يك عدد با جمع شده است. عدم درك كاركرد محور اعداد محور اعداد مدلى كارا مد جهت شناخت بهتر 6 اعداد و بسيارى از مفاهيم رياضيات است. فرودنتال (97) سه كاربرد را براى محور اعداد نام مىبرد. اول بهعنوان يك خط كش كه نقاط روى ا ن مكان ثابتى دارند. دوم خطى كه داراى مبدا و مقياس توافقى و قراردادى است و با ا ن مىتوان نقاط روى محور و اعداد را به هم نسبت داد. سوم يك بنيان دقيق كه اعداد عملگرها و انتقالات روى ا ن بازنمايى مىشوند. در سنت رايج ا موزشى اعدادگويا از دل اعداد صحيح با عمليات تقسيم و اعداد صحيح از دل اعداد طبيعى با عمل تفريق توسعه مىيابند. در حالىكه اين موضوع روى محور اعداد بدين شكل اتفاق نمىافتد. محور اعداد بهتدريج و با توسعة مجموعة اعداد نقاط بيشترى را كه از پيش موجود بودهاند به نمايش مى گذارد (فرودنتال 97). از لحاظ شهودى توسعة اعداد از مجموعة اعداد طبيعى تا گويا معمولا با مشكلى مواجه نيست. تقسيم كردن بين دو واحد يا عدد صحيح مانند تقسيم كردن يك سيب يا يك تكه نان ملموس و مطابق با شهود است. رابطة بين مجموعهها بهشكل N W Z Q برقرار است و اين رابطه به لحاظ شهودى در راستاى توسعة اعداد روى محور اعداد است. در حالى كه مجموعة اعداد گنگ تابع اين سنت توسعه و ساخت شهودى اعداد نيست. با اينكه اعداد گنگ نيز به كمك اعداد گويا ساخته و حتى تعريف مىشوند (عددى كه برابر نسبت دو عدد گويا نيست) ولى اين بار مجموعهاى جدا از مجموعههاى پيشين حاصل مىشود. هر عدد طبيعى در عين حال عددى صحيح و گويا نيز هست. ولى عدد گنگ موجودى جدا و مستقل از اعداد پيشين است. علاوه بر اين حس نياز به پيدايش اعداد گنگ ۱۸ فرايند فرهوم فرهوم فرهوم مثال 5- مثال 5- += شمارش يك جا حقيقت شناخته شده مثال 6 += () = را دقيقا روى محور اعداد نشان داد (چرا و چگونه) ا يا مىتوان + را روى محور اعداد دقيقا نشان داد (چرا و چگونه) ا يا مىتوان 5 ا يا مىتوان + را روى محور اعداد دقيقا نشان داد (چرا و چگونه) را دقيقا روى محور اعداد نشان داد (چرا و چگونه) ا يا مىتوان مثال 7 شكل شكل + 5

8 5 در برنامه درسى ايجاد نمى شود لذا دانشا موز عدد گنگ را عددى اعشارى يا گويا فرض مىكند با اين تفاوت كه مقدار دقيق و مكان معينى روى محور ندارد. نتيجه اين است كه بهجاى توسعة مفهومى مجموعة اعداد گويا به اعداد حقيقى با جايگزين كردن تقريبهاى اعشارى براى اعداد گنگ اعداد حقيقى به مجموعة اعداد گويا تحديد مىشود. در مطالعة صورت گرفته چه در قالب پاسخ به پرسشها و چه در قالب مصاحبهها بيشتر دانشا موزان روش ساخت هندسى اعداد گنگ مربعى را مىدانستند ولى اين نوع ساختن دانشى الگوريتمى و رويهاى بود كه بين عدد گنگ و اندازه ارتباط معنادارى ايجاد نمىكرد. براى مثال در مصاحبهها از دانش 7 ا موزان سو ال شد «چگونه مىتوان تكه چوبى را به اندازة برش زد». بسيارى بهدليل نامتناهى بودن بخش اعشارى در بازنمايىاعشارى اينكارراناممكندانستند درحالىكه با روش هندسى اين عدد را روى محور اعداد مىساختند. در عين حال در ادامة مصاحبه بيان مىكردند كه «اعداد گنگ را نمى توان روى محور اعداد نمايش داد زيرا دقيق نيستند». اين تناقضگويىها حاكى از ا ن است كه دانشا موزان قادر نبودند بين عدد مجموعهاى و عدد اندازه گيرى 7 ارتباط ايجاد نمايند. محور اعداد حقيقى يك مدل رياضى و ذهنى است كه بين عدد و اندازه ارتباط ايجاد مىكند. بهعبارتى ويژگى ترتيبى و شمارشى اعداد روى محور به اندازة يك پارهخط يا فاصلة بين يك نقطه تا مبدا مختصات مرتبط مىگردد. محور اعداد محل پيوند تفكر حسابى و تفكر هندسى است. جمع دو عدد شمارشى 8 (مقدار) در خارج محور متناظر با جمع دو اندازه (فاصله) يا جمع دو عدد اندازهگيرى روى محور است كه منجر به ايجاد يك اندازة (فاصله) جديد مىگردد. در تحقيق صورت گرفته در رابطه با اعداد گنگ مربعى با شكل گستردة نمايش ) n m+ يا ( m+ n جمع حسابي با جايگزينىتقريبهاىاعشارى ياسادهكردنراديكالها انجام شده است. در حالىكه روى محور اعداد جمع هندسى كه ا ن را بهعنوان جمع دو اندازه يا دو فاصله تعريف مىكنيم معنايى نيافته است. در مثال اخير(مثال 6 و 7 ) از ديدگاه رياضيات وابسته به جسم 9 بين استعارة حركت روى مسير 0 كه منجر به ايجاد مدل محور اعداد مى شود و استعارة چوب اندازه گيرى كه جمع فاصله ها را با اعداد مرتبط مى سازد ارتباط عرضى مناسبى ايجاد نشده است يعني كاركرد محور به درستى شناخته نشده است (لكاف و نون ز 000). نتيجه گيرى و پيشنهاد از ا نچه گفته شد چنين برمى ا يد كه رويكرد ا موزشى اعداد گنگ در برنامة درسى چندان مناسب نيست. برنامة درسى به ا رامى از كنار مفهوم عدد گنگ كه ا خرين حلقة تكميل كنندة مجموعة اعداد حقيقى است عبور كرده و به سرعت اين مفهوم را با تا كيد بر تقريبات اعشارى به مفهوم عددى گويا و «نادقيق» تقليل داده است. در برنامة درسى حركت از جنبة فرايندى به جنبة محصولى و جمع بندى نهايى عدد گنگ به شكل ناقصى صورت مى پذيرد. در اين ميان تا كيد كتاب درسى و دانش ا موزان بر عمل جذرگيرى در رابطه با اعداد گنگ مربعى موجب غلبة ديدگاه عملياتى و فرايندى در دانش ا موزان مى گردد. مبدا تاريخى پيدايش مفهوم عدد گنگ توسط يونانيان و اراي ة تعريف رسمى عدد گنگ توسط ددكيند در قرن نوزدهم ميلادى هر دو بر مبناى كميات نامتوافق بوده است (ايوز 990). شايد بازگشت به اين مبدا و شروع از مفهوم كميات متوافق و نامتوافق شروع خوبى براى ا موزش اعداد گنگ باشد. فيشباين ج هيام و كوهن (995) نيز ايجاد كنجكاوى و پرسش از مفاهيم متوافق 4 و نامتوافق را ا غازگر مناسبى براى تدريس اعداد گنگ مى داند. انتظار مي رود كه ايجاد حس نياز اوليه در دانش ا موزان به وجود اعداد گنگ منجر به درك بهتر ا نان از اين اعداد شود حسى كه در رويكرد فعلى ا موزشي ايجاد نشده است. پايان بخش اين مقاله نقل قولي است كه از لكاف و نون ز (000) از د د كيند ا ورده اند: ددكيند خود اين حس را چنين تجربه نموده است: اگر نقطة p متناظر با عدد گوياى a باشد ا ن گاه چنانچه متداول است op كميتى متوافق با واحد اندازه گيرى نامتغيرى است كه در ساخت [محور] به كار گرفته شده است. ولى يونانيان باستان اين موضوع را از پيش مى دانستند و اثبات كرده هر عدد طبيعى در عين حال عددى صحيح و گويا نيز هست. ولى عدد گنگ موجودى جدا و مستقل از اعداد پيشين است ۱۹

9 منابع. Collis, K. (975). The Development of Formal Reasoning. Newcastle, Australia: University of Newcastle.. Fisschbein, E., Jehiam, R., & Cohen, D. (995). The Concept of Irrational Numbers in High School Students and Prospective Teachers. Educational Studies in Mathematics, Freudenthal, H. (999). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. 4. Freudenthal, H. (97). Mathematics as an Educational Task. Kluwer. 5. Lakoff, N., & Nunez, R. (000). where mathematics come from? Basic Books. 6. Peled, I., & Hershkovits, S. (999). Difficulties in Knowledge Integration: Revisiting Zeno s Paradox with Irattional Numbers. INT. J. Math. Educ. SCI. Technol., Sirotic, N., & Zazkis, R. (007). Irrational numbers on the number Line-Where are they? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Sriraman, B., & English, L. (00). Theories of Mathematics Education. springer. 9. Stein, H. (990). Eudoxos and Dedekind: On the ancient Greek theory of ratios and its relation to modern mathematics. Synthese, Tall D., T. M. (999). What Is the Object of the Encapsulation of a Process? Journal of Mathematical Behaviore.. Tall, D., & Gray, E. (99). Duality, Ambiguity and Flexibility in Successful Mathematical Thinking. PME 5, (7-79). Assisi.. Voskoglou, M., & Kosyvas, G. (0). A study on the comprehension of irrational numbers. Quaderni Di Ricerca in Didattica (Mathematics).. Zazkis, R., & Sirotic, N. (004). Making Sensa of Irrational Numbers: Focusing on Representation. PME 8, ( ). 4. Zazkis, R., & Sirotic, N. (00). Representing and Defining Irrational Numbers: Exposing Missing Link. CBMS Issues in Mathematics Eduction American Mathematical Society. 5. ايوز ه. و. (990). ا شنايى با تاريخ رياضيات. ترجمه محمدقاسم وحيدي اصل (86). مركز نشر دانشگاهى. 6. پگ ج. تال د. (005). چرخة بنيادين ساخت مفهوم: زيربناى چارچوب هاى نظرى گوناگون. ترجمه حسين عبدي محمدرضا فدايي و زهرا گويا (86). مجله رشد ا موزش رياضى شماره 88 صص 4 تا 5 دفتر انتشارات كمك ا موزشي سازمان پژوهش و برنامه ريزي ا موزشي وزارت ا موزش وپرورش. 7. ساويزى ب. (9). بررسى ساختار مفهومى اعداد گنگ در دانش ا موزان. رساله منتشر نشده دكتري رياضي با گرايش ا موزش رياضي. واحد علوم و تحقيقات دانشگاه ا زاد اسلامي. 8. نيون ا. م. (96). گويا و گنگ. ترجمه غلامحسين اخلاقي نيا (67). مركز نشر دانشگاهى. بودند كه همواره اندازه هايى نامتوافق با واحد اندازه گيرى فرض شده وجود دارند. اگر طول ها يا چنان اندازه هايى را از نقطة مبدا o روى امتداد خط [محور] قرار دهيم نقاط انتهايى را خواهيم يافت كه با هيچ عدد گويايى متناظر نمى باشند... دامنة اعداد گويا ديگر كفايت نخواهد كرد و كاملا ضرورى مى نمايد كه دستگاه اعداد R (حقيقى) كه با خلق اعداد گويا ساخته شده بود اين بار با خلق اعداد جديدى توسعه يابد» (لكاف و نونز 000). پىنوشتها. structural. objective. حتى نام اعداد گنگ در زبان انگليسى از تعريف ا ن يعنى نسبت دو عدد صحيح با مخرج غيرصفر گرفته شده است. rational از واژة انگليسى ratio گرفته شده است. (نيون 67) 4. اثبات اينكه عدد...0/ با كسر دقيقا برابر است با معلومات ابتدايى رياضى امكانپذير است. 5. Collis 6. closure 7. Acceptance of the lack of closure 8. Action-process-object- schema اين نظريه توسط دوبينسكى اراي ه شده است. 9. reification 0. Sfard. Procept : تركيبى از واژگان process و concept. Tall. Gray 4. Empirical abstraction 5. Semi-empirical abstraction 6. Conceived 7. Perceived 8. Procedure 9. process 0. Counting- all. Counting - on. Procept-process.Procept-procept 4. Known fact 5. Process-process 6. Freudenthal 7. Measuring number 8. Counting number, اين اصطلاح و اصطلاحاتى نظير عدد اندازه گيرى و عدد محاسباتى را فرودنتال( ) در برخى كتب خود بهكار برده است. 9. Embodied mathematics 0. Motion on the path metaphor. Measuring stick metaphor. Incommensurable. Fischbein 4. Commensurable 5 ۲۰