STATISTIKA 5. predavanje. Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "STATISTIKA 5. predavanje. Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak"

Transcript

1 STATISTIKA 5. predavaje Doc.dr. Tadeja Kraer Šumejak

2 PORAZDELITVE VZORČNIH STATISTIK Imejmo vzorec velikosti. Na tem vzorcu ima spremeljivka X vredosti: x 1, x 2,, x. Vzorča statistika je poljuba fukcija vzorčih vredosti f(x 1, x 2,, x ). Pozamo veliko vzorčih statistik: kvatili, mere sredie, mere variabilosti. Nekatere vzorče statistike so zelo pomembe.

3 X je številska statističa spremeljivka, za katero sta ajpomembejši vzorči statistiki: Vzorča aritmetiča sredia: x 1 xi i 1 Vzorči stadardi odklo: s xi ( x) 1 1 i 1

4 Če za X privzamemo ormalo porazdelitev N(M, ), je x ocea za M, s pa ocea za σ. To spozaje posreduje matematiča statistika. Posebo vlogo pri statističem sklepaju ima z- statistika i t-statistika, ki je zaa pod imeom Studetova statistika z x M t x M s

5 Spomimo se populacije vseh vzorcev velikosti, vemo da je ta številka lahko ogroma. Na vsakem od teh vzorcev ima vzorča statistika svojo vredost. Vzorči statistiki u priredimo slučajo spremeljivko U, jeo pozavaje je potrebo za sklepaje iz vzorca a populacijo. Pogledali bomo verjetosto porazdelitev za ekaj ajpomembejših vzorčih statistik.

6 Porazdelitev vzorčih aritmetičih sredi IZREK Če je slučaja spremeljivka X a populaciji porazdeljea N(M,σ), potem je slučaja spremeljivka X a populaciji vseh vzorcev velikosti porazdeljea N ( M, ). OPOMBA: ta izrek velja, ko gre za vzorčeje z vračajem eot. Razlika pa je zaemarljiva,če je populacija zelo velika, zato v praksi e ločujemo.

7 Izrek am pove, da so tudi aritmetiče sredie vzorcev z elemeti porazdeljee ormalo. Ob tem sta aritmetiča sredia osove možice i aritmetiča sredia aritmetičih sredi vzorcev eaki. Stadardi odklo porazdelitve aritmetičih sredi je eak kvocietu stadardega odkloa osove statističe možice i korea iz števila eot v vzorcu.

8 CENTRALNI LIMITNI IZREK Slučaja spremeljivka X se pri velikih vzorcih porazdeljuje približo ormalo tudi tedaj, ko verjetosta porazdelitev slučaje spremeljivke X a osovi populaciji i ormala. Cetrali limiti izrek lahko uporabimo v praksi, če je velikost vzorca večja od 30.

9 Primer Psihologi trdijo, da je v populaciji IQ porazdelje ormalo N(100,15). Tvorimo vzorce velikosti 4. Potem velja IQ N(100,7,5) P( IQ 115) P( Z ) P( Z 2) 0,0228 7,5 2,3% vzorcev velikosti 4 ima vzorčo aritmetičo sredio ad 115. Tvorimo vzorce velikosti 25 i si zastavimo eako vprašaje.

10 Primer Iz populacije, ki je ormalo porazdeljea M=50 i σ=10 so vzorčili vzorce velikosti =25. Pri kolikšem odstotku vzorcev lahko pričakujemo vredosti aritmetičih sredi med 48,2 i 51,7? V katerih mejah je 90 % vseh vredosti?

11 Porazdelitev t-statistik Spozali smo že dejstvo: če je X N( M, ), je X N( M, ). X Posledičo je spremeljivka Z= M N (0,1). Če pozamo oba parametra ormale porazdelitve M i izračuamo x i ato vredost z-statistike: x M Z=., iz vzorca velikosti

12 Agleški statistik W. Gosset, za pod psevdoimom Studet, je v izrazu za z adomestil parameter z jegovo vzorčo oceo s i tako opredelil t-statistiko: x M t. s Ugotovil je, da se pri majhih vzorcih verjetosta porazdelitev t-statistike bistveo loči od stadardizirae ormale porazdelitve, pri velikih vzorcih pa je ta porazdelitev zelo blizu stadardizirae ormale porazdelitve.

13 Izrek Na populaciji vzorcev velikosti T X M S je slučaja spremeljivka porazdeljea po Studetovi porazdelitvi z -1 prostostimi stopjami. Zapišemo T t( SP 1).

14 Lastosti Gostota verjetosti za t-porazdelitev je po obliki podoba gostoti verjetosti za N(0,1). Fukcija je zveza, defiiraa a celoti reali osi. Je simetriča okoli 0. Parameter imeujemo stopje prostosti, ki določajo jeo obliko. V limiti je Studetova porazdelitev eaka stadardizirai ormali porazdelitvi.

15 Porazdelitev vzorčih variac Naj bo X N( M, ). Zamislimo si, da a vsakem vzorcu 2 velikosti izračuamo vzorčo variaco s : 1 s ( x x). 2 2 i 1 i 1 Vsak vzorec geerira svojo vredost. Tem vredostim 2 priredimo slučajo spremeljivko S. verjetosta porazdelitev. Zaima as jea

16 Izrek Slučaja spremeljivka X je porazdeljea ormalo s povprečo vredostjo M i stadardim odkloom σ. Na populaciji vzorcev velikosti je porazdelitev za S 2 2 podaa s -porazdelitvijo z -1 prostostimi stopjami: S SP ( 1)

17 Lastosti Je zveza porazdelitev, defiiraa a pozitivem delu reale osi. Stopje prostosti določajo obliko porazdelitve. Za SP=1 i SP=2 ima posebo obliko. Ko je SP majho število, je porazdelitev asimetriča v deso, ko se SP povečuje, se asimetrija zmajšuje. S povečevajem SP(gre proti eskočo), postaja čedalje bolj podoba ormali porazdelitvi N(SP,SP 0.5 ).

18 F-porazdelitev Naj bosta X i Y eodvisi spremeljivki. Če je spremeljivka X porazdeljea po zakou spremeljivka Y porazdeljea po zakou 2 (m) i 2 (), je slučaja spremeljivka Z X my porazdeljea po zakou F(m, ). Porazdelitev F(m, ) je določea z dvema prostostima stopjama m i.

19

20 OCENJEVANJE PARAMETROV-OCENJEVANJE ARITMETIČNE SREDINE Spomimo se:

21 Glivekov izrek: Porazdelitvea fukcija vzorca z araščajem števila eot v vzorcu z verjetostjo 1 kovergira k porazdelitvei fukciji osove statističe možice. Navedei izrek am pove, da čim večje je število eot v vzorcu, bolj je frekveča porazdelitev vzorca podoba frekveči porazdelitvi osove statističe možice. Zato se bosta pri dovolj velikem številu eot v vzorcu ( je vsaj 100) aritmetiča sredia i stadardi odklo vzorca le malo razlikovala od aritmetiče sredie i stadardega odkloa celote možice.

22 S pomočjo dosedajih ugotovitev določimo z vzorcem eot aritmetičo sredio osove statističe možice. To lahko aredimo a dva ačia i sicer a osovi: točkove ocee itervale ocee Za točkovo oceo je zaželea epristraskost. Ocea je epristraska, če je povprečje vseh vzorčih oce eako ocejevaemu parametru. Zato je x s je epristraska ocea za M je epristraska ocea za

23 Itervala ocea parametra Itervala ocea parametra je t.i. iterval zaupaja. To je slučaji iterval, veza a pripadajoči slučaji vzorec. Defiicija: V ašem primeru bo to M. Naj ozačuje parameter, ki ga ocejujemo, vredost je vaprej predpisaa verjetost, 0< 1. Iterval (L, L ) imeujemo iterval zaupaja za parameter, če velja: P(L < L )

24 Kometar Stadarde vredosti, ki jih uporabljamo za verjetost α, so: 0,05, 0,01 ali 0,001. Verjetost 1- α imeujemo zaupaje. Običajo zaupaje izražamo v %, govorimo pr. o 95% zaupaju. L 1 oz. L 2 je spodja oz. zgorja meja itervala zaupaja, L 1 oz. L 2 sta slučaji spremeljivki. Pri vsakem vzorcu imata drugo vredost. Vsak slučaji vzorec geerira svoj iterval zaupaja (l 1,l 2 ).

25 V populaciji vseh vzorcev velikosti je odstotek itervalov, ki vsebujejo parameter Θ, eak 100(1-α). Za posamezi iterval zaupaja e vemo, ali je parameter Θ vsebova v tem itervalu ali e. Trdimo lahko, da je ta iterval z verjetostjo (1-α) ede tistih, ki vsebujejo parameter Θ.

26 INTERVAL ZAUPANJA ZA POVPREČNO VREDNOST Ločimo: Osova statističa možica porazdeljea ormalo po zakou N(M, ) i je zaa. Osova statističa možica porazdeljea ormalo po zakou N(M, ) i i zaa. Veliki vzorci.

27 N(M, ) i je zaa Ta situacija v praksi le redko astopa, vedar je zaradi kostrukcije itervala zaupaja ajlažja. Izpeljava temelji Spozali smo že dejstvo: če je X N( M, ), je X N( M, ). X M Posledičo je spremeljivka Z= N (0,1). P( z Z z ) Z=1,96 pri 5% tvegaju

28 Širio tega itervala lahko zapišemo z obrazcem: x z M x z 2 2

29 p(x) x Porazdelitev aritmetičih sredi vzorcev. Pri 5 % tvegaju ea osečea površia 0,025-ti del celote površie. Stopja Delež v celoti populaciji tvegaja obeh osečeih samo eega osečeega delov dela 5 % 0,05 0,025 1 % 0,01 0,005 0,01 % 0,001 0,0005

30 Če iščemo 95% iterval zaupaja za aritmetičo sredio populacije, tedaj s pomočjo tabel za stadardizirao ormalo porazdelitev, določimo vredost za Z tako, da bo veljalo: H(Z)=0,475 Z=1,96 Iterval je z verjetostjo 0,95 ede tistih, ki vsebuje povprečo vredost celote populacije. x 1, 96 M x 1, 96 5% tvegaje

31 Če iščemo 99% iterval zaupaja za aritmetičo sredio populacije, tedaj s pomočjo tabel za stadardizirao ormalo porazdelitev, določimo vredost za Z tako, da bo veljalo: H(Z)=0,495 Z=2,58 x 2,58 M x 2, 58 pri 1% tvegaju

32 Če iščemo 99,9% iterval zaupaja za aritmetičo sredio populacije, tedaj s pomočjo tabel za stadardizirao ormalo porazdelitev, določimo vredost za Z tako, da bo veljalo: H(Z)=0,4995 Z=3,29 x 3,29 M x 3, 29 pri 0,1% tvegaju

33 Primer Izračuajmo 90% i 95% iterval zaupaja za povprečo maso zdravila v stekleičkah, pri čemer je 1, 9 i x 10,5.

34 N(M, ) i i zaa Stadardi odklo i poda, ampak ga oceimo iz podatkov. Iterval zaupaja izpeljemo eako kot pod prvo točko, le da stadardizirao ormalo porazdelitev adomesti Studetova porazdelitev z -1 prostostimi stopjami: s x t M x t 2 2 s Odčitaš pri (-1) prostostih stopjah.

35 Veliki vzorci Če so vzorci tako veliki, da velja cetrali limiti izrek, izračuamo iterval zaupaja za povprečo vredost takole s x z M x z 2 2 s

36 PRIMER Deimo, da želimo ugotoviti, s 5 % tvegajem, povprečo maso 21 di starih piščacev. V ta ame smo, amesto vseh piščacev, stehtali vzorec 105 piščacev i dobili frekvečo porazdelitev mas prikazao v pregledici: Masa piščacev (g) Število piščacev ad 550 do ad 580 do ad 610 do ad 640 do ad 670 do ad 700 do ad 730 do ad 760 do ad 790 do 820 5

37 Masa piščacev (g) f k x k f k x 2 k f k x k ad 550 do ad 580 do ad 610 do ad 640 do ad 670 do ad 700 do ad 730 do ad 760 do ad 790 do Skupaj x f x k k , 86 s 2 1 f k x 2 k x , ,15 s s 2 57,95 x s 1, 96 M x 1, 96 s 57,95 695,86 1,96 M ,86 57,95 1,96 105

38

39 Primer Izračuajmo 95% i 99% iterval zaupaja za povprečo oceo a kolokviju. Dai so rezultati za vzorec: 12,45,23, 67, 68,90, 34,0, 45,77.

40 Primer Z vzorcem 150 zabojev smo dobili asledje podatke: % gilega sadja število zabojev do 1 59 ad 1 do 3 43 ad 3 do 6 26 ad 6 do ad 10 do 15 5 Z 1 % tvegajem oceite povpreči procet gilega sadja v osovi možici. Pri tem predpostavite, da je stadardi odklo osove možice eak stadardemu odklou vzorca. Nalogo rešite tudi brez te predpostavke. Narišite še gorjo frekvečo porazdelitev!

41 SKLEPI Na širio itervala vpliva: -zaupaje -variabilost proučevae spremeljivke, ki jo izraža s -število eot v vzorcu Če želimo, da se širia prepolovi moramo, moramo zvečati število eot v vzorcu vsaj za 4-krat. V izrazu za odklo je izraz s Stadarda apaka ocee.

42 PARAMETRIČNI PREIZKUSI ZNAČILNOSTI Parametriči preizkusi začilosti so amejei testiraju parametričih hipotez, to je domev o vredosti ezaih parametrov statističe spremeljivke X. Na primer praviloma testiramo ičelo hipotezo H 0, ki pravi, da je parameter q=q 0, proti alterativi hipotezi H 1, ki pravi q q 0, a stopji začilosti testa α. Na osovi tega pri preizkusu začilosti ičelo hipotezo H 0 : bodisi zavremo, bodisi e zavremo.

43 V prvem primeru rečemo, da med hipotetičimi i eksperimetalimi podatki obstaja začila razlika (ali razlika je sigifikata) i hipotezo H 0 zavremo. V drugem primeru pa razlika med hipotetičimi i eksperimetalimi vredostmi i začila oz. i statističo pomemba, zato hipoteze H 0 e zavremo. Pri testu začilosti lahko aredimo samo t.i. apako prve vrste, to pomei, da smo zavrili pravilo hipotezo H 0. Verjetost za to apako je predpisaa, s stopjo začilosti α i zaša običajo 0,05 ali 0,01.

44 ZAPOMNI SI: Pri preizkusu začilosti H 0 proti H 1, ičelo hipotezo H 0 ali zavremo (torej sprejmemo H 1 ) ali o jej e odločimo!

45 PARAMETRIČNI PREIZKUSI ZNAČILNOSTI POTEKAJO VEDNO NA NASLEDNJI NAČIN: 1. Postavimo ičelo i alterativo hipotezo. Opravka imamo bodisi z dvostraskim testom H 0 (q=q 0 ) proti H 1 (q q 0 ) bodisi z eim od eostraskih testov H 0 (q=q 0 ) oz. H 0 (q q 0 ) proti H 1 (q>q 0 ), H 0 (q=q 0 ) oz. H 0 (q q 0 ) proti H 1 (q<q 0 ). 2. Izberemo stopjo začilosti testa α (običajo 0,05 ali 0,01). 3. Glede a velikost vzorca ali obravavaega problema izberemo primero testo statistiko U.

46 4. Glede a porazdelitev statistike U i parameter α določimo kritičo območje testa w 0, to je podmožica realih števil izbraa tako, da je verjetost dogodka, da ob pravili hipotezi H 0 vredost teste statistike U leži v jej, majša ali eaka α. 5. Izračuamo eksperimetalo vredost teste statistike u e. Če u e pripada w 0, potem hipotezo H 0 zavremo. Če u e w 0, potem hipoteze H 0 e zavremo.

47 KOMENTAR Če pade izračuaa vredost za testo statistiko zuaj 95% itervala, potem ičelo hipotezo pri 5% tvegaju zavremo, čeprav je gotovo, da v 5% vseh primerov eizbežo pade ve (apaka prve vrste). Kritičo območje testa

48 Zakaj e sprejmemo ičele hipoteze? Zagrešimo pa lahko še eo apako, sprejmemo ičelo hipotezo, ko je apača. Verjetost za to apako e pozamo. Tej apaki pravimo apaka druge vrste. To pomei, da drži ea od alterativih hipotez. To pomei, da aša izračuaa vredost pripada eki drugi vzorči distribuciji.

49 TESTI, KI JIH BOMO OBRAVNAVALI: Testiraje hipotetiče aritmetiče sredie (stadardi odklo populacije je za ali veliki vzorci Testiraje hipotetiče aritmetiče sredie (mali vzorci) Testiraje eakosti dveh aritmetičih sredi (eodvisi vzorci) Testiraje eakosti dveh aritmetičih sredi (odvisi vzorci) Aaliza variace. s )

50 TESTIRANJE HIPOTETIČNE ARITMETIČNE SREDINE (VELIKI VZORCI) Primer Stroj poli eko sov v stekleičke i sicer je orma 50 mg a stekleičko. Zaradi slučajih vplivov odmerki ihajo. Privzeti smemo, da so odmerki porazdeljei ormalo. Če stroj dela v skladu s predpisi, za maso odmerka velja X~N( 50mg, 5mg) Zaima as ali je M=50mg?

51 Izvedemo asledji postopek. S slučajo izbiro izberemo določeo število stekleic v kotroli vzorec. Naj bo =25. V vsaki stekleici stehtamo odmerek i dobimo vzorčo aritmetičo sredio x. Formuliramo dve hipotezi: Ničela: M=50 Alterativa:M 50 H H 0 1 : M : M M M H H Privzemimo, da pozamo stadardi odklo populacije =5.

52 Preizkušaje statističih domev izhaja iz predpostavke, da je ičela domeva pravila. Če je to res je porazdelitev vzorčih aritmetičih sredi x v kotrolih vzorcih velikosti 25 ormala, jeo 5 povprečje je 50mg, stadardi odklo pa 1. To porazdelitev imeujemo ičela porazdelitev. Za to porazdelitev velja: približo dve tretjii vzorcev velikosti 25 ima x med 49 i 51, približo 95% vzorcev ima x med 48 i 52. Če bi za določe vzorec dobili 55, bi zagotovo zavrili ičelo domevo, ker izjemo malo tvegamo, ko zavremo to hipotezo. 25

53 Vaprej določimo α, imeujemo tudi stopja začilosti. Na osovi α razdelimo vredosti za x a dve območji: Območje, kjer osovo hipotezo zavremo. Območje, kjer osovo hipotezo obdržimo. Vredost, ki razločuje obe vredosti se imeuje kritiča vredost.

54 H 0 zavremo H 0 obdržimo H 0 zavremo Kritiča vredost Za aš primer aj bo α=0,05. Kritiča vredost je z=1,96. Torej ičelo domevo obdržimo, če je x v itervalu 50 1,96 1mg. Testo statistiko z izračuamo po formuli (stadardiziraa ormala porazdelitev vzorčih aritmetičih sredi): z x M H

55 z 1,96 pri 5% tvegaju zavremo H 1 z 1,96 pri 5% tvegaju sprejmemo H 1 Primer: Poglejmo podatke iz eega kotrolega vzorca: 61,0 51,2 47,8 49,9 50,3 49,0 50,1 49,9 47,5 51,2 52,1 60,1 46,6 52,1 62,2 54,2 53,1 51,1 49,9 47,9 53,3 53,0 49,0 49,8 50,2 Upoštevajmo, da je =5mg. 51, Rezultati iso statističo začili. Ničele hipoteze e moremo zavriti. z 50 1,7

56 Sedaj pa izhajamo iz dejstva, da stadardega odkloa populacije e pozamo, kar je v bistvu bolj realističo. Če je vzorec dovolj velik, potem upoštevamo, da je i postopamo eako kot v prejšjem primeru (>100). s Pri malih vzorcih pa z-statistiko adomesti Studetova t-statistika, ki je porazdeljea po Studetovi porazdelitvi z -1 stopjami prostosti. t x M s H

57 PRIMER Za prejšji primer oceimo stadardi odklo populacije iz podatkov: s=4,026 2 x i s s , , Izračuamo testo statistiko 2 16,1979 t 51,7 50 4, ,112

58 Iz tabel odčitamo testo statistiko: t krit (24) 2,064 pri 5% tvegaju Sprejmemo alterativo hipotezo. Rezultati so statističo začili.

59 p-vredost je ajmajša stopja začilosti pri kateri še lahko zavremo ičelo hipotezo. Če je p-vredost majša od predpisae α, ičelo domevo zavremo.

60 Semeara zagotavlja, da je kalivost semea 95 %. Z vzorcem velikosti 100 eot smo dobili povprečo kalivost 94 %. Variaca populacije zaša 16. Preverite z 1 % tvegajem, če je trditev semeare pravila!

61 Oglejmo si primer, ko želimo ugotoviti ali imajo v hlevu s piščaci pasme Hubbard po 21 deh vzreje povprečo maso 687 gramov, kot jo za to starost avaja selektor

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

PODATKI, FREKVENČNE PORAZDELITVE IN NJIHOV OPIS: MERE SREDNJE VREDNOSTI IN RAZPRŠENOSTI

PODATKI, FREKVENČNE PORAZDELITVE IN NJIHOV OPIS: MERE SREDNJE VREDNOSTI IN RAZPRŠENOSTI PODATKI, FREKVENČNE PORAZDELITVE IN NJIHOV OPIS: MERE SREDNJE VREDNOSTI IN RAZPRŠENOSTI. KAKO NAREDIMO FREKVENČNO PORAZDELITEV Recimo, da so am a razpolago podatki (pr. število prijateljev, s katerimi

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

2.5. SKLEPANJA TESTIRANJE HIPOTEZ

2.5. SKLEPANJA TESTIRANJE HIPOTEZ .5. SKLEPANJA TESTIRANJE HIPOTEZ S tatitičim klepajem ugotavljamo, kakše o latoti populacije ali vzorca. Primeri: I. V zadjih 0 deetletjih je bilo a bovškem število glavih potreih ukov: 5 5 5 5 3 3 3 Ali

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

2. Pogreški pri merjenju in merilna negotovost

2. Pogreški pri merjenju in merilna negotovost . Pogreški pri merjeju i merila egotovost Kljub objektivosti merilega postopka e dobimo prave vredosti veličie. Vzroki: učiki vplivih veliči, epopolost merilih metod, epopolost merilih aprav, M - Opravka

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

Statistika II z računalniško analizo podatkov

Statistika II z računalniško analizo podatkov 3/8/ Statitika II z račuališko aalizo podatkov Preverjaje doev o aritetičih rediah: t teti VII Preverjaje doev o aritetičih rediah. Poovitev iz predeta Statitika i adgradja. Preverjaje doev o aritetiči

Διαβάστε περισσότερα

Osnove sklepne statistike

Osnove sklepne statistike Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Vaja 1: Računanje z napakami

Vaja 1: Računanje z napakami Vaja : Račuaje z apakami Matej Bažec 9. oktober 25 Povzetek Spozali bomo osove račuaja z apakami. Obovili bomo zaje o absolutih i relativih apakah, smiselosti zapisa decimalih mest i pravila račuaja z

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 5.. 999. Izračuaje kompoee ampliudega spekra podaega periodičega sigala! Kolikša je osova frekveca ega sigala? Tabeliraje prvih šes ampliud! -,,,,3,4,5 - [ms]. Izračuaje Fourierjev rasform podaega

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V MARIBORU. Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede. Jože Nemec STATISTIKA OBRAZCI IN TABELE

UNIVERZA V MARIBORU. Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede. Jože Nemec STATISTIKA OBRAZCI IN TABELE UIVERZA V ARIBORU Faulteta za metjstvo osstemse vede Jože emec STATISTIKA OBRAZCI I TABELE aror, 009 Jože emec - Statsta Orazc taele Uverza v aroru Faulteta za metjstvo osstemse vede Stroova recezeta Dr.

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena. Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Multivariatna analiza variance

Multivariatna analiza variance (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti med več odvisnimi (številskimi) in več neodvisnimi (opisnimi) spremenljivkami. (MANOVA) MANOVA je multivariatna metoda za proučevanje odvisnosti

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

3.2.1 Homogena linearna diferencialna enačba II. reda

3.2.1 Homogena linearna diferencialna enačba II. reda 3 Homogea lieara difereciala eačba II reda V slošem se homogee lieare difereciale eačbe drugega reda e da rešiti v aljučei oblii vedar a se da v rimeru o oamo eo artiularo rešitev itegracijo dobiti drugo

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

Polgrupe i grupe (1) Razišči strukturo asledjih grupoidov: (a) S = R za operacijo x y = x + y + xy, { [ ] 1 x (b) S = 0 1 x R za operacijo možeje matrik, (c) S = R 3 za operacijo vektorski produkt, (d)

Διαβάστε περισσότερα

S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T

S programom SPSS se, glede na število ur, ne bomo ukvarjali. Na izpitu so zastavljena neka vprašanja, zraven pa dobimo računalniški izpis izračunov. T 2. predavanje RVM Kvantitativne metode Borut Kodrič, Koper 21.5.2010 Ključ za dostop do e-učilnice: RMD2009 Tekom srečanj bodo zadeve osvežene v smislu, da bodo okleščene. Morda bo dodan še kak rešen primer.

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant. Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

Multivariabilna logistična regresija s ponovitvijo linearne regresije

Multivariabilna logistična regresija s ponovitvijo linearne regresije Multivariabila logističa regresija s oovitvijo lieare regresije doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialo farmacijo Uiverza v Ljubljai- Fakulteta za farmacijo Aaliza ovezaosti Regresija: Statističa

Διαβάστε περισσότερα

Reševanje sistema linearnih

Reševanje sistema linearnih Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje

Διαβάστε περισσότερα

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013 Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova 10. januar 2013 Osnove biometrije 2012/13 1 Postavitev in preizku²anje hipotez Hipoteze zastavimo najprej ob na rtovanju preizkusa Ob obdelavi jih morda malo popravimo

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

1. Določitev vsebine in namena statističnega proučevanja; opredelitev predmeta opazovanja (enote in populacije) in vsebine opazovanja (spremenljivk)

1. Določitev vsebine in namena statističnega proučevanja; opredelitev predmeta opazovanja (enote in populacije) in vsebine opazovanja (spremenljivk) STATISTIKA je veda, ki proučuje ožiče pojave i se ukvarja z zbiraje, predstavitvijo, aalizo i iterpretacijo podatkov. EOTA je posaezi proučevai eleet (redi študet a Uiverzi v Lj v študijske letu 994/95)

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

NEPARAMETRIČNI TESTI Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak NEPARAMETRIČNI TESTI 5.3.011 Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak Slabosti parametričnih preizkusov: -stroge predpostavke (predpostavka o normalni porazdelitvi) -veliko računanja -težave, če spremenljivke niso

Διαβάστε περισσότερα

TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE

TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE //0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti

Διαβάστε περισσότερα

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23. Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,

Διαβάστε περισσότερα

Algebraične strukture

Algebraične strukture Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice

Διαβάστε περισσότερα

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk

1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk .3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za

Διαβάστε περισσότερα

Kvantni delec na potencialnem skoku

Kvantni delec na potencialnem skoku Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

Kombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april

Kombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012

Διαβάστε περισσότερα

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center. Izpitna pola

Državni izpitni center. Izpitna pola Š i f r a k a d i d a t a : Državi izpiti ceter *P43C0* ZIMSKI IZPITNI ROK Izpita pola Dovoljeo gradivo i pripomočki: Kadidat priese alivo pero ali kemiči svičik, svičik, radirko, umeričo žepo račualo

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.

Διαβάστε περισσότερα

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,

Διαβάστε περισσότερα

PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE

PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE Iferecijala statistika je skup postupaka kojima se a osovi rezultata iz uzorka doose zaključci o populaciji. INFERENCIJALNA STATISTIKA Procjee parametara Testiraje hipoteza

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Lastne vrednosti in lastni vektorji Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,

Διαβάστε περισσότερα

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk ) VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]

Διαβάστε περισσότερα

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov

Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov A. Jurišić in V. Batagelj: Verjetnostni račun in statistika 45 Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov O zaporedju neodvisnih poskusov X 1, X 2,, X n, govorimo tedaj, ko so verjetnosti izidov v enem

Διαβάστε περισσότερα

Osnove statistike. Drago Bokal Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru. 1.

Osnove statistike. Drago Bokal Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru. 1. Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru 1. marec 2010 Obvestila. http://um.fnm.uni-mb.si/ Prosojnice se lahko spremenijo v tednu po predavanjih.

Διαβάστε περισσότερα

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo

Statistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki

Διαβάστε περισσότερα

Uporabna matematika za naravoslovce

Uporabna matematika za naravoslovce Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in

Διαβάστε περισσότερα

Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi

Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi Nekateri primeri sklopov izpitnih vprašanj pri predmetu Naključni pojavi 1. Izpeljite Binomsko porazdelitev in pokažite kako pridemo iz nje do Poissonove porazdelitve? 2. Kako opišemo naključne lastnosti

Διαβάστε περισσότερα