2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

Transcript

1 Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri la problemele fiale. 3. Mulţimi deschise, mulţimi îchise, mulţimi compacte î spaţii metrice(defiiţie şi exemple). 4. Spaţii metrice complete(defiiţie şi exemple).pricipiul cotracţiei (euţ şi demostraţie)... DEFINIŢIE. EXEMPLE Fie X o mulţime evidă dată. Se spue că pe mulţimea X s-a defiit o distaţă (metrică) dacă s-a defiit o aplicaţie d: X x X R care verifică următoarele axiome (proprietăţi): (D) d (x, y) 0 oricare ar fi x, y X şi d (x, y) = 0 x = y (D) (D3) d (x, y) = d (y, x) petru orice x, y X d (x, z) d (x, y) + d (y, z) petru orice x, y, z X Perechea (X, d) se umeşte spaţiu metric iar d (x, y) se umeşte distaţa ditre x şi y. Axioma (D) este, de fapt, proprietatea de eegativitate a distaţei ditre două pucte, (D) exprimă simetria distaţei d iar (D3) este iegalitatea triughiului. Dacă X şi defiim aplicaţia d: X x X R pri d (x, y) = 0 x = y şi d (x, y) = x y atuci (X, d) devie u spaţiu metric. Desigur, acest exemplu este trivial, de vreme ce petru orice puct x y avem aceeaşi distaţă ître ele. Exemple de importaţă deosebită sut următoarele: Exemplul. Să cosiderăm X = R şi d (x, y) = x - y. Dacă ţiem seama de proprietaţile fucţiei f (x) = x atuci rezultă că (R, d) este u spaţiu metric. Exemplul. Mulţimea C a umerelor complexe este u spaţiu metric, dacă petru orice două umere complexe z = x + iy şi z = x + iy defiim: dz (, z) = z z = ( x x) + ( y y). [ ]

2 0 Exemplu 3. Pe aceaşi mulţime se pot defii mai multe metrici, deci putem costrui mai multe spaţii metrice avâd aceeaşi mulţime de pucte. Astfel, dacă petru orice două umere complexe z, z cosiderăm d ( z z ) = max, obţiem spaţiul metric ( C,d ). { x y x y}, = Exemplu 4. Fie X = R x R x x R, atuci, dacă petru orice două pucte ( ) ( ) x= x, x,..., x, y= y, y,..., y di R defiim: () dxy (, ) = ( xi yi) i= ( R, d) devie u spaţiu metric. Să demostrăm iegalitatea (axioma) triughiului î acest caz. Iegalitatea (D3) se scrie î acest caz sub forma: () ( xk zk) ( xk yk) + ( yk zk) k = k = k = ude x, y sut cele de mai sus iar z = ( z, z,..., z ). Dacă otăm xk yk = ak şi yk zk = bk atuci () se scrie sub forma: (3) ( ak + bk) a k + b k, k k k = = = de ude pri ridicare la pătrat obţiem: (4) akbk ak bk k = k = k = Petru a demostra iegalitatea (4) observăm că petru orice λ R avem: ( ak + λbk) 0, care se mai scrie sub forma: k = (5) λ λ bk + akbk + ak 0 petru orice λ R, ceea ce este k = k = k = echivalet cu faptul că discrimiatul triomului de gradul doi î λ di (5) este egativ, de ude rezultă iegalitatea (4), care este, de fapt, u caz particular al iegalitaţii lui H. A. Schwartz (843-9). Exemplul 5. U caz particular importat de spaţii metrice îl costituie spaţiile vectoriale ormate. Fie K corpul umerelor reale R sau complexe C. Spuem despre o mulţime X evidă, ale cărei elemetele le umim vectori sau pucte că este u spaţiu vectorial (liiar) peste corpul K dacă sut defiite două operaţii,

3 ua iteră: (6) X x X (x, y) a x + y X şi alta exteră: (7) K x X (α, x) a α x X, astfel îcât petru orice x, y, z di X şi α, β K sut satisfăcute axiomele: (L) x + y = y + x (l) x + (y + z) = (x + y) + z (L3) există θ X : θ + x = x + θ = x (L4) petru orice x X, există x (-x) X: x + x = x + x = 0 (L5) (α + β) x = α x + β x (L6) α (x + y) = α x + α y (L7) (α β) x = α (β x) (L8) x = x, ude este elemetul uitate di corpul K. O aplicaţie : X K se umeşte ormă pe spaţiul liiar ( X, +,)/ Kdacă petru orice x, y X şi α K sut verificate axiomele: (N) x 0 şi x = 0 x = θ (N) α x = α x (N3) x + y x + y Perechea (X, ), ude X este u spaţiu liiar iar aplicaţia este o ormă se umeşte spaţiu liiar ormat, acesta se umeşte real sau complex după cum K = R sau K = C. Dacă cosiderăm X = R şi x = x atuci (R, ) devie u spaţiu vectorial ormat. De asemeea dacă cosiderăm X = R cu operaţiile: x+ y = ( x, x, K, x) + ( y, y, K, y) = = ( x+ y, x + y, K, x + y ) αx = α( x, x, K, x) = ( αx, αx, K, αx) şi cu orma x = x i atuci ( R, ) devie u spaţiu liiar ormat. i= Fie acum (X, ) u spaţiu vectorial ormat. Cu ajutorul ormei putem defii aplicaţia d : X x X R, pri d (x, y) = x - y. Se verifică uşor că d este o metrică şi deci (X, d) a deveit u spaţiu metric cu metrica defiită cu ajutorul ormei. Defiiţi ce este o metrică.daţi exemplu de o metrică. Defiiţi ce este u spaţiu metric, u spaţiu ormat. Daţi exemplu de u spaţiu metric, de u spaţiu ormat. Euţaţi şi demostraţi iegalităţile lui Cauchy-Schwarz-Buiakovski.

4 .. MULŢIMI DESCHISE, MULŢIMI ÎNCHISE ÎN SPAŢII METRICE. VECINĂTĂŢI Fie ( X, d ) u spaţiu metric, pri sfera deschisă de rază r > 0, cu cetrul î x 0 îţelegem mulţimea: () Sx ( 0, r) = { xx : Xdx, ( 0, x) < r} iar pri sfera îchisă de rază r > 0 şi cu cetrul î x 0 îţelegem mulţimea de pucte di X defiită pri: { } () Sx ( 0, r) = xx : Xdx, ( 0, x) r. Dacă cosiderăm X = R şi dxy (, ) = x y atuci sferele deschise di R vor fi itervale deschise di R, iar sferele îchise di R vor fi itervale îchise di R. Mai exact î acest caz avem: (3) Sx (, r) = ( x rx, + r) ; Sx0, r = x0 rx, 0 + r. (4) ( ) [ ] Dacă cosiderăm X = R şi ( ) ( x y dxy ) + ( x y, = ) x ( x, x ) şi y ( y, y ), atuci sfera deschisă de cetru x ( a b), ude = = 0 =, şi rază r > 0 va fi mulţimea puctelor di iteriorul discului pla cu cetrul î x 0 şi de rază r, iar sfera îchisă va coţie atât puctele sferei deschise cât şi ale circumferiţei. Despre o submulţime A X a spaţiului metric (X, d) spuem că este 0,, ude x 0 este u puct fixat di X. O mulţime D X se umeşte deschisă dacă petru orice x D se poate determia u r > 0 astfel îcât S(x, r) D. Fie acum u puct x X şi V X, spuem că V este o veciătate a puctului x dacă există o submulţime deschisă a lui X, astfel îcât să avem x D V sau echivalet, există o sferă deschisă S(x, r) astfel îcât x S(x, r) V. Di cele de mai sus rezultă că o mulţime deschisă este veciătate a fiecărui puct al său. mărgiită dacă există o sferă Sx ( 0, r) cu r > 0 astfel ca A S( x r) Dacă A X şi (X, d) este u spaţiu metric, atuci despre u puct x X spuem că este u puct limită sau u puct aderet al mulţimii A dacă petru orice sferă S(x, r) cu r > 0, S(x, r) A, adică î orice sferă deschisă cu cetrul î puctul x se găsesc pucte ale mulţimii A. Mulţimea puctelor aderete mulţimii A se otează de obicei cu A. Fie (X, d) u spaţiu metric, să otăm cu D familia submulţimilor deschise di acest spaţiu metric. (5) D = {D : D X şi D este o mulţime deschisă} Commet: Commet:

5 3 Atuci se verifică că familia de mulţimi D are următoarele proprietăţi: (6) φ, X D; (7) Dacă { D i } i D, atuci I D i D ; i= (8) Dacă { D } α D, ude I este o familie arbitrară de idici, atuci: α I U Dα D. α I Proprietăţile (7) şi (8) arată că pritr-o itersecţie fiită şi pritr-o reuiue arbitrară de mullţimi deschise se obţi tot mulţimi deschise. Următorul exemplu arată că itersecţia uei familii ifiite de mulţimi deschise u este îtotdeaua o mulţime deschisă. Aşa se îtîmplă dacă cosiderăm X = R, d =, D =, şi = { } I, 0,, sut mulţimi = deschise iar {0} u este o mulţime deschisă. Spaţiile metrice costituie o clasă importată de spaţii topologice. Acestea sut defiite pe baza oţiuii de mulţime deschisă sau echivalet de veciătate, care î cazul spaţiilor metrice au fost itroduse cu ajutorul metricii d a uui spaţiu metric (X, d). Fie X şi D P (X) (D este o familie de parţi ale lui X). Spuem că perechea (X, D) este u spaţiu topologic dacă sut verificate axiomele (6), (7) şi (8). O submulţime D X se umeşte deschisă dacă D D, o submulţime C X se umeşte îchisă dacă CXC D. Se costată acum uşor că, dacă (X, d) este u spaţiu metric şi D este familia mulţimilor deschise, atuci (X, D) devie u spaţiu topologic. Î cotiuare e vom referi la spaţiile metrice, deoarece cosiderăm că acestea permit o formulare suficiet de cuprizătoare a problemelor ce vor fi studiate şi cosiderăm mai aproape de problemele practice oţiuea de distaţă decât cea de veciătate, deşi ultima este mai geerală. Fie (X, d) u spaţiu metric şi x X, vom ota cu V x familia tuturor veciătăţilor puctului x. Pricipalele proprietăţi ale lui V x sut date pri: Propoziţia. (9) Dacă V V x atuci x V; (0) Dacă V V x şi V V atuci V V x ; () Dacă { V i } i V x atuci I V i V x ; i= () Dacă V V x, atuci există W V x astfel îcât V V y petru orice y W; (3) Dacă x y, atuci există V V x şi V V y astfel îcât V V =.

6 4 Proprietatea dată pri (3) este caracteristică spaţiilor topologice separate care se mai umesc şi spaţii topologice Hausdorff. Ea afirmă că orice spaţiu metric este u spaţiu topologic separat (Hausdorff). Să demostrăm această ultimă proprietate (3). Dacă x y rezultă d(x, y) 0, mai exact d(x, y) > 0. Fie acum dxy (, ) 0 < rk <, k =,, atuci putem cosidera Vx = S( x, r ) şi Vy = S( y, r ) şi vom avea Vx Vy =. Î caz cotrar, existeţa uui z Vx Vy atrage după sie (, ) (, ) (, ) dxy dxz + dyz < r + r < r, ceea ce cotrazice d(x, y) = r. Îtr-u spaţiu metric (X, d), care poate fi cosiderat şi u spaţiu topologic şi deci î care defiim mulţimile îchise ca fiid complemetarele mulţimilor deschise date pri familia D are loc: Propoziţia. O mulţime A X este o mulţime îchisă dacă şi umai dacă A = A. Fie D X. Pri iteriorul mulţimii D îţelegem reuiuea tuturor mulţimilor deschise icluse î D, deci it D este la râdul ei o mulţime deschisă. Propoziţia 3. Îtr-u spaţiu metric (X, d), o mulţime D X este deschisă dacă şi umai dacă D =itd, deci mulţimile deschise sut formate umai di pucte iterioare. Mulţimea A = A - it A se umeşte frotiera lui A iar C x A = ext A se umeşte exteriorul mulţimii A. De exemplu, dacă A = (a, b], orice puct di (a, b) va fi puct iterior al lui A, A = [a, b], ita = (a, b) şi deci A = {a, b}, dacă A = (a, b) ( c, d) R, atuci A = [a, b] [c, d], ita = A şi deci A coicide cu mulţimea puctelor de pe laturile dreptughiului A, ce justifică deumirea de mulţime frotieră. Defiiţi mulţimile deschise şi mulţimile îchise î spaţii metrice. Daţi exemple. Defiiţi veciătatea uui puct. Daţi exemple. Defiiţi poziţia uui puct faţă de o mulţime îtr-u spaţiu topologic..3. MULŢIMI COMPACTE. SPAŢII METRICE COMPLETE PRINCIPIUL CONTRACŢIEI O parte îsemată a teoriei şirurilor umerice poate fi extisă la orice spaţiu metric (X, d). Pritr-u şir de pucte ditr-u spaţiu metric îţelegem o

7 5 aplicaţie f : N X, f () = x, de obicei otăm această corespodeţă pri ( x ). N Defiiţia. Spuem că şirul ( x ) X coverge la x X, î spaţiul metric N (X, d) sau î metrica d, dacă lim dx (, x) = 0. Covergeţa de mai sus este echivaletă cu: petru orice ε > 0 există N(ε) N astfel îcât dx ( x), <ε petru orice N(ε). Iegalitatea triughiului asigură uicitatea limitei x a uui şir { } x coverget îtr-u spaţiu metric. Îtr-adevăr existeţa a două limite diferite x y atrage după sie faptul că: (, ) (, ) (, ) dxy dxx + dyx < ε+ ε = ε 0, petru orice ε>0, aceasta îseamă că d(x, y) = 0 şi deci x = y, ceea ce itră î cotradicţie cu x y. U şir { x } di (X, d) se umeşte şir fudametal sau şir Cauchy N dacă petru orice ε > 0 există N(ε) N astfel îcât dx (, x ) <ε, petru orice, m m N(ε). Iegalitatea triughiului: () dx (, xm) dx (, x) + dxx (, m) arată că orice şir coverget este u şir fudametal. Reciproca acestei afirmaţii, î geeral, este falsă. Defiiţia. U spaţiu metric (X, d) î care orice şir fudametal este u şir coverget se umeşte spaţiu metric complet. Altfel spus, u spaţiu metric este complet dacă orice şir cu proprietatea că, petru orice ε > 0 există N(ε) N astfel îcât dx ( x ), m <ε petru orice,m N(ε), este u şir coverget la u puct x di spaţiul metric (X, d). Propoziţia. Spaţiul metric ( R,d e ), ude d e = (metrica euclidiaă) este u spaţiu metric complet. Îtr-adevăr fie { x } u şir Cauchy de umere reale, cum î afara N iegalităţii x xm < ε, m N(ε) rămâ u umăr fiit de termei rezultă că şirul { } x N şi deci orice subşir al său, este u şir mărgiit. { } { } Fie x = if x : N( ε ) şi x = sup x: N ( ε ), rezultă că avem:

8 6 x - x ε. Cum ε > 0 poate fi făcut oricât de mic rezultă că x = x şi petru orice N (ε) x x < ε petru orice N (ε) şi x = x = x, deci { x } N coverge la x. Fie acum spaţiul metric ( R k, de ), d e fiid metrica euclidiaă pe R k şi ( x ), x ( x x x =,,..., k ) u şir de elemete di R k. Atuci pe baza şirului de iegalităţi: i i i i k i i k i i () x xm = ( x xm ) ( x xm ) x xm i= i= rezultă că şirul ( ) R k, de dacă şi umai dacă x este u şir fudametal î ( ) i şirurile coordoatelor ( x ) i k Cum (R, ) este u spaţiu metric complet, rezultă că şi spaţiul ( R k de ) spaţiu metric complet. La fel se justifică şi completitudiea spaţiului ( C k de ), sut şiruri fudametale de umere reale., este u,. Dacă cosiderăm spaţiul metric ( Q, d), d( x, y) = x y, acesta u este u spaţiu metric complet. Petru spaţiile metrice icomplete există o teoremă de completare care afirmă că orice spaţiu metric icomplet ( Xd, ) poate fi extis la,, asfel că d X = d (restricţia lui d la X X coicide cu d). U mod de a defii spaţiul umerelor reale este aceela de a- Q,d. u spaţiu metric complet ( Xd) ( X X) l cosidera ca fiid extiderea completă a spaţiului ( ) Fie acum (X, d) u spaţiu metric şi A X, ( d ) A, d A = este deasemeea u spaţiu metric, umit subspaţiu a lui (X, d). Deci orice submulţime a lui X poate fi cosiderată u spaţiu metric. Defiiţia 3. Mulţimea A X se umeşte compactă pri şiruri dacă di orice şir ( x ) A se poate extrage u subşir coverget la u puct x di A. Spuem că mulţimea A este relativ compactă dacă îchiderea ei A este compactă. Teorema. Dacă (X, d) este u spaţiu metric şi A este o submulţime compactă pri şiruri a lui X, atuci A este îchisă şi mărgiită. Dacă X = R sau X = C cu metricile euclidiee cosiderate aterior ( d e ), atuci are loc:

9 7 Teorema. (Bolzao - Weierstrass) Dacă A este o submulţime di R sau C, atuci A este compactă pri şiruri dacă şi umai dacă A este îchisă şi mărgiită. Ca exemplu, să cosiderăm (R, ) şi A = [0, ), A u este compactă pri şiruri, deoarece petru x =, x, dar A este relativ compactă deoarece + A = [ 0, ] este îchisă şi mărgiită. Următoarea teoremă stabileşte o legătură ître mulţimile compacte şi subspaţiile metrice complete. Teorema 3. Orice submulţime compactă pri şiruri A di spaţiu metric (X, d) este u spaţiu metric complet, adică (A, d/a) este u spaţiu metric complet (pri d/a îţelegem restricţia aplicaţiei d : X x X R la submulţimea A x A). Demostraţie: Fie( x ) u şir fudametal di (A, d) cum A este compactă pri şiruri va exista subşirul ( x ) N(ε) N astfel îcât petru orice ( ) (3) dx ( k, x) < ε şi dx ( x), < ε k, atuci avem : dxx (, ) dxx (, ) dx (, ε ε + x k k ) < + = ε, coverget la u puct x A. Fie ε > 0 şi k k k, N ε petru orice N(ε), deci ( x ) este coverget la x A, ceea ce arată că (X, d) este u spaţiu metric complet. Defiiţia 4. Fie (X, d) u spaţiu metric. O familie fiită sau u de submulţimi deschise ale lui X, { G i } se umeşte acoperire deschisă a submulţimii A i I X dacă A U G i. i I Defiiţia 5. Mulţimea A se umeşte compactă pri acoperiri deschise dacă di orice acoperire cu mulţimi deschise a lui A se poate extrage o acoperire fiită. Teorema 4. (Heie - Borel) O submulţime di R ( C ) este compactă pri acoperiri deschise dacă şi umai dacă este îchisă şi mărgiită. Teoremele şi 4 R C compacitatea pri acoperiri arată că î cazul spaţiilor fiit dimesioale ( ) deschise şi compacitatea pri şiruri sut echivalete (se implică ua pe cealaltă) ceea ce face posibilă utilizarea termeului simplu de compacitate î acest caz.

10 8 PRINCIPIUL CONTRACŢIEI Vom presupue că (X, d) este u spaţiu metric complet. O aplicaţie f : X X se umeşte cotracţie, dacă există o costată c [0, ) astfel îcât: () d (f (x), f (y)) c d (x, y), x, y X Geometric, codiţia () arată că distaţa ditre elemetele f (x), f (y) este mai mică decât distaţa ditre x şi y. Dacă există u puct x X astfel îcât: () f (x) = x, atuci x se umeşte puct fix al aplicaţiei f. Priicipiul cotracţiei este o formulare abstractă a metodei aproximatiilor succesive, datorată lui E. Picard (856-94). Prezetarea geerală următoare este datorată lui St. Baach (89-945). Teorema. Orice cotracţie a uui spaţiu metric complet (X, d) î el îsuşi admite u puct fix uic. Demostraţie: Vom arăta mai îtâi uicitatea puctului fix. Presupuem că x 0 şi y 0, x 0 y 0 sut pucte fixe ale cotracţiei f. Atuci: d ( x 0, y 0 ) = d (f ( x 0 ), 0, 0 = 0, ceea ce este posibil umai dacă x 0 = y 0. Petru a arăta existeţa puctului fix al cotracţiei f vom costrui şirul aproximaţiilor succesive: f ( y 0 )) c d ( x 0, y 0 ) sau d ( x 0, y 0 ) (-c) 0, de ude avem dx ( y ) (3) x = f( x0) x = f( x) K x+ = f( x) î mod arbitrar î X. Să otăm δ = dx ( x),,,, K, ude x 0 este u puct fixat (, ) ( ( ), ( 0) ) (, 0) ( 3, ) ( ( ), ( ) ) (, ) 0, şi să observăm că: dx x = dfx fx cdx x = c δ dx x = dfx fx cdx x c δ (4) dx ( +, x) dfx ( ( ), fx ( ) ) cdx (, x ) K c δ Fie acum, p, atuci aplicâd succesiv iegalitatea triughiului avem: dx ( + p, x) dx (, x+ ) dx ( +, x+ ) K dx ( + p, x+ p) + + p p (5) c δ+ c δ+ L+ c δ = c δ ( + c+ L+ c ) p p c δ( + c+ K+ c + c + K) p+ p p p c Dar + c+ L+ c + c + L= ( + c+ L+ c ) = = Di (5) avem că: lim lim c. p p c

11 9 c +, δ c Cum c [0, ) lim (6) dx ( p x) ( p x) c = 0, deci există N(ε) N astfel îcât dx +, < ε petru orice N(ε), ceea ce arată că şirul ( x ) este u şir 0 fudametal, cum (X, d) este u spaţiu metric complet rezultă că şirul ( x ) 0 este coverget la u puct ξ di spaţiul X. Vom arăta că ξ este u puct fix al cotracţiei f. dfx ( ( ), f( ξ) ) c dx (, ξ), cum ( ) coverge la ξ rezultă că x 0 { } { dx (,ξ)} coverge la 0, deci şi dfx ( ( ) f( ) ) 0, ξ 0 ce arată că lim fx ( ) = f( ξ ). Î acelaşi timp lim ( ) va coverge la 0, ceea fx = = lim x+ = ξ, di cele două egalităţi de mai sus avem că f( ξ) = ξ, adică ξ = lim x este u puct fix al cotracţiei f şi teorema este complet demostrată. Dacă î relaţia (6) trecem la limită petru p tizâd la ifiit rezultă: c (7) dx (, ξ) ( ) c dx, x 0, care reprezită o evaluare a erorii absolute comise î cazul î care aproximăm puctul fix ξ pri x (aproximaţia succesivă de ordiul ). Relaţia (7) stă la baza uor metode de aproximare cu aplicaţii multiple. Î această idee vom prezeta următorul exemplu: Exemplul. Să se calculeze cu o precizie de 0 4 uica rădăciă reală a ecuaţiei: 3 (8) x + x = 0. Utilizâd şirul lui Rolle rezultă că există o sigură rădăciă reală a ecuaţiei date şi aceasta este situată î itervalul [0, ]. Ecuaţia (8) se mai poate scrie sub forma: (9) f(x) = x cu fx ( ) =. x + Î acest caz aplicâd teorema lui Lagrage, avem: fx ( ) fy ( ) c x ypetru orice x, y [0, ], x ude c = sup f ( x) = sup = x [ 0,] x 0, 69. x + [ ] ( ) Dacă luăm x0 = 0 atuci x = f( 0) = şi δ = x x0 =.

12 30 Aplicâd (7) determiăm N miim astfel că : (, x) dx0 c 4 69 < 0, adică c <0 4. c 67 Se găseşte =, deci aproximarea: 44 ξ x = f( x) = = x 0, este făcută cu o eroare mai mică decât0 4.

13 3 Probleme fiale :. Fie î R fucţia d : R x R R defiită pri d(x,y) = x i y i, ude x = (x,x,,x ) şi y = (y,y,,y ). Se cere: a) Să se arate că d este o metrică pe R. b) Î cazul = 3 să se calculeze distaţa ditre puctele x = (,3,) şi y = (-4,5,) î această metrică şi să se compare cu distaţa euclideaă ditre aceleaşi pucte.. Fie aplicaţia : R R, defiită pri x = max{ x, x,, x }, ude x = (x,x,,x ). Se cere: a) Să se verifice că este o ormă pe R. b) Să se determie metrica idusă de această ormă. 3. Fie X o mulţime evidă şi fucţia d : X x X R, defiită pri 0, x = y d(x,y) =. Se cere:, x y a) Să se sratecă d este o metrică pe X. b) Să se precizeze cie sut S(x,r), S(x, r) petru diferite valori ale razei r. 4. Fie X = {a,b,c,d} o mulţime formată di patru elemete. a) Să se precizeze care di următoarele clase de submulţimi ale lui X este o topologie pe X: T = {X,φ,{a},{b},{a,c},{a,b,d}} şi T = {X,φ,{b},{a,b},{b,c},{a,b,c}}. b) Să se găsească clasa mulţimilor îchise î spaţiul topologic (X,T ). 5. Fie spaţiul R cu topologia uzuală. Să se găsească î acest spaţiu topologic următoarele mulţimi : (3,4) {5}. i = E o, E,ext E, Fr E, E', ude E = [,] 6. Fie a, a,,a R. Să se arate că dacă ai ( ) ai atuci a i > 0 i,. 7. Folosid metrica de la Exerciţiul să se studieze dacă mulţimile A = { (x,y) R x = y, y 0} şi B = {(x,y) R 4x + y } sut mărgiite î spaţiul metric (R,d). 8. Precizaţi dacă mulţimea A = { z C : z-i < } este o mulţime compactă. 9. Folosid pricipiul cotracţiei să se rezolve î R, cu aproximaţie 0-3 ecuaţia 3x + e -x =. i = i =

14 3