Curs 2 Şiruri de numere reale

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Curs 2 Şiruri de numere reale"

Transcript

1 Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014

2 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale convergent la x R. Atunci, pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât x n x < ε pentru orice n n ε. În particular, pentru ε = 1 există n 1 astfel încât x n x < 1 pentru orice n n 1. Rezultă că x n x n x + x < 1 + x, pentru orice n n 1. Fie M = max { x 0, x 1,..., x n1 1, 1 + x }. Atunci avem x n M, pentru orice n N, adică şirul (x n ) n 0 este mărginit.

3 Corolar Orice şir nemărginit este divergent. Exemplu Şirul x n = n, n 0, este divergent întrucât nu este mărginit inferior. Observaţie Reciproca teoremei nu este adevărată. Există şiruri mărginite, care nu sunt convergente. De exemplu, şirul x n = ( 1) n, n 0, este mărginit, dar nu este convergent.

4 Criterii de existenţă a limitei unui şir Teoremă. (Criteriul majorării) Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi x R. Dacă există un şir (α n ) n de numere reale pozitive convergent la zero astfel încât atunci x n x. Demonstraţie x n x α n, pentru orice n N, (1) Fie ε > 0 arbitrar fixat. Deoarece α n 0, există n ε N astfel încât pentru orice n n ε să avem α n < ε. Dar atunci, din (1) avem că x n x < ε pentru orice n n ε, adică x n x.

5 Exemplu Fie şirul x n = cos n, n 1. Avem n cos n cos n 0 = 1, pentru orice n 1. n n n Cum lim lim 1 cos n n = 0, conform Criteriului majorării, rezultă că n = 0.

6 Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Dacă există un şir (a n ) n 0 cu lim a n = + şi x n a n, pentru orice n N, atunci lim x n = +. (ii) Dacă există un şir (b n ) n 0 cu lim b n = şi b n x n, pentru orice n N, atunci lim x n =. Exemplu Fie şirul x n = n + ( 1) n, n 0. Are loc inegalitatea: x n n 1, pentru orice n 0. Cum lim (n 1) = +, rezultă că şi lim x n = +.

7 Teoremă (operaţii cu şiruri convergente) Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri convergente, x n x, y n y. Atunci: (i) (x n + y n ) n 0 este convergent şi x n + y n x + y; (ii) pentru orice λ R, (λx n ) n 0 este convergent şi λx n λx; (iii) (x n y n ) n 0 este convergent şi x n y n xy; ( ) 1 (iv) dacă x n 0 pentru orice n N şi x 0, atunci 1 este convergent şi 1 x n x ; (v) ( x n ) n 0 este convergent şi x n x. x n n 0

8 Corolar Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri convergente, x n x, y n y. Atunci: (i) (x n y n ) n 0 este convergent şi x n y n x y; ( ) xn (ii) dacă y n 0 pentru orice n N şi y 0, atunci este convergent şi x n y n x y. y n n 0

9 Propoziţie Fie (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 două şiruri de numere reale, (x n ) n 0 convergent la zero şi (y n ) n 0 mărginit. Atunci Demonstraţie lim x ny n = 0. Fie M > 0 astfel încât y n M, pentru orice n N. Atunci avem x n y n = x n y n M x n, care tinde la zero întrucât x n tinde la zero. Din Criteriul majorării rezultă că x n y n 0. Exemplu sin n lim = 0. n

10 Teoremă (operaţii cu şiruri cu limita + sau ) Fie (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 două şiruri de numere reale. (i) Dacă x n + şi y n y, unde y R\ { }, atunci x n + y n +. (ii) Dacă x n şi y n y, unde y R\ {+ }, atunci x n + y n. (iii) Dacă x n + şi y n y, unde y R, y > 0, atunci x n y n +. (iv) Dacă x n + şi y n y, unde y R, y < 0, atunci x n y n.

11 Observaţie Dacă x n + şi y n, în general nu se poate spune nimic despre şirul (x n + y n ) n 0. De asemenea, dacă x n + şi y n 0, în general nu se poate spune nimic despre şirul (x n y n ) n 0. Le vom considera cazuri exceptate.

12 Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. 1 (i) Dacă x n + sau x n, atunci 0. x n (ii) Dacă x n 0 şi x n > 0 (respectiv x n < 0 ) de la un rang 1 încolo, atunci + (respectiv 1 ). x n x n Exemplu lim 1 = 0, pentru orice k 1. nk

13 Observaţie Dacă lim x n = lim y n = 0 sau lim x n = lim y n =, nu putem să ne pronunţăm asupra naturii şirului x n y n. Cazurile 0 0 şi se numesc cazuri exceptate.

14 Teoremă (trecerea la limită în inegalităţi) Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0 două şiruri de numere reale, cu proprietăţile: (i) x n y n, pentru orice n N, (ii) x n x R şi y n y R. Atunci x y. Observaţie Dacă între termenii celor două şiruri (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 are loc inegalitatea strictă x n < y n, pentru orice n N, atunci, prin trecere la limită, putem obţine egalitate. De exemplu, şirurile x n = 1 şi y n = n, n 1, satisfac inegalitatea strictă x n < y n, pentru orice n N, dar lim x n = lim y n = 1.

15 Teoremă (de convergenţă a şirurilor monotone) (i) Orice şir crescător şi mărginit superior este convergent. (ii) Orice şir descrescător şi mărginit inferior este convergent. Pe scurt, orice şir monoton şi mărginit este convergent. Observaţie (i) Un şir crescător şi mărginit converge la marginea lui superioară. (ii) Un şir descrescător şi mărginit converge la marginea lui inferioară.

16 Exemplu Şirul x n = 2n + 1, n 1, este mărginit (deoarece 0 x n 3, n pentru orice n 1) şi monoton crescător (deoarece x n+1 x n 0. n 1), deci este şir convergent. Se verifică imediat că x n 2. Exemplu Şirul x n = , n 1, este strict crescător n2 (întrucât 1 x n+1 x n = > 0, n 1) 2 (n + 1) şi mărginit superior (deoarece 1 k 2 < 1 k (k 1) = 1 k 1 1, k 2, deci k ( ) ( ) ( )

17 Exemplu Fie (x n ) n 0 : x n+1 = x n 2, x 0 = 1. Prin inducţie matematică se 1 + x n demonstrează că x n > 0, pentru orice n N, deci (x n ) n 0 este mărginit inferior. Avem x n+1 x n = x n 1 + x n < 1, deci x n+1 < x n, adică (x n ) n 0 este descrescător. Deci, şirul (x n ) n 0 este convergent şi există lim x n = x R. Atunci, trecând la limită în relaţia de recurenţă, avem x = x 2, de unde obţinem că x = x

18 Observaţie Există şiruri convergente care nu sunt monotone. De exemplu, şirul x n = ( 1)n, n 1, converge la 0, dar nu e monoton (luând n alternativ atât valori pozitive, cât şi negative).

19 Teoremă (i) Dacă (x n ) n 0 este un şir crescător, nemărginit, atunci lim x n = +. (ii) Dacă (x n ) n 0 este un şir descrescător, nemărginit, atunci lim x n =. Corolar Orice şir monoton de numere reale are limită (finită sau nu). Dacă şirul este mărginit, limita sa este finită, dacă şirul este nemărginit, limita sa este infinită.

20 Orice şir convergent este mărginit, iar reciproca nu este adevărată. Totuşi are loc următoarea afirmaţie mai slabă decât reciproca: Teoremă (Lema lui Cesàro) Orice şir mărginit de numere reale conţine un subşir convergent.

21 Pentru şirurile nemărginite are loc următorul rezultat: Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Dacă (x n ) n 0 este nemărginit superior, atunci el conţine un subşir cu limita +. (ii) Dacă (x n ) n 0 este nemărginit inferior, atunci el conţine un subşir cu limita. Corolar Din orice şir de numere reale se poate extrage un subşir cu limită. Dacă şirul este mărginit se poate extrage un subşir convergent.

22 "Teorema cleştelui" Fie (x n ) n 0, (y n ) n 0, (z n ) n 0 trei şiruri de numere reale, cu proprietăţile: (i) x n y n z n, pentru orice n N, (ii) lim x n = lim z n = a R. Atunci există lim y n = a. Corolar Dacă 0 x n a n, pentru orice n N, şi a n 0, atunci x n 0. Exemplu Şirul x n = 1 2 n are limita 0, pentru că n 1, pentru orice n n 1 şi 1 n 0.

23 Exemplu Fie şirul cu termenul general x n = 1 n n n 2 + n, n 1. Atunci avem n n 2 + n x n n n 2 + 1, n 1, iar lim n n 2 + n = lim n n = 1, deci lim x n = 1.

24 Teoremă (Criteriul lui Stolz-Cesàro) Fie două şiruri (x n ) n 0 şi (y n ) n 0 astfel încât (y n ) n 0 este strict monoton şi nemărginit. Dacă există limita x n+1 x n lim = l R, y n+1 y n x n atunci există şi limita lim şi este egală cu l, adică y n x n lim = l. y n

25 Exerciţiu Să se arate că ln n lim n = 0. Soluţie. Fie x n = ln n şi y n = n, n 1. Observăm că (y n ) n 1 este strict monoton şi nemărginit. Calculăm limita x n+1 x n ln (n + 1) ln n lim = lim = lim ln n + 1 = 0. y n+1 y n n + 1 n n Prin urmare, conform Criteriului lui Stolz-Cesàro, există limita x n = 0. y n lim

26 Exerciţiu Fie şirul (a n ) n 1 cu limita a. Arătaţi că şirul mediilor aritmetice b n = a 1 + a a n n are limita a. Soluţie. Fie x n = a 1 + a a n şi y n = n, n 1. Aplicând Criteriul lui Stolz-Cesàro şirului b n = x n y n, obţinem lim b x n+1 x n n = lim y n+1 y n a 1 + a a n + a n+1 (a 1 + a a n ) = lim n + 1 n = lim a n+1 = a.

27 Teoremă (Criteriul lui Cauchy-D Alembert) Fie şirul (x n ) n 0 cu x n > 0, pentru orice n N. Presupunem că există limita x n+1 lim = l. x n Atunci există şi limita lim n x n şi este egală cu l. Demonstraţie Fie a n = n x n = (x n ) 1 n, n 1. Atunci, ln a n = 1 n ln x n = ln x n n. Aplicăm Criteriul lui Stolz-Cesàro: lim ln a ln x n+1 ln x n n = lim n + 1 n = lim ln x n+1 x n = ln l.

28 Exerciţiu Fie şirul cu termeni strict pozitivi (a n ) n 1 cu limita a. Arătaţi că lim n a1 a 2...a n = a. Soluţie. Aplicăm Criteriul lui Cauchy-D Alembert pentru şirul Avem x n = a 1 a 2...a n, n 1. x n+1 lim x n prin urmare şi lim n a 1 a 2...a n = a. = lim a n+1 = a,

29 Exerciţiu Să se arate că lim n n = 1. Soluţie. Fie x n = n, n 1. Deoarece x n+1 lim x n n + 1 = lim = 1, n conform Criteriului lui Cauchy-D Alembert, rezultă că lim n n = 1.

30 Exerciţiu Să se arate că lim n a = 1, pentru orice a > 0. Soluţie. Fie x n = a, n 1. Deoarece x n+1 lim x n a = lim a = 1, conform Criteriului lui Cauchy-D Alembert, rezultă că lim n a = 1.

31 Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Spunem că (x n ) n 0 este şir fundamental sau şir Cauchy dacă: pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, pentru orice m, n n ε, să avem x m x n < ε. Presupunând, fără a restrânge generalitatea, că m n, putem scrie m = n + p, cu p N. Atunci, Definiţia 31 se poate scrie sub forma echivalentă: Definiţie Spunem că (x n ) n 0 este şir fundamental sau şir Cauchy dacă: pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât, pentru orice n n ε şi orice p N, să avem x n+p x n < ε. Intuitiv, într-un şir Cauchy, toţi termenii şirului sunt apropiaţi unul de celălalt de la un rang încolo.

32 Teoremă Orice şir Cauchy este mărginit. Demonstraţie Conform definiţiei, pentru ε = 1, există n 1 N astfel încât, pentru orice n, m n 1, avem x n x m < 1. În particular, x n x n1 < 1. Rezultă că x n x n x n1 + x n1 < 1 + x n1, pentru orice n n 1. Fie M = max{ x 0, x 1,..., x n1 1, 1 + x n1 }. Atunci, pentru orice n N, x n M, deci şirul (x n ) n 0 este mărginit.

33 Teoremă Un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy. Exerciţiu Să se arate că şirul x n = n 2, n 1, este şir Cauchy, deci convergent. Soluţie. Fie x n+p = n (n + 1) (n + p) 2, unde p N. Avem

34 x n+p x n = 1 (n + 1) (n + p) 2 1 n (n + 1) (n + p 1) (n + p) = 1 n 1 n n n n + p 1 1 n + p = 1 n 1 n + p 1 n.

35 1 Dar cum lim n = 0, rezultă că pentru orice ε > 0 există n ε N astfel încât 1 n < ε, pentru orice n n ε. Revenind la inegalitatea de mai sus, pentru orice n n ε şi p N, avem x n+p x n 1 n < ε, adică (x n ) n 1 este şir Cauchy, deci este convergent.

36 Exerciţiu Să se arate că şirul x n = n, n 1. nu este şir Cauchy, deci nu este convergent. Soluţie. Avem x n+p x n = > 1 n n n + p p n + p > 1 2, dacă p > n. Prin urmare, oricare ar fi rangul n există p N astfel încât x n+p x n > 1 2, adică şirul (x n) n 0 nu este şir Cauchy, deci este un şir divergent.

37 Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Definiţie Numim mulţimea punctelor limită ale şirului (x n ) n 0 mulţimea formată din toate limitele în R ale subşirurilor lui (x n ) n 0. Vom nota cu A această mulţime, deci { A = x R; există (x nk ) k 0 subşir al lui (x n ) n 0 cu lim x nk k } = x. Observaţie Mulţimea A este nevidă. Într-adevăr, dacă (x n ) n 0 este mărginit, conform Lemei lui Cesàro, el conţine un subşir convergent; fie l limita sa. Atunci, l A. Dacă (x n ) n 0 este nemărginit superior, atunci + A, iar dacă (x n ) n 0 este nemărginit inferior, atunci A.

38 Exemplu Fie şirul x n = ( 1) n, n 0. Mulţimea punctelor sale limită este A = { 1, 1}. Observaţie Există şiruri care au o infinitate de puncte limită. Este cazul şirului 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4,..., 0, 1, 2, 3,..., n,... Orice număr natural este punct limită al acestui şir, deoarece, oricare ar fi p N, există un subşir constant ai cărui termeni sunt egali cu p. De asemenea, + este punct limită al şirului, pentru că şirul numerelor naturale este un subşir al acestui şir.

39 Observaţie Dacă şirul (x n ) n 0 are limita l, finită sau nu, atunci l A, un subşir convergent la l fiind chiar şirul (x n ) n 0. Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi A mulţimea punctelor sale limită. Atunci şirul (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă A este formată dintr-un singur element.

40 Observaţie Se demonstrează că pentru orice şir (x n ) n 0 există un cel mai mic punct limită (finit sau infinit) şi un cel mai mare punct limită (finit sau infinit). Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. (i) Numim limită superioară a şirului (x n ) n 0, notată lim sup sau lim x n, cel mai mare punct limită al şirului (x n ) n 0. (ii) Numim limită inferioară a şirului (x n ) n 0, notată lim inf lim x n cel mai mic punct limită al şirului (x n ) n 0. x n x n sau

41 Notând cu A mulţimea punctelor limită ale şirului (x n ) n 0, avem: lim sup x n = max A, lim inf n = min A. Observaţie Este clar că lim inf x n lim sup x n.

42 Exerciţiu Să se determine limitele superioară şi inferioară ale şirului x n = cos nπ 2, n 0. Soluţie. Observăm că x 4k = cos 4kπ 2 = cos 2kπ = 1, k N, deci lim k x 4k = 1, ( ) 4kπ + π x 4k+1 = cos 2 = cos π 2 ( = cos 2kπ + π ) 2 = 0, k N, deci lim k x 4k+1 = 0,

43 x 4k+2 = ( ) 4kπ + 2π cos = cos (2kπ + π) 2 = cos π = 1, k N, deci lim x 4k+2 = 1, k ( ) 4kπ + 3π x 4k+3 = cos 2 ( = cos 2kπ + 3π 2 ) = cos 3π 2 = 0, k N, deci lim k x 4k+3 = 0. Prin urmare, A = { 1, 0, 1}. Rezultă că lim inf x n = 1, iar lim sup x n = 1.

44 Exerciţiu Să se determine limitele superioară şi inferioară ale şirului Soluţie. Observăm că x n = ( 1) n+1 n ( 1)n, n 0. x 2k = 2k, k N, deci lim x 2k =, k x 2k+1 = 1, k N, deci 2k + 1 lim 2k+1 0. k Prin urmare, A = {, 0}. Rezultă că lim inf x n =, iar lim sup x n = 0.

45 Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Atunci (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă lim inf x n = lim sup x n. În această situaţie, Demonstraţie lim x n = lim inf x n = lim sup x n. Şirul (x n ) n 0 are limită dacă şi numai dacă mulţimea A a punctelor sale limită conţine un singur element, ceea ce înseamnă că min A = max A.

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014 If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10

1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10 Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice 9 1.1 Şiruri numerice în R şi C.... 9 1.2 Proprietăţi ale şirurilorconvergente.... 10 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3.... 15 1.4 Serii numerice în R şi C.... 17 1.5

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 Cuprins II. Analiză matematică 7 Şiruri şi serii numerice 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 9 Calcul integral pentru funcţii de o variabilă reală 6 Funcţii de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Teorema lui Peano de existenţă

Teorema lui Peano de existenţă Universitatea Alexandru Ioan Cuza Lucrare de licenţă Teorema lui Peano de existenţă locală Student: Cosmin Burtea Coordonator ştiinţific: Prof. Ioan I.Vrabie 2 Prefaţă Lucrarea de faţă tratează problema

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE MIHAI TURINICI MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE Partea II: Programare neliniară şi dinamică Casa de Editură VENUS Iaşi 1999 Cuprins 4 Complemente de analiză 1 4.1 Structuri de convergenţă pe spaţii

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy). TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74

7.1 Exerciţii rezolvate Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri Întrebări de autoevaluare... 74 MC. 5 AUTOEVALUARE Cuprins MC. Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor 5. Exerciţii rezolvate............................................ 5. Exerciţii propuse cu indicaţii şi răspunsuri...............................

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2)

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2) Numere Fibonacci Problema iepurilor Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii

Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Integrale generalizate (improprii)

Integrale generalizate (improprii) Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi

Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα