ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN
|
|
- Μίδας Παυλόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN Ι. Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες 1. Διαφορίσιμες πολλαπλότητες και απεικονίσεις 2. Ο εφαπτόμενος χώρος και η εφαπτομένη δέσμη 3. Υποπολλαπλότητες 4. Διανυσματικά πεδία και παράγωγος Lie 5. Ολοκλήρωση διανυσματικών πεδίων και ροές ΙΙ. Συνοχές σε πολλαπλότητες 1. Γραμμικές συνοχές 2. Γεωδαισιακές και η εκθετική απεικόνιση ΙΙΙ. Πολλαπλότητες Riemann 1. Μετρικές Riemann 2. Η συνοχή Levi-Civita 3. Γεωδαισιακές και κανονικοί χάρτες σε πολλαπλότητες Riemann 4. Οι γεωδαισιακές στους χώρους μοντέλα IV. Γεωμετρία και απόσταση 1. Απόσταση και τοπολογία σε μια πολλαπλότητα Riemann 2. Πληρότητα και το θεώρημα Hopf-Rinow 3. Ισομετρίες και το θεώρημα Myers-Steenrod V. Καμπυλότητα 1. Ο τανυστής καμπυλότητας 2. Καμπυλότητα τομής και καμπυλότητα Ricci 3. Riemannian submersions και οι τύποι του O Neil 4. Η δεύτερη ταυτότητα του Bianchi, του θεώρημα του Schur και οι πολλαπλότητες Einstein VI. Γεωμετρία και Τοπολογία 1. Η διαφορική εξίσωση του Jacobi 2. Συζυγή σημεία και το θεώρημα Cartan-Hadamard-Kobayashi 3. Χώροι σταθερής καμπυλότητας τομής και κατάταξη 4.Ημεταβολήτουσυναρτησοειδούςτουμήκουςκαιοτύποςτου Synge 5. Το θεώρημα Bonnet-Myers 6. Διανυσματικά πεδία Killing Ενδεικτική Βιβλιογραφία 1. M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, I. Chavel, Riemannian Geometry: A modern introduction, Camb. Univ. Press J. Dupont, Differential Geometry, Aarhus University Lecture Notes S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, 3rd Edition, Springer S. Kobayashi and K. Nomizu, The foundations of differential geometry, Wiley Δ. Κουτρουφιώτη, Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 1994.
2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN 1. Διαφορίσιμες πολλαπλότητες Οι διαφορίσιμες πολλαπλότητες εμφανίστηκαν στα Μαθηματικά ως καμπύλες και επιφάνειες στον 3-διάστατο χώρο κατά τον 18ο αιώνα, οπότε για την μελέτη τους χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά η Αναλυτική Γεωμετρία και ο Απειροστικός Λογισμός συναρτήσεων δύο και τριών μεταβλητών. Ενα από τα περίεργα των πρώτων σταδίων ήταν οτι οι μαθηματικοί δεν αισθάνονταν την ανάγκη να δώσουν τον ορισμό της έννοιας«επιφάνεια». Οι επιφάνειες θεωρούνταν γεωμετρικά αντικείμενα, που απλώς υπήρχαν και έπρεπε να μελετηθούν αναλυτικά και να περιγραφούν. Ο Euler προσπάθησε να εξηγήσει, πως μία επιφάνεια καθορίζει την εξίσωσή της. Από τα γραφόμενά του αφήνει να εννοηθεί οτι θέλει οι επιφάνειες τοπικά να είναι γραφήματα συναρτήσεων δύο μεταβλητών, αλλά δεν αφήνει ελεύθερη την δυνατότητα η εξαρτημένη μεταβλητή να μην καθορίζεται μονοσήμαντα από τις ανεξάρτητες μεταβλητές. Ενας πρώτος ορισμός της έννοιας επιφάνεια δόθηκε από τον Euler το Το 1771 έδωσε έναν δεύτερο χρησιμοποιώντας παραμετρήσεις. Με σημερινούς όρους ο ορισμός αυτός αντιστοιχεί σε ένα προς ένα λείες συναρτήσεις του 2-διάστατου στον 3-διάστατο χώρο. Στατέλητου18ουαιώναοG. Mongeχρησιμοποίησεεξισώσειςτηςμορφής F(x,y,z) = 0 για την παράσταση επιφανειών. Η μελέτη ήταν πάλι επικεντρωμένη σε τοπικές ιδιότητες. Η άποψηαυτήδενάλλαξεμέχριτατέλητου19ουαιώναμετηνεμφάνισητουh. Poincaré.Μέχρι τότεόμωςυπήρξανδύομεγάλοισταθμοί.οπρώτοςήτανηεργασίατου C.F. Gaussγύρωστα 1832, που έδειξε οτι υπάρχει ένα μέτρο της καμπύλωσης μίας επιφάνειας, που σήμερα λέγεται καμπυλότητα Gauss, το οποίο εξαρτάται μόνον από τον τρόπο με τον οποίο μετρώνται τα μήκη τωνλείωνκαμπύλωνπάνωστηνεπιφάνειακαιόχιαπότοντρόπομετονοποίοηεπιφάνεια είναι τοποθετημένη μέσα στον περιβάλλοντα χώρο. Αυτή η παρατήρηση της ύπαρξης της «εσωτερικής γεωμετρίας» μίας επιφάνειας, που είναι ανεξάρτητη από την μορφή της στον περιβάλλοντα 3-διάστατο χώρο οδήγησε στην έννοια της αφηρημένης επιφάνειας. Αυτό έγινε πιο καθαρό από τον B. Riemann το 1854, που όρισε τις αφηρημένες n-διάστατες επιφάνειες και εξήγησε τι σημαίνει μήκος καμπύλης σε μια τέτοια επιφάνεια. Αυτό που εισήγαγε ο Riemann δεν ήταν ο γενικός ορισμός της πολλαπλότητας, αλλά αυτό που σήμερα αποκαλούμε χάρτη με μια μετρική Riemann. Πάντως με τον Riemann έγινε το μεγάλο βήμα, αφού τα αντικείμενα που όρισε δεν βρίσκονταν μέσα σε κανέναν χώρο. Ο σύγχρονος ορισμός της έννοιας«διαφορίσιμη πολλαπλότητα» δόθηκε ουσιαστικά από τον H. Poincaréτο1895,οπότεγιαπρώτηφοράγίνεταιξεκάθαρηηολικήυφήτηςέννοιας. Οορισμόςτου Poincaré,ανκαιαναφέρεταισευποσύνολακάποιουχώρου R n,δίνεταιμέσω χαρτών με την συνθήκη για την τάξη του ιακωβιανού πίνακα της αλλαγής τοπικών συντεταγμένων να αναφέρεται ρητά. Επίσης θεωρεί αντίστροφες εικόνες κανονικών τιμών λείων συναρτήσεων(ορισμός του Monge) και δείχνει οτι δεν είναι όλες οι πολλαπλότητες αυτής της μορφής. Ο Poincaré επιπλέον κατασκεύασε διαφορίσιμες 3-πολλαπλότητες ως χώρους πηλίκα στερεών πολυέδρων με κατάλληλη ταύτιση των εδρών τους. Ο Poincaré μελέτησε τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες από την άποψη της(αλγεβρικής) τοπολογίας, ως επιφάνειες Riemann, αλλά και ως χώρους φάσεων Δυναμικών Συστημάτων. Στα 30 χρόνια που ακολούθησαν ο ορισμός του Poincaré δεν άλλαξε επί της ουσίας. Ο πρώτος αφηρημένος ορισμός χωρίς αναφορά σε περιβαλλοντα χώρο δόθηκε από τους O. Veblen και J.H.C. Whitehead μέσα από ένα μάλλον άβολο σύνολο αξιωμάτων. Στην σημερινή του μορφή ο ορισμός οφείλεται στους P. Alexandroff, H. Hopf και H. Whitney. Μάλιστα ο Whitney απέδειξε το 1936 οτι ο αφηρημένος ορισμός είναι ισοδύναμος με τον ορισμό του Poincaré.
3 2. Πολλαπλότητες Riemann Μια λεία καμπύλη σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα M είναι μια λεία συνάρτηση γ : [0,1] M.Οπωςφαίνεται,δενυπάρχειτίποταστονορισμόπουναμαςδίνειτηνδυνατότητα ναμετρήσουμετομήκοςτης γ.προχωρόνταςπιοπέρα,ανέχουμεδύοκαμπύλες γ 1, γ 2 στην M,πουτέμνονταισ ένασημείο γ 1 (t) = γ 2 (s),πωςείναιδυνατόνναμετρήσουμετηνγωνία πουσχηματίζουνστοσημείοαυτό; Αν M = R n,τότεόπωςξέρουμεαπότοναπειροστικό Λογισμό,τομήκοςτης γείναι L(γ) = 1 0 γ(t) dt. Επίσηςηγωνίατων γ 1, γ 2 σ αυτήντηνπερίπτωσηβρίσκεταιαπότηνισότητα cosθ = γ 1(t), γ 2 (s) γ 1 (t) γ 2 (s). Παρατηρούμε οτι και στις δύο περιπτώσεις αυτό που χρειαζόμαστε μόνον είναι η ύπαρξη του εσωτερικού γινομένου για διανύσματα με το ίδιο σημείο εφαρμογής. Μία μετρική Riemann σε μιαδιαφορίσιμηπολλαπλότητα Mείναιμιαοικογένεια g = {, p : p M},όπουτο, p είναι έναεσωτερικόγινόμενοστονεφαπτόμενοχώρο T p M,πουεξαρτάταικατάλείοτρόποαπότο p. Πρέπει να σημειωθεί οτι μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα δέχεται πολλές μετρικές Riemann. Γιαπαράδειγμα,στο R 2 έχουμετηνευκλείδειαμετρικήriemann x,y p = x 1 y 1 +x 2 y 2 καιτην μετρική Riemann x,y p = x 1 y 1 +e 2p 1 x 2 y 2,όπου x = (x 1,x 2 ), y = (y 1,y 2 )και p = (p 1,p 2 ), που δίνει ένα μοντέλο για την υπερβολική γεωμετρία. Αυτός ο διαχωρισμός των δομών, οτι δηλαδή ο τρόπος μέτρησης των μηκών είναι μια επιπλέον δομή, πέρα από την διαφορική/τοπολογική δομή, έγινε για πρώτη φορά από τον Riemann στο δεύτερο μέρος της ομιλίας του επί υφηγεσία το 1854, που δημοσιεύτηκε το Ο Riemann απέδωσε την σύγχηση σχετικά με το 5ο αίτημα του Ευκλείδη στην λανθασμένη πεποίθεση, που υπήρχε μέχρι τότε, οτι το επίπεδο δέχεται μια μοναδική γεωμετρία, την ευκλείδεια. Ο Riemann έδειξε οτι πολλές γεωμετρίες υπάρχουν και σε χώρους με μεγαλύτερη διάσταση, συμπεραίνοντας οτι η Γεωμετρία, που έχει ως αντικείμενο μελέτης τον χώρο, πρέπει να έχει στενή σχέση με την φυσική εμπειρία. Η κατεύθυνση αυτή ακολουθήθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα από τους Einstein και Minkowski. Επιστρέφονταςστιςκαμπύλες,στηνευκλείδειαγεωμετρίατουR n οιευθείεςείναιοικαμπύλες με το ελάχιστο μήκος. Θέλοντας να γενικεύσουμε την έννοια της ευθείας σε πολλαπλότητες Riemann, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε εκείνες τις καμπύλες που τουλάχιστον τοπικά ελαχιστοποιούν το μήκος. Ενας τέτοιος ορισμός είναι δύσχρηστος. Ετσι χρησιμοποιούμε την άλλη χαρακτηριστική ιδιότητα, οτι οι ευθείες είναι οι καμπύλες με μηδενική επιτάχυνση. Βέβαια πρέπει πρώτα να δούμε πως ορίζεται η επιτάχυνση ανεξάρτητα από τοπικές συντεταγμένες. Η ταχύτητα μιας λείας καμπύλης γ είναι ένα εφαπτόμενο διανυσματικό πεδίο κατά μήκοςτης γ. Δηλαδή γ(t) T γ(t) M γιακάθε 0 t 1. Ηεπιτάχυνσηλείωνκαμπύλων στον R n είναιηπαράγωγοςτηςταχύτητας. Ομωςπωςμπορούμεναορίσουμετηνεπιτάχυνσηωςπαράγωγοτηςταχύτητας,όταντα γ(t) T γ(t) M και γ(s) T γ(s) M βρίσκονταισε διαφορετικούς διανυσματικούς χώρους και δεν έχει έννοια η διαφορά τους; Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο συνοχής των εφαπτομένων χώρων σε κοντινά σημεία της πολλαπλότητας. Ετσι ερχόμαστε φυσιολογικά στην έννοια της συνοχής, που είναι ένας τρόπος παραγώγισης διανυσματικών πεδίων κατά την διεύθυνση εφαπτόμενων διανυσμάτων και στην συνακόλουθη έννοια της παράλληλης μεταφοράς διανυσμάτων κατά μήκος καμπύλων. Μια γραμμική συνοχή σε μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα M είναι μια διγραμμική α- πεικόνιση : X(M) X(M) X(M)μετις ιδιότητες(α) fx Y = f X Y και(β)
4 x (fy) = f X Y + X(f)Y, για κάθε λεία συνάρτηση f : M R. Η λέγεται συμμετρική, όταν X Y Y X = [X,Y], γιακάθε X, Y X(M). Αντώρα γ είναι μια λεία καμπύλη, τότε η επιτάχυνσή της είναι το καλά ορισμένο, όπως αποδεικνύεται, διανυσματικό πεδίο γ γ κατά μήκος της γ. Η γ λέγεται γεωδαισιακή, αν γ γ = 0. Επίσης για κάθε λεία καμπύλη γ ορίζεται η παράλληλη μεταφορά εφαπτομένων διανυσμάτων κατά μήκος της, που είναι ένας γραμμικός ισομορφισμός T γ(t) M T γ(s) M. Σε μια πολλαπλότητα Riemann υπάρχουν πολλές γραμμικές συνοχές. Συμβιβάζονται όμως με την μετρική Riemann μόνον εκείνες, των οποίων οι παραλληλες μεταφορές είναι ισομετρίες. Θεμελιώδες Θεώρημα της Γεωμετρίας Riemann. Σε κάθε πολλαπλότητα Riemann υπάρχει μια μοναδική συμμετρική, γραμμική συνοχή, οι παράλληλες μεταφορές της οποίας είναι ισομετρίες. Η συνοχή αυτή λέγεται συνοχή Levi-Civita. 3. Καμπυλότητα Στόχος της θεωρίας των πολλαπλοτήτων Riemann είναι η κατάταξή τους. Δυο πολλαπλότητες Riemann M, Nλέγονταιισομετρικές,ανυπάρχειμιαισομετρία h : M N,δηλαδήη hείναιαμφιδιαφόρισηκαιηπαράγωγος Dh(p) : T p M T h(p) Nείναιγραμμικήισομετρίαγια κάθε p M,ωςπροςταδεδομέναεσωτερικάγινόμεναπουέχουμεαπότιςαντίστοιχεςμετρικές Riemann. Πολύ εύκολα βλέπουμε οτι οι ισομετρίες διατηρούν τις συνοχές Levi-Civita. Δηλαδή η συνοχή Levi-Civita είναι εσωτερικό συστατικό της δομής Riemann. Το πρώτο βήμα στην κατεύθυνση της κατάταξης είναι η κατασκευή αναλλοιώτων, που εξασφαλίζουν κατ αρχήν έστω τοπική ισομετρία. Ενα τέτοιο τοπικό αναλλοίωτο είναι η καμπυλότητα. Πρέπει να σημειωθεί, οτι στα πλαίσια της Γεωμετρίας Riemann το ερώτημα της ύπαρξης και κατασκευής τοπικών αναλλοιώτων είναι μη τετριμένο, σε αντίθεση με άλλου είδους δομές που φέρονται από διαφορίσιμες πολλαπλότητες, όπως για παράδειγμα η συμπλεκτική δομή, που δεν έχει τοπικά αναλλοίωτα. Η καμπυλότητα Riemann μιας πολλαπλότητας Riemann M με συνοχή Levi-Civita είναι ηαπεικόνιση R : X(M) X(M) X(M) X(M)μετύπο R(X,Y)Z = X Y Z Y X Z [X,Y] Z. Απ αυτήνορίζεταιοτανυστήςκαμπυλότητας Riemann R(X,Y,Z,W) = R(X,Y)Z,W.Η καμπυλότητα διατηρείται από τις τοπικές ισομετρίες. Μάλιστα R = 0 τότε και μόνον τότε όταν η M είναι τοπικά ισομετρική με τον ευκλείδειο χώρο. Με άλλα λόγια, η καμπυλότητα είναι εκείνο που εμποδίζει μια πολλαπλότητα Riemann από το να είναι τοπικά ισομετρική με τον ευκλείδειο χώρο. Ηκαμπυλότηταμπορείναερμηνευθείμέσααπότηνκαμπυλότητατομής.Εστω p Mκαι Eένας2-διάστατοςγραμμικόςυπόχωροςτου T p M.Αν {X,Y}είναιμιαβάσητου E,τότεη ποσότητα R(X,Y)Y,X K p (E) = X 2 Y 2 X,Y 2 δενεξαρτάταιαπότηνβάση, αλλάμόνοναπότον E καιλέγεταικαμπυλότητατομήςτης M στο p ως προς E. Αποδεικνύεται οτι ο τανυστής καμπυλότητας καθορίζεται πλήρως από τις καμπυλότητες τομής. Αν θεωρήσουμε όλες τις γεωδαισιακές, που διέρχονται από το pτωνοποίωνηταχύτηταβρίσκεταιστον E,τότεαυτέςπολύκοντάστο pδιαγράφουν μίαεπιφάνεια. Απότο Theorema Egregiumτου Gauss,ηκαμπυλότητατομής K p (E)είναι ακριβώς η καμπυλότητα Gauss της επιφάνειας αυτής στο σημείο p.
5 4. Γεωμετρία και Τοπολογία Η δυνατότητα να μετράμε τα μήκη των λείων καμπύλων σε μια πολλαπλότητα Riemann M μας επιτρέπει να ορίσουμε την απόσταση δύο σημείων ως προς την δεδομένη μετρική Riemann, ότανηmείναισυνεκτική.συγκεκριμένα,αν p, q M,τότε d(p,q) = inf{l(γ) : η γείναικατάτμήματαλείακαμπύληαπότο pστο q}. Η dορίζειτηνίδιατοπολογίαπουυπάρχειήδηστην M.Εναπρωταρχικόερώτημαείναιπότε η dείναιπλήρης. Θεώρημα. (Hopf-Rinow) Η απόσταση Riemann είναι πλήρης τότε και μόνον τότε όταν κάθε μέγιστη γεωδαισιακή ορίζεται σ ολόκληρο το R. Ειναι φανερή η διαπλοκή γεωμετρίας και τοπολογίας, αφού η καθαρά τοπολογική ιδιότητα της πληρότητας είναι ισοδύναμη με την καθαρά γεωμετρική ιδιότητα της επέκτασης των γεωδαισιακών σ ολόκληρο το R. Μια ιδιαίτερα σημαντική πρόταση που αποδεικνύεται στην πορεία προς το Θεώρημα Hopf-Rinow είναι το γεγονός οτι μια λεία καμπύλη με ελάχιστο μήκος πρέπει αναγκαστικά να είναι γεωδαισιακή και αντίστροφα οι γεωδαισιακές τοπικά ελαχιστοποιούν το μήκος. Το πρώτο ίσως σπουδαίο αποτέλεσμα εύρεσης ολικών τοπολογικών ιδιοτήτων μιας πολλαπλότητας Riemann από τοπικές γεωμετρικές ιδιότητες είναι το ακόλουθο. Θεώρημα. (Cartan-Hadamard) Εστω M μια πλήρης, συνεκτική πολλαπλότητα Riemann μεδιάσταση n. Ανόλες οικαμπυλότητεςτομής σε κάθεσημείοείναιμηθετικές, τότε ο καθολικός χώροςεπικάλυψηςτης M είναι αμφιδιαφορίσιμος με τον R n. Συνεπώς, οι ανώτερεςομάδεςομοτοπίας π k (M), k 2,είναιτετριμένες. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να διαβαστεί και προς την αντίθετη κατεύθυνση, όπου οι τοπολογικές ιδιότητες μιας πολλαπλότητας θέτουν περιορισμούς στις γεωμετρίες Riemann πουδέχεται. Ετσιανκάποιααπότιςανώτερεςομάδεςομοτοπίας π k (M), k 2,είναιμη τετριμένη, τότε η διαφορίσιμη πολλαπλότητα M δεν δέχεται δομή Riemann με παντού μη θετική καμπυλότητα τομής. Μια ακόμα πρόταση της υφής του Θεωρήματος Cartan-Hadamard είναι η ακόλουθη. Θεώρημα.(Bonnet-Myers) Εστω M μια πλήρης, συνεκτική n-πολλαπλότητα Riemann, της οποίαςηκαμπυλότητα Ricciείναιμεγαλύτερηήίσηαπό (n 1)/r 2,γιακάποιο r > 0.Τότεη Mείναισυμπαγής,ηπρώτηομάδαομοτοπίας π 1 (M)είναιπεπερασμένηκαι diam(m) πr.
Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II
Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Σσναλλοίωτη παράγωγος και παράλληλη μεταφορά Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 17 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραX u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v
Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία
33 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Ο εφαπτόμενος χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 33 34 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II
Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Επαναληπτικά θέματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών x Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΑς ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα
33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.
Διαβάστε περισσότεραΗμερολόγιο μαθήματος
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο
Διαβάστε περισσότερα1 Georg Friedrich Bernhard Riemann.
Κεφάλαιο 6 Καμπυλότητα Σύνοψη Το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της γεωμετρίας Riemann είναι η καμπυλότητα. Παρουσιάζουμε σε σύγχρονη γλώσσα τον ιστορικό ορισμό της καμπυλότητας τομής που έδωσε ο Riemann.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Διαβάστε περισσότεραX r (M) = X (M) X (M),
Κεφάλαιο 5 Πολλαπλότητες Riemann Σύνοψη Αρχικά κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή σε ένα σημαντικό εργαλείο της γεωμετρίας Riemann, τα τανυστικά πεδία. Στη συνέχεια εισάγουμε την έννοια της μετρικής Riemann
Διαβάστε περισσότεραΟ αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1
Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη
Διαβάστε περισσότερα1 C k 1 = 1 C 2 sin 2 t, k 2 =
Κεφάλαιο 11 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss Σύνοψη Παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη την ταξινόμηση των επιφανειών του R 3 με σταθερή καμπυλότητα Gauss, θετική, μηδέν, ή αρνητική. Εξετάζουμε χωριστά
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3
11 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Πανεπιστήμιο Αθηνών 31 Μαΐου Ιουνίου 013 ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3 Δρ. Δεληβός Ιωάννης Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1 1. ΣΧΕΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.
Διαβάστε περισσότερα= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).
Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012
Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II
Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Γεωδαιζιακές καμπύλες Όνομα Καθηγηηή: Ανδρέας Αρβανιηογεώργος Τμήμα: Μαθημαηικών 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].
Κεφάλαιο 8 Συναλλοίωτη παράγωγος και παραλληλία Σύνοψη Ορίζουμε την έννοια του διανυσματικού πεδίου σε μια επιφάνεια και τη συναλλοίωτη παράγωγο αυτού κατά μήκος μιας λείας καμπύλης. Ενα διανυσματικό πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία
48 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Καμπσλότητα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 48 49 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II
Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II Ενότητα: Το Θεώρημα Gauss - Bonnet Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 39 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραX v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)
Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του
Διαβάστε περισσότεραΒιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός
ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ANAΛΥΣΗ Ι 1) Πραγματικοί και φυσικοί αριθμοί -Αξιώματα του συνόλου R των πραγματικών αριθμών -Τέλεια Επαγωγή 2) Ακολουθίες -Ορια ακολουθιών -Κριτήρια σύγκλισης -Ακολουθίες Cauchy
Διαβάστε περισσότεραT M = T p U = v p = c i
Κεφάλαιο 4 Διανυσματικά πεδία Σύνοψη Ορίζουμε και μελετάμε λεία διανυσματικά πεδία σε μια λεία πολλαπλότητα M. Ως λεία απεικόνιση, ένα διανυσματικό πεδίο έχει τη μορφή X : M T M με τιμές στην εφαπτόμενη
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. Μια
Διαβάστε περισσότεραn xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:
ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται
Διαβάστε περισσότεραX u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da =
Κεφάλαιο 1 Το Θεώρημα Gauss-Bonnet Σύνοψη Το Θεώρημα των Gauss - Bonnet αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά (αν όχι το πιο σημαντικό) αποτελέσματα της διαφορικής γεωμετρίας των επιφανειών. Μέσω του θεωρήματος
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία
71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }.
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΘ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0-3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο ομοπαραλληλικό επίπεδο δίνεται το σύστημα συντεταγμένων S { A, A, A }. 0 ' Θεωρούμε τα σημεία A, A, A που ορίζονται
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραI p : T p M R +, I p (Z) = Z, Z p = Z 2.
Κεφάλαιο 4 Η πρώτη θεμελιώδης μορφή Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η ανάπτυξη ενός αποτελεσματικού τρόπου μέτρησης της καμπυλότητας γεωμετρικών αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΑΔΙΑΡΘΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΑΔΙΑΡΘΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ Κάθε πρόγραμμα (προπτυχιακών και μεταπτυχιακών) σπουδών είναι απότοκο της άποψης των διαμορφωτών του για την θέση και αποστολή του Πανεπιστημίου
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ
ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότεραΗ εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα
Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών bipapant@math.upatras.gr Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Πολλαπλότητες. & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Πολλαπλότητες & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων Οι οκτώ γεωμετρίες του 3-διάστατου χώρου ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Φωτεινός Μεργούπης-Ανάγνου
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος του κινουμένου τριάκμου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.
14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα
Διαβάστε περισσότεραt=0 t=0 (2) v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g),
Κεφάλαιο 3 Το διαφορικό μιας λείας απεικόνισης Σύνοψη Ορίζουμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο μιας πολλαπλότητας ως μια παραγώγιση κατά σημείο. Το σύνολο όλων των εφαπτόμενων διανυσμάτων σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.
93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός
Διαβάστε περισσότεραẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,
Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ ΠΑΤΕΡΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii09/laii09.html Παρασκευή 0 Μαίου
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3 1.1 Γενικά.......................... 3 1.2 Ορισµοί......................... 4 1.3 Στοιχειώδεις Πράξεις Μεταξύ ιανυσµάτων....... 8 1.3.1 Γινόµενο Αριθµού επί ιάνυσµα.........
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii08/laii08.html Παρασκευή 4 Μαίου
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΙ ΣΦΑΙΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ : ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Κ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ...
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον αξιότιμο καθηγητή κ. Γ.Στάμου, ο οποίος ανέλαβε υπό την ευθύνη του τη διπλωματική μου εργασία.καθ όλη τη διάρκεια της έρευνάς μου στο θέμα της, μου συμπαραστάθηκε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΕξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος
Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος 2015-2016 Κεφάλαιο 1ο Παράγραφοι: 1.1, 1.2 Κεφάλαιο 2ο Παράγραφοι: 2.3, 2.4 Κεφάλαιο 3ο Παράγραφοι: 3.1, 3.3 Κεφάλαιο 4ο Παράγραφοι: 4.1, 4.2 Κεφάλαιο 6ο Παράγραφοι:
Διαβάστε περισσότεραΕξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017
Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας
Διαβάστε περισσότεραΚάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη
Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε
Διαβάστε περισσότεραV (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}
1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα του Plateau
Το πρόβλημα του Plateau Ανδρέας Σάββας-Χαλιλάι Τμήμα Μαθηματικών users.uoi.gr/ansavas Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Εμβαδόν επιφανειών Έστω Ω R 2 μια συνεκτική και ανοικτή περιοχή με συμπαγές 1 -λείο σύνορο Ω
Διαβάστε περισσότεραΗ εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης
Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19
Διαβάστε περισσότεραΔώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
Διαβάστε περισσότεραt : (x, y) x 2 +y 2 y x
Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά
Διαβάστε περισσότεραa ) a ) = lim f( a + h u ) f( a ) = lim (2) h = 0 f( a + h u ) f( a ) hdf( a )( u ) lim = 0 lim u ) f( a + h lim = 0 u ) = 0 lim = Df( a )( u ) lim
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Κατευθυνόμενη Παράγωγος Κατευθυνόμενη Παράγωγος: Ορισμός 1: Εστω f : U R 2 R μία πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών με U ανοικτό, a = (a, b) U και u = (u, v) μία κατεύθυνση του R 2 (δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραN(q) = N(X(u, v)) = X u(u, v) X v (u, v) X u (u, v) X v (u, v)
Κεφάλαιο 5 Η απεικόνιση Gauss και καμπυλότητα Σύνοψη Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η εύρεση ενός φυσικού και αποτελεσματικού τρόπου, προκειμένου να μετρηθεί η κύρτωση
Διαβάστε περισσότεραR ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος
73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότερα9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού
1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων Τοµεας Γεωµετριας Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Πρώτη Εργασία, 2017-2018 1. ίνεται ϱοή φ(p, t). (αʹ) είξτε ότι το ω οριακό
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.
6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ
Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:
Διαβάστε περισσότεραn. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:
Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων, Ειδική Σχετικότητα, Διάλεξη 5 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους
1 Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Συστολή του μήκους Σκοποί της πέμπτης διάλεξης: 10.11.2011 Εξοικείωση με τους μετασχηματισμούς του Lorentz και τις διάφορες μορφές που μπορούν να πάρουν για την επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1
i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αριθµοί και Μεταβλητές... 5 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών Φ... 5 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθµητικής... 7 1.3. Το σύνολο των σύµµετρων αριθµών Σ...
Διαβάστε περισσότερα415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου
415 Μαθηματικών και Στατιστικής Κύπρου Το "Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής" ιδρύθηκε το έτος 1989, ανήκει στη Σχολή Θετικών και Εφαρμοσμένων Επιστημών του Πανεπιστημίου Κύπρου (με έδρα του τη Λευκωσία)
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 4 Ενότητα 13
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική
Διαβάστε περισσότεραf I X i I f i X, για κάθεi I.
47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 4 Ενότητα 11
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Θεώρημα αλλαγής μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕσωτερική γεωμετρία των επιφανειών
Κεφάλαιο 2 Εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών 2.1 Μερικά συμπεράσματα για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα Ας είναι Γ : u i = u i (s), s J, μια προσανατολισμένη καμπύλη της επιφάνειας, όπου s είναι φυσική παράμετρός
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία
Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία Συγγραφή Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Κριτικός αναγνώστης Βασίλης Παπαντωνίου Συντελεστές έκδοσης ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ουρανία Γυφτοπούλου ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μαρίνα Σταθά ΤΕΧΝΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 01-1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Μάθημα 4 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ο Διαφορικός
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω
Διαβάστε περισσότεραV x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό
81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
Διαβάστε περισσότεραO ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ
O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ 2018-2020 ƒπ à ª π ø ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής...5-7 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής...9 ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερα