תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תקצרי הרצאות של פרופ. רועי משולם"

Transcript

1 מתמטיקה למדעי החיים 1 תקצרי הרצאות של פרופ רועי משולם הרצאה 2 מושגים בגיאומטרית המישור והמרחב 1 u u ( ) המישור האוקלידי: R} R { נקודת המישור נקראת ) ( נקראות וקטורים אורך הוקטור: ) ( נתון ע"י חיבור וקטור: ) ( u ( ) u u (5 4) u (4 ) (2,1)=(6,) כפל בסקלר: ) ( וקטור האפס: ) ( תכונות: המסומן המקיים קיים לכל ; הצגה קוטבית: כל וקטור ) ( R ניתן להצגה יחידה θ r x y 1

2 ישרים במישור R: יהיו R דרך עובר ישר יחיד הצגתו הפרמטרית: הינה R+ ) R+ * ( * * + הקטע המחבר בין ל- נתון ע"י יהא הנקודה ארכו של הקטע כלומר כפול האורך המקורי - ) (, הוא, - משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה הנקודה מחלקת כל תיכון ביחס של 2:1 הוכחה: יהיו קודקודי המשולש w w v מרכז הצלע -, הוא u w u v u u v w v v מרכז הצלע -, הוא u v מרכז הצלע -, הוא u / / / המכפלה הפנימית )מכפלה סקלרית ב- R(: תכונות: טענה: v u v u v u 2

3 הוכחה: לכן באופן יותר כללי, ניתן לבטא את הזווית בין שני וקטורים בעזרת המכפלה הפנימית, טענה: תהא α הזווית בין ל- u v α v α u הוכחה: לפי משפט הקוסינוסים α α לכן א"ש המשולש הוכחה: נסמן α ( ) לכן הצגה נורמלית של ישר: יהיו ) ( ויהא * α β γ + * (α β) γ+

4 הקשר בין ההצגה הנורמלית להצגה הפרמטרית: יהיה ישר הנתון בהצגה פרמטרית: * R+ * + הוכחה: אם ) (, - להיפך: אם ) ( ) ( כלומר ) ( כלומר דוגמא: * (5 7) R+ * ( 7 5) ( 7 5) + * הטלה של וקטור על הישר לכל R נסמן ב- ) ( φ את יהא R v ההטלה של על הישר הנפרש ע"י α φ u (v) u נחשב במפורש את ) ( φ: קיים R כך ש- ) ( φ עתה: α 4

5 לכן φ לכן חישוב שטח מקבילית ע"י דטרמיננטה : ונסמן ב-( ( יהיו R את המקבילית הנקבעת על-ידי P(u v) v u * +, מחד תהיינה נסמן טענה: הוכחה: אם מאידק 0 1, לכן במקרה הכללי: w v u v u u u v u u / / 5

6 המרחב האוקלידי R הגדרות חיבור וקטורי, כפל בסקלר המכפלה פנימית עוברות ללא שינוי ומקיימות את התכונות שציינו ב- R v הטלה של וקטור על ישר: α u יהא R+ * הטלה φ R נתונה ע"י φ φ α, : φ הוכחה: α נסמן φ α α מאידק לכן v ( 4) u ( ) φ דוגמא: מרכז הכובד של טטראידר R יהיו קודקודי טטראידר ב- d טענה: הקטעים המחברים את הקודקודי למרכזי הכובד של הפיאות הנגדיות נחתכים נק' החיתוך הנ"ל מחלקות כל קטע b ביחס של :1 a הוכחה: c 6

7 4 4 ראינו כי מרכז הכובד של הפיאה הוא לכן נמצאית על כל הקטעים הנ"ל [ ] [ ] [ ] [ ] מחלקות כל אחד ביחס של :1 המכפלה הוקטורית ב- R: R יהיו ) ( וקטורי היחידה הסטנדרטיים ב- לוקטורים ) (, נגדיר [ ] למשל טענה: א( ב( ג( הוא הוקטור היחידה המקיים: כוון נקבע עפ"י כלל הבורג הימני הוכחה: א( [ ] ב( 7

8 [ ] ) ( + כי * ) ( לכן ) ( a b b a מישורים ב- יהיו R: הצגות פרמטריות ונורמליות: R המישור עובר דרך נתון בהצגה פרמטרית ע"י w { R} u v *α β γ α β γ R α β γ +, שכיוונו ) ( מצד שני, אם R ניצב לנורמל בנקודה כלומר: * + { [ ] 6 7} דוגמא: יהיו ) ( 4) ( ) ( המישור שעובר דרכן ההצגה הפרמטרית של היא: *(α γ α β α 4β γ) α β γ + הנורמל למישור הוא: (4 ) 8

9 וההצגה של בעזרת נורמל היא: * (4 ) ( ) (4 ) + * 4 + 9

10 הרצאה 1 עקומים ומשטחים עקומים במישור: תהיה ) ( פונקציה של שני משתנים קבוצת האפסים של ) ( מגדירה עקום * R + דוגמאות: א אם ) ( פו' של משתנה יחיד הגרף של הוא העקום * + למשל הפרבולה או ) ( ב ) ( עבור גדול הגרף נראה כמו 11

11 * + ג מעגל : כל נקודות שמרחקן מ-) 0,0 ( הוא R אליפסה: כל הנקודות ב- R שסכום מרחקיהן משני מוקדים קבועים שווה ל- נמצא את משוואת האליפסה: ( ) ( ) ( ) / 4 4 ( ) ( ) / נסמן / / 11

12 ( b) P(x y) ( a ) F ( c ) F (c ) (a ) ( b) ה היפרבולה: כל הנקודות ב- R שהפרש מרחקיהן משני מוקדים קבועים שווה ל- P(x y) F ( c ) ( a ) (a ) F (c ) נמצא את משוות ההיפרבולה: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 12

13 / נסמן / / נשים לב שההיפרבולה אסימפטוטית לישרים y b a x y b a x הצגה פרמטרית של עקומים: עקום הוא אובייקט חד-מימדי ולפיכך ניתן להצגה )בד"כ( ע"י פרמטר יחיד כלומרקיימות פונקציות, - R {( ), -} כך ש- דוגמאות: א ראינו בשעור שישר במישור * + / R 2 (אם ( כאן 1

14 * + אם ב הוא גרף הפרמטר הטבעי: ג + ) *( פרמטריזציה אפשרית: )) ( ) ( ( t > t < t < t < t < t < ( ) : ד מעגל ברדיוס ( ) : / / אליפסה ה / / ו היפרבולה 14

15 γ(t) t t > γ(t) t < נגדיר ) γ < < ( מתאר את הענף הימני ההיפרבולה ) ( מתאר את הענף השמאלי ז לעיתים נתון רק תיאור פיזיקלי שלהעקום ועלינו למצא לו הצגה פרמטרית למשל ציקלואידה שהיא העקום המותווה נקודה הנמצאית על מעגל המתגלגל על ישר α γ γ γ / / γ γ 15

16 פונקציה וקטורית של משתנה יחיד עקומים ב- R וב- R מתוארים ע"י פונקציה וקטורית של משתנה אחד למשל ב- R ( ) רציפות: ) ( גזירות: רציפה אםם כל רכיביה רציפים גזירה אםם כל רכיביה גזירים ו ( ) חישוב הנגזרת של סכום, מכפלה בפןנקציה סקלרית, מכפלה פנימית ומכפלה פנימית הנגזרת של פו' וקטורית ) ( ב- היא כוון המשיק לעקום הפרמטרי בנקודה r(t ) r(t ) אם הישר המשיק לעקום ) ( בנקודה ) ( * R+ הוא דוגמא: ההליקס ( ) < < < אורך מסילה: טענה: הוכחה: r(t i ) לפי משפט ערך הבינים ( (α ) (β ) (γ )) לכן: עבור נקודות α β γ r(t i ) 16

17 ( (α )) ( (β )) ( (γ )) / דוגמא: 17

18 הרצאה תנועה ב- R יהא )) ( ( מקום גוף נקודתי בזמן ( ) ( ) : : מהירות הגוף בזמן תאוצת הגוף בזמן : R החוק השני של ניוטון: יהא שדה כוח על הפועל על הגוף לכל ( ) משוואה זו מתארת תנועהת הגוף שמסתו תחת השפעת השדה חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון: גוף נקודתי שמסתו נימצא בראשית הצירים )שמש( שדה הכובד שמפעיל זה על גוף נקודתי אחר שמסתו ומקומו ) ( נתון ע"י m r(t) ( ) קבוע הכבידה האוניברסלי M חוקי קפלר: : נניח כי מסת השמש גדולה מאוד יחסית לכוכב א ב ג הכוכב ינוע סביב השמש במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה נסמן את מסלול הכוכב ב- +( ( * הוקטור ) ( מכסה שטחים שווים בזמנים שווים זמן המחסור מקיים כאשר הוא אורך הציר הארוך של האליפסה הערה היסטורית: קפלר ניסח את חוקיו ב ע"פ תצפיות אסטרונומות של התוכן טיפו ברהה ושלו ניוטון הוכיח את חוקי קפלר ב- 1687, בעזרת נוסחת הכבידה האוניברסלית והחוק השני הוכחות ב: עובדה זו תלויה רק בכך ששדה הכובד הוא מרכזי, כלומר קיימת פונקצייה ממשית > ) ( כך שלכל : ( ) 18

19 r(t t) נסמן ב-( ( את השטח שמכוסה ע"י וקטור המקום בין זמן 0 לזמן A(t t) A(t) r(t) r ( ) ( ) לכן מאידך נסמן ( ) לכל, ולכן לכל הוא ) ( לכן ) ( ולכן ) ( קבוע לכל ולכן ) ( ) ( לכן השטח המכוסה ע"י וקטור המקום בין זמן לזמן ותלוי רק ב- 19

20 פונקציה של מספר משתנים גרפים של פונקציה במספר משתנים: R בהנתן R ו- * + הגרף של נתון ע"י דוגמאות: א ) ( הוא המישור המקביל למישור בגובה ב כמו שראינו הוא המישור ב- R, העובר דרך הנקודה ) ( וניצב לוקטור ) ) למשל אם הוא המישור הנקבע ע"י הנקודות ג פרבולואיר: הגרף של 21

21 ד אוכף: הגרף של ה ) ( הערה על ויזואילציה ע"י קווי גובה גבולות על פונקציות במס' משתנים: * < < + תהא ) ( מוגדרת על הקבוצה ε > נאמר ש - אם לכל < ε > ( ) < δ קיים > δ כך שאם כנ"ל המוגדרת גם על ) ( תבוא רציפה ב- ) ( אם טענה: נניח כי כנ"ל ונניח שקיימים הגבולות 21

22 ( ) ( ) ואם ) ( בפרט: אם אם רציפות בנקודה ) ( גם רציפות ב-( ), וכנ"ל גם דוגמאות: א הגבול ב לא קיים: כי הגבול כאשר הוא וכאשר הוא ג { ) ( רציפה ב-( ( ( > > ) הגבול ד לא קיים: אם נקח 22

23 מאידך אם נקח חסומה ה נגזרות חלקיות: נתונה פונקציה בכמה משתנים ורוצים לחשב את קצב שינוי הפונקציה ביחס לכל אחד מהמשתנים למשל הזרם במעגל הוא פונקציה של ההתנגדות ושל המתח ) ( ורוצים להבין נוצר השינוי במתח בלבד משנה את ) ( הגדרה: ) ( תהא מוגדרת בסביבה של דיפרנציאביליות ומישור משיק לגרף תהא מוגדרת בסביבת ונניח ש- קיימות נסמן, z (x y ) משוואת המשיק לעקום (( ( ( בנקודה ) ( הינה 2

24 משוואת המשיק לעקום )) ( ( בנקודה ) ( הינה אם קיים מישור משיק ל- ולכן משוואתו היא בנקודה הוא בהכרח מכיל שני הישרים הנ"ל הגדרה: ) ( תקרא דיפרנציאבילית ב- ) ( אם:

25 הרצאה 0 דוגמא: 5 משוואת המישור המשיך לגוף {(( } בנקודה ) ( הינה מישור משיק ל- ) ( ב- * 4 5+ קירוב ע"י הנגזרת: 7 ( 7 ) ( 7 ) 7 4 ( ) { 4 :( 99 ) דוגמא: הערכה של ( 4), תהא ) ( 25

26 ( 99) הגרדיאנט ותכונותיו / : פונקציה בשני משתנים ) ( / : פונקציה בשלושה משתנים ) ( :R () דוגמא: המוגדרת ב- ) ( זו נקראת "פוטנציאל הכבידה" תכונות הגרדיאנט: א ב ג ד לינאריות (α β ) α β גרדיאנט של מכפלה כלל השרשרת ) ( ( ( כלל השרשרת למסילות: )) ( (, תהא )) ( ( ( ) דוגמא: החום בנק' ) ( נתון ע"י חרק נע במסילה, קצב שינוי בחום בזמן : ( ) 26

27 ( )/ ( ) R נגזרת כיוונית: ) ( גזירה ב- ( ) טענה: הוכחה: ( ) טענה: יהא וקטור יחידה, שוויון מימין אםם הוכחה: ) ( ) ( ) ( ) ( קווי גובה של ) ( הם העקומים + ) *( טענה: אם ) ( ניצב למשיק לעקום בנקודה ( ) הוכחה: אם )) ( γ( פרמ' של ולכן (γ) γ * + משטח גובה של ) ( הוא המשטח טענה: אם ) ( הוא הנורמל למשטח בנקודה הוכחה: יהא עקום על )) (γ( ולכן γ ( ) (γ) γ לכן ) ( ניצב לכל וקטור המשיק ל- בנקודה 27

28 דוגמא: ) ( ( ) משוואת המישור המשיק ל-, ב- הינה (8 8 ) ( 6 8 6) ( 6 8 6) ( ) ( 6 8 6) 28

29 הרצאה 5 תהא ) ( פונקציה גזירה ויהא המשטח *( ) R+ כדור קטן ממוקם על בנקודה בעייה: נשחחרר את הכדור כך שינוע באופן חופשי על ינוע הכדור? כפןף אם ורק לכוח הכובד לאיזה כוון / פתרון: יהא הנורמל למשטח בנקודה המשטח, כלומק בכוון הכדור ינוע בכוון ההטלה של וקטור הכוח על / 4 5 P N כוון התנועה v כלל השרשרת הגרסא הכללית: : תהא ) ( גזירה ונניח כי הם פונקציות של ( ) נסמן משתנים ו- ) ( וכול' ל- עם מספר כלשהוא דוגמא: 29

30 ( ) = ( ) ( 5) ( ) אקסטרמום של פונקציות במספר משתנים נזכר תחילה במקרה החד-מימדי < <, - טענה: ) ( תהא פונקציה גזירה בקטע בנקודה יש ל- ) ( מקסימום או מינימום מקומי ( ) הוכחה: משוואת המשיק לגרף של ) ( בנקודה הינה ולכן 0 אם מקסימום או מינימום המשיק ב-( ( הינו מקביל לציר ה- y x הגרסא הרב מימדית של הטענה הינה: טענה: ) ( אם פונקציה גזירה בקבוצה הפתוחה ויש לה מקסימום או מינימום מקומי ב- ) ( הוכחה: משוואת המשיק למשטח + (( * בנקודה ) ( כאשר ) ( הינה 1

31 אם ולכן מקסימום או מינימום, המישור המשיק למשטח ב- הינו מקביל למישור ה- 4 5 הגדרה: ) ( נרקאת קריטית אם הערה: הטענה נובעת גם ישירות מהמקר החד-מימדי: הוא מינימום מקומי של ) (, אם ) ( מינימום מקומי של ) ( בדומה לכן ) ( דוגמא: מצא את נפח התיבה המקסימלית המוכלת בתחום 2 / עלינו למצא את 2 כאשר (1,0) / נסמן / (0,0) (,0) / נשים לב כי אם או או לכן המקסימום מתקבל בנקודה פנימית ) ( { 9, נובע כי זו נקודת מקסימום בדוגמא זו יש נקודה קריטית יחידה ו- ) ( על השפה 1

32 מיון נקודות קריטיות: תזכורת: לפונקציות של משתנה יחיד, אם היא נקודה קריטית מינימום מקומי, מקסימום מקומי > < כאשר ) ( אי אפשר להחליט כדי להבין את המקרה הדו-מימדי נעיין בדוגמאות הבאות:, נסמן טענה: תהא > ) ( לכל אם > > (i) < ) ( לכל אם < > (ii) אם < מקבלת ערכים חיוביים ושליליים (iii) הוכחה: 4 5 אם > > אם שני המחוברים אי-שליליים < > שני המחוברים אי-חיוביים אם < ושליליים אחד המחוברים שלילי והשני חיובי והתבנית מקבלת ערכים חיוביים 2

33 R מסקנה: ) ( אם נקודה פנימית בתחום ו- נסמן אם => נקודת מקסימום > > => נקודת מינימום < > => נקודת אוכף > הוכחה: נכתוב 6 7 כאשר מאחר ו- ) ( נקבל, - הביטוי מימין תמיד אי שלילי ולכן נק' מינימום >, אם > הבטוי מימין תמיד אי חיובי ולכן נק' מקסימום >, אם <

34 הרצאה 6 דוגמאות:? א מהו שטח הפנים המינימלי של תיבה בנפח קבוע יהיו צלעות התיבה, ושטח הפנים הוא / ) ( עלינו, אם כן, למצוא את המינימום של הפונקציה * > )+ על התחום 6, לכן ) ( אפשר לבדוק ישירות שזו מאחר ויש ב- נקודה קריטית יחידה / נקודת מינימום אנו נשתמש בקריטריון הנגזרת מסדר שני כדי לוודא זאת: 4 4 בנקודה / נקבל [ ] > ומאחר ו- נובע כי / נקודת מינימום 4 נתונם ב זוגות רוצים למצא כך ש- 4

35 ) ( ) ( מינימלי, - לסדרה ) ( נסמן (, -, -, -) (, -, -) {, -, -, -, -, - { נכפיל את המשוואה השניה ב- -, ונחסיר מהראשונה: (, - (, -) ), -, -, -, -, -, - (, - (, -) ) לכן: {, -, - משוואת הקירוב הליניארי ל- ע"י היא:, -, -, - (, - (, -) ) (, -), - כופלי לגרנז': אופטימיזציה תחת אלוצים א( פונקציה בשני משתנים עם אלוץ יחיד מצא את מקסימום/ מינימום של ) ( תחת אלוץ טענה: אם נקודת מקסימום/ מינימום מקיימת הוכחה: )) ( γ( תהא פרמטריזציה של העקום γ ותהא היא נקודה קריטית של )) ( ( לכן ( ) 5

36 מאידך )) ( ( ולכן / γ מאחר ו - ) ( ו- ) ( ניצבים שניהם ל- הרי ש- עבור λ R כלשהוא λ זה נקרא "כופל לגרנזי" * + 4 דוגמא: עבור מצא את (6 8 ) ולכן כלומר 4 / 4 נציב באלוץ: 4 4 נק' מקסימום 4 ( נק' מינימום ) ( 4 ) ב( פונקציות בשלושה משתנים עם אלוץ יחיד g(p) נניח כי ) ( היא נקודת אקסטרמום של תחת האלוץ ) ( וכי ) ( P g S λ R כלשהוא טענה: ) ( עבור הוכחה: + ) *( יהא γ יהא )) ( γ( עקום על המקיים 6

37 ( ) נק' אקסטרום על ולכן )*( γ מאידך )) (γ( ולכן )**( γ מ- מ- )*( נובע כי ) ( ניצב לכל וקטור המשיק למשטח למשטח בנקודה הוא ) ( בנקודה )**( נובע כי הנורמל לכן עבור λ R מסויים λ דוגמא: יהיו > קבועים מצא * + λ λ 4 / / / 5 ג פונקציה עם שלושה משתנים ושני אלוצים: נניח טענה: נק' קיצון של ) ( על העקום * + אם בלתי תלויים לינארית קיימים λ כך ש- λ γ הוכחה: ) γ( תהא פרמטריזציה של עם )) ( ) ( ( ולכן לכל γ γ מאחר ו- נק' קיצון של, הרי ש: (γ) 7

38 γ, כלומר לכן ) ( נמצא במישור הנפרש ע"י λ דוגמא: חשב * + λ ברור כי λ לכן 6 6 { ולכן לכן 4 5 נק' מקסימום 8

39 הרצאה 7 האנטגרל הכפול, -, - תהא ) ( פונקציה רציפה על המלבן, - תהא < < < חלוקה של הקטע < < < חלוקה של הקטע -,, - [ ] שתי חלוקות אלו משרות חלוקה של למלבנים מהצורה t j t j s i s i נסמןאת אוסף המלבנים הנ"ל } { ונגדיר + * האנטגרל של ) ( מוגדר ע"י על (*) כאשר מחשב את הנפח הכלוא בין המלבן * + *( ) + לבין הגרף 9

40 אגף ימין של )*( הוא סכום נפחי התיבות שבסיסן ] [ ] [ וגובהן סכום זה שואף לנפח שמתחת לגרף כאשר חשוב האנטגרל הכפול ע"י אנטגרל נשנה / טענה: הוכחה: [ ] 4 5 דוגמאות: א( [ ], - 0 /1 [ /] ב( [ ] [ ] 4 41

41 ג( 4 5, - ) ( +חלקים* )- (, אינטגרציה על תחומים כליים R תהא קבוצה חסומה ב- R עם שפה חלקה למקוטעין ותהא רציפה R יהא מלבן המכיל את ונגדיר ע"י { אחרת נגדיר: אפשר להראות כי האינטגרל באגף ימין קיים ואינו תלוי ב- דוגמאות: יהא א [ ]

42 ב חשב את נפח הטטראדר שקודקדיו הם (0,0,c) 2 (0,b,0) / (0,0,0) (a,0,0) / [ / ] 6 / 7 / / [ / ] 6 (1,1) ג + ) *( 6 7 (0,0) (1,0) [ ] 42

43 הרצאה 8 שינוי משתנים באינטגרל הכפול φ תזכורת: תהא -, β- φ,α חח"ע על גזירה, - ותהא φ(α) רציפה על φ(β) β (φ)φ α,α β- הוכחה: α < < β תהא חלוקה של, - ) φ( φ < < חלוקה של (φ) (φ φ) *, -+ (φ) φ β (φ) φ (φ)φ α R המקרה הדו-מימדי: תהיינה חסומות ב- העתקה חח"ע על גזירה, רציפה על φ ברצוננו לבטע את ) ( בעזרת אינטגרל של פונקציה אחרת על וגמא חשובה: קואורדינטות קוטביות φ, ), - R ( ) 4

44 θ θ θ φ θ r r r r φ([, -]) ( ) { } תהא φ, -, - < < תהיינה < < {φ} המלבנים ] [ -, מהווה חלוקה ב- ולכן הוא חלוקה של φ (φ/ φ 44

45 φ ((φ) מסקנה: -, ), לכל * +, -, - { דוגמא: שטח עגול ברדיוס } האנטגרל הגאוסי: נסמן R [ ] לכן פונקצית הצפיפות הנורמלית: 45

46 דוגמא: θ (1,0) (2,0) D 2φ 4 4 [ ] [ ] [ 8 ] המקרה הכללי: φ ותהא R יהיו תחומים חסומים ב- חח"ע וגזירה φ ( ) ) φ( תבומתו: יהא -, -, ותהא φ(u Δu v Δv) v v φ(u v Δv) v φ φ(u Δu v) u u u φ(u v) ) )φ הוא בקירוב מקבילית שצלעותיה הן φ φ ( ) φ φ ( ) ) ( לכן ) ( 46

47 φ [ [ ] [ ] ] φ [ ] נסמן נקרא היעקוביאן של φ φ נוסחת חלוץ המשתנים באנטגרל הכפול: ( ) φ, -, - הוכחה: נניח כי הוא מלבן < < תהיינה < < -, נסמן חלוקות של -, ושל, - [ ] הוא חלוקה של לחלוקות הדומות למקביליות {φ} ) (φ/ φ φ/ ((φ) φ 47

48 דוגמאות: φ ( ) אם א φ, -, - R φ 0 1 ומקבלים את הנוסחא שראינו קודם: (4 ) ( ) יהא ב D 4 (4 5 ) חשב, -, - φ (4 ) ( ) y 4x B y x xy 4 חשב ג xy 4 { 4 4 מקיימות כלומר לכן טבעי להגדיר, 4-, 4- כך ש- )) ( φ( מקיימת / כלומר 48

49 φ 6 7 לכן 4 4 /

50 משוואות דפרנציאליות תופעות רבות בכל תחומי החיים, בפיזיקה כימיה ביולוגיה כלכלה, מתוארות ע"י מודלים מתמטיים המתארים קשרים בין משתנים שונים ונגזרותיהם, דהיינו ע"י משוואות דיפרנציאליות דוגמא: נפילה חופשית באטמוספירה קרוב לפני הים: = משתנה הזמן; נמדד בשניות מהירות העצם בזמן ; נמדד ב- מטר - שניה = קבועים: מסת הגוף בקג"מ תאוצת הכובד ביחידות קבוע העילוי ב- קג שניה מטר שניה = 9 8 = γ את הכוח הפועל על הגוף בזמן וה את תאוצתו בזמן נסמן ב- ) ( לפי חוק ניוטון: { )*( γ לכן דוגמא: γ קג שניה ק ג )**( שדה כוונים של ) ( מתקבל הפונקציה ) ( מקיימת ע"י סימון חץ קטן ששיפועו ) ( בנקודה ) ) אם 51

51 הגוף של ) ( עובר בנקודה ושיפועו שם הוא = כוון החץ המסומן ב-( ) נשים לב כי במקרה שלנו ) ( 8 9 אינו תלוי ב- נפתור את המשוואה )**(: / לכן כלומר 49 במקרה הכללי )*( נקבל 9 8 γ γ γ / לכן γ γ כלומר γ תהא לכן γ γ γ 51

52 γ γ γ כל עקום מתאר פתרון למשוואה אם < יורד ל- γ γ γ אם > עולה ל- דוגמא: יהא באחו חיים בצוותא ינשופים ועכברים: משתנה הזמןבחודשים ) ( = מס' העכברים בזמן כל הינשופים אוכלים ביחד 45 עכברים בחודש קצב הגדול של אוכלוסיית העכברים הוא עכבר 5 חודש המשוואה המתארת את האבולוציה של ) ( הינו 5 45 שדה כוונים של המשוואה: נפתור המקרה הכללי: לכן 52

53 > כאשר ) ( אם מס' העברים יורד מעריכית אם < מס' העברים עולה מעריכית המשווה הלוגיסטית המשוואת ההתרבות ) ( תקפה לגורל אוכלוסיה קטן כאשר גודל אוכלוסיה התחרות עלמזון גדול, יש להביא בחשבון שקצב ההתרבות יקטן בגלל )למשל( מודל פשוט להביא בחשבון תופעה זו הוא שקצב ההתרבות תלוי גם ב- המשוואה האוטונומית המתקבלת היא: / ונתון ע"י / שדה כוונים של המשוואה: שים לב השפוע המירבי מתקבל ב- והינו נפתור המקרה הכללית המשוואה: / ( ) 5

54 לכן / לפיכך כל הפתרונות שואפים ל- כאשר נקרא ה"קבול האקולוגי" של המערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון הצורה הכללית של משוואה לינארית מסדר ראשון הינה ראינו כיצד לפתור משוואה זו כאשר ) ( קבועים א"י אינטגרציה ישירה: < גישה קצת אחרת שמאפשרת גם לפתור את המקרה הכללי היא בעזרת "גורן אנטגרציה": נניח ש- ) ( מקיימת )**( נכפול את שני צידי המשוואה )*( ב- : 54

55 אבל אגף שמאל הינו ) ( לכן נקח מקיימת )**( ולכן שיטת גורם האינטגרציה מאפשרת לפתור את המשוואה הלינארית הכללית מסדר ראשון דוגמא: לפתור את פתרון: נמצא גורם אנטגרציה : הוא צריך לקיים נכפול את המשוואה ב- 4 4 לכן 55

56 הרצאה 9 משוואה לינארית הכללית מסדר ראשון גורם אנטגרציה צריך לקיים / כלומר ( ) [ ] דוגמא נוספת: לפתור את 8 פתרון: נכפול את המשוואה ב- ומוצאים את לפי תנאי ההתחלה משוואות פרידות: נניח טענה: ) ( פתרון למשוואה ( ) 56

57 נניח ( ) הוכחה: ( ) ( ) דוגמא: ( ) לכן v דוגמא: רדיס כדור הארץ מרחק של העצם מפני כדור הארץ x w R 57

58 כאשר : גובה מקסימלי : כלומר כדי שהגוף יגיע לגובה המהירות התחילית צריכה להיות מהירות ההמלטות ( velocity ) escape מכוח המשיכה של כדור הארץ היא לפיכך תזכורת מאלגברה לינארית תהא 0 1 מטריצה ממשית, הפיכה ו הפיכי נתון ע"י 0 1 / 0 1 R R נראה את כהעתקה ע"י זו היא לינארית (α β ) α β λ אם, λ הוא וקטור עצמי של עם ע"ע R נסמן ב- (λ) את הפולינום האופייני של 58

59 (λ) ( λ ) (λ) λ ע"ע של צורת ז'ורדן למטריצות תהא 0 1 מטריצה ממשית יהא הפולינום האופייני של (λ) ( λ ) λ λ אם ל- א שני ע"ע שונים קיימת הפיכה כך ש: [ λ λ ],λ λ ותהא -, הוכחה: יהיו הפיכה ומתקיים הוקטורים העצמיים המתאימים לע"ע, -,λ λ -, - [ λ λ ] [ λ λ ] [ λ λ ] ולכן דוגמא: (λ) ( λ ) 7 λ λ λ λ (λ )(λ ) λ λ לכן הע"ע עם ו"ע אם ל- ע"ע יחיד כלומר λ λ λ [ λ λ ] I ב 59

60 ו"ע המתאים ל- λ אפשר להראות כי קיים כך ש- יהא [ λ λ ] II ( λ ) λ כלומר נסמן -,, -,λ λ -, - 0 λ λ 1 0λ λ 1 [ λ λ ] ולכן 0 1 דוגמא: (λ) ( λ ) λ λ λ 4λ 4 (λ ) λ λ λ לכן הע"ע יחיד λ יהא 0 1 ו"ע המתאים ל נפתור ) ( למשל ג אם ל- שני ע"ע מרוכבים שאינם ממשיים λ λ α β יהא המתאים ל- (β α) ו"ע (α β) (α β ) ( β α ) α β β α α β, -, -,α β β α -, - [ β α ] α β [ β α ] [ α β β α ] ולכן 61

61 0 5 1 דוגמא: (λ) ( λ ) λ 5 λ λ λ 5 λ לכן הע"ע λ λ ( λ ) לכן הפונקציה המעריכית של מטריצות למשתנה יחיד : למטריצה כלשהיא נגדיר: דוגמאות: א 6 λ ולכן: λ 7 [ λ λ ] 6 λ λ 7 [ λ λ ] [ ] [ λ λ ] [λ λ λ ] 6λ 7 [ λ λ ב ] λ 61

62 [ λ λ λ ] [ ] [ λ λ λ ] [ ] 0 1 אם ג [ β β ] β, ד β (β ) (β ) 4 β β β β 4 β 5 4β β β [ β β 4 5 β β 5 β β β β ] 5 [ β β β β ] ה משוואות דפרנציאליות לינאריות במישור תהא 0 1 מטריצה קבועה ממשית נדון במערכת המשוואות )*( [ כלומר ] ) ( מקיים טענה: הפתרון הכללי של )*( הינו 62

63 הוכחה: יהא ) ( / [ ] להיפך: נניח ) (, כלומר לכן ) ( דוגמאות: א ראינו כי אם תנאי ההתחלה הוא ) 0 1 ( ב ראינו כי ] [ 1 0 לכן 0 1 [ ] 0 1 6

64 [ ] 0 1 לכן הפתרון הכללי של ) ( הוא / למשל אם ) 0 1 ( / / / ג ראינו כי [ ] לכן פתרון המשוואה עם תנאי התחלה ) 0 1 ( הוא / / משוואות לא הומוגניות תהא מטריצה ממשית נעיים במשוואה 0 1 נחפש פתרון בצורה ) ( 64

65 כלומר ) ( דוגמא עם ע"ע שונים: )*( הפתרון של המערכת ההומוגנית מתקבל באופן הבא: 0 1 ע"ע ל- עם ו"ע 0 1 ע"ע ל- עם ו"ע לכן פתרון כללי ל- : הפתרון למערכת הלא הומוגנית )*( מתקבל ע"י נמצא את ) ): ( ) מקבלים { { { 9 65

66 הרצאה 24 צורת ז'ורדן למטריצות (λ) השורשים של λ λ, (λ) ( λ ) 0 1 λ :λ λ א λ ממשיים יהא הוקטורים העצמי המתאים ל- [ λ λ ] -, מקיימת: [ λ λ ] כלומר [ λ λ λ λ ב ] λ ב יהא [ λ ב ] λ ו"ע המתאים ל- λ יהא המקיים ( λ ) תהא -, λ λ כלומר, -, - 0 λ λ 1 0λ λ 1 [ λ λ ] ולכן ו"ע המתאים ל- (β α) יהא ג (β ) λ λ α β (α β) (α β ) ( β α ) נסמן -, α β β, -, - [ ] [α β α β α ] [ α β β α ] ולכן 66

67 הפונקציה המעריכית של מטריצות תכונות: א אם ב ג הפונקציה המעריכית של צורות ז'ורדן: [ λ λ ] [ λ λ ] [ λ λ ] 0λ λ 1 0 λ λ 1 λ 0 1 β [α β α ] α β [ β α ] [ β β β β ] מערכת של משוואות דפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון עם מקדמים קבועיים טענה: הפתרון של המערכת המשוואות הוא עבור ) ( R שרירותי פורטרט הפאזה של מערכת הומוגנית יהא R הוקטור ) ( מתאר פתרון של המערכת אוסף כל העקומות הנ"ל נקרא פורטרט הפאזה של מערכת נמיין את פורטרטי הפאזה האפשריים לפי צורת ז'ורדן: א 0 1 כל ) ( הוא קבוע 67

68 ב (λ ) 0 λ λ 1 > λ < λ [ λ λ ג ] שלושה מקרים: {, λ > λ > 1 [ ] < λ λ < כנ"ל עםכווני חצים הפוכים 2 68

69 λ > > λ מקרה > :λ ד ) 0 λ λ λ λ 1 ( < λ כנ"ל עם כווני חיצים הפוכים [, כלומר מעגל ברדיוס ) ( β β β β β β β ] 0 1 [α β α ] β 1 אם α β ה 69

70 α < 2 > α כנ"ל עם כווני חיצים הפוכים שימושים: משוואת הומוגנית אחת מסדר שני ניתנת לרדוקציה למערכת של שתי משוואות מסדר ראשון: תהא נגדיר כלומר דוגמא: מסה תלוייה על קפיץ שאורכו נסמן ב- את קבוע הקפיץ בשווי משקל בתנועה שווי משקל 71

71 בכוח הפועל על המסה: ( ) כלומר ) ( שוות לפי חוק ניוטון ל- ) ( נכתוב ) ( { [ ] עם ע"ע, הו"ע המתאים ל- (λ) λ 6 7 הוא המקיים 0 1 [ ], [ ] [ נקח ] 0 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] לכן הפתרון הכללי ל- ) ( הוא 71

72 : משוואת ביער חיות שתי אוכלוסיות, הארנבים והשועלים הצמחיה ביער מספקת מזון לארנבים, ואילו השועלים מתקיימים מציד ארנבים נסמן ב- ) ( את מס' הארנבים בזמן, וב- ) ( את מס' השועלים בזמן ברצוננו לתאר את הדינמיקה של ) ( בהנחות הבאות: א ב ג אם אין שועלים, כלומר, ) ( עבור קבוע >, כלומר אוכלוסיית הארנבים תגדל בקצב מתכונתי לגודלה אם אין ארנבים, כלומר, ) ) עבור >, כלומר אוכלוסיית השועלים קטנה בקצב מתכונתי לגודלה מס' ההתקלויות בין ארנבים לשועלים מתכונתי ל- ) ( כל התקלות כזו מפחיתה α מ- ) ( ומוסיפה γ ל-( ( : המערכת המתקבלת ממודל זה נקרת משוואת α γ > { α ( α ) γ ( γ ) דון במערכת זו עבור דוגמא ספיציפית של α γ והמקרה הכללי ניתן לנתח באופן זהה { 4 4 { ( ) נקודת שווי משקל המערכת: לינאריזציה סביב נקודת שווי משקל: בסביבת ) ( המערכת ניתנת לקרוב ע"י המערכת הלנארית { 4 שהפתרונה הכללי הוא )**( ( ) 72

73 הפורטרט הפאזה של )*( ניתן לקרוב בסביבת (0 0) ע"י פורטרט הפאזה של )**(, כלומר בסביבת (2 )נקרב את המערכת )*( באופן הבא: יהא ( ) 4 5 ( ) / { ( )5 4 נקרב מערכת זו ע"י { [ ] כלומר הו"ע המתאים ל- הוא λ (λ) λ 0 1 [ ] [ ] 6 7 [ ] [ ] 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 [ ] לכן הפתרון הכללי של )***( הוא {

74 פורטרט הפאזה של ) ( הוא { דרך פשוטה יותר לקבל את פורטרט הפאזה של נכפול ונקבל לכן / / כלומר הקרובים הלינאריים הנ"ל נותנים קירוב לפורטרטי הפאזה של המשוואה המקורית בסביבת שתי נקודות שווי המשקל נתאר להלן את הפתרון המדוייק: { כלומר אפשר להראות כי ) ( קמורה ולכן הוא עקום סגור לכל 74

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

גודל. איור 29.1 ב- = 2 = 4. F x שני דרכים לחבר: גאומטרית ואלגברית. איור d = 3

גודל. איור 29.1 ב- = 2 = 4. F x שני דרכים לחבר: גאומטרית ואלגברית. איור d = 3 d פרופ' שלמה הבלין 9. אנליזה וקטורית הפרק שלפנינו נקרא אנליזה וקטורית והוא עוסק בחשבון דפרנציאלי ואנטגרלי של וקטורים. הרבה גדלים בפיסיקה יש להם גם ערך מספרי גודל וגם כיוון במרחב. למשל העתק, או מהירות של

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011

סיכום מדר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב עי: אדריאן קיריש נערך עי: תומר שטח 28 ביוני 2011 סיכום מד"ר מרצה: מיכאל ז'יטומירסיקי נכתב ע"י: אדריאן קיריש נערך ע"י: תומר שטח 28 ביוני 2011 1 תוכן עניינים 3 משפט קיום ויחידות............................. 1 3............................ משוואות אוטונומיות

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים: אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו

Διαβάστε περισσότερα

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4

שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 שימושים גיאומטריים ופיזיקליים לחומר הנלמד באינפי 4 18 ביוני 15 התרגום למושגים הפיזיקליים הוא חופשי שלי. אבשלום קור, מאחוריך. לא נתתי דוגמאות לשימושים שכן ראינו (גיאומטריים). אפשר למצוא דוגמאות בתרגולים.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

מכניקה אנליטית תרגול 6

מכניקה אנליטית תרגול 6 מכניקה אנליטית תרגול 6 1 אלימינציה של קואורדינטות ציקליות כאשר יש בבעיה קואורדינטה ציקלית אחת או יותר, לעתים נרצה לכתוב פעולה חדשה (או, באופן שקול, לגראנז'יאן חדש) אשר לא כולל את הקואורדינטות הללו, וממנו

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2

b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2 פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. להוכיח כי סדרה c היא סדרה הנדסית משמע להוכיח כי היחס בין איברים סמוכים בסדרה הוא מספר n c n +n c מכיוון ש- q הוא מספר קבוע, סדרה = b n+ = bq n =q cn bn- bq n- :b n קבוע. אם

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320 1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות................................................................ 2 4 ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון:.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5.

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5. דוגמאות 1. ארגז שמסתו 5kg נמצא על משטח אופקי. על הארגז פועל כוח שגודלו 30 וכיוונו! 20 מתחת לציר האופקי. y x א. שרטטו דיאגרמת כוחות על הארגז. f W = mg ב. מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל על הארגז?

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות

משוואות דיפרנציאליות רגילות משוואות דיפרנציאליות רגילות גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3 סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים מדינת ישראל מועד הבחינה: חורף תשע"ב, 202 משרד החינוך מספר השאלון: 035807 דפי נוסחאות ל 5 יחידות לימוד נספח: א. משך הבחינה: שעתיים. מתמטיקה 5 יחידות לימוד שאלון שני

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #13 יחסות פרטית הקונבנציה המקובלת הינה שמסמנים אינדקסים לורנצים (4 מימדיים) באמצעות אותיות יווניות, כלומר µ, ν = 0, 1, 2, 3 ואילו אינדקסים אוקלידים באמצעות אותיות אנגליות i,

Διαβάστε περισσότερα

תרגול #10 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח

תרגול #10 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח תרגול #0 מרכז מסה, מומנט התמד ומומנט כח בדצמבר 03 רקע תיאורטי מרכז מסה עד כה הסתכלנו על גוף כאילו היה נקודתי. אולם לעיתים נרצה לבחון גם מערכת המכילה n גופים שלכל אחד מהם יש מסה m i ומיקום r. i ניתן לבחון

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics

דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics r = r (t + t) r (t) v t 0 = r t a t 0 = v t v B = v B v A A העתק )Displacement( שינוי של ווקטור R בזמן t ווקטור מהירות קווית של חלקיק )Velocity( ווקטור

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x)

גליון 1 גליון 2 = = ( x) ( x) 475 פיסיקה ממ, פתרונות לתרגילי בית, עמוד מתוך 6 גליון מה שוקל יותר: קילו נוצות או סבתא תחשבו לבד גליון Q in E k, q ρ ( ) v Qin ρ ( ) v v 4π Qin ρ ( ) 4π v העקרונות המנחים בגיליון זה: פתרון לשאלה L ( x)

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס:

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: w = f (z) = U (x, y) + iv (x, y), U = V = 0 הפונקציה f מעתיקה ממישור y) zלמישור = (x,

Διαβάστε περισσότερα

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא כמות השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית הפונציאל החשמלי בעבור כל שדה וקטורי משמר ישנו פוטנציאל סקלרי המקיים A = φ הדבר נכון גם כן בעבור השדה החשמלי וניתן לרשום E = φ (1) סימן המינוס

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα