ΘΕΜΑ 1 Ο ( ) ( )( ( )) ΘΕΜΑ 2 Ο ΘΕΜΑ 3 Ο. ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B P A B. P A P A P B P B

Transcript

1 ΘΕΜΑ Ο ) Αποδείξτε την πρόταση. Για δυο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω P A B = P A + P B P A B. ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) ) ίνεται η συνάρτηση f( ) = ( ), α) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία β) Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A B να δείξετε ότι : ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) P A P A P B P B και P( A), 4 ΘΕΜΑ Ο Οι βαθµολογίες ενός δείγµατος γραπτών από το διαγώνισµα της 07 έχουν οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ως εξής : 5 γραπτά κάτω απο 4, 5 γραπτά κάτω από 8, 5 γραπτά τουλάχιστον 6 και 5 γραπτά τουλάχιστον µε µέση βαθµολογία 0, α) να βρεθεί το πλήθος των γραπτών, β) αν το πλήθος των γραπτών είναι 50 να βρεθούν : ) ο συντελεστής µεταβολής, ) η πιθανότητα ένα τυχαίο γραπτό να έχει βαθµό κάτω από 9. ΘΕΜΑ Ο Από τους 800 πελάτες µιας ασφαλιστικής εταιρείας οι 640 έχουν ασφάλεια ζωής και οι 80 ασφάλεια πυρός. Επιλέγουµε τυχαία έναν πελάτη, να υπολογισθούν οι πιθανότητες : α) να έχει και τις δυο ασφάλειες, β) να έχει µόνο µια ασφάλεια.

2 ΘΕΜΑ Ο ) Αποδείξτε την πρόταση. Για δυο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω P A B = P A P A B. ισχύει : ( ) ( ) ( ) ) ίνεται η συνάρτηση f( ) =, α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της και να µελετήσετε τη µονοτονία της. β) Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A B να δείξετε ότι : P( A) P( A ) P( B) P( B ) και P( A), ΘΕΜΑ Ο Στο διάγραµµα απεικονίζεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ενός δείγµατος µαθητών που απάντησαν στο ερώτηµα : πόσες ώρες διάβασαν για το διαγώνισµα της 07 α) Να βρείτε τη µέση τιµή και την διακύµανση β) Αν επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή ποια η πιθανότητα να έχει διαβάσει τουλάχιστον 4 ώρες και 0 λεπτά. γ) Αν κάθε µαθητής διάβαζε 5 ώρες παραπάνω το δείγµα θα ήταν οµοιογενές ; ΘΕΜΑ Ο Σε ένα δείγµα 80 καπνιστών τσιγάρου διαπιστώθηκε ότι 50 πάσχουν από καρδιακή ασθένεια και 0 έχουν σεξουαλική ανικανότητα. Αν 0 έχουν µόνο µια ασθένεια να βρείτε την πιθανότητα κάποιο τυχαίο άτοµο : α) να έχει και τις δυο ασθένειες β) να µην έχει καµµία από τις δυο

3 ΘΕΜΑ Ο ) Αποδείξτε την πρόταση. Αν A B τότε P( A) P( B) ενός δειγµατικού χώρου Ω. ) ίνεται η συνάρτηση f( ) ( ), όπου Α, Β ενδεχόµενα = +, α) Να την µελετήσετε ως προς τη µονοτονία, β) Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A B και και P( B), να δείξετε ότι ( P( A) ) + ( P( A )) ( P( B) ) + ( P( B )) ΘΕΜΑ Ο Ρωτήσαµε ένα δείγµα µαθητών σχετικά µε την προετοιµασία τους για το διαγώνισµα της 07 και µας είπαν ότι το 60% διάβασε µόνο ασκήσεις, το 0% ούτε θεωρία ούτε ασκήσεις και το 0% µόνο θεωρία. Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο άτοµο να διάβασε : α) και θεωρία και ασκήσεις, β) τουλάχιστον ένα από τα δυο. ΘΕΜΑ Ο Έστω,,, α, β, 8 οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε µέση τιµή και διακύµανση 7, α) είξτε ότι α = β, β) Βρείτε τη διάµεσο, γ) Αν όλες οι παρατηρήσεις αυξηθούν κατά ποίος είναι ο συντελεστής µεταβολής ;

4 ΘΕΜΑ Ο ίνονται οι 9 από τις 0 παρατηρήσεις ενός δείγµατος :,, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 8. Αν η διάµεσος είναι 5 να βρεθούν : α. η παρατήρηση που λείπει (Μον. 0) β. Αν η παρατήρηση που λείπει είναι 6 τότε ) να βρεθεί ο συντελεστής µεταβολής (Μον. 0) ) είναι το δείγµα οµοιογενές ; Αν όχι να βρεθεί ο µικρότερος φυσικός αριθµός κ κατά τον οποίο να αυξηθούν όλες οι παρατηρήσεις ώστε το δείγµα να γίνει οµοιογενές (Μον. 0) ΘΕΜΑ Ο Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης A,B Ω µε Ρ ( Α Β ) = 0,6 και Ρ ( ) Α Β = 0, Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Β Α, Α (Μον. 0) ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση ( ) f = + ) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία (Μον. 8) f( ) + ) Να βρεθεί το lm 0 (Μον. 8) ) Ένα σχοινί µήκους 0m κόβεται σε ν τµήµατα µε µήκη l, l,..., l ν. Αν το δείγµα το µηκών έχει µέση τιµή m τότε : α) να βρεθεί ο ν (Μον. 6) β) αν δ η διάµεσος, να δείξετε ότι δ <,5m (Μον. 8) v f l = 0, να βρεθεί ο συντελεστής µεταβολής (Μον. 0) = γ) αν ( )

5 ΘΕΜΑ Ο Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι βαθµολογίες ενός δείγµατος 0 φοιτητών σε διαγώνισµα του µαθήµατος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ βαθµολογία Αριθ. φοιτητών ν [ 0, ) [,4 ) 6 [ 4,6 ) [ 6,8 ) 4 [ 8,0 ) ) Nα βρείτε τη µέση βαθµολογία και την τυπική απόκλιση (Μον. 5) ) Είναι το δείγµα οµοιογενές ; (Mον. 5) ) Αν επιλέγουµε τυχαία έναν φοιτητή ποια η πιθανότητα να περάσει το µάθηµα ; (Mον. 0) v) Μπορείτε να εικάσετε πόσοι απ αυτούς υπήρξαν µαθητές του GROUP ; (Μον.00) ΘΕΜΑ Ο Από τους 40 προσκυνητές του ιερού τεµένους GROUP 6 παρακολουθούν Μαθηµατικά, 4 Φυσική και και τα δυο µαθήµατα. Αν επιλέξουµε τυχαία έναν µαθητή να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων : ) Ο µαθητής δεν παρακολουθεί κανένα από τα δυο µαθήµατα (Μον. 5) ) Ο µαθητής παρακολουθεί ακριβώς ένα από τα δυο µαθήµατα (Μον. 5) ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση ( ) f = ) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία (Μον. 0) ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης ε της C f στο σηµείο µε τετµηµένη (Μον. 0) ) Έστω Α, Α,..., Α σηµεία της ε µε τετµηµένες,,...,. Αν οι τετµηµένες έχουν µέση τιµή και διακύµανση 4 να βρείτε τον συντελεστή µεταβολής των τεταγµένων (Μον. 0) v) Aν 0 <,..., < και η διάµεσος των,,..., είναι, να βρείτε την διάµεσο των f( ),f( ),...,f( ) (Μον. 0)

6 ΘΕΜΑ Ο Σε ένα δείγµα 000 παιδιών το ύψος ακολουθεί περίπου κανονική κατανοµή. Αν 680 παιδιά έχουν ύψος µεταξύ 0cm και 0cm ενώ 0 παιδιά πάνω από 0cm, να βρείτε : α) τον συντελεστή µεταβολής (Μον. 0) β) είναι το δείγµα οµοιογενές ; (Mον. 4) γ) Αν µετά από χρόνια όλα τα παιδιά ψηλώσουν κατά 5cm πόσος θα είναι ο συντελεστής µεταβολής ; (Mον. 8) δ) Αν επιλέξουµε τότε τυχαία ένα παιδί ποια η πιθανότητα να έχει ύψος κάτω από 5cm ; (Mον. 8) ΘΕΜΑ Ο Από ένα δείγµα 0 µαθητών του GROUP 9 παρακολουθούν Μαθηµατικά ή Φυσική, 6 παρακολουθούν και Μαθηµατικά και Φυσική. Αν επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχοµένων : ) A : παρακολουθεί ακριβώς ένα από τα δυο µαθήµατα (Μον. 0) ) Β : δεν παρακολουθεί ούτε Μαθηµατικά ούτε Φυσική (Μον. 0) ) Αν αυτοί που παρακολουθούν µόνο Μαθηµατικά είναι, να βρεθούν πόσοι παρακολουθούν µόνο Φυσική. (Μον. 0) ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση ( ) f = + (υπόδειξη : µη την πάρετε) ) Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία (Μον. 0) ) Θεωρούµε 0 σηµεία της C f. Αν οι τετµηµένες έχουν µέση τιµή και διακύµανση 4, να βρείτε την µέση τιµή των τεταγµένων (Μον. 4) ) Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης A,B Ω 0 < P B <, να δείξετε ότι : και ( ) α) P( A B) P( A B) β) Ω µε P( A) (Μον. 0) (Μον. 6) P B P B ( ) ( )

7 A. ) Ποια από τα παρακάτω µεγέθη είναι µέτρα θέσης και ποια είναι µέτρα διασποράς; α) ιάµεσος γ) Μέση τιµή ε) Εύρος β) ιακύµανση δ) Σταθµικός µέσος στ) Τυπική απόκλιση ) Αν η καµπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε ποιες είναι οι βασικές ιδιότητες της τυπικής απόκλισης; B. ) Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα A, B ενός δειγµατικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: P( A B) = P( A) + P( B) ) Να χαρακτηρίσετε µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. α) ύο αντίθετα ενδεχόµενα Α,Β είναι ξένα µεταξύ τους. β) Αν τα Α,Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε :. Τα ενδεχόµενα Α Β και Β Α είναι ασυµβίβαστα.. Το ενδεχόµενο A Bπραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται το Α και όχι το Β.. P( A) P( A B) 4. A B= ( A B) ( B A) ( A B) Γ. Να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α κάποιου δειγµατικού χώρου Ω. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν : Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι ίση µε 9 0. Οι πιθανότητες P(A B) και P(A) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο 6 X = l,,, όπου lm + 6 l =.

8 ) Να βρείτε τον αριθµό l. ) Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(A B) και αιτιολογήστε την απάντηση. ) Να βρείτε τις πιθανότητες : α. Να πραγµατοποιηθούν τα A και B ταυτόχρονα β. Να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο B γ. Να πραγµατοποιηθεί το B και να µην πραγµατοποιηθεί το A δ. Να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα A, B ε. Να πραγµατοποιηθεί το A B A. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω= {,,,..., ν }, που αποτελείται από απλά και ισοπίθανα ενδεχόµενα, το δείγµα των οποίων έχει διάµεσο δ= 4,5. ) Να υπολογίσετε το ν. ) Επιλέγουµε τυχαία από το Ω έναν αριθµό λ. Nα βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου B : «λ Ω / η τυπική απόκλιση των αριθµών λ, λ και 6λ είναι µεγαλύτερη του 7». ) Έστω ότι Α και Α είναι συµπληρωµατικά ενδεχόµενα του Ω. α. Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του γινοµένου Α. [P( )] P(A ) β. Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α για τη µέγιστη τιµή του γινοµένου Α που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα. [P( )] P(A ) B. ίνεται η συνάρτηση f( ) 4 = µε > 0 ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο A(,f ( )). ) Από τυχαίο σηµείο M(, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουµε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και y y, οι οποίες σχηµατίζουν µε τους ηµιάξονες O και Oy ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. α. Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου M, ώστε η περίµετρος του ορθογωνίου παραλληλογράµµου να είναι ελάχιστη. β. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου αυτού παραλληλογράµµου είναι σταθερό για κάθε θέση του σηµείου M πάνω στη ) Οι τετµηµένες 005 διαφορετικών σηµείων της εφαπτοµένης του ερωτήµατος () C f.

9 έχουν µέση τιµή = 6 και τυπική απόκλιση s =. Να βρείτε : α. Tη µέση τιµή y και την τυπική απόκλιση s y των τεταγµένων των σηµείων αυτών. β. Να εξετάσετε αν το δείγµα των τεταγµένων των σηµείων είναι οµοιογενές. A ίνεται ο παρακάτω πίνακας Eπιβάτες ΤΑΧΙ ν Σύνολο ν = 40 ν ) Να βρεθεί το και η διάµεσος δ. ) Να εξετάσετε αν είναι οµοιογενές. ) Επιλέγοντας τυχαία ένα ΤΑΧΙ, ποια είναι η πιθανότητα να µην έχει πελάτη; v) Επιλέγοντας τυχαία ένα άτοµο ποια είναι η πιθανότητα να βρίσκεται µε άτοµα; B. ίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % της βαθµολογίας ενός τµήµατος στα Μαθηµατικά. F % 00 ) Να συµπληρωθεί ο πίνακας, f, F ) Να βρεθεί η µέση τιµή και η διάµεσος 70 ) Nα γίνει το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων v) Ποια η πιθανότητα ένας φοιτητής που εκλέγετε τυχαία να βαθµό το πολύ «7» 0 v) Να βρεθεί το ποσοστό των βαθµών της 0 4 που πρέπει να αυξηθούν κλάσης [ ) κατά 4 µονάδες ώστε =

10 Θέµα ο Α. Σε µια κατανοµή, αν,,..., k είναι οι τιµές της µεταβλητής Χ µε σχετικές συχνότητες f,f,..,f k, να αποδείξετε ότι η µέση τιµή είναι k = f. = Β. ) Πως ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής ενός δείγµατος τιµών µας µεταβλητής Χ αν > 0 και πως αν < 0 ; ) Πότε λέµε ότι ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής είναι οµοιογενές; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Αν α είναι το τόξο ενός κυκλικού τοµέα στο κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων, τότε α = 60 f για κάθε =,,...,k β) Στη διακύµανση των παρατηρήσεων οι κεντρικές τιµές διαφέρουν µεταξύ τους όσο και το πλάτος των κλάσεων γ) Η διακύµανση εκφράζεται µε τις µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις δ) Σε µια κανονική ή περίπου κατανοµή το εύρος ισούται περίπου µε δέκα τυπικές αποκλίσεις ε) Μεταξύ δύο οµάδων τιµών µεγαλύτερη οµοιογένεια έχει εκείνη που έχει µεγαλύτερο συντελεστή µεταβολής Θέµα ο Α. Η βαθµολογία των µαθητών της Γ τάξης ενός σχολείου στο µάθηµα των µαθηµατικών κυµαίνεται από 4 έως 0. το 0% των µαθητών έχει βαθµό από4 έως 6 και το 50% από 6 έως 8. ) Να υπολογίσετε τη µέση βαθµολογία των µαθητών ) Να βρείτε τη διάµεσο ) Αν οι µαθητές που έχουν βαθµό πάνω από 8 είναι 4, να βρείτε πόσοι είναι όλοι οι µαθητές B. Η ηλικία των µαθητών ενός Λυκείου ακολουθεί περίπου την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 6 έτη και τυπική απόκλιση 6 µήνες. Επίσης, είναι γνωστό ότι οι µαθητές που έχουν ηλικία από 6 έως 6,5 έτη είναι 0. ) Να βρείτε το πλήθος των µαθητών του Λυκείου ) Να βρείτε το πλήθος των µαθητών του Λυκείου που έχουν ηλικία από 5 έως7 έτη ) Να αποδείξετε ότι το δείγµα είναι οµοιογενές v) Πριν από πόσα χρόνια τουλάχιστον το δείγµα δεν είναι οµοιογενές;

11 Θέµα ο Σε ένα δείγµα µεγέθους 0, οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ είναι,,.., 0 και έχουν µέση τιµή και τυπική απόκλιση s. Επίσης, το σηµείο Μ(,8) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f = s +, R ( ) και η εφαπτοµένη της σ αυτό έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. ) Να βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση s ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της γραφικής παράστασης f στο σηµείο Μ(,8) ) Αν οι αριθµοί,,.., 0 είναι τετµηµένες 0 σηµείων της ευθείας (ε) του ερωτήµατος, να βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση s y των τεταγµένων αυτών των σηµείων Θέµα 4 ο A. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται το πολύγωνο αθρ.σχετ. συχνοτήτων το οποίο αναφέρεται στις ηλικίες των καθηγητών ενός σχολείου. Οι ηλικίες κυµαίνονται από 6 έως 56 έτη. Επίσης καθηγητές έχουν ηλικία τουλάχιστον 8 και λιγότερο από 44 έτη. F% ) Να αποδείξετε ότι στο σχολείο υπάρχουν 0 καθηγητές ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ) Να υπολογίσετε τη διάµεσο δ των ηλικιών των καθηγητών v) Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους παραπάνω καθηγητές. Να βρείτε την πιθανότητα ο καθηγητής αυτός να είναι: α) µικρότερος των 44 ετών β) τουλάχιστον 4 ετών γ) τουλάχιστον 5 και µικρότερος των 50 ετών B. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={,,,..,ν} ενός πειράµατος τύχης, µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Η διάµεσος δ και το εύρος R των αριθµών,,,,ν συνδέονται µε τη σχέση R=δ+4 ) Να αποδείξετε ότι ν= ) Εκλέγουµε τυχαία έναν αριθµό α από το σύνολο Ω. Να βρείτε την πιθανότητα η µέση τιµή των αριθµών α, α+, α+4, α+6 να είναι µεγαλύτερη από τη διασπορά τους

12 ΘΕΜΑ Ο Α) Να χαρακτηρίσετε µε σωστό (Σ) και λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.. Όταν έχουµε ακραίες παρατηρήσεις, είναι προτιµότερο να χρησιµοποιούµε τη µέση τιµή αντί της διαµέσου. Όταν πολλαπλασιάζουµε τις τιµές µιας µεταβλητής επί µία σταθερά c 0, τότε η µέση τιµή αυξάνεται κατά c. Η µέση τιµή χρησιµοποιείται τόσο για ποιοτικά όσο και για ποσοτικά δεδοµένα v. Η διακύµανση των παρατηρήσεων,,.., v δίνεται από τον τύπο ( ) S = v v. Αν οι συντελεστές µεταβολής δύο συνόλων δεδοµένων Α και Β είναι 5% και 0% αντίστοιχα, τότε τα δεδοµένα Α είναι περισσότερο οµοιογενή από τα δεδοµένα Β. Β) Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, να δείξετε ότι: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ΘΕΜΑ Ο Α) Έστω Ω= {,,,..., 004} ένας δειγµατικός χώρος µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα και Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ασυµβίβαστα του δειγµατικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: 9( P(B) ) 7P(B) + = P(A). Να δείξετε ότι P(B) = και P(A) =. Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων των Α και Β. Τι συµπεραίνετε για τα ενδεχόµενα Α και Β; Β) Έστω Ω= {,,, 4,5} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα. Να βρείτε την πιθανότητα το ελάχιστο της 6 συνάρτησης f( ) = 6+ λ+, λ Ωνα είναι µεγαλύτερο του µηδενός.

13 ΘΕΜΑ Ο A) Έστω > 0 η µέση τιµή και S > 0 η τυπική απόκλιση 0 παρατηρήσεων,,..., 0. Αν ισχύει 0 = = 00S, τότε:. Να δείξετε ότι το δείγµα είναι οµοιογενές. Έστω ψ, ψ,..., ψ ν οι παρατηρήσεις που προκύπτουν από τις,,..., 0 µε ψ = 0 και συντελεστή µεταβολής CV = ψ 0%. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση παρατηρήσεων,,..., 0 S των B) Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω. αν η πιθανότητα να µην πραγµατοποιηθεί το Β είναι 4, η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το ένα 5 µόνο από τα Α και Β είναι 5 και η πιθανότητα να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι 0. α) Να βρείτε τις πιθανότητες :. P(A B) και P(B). P(A B) και P(A) β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου :. Να πραγµατοποιηθεί µόνο το Α. Nα πραγµατοποιηθεί µόνο το Β ΘΕΜΑ 4 Ο Σε έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης, για το χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, ενώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου της διαδροµής των µαθητών είναι κατά προσέγγιση κανονική. α) Να βρείτε το µέσο χρόνο διαδροµής των µαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδροµής τους. β) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. γ) Αν οι µαθητές της πόλης είναι 4.000, πόσοι µαθητές θα κάνουν χρόνο διαδροµής από 4 έως 6 λεπτά ; δ) Μια µέρα λόγω έργων στον κεντρικό δρόµο της πόλης, κάθε µαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβολής CV.

14 ΘΕΜΑ Ο A. Ας υποθέσουµε ότι,,..., κ είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν, όπου κ, ν µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε κ ν. α) Τι ονοµάζεται απόλυτη συχνότητα ν, που αντιστοιχεί στην τιµή, =,,, κ ; β) Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα f της τιµής, =,,, κ ; γ) Να αποδείξετε ότι :. 0 f για =,,, κ. f+ f+ + fκ = B.. Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι : P( A B) = P( A) + P( B) B.. α) Να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α κάποιου δειγµατικού χώρου Ω. β) Να δώσετε τις αριθµητικές τιµές των παρακάτω πιθανοτήτων :. P( Ω ). P( ) ΘΕΜΑ Ο Σε ένα σχολείο µε 400 µαθητές διδάσκονται η Αγγλική και η Γαλλική γλώσσα. Κάθε µαθητής είναι υποχρεωµένος να παρακολουθεί τουλάχιστον µια από τις παραπάνω ξένες γλώσσες. Από τους παραπάνω µαθητές 40 παρακολουθούν την Αγγλική γλώσσα και 40 τη Γαλλική γλώσσα. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Έστω Α το ενδεχόµενο να παρακολουθεί την Αγγλική γλώσσα και Γ να παρακολουθεί τη Γαλλική γλώσσα. α) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α και Γ είναι ασυµβίβαστα. Γ Α 5 β) Να αποδειχθεί ότι : P( )

15 γ) Να βρεθεί η πιθανότητα ο µαθητής να παρακολουθεί µόνο την Αγγλική γλώσσα. δ) Να βρεθεί η πιθανότητα ο µαθητής να παρακολουθεί το πολύ µια γλώσσα από αυτές. ΘΕΜΑ Ο A. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο ζάρι και έστω Ω ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος τύχης. ίνονται οι παρατηρήσεις : κ, -κ, 6κ+4, -κ, κ+ µε κ Ω. ) Να υπολογιστούν συναρτήσει του κ η µέση τιµή, η διάµεσος δ και η διασπορά s. ) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων : A = { κ Ω / η µέση τιµή είναι το πολύ 5} B = { κ Ω / η διάµεσος είναι άρτιος αριθµός} Γ=Α Β = { κ Ω / η διασπορά παίρνει ελάχιστη τιµή} 5 f = + + ) Να εξεταστεί η f ως προς τη µονοτονία και τα τοπικά ακρότατα B. ίνεται η συνάρτηση ( ) ) Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω και οι πιθανότητες P(A), P(B) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f µε P(A) α) Να βρεθούν οι P(A), P(B) β) Να βρεθεί η µέση τιµή και η διάµεσος των παρατηρήσεων : ΘΕΜΑ 4 Ο Στο παρακάτω ιστόγραµµα f %, P(A B), P(A B), P(B), P(A) < P(B), τότε: δίνεται ότι η διάµεσος των παρατηρήσεων είναι δ= και η µέση τιµή = ναι δείξετε ότι µια παρατήρηση που εκλέγεται τυχαία έχει πιθανότητα 65% να είναι το πολύ και 5% να είναι τουλάχιστον 6. f f 5

16 ΘΕΜΑ Ο Στο διπλανό σχήµα δίνεται το πολύγωνο συχνοτήτων που παρουσιάζει τις ηλικίες (οµαδοποιηµένες ) µιας οµάδας παιδιών.. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων. Να βρείτε τη µέση τιµή, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής. Μετά από πόσα χρόνια το δείγµα θα γίνει v. οµοιογενές; Υποθέτουµε ότι σε κάθε κλάση υπάρχει ίσος αριθµός αγοριών και κοριτσιών. Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο από το δείγµα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτό το άτοµο να είναι τουλάχιστον 6 ετών ή αγόρι. v ΘΕΜΑ Ο Εταιρία κινητής τηλεφωνίας καθορίζει πρόγραµµα τηλεφωνικών συνδιαλέξεων διάρκειας έως 6 λεπτών µε την χαµηλότερη δυνατή χρέωση. Κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας µε πολλές συνδιαλέξεις βρέθηκε ότι το 6% των τηλεφωνηµάτων ήταν µεγαλύτερης διάρκειας των 6 λεπτών ενώ το,5% των τηλεφωνηµάτων ήταν µικρότερης διάρκειας των λεπτών. Αν οι χρόνοι συνδιαλέξεων κατανέµονται κανονικά να βρεθεί ο µέσος χρόνος οµιλίας και η τυπική απόκλιση τους. Αν κατά τη διάρκεια αυτής της ηµέρας έγιναν συνολικά 00 τηλεφωνήµατα. Πόσα τηλεφωνήµατα είχαν διάρκεια από έως 5 λεπτά;. Ποια η πιθανότητα κάποια συνδιάλεξη να βρίσκεται µέσα στα χρονικά περιθώρια της χαµηλότερης χρέωσης; ΘΕΜΑ Ο

17 Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει, η πιθανότητα: Να πραγµατοποιείται το Α είναι 5 Να µην πραγµατοποιείται το Β είναι 5 Να πραγµατοποιούνται συγχρόνως και τα δύο είναι 6 Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιείται:. ένα τουλάχιστον, από τα Α και Β. το πολύ, ένα από τα Α και Β. κανένα από τα Α και Β v. µόνο το Α v. µόνο ένα από τα Α και Β v. το Α ή να µην πραγµατοποιείται το Β ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω Ω= {0,,,, 4, 5} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε P(0) = P() = P() = P() = 4P(4) = P(5) και τα ενδεχόµενα A = {0,,,}, B = {0,} και Χ, ώστε Α-Χ=Β. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της πιθανότητας P(X)

18 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις µηνιαίες αποδοχές ενός δείγµατος εργαζοµένων σε ευρώ που προκύπτει από τα µέτρα Κυβέρνησης.Ν.Τ. Αν η µέση τιµή των αποδοχών είναι 0 τότε : ΑΠΟ ΟΧΕΣ [, ) 0 ν Αριθµός εργαζοµέµνων [, ) 0 0 [, ) 40 [, ) 0 [, ) 0 f % α) είξτε ότι το µέγεθος του δείγµατος είναι 00 και στη συνέχεια ότι το πλάτος των κλάσεων είναι 0 β) είξτε ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές και βρείτε τον ελάχιστο ακέραιο αριθµό β> 0 κατά τον οποίο πρέπει να αυξηθούν όλες οι αποδοχές ώστε να γίνει οµοιογενές. ( ίνεται ότι 0 5, 47 ) γ) Επιλέγουµε τυχαία έναν εργαζόµενο. Ποια η πιθανότητα να παίρνει τουλάχιστον και κάτω από 0 ; δ) Σε πόσους εργαζόµενους της πρώτης κλάσης πρέπει να αυξηθούν οι αποδοχές τους κατά 0 ώστε η µέση τιµή του δείγµατος να γίνει 0,4 Στην Dreamtown το 70% των κατοίκων της που εργάζονται διαθέτουν ποδήλατο, ενώ το 55% διαθέτουν ποδήλατο και όχι αυτοκίνητο. α) Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων :. Κάποιος εργαζόµενος έχει και ποδήλατο και αυτοκίνητο.. Κάποιος εργαζόµενος δεν έχει ποδήλατο ή έχει αυτοκίνητο. β) Έστω το ενδεχόµενο Α : ο εργαζόµενος έχει αυτοκίνητο. είξτε ότι P(A) γ) Αν P(A) 0, = βρείτε την πιθανότητα ένας εργαζόµενος να διαθέτει ακριβώς ένα είδος οχήµατος.

19 Α. Αποδείξτε ότι : για δυο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) P( A B) Β. ) ιατυπώστε τον νόµο των µεγάλων αριθµών ) Ποια είναι τα σπουδαιότερα µέτρα διασποράς; Γ. Απαντήστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) :. Όταν η διάµεσος ενός δείγµατος είναι ίση µε τη µέση τιµή τότε οπωσδήποτε το δείγµα είναι συµµετρικό. ( ) 4 = για κάθε R 4. Στο ιστόγραµµα της αθροιστικής συχνότητας κάθε ορθογώνιο έχει ύψος ίσο µε την συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης ; 4. O Ω δεν είναι ενδεχόµενο γιατί πραγµατοποιείται πάντα 5. Αν Α Β= τότε P( B) > P( A) Α. ίνεται η συνάρτηση g( ) = ( 0, 6 ) 5. Να δείξετε ότι 0g( ) για κάθε R. Β. Οι τιµές 0,,, ενός δείγµατος έχουν σχετικές συχνότητες f,f, 0.5, 0.05 αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι β) Έστω f= f f f Να βρεθούν η µέση τιµή και η διάµεσος.. Είναι το δείγµα οµοιογενές ;

20 . Nα βρεθεί το µέγεθος ν του δείγµατος αν ξέρουµε ότι < ν < 60 ίνεται η συνάρτηση ( ) ( νe) ln f =, > 0 και ν θετικός ακέραιος. α) Να την µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και να δείξετε ότι : f( ) ν για κάθε > 0 β) Έστω Ω= {,,,..., ν } ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και, ln( eν( Α )) =Ν( Α ), να δείξετε ότι :. ν = 0 ( ) ( ( )). ( ) Α Β Ω µε ( ) Ν Α = ν 9ν 9 και f P A B f P B αν ξέρουµε ότι Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα

21 Α. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και c R, να δείξετε ότι : cf = cf, R (Μονάδες 9) ( ( )) ( ) Β. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A ; (Μονάδες 6) Γ. Απαντήστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) :. Η διάµεσος είναι η τιµή για την οποία το 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από αυτήν. (Μονάδες ). Η τυπική απόκλιση έχει τις ίδιες µονάδες µε την µέση τιµή. (Μονάδες ) f g = f g g. Αν f, g είναι δυο παραγωγίσιµες συναρτήσεις τότε ( ) 4. ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) (Μονάδες ) ln = για < 0 (Μονάδες ) 5. Αν η πραγµατοποίηση του ενδεχοµένου Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β τότε A B= A. (Μονάδες ) Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις ώρες διαβάσµατος για το διαγώνισµα της 8//09 ενός δείγµατος µαθητών του GROUP Ώρες v [ ) 0 [...,4) 0,4 [ ) 6 [ ) 0,6 [ 8, ) 4 Σύνολο - - f α) Nα συµπληρωθεί ο πίνακας (Μονάδες ) β) Να βρεθεί η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση (Μονάδες 8) γ)εάν οι µαθητές υποψιαζόµενοι τις απαιτήσεις του διαγωνίσµατος διάβαζαν 5 ώρες παραπάνω ποιος θα ήταν ο συντελεστής µεταβολής; (Μονάδες 5) N F

22 Έστω Ω δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και A,B Ω ) Nα δείξετε ότι ( A B) ( A) ( B) Ρ +Ρ Ρ (Μονάδες 6) Ρ ( A) +Ρ( B) Ρ A B = τότε Ρ ( A) =Ρ ( B) (Μονάδες 6) P A =, P B =, + α. Να δείξετε ότι Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα (Μονάδες 5) 9 β. Αν + 5 τότε Ρ( A B) < 0 (Μονάδες 8) ) Αν ( ) ) ίνεται ότι ( ) ( ) ίνεται η συνάρτηση f( ) = + 4, R ) Nα µελετηθεί ως προς τη µονοτονία (Μονάδες 4) ( ) f 7+ ) Να βρεθεί το lm 0 ) Από όλες τις εφαπτόµενες της (Μονάδες 6) C f να βρείτε εκείνη µε τον µικρότερο συντελεστή διεύθυνσης. (Μονάδες 7) v) Έστω Ω δειγµατικός χώρος µε A,B Ω, να δείξετε ότι : ( P( A B) ) ( P( A) ), 5 ( P( A B) ) ( P( A) ) (Μονάδες 8)

23 Α) Nα δείξετε ότι ισχύει ( ) ( ) ( f + g ) = f ( ) + g ( ) Β) Τι ονοµάζεται αθροιστική συχνότητα Ν και σχετική αθροιστική συχνότητα F της παρατήρησης µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ Γ) Να απαντήσετε µε (Σ) ή (Λ) στις προτάσεις. P( A B) = P( A) P( A B) + P( B). Αν σε δείγµα ισχύει ότι : = s 0 τότε είναι οµοιογενές. Η διάµεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές P A > P B v. Αν τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ασυµβίβαστα τότε ( ) ( ) v. Oσο µικρότερος είναι ο CV τόσο µικρότερη είναι η οµοιογένεια του δείγµατος v. Η καµπύλη συχνοτήτων στο διπλανό σχήµα εκφράζει θετική ασυµµετρία O χρόνος λύσης του 4 ου θέµατος των Μαθηµατικών στις ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ενός τµήµατος µαθητών είναι από 0 0 mn και οµαδοποιείται σε 5 ισοπλατείς κλάσεις. Αν ισχύουν τα παρακάτω : To εµβαδόν του πολύγωνου συχνοτήτων είναι 80 Η πιθανότητα ένας µαθητής που εκλέγεται τυχαία να έκανε πάνω από 8 mn είναι 0% 4,6 είναι 7 Η γωνία του κυκλικού τοµέα της κλάσης [ ) Οι µαθητές που χρειάστηκαν λιγότερο από mn είναι οι µισοί από αυτούς που χρειάστηκαν 6 8 mn µαθητές έκαναν πάνω από 6 mn ) Να γίνει ο πίνακας : V, N, f %, F % ) Να γίνει το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ) Να βρεθεί η διάµεσος και η µέση τιµή v) Να δείξετε ότι είναι ισοπίθανα τα ενδεχόµενα : A = ο µαθητής χρειάστηκε τουλάχιστον 6 mn

24 Β = ο µαθητής χρειάστηκε το πολύ 4 mn Το δείγµα των βαθµών [ 0 0] των µαθητών ενός σχολείου στα Μαθηµατικά ακολουθεί τη κανονική κατανοµή µε διάµεσο δ= lm 0 και τυπική απόκλιση το ελάχιστο της συνάρτησης f( ) ) Να δείξετε ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές e = + µε > 0. ) Να δείξετε ότι όσο και να αυξηθούν οι βαθµοί των µαθητών το δείγµα δε θα γίνει ποτέ οµοιογενές. ) Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Ποια η πιθανότητα να έχει ΑΞΙΟΠΡΕΠΗ βαθµό, αν ΑΞΙΟΠΡΕΠΗΣ ΒΑΘΜΟΣ 4. Τι συµπεραίνεται για την αξιοπρέπεια στις µέρες µας; v) Πόσοι είναι οι µαθητές του σχολείου, αν 4 µαθητές έχουν «πιάσει πάτο»; ( «πιάνω πάτο» = βαθµός < 8) Έστω Α, Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω και οι συναρτήσεις : + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + και = + + f e 5P A g P A B P A P B ίνεται ο ρυθµός µεταβολής της f στο 0 = είναι θετικός αριθµός και η P( B ) 5 είναι η ρίζα της εξίσωσης : e ( )( ) + 5= + 6 ) Να δείξετε ότι τα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα ) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο R ) να δείξετε ότι 5P( A B)

25 Α. Αποδείξτε ότι ( ) = (Μονάδες 9) Β. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της ; (Μονάδες 6) Γ. Απαντήστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) :. Η µέση τιµή υπολογίζεται και για ποσοτικά και για ποιοτικά δεδοµένα. (Μονάδες ). Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόνο ποσοτικών δεδοµένων. (Μονάδες ). Ο προσθετικός νόµος των πιθανοτήτων ισχύει µόνο όταν τα απλά ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου είναι ισοπίθανα (Μονάδες ) 4. Αν A B= A τότε B A (Μονάδες ) 5. Ο λόγος της µέσης τιµής προς την τυπική απόκλιση καλείται συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας. (Μονάδες ) Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις ηλικίες ενός δείγµατος αυτοκινήτων Ηλικία v [ ) 4 f % [ ) 4,5 6 N F % [ ) 6 56 [ ) 4 [, ) Σύνολο α) Nα συµπληρωθεί ο πίνακας (Μονάδες 0) β) Να βρεθεί η µέση τιµή (Μονάδες 8) γ) Έστω ότι το 50% των αυτοκινήτων είναι ασιατικής προέλευσης. Αν επιλέξουµε ένα αυτοκίνητο, να βρεθεί η πιθανότητα αυτό να έχει ηλικία από 6 έως 0 χρόνια 6 < 0 ή να µην είναι ασιατικό (Μονάδες 8) ( )

26 Έστω Ω δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και A,B Ω µε ( ) Ρ ( B ) =, + + Ρ Α =, + 4 ) Αν η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το Α είναι τα 4 της πιθανότητας να µην πραγµατοποιηθεί το Β, να βρεθεί ο. (Μονάδες 7) ) Να βρείτε την µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει η Ρ(Α) (Μονάδες 9) ) Αν P( A B) P( B), να δείξετε ότι P( A B) > (Μονάδες 9) ίνεται η συνάρτηση f( ) = + ) Nα µελετηθεί ως προς τη µονοτονία (Μονάδες 4) ( ) f + ) Να βρεθεί το lm (Μονάδες 6) 0 ) Ένα σχοινί µήκους 0m κόβεται σε ν τµήµατα µε µήκη l, l... l ν. Αν το δείγµα των l,..., l ν έχει µέση τιµή m τότε : α. Να βρεθεί ο ν (Μονάδες 4) β. Να δείξετε ότι η διάµεσος είναι µικρότερη από,4m (Μονάδες 4) f l = 0, να βρεθεί ο συντελεστής µεταβολής. Είναι το δείγµα γ. Αν ( ) ν = οµοιογενές; Εάν αυξάνονταν όλα τα τµήµατα κατά το ελάχιστο µήκος που χρειάζεται ώστε αυτό να γίνει οµοιογενές και υπήρχε τρόπος να ξαναενωθούν, τι µήκος θα είχε τότε το σχοινί ; (Μονάδες 7)

27 ΘΕΜΑ Α ίνεται η συνάρτηση f( ) = ln( + ) ) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού και το όριο ( ) f + + lm ) Να βρείτε τη µονοτονία της f καθώς και τα ακρότατα της. ) Να βρείτε την εφαπτοµένη της f που είναι κάθετη στην ευθεία y + = 0 v) Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω. Αν A,B Ω. Να δείξετε ότι ΘΕΜΑ Β ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) f P A B + f P B A f P A B v Ένα δείγµα µαθητών απάντησε σε έρευνα µε το ερώτηµα : Πόσα σουβλάκια έφαγες την Τσικνοπέµπτη ) Αν η διάµεσος είναι δ=,5 να βρείτε τη συχνότητα v ) Έστω ότι v =. Να βρείτε τη µέση τιµή και τη διακύµανση και να εξετάστε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. ) Εκλέγοντας τυχαία ένα µαθητή ποια η πιθανότητα ένας µαθητής να είναι νηστικός ΘΕΜΑ Γ Έστω Ω= {,,0,,} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε P( 0) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) και A= {,} ) Να βρεθεί η P( A ) ) Οι συχνότητες µιας µεταβλητής ακολουθούν κανονική κατανοµή µε µέση τιµή. Αν η πιθανότητα µια τιµή να είναι µεγαλύτερη του 5 είναι 0,5%, τότε : α) Να βρεθεί η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής µεταβολής CV. β) ίνεται η συνάρτηση f( ) = + κ +κ, κ Ω και έστω τα ενδεχόµενα : B: η συνάρτηση f έχει ακρότατο στο 0 Γ: η f = CV C διέρχεται από το σηµείο M( 0,κ ). Να βρείτε την P( B Γ )

28 Α. Αποδείξτε ότι : για δυο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) P( A B) Β. ) ιατυπώστε τον νόµο των µεγάλων αριθµών ) Ποια είναι τα σπουδαιότερα µέτρα διασποράς; Γ. Απαντήστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) :. Όταν η διάµεσος ενός δείγµατος είναι ίση µε τη µέση τιµή τότε οπωσδήποτε το δείγµα είναι συµµετρικό. ( ) 4 = για κάθε R 4. Στο ιστόγραµµα της αθροιστικής συχνότητας κάθε ορθογώνιο έχει ύψος ίσο µε την συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης ; 4. O Ω δεν είναι ενδεχόµενο γιατί πραγµατοποιείται πάντα 5. Αν Α Β= τότε P( B) > P( A) ίνεται η συνάρτηση ( ) π f = 8συν ηµ + 0,, π ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (Μονάδες 8) ) Να βρείτε το ( ) ( ) f + f 0 lm 0 ηµ (Μονάδες 8) ) Να βρείτε το σηµείο στο οποίο η εφαπτοµένη της C f έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. (Μονάδες 9)

29 Έστω Ω= { 0, ±, ± } ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε P( 0) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) και A= {,} ) Να βρεθεί η P( A ) (Μονάδες 7) ) Οι συχνότητες µιας µεταβλητής ακολουθούν κανονική κατανοµή µε µέση τιµή και η πιθανότητα µια τιµή να είναι µεγαλύτερη του 5 είναι 0,5%. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση και ο CV. (Μονάδες 6)

30 Α. Για δυο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α, να δείξετε ότι ισχύει : P( A ) = P( A) Β. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της ; Γ. Απαντήστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) :. Η µέση τιµή υπολογίζεται και για ποσοτικά και για ποιοτικά δεδοµένα.. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόνο ποσοτικών δεδοµένων.. Ο προσθετικός νόµος των πιθανοτήτων ισχύει µόνο όταν τα απλά ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου είναι ισοπίθανα 4. Αν A B= A τότε B A 5. Ο λόγος της µέσης τιµής προς την τυπική απόκλιση καλείται συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας. Έστω,, 4,, 6,, α οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος α) Να δείξετε ότι η διακύµανση είναι s 6α 6α+ 66 = β) Να εξετάσετε αν η τιµή του α που ελαχιστοποιεί την διακύµανση κάνει το δείγµα οµοιογενές. γ) Αν το εύρος είναι R= 6, να βρείτε τη διάµεσο. δ) Έστω Ω= { 0,,,...,0} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και α Ω. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι 49

31 6 66 s 7 7 ίνεται η συνάρτηση ( ) f = +, > 0 ν και ν θετικός ακέραιος. α) Να την µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και να δείξετε ότι : ν f( ) για κάθε > 0 β) Έστω Ω= {,,,..., ν } δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και, ( ( )) ν P A + =, να δείξετε ότι : νp A ( ). ν =. ( ) ( ) ( ( )) Α Β Ω µε ( ) Ν Α =ν 0ν 0 και f P B A f P B µε δεδοµένο ότι B A

32