ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή ) μις λγερικής πράστσης τον ριθμό που προκύπτει ν ντικτστήσουμε τις μετλητές της με συγκεκριμένους ριθμούς κι εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνοντι. Α = + Η ριθμητική τιμή της πράστσης Α γι = - κι = είνι : Α = (-) + = + = 5 Πρτήρηση: Προφνώς, ν στην ίδι ριθμητική πράστση άλουμε διφορετικές τιμές πίρνουμε διφορετική ριθμητική τιμή. Λέμε μονώνυμο κάθε λγερική πράστση στην οποί σημειώνετι μόνο η πράξη του πολλπλσισμού. π.χ.,,,. Επίσης κάθε ριθμός είνι μονώνυμο γιτί μπορούμε ν γράψουμε : π.χ. = - 0 = κ.ο.κ. Κάθε μονώνυμο ποτελείτι πό δύο τμήμτ : Τον ριθμητικό πράγοντ ( που συνήθως γράφετι πρώτος ) κι λέγετι συντελεστής του μονώνυμου κι Το γινόμενο των μετλητών που λέγετι κύριο μέρος του μονώνυμου. ) συντελεστή ς μέρος κύριο Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

2 ) γ ) συντελεστή ς 7 z συντελεστή ς κύριο μέρος κύριο μέρος Δύο ή περισσότερ μονώνυμ λέγοντι όμοι ν έχουν το ίδιο κύριο μέρος., -,,. Πρτήρηση: Ότν ο συντελεστής του μονώνυμου είνι το ή το γράφουμε: π.χ. =, - = - Άθροισμ μονωνύμων Το άθροισμ ομοίων μονωνύμων είνι έν μονώνυμο όμοιο με υτά κι έχει συντελεστή το άθροισμ των συντελεστών τους. ) 5 ( 5) ) γ ) ( ) ( ) Σημείωση: Χρησιμοποιήσμε την επιμεριστική ιδιότητ ( + γ ) = + γ λλά ντίστροφ. Πολλπλσισμός μονωνύμων Το γινόμενο μονωνύμων είνι έν μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους κι ως κύριο μέρος όλες τις μετλητές με εκθέτη σε κθεμιά ίσο με το άθροισμ των εκθετών τους. ) ( )(5 ) ( ) 5 ( ) ) ( )() ( ). Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

3 γ ) ( z)( ) ( ) z ( ) z z. δ ) ( - )( zω ) = - zω. Σημείωση: Χρησιμοποιήσμε την ιδιότητ των δυνάμεων ν μ = ν+μ. Πηλίκο μονωνύμων Γι ν διιρέσουμε δύο μονώνυμ πολλπλσιάζουμε τον ριθμητή με τον ντίστροφο του πρνομστή. ) (-6 ) : (-) = -6 6 = = 8. ) ( ) : () =. Σημείωση: ) Χρησιμοποιήσμε την ιδιότητ των δυνάμεων ν : μ = ν-μ ) Όπως φίνετι πό το ) το πηλίκο μονωνύμων δεν είνι πάντ μονώνυμο. Πολυώνυμ Λέμε πολυώνυμο κάθε άθροισμ μονωνύμων που δεν είνι όμοι. Κάθε έν πό τ μονώνυμ υτά λέγετι όρος του πολυωνύμου. Συνήθως τ πολυώνυμ συμολίζοντι με Ρ(), Q(), F() κ.λ.π. ) ) + γ) δ) Πρτήρηση: Συνήθως ότν έχουμε πολυώνυμ μις μετλητής π.χ. «τ διτάσουμε κτά τις φθίνουσες δυνάμεις του» δηλδή λλάζουμε την σειρά των όρων τους έτσι ώστε πηγίνοντς πό τ ριστερά προς τ δεξιά οι δυνάμεις του ν μικρίνουν. Αυτό φίνετι στο επόμενο πράδειγμ: Ν διτάξτε το πολυώνυμο του. κτά τις φθίνουσες δυνάμεις Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

4 Πρτηρούμε ότι η μεγλύτερη δύνμη του είνι το. Γράφουμε πρώτ τον όρο που περιέχει το δηλδή τον -8, μετά τον όρο που περιέχει το, δηλδή τον κ.ο.κ. Έτσι έχουμε: Σημείωση: Αν λείπει κάποιος όρος άζουμε το 0. π.χ = Τι πρέπει ν προσέχουμε πάρ πολύ ) Υπάρχουν λγερικές πρστάσεις που δεν έχουν ριθμητική τιμή γι όλες τις τιμές των μετλητών. π.χ. η πράστση Α = δεν έχει ριθμητική τιμή γι = γιτί τότε ο πρνομστής γίνετι 0. ) Ότν έχουμε πράξεις μετξύ λγερικών πρστάσεων πρέπει ν χρησιμοποιούμε πρενθέσεις. π.χ. Α = - B = - + A B = ( - ) ( - + ) = = - Ανγώγη ομοι ών ο ρών Λέμε νγωγή ομοίων όρων σε μί λγερική πράστση την ντικτάστση των ομοίων όρων που υπάρχουν στην πράστση με το άθροισμ τους. Αυτό γίνετι, όπως φίνετι στ πρκάτω πρδείγμτ : Πράδειγμ : Ν γίνουν οι νγωγές των ομοίων όρων. ) ) γ ) z + z δ ) ε ) ω + φ + ζ - ω -φ στ ) ρ + ρ - ρ - 5 ζ ) t t 6 t t Λύση : Γι ν κάνουμε νγωγή ομοίων όρων κολουθούμε τ πρκάτω ήμτ : Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

5 Βήμ : Αλλάζουμε την σειρά των όρων έτσι ώστε οι όμοιοι όροι ν είνι ο ένς δίπλ στον άλλο. Βήμ : Βάζουμε σε μί πρένθεση τους συντελεστές κθενός πό τους όμοιους όρους. Βήμ : Bρίσκουμε τ θροίσμτ μέσ στις πρενθέσεις. ) = = = = ( ) + ( - + ) = = -0 + ) = = = = ( -5 ) + ( + ) + ( + ) = = = = - + γ ) z + z = = z + z = = ( -+ ) + - z + z = = z + z δ ) = 7 + ε ) ω + φ + ζ - ω - φ = φ + ζ στ ) ρ + ρ - ρ - 5 = -ρ + ρ -5 ζ ) t 6 t t t = 6 t t = 5 6 t t = t t 5 6 Πράδειγμ : Ν πλείψετε τις πρενθέσεις ( γκύλες, άγκιστρ ) κι ν κάνετε νγωγή ομοίων όρων : ) ( + 5 ) - ( + 6 ) - ( + ) ) [ - ( ) - ] + - γ) {- - ( 5 + z ) - [ - ( z + 5 ) ] } δ) [ ( ) 6 + ] Βγάζουμε πρώτ τις πρενθέσεις, μετά τις γκύλες κι τέλος τ άγκιστρ. ) ( + 5 ) - ( + 6 ) - ( + ) = = ) = ) [ - ( ) - ] + - = = ( ) - ) + - = Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 5

6 = = = γ) {- - ( 5 + z ) - [ - ( z + 5 ) ] }= = - [ - - ( 5 + z ) + ( z + 5 ) ] = = - ( z + z + 5 ) = = - ( z + z + 5 ) = = + + z - z δ) [ ( ) 6 + ] = = ( ) = = = = = = Πολλπλσισμο ς πολυώνυ μών Γινόμενο μονώνυμου με πολυώνυμο Γι ν πολλπλσιάσουμε έν μονώνυμο με έν πολυώνυμο: Πολλπλσιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου κι προσθέτουμε τ γινόμεν που προκύπτουν. Δηλδή, ( + γ ) = + γ Ότν πολλπλσιάζουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο ή πολυώνυμο επί πολυώνυμο λέμε ότι νπτύσσουμε το γινόμενο κι το ποτέλεσμ λέγετι νάπτυγμά του γινομένου. Πράδειγμ : Ν γίνουν οι πράξεις: ) ( - + ) ) ( + ) ) ( - + ) = (-) ( ) + (-) (-) + (-) = ) ( + ) = (- ) ( ) + (- ) (-) + (- ) 5 = Πράδειγμ : Ν ρείτε τ πρκάτω νπτύγμτ: ) ( - ) ) ( + ) ) ( - ) = 6 = 6 6 Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 6

7 ) ( + ) = 5 + Γινόμενο Πολυωνύμων Γι ν πολλπλσιάσουμε δυο πολυώνυμ: Πολλπλσιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου κι προσθέτουμε τ γινόμεν που προκύπτουν. Δηλδή, ( + ) ( γ + δ ) = ( γ + δ ) + ( γ + δ ) = γ +δ +γ + δ Ν γίνουν οι πράξεις: ) ( - ) ( + - ) ) ( ) ( + ) ) ( - ) ( + - ) = = ( + - ) ( + ) = = = = ) ( ) ( + ) = = ( + ) - ( + ) + ( - + ) + 5 ( + ) = = = = Τι πρέπει ν προσέχουμε πάρ πολύ Ότν έχουμε ν πολλπλσιάσουμε τρί ή περισσότερ πολυώνυμ πολλπλσιάζουμε τ δύο κι στη συνέχει ότι ρούμε με το τρίτο. Αυτό φίνετι στο πρκάτω πράδειγμ. ( + ) ( + ) ( ) = = ( ) ( - ) = = = = Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 7

8 Αξιοσημει ώτες Τυτο τητες Λέμε τυτότητ κάθε ισότητ που περιέχει μετλητές κι ληθεύει γι όλες τις τιμές των μετλητών. Οι σημντικότερες τυτότητες κι οι ποδείξεις τους νφέροντι πρκάτω:. ( + ) = + + Τετράγωνο θροίσμτος ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = = = = + +. ( - ) = - + Τετράγωνο διφοράς ( - ) = ( - ) ( - ) = ( - ) ( - ) = = = = - +. ( + ) ( - ) = Άθροισμ επί Διφορά ή Διφορά τετργώνων ( + ) ( - ) = ( - ) + ( - ) = = = =. ( + ) = Κύος θροίσμτος ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + + ) = = ( + + ) + ( + + ) = = = ( - ) = Κύος διφοράς ( - ) = ( - ) ( - ) = ( - ) ( - + ) = = ( - + ) - ( - + ) = = = = ( + ) ( - + ) Άθροισμ κύων ( + ) ( - + ) = ( - + ) + ( - + ) = = = = ( - ) ( + + ) Διφορά κύων Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 8

9 ( - ) ( + + ) = ( + + ) - ( + + ) = = = - Τι πρέπει ν προσέχουμε πάρ πολύ ) Οι τυτότητες που είδμε πρπάνω ισχύουν κι στην περίπτωση που ντί γι τ γράμμτ κι έχουμε πρστάσεις. π.χ. ( + ) = ( ) = + + ) Δεν πρέπει ν συγχέουμε τις τυτότητες κι 5 με τις τυτότητες 6 κι 7. Πράδειγμ : Ν ρείτε τ νπτύγμτ: ) ( + 5 ) ) ( t ) γ) ( + z ) δ) ) ( + 5 ) = = ) ( t + ) = ( t ) + t + = t - t + 9 γ) ( + z ) = ( ) +. z + ( z ) = + z + 9 z 6 9 δ).. Πράδειγμ : Ν ρείτε τ νπτύγμτ: ) ( ) ) ( ξ - t ) γ) ( - ) δ) ) ( ) = + = - + ) ( ξ - t ) = ξ ξ t + ( t ) = ξ 6ξt + 9t γ) ( - ) = ( ) + ( ) = - + δ) Πράδειγμ : Ν ρείτε τ νπτύγμτ: ) ( ) ( + ) ) ( - ) ( + ) γ) ( + ) ( - ) Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 9

10 Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 0 δ) ) ( ) ( + ) = ( ) = 9 - ) ( - ) ( + ) = = - 9 γ) ( + ) ( - ) = ( ) - ( ) = 6-9 δ) 9 Πράδειγμ : Ν ρείτε τ νπτύγμτ: ) ( κ + ) ) ( + ) γ) ( + ) δ) ) ( κ + ) = ( κ ) + ( κ ) + κ + = 7κ + 5κ + 6κ + 8 ) ( + ) = ( ) + ( ) + + = γ) ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = δ) Πράδειγμ 5: Ν ρείτε τ νπτύγμτ: ) ( - ) ) ( - ) γ) ( - ) δ) k ) ( - ) = = ) ( - ) = ( ) - ( ) + - = γ) ( - ) = ( ) - ( ) + ( ) - ( ) = = δ) 8 k k 7 8k 8 k 9 k 7 8k k k k k

11 Γενικά γι ν ποδείξουμε μι τυτότητ χρησιμοποιούμε ένν πό τους πρκάτω τρόπους: ος τρόπος: Ξεκινάμε πό το ο μέλος, κάνουμε πράξεις κι κτλήγουμε στο ο. Ν ποδείξετε ότι: ( + ) - ( - ) = Ξεκινάμε πό το ο μέλος κι έχουμε: ( + ) - ( - ) = ( + + ) ( - + ) = = = ος τρόπος: Ξεκινάμε πό το ο μέλος, κάνουμε πράξεις κι κτλήγουμε στο ο. Ν ποδείξετε ότι: κ - κ = ( κ + )( κ ) Ξεκινάμε πό το ο μέλος κι έχουμε: ( κ + )( κ ) = ( κ ) = ( κ ) = κ - κ ος τρόπος: Δείχνουμε ότι κι τ δύο μέλη της ισότητς είνι ίσ με την ίδι πράστση. Ν ποδείξετε ότι: ( + )( + ) ( + ) = ( ) Πίρνουμε το ο μέλος κι κάνουμε πράξεις: ( + )( + ) ( + ) = = ( + + ) = = = = + - Πίρνουμε το ο μέλος κι κάνουμε πράξεις: ( ) = - + = + - Άρ δείξμε ότι κι τ δύο μέλη είνι ίσ με την ίδι πράστση. Πρτήρηση: Συνήθως γι ν ποδείξουμε μι τυτότητ ξεκινάμε πό το μέλος που έχει τις περισσότερες πράξεις ν κάνουμε, δηλδή ν νπτύξουμε τυτότητες, ν κάνουμε νγωγές ομοίων όρων κ.λ.π. Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

12 5 Πργοντοποι ηση Πολυώνυ μών Πολλές φορές είνι χρήσιμο τις λγερικές πρστάσεις ν τις έχουμε σε γινόμενο πργόντων. Η διδικσί που κολουθούμε γι ν μεττρέψουμε μι πράστση πό άθροισμ σε γινόμενο λέγετι πργοντοποίηση. Θ δούμε τις πρκάτω σημντικότερες περιπτώσεις πργοντοποίησης. η Περίπτωση: Κοινός Πράγοντς. Ότν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου έχουν έν κοινό πράγοντ (ριθμό ή μετλητή ή κι τ δυο) τότε γι ν το κάνουμε γινόμενο χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητ. Ν γίνουν γινόμενο οι πρστάσεις: ) ) γ) δ) + + ε) ( ) + ( ) στ) ( + ) ( 5) ( + ) (5 ) ) Ο κοινός πράγοντς είνι το άρ = ( ) ) Ο κοινός πράγοντς είνι το, άρ = ( ) γ) O κοινός πράγοντς είνι το, άρ = ( ) δ) Ο κοινός πράγοντς είνι το, άρ + + = ( + + ) ε) Ο κοινός πράγοντς είνι όλη η πράστση, άρ ( ) + ( ) = ( ) ( + ) στ) Αρχικά δεν φίνετι ν υπάρχει κοινός πράγοντς όμως ν λλάξουμε το πρόσημου του δεύτερου όρου μπορούμε ν λλάξουμε το 5 σε 5, άρ ( + ) ( 5) ( + ) (5 ) = ( + ) ( 5) + ( + ) ( 5) Τώρ έχουμε κοινό πράγοντ το 5 άρ ( 5) ( ) = ( 5) ( + + ) Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

13 η Περίπτωση: Ομδοποίηση Ότν σε έν πολυώνυμο δεν υπάρχει κοινός πράγοντς γι όλους τους όρους, μπορεί χωρίζοντς τους όρους του σε ομάδες ν δημιουργήσουμε κοινό πράγοντ. Ν γίνουν γινόμενο οι πρστάσεις: ) ) + γ) γ + γ + + δ) 6 + ε) + + στ) + 7 ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) ) + = ( ) + ( ) = ( ) ( + ) γ) γ + γ + + = γ + + γ + = (γ + ) + (γ + ) = (γ + ) ( + ) δ) 6 + = = 6 + = = ( ) + ( ) = = ( ) ( + ) ε) + + = = + + = = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) στ) + 7 = = + 7 = = 7 ( + ) ( + ) = = 7 ( + ) ( + ) = = ( + ) (7 ) η Περίπτωση: Διφορά τετργώνων Όπως είδμε στις τυτότητες, η τυτότητ = ( + ) ( ) μεττρέπει έν πολυώνυμο που είνι διφορά τετργώνων σε γινόμενο. Ν γίνουν γινόμενο οι πρστάσεις: ) 9 ) γ) ( ) 6 δ) ( + ) ε) ( + ) ( ) Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

14 στ) 6 ) 9 = = ( + ) ( ) ) = () = (χ + ) (χ ) γ) ( ) 6 = ( ) 6 = ( + 6) ( 6) = ( + 5) ( 7) δ) ( + ) = ( + ) = [ + ( + )] [ ( + )] = = ( + + ) ( ) = ( + ) ( ) ε) ( + ) ( ) = [( + ) + ( )][( + ) ( )] = ( + + ) ( + + ) = = στ) 6 = ( 9 ) = [ () ] = ( + ) ( ) η Περίπτωση: Ανάπτυγμ τετργώνου Από τις τυτότητες ( + ) = + + κι ( ) = + λέπουμε ότι οι πρστάσεις της μορφής + + κι + μεττρέποντι σε γινόμενο. Ν γίνουν γινόμενο οι πρστάσεις ) + + ) κ κ + γ) + 9 δ) + 9 ) + + = + + = ( + ) ) κ κ + = κ κ + = (κ ) γ) + 9 = () + () = ( ) δ) + = 9 + 5η Περίπτωση: Τριώνυμο Λέμε τριώνυμο ου θμού κάθε πολυώνυμο του στο οποίο η μεγλύτερη δύνμη του που εμφνίζετι είνι το. π.χ. +, 5 + 6, + κ.λ.π. Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ

15 Γι ν πργοντοποιήσουμε έν τριώνυμο π.χ. το ρίσκουμε δυο ριθμούς που ν έχουν άθροισμ 5 κι γινόμενο 6. Οι ριθμοί υτοί είνι οι κι. Άρ = ( ) ( ) Ν γίνουν γινόμενο τ τριώνυμ: ) ) + γ) 5 + δ) ) Βρίσκουμε δυο ριθμούς με άθροισμ κι γινόμενο. Αυτοί είνι κι +. Άρ = ( +) ( ) ) Βρίσκουμε δυο ριθμούς με άθροισμ κι γινόμενο. Αυτοί είνι οι κι. Άρ + = ( ) ( + ) γ) 5 + = ( ) ( ) δ) = ( 5 + 6) = ( ) ( ) Σημείωση: Πολλές φορές γι ν πργοντοποιήσουμε μι πράστση χρησιμοποιούμε περισσότερες πό μι κτηγορίες πργοντοποίησης που είδμε πρπάνω. Αυτό φίνετι στ πρδείγμτ που κολουθούν: Ν γίνουν γινόμενο οι πρστάσεις: ) + ) ( + ) ( ) γ) + ) + = + = ( ) = ( + ) ( ) = = ( )( ) ( Γράψμε το σν -. Αυτή η μέθοδος λέγετι διάσπση ). ) ( + ) ( ) = ( + ) ( + 5) + ( + ) ( ) = = ( + ) ( ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) γ) + = + = ( ) + ( ) = ( ) = = [( + ) ( )] = ( + ) ( ) Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 5

16 Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 6 6 Κλσμτικές Αλγερικές Πρστάσεις Λέμε κλσμτική λγερική πράστση κάθε λγερική πράστση που μπορεί ν γρφεί σε μορφή κλάσμτος το οποίο ν περιέχει μετλητή στον πρνομστή. Μι κλσμτική λγερική πράστση έχει νόημ μόνο γι τις τιμές των μετλητών που δεν μηδενίζουν τον πρνομστή. π.χ. η κλσμτική λγερική πράστση έχει νόημ μόνο ότν Πολλπλσισμός κλσμτικών λγερικών πρστάσεων Γι ν πολλπλσιάσουμε δυο κλσμτικές πρστάσεις πολλπλσιάζουμε ριθμητή με ριθμητή κι πρνομστή με πρνομστή, Δηλδή, δ γ δ γ κι γ γ Διίρεση κλσμτικών λγερικών πρστάσεων Γι ν διιρέσουμε δυο κλσμτικές πρστάσεις πολλπλσιάζουμε την πρώτη με την ντίστροφη της δεύτερης. Δηλδή, γ δ γ δ δ γ : : :

17 Απλοποίηση κλσμτικών λγερικών πρστάσεων Γι ν πλοποιήσουμε μι κλσμτική λγερική πράστση μεττρέπουμε ριθμητή κι πρνομστή σε γινόμενο πργόντων κι στη συνέχει πλοποιούμε τους κοινούς πράγοντες ν υπάρχουν. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) ) γ) δ) ε) ) 6 ) γ) ( 5)( ) 5 δ) ε) ( ) 5 6 ( )( ) 9 9 Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 7

18 Μεττροπή σύνθετου κλάσμτος σε πλό Γι ν μεττρέψουμε έν σύνθετο κλάσμ σε πλό χρησιμοποιούμε την γνωστή ιδιότητ. δ (μέσους άκρους) γ γ δ Ν πλοποιηθούν τ κλάσμτ. ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Τι πρέπει ν προσέχουμε πάρ πολύ Ποτέ δεν πλοποιούμε έν κλάσμ εάν κι ο ριθμητής κι ο πρνομστής δεν είνι πργοντοποιημένοι. Μθημτικά Γ Γυμνσίου - Άλγερ Σελίδ 8