ΕΙΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΕΙΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΜΑΝΔΥΑ ΑΟΡΑΤΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ» Κυρίμη Βασιλική Μεταπτυχιακή φοιτήτρια - Α.Μ.: 5 Τμήμα Φυσικής Τομέας Εφαρμοσμένης Φυσικής Πανεπιστήμιο Πατρών Επιβλέπων Καθηγητής : Ανδρέας Τερζής Πάτρα Ιούλιος 0

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Σιγάλα Μιχαήλ αναπληρωτή καθηγητή του Τμήματος Επιστήμης Υλικών του Πανεπιστημίου Πατρών για τις γνώσεις που μου μετέδωσε για την συμβολή του στη βελτίωση και διεκπεραίωση της παρούσας Ειδικής Ερευνητικής Εργασίας καθώς και για την κατανόηση που έδειξε κατά τη διάρκεια της συνεργασίας μας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Τερζή αναπληρωτή καθηγητή του Τμήματος Φυσικής που ανέλαβε την επίβλεψη της παρούσας εργασίας και βοήθησε στη βελτίωσή της με τις εύστοχες παρατηρήσεις του καθώς και τον κ. Γκίκα καθηγητή του Τμήματος Φυσικής για τις επιστημονικές συζητήσεις μας και τις πολύτιμες συμβουλές του. Ειδικές ευχαριστίες απευθύνονται προς τον Δρ. Ευθύμιο Κάλλο που μας παραχώρησε τον κώδικά του και μας βοήθησε ουσιαστικά στην περαιτέρω κατανόησή του οδηγώντας μας έτσι στη σωστή τροποποίησή του. Ακόμα θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου για την ηθική και οικονομική υποστήριξη κατά τη διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος τους φίλους μου και την αδελφή μου Κωνσταντίνα των οποίων η ενθάρρυνση μου έδωσε τη δύναμη να αντεπεξέλθω στο διετές μεταπτυχιακό πρόγραμμα και να εκπονήσω την παρούσα εργασία.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΠΤΙΚΕΣ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΟΡΑΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή σελ.7. Σφαιρικό μέσο μετασχηματισμού..σελ.8. Ελλειψοειδές μέσο μετασχηματισμού.σελ.4.4 Μέσα μετασχηματισμού που συμπιέζουν το χώρο σε επίπεδη επιφάνεια.....σελ..4. Μέσο μετασχηματισμού από μετα-υλικά...σελ..4. Μέσο μετασχηματισμού από διηλεκτρικά.. σελ.4.4. Επίδοση μανδύα αορατότητας επιπέδου στον ελεύθερο χώρο...σελ.8 Βιβλιογραφία.σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. Εισαγωγή..σελ.4. Γενικά...σελ.4. Η μέθοδος FDTD τριών διαστάσεων... σελ.6.. Εφαρμογή της FDTD στις εξισώσεις του Mawell τριών διαστάσεων..σελ.7.4 Οριακές Συνθήκες Απορρόφησης...σελ.40.5 Το Στρώμα Τέλειας Προσαρμογής PML(Pefectl Matched Lae)...σελ.4.5. Γενικά σελ.4

4 .5. Μαθηματική Διατύπωση του PML...σελ.4.5. Περίπτωση ΤΜ πολωμένου κύματος σε δύο διαστάσεις σελ.47.6 Καθορισμός του μεγέθους της μοναδιαίας κυψελίδας σελ.49.7 Υπολογισμός του χρονικού βήματος...σελ.50 Βιβλιογραφία. σελ.5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΝΔΥΑ ΑΟΡΑΤΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ FDTD. Εισαγωγή..σελ.54. Οπτική συμπεριφορά του μέσου μετασχηματισμού για διαφορετικά ορθογωνικά πλέγματα προσομοίωσης....σελ.56. Οπτική συμπεριφορά του μέσου μετασχηματισμού για τυχαία μεταβολή των τιμών επιτρεπτότητας σε κάθε πλεγματικό σημείο.σελ.59.4 Διερεύνηση της οπτικής συμπεριφορά του μέσου μετασχηματισμού όταν εισάγεται απορρόφηση.σελ.6.5 Προσθήκη στρώσεων από διηλεκτρικά στην περιοχή έξω από τον μανδύα αορατότητας...σελ.65 Βιβλιογραφία...σελ.77 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΥΛΙΚΑ ΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΥΝ ΔΙΑΣΠΟΡΑ σελ.78 Βιβλιογραφία.σελ.80 4

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ....σελ.8 Βιβλιογραφία.σελ.85 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : ΜΕΤΑ-ΥΛΙΚΑ..... σελ.86 Βιβλιογραφία.σελ.89 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 4 :ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ..σελ.90 Βιβλιογραφία.σελ.9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5 : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...σελ.9 Βιβλιογραφία.σελ.96 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 6 : ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΝΕΡΓΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΥΧΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...σελ.97 Βιβλιογραφία...σελ.0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7 : ΚΩΔΙΚΑΣ...σελ.0 5

6 6 Στους γονείς μου Γεωργία και Χρήστο

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΠΤΙΚΕΣ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΟΡΑΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εξηγηθεί ο τρόπος με τον οποίο επιτυγχάνεται ο έλεγχος των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και η κατασκευή μιας συσκευής αορατότητας θέτοντας ένα βασικό ερώτημα:ας φανταστούμε ότι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία προσπίπτει σε ένα μέσο που δεν έχει σταθερό δείκτη διάθλασης. Οι ακτίνες του φωτός δεν θα ακολουθήσουν ευθεία γραμμή αλλά θα καμπυλωθούν σύμφωνα με την αρχή του Femat.Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η καμπύλωση είναι τέτοια ώστε να δημιουργείται μια σφαιρική οπή μέσα στην οποία δεν περνάει καμία ακτίνα φωτός με αποτέλεσμα οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στην οπή αυτή να είναι αόρατο. Το ερώτημα που προκύπτει είναι το εξής: Είναι δυνατόν οι καμπυλωμένες ακτίνες του φωτός που ακολουθούν κάποιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες και προκαλούν την οπτική ψευδαίσθηση της αορατότητας να μετασχηματίζονται σε ευθείες γραμμές; Σε αυτή την περίπτωση το μέσο που δεν έχει σταθερό δείκτη διάθλασης πραγματοποιεί έναν μετασχηματισμό συντεταγμένων και ο χώρος των οπτικών ψευδαισθήσεων ή αλλιώς ο πραγματικός φυσικός χώρος απεικονίζεται σε έναν εικονικό χώρο όπου οι ακτίνες ακολουθούν ευθείες γραμμές όπως όταν έχουμε διάδοση στο κενό όπου ο δείκτης διάθλασης είναι σταθερός. Οι οπτικές παράμετροι ε και μ του μη ομογενούς μέσου που μιμείται την αδιατάρακτη διάδοση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στον κενό χώρο και ονομάζεται μέσο μετασχηματισμού έχουν εξαχθεί στο παράρτημα 6 ενώ ο βασικός φορμαλισμός της τεχνικής μετασχηματισμού συντεταγμένων δίνεται στο παράρτημα 5. Υπάρχουν τρεις πιθανοί τύποι μετασχηματισμού που μπορεί να υφίσταται το αντικείμενο προς κάλυψη από το μη ομογενές μέσο έτσι ώστε στον εικονικό χώρο να εμφανίζεται πολύ μικρό σχεδόν αόρατο: Η συρρίκνωσή του σε κουκκίδα σε γραμμή ή σε επίπεδο. Κατά την διαδικασία της συρρίκνωσης το 7

8 αντικείμενο γίνεται απείρως αγώγιμο και ένα επίπεδο με άπειρη αγωγιμότητα δεν είναι προφανώς αόρατο. Αν όμως το αντικείμενο προς κάλυψη τοποθετηθεί σε ένα αγώγιμο επίπεδο θα δείξουμε ότι το αντικείμενο προς κάλυψη μαζί με το κατάλληλο μη ομογενές μέσο μετασχηματισμού μιμούνται την οπτική συμπεριφορά ενός επιπέδου πάνω στο οποίο δεν βρίσκεται απολύτως τίποτα. Τότε λέμε ότι το μέσο μετασχηματισμού δημιουργεί την απόλυτη οπτική ψευδαίσθηση την αορατότητα και το χαρακτηρίζουμε ως μανδύα αορατότητας επιπέδου. Στις επόμενες τρεις ενότητες θα εξαχθούν οι κατάλληλοι μετασχηματισμοί συντεταγμένων που πρέπει να εκτελέσει το μέσο μετασχηματισμού ξεκινώντας από την περίπτωση που έχουμε σφαιρικό αντικείμενο προς κάλυψη το οποίο συρρικνώνεται σε κουκκίδα.. Σφαιρικό μέσο μετασχηματισμού Για την εξαγωγή του κατάλληλου μετασχηματισμού συντεταγμένων εισάγονται αρχικά δύο διαφορετικοί χώροι: Ο εικονικός χώρος (είναι το μέσο που περιβάλλει το αντικείμενο προς κάλυψη) και ο φυσικός χώρος (το μέσο μετασχηματισμού). Οι δύο χώροι περιγράφονται από τα συστήματα συντεταγμένων ( ) και ( ' ' ') αντίστοιχα. Ο σκοπός είναι η κουκκίδα του εικονικού χώρου να μετασχηματιστεί σε σφαιρικό κέλυφος ακτίνας R όπως φαίνεται στο σχήμα : Εικονικός Χώρος Φυσικός Χώρος Σχήμα. Η κουκκίδα του εικονικού χώρου μετασχηματίζεται σε σφαιρικό κέλυφος στον φυσικό χώρο με τον κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων. 8

9 Συνεπώς ο κατάλληλος μετασχηματισμός ' f ( ) πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη: Για 0 ' R. Το σφαιρικό μέσο μετασχηματισμού που έχει εσωτερική ακτίνα R και εξωτερική ακτίνα R πρέπει να κατευθύνει τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα γύρω από το σφαιρικό αντικείμενο προς κάλυψη χωρίς να μπορεί να ανιχνευθεί. Αυτό συμβαίνει όταν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στην περιοχή ' R και ακολουθούν την ίδια διαδρομή με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στην περιοχή R του εικονικού χώρου όπως φαίνεται στο σχήμα. Εφόσον τα κύματα έξω από το μέσο μετασχηματισμού εμφανίζονται σαν να διαδίδονται στο κενό η συσκευή δεν προκαλεί κάποια διαταραχή και επομένως δεν είναι δυνατόν να εντοπιστεί. Κατά συνέπεια όταν οι συντεταγμένες των δύο χώρων συμπίπτουν στην περιοχή εκτός του εξωτερικού περιβλήματος του μέσου μετασχηματισμού οι ανακλάσεις είναι ανύπαρκτες όπως έχει επιβεβαιωθεί με τη βοήθεια της θεωρίας σκέδασης []. Επιπλέον στο σχήμα φαίνεται ότι υπάρχει ιδιαιτερότητα της ακτίνας φωτός που κατευθύνεται προς το κέντρο της σφαίρας. Η ακτίνα αυτή έχει ίση πιθανότητα να κατευθυνθεί πάνω ή κάτω δεξιά ή αριστερά και ονομάζεται κρίσιμη ακτίνα. Οι γειτονικές ακτίνες κάμπτονται σχηματίζοντας τόξα που πυκνώνουν όλο και περισσότερο καθώς η απόσταση από την κρίσιμη ακτίνα μειώνεται. Έτσι η ακτίνα αντιλαμβάνεται απότομες αλλαγές στις παραμέτρους ' ' που είναι αποτέλεσμα της ανισοτροπίας του υλικού []. και Σχήμα. Πορεία των ακτινών του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στον εικονικό και τον φυσικό χώρο έτσι ώστε να μην ανιχνεύεται το αντικείμενο προς κάλυψη και το μέσο μετασχηματισμού. 9

10 Οι σωστές οριακές συνθήκες για το εσωτερικό περίβλημα του μέσου μετασχηματισμού έχουν επίσης εξαχθεί []. Σύμφωνα με τα παραπάνω η δεύτερη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται προκειμένου να εξαγάγουμε τον κατάλληλο μετασχηματισμό για τέλεια αορατότητα είναι η εξής: Για R ' R. Ο μετασχηματισμός που ικανοποιεί τις δύο παραπάνω συνθήκες είναι ο ακόλουθος: ' R R R R ' ' και η γραφική παράσταση της συνάρτησης του μετασχηματισμού φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα. Μετασχηματισμός που πραγματοποιείται από σφαιρικό μέσο μετασχηματισμού. Στις περιοχές του φυσικού χώρου με R τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν φθάνουν ποτέ και για R οι συντεταγμένες των δύο χώρων συμπίπτουν[4]. Δεδομένου του μετασχηματισμού υπολογίζουμε τον πίνακα μετασχηματισμού ' ( που ορίζεται στο παράρτημα 5) και την ορίζουσά του και αντικαθιστώντας στις σχέσεις ' det ' ' ' ' det ' μετά από αλγεβρικούς υπολογισμούς προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις για τα στοιχεία των τανυστών και σφαιρικού μέσου μετασχηματισμού(οι τόνοι παραλείπονται για αισθητικούς λόγους): του 0

11 R R R R R R R Οι ίδιες ακριβώς σχέσεις εξάγονται αν επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για τους τανυστές που δίνονται στο παράρτημα 6 (σελ.00). Το επόμενο βήμα είναι ο χαρακτηρισμός του μέσου μετασχηματισμού από τις παραπάνω παραμέτρους λαμβάνοντας υπ όψη και κάποιους θεωρητικούς περιορισμούς. Είναι προφανές ότι το μέσο είναι ανισοτροπικό (βλ. παράρτημα ) και επομένως μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μετα-υλικά (βλ. παράρτημα ). Σημειώνεται ότι η ανισοτροπία του μέσου υπαγορεύεται και από την μοναδικότητα των λύσεων του αντιστρόφου προβλήματος σκέδασης κυμάτων σε ισοτροπικά μέσα [5]. Προκύπτει ότι η συμπεριφορά της διάδοσης στο κενό ή σε ομογενές μέσο(κατευθύνσεις και πλάτη των διαδιδόμενων επίπεδων κυμάτων) είναι θεωρητικά συνεπής μόνο με τη διάδοση σε ομογενές μέσο στον πραγματικό χώρο. Έτσι τα ισοτροπικά μέσα δεν είναι δυνατόν να δημιουργήσουν τέλειες οπτικές ψευδαισθήσεις λόγω της κυματικής φύσης του φωτός. Οι παράμετροι παρουσιάζουν ιδιαιτερότητα για =R (σε όλα τα σημεία του εσωτερικού κελύφους του μέσου μετασχηματισμού) όπου μηδενίζονται γεγονός που δυσκολεύει την πρακτική κατασκευή του μανδύα. Επιπλέον οι παράμετροι παίρνουν τιμές μικρότερες τις μονάδας για R R οπότε το σφαιρικό μέσο μετασχηματισμού πρέπει να παρουσιάζει διασπορά. Ένας άλλος λόγος για τον οποίο το υλικό του μανδύα πρέπει να παρουσιάζει διασπορά είναι η απαίτηση η ταχύτητα ομάδας να είναι μικρότερη της ταχύτητας του φωτός (βλ. παράρτημα ). Όμως η διασπορά περιορίζει το εύρος συχνοτήτων στο οποίο λειτουργεί η συσκευή γιατί οι παράμετροι είναι πλήρως ενεργές( )για μία μόνο συχνότητα. eff eff Ένα άλλο θεμελιώδες πρόβλημα του σφαιρικού μέσου μετασχηματισμού προέρχεται από το γεγονός ότι στον εικονικό χώρο το φως περνάει από την κουκκίδα σε απειροστό χρόνο αλλά στον φυσικό χώρο η κουκκίδα έχει επεκταθεί σε σφαίρα. Συνεπώς το φως στο εσωτερικό κέλυφος του μανδύα πρέπει να διαδίδεται με άπειρη ταχύτητα φάσης( η οποία θα έπρεπε να είναι ίση με την ταχύτητα ομάδος απουσία

12 διασποράς) ιδιότητα που έχουν τα μετα-υλικά για συχνότητες ίσες με τις συχνότητες συντονισμού των δομικών τους στοιχείων. Ακτινοβολία διαφορετικών συχνοτήτων δεν θα συντελέσει στην κάλυψη του αντικειμένου και θα παραμορφωθεί. Όμως η ταχύτητα ομάδας είναι συνήθως μηδενική στους συντονισμούς με αποτέλεσμα η ακτινοβολία να απορροφάται από τη συσκευή [6]. Κατά συνέπεια απαιτείται μια διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος αν επιδιώκεται η κατασκευή μιας συσκευής που να λειτουργεί σε ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων. Σύμφωνα με τον Leonhadt [7] οι καμπυλωμένες ακτίνες του φωτός που ακολουθούν τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες πρέπει να προέρχονται από μετασχηματισμό συντεταγμένων ενός χώρου που δεν είναι επίπεδος όπως ο εικονικός χώρος του σχήματος Α που καλύπτεται από καρτεσιανές συντεταγμένες. Ένας μη επίπεδος μη ευκλείδειος χώρος είναι η επιφάνεια της σφαίρας όπως αποδεικνύεται στο παράρτημα 5. Σε έναν καμπυλωμένο χώρο το φως μπορεί να διαδίδεται αποφεύγοντας ορισμένες περιοχές όπως φαίνεται στο σχήμα 4Α. Έτσι στον φυσικό χώρο (σχήμα 4Β) το φως θα περνάει μέσα από την συσκευή και θα βγαίνει από αυτή ακολουθώντας την ίδια κατεύθυνση χωρίς δηλαδή να αντιλαμβάνεται την παρουσία της. Ο σκοπός όμως είναι να δημιουργηθεί ψευδαίσθηση αορατότητας για ένα αντικείμενο και όχι απλά να μην μπορεί να εντοπιστεί η συσκευή αορατότητας. Αν η κόκκινη γραμμή επεκταθεί όπως φαίνεται στο σχήμα 5 δημιουργείται ένας χώρος αδιαπέραστος από ηλεκτρομαγνητικά κύματα όπου μπορεί να τοποθετηθεί το αντικείμενο προς κάλυψη. Η ιδέα της μη ευκλείδειας συσκευή αορατότητας είναι εύκολο να διεκπεραιωθεί πρακτικά διότι όπως αποδεικνύεται [8] δεν απαιτούνται ιδιαίτερες οπτικές ιδιότητες όπως απειρισμός η μηδενισμός της ταχύτητας του φωτός. Ωστόσο η παρουσία της συσκευής αορατότητας μπορεί να αποκαλυφθεί εφόσον χρειάζεται επιπλέον χρόνος έτσι ώστε το φως να διαγράψει τις τροχιές πάνω στη σφαίρα( κίτρινη γραμμή σχήματος 4Α).

13 Σχήμα 4. Μη ευκλείδεια συσκευή αορατότητας σε δύο διαστάσεις. Η συσκευή προκαλεί την ψευδαίσθηση που φαίνεται στο σχήμα (Α): Το φως διαδίδεται στον εικονικό χώρο που αποτελείται από μια σφαίρα και ένα επίπεδο ακολουθώντας τροχιά που φαίνεται με κίτρινη γραμμή. Σφαίρα και επίπεδο απεικονίζονται στο φυσικό χώρο (Β). Τα όρια της συσκευής αορατότητας φαίνονται με την μπλε γραμμή. Η μαύρη γραμμή είναι η απεικόνιση των σημείων στα οποία σφαίρα και επίπεδο εφάπτονται ενώ από την κόκκινη γραμμή δεν περνάει ποτέ το φως. Έτσι ενώ είναι εύκολη η πρακτική κατασκευή της μη ευκλείδειας συσκευής αορατότητας αυτή είναι εύκολο να εντοπιστεί αν μετρηθεί κάποια χρονική καθυστέρηση η κάποια μετατόπιση των μετώπων κύματος. Αντιθέτως η ευκλείδεια συσκευή αορατότητας κατασκευάζεται δύσκολα διότι στις παραμέτρους δεν είναι εύκολο να αποδοθούν πρακτικά οι τιμές που δίνονται από τη θεωρία. Αν όμως τελικά κατασκευαστεί η συσκευή με τις ακριβείς τιμές η αορατότητα θα είναι τέλεια. Σχήμα 5. Το φως δεν φθάνει ποτέ στον χώρο που βρίσκεται εντός της κόκκινης γραμμής. Οτιδήποτε βρίσκεται στο χώρο αυτό είναι αόρατο.

14 Η εργασία αυτή δεν εξετάζει την οπτική συμπεριφορά της μη ευκλείδειας συσκευής αορατότητας αλλά αναφέρεται για λόγους πληρότητας. Όπως θα δείξουμε σε επόμενη παράγραφο αορατότητα σε σχετικά μεγάλο εύρος συχνοτήτων επιτυγχάνεται με μια συσκευή όχι από μετα-υλικά (διότι τότε λειτουργεί για μικρό εύρος συχνοτήτων και παρουσιάζει απώλειες) αλλά από ισοτροπικά διηλεκτρικά υλικά.. Ελλειψοειδές μέσο μετασχηματισμού Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο οι σφαιρικές συσκευές αορατότητας καλύπτουν πλήρως ένα αντικείμενο που τοποθετείται εντός του εσωτερικού τους περιβλήματος ανεξαρτήτως του σχήματός του. Ωστόσο οι συσκευές αυτές δεν είναι αρκετά αποδοτικές για αντικείμενα που εκτείνονται κυρίως σε μια διάσταση του χώρου. Συνεπώς εισήχθηκαν συσκευές αορατότητας με ελλειπτικό σχήμα η διατομή των οποίων φαίνεται με πράσινο χρώμα στο σχήμα 6: Σχήμα 6. Διατομή της ελλειψοειδούς συσκευής αορατότητας στο επίπεδο του φυσικού χώρου. Ο εσωτερικός και ο εξωτερικός μικρός άξονας του ελλειψοειδούς κελύφους έχουν ακτίνα a και b αντίστοιχα. Ο λόγος μεγάλου προς μικρό άξονα στην εσωτερική έλλειψη είναι και το ίδιο ισχύει για την εξωτερική έλλειψη.έτσι έχουμε την γενίκευση τριών διαφορετικών περιπτώσεων. Για = έχουμε κυλινδρική συσκευή για 4

15 > έχουμε οριζόντια ελλειψοειδή συσκευή και για < έχουμε κάθετη ελλειψοειδή συσκευή. Όπως και στην προηγούμενη ενότητα γράφουμε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται προκειμένου α) να μην υπάρχουν ανακλάσεις από τη συσκευή και β) μια πολύ λεπτή γραμμή που εκτείνεται στον άξονα ή αλλιώς ένας κύλινδρος με απειροστή ακτίνα 0 στον εικονικό χώρο να απεικονίζεται σε ελλειψοειδές κέλυφος με μεγάλο άξονα μέτρου a και μικρό άξονα μέτρου a στον φυσικό χώρο. Για να ικανοποιείται η απαίτηση α) πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες: ) ( ) ( b00) ( ' ' ') ( b00 ) ) ( ) (0 b0) ( ' ' ') (0 b0) Για να ικανοποιείται η απαίτηση β) πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες: ) ( ) ( 00) ( ' ' ') ( a00 ) όταν 0 v) ( ) (0 0) ( ' ' ') (0 0) όταν 0 Συνεπώς ο κατάλληλος μετασχηματισμός είναι ο εξής: b a ' b a b a ' b ' a Αν θέσουμε 0 ' ' ' ο πίνακας μετασχηματισμού ' είναι ο ακόλουθος: ' ' ' ' ' ' ' ' ' a 0 ' a 0 ' 0 a 0 ' a

16 6 H ορίζουσα του πίνακα μετασχηματισμού είναι 0 ' ' ' det a οπότε από τις σχέσεις det det ' ' ' ' ' ' εξάγεται: όπου ) ( ) ( ) ( ) ( a a b b a a R a a a a R a a a R a a με και 4 R. Αν θέσουμε στις παραπάνω σχέσεις = προκύπτουν οι απλοποιημένες σχέσεις της περίπτωσης του κυλινδρικού μέσου μετασχηματισμού[9]: ) ( ) ( ) ( a a b b a a a a a a a a a a a Συγκρίνοντας τις παραμέτρους κυλινδρικού μέσου μετασχηματισμού με αυτές του ελλειπτικού μέσου μετασχηματισμού παρατηρούμε ότι τα ελλειπτικά μέσα έχουν

17 λιγότερες ιδιαιτερότητες σε σχέση με τα κυλινδρικά των οποίων οι παράμετροι ε ε ε και ε τείνουν στο άπειρο ενώ η παράμετρος ε τείνει στο μηδέν για =a. Συνεπώς το κυλινδρικό μέσο μετασχηματισμού είναι δύσκολο να κατασκευαστεί σε πρακτικές εφαρμογές διότι οι ιδιαιτερότητες των παραμέτρων κατανέμονται σε όλα τα σημεία του κύκλου ακτίνας =a. Αντιθέτως οι παράμετροι του ελλειπτικού μέσου μετασχηματισμού παρουσιάζουν ιδιαιτερότητα σε δύο μόνο σημεία στα οποία η εσωτερική έλλειψη τέμνει τον -άξονα: ( ) ( a0). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η κατασκευή της ελλειπτικής συσκευής αορατότητας είναι ευκολότερη. Στο σχήμα 7 φαίνεται η επίδοση αυτής της συσκευής για εγκάρσιο μαγνητικό (ΤΜ) πολωμένο κύμα. Παρατηρούμε ότι έξω από τη συσκευή τα επίπεδα κύματα διαδίδονται χωρίς σημαντικές αλλαγές σε σχέση με τη διάδοση στο κενό όπου δεν υπάρχουν αντικείμενα. Έτσι επιβεβαιώνεται και πειραματικά η λειτουργία του ελλειπτικού μέσου μετασχηματισμού ως συσκευή αορατότητας που καλύπτει αντικείμενα ανεξαρτήτως του σχήματος και του τύπου του υλικού σε αντίθεση με τις πλασμονικές συσκευές αορατότητας ή τις συσκευές που κατασκευάζονται από LHMs(βλ. Παράρτημα Πίνακας )[0] [] [] []. Σχήμα 7. Αριστερά: Διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στον εικονικό χώρο. Δεξιά: Τα κύματα έξω από το ελλειπτικό μέσο μετασχηματισμού δεν παραμορφώνονται γιατί το μέσο τα οδηγεί σωστά γύρω από το αντικείμενο προς κάλυψη. Από την αναφορά []. Παρά τα πλεονεκτήματα του ελλειπτικού μέσου μετασχηματισμού η πρώτη συσκευή αορατότητας που κατασκευάστηκε πρακτικά ήταν κυλινδρικού σχήματος και συνεπώς ο μετασχηματισμός στον οποίο βασίστηκε η εξαγωγή των παραμέτρων ήταν ο εξής: 7

18 b a ' a b ' ' που συμπιέζει τον εικονικό χώρο με 0 b στον φυσικό χώρο με a ' b. Από τη θεωρία [] παίρνουμε τις συνιστώσες των τανυστών : b a. (.) b a Αν το ηλεκτρικό πεδίο είναι πολωμένο παράλληλα στον άξονα του κυλίνδρου οι παράμετροι μηδενίζονται. Οι μη μηδενικές παράμετροι εξαρτώνται από την ακτίνα γεγονός που δυσκολεύει την κατασκευή. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούνται απλοποιημένες παράμετροι που έχουν τις ίδιες σχέσεις διασποράς με τις παραπάνω παραμέτρους έτσι ώστε τα κύματα να ακολουθούν τις ίδιες διαδρομές στο μέσο και να μην αλλάζει η δυναμική τους. Οι απλοποιημένες παράμετροι είναι οι εξής: b (.) b a από τις οποίες μόνο η μ μεταβάλλεται με την ακτίνα. Συνεπώς η κατάλληλη συσκευή είναι ένα μετα-υλικό από SRRs (Splt Rng Resonatos) διότι για διαφορετικές γεωμετρίες των SRRs(σχήμα 8) έχουμε διαφορετικές μαγνητικές αποκρίσεις όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Σχήμα 8. Παράμετροι του SRR Tιμές των παραμέτρων και s με τις αντίστοιχες μαγνητικές αποκρίσεις μ [4] Έτσι για οποιαδήποτε ακτίνα μπορούμε να πάρουμε την σωστή τιμή της παραμέτρου μ ρυθμίζοντας κατάλληλα τις παραμέτρους s του SRR. H γεωμετρία της συσκευής 8

19 από μετα-υλικό και η γραφική παράσταση των απλοποιημένων παραμέτρων σε σχέση με την ακτίνα φαίνονται στο σχήμα 9. Στα σχήματα ΑΒCD απεικονίζεται με μαύρες γραμμές η κατεύθυνση ροής ενέργειας (διάνυσμα Pontng) στις προσομοιώσεις καθώς και στις πειραματικές μετρήσεις. Το υλικό που καλύπτεται είναι κύλινδρος από χαλκό και η συχνότητα για την οποία έχουμε τα επιθυμητά πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα είναι τα 85GH. Σχήμα 9. Μανδύας αορατότητας για απλοποιημένες ηλεκτρομαγνητικές παραμέτρους. (Α) Προσομοίωση για μανδύα με τις ακριβείς παραμέτρους (Β) Προσομοίωση για μανδύα με τις απλοποιημένες παραμέτρους (C) πειραματική μέτρηση για τον κύλινδρο από χαλκό χωρίς μανδύα (D) πειραματική μέτρηση για μανδύα με τις απλοποιημένες παραμέτρους[4]. Συγκρίνοντας τα παραπάνω σχήματα συνάγεται ότι ο μανδύας περιορίζει σημαντικά τις ανακλάσεις εφόσον τα μέτωπα κύματος στα όρια του μανδύα ταιριάζουν με τα μέτωπα κύματος έξω από τον μανδύα. Η ανακλάσεις δεν μηδενίζονται λόγω των απλοποιημένων παραμέτρων στις οποίες βασίστηκε η πρακτική διεκπεραίωση του μανδύα. Επιπλέον στην έξοδο της συσκευής τα κύματα φθίνουν λόγω της απορρόφησης από το μετα-υλικό. Η απουσία ανακλάσεων στην περίπτωση του μανδύα με τις ακριβείς παραμέτρους (σχήμα Α ) μπορεί να προβλεφθεί και θεωρητικά υπολογίζοντας την εμπέδηση στο σύνορο =b : όπου η είναι η εμπέδηση του κενού. Μια ενδιαφέρουσα συσκευή αορατότητας κυλινδρικού σχήματος με απλοποιημένες παραμέτρους προτάθηκε από τους [5] η οποία προορίζεται για μελλοντική πειραματική επιβεβαίωση της αορατότητας. Το 9

20 πλεονέκτημά της είναι ότι έχει εμπέδηση ίση με του κενού και για μαγνητικό πεδίο πολωμένο παράλληλα στον άξονα του κυλίνδρου κενού οι μη μηδενικές απλοποιημένες παράμετροι δίνονται παρακάτω: R R R R (.) R R R R R R από όπου φαίνεται ότι μόνο η παράμετρος ε εξαρτάται από την ακτίνα. Από το σχήμα 0 παρατηρούμε ότι η κάμψη των κυμάτων μέσα στη συσκευή είναι παρόμοια με την περίπτωση του ιδανικού μανδύα αορατότητας. Από τον υπολογισμό της ενεργού διατομής σκέδασης αποδεικνύεται ότι η σκέδαση στο όριο συσκευής και εξωτερικού χώρου (=b) μειώνεται αρκετά. Όμως από την αριθμητική προσομοίωση με τη μέθοδο FDTD βγήκε το συμπέρασμα ότι οι απώλειες είναι αρκετά μεγάλες. Επιπλέον το αντικείμενο θεωρείται αόρατο σε ένα πολύ μικρό εύρος συχνοτήτων γύρω από τα GH. Σχήμα 0. Η κανονικοποιημένη κατανομή μαγνητικού Η πεδίου για συσκευή αορατότητας με απλοποιημένες παραμέτρους. Το κυλινδρικό αντικείμενο προς κάλυψη είναι τέλειος αγωγός. Για να γίνει σύγκριση των διαφορετικών μανδυών αορατότητας κυλινδρικού σχήματος των οποίων οι παράμετροι δίνονται από τις σχέσεις (.) (.) και (.) παρατίθεται το διάγραμμα σκέδασης. Παρατηρούμε ότι ο μανδύας με απλοποιημένες παραμέτρους (σχέση (.)) και τέλεια εμπέδηση ( ίση με του κενού) που η 0

21 συμπεριφορά του απεικονίζεται με κόκκινο χρώμα περιορίζει τη σκέδαση στην γωνία 80 ο και προσεγγίζει την συμπεριφορά του ιδανικού μανδύα που απεικονίζεται με μαύρο χρώμα στις γωνίες μεταξύ -90 ο και 90 ο. Σχήμα. Σύγκριση της επίδοσης των διαφορετικών κυλινδρικών μανδυών αορατότητας ως προς την σκέδαση [6]..4 Μέσα μετασχηματισμού που συμπιέζουν το χώρο σε επίπεδη επιφάνεια.4. Μέσο μετασχηματισμού από μετα-υλικά. Πρόσφατα προτάθηκε ένας διαφορετικός τύπος μετασχηματισμού [7] για τον οποίο το αντικείμενο προς κάλυψη συρρικνώνεται σε επίπεδη επιφάνεια. Το αντικείμενο προς κάλυψη πρέπει να τοποθετηθεί μεταξύ του μέσου μετασχηματισμού και μιας μεταλλικής επιφάνειας έτσι ώστε να επιτευχθεί αορατότητα. Το μέσο μετασχηματισμού πρέπει να βρίσκεται μέσα σε ένα άλλο μέσο (bacgound medum) έτσι ώστε οι παράμετροι του μανδύα να μην παρουσιάζουν διασπορά (να μην παίρνουν τιμές μικρότερες της μονάδας)και να είναι εύκολη η σύζευξη με το κενό. Χάριν απλότητας οι L και P περιόρισαν το πρόβλημα στις δύο διαστάσεις

22 θεωρώντας επίπεδο υπόστρωμα από ομογενές διηλεκτρικό επιτρεπτότητας ε b. Για ηλεκτρικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο οι παράμετροι που προκύπτουν από τον μετασχηματισμό είναι οι ε μ μ οι οποίες είναι συναρτήσεις χωρικών συντεταγμένων. Οι τιμές των παραμέτρων είναι μεγαλύτερες της μονάδας αν η παράμετρος ε b είναι αρκετά μεγαλύτερη της μονάδας. Απαραίτητη προϋπόθεση για την επιθυμητή επίδοση της συσκευής είναι ο σωστός σχεδιασμός της έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η ανισοτροπία του υλικού από το οποίο αποτελείται. Ορίζοντας έναν παράγοντα ανισοτροπίας α=ma(n /n n /n ) οι L και P επέλεξαν τον κατάλληλο μετασχηματισμό για τον οποίο ο παραπάνω παράγοντας είναι κοντά στη μονάδα. Για αυτόν τον μετασχηματισμό μπορεί να θεωρηθεί ότι η διαπερατότητα είναι ίση με τη μονάδα. Στο σχήμμα (C) φαίνονται οι συντεταγμένες του φυσικού χώρου στην περιοχή του μανδύα και η κατανομή του δείκτη διάθλασης στην περίπτωση του μετασχηματισμού που ελαχιστοποιεί τον παράγοντα ανισοτροπίας. Στο σχήμα (Β) φαίνονται με μαύρη γραμμή τα ΙΜLs ( Impedance Matchng Laes )που τοποθετούνται μεταξύ του μέσου μετασχηματισμού και του διηλεκτρικού έτσι ώστε η εμπέδηση να μη μεταβάλλεται απότομα και να περιορίζονται οι ανακλάσεις. H διαδικασία σχεδιασμού τους περιγράφεται στην αναφορά [8]. Στο σχήμα (D) φαίνεται ότι όταν οι ακτίνες φωτός προσπίπτουν στην διαταραχή με τον μανδύα αορατότητας επιπέδου ανακλώνται με τον ίδιο τρόπο με τις ακτίνες που προσπίπτουν στην επίπεδη επιφάνεια χωρίς τη διαταραχή. Σχήμα. Μέσο μετασχηματισμού μέσα σε υλικό με ομογενή και σχετικά υψηλό δείκτη διάθλασης. Μέσα στην λευκή περιοχή τοποθετείται το αντικείμενο προς κάλυψη. Οι γραμμές του

23 πλέγματος είναι ορθογώνιες μεταξύ τους έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η ανισοτροπία και ο χρωματιστός χάρτης δείχνει την κατανομή του δείκτη διάθλασης. Για την κατασκευή του μέσου μετασχηματισμού(μανδύα) χρησιμοποιούνται μεταυλικά που δεν παρουσιάζουν συντονισμό(σχήμα ) έτσι ώστε η συσκευή να λειτουργεί για μεγάλο εύρος συχνοτήτων. Στο συγκεκριμένο πείραμα αορατότητα επιτυγχάνεται για συχνότητες -6GH. Η σχέση μεταξύ της παραμέτρου της μοναδιαίας κυψελίδας και του δείκτη διάθλασης υπολογίζεται αριθμητικά[9][0]. Σχήμα. Φωτογραφία του μέσου μετασχηματισμού από μετα-υλικό. Η παράμετρος α των δομικών του στοιχείων αλλάζει έτσι ώστε να επαληθεύεται η κατανομή του δείκτη διάθλασης που προβλέπεται από τον μετασχηματισμό. Το μειονέκτημα του παραπάνω μανδύα αορατότητας επιπέδου είναι ότι απαιτεί περισσότερες από 6000 μοναδιαίες κυψελίδες από μετα-υλικό που διαφέρουν μεταξύ τους και συνεπώς είναι εξαιρετικά δύσκολη η κατασκευή του. Επιπλέον ο μανδύας αορατότητας σχεδιάζεται μέσα σε ένα υλικό υποβάθρου με σταθερό δείκτη διάθλασης διαφορετικό του κενού. Κατά συνέπεια γύρω από αυτές τις συσκευές πρέπει να τοποθετηθούν ΙΜLs από μετα-υλικά έτσι ώστε να υπάρχει συμφωνία εμπεδήσεων με το κενό. Στην επόμενη παράγραφο θα δούμε ότι ένα απλοποιημένο μέσο μετασχηματισμού που αποτελείται από συμβατικά υλικά μπορεί να λειτουργήσει ως μανδύας αορατότητας επιπέδου στον κενό χώρο χωρίς την απαίτηση να περιβάλλεται από IMLs. Αγνοώντας τόσο την ανισοτροπία που εισάγεται από τον μετασχηματισμό όσο και τις περιοχές με διασπορά (ε<) η καλή επίδοση αυτού του τύπου μανδύα

24 επιβεβαιώνεται υπολογίζοντας τις χωρικές και φασματικές κατανομές του σκεδαζόμενου πεδίου. Οι υπολογισμοί γίνονται με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) που περιγράφεται στο κεφάλαιο..4. Μέσο μετασχηματισμού από διηλεκτρικά. Για το δισδιάστατο πρόβλημα με ηλεκτρικό πεδίο πολωμένο κάθετα στο επίπεδο το αντικείμενο προς κάλυψη τοποθετείται σε μια υψηλά ανακλαστική μεταλλική επιφάνεια που θεωρείται τέλειος αγωγός. Το αντικείμενο βρίσκεται μεταξύ του μανδύα και του επιπέδου όπως φαίνεται στο σχήμα 4. O μανδύας είναι ένα παραλληλόγραμμο διαστάσεων wh με το εσωτερικό σύνορο να καμπυλώνεται προς τα πάνω έτσι ώστε να μένει χώρος για το αντικείμενο. Η δομή αυτή ονομάζεται φυσικό σύστημα με συντεταγμένες () ή ( ). Το εικονικό σύστημα που φαίνεται στο σχήμα 4 είναι η δομή όπως την αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. Οι συντεταγμένες του είναι (ξη) ή (ξ η ). Γενικά θεωρούμε μετασχηματισμό συντεταγμένων που απεικονίζει ένα παραλληλόγραμμο ( 0 w 0 h) του εικονικού συστήματος σε μια οποιαδήποτε περιοχή (μανδύα) στο φυσικό σύστημα. Εισάγουμε την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού Λ: ' (.4) και τη συναλλοίωτη μετρική g : g ' ' ή g (.5) ' ' όπου ξ ξ είναι τα διανύσματα βάσης του εικονικού συστήματος συντεταγμένων όπως εμφανίζονται στο φυσικό σύστημα. Σχήμα 4: To εικονικό και το φυσικό σύστημα. Οι περιοχές με το κυανό χρώμα μετασχηματίζονται η μία στην άλλη. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται το φυσικό σύστημα σαν το εικονικό αν το αντικείμενο στον φυσικό χώρο τοποθετηθεί σε ένα αγώγιμο επίπεδο. 4

25 Για να υπάρχει κάλυψη ο παρατηρητής πρέπει να αντιλαμβάνεται το φυσικό σύστημα σαν ένα ισοτροπικό ομογενές μέσο επιδεκτικότητας ε ef και μοναδιαίας διαπερατότητας. Το φυσικό μέσο που προκύπτει από τον παραπάνω μετασχηματισμό δίνεται από τις παραμέτρους: ef. det g (.6) det g Αν επιδιώκεται η λειτουργία της συσκευής στο κενό θέτουμε. Aν μ και μ είναι τα κύρια στοιχεία του τανυστή διαπερατότητας στο φυσικό μέσο οι αντίστοιχοι δείκτες διάθλασης για τα δύο επίπεδα κύματα που οδεύουν στους βασικούς άξονες ef είναι n και n. To μέτρο της ανισοτροπίας στο φυσικό μέσο καθορίζεται από τον παράγοντα ανισοτροπίας α που είναι συνάρτηση θέσης: n ma( n n n ). Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (.5) και (.6) αποδεικνύεται ότι: ( g) με. (.7) det g Αν ορίσουμε τον μέσο δείκτη διάθλασης n n n προκύπτει : ef n ef det g (.8) Έτσι αντί να χρησιμοποιήσουμε τα ε και μ για να περιγράψουμε το φυσικό μέσο χρησιμοποιούμε τα α και n (που σχετίζονται με το πηλίκο και το γινόμενο των n και n ) τα οποία εξαρτώνται μόνο από τη μετρική και συνεπώς το φυσικό μέσο αποκτά γεωμετρική έννοια. Αν υπάρχει ένα πλέγμα με πολύ μικρές κυψελίδες διαστάσεων δδ στον εικονικό χώρο κάθε μικροσκοπικό τετράγωνο μετασχηματίζεται σε ένα παραλληλόγραμμο στον φυσικό χώρο με πλευρές ξ δ και ξ δ. Μικρότερη ανισοτροπία ( g) σημαίνει μικρότερη τιμή της ποσότητας ενώ μικρότερη επιφάνεια της det g μετασχηματισμένης κυψελίδας det g σημαίνει μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης n. Στην τεχνική κάλυψης αντικειμένου (cloang) η συρρίκνωση του εικονικού χώρου 5

26 στον φυσικό προκαλεί ανισοτροπία στον μανδύα. Όμως εάν επιλέξουμε τον κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων μπορούμε να ελαχιστοποιήσουμε την επαγόμενη ανισοτροπία. Επιπλέον όταν η ανισοτροπία είναι αρκετά μικρή μπορούμε να την θεωρήσουμε αμελητέα (θέτοντας α=) και να κρατήσουμε μόνο τον δείκτη διάθλασης n. Με αυτόν τον τρόπο για να περιγράψουμε το φυσικό σύστημα αρκεί να έχουμε το διηλεκτρικό του προφίλ που δίνεται από την σχέση (.8). Η μαγνητική διαπερατότητα θεωρείται μοναδιαία. Ο ιδανικός μετασχηματισμός επιτυγχάνεται αν ελαχιστοποιηθεί το τροποποιημένο συναρτησιοειδές του Lao (Modfed-Lao functonal)[]. w h T( g) d d (.9) hw det g 0 0 υπό τις συνοριακές συνθήκες για τις οποίες κάθε ένα από τα τέσσερα σύνορα της εν λόγω περιοχής του εικονικού χώρου απεικονίζεται στα τέσσερα καθορισμένα σύνορα της περιοχής του φυσικού χώρου. Το ελάχιστο αυτού του συναρτησιοειδούς προκύπτει όταν η απεικόνιση δεν είναι σύμμορφη(quas-confomal mappng). Επιπλέον κάθε μικρή κυψελίδα του μετασχηματισμένου πλέγματος στο φυσικό χώρο είναι τώρα ένα ορθογώνιο σταθερού πηλίκου πλευρών M/m όπου M είναι μια γεωμετρική ιδιότητα του φυσικού χώρου όταν τα τέσσερα σύνορα είναι καθορισμένα και m=w/h δηλαδή m det g. (.0) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (.0 )στην εξίσωση (.7) έχουμε: ( g) det g m m M ή m a ma (.) m M ανεξάρτητη της θέσης. Στο όριο Μ=m η ημι-σύμμορφη απεικόνιση προσεγγίζει την σύμμορφη απεικόνιση. Γενικά η ημι-σύμμορφη απεικόνιση απαιτείται έτσι ώστε να μην έχουμε αλλαγή της τοπολογίας του χώρου και ταυτόχρονα να μην δημιουργούνται επιπρόσθετα ανώμαλα σημεία στον μετασχηματισμό συντεταγμένων. 6

27 Για παράδειγμα ας μετασχηματίσουμε ένα παραλληλόγραμμο με όρια στον εικονικό χώρο στο ίδιο παραλληλόγραμμο στον φυσικό χώρο αλλά με το κάτω όριο να δίνεται από τη σχέση: bottom 0. cos( / ) ( ) 0. ή ύ. (.) Στο σχήμα 5(a) φαίνεται το μετασχηματισμένο πλέγμα στο φυσικό σύστημα αν χρησιμοποιήσουμε απλή υπερπερασμένη παρεμβολή στην περίπτωση που υπάρχει γραμμική συμπίεση στην διεύθυνση. Ο παράγοντας ανισοτροπίας της σχέσης (.7) παίρνει τιμές από έως.85 ενώ το n της σχέσης (.8) παίρνει τιμές από έως.5. Αν όμως χρησιμοποιήσουμε quasconfomal map οι γραμμές του πλέγματος είναι ορθογώνιες όπως φαίνεται στo σχήμα 5(b). O παράγοντας α είναι σταθερά με τιμή.04 ενώ το n παίρνει τιμές από 0.68 έως.96. Το ελάχιστο(μέγιστο) του n βρίσκεται στο εσωτερικό όριο του μανδύα όπου το εμβαδόν της κυψελίδας είναι το μεγαλύτερο(μικρότερο) δυνατό. Σχήμα 5. Το μετασχηματισμένο πλέγμα στο φυσικό σύστημα με εσωτερικό όριο μανδύα που ορίζεται από την εξίσωση (.) για a) το υπερπερασμένο (tansfnte) πλέγμα και β) το quasconfomal πλέγμα. Ο χρωματικός χάρτης απεικονίζει το διηλεκτρικό προφίλ n. Από την αναφορά[]. Συνεπώς όταν η ανισοτροπία ελαχιστοποιείται το εύρος τιμών του n γίνεται μεγαλύτερο. Ωστόσο το n και το ε είναι πεπερασμένα και δεν πλησιάζουν το μηδέν ή το άπειρο γεγονός που οφείλεται στην σύνθλιψη του αντικειμένου σε επίπεδο αντί 7

28 για γραμμή. Έτσι με αυτόν τον μετασχηματισμό συντεταγμένων δεν εμφανίζονται ιδιαιτερότητες στις παραμέτρους όπως στις περιπτώσεις του κυλινδρικού μέσου μετασχηματισμού όπου το αντικείμενο προς κάλυψη συρρικνώνεται σε γραμμή. Επιπλέον το εσωτερικό όριο του μανδύα είναι αρκετά ομαλό χωρίς πολλές γωνίες έτσι ώστε να επιτυγχάνεται μικρότερο εύρος τιμών του n. Έτσι δεδομένης και της μικρής ανισοτροπίας η κατασκευή αυτού του τύπου μανδύα είναι ευκολότερη..4. Επίδοση μανδύα αορατότητας επιπέδου στον ελεύθερο χώρο. Στην παράγραφο αυτή ποσοτικοποιείται η επίδοση ενός απλοποιημένου μέσου μετασχηματισμού που αποτελείται από 4 μπλοκ και έχει τις παρακάτω τιμές σχετικής επιτρεπτότητας στην περιοχή <0 (από πάνω προς τα κάτω και από αριστερά προς δεξιά: [ ](σχήμα 6). Ο μανδύας είναι συμμετρικός ως προς το =0. Επιπλέον γίνεται σύγκριση με υψηλής ανάλυσης πλέγματα καθώς και με πλέγματα όπου οι περιοχές με διασπορά δεν αγνοούνται. Όταν υπάρχει διασπορά από τον μετασχηματισμό προκύπτουν τιμές της επιτρεπτότητας μικρότερες τις μονάδας (ε<) και η προσομοίωση δεν γίνεται με την κλασική FDTD μέθοδο που περιγράφεται στο κεφάλαιο. Όταν αγνοούμε τις περιοχές με διασπορά θέτουμε την επιτρεπτότητα ίση με τη μονάδα στις περιοχές όπου ε< με αποτέλεσμα να υπάρχει σφάλμα στην χωρική και φασματική κατανομή του σκεδαζόμενου πεδίου. Αν δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά στα αποτελέσματα που προκύπτουν από τις δύο διαφορετικές μεθόδους προσομοίωσης το σφάλμα είναι μικρό και η διασπορά μπορεί να αγνοηθεί. Σχήμα 6. Χαμηλής ανάλυσης πλέγμα για μέσο μετασχηματισμού στον αέρα. Η χρωματιστή στήλη είναι ο χάρτης επιτρεπτότητας[6]. 8

29 Γκαουσιανός παλμός πλάτους.4μm στα 600ΤΗ και διάρκειας 4.7fs προσπίπτει στο αντικείμενο προς κάλυψη υπό γωνία 45 ο (από την περιοχή με <0). Η διάρκεια του παλμού είναι τέτοια ώστε το φασματικό του περιεχόμενο να καλύπτει όλο το ορατό φάσμα(fwhm 50TH). Η γωνιακή κατανομή της ανακλώμενης ενέργειας στην περιοχή με >0 φαίνεται στο σχήμα 7(a). Η αρχή μέτρησης των γωνιών είναι η επίπεδη επιφάνεια. Η περιοχή με μπλε χρώμα υποδηλώνει το φάσμα του ανακλώμενου παλμού από την επίπεδη επιφάνεια και χρησιμοποιείται ως αναφορά. Όταν μόνο η επίπεδη επιφάνεια είναι παρούσα η κορυφή της κατανομής βρίσκεται στις 45 ο ενώ όταν το μεταλλικό αντικείμενο προς κάλυψη τοποθετείται πάνω σε αυτή εμφανίζονται δύο λοβοί στις ο και στις 7 ο. Όταν γύρω από το αντικείμενο τοποθετηθεί το μέσο μετασχηματισμού το πλέγμα του οποίου αποτελείται από 800 μπλοκ η σκεδαζόμενη ενέργεια αποκαθιστάται γύρω στις 49 ο. Η μετατόπιση των τεσσάρων μοιρών οφείλεται στους ενδογενείς περιορισμούς της συσκευής και έχει προβλεφθεί θεωρητικά[]. Σχήμα 7. (a) Γωνιακή κατανομή της σκεδαζόμενης ενέργειας στον αέρα όταν προσπίπτει γκαουσιανός 600ΤH παλμός διάρκειας 4.7 fs πάχους.4m για τις περιπτώσεις που φαίνονται στο υπόμνημα.(b) Φασματικά πλάτη του σκεδαζόμενου παλμού των 600ΤΗ όπως καταγράφηκαν σε γωνία 45 ο. (c) Γωνιακή κατανομή της σκεδαζόμενης ενέργειας στον αέρα όταν προσπίπτει o γκαουσιανός παλμός της προηγούμενης περίπτωσης αλλά με συχνότητα 600ΤH (d) Φασματικά πλάτη του σκεδαζόμενου παλμού των 600ΤΗ όπως καταγράφηκαν σε γωνία 45 ο. Από τη αναφορά [6]. 9

30 Συγκρίνοντας τη γωνιακή κατανομή της σκεδαζόμενης ενέργειας του μανδύα με διασπορά(γαλάζια γραμμή) με την κατανομή του μανδύα χωρίς διασπορά (κόκκινη γραμμή) παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν ουσιαστικές διαφορές για τη συχνότητα των 600ΤΗ. Επιπλέον ο απλοποιημένος 4 μανδύας αποκαθιστά ικανοποιητικά τη σκεδαζόμενη ενέργεια στα 600ΤΗ αλλά δεν συμβαίνει το ίδιο στα 600ΤH(σχήμα 7(c) ). Tα φάσματα συχνοτήτων των σκεδαζόμενων παλμών με συχνότητες 600ΤΗ και 600ΤH φαίνονται στα σχήματα 7(b) και 7(d) αντίστοιχα. Το φάσμα του σκεδαζόμενου παλμού παραμορφώνεται σημαντικά όταν δεν υπάρχει μανδύας(πράσινη γραμμή) πάνω από το αντικείμενο προς κάλυψη. Τόσο το πλάτος όσο και η σχετική κατανομή του στις διάφορες συχνότητες διαφέρουν κατά πολύ συγκριτικά με το φάσμα αναφοράς. Όταν όμως υπάρχει μανδύας δεν υπάρχουν ουσιαστικές διαφορές σε σχέση με το φάσμα αναφοράς. Για συχνότητα 600ΤΗ όμως το σφάλμα είναι αρκετά μεγάλο αν αγνοήσουμε τις περιοχές με διασπορά διότι η κόκκινη και η γαλάζια καμπύλη διαφέρουν αρκετά όπως φαίνεται στο σχήμα 7(d). Επίσης το φάσμα του απλοποιημένου 4 μανδύα δεν αποκαθιστά το φάσμα του προσπίπτοντος παλμού. Συμπερασματικά για συχνότητες γύρω στα 600ΤH οι μανδύες που επιτρέπουν υψηλή ανάλυση έχουν ελαφρώς βελτιωμένη οπτική συμπεριφορά σε σχέση με τον 4 μανδύα και η περιοχές με διασπορά μπορούν να αγνοηθούν χωρίς να υπεισέρχεται σημαντικό σφάλμα. Όμως στη συχνότητα των 600ΤH οι περίπλοκοι τύποι μανδύα (υψηλής ανάλυσης και με διασπορά) υπερτερούν σε σχέση με τον απλοποιημένο μανδύα κυρίως στην αποκατάσταση του φάσματος. Προκειμένου να διαπιστωθεί αν οι παραπάνω τύποι μανδύα λειτουργούν για μεγάλο εύρος συχνοτήτων καταγράφηκε η ανακλώμενη ενέργεια και το φάσμα Foue του χρονο- εξαρτημένου πεδίου σε γωνία 45 ο στην περιοχή με >0. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα 8 για παλμούς με κεντρικές συχνότητες 00ΤΗ 400TH και 800ΤΗ. O μανδύας με διασπορά παρουσιάζει πολύ μικρή βελτίωση σε σχέση με τον μανδύα χωρίς διασπορά ειδικότερα στις χαμηλές συχνότητες. Συνεπώς ο μανδύας μπορεί να τοποθετηθεί στον αέρα χωρίς να απαιτούνται IMLs. Επιπλέον ο υψηλής ανάλυσης και ο χαμηλής ανάλυσης μανδύας έχουν εξίσου καλή επίδοση εκτός εάν το 0

31 μήκος κύματος είναι συγκρίσιμο με το μέγεθος των μπλοκ. Επίσης στα 400ΤΗ o 4 μανδύας έχει καλύτερη επίδοση συγκριτικά με τους άλλους δύο. Από τα αποτελέσματα των σχημάτων 7 και8 συμπεραίνουμε ότι η επίδοση του μανδύα αορατότητας επιπέδου στις οπτικές συχνότητες υπό τις προσεγγίσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω είναι αρκετά καλή αλλά όχι τέλεια. Τα κύρια πλεονεκτήμα τά του είναι η ευκολία στην κατασκευή του και η λειτουργία του στον αέρα χωρίς IMLs. Tο μειονέκτημά του είναι ότι τα παραπάνω αποτελέσματα εξάχθηκαν για παρατήρηση υπό γωνία 45 ο και δεν ισχύουν για όλες τις διευθύνσεις. Ωστόσο ο μανδύας αορατότητας επιπέδου χρησιμοποιείται σε πολλές πρακτικές εφαρμογές και υπάρχει δυνατότητα επέκτασης της λειτουργίας του σε μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων αν αυξηθεί η πολυπλοκότητα της δομής του. Σχήμα 8. Η γωνιακή κατανομή (αριστερή στήλη) και το φασματικό περιεχόμενο στις 45 ο (δεξιά στήλη) ενός γκαουσιανoύ παλμού διάρκειας 4.7 fs που προσπίπτει υπό γωνία 45 ο και ανακλάται από επίπεδη επιφάνεια. Ο παλμός παράγεται σε τρεις διαφορετικές κεντρικές συχνότητες: 00ΤΗ 400TH 800TH που έχουν αρχικά το ίδιο εύρος των 50ΤΗ[6]

32 Βιβλιογραφία. [] Z. Ruan M. Yan C. M. Ne and M. Qu Phs. Rev. Lett (007). [] J. B. P D.Schung D.R.Smth Scence 780 (006). [] A. Geenleaf Y. Kulev M. Lassas and G. Uhlmann Commun. Math. Phs (007). [4] U. Leonhadt T. Phlbn Pogess n Optcs 5 Elseve (009). [5] Nachman A. I. Ann. Math. 8 5 ( 988). [6] H. Chen C. T. Chan J. Appl. Phs (008). [7] U. Leonhadt T. Tc Scence 0 (009). [8] U. Leonhadt T. Tc Scence suppotng onlne mateal (008). [9] Schug D. P J.B. Smth D.R. Opt. Epess (006). [0] Alu A. Engheta Phs. Rev. E (005). [] Gome-Santos G. Blanco L.A. Bosov A.G. Shabanov S.V. Phs. Rev. Lett (005). [] Co H. Lee Y. Hao Y. Pan C. IET Mcow. Antenna Popag. 7 (007). [] Mlton G.W. Ncoovc N.P. Poc. R. Soc. A 46 (006). [4] Schug D. Moc J.J. Justce B.J. Cumme S.A. P J.B. Sta A.F. Smth D.R. Scence (006). [5] M. Yan Z. Ruan and M. Qu Opt. Epess (007).

33 [6]Agopoulos C. PhD thess Electonc Engneeng Queen Ma Unvest of London (00). [7] L J. and J. B. P Phs. Rev. Lett (008). [8] R. Lu C. J J. J. Moc J. Y. Chn T. J. Cu D. R. Smth Scence suppotng onlne mateal (009). [9] D. R. Smth D. C. Ve Th. Koschn C. M. Sououls Phs. Rev. E (005). [0] R. Lu T. J. Cu D. Huang B. Zhao D. R. Smth Phs.Rev. E (007). []P. Knupp and S. Stenbeg Fundamentals of Gd Geneaton CRC Pess Boca Raton (994). [] B.Zhang T.Chan and B. I. Wu Phs. Rev. Lett (00). [] T. J. Cu D. Smth R. Lu Metamateals- Theo Desgn and Applcatons Spnge (009).

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. Εισαγωγή Ενώ πολλές τεχνικές ηλεκτρομαγνητικών προσομοιώσεων εφαρμόζονται στο πεδίο της συχνότητας η μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου (Fnte Dffeence Tme Doman-FDTD) επιλύει τις εξισώσεις του Mawell στο πεδίο του χρόνου. Αυτό σημαίνει ότι ο υπολογισμός των τιμών του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου εξελίσσεται σε διακριτά βήματα στον χρόνο. Ένα πλεονέκτημα της προσέγγισης του πεδίου του χρόνου είναι ότι δίνει μία ευρείας ζώνης έξοδο από μόνο μία εκτέλεση του προγράμματος. Ωστόσο ο κύριος λόγος χρησιμοποίησης της μεθόδου FDTD είναι η εξαιρετικά αυξανόμενη επίδοση της μεθόδου καθώς το μέγεθος του προβλήματος μεγαλώνει. Καθώς ο αριθμός των αγνώστων αυξάνεται η FDTD ξεπερνά ταχύτατα σε αποδοτικότητα άλλες μεθόδους.. Γενικά [] Στη μέθοδο FDTD τόσο ο χώρος όσο και ο χρόνος διαιρούνται σε διακριτά διαστήματα. Ο χώρος διακριτοποιείται σε κυβικά «κελιά» τα οποία είναι μικρά σε σχέση με το χρησιμοποιούμενο μήκος κύματος του προβλήματος. Οι ηλεκτρικές συνιστώσες εντοπίζονται στις ακμές του κελιού και οι μαγνητικές συνιστώσες τοποθετούνται στις πλευρές όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο προσανατολισμός των συνιστωσών είναι γνωστός ως κελί Yee και είναι η βάση της μεθόδου FDTD. 4

35 Σχήμα. Τοποθέτηση των ηλεκτρομαγνητικών συνιστωσών στο κελί του Yee Ο χρόνος κβαντοποιείται σε μικρά βήματα όπου κάθε βήμα αντιπροσωπεύει τον χρόνο που χρειάζεται το πεδίο να «μετακινηθεί» από ένα κελί στο επόμενο. Δεδομένου του αντισταθμίσματος (offset) χώρου των μαγνητικών συνιστωσών από τις ηλεκτρικές οι τιμές των συνιστωσών συσχετιζόμενες με τον χρόνο θα έχουν το ίδιο αντιστάθμισμα. Οι ηλεκτρικές και μαγνητικές συνιστώσες ανανεώνονται χρησιμοποιώντας μία επαναλαμβανόμενη διαδικασία όπου πρώτα οι ηλεκτρικές και μετά οι μαγνητικές συνιστώσες υπολογίζονται σε κάθε χρονικό βήμα. Όταν πολλά κελιά Yee συνδυάζονται μαζί για τον σχηματισμό ενός τρισδιάστατου μοντέλου έχουμε ένα πλέγμα FDTD. Κάθε κελί εφάπτεται με τα γειτονικά του έτσι ώστε να θεωρούμε με σύμβαση πως κάθε κελί έχει τρεις ηλεκτρικές συνιστώσες που ξεκινούν από ένα κοινό κόμβο συσχετιζόμενο με αυτό. Οι ηλεκτρικές συνιστώσες στις άλλες εννέα ακμές του κελιού θα ανήκουν στα γειτονικά κελιά. Κάθε κελί θα έχει επίσης τρεις μαγνητικές συνιστώσες με αρχή τις πλευρές του γειτονικού κελιού στον κοινό κόμβο των ηλεκτρικών συνιστωσών όπως φαίνεται στο σχήμα. Μέσα στο πλέγμα μπορούν να προστεθούν υλικά όπως αγωγοί και διηλεκτρικά αλλάζοντας τις εξισώσεις υπολογισμού των πεδίων σε αυτά τα σημεία. Για παράδειγμα για να προσθέσουμε ένα κομμάτι τέλεια αγώγιμου σύρματος στην άκρη ενός κελιού η εξίσωση για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου στον χώρο που καταλαμβάνει το σύρμα μπορεί να αντικατασταθεί από την εξίσωση E() = 0 δεδομένου ότι το πεδίο μέσα σε ένα τέλειο αγωγό είναι μηδέν. 5

36 6. Η μέθοδος FDTD τριών διαστάσεων Η κεντρική ιδέα της FDTD είναι η προσέγγιση της παραγώγου μιας συνάρτησης με μία εξίσωση κεντρικών διαφορών. Για την χρονική παράγωγο η προσέγγιση γίνεται ως εξής: t t t t t t t ) ( ) ( ) ( (.) Αυτή η προσέγγιση παρουσιάζει σφάλμα Ο(Δt ) και παρουσιάζεται γραφικά αμέσως παρακάτω: Σχήμα. Προσέγγιση της Κεντρικής Διαφοράς. Αντίστοιχα η χωρική παράγωγος μίας συνάρτησης ως προς προσεγγίζεται ως εξής: ) ( ) ( ) ( (.)

37 .. Εφαρμογή της FDTD στις εξισώσεις του Mawell τριών διαστάσεων [] Στην παρακάτω μαθηματική ανάλυση της μεθόδου FDTD θεωρούμε τους παρακάτω συμβολισμούς: Ένα χωρικό σημείο σε ένα ομοιόμορφο πλέγμα συμβολίζεται ως εξής: όπου Δ Δ Δ η χωρική διαμέριση κατά μήκος των αξόνων αντίστοιχα και ακέραιοι αριθμοί. Η συνάρτηση του χώρου και χρόνου u υπολογιζόμενη σε διακριτά σημεία του χώρου και του χρόνου συμβολίζεται ως εξής: n nt u u Για γραμμικά ισοτροπικά υλικά χωρίς διασπορά ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: B H (.) D (.4) όπου μ η μαγνητική διαπερατότητα [H/m] και ε είναι η ηλεκτρική επιτρεπτότητα [F/m]. Εάν τα υλικά που εξετάζουμε παρουσιάζουν ηλεκτρικές και μαγνητικές απώλειες μπορούμε να ορίσουμε ένα ισοδύναμο μαγνητικό ρεύμα που αντιστοιχεί στους μηχανισμούς μαγνητικών απωλειών ρεύμα που αντιστοιχεί στους μηχανισμούς ηλεκτρικών απωλειών J m H και ένα ισοδύναμο ηλεκτρικό J e όπου είναι η ισοδύναμη ειδική μαγνητική αντίσταση [Ω/m] και σ είναι η ηλεκτρική αγωγιμότητα [S/m]. Συνεπώς οι εξισώσεις στροβιλισμού Mawell μετασχηματίζονται με την βοήθεια των σχέσεων των ισοδύναμων ρευμάτων στις εξής: H t (.5) t (.6) Αναλύοντας τις παραπάνω σχέσεις σε βαθμωτές εξισώσεις παίρνουμε τις παρακάτω εξισώσεις οι οποίες αναφέρονται σε τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα 7

38 8 συντεταγμένων (): E E t H (.7) E E t H (.8) E E t H (.9) E H H t E (.0) E H H t E (.) E H H t E (.) Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε τις προσεγγίσεις (.) και (.) στις εξισώσεις (.7)- (.) και να πάρουμε τις τιμές της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών για το χρονικό βήμα n στο σημείο του πλέγματος (). Άρα η εξίσωση (.7) γίνεται: n n n n n n n H E E E E t H H / / / / / / Παρατηρούμε πως στην παραπάνω σχέση εμφανίζεται ο παράγοντας n H. Όμως κατά την χρονική στιγμή n ο αλγόριθμος δεν έχει ακόμα υπολογίσει το μαγνητικό πεδίο. Συνεπώς χρησιμοποιούμε την εξής προσέγγιση: / / n n n H H H.

39 9 Έτσι μετά από την εκτέλεση της άλγεβρας έχουμε τις παρακάτω εξισώσεις: / n H E E E E t t H t t n n n n n / / / / / (.) / n H E E E E t t H t t n n n n n / / / / / (.4) / n H E E E E t t H t t n n n n n / / / / / (.5) n E H H H H t t t t n n n n n / / / / / / / / (.6) n E H H H H t t t t n n n n n / / / / / / / / (.7) n E H H H H t t t t n n n n n / / / / / / / / (.8)

40 Με τις παραπάνω εξισώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές των ηλεκτρικών και μαγνητικών συνιστωσών σε οποιοδήποτε σημείο του πλέγματος. Παρατηρούμε πως η υπολογιζόμενη τιμή μιας συνιστώσας εξαρτάται μόνο από την προηγούμενη τιμή της τις προηγούμενες τιμές των άλλων δύο συνιστωσών του πεδίου στα γειτονικά σημεία και από το ηλεκτρικό και μαγνητικό ρεύμα. Σημειώνεται ότι οι συντελεστές των πεδίων εξαρτώνται από τις παραμέτρους (ε μ σ ρ) στο σημείο του πλέγματος που τα υπολογίζουμε. Ο υπολογιστής αποθηκεύει σε κάθε πλεγματικό σημείο αυτούς τους συντελεστές (βλ. Παράρτημα) με την βοήθεια των οποίων παίρνουμε την έκφραση για τις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου στο δισδιάστατο πλέγμα FDTD : H(::e-)=caH(::e-).*H(::e-)+cbH(::e-).*(E(::e)-E(::e-)); H(:e-:)=caH(:e-:).*H(:e-:)+cbH(:e-:).*(E(:e:) -E(:e-:));.4 Οριακές Συνθήκες Απορρόφησης [] Ένας κύριος περιορισμός της μεθόδου FDTD κατά την επίλυση προβλημάτων ηλεκτρομαγνητικών αλληλεπιδράσεων είναι πως σχεδόν όλες οι προς προσομοίωση γεωμετρίες περιέχουν μη φραγμένες περιοχές με άπειρα όρια στις οποίες το χωρικό φάσμα των υπολογιζόμενων πεδίων δεν περιορίζεται κατά μία ή περισσότερες διευθύνσεις. Ωστόσο λόγω περιορισμένης υπολογιστικής δύναμης ο χώρος υπολογισμού θα πρέπει να είναι περιορισμένου μεγέθους. Έτσι θα πρέπει η γεωμετρία μας να περιέχει τα αντικείμενα που θέλουμε να προσομοιώσουμε και παράλληλα θα πρέπει να εφαρμόζεται και μια κατάλληλη οριακή συνθήκη στο εξωτερικό όριο του χώρου ώστε να προσομοιώνεται η έκταση του χώρου ως το άπειρο. Έστω το παρακάτω σχήμα δύο διαστάσεων με το περίγραμμα της γεωμετρίας να δηλώνει τα όρια του πλέγματος FDTD. 40

41 Σχήμα. Μη επιθυμητή Ανάκλαση Στην παραπάνω γεωμετρία εάν παραλείψουμε τις ABCs (Absobng Bounda Condtons) θα δημιουργηθούν τεχνητές ανακλάσεις από τα όρια του πλέγματος (0h) (h0) (h) (h) φαινόμενο εντελώς ασύμβατο με τη διάδοση σε ελεύθερο χώρο. Αυτό που επιδιώκουμε με την χρήση των ABCs είναι η διάδοση του οδεύοντος κύματος πέραν των αριθμητικών ορίων χωρίς καμία αλλοίωση στη μορφή του. Στο εσωτερικό του αριθμητικού πλέγματος εφαρμόζουμε ένα αριθμητικό σχήμα προερχόμενο από την FDTD το οποίο επιτρέπει διάδοση προς όλες τις κατευθύνσεις. Στο εξωτερικό όριο η μόνη επιθυμητή διάδοση είναι αυτή του αριθμητικού ανάλογου. Έτσι χρειαζόμαστε την οριακή συνθήκη που ισοδυναμεί με την δυνατότητα επέκτασης της αριθμητικής λύσης στο άπειρο και ταύτισής της με τη φυσική διάδοση. Πλήρης ταύτιση δεν είναι δυνατόν να επιτευχθεί λόγω αριθμητικών σφαλμάτων που προέρχονται από την αριθμητική λύση καθώς και από στρογγυλοποιήσεις του Η/Υ. Τεχνητές ανακλάσεις πάντα θα υπάρχουν όμως το ζητούμενο είναι να μην ξεπερνούν τα σφάλματα που εισάγονται από την μέθοδο FDTD. 4

42 .5 Το Στρώμα Τέλειας Προσαρμογής PML(Pefectl Matched Lae) [].5. Γενικά Το 994 το θέμα των ABCs απασχόλησε και πάλι την επιστημονική κοινότητα μετά την δημοσίευση της εργασίας του J. P. Beenge για μία υψηλής απόδοσης ABC υποδεικνύοντας το στρώμα τέλειας προσαρμογής (PML). Η καινοτομία της μεθόδου του Beenge είναι πως τα επίπεδα κύματα αυθαίρετης πρόσπτωσης πόλωσης και συχνότητας αντισταθμίζονται στο σύνορο της γεωμετρίας που προσομοιώνουμε..5. Μαθηματική Διατύπωση του PML Για την παρακάτω ανάλυση θεωρούμε ένα επίπεδο κύμα που προσπίπτει από τον ελεύθερο χώρο (<0) σε ένα υλικό χωρίς διασπορά που καταλαμβάνει το ημιεπίπεδο (>0). Η επίπεδη επιφάνεια που διαχωρίζει τα δύο υλικά θεωρείται το επίπεδο =0. Το υλικό θεωρούμε πως έχει και μαγνητική αγωγιμότητα * και ηλεκτρική αγωγιμότητα. Θεωρούμε το ομοιόμορφο κύμα πόλωσης TΕ να προσπίπτει πάνω στην διαχωριστική επιφάνεια H H ˆ 0e διαδιδόμενο υπό γωνία ως προς τον άξονα. Σχήμα 4. Μοντέλο Ελεύθερης Διάδοσης 4

43 4 Τα πεδία στις δύο περιοχές είναι: 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 e H e e E e e H H (.9) 0 ˆ ˆ ˆ 0 0 e H E e H H t t t t t t (.0) όπου και είναι οι συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης αντίστοιχα οι οποίοι υπολογίζονται από τις σχέσεις διασποράς: 0 sn cos (.) 0 * t t (.) με Απαιτώντας την συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών στο επίπεδο (χ = 0) παίρνουμε: / / t t και (.) με t sn

44 Θέτοντας 0 την σχέση (.) έχουμε: και * από την (.) έχουμε: 0 ενώ από t (.4) όπου. Το πραγματικό μέρος της εξίσωσης (.4) εκφράζει την διαδιδόμενη συνιστώσα του πεδίου ενώ το φανταστικό μέρος είναι η συνιστώσα εξασθένισης. Έτσι από την εξίσωση (.0) τα προκύπτοντα πεδία μέσα στο υλικό χωρίς διασπορά είναι: E ˆ 0 ep ep (.5) ˆ 0 ep ep (.6) Συνεπώς δεδομένου ενός υλικού με μαγνητική και ηλεκτρική αγωγιμότητα που συνδέονται με την σχέση * το υλικό αντισταθμίζεται κατά μήκος του επίπεδου ορίου για όλα τα κανονικοποιημένα προσπίπτοντα κύματα. Η παραπάνω ανάλυση για ένα υλικό χωρίς διασπορά έχει λίγη πρακτική σημασία όσον αφορά την εφαρμογή της σε FDTD πλέγματα. Ο προφανής περιοριστικός παράγοντας αυτής της προσέγγισης είναι πως το υλικό χωρίς διασπορά αντισταθμίζεται στην εσωτερική περιοχή μόνο για κανονικοποιημένα προσπίπτοντα κύματα. Γι αυτό τον λόγο προσπίπτοντα κύματα υπό γωνία εν μέρει ανακλώνται πίσω στην περιοχή προσομοίωσης και επηρεάζουν την αριθμητική λύση. Ο Beenge για να αντιμετωπίσει αυτό το πρόβλημα πρόσθεσε έναν ακόμα βαθμό ελευθερίας με το να διασπάσει τα εγκάρσια πεδία σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες με αποτέλεσμα το μέσο να αντισταθμίζει ακόμα και υπό γωνία προσπίπτοντα κύματα. Αναφερόμενοι στο Σχήμα 5 44

45 θεωρούμε ένα επίπεδο ΤΕ κύμα να προσκρούει στο επίπεδο όριο του υλικού το οποίο παρουσιάζει απώλειες. Μέσα στο μέσο οι εξισώσεις του Mawell εκφρασμένες στην χρονο-αρμονική μορφή τους είναι: (.7) 0 (.8) 0 * (.9) 0 Σημειώνεται πως οι ηλεκτρικές και οι μαγνητικές αγωγιμότητες κανονικοποιήθηκαν με την σχετική διηλεκτρική σταθερά και την διαπερατότητα αντίστοιχα. Διασπώντας το εγκάρσιο μαγνητικό πεδίο σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες H H H (.0) οι εξισώσεις (.7)-(.9) μετασχηματίζονται ως εξής. Ενδεικτικά η εξίσωση (.9) μετασχηματίζεται ως εξής: * 0 (.) * 0 (.) Θέτοντας s * * και s με 0 0 μπορούμε να ξαναγράψουμε τις εξισώσεις (.7) και (.8) ως: s (.) s (.4) Για να εξάγουμε τις λύσεις του επίπεδου κύματος μέσα στο υλικό παραγωγίζουμε την 45

46 46 εξίσωση (.) ως προς και την (.4) ως προς. Έτσι και αφού αντικαταστήσουμε τους όρους E και E στις εξισώσεις (.) και (.) καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις: s s * (.5) s s * (.6) Προσθέτοντας τις (.5) και (.6) και χρησιμοποιώντας την εξίσωση (.0) καταλήγουμε στην χαρακτηριστική μορφή πεδίου: 0 * * s s s s (.7) Μία λύση της εξίσωσης (.7) είναι η s s s s * * 0 ep (.8) με την σχέση διασποράς:. (.9) Έτσι από τις (.) (.4) και (.0) θα έχουμε: s s s s s s * * * 0 ep (.40) s s s s s s * * * 0 ep (.4) Ο σκοπός αυτής της ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών των s s s * και * s έτσι ώστε το οριακό επίπεδο να είναι μη ανακλαστικό. Εφαρμόζοντας την οριακή συνθήκη για τις εφαπτομενικές συνιστώσες στο επίπεδο = 0 υπολογίζουμε τους συντελεστές διάδοσης και ανάκλασης του διαδιδόμενου και ανακλώμενου κύματος εάν υποθέσουμε πως επίπεδο κύμα προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια:

47 t t s s s s * * (.4) με sn. Από την προτελευταία σχέση παρατηρούμε πως * s s και εάν και * * s s (δηλαδή 0 0 ) τότε και 0. Αυτό το συμπέρασμα μάλιστα ισχύει για κάθε γωνία πρόσπτωσης που διαδίδεται μέσα στο μέσο θα είναι:. Συνεπώς το ΤΕ κύμα s ep ep cos (.4) 0 ep 0 ep ep cos (.44) 0 sn ep ep cos (.45) 0 cos Από τις τελευταίες εξισώσεις παρατηρούμε πως τα διαδιδόμενα κύματα έχουν την ίδια κυματική ταχύτητα με τα προσπίπτοντα με ένα παράγοντα εξασθένισης ίσο με cos. Συμπερασματικά εάν ένα κύμα προσκρούσει σε ένα χώρο που περιέχει τέλεια προσαρμοσμένο μέσο θα διαδοθεί τέλεια για όλες τις πολώσεις όλες τις συχνότητες και όλες τις γωνίες πρόσπτωσης..5. Περίπτωση ΤΜ πολωμένου κύματος σε δύο διαστάσεις []. Η παραπάνω ανάλυση μπορεί να επαναληφθεί και στην περίπτωση ενός ΤΜ πολωμένου προσπίπτοντας κύματος αν γράψουμε το πεδίο ως άθροισμα των δύο υποσυνιστωσών του Ε =E +E. Οι εξισώσεις Mawell γίνονται: 47

48 * E H (.46) t * E H (.47) t H E (.48) t H E (.49) t Οι ιδιότητες του PML για ΤΜ κύματα είναι παρόμοιες με την προηγούμενη περίπτωση. Στις περισσότερες εξισώσεις απλά εναλλάσσουμε το ε με μ και το σ με σ *. Ωστόσο η συνθήκη ώστε να έχουμε αντιστάθμιση παραμένει ίδια γεγονός που επιτρέπει την κατασκευή ενός απορροφητικού χωρίς ανακλάσεις στρώματος στο εξωτερικό σύνορο του πλέγματος. Το στρώμα PML όταν χρησιμοποιηθεί στη μέθοδο FDTD πρέπει να προσομοιωθεί με τα κελιά του Yee όπως όλα τα υπόλοιπα μέσα. Πρακτικά το απορροφητικό στρώμα πρέπει να έχει πάχος μερικά κελιά έτσι ώστε να είναι ομαλή η μεταβολή της αγωγιμότητας και το εισερχόμενο κύμα τελικά να αποσβεννύεται. Ουσιαστικά το πλέγμα της μεθόδου FDTD παραμένει το ίδιο και η μόνη αλλαγή είναι ότι εντός του μέσου PML πρέπει να υπολογιστούν οι Ε και Ε υποσυνιστώσες του πεδίου. Διακριτοποιώντας τις εξισώσεις (.46)-(.49) προκύπτουν οι υποσυνιστώσες του πεδίου στη μορφή που θέλουμε. Για παράδειγμα η Ε θα είναι: E n t n ep[ ( ) ] t n/ n/ ep[ ( ) ] E H / H / (.50) ( ) 48

49 Ο συντελεστής της υποσυνιστώσας Ε εξαρτάται από την ηλεκτρική αγωγιμότητα σ και την επιδεκτικότητα ε του σημείου που υπολογίζεται. Στο πρόγραμμα Matlab γράφεται ως εξής: ca(m) = ep(-e); e = sg(m)*dt/eps_bac; Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση ο συντελεστής των συνιστωσών Η θα γράφεται: cb(m) = -(ep(-e)-.0)/sg(m)/d; Διακριτοποιώντας την εξίσωση (.49) προκύπτει μια παρόμοια σχέση για την υποσυνιστώσα Ε η οποία στο πρόγραμμα Matlab γράφεται ως εξής: E(::e)=daE(::e).*E(::e)+dbE(::e).*(H(::e)-H(::e-)); dae() = ca(m); dbe() = cb(m); Γενικά ο δείκτης m εξαρτάται από τις συντεταγμένες και έτσι ώστε οι συντελεστές των υποσυνιστωσών da και db να διαφέρουν από σημείο σε σημείο και να έχουμε την επιθυμητή συμπεριφορά του πεδίου Ε μέσα στο στρώμα PML (βλ. Παράρτημα 7)..6 Καθορισμός του μεγέθους της μοναδιαίας κυψελίδας []. Από την μονοδιάστατη βαθμωτή κυματική εξίσωση U c U t 0 (.5) και με την βοήθεια των αναπτυγμάτων των παραγώγων σε σειρές Talo προκύπτει η εξής σχέση: 49

50 U n ct U n n n U U n n U U (.5) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω το αριθμητικό κύμα του οποίου η τιμή είναι γνωστή σε κάθε σημείο του χώρου και του χρόνου ( t n ): ~ n ( nt ) U e (.5) παίρνουμε την σχέση για το αριθμητικό κυματάνυσμα: ~ cos ct cos( t) (.54) Αν θεωρήσουμε ct και 0 αντικαθιστώντας την τιμή που παίρνουμε 0 για το αριθμητικό κυματάνυσμα στην αριθμητική ταχύτητα φάσης v~ p ~ έχουμε: (.55) ~ c v p 0.987c Εφόσον ένα μέσο χωρίς διασπορά έχει ταχύτητα φάσης ίση με την ταχύτητα του φωτός συμπεραίνουμε ότι η επιλογή του μεγέθους του κυττάρου Δ σε σχέση με το μήκος κύματος της ακτινοβολίας λ 0 καθορίζει το σφάλμα που εισάγεται λόγω αριθμητικής διασποράς. Η αριθμητική ταχύτητα φάσης για αυτό το παράδειγμα είναι 7% μικρότερη από την ταχύτητα φάσης στον ελεύθερο χώρο. Αυτό σημαίνει ότι όταν το φυσικό κύμα θα διανύσει απόσταση 0λ 0 (00 κυψελίδες) σε χρόνο t=0λ 0 /c το αριθμητικό κύμα θα διανύσει απόσταση s=0.987c0λ 0 /c=987λ 0 (98.7 κυψελίδες). Το αριθμητικό σφάλμα φάσης θα είναι [( )/0] 60 ο = Αν επαναλάβουμε τους παραπάνω υπολογισμούς για ανάλυση σφάλμα φάσης θα είναι το αριθμητικό 0 που σημαίνει ότι για καλύτερες αναλύσεις το αριθμητικό σφάλμα φάσης μειώνεται και η προσομοίωση είναι πιο ακριβής με κόστος τον μεγαλύτερο υπολογιστικό χρόνο. 50

51 .7 Υπολογισμός του χρονικού βήματος []. Για να μελετήσουμε την ευστάθεια του τρισδιάστατου αλγορίθμου του Yee θεωρούμε χάριν απλότητας μια κανονικοποιημένη περιοχή με μ = ε = σ = 0 ρ = 0 c = όπου c η ταχύτητα του φωτός. Τότε οι εξισώσεις του Mawell γράφονται: V H E H E V (.56) t t όπου V H E. Θεωρούμε τα παρακάτω προβλήματα ιδιοτιμών: t numecal V V (.57) numecal V V (.58) Αποδεικνύεται πως το φάσμα των ιδιοτιμών στο χώρο για αριθμητικά ευσταθείς χωρικούς ρυθμούς στις τρεις διαστάσεις είναι επίσης καθαρά φανταστικό και δίνεται από την σχέση: Im t t (.59) όπου t το χρονικό βήμα του αλγορίθμου. Θέτουμε V I J K V 0 I J K e (.60) όπου V I J K τυχαίος χωρικός ρυθμός στο πλέγμα με συνιστώσες. Αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας τις κεντρικές διαφορές του Yee για την υλοποίηση των παραγώγων ότι: ˆ ˆ ˆ sn / sn / sn / V I J K V I J K (.6) όπου ˆ ˆ ˆ τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων. Εκτελώντας το εξωτερικό γινόμενο της παραπάνω εξίσωσης και γράφοντας τις εξισώσεις για τις συνιστώσες 5

52 5 το σύστημα που προκύπτει επιλύεται ως προς Λ με / sn / sn / sn 4. (.6) Έτσι έχουμε: Im 0 Re (.6) Για να εξασφαλίσουμε αριθμητική ευστάθεια για κάθε χωρικό ρυθμό θα πρέπει το φάσμα των ιδιοτιμών της εξίσωσης (.57) να περιέχεται στο φάσμα της εξίσωσης (.5). Αφού όλες οι ιδιοτιμές χώρου βρίσκονται κατά μήκος του φανταστικού άξονα συμμετρικά γύρω από το μηδέν μπορούμε να θέσουμε το άνω όριο της (.57) να είναι μικρότερο ή ίσο με το άνω όριο της (.5). Συνεπώς: t t (.64) και για c θα έχουμε: c t. (.65) Η φυσική ερμηνεία της σχέσης (.59) είναι η εξής: Επειδή η FDTD είναι μία αριθμητική μέθοδος βασισμένη στον χρόνο τα χρονικά βήματα θα πρέπει να συμφωνούν με την αρχή ότι η ταχύτητα με την οποία μετακινούμαστε από ένα κόμβο στον επόμενο δεν θα πρέπει να ξεπερνά την ταχύτητα του φωτός. Για ομοιόμορφη χωρική διαμέριση: Δs=Δ=Δ=Δ. Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα η χωρική διαμέριση είναι κλάσμα του μήκους κύματος του σήματος και ισούται με

53 s 0 X διαμέρισης:. Συνεπώς από την σχέση (.59) προκύπτει το άνω όριο της χρονικής s t c 0 c X X f (.66) όπου f η συχνότητα του σήματος. Όπως φαίνεται υπάρχει μια σχέση αναλογίας μεταξύ χρονικής και χωρικής διαμέρισης. Όσο μεγαλύτερο είναι το X (Δs μικρό) τόσο μικρότερη πρέπει να είναι η διακριτοποίηση στον χρόνο έτσι ώστε να ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη ευστάθειας. Ο περιορισμός αυτός είναι το κυριότερο μειονέκτημα της μεθόδου FDTD. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί αλγόριθμοι στους οποίους η χωρική και η χρονική διαμέριση είναι ανεξάρτητες. Η πιο αξιοσημείωτη μέθοδος είναι η ΑDI-FDTD (Altenatve Decton Implct-FDTD) που επιτρέπει αρκετά πυκνό πλέγμα με μεγάλη χρονική διαμέριση με αποτέλεσμα ο κώδικας να είναι πιο γρήγορος και αποδοτικός [4]. Βιβλιογραφία. [] Νικήτα K. Σημειώσεις μεταπτυχιακού μαθήματος Βιοηλεκτρομαγνητισμός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΕΜΠ (http://bosm.ntua/geeste/gboel.htm). [] A. Taflove S.C. Hagness Computatonal Electodnamcs: The Fnte - Dffeence Tme - Doman Method nd edton Atech House Publshes ( 000 ). [] Β.Ι. Τρίαντος Β. Δ. Τσακανίκας Διπλωματική Εργασία Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΕΜΠ ( 005 ). [4] C. Yuan and Z. Chen. IEEE Tans. Mcowave Theo Tech (00). 5

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΝΔΥΑ ΑΟΡΑΤΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ FDTD. Εισαγωγή Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο η διακριτοποίηση του υπολογιστικού χώρου γίνεται έτσι ώστε τα γειτονικά σημεία του πλέγματος να σχηματίζουν μια κυβική μοναδιαία κυψελίδα το κελί του Yee. Για το δισδιάστατο πρόβλημα η μοναδιαία κυψελίδα είναι τετράγωνο και για να υπολογιστούν τα πεδία στα διάφορα σημεία του τετραγωνικού πλέγματος με τη μέθοδο FDTD πρέπει να είναι γνωστές οι παράμετροι ε και μ στα σημεία αυτά. Από τη μέθοδο μετασχηματισμού συντεταγμένων όμως έχουμε τις παραμέτρους ε και μ στην περιοχή του μανδύα το πλέγμα του οποίου δεν είναι ορθογωνικό(έχει μη μοναδιαία μετρική g) και φαίνεται στο σχήμα. Με τη βοήθεια της υπορουτίνας get_gtensos (σελ. 4) υπολογίζεται η ορίζουσα της μετρικής βάσει της οποίας παίρνουμε τους πίνακες της επιτρεπτότητας (pemttvt) για τα 040 πλεγματικά σημεία του μη ορθογωνικού πλέγματος. Σχήμα. Περιοχή μανδύα αορατότητας. Η γωνία σε κάθε μοναδιαία κυψελίδα βρίσκεται από τον χρωματικό χάρτη στα δεξιά του σχήματος. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα ότι το τετραγωνικό πλέγμα στα πλεγματικά σημεία του οποίου επιδιώκεται ο υπολογισμός των πινάκων της επιτρεπτότητας έχει 6 τετράγωνα(ν=8 N=) όπως φαίνεται στο σχήμα : 54

55 Σχήμα. Τετραγωνικό Ν N=8 πλέγμα στον υπολογιστικό χώρο. Από τον χρωματικό χάρτη διαβάζουμε την σχετική επιτρεπτότητα σε κάθε σημείο του πλέγματος. Η υπορουτίνα pem_fnd (σελ. 5) αρχικά βρίσκει τη διανυσματική απόσταση μεταξύ ενός πλεγματικού σημείου του παραπάνω τετραγωνικού πλέγματος και των σημείων που βρίσκονται στο κέντρο κάθε κυψελίδας στο πλέγμα του σχήματος. Στη συνέχεια καταχωρεί αυτές τις διανυσματικές αποστάσεις σε πίνακα υπολογίζει το απόλυτο ελάχιστο του πίνακα αυτού και βρίσκει τη θέση του. Δεδομένης της θέσης του απόλυτου ελαχίστου έχουμε τις συντεταγμένες του κοντινότερου σημείου του μη ορθογωνικού πλέγματος στο οποίο σύμφωνα με τα παραπάνω είναι γνωστός ο πίνακας επιτρεπτότητας. Ο πίνακας αυτός ορίζεται ως πίνακας επιτρεπτότητας στο πλεγματικό σημείο ( ) του ορθογωνικού πλέγματος του σχήματος. Όμως το πλέγμα που χρησιμοποιεί η μέθοδος FDTD έχει πλεγματικά σημεία (aa) και ορίζεται στο κύριο πρόγραμμα FDTD_D (σελ. 0). Η απόσταση d μεταξύ των πλεγματικών του σημείων συνδέεται με το μήκος κύματος της ακτινοβολίας (συνήθως d=λ/0). Οι πίνακες επιτρεπτότητας στα σημεία (aa) του FDTD πλέγματος υπολογίζονται και πάλι από την υπορουτίνα pem_fnd με την διαφορά ότι τώρα χρησιμοποιεί τους πίνακες επιτρεπτότητας του πλέγματος του σχήματος. H σχετική επιτρεπτότητα του FDTD πλέγματος φαίνεται στο σχήμα : Σχήμα 4. Σχετική επιτρεπτότητα του FDTD πλέγματος. Στην περιοχή του χάλκινου αντικειμένου η επιτρεπτότητα είναι ίση με του αέρα. Τέλος αξίζει να σημειωθεί ότι οι παραπάνω υπορουτίνες (που δίνονται στο παράρτημα 7) χρησιμοποιούνται από το υποπρόγραμμα capet_values (σελ. 0) το οποίο εκτός από τους πίνακες επιτρεπτότητας στα σημεία aa επιστρέφει και τους 55

56 πίνακες αγωγιμότητας sgma() στα σημεία αυτά. Έτσι όταν για παράδειγμα το αντικείμενο προς κάλυψη είναι χαλκός για τα σημεία του πλέγματος a( ) a ( ) που βρίσκονται κάτω από την περιοχή του μανδύα(περιοχή με άσπρο χρώμα στο σχήμα ) θέτουμε στο υποπρόγραμμα capet_values την σωστή τιμή της επιτρεπτότητας ε= F/m και της αγωγιμότητας σ= (Ωm) -.. Οπτική συμπεριφορά του μέσου μετασχηματισμού για διαφορετικά ορθογωνικά πλέγματα προσομοίωσης. Αρχικά έγινε διερεύνηση της συμπεριφοράς του δισδιάστατου μανδύα αορατότητας επιπέδου για τα ορθογώνια πλέγματα που φαίνονται στα παρακάτω σχήματα: (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 5. Σχετική επιτρεπτότητα για το τετραγωνικό (α) ΝN=8 πλέγμα (β) ΝN=6 4 πλέγμα (γ) ΝN= 8 πλέγμα (δ) Ν N=64 6 πλέγμα. Στο κάτω μέρος καθενός από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται η σχετική επιτρεπτότητα για τα αντίστοιχα FDTD πλέγματα. Παρατηρούμε ότι τα πιο πυκνά πλέγματα προσεγγίζουν καλύτερα τις τιμές της σχετικής επιτρεπτότητας του πραγματικού μανδύα αορατότητας που προκύπτουν από 56

57 τη θεωρία της οπτικής μετασχηματισμών και φαίνονται στο σχήμα 5. Ειδικότερα από τη σύγκριση του παρακάτω σχήματος με το σχήμα 4(δ) συμπεραίνουμε ότι για ΝN=646 έχουμε την καλύτερη δυνατή προσομοίωση του πραγματικού πλέγματος. Σχήμα 6. Σχετική επιτρεπτότητα για το πραγματικό πλέγμα του σχήματος. O έλεγχος για το μέγεθος του σφάλματος αν χρησιμοποιήσουμε πολύ αραιό πλέγμα γίνεται αν συγκρίνουμε το ανακλώμενο από τη μεταλλική επιφάνεια πεδίο στην περίπτωση όπου ΝN=8 με την περίπτωση όπου ΝN=646. Για τα πλέγματα του σχήματος 4 (α) (β) (γ) και (δ) η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει της γωνίας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα 7. Ένταση ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει γωνίας. Η μέγιστη ένταση του προσπίπτοντος παλμού καταγράφεται στις 40 ο ενώ του ανακλώμενου στις 58 ο για το πλέγμα με Ν N=8 και γύρω στις 49 ο για τα υπόλοιπα πλέγματα της λεζάντας. 57

58 Από το σχήμα 6 φαίνεται ότι για πολύ αραιό πλέγμα (μπλέ γραμμή) η κατανομή της έντασης του ανακλώμενου παλμού διαφέρει πολύ σε σχέση με του προσπίπτοντος. Το γεγονός αυτό είναι αναμενόμενο εφόσον οι τιμές επιτρεπτότητας του ΝN=8 πλέγματος απέχουν κατά πολύ από τις τιμές επιτρεπτότητας του πραγματικού πλέγματος για τις οποίες ο μανδύας έχει την καλύτερη δυνατή οπτική συμπεριφορά. Αντιθέτως τα πλέγματα με ΝN=64 (πράσινη γραμμή) και ΝN=8 (κόκκινη γραμμή) διαφέρουν ελάχιστα από το πλέγμα με ΝN=646 (μαύρη διακεκομμένη γραμμή) το οποίο προσομοιώνει με μεγαλύτερη ακρίβεια όσον αφορά τις τιμές της επιτρεπτότητας το πραγματικό πλέγμα. Έτσι στις επόμενες ενότητες χρησιμοποιούμε το ΝN=64 πλέγμα το οποίο προσομοιώνει με αρκετά μεγάλη ακρίβεια το πραγματικό πλέγμα χωρίς να απαιτείται μεγάλος υπολογιστικός χρόνος για την απεικόνιση στο FDTD πλέγμα. Στο σχήμα 7(δεξιά) φαίνεται η βελτίωση της κατανομής της έντασης του ανακλώμενου παλμού όταν ενεργοποιούμε τον μανδύα αορατότητας επιπέδου στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε ΝN=64 πλέγμα για την προσομοίωση. Σημειώνεται ότι τα κριτήρια της οπτικής συμπεριφοράς του εξερχόμενου παλμού είναι (α) το ύψος της κορυφής της έντασης και (β) το εύρος στο μισό του μέγιστου ύψους της έντασης (FWHM) που το μετράμε σε μοίρες. Σχήμα 8. Κατανομή έντασης εισερχόμενου και μεταδιδόμενου παλμού όταν ο μανδύας είναι απενεργοποιημένος (αριστερά) και όταν είναι ενεργοποιημένος (δεξιά) στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε ΝN=6 4 πλέγμα για την προσομοίωση. Η ένταση του εισερχόμενου παλμού έχει ύψος κορυφής 074 στις 40 ο και FWHM 4 o. 58

59 Όσο περισσότερο πλησιάζουν οι τιμές αυτές τις αντίστοιχες τιμές για την ένταση του προσπίπτοντος κύματος τόσο περισσότερο η οπτική συμπεριφορά του εξερχόμενου παλμού προσεγγίζει την ιδανική που θα λάμβανε χώρα αν οι κατανομές έντασης εισερχόμενου και εξερχόμενου παλμού ήταν πανομοιότυπες. Η ένταση του προσπίπτοντος παλμού έχει ύψος κορυφής 0.74 στις 40 ο και FWHM 4 o. Η ένταση του εξερχόμενου παλμού αν απενεργοποιηθεί ο μανδύας αορατότητας έχει δύο λοβούς (σχήμα 7 αριστερό μέρος) που οφείλονται στις ανακλάσεις από το μεταλλικό αντικείμενο. Αντιθέτως όταν ενεργοποιηθεί ο μανδύας η ένταση του εξερχόμενου παλμού έχει έναν λοβό με ύψος κορυφής 0.65 στις 47.5 o και FWHM 5 o οπότε ο εξερχόμενος παλμός δεν διαφέρει κατά πολύ σε σχέση με τον εισερχόμενο παλμό όσον αφορά το ύψος της κορυφής της έντασης. Όσον αφορά τη θέση της κορυφής αναφέρουμε ότι ιδανικά η ανακλώμενη δέσμη του μανδύα θα έπρεπε να βγαίνει στις 40 ο (δηλ. ακριβώς συμμετρικά ως προς τις 40 ο του προσπίπτοντος παλμού). Αλλά από την σχεδίασή του αυτός ο μανδύας δημιουργεί μια μετατόπιση στην εξερχόμενη δέσμη σύμφωνα με τη θεωρητική ανάλυση των Zhang Chan Wu []. Αξίζει να σημειωθεί ότι τον Ιανουάριο του 0 δημοσιεύτηκε άρθρο από τους Luo lu Babastaths [] στο οποίο αναλύονται τα χαρακτηριστικά ενός μανδύα αορατότητας που δεν έχει αυτή την ατέλεια (με νέα σχεδίαση χρησιμοποιώντας κρυστάλλους από ασβεστίτη). Στις επόμενες ενότητες γίνονται κάποιες τροποποιήσεις στον μανδύα αορατότητας επιπέδου και διερευνάται κατά πόσο ο εξερχόμενος παλμός βελτιώνεται σε σχέση με τον εξερχόμενο παλμό του σχήματος 7 συγκρίνοντας τις κατανομές των εντάσεων των ανακλώμενων παλμών.. Οπτική συμπεριφορά του μέσου μετασχηματισμού για τυχαία μεταβολή των τιμών επιτρεπτότητας σε κάθε πλεγματικό σημείο. Η επίδραση που έχει μια τυχαία μικρή διαταραχή των τιμών της επιτρεπτότητας στην οπτική συμπεριφορά του μανδύα μελετήθηκε εισάγοντας την παράμετρο διαταραχής Α d. A d =ma ( ) d u u όπου d και u είναι οι επιτρεπτότητες στις 59

60 περιπτώσεις με και χωρίς διαταραχή αντίστοιχα. Ειδική προσοχή δόθηκε έτσι ώστε η επιτρεπτότητα να μην παίρνει τιμές μικρότερες της μονάδας έτσι ώστε να αποφευχθούν τα φαινόμενα διασποράς. Οι τιμές της επιτρεπτότητας μέσα στον μανδύα για παράμετρο διαταραχής Α d =0.4 φαίνονται στο σχήμα 8 από το οποίο μπορούμε να διακρίνουμε ότι η σχετική επιτρεπτότητα παίρνει τιμές από έως περίπου. Σχήμα 9. Χάρτης επιτρεπτότητας του FDTD πλέγματος για παράμετρο διαταραχής Α d =0.4 Το σχήμα 9 δείχνει τη γωνιακή εξάρτηση της έντασης του εξερχόμενου παλμού για 5 διαφορετικές τυχαίες κατανομές όλες με διαταραχή A d =0.4. Οι διαφορετικές κατανομές διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους και τα μέγιστά τους είναι κοντά στη γωνία των 45 ο. Συγκρίνοντας αυτές τις κατανομές με την κατανομή του σχήματος 7 συμπεραίνουμε ότι η διαταραχή δεν επιδρά αρνητικά στην επίδοση της συσκευής αορατότητας. Σχήμα 0. Κατανομές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για παράμετρο διαταραχής Α d =0.4 60

61 Αυτό οφείλεται στο ότι η περιοχή του μανδύα είναι μικρότερη από το μήκος κύματος με αποτέλεσμα ο παλμός να μην μπορεί να αναλύσει τις μικρές μεταβολές της επιτρεπτότητας. Η θετική συνέπεια αυτής της διαπίστωσης είναι ότι η συσκευή αορατότητας διατηρεί την επιθυμητή οπτική συμπεριφορά ακόμα και αν υπάρχουν μικρές αποκλίσεις από τις τιμές της επιτρεπτότητας που προκύπτουν από την θεωρία της οπτικής μετασχηματισμών. Έτσι για μικρά σφάλματα κατά την πρακτική διεκπεραίωση της συσκευής η επίδοσή της εξακολουθεί να είναι ικανοποιητική. Στα σχήματα και φαίνονται οι κατανομές έντασης του εισερχόμενου και του εξερχόμενου παλμού για παραμέτρους διαταραχής A d =0.8 και A d =. αντίστοιχα. Ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι κάποιες από τις κατανομές (μαύρη γραμμή στο σχήμα πράσινη γραμμή στο σχήμα γαλάζια γραμμή στο σχήμα ) προσεγγίζουν καλύτερα την ένταση του εισερχόμενου παλμού τόσο ως προς το ύψος της κορυφής όσο και ως προς το FWHM σε σχέση με την γωνιακή κατανομή του σχήματος 7. Συγκεκριμένα το ύψος της κορυφής είναι 0.65 στις 47 ο και το FWHM είναι ο. Η δυσκολία όμως έγκειται στην πρακτική κατασκευή συσκευών στις οποίες η τιμή της επιτρεπτότητας αλλάζει απότομα από σημείο σε σημείο με τον τρόπο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχήμα. Χάρτης επιτρεπτότητας του FDTD πλέγματος για παράμετρο διαταραχής Α d =. 6

62 Σχήμα. Κατανομές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για παράμετρο διαταραχής Α d =0.8 Σχήμα. Κατανομές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για παράμετρο διαταραχής Α d =. 6

63 Α A d Σχήμα. Κατανομές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου για τυχαίες παράμετρους διαταραχής Α Α d..4 Διερεύνηση της οπτικής συμπεριφορά του μέσου μετασχηματισμού όταν εισάγεται απορρόφηση. Για να μελετήσουμε το φαινόμενο της απορρόφησης εισαγάγουμε μια συγκεκριμένη τιμή αγωγιμότητας στην περιοχή του μέσου μετασχηματισμού (μανδύα αορατότητας). Για αγωγιμότητες μεταξύ των τιμών Sm - και Sm - δεν υπάρχει ουσιαστική μεταβολή στις εντάσεις του ανακλώμενου παλμού όπως προέκυψε από τις προσομοιώσεις. Επιπλέον για αγωγιμότητες κάτω από την τιμή Sm - οι εξερχόμενοι παλμοί είναι πανομοιότυποι όπως φαίνεται από τις κατανομές εντάσεων στα σχήματα 4 και 5. Υπενθυμίζεται ότι η ποσότητα σ 0 είναι η αγωγιμότητα του χαλκού και ισούται με Sm -. 6

64 Σχήμα 4. Κατανομή έντασης ηλεκτρικού πεδίου όταν εισάγουμε αγωγιμότητα σ= Sm - στην περιοχή του μανδύα. Σχήμα 5. Κατανομή έντασης ηλεκτρικού πεδίου όταν εισάγουμε αγωγιμότητα σ=6 0 - Sm - στην περιοχή του μανδύα. Αυξάνοντας την αγωγιμότητα η ένταση του ανακλώμενου παλμού στις 45 ο μειώνεται και τελικά εξαφανίζεται για αγωγιμότητα Sm - (Σχήμα 6). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η μέγιστη αγωγιμότητα που μπορούμε να εισάγουμε στην περιοχή του μανδύα έτσι ώστε ο ανακλώμενος παλμός να έχει την επιθυμητή οπτική συμπεριφορά είναι Sm -. 64

65 Σχήμα 6. Κατανομή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου καθώς αυξάνουμε σταδιακά την αγωγιμότητα στην περιοχή του μανδύα από Sm - (κόκκινη γραμμή) σε Sm - (μπλε γραμμή)..5 Προσθήκη στρώσεων από διηλεκτρικά στην περιοχή έξω από τον μανδύα. Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων για τις κατανομές των ηλεκτρικών πεδίων όταν προσθέτουμε μία η περισσότερες στρώσεις από διηλεκτρικά πάνω από τον μανδύα. Κατόπιν τα συγκρίνουμε με την κατανομή της έντασης όταν δεν υπάρχει κανένα στρώμα από διηλεκτρικό (σχήμα 7) και συμπεραίνουμε αν και κατά πόσο βελτιώνεται η επίδοση της συσκευής αορατότητας. Σημειώνεται ότι όπως και στα προηγούμενα σχήματα απεικονίζεται γραφικά η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει της γωνίας. 65

66 Σχήμα 7. Στο πάνω μέρος φαίνεται η επιτρεπτότητα ε του μανδύα σε κάθε σημείο του πλέγματος FDTD. Έξω από την περιοχή του μανδύα δεν υπάρχει καμία στρώση από διηλεκτρικό. (Το μπλε χρώμα αντιστοιχεί σε τιμή επιτρεπτότητας γύρω στη μονάδα). Στο κάτω μέρος φαίνεται η κατανομή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στις διάφορες γωνίες. Αρχικά προστέθηκε διηλεκτρικό πάχους τεσσάρων πλεγματικών σημείων και επιτρεπτότητας. 0 στο πάνω μέρος του μανδύα. Στη συνέχεια εξετάσαμε την οπτική συμπεριφορά της συσκευής αυξάνοντας περαιτέρω την επιτρεπτότητα από. 0 έως.9 0 στο επόμενο σχήμα:. Η κατανομές της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου φαίνονται 66

67 Σχήμα 8. Κατανομή έντασης ηλεκτρικού πεδίου όταν προστίθεται διηλεκτρικό πάχους 0.μm πάνω στον μανδύα για τις οκτώ διαφορετικές περιπτώσεις της λεζάντας(πάνω δεξιά). Παρατηρούμε ότι όταν αυξάνεται η επιτρεπτότητα η κορυφή της έντασης της ανακλώμενης ακτινοβολίας που βρίσκεται στις 45 ο περίπου αυξάνεται και φτάνει τη μέγιστη τιμή της για επιτρεπτότητα.4 0. Επιπλέον για τις τιμές οι κορυφές της έντασης του ανακλώμενου κύματος προσεγγίζουν την κορυφή του προσπίπτοντος ενώ το FWHM για κάθε μια από αυτές τις τρεις τιμές είναι ο και αποκλίνει μόνο κατά ο σε σχέση με το FWHM του εισερχόμενου παλμού. Για αύξηση της τιμής της επιτρεπτότητας πάνω από.6 0 η κορυφή της έντασης μειώνεται και ο ανακλώμενος παλμός παρουσιάζει δύο κορυφές οπότε διαφέρει κατά πολύ σε σχέση με τον εισερχόμενο παλμό. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα υποθέτουμε ότι αν συνδυάσουμε στρώσεις από διηλεκτρικά με επιτρεπτότητες ή αν αυξήσουμε το πάχος των στρώσεων είναι πολύ πιθανό να μειωθούν περαιτέρω οι απώλειες λόγω σκέδασης του παλμού στην επιφάνεια μεταξύ αέρα και μανδύα. Στα επόμενα σχήματα παρουσιάζονται κάποιοι από τους πιθανούς συνδυασμούς διηλεκτρικών στρώσεων και οι κατανομές των εντάσεων του ηλεκτρικού πεδίου για αυτούς τους συνδυασμούς. 67

68 Κίτρινο χρώμα:.4 ε 0 Πράσινο ανοιχτό χρώμα:. ε 0 Σχήμα 9. Προφίλ επιτρεπτότητας της συσκευής αορατότητας μετά την προσθήκη δύο στρώσεων ίσου πάχους (0.μm) από διαφορετικά διηλεκτρικά υλικά (πάνω μέρος). Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Συναρτήσει της γωνίας (κάτω μέρος). Πορτοκαλί:.5 ε 0 Κίτρινο:.4 ε 0 Πράσινο ανοιχτό:. ε 0 Γαλάζιο:. ε 0 Μπλε:. ε 0 68

69 Πράσινο ανοιχτό:. ε 0 Γαλάζιο:. ε 0 Μπλε:. ε 0 Κίτρινο:.4 ε 0 Πράσινο ανοιχτό:. ε 0 Γαλάζιο:. ε 0 69

70 Κίτρινο:.4 ε 0 Πράσινο ανοιχτό:. ε 0 Γαλάζιο:. ε 0 Μπλε ανοιχτό:.5 ε 0 Μπλε:. ε 0 Κίτρινο:.4 ε 0 Πράσινο ανοιχτό:. ε 0 Γαλάζιο:. ε 0 Μπλε:. ε 0 Μπλε σκούρο:.05 ε 0 70

71 Πράσινο ανοιχτό:. ε 0 Γαλάζιο:. ε 0 Μπλε:. ε 0 Πράσινο ανοιχτό:. ε 0 Μπλε:. ε 0 7

72 Γαλάζιο:. ε 0 Μπλε:. ε 0 Συγκρίνοντας τις παραπάνω κατανομές επιλέξαμε αυτές για τις οποίες το ανακλώμενο κύμα προσεγγίζει περισσότερο το προσπίπτον και τις τοποθετήσαμε όλες μαζί στο σχήμα 0 για περαιτέρω σύγκριση. Παρατηρούμε ότι οι καλύτερες κατανομές τόσο ως προς το ύψος της κορυφής της έντασης όσο και ως προς το FWHM (απεικονίζονται με διακεκομμένη μαύρη και κόκκινη γραμμή καθώς και με πορτοκαλί γραμμή) αντιστοιχούν σε συνολικό πάχος 8 πλεγματικών σημείων δηλαδή 0.4μm. Επιπλέον παρατηρούμε ότι και στις τρεις αυτές περιπτώσεις υπάρχει τουλάχιστον μία στρώση από διηλεκτρικό επιτρεπτότητας. 0. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι μια πιο απλή συσκευή από ένα μόνο διηλεκτρικό επιτρεπτότητας. 0 και πάχους 0.4μm έχει εξίσου καλή οπτική συμπεριφορά γεγονός που επιβεβαιώνεται στο σχήμα. 7

73 Σχήμα 0. Ένταση ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει γωνίας όταν προστίθενται στρώσεις από διαφορετικά διηλεκτρικά στο πάνω μέρος του μανδύα αορατότητας. Πράσινο ανοιχτό:. ε 0. Σχήμα. Μανδύας αορατότητας με μια στρώση από διηλεκτρικό επιτρεπτότητας 0 και πάχους 0.4μm. Η συσκευή αυτή παρουσιάζει τη βέλτιστη οπτική συμπεριφορά όπως φαίνεται από τη σύγκριση εισερχόμενου και εξερχόμενου παλμού στο κάτω μέρος του σχήματος. 7

74 Στη συνέχεια εξετάζουμε την περίπτωση προσθήκης διηλεκτρικού με τιμή.4 0 και πάχους 0.4μm (σχήμα ). Παρατηρούμε ότι το ύψος της κορυφής της έντασης του εξερχόμενου παλμού είναι μεγαλύτερο από αυτό του εισερχόμενου οπότε η προηγούμενη συσκευή εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη. Κίτρινο:.4 ε 0.4 Σχήμα. Μανδύας αορατότητας με μια στρώση από διηλεκτρικό επιτρεπτότητας 0 και πάχους 0.4μm (πάνω μέρος). Κατανομή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου (κάτω μέρος). Αν επιθυμούμε η στρώση από διηλεκτρικό που περιβάλλει τον μανδύα αορατότητας να μην έχει μεγάλο πάχος αλλά να βοηθά ικανοποιητικά στον περιορισμό τον ανακλάσεων επιλέγουμε διηλεκτρικό πάχους 0.μm και επιτρεπτότητας.4 (σχήμα ). 0 74

75 Κίτρινο:.4 ε 0.4 Σχήμα. Μανδύας αορατότητας με μια στρώση από διηλεκτρικό επιτρεπτότητας 0 και πάχους 0.μm (πάνω μέρος). Κατανομή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου (κάτω μέρος). Για να ελέγξουμε την επίδοση του παραπάνω μανδύα τον συγκρίνουμε με τον μανδύα του σχήματος φωτογραφίζοντας για κάθε περίπτωση τον παλμό συχνότητας 600ΤΗ σε τρεις χρονικές στιγμές: πριν την πρόσπτωση στον μανδύα όταν βρίσκεται μέσα στον μανδύα και όταν εξέρχεται από τον μανδύα (σχήματα 5 και 6). Σημειώνεται ότι ο παλμός προκύπτει από την επαλληλία δύο κυμάτων εκ των οποίων το ένα έχει κατεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα και το άλλο προς τον άξονα (σχήμα 4). Σχήμα 4. Χρονική εξέλιξη του παλμού πριν την πρόσπτωση στην περιοχή του μανδύα που βρίσκεται εντός του ημικυκλίου. 75

76 Σχήμα 5. Χρονική εξέλιξη του παλμού μετά την πρόσπτωση στον μανδύα πάχους 0.μm και επιτρεπτότητας.4 0. Σχήμα 6. Χρονική εξέλιξη του παλμού μετά την πρόσπτωση στον μανδύα πάχους 0.4μm και επιτρεπτότητας. 0. Από τη σύγκριση του εξερχόμενου παλμού για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις συμπεραίνουμε ότι ο μανδύας πάχους 0.4μm και επιτρεπτότητας. 0 έχει ελαφρώς καλύτερη οπτική συμπεριφορά από τον μανδύα πάχους 0.μm και επιτρεπτότητας.4 0. Αυτό ισχύει διότι για γωνίες κοντά στις 45 0 η ένταση του εξερχόμενου παλμού δεν μηδενίζεται στην περίπτωση του μανδύα πάχους 0.4μm (σχήμα 6) και συμφωνεί περισσότερο με την ένταση που έχει ο εισερχόμενος παλμός στην συμμετρική ως προς τον άξονα κατεύθυνση. Αντιθέτως η ένταση του εξερχόμενου παλμού τείνει στο μηδέν για γωνίες κοντά στις 45 0 στην περίπτωση του μανδύα πάχους 0.μm όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Παρατηρούμε όμως ότι ακόμα και σε αυτή την περίπτωση η ένταση του παλμού στις 45 0 ακριβώς είναι ίση με την ένταση του εισερχόμενου παλμού στην συμμετρική κατεύθυνση. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο εξερχόμενος παλμός στην περίπτωση που απενεργοποιούμε τον μανδύα αορατότητας. Παρατηρούμε ότι στις 45 0 ακριβώς η 76

77 ένταση του εξερχόμενου παλμού τείνει στο μηδέν γεγονός που επιβεβαιώνει ότι με τη χρήση των παραπάνω συσκευών αποκαθιστάται η σωστή ένταση σε μια συγκεκριμένη γωνία. Σχήμα 7. Εξερχόμενος παλμός όταν η συσκευή αορατότητας είναι απενεργοποιημένη. Βιβλιογραφία. [] Zhang Chan Wu Phs. Rev. Lett (00). [] Luo lu Babastaths Phs. Rev. Lett (0). 77

78 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΥΛΙΚΑ ΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΥΝ ΔΙΑΣΠΟΡΑ Όλα τα μέσα των οποίων οι παράμετροι διαπερατότητα μ και επιτρεπτότητα μ εξαρτώνται από τη συχνότητα παρουσιάζουν διασπορά όταν προσπίπτει σε αυτά ακτινοβολία που δεν είναι μονοχρωματική. Συνεπώς όταν ένα κύμα διαδίδεται μέσα σε αυτά κάθε συνιστώσα της συχνότητας αντιλαμβάνεται διαφορετικό δείκτη διάθλασης ( n ( ) ( ) ) με αποτέλεσμα να ακολουθεί διαφορετική πορεία μέσα στο μέσο δηλαδή να διαθλάται υπό διαφορετική γωνία. Η μορφή του κύματος καθώς διαδίδεται σε ένα μέσο που παρουσιάζει διασπορά καθορίζεται από την ταχύτητα φάσης του v p. Για τον ορισμό της θεωρούμε μονοδιάστατο μονοχρωματικό επίπεδο κύμα ( t) E0 cos( t ) το οποίο μεγιστοποιείται στο σημείο Συνεπώς v p t όπου το συνημίτονο είναι ίσο με τη μονάδα.. Όμως ( ) ( ) 00 n( ) n( ) 0n( ) οπότε c c c v p και t n() n(). Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το σχήμα του κύματος παραμορφώνεται όταν αυτό διαδίδεται σε μέσα που παρουσιάζουν διασπορά. Αν αυτή η παραμόρφωση είναι μικρή σε απόσταση αρκετά μεγάλη σε σχέση με το μήκος κύματος μπορούμε να μιλήσουμε για την ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ο παλμός ως ομάδα και δίνεται από τη σχέση: d d v g ( 0 ) ή d d v g d( n) c d c dn n 0 d όπου παίρνουμε την παράγωγο στην κεντρική συχνότητα ω 0 του κυματοπακέτου. Η σχέση που συνδέει την πυκνότητα ενέργειας με τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά πεδία σε μια ορισμένη συχνότητα δίνεται από: W 78

79 Σημειώνεται ότι αν η επιτρεπτότητα ε και η διαπερατότητα μ έχουν αρνητικές τιμές η αιτιότητα παραβιάζεται επειδή η ενέργεια παίρνει αρνητικές τιμές και δεν υπακούει τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής: H εντροπία ενός απομονωμένου συστήματος που βρίσκεται σε θερμική ισορροπία παραμένει σταθερή. Αν οι παράμετροι εξαρτώνται από τη συχνότητα η προηγούμενη εξίσωση γράφεται ως εξής []: W ( ) ( ) Για να μην παραβιάζεται η αιτιότητα οι παράμετροι πρέπει να ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες [] []: ( ) 0 ( ) 0 Για υλικά που δεν παρουσιάζουν σοβαρές απώλειες αποδεικνύεται [4] ότι dn >0 d έχουμε δηλαδή ομαλή διασπορά. Επιπλέον η εμπέδηση είναι θετική 0. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους περιορισμούς οι Smth και Koll [5] απέδειξαν ότι d( n) για όλες τις συχνότητες στις οποίες οι απώλειες θεωρούνται αμελητέες. d Συνεπώς από τον ορισμό της ταχύτητας ομάδας παρατηρούμε ότι σε υλικά που παρουσιάζουν ομαλή διασπορά και για οποιοδήποτε πρόσημο του δείκτη διάθλασης ισχύει: v g <c. Για υλικά που παρουσιάζουν μεγάλες απώλειες ισχύει dn <0 έχουμε δηλαδή d ανώμαλη διασπορά. Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα ομάδας μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη της ταχύτητας του φωτός ή και αρνητική. Ανώμαλη διασπορά έχουμε στην περιοχή συχνοτήτων όπου υπάρχει συντονισμός και έντονη διασπορά συχνοτήτων με αποτέλεσμα την παραμόρφωση του κυματοπακέτου σε αποστάσεις συγκρίσιμες με το μήκος κύματος. 79

80 Βιβλιογραφία [] V. G. Veselago Sov. Phs. Usp ( 968). [] J. B. P A. J. HoldenW. J. Stewat and I. Youngs Phs. Rev. Lett (996). [] J. B. P A. J. Holden D. J. Robbns and W. J. Stewat IEEE Tans. Mcowave Theo Tech (999). [4] L.D. Landau and E.M. Lfshts Electodnamcs of Contnuous Meda nd edton Pegamon Pess (984). [5] D.R. Smth and N. Koll Phs. Rev. Lett (000). 80

81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Ισοτροπικά υλικά Η απλούστερη μορφή απόκρισης ενός μέσου στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο περιγράφεται από τις σχέσεις όπου ένα βαθμωτό μέγεθος συνδέει τα πεδία με τις αποκρίσεις στα πεδία αυτά(ηλεκτρική μετατόπιση για το ηλεκτρικό πεδίο και μαγνητική ροή για το μαγνητικό πεδίο) : D E B H () όπου ε η επιδεκτικότητα και μ η διαπερατότητα του μέσου. Αυτό σημαίνει ότι το μέσο είναι ισοτροπικό δηλαδή η απόκρισή του δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση του πεδίου. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στις εξισώσεις Mawell και ορίζοντας () μπορούμε αν επιλέξουμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε τα πεδία να εξαρτώνται μόνο από τη συντεταγμένη να γράψουμε τις δύο λύσεις: E( ) E e E( ) E e () Αν έχουμε μέσο χωρίς απώλειες οι παράμετροι ε και μ είναι πραγματικοί αριθμοί. Όμως σε περίπτωση που οι δύο παράμετροι έχουν διαφορετικό πρόσημο το θα είναι αμιγώς φανταστικό με αποτέλεσμα το πλάτος του κύματος να φθίνει εκθετικά. Αν το είναι πραγματικό τα κύματα απλά αλλάζουν φάση και το μήκος κύματος λ ph στην 8

82 κατεύθυνση στο οποίο η φάση φθάνει στην ίδια τιμή δίνεται από τη συνθήκη λ ph = π ή εισάγοντας τις παραμέτρους του υλικού: ph c. (4) n Στον πίνακα συνοψίζονται οι ιδιότητες των ισοτροπικών χωρίς απώλειες υλικών για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των παραμέτρων ε και μ στον πραγματικό χώρο. Πίνακας. Πιθανές ιδιότητες των ισοτροπικών υλικών με Στο τρίτο τεταρτημόριο (ε<0μ<0) βρίσκονται τα αριστερόστροφα υλικά στα οποία το κυματάνυσμα πρέπει να αντιστρέφεται προκειμένου να παραμένουν αναλλοίωτες οι εξισώσεις του Mawell. Συνεπώς τα διανύσματα Ε Η σχηματίζουν αριστερόστροφο σύστημα σε αντίθεση με τα περισσότερα συμβατικά υλικά(πρώτο τεταρτημόριο) που συναντώνται στη φύση με αποτέλεσμα το κυματάνυσμα και το διάνυσμα Pontng παρακάτω εικόνες. S να έχουν αντίθετες κατευθύνσεις όπως φαίνεται στις 8

83 Εικόνα. Επίπεδο κύμα σε μη συμβατικό υλικό. υλικό Εικόνα 4. Επίπεδο κύμα σε συμβατικό Αν και η ιδέα των αριστερόστροφων υλικών προτάθηκε για πρώτη φορά το 968 από τον Veselago[] η αντιστροφή του κυματανύσματος είχε επιβεβαιωθεί το 95 από τον Maluhnets που έδειξε ότι η ταχύτητα φάσης ενός κύματος είναι δυνατόν να κατευθύνεται από το άπειρο προς τη πηγή. Το πρώτο αριστερόστροφο υλικό κατασκευάστηκε το 00 από τον Smth ο οποίος συνδυάζοντας το τεχνητό ηλεκτρικό πλάσμα (δεύτερο τεταρτημόριο) και το τεχνητό μαγνητικό πλάσμα(τέταρτο τεταρτημόριο) κατάφερε να επιβεβαιώσει πειραματικά το φαινόμενο της αρνητικής διάθλασης (n<0). Αν έχουμε μέσο με απώλειες η επιδεκτικότητα ε ή η διαπερατότητα μ είναι μιγαδικές ποσότητες και συνεπώς το γίνεται μιγαδικό με αποτέλεσμα το φανταστικό του μέρος να προκαλεί εκθετική μείωση του πλάτους του διαδιδόμενου κύματος. Ανισοτροπικά υλικά Τα ισοτροπικά υλικά έχουν σε μεγάλο βαθμό χωρική συμμετρία στη δομή τους που σημαίνει ότι η ηλεκτρομαγνητική απόκριση δεν εξαρτάται από το πώς το υλικό περιστρέφεται σε σχέση με το πεδίο. Για τα ισοτροπικά υλικά οι παράμετροι είναι πολλαπλάσια του μοναδιαίου τανυστή είναι δηλαδή βαθμωτά μεγέθη. Για τα υλικά στα οποία έχουμε σπάσιμο της γεωμετρικής συμμετρίας και τα οποία δεν μπορούν να θεωρηθούν ισοτροπικά οι εξισώσεις () δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Τα υλικά αυτά ονομάζονται ανισοτροπικά και οι 8

84 ηλεκτρομαγνητικές τους παράμετροι ε και μ εξαρτώνται από τον προσανατολισμό του πεδίου. Συνεπώς τα υλικά αυτά μοντελοποιούνται καλύτερα αν θεωρήσουμε ότι η επιδεκτικότητα και η διαπερατότητα είναι τανυστές. Συχνά υπάρχει μια γραμμική σχέση μεταξύ των τεσσάρων διανυσμάτων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου: D E H B E H (5) Tα υλικά που υπακούουν σε αυτές τις σχέσεις ονομάζονται δι-ανισοτροπικά και για να έχουμε την πλήρη ηλεκτρομαγνητική περιγραφή τους χρειαζόμαστε 6 μιγαδικές παραμέτρους. Τα περισσότερα από τα μετα-υλικά για τα οποία θα μιλήσουμε στο επόμενο παράρτημα ανήκουν σε αυτή την υποκατηγορία. Οι τανυστές εκφράζουν τη μαγνητο-ηλεκτρική σύζευξη που λαμβάνει χώρα όταν το μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ηλεκτρική πόλωση και αντίστροφα όταν η ηλεκτρική διέγερση προκαλεί μαγνητική απόκριση. Τα υλικά που δεν έχουν χωρική συμμετρία αλλά παρουσιάζουν μαγνητο-ηλεκτρική σύζευξη ονομάζονται δι-ισοτροπικά και η ποσότητα των απαιτούμενων παραμέτρων για την περιγραφή τους μειώνεται στις τέσσερις. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η ταξινόμηση των υλικών σε τέσσερις κατηγορίες όταν τα κριτήρια είναι η ισοτροπία-ανισοτροπία και αν το μέσο παρουσιάζει μαγνητο-ηλεκτρική σύζευξη. Πίνακας. Κατηγορίες γραμμικών ηλεκτρομαγνητικών υλικών και αριθμός των παραμέτρων για τον πλήρη χαρακτηρισμό τους[]. 84

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση Γωνίας Brewster Νόμοι του Fresnel

Μέτρηση Γωνίας Brewster Νόμοι του Fresnel Μέτρηση Γωνίας Bewse Νόμοι του Fesnel [] ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο πείραμα, δέσμη φωτός από διοδικό lase ανακλάται στην επίπεδη επιφάνεια ενός ακρυλικού ημι-κυκλικού φακού, πολώνεται γραμμικά και ανιχνεύεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL

ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL ΑΣΚΗΣΗ ΧΧ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΠΟΛΩΜΕΝΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ FRESNEL ΧΧ.1 Σκοπός Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η μελέτη της συμπεριφοράς του γραμμικά πολωμένου φωτός, όταν ανακλάται σε επίπεδη επιφάνεια διηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα διάλεξης

Περιεχόμενα διάλεξης 7η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 1 Περιεχόμενα διάλεξης Διασπορά Πόλωσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. Page 1 Πόλωση Γενική θεωρία Γ. Έλληνας, Διάλεξη 7, σελ. 3 Μηχανικό ανάλογο Εγκάρσια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 1. Εισαγωγή. Η ενέργεια, όπως είναι γνωστό από τη φυσική, διαδίδεται με τρεις τρόπους: Α) δι' αγωγής Β) δια μεταφοράς Γ) δι'ακτινοβολίας Ο τελευταίος τρόπος διάδοσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Εισαγωγή Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η μελέτη του ηλεκτροοπτικού φαινομένου (φαινόμενο Pockels) σε θερμοκρασία περιβάλλοντος για κρύσταλλο KDP και ο προσδιορισμός της τάσης V λ/4. Στοιχεία Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ 1. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα: Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής α. είναι διαµήκη. β. υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. γ. διαδίδονται σε όλα τα µέσα µε την ίδια ταχύτητα. δ. Δημιουργούνται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ

ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΤΟ ΦΩΣ 1 ΦΩΣ Στο μικρόκοσμο θεωρούμε ότι το φως έχει δυο μορφές. Άλλοτε το αντιμετωπίζουμε με τη μορφή σωματιδίων που ονομάζουμε φωτόνια. Τα φωτόνια δεν έχουν μάζα αλλά μόνον ενέργεια. Άλλοτε πάλι αντιμετωπίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό.

ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 91 9. Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 9.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα

6.10 Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα Πρόταση Μελέτης Λύσε απο τον Α τόµο των Γ. Μαθιουδάκη & Γ.Παναγιωτακόπουλου τις ακόλουθες ασκήσεις : 11.1-11.36, 11.46-11.50, 11.52-11.59, 11.61, 11.63, 11.64, 1.66-11.69, 11.71, 11.72, 11.75-11.79, 11.81

Διαβάστε περισσότερα

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ

Όλα τα θέματα των εξετάσεων έως και το 2014 σε συμβολή, στάσιμα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, ανάκλαση - διάθλαση ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗ Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής 1. To βάθος µιας πισίνας φαίνεται από παρατηρητή εκτός της πισίνας µικρότερο από το πραγµατικό, λόγω του φαινοµένου της: α. ανάκλασης β. διάθλασης γ. διάχυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2015 Πανεπιστήμιο Αθηνών, Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2015 Πανεπιστήμιο Αθηνών, Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Γ Λυκείου 7 Μαρτίου 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 7.1 Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 7.1 Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 7. Τι είναι το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Πως παράγεται ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα; 7.2 Ποιες εξισώσεις περιγράφουν την ένταση του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η εισαγωγή στην τεχνογνωσία των οπτικών ινών και η μελέτη τους κατά τη διάδοση μιας δέσμης laser. Συγκεκριμένα μελετάται η εξασθένιση που υφίσταται το σήμα στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 ΚίνησηΚυµάτων ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά Κυµατικής Είδη κυµάτων: ιαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της ιάδοσης κυµάτων ΗΕξίσωσητουΚύµατος Κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΛΕΚΑΝΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ( ΝΟΜΟΣ SNELL ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η εξοικείωση με μετρήσεις μήκους. Η εξοικείωση με τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι

ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι Θέμα 1 ο ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι Στα ερωτήματα 1 5 του πρώτου θέματος, να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα της απάντησης που θεωρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΚΥΜΑΤΑ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΚΥΜΑΤΑ Θέμα1: Α. Η ταχύτητα διάδοσης ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος: α. εξαρτάται από τη συχνότητα ταλάντωσης της πηγής β. εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΗ ΚΥΜΑΤΩΝ εγκάρσια διαμήκη

ΕΙΔΗ ΚΥΜΑΤΩΝ εγκάρσια διαμήκη ΕΙΔΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Τα οδεύοντα κύματα στα οποία η διαταραχή της μεταβλητής ποσότητας (πίεση, στάθμη, πεδίο κλπ) συμβαίνει κάθετα προς την διεύθυνση διάδοσης του κύματος ονομάζονται εγκάρσια κύματα Αντίθετα,

Διαβάστε περισσότερα

Διάθλαση φωτός και ολική ανάκλαση: Εύρεση του δείκτη διάθλασης και της γωνίας ολικής ανάκλασης

Διάθλαση φωτός και ολική ανάκλαση: Εύρεση του δείκτη διάθλασης και της γωνίας ολικής ανάκλασης 3 Διάθλαση φωτός και ολική ανάκλαση: Εύρεση του δείκτη διάθλασης και της γωνίας ολικής ανάκλασης Μέθοδος Σε σώμα διαφανές ημικυλινδρικού σχήματος είναι εύκολο να επιβεβαιωθεί ο νόμος του Sell και να εφαρμοστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές

Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο φως καινούργιες διαδρομές Βασίλης Γιαννόπαπας Τμήμα Επιστήμης των Υλικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Ημερίδα ΣΥ.ΚΑ.ΦΥ/ Ε.Κ.Φ., Λευκωσία, Κύπρος, 23-1-2012 Μεταϋλικά: μαθαίνοντας στο

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

3 η Εργαστηριακή Άσκηση

3 η Εργαστηριακή Άσκηση 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Βρόχος υστέρησης σιδηρομαγνητικών υλικών Τα περισσότερα δείγματα του σιδήρου ή οποιουδήποτε σιδηρομαγνητικού υλικού που δεν έχουν βρεθεί ποτέ μέσα σε μαγνητικά πεδία δεν παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Νόμος του Coulomb Έστω δύο ακίνητα σημειακά φορτία, τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Τα φορτία αυτά αλληλεπιδρούν μέσω δύναμης F, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34

Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34 Γεωμετρική Οπτική Γνωρίζουμε τα βασικά Δηλαδή, πως το φως διαδίδεται και αλληλεπιδρά με σώματα διαστάσεων πολύ μεγαλύτερων από το μήκος κύματος. Ανάκλαση: Προσπίπτουσα ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 14 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 14 8:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Μάκης Αγγελακέρης 010 Σκοπός της άσκησης Να μπορείτε να εξηγήσετε το φαινόμενο της Συμβολής και κάτω από ποιες προϋποθέσεις δύο δέσμες φωτός, μπορεί να συμβάλουν. Να μπορείτε να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 4 Διάδοση ραδιοκυμάτων

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 4 Διάδοση ραδιοκυμάτων Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 4 Διάδοση ραδιοκυμάτων Εξασθένηση μεγάλης κλίμακας (Lage scale fading) Καθώς το κινητό απομακρύνεται από το B.S. (0m, 00m, 000m) η τοπική μέση τιμή της ισχύος του λαμβανόμενου

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Σύστημα μετάδοσης με οπτικές ίνες Tο οπτικό φέρον κύμα μπορεί να διαμορφωθεί είτε από αναλογικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

r r r r r r r r r r r Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Το Μαγνητικό πεδίο σαν διάνυσμα Μέτρηση οριζόντιας συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου της γης

Το Μαγνητικό πεδίο σαν διάνυσμα Μέτρηση οριζόντιας συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου της γης Το Μαγνητικό πεδίο σαν διάνυσμα Μέτρηση οριζόντιας συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου της Α. Το Μαγνητικό πεδίο σαν διάνυσμα Σο μαγνητικό πεδίο περιγράφεται με το μέγεθος που αποκαλούμε ένταση μαγνητικού

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

θ r θ i n 2 HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 03 - Γεωμετρική Οπτική& Οπτικές Ίνες Εφαρμογή της γεωμετρικής οπτικής στις οπτικές ίνες

θ r θ i n 2 HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 03 - Γεωμετρική Οπτική& Οπτικές Ίνες Εφαρμογή της γεωμετρικής οπτικής στις οπτικές ίνες Uiversiy of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου Uiversiy of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου Εάν το μήκος κύματος του φωτός είναι μικρό σχετικά με το αντικείμενο μέσω του οποίου διαδίδεται, μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή:

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή: 54 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΘΕΜΑ Α Α1. Πράσινο και κίτρινο φως

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Επαφή p- Στάθμη Fermi Χαρακτηριστική ρεύματος-τάσης Ορθή και ανάστροφη πόλωση Περιεχόμενο της άσκησης Οι επαφές p- παρουσιάζουν σημαντικό ενδιαφέρον επειδή βρίσκουν εφαρμογή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΗΜ/ΝΙΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 11/3/2012 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 10:30-13:30

ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΗΜ/ΝΙΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 11/3/2012 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 10:30-13:30 ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΗΜ/ΝΙΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 11/3/2012 ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 10:30-13:30 Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων

5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων 5. Συμμετρία, Πολικότητα και Οπτική Ενεργότητα των μορίων ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o προβλέπετε με βάση τη συμμετρία αν ένα μόριο έχει μόνιμη

Διαβάστε περισσότερα

Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s.

Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. Κεφάλαιο 1 Το Φως Το φως διαδίδεται σε όλα τα οπτικά υλικά μέσα με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. Το φως διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα περίπου 3x10 8 m/s. 3 Η ταχύτητα του φωτός μικραίνει, όταν το φως

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Προτεινόμενα Θέματα Θέμα ο Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η φάση της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα : φ(rad) 2π π 6

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012. Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012. Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό. ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Α) γ Α) β Α)γ Α4) γ Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β n a n ( ύ) a n (), ( ύ ) n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης

Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών. και Μετάδοσης Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών και Μετάδοσης Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής & Δρ. Στυλιανός Π. Τσίτσος Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΚΟΥΤΑΛΙΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΡΝΕΣΗ ΛΕYΤΕΡΗΣ ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΖΩΓΡΑΦΑΚΗΣ ΤΑΣΟΣ ΠΑΠΑΘΕΟΥ

ΦΩΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΚΟΥΤΑΛΙΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΡΝΕΣΗ ΛΕYΤΕΡΗΣ ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΖΩΓΡΑΦΑΚΗΣ ΤΑΣΟΣ ΠΑΠΑΘΕΟΥ ΦΩΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΚΟΥΤΑΛΙΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΡΝΕΣΗ ΛΕYΤΕΡΗΣ ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΖΩΓΡΑΦΑΚΗΣ ΤΑΣΟΣ ΠΑΠΑΘΕΟΥ ΤΡΑΓΟΥΔΙΑ-ΦΩΣ ΝΙΚΟΣ ΠΟΡΤΟΚΑΛΟΓΛΟΥ ΠΟΥ ΗΣΟΥΝΑ ΦΩΣ ΜΟΥ ΠΥΛΗΤΟΥΗΧΟΥ ΤΟΦΩΣΤΟΥΗΛΙΟΥ SOUNDTRACK ΑΠΌ ΜΑΛΛΙΑ ΚΟΥΒΑΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα