ISBN

Transcript

1

2 ISBN Izdavač: Veleučilište u Karlovcu Za izdavača: dr. sc. Branko Wasserbauer, prof. v. š. Recenzenti: doc. dr. sc. omislav Jarak, doc. dr. sc. Ivica Skozrit, prof. dr. sc. Zdenko onković Grafička priprema: iroslav Kodrić Objavljivanje ovog veleučilišnog udžbenika odobrilo je Povjerenstvo za izdavačku djelatnost Veleučilišta u Karlovcu Odlukom o izdavanju publikacije br

3 dr. sc. Josip Hoster, dipl. ing. ČVRSOĆA II Podloge za predavanja i vježbe Veleučilište u Karlovcu, 7.

4

5 Sadržaj Popis oznaka...7 Predgovor.... SAVIJANJE ANKIH RAVNIH NOSAČA ODREĐIVANJE PROGIBA I KUA NAGIBA ELASIČNE LINIJE Diferencijalna jednadžba elastične linije etoda analogne grede.... RJEŠAVANJE SAIČKI NEODREĐENIH NOSAČA..... Princip opisivanja statičkim nosačem.... IZVIJANJE RAVNIH ŠAPOVA GUBIAK ELASIČNE SABILNOSI Eulerova kritična sila izvijanja etmaerova kritična sila izvijanja SLOŽENO OPEREĆENJE Savijanje i osno opterećenje Savijanje i uvijanje okruglih štapova Opći slučaj opterećenja okruglih štapova EORIJE ČVRSOĆE Energija deformiranja Distorzijska i dilatacijska energija eorija najvećeg normalnog naprezanja eorija najveće duljinske deformacije eorija najvećeg posmičnog naprezanja eorija najveće distorzijske energije DINAIČKA ČVRSOĆA Ciklus naprezanja Wöhlerov dijagram Haighov dijagram Smithov dijagram Koncentracija naprezanja. Dopušteno naprezanje Dimenzioniranje dinamički opterećenih strojnih dijelova Proporcionalno opterećenje Neproporcionalno opterećenje...9 Dodatak A...97 Kazalo pojmova...5 Popis slika i tablica...7 Literatura...

6

7 Popis oznaka Oznaka, mjerna jedinica a, mm Opis duljina dijela nosača, karakteristični radijus prijelaza mjerodavan za zareznu osjetljivost za neki materijal A, mm ploština poprečnog presjeka nosača b, mm širina profila, širina poprečnog presjeka c, mm duljina dijela nosača C, mm konstanta integracije C, mm - C, mm - C, mm - C 4, mm konstanta nakon prvog koraka integracije konstanta nakon drugog koraka integracije konstanta nakon trećeg koraka integracije konstanta nakon četvrtog koraka integracije d, mm promjer osovine, vratila, duljina dijela nosača d u, mm ds, mm du, J dv, m dw, mm dw, J d, mm d, mm dz, mm dw d d w d unutrašnji promjer cijevi diferencijal lučne mjere duljine diferencijal unutrašnje energije diferencijal volumena diferencijal progiba diferencijal rada diferencijal koordinate diferencijal koordinate diferencijal koordinate derivacija progiba, nagib tangente druga derivacija progiba, zakrivljenost krivulje D, mm promjer remenice, tarenice, vanjski promjer cijevi D, mm promjer remenice D, mm promjer remenice dα, rad diferencijal kuta e, mm udaljenost težišnice presjeka od pravca djelovanja sile E, N/mm modul elastičnosti f s f f F, N sila F(t), N F a, N F B, N F, N F kr, N F m, N faktor sigurnosti pri dinamičkom naprezanju funkcija ovisnosti najmanjeg uštenog naprezanja o srednjem naprezanju funkcija ovisnosti najvećeg uštenog naprezanja o srednjem naprezanju vremenski promjenjiva sila amplituda vremenski promjenjive sile (pri dinamičkom opterećenju) sila na mjestu B na nosaču uštena sila pri izvijanju štapa kritična sila pri izvijanju štapa srednja vrijednost vremenski promjenjive sile (pri dinamičkom opterećenju) ( F o ), N obodna sila na remenici

8 Oznaka, mjerna jedinica ( F o ), N obodna sila na remenici F R, N F z, N F, N F, N F, N F A, N z F A, N F D, N z F D, N * F Az, N Opis reaktivna sila pri izvijanju štapa uslijed temperaturnog širenja sila na pravcu osi z sila koja djeluje na nosač sila koja djeluje na štap sila koja djeluje na štap reakcija u ležaju A na pravcu osi reakcija u ležaju A na pravcu osi z reakcija u ležaju D na pravcu osi reakcija u ležaju D na pravcu osi z h, mm visina presjeka nosača i min, mm fiktivna reakcija na analognom nosaču u osloncu A na pravcu osi z minimalni radijus tromosti poprečnog presjeka nosača, štapa I, mm 4 aksijalni moment tromosti površine poprečnog presjeka nosača I min, mm 4 I, mm 4 I p, mm 4 k k minimalni aksijalni moment tromosti površine poprečnog presjeka nosača, štapa aksijalni moment tromosti površine poprečnog presjeka nosača, štapa, prema osi polarni moment tromosti površine poprečnog presjeka štapa faktor površinske hrapavosti za dinamičku čvrstoću faktor veličine presjeka za dinamičku čvrstoću l, mm duljina štapa pri izvijanju l, mm slobodna duljina izvijanja L, mm duljina nosača L, mm L, mm duljina ravnog dijela nosača duljina ravnog dijela nosača, Nmm moment savijanja na štapu B, Nmm B,ret, Nmm C, Nmm, Nmm moment savijanja oko osi na štapu u točki B rezultirajući moment savijanja oko osi na štapu na presjeku B moment savijanja oko osi na štapu u točki C moment savijanja na nosaču rez,, Nmm rezultirajući moment savijanja oko osi na štapu na presjeku rez,, Nmm rezultirajući moment savijanja oko osi na štapu na presjeku, Nmm, Nmm moment uvijanja moment savijanja oko osi u štapu, Nmm moment savijanja oko osi u štapu na presjeku, Nmm moment savijanja oko osi u štapu na presjeku z, Nmm moment savijanja oko osi z u štapu z, Nmm moment savijanja oko osi z u štapu na presjeku z, Nmm moment savijanja oko osi z u štapu na presjeku A, Nmm moment savijanja oko osi prema točki A na dijelu konstrukcije A z, Nmm moment savijanja oko osi z prema točki A na dijelu konstrukcije A s, Nmm moment savijanja u točki A C s, Nmm moment savijanja u točki C

9 Oznaka, mjerna jedinica Opis C, Nmm moment uvijanja u točki C C ekv, Nmm ekvivalentni moment u točki C a s, Nmm a, Nmm amplituda momenta savijanja pri dinamičkom naprezanju amplituda momenta uvijanja pri dinamičkom naprezanju m s, Nmm srednja vrijednost momenta savijanja pri dinamičkom naprezanju m, Nmm srednja vrijednost momenta uvijanja pri dinamičkom naprezanju *, mm * A, mm * B, mm n fiktivni moment na analognom nosaču fiktivni moment na analognom nosaču u točki A fiktivni moment na analognom nosaču u točki B broj poluvalova sinusiode n, min - brzina vrtnje rotora N p, Pa tlak fluida u cijevi broj ciklusa opterećenja pri dinamičkom naprezanju P, W snaga koju prenosi vratilo r faktor asimetričnosti ciklusa naprezanja pri dinamičkom naprezanju r, mm prijelazni radijus na štapu pri dinamičkom naprezanju, udaljenost od neutralne osi pri savijanju r, mm radijus remenice r, mm radijus remenice R t, µm q q z, N/mm q, N/mm q *, mm - Q z, N Q * visina brazde na površini obrađenog dijela faktor zarezne osjetljivosti materijala pri dinamičkom naprezanju raspodijeljeno opterećenje na nosaču zadana vrijednost raspodijeljenog opterećenja na nosaču raspodijeljeno opterećenje analogne grede poprečna sila na presjeku nosača poprečna fiktivna sila analogne grede * Q poprečna fiktivna sila u točki A analogne grede na presjeku Az * Q B poprečna fiktivna sila u točki B analogne grede na presjeku s, mm krivocrtna duljinska mjera, debljina stijenke cijevi S t, s vrijeme faktor sigurnosti pri izvijanju, Nmm moment uvijanja na štapu U, J energija deformiranja U d, J V, m volumen w, mm progib nosača w A, mm w ma, mm gustoća energije deformiranja progib nosača u točki A najveći progib nosača q w B, mm progib nosača u točki B uslijed djelovanja raspodijeljenog opterećenja q F w B, mm progib nosača u točki B uslijed djelovanja sile F w B, mm progib nosača u točki B uslijed djelovanja sprega W, J rad naprezanja na elementarnom volumenu materijala

10 Oznaka, mjerna jedinica Opis W, mm aksijalni moment otpora poprečnog presjeka nosača W p, mm polarni moment otpora poprečnog presjeka nosača z, mm koordinata u Descarteovom koordinatnom sustavu, mm koordinata u Descarteovom koordinatnom sustavu, mm koordinata u Descarteovom koordinatnom sustavu α kut zakreta tangente na elastičnu liniju α, K - koeficijent temperaturnog širenja materijala α ma najveći kut zakreta tangente na elastičnu liniju α k faktor koncentracije naprezanja α k,ef efektivni faktor koncentracije naprezanja α k,t teorijski, geometrijski faktor koncentracije naprezanja α A α B α q B F α B kut zakreta tangente na elastičnu liniju u točki A kut zakreta tangente na elastičnu liniju u točki B kut zakreta tangente na elastičnu liniju u točki B uslijed djelovanja raspodijeljenog opterećenja q kut zakreta tangente na elastičnu liniju u točki B uslijed djelovanja sile F α kut zakreta tangente na elastičnu liniju u točki B uslijed djelovanja sprega B γ kutna deformacija γ z kutna deformacija γ z kutna deformacija F, N promjena sile F L, mm promjena duljine štapa uslijed djelovanja sile L ϑ, mm promjena duljine štapa uslijed promjene temperature ϑ, C promjena temperature ε ε duljinska deformacija u smjeru osi duljinska deformacija u smjeru osi ε z duljinska deformacija u smjeru osi z ε uštena duljinska deformacija ϑ, C κ, m - λ λ p λ ν ρ, m a, N/mm relativna temperatura u stupnjevima Celzijusa zakrivljenost elastične linije nosača vitkost štapa pri izvijanju granična vitkost štapa pri izvijanju pri granici elastičnosti (Eulerova hiperbola) granična vitkost štapa pri izvijanju na granici etmaerovog pravca Poissonov faktor radijus zakrivljenosti elastične linije nosača amplituda dinamičkog naprezanja, N/mm ušteno naprezanje e, N/mm naprezanje pri granici elastičnosti (plastičnog tečenja)

11 Oznaka, mjerna jedinica Opis ekv, N/mm ekvivalentno naprezanje pri složenom stanju naprezanja kr, N/mm kritično naprezanje pri izvijanju štapa m, N/mm srednja vrijednost dinamičkog naprezanja, N/mm statička čvrstoća (pri rastezanju, vlačna čvrstoća) ma, N/mm najveće naprezanje, najveće dinamičko naprezanje min, N/mm najmanje dinamičko naprezanje p, N/mm, N/mm, N/mm, N/mm z, N/mm, N/mm, N/mm, N/mm, N/mm naprezanje (granica) proporcionalnosti naprezanje na granici etmaerovog pravca pri izvijanju štapa normalna komponenta naprezanja u smjeru osi normalna komponenta naprezanja u smjeru osi normalna komponenta naprezanja u smjeru osi z karakteristično naprezanje pri izvijanju štapa najveće glavno naprezanje srednje glavno naprezanje najmanje glavno naprezanje a,ekv, N/mm amplituda ekvivalentnog naprezanja pri dinamičkom naprezanju m,ekv, N/mm srednja vrijednost ekvivalentnog naprezanja pri dinamičkom naprezanju B,ma, N/mm najveće normalno naprezanje u točki B d -, N/mm dinamička (trajna) čvrstoća za izmjenični ciklus naprezanja d r( N ), N/mm vremenska čvrstoća za ciklus faktora asimetričnosti r, pri N ciklusa naprezanja, N/mm dinamička (trajna) čvrstoća za ciklus faktora asimetričnosti r, za vrstu (oblik) opterećenja d, r B ekv, NPN, N/mm ekvivalentno naprezanje u točki B prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja d, r,, N/mm ušteno najveće naprezanje za ciklus faktora asimetričnosti r, za vrstu (oblik) opterećenja ( ) a, N/mm normalno naprezanje na prvom dijelu štapa ( ) a, N/mm normalno naprezanje na drugom dijelu štapa ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), N/mm normalno naprezanje na trećem dijelu štapa ' ma, N/mm najveće normalno naprezanje na prvom dijelu štapa samo uslijed savijanja ' min, N/mm najmanje normalno naprezanje na prvom dijelu štapa samo uslijed savijanja ' ma, N/mm najveće normalno naprezanje na drugom dijelu štapa samo uslijed savijanja ' min, N/mm najmanje normalno naprezanje na drugom dijelu štapa samo uslijed savijanja, N/mm najveće normalno naprezanje na prvom dijelu štapa ma, N/mm najmanje normalno naprezanje na prvom dijelu štapa min

12 Oznaka, mjerna jedinica ( ) ( ) ma Opis, N/mm najveće normalno naprezanje na drugom dijelu štapa, N/mm najmanje normalno naprezanje na drugom dijelu štapa min ϕ, N/mm cirkularno (u kružnom smjeru) naprezanje u stijenci cijevi τ ma, N/mm najveće posmično naprezanje uslijed uvijanja (torzije) τ B,ma, N/mm najveće posmično naprezanje uslijed uvijanja (torzije) u točki B τ, N/mm posmična komponenta naprezanja τ z, N/mm posmična komponenta naprezanja τ z, N/mm posmična komponenta naprezanja ω, m - karakteristična veličina jednadžbe ravnoteže pri izvijanju štapa Ω, s - kružna frekvencija uzbudne sile pri dinamičkom naprezanju

13 Predgovor Ove podloge za predavanja i vježbe su nastale na osnovi plana kolegija Čvrstoća II iz. Veleučilišta u Karlovcu. Konceptualno je ovaj rukopis temeljen na udžbeniku prof. dr. sc. Ive Alfirevića, profesora na Fakultetu strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu. Velika razlika je u odabranim originalnim numeričkim primjerima koji prate teorijske osnove. Uz to, sadržaj pojedinih poglavlja prilagođen je planu kolegija Čvrstoća II koji autor predaje na Veleučilištu u Karlovcu. Uz taj udžbenik, značajan utjecaj na nastajanje i pisanje ovog djela je autorovo iskustvo u nastavi na Katedri za mehaniku i čvrstoću Fakulteta strojarstva i brodogradnje. Suradnja sa svim nastavnicima Katedre za mehaniku i čvrstoću i Zavoda za tehničku mehaniku Fakulteta strojarstva i brodogradnje je uvelike rinijela nastavnoj djelatnosti autora, a time i nastajanju ovog djela. U skripti su prikazane teorijske osnove savijanja tankih nosača, rješavanja statički neodređenih ravnih nosača, izvijanja ravnih štapova, složenih opterećenja ravnih štapova, teorija čvrstoće i dinamičke čvrstoće. Uz teorijske osnove prikazani su i riješeni zadaci koji prate gradivo. eorija prikazana u prvih pet poglavlja ovog teksta predstavlja odabrana temeljna znanja iz područja čvrstoće, dok je šesto poglavlje sažetak znanja iz područja dinamičke čvrstoće, ili ponekad nazvane pogonske čvrstoće. Prvih pet poglavlja se konceptualno temelji na udžbeniku prof. dr. sc. Ive Alfirevića, no opseg sadržaja je smanjen i prilagođen planu kolegija Čvrstoća II Veleučilišta u Karlovcu. Numerički primjeri su osmišljeni tako da posluže čitatelju provjeriti usvjojene teorijske postavke u pojedinom poglavlju. Šesto poglavlje je konceptualno temeljeno na 8. poglavlju o dinamičkoj čvrstoći u udžbeniku Nauka o čvrstoći II autora prof. dr. sc. Josipa Brnića i prof. dr. sc. Gorana urkalja s ehničkog fakulteta Sveučilišta u Rijeci, te mnogih izvora s internetskih stranica. U prvom poglavlju Savijanje tankih ravnih nosača prikazana je analiza izvođenja diferencijalne jednadžbe elastične linije ravnih nosača, te primjena integriranja te jednadžbe za određivanje oblika elastične linije. Uz to opisana je metoda analogne grede za određivanje progiba ili nagiba u pojedinim točkama statički određenih nosača. U prikazanim numeričkim primjerima su obrađeni određivanje progiba i kuta nagiba elastične linije grede integriranjem diferencijalne jednadžbe elastične linije, te progiba i nagiba u pojedinim točkama metodom analogne grede. U drugom poglavlju Statički neodređeni nosači prikazan je način određivanja jednadžbe elastične linije i deriviranjem te jednadžbe izračun momenta savijanja (momentnog dijagrama) statički neodređenih nosača. Prikazana je primjena principa superpozicije za određivanje reakcija u osloncima pomoću tabličnih izraza za progib i nagib tangente elastične linije u pojedinim točkama nosača. Prikazani su numerički primjeri statički neodređenih nosača u kojima je izračunat momentni dijagram integriranjem diferencijalne jednadžbe elastične linije i primjenom principa superpozicije korištenjem tabličnih izraza za progib i nagib u određenim točkama nosača. U trećem poglavlju Izvijanje ravnih štapova prikazana je analiza kritične sile pri izvijanju ravnih štapova oslonjenih na svojim krajevima. Prikazane su jednadžbe proračuna kritične sile, odnosno naprezanja, prema Euleru i etmaeru. U prikazanim numeričkim primjerima su prikazani proračuni izvijanja štapova spojenih s konstrukcijom, tako da time čitatelj dobiva uvid u proračun dijelova konstrukcije promatranih zasebno. U četvrtom poglavlju Složeno opterećenje, koje je povezano tematski s petim poglavljem, eorije čvrstoće prikazan je način određivanja unutrašnjih veličina u nosaču; uzdužne i poprečne unutrašnje sile, te unutrašnjih momenata uvijanja i savijanja. Na osnovi poznavanja raspodjele unutrašnjih veličina odabire se kritični presjek ili presjeci koji služe za dimenzioniranje nosača. Nadalje su u poglavlju eorije čvrstoće izložene četiri teorije čvrstoće. Izložene su teorija najvećeg normalnog naprezanja, teorija najveće duljinske deformacije, teorija najvećeg posmičnog naprezanja i teorija najveće distorzijske energije. Analizirani su slučajevi složenih opterećenja; osnog opterećenja i savijanja, savijanja i uvijanja te osnog opterećenja, unutrašnjeg tlaka, momenta savijanja i momenta uvijanja u tankostjenoj cijevi. Prikazan je primjer proračuna tzv. idealnog vratila. U šestom poglavlju Dinamička čvrstoća prikazane su teorijske osnove dimenzioniranja strojnih elemenata koji su opterećeni dinamički. Opisan je način dimenzioniranja u slučaju kada je samo jedna značajna komponenta naprezanja koja se vremenski mijenja, tzv. proporcionalno opterećenje, na primjeru osovine koja rotira opterećena poprečnom silom, i slučaj tzv. neproporcionalnog opterećenja, kada postoji više

14 komponenata naprezanja, te se pravci glavnih naprezanja mijenjaju u ciklusu naprezanja, na primjeru vratila koje prenosti snagu rotirajući opterećeno i poprečnim silama. U prilogu A prikazani su dijagrami faktora koncentracije naprezanja za razne oblike geometrijskih diskontinuiteta u strojnim elementima, kao i jednadžbe kojima se izračunavaju faktori koncentracije naprezanja za razne geometrije strojnih elemenata s različitim geometrijskim diskontinuitetima. Nakana ovih podloga za predavanja i vježbe je olakšati studentima, prvenstveno Veleučilišta u Karlovcu, praćenje nastave iz kolegija Čvrstoća II, te ukljućujući stručnjake samostalno učenje i usvajanje gradiva, i primjenu izloženih teorijskih postavki u dimenzioniranju strojnih dijelova. Svrha riješenih primjera je ponuditi numeričke primjere kao način primjene prikazanih teorijskih osnova te potaknuti na provjeru usvojenih znanja. Ovom prigodom želim zahvaliti matičnoj instituciji Veleučilištu u Karlovcu, prvenstveno dekanu dr. sc. Branku Wasserbaueru, prof. v. š., na potpori u nastanku i promicanju korištenja u nastavi ovog djela. Zahvaljujem mentoru mog doktorskog rada prof. dr. sc. Jurici Soriću koji mi je značajno pomogao oblikovati nastavnu i znanstvenu djelatnost. Zahvaljujem i svim kolegicama i kolegama s Katedre za mehaniku i čvrstoću i Zavoda za tehničku mehaniku Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu na savjetima, potpori i pomoći. Autor

15 . SAVIJANJE ANKIH RAVNIH NOSAČA ODREĐIVANJE PROGIBA I KUA NAGIBA ELASIČNE LINIJE.. Diferencijalna jednadžba elastične linije Za opisivanje i izvođenje jednadžbi za savijanje tankih štapova koristimo desni Descartesov koordinatni sustav. Nosač je opterećen u ravnini Oz, odnosno, pomaci štapa, koje zovemo progibi, koji su okomiti na početnu nedeformiranu središnju liniju su u ravnini Oz. Uslijed opterećenja uzdužna os štapa postaje zakrivljena i naziva se elastična linija. Pomaci točaka presjeka u i v u pravcima osi i su zanemarivo mali u odnosu na pomak w u pravcu osi z kojeg nazivamo progib. Promatra se čisto savijanje, što znači da je moment savijanja konstantan po cijelom nosaču. Promatramo nosač jednolikog presjeka, od homogenog materijala, pa je pretpostavka da je svaki presjek nosača, ili svaki isječak infinitezimalne debljine pod jednakim uvjetima, pa je deformiranje, tj. zakrivljenost jednolika po cijelom nosaču. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju [] su: poprečni presjeci nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju, poprečni presjeci se ne deformiraju, vlada približno jednoosno stanje naprezanja; komponenta naprezanja je jedina različita od nule, pomaci i deformacije su dovoljno mali u odnosu na mjere štapa, wma < h /. Ograničenja za izraze za elastičnu liniju [] su: visina savijanja h (mjera u ravnini opterećenja) malena je u usporedbi s rasponom l. Ako je omjer / 5 l h >, greška je manja od %, najveći nagib tangente na elastičnu liniju α ma je manji od,5 rad, razmatraju se pomaci na mjestima dovoljno udaljenim od krajeva štapa, oslonaca i mjesta djelovanja koncentriranih opterećenja. Dovoljna udaljenost je visina štapa h. Zakrivljenost elastične linije κ, koja slijedi iz geometrijske analize, prema [], je: dα κ = = =, (.) ds ρ gdje su κ zakrivljenost elastične linije, α kut nagiba tangente na elastičnu liniju, s duljina krivulje, ρ radijus zakrivljenosti elastične linije, unutrašnji moment savijanja oko osi u nosaču, E modul elastičnosti i I aksijalni moment tromosti površine presjeka nosača. Pozitivan smisao kuta definiran je prema pravilu desnog vijka, kako je prikazano na Slici.. atematički točno opisana zakrivljenost funkcijom progiba je: gdje je w progib nosača. d w κ d ρ = = ± dw + d, (.) Studij strojarstva 5

16 Slika.. Opisivanje deformiranja nosača: a) koordinatni sustav nosača [], b) pomak (progib) nosača Uz ograničenje malih progiba i nagiba, pri čemu vrijedi da je ds d, iz (.) slijedi da se zakrivljenost može približno opisati sa: d w κ = ±. (.) d Slika.. Zakrivljenost elastične linije [] jer se u nazivniku (.) kvadrat prve derivacije, tj. kuta nagiba koji je mnogo manji od jedinice može zanemariti prema jedinici. Kut nagiba α je isto tako mnogo manji od jedinice (jednog radijana) pa se može približno odrediti iz: dw dw α tan ( α ) = α =. (.4) d d Kombiniranjem (.) i (.) slijedi izraz koji povezuje moment savijanja (opterećenja koje djeluje u ravnini Oz ) i druge derivacije progiba prema: d w =, (.5) d što je diferencijalna jednadžba elastične linije u ravnini Oz. Integriranjem te jednadžbe i uvođenjem rubnih uvjeta moguće je odrediti jednadžbu elastične linije (ovisnost progiba o koordinati ). Jednadžba (.5) je linearna jednadžba i vrijedi za statički određene probleme jer podrazumijeva poznavanje raspodjele momenta savijanja. Općenitiji slučaj, statički neodređenih nosača, povlači poznavanja rubnih uvjeta pomaka, pa diferencijalnu jednadžbu elastične linije dalje mijenjamo uvođenjem veze momenta savijanja s z. Čitatelj može naći detaljno objašnjenje o diferencijalnoj jednadžbi elastične linije u []. Iz Čvrstoće I je poznata veza između unutrašnje : poprečnom silom ( ) z poprečne sile ( ) z Q, i poprečnim raspodijeljenim opterećenjem q ( ) Q i unutrašnjeg momenta savijanja ( ) d Qz =. (.6) d Poveznica vanjskog poprečnog raspodijeljenog opterećenja qz ( ) i unutrašnje poprečne sile Qz ( ) diferencijalna jednadžba: je dqz qz =. (.7) d 6 Veleučilište u Karlovcu

17 Uvrštavanjem (.6) u (.5) slijedi: a uvrštavanjem (.7) u (.8) slijedi: d d d w = Qz, (.8) d U slučaju da je d d d w = qz. (.9) d = konst. jednadžba (.9) se pojednostavljuje u: d w d 4 q 4 z =. (.) Integriranjem jednadžbe (.) četiri puta uz zadovoljavanje rubnih uvjeta sila (prirodni rubni uvjeti sila i moment) i pomaka (osnovni rubni uvjeti pomak i kut nagiba tangente) dobiva se jednadžba progiba, odnosno elastične linije. U gornjim jednadžbama veličinu možemo zvati savojna krutost, jer ukazuje na otpornost deformiranju pri savijanju, odnosno zakrivljenju nosača. Primjer.. Integriranje diferencijalne jednadžbe elastične linije. Za nosač zadan i opterećen prema Slici. potrebno je odrediti jednadžbu elastične linije i odrediti najveći progib i nagib u toj točki. Zadano: = konst., q, F,, L. Za određivanje najvećeg progiba uzeti F q L q L =, =. Slika.. Konzolni nosač / z =. U prvom koraku prikazat ćemo lijevu stranu jednadžbe (.) kao derivaciju. Nadalje ćemo pomnožiti obje strane s diferencijalom, d, te integrirati diferencijalnu jednadžbu pa slijedi: Prema Slici. može se napisati jednadžba raspodijeljenog opterećenja prema q ( ) q ( L) d d w d w = q /d d q = d / d. d d L d L d w d w d d = q d q C. d = + L d L (.) Integriranjem lijeve strane u (.), tj. diferencijala funkcije u zagradi slijedi da je integral sama funkcija jer su diferenciranje i integriranje inverzne operacije. U tom izrazu pojavljuje se izraz za unutrašnju poprečnu silu kako je opisano u (.8) pa ćemo konstantu integracije C odrediti iz rubnih uvjeta sila, odnosno iz zadanih poprečnih sila. Iz jednadžbe ravnoteže dijela nosača prema Slici.4 slijedi da je unutrašnja poprečna sila na mjestu = : F z = F + Q z = Q F z =. (.) Studij strojarstva 7

18 Slika.4. Unutrašnje veličine na lijevom rubu konzole d w Kako je prema (.8) funkcija negativna poprečna sila, tada za određivanje C treba uzeti d negativnu poprečnu silu određenu u (.). Slijedi: F = q + C F = C. (.) L Uvrštavanjem (.) u (.) dobivamo izraz za raspodjelu negativne unutrašnje poprečne sile: Daljnjim integriranjem (.4) slijedi: = d w = q + F. (.4) d L d w d w d = q + F d / d = q + F + C. d L (.5) d 6L Prema (.5), (.5) predstavlja jednadžbu momenta savijanja, pa ćemo konstantu integracije C odrediti iz rubnog uvjeta momenta. Ponovno, prema Slici.4, iz ravnoteže momenata oko osi slijedi: = + = =. (.6) Funkcija na lijevoj strani (.5) je negativna funkcija momenta savijanja, pa slijedi: = q + F + C C = 6L Uvrštavanjem C u (.5) slijedi raspodjela momenta savijanja po nosaču: = d w = q + F d 6L Daljnjim integriranjem (.8) dobivamo jednadžbu kuta nagiba tangente: dw d = q + F d / d. d 6L 4 dw = q + F + C. d 6 4L. (.7). (.8) (.9) U jednadžbu (.9) treba uvesti rubni uvjet koji opisuje kut nagiba tangete na elastičnu liniju u točki B jer je u toj točki uklještenje koje uvjetuje način deformiranja, tj. pomaci i rotacije su spriječeni. Slijedi 4 L L L L L = q + F L + C C = L F q. (.) 6 4L 8 Uvrštavanjem C u (.9) dobivamo funkciju kuta nagiba tangente: 8 Veleučilište u Karlovcu

19 4 dw L L = q + F + L F q. d 6 4L 8 4 dw L L = q + F ( L). d 6 4L 8 Još jednom integriramo jednadžbu elastične linije i dobivamo jednadžbu progiba: 4 L L d( w) = q + F ( L) d / d. 6 4L L L w = q + F L + C4. 4 L 8 6 Rubni uvjet za pomak (progib) je u uklještenju, točki B, iz čega možemo odrediti konstantu C 4 : (.) (.) L L L L L L 4 = q + F L + C L L L C4 = q + F +. Uvrštavanjem (.) u (.) dobivamo funkciju progiba u obliku: L L L L L w = q + + F + L +. 4 L ql w = L 4 L 8 L F L L L L L +. L (.). (.4) U donjoj jednadžbi (.4) izraz za progib je malo preuređen kako bi se olakšalo crtanje elastične linije. Za predočavanje utjecaja svakog od opterećenja na elastičnu liniju, elastične linije pojedinih opterećenja nacrtane su različitim vrstama krivulja, i pri tome korištene zadane ovisnosti opterećenja; F = ql, = ql /. Uvrštavanjem ovih odnosa opterećenja u jedandžbu elastične linije dobivamo ukupni oblik deformirane elastične linije prema Slici.5. Na Slici.5. nacrtane su funkcije progiba podijeljene 4 veličinom q L radi lakšeg crtanja, što nazivamo normirani progib. / Slika.5. Normirana funkcija progiba konzole Studij strojarstva 9

20 Iz jednadžbe (.) je vidljvo da spreg uzrokuje progib u obliku polinoma. stupnja, poprečna sila q progib u F progib u obliku polinoma. stupnja a linearno promjenjivo raspodijeljeno opterećenje ( ) obliku polinoma 5. stupnja. Nadalje, da bi odredili najveći progib, postavit ćemo uvjet da je prva derivacija funkcije progiba jednaka nuli: 4 dw L L = q + ql ql ( L) =. d 6 4L 8 q + ql ql = q + L L =. 6L 6L + + L L =, 44 L. 6L z (.5) Iz jednadžbe (.5) dobivamo mjesto na nosaču gdje je maksimum progiba, pa vrijednost najvećeg porgiba dobivamo uvrštavanjem izračunate koordinate u funkciju progiba, što daje: w q L ma = (,44) + (,44) (,44) ql ql ql (, 44) (, 44) + + (, 44) + (, 44) =, Nagib tangente na elastičnu liniju u toj točki nosača izračunavamo prema: dw α ( =,44L) = ( =,44L) = d 4 L L ql q ql + ql ( L) =, L 8 Primjer.. Integriranje diferencijalne jednadžbe elastične linije. (.6) (.7) Za nosač zadan i opterećen prema Slici.6 potrebno je odrediti jednadžbu elastične linije. Zadano: = konst., F,, L, = F L. Slika.6. Konzolni nosač Za ovaj nosač moment savijanja ima lom na mjestu djelovanja sile, stoga ćemo integrirati diferencijalnu jednadžbu elastične linije u dva područja. oment savijanja od točke A do točke B jednak je: a moment od točke B do točke C jednak je:, L /, =, (.8) ( ) L /, L, = F L /. (.9) Raspodjela momenta savijanja po nosaču je prikazana na Slici.7. Integriranjem diferencijalne jednadžbe d w elastične linije = dva puta dobivamo: d Veleučilište u Karlovcu

21 d w dw dw = d = ( ) d / d C. d d = + d dw = + C / d w C C w C C. d = + + = + + (.) U gornjim jednadžbama je uvedena oznaka w koja označava funkciju progiba za područje od točke A do točke B. Oznaku w će označavati funkciju progiba za područje od točke B do točke C. Slika.7. Raspodjela momenta savijanja Nadalje, integriramo na području od točke B do točke C, pa slijedi: d w L dw L = F d = F d / d. d d dw L L = F C / d w F C C4. d + = (.) Rubni uvjeti za nosač su: L w = F + C + C dw w( = L) =, ( = L) =. (.) d Budući da imamo dva područja integracije, za određivanje konstanti integracije u obje funkcije progiba, w i w, potrebno je postaviti rubne uvjete za diferencijalne jednadžbe koje dobivamo postavljanjem uvjeta neprekidnost nosača, tj. jednakosti progiba u točki B i nagiba tangente na elastičnu liniju, kako je prikazano na Slici.8., i rubnih uvjeta u uklještenju. Kada uvedemo rubni uvjet progiba u (.) i uvjete neprekidnosti funkcije progiba, dobit ćemo jednadžbu za progib: = + + = L L L L w w C C L L L L L F + C + C L L L C + C = F + C + C4. 4. (.) Studij strojarstva

22 Slika.8. Neprekidnost funkcije i prve derivacije progiba = + + = L L L L w w C C L L L L L F + C + C L L L C + C = F + C + C4. 4 dw L dw L L = + C = d d L L L L L F + C C = F + C. 8 Nakon uvjeta neprekidnosti, rubni uvjeti nam daju još dvije jednadžbe:. (.4) L = + + =. 6 4 ( ) ( ) ( ) ( ) w L L F L L CL C4 L L + F + CL + C4 =. (.5). d dw L ( L) = L F ( L) ( L) + C = L = C Rješavanjem sustava jednadžbi (.4) i (.5) dobivamo konstante integracije: L 7L L L C = F ; C = F ; C = F ; C4 = F. (.6) Uvrštavanjem izračunatih konstanti u funkcije progiba dobivamo konačno raspodjelu progiba po nosaču: F L L 7L F L L L w = +, w = +. (.7) Radi lakšeg crtanja, funkcije progiba (.7) zapisujemo izmijenjene na način: F L 7 F L w = +, w = +, (.8) 4 L 8 L 48 6 L L L 6 pa u dijagramu crtamo funkciju progiba podijeljenu s veličinom / progib. Na Slici.9. prikazana je raspodjela normiranog progiba za zadani nosač. F L, što se naziva normirani Veleučilište u Karlovcu

23 Slika.9. Normirani progib konzole.. etoda analogne grede etoda analogne grede [] je jednostavnija metoda za određivanje progiba i nagiba tangente na elastičnu liniju u konačnom skupu točaka nosača, za razliku od metode integriranja diferencijalne jednadžbe elastične linije koja daje funkciju za progib i nagib tangente za sve točke nosača. etoda analogne grede je aritmetički brža samo ako se izračunavaju progib i nagib u malom broju točaka, npr. točke. Integriranje diferencijalne jednadžbe je mnogo kompliciranije za relativno složene nosače. etoda analogne grede se može primijeniti za statički određene nosače jer je temelj za izračun progiba i nagiba tangente poznavanje dijagrama momenta savijanja nosača. etoda analogne grede zasniva se na analogiji diferencijalnih jednadžbi koje povezuju raspodijeljeno opterećenje, poprečnu silu i moment savijanja qz, Qz i i diferencijalnih jednadžbi koje povezuju progib, nagib i zakrivljenost w, α i κ. e su jednadžbe napisane u stupcima d d w = q,, z = d d d dw = Qz, = α, d d dqz dα = qz, = =. d ρ d (.9) U prvom redu jednadžbi (.9) analogija je u veličinama w i, jer su te dvije jednadžbe istog oblika, s različitim veličinama. Jednadžbe bi bile iste kada bi u lijevoj jednadžbi u prvom redu umjesto veličine uvrstili w a na desnoj strani te desne jednadžbe stavili / ( ) Studij strojarstva umjesto q z. Jednadžbe se rješavaju na isti način uz primjenu odgovarajućih analognih rubnih uvjeta. Isto vrijedi za druga dva reda jednadžbi u (.9) gdje je analogija među veličinama α i Q. z Gore opisano znači da za izračunavanje progiba i/ili nagiba na nekom mjestu nosača umjesto rješavanja / uz stvarne grede rješavamo fiktivnu gredu s raspodijeljenim fiktivnim opterećenjem ( ) odgovarajuće rubne uvjete koji se određuju na osnovi analogije prikazane u (.9). U skladu s analognim veličinama potrebno je uvesti rubne uvjete. Rubni uvjeti se postavljaju na mjestima gdje su progibi i/ili nagibi poznati, kako je prikazano na Slici.. na sljedeći način: ako je na stvarnoj gredi progib u nekoj točki jednak nuli, na fiktivnoj gredi u toj točki mora biti moment savijanja jednak nuli,

24 ako je na stvarnoj gredi nagib u nekoj točki jednak nuli, na fiktivnoj gredi u toj točki mora biti poprečna sila jednaka nuli. ožemo sažeto reći da se postupak rješavanja metodom analogne grede može zapisati po koracima:. Izračunati momentni dijagram stvarne grede.. Definirati fiktivnu gredu: uvesti analogne rubne uvjete, tj. skicirati analognu gredu ispod momentnog * dijagrama stvarne grede. Analogna greda je opterećena raspodijeljenim opterećenjem q = /. Ako je greda nepromjenjive savojne krutosti rješavanja radi jednostavnosti.. Izračunati fiktivne momente 4. Analogijom je w α Q * * =, =. * i poprečne sile, možemo ispustiti pisanje te veličine do kraja * Q u traženi točkama. Budući da se metoda analogne grede zasniva na rješavanju diferencijalne jednadžbe elastične linije, podliježe istim ograničenjima kao i sama diferencijalna jednadžba. Najbitnije je da se ova metoda primjenjuje na nosače kod kojih je odnos visine i duljine l / h > 5 te su progibi mali, w /, ma l <. Uz takva je ograničenja greška manja od %. Primjer.. etoda analogne grede. Slika.. Analogni rubni uvjeti Za nosač zadan i opterećen prema Slici.. potrebno je odrediti progib na mjestu djelovanja sprega, točki C, i nagib u lijevom zglobnom osloncu, točki A. Zadano: = konst.,, L. Slika.. Greda opterećena spregom Kao prvi korak u rješavanju ovog primjera odredit ćemo reakcije veza. Na Slici.. ucrtane su pretpostavljene reakcije u osloncima. Reakcije veza ćemo odrediti pomoću dvije jednadžbe ravnoteže 4 Veleučilište u Karlovcu

25 F = F = F. z L 5L F F F L F F 4 4 A = + A B = + A = A = B =. A B L (.4) omentni dijagram je prikazan na Slici.. Slika.. Pretpostavljene reakcije grede Slika.. omentni dijagram grede Idući korak je osigurati analogne rubne uvjete pomaka te analognoj gredi ucrtati analogno raspodijeljeno opterećenje, što je prikazano na Slici.4. Na Slici.4. zglobni oslonci grede zamijenjeni su Gerberovim zglobovima na analognoj gredi, kako je prikazano na Slici.. Razlog tome je što su progibi grede u osloncima jednaki nuli, dok su nagibi tangente na elastičnu liniju u općem slučaju različiti od nule. Analogni rubni uvjeti za slučaj kada je progib jednak nuli je moment jednak nuli, a nagib tangente na elastičnu liniju različit od nule znači da poprečna sila mora biti različita od nule, a to zadovoljavaju Gerberovi zglobovi. Progib na mjestu djelovanja sprega odredit ćemo izračunavanjem momenta savijanja analogne grede u presjeku C, a nagib tangente u točki A izračunavanjem unutrašnje poprečne sile u presjeku A. Izračunavanje tih veličina je opisano Slikom.5. Za određivanje reakcija analogne grede izračunat ćemo statičke ekvivalente analognog opterećenja prema F = L L ; F 4 =. (.4) * * Razmatranjem ravnoteže središnjeg dijela analogne grede dobivamo reakcije u Gerberovim zglobovima, prema Slici.6. L F = F + F = F =. * ' ' * z A B L L L = F = F L F = F =, F =. 6 d * ' ' * ' A B B A (.4) Slika.4. Opisivanje grede analognom gredom Studij strojarstva 5

26 Silka.5. Reakcije u osloncima analogne grede Slika.6. Ravnoteža središnjeg dijela analogne grede Slika.7. Poprečna sila u zglobu A analognog nosača Prema Slici.7. možemo odrediti unutrašnju poprečnu silu u presjeku A: L F = F = Q α = Q =. (.4) * ' * * z A z G z ime smo izračunali kut nagiba tangente na elastičnu liniju u točki A. Kut je negativan što znači da se tangenta zakrenula u smjeru kazaljke na satu, što je i očekivano. Nadalje ćemo razmatrati ravnotežu lijevog dijela nosača, lijevo od točke A, prema Slici.8. a). Slika.8. Ravnoteža dijela analognog nosača lijevo od točke A: a) vanjske reakcije na dio nosača, b) unutrašnji moment savijanja Reaktivni moment u točki C analogne grede je: L L L L L L L 9 F F. (.44) * ' * * C = A + = C = + = Prema Slici.8. b) na osnovi uvjeta ravnoteže zamišljeno odsječenog dijela nosača izračunavamo unutrašnji moment savijanja u presjeku C: 6 Veleučilište u Karlovcu

27 Prema analogiji, progib u točki C, Primjer.4. etoda analogne grede. L 9. (.45) 9 * * *C *C * C = C + = = C = w C i nagib tangete u točki A, α A su: 9 L L w = = = Q =. (.46) *C * C ; α A A 9 Za nosač zadan i opterećen prema Slici.9. potrebno je odrediti progib na mjestu Gerberovog zgloba, točka B, i odrediti nagib u lijevom zglobnom osloncu, točka A. Zadano:,, q L. Slika.9. Greda opterećena raspodijeljenim opterećenjem Kao prvi korak u rješavanju ovog primjera odredit ćemo reakcije veza. Na Slici.. ucrtane su pretpostavljene reakcije u rubovima lijevog dijela nosača. Budući da na ovaj nosač djeluju reakcije veza, sila u točki A, sila i moment u točki B, osim dvije nezavisne jednadžbe ravnoteže trebamo dodatnu jednadžbu za određivanje reakcija. a dodatna jednadžba dolazi iz uvjeta da je moment savijanja jednak nuli u Gerberovom zglobu, točka B. Reakcije ćemo odrediti promatrajući ravnotežu lijevog dijela nosača, odrediti reakcije, odnosno silu u Gerberovom zglobu, pa pomoću te sile odrediti reakcije na desnom dijelu nosača. Slika.. Ravnoteža lijevog dijela grede Za zamišljeno oslobođen lijevi dio nosača jednadžbe ravnoteže i reakcije su: L Fz = FA + FB = q. L L L L L A = FB + q = FB = q FA = q (.47) Za desni dio nosača koristimo suprotno usmjerenu silu F B prema principu akcije i reakcije, pa izračunavamo reakcije u desnom osloncu, kako su prikazane na Slici.. L L Fz = FC = q + FB FC = q. 4 L L L L C = C = FB + q C = q. 4 4 (.48) Slika.. Ravnoteža desnog dijela grede Studij strojarstva 7

28 Na osnovi reakcija veza, nacrtat ćemo dijagram momenta savijanja, prikazan na Slici.. Slika.. omentni dijagram grede Idući korak je definiranje fiktivnog nosača, prikazanog na Slici.. Pri tome zamjenjujemo oslonce prema opisanim analogijama prikazanih na Slici.. i prema (.9), što znači da će zglobni oslonac A u kojem je pomak jednak nuli a nagib tangente različit od nule imati na analognom nosaču moment savijanja jednak nuli, a poprečnu silu različitu od nule, što je opet zglobni oslonac, nadalje u točki B, u Gerberovom zglobu, je pomak različit od nule, ali su nagibi tangente s desne i s lijeve strane različiti, što zamjenjujemo prijelaznim zglobnim osloncem, te u uklještenju, točka C, progib i nagib su nula, što zamjenjujemo * q = /. slobodnim krajem. Analogni nosač je opterećen prema (.9) raspodijeljenim opterećenjem z ( ) Slika.. Raspodijeljeno opterećenje analogne grede Za određivanje progiba je potreban moment savijanja u analognoj gredi na zadanom mjestu, a za kut nagiba tangente na elastičnu liniju unutrašnja poprečna sila. Budući da je raspodjela raspodijeljenog opterećenja za nosač na Slici.. parabolična, moment fiktivne grede u presjeku B, prikazan na Slici.4., ćemo izračunati integriranjem jednadžbe raspodijeljenog opterećenja, a za to nam treba jednadžba tog opterećenja. Jednadžbu raspodijeljenog opterećenja analogne grede ćemo dobiti iz jednadžbe momenta savijanja stvarne grede, podijeljenu sa savojnom krutosti. Jednadžba raspodijeljenog opterećenja analogne grede je: q q =,5Ls +,5 s s = L /,, L /. (.49) ( ) [ ] * z Radi jednostavnijeg integriranja uvedena je nova koordinata s koja ima ishodište u točki B. Nakon izračunavanja momenta raspodijeljenog opterećenja u presjeku B, analogijom dobiva se progib u točki B prema: q q L/ = Ls + s s s = Ls + s = L/ *B 4 (,5,5 ) d (,5 /,5 / 4) q L L ql *B ql + = 9,5 wb = = 9, (.5) 8 Veleučilište u Karlovcu

29 Slika.4. Fiktivni moment u presjeku B Za reakciju u osloncu A analogne grede potrebno je izračunati moment raspodijeljenog opterećenja analogne grede oko točke B koji iznosi: ql q L ( qz ) = 9,5 + (,5L,5 ) d = 4 L/ * * B L/ L L L L L L q q L q L 9, = + = (.5) ql 4 9, ql ql =,7. 84 Nakon izračunavanja momenta koji stvara raspodijeljeno opterećenje analogne grede oko točke B u (.5) i (.5), možemo izračunati reakciju u točki A analognog nosača, prikazanu na Slici.5.: L q L q L q F F,7, 44. (.5) 4 * * * * * B = B ( z ) = A A = = L Iz poznate reakcije u osloncu A analogne grede možemo izračunati unutrašnju poprečnu silu i analogijom kut nagiba tangente na elastičnu liniju u toj točki: q L q L Q = F = = Q = (.5) * * * Az Az,44 α A Az,44 Slika.5. Poprečna sila: a) reakcija u lijevom osloncu analogne grede, b) unutrašnja poprečna sila Studij strojarstva 9

30 . RJEŠAVANJE SAIČKI NEODREĐENIH NOSAČA Nosače koji imaju više nepoznatih reakcija u osloncima (sile i momenti u osloncima) od broja linearno nezavisnih jednadžbi ravnoteže koji se mogu postaviti, zovemo statički neodređenim nosačima [, 4, 6, ]. Prekobrojnost reakcija u odnosu na broj jednadžbi ravnoteže određuje mnogostrukost statičke neodređenosti; ako je prekobrojna jedna reakcija veza, nosač je jednostruko ili jedanput statički neodređen, itd. Statički određen nosač je nosač kojem se oblik može promijeniti samo deformiranjem njegovih dijelova []. Jedan primjer statički neodređenog nosača je prikazan na Slici.. Kao početak rješavanja postavljamo uvjete statičke ravnoteže. Jedan način rješavanja statički neodređenih zadatka je postavljanje unskih jednadžbi postavljanjem uvjeta deformiranja, što će biti opisano u poglavlju.. Drugi način rješavanja je integriranje diferencijalne jednadžbe elastične linije uz uvođenje rubnih uvjeta, pri čemu ne pišemo jednadžbe statičke ravnoteže. U slučaju postavljanja uvjeta deformiranja, postavljamo onoliko uvjeta deformiranja koliko je prekobrojnih reakcija veza. Pri postavljanju uvjeta deformiranja koristimo se principom superpozicije. Princip superpozicije u mehanici deformabilnih tijela možemo primijeniti samo ako je problem linearan. Pojam linearnosti problema deformiranja ćemo opisati na primjeru konzole na Slici.. Neka je konzola opterećena istovremeno silom i momentom. Ako je djelovanje sile i momenta zbrojeno takvo da ne uzrokuje pojavu plastične deformacije, onda nije bitno izračunamo li da prvo djeluje sila pa dodamo djelovanje momenta na konzolu ili obrnuto. je pomak kraja konzole uslijed momenta kraju linearan, i ako je progib na kraju konzole uslijed sile na njenom kraju linearan, a linearan pomak o momentu i sili će za konzolu biti ako nema oslonaca koji bi pružili otpor deformiranju, tj. pomicanju konzole nakon nekog iznosa pomaka, onda pomak uslijed istovremenog djelovanja sile i momenta možemo zbrojiti i to će biti ukupni pomak konzole, što možemo učiniti i s momentom savijanja ili kojom drugom veličinom. Pojednostavljeno, princip superpozicije možemo opisati kao način izračunavanja npr. naprezanja, momenta savijanja ili koje druge fizikalne veličine nosača, izračunavanjem te odabrane veličine za pojednostavljen nosač i zbrajanjem odabrane veličine za sve pojednostavljene nosače kojima opisujemo zadani nosač. Slika.. Linearnost progiba o sili i momentu Pri tome zadani nosač zamjenjujemo, ili opisujemo, pomoću više statički određenih nosača. Jedan od tih nosača je opterećen aktivnim opterećenjem (zadanim silama, spregovima i raspodijeljenim opterećenjem) i za njega izračunavamo progib i/ili nagib, ovisno o mnogostrukosti statičke neodređenosti, u točki prekobrojnosti veze. Svi ostali nosači su opterećeni obično po jednom prekobrojnom reakcijom veza koju promatramo kao novo aktivno opterećenje za taj nosač i izračunavamo progib i/ili nagib u točki prekobrojnosti veze. Primjer tog postupka je prikazan na Slici.. Prema principu superpozicije opisujemo deformiranje zadanog nosača kao zbroj deformiranja pojedinih statički određenih nosača kojima smo opisali zadani nosač. U primjeru.. prikazano je rješenje nosača primjenom metode integriranja diferencijalne jednadžbe elastične linije. U primjeru.. isti taj nosač je riješen principom opisivanja statičkim nosačem. Primjer.. Statički neodređeni nosači. etoda integriranja diferencijalne jednadžbe. Za nosač zadan i opterećen prema Slici.. potrebno je odrediti najveći progib i dijagram momenta savijanja. Zadano: = konst., q, L. Veleučilište u Karlovcu

31 Slika.. Greda dva puta statički neodređena Raspodijeljeno opterećenje na nosaču na Slici.. je konstantno, qz = q. Rubne uvjete možemo očitati sa Slike.. progib i kut nagiba tangente, u uklještenjima: ( ) α ( ) ( ) α ( ) w = =, = =, w = L =, = L =. Prvo zapisujemo diferencijalnu jednadžbu elastične linije sa zadanim raspodijeljenim opterećenjem. Zatim provodimo korake transformacije jednadžbe u kontekstu diferencijalnog i integralnog računa [,, 6, 8] te provodimo integraciju: (.) d d w d w = q /d d = qd / d. d d d d w d w = q q = + C d d. d d d d w d w = q + C /d d = ( q + C ) d / d. d d d d w d w = ( + ) d = + +. d q C q C C d d (.) d w U jednadžbama (.) su nakon pojedinih koraka integracije veličine Qz = funkcija poprečne d d w sile i = funkcija momenta savijanja za koje u ovom primjeru ne znamo rubne uvjete. Znamo d samo rubne uvjete progiba i nagiba tangete, koje ćemo uvrstiti u iduće jednadžbe. d w dw = q + C + C = q + C + C + C. d d 6 dw dw L L d d 6 ( ) = C =, ( L) = q + C + C L =. ( a) 4 w = q + C + C + C (.) 4 L L L w C4 w L q C C b 4 6 ( ) = =, ( ) = + + =. ( ) L L L L ( a) q = C + C ; C = q C ( b) 6 6 L L L L L L q = C + q C q = C C = q L L w = q q + q. 4 6 (.4) Studij strojarstva

32 Kada je izračunata funkcija progiba, možemo izračunati najveći progib i funkciju momenta savijanja. Za najveći progib izračunavamo prvo mjesto najvećeg progiba postavljanjem uvjeta ekstrema funkcije progiba, tj. mjesta gdje je nagib tangente na funkciju progiba jednak nuli: dw L L L L = q q + q = q q + q =. d L L = ; q q + q =. 6 4 ( ) L q L q L q ± L L L = = ;. q ± = = 4 ( ) q q ( ) L ( ), q Od tri točke u kojima funkcija progiba ima ekstrem, u jednoj će progib imati maksimum, a to je = L /. ( ) dw L L L L L w w w q q q 4 4 ma = = ma = + =. d oment savijanja izračunavamo prema: d q L (.5) (.6) d w L L = = q + q q. (.7) Dijagram momenta savijanja prema jednadžbi (.7) je prikazan na Slici.. Slika.. Dijagram momenta savijanja.. Princip opisivanja statičkim nosačem Statički neodređene nosače možemo riješiti, odnosno odrediti im reakcije u osloncima, principom superpozicije [, 4, 6, ]. Nužan uvjet za primjenu tog principa je da je problem, odnosno deformiranje nosača, linearno. Princip superpozicije ne primjenjujemo u slučajevima kada nastaju plastične (trajne) deformacije u nosaču, kada postoji geometrijska ili materijalna nelinearnost, i sl. Ako vrijedi princip superpozicije, znači da je nebitno kako ćemo gledati ili izračunavati ukupno naprezanje, progibe i ostale veličine za nosač, kad nosač opišemo pomoću više nosača. Statički neodređeni nosač zamjenjujemo odgovarajućim statički određenim problemom, gdje se nepoznate prekobrojne reakcije uzimaju kao aktivno opterećenje. akav statički određeni problem moguće je riješiti metodom superpozicije u svrhu jednostavnijeg proračunavanja. Dodatne jednadžbe dobivaju se postavljanjem odgovarajućih rubnih uvjeta, odnosno uvjeta deformacije. Ukupni progib, nagib tangente, sila na nekom mjestu ili moment jednaki su zbroju odgovarajućih veličina na odabranom mjestu svih statički određenih nosača koji služe za opisivanje zadanog statički neodređenog nosača. Ovisno o načinu na koji smo odlučili opisati statički neodređeni nosač, ovisi koje ćemo nepoznate reakcije postaviti kao opterećenje na statički određene nosače čije deformiranje, tj. odziv zbrajamo. Primjerice, gredu s uklještenjem i zglobnim osloncem, koja je jednostruko statički neodređena, možemo prikazati kao zbroj konzole s reakcijom u zglobnom osloncu kao opterećenjem, prikazano na Slici.4. a), ili gredu na dva zglobna oslonca sa spregom Veleučilište u Karlovcu

33 koji je reakcija u uklještenju, kao opterećenjem, prikazano na Slici.4. b). U primjeru.. će biti prikazana primjena tog principa. Zamjena nosača statički određenim nosačima se može provesti na više načina, što bismo za nosač na Slici.4. mogli učiniti na dva načina; prvi način je da gredu s dva uklještenja na Slici.. opišemo kao gredu na dva zglobna oslonca i dodamo na svaki zglobni oslonac jedan spreg kao reakciju u uklještenju. Primjer.. Greda s dva uklještenja. Za gredu iz Primjera.. odrediti dijagram momenta savijanja principom opisivanja statičkim nosačem. a) b) Slika.4. Dva načina opisivanja nosača statički određenim nosačima; a) opisivanje konzolama, b) opisivanje gredama na dva oslonca Ovaj nosač je dva puta statički neodređen jer ukupno postoji četiri reakcije veze, sila i moment u lijevom i u desnom uklještenju, a na raspolaganju su nam dvije jednadžbe ravnoteže, ravnoteža poprečnih sila i momenata oko osi. Uvjete deformiranja ćemo opisati pomoću sile i momenta u desnom uklještenju kao prekobrojnih reakcija. Uvjeti deformiranja u takvom promatranju su: ( ) α ( ) w = L =, = L =. (.8) B Na Slici.5. prikazan je zamišljeni, statički određeni, nosač s dodanim reakcijama veze točke B kao aktivnih opterećenja, koji opisuje deformiranje nosača na Slici.. B Slika.5. Opisivanje pomoću statički određenog nosača: a) uklanjanje prekobrojne veze, b) aktivno opterećenje, c) prekobrojni spreg, d) prekobrojna sila Studij strojarstva

34 Deformiranje uslijed aktivnog opterećenja q i reakcija FB, B mora zadovoljiti uvjet deformiranja. (.8) Prema ablici 9.. (Pomaci i kutovi zakreta tangente) u [] progib i nagib konzole na slobodnom kraju opterećene jednolikim raspodijeljenim opterećenjem q jednaki su: w q L q L = =. (.9) 4 q q B, α B 8 6 Uzimajući u obzir pretpostavljene reakcije (smjer), slično za opterećenje spregom i silom iz tablice očitavamo: w L L F L F L = = = =. (.) B B F B F B B, α B ; wb, α B Zbrojeno progib i nagib od sva tri opterećenja moraju biti jednaki nuli. Postavljanjem uvjeta deformiranja (.8) dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, B i F B : 4 q L L F L wb L a 8 α B B B ( = ) = + =. ( ) q L L F L 6 B B ( = L) = + =. ( b) (.) Rješenje tih jednadžbi je: ( ) ( ) ql ql FB L a + = FB L; b B + =. 8 6 B ( ) ( ) ql B + 8 B a b q L q L q L B + = + = B ql ql B = ; FB =. (.) Čitatelj se može uvjeriti da su ista rješenja za moment i silu u uklještenju prikazana i u [6]. Dijagram momenta savijanja nosača je prikazan na Slici.., i to kao zbroj momenata savijanja od pojedinih opterećenja. Radi vježbe će nadalje biti prikazano izračunavanje jednadžbi elastične linije za pojedina opterećenja metodom integriranja diferencijalne jednadžbe elastične linije, te izračunat najveći progib na nosaču. Izračun će biti prikazan skraćeno, bez detalja o postupku, a detaljno rješavanje ovakvog primjera je prikazano u Primjeru.. Slika.6. Konzola opterećena aktivnim opterećenjem d d w d w = q /d d = qd / d. d d d d w d d w d d d = qd = q + C Qz ( = L) =. (.) d w = ql + C C = ql = q ql. d 4 Veleučilište u Karlovcu

35 d w = ( ) d q q L d / d. d d w = q L + C ( = L) =. d L L d w L = q L + C C = q = q L + q. d dw L d = q L + q d / d. d dw L L = q + q + C α ( = ) =. d 6 dw L L C = = q + q. d 6 L L d ( w) = q + q d / d. 6 4 L L w = q + q + C4 w( = ) =. 4 6 C w q q w L L q q L 4 = = + = L 6 L 4 L (.4) (.5) (.6) d w d Slika.7. Konzola opterećena prekobrojnim spregom d d w d w /d d d / d. = = d d d d w d d d = d = + C Qz ( = L) = C =. (.7) d w =. d d w d w = C = + ( = L) = B d d / d. d d d w B = + C C = B =. B d dw dw d = Bd / d B C ( ). d = + α = = d dw C = = B. d (.8) (.9) Studij strojarstva 5

36 d( w) = Bd / d w = B + C4 w( = ) =. B BL C4 = w = B w =. L (.) d w d Slika.8. Konzola opterećena prekobrojnom silom d d w d w /d d d / d. = = d d d d w d d d = d = + C Qz ( = L) = FB C = FB. (.) d w = F. B d d w d w = FB F = B + C ( = L) = d d / d. d d d w = FB L + C C = FB L = F. B FB L d dw dw d = ( FB FB L) d / d FB FB L C ( ). d = + α = = d dw C = = FB FB L. d (.) (.) d( w) = FB FBL d / d 4 ( ). w = FB FB L + C w = = 6 (.4) F F B BL C4 = w = FB FB L w =. 6 6 L L Općenito bi za izračunavanje maksimuma progiba trebalo postaviti uvjeta ekstrema funkcije, iz kojeg bi se izračunala koordinata maksimuma, pa onda i vrijednost funkcije progiba. Ovaj zadatak, odnosno nosač, je simetričan jer su zadovoljeni uvjeti simetrije; geometrijski je simetričan prema središnjoj ravnini paralelnoj ravnini Oz, opterećenje je simetrično prema toj ravnini i materijal je homogen i izotropan. Iskoristit ćemo simetriju za određivanje najvećeg progiba time što ćemo unaprijed reći da je najveći progib na sredini nosača. Kada ne bismo imali simetričan nosač, onda je uvjet za traženje najvećeg progiba traženje mjesta ( ) w = w. Za za koje je nagib tangente jednak nuli, α ( ) =, pa izračunavanje progiba za to mjesto, ( ) ma određivanje najvećeg progiba zbrojit ćemo progibe uslijed tri razmatrana opterećenja prema jednadžbama (.6), (.) i (.4) za koordinatu = L /, uz uvrštavanje (.) što daje: 6 Veleučilište u Karlovcu

37 L L L = = + = + = = q B FB wma w w w 4 4 ql BL FB L w ma ql = (.5) Isto rješenje je prikazano u [6]. Na Slici.8. su prikazani oblici elastičnih linija pojedinih reakcija i q L 4 opterećenja, a na Slici.9. elastična linija za nosač. Progib je normiran (podijeljen) veličinom / ( ) radi lakšeg prikaza. Dijagram momenta savijanja ćemo izračunati poznavajući reakcije u osloncu B kao zbroj momenata savijanja po nosaču od pojedinih opterećenja, kako je prikazano na Slici.. Slika.9. Elastična linija pojedinih reakcija i opterećenja Slika.. Elastična linija nosača Studij strojarstva 7

38 Slika.. Dijagrami momenta savijanja pojedinih opterećenja i cijelog nosača 8 Veleučilište u Karlovcu

39 . IZVIJANJE RAVNIH ŠAPOVA GUBIAK ELASIČNE SABILNOSI Pojam elastične stabilnost ćemo uvesti kroz primjere s krutim tijelom. Na Slici.. je prikazano kruto tijelo, valjak, koje se nalazi u stanju stabilne (a), labilne (b) i indiferentne ravnoteže (c). U slučaju stabilne ravnoteže (a) na Slici.., otklanjanjem, tj. izvođenjem tijela iz položaja ravnoteže, reakcija veza i aktivna sila čine moment koji uvjetuje vraćanje tijela u ravnotežni položaj iz kojeg je izmaknuto. U slučaju labilne ravnoteže (b) na Slici.., izmicanjem tijela iz ravnotežnog položaja aktivna sila i reakcija veza stvaraju moment koji uvjetuje daljnje udaljavanje tijela od ravnotežnog položaja. U slučaju indiferentne ravnoteže (c) na Slici.., izmicanjem tijela iz ravnotežnog položaja ne nastaje moment koji bi ili vraćao u ravnotežni položaj ili odmicao od njega, tijelo ostaje u stanju (položaju) nakon prestanka djelovanja poremećajne sile, kojom je izmaknuto iz ravnotežnog položaja. (b) (a) G (c) = G G Slika.. Valjak u tri stanja ravnoteže [] Kada razmatramo tanke štapove u kontekstu stabilnosti, prema Slici.., postoje opet tri moguća slučaja ravnoteže, stabilna, indiferentna i labilna ravnoteža. Ako na neki štap djeluje idealno centrična uzdužna sila koja sabija štap, a štap je idealno homogen i uvjeti veza s okolinom su idealno centrični, štap ostaje ravan prilikom deformiranja. No, ako sila nije idealno centrična, materijal štapa nije idealno homogen ili pak postoji nesavršenost u osloncima, pojavit će se moment savijanja uslijed uzdužne sile, koji uzrokuje promjenu zakrivljenosti središnjice štapa. Slika.. ri stanja ravnoteže štapa opterećenog uzdužnom tlačnom silom [] Elastična stabilnost štapa je objašnjena Slikom.. na sljedeći način; pretpostavimo djelovanje uzdužne sile F. Ako dodatno djeluje mala poremećajna sila F, štap će se saviti, odnosno doći će do izvijanja štapa. Ako u tom deformiranom položaju uklonimo poremećajnu silu ili ona nestane, štap, ako je u stanju stabilne ravnoteže, će se vratiti u početno ravno stanje. Ako prilikom prestanka djelovanja poremećajne sile štap ostane u deformiranom položaju, tada je štap u stanju indiferentne ravnoteže. Ako djelovanje te male Studij strojarstva 9

40 poremećajne sile uzrokuje povećanje zakrivljenosti, moguće i do loma štapa, tada je u stanju labilne ravnoteže. Granična vrijednost uzdužne sile koja razdvaja stanje stabilne i labilne ravnoteže štapa se naziva kritična sila F kr. Vrijednost kritične sile ovisi o geometriji štapa i materijalnim karakteristikama, pa razlikujemo Eulerovu i etmaerovu kritičnu silu, odnosno linearno područje izračuna sile prema Euleru i nelinearno područje izračuna kritične sile prema etmaeru [, 4, 6]... Eulerova kritična sila izvijanja Određivanje kritične sile pri izvijanju započet ćemo štapom, pretpostavimo okruglog presjeka, zglobno vezanog na krajevima za okolinu i opterećenog uzdužnom silom, kako je prikazano na Slici.. (a). Ako je sila F manja od kritične sile izvijanja F < F, štap ostaje ravan. Kada sila prijeđe vrijednost kritične sile, kr počinje izvijanje, kao što prikazuje Slika.. (b). Na svakom presjeku možemo u ovisnosti o progibu w( ) odrediti moment savijanja koristimo pri linearnom proračunu izvijanja su: = Fw, kako je prikazano na Slici.. (c). Ograničenja i pretpostavke koje poprečne mjere štapa su male u odnosu na duljinu, { h b} ma, < l / 5, progibi su mali u odnosu na poprečne mjere štapa, w { h b} ma < min, /, kutovi zakreta tangente na elastičnu liniju su mali, α ma <,5 rad, poprečni presjeci ostaju ravni nakon deformiranja i okomiti na elastičnu liniju, u štapu vlada približno jednoosno stanje naprezanja. Diferencijalna jednadžba savijanja je gdje je F / ( ) d w F = = w, što drugačije zapisano daje: d d w d + ω w =, (.) ω =. Rješenje jednadžbe (.) je funkcija ( ) sama funkcija sa suprotnim predznakom. akve funkcije su sin [ ω ] i cos[ ω ] rubnih uvjeta pomaka (zglobne veze s okolinom), w( ) =, w( l ) =, uvjete zadovoljava sin [ ] Pretpostavimo rješenje u obliku: sin [ ω ] w čija druga derivacija ima isti oblik kao i, ali u ovom slučaju zbog ω. w = C. (.) Vrijednost konstante C = daje trivijalno rješenje, odnosno ravan štap. Zanimljivije je rješenje kada je sin[ ω l] = koje ukazuje na vrijednosti ω za koje je zadovoljeno sin[ ω l] =. Sinusna funkcija ima nultočke kada joj je argument: ωl = nπ, n =,,,... (.) Naravno, prva vrijednost n = daje najmanju kritičnu silu izvijanja za ovaj oblik elastične linije, pa ako ω = dobit ćemo: uvrstimo (.) u F / ( ) F l = nπ F = n π. (.4) l 4 Veleučilište u Karlovcu

41 Slika.. Štap opterećen na izvijanje: a) geometrija, b) deformirani oblik, c) unutrašnji moment savijanja u deformiranom stanju Prema jednadžbi (.) rješenje za progib može imati više oblika, ovisno o rubnim uvjetima koji su nametnuti, odnosno sili koja djeluje na štap. Najmanja kritična sila izvijanja za ovaj slučaj je: F π l kr =. (.5) Ova se sila naziva i Eulerova kritična sila. Za praksu je najbitniji prvi oblik izvijanja, određen s n = jer će izvijanje nastupiti odmah čim sila prijeđe najmanju kritičnu vrijednost. Povećanjem sile štap bi se samo jače izvijao, do pucanja ili velike trajne deformacije, u obliku luka. Za ostale oblike izvijanja, određene s n =,,... potrebni su drugačiji oslonci, takvi da omoguće nepomične točke na odgovarajućim mjestima na štapu. Bitno je da izvijanje nastupa oko glavne osi tromosti presjeka za koju je moment tromosti najmanji, prema principu najmanjeg otpora. U svjetlu tog uvjeta, malo ćemo izmijeniti kritičnu silu na način: F l min kr = π. (.6) U ovim izrazima je pretpostavljen štap koji je zglobno vezan na svojim krajevima. U slučaju da nisu takve veze s okolinom, mijenja se oblik, tj. forma izvijanja, a time i računski slobodne duljine izvijanja, kako je prikazano na Slici.4. Još ćemo izmijeniti izraz za kritičnu Eulerovu silu (.6) kako bismo uveli veličinu slobodne duljine izvijanja, u skladu sa Slikom.4.: F min kr = π. (.7) l Nadalje ćemo silu izvijanja podijeliti s ploštinom poprečnog presjeka štapa, pa slijedi: F / A A kr min = π. (.8) l Ovdje će veličina F / A kr = kr biti označena kao kritično naprezanje, koje predstavlja prosječno naprezanje po presjeku, a ne naprezanje u nekoj točki, odnosno raspodjelu naprezanja. Studij strojarstva 4

42 Slika.4. Slobodne duljine izvijanja: a) dva zglobna oslonca, b) uklještenje i slobodan kraj, c) uklještenje i zglobni oslonac, d) dva uklještenja Za presjek štapa vrijedi I / A = i, minimalni radijus tromosti, pa ćemo nadalje pisati: min min min kr = l Uvest ćemo novu veličinu koju zovemo vitkost štapa, prema: U konačnici pišemo izraz za kritično naprezanje po Eulerovu: i π E. (.9) l i λ =. (.) min E kr = π. (.) λ Izraz (.) dobro opisuje kritičnu silu za izvijanje vitkih štapova, ali smanjenjem vitkosti do neke granične vrijednosti, naprezanje koje daje (.) sve više odskače od eksperimentalnih vrijednosti. Razlog tome je što za izvijanje kratkih (nevitkih) štapova ponašanje postaje nelinearno elastično, pa kasnije plastično. Iz tog razloga određena je granična vrijednost vitkosti za koje vrijedi (.), a ta vrijednost ovisi o granici proporcionalnosti materijala (približno vrijednost naprezanja tečenja), pa je ta granična vrijednost vitkosti određena sa: Izraz (.) vrijedi ako je zadovoljeno λ > λ. p E =. (.) λp π p p.. etmaerova kritična sila izvijanja Za štapove kojima je vitkost manja od granične prema Euleru određene (.), izračunavanje kritičnog naprezanja, odnosno kritične sile, ćemo provoditi prema postupku koji je predložio etmaer jer je to najjednostavniji način proračuna za to područje. etmaerov postupak ima ograničenje, pa je granična vitkost za koju vrijede etmaerove jednadžbe određena sa:, (.) λ = λp p 4 Veleučilište u Karlovcu

43 gdje su karakteristično naprezanje koje se dobije kada se eksperimentalni podaci o izvijanju aproksimiraju pravcem, prema Slici.5., a je naprezanje tečenja. Slika.5. Kritično naprezanje pri izvijanju ovisno o vitkosti štapa Kritično naprezanje prema etmaeru je određeno: λ =. (.4) ( ) kr p λ p Za neke konstrukcijske čelike navedeni su ovisnost kr o vitkosti []: Primjer.. Izvijanje štapa u konstrukciji. Č.6 =,4 λ, kr Č.46 = 5, 6 λ,. (.5) Č.56 = 47, λ. Spreg opterećuje krutu gredu zanemarive mase prema Slici.6. Štap koji podupire gredu je kruto vezan s gredom i uklješten na drugom kraju. Odrediti najveći spreg da ne dođe do izvijanja štapa, uz faktor sigurnosti S =. Zadano: L =,5 m, L =,5 m, b = mm, E = Pa, = 47 Pa, = Pa, = Pa. kr kr Ovaj slučaj veza štapa s okolinom u smislu slobodne duljine izvijanja najsličniji je štapu s uklještenjima na oba kraja, prikazanom na Slici.4. d). Razlika između ta dva štapa je što štap na Slici.4. d) ima vodilicu na jednom kraju, dok ovaj zadani nema. Ipak, ta dva slučaja veza štapa s okolinom se ne razlikuju značajno. Pri malim pomacima spoja grede i štapa, štap opterećen na izvijanje je zbog krutog spoja s gredom okomit na gredu, a greda se neznatno zakreće, što je vrlo blisko slučaju prikazanom na Slici.4. d). Iz tog razloga uzimamo da je slobodna duljina izvijanja: l =,5l =,5L = 5 mm. (.6) p L/4 L L/4 A A A-A,5b L b Slika.6. Štap opterećen na izvijanje u konstrukciji Studij strojarstva 4

44 inimalni moment tromosti, radijus tromosti i vitkost λ su: ( ) 4 b, 5b,5b Imin = = = A = b ( b) = b = i min min ,6 mm ;,5,5 5 mm. 4 I,5b = = =,444b = 4, 44 mm. A,5b λ l i = = = min 5 4, 44 86,6. (.7) Idući korak je odrediti graničnu vrijednost za vitkost koja razgraničuje proračun po Euleru i etmaeru, a granična vitkost za proračun prema Euleru je: E λp = π = π = 97,6. (.8) p Provjerit ćemo i donju graničnu vrijednost vitkosti da bismo štap proračunavali na izvijanje. Granična vitkost λ je prema zadanim podacima: 47 = = 97, 6 = 6,9. 47 λ λp p (.9) Vitkost štapa je unutra područja proračuna prema etmaeru. Kritično naprezanje prema etmaeru ćemo izračunati pomoću izraza (.4): λ 86,6 = ( p ) = 47 ( 47 ) = 46,94 Pa. (.) 97,6 kr λ p Budući da je zadatkom zahtijevan faktor sigurnosti S =, izmijenit ćemo kritično naprezanje i označiti tu vrijednost kao uštenu: S Prema tome uštena uzdužna sila na štap je: 46, 94 kr = = = 8, Pa. (.) F = A = 8, 5 = 4566, 6 N. (.) Sila pritiska na štap ovisi o opterećenju, tj. spregu koji djeluje na gredu, pa ćemo postaviti uvjet ravnoteže u skladu sa Slikom.7.: = = F L = F L. C B = 4566, 6 5 = 675 Nmm=67, 5 knm. (.) L/4 F B L C L/4 Slika.7. Ravnoteža grede u konstrukciji Primjer.. Izvijanje štapa u konstrukciji. Kruta greda zanemarive mase prema Slici.8. opterećena je jednolikim raspodijeljenim opterećenjem i poduprta štapom A-B. Štap A-B je okruglog presjeka s kuglastim krajevima. Odrediti promjer d štapa A-B da ne dođe do izvijanja štapa, uz faktor sigurnosti S = 4. Zadano: q = 5 N/mm, L = 5 m, L = m, E = Pa, = Pa, = Pa, p = 8 Pa. 44 Veleučilište u Karlovcu

45 Slika.8. Štap opterećen na izvijanje u konstrukciji Ako idealiziramo dodir kuglastog kraja štapa i podloge, odnosno grede, tada ta veza omogućuje rotaciju štapa oko bilo koje osi koja prolazi kroz dodirnu plohu. Idealizacija tog dodira znači zanemarivanje deformacija koje utječu na mogućnosti zakretanja štapa, odnosno naprezanja, tj. sile na dodirnoj površini pružaju otpor tom zakretanju. Ovaj slučaj veza štapa s okolinom u smislu slobodne duljine izvijanja najsličniji je štapu sa zglobnim vezama na oba kraja, prikazanom na Slici.4. a). Iz tog razloga uzimamo da je slobodna duljina izvijanja: l = L = mm. (.4) Ovdje ne poznavajući promjer štapa ne poznajemo vitkost, koja utječe na kritično naprezanje, pa ćemo postaviti uvjet koliko najmanje kritično naprezanje mora moći podnijeti štap prema Euleru, poznavajući opterećenje i zahtijevani faktor sigurnosti, a to će ovisiti o promjeru. S druge strane ćemo odrediti kako ovisi kritično naprezanje prema Euleru o promjeru te dobiti jednadžbu s jednom nepoznanicom. Kada izračunamo promjer i zaokružimo ga, moramo provjeriti vrijedi li i dalje uvjet proračuna prema Euleru. Za zadane parametre materijala granična vrijednost vitkosti za proračun prema Euleru je: Radijus tromosti za okrugli presjek ćemo izračunati prema: Vitkost zadanog štapa je: E λp = π = π = 7,. (.5) 8 p π d Imin 64 d d min i 4 = A = π d = =. 6 4 (.6) 4 λ l 4 i d d = = =. (.7) Sila koja se javlja u štapu, i naprezanje u štapu, slijedi iz ravnoteže grede i iznosi: min Studij strojarstva 45

46 L L 5 C = FB L = q FB = q = 5 = 5 N. S FB 5 5 = = = N / mm. A π d 4 π d 5 kr = kr = S = 4 = N / mm. π d π d. (.8) Iduće ćemo postaviti vitkost i prema njoj kritično naprezanje prema Euleru kao funkciju promjera: E d π π π λ 44 d kr = = = N/mm. (.9) Izjednačavanjem izraza za najmanje potrebno kritično naprezanje (.8) i ono prema Euleru (.9) dobit ćemo jednadžbu s promjerom kao nepoznanicom: 7 d = π = d d = 4 = 45,86 mm. π d 44 π π λ ( d = 45,86 ) = = 6, 66 45,86 odabrano d = 5 mm. λ ( d = 5 ) = = 4 5 (.) U jednadžbama (.) nakon izračuna promjera provjerava se vitkost za odabrani promjer. Cilj je provjeriti koliko je ta vitkost blizu granične λ, da bi se moglo odabrati standardiziran promjer štapa. Čitatelj se može uvjeriti uvrštavanjem zaokruženog promjera naprezanje takvo da je faktor sigurnosti veći od zahtijevanog. Primjer.. Izvijanje štapa između krutih površina. p d = 5 mm u jednadžbe (.8) i (.9) kritično Štap A-B okruglog (prstenastog) presjeka s jednim kuglastim i drugim pločastim krajem, kako je prikazano na Slici.9. služi za držanje polica. Način ugradnje je sabijanjem između krutih stropa i poda. Sabijanje se postiže pomoću klinova na podu. Pretpostavka je da su paralelne plohe klinova koje su u dodiru s podom, odnosno donjom plohom ploče na donjem kraju stupa paralelne i prilikom sabijanja nema bočnih sila na štap. Isto tako nema spregova po duljini štapa nakon ugradnje. Odrediti najveću silu na klinovima da ne dođe do izvijanja štapa, uz faktor sigurnosti S = 5. Pretpostavka je da je faktor trenja na svim metalnim površinama µ =,, a kut nagiba klina je α =. Zadano: L d d = 5 m, = mm, u = 9 mm, E = Pa, = Pa, = Pa, = 8 Pa. p Slika.9. Štap između dva uklještenja 46 Veleučilište u Karlovcu

47 Ovaj slučaj veza štapa s okolinom u smislu slobodne duljine izvijanja najsličniji je štapu s uklještenjem na jednom kraju i zglobnom vezom na drugom, prikazanom na Slici.4. c). Ploča na donjem dijelu štapa predstavlja uklještenje, ako zanemarimo male deformacije uslijed mogućih nesavršenosti klinova i same ploče. Drugim riječima, donja ploča ne ušta zakretanje štapa u smislu savijanja jer je dovoljno šira od štapa. Iz tog razloga uzimamo da je slobodna duljina izvijanja: l =, 7L =, 7 5 = 5 mm. (.) Za zadane parametre materijala granična vrijednost vitkosti za proračun prema Euleru je: Radijus tromosti za prstenasti presjek ćemo izračunati prema: E λp = π = π = 7,. (.) 8 ( u ) ( u ) p ( u ) 4 4 I π d d / 64 d + d min min = = = = + 9 =,64 mm i A π d d / 4 l i 6 4. (.) λ = = = 4, 6. (.4) min 5, 64 Vitkost štapa je unutar područja proračuna prema etmaeru. Kritično naprezanje prema etmaeru ćemo izračunati pomoću izraza (.4): λ 4,6 = ( p ) = ( 8) = 8,9 Pa. (.5) 7, kr λ p Dopušteno naprezanje u štapu je manje od kritičnog zbog zahtijevanog faktora sigurnosti pa slijedi: S Iz ovoga slijedi da je uštena sila u štapu: F 8, 9 5 kr = = = 6,786 Pa. (.6) ( d d ) ( 9 u ) = A = 6, 786 π = 6, 786 π = 54894,5 N. (.7) 4 4 Silu u štapu s druge strane uzrokuje međusobno pritiskanje klinova, a sile među klinovima su prikazane na Slici.. F F F F N dva tijela koja se medusobno ne pomicu F F Slika.. Sile na klinovima Ravnoteža gornjeg klina sa štapom je opisana jednadžbama: Studij strojarstva 47

48 ( ) Josip Hoster: ČVRSOĆA II N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F = F F cos + F sin =. a F = F F sin F cos =. b N F = µ F =, F. N N F a F = FN, 9986,FN, 5 FN = = 556 N., 9986, 5 ( ) F F F F ( ) b =, 5 +,, 9986 =, 5 +, 9986 = 88, 7 N. N N N Primjer.4. Izvijanje uslijed promjene temperature. (.8) Štap A-B načinjen od standardnog istokračnog profila oznake L56 ukliješten na oba kraja, kako je prikazano na Slici.. opterećen je toplinski, povišenjem temperature. Odrediti najveće povišenje temperature da ne dođe do izvijanja štapa, uz faktor sigurnosti S =. Zadano: 4 4 L = m, I =,4 cm, I = 5,4 cm, A = 5,69 cm, E = Pa, = Pa, = Pa, 6 = 8 Pa, α= K. p Slika.. Štap opterećen na izvijanje povišenjem temperature Povišenjem temperature štap ima težnju povećati svoju duljinu. U tome ga sprečavaju uklještenja, te se javljaju reakcije u uklještenjima koje drže štap na početnoj duljini. Prvo ćemo postaviti jednadžbu koja će opisivati promjenu reakcije s promjenom temperature, kako je prikazano na Slici.. Povišenjem temperature štap bi se duljina štapa promijenila za: ϑ L = L ϑα, (.9) gdje je ϑ povišenje temperature a α koeficijent toplinskog rastezanja. Uslijed temperaturnog širenja javlja se reakcija u uklještenjima koja je proporcionalna povišenju temperature prema: F L AE Zbrojeno ta dva produljenja moraju dati nulu, pa slijedi sila reakcije: F R L =. (.4) F L + = = AE F = AE ϑα. ϑ F R L L L ϑα. Reakcija u uklještenjima izaziva tlačno naprezanje po štapu u iznosu: R (.4) FR ( FR ( ϑ )) = = E ϑα. (.4) A 48 Veleučilište u Karlovcu

49 Za štap prema Slici.. slobodna duljina izvijanja je l =,5 L =,5 = 5 mm. inimalni radijus tromosti je i I A 5, min = = = 9,6 mm. Slijedi da je vitkost štapa: l i λ = = =. (.4) min 5 56, 9,6 Slika.. Izračunavanje reakcije pri zagrijavanju štapa Granična vitkost štapa da bi ga mogli proračunati na izvijanje prema Euleru je E λp = π = π = 7,. Kritično naprezanje za štap za koji je λ > λp je: 8 p E kr = π = π = 84,8 N/mm. (.44) λ 56, Uz zadani faktor sigurnosti S = ušteno naprezanje po presjeku je: S obzirom da je naprezanje po presjeku: Primjer.5. Izvijanje slobodnog štapa. kr / 84,8 / 4, 45 N/mm = S = =. (.45) FR = = E ϑα = 4, 45. A 4, 45 4, 45 ϑ = = = 6,8 K. 6 Eα (.46) Štap A-B načinjen od standardnog istokračnog profila oznake L65 ukliješten je na jednom kraju, kako je prikazano na Slici.. i opterećen silom na slobodnom kraju. Odrediti najveću duljinu da ne dođe do izvijanja štapa, uz faktor sigurnosti S =. Zadano: 4 4 F = 5 N, I =,7 cm, I = 8, cm, A = 5,8 cm, E = Pa, = Pa, = Pa, = 8 Pa. p Budući da ne znamo kolika je vitkost štapa, odredit ćemo prvo graničnu vitkost za koju još možemo E odrediti kritično naprezanje prema Euleru, a to je λp = π = π = 7,. Nadalje ćemo izračunati 8 minimalni radijus tromosti presjeka, funkciju duljine štapa, s tim da je l = L : p i = I A = =. Vitkost ćemo izraziti kao 4 min / 8, / 58,75 mm Studij strojarstva 49

50 l i λ = =. (.47) min L,75 F A C-C L C C B Naprezanje po presjeku je iz zadanog opterećenja: Slika.. Štap s uklještenjem opterećen na izvijanje F 5 = = = 8,59 N/mm. (.48) A 58 Dopušteno naprezanje je / S = kr pa slijedi da kritično naprezanje mora biti najmanje kr 8, 59 5, 77 N/mm prema Euleru, pa slijedi: S = S = =. o nam daje vrijednost za provjeru kritičnog naprezanja E Eπ Eπ π kr = π λ = λ = = = 8,6. (.49) λ 5,77 kr ime dobivamo graničnu vrijednost vitkosti za koju je zadovoljen uvjet faktora sigurnosti. Iz vitkosti štapa slijedi duljina prema (.47): kr L 86, = L = 8,6, 75 / = 666,5 mm. (.5),75 5 Veleučilište u Karlovcu

51 4. SLOŽENO OPEREĆENJE Josip Hoster: ČVRSOĆA II Vrlo često će se u tehničkoj praksi dogoditi da je neki geometrijski jednostavan element (ograničimo se pritom na ravne štapove) složeno opterećen. Složeno opterećenje, statičko, je najjednostavnije predstaviti kao istovremeno djelovanje jednostavnih opterećenja koja su spomenuta dosad u Čvrstoći I, a to su uzdužno (aksijalno) opterećenje na sabijanje ili rastezanje, uvijanje, savijanje ili smicanje []. Pritom komponente naprezanja koje ta jednostavna opterećenja uzrokuju izračunavamo zasebno za svako opterećenje, pa prema principu superpozicije zbrajamo u ukupno naprezanje za zadani nosač. U razmatranje složenih opterećenja ne uvodimo izvijanje. Kako promatramo samo linearno elastične probleme, vrijedit će princip superpozicije za sve kombinacije opterećenja. Naprezanja koja uzrokuju pojedina opterećenja ćemo na odgovarajući način zbrajati u slučaju složenih opterećenja. Kombinacija opterećenja, odnosno naprezanja koja se pri tome javljaju, utječu na provjeru kriterija čvrstoće [, 4, 6]. Istovremeno postojanje više komponenata naprezanja u nekoj točki tijela predstavlja svojevrsni problem za provjeru čvrstoće. Za materijal od kojeg je načinjena konstrukcija (element) poznato je najčešće kolika je granica proporcionalnosti, elastičnosti, pucanja (loma) za jednoosno stanje naprezanja, najčešće rastezanje ili sabijanje. Ispitivanje materijala (ispitni uzorak) za višeosno stanje naprezanja je skupo i ne provodi se za većinu materijala. o je razlog da preračunavamo višeosno stanje naprezanja u jednoosno, koje onda možemo usporediti s podacima dobivenim ispitivanjem ispitnog uzorka s jednoosnim stanjem naprezanja. 4.. Savijanje i osno opterećenje Analizirat ćemo slučaj opterećenja štapa pravokutnog poprečnog presjeka opterećenog tlačnom uzdužnom silom, ekscentrično, prikazano na Slici 4.. F e F a) F F b) c) Slika 4.. Složeno opterećen štap: a) geometrija i opterećenje, b) reducirano opterećenje na težišnicu, c) komponente naprezanja, d) ukupno naprezanje Na Slici 4.. a) prikazan je štap pravokutnog poprečnog presjeka opterećen silom F koja je ekscentrična za iznos e prema težištu presjeka. o možemo zamijeniti silom u težištu presjeka i dodatnim spregom iznosa = Fe, zbog redukcije sile u središnju os, kako je prikazano na Slici 4.. b). Sila F uzrokuje normalnu komponentu naprezanja iznosa: Studij strojarstva 5 d)

52 F ( F ) =. (4.) A Ovdje je bitno napomenuti da je prema Slici 4.. a) sila F koncentrirana sila, no to nije nužno slučaj u stvarnosti; ovdje je simbolički prikazana sila kao koncentrirana, dok u stvarnosti može djelovati raspodijeljeno kao npr. preko zglobnog oslonca. u slučaju koncentrirane sile, izrazi za naprezanja vrijede min h, b, prema St'Venantovom principu [] koncentracije naprezanja, gdje su b, h na udaljenosti od oko { } mjere poprečnog presjeka. Raspodjela naprezanja uslijed sile je prikazana na Slici 4.. c). Spreg uzrokuje također normalnu komponentu naprezanja iznosa: Fe ( ) = z. (4.) I Za izraz (4.) podrazumijeva se da je os okomita na ravninu papira i usmjerena iz papira. Raspodjela naprezanja uslijed sprega je prikazana na Slici 4.. c). Ukupno naprezanje je zbroj naprezanja sile i sprega i iznosi: F Fe = ( F ) + ( ) = + z. (4.) A I Ukupno naprezanje po presjeku štapa je prikazano na Slici 4.. d). Primjer 4.. Savijanje i osno opterećenje. Na Slici 4.. prikazana je vijčana preša. Navojnim vretenom ostvaruje se sila F. Središnji dio preše ima pravokutni poprečni presjek mjera b, h. Odrediti raspodjelu naprezanja kao i najveće naprezanje u sredini presjeka. Zadano: F = 6 N, e =,6 m, b = mm, h = 8 mm. b h e z F Slika 4.. Vijčana preša Središnji dio štapa, odnosno stupa preše, je opterećen istovremeno na rastezanje i savijanje zbog ekscentričnosti sile F prema težištu presjeka stupa. Naprezanje uslijed rastezanja jednako je: Naprezanje uslijed sprega jednako je: ( ) F 6 ( F ) = = = N/mm. A 8 ( + h / ) 6 5 Veleučilište u Karlovcu (4.4) F e = z = I 8 z =, 75 z N/mm. (4.5) Ukupno naprezanje je jednako zbroju naprezanja određenih s (4.4) i (4.5): +, 75 z N/mm Najveće naprezanje je na vanjskim plohama presjeka: =. (4.6)

53 ( ) ( ) min Josip Hoster: ČVRSOĆA II ma = = -, N/mm, = = +, N/mm. Raspodjela naprezanja po presjeku stupa prikazana je na Slici 4... (4.7) Slika 4.. Raspodjela naprezanja u stupu vijčane preše 4.. Savijanje i uvijanje okruglih štapova Kombinacija savijanja i uvijanja okruglih štapova je vrlo česta u tehničkoj praksi. Ovdje ćemo pretpostaviti da je zadovoljen uvjet jednake čvrstoće ili bolje rečeno, granice tečenja, pri opterećenju na sabijanje i rastezanje. Razlog tome je što ćemo kasnije u teorijama čvrstoće postaviti jednadžbu koja ne uzima u obzir predznak normalne komponente naprezanja, radi općenitosti, pa stoga mora biti zadovoljen ovaj uvjet. Ako promatramo štap opterećen momentom uvijanja i savijanjem, posmična komponenta naprezanja uslijed uvijanja biti će najveća na vanjskoj površini. Normalna komponenta naprezanja uslijed savijanja biti će opet najveća na vanjskoj površini. Savijanje može biti čisto savijanje, ali je vrlo čest slučaj poprečnog savijanja (savijanja silama), pa će posmična komponenta naprezanja uslijed poprečnih sila biti najveća u sredini štapa, a na vanjskoj površini jednaka nuli. Stoga ćemo jednako promatrati slučaj čistog savijanja i poprečnog savijanja u kontekstu utjecaja na naprezanje. Kasnije za dimenzioniranje je bitno najveće naprezanje pa ćemo zanemariti posmičnu komponentu naprezanja uslijed mogućih poprečnih sila. Na Slici 4.4. prikazan je štap opterećen na savijanje i uvijanje. oment savijanja je označen, a moment uvijanja je označen. Posmična komponenta naprezanja uslijed uvijanja i normalna komponenta uslijed savijanja prikazane se na diferencijalnom elementu na vanjskoj plohi na Slici 4.5. Slika 4.4. Štap opterećen na savijanje i uvijanje Slika 4.5. Stanje naprezanja u točki A Na Slici 4.5. prikazane su komponente naprezanja u točki A štapa sa Slike 4.4. Komponente naprezanja jednake su: τ = ; =. (4.8) W W p U jednadžbama (4.8) W π d p = je polarni moment otpora, a W = πd je aksijalni moment otpora. 6 Studij strojarstva 5

54 Primjer 4.. Savijanje i uvijanje štapa. Josip Hoster: ČVRSOĆA II Na Slici 4.6. prikazano je vratilo promjera d s remenicama. Remenicom B, promjera D, dovodi se snaga P. Zanemarujući gubitke, remenicom C, promjera D, ta se snaga odvodi. Odrediti raspodjelu komponenata naprezanja u kritičnom presjeku. Zadano: P = 5 W, n = 44 min, d = mm, D = 4 mm, D = 6 mm, L = mm, L = mm, L = 5 mm. A B C D F z D D d L L F F F L Slika 4.6. Vratilo opterećeno na savijanje i uvijanje Vratilo prenosi snagu P = ω na dijelu od, pojednostavljeno promatrano, sredine remenice B do sredine remenice C. oment uvijanja je veličine: P n 44 P = ω = ω = π = π = ω 6 6 5,8 s. P 5 = = = 9,947 Nm. ω 5,8 Najveća vrijednost posmične komponente naprezanja uslijed uvijanja vratila jednaka je: τ 9,947 9,947 (4.9) = = = = = 6, N/mm. (4.) Wp π d π 57, oment uvijanja na remenicama je ostvaren obodnom silom kao razlikom sila u krakovima remena. Za F i sile u krakovima remena su: remenicu B obodna sila ( ) o ( F ) o 9,947 = = = 8,89 N. r 4 / ( ) ( ) = F r F r = F r F = F = 8,89 N. o o Za remenicu C obodna sila ( F o ) i sile u krakovima remena su: ( F ) o 9,947 = = = 55, 6 N. r 6 / ( ) ( ) = F r F r = F r F = F = 55, 6 N. o o Na Slici 4.7. prikazane su reducirane sile na središnjicu vratila i pripadni momenti. (4.) (4.) 54 Veleučilište u Karlovcu

55 A z B C F D F A F B C D F F F Slika 4.7. Rezultirajuća opterećenja na vratilu Sile reducirane na središnjicu vratila djeluju u dvije koordinatne ravnine, pa ćemo iduće izračunati momente savijanja na mjestima koncentriranih sila. omenti savijanja i uvijanja su prikazani na Slici 4.8. z z z A D z = F L + FD L =. (4.) Oz : F = F F + F =. ( ) z F = F L / L = 8,89 / 5 = 99,468 N. D z z F = F F = 8,89 99, 468 = 49, N. A D A D z = F L + FD L =. (4.4) O : F = F F + F =. ( ) F = F L / L = 55,6 / 5 = 99, 468 N. D F = F F = 55, 6 99, 468 = 66, N. A D Budući da na presjecima B i C koji su kritični (odnosno, jedan od tih će biti kritičan) djeluju momenti savijanja u dvije okomite ravnine, možemo izračunati rezultirajući moment. Slika 4.8. omenti savijanja i uvijanja Studij strojarstva 55

56 Budući da je savijanje u dvije ravnine, odredit ćemo rezultantu raspodjelu normalne komponente naprezanja uslijed savijanja momentima i. Ekstremne vrijednosti ćemo dobiti izjednačavanjem derivacije funkcije raspodjele naprezanja (, z) z uvođenjem uvjeta koji opisuje konturu (rub) prema: r = + z = ± r z. (4.5) Odabrat ćemo traženje ekstrema na pozitivnoj koordinati jer je prema Slici 4.9. na toj strani maksimum komponente naprezanja. Radi općenitosti izvoda nećemo dodavati oznake točke na vratilu (u smislu koordinate ) u kojoj tražimo ekstreme. Raspodjela naprezanja u slučaju djelovanja momenata savijanja oko z obje koordinatne osi (glavne osi tromosti presjeka) je = z I I. Slijedi: z d z. I I dz I I r z z z = z r z = = z z = = z r. + = r z z r z z z z z = = z + z + z z r r z r r r r z = ± = ± = ± + z + z + z.. (4.6) (4.7) Uvrštavanjem vrijednosti za položaj ekstremne vrijednosti naprezanja, iz (4.7) u raspodjelu naprezanja, dobit ćemo iznos ekstrema normalne komponente naprezanja. Ovdje ćemo uvesti dodatni uvjet da su ekstremne vrijednosti naprezanja raspodijeljene prema Slici 4.9. = + = I + z + z r r + z = rez rez = + z. I I z ( ) ma r z r (4.8) Slika 4.9. Raspodjela naprezanja po presjeku uslijed savijanja Rezultirajući momenti savijanja u presjecima B i C prema (4.8) su: B = 984, 4 + 6, 4 = 654,9 Nmm, = 989, , 6 = 8,8 Nmm. (4.9) C Komponente naprezanja u kritičnom presjeku su jednake: B B: = r; τ = r. (4.) I I p 56 Veleučilište u Karlovcu

57 U izrazu za normalnu komponentu naprezanja u (4.) ne uzimamo u obzir predznak naprezanja, kako je već objašnjeno. Raspodjela komponenata naprezanja u presjeku B je prikazana na Slici 4.. Slika 4.. Komponente naprezanja uslijed savijanja i uvijanja 4.. Opći slučaj opterećenja okruglih štapova Osim kombinacija opterećenja spomenutih u prethodna dva poglavlja, u općem slučaju može postojati kombinacija savijanja, uvijanja i uzdužnog opterećenja. Na Primjeru 4.. ćemo prikazati izračun komponenata naprezanja za takav slučaj opterećenja. Primjer 4.. Savijanje, uvijanje i uzdužno opterećenje Na Slici 4.. prikazan je nosač načinjen od cijevi promjera D / d opterećen silama. Odrediti raspodjelu komponenata naprezanja u kritičnom presjeku. Zadano: F = 5 N, F = N, D = 48 mm, d = 4 mm, L = mm, L = mm, L = 4 mm. Slika 4.. Prostorni konzolni nosač Ovo je slučaj općeg opterećenja štapa. Sile uzrokuju uzdužno sabijanje dijela duljine L i L, savijanje svih dijelova i uvijanje dijelova duljine L i L. Uvest ćemo lokalne koordinatne sustave kako bismo lakše opisali raspodjele komponenata naprezanja, kako je prikazano na Slici 4.. Uzdužna opterećenja ćemo opisati počevši od slobodnog kraja nosača. Za pojedini dio nosača stavit ćemo gornji indeks koji će opisati komponente naprezanja kako bi opisali na kojem je dijelu nosača ta komponenta. ako broj u gornjem indeksu predstavlja raspodjelu unutrašnje veličine na dijelu duljine L, itd. Na Slici 4.. su prikazani dijagrami unutrašnjih veličina su prikazani po dijelovima konstrukcije. Ploština poprečnog presjeka cijevi A = π 48 4 / 4 = 498, mm. Normalne komponente naprezanja uslijed uzdužnih sila su po jednaka je ( ) dijelovima: Studij strojarstva 57

58 a ( ) ( ) a ( ) Josip Hoster: ČVRSOĆA II a = = F A = =. / / 489,,44 N/mm., (4.) = F / A = 5 / 489, =,66 N/mm. Normalne komponente naprezanja uslijed savijanja su po dijelovima: ( ) ( ) ( ) F L F L F L F L = z. = z. I I I I F L F L F ( L ) = z. I I I (4.) Slika 4.. Lokalni koordinatni sustavi na konzoli Posmične komponente naprezanja uslijed uvijanja su po dijelovima: L L τ F L r L : τ =. 5 4 : = = 4 =, 9 N/mm. Ip 4965 τ F L r 4 : = = 4 =,9 N/mm. Ip 4965 (4.) Budući da je nosač stalnog poprečnog presjeka, aksijalni i polarni momenti tromosti presjeka su svugdje isti, kao i aksijalni i polarni momenti otpora. Iznosi tih veličina su: D d mm, D d I = = = Ip = = = 4965 mm. (4.4) a) b) 58 Veleučilište u Karlovcu

59 c) Slika 4.. Dijagrami unutrašnjih veličina: a) na dijelu duljine L, b) na dijelu duljine L, c) na dijelu duljine L Najveće će vrijednosti normalne komponente naprezanja uslijed savijanja biti ovisne samo o sili i krakovima, pa ćemo ih izračunati za kritična mjesta: F L F L točka A: = = z. I I F L F L točka B: = = z. I I F L F L F L točka C: = = z. I I I (4.5) Najveće normalno naprezanje uslijed savijanja odredit ćemo određivanjem pravca na kojem je naprezanje uslijed savijanja jednako nuli prema: F L F L F = z = z = = =. (4.6) I I F 5 Najveće normalno naprezanje uslijed savijanja odredit ćemo iz jednadžbe (4.5) za svaki dio nosača, i postavljanjem uvjeta ekstrema funkcije koja ovisi o koordinatama i z. e koordinate nisu međusobno nezavisne nego moramo postaviti uvjet koji opisuje konturu, odnosno vanjski rub presjeka jer na njemu je najveće normalno naprezanje uslijed savijanja. e su jednadžbe kako slijedi: ( ) r = + z = ± r z kontura rub. F L F L d F L F L z = z r z = =. I I dz I I r z r z F z F F F = = z + = r z F r z F F F. F F F F = = z = ± r F F + F F + F F + F z r r F r r r = ± = ± F + F F + F F.. (4.7) U zadnjoj jednadžbi u (4.7) smo dobili koordinate s ekstremnim normalnim komponentama naprezanja. Uvrštavanjem tih vrijednosti u izraz za raspodjelu te komponente naprezanja dobivamo izraz za iznos normalne komponente naprezanja kako slijedi: Studij strojarstva 59

60 ( ) ( ) F L F F L F = r + r = I F + F I F + F ma F + F L r 4 r = F + F L = = 6, 97 N/mm. F + F I I F L F F L F = r r = I F + F I F + F min r 4 F + F L = = 6, 97 N/mm. I (4.8) Ovdje smo iskoristili poznavanje raspodjele normalne komponente naprezanja po presjeku u kontekstu određivanja predznaka koordinata za određivanje ekstremnih vrijednosti, kako je prikazano na Slici 4.4. U izrazima (4.8) vidimo da postoji dio koji predstavlja rezultantu sile koja djeluje u jednoj ravnini, Oz, odnosno, pomnoženo L što je ispušteno od početka u (4.7), rezultanti vektor momenta savijanja. o ćemo iskoristiti u izračunu normalne komponente naprezanja na drugim mjestima nosača. Isto bismo dobili da su bili zapisani momenti savijanja tih sila. Slika 4.4. Raspodjela naprezanja po presjeku uslijed savijanja Analogno izračunu normalne komponente naprezanja uslijed savijanja za treći dio nosača, izračunat ćemo to za drugi i prvi dio nosača kako slijedi: rez, ( ) ( ) z = F L = 5 = Nmm. = F L = 4 = 4 Nmm. = + = + 4 = 5 Nmm. z rez, z 5 ' = r = 4 = 4,8 N/mm. I ' = r = 4 = 4,8 N/mm. I rez, ma rez, min ( ) ( ) = F L = 5 = Nmm. = F L F L = 5 4 = 4 Nmm. = + = + 4 = 5 Nmm. z 5 ' = r = 4 = 4,8 N/mm. I N/mm. I rez, ma rez, ' min = r = 4 = 4,8 (4.9) (4.) 6 Veleučilište u Karlovcu

61 Dodatno, normalnu komponentu naprezanja uzrokuju uzdužne sile na dijelovima dva i jedan pa je ukupna normalna komponenta naprezanja na tim dijelovima jednaka zbroju: ( ) ( ) ( ) ma ma a ( ) ( ) ( ) min min ( ) ( ) ma ( ) ma a ( ) ( ) min ( ) a a min = ' + = 4,8,44 =,786 N/mm. = ' + = 4,8,44 = 6,874 N/mm. = ' + = 4,8,66 =,764 N/mm. = ' + = 4,8,66 = 7,96 N/mm. (4.) Studij strojarstva 6

62 5. EORIJE ČVRSOĆE U prethodnom poglavlju su prikazani primjeri opterećenja štapova u kojima je višeosno stanje naprezanja, tj. istovremeno u materijalu postoje normalne i posmične komponente naprezanja. U tim slučajevima ne možemo usporediti uštene vrijednosti za rastezanje ili sabijanje ili smicanje dobivene u ispitivanjima pri jednoosnom stanju naprezanja s odgovarajućim komponentama naprezanja u materijalu. Praksa i ispitivanja su pokazala da takva višeosna stanja naprezanja moramo preračunati na jednoosno stanje naprezanja kako bi to dobiveno naprezanje, koje možemo zvati i ekvivalentno naprezanje, usporedili s uštenim za jednoosno stanje naprezanja, dobiveno ispitivanjem materijala. Iz tog razloga su uvedene teorije čvrstoće koje pokušavaju predvidjeti pojavu plastičnog tečenja (trajne deformacije) ili loma pri općem stanju naprezanja na osnovi poznavanja ponašanja materijala pri jednoosnom stanju naprezanja. Nijedna teorija čvrstoće nije sveobuhvatna, tj. nije primjenjiva na sve vrste materijala. Neke teorije su bolje za duktilne materijale, neke su bolje za krhke materijale []. 5.. Energija deformiranja U teorijama čvrstoće se spominju pojmovi energija deformiranja, dilatacijska i distorzijska energija. Energiju deformiranja odredit ćemo promatranjem elementarnog volumena prema Slici 5.. Naprezanje na ploštini ddz stvara rad na pomaku ε d, počevši od nenapregnutog stanja, iznosa: ( ) dw = ddzε d / = ε ddd z / = ε d V /, (5.) naprezanje τ na ploštini ddz stvara rad na pomaku ( ) γ dz, počevši od nenapregnutog stanja, iznosa: dw τ = τ ddγ d z / = τ γ ddd z / = τ γ d V /, (5.) i tako analogno za ostale komponente naprezanja. Slika 5.. Deformiranje elementarnog volumena materijala [] Faktor / u izrazima za rad pojedinih komponenata naprezanja je zbog toga što naprezanja počinju od vrijednosti sve do konačne vrijednosti, pa je stoga rad jednak polovini konačne vrijednosti naprezanja, kao srednje vrijednosti kroz proces. Ukupni rad svih komponenata naprezanja na elementarnom volumenu jednak je energiji deformiranja U i iznosi: ( ε ε zε z τ γ τ zγ z τ zγ z ) dw = d V / = du. (5.) Ako energiju deformiranja podijelimo s elementarnim volumenom dobivamo gustoću energije deformiranja: du dv ( ε ε zε z τ γ τ zγ z τ zγ z ) = U = /. (5.4) Ako komponente deformacije prikažemo pomoću Hookeovog zakona preko komponenata naprezanja, dobit ćemo: 6 Veleučilište u Karlovcu

63 U Josip Hoster: ČVRSOĆA II ν = ( + + z ) ( + z + z ) + ( τ + τ z + τ z ). (5.5) E E G Gustoća energije deformiranja ne ovisi o izboru koordinatnog sustava, pa ćemo odabrati glavne osi naprezanja kako bi pojednostavnili izraz (5.5): U = ( ) E + + ν + +. (5.6) 5.. Distorzijska i dilatacijska energija Deformiranje okoline svake točke može se predstaviti kao promjena obujma dilatacija i promjena oblika distorzija. Energiju deformiranja za promjenu obujma zovemo dilatacijska energija, a energiju promjene oblika distorzijska energija [, 7]. Svaki se tenzor naprezanja može rastaviti na sferni i devijatorski dio. Sferni dio izaziva dilataciju a devijatorski izaziva distorziju. atrica sfernog dijela tenzora naprezanja ij je: Iznos komponenata sfernog naprezanja je ( z ) ij =. (5.7) = + + /. atricu devijatorskog dijela tenzora naprezanja s ij dobijemo ako od tenzora naprezanja oduzmemo sferni dio tenzora naprezanja: s ij = ij ij. (5.8) Gustoću distorzijske energije deformiranja dobijemo ako u izraz za gustoću deformiranja (5.6) uvrstimo devijatorske komponente naprezanja pa slijedi: U ν E 6E ( ) ν ( ) ( ) d = Izraz (5.9) može se pojednostavniti na: U d = + +. (5.9) + ν ( ) ( ) ( ) 6E. (5.) 5.. eorija najvećeg normalnog naprezanja Prema ovoj teoriji opasnost od loma nastaje kada normalno naprezanje, najveće po apsolutnoj vrijednosti, dostigne kritičnu vrijednost. Najveće od tri glavna naprezanja je mjerodavno za provjeru opasnosti od loma. Uvjet čvrstoće je: gdje je ekv ekvivalentno naprezanje, ma ma (, ) ekv = ma <, (5.) = najveće po apsolutnoj vrijednosti glavno naprezanje i ušteno naprezanje dobiveno ispitivanjem ispitnog uzorka. Za krhke materijale ušteno naprezanje je određeno = / S, gdje je statička čvrstoća pri rastezanju, dok je kod duktilnih materijala ušteno naprezanje = / S, gdje je e e granica elastičnosti, odnosno tečenja, dok je S faktor sigurnosti. Ako materijal ima različitu čvrstoću pri rastezanju i sabijanju, uvjet čvrstoće je: <, <, <. (5.) v t Studij strojarstva 6

64 gdje je v ušteno vlačno naprezanje, a t ušteno tlačno naprezanje. Oba ova uvjeta moraju biti istovremeno ispunjena. U slučaju dvoosnog stanja naprezanja uvjeti čvrstoće prikazuju se pomoću krivulja čvrstoće u koordinatnom sustavu O, kako je prikazano na Slici 5.. a). U svakoj točki konstrukcije postoji neko stanje naprezanja koje u ovom koordinatnom sustavu prikazujemo točkom, s koordinatama (, ). Ako se točka nalazi unutar plohe kvadra prema Slici 5.. a) ili kvadrata ABCD prema Slici 5.. b), nema opasnosti od plastičnog tečenja, ili loma, tj. ispunjen je uvjet čvrstoće. Ako se točka nalazi na rubu kvadrata ABCD, uvjet čvrstoće nije ispunjen. U slučaju troosnog stanja naprezanja uvjet čvrstoće je prikazan plohom čvrstoće, kako je prikazano na Slici 5.. a). a) b) Slika 5.. Ploha tečenja []: a) krivulja tečenja, b) teorija najvećeg normalnog naprezanja Prema Slici 5.. a) ploha čvrstoće je u teoriji najvećeg normalnog naprezanja ploha koja omeđuje kocku stranica. Središte je kocke u ishodištu koordinatnog sustava. eorija najvećeg normalnog naprezanja je jedna od ranih teorija. Pokazalo se da je jedino dobra za krhke materijale u području rastezanja eorija najveće duljinske deformacije Prema ovoj teoriji lom može nastupiti ako najveća normalna deformacija dostigne kritičnu vrijednost. Kriterij čvrstoće je: gdje je ma ε ma < ε =, (5.) E ε najveća apsolutna vrijednost duljinske deformacije. U slučaju da je > bit će: U slučaju da je > bit će: ( ) ν + ε ma = ekv = ν ( + ). (5.4) E E ( ) = ν +. (5.5) ekv Krivulja čvrstoće prema ovoj teoriji je prikazana na Slici 5.. I ova teorija se nije pokazala dobrom, pa se danas rijetko koristi. 64 Veleučilište u Karlovcu

65 Slika 5.. Krivulja tečenja teorije najveće duljinske deformacije 5.5. eorija najvećeg posmičnog naprezanja Prema ovoj teoriji opasnost od plastičnog tečenja ili loma nastaje kada najveće posmično naprezanje dostigne kritičnu vrijednost τ / =. Za opće stanje naprezanja τ ma = ( ) /, pa je uvjet čvrstoće: τ ma = τ = ekv =, uz > >. (5.6) Ovisno o predznacima glavnih naprezanja, a ako je jedno glavno naprezanje je jednako nuli, razlikujemo tri slučaja: oba glavna naprezanja su veća od nule,, >, = ekvivalentno naprezanje je ekv =, oba glavna naprezanja su manja od nule,, <, = ekvivalentno naprezanje je ekv =, glavna naprezanja su suprotnog predznaka, >, <, = ekvivalentno naprezanje je ekv =. Krivulja čvrstoće prikazana je na Slici 5.4. Slika 5.4. Krivulja tečenja teorije najvećeg posmičnog naprezanja 5.6. eorija najveće distorzijske energije Prema ovoj teoriji opasnost od loma nastaje kada gustoća distorzijske energije dostigne kritičnu vrijednost. Uvjet čvrstoće je: Studij strojarstva 65

66 Gustoća distorzijske energije je prema (5.): U U od U. (5.7) od + ν ( ) ( ) ( ) 6E. (5.8) od = + + Ako pri jednoosnom stanju naprezanja naprezanje dostigne vrijednost energija iznosi: U od, uštena distorzijska +ν =. (5.9) E Izraz (5.9) nastaje kada u izraz (5.8) uvrstimo =, = =. Nakon uvođenja izraza (5.8) i (5.9) u (5.7) dobivamo: ( ) ( ) ( ) ekv = + + /. (5.) Ova teorija se naziva HH teorija, prema njenim autorima.. Huber, R. von ieses, H. Henck. U slučaju dvoosnog stanja naprezanja izraz (5.) prelazi u: aj izraz možemo napisati kao: = +. (5.) ekv +. (5.) što je jednadžba elipse. o slijedi iz činjenice da izraz (5.) predstavlja jednadžbu valjka polumjera R = / kojemu je os pravac = =, što predstavlja hidrostatički pravac. Hidrostatički pravac predstavlja stanje hidrostatičkog naprezanja, tj., sve tri normalne komponente naprezanja su jednake i negativne. Presjecište tog valjka s koordinatnom ravninom O daje elipsu (5.), odnosno krivulju čvrstoće. Krivulja čvrstoće prema HH teoriji prikazana je na Slici 5.5. Jedna teorija nije pogodna za bilo koji materijal, i bilo koju kombinaciju komponenata naprezanja (stanje naprezanja), pa je za duktilne (plastične) materijale najtočnija HH teorija, dok je bliska i teorija najvećeg posmičnog naprezanja, dok je za krhke materijale u području rastezanja bolja teorija najvećeg normalnog naprezanja []. Slika 5.5. Krivulja tečenja teorije najveće distorzijske energije 66 Veleučilište u Karlovcu

67 Primjer 5.. Dimenzioniranje složeno opterećenog vratila. Savijanje i uvijanje. Na Slici 5.6. prikazano je vratilo promjera d s remenicama. Remenicom B, promjera D, dovodi se snaga P. Zanemarujući gubitke, remenicom C, promjera D, ta se snaga odvodi. Odrediti promjer vratila prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja i prema teoriji najveće gustoće distorzijske energije (HH). Zadano: P = 55 W, n = 96 min, D = 4 mm, D = 6 mm, L = mm, L = mm, L = 5 mm, N/mm =. A B C D F z D D d L L F F F L Slika 5.6. Vratilo opterećeno na savijanje i uvijanje Vratilo prenosi snagu P = ω na dijelu od, pojednostavljeno promatrano, sredine remenice B do sredine remenice C. Kutna brzina jednaka je ω = π n / 6 = π 96 / 6 =,5 s. oment uvijanja je veličine: P 55 P = ω = = = 54,7 Nm. (5.) ω, 5 Najveća vrijednost posmične komponente naprezanja uslijed uvijanja vratila jednaka je: τ ,74 N/mm = W = p π d /6 = π d /6 = d. (5.4) oment uvijanja na remenicama je ostvaren obodnom silom kao razlikom sila u krakovima remena. Za remenicu B obodna sila ( F o ) i sile u krakovima remena su: ( F ) o 547 = = = 455,9 N. r 4 / ( ) ( ) = F r F r = F r F = F = 455,9 N. o o Za remenicu C obodna sila ( F o ) i sile u krakovima remena su: ( F ) o 547 = = =,94 N. r 6 / ( ) ( ) = F r F r = F r F = F =,94 N. o o Na Slici 5.7. prikazane su reducirane sile na središnjicu vratila i pripadni momenti. (5.5) (5.6) Studij strojarstva 67

68 A z B C F D F A F B C D F F F Slika 5.7. Opterećenja na vratilu Sile reducirane na središnjicu vratila djeluju u dvije koordinatne ravnine, pa ćemo iduće izračunati momente savijanja na mjestima koncentriranih sila. omenti savijanja su prikazani na Slici 5.8. Za Oz i O slijedi: z z z A D z = F L + FD L =. (5.7) F = F F + F =. ( ) z F = F L / L = 455,9 / 5 = 547, N. D z z F = F F = 455,9 547, = 8, 66 N. A D A D z = F L + FD L =. (5.8) F = F F + F =. ( ) F = F L / L =,94 / 5 = 547, N. D F = F F =, , = 64, 7 N. A D Slika 5.8. omenti savijanja i uvijanja za vratilo 68 Veleučilište u Karlovcu

69 Normalnu komponentu naprezanja uslijed savijanja ćemo izračunati za slučaj momenta savijanja u dvije ravnine kao u Primjeru 4.. gdje smo izračunali rezultantni moment savijanja, pa ćemo to učiniti i ovdje, na mjestima ekstremnih momenta savijanja u jednoj i drugoj ravnini: = + = = 796 Nmm. B,rez B zb = + = = Nmm. C,rez C zc (5.9) Za jednoliki presjek vratila, i jednaki moment uvijanja na području od B do C, kritičan presjek je presjek B. Normalna komponenta naprezanja jednaka je: = W = π d / (5.) B,rez B,rez B,ma. Posmična komponenta naprezanja na istom mjestu jednaka je: τ = =. (5.) /6 B,ma Wp π d Budući da ne možemo izračunati iznos komponenata naprezanja na kritičnom mjestu, odredit ćemo izraz prema kojem možemo izračunati ekvivalentni moment umjesto ekvivalentnog naprezanja. Budući da postoje dvije komponente naprezanja, ovo je dvoosno stanje naprezanja, a komponente naprezanja su prikazane na Slici 5.9. Na Slici 5.9. a) je prikazano stanje naprezanja za točku presjeka s maksimalnim normalnim naprezanjem, a na Slici 5.9. b) s minimalnim. a) b) Slika 5.9. Komponente naprezanja u materijalu vratila: a) pozitivno normalno naprezanje, b) negativno normalno naprezanje Pretpostavljeni materijal ima jednaku čvrstoću pri rastezanju i sabijanju. Čitatelj se može uvjeriti da je ekvivalentno naprezanje jednakog iznosa ako se računa pomoću komponenata naprezanja prema Slici 5.9. a) ili 5.9. b), stoga provjera čvrstoća ne ovisi o odabranom predznaku normalnog naprezanja. Glavna naprezanja za dvoosno stanje naprezanja su jednaka: ( ) +, = ± + τ = ± + 4 τ. B,rez B,rez ± + 4 = B,rez ± ( B,rez ) + ( ). W W W W = B,rez + ( B,rez ) + ( ) ; = B,rez ( B,rez ) + ( ). W W Prema teoriji HH ekvivalentno naprezanje jednako je prema (5.): (5.) Studij strojarstva 69

70 ( A) ( A ) A ( ) ( ) = B,rez + ; = B,rez = B,rez +. W W ekv = + = ( B,rez + A ) + ( B,rez A) ( B,rez + A )( B,rez A ) = W ( B,rez A) ( B,rez A ) ( B,rez A)( B,rez A) W = B,rez A B,rez ( B,rez ) ( + = + + ) = B W W,rez +,75. W = +, 75 = 796 +, = Nmm. ekv B,rez (5.) Sada možemo odrediti promjer iz uvjeta čvrstoće ekv = ekv / W <, pa slijedi: π d π π ekv ekv > d > d > =,49 mm. (5.4) Obično su strojni elementi izrađeni prema sustavu standardnih brojeva (opisano u [, 6]) pa sve vrijednosti treba zaokružiti na prvu veću standardnu ili okruglu brojku, u ovom slučaju 5. Prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja ekvivalentno naprezanje jednako je prema (5.6): ekv = = B,rez + ( B,rez ) + ( ). W ( ) ( ) ; ( ) ( ). W W = B,rez + B,rez + = B,rez B,rez + (5.5) Ovdje vrijedi da je algebarski najmanje glavno naprezanje pa treba provjeriti je li izraz u zagradi za manji od nule ili veći, jer u slučaju da je manji od nule to glavno naprezanje u slučaju računanja ekvivalentnog naprezanja po teoriji najvećeg posmičnog naprezanja nije nego jer je jedno glavno naprezanje, a vrijedi dogovor da je > >. Nadalje provjeravano gornju dvojbu: ( ) ( ) B,rez B,rez + = = = 847 Nmm. Dakle, izraz (5.5) nije formalno ispravan, pa ćemo to ispraviti na način: B,rez ( B,rez ) ( ),, B,rez ( B,rez ) ( ). W W = + + = = + Ekvivalentno naprezanje prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja je: W = + ( ) + ( ) ( ) + ( ) = W W ekv B,rez B,rez B,rez B,rez + = + = = Nmm. B,rez ekv B,rez Sada možemo odrediti promjer iz uvjeta čvrstoće ekv = ekv / W < pa slijedi: (5.6) (5.7) (5.8) π d d d π π ekv ekv > > > =,56 mm. (5.9) Prema standardnim brojevima prvi standardni broj veći od je 5 pa ćemo usvojiti standardni promjer od d = 5 mm. 7 Veleučilište u Karlovcu

71 Primjer 5.. ankostjena cijev opterećena unutrašnjim tlakom, uvijanjem i uzdužnim opterećenjem. Na Slici 5.. prikazana je tankostjena cijev promjera D / d, debljine stijenke s opterećena unutrašnjim tlakom, uzdužnom silom i momentom uvijanja. Odrediti vanjski i unutrašnji promjer uz zadanu debljinu stijenke prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja. Zadano: F = kn, = 4 knm, p = bar, s = mm, = 5 N/mm. U stijenci cijevi se javljaju posmična komponenta naprezanja kao posljedica momenta uvijanja, normalna komponenta naprezanja u cirkularnom smjeru, prikazano na Slici 5., kao posljedica unutrašnjeg tlaka i normalna komponenta naprezanja na uzdužnom pravcu kao posljedica uzdužne tlačne sile. Prema membranskoj teoriji [, 6] raspodjela cirkularnog naprezanja uslijed unutrašnjeg tlaka je pretpostavljena konstantna po debljini, a radijalnu komponentu naprezanja zanemarujemo jer je za tanke ljuske, gdje je uvjet za tanku ljusku omjer debljine stijenke i srednjeg radijusa zakrivljenosti s / R < /, tlak dva reda veličine manji od cirkularnog naprezanja. Za cilindričnu cijev možemo cirkularno naprezanje izračunati promatrajući ravnotežu zamišljeno presječene cijevi ravninom koja sadrži simetralu cijevi, kako je prikazano na Slici 5.. a). Slika 5.. ankostjena cijev opterećena unutrašnjim tlakom, tlačnom silom i momentom uvijanja Na vanjskoj stjenci cijevi radijalna komponenta naprezanja iščezava, tj. ne djeluje pretlak. Ovdje nećemo razmatrati raspodjelu radijale komponente naprezanja po radijusu (kroz stijenku). Razmotrit ćemo naprezanja na unutrašnjoj i vanjskoj stijenci. a) b) Slika 5.. Naprezanje u stijenci cijevi []: a) izračunavanje cirkularnog naprezanja, b) stanje naprezanja u stijenci cijevi Na unutrašnjoj stijenci jedno glavno naprezanje je jednako. Za određivanje ostala dva glavna naprezanja moramo izračunati normalnu komponentu naprezanja u cirkularnom smjeru. Budući da će cijev biti tanke stijenke u odnosnu na unutrašnju radijus, možemo pojednostavniti izračun, odnosno raspodjelu, cirkularne komponente naprezanja po radijusu, odnosno kroz stijenku, pa ćemo reći da je konstantna (točna raspodjela je po zakonu hiperbole, iako je za npr. r / r =, razlika ϕ otprilike % na vanjskoj prema unutrašnjoj stjenci. Prema Slici 5.. a) cirkularno naprezanja izračunavamo prema: pd d = = = s Fr pdb s ϕb ϕ N/mm, (5.4) gdje je r F sila projicirana na radijalni pravac. Posmična komponenta naprezanja uslijed momenta uvijanja je jednaka: Studij strojarstva 7

72 τ = π ( D ( D s) ) 4 4 Normalna komponenta naprezanja uslijed uzdužne sile je: Dva glavna naprezanja su: ' ( ) = π D. (5.4) / 4F ( D ( D s) ) + ϕ ϕ, = ± + τ.. (5.4) (5.4) Budući da komponente naprezanja ovise nelinearno o promjeru, nećemo pokušavati riješiti izravno jednadžbe uvjeta čvrstoće, nego ćemo pokušati izračunati principom pokušaj pogreška. Detaljnije o načinu rješavanja ovakvih jednadžbi numerički čitatelj može naći u [8,, 6, 8]. Korake približnog izračuna ćemo provesti na način da odaberemo promjer, izračunamo komponente naprezanja i ekvivalentno naprezanje: =. (5.44) ekv Čitatelj se može uvjeriti da je ekvivalentno naprezanje veće za vanjski radijus od vrijednosti za unutrašnji radijus, te ćemo stoga kao mjerodavno uzeti ekvivalentno naprezanje na vanjskoj stijenci. Nakon izračunavanja ekvivalentnog naprezanja utvrdimo grešku, odnosno, zadovoljavanje kriterija čvrstoće. Za idući korak mijenjamo promjer u cilju smanjenja greške po principu ako je ekvivalentno naprezanje veće od uštenog, povećavamo promjer, a ako je manje smanjujemo. e korake provodimo dok ekvivalentno naprezanje ne dođe do unutar 5% od vrijednosti uštenog naprezanja, naravno, ispod vrijednosti uštenog naprezanja. Za odabrane vanjske promjere izračunate su vrijednosti ekvivalentnog naprezanja kako slijedi: ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) D = = mm ekv / 54,4 N/mm. D = = mm ekv / 4 N/mm. D = = 4 mm ekv /,95 N/mm. D = = mm ekv / 46, N/mm. (5.45) Najbliže granici uštenog naprezanja dobivamo za vrijednost vanjskog promjera D = mm, a povećanjem vanjskog promjera smanjuje se ekvivalentno naprezanje. ožemo ustvrditi da je D = mm najmanji vanjski promjer koji zadovoljava uvjet čvrstoće unutar 5% od uštenog naprezanja prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja. Primjer 5.. ankostjena cijev opterećena unutrašnjim tlakom, uvijanjem i savijanjem. Na Slici 5.. prikazana je tankostjena cijev promjera D / d, debljine stijenke s opterećena unutrašnjim tlakom, momentom savijanja i momentom uvijanja. Odrediti vanjski i unutrašnji promjer uz zadanu debljinu stijenke prema teorijama najvećeg posmičnog naprezanja i najveće gustoće distorzijske energije (HH). Zadano: p s s = knm, = knm, = bar, = mm, = 5 N/mm. Slika 5.. ankostjena cijev opterećena unutrašnjim tlakom, momentima savijanja i uvijanja 7 Veleučilište u Karlovcu

73 U stijenci cijevi se javljaju posmična komponenta naprezanja kao posljedica momenta uvijanja, normalna komponenta naprezanja u cirkularnom i radijalnom smjeru, prikazano na Slici 5.., kao posljedica unutrašnjeg tlaka i normalna komponenta naprezanja na uzdužnom pravcu kao posljedica momenta savijanja. Na Slici 5.. prikazana su dva isječka cijevi radi pojašnjenja (prikaza) normalne komponente naprezanja uslijed momenta savijanja, jer je na jednoj strani cijevi na pravcu okomitom na središnjicu cijevi i pravac vektora momenta savijanja normalna komponenta naprezanja pozitivna, dok je na suprotnoj strani cijevi (gledano kroz promjer cijevi na suprotnoj strani) ta komponenta naprezanja negativna. Na unutrašnjoj stijenci cijevi postoje dvije normalne komponente naprezanja, ϕ, i dvije posmične komponente, τ, i to dvije različite kombinacije na dijametralno suprotnim mjestima, dok su na vanjskoj stijenci dvije normalne komponente naprezanja ϕ, i posmične komponente, τ, i to opet dvije kombinacije predznaka. Slika 5.. Stanje naprezanja na dijametralno suprotnim mjestima na cijevi Provjerit ćemo sve četiri kombinacije komponenata naprezanja, odnosno, za svaku kombinaciju ekvivalentno naprezanje da bismo odredili kritičnu veličinu ekvivalentnog naprezanja. Normalna komponenta naprezanja se izračunava kao u prethodnom primjeru, prema (5.4): ϕ ϕ pd d =. (5.46) s Normalna komponenta naprezanja uslijed savijanja izračunava se ovisno o radijusu prema: = π s r. / ( D ( D s) ) Posmična komponenta naprezanja uslijed uvijanja izračunava se ovisno o radijusu prema: τ = 4 ( D ( D s) ) 4 π (5.47) r. (5.48) / Budući da iznosi komponenata naprezanja ovise o promjeru cijevi, moramo odabrati neki promjer da bismo pojednostavnili određivanje najveće vrijednost ekvivalentnog naprezanja, odnosno određivanje kritičnog mjesto na cijevi. Odabrat ćemo vanjski promjer puta veći od debljine stijenke cijevi, tj. D = s = mm. Slijedi da su komponente naprezanja na unutrašnjoj i vanjskoj stijenci: Studij strojarstva 7

74 τ 6 = r = π 96 / ( ) ( r ) ( r ) = = = = ( ) ( r ) τ ( r ),8 r N/mm ,74 N/mm, 6 99,68 N/mm. 6 τ = r = 4 4 π 96 /,496 r N/mm. = 48 = 9,8 N/mm, = 6 = 49,76 N/mm. 96 ϕ = = 4 N/mm. (5.49) Ekvivalentno naprezanje ćemo izračunati u četiri točke, A, B, C i D, kako je prikazano na Slici 5.4. Komponente naprezanja u točki A su: ( ) ( ) A r = 6 = 99, 68 N/mm, τ r = 6 = 49, 76 N/mm, ϕ = 4 N/mm. (5.5) Ove su komponente u jednoj ravnini pa ćemo glavna naprezanja izračunati prema: + ϕ ϕ 99, ,68 4, = ± + τ = ± + ' ( ) ' ( ) ' ', 49,76. = 79,84 ± 9,8 N/mm = 95, 9 N/mm, = 7, 64 N/mm. U točki A je na trećoj plohi naprezanje jednako nuli, pa su glavna naprezanja u toj točki: (5.5) = 95,9 N/mm, =, = 7, 64 N/mm. (5.5) Ekvivalentno naprezanje prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja je za točku A: A ekv, NPN = = 67, 54 N/mm. (5.5) Ekvivalentno naprezanje prema teoriji najveće gustoće distorzijske energije (HH) izračunavamo prema: ekv = ( ) + ( ) + ( ), (5.54) pa je u točki A ekvivalentno naprezanje prema HH teoriji: A ekv, HH = ( 95,9) ( 7, 64) ( 7, 64 95,9), N/mm. + + = Komponente naprezanja u točki B su: ( ) ( ) (5.55) B r = 48 = 59,74 N/mm, τ r = 48 = 9,8 N/mm, ϕ = 4 N/mm. (5.56) Slika 5.4. Raspodjela naprezanja uslijed savijanja Ove komponente nisu u jednoj ravnini pa ćemo glavna naprezanja izračunati prema: 74 Veleučilište u Karlovcu

75 + ϕ ϕ 59, ,74 4, = ± + τ = ± + ' ( ) ' ( ) 9,8. = 59,87 ± 55, 98 N/mm = 96, N/mm, = 5,85 N/mm. ' ', Na trećoj plohi u toj točki je glavno naprezanje jednako, pa slijede glavna naprezanja: (5.57) = 96, N/mm, = N/mm, = 5,85 N/mm. (5.58) Ekvivalentno naprezanje prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja je za točku B: B ekv, NPN = =, 96 N/mm, (5.59) a ekvivalentno naprezanje prema HH teoriji je: B ekv, HH = ( 96,) ( 5, 85) ( 5,85 96,) 74, 7 N/mm. + + = (5.6) Komponente naprezanja u točki C su: ( ) ( ) C r = 48 = 59,74 N/mm, τ r = 48 = 9,8 N/mm, ϕ = 4 N/mm. (5.6) Ove komponente nisu u jednoj ravnini pa ćemo glavna naprezanja izračunati prema + ϕ ϕ 59, , 74 4, = ± + τ = ± + ' ( ) ' ( ) 9,8. = 99,87 ±, 94 N/mm =,8 N/mm, = 4, 7 N/mm. ' ', Na trećoj plohi u toj točki je glavno naprezanje jednako, pa slijede glavna naprezanja: (5.6) =,8 N/mm, = N/mm, = 4,7 N/mm. (5.6) Ekvivalentno naprezanje prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja je za točku C: C ekv, NPN = = 67, 88 N/mm. (5.64) a ekvivalentno naprezanje prema HH teoriji je: C ekv, HH = (,8) ( 4, 7) ( 4, 7,8) 56, 7 N/mm. + + = (5.65) Komponente naprezanja u točki D su: ( ) ( ) D r = 6 = 99, 68 N/m m, τ r = 6 = 49, 76 N/m m, ϕ = 4 N /m m. (5.66) Ove su komponente u jednoj ravnini pa ćemo glavna naprezanja izračunati prema: + ϕ ϕ 99, ,68 4, = ± + τ = ± + ' ( ) ' ( ) 49,76. = 9,84 ± 69, 7 N/mm = 89, 54 N/mm, = 49,86 N/mm. ' ', U točki D je na trećoj plohi naprezanje jednako nuli, pa su glavna naprezanja u toj točki: (5.67) = 89,54 N/mm, =, = 49,86 N/mm. (5.68) Ekvivalentno naprezanje prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja je za točku D: D ekv, NPN = = 9, 4 N/mm. (5.69) a ekvivalentno naprezanje prema HH teoriji je: Studij strojarstva 75

76 C ekv, HH = ( 89, 54) ( 49,86) ( 49, 86 89, 54) 7, 4 N/mm. + + = (5.7) Uspoređujući ekvivalentno naprezanje u sve četiri točke prema obje teorije, možemo zaključiti da je najveće ekvivalentno naprezanje u točki A. o nam može poslužiti kao smjernica za još kraće određivanje kritičnog mjesta na cijevi opterećenoj raznim opterećenjima. Naime, ekvivalentno naprezanje je tim veće što je veća razlika normalnih naprezanja na različitim presjecima, u nekoj točki. Pod razlika podrazumijevamo veću razliku vrijednosti na način da postoje pozitivne i negativne normalne komponente na presjeka u nekoj točki. U točki A je jedno normalno naprezanje negativno, a drugo pozitivno. U točki D jesu iste apsolutne vrijednosti tih komponenata naprezanja, ali su oba istog predznaka, pa je i ekvivalentno naprezanje manje. Nadalje ćemo izračunavati komponente naprezanja, zatim glavnih i ekvivalentnog naprezanja za različite promjere cijevi i pokušati odrediti graničnu vrijednost promjera pri kojem je zadovoljen uvjet čvrstoće. Zadovoljavajuća točnost za određivanje promjera je razlika od % ekvivalentnog naprezanja u odnosu na ušteno. Rezultate izračuna je najjednostavnije prikazati u tablici, što je prikazano u ablici 5.. D, mm, N/mm ablica 5.. Usporedba ekvivalentnih naprezanja za različite geometrije cijevi ϕ, N /m m τ, N/mm 5 -, 5,5 9,6-6,6 7, 47, ,8 5, 4-4,9 9,,, N/mm, 9,99-58,7 88, -78,6 96,6-55,7 97,4-5,, N/mm ekv, NPN ekv, HH, N/mm 49,7 8,9 66,9 44,6 5,,6 47,6 Ovdje smo tražili promjer cijevi za koji je zadovoljen uvjet čvrstoće za obje teorije. Iz ablice je vidljivo da je uvjet čvrstoće prema teoriji HH zadovoljen za promjer cijevi od malo manje od mm, tj. za mm je zadovoljen, dok prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja to je zadovoljeno tek za 4 mm. Primjer 5.4. Prostorni konzolni nosač opterećen silama. Na Slici 5.5. prikazan je nosač načinjen od cijevi promjera D / d opterećen silama. Odrediti promjer cijevi ako je debljina stijenke s = 4, prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja. Zadano: F = 5 N, F = N, L = mm, L = mm, L = 4 mm. Budući da je ovo zadatak iz Primjera 4.. iskoristit ćemo rješenje za dijagrame momenta savijanja i uvijanja i uzdužne sile. kako je prikazano na Slici 4.. Prvi mogući kritični presjek je označen na Slici 5.5. slovom A, te tamo izračunavamo rezultatni moment savijanja i uvijanja: = F L = 4 = 4 Nmm, = F L = 5 4 = 6 Nmm. A A z ( ) ( ) A A A s z = + = = 7 Nmm. (5.7) Drugi mogući kritični presjek je označen na Slici 5.5. slovom B, te tamo izračunavamo rezultatni moment savijanja i uvijanja: 76 Veleučilište u Karlovcu

77 = F L = 5 = Nmm, = F L = 5 4 = 6 Nmm. B B z ( ) ( ) B B B s z = + = + 6 = 678 Nmm. = F L = 5 4 = 6 Nmm. B (5.7) F F L z L L F F Slika 5.5. Prostorni konzolni nosač reći mogući kritični presjek je označen na Slici 5.5. slovom C, te tamo izračunavamo rezultatni moment savijanja i uvijanja: = F L F L = 5 = 7 Nmm. C C z ( ) ( ) = F L = 5 4 = 6 Nmm. C C C s z = + = = 9 Nmm. = F L = 4 = 4 Nmm. C (5.7) Uspoređujući iznose momenta savijanja i uvijanja u odabranim presjecima, uzimajući pritom u obzir jednadžbu za izračun ekvivalentnog momenta (5.8) prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja, presjek C ima najveći ekvivalentni moment, iznosa: ( s ) ( ) C C C ekv = + = = 5 Nmm. (5.74) Dimenzioniranje konzole se nadalje provodi prema jednadžbi (5.9) pa slijedi: π ( D D ) ( D D ) ( 8) ( 8) 5 D D π ekv > > = 465, mm. (5.75) U jednadžbi (5.75) nije lako izraziti vanjski promjer D eksplicitno, pa ćemo koristiti princip pokušaj pogreška za pronalaženje prihvatljivo približne vrijednosti za promjer, koje je prikazano: ( ) ( ) ( ) ( ) D = D D D = mm ( 8) / 99 mm. D = D D D = mm ( 8) / 6766 mm mm ( 8) / 7786 mm. D = D D D = mm ( 8) / mm. D = D D D = Iz jednadžbi (5.76) je vidljivo da je zadovoljavajuće točna vrijednost za vanjski promjer D = 45 mm. (5.76) Studij strojarstva 77

78 Primjer 5.5. Idealno vratilo Josip Hoster: ČVRSOĆA II Na Slici 5.6. prikazano je vratilo promjenjivog promjera d s užetnicama. Užetnicom B, promjera D, dovodi se snaga P. Zanemarujući gubitke, užetnicom C, promjera D, ta se snaga odvodi. Odrediti promjere vratila prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja prema kriteriju idealnog vratila. Zadano: F D D L L L = 5 N, = mm, = mm, = 5 mm, = 5 mm, = 45 mm, = 5 N/mm. Slika 5.6. Vratilo opterećeno silama Sila F stvara moment uvijanja koji uravnotežuje sila F. Iz uvjeta ravnoteže momenta uvijanja možemo izračunati silu F prema: D D D Σ = F = F F = F = 5 = N. (5.77) D Reakcije u ležajevima u Oz i O su: F = F F + F =. z z z A D A z = F L + FD L =. (5.78) ( ) z F = F L / L = 5 5 / 45 = 5 N. D z z F = F F = 5 5 = N. A D A D A z F = F F + F =. = F L + F L =. D ( ) F = F L / L = 5 / 45 = 666,6 N. D F = F F = 666, 6 =, N. A D z ( ) ( ) ( ) ( ) D D D F = F + F = 666,6 + 5 = 74 N. z ( ) ( ) ( ) ( ) F = F + F =, + = 666,6 N. A A A (5.79) (5.8) Na osnovi izračunatih reakcija u ležajevima možemo izračunati momente savijanja i uvijanja po vratilu, prikazano na Slici 5.7. U kontekstu optimiranja strojnih dijelova, prvenstveno uštede materijala, možemo izračunati promjer vratila kao funkciju koordinate (naravno, u konačnom skupu točaka, npr. 5 do točaka), i to koristiti kao temelj za konstruiranje vratila minimalne mase. Drugi aspekt optimiranja je tehnologičnost izrade, i sama cijena uslijed potrebnih načina i količine obrade, odvajanjem čestica ili deformiranjem, što sve nije uzeto u obzir u ovom proračunu. Idealno ovdje služi za isticanje principa određivanja promjera vratila, za određeno mjesto uzduž vratila, takvog da je najveće naprezanje (ili ekvivalentno) jednako uštenom, tj. materijal je iskorišten svugdje najbolje moguće. Prema teoriji najvećeg posmičnog naprezanja računamo ekvivalentni moment, pa iz te vrijednosti promjer. 78 Veleučilište u Karlovcu

79 Slika 5.7. Dijagrami momenata savijanja i uvijanja za vratilo Za svaku odabranu točku tražit ćemo da je ispunjen uvjet čvrstoće: π d = = = + = =. (5.8) π π ekv ekv ekv ekv ekv s d d Na mjestu djelovanja reakcija u ležajevima nema savijanja, no, postoji posmično naprezanje uslijed poprečne sile, što znači da će kriterij za dimenzioniranje tog promjera biti najveće posmično naprezanje. Raspodjela posmičnog naprezanja po okruglom presjeku je prema [] parabolična, s najvećom vrijednosti τ = 4 F / A. Postavit ćemo uvjet da je najveće posmično naprezanje manje od uštenog τ, koje za ma R duktilne materijale možemo u nedostatku točnijih podataka uzeti prema [] τ = /. Karakteristične točke za izračun promjera idealnog vratila su mjesta ležaja, ili prijelaza s ležajnog rukavca na širi promjer, mjesto početka djelovanja momenta uvijanja, mjesto najvećeg momenta savijanja itd. S proračunatih devet promjera možemo nacrtati idealno vratilo prema zadanim podacima, koje je prikazano na Slici 5.8. Na Slici 5.8. a) prikazano je idealno vratilo u mjerilu. Radi isticanja skoka u promjeru na mjestu uvođenja momenta uvijanja na sredini uženice, Na Slici 5.8. b) je prikazano idealno vratilo s promjerima dvostruko uvećanim. Izraženiji skok u promjeru je vidljiv na = 5 mm, sredini užetnice B, gdje je veći moment uvijanja u odnosu na moment savijanja. aj je skok manje izražen na = 5 mm, sredini užetnice C, gdje je moment savijanja značajnije veći od momenta uvijanja. Promjeri po odabranim mjestima su: Studij strojarstva 79

80 R R = + τ z = τ = A =. A R + = = = π π 5 s s 5 s s 5 ekv, 5+ s,5+,5+ d 4 F 8 F F 666,6 6,4 mm. π d 8 = 5 > d > d > = 7,8 mm. π 5 π π d 5 = 5 > d > d > =, 6 mm. π 5 π ( ) ( ) ( ) ( ) = + = = 95 Nmm. π d 95 = 5 > d > d > = 7, 5 mm. π 5 π ekv ekv ( ) ( ) ( ) ( ) ekv, s,, ekv 5 = > d > = + = = 5 Nmm. π d ekv d > = ( ) ( ) ( ) ( ) ekv,5- s,5-,5- ekv ekv s s 5+ π 5+ 5 π 5 π 8, mm. = + = = 79 Nmm. π d 79 = 5 > d > d > = 9, 5 mm. π 5 π π d 48 = > d > d > = 8,7 mm. 5 π π d 8 = 5 > d > d > =, mm. π 5 π s s F 8 F R R 9 = 45 τ z = τ = A =. A d F 74 R 45 = = = π π 5 6,8 mm. (5.8) (5.8) a) b) Slika 5.8. Idealno vratilo, a) realan prikaz, b) promjeri dvostruko uvećani 8 Veleučilište u Karlovcu

81 6. DINAIČKA ČVRSOĆA Josip Hoster: ČVRSOĆA II Pod pojmom promjenjivo opterećenje podrazumijeva se vremenski promjenjivo opterećenje, ali je možda i bolje reći takvo opterećenje koje uzrokuje vremenski promjenjivo naprezanje u materijalu. Primjerice, osovina na dva ležaja, prikazana na Slici 6.., koja rotira i opterećena je stalnom poprečnom silom na sredini, ima stalno opterećenje, ali promjenjivo naprezanje u nekoj točki materijala. Na Slici 6.. prikazana je promjena naprezanja u nekoj točki na obodu osovine koja rotira. Budući da se položaj točke A mijenja u odnosu na neutralnu os u ravnini Oz, mijenja se naprezanje po iznosu i predznaku. Na Slici 6.. a) je točka A u položaju A, pa je udaljenost od neutralne osi, stoga je i naprezanje, što je predstavljeno točkom u ishodištu na Slici 6.. Kako rotira osovina, točka A mijenja položaj prema gore, i tako se udaljava od neutralne osi, pa je u nekom trenutku na najvišem položaju od neutralne osi, položaj A, te stoga i na najvećem naprezanju, prema Slici 6.. b). Daljnjom rotacijom smanjuje se udaljenost točke A od neutralne osi, koja je predstavljena točkom A, pa se naprezanje približava, prema Slici 6.. c). Nakon toga rotiranjem osovine se točka A udaljava od neutralne osi u suprotnom smjeru, pa naprezanje raste i ima suprotni predznak, do točke A 4, Slika 6.. d). Dakle, iako je opterećenje na osovini konstantno, naprezanje se u materijalu može mijenjati tijekom vremena. a) b) c) d) Slika 6.. Rotiranje osovine na dva oslonca: a) položaj, b) položaj 9, c) položaj 8, d) položaj 7 Slika 6.. Promjena naprezanja pri rotiranju osovine na dva oslonca Na Slici 6.. a) prikazan je lom koljenastog vratila motora s unutrašnjim izgaranjem. amniji dio površine loma je nastao kroz cikluse naprezanja, a počinje s ruba provrta. Na Slici 6.. b) prikazan je lom pedale bicikla. Lom počinje s površine na kojoj je naprezanje uslijed savijanja bilo najveće, a postojala je početna Studij strojarstva 8

82 greška u materijalu ili na površini uslijed obrade. Na Slici 6.. c) prikazan je lom spojnice u klipnom stroju. Pukotina se širila od vanjske površine kao mjesta s najvećim naprezanjem i blizini uzročnika koncentracije naprezanja. Na Slici 6.. d) prikazan je lom štapa za podizanje čekića u kovačkom stroju. aj je štap opterećen aksijalno pa je površina cikličnog oštećenja u unutrašnjosti presjeka, jer je jednako vjerojatno da se pukotina počne širiti ili s površine ili iz sredine, jer je nominalno naprezanje svugdje po presjeku jednako, koncentracija naprezanja dolazi od mikronepravilnosti u građi materijala. Više detalja čitatelj može pronaći u [7]. a) [] b) [] c) [9] d) [9] Slika 6.. Lomovi uslijed umora materijala: a) koljenasto vratilo, b) pedala, c) spojnica, d) štap čekića 6.. Ciklus naprezanja Slika 6.4. Ciklus naprezanja Karakteristične veličine u svakom ciklusu naprezanja, prikazanom kao sinusoida na Slici 6.4., su srednja vrijednost, m, amplituda, a, te maksimalna i minimalna ma, min. Period ciklusa naprezanja je, no, ispitivanja dinamičke čvrstoće materijala su pokazala da frekvencija promjene naprezanja ne utječe značajno na čvrstoću, stoga nije označen kao utjecajna veličina. Omjer najvećeg i najmanjeg naprezanja označen je kao faktor asimetričnosti ciklusa: 8 Veleučilište u Karlovcu

83 r min =. (6.) U slučaju rotiranja deformiranog štapa, naprezanje u nekoj točki materijala na obodu štapa se mijenja harmonijski, sinusoidalno, opisano na Slici 6.., pri čemu je srednja vrijednost ciklusa naprezanja m =, a = I r. amplituda a ( / ) ma 6.. Wöhlerov dijagram Prvi je osjetljivost na promjenjivo naprezanje primijetio i mjerio A. Wöhler, 859. Primijetio je pojavu pucanja na osovinama vagona, koje su pucale pri manjim opterećenjima od statičke čvrstoće. Proveo je mjerenja na uzorcima s različitim amplitudama naprezanja i mjerio broj ciklusa do loma. a mjerenja prikazana u dijagramu zovemo Wöhlerov dijagram, prikazan na Slici 6.5. Za čelik se pokazalo da nakon oko 6 ciklusa naprezanje koje može izdržati više ne opada (za čelik gotovo uopće ne opada, dok za legure obojenih metala još uvijek opada, ali je dogovorno postavljen taj broj), pa je to prozvano trajnom dinamičkom čvrstoćom. Za aluminijske i bakrene legure taj broj je oko 9. Krivulja koja je redovno prikazana u Wöhlerovom dijagramu predstavlja vrijednosti za koje je 95% ispitnih uzoraka izdržalo ispitivanje, budući da uvijek postoji rasipanje rezultata ispitivanja. Uobičajeni Wöhlerov dijagram je prikazan na Slici 6.5. a). Oznaka čvrstoće materijala ima dodatne oznake, tako da je donji indeks r oznaka faktora asimetričnosti ciklusa, a gornji indeks d označava dinamička kako bismo razlikovali tu vrijednost od bilo koje statičke vrijednosti naprezanja. Kada materijal, odnosno strojni dio, doživi lom uslijed promjenjivog naprezanja, kažemo da je došlo do loma uslijed umora (stariji izraz zamora) materijala [7, 6]. Pojednostavljeno rečeno, lom uslijed umora materijala predstavlja širenje, odnosno napredovanje oštećenja kroz materijal, u obliku pukotine, do trenutka kada preostali nosivi materijal presjeka ne može podnijeti nastalo naprezanje i nastaje nagli lom. U materijalu uvijek postoje nesavršenosti građe, kao što su u čelicima uključine, dislokacije, šupljine, pukotine, itd. Na mjestima lokalnih koncentracija naprezanja uslijed nesavršenosti građe nastaju uvjeti za širenje tog oštećenja svakim ciklusom naprezanja. Ovisno o veličini naprezanja, otpornosti materijala širenju oštećenja, karakteristici ciklusa naprezanja i sl. mogu se sve nesavršenosti građe širiti, i spajati u veća oštećenja, koja u konačnici dovode do loma dijela. Budući da je širenje oštećenja polagano, jer se broj ciklusa naprezanja do loma broji u tisućama, do milijuna ili čak milijardi, ovisno o materijalu i strojnom dijelu, to napredovanje po ciklusu je relativno malo. Površina koja je povezana sa širenjem oštećenja kroz cikluse naprezanja je obično svijetla, zrcalna, osim eventualno u agresivnim atmosferama, kada svaka slobodna površina može oksidirati. Površina koja je vezana s naglim lomom je obično gruba, nezrcalna. Jedno ili više mjesta (točaka) se nazire iz presjeka kao mjesto(a) početka širenja oštećenja. Ispitivanja materijala pokazala su da je najmanja dinamička čvrstoća za simetrični ciklus, s r = -. U Wöhlerovom dijagramu je, ako drugačije nije naznačeno, prikazana dinamička čvrstoća za simetrični ciklus, r = -. Na Slici 6.5. b) prikazan je očitavanje vrijednosti uštenog naprezanja u materijalu za određeni broj ciklusa do loma (ovo nazivamo vremenskom čvrstoćom, budući je prihvatljivo da strojni dio izdrži samo određeni broj ciklusa, N). Na Slici 6.5. c) prikazan je Wöhlerov dijagram u log log mjerilu. U tom mjerilu je istaknuta vrijednost prijelaza tzv. d niskocikličkog područja, do broja ciklusa N. Vremensku čvrstoću označavamo s r( N ). Za bilo koji drugi ciklus, postoje druge vrste dijagrama iz kojih se mogu očitati svojstva materijala za određeni ciklus. Jedan takav dijagram je Haighov dijagram. Drugi najčešće korišteni dijagram, dostupan u raznoj literaturi je Smithov dijagram. Studij strojarstva 8

84 a) b) c) Slika 6.5. Wöhlerovi dijagrami: a) oznaka dinamičke čvrstoće, b) oznaka vremenske i dinamičke čvrstoće, c) u log-log mjerilu 6.. Haighov dijagram Za slučajeve kada je ciklus asimetričnosti ciklusa različite od r = -, jedan od dijagrama iz kojega je moguće očitati podatak o dinamičkoj čvrstoći materijala je Haighov dijagram [7, 6], prikazan na Slici 6.6. Krivulja na Slici 6.6. a) je granična vrijednost, tj. funkcija uštene amplitude za određeno srednje naprezanje koje materijal može izdržati. No, kako u strojnim elementima ne želimo pojavu plastičnog tečenja (deformacije), tako ćemo se ograničiti od određenih stanja naprezanja koja uzrokuju pojavu plastičnog tečenja, u kontekstu Haighovog dijagrama, kako je prikazano na Slici 6.6. b). Šrafirano područje je predstavlja ustiva stanja naprezanja, tako da ne dođe do loma uslijed umora materijala, ni pojave plastičnog tečenja. Naprezanje e predstavlja granicu tečenja, odnosno elastičnosti. Naprezanje predstavlja statičku čvrstoću. Za točno opisivanje amplitude u Haighovom dijagramu su potrebna brojna ispitivanja, koja su vremenski zahtjevna, pa se stoga pojednostavljuje dijagram, a jedan od načina pojednostavljenja je prikazan na Slici 6.6. c), s manje podataka. Pojednostavljenje znači da nije ustiva pojava plastične deformacije, znači granica ukupnog naprezanja je granica tečenja, koje uz statičku čvrstoću i dinamičku čvrstoću za simetričan ciklus predstavlja sve vrijednosti koje su potrebne. a) b) c) Slika 6.6. Haighovi dijagrami: a) osnovni prikaz, b) označeno šrafirano područje bez plastične deformacije, c) shematiziran 84 Veleučilište u Karlovcu

85 6.4. Smithov dijagram Drugi, i češći u literaturi, dijagram dinamičke čvrstoće materijala za slučajeve kada faktor asimetričnosti ciklusa pokriva vrijednosti različite od r = -, Smithov dijagram [7, 6], prikazan je na Slici 6.7. Gornja = f koje može materijal izdržati beskonačno krivulja predstavlja funkciju najvećeg naprezanja ma ( m ) ciklusa, dok donja krivulja predstavlja funkciju najmanjeg naprezanja f ( ) = koje može materijal min m izdržati za neko srednje naprezanje. Smithov dijagram se također pojednostavljuje radi smanjenja broja ispitivanja, a jedan od načina pojednostavljenja je prikazan na Slici 6.8. Obično se u jednom shematiziranom Smithovom dijagramu prikazuju tri krivulje, za aksijalno opterećenje, savijanje i uvijanje. Presjecište vertikalne linije paralelne s vertikalnom osi na nekom mjestu srednjeg naprezanja daje dva presjecišta, s debelim kosim crtama u dijagramu. a presjecišta predstavljaju najveće i najmanje ustivo naprezanje u materijalu koje će materijal izdržati da ne dođe do loma. Detaljnije o primjeni Smithovog dijagrama će biti riječi u primjerima. Slika 6.7. Smithov dijagram Slika 6.8. Shematiziran Smithov dijagram 6.5. Koncentracija naprezanja. Dopušteno naprezanje Dopušteno naprezanje u materijalu nekog dinamički opterećenog strojnog dijela ne ovisi samo o vrsti materijala i ciklusu naprezanja, nego i mnogo ovisi o geometriji dijela, površinskoj obradi, odnosno stanju Studij strojarstva 85

86 površine, utjecaju atmosfere, odnosno okoline, veličini, temperaturi i mnogim drugim utjecajnim veličinama. Najznačajniji utjecajni parametar u uobičajenim uvjetima rada je geometrija dijela, odnosno koncentracija naprezanja [7, 9, 6,, ] uslijed geometrije. Kao najjednostavniji primjer za koncentraciju naprezanja koristi štap jednolikog okruglog presjeka, opterećen silama na krajevima, kako je prikazano na Slici 6.9. Slika 6.9. Raspodjela naprezanja u štapu: a) jednolika raspodjela, b) nejednolika raspodjela zbog koncentracije naprezanja a) b) c) Slika 6.. Raspodjela naprezanja u štapu: a) jednolika raspodjela, b) raspodjela naprezanja na naglom proširenju A-A, c) norminalno i maksimalno naprezanje Na Slici 6.9. a) tanke crte predstavljaju zamišljene silnice, tj. raspodjelu naprezanja u materijalu, koje su ravnomjerne po presjeku na cijelom štapu, ako sile ne djeluje koncentrirano na krajevima, prema St Venantovom principu []. Na mjestu promjene geometrije, Slika 6.9 b), nastaju uvjeti za zgušćivanje silnica zbog nagle promjene geometrije štapa. Neposredno prije naglog proširenja je raspodjela naprezanja jednaka kao na istom mjestu jednolikog štapa, dok najveća promjena nastaje na mjestu početka promjene promjera, koje možemo zvati korijen prijelaza. Na Slici 6.. prikazana je raspodjela naprezanja u slučaju štapa jednolikog presjeka a) i naglog proširenja b). Najveće naprezanje na kritičnom mjestu je nazvano vršno naprezanje ma, na Slici 6.. c), koje je za neki faktor veće od prosječnog naprezanja, označenog sa n, koje bismo mogli izračunati prema n = F / A. Vršno naprezanje, označeno ma, je za faktor koncentracije naprezanja veće od nominalnog ili srednjeg naprezanja ma = α k n. Ovdje je α k nazvan faktor koncentracije naprezanja. Osnovni način određivanja faktora koncentracije naprezanja za neki materijal i strojni dio kombinirano je mjerenjem, usporedbom dinamičkog naprezanja koje izdrži ispitni uzorak bez geometrijske koncentracije naprezanja, i onog s geometrijskom koncentracijom naprezanja, prema: Ovdje sa α k, ef α ( uzorka bez koncentracije naprezanja ) ( uzorka s koncentracijom naprezanja ) d k, ef =. (6.) d označavamo tzv. efektivni ili stvarni faktor koncentracije naprezanja, kao jedini mjerodavni, u kontekstu, za takvu geometriju strojnog dijela od tog materijala. Budući da su mjerenja općenito skuplja od analitičkog ili numeričkog rješenja jednadžbi koje opisuju raspodjelu i koncentraciju naprezanja, u literaturi je najčešće prikazan faktor koncentracije naprezanja dobiven analizom (analitički ili numerički, ponekad eksperimentalno fotoelasticimetrijom) parametarski opisanog strojnog dijela, koji zovemo teorijski faktor koncentracije naprezanja α k,t. ako u literaturi imamo dostupne dijagrame teorijskog faktora koncentracije naprezanja kao funkcije parametara omjera promjera i radijusa prema promjeru. Budući da različiti materijali nisu jednako osjetljivi na istu geometrijsku promjenu, npr. prijelaz sa d na d, potrebno je uvesti i dodatni parametar u izračunu, odnosno procjeni faktora koncentracije naprezanja, koji zovemo zarezna osjetljivost, q. U literaturi su dostupni podaci za zareznu osjetljivost materijala od tabličnog prikaza u kojem je prikazano područje u kojem je vrijednost q za neki materijal ili grupu materijala, dok u drugoj literaturi zarezna osjetljivost izračunata iz čvrstoće materijala jednadžbom. Zarezna 86 Veleučilište u Karlovcu

87 osjetljivost se koristi za procjenu efektivnog faktora koncentracije naprezanja prema tzv. Neuberovoj [9,, ] jednadžbi: α k,ef ( αk,t ) Zareznu osjetljivost q izračunavamo prema Neuberu pomoću jednadžbe: gdje su r radijus zakrivljenosti prijelaza i polinomom prema: = + q. (6.) q = + a r, (6.4) a karakteristika (konstanta) materijala i aproksimirana je ( ) ( ) 5 8 a =, 458, 78 +, 587, 67, (6.5) gdje je statička čvrstoća izražena u kpsi, kpsi = 6,895 Pa. Jednadžba (6.5) daje a u in. Za izračunavanje zarezne osjetljivosti za niskolegirane čelike pri uvijanju, koristi se jednadžba (6.5), s promjenom vrijednosti čvrstoće dodavanjem kpsi čvrstoći. Slika 6.. Zarezna osjetljivost prema H. Neuberu [9] za savijanje i osno opterećenje, r = - Studij strojarstva 87

88 Slika 6.. Zarezna osjetljivost prema H. Neuberu [9] za uvijanje, r = - Koncentracija naprezanja je prvi značajan faktor koji treba uzeti u obzir pri određivanju uštenog naprezanja dinamički opterećenog strojnog dijela. Druga dva faktora koja treba uzeti u obzir u uobičajenim uvjetima pogona su utjecaj kvalitete ili stanja površine [6] k i utjecaj veličine dijela [6] k. Površina dijela određuje svojim zarezima uslijed obrade, brazdama i svim nepravilnostima koncentraciju naprezanja pri površini. Što je materijal čvršći, tim više je osjetljiv na površinsku geometriju, koju u nekim dijagramima karakterizirana dubinom brazde R t, kako je prikazano na Slici 6.. Slika 6.. Faktor površinske obrade [6] Utjecaj veličine dijela je iskazan kroz mjere poprečni presjek. U dijagramu na Slici 6.4. na apscisi je prikazan parametar promjer d. o je vezano za upisani krug u presjek dijela, što naznačuje kolika je najmanja mjera presjeka. Što je poprečni presjek veći, to je dinamička čvrstoća manja. 88 Veleučilište u Karlovcu

89 Slika 6.4. Faktor veličine dijela [6] Uzevši u obzir tri glavna utjecajna faktora na dinamičko naprezanje koje može podnijeti strojni dio, preostaje još faktor sigurnosti f s, pa možemo postaviti jednadžbu uštenog dinamičkog naprezanja u materijalu strojnog dijela: k k =, (6.6) d, d, r, r fsα k,ef 6.6. Dimenzioniranje dinamički opterećenih strojnih dijelova Proporcionalno opterećenje Prilikom dimenzioniranja strojnih dijelova dinamički opterećenih, prvi korak je određivanje ciklusa naprezanja. Proporcionalno opterećenje predstavlja opterećenja strojnog dijela koji uzrokuju naprezanja za koja pravci glavnih naprezanja ne mijenjaju omjere niti smjer. U slučaju jednostavnih opterećenja, npr. samo osno opterećenje, samo savijanje, samo uvijanje, koja se mijenjaju u vremenu, kriterij dinamičke čvrstoće [7] se može prikazati prema: <, (6.7) d, ma r, d, gdje je ma najveće naprezanje koje će se pojaviti u strojnom dijelu, r, ušteno naprezanje u materijalu strojnog dijela za neki ciklus naprezanja karakteriziran veličinom r, za neku vrstu opterećenja, koje može biti aksijalno, savijanje ili uvijanje. Kao primjer složeno opterećenog dijela je prikazan proporcionalno opterećen štap, na Slici 6.5. a). Štap je opterećen uzdužnom silom i momentom uvijanja koji se mijenjaju na isti način, istom frekvencijom, u ovom primjeru prema zakonu sinusoide, prikazano kroz komponente naprezanja na Slici 6.5. b). Karakteristika ovakvog načina opterećivanja je da se pravci i omjeri glavnih naprezanja ne mijenjaju. Strojne dijelove dinamički proporcionalno opterećene dimenzioniramo provjerom kriterija čvrstoće u kritičnom presjeku, odnosno točki s najvećim opterećenjem, koncentracijom naprezanja, u kojoj je najveće naprezanje. Izračunava se ekvivalentna srednja vrijednost i ekvivalentna amplituda naprezanja prema nekoj od teorija čvrstoće, teoriji najvećeg posmičnog naprezanja ili teoriji najveće gustoće distorzijske energije, prema [6]: a,ekv = (,a,a ) (,a z,a ) ( z,a,a ) 6 ( τ,a τ z,a τ z,a ) = + + = + +. m,ekv,m,m,m,m,m z,m (6.8) U izrazu (6.8) oznaka a u indeksu komponente naprezanja znači amplituda te komponente, a indeks m srednja vrijednost. Dopušteno naprezanje u materijalu se za proračun dinamičke čvrstoće očitava iz najčešće shematiziranog Smithovog dijagrama. ako očitavamo uštenu vrijednost za materijal, kada je površina polirana, ne postoji koncentracija naprezanja, strojni dio je debljine mm, jer je tako provedeno ispitivanje. Dopušteno naprezanje za strojni dio se razlikuje od te vrijednosti jer strojni dio ima površinu koja može biti grublja, može imati veću debljinu od mm, i može biti u nepovoljnim radnim uvjetima, primjerice agresivna atmosfera, povišena ili snižena temperatura, itd., što treba uzeti u obzir faktorima prema literaturi. Studij strojarstva 89

90 a) b) Slika 6.5. Štap proporcionalno opterećen: a) geometrija i opterećenje, b) komponente naprezanja Neproporcionalno opterećenje U slučaju kombiniranih opterećenja, npr. osno opterećenje i uvijanje, savijanje i uvijanje, naprezanje u nekoj točki materijala ima više komponenata koje se ne mijenjaju nužno na isti način istovremeno [9]. Vratilo koje je opterećeno poprečnim silama i prenosi snagu pri rotaciji je opterećeno na savijanje i uvijanje, prikazano na Slici 6.6. a). Ako rotira stalnom brzinom vrtnje komponenta naprezanja uslijed savijanja se mijenja prema zakonu sinusoide, dok je komponenta naprezanja uslijed uvijanja, uz pretpostavku stalne snage, tj. momenta uvijanja, konstantna, prikazano na Slici 6.6. b). Bitna karakteristika ovakvog načina opterećenja je da se komponente naprezanja mijenjaju na različite načine, različitim frekvencijama, a stoga se i pravci glavnih naprezanja mijenjaju u ciklusu naprezanja. Kriterij dinamičke čvrstoće se može prikazati na više načina, prema različitim autorima. Neki od autora prema kojima se kriteriji čvrstoće nazivaju su Gerber, Goodman, Soderberg [9,, 9], itd. emelj za određivanje kriterija čvrstoće jesu teorije čvrstoće prema kojima izračunavamo ekvivalentno naprezanje, a ovdje ekvivalentnu srednju vrijednost i amplitudu naprezanja, i uspoređujemo ih s graničnim vrijednostima zasebno za srednju vrijednost i amplitudu. Ekvivalentni amplituda i srednje naprezanje računaju se prema teoriji HH na način: gdje su savijanja, uvijanja, s a a α k,ef s 6α k,ef a,ekv = a + a = + τ, π d π d s m m α k,ef s 6α k,ef m,ekv = m + m = + τ. π d π d s α procijenjeni efektivni faktor koncentracije naprezanja za savijanje, k,ef α procijenjeni efektivni faktor koncentracije naprezanja za uvijanje, k,ef m s srednja vrijednost momenta savijanja i, (6.9) a s amplituda momenta a amplituda momenta m srednja vrijednost momenta uvijanja. a) b) Slika 6.6. Štap neproporcionalno opterećen: a) geometrija i opterećenje, b) komponente naprezanja 9 Veleučilište u Karlovcu

91 Izvođenje jednadžbe za izračun promjera na osnovi opterećenja je temeljen na izračunu faktora sigurnosti f s, koji različiti autori računaju različito, odnosno, prema različitim vrijednostima karakterističnim za materijal. Ovdje će biti uzeta i prikazana samo najkonzervativnija teorija prema Soderbergu, za koju lom ispitnog uzorka (bez prethodne pojave plastičnog tečenja) nastupa ako je postignut uvjet: + =. (6.) a m d - e Zamjenjujući komponente naprezanja ekvivalentnim komponentama, faktor sigurnosti prema: a,ekv m,ekv d - e fs Uvrštavanjem (6.9) u (6.) i preuređivanjem, dobivamo: f s se računa + =. (6.) s a a s m m α k,ef s 6α k,ef α k,ef s 6α k,ef d = - d d e d d fs π π π π 6 s a a s m m 4( αk,ef s ) + ( αk,ef ) + 4( αk,ef s ) + d ( αk,ef ) = πd - e fs d 6 f s s a a s m m = 4 α d ( k,ef s ) + ( αk,ef ) + 4( αk,ef s ) + ( αk,ef ) π - e. (6.) Za česti slučaj opterećenja vratila pri čemu je naprezanje uslijed savijanja sinusoidalno, tj. možemo pisati a m a m da moment savijanja ima s = s, s =, a moment uvijanja stalan i vrijedi = i =, neki članovi u (6.) izostaju pa dobivamo: d α α s 6 fs k,ef s k,ef = + d π - e. (6.) Budući da u Soderbegovom kriteriju nije eksplicitno izračunavano ušteno naprezanje kao u (6.6) u kojem su uvršteni faktori utjecaja kvalitete površine i veličine dijela, koji oba smanjuju ušteno naprezanje, ili drugačije gledano, smanjuju mogućnost nošenja strojnog dijela, treba ih uzeti u obzir u jednadžbi (6.). Dopunjen Soderbergov kriterij je oblika: Primjer 6.. Vijci opterećeni aksijalno. d α α s 6 fs k,ef s k,ef = + d kkπ - e. (6.4) Ploča prema Slici 6.7. a) koja je spojena sa 6 jednoliko raspodijeljenih vijaka za nepomičnu okolinu, opterećena je dinamičkom silom. Vijci su načinjeni od materijala koji ima oznaku.9, a kritični dio geometrije je obrađen s R t = 8 µm, Slika 6.7. b). Poznata je dinamička čvrstoća materijala za simetričan ciklus pri savijanju. Potrebno je odrediti promjer struka vijaka φ d. Vijci imaju na krajevima fini metrički navoj Dk. Zadano: ( ) [ ], F t = F + F sin Ω t, F = 8 N, F = 8 N, = 48 Pa, f =, 5, D, 5 d. d s m a m a s Studij strojarstva 9

92 a) b) Slika 6.7. Ploča spojena vijcima za okolinu opterećena dinamičkom silom: a) geometrija i opterećenje, b) geometrija vijka Zarezno djelovanje na prijelazu sa struka vijka ( φ d ) na navoj ili na cilindrični dosjedni dio ( φ D ) je mjesto najvećeg vršnog naprezanja. Kao zadano slikom je najveći prijelazni radijus r = mm. Faktor koncentracije naprezanja ćemo odrediti pomoću teorijskog faktora koncentracije naprezanja iz dijagrama na Slici A.. i faktora zarezne osjetljivosti iz dijagrama na Slici 6.. Iz Slike A.. možemo očitati za pretpostavljenu geometriju D / d,5, r / d / 6 =,5 (prvi korak iteracije, pokušaj pogreška) da te vrijednosti izlaze iz prikazanog područja, pa ćemo za najbliže parametre uzeti da je: α q =. (6.5) k,t, 45,, 95 Efektivni faktor koncentracije naprezanja je nadalje prema (6.): α k,ef +, 95(, 45 ) =, 4. (6.6) Ostala dva utjecajna parametra su faktor kvalitete površine, koji je prema dijagramu sa Slike 6.. k,79. U prvom koraku izračuna promjera struka vijka pretpostavljamo da će promjer struka vijka biti oko mm, što znači da je promjer dosjednog dijela D oko 5 mm, za koji je faktor veličine dijela k, sa Slike 6.4. oko,95. aterijal vijka je jednostavno opterećen i napregnut, s ciklusom naprezanja karakteristike: Fmin 8 8 F r = = =,85 (6.7) F ma Budući da su poznati samo osnovni podaci o dinamičkoj čvrstoći materijala vijka, potrebno je konstruirati shematiziran Smithov dijagram. U oznaci čelika za vijke oblika. je prvi broj,, statička čvrstoća podijeljena sa, a drugi broj,, označava omjer granice elastičnosti i čvrstoće [], što znači da ovaj čelik ima statička svojstva = Pa, e =, 9 = 98 Pa. Shematiziran Smithov dijagram za taj materijal je prikazan na Slici 6.8. Slika 6.8. Shematiziran Smithov dijagram za čelik za vijke.9 Iz dijagrama na Slici 6.6. vidljivo je da je najveće naprezanje koje taj materijal može pri tom ciklusu d, a izdržati oko,85 8 Pa. Dopušteno naprezanje ćemo izračunati prema (6.6): 9 Veleučilište u Karlovcu

93 k k,79,95 = = 8 = 87 Pa.,5,4 d, a d, a,85,,85 fsα k,ef (6.8) Promjer struka vijka je prema (6.7): ma 4Fma d, a =,85, = d d = = 4,9 mm. (6.9) 6π d 6π 87 6π 87 Izračunavajući promjer navoja prema zadanoj Slici 6.7. b) D =, 5d =, 5 4, 9 = 6, 6 mm, možemo zaključiti da možemo odabrati promjer navoja D = 8 mm, jer je fini metrički navoj prvog reda prioriteta prema [] 8, promjera jezgre d 6,8 mm. Za odabrani navoj promjera 8 mm, promjer struka je d =,666 8 = 5, mm, što možemo zaokružiti na d = 5, mm. Ova je vrijednost vrlo bliska pretpostavljenoj za promjer struka, za koju su izračunati faktori koncentracije naprezanja i veličine dijela, pa stoga možemo zadržati odabrani promjer struka, jer je ionako povećan prema računski minimalnom. Prema [] za prijelazni radijus r veći od promjera struka ( φ d ) može se uzeti da je koncentracija naprezanja praktično iščezla, pa kada bi takav prijelazni radijus bio izrađen, vrijedilo bi da je α k,t, α k,ef =. Primjer 6.. Osovina opterećena stalnim silama. Osovina prema Slici 6.9. koja rotira oslonjena na dva ležaja, opterećena je stalnim silama. aterijal osovine je St4, a kritični dio geometrije je obrađen s R t = 6 µm. Poznata je dinamička čvrstoća materijala za simetričan ciklus pri savijanju. Potrebno je odrediti promjere osovine d, d, D, ako vrijedi da je d, s d =,8 D, d =, 7D. Zadano: F = N, = 7 Pa, = 4 Pa, f =,5. s Slika 6.9. Osovina na dva ležaja opterećena silama Sile F savijaju osovinu i osovina tako savijena rotira. Naprezanje u materijalu se mijenja prema zakonu sinusoide, i samo je jedna značajna komponenta naprezanja različita od nule. Srednja vrijednost naprezanja je, a amplituda naprezanja je određena jednadžbom / a = s W. jerodavno svojstvo materijala za d, s dimenzioniranje osovine je dinamička čvrstoća. Osovina je simetričan nosač, te su kritična dva presjeka, prvi je prijelaz sa d na D, a drugi prijelaz sa d na D. Prvi korak u dimenzioniranju je izračunati i nacrtati dijagram momenta savijanja, prikazan na Slici 6.. Slika 6.. Dijagram momenta savijanja osovine Faktor koncentracije naprezanja ćemo odrediti pomoću teorijskog faktora koncentracije naprezanja iz dijagrama na Slici A.. i faktora zarezne osjetljivosti iz dijagrama na Slici 6.. Iz Slike A.. možemo očitati Studij strojarstva 9

94 za pretpostavljenu geometriju D / d =,5, r / d / =,, D / d =,4, r / d / 5 =,6 (prvi korak iteracije, pokušaj pogreška): α ( ) α ( ), 6 d, q =, 7;,95 d, q =, 77. (6.) k,t k,t Efektivni faktor koncentracije naprezanja je nadalje prema (6.): α ( d ) α ( d ) +, 7(, 6 ) =, 4 ; +, 77(, 95 ) =, 7. (6.) k,ef k,ef Ostala dva utjecajna parametra su faktor kvalitete površine, koji je prema dijagramu sa Slike 6.. k,9. U prvom koraku pretpostavljamo da će promjer D biti oko 4 mm, i da će osovina biti izrađena obradom odvajanja čestica, prvenstveno tokarenjem iz takvog poluproizvoda šipke, što znači da je to mjerodavan promjer za cijelu osovinu, za koji je faktor veličine dijela k, sa Slike 6.4. oko,85. Dopušteno naprezanje ćemo izračunati prema (6.6): Promjer osovine je prema (6.7): k k,9,85 = = 7 = 6 Pa. ( d ) d, s d, s, fsαk,ef,5,4 k k,9,85 = = 7 = 5, Pa. ( d ) d, s d, s, fsαk,ef,5,7 5 5 πd π 6 π 6 s d, s ma =, = d d = = d d 8 π5, = = ( d ) 6,4 mm. ( ) 6,7 mm. (6.) (6.) Iz rješenja prvog koraka iteracije vidljivo je da je početna pretpostavka o veličini promjera značajno različita od izračunatog, što znači da treba provesti drugi korak iteracije s izmijenjenim vrijednostima za promjere prema izračunatima iz prvog koraka, jer će se promjenom pretpostavljenih promjera promijeniti i faktori koncentracije naprezanja, prema većim vrijednostima, a ušteno naprezanje biti manje. Za drugi korak iteracije je pretpostavka da je promjer poluproizvoda D = mm pa su teorijski faktor koncentracije naprezanja iz Slike A.. možemo očitati za pretpostavljenu geometriju D / d =,5, r / d / 8 =,8, D / d =,4, r / d / 7 =,8. α ( ) α ( ),5 d, q =, 7;, 45 d, q =, 77. (6.4) k,t k,t Efektivni faktor koncentracije naprezanja je nadalje prema (6.): α ( d ) α ( d ) +, 7(,5 ) =, 8 ; +, 77(, 45 ) =,. (6.5) k,ef k,ef Faktor veličine dijela k, sa Slike 6.4. je oko,7. Dopušteno naprezanje ćemo izračunati prema (6.6): Promjer osovine je prema (6.7): k k,9,7 = = 7 = 4 Pa. ( d ) d, s d, s, fsαk,ef,5,8 k k,9,7 = = 7 = 5,6 Pa. ( d ) d, s d, s, fsαk,ef,5, (6.6) 5 5 πd π 4 π 4 s d, s ma =, = d d = = d d 8 π5,6 = = ( d ) 7,5 mm. ( ) 7 mm. (6.7) 94 Veleučilište u Karlovcu

95 Sada možemo izračunati promjer dosjednog dijela osovine, prema d dobivamo D = d /,8 = 7 /,8 = 9 mm, a prema d dobivamo D = d /,7 = 7,5 /,7 = mm, što je vrlo blisko pretpostavljenoj vrijednosti D = mm. Bitno je istaknuti da je potrebno provesti provjeru zadovoljavanja kriterija čvrstoće nakon ovakvog zaokruživanja rezultata. U ovakvim primjerima više je utjecajnih veličina koje nelinearno ovise o promjeru, tj. geometriji, a i njihova kombinacija nije nužno linearna, pa mogu nastati značajne promjene u naprezanju malom promjenom geometrije. reba istaknuti i da su vrijednosti za faktore koncentracije naprezanja, veličine dijela i kvalitete površine očitani iz relativno malih dijagrama, te je greška očitanja ili razlučivosti veća od oko 5%. Stoga treba i rješenja promatrati u tom svjetlu. Primjer 6.. Vratilo opterećeno na savijanje i uvijanje. Vratilo prema Slici 6.. prenosi snagu od prirubnice C do tarenice D oslonjena na dva ležaja, A i B. aterijal vratila je St6, a kritični dio geometrije je obrađen s R t = 6 µm. Poznata je dinamička čvrstoća materijala za simetričan ciklus pri savijanju. Potrebno je odrediti promjere vratila d, d, D, ako vrijedi da je d =,8 D, d =, 75D. Zadano: = 5 Nm, = 8 Pa, = 44 Pa, = 6 Pa, f =,5, µ =, 6. d, s e s Slika 6.. Vratilo s prirubnicom i tarenicom Vratilo prenosi snagu, pri pretpostavljeno stalnoj brzini vrtnje, što znači da moment uvijanja na prirubnici C uravnotežuje moment uvijanja sile trenja na tarenici D, i stalne je vrijednosti i smjera. Iz poznate geometrije tarenice možemo izračunati potrebnu silu pritiska na tarenicu: F,6 = F = /,6 = 5 /,6 = 97,5 N. F = F µ F = F / µ = 97,5 /,6 = 565 N. N N (6.8) Iz poznatih sila možemo izračunati moment savijanja u pojedinom presjeku vratila, kako je prikazano na Slici 6.. Normalna i tangencijalna sila savijaju vratilo i ono takvo rotira. Vidljivo je sa Slike 6.. da je moment savijanja tangencijalne sile na tarenici zanemarivo mali prema momentu savijanja normalne sile, stoga se u općem slučaju može zanemariti. Slika 6.. omenti savijanja i uvijanja za vratilo Studij strojarstva 95

96 Naprezanje uslijed savijanja u materijalu se mijenja prema zakonu sinusoide, dok je naprezanje uslijed a m a m uvijanja stalno, stoga za proračun vrijedi =, =, = i =. jerodavna svojstva s s s d, s materijala za dimenzioniranje vratila su dinamička čvrstoća i granica elastičnosti e. Iz dijagrama momenta savijanja se sa Slike 6.. za kritične presjeke može očitati s 74 Nm. Faktor koncentracije naprezanja ćemo odrediti pomoću teorijskog faktora koncentracije naprezanja iz dijagrama na Slici A.. i faktora zarezne osjetljivosti iz dijagrama na Slici 6.. Iz Slike A.. možemo očitati za pretpostavljenu geometriju D / d =,5, r / d / 6 =,5, D / d =,, r / d 4 / 56 =,7 (prvi korak iteracije, pokušaj pogreška): α α s s ( ) α ( ) ( ) α ( ) s s k,t, 95 d, q =, 8; k,t,8 d, q =,84.,6 d, q =,95;,57 d, q =,95. k,t k,t Efektivni faktor koncentracije naprezanja je nadalje prema (6.): α α s ( d ) α ( d ) ( d ) α ( d ) +, 8(, 95 ) =, 79 ; +,84(,8 ) =, 67. s k,ef k,ef +, 95(, 6 ) =, 6 ; +, 95(, 57 ) =, 54. k,ef k,ef (6.9) (6.) Ostala dva utjecajna parametra su faktor kvalitete površine, koji je prema dijagramu sa Slike 6.. k,89. Faktor veličine dijela k, sa Slike 6.4. je oko,74. Dimenzioniranje ćemo provesti prema Sodebergovom kriteriju opisanom u (6.4): d d 6,5,79 55,6 5 77, mm.,89,74π 8 44 = + = 6,5,67 55, ,7 mm.,89,74π 8 44 = + = (6.) Promjer D dobivamo prema iz zadanih omjera u tekstu zadatka, pa je veća od te dvije vrijednosti D = mm, što je u skladu s pretpostavkom prema kojoj su izračunati faktori. 96 Veleučilište u Karlovcu

97 Dodatak A Dijagrami faktora koncentracije naprezanja za različita opterećenja Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri rastezanju Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri uvijanju Studij strojarstva 97

98 Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri savijanju Slika A. 4. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri rastezanju 98 Veleučilište u Karlovcu

99 Slika A. 5. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri savijanu Slika A. 6. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri uvijanju Studij strojarstva 99

100 a) b) Slika A. 7. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] za usjek u štapu: a) rastezanje, b) savijanje, c) uvijanje c) Veleučilište u Karlovcu

101 a) b) Slika A. 8. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] za prijelaz promjera štapa: a) rastezanje, b) savijanje, c) uvijanje c) Studij strojarstva

102 Slika A. 9. eorijski faktor koncentracije naprezanja [] za glodani polukružni utor na okruglom vratilu pri savijanju Veleučilište u Karlovcu

103 Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [] za glodani polukružni utor na okruglom vratilu pri uvijanju Studij strojarstva

104 a) Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [] za glodani utor za pero na okruglom vratilu pri a) savijanju, b) uvijanju b) 4 Veleučilište u Karlovcu

105 Kazalo pojmova A aksijalni moment otpora presjeka 5, 58 moment tromosti presjeka 5, 58 analogno opterećenje 5 Č čvrstoća 6-66, 69, 7, 7, 79, 8-9, 96 D dinamička 8-85, 88, 89-9, 95, 96 krivulja 64, 65 statička 8, 84, 87, 9 teorije 6, 89, 9 uvjet 6-65, 7, 7, 76, 79 vremenska 8, 84 diferencijalna jednadžba elastične linije 5-7,,,, 4 dijagram Haighov 8, 84 momentni grede 4, 5, 8 Smithov 8, 85, 89, 9 Wöhlerov 8, 84 dimenzioniranje 5, 67, 77, 79, 89, 9, 96 E energija deformiranja dilatacijska 6, 6 distorzijska 6, 6, 65, 66-69, 7, 74, 89 Eulerova kritična sila izvijanja 4-44 F faktor asimetričnosti ciklusa 8-85 G Gerberov zglob 5, 7, 8 glavne osi tromosti 4, 56, 6 granica elastičnosti 5, 6, 9, 96 proporcionalnosti 4, 5 tečenja 5, 64, 84 greda 4, 5, 8,,, 4-45 I analogna -9 integriranje 6-,, 8,, 4 izvijanje 9-5 K koordinatni sustav 5, 64 kritična naprezanje 4-47, 49-5 sila 4-4 kruto tijelo 9 kut nagiba tangente na elastičnu liniju 8, 6, 8, moment N ekvivalentni 69, 77, 78 savijanja 5, 6, 8,,,, 5,7, -4, 7-4, 5, 55, 56, 68, 7, 76-79, 9, 9, 95 uvijanja 5, 54, 67, 69, 7-7, 78, 79, 89-9, 95 naprezanje amplituda 8-84, 9, 9 ušteno 47, 49, 5, 6, 64, 7, 85, 89, 9, 9, 94 ekvivalentno 6, 6, 65, 69, 7, 7-76, 89 faktor 86, 87, 9-4 koncentracija 5, 8, 85, 86, 88, 89, 9, 9 neproporcionalno 9 normalno 5-5, 56-64, 66, 69, 7-7, 76, 95 posmično 5, 54, 58, 6, 65-79, 89 srednja vrijednost 8,8, 89, 9 tenzor 6 neprekidnost (kontinuiranost), Neuberova jednadžba 87 Studij strojarstva 5

106 O opterećenje 6,, -5, 7-4, 6, 44 aktivno, -4 analogno 5 fiktivno promjenjivo 8 proporcionalno 89, 9 raspodijeljeno 6, 7,, -5, 7-, 4, 44 složeno 5, 67, 89 uzdužno (osno, aksijalno) 5, 57, 7 osovina 8, 8, 9-95 P plastična deformacija (tečenje),, 6, 64, 84, 9 polarni moment otpora presjeka 5 tromosti presjeka 58 pomak 5-7, 9, 5, 8,, 4, 6 presjek kritični 54, 56, 57, 69, 76, 77, 89, 96 oprečni 5, 6, 4, 88 progib 5-6, 9-5, 7, 8, -, 4, 6, 7, 4, 4 R funkcija 9,,,, 6 raspon 5 ravnoteža 7, 8, 5-7,,, 9, 4, 44, 45, 47, 7, 78, 95 indiferentna 9 labilna 9, 4 stabilna 9, 4 rubni uvjet 7-9, -5 S pomaka 7, 9 sila 7 savijanje 5, 5-54, 56, 57, 67, 7, 85, 9, 95, čisto 5 tankih štapova 5 savojna krutost 7, 4, 8 sila bočna 46 uzdužna 9, 4, 44, 5, 57, 7, 7, 89 poprečna 6-8,, -6, 8, 9,,, 5, 79, 8, 9 središnja linija 5 središnjica 9, 54, 55, 68, 7 statički neodređen nosac - etmaerova kritična sila izvijanja 4 U uvijanje 5, 5, 54, 57, 67, 7, 7, 85, 88-9, 95 V visina 4 savijanja 5 štapa 5 vratilo 54-56, 67-69, 78-8, 9, 9, 95, 96 Z idealno 78-8, 8-84 zakrivljenost 5, 6,, 9, 4, 7, 87 6 Veleučilište u Karlovcu

107 Popis slika i tablica Slika.. Opisivanje deformiranja nosača: a) koordinatni sustav nosača [], b) pomak (progib) nosača...6 Slika.. Zakrivljenost elastične linije []...6 Slika.. Konzolni nosač...7 Slika.4. Unutrašnje veličine na lijevom rubu konzole...8 Slika.5. Normirana funkcija progiba konzole...9 Slika.6. Konzolni nosač... Slika.7. Raspodjela momenta savijanja... Slika.8. Neprekidnost funkcije i prve derivacije progiba... Slika.9. Normirani progib konzole... Slika.. Analogni rubni uvjeti...4 Slika.. Greda opterećena spregom...4 Slika.. Pretpostavljene reakcije grede...5 Slika.. omentni dijagram grede...5 Slika.4. Opisivanje grede analognom gredom...5 Silka.5. Reakcije u osloncima analogne grede...6 Slika.6. Ravnoteža središnjeg dijela analogne grede...6 Slika.7. Poprečna sila u zglobu A analognog nosača...6 Slika.8. Ravnoteža dijela analognog nosača lijevo od točke A: a) vanjske reakcije na dio nosača, b) unutrašnji moment savijanja...6 Slika.9. Greda opterećena raspodijeljenim opterećenjem...7 Slika.. Ravnoteža lijevog dijela grede...7 Slika.. Ravnoteža desnog dijela grede...7 Slika.. omentni dijagram grede...8 Slika.. Raspodijeljeno opterećenje analogne grede...8 Slika.4. Fiktivni moment u presjeku B...9 Slika.5. Poprečna sila: a) reakcija u lijevom osloncu analogne grede, b) unutrašnja poprečna sila...9 Slika.. Linearnost progiba o sili i momentu... Slika.. Greda dva puta statički neodređena... Slika.. Dijagram momenta savijanja... Slika.4. Dva načina opisivanja nosača statički određenim nosačima; a) opisivanje konzolama, b) opisivanje gredama na dva oslonca... Slika.5. Opisivanje pomoću statički određenog nosača: a) uklanjanje prekobrojne veze, b) aktivno opterećenje, c) prekobrojni spreg, d) prekobrojna sila... Slika.6. Konzola opterećena aktivnim opterećenjem...4 Slika.7. Konzola opterećena prekobrojnim spregom...5 Studij strojarstva 7

108 Slika.8. Konzola opterećena prekobrojnom silom... 6 Slika.9. Elastična linija pojedinih reakcija i opterećenja... 7 Slika.. Elastična linija nosača... 7 Slika.. Dijagrami momenta savijanja pojedinih opterećenja i cijelog nosača... 8 Slika.. Valjak u tri stanja ravnoteže []... 9 Slika.. ri stanja ravnoteže štapa opterećenog uzdužnom tlačnom silom []... 9 Slika.. Štap opterećen na izvijanje: a) geometrija, b) deformirani oblik, c) unutrašnji moment savijanja u deformiranom stanju... 4 Slika.4. Slobodne duljine izvijanja: a) dva zglobna oslonca, b) uklještenje i slobodan kraj, c) uklještenje i zglobni oslonac, d) dva uklještenja... 4 Slika.5. Kritično naprezanje pri izvijanju ovisno o vitkosti štapa... 4 Slika.6. Štap opterećen na izvijanje u konstrukciji... 4 Slika.7. Ravnoteža grede u konstrukciji Slika.8. Štap opterećen na izvijanje u konstrukciji Slika.9. Štap između dva uklještenja Slika.. Sile na klinovima Slika.. Štap opterećen na izvijanje povišenjem temperature Slika.. Izračunavanje reakcije pri zagrijavanju štapa Slika.. Štap s uklještenjem opterećen na izvijanje... 5 Slika 4.. Složeno opterećen štap: a) geometrija i opterećenje, b) reducirano opterećenje na težišnicu, c) komponente naprezanja, d) ukupno naprezanje... 5 Slika 4.. Vijčana preša... 5 Slika 4.. Raspodjela naprezanja u stupu vijčane preše... 5 Slika 4.4. Štap opterećen na savijanje i uvijanje... 5 Slika 4.5. Stanje naprezanja u točki A... 5 Slika 4.6. Vratilo opterećeno na savijanje i uvijanje Slika 4.7. Rezultirajuća opterećenja na vratilu Slika 4.8. omenti savijanja i uvijanja Slika 4.9. Raspodjela naprezanja po presjeku uslijed savijanja Slika 4.. Komponente naprezanja uslijed savijanja i uvijanja Slika 4.. Prostorni konzolni nosač Slika 4.. Lokalni koordinatni sustavi na konzoli Slika 4.. Dijagrami unutrašnjih veličina: a) na dijelu duljine L, b) na dijelu duljine L, c) na dijelu duljine L Slika 4.4. Raspodjela naprezanja po presjeku uslijed savijanja... 6 Slika 5.. Deformiranje elementarnog volumena materijala []... 6 Slika 5.. Ploha tečenja []: a) krivulja tečenja, b) teorija najvećeg normalnog naprezanja Slika 5.. Krivulja tečenja teorije najveće duljinske deformacije Slika 5.4. Krivulja tečenja teorije najvećeg posmičnog naprezanja Slika 5.5. Krivulja tečenja teorije najveće distorzijske energije Veleučilište u Karlovcu

109 Slika 5.6. Vratilo opterećeno na savijanje i uvijanje...67 Slika 5.7. Opterećenja na vratilu...68 Slika 5.8. omenti savijanja i uvijanja za vratilo...68 Slika 5.9. Komponente naprezanja u materijalu vratila: a) pozitivno normalno naprezanje, b) negativno normalno naprezanje...69 Slika 5.. ankostjena cijev opterećena unutrašnjim tlakom, tlačnom silom i momentom uvijanja...7 Slika 5.. Naprezanje u stijenci cijevi []: a) izračunavanje cirkularnog naprezanja, b) stanje naprezanja u stijenci cijevi...7 Slika 5.. ankostjena cijev opterećena unutrašnjim tlakom, momentima savijanja i uvijanja...7 Slika 5.. Stanje naprezanja na dijametralno suprotnim mjestima na cijevi...7 Slika 5.4. Raspodjela naprezanja uslijed savijanja...74 ablica 5.. Usporedba ekvivalentnih naprezanja za različite geometrije cijevi...76 Slika 5.5. Prostorni konzolni nosač...77 Slika 5.6. Vratilo opterećeno silama...78 Slika 5.7. Dijagrami momenata savijanja i uvijanja za vratilo...79 Slika 5.8. Idealno vratilo, a) realan prikaz, b) promjeri dvostruko uvećani...8 Slika 6.. Rotiranje osovine na dva oslonca: a) položaj, b) položaj 9, c) položaj 8, d) položaj Slika 6.. Promjena naprezanja pri rotiranju osovine na dva oslonca...8 Slika 6.. Lomovi uslijed umora materijala: a) koljenasto vratilo, b) pedala, c) spojnica, d) štap čekića...8 Slika 6.4. Ciklus naprezanja...8 Slika 6.5. Wöhlerovi dijagrami: a) oznaka dinamičke čvrstoće, b) oznaka vremenske i dinamičke čvrstoće, c) u log-log mjerilu...84 Slika 6.6. Haighovi dijagrami: a) osnovni prikaz, b) označeno šrafirano područje bez plastične deformacije, c) shematiziran...84 Slika 6.7. Smithov dijagram...85 Slika 6.8. Shematiziran Smithov dijagram...85 Slika 6.9. Raspodjela naprezanja u štapu: a) jednolika raspodjela, b) nejednolika raspodjela zbog koncentracije naprezanja...86 Slika 6.. Raspodjela naprezanja u štapu: a) jednolika raspodjela, b) raspodjela naprezanja na naglom proširenju A-A, c) norminalno i maksimalno naprezanje...86 Slika 6.. Zarezna osjetljivost prema H. Neuberu [9] za savijanje i osno opterećenje, r = Slika 6.. Zarezna osjetljivost prema H. Neuberu [9] za uvijanje, r = Slika 6.. Faktor površinske obrade [6]...88 Slika 6.4. Faktor veličine dijela [6]...89 Slika 6.5. Štap proporcionalno opterećen: a) geometrija i opterećenje, b) komponente naprezanja...9 Slika 6.6. Štap neproporcionalno opterećen: a) geometrija i opterećenje, b) komponente naprezanja...9 Slika 6.7. Ploča spojena vijcima za okolinu opterećena dinamičkom silom: a) geometrija i opterećenje, b) geometrija vijka...9 Slika 6.8. Shematiziran Smithov dijagram za čelik za vijke Studij strojarstva 9

110 Slika 6.9. Osovina na dva ležaja opterećena silama... 9 Slika 6.. Dijagram momenta savijanja osovine... 9 Slika 6.. Vratilo s prirubnicom i tarenicom Slika 6.. omenti savijanja i uvijanja za vratilo Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri rastezanju Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri uvijanju Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri savijanju Slika A. 4. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri rastezanju Slika A. 5. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri savijanu Slika A. 6. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] pri uvijanju Slika A. 7. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] za usjek u štapu: a) rastezanje, b) savijanje, c) uvijanje... Slika A. 8. eorijski faktor koncentracije naprezanja [9] za prijelaz promjera štapa: a) rastezanje, b) savijanje, c) uvijanje... Slika A. 9. eorijski faktor koncentracije naprezanja [] za glodani polukružni utor na okruglom vratilu pri savijanju... Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [] za glodani polukružni utor na okruglom vratilu pri uvijanju... Slika A.. eorijski faktor koncentracije naprezanja [] za glodani utor za pero na okruglom vratilu pri a) savijanju, b) uvijanju... 4 Veleučilište u Karlovcu

111 Literatura [] Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći I, ehnička knjiga d.d., Zagreb, 995. [] Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći II, Golden marketing, Zagreb, 999. [] Alfirević, I.: Linearna analiza konstrukcija, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb 998. [4] Bazjanac, D.: Nauka o čvrstoći, ehnička knjiga, Zagreb, 97. [5] Brčić, V.: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 98. [6] Brnić, J.: ehanika i elementi konstrukcija, Školska knjiga, Zagreb, 99. [7] Brnić, J. urkalj, G.: Nauka o čvrstoći II, Zigo Rijeka, Rijeka, 6. [8] Bronštejn, I. N., Semendjajev, K. A.: atematički priručnik za inženjere i studente, ehnička knjiga, Zagreb, 975. [9] Budnas, R. G., Nisbett, K. J.: Shigle s echanical Engineering Design, Ninth Edition, cgraw-hill, New York. [] Case, J., Chilver, A. H., Ross, C.. F.: Strenght of aterials and Structures, Butterworth-Heinemann, Oford, 984. [] Decker, K.-H.: Elementi strojeva,. izdanje, ehnička knjiga, Zagreb [] Den Hartog, J. P.: Advanced Strength of aterials, cgraw-hill Book Compan, New York, 987. [] Drmač, Z., Hari, V., arušić,., Rogina,., Singer, S., Singer, S.: Numerička analiza. Predavanja i vježbe, Sveučilište u Zagrebu, PF-atematički odjel, Zagreb,. [4] Gross, D., Hauger, W., Schnell, W., Wriggers, P.: echnische echanik, Springer-Verlag, Berlin, 995. [5] Grubišić, R.: eorija konstrukcija. Primjeri statičke analize elemenata, Fakultet strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 998. [6] Grupa autora: Inženjerski priručnik IP, Školska knjiga, Zagreb, 996. [7] Jecić, S., Semenski, D.: Jednadžbe teorije elastičnosti, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb,. [8] Kreszig, E.: Advanced Engineering athematics, John Wile, New York, 99. [9] Leer, A.: aschinenkonstruktionslehre, Birkhauser Verlag, Basel, Switzerland, achine Design, Blackie & Son, London, 974. [] Neuber, H.: heor of Stress Concentration for Shear Strained Prismatic Bodies with Nonlinear Stress Strain Law, Journal of Applied echanics, Vol. 8, Ser. E, No. 4., 96, pp [] Neuber, H.: heor of Notch Stresses, Office of echnical Services, U.S. Department of Commerce, Washington, DC, 96. [] Pilke, W.D., Pilke, D.F.: Peterson's stress concentration factors, hird Edition, Wile, New York, 7. [] Pustaić, D., onković, Z., Wolf, H.: ehanika deformabilnih tijela;. ehanika konstrukcija,. Čvrstoća elemenata konstrukcija, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 4. [4] Šimić, V.: Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 99. [5] Šimić, V.: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 995. [6] imoshenko, S. P., Goodier, J. N.: heor of Elasticit, hird Edition, cgraw - Hill, New York, 97. [7] imošenko, S. P.: Otpornost materijala II, Građevinska knjiga, Beograd, 956. [8] onković, Z.: Zamor konstrukcije, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet Strojarstva i Brodogradnje [9] Young, C. W., Budnas, G., R.: Roark s Formulas for Stress and Strain, Seventh Edition, cgraw - Hill, New York,. [] [] Studij strojarstva

112