1 Evoluciona matrica sistema

Transcript

1 Evoluciona matrica sistema Promatramo sistem linearnih iferencijalnih jenažbi prvog rea Uz sistem () vežemo pripani homogeni sistem U = A(x) U + B(x). () x U = A(x) U. () x Promatrat ćemo i ogovarajući inicijalni problem; uz () onosno () zaajemo i početni uvjet U( ) = U 0. (3) Stanarne pretpostavke su A C(I ; M n (R)), B C(I ; R n ), I, U 0 R n, pri čemu je I otvoreni interval realnih brojeva. Taa ogovarajući inicijalni problem ima jeinstveno globalno rješenje za sve I i sve U 0 R n. Cilj ove točke je izvesti analogon formule za rješenje inicijalnog problema za skalarnu linearnu jenažbu prvog rea. Neka su (U,..., U n ) i (V,..., V n ) va funamentalna rješenja sistema (). Specijalno su (U,..., U n ) i (V,..., V n ) vije baze u vektorskom prostoru U skupa svih rješenja homogene jenažbe (). Znači a svaki V i, i {,..., n} možemo razviti po bazi (U,..., U n ): Matrični zapis je V = γ U γ n U n, V n = γ n U γ nn U n. [V,..., V n ] = [U γ U n γ n,..., U γ n U n γ nn ] γ... γ n... = [U,..., U n ] γ n... γ nn

2 Zapišimo ovu jenakost preglenije. Sa W u i W v označimo matrice Wronskog funkcija U,..., U n i V,..., V n, W u = [U,..., U n ], W v = [V,..., V n ]. U ovom kontekstu, ka su (U,..., U n ) i (V,..., V n ) funamentalna rješenja, njihove matrice Wronskog W u i W v zovemo funamentalne matrice. Naalje stavimo Γ = (γ ij ), pa gornja matrična jenakost glasi W v (x) = W u (x) Γ, x I. (4) Pri tome je Γ konstantna matrica koja je i regularna (jer su W u (x) i W v (x) regularne za sve x I ). Za proizvoljne x, y I obivamo iz (4): W v (x) (W v (y)) = (W u (x) Γ) (W u (y) Γ) = W u (x) (W u (y)). Uz funamentalno rješenje (U,..., U n ) vežimo matričnu funkciju E u, E u (x, y) = W u (x) (W u (y)), x, y I. Gornju jenakost možemo ona zapisati u obliku E u (x, y) = E v (x, y), x, y I. Znači a matrična funkcija E u ne ovisi o funamentalnom rješenju (U,..., U n ), pa ju u aljnjem označavamo samo sa E(x, y) i zovemo evoluciona matrica sistema (). Uočimo a evoluciona matrica E : I I M n (R) ovisi samo o matrici sistema A i to na vrlo kompliciran način. Jeno obrazloženje za naziv evoluciona je slijueeće. Neka je U U neko rješenje homogenog sistema (), U,..., U n funamentalno rješenje. Taa U možemo razviti po bazi (U,..., U n ), U = α U α n U n = [U... U n ] U(x) = W u (x) α α n α α n, x I. = Wu α α n tj.

3 Zaključujemo a vektorska funkcija (W u (x)) U(x) ne ovisi o x I, tj. Specijalno ona vrijei (W u (x)) U(x) = (W u (y)) U(y), x, y I. U(y) = W u (y) (W u (x)) U(x) = E(y, x)u(x), x, y I. Naveimo neka svojstva evolucione matrice. Vrijei E(x, x) = I jeinina matrica, x I, E(x, y) E(y, z) = E(x, z), x, y, z I, E(x, y) = A(x) E(x, y), x, y I, x E(x, y) = E(x, y) A(y), x, y I. y Dokažimo ova svojstva. Neka je W proizvoljna funamentalna matrica; iz efinicije evolucione matrice omah izlaze prvo i rugo svojstvo. Provjerimo treće: E (x, y) = x x (E(x) W (y)) = E x (x) W (y) = A(x)W(x) W (y), što je i trebalo. Zanje svojstvo ostavljamo kao zaatak. Prelazimo sa na konstrukciju partikularnog rješenja sistema (). Imitiramo metou varijacije konstanti iz skalarnog slučaja. Neka je U,..., U n funamentalno rješenje sistema (). Partikularno rješenje U p tražimo u obliku U p (x) = W(x) C(x), x I; ovje je W = [U,..., U n ] funamentalna matrica a C : I R n treba oreiti tako a gornji U p bue rješenje sistema (). Imamo reom: A(x)U p (x) + B(x) = x U p(x) = W(x)C(x) + W(x) x x C(x) = A(x)W(x)C(x) + W(x) x C(x) = A(x)U p(x) + W(x) x C(x), tj. obivamo slijeeće uvjete na vektorsku funkciju C(x) = (C i (x)): x C(x) = W(x) B(x), x I. 3

4 Oavje integriranjem izlazi C(x) = W(y) B(y) y + D, x I. (5) Ovje je D R n proizvoljan konstantan vektor. Znači, našli smo bar jeno partikularno rješenje. Ovime je opis skupa svih rješenja R sistema () sveen na nalaženje jenog funamentalnog rješenja. Izveimo sa formulu za rješenje inicijalnog problema (), (3) uz pretpostavku poznavanja jenog funamentalnog rješenja W = [U,..., U n ]. Znamo a globalno rješenje postoji i jeinstveno je, označimo ga sa U C (I; R n ). Probamo ga zapisati u gornjoj formi partikularnog rješenja U(x) = W(x) C(x), x I, pri čemu funkcija C zaovoljava uvjet za partikularno rješenje i oatni uvjet x C(x) = W(x) B(x), x I, U( ) = U 0 = W( ) C( ) C( ) = W( ) U( ). Neka je u formuli (5) onja granica integracije jenaka ; taa je C(x) = C( ) + W(y) B(y) y, x I. Uvažavanjem ovih izraza u formuli za rješenje U inicijalnog problema obivamo U(x) = W(x)W( ) U 0 + onosno pomoću evolucione matrice U(x) = E(x, )U 0 + W(x)W(y) B(y) y, E(x, y)b(y) y, x I. (6) Ova formula ima istu formu kao i ogovarajuća formula za rješenje skalarnog inicijalnog problema. No glavni problem ostaje, to je nalaženje jenog funamentalnog rješenja. Općenito se funamentalno rješenje ne može naći eksplicitno tako a formula (6) ima uglavnom teorijsko značenje. No, u slučaju autonomnih sistema postoji metoa za konstrukciju jene funamentalne matrice; autonomnim sistemima se bavimo u slijeećoj točki. 4

5 Primjer. Nađimo rješenje inicijalnog problema x U = AU + B(x), U() = U 0, uz A =, B(x) = exp(x), = 0, U 0 =,. 4 Rješenje. Po teoremu o egzistenciji rješenja znamo a ovaj inicijalni problem ima jeinstveno rješenje na cijelom R. Naalje, o prije znamo a su funkcije U (x) = exp(3x), U (x) = exp( x) funamentalno rješenje. Ostaje nam primijeniti formulu (6) za rješenje. Nađimo evolucionu matricu. Imamo (oznake su kao u gornjem tekstu) [ exp(3x) exp( x) W(x) = W(x) = exp( 3x) exp( 3x) exp(3x) exp( x) 4 exp(x) exp(x) ]. Izraz za evolucionu matricu je E(x, y) = W(x)W(y) i ne trebamo ju izračunati. Prvi suman esne strane u formuli (6) u našem slučaju je [ E(x, )U 0 = W(x)W(0) U 0 = W(x) = exp(3x) 3 exp( x) exp(3x) + 6 exp( x) ]. Računamo rugi suman esne strane u formuli (6): x E(x, y)b(y) y = W(x) W(y) exp( y) B(y) y = W(x) y exp(y) = W(x) (exp( x) ) ovršite kao zaatak. 4 3(exp(x) ) Zaatak. (Liouvilleov teorem - također su zaslužni Abel, Ostrograski i Jacobi) Za matricu Wronskog W sustava x U = A(x) U 5

6 vrijei ( ) et W(x) = et W( ) exp tr A(s) s, x, I. Rješenje. Iz efinicije evolucione matrice E(y, z) = W(y)W(z) imamo W(y) = E(y, z)w(z) pa posebno vrijei W(x + ε) = E(x + ε, x)w(x), onosno, zbog Binet-Cauchyjeve formule et W(x + ε) = et E(x + ε, x) et W(x). (7) Kako je E iferencijabilna funkcija, vrijei E(x + ε, x) = E(x, x) + ε E(x, x) + o(ε) = I + εa(x) + o(ε), x o(ε) pri čemu je lim ε 0 = 0. Iz same efinicije eterminante zaključujemo ε n a je et E(x + ε, x) = et(i + εa(x) + o(ε)) = ( + εa ii (x)) + o(ε) = + ε tr A(x) + o(ε). Iz (7) imamo et W(x + ε) = et W(x) + ε tr A(x) et W(x) + o(ε). Dakle, za funkciju w = et W vrijei w = tr A(x) w, x a rješenje ove jenažbe prvog rea je w(x) = w( ) exp i= ( ) x tr A(s) s, što se i tvrilo. Zaatak. Dokažite a je evoluciona matrica E(x, y) matrični zapis (u kanonskoj bazi) evolucionog operatora E(x, y) : R n R n efiniranog s E(x, y) = K x Ky. Rješenje. Za fiksan i {,..., } efiniramo U = Ky e i C (I ; R n ). Drugim riječima, U je jeinstveno rješenje Cauchyjevog problema x U = A(x)U, U(y) = e i. Saa je E(x, y) e i = U(x). S ruge strane, znamo formulu za U: U(x) = E(x, y) e i, što okazuje tvrnju. 6