Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 2392.072.222 - Fax: 2392.072.229 e-mail: info@ziti."

Transcript

1

2 Το αρχαίο κείμενο του εξωφύλλου είναι απόσπασμα της επίλυσης του προβλήματος 39 από το Βιβλίο IV των Αριθμητικών του Διόφαντου. Περιγράφεται μια αλγοριθμική διαδικασία από την οποία προκύπτει ότι κάθε ρητός αριθμός x 5 επαληθεύει την ανίσωση 6x + 18 < x. Το ζήτημα αναπτύσσεται διεξοδικά στο Κεφάλαιο 5 και στο Παράρτημα IΙ του βιβλίου. ISBN Copyright, 011, Eκδόσεις ZHTH, Γιάννης Χ. Θωμαΐδης Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: , Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Αντί προλόγου Το βιβλίο αυτό επιχειρεί μια «κατάδυση στα βαθειά» ενός γοητευτικού και ταυτόχρονα αινιγματικού κόσμου: τη μαθηματική επιστήμη της ύστερης Ελληνικής αρχαιότητας όπως αυτή έχει διασωθεί σε μια συλλογή προβλημάτων με τίτλο Διοφάντου Αλεξανδρέως Αριθμητικά. Η εξοικείωση όμως με αυτό τον κόσμο επιβάλει να «καταδυθούμε» χωρίς τον εξοπλισμό που παρέχουν τα σύγχρονα Μαθηματικά, μη εξαιρουμένων των απλών εργαλείων που αναφέρονται στον τίτλο του βιβλίου: οι όροι «εξίσωση», «ανίσωση» και «βαθμός» έχουν αποκτήσει από την εποχή του μεσαιωνικού Ισλάμ και της Ευρωπαϊκής αναγέννησης συγκεκριμένες σημασίες, λειτουργίες και αναπαραστάσεις που δεν ήταν οικείες στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς. Για να επιλύσει προβλήματα εύρεσης ρητών αριθμών με δεδομένες ιδιότητες, ο Διόφαντος, χρησιμοποιούσε μια έννοια «αγνώστου» σε εμβρυακή μορφή και ορισμένες συντομογραφίες για τις δυνάμεις του, με τη βοήθεια των οποίων και με τεχνάσματα εξαίρετης επινοητικότητας, δημιουργούσε «υποστάσεις» που είναι «ίσες», «μείζονες» ή «ελάσσονες» κάποιων άλλων για να προσδιορίσει από αυτές την τιμή του αγνώστου και εν συνεχεία τους ζητούμενους αριθμούς. Ένα από τα πολλά αινίγματα που εγείρει η ανάγνωση των Αριθμητικών είναι ότι στην εισαγωγή τους ο Διόφαντος δίνει προς τους αναγνώστες μια σημαντική υπόσχεση την οποία όμως αφήνει ανεκπλήρωτη, τουλάχιστον στα τμήματα εκείνα του έργου που έχουν διασωθεί. Συγκεκριμένα, υπόσχεται ότι θα παρουσιάσει «ύστερον» τον τρόπο εύρεσης του αγνώστου από τις ισότητες που σήμερα ονομάζονται «τριώνυμες εξισώσεις δευτέρου ή ανωτέρου βαθμού» σε κανένα όμως από τα υπάρχοντα τμήματα του έργου δεν γίνεται αυτή η παρουσίαση, παρά το γεγονός ότι τα στοιχεία της αντίστοιχης θεωρίας θεωρούνται γνωστά και χρησιμοποιούνται «σιωπηλά» στην επίλυση αρκετών προβλημάτων. Το βιβλίο αυτό εξετάζει όλα τα προβλήματα των Αριθμητικών που περιέχουν εξισώσεις και ανισώσεις αυτού του είδους και επιχειρεί να διαφωτίσει τον τρόπο που τις κατανοούσε και τις χρησιμοποιούσε ο Διόφαντος.

4 4 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Στην ιστορική βιβλιογραφία έχουν καταγραφεί πολλές απόπειρες αναζήτησης αλγεβρικών χαρακτηριστικών στο περιεχόμενο των Αριθμητικών ή άλλων έργων της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης. Αυτές οι απόπειρες όμως καταλήγουν συνήθως σε σύγχρονες μαθηματικές ανακατασκευές οι οποίες δεν συμβάλουν στην κατανόηση του ιστορικού πλαισίου μέσα στο οποίο τα έργα αυτά αναπτύχθηκαν. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει κάθε σύγχρονη αφήγηση για τα αρχαία Μαθηματικά είναι το εξής: Πώς θα μεταβιβάσει τον αυθεντικό τρόπο σκέψης του αρχαίου συγγραφέα σε έναν αναγνώστη που δεν έχει προ οφθαλμών (ή αδυνατεί να διαβάσει) το πρωτότυπο κείμενο; Ελπίζω ότι η «κατάδυσή» και αναζήτηση των εξισώσεων και ανισώσεων δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου, θα προσφέρει στους αναγνώστες αυτού του βιβλίου ένα αυθεντικό δείγμα του ιδιαίτερου τρόπου σκέψης που χαρακτηρίζει μια όψιμη αλλά ιδιαίτερα γόνιμη περίοδο της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης. Από τη θέση αυτή θέλω να ευχαριστήσω τις Εκδόσεις Ζήτη και ιδιαίτερα τον Άρη Σύρμο για την άψογη συνεργασία στην έκδοση αυτού του βιβλίου. Γιάννης Χ. Θωμαΐδης Θεσσαλονίκη Οκτώβριος 011

5 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; Αρχαίες μαθηματικές παραδόσεις και σύγχρονες ιστορικές ερμηνείες Μελέτη ενός παραδείγματος Πότε εμφανίστηκαν οι πρώτες εξισώσεις ου βαθμού;... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μια εισαγωγή στα Αριθμητικά του Διόφαντου Ο Διόφαντος και το έργο του Αριθμητικά Η έννοια της εξίσωσης και η ταξινόμηση των εξισώσεων στα Αριθμητικά Μερικά παραδείγματα της μεθοδολογίας του Διόφαντου Κεφάλαιο 3 Ελλιπείς ή προφανείς εξισώσεις ου βαθμού Τα προβλήματα 7, 8 και 30 του Βιβλίου Ι των Αριθμητικών Η επιλογή του αγνώστου καθορίζει το είδος της εξίσωσης «Πλασματικοί» περιορισμοί και συνθήκες επίλυσης Ειδικές λύσεις σε γενικά προβλήματα; Το πρόβλημα του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Η πρώτη εμφάνιση μιας πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης Η απαλοιφή των επιταγμάτων ενός προβλήματος «Τυχαία» επιλογή δεδομένων που οδηγεί σε αδιέξοδο Η μέθοδος της «διπλής ισότητας» Κεφάλαιο 4 Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού Το πρόβλημα 31 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Μια συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Το «σύνδρομο αποφυγής» της πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης... 74

6 6 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου 4.4. Περιορισμοί και απόρριψη αρχικών επιλογών Ο Διόφαντος δεν λύνει μόνο εξισώσεις Το πρόβλημα 6 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Η σκοπιμότητα της «τυχαίας» επιλογής δεδομένων Η συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων Το «συζυγές» πρόβλημα 7 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Το πρόβλημα 8 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Μια «αναβάθμιση» της συνθήκης ύπαρξης ρητών λύσεων Το «συζυγές» πρόβλημα 9 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Το πρόβλημα 10 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Πυθαγόρειες τριάδες και αλγεβρικός λογισμός Η διοφαντική εξίσωση x + y = z από την οπτική του Διόφαντου Μια διοφαντική εξίσωση 4 ου βαθμού Το «συζυγές» πρόβλημα 11 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Το πρόβλημα του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Αναζητώντας τα «λοιπά δήλα» του Διόφαντου Δευτεροβάθμιες εξισώσεις με δύο λύσεις Η επίλυση του προβλήματος VI από μια σύγχρονη οπτική γωνία Κεφάλαιο 5 Ανισώσεις ου βαθμού Το πρόβλημα 39 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Ένας αλγόριθμος για τη «συμπλήρωση του τετραγώνου» Ένα αλγεβρικό «νοητικό πείραμα» Το πρόβλημα 10 του Βιβλίου V των Αριθμητικών Μια μεθοδολογία επίλυσης δευτεροβάθμιων ανισώσεων; Ερμηνεύοντας ένα «λάθος» του Διόφαντου Το πρόβλημα 30 του Βιβλίου V των Αριθμητικών Μια εναλλακτική μέθοδος «επίλυσης» δευτεροβάθμιων ανισώσεων Αριθμητική και «πραγματικά» προβλήματα Κεφάλαιο 6 Εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού στα Αριθμητικά: Μια ανασκόπηση Παραρτήματα Ι, ΙΙ, ΙΙΙ & ΙV Βιβλιογραφία

7 Εισαγωγή Η επόμενη σειρά αριθμητικών πράξεων είναι μέρος της επίλυσης ενός προβλήματος από τη Βαβυλωνιακή πινακίδα με τον κωδικό αριθμό ΑΟ886: 9 : = 14,5 14,5 14,5 = 10,5 10,5 10 = 0,5 0,5 = 0,5 14,5 + 0,5 = 15 14,5 0,5 = 14 Πόσοι από τους αναγνώστες θα υποστήριζαν την άποψη ότι ο Βαβυλώνιος που εκτελεί αυτές τις πράξεις γύρω στο 1750 π.χ., λύνει την εξίσωση x 9x + 10 = 0 ; 1 Στα βιβλία της σύγχρονης, πανεπιστημιακής Άλγεβρας η μελέτη της γενικής δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx + βx + γ = 0 γίνεται τελείως συνοπτικά, κυρίως για να δοθεί το πρώτο παράδειγμα εφαρμογής των αποτελεσμάτων της γενικής θεωρίας Galois (επίλυση εξισώσεων με ριζικά σε ένα σώμα) ή του θεμελιώδους θεωρήματος της Άλγεβρας (στο σώμα των μιγαδικών αριθμών). Για παράδειγμα, στην περίφημη Algebra του επιφανούς αλγεβριστή και ιστορικού των Μαθηματικών Bartel Leenert van der Waerden ( ) η σχετική παρουσίαση και των δύο περιπτώσεων καταλαμβάνει συνολικά περίπου μία σελίδα και περιλαμβάνει τα ε- ξής: Η επίλυση της γενικής εξίσωσης βαθμού x + px + q = 0 πρέπει σύμφωνα με τη γενική θεωρία να γίνεται μέσω μιας τετραγωνικής ρίζας ως τέ- 1 Η άποψη αυτή (την οποία πρώτος θα αμφισβητούσε ο γραφέας της πινακίδας!) αποτελούσε κυρίαρχη ερμηνευτική προσέγγιση στην ιστοριογραφία των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών για πολλές δεκαετίες. Το συγκεκριμένο ζήτημα εξετάζεται αναλυτικά στη συνέχεια του βιβλίου. Βλέπε: B. L. van der Waerden, Algebra I, σ.191 & σ.5.

8 8 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου τοια μπορεί να επιλέξει κανείς (βλέπε το συμπέρασμα της προηγούμενης παραγράφου) το γινόμενο διαφορών των ριζών x 1, x :. x - x = D D= p -4q. 1 Από εδώ και από την x1+ x =-p παίρνει κανείς τους γνωστούς τύπους επίλυσης x 1 = p D x = p D. Μοναδική προϋπόθεση αποτελεί ότι η χαρακτηριστική του βασικού σώματος δεν είναι. Όταν το βασικό σώμα είναι ειδικότερα το σώμα των μιγαδικών αριθμών, ο van der Waerden χρησιμοποιεί την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ως προάγγελο του θεμελιώδους θεωρήματος της Άλγεβρας. Αφού αποδεικνύει αρχικά ότι στο σώμα αυτό κάθε εξίσωση της μορφής x = a +bi (a, b πραγματικοί) είναι επιλύσιμη, γράφει: Από την προηγούμενη απόδειξη προκύπτει ότι στο σώμα των μιγαδικών αριθμών κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση x + px+ q= 0 μπορεί να λυθεί, αφού τεθεί στη μορφή Ê + ˆ p p x = -q. Ë 4 p Η λύση είναι λοιπόν x=- ± w, όπου το w σημαίνει μια οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης w = -q. 4 p Το «θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας», καλύτερα θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών, δηλώνει ότι στο σώμα C όχι μόνο κάθε δευτεροβάθμιο, αλλά κάθε μη σταθερό πολυώνυμο f(z) έχει μια ρίζα. Την περίοδο που ο Waerden έγραφε αυτές οι γραμμές, 3 οι εξισώσεις και οι ανισώσεις ου βαθμού αποτελούσαν έναν από τους πυλώνες της στοιχειώδους, σχολικής Άλγεβρας. Η σχετική θεωρία μαζί με πολυάριθμες ασκήσεις και προβλήματα κά- 3 Το απόσπασμα προέρχεται από την 8 η έκδοση (1971) της Algebra του Waerden (1 η έκδοση το 1930).

9 Eισαγωγή 9 λυπτε μεγάλο μέρος των διδακτικών βιβλίων, ενώ στην εξωσχολική βιβλιογραφία κυκλοφορούσαν πολλές μονογραφίες με αποκλειστικό περιεχόμενο τη μελέτη των ιδιοτήτων των ριζών του τριωνύμου ου βαθμού, τη διερεύνηση εξισώσεων και α- νισώσεων ου βαθμού με παραμετρικούς συντελεστές, την επίλυση προβλημάτων, καθώς και ικανό αριθμό από τις περιβόητες «συνδυαστικές» ασκήσεις, που συνδύαζαν το «τριώνυμο» με ετερόκλητα κεφάλαια της σχολικής Άλγεβρας και παράγονταν ως προϊόν μαζικής κατανάλωσης για τις ανάγκες των εισαγωγικών εξετάσεων. Η έμφαση στη μελέτη του τριωνύμου ου βαθμού, τόσο στη διδασκαλία όσο και στις εξετάσεις, είχε λάβει τέτοιες υπερβολικές διαστάσεις ώστε η μεγάλη διεθνής απόπειρα εκσυγχρονισμού των σχολικών Μαθηματικών που άρχισε να υλοποιείται στα τέλη της δεκαετίας του 1950, έβαλε εξαρχής στο στόχαστρο την «αρρώστια της τριωνυμίτιδας» (illness of trinomialitis). 4 Στα χρόνια που ακολούθησαν, οι τάσεις για εκσυγχρονισμό και εξορθολογισμό έφεραν στο προσκήνιο της σχολικής Άλγεβρας την έννοια της συνάρτησης, με αποτέλεσμα η «μελέτη του τριωνύμου» να συρρικνωθεί και να ενταχθεί μέσα στο ευρύτερο πλαίσιο μελέτης της πολυωνυμικής συνάρτησης ου βαθμού f(x) = αx + βx+ γ. Οι εξελίξεις αυτές μπορεί να περιόρισαν ποσοτικά την έκταση της διδασκαλίας των εξισώσεων και ανισώσεων ου βαθμού, αλλά δεν έχουν αλλάξει την ουσία του ζητήματος οι συγκεκριμένες έννοιες και ο «τύπος της διακρίνουσας» - β± β -4αγ x = α παραμένουν ουσιαστικά ένα από τα πιο βασικά αν και όχι πάντοτε ευχάριστα ενθυμήματα της μαθηματικής εκπαίδευσης των μαθητών όλου του κόσμου. Η σύντομη αυτή αναδρομή στο χώρο της ιστορίας, της επιστήμης και της εκπαίδευσης διεγείρει την έμφυτη ανθρώπινη περιέργεια να γνωρίσει την προέλευση και την εξέλιξη γεγονότων ή καταστάσεων που σήμερα εμφανίζονται περίπου ως αμετάβλητες, αιώνιες αλήθειες. Η περιέργεια αυτή, που είναι ουσιώδες χαρακτη- 4 Ο άλλος μεγάλος στόχος των μεταρρυθμιστών ήταν η κατάργηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που εκφράστηκε με το περιβόητο σύνθημα «να φύγει ο Ευκλείδης». Βλέπε σχετικά: O.E.E.C., New Thinking in School Mathematics, 100, 63.

10 10 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου ριστικό της κριτικής σκέψης, ελάχιστα ενθαρρύνεται ή καλλιεργείται από τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο σημερινό σχολείο και η όποια παροχή ιστορικής γνώσης συνήθως συμπιέζεται μέσα στα ασφυκτικά περιθώρια ιστορικών σημειωμάτων των διδακτικών βιβλίων. Οι εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού έχουν τη δική τους, πολύ ενδιαφέρουσα ιστορική καταγωγή και εξέλιξη, η αφήγηση όμως της οποίας συχνά εξαντλείται σε αναπαραγωγή στερεοτύπων ή εγκλωβίζεται σε απριοριστικές και αναχρονιστικές ερμηνείες. Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα επιχειρηθεί μια σύνθεση των στοιχείων ε- κείνων που συγκροτούν την πρώτη γνωστή διαπραγμάτευση εξισώσεων και ανισώσεων ου βαθμού στην ιστορική εξέλιξη των Μαθηματικών. Ενταγμένη με αποσπασματικό και μάλλον αινιγματικό τρόπο στα Αριθμητικά του Διόφαντου, η διαπραγμάτευση αυτή έχει προβληματίσει τους μαθηματικούς και ιστορικούς που ασχολήθηκαν με το συγκεκριμένο έργο, αλλά το ζήτημα δεν προβάλλεται όσο θα έπρεπε στη σχετική βιβλιογραφία. Αποτέλεσμα ευρύτερων ερευνών του συγγραφέα για το έργο του Αλεξανδρινού μαθηματικού κατά την τελευταία δεκαετία 5, το μεγαλύτερο μέρος αυτού του υλικού δημοσιεύεται για πρώτη φορά στο ανά χείρας βιβλίο. 5 Για το περιεχόμενο αυτών των ερευνών βλέπε: Y. Thomaidis, A Framework for Defining the Generality of Diophantos Methods in «Arithmetica». Archive for History of Exact Sciences 59, (005). Γ. Θωμαΐδης, Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου. Ιστορία & Μαθηματική Εκπαίδευση, Θεσσαλονίκη, Εκδόσεις Ζήτη (006). Y. Thomaidis, Some remarks on the meaning of equality in Diophantos Arithmetica. Historia Mathematica 38, 8 41 (011).

11 Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; 6 Κεφάλαιο Αρχαίες μαθηματικές παραδόσεις και σύγχρονες ιστορικές ερμηνείες Για να κατανοήσουμε την ιστορική εξέλιξη μιας μαθηματικής έννοιας χρειάζεται τις περισσότερες φορές να έχουμε πρόσβαση σε κείμενα γραμμένα πριν από πολλούς αιώνες και σε γλώσσες που σήμερα θεωρούνται νεκρές, με ανύπαρκτο ή υποτυπώδη συμβολισμό (και σε κάθε περίπτωση διαφορετικό από αυτόν που κατανοεί ένας σημερινός αναγνώστης). Επιπλέον, τα κείμενα αυτά είναι πολλές φορές αποσπασματικά, δηλαδή δεν περιέχουν κάποιο θεωρητικό υπόβαθρο με ορισμούς των εννοιών και ερμηνείες των μεθόδων που χρησιμοποιούν οι συγγραφείς τους στην επίλυση των προβλημάτων. Όπως γίνεται φανερό, η μελέτη αυτών των κειμένων αποτελεί μια εξειδικευμένη ερευνητική δραστηριότητα που διεξάγεται από τους ιστορικούς των Μαθηματικών, οι οποίοι έχουν αναπτύξει ειδικά εργαλεία και μεθόδους ανάλυσης και ερμηνείας. Είναι μάλιστα χαρακτηριστικό ότι τα μέσα που χρησιμοποιούν οι ιστορικοί δεν είναι αμετάβλητα αλλά εξελίσσονται και προσαρμόζονται στα νέα ιστοριογραφικά προβλήματα που ανακύπτουν με την πάροδο του χρόνου. Σ αυτό το πρώτο κεφάλαιο λοιπόν θα επιχειρήσουμε να δώσουμε ένα 6 Το περιεχόμενο αυτού του κεφαλαίου προέρχεται από επεξεργασία και επικαιροποίηση παλαιότερης εργασίας μου που είχε δημοσιευθεί στο περιοδικό Διάσταση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (τεύχος 1-, 199, σσ.56-64)

12 1 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου μικρό πανόραμα της ερευνητικής δραστηριότητας που αναπτύσσεται στο χώρο της ιστοριογραφίας των Μαθηματικών, έχοντας ως άξονα την ιστορική εξέλιξη των εξισώσεων ου βαθμού. Αν επιχειρήσει κανείς να ανιχνεύσει την καταγωγή των εξισώσεων ου βαθμού και καταφύγει στα κλασικά εγχειρίδια της Ιστορίας των Μαθηματικών, θα συναντήσει δύο στερεότυπες αναφορές: Η πρώτη παραπέμπει στους Βαβυλώνιους οι οποίοι θεωρείται ότι έλυναν εξισώσεις ου βαθμού ήδη από την περίοδο π.χ. (εποχή του βασιλιά Χαμμουραπί και των διαδόχων του), χρησιμοποιώντας μια μέθοδο παρόμοια προς τη σημερινή, αλλά διατυπωμένη με λόγια, στη μορφή οδηγιών. Η δεύτερη αναφορά γίνεται στους αρχαίους Έλληνες της κλασικής περιόδου οι οποίοι θεωρείται ότι έλυναν εξισώσεις ου βαθμού με γεωμετρικές μεθόδους, στο πλαίσιο της λεγόμενης «γεωμετρικής άλγεβρας». Οι θέσεις αυτές είναι ευρύτατα διαδεδομένες και μπορεί να τις συναντήσει κανείς ακόμη και στα ιστορικά σημειώματα των σχολικών βιβλίων. Τις τελευταίες δεκαετίες όμως η ιστορική έρευνα έχει αναδείξει ορισμένες όψεις του ζητήματος που θέτουν υπό έντονη αμφισβήτηση τις προηγούμενες θέσεις, αλλά και συνολικά την πρώιμη ιστορία της Άλγεβρας. Μπορούμε μάλιστα να υποστηρίξουμε ότι το συγκεκριμένο ζήτημα έχει συμβάλει καθοριστικά στη δημιουργία μιας ρήξης που οριοθετεί την «παραδοσιακή» από τη «σύγχρονη» σχολή ιστοριογραφίας των Μαθηματικών της αρχαιότητας. Ο B. van der Waerden, επιχειρώντας μια σύνθεση ανάμεσα σε διαφορετικές εποχές και μαθηματικές παραδόσεις, αναφέρει ότι αν συγκρίνουμε τα κείμενα των Βαβυλωνιακών πινακίδων με εκείνα του Ευκλείδη (περίπου 300 π.χ.), του Al Khwārizmī (περίπου μ.χ.) και του Omar Khayyām ( μ.χ.), μπορούμε να διακρίνουμε τρία διαφορετικά είδη άλγεβρας: 7 Α. Μικτή Άλγεβρα Βαβυλωνιακού τύπου, στην οποία ευθύγραμμα τμήματα προστίθενται με εμβαδά και εξισώνονται με αριθμούς. Β. Αριθμητική Άλγεβρα, στην οποία μόνο ρητοί αριθμοί m/n είναι δεκτοί για συντελεστές και λύσεις εξισώσεων, όπως στα «Αριθμητικά» του Διόφαντου. Γ. Γεωμετρική Άλγεβρα όπως η άλγεβρα του Omar Khayyām, στην οποία απαγορεύεται αυστηρά η ανάμειξη ευθυγράμμων τμημάτων, εμβαδών και όγκων. 7 Βλέπε: B. L. van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, σ.74.

13 Κεφ. 1. Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; 13 Τα θεμέλια αυτού του είδους άλγεβρας, υποστηρίζει ο αλγεβριστής Waerden, είχαν τεθεί από τον Ευκλείδη στο Βιβλίο II των Στοιχείων. Στα παραπάνω συνοψίζονται ορισμένες βασικές ερμηνευτικές προσεγγίσεις που χαρακτηρίζουν μια ολόκληρη σχολή ιστοριογραφίας των προελληνικών και ελληνικών Μαθηματικών. Κυρίαρχο στοιχείο αυτών των προσεγγίσεων αποτελεί η υπόθεση για την ύπαρξη, κατά την αρχαιότητα, ενός αλγεβρικού τρόπου σκέψης που ταυτίζεται ουσιαστικά με τη νεότερη συμβολική άλγεβρα. Ο όρος «γεωμετρική άλγεβρα» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στα τέλη του 19 ου αιώνα από τους ιστορικούς Hieronymus Zeuthen ( ) και Paul Tannery ( ), και καθιερώθηκε μετά την κλασική έκδοση των Στοιχείων από τον επιφανή ιστορικό των αρχαιοελληνικών Μαθηματικών Sir Thomas Heath ( ) που έκανε συστηματική χρήση του όρου στην ανάλυση του Ευκλείδειου έργου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο εισάγεται η ερμηνευτική οπτική της «γεωμετρικής άλγεβρας» αποτελεί η «παραδοσιακή» ερμηνεία της πρότασης 4 του Βιβλίου II των Στοιχείων: Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Θ Α Γ Η Β Κ Δ Ζ Ε Σχήμα Δηλαδή, αν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και Γ τυχαίο σημείο του, τότε το τετράγωνο που έχει πλευρά ολόκληρο το ΑΒ είναι ίσο με τα τετράγωνα που έχουν πλευρές τα τμήματα ΑΓ και ΓΒ συν το διπλάσιο του ορθογωνίου που περιέχεται από τα τμήματα ΑΓ και ΓΒ. Αυτή η σχέση σημαίνει ότι στο παραπάνω σχήμα ι- σχύει (ΑΒΕΔ) = (ΘΗΖΔ) + (ΓΒΚΗ) + (ΑΓΗΘ), με την επισήμανση ότι ο Ευκλείδης δεν εννοεί ισότητα αριθμητικών εμβαδών, αλλά ισότητα γεωμετρικών χωρίων η οποία στα Στοιχεία αποδεικνύεται αυστηρά μέσω μιας διαδικασίας που έχει θεωρητικοποιήσει την κατάτμηση, μετατόπιση και

14 14 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου ταύτιση των επιμέρους σχημάτων. Η συγκεκριμένη πρόταση όμως έχει ερμηνευθεί από τους ιστορικούς ως γεωμετρική διατύπωση και απόδειξη της αλγεβρικής ταυτότητας (α + β) = α + β + αβ, η οποία εκφράζει μια σχέση πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών. 8 Με τον τρόπο αυτό εισάγεται στην ανάγνωση του Ευκλείδειου έργου ένα ξένο σώμα, η έννοια του μέτρου των ευθυγράμμων τμημάτων και της επιφάνειας των γεωμετρικών σχημάτων. Ένα άλλο παράδειγμα, με το οποίο «εφευρίσκεται» αυτή τη φορά στα Στοιχεία η επίλυση των εξισώσεων ου βαθμού, αποτελεί η πρόταση 11 του ίδιου Βιβλίου, που είναι επίσης γνωστή ως πρόβλημα διαίρεσης ενός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο: Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ. Ζ Α Ε Γ Κ Η Θ Β Δ Σχήμα Δηλαδή, να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε δύο τμήματα ΑΘ και ΘΒ έτσι, ώστε το ορθογώνιο που περιέχεται από ολόκληρο το ΑΒ και το μικρότερο τμήμα (ΘΒ) να είναι ίσο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το μεγαλύτερο τμήμα (ΑΘ). Στο παραπάνω σχήμα, η σχέση αυτή σημαίνει ότι ισχύει (ΘΒΔΚ)=(ΖΗΘΑ), με την ίδια επισήμανση που έγινε για την πρόταση 4. Η πρόταση 11, που είναι ένα πρόβλημα αυθεντικής γεωμετρικής κατασκευής, χωρίς την παραμικρή αναφορά σε μήκη, εμβαδά και αριθμητικές πράξεις, έχει ερμηνευθεί ως γεωμετρική επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης α(α x) = x ή x + αx= α, 8 Βλέπε για παράδειγμα: T. Heath, The Thirteen Books of the Elements, Vol. 1, σ.389.

15 Κεφ. 1. Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; 15 όπου βέβαια το α εκφράζει το μήκος του τμήματος ΑΒ και ο άγνωστος x το μήκος του τμήματος ΑΘ. 9 Με αυτή την ερμηνευτική προσέγγιση λοιπόν, το Βιβλίο II των Στοιχείων παρουσιάζεται στο σημερινό αναγνώστη ως μια συλλογή αλγεβρικών ταυτοτήτων και εξισώσεων σε γεωμετρική μορφή, δηλαδή ένα βιβλίο «γεωμετρικής άλγεβρας». Η υπόθεση των ιστορικών για την ύπαρξη μιας «γεωμετρικής άλγεβρας» των αρχαίων Ελλήνων ισχυροποιήθηκε όταν ήρθαν στο φως αρχαιολογικά ευρήματα, που έδωσαν για πρώτη φορά μια αρκετά ικανοποιητική εικόνα των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών. Ο ιστορικός Otto Neugebauer ( ), ο οποίος τη δεκαετία του 1930 μελέτησε Βαβυλωνιακές πινακίδες μαθηματικού περιεχομένου και δημοσίευσε μεταφράσεις τους, ακολούθησε την ίδια ερμηνευτική μεθοδολογία, μεταγράφοντας το περιεχόμενό τους σε σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό. Έτσι, ορισμένα από τα προβλήματα των πινακίδων και οι μέθοδοι επίλυσής τους παρουσιάστηκαν ως ισοδύναμα με την επίλυση εξισώσεων ου βαθμού. Προχωρώντας όμως παραπέρα, ο Neugebauer έκανε την τολμηρή υπόθεση ότι οι αρχαίοι Έλληνες παρέλαβαν την αλγεβρική μέθοδο των Βαβυλωνίων και την περιέβαλαν με «γεωμετρικό ένδυμα», δημιουργώντας τη «γεωμετρική άλγεβρα». Οι προηγούμενες θέσεις προβλήθηκαν ιδιαίτερα από τον van der Waerden, στο πολύ γνωστό βιβλίο του Science Awakening (1 η έκδοση 1950) 10, και από τότε η ύπαρξη της Βαβυλωνιακής άλγεβρας και της συνακόλουθης «γεωμετρικής άλγεβρας» των αρχαίων Ελλήνων καθιερώθηκε ως ένα οριστικό και ακλόνητο συμπέρασμα της ιστορικής έρευνας και ενσωματώθηκε στα συνθετικά έργα της Ιστορίας των Μαθηματικών. Μια πρώτη συστηματική αμφισβήτηση αυτών των θέσεων έγινε από τον ιστορικό Árpád Szabó ( ) στο βιβλίο του Anfänge der griechischen Mathematik (1969) 11. Ο Szabó απέρριψε την ερμηνεία της «γεωμετρικής άλγεβρας» για το Βιβλίο II των Στοιχείων, επισημαίνοντας ότι οι προτάσεις που περιέχει έχουν καθαρά γεωμετρικό υπόβαθρο και προορισμό, χωρίς καμιά σχέση με την επίλυση εξισώσεων. Για παράδειγμα, η προαναφερθείσα πρόταση 11 του Βιβλίου II (διαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο) παίζει αποφασιστικό ρόλο στις προτάσεις 9 Βλέπε για παράδειγμα: T. Heath, ο.π., σ Το βιβλίο αυτό μεταφράστηκε στα Ελληνικά με τίτλο Η Αφύπνιση της Επιστήμης και εκδόθηκε από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης το Το βιβλίο αυτό μεταφράστηκε στα Ελληνικά με τίτλο Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηματικών και εκδόθηκε από το Τεχνικό Επιμελητήριο της Ελλάδος το 1973.

16 16 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου 10 και 11 του Βιβλίου ΙV που διαπραγματεύονται την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου. Παράλληλα ο Szabó απέρριψε την υπόθεση ότι οι Έλληνες παρέλαβαν αυτές τις μαθηματικές γνώσεις από τους Βαβυλώνιους, επισημαίνοντας το γεγονός ότι αν υπήρχε κάποιο είδος μεταφοράς μαθηματικών γνώσεων από τη Βαβυλώνα προς την Ελλάδα, τότε οι Έλληνες της κλασικής περιόδου θα είχαν κατεξοχήν οικειοποιηθεί το θεσιακό σύστημα αρίθμησης. 1 Ένα γενικότερο ρεύμα αμφισβήτησης, κυρίως για την ορθότητα ερμηνείας της αρχαίας μαθηματικής σκέψης με χρήση όρων και συμβολισμών από τα σύγχρονα Μαθηματικά εμφανίστηκε στη διάρκεια της δεκαετίας του Αποκορύφωμα αυτού του ρεύματος υπήρξε ένα πολεμικό άρθρο του Sabetai Unguru που υποστήριζε την ανάγκη να ξαναγραφεί η ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών. 13 Τα βασικά σημεία στα οποία θεμελιώθηκε η κριτική του Unguru, ήταν τα εξής: α) Υπάρχει σαφής διαφορά ανάμεσα στον γεωμετρικό και αλγεβρικό τρόπο σκέψης. Η γεωμετρία είναι σκέψη για το χώρο, τα σχήματα και τις ιδιότητές τους, ενώ η αλγεβρική σκέψη χαρακτηρίζεται από το λειτουργικό συμβολισμό και την ενασχόληση με μαθηματικές σχέσεις παρά με μαθηματικά αντικείμενα. β) Οι προτάσεις των Στοιχείων που ερμηνεύονται ως «αλγεβρικές ταυτότητες» ή «δευτεροβάθμιες εξισώσεις», έχουν συγκεκριμένο γεωμετρικό περιεχόμενο, εντάσσονται οργανικά στη λογική δομή του έργου και χρησιμοποιούνται από τον Ευκλείδη ως βασικά στοιχεία των γεωμετρικών κατασκευών. Ποια είναι επομένως η σκοπιμότητα, από ιστορική σκοπιά, της σύγχρονης αλγεβρικής ερμηνείας; 1 Μια έντονη κριτική της υπόθεσης του Neugebauer για τη Βαβυλωνιακή προέλευση των Ελληνικών Μαθηματικών είχε κάνει το 1968 και ο διακεκριμένος ιστορικός Ευάγγελος Σταμάτης ( ). Όμως ο Σταμάτης, ενώ αμφισβητεί την ύπαρξη μιας «Βαβυλωνιακής άλγεβρας», δεν κάνει το ίδιο για τη «γεωμετρική άλγεβρα» που είναι αποτέλεσμα της ίδιας ακριβώς ερμηνευτικής μεθοδολογίας. Βλέπε: Ε. Σταμάτη, Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων. Ο Ευκλείδης, τόμος Β, τεύχος 1 (Σεπτέμβριος 1968), σσ.36 40, τεύχος (Οκτώβριος 1968), σσ.7 77 και τεύχος 3 (Νοέμβριος 1968), σσ Μια σύγχρονη άποψη για τη στάση των Ελλήνων απέναντι στα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων παρουσίασε πρόσφατα η ιστορικός των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών Eleanor Robson, λαμβάνοντας υπόψη όχι μόνο το περιεχόμενο αλλά και το πλαίσιο μέσα στο οποίο αναπτύχθηκαν οι αντίστοιχες μαθηματικές παραδόσεις. Σε άρθρο της με τίτλο Influence, ignorance, or indifference? Rethinking the relationship between Babylonian and Greek mathematics, που δημοσιεύθηκε το 005 στο Δελτίο της Βρετανικής Εταιρείας για την Ιστορία των Μαθηματικών, η Robson υποστηρίζει την άποψη της «άγνοιας» ή και της «αδιαφορίας» των Ελλήνων για τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά. 13 S. Unguru, On the need to rewrite the history of Greek Mathematics. Archive for History of Exact Sciences 15(1), (1975).

17 Κεφάλαιο 4 Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού Το Βιβλίο IV, το οποίο σήμερα θεωρείται ότι ανήκει στην τελευταία τετράδα των 13 βιβλίων που αποτελούσαν την αρχική έκδοση των Αριθμητικών, 60 περιέχει 40 προβλήματα. Στην πορεία επίλυσης του τριακοστού πρώτου προβλήματος (το οποίο επιλύεται με δύο τρόπους) ο Διόφαντος παρέχει την πρώτη σαφή ένδειξη ότι διαθέτει μια συνθήκη για τον έλεγχο της ύπαρξης ρητών λύσεων μιας πλήρους εξίσωσης ου βαθμού, καθώς και έναν τρόπο εύρεσής τους Το πρόβλημα 31 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Να διασπαστεί η μονάδα σε άθροισμα δύο αριθμών τέτοιων, ώστε αν προστεθεί σε καθένα από αυτούς δοθείς αριθμός, το γινόμενο [των αθροισμάτων] να δίνει τετράγωνο. ä Η προηγούμενη, γενική διατύπωση του προβλήματος IV31 μπορεί σήμερα να εκφραστεί στη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων με αγνώστους α και β: ÏÔ α+ β= 1 Ì ÔÓ (α + p)(β + q) = κ 60 Για το ζήτημα της κατανομής των 13 βιβλίων κεφαλαίων μέσα στο σώμα των Αριθμητικών βλέπε όσα αναφέρθηκαν στην υποσημείωση 35.

18 70 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Μια περιγραφή της πρώτης λύσης του Διόφαντου Ο Διόφαντος εισάγει δύο συγκεκριμένες τιμές (p = 3 και q = 5) για τους δεδομένους αριθμούς. Στη συνέχεια εισάγει ως άγνωστο x τον πρώτο από τους ζητούμενους αριθμούς οπότε η «υπόσταση» του δεύτερου θα είναι 1 x. Με αυτή την ά- μεση επιλογή του αγνώστου είναι x + 1 x = 1, δηλαδή ισχύει πάντοτε το πρώτο επίταγμα του προβλήματος. Τότε θα είναι α + p = x + 3 και β + q = 1 x + 5 = 6 x. Το γινόμενο των δύο «υποστάσεων» x + 3 και 6 x δίνεται απ ευθείας ίσο με 3x + 18 x και έτσι, σύμφωνα με το δεύτερο επίταγμα του προβλήματος, προκύπτει η εξίσωση: 3x + 18 x =. (4.1.1) Ο Διόφαντος επιλέγει για το δεύτερο μέρος τον τετράγωνο 4x και δημιουργεί την εξίσωση 3x + 18 = 5x, (4.1.) την οποία όμως απορρίπτει αμέσως, με τη φράση «δεν είναι η εξίσωση ρητή» (ουκ έστιν η ίσωσις ρητή). Κατόπιν επιχειρεί, όπως και στο πρόβλημα IV, έναν επαναπροσδιορισμό της επιλογής του τετραγώνου 4x για το δεύτερο μέρος της (4.1.1). Στη διάρκεια αυτού του επαναπροσδιορισμού γίνεται φανερό ότι χρησιμοποιεί ως συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων της (4.1.) τη σχέση: Ê1 ˆ Á 3 = Ë (που δεν ισχύει) (4.1.3) Σημειώνει ότι το πλήθος 5 των x στην (4.1.) προέρχεται από το άθροισμα 4+1 (δηλαδή 5x = 4x + x ). Για να ισχύει λοιπόν η (4.1.3) θα πρέπει, αντί του 4, να χρησιμοποιηθεί στο δεύτερο μέρος της (4.1.1) ένας τετράγωνος αριθμός με την εξής ιδιότητα: όταν αυξάνεται κατά μία μονάδα και πολλαπλασιάζεται επί 18 και στη συνέχεια το γινόμενο αυξάνεται κατά 9, το αποτέλεσμα να είναι τετράγωνος. Ο προσδιορισμός ενός τέτοιου τετράγωνου αριθμού συνιστά ένα υποπρό- 4 βλημα, το οποίο ενσωματώνεται μέσα στην επίλυση του αρχικού προβλήματος.

19 Κεφ. 4. Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού 71 Αν m είναι αυτός ο τετράγωνος αριθμός 61, τότε η προηγούμενη ιδιότητα οδηγεί διαδοχικά στις εξισώσεις 9 (m + 1) 18 + = ή m + = ή 7m + 81 =. 4 Ο Διόφαντος επιλέγει για το δεύτερο μέρος της τελευταίας τον τετράγωνο (8m + 9) = 64m + 144m + 81, οπότε προκύπτει η εξίσωση 8m = 144m. Η λύση της τελευταίας είναι m = 18 και άρα ο ζητούμενος τετράγωνος m = 34. Επιστρέφοντας στην αρχική εξίσωση (4.1.1), ο Διόφαντος θέτει τώρα: 3x + 18 x = 34x και δίνει αμέσως, χωρίς την παραμικρή διευκρίνιση, την τιμή του αγνώστου 78 6 x = = Άρα οι δύο ζητούμενοι αριθμοί είναι α= x= και β= 1 x= 19, οι οποίοι ι- 5 5 κανοποιούν τα δύο επιτάγματα του προβλήματος: =1 και Ê 6 + ˆÊ19 + ˆ Ê108ˆ Ë Á 3 Ë Á 5 = = Ë Á Μια περιγραφή της δεύτερης λύσης του Διόφαντου Ο Διόφαντος χρησιμοποιεί τους ίδιους δεδομένους αριθμούς (p = 3 και q = 5), αλλά καταφεύγει τώρα σε μια έμμεση επιλογή του αγνώστου ονομάζοντας x τον α + 3, οπότε οι «υποστάσεις» των ζητούμενων αριθμών είναι α= x 3 και β= 1 α= 4 x. Με αυτή την επιλογή, το πρώτο επίταγμα α + β = 1 ισχύει για κάθε τιμή του x, ενώ το δεύτερο επίταγμα (α + 3)(β + 5) = οδηγεί στην αρχική εξίσωση: 9x x =. (4.1.4) 61 Συμβολίζουμε τον άγνωστο τετράγωνο του υποπροβλήματος με m και όχι x, ώστε να μην υπάρξει σύγχυση με τον αρχικό άγνωστο x του προβλήματος. Ο Διόφαντος δεν αντιμετωπίζει τέτοιο πρόβλημα, επειδή χρησιμοποιεί το τελικό σίγμα (ς) για τον αρχικό άγνωστο και τη συντομογραφία Δ Υ για τον άγνωστο τετράγωνο του υποπροβλήματος.

20 7 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Όπως και στην προηγούμενη λύση ο Διόφαντος επιλέγει για το δεύτερο μέρος της (4.1.4) τον τετράγωνο 4x : 9x x = 4x. Από την τελευταία προσδιορίζει αμέσως τη λύση x = 9 5, αλλά τότε, όπως γράφει, η «υπόσταση» του α = x 3 οδηγεί σε μια αδύνατη αφαίρεση (ου δύναμαι α- φελείν). Αυτό το αποτέλεσμα οδηγεί στη διατύπωση του περιορισμού 3 < x < 4 (ώστε οι αφαιρέσεις x 3 και 4 x να έχουν νόημα) και στο συνήθη επαναπροσδιορισμό της αρχικής επιλογής 4x που οδήγησε στην τιμή = 9 x Η παρατήρηση ότι ισχύει = οδηγεί τον Διόφαντο στην αναζήτηση ενός τετραγώνου m τέτοιου, ώστε 3< < 4. m Από την ανίσωση αυτή προκύπτει ότι είναι m + 1< = 3, δηλαδή m 3 < και επίσης m + 1> 9, δηλαδή m > Ο Διόφαντος αναλύει την ανισότητα 5 < m < «σε τετραγωνικούς παρονομαστές», δηλαδή 4 80 < m < 18, και επιλέγει αμέσως, ως μια προφανή λύση, τον τετράγωνο m = = Επιστρέφοντας τώρα στην αρχική εξίσωση (4.1.4), θέτει 5 9x x = x, 16 και δίνει αμέσως την τιμή του αγνώστου x = 144, από την οποία προκύπτουν οι 41 αριθμοί α = x 3 = 1 41 και β = 4 x = 0 41 που ικανοποιούν τα επιτάγματα του προβλήματος.

21 Κεφ. 4. Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού Μια συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Στον πρώτο τρόπο επίλυσης του προβλήματος ο Διόφαντος μας παρέχει έμμεσες αλλά σαφείς ενδείξεις ότι γνωρίζει μια συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων δευτεροβάθμιων εξισώσεων, όπως η 3x + 18 = 5x καθώς και μέθοδο υπολογισμού τους. Η συνθήκη αυτή, που την εκφράσαμε προηγουμένως με τη σχέση (4.1.3), φαίνεται ότι προέρχεται από μια διαδικασία επίλυσης των συγκεκριμένων εξισώσεων με τη μέθοδο «συμπλήρωσης του τετραγώνου». Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει αν επιχειρήσουμε να λύσουμε τις εξισώσεις 3x + 18 = 5x και 3x + 18 = 35x με τον εξής τρόπο: Πίνακας 4..1 Βήμα 3x + 18 = 5x 3x + 18 = 35x 1 ο 5 3x = 5 5x 35 3x = 35 35x ο 3 ο 5 3 x Ê 3 ˆ Ë Ê ˆ = 5 x +Á Ë Ê 3 ˆ Ë 3 Ê3ˆ 3 = 5 x + Á 5 x Ë 35 3 x Ê 3 ˆ Ë = 35 x + Ê 3 ˆ Ë Ê 3 ˆ Ë =35 x + Ê 3 ˆ Ë 35 3 x 4 ο = Ê 3 - ˆ x = Ê 3 35x - ˆ Ë 4 Ë 5 ο «άρρητη εξίσωση» «ρητή εξίσωση» 6 ο 153 = 35x 3 7 ο x = = 6 5 fi 78 = 35x

22 74 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Αυτό που προκύπτει μέχρι στιγμής από το συγκεκριμένο πρόβλημα (IV31) είναι ότι ο Διόφαντος χρησιμοποιεί την αριθμητική παράσταση που εμφανίζεται στο πρώτο μέρος της εξίσωσης στο 3 ο βήμα, ως μια γνωστή συνθήκη που επιτρέπει να «διακρίνουμε» αν η εξίσωση έχει ρητή λύση. Επιπλέον, στην περίπτωση που η συνθήκη βεβαιώνει την ύπαρξη ρητής λύσης, η πρακτική του Διόφαντου υποδηλώνει ότι θεωρεί τετριμμένη τη διαδικασία υπολογισμού της που περιγράφεται στο 6 ο και 7 ο βήμα. Ο Διόφαντος θα «αναγκαστεί» να περιγράψει τη διαδικασία αυτή πιο αναλυτικά λίγο παρακάτω, όταν στη διάρκεια της επίλυσης του προβλήματος IV39 βρεθεί αντιμέτωπος με την ανίσωση 6x + 18 < x και επιχειρήσει να τη λύσει μέσω της αντίστοιχης εξίσωσης. 6 Όπως θα διαπιστώσουμε στις ενότητες αυτού του κεφαλαίου, ο Διόφαντος θα εξακολουθήσει στο Βιβλίο VI να επιλύει εξισώσεις ου βαθμού χρησιμοποιώντας τη συνθήκη ύπαρξης ρητών ριζών και τη διαδικασία υπολογισμού τους με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που άρχισε να το πράττει στο πρόβλημα IV31 δηλαδή ως γνωστά μαθηματικά αποτελέσματα που δεν χρειάζεται να εξηγηθούν στον αναγνώστη Το «σύνδρομο αποφυγής» της πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης Αν η σειρά των διασωθέντων βιβλίων των Αριθμητικών ταυτίζεται με την πραγματική σειρά που είχαν στην αρχική έκδοση του έργου, τότε είναι πράγματι ανεξήγητος ο σχεδόν «μυστικός» τρόπος με τον οποίο ο Διόφαντος χειρίζεται την πρώτη εμφάνιση της συνθήκης ύπαρξης ρητών λύσεων. Είναι χαρακτηριστικό ότι σε δύο προβλήματα του αμέσως προηγούμενου Βιβλίου III είχε απορρίψει τις εξισώσεις που προέκυψαν από τις αρχικές επιλογές των δεδομένων, παρά το γεγονός ότι αυτές θα μπορούσαν να μετασχηματιστούν σε πλήρεις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με ρητή λύση. Η πρώτη περίπτωση αφορά το πρόβλημα ΙΙΙ 10, στο οποίο ζητείται: Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι, ώστε το άθροισμα του γινομένου δύο οποιωνδήποτε από αυτούς με ένα δοθέντα αριθμό να δίνει τετράγωνο. 6 Το ζήτημα εξετάζεται λεπτομερώς στις ενότητες 5.1, 5. και 5.3 του επόμενου κεφαλαίου.

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thaasisxeos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-08-4 Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 010,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ 1 Επίλυση προβλημάτων με αριθμητικά και αλγεβρικά εργαλεία Από τους Βαβυλώνιους έως τον Euler Παρουσίαση : Ασημάκης Παναγιώτης Αθήνα, Ιούνιος 2012 Ορφανάκης Σπύρος Αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων I. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως της πιθανότητας, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ -ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη Διεύθυνση επικοινωνίας: Μαντζουκίδης Κωνσταντίνος Πτυιούος Τμήματος Χημείας Α.Π.Θ. Τ.Θ. 1373, Τ.Κ. 57500, Τρίλοφος Θεσσαλονίκης Τηλ: 390 6489 6974 995091 e-mail : costasmantz@gmail.com Το μεγαλύτερο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 3.04.14 Χ. Χαραλάμπους Γενικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις τετράγωνο σε δύο τετράγωνα. Ειδικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις το 16 σε δύο τετράγωνα. Πίσω στον ιόφαντο και στο πρόβλημα της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα