Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 2392.072.222 - Fax: 2392.072.229 e-mail: info@ziti."

Transcript

1

2 Το αρχαίο κείμενο του εξωφύλλου είναι απόσπασμα της επίλυσης του προβλήματος 39 από το Βιβλίο IV των Αριθμητικών του Διόφαντου. Περιγράφεται μια αλγοριθμική διαδικασία από την οποία προκύπτει ότι κάθε ρητός αριθμός x 5 επαληθεύει την ανίσωση 6x + 18 < x. Το ζήτημα αναπτύσσεται διεξοδικά στο Κεφάλαιο 5 και στο Παράρτημα IΙ του βιβλίου. ISBN Copyright, 011, Eκδόσεις ZHTH, Γιάννης Χ. Θωμαΐδης Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: , Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Αντί προλόγου Το βιβλίο αυτό επιχειρεί μια «κατάδυση στα βαθειά» ενός γοητευτικού και ταυτόχρονα αινιγματικού κόσμου: τη μαθηματική επιστήμη της ύστερης Ελληνικής αρχαιότητας όπως αυτή έχει διασωθεί σε μια συλλογή προβλημάτων με τίτλο Διοφάντου Αλεξανδρέως Αριθμητικά. Η εξοικείωση όμως με αυτό τον κόσμο επιβάλει να «καταδυθούμε» χωρίς τον εξοπλισμό που παρέχουν τα σύγχρονα Μαθηματικά, μη εξαιρουμένων των απλών εργαλείων που αναφέρονται στον τίτλο του βιβλίου: οι όροι «εξίσωση», «ανίσωση» και «βαθμός» έχουν αποκτήσει από την εποχή του μεσαιωνικού Ισλάμ και της Ευρωπαϊκής αναγέννησης συγκεκριμένες σημασίες, λειτουργίες και αναπαραστάσεις που δεν ήταν οικείες στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς. Για να επιλύσει προβλήματα εύρεσης ρητών αριθμών με δεδομένες ιδιότητες, ο Διόφαντος, χρησιμοποιούσε μια έννοια «αγνώστου» σε εμβρυακή μορφή και ορισμένες συντομογραφίες για τις δυνάμεις του, με τη βοήθεια των οποίων και με τεχνάσματα εξαίρετης επινοητικότητας, δημιουργούσε «υποστάσεις» που είναι «ίσες», «μείζονες» ή «ελάσσονες» κάποιων άλλων για να προσδιορίσει από αυτές την τιμή του αγνώστου και εν συνεχεία τους ζητούμενους αριθμούς. Ένα από τα πολλά αινίγματα που εγείρει η ανάγνωση των Αριθμητικών είναι ότι στην εισαγωγή τους ο Διόφαντος δίνει προς τους αναγνώστες μια σημαντική υπόσχεση την οποία όμως αφήνει ανεκπλήρωτη, τουλάχιστον στα τμήματα εκείνα του έργου που έχουν διασωθεί. Συγκεκριμένα, υπόσχεται ότι θα παρουσιάσει «ύστερον» τον τρόπο εύρεσης του αγνώστου από τις ισότητες που σήμερα ονομάζονται «τριώνυμες εξισώσεις δευτέρου ή ανωτέρου βαθμού» σε κανένα όμως από τα υπάρχοντα τμήματα του έργου δεν γίνεται αυτή η παρουσίαση, παρά το γεγονός ότι τα στοιχεία της αντίστοιχης θεωρίας θεωρούνται γνωστά και χρησιμοποιούνται «σιωπηλά» στην επίλυση αρκετών προβλημάτων. Το βιβλίο αυτό εξετάζει όλα τα προβλήματα των Αριθμητικών που περιέχουν εξισώσεις και ανισώσεις αυτού του είδους και επιχειρεί να διαφωτίσει τον τρόπο που τις κατανοούσε και τις χρησιμοποιούσε ο Διόφαντος.

4 4 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Στην ιστορική βιβλιογραφία έχουν καταγραφεί πολλές απόπειρες αναζήτησης αλγεβρικών χαρακτηριστικών στο περιεχόμενο των Αριθμητικών ή άλλων έργων της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης. Αυτές οι απόπειρες όμως καταλήγουν συνήθως σε σύγχρονες μαθηματικές ανακατασκευές οι οποίες δεν συμβάλουν στην κατανόηση του ιστορικού πλαισίου μέσα στο οποίο τα έργα αυτά αναπτύχθηκαν. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει κάθε σύγχρονη αφήγηση για τα αρχαία Μαθηματικά είναι το εξής: Πώς θα μεταβιβάσει τον αυθεντικό τρόπο σκέψης του αρχαίου συγγραφέα σε έναν αναγνώστη που δεν έχει προ οφθαλμών (ή αδυνατεί να διαβάσει) το πρωτότυπο κείμενο; Ελπίζω ότι η «κατάδυσή» και αναζήτηση των εξισώσεων και ανισώσεων δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου, θα προσφέρει στους αναγνώστες αυτού του βιβλίου ένα αυθεντικό δείγμα του ιδιαίτερου τρόπου σκέψης που χαρακτηρίζει μια όψιμη αλλά ιδιαίτερα γόνιμη περίοδο της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης. Από τη θέση αυτή θέλω να ευχαριστήσω τις Εκδόσεις Ζήτη και ιδιαίτερα τον Άρη Σύρμο για την άψογη συνεργασία στην έκδοση αυτού του βιβλίου. Γιάννης Χ. Θωμαΐδης Θεσσαλονίκη Οκτώβριος 011

5 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; Αρχαίες μαθηματικές παραδόσεις και σύγχρονες ιστορικές ερμηνείες Μελέτη ενός παραδείγματος Πότε εμφανίστηκαν οι πρώτες εξισώσεις ου βαθμού;... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μια εισαγωγή στα Αριθμητικά του Διόφαντου Ο Διόφαντος και το έργο του Αριθμητικά Η έννοια της εξίσωσης και η ταξινόμηση των εξισώσεων στα Αριθμητικά Μερικά παραδείγματα της μεθοδολογίας του Διόφαντου Κεφάλαιο 3 Ελλιπείς ή προφανείς εξισώσεις ου βαθμού Τα προβλήματα 7, 8 και 30 του Βιβλίου Ι των Αριθμητικών Η επιλογή του αγνώστου καθορίζει το είδος της εξίσωσης «Πλασματικοί» περιορισμοί και συνθήκες επίλυσης Ειδικές λύσεις σε γενικά προβλήματα; Το πρόβλημα του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Η πρώτη εμφάνιση μιας πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης Η απαλοιφή των επιταγμάτων ενός προβλήματος «Τυχαία» επιλογή δεδομένων που οδηγεί σε αδιέξοδο Η μέθοδος της «διπλής ισότητας» Κεφάλαιο 4 Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού Το πρόβλημα 31 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Μια συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Το «σύνδρομο αποφυγής» της πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης... 74

6 6 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου 4.4. Περιορισμοί και απόρριψη αρχικών επιλογών Ο Διόφαντος δεν λύνει μόνο εξισώσεις Το πρόβλημα 6 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Η σκοπιμότητα της «τυχαίας» επιλογής δεδομένων Η συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων Το «συζυγές» πρόβλημα 7 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Το πρόβλημα 8 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Μια «αναβάθμιση» της συνθήκης ύπαρξης ρητών λύσεων Το «συζυγές» πρόβλημα 9 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Το πρόβλημα 10 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Πυθαγόρειες τριάδες και αλγεβρικός λογισμός Η διοφαντική εξίσωση x + y = z από την οπτική του Διόφαντου Μια διοφαντική εξίσωση 4 ου βαθμού Το «συζυγές» πρόβλημα 11 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Το πρόβλημα του Βιβλίου VI των Αριθμητικών Αναζητώντας τα «λοιπά δήλα» του Διόφαντου Δευτεροβάθμιες εξισώσεις με δύο λύσεις Η επίλυση του προβλήματος VI από μια σύγχρονη οπτική γωνία Κεφάλαιο 5 Ανισώσεις ου βαθμού Το πρόβλημα 39 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Ένας αλγόριθμος για τη «συμπλήρωση του τετραγώνου» Ένα αλγεβρικό «νοητικό πείραμα» Το πρόβλημα 10 του Βιβλίου V των Αριθμητικών Μια μεθοδολογία επίλυσης δευτεροβάθμιων ανισώσεων; Ερμηνεύοντας ένα «λάθος» του Διόφαντου Το πρόβλημα 30 του Βιβλίου V των Αριθμητικών Μια εναλλακτική μέθοδος «επίλυσης» δευτεροβάθμιων ανισώσεων Αριθμητική και «πραγματικά» προβλήματα Κεφάλαιο 6 Εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού στα Αριθμητικά: Μια ανασκόπηση Παραρτήματα Ι, ΙΙ, ΙΙΙ & ΙV Βιβλιογραφία

7 Εισαγωγή Η επόμενη σειρά αριθμητικών πράξεων είναι μέρος της επίλυσης ενός προβλήματος από τη Βαβυλωνιακή πινακίδα με τον κωδικό αριθμό ΑΟ886: 9 : = 14,5 14,5 14,5 = 10,5 10,5 10 = 0,5 0,5 = 0,5 14,5 + 0,5 = 15 14,5 0,5 = 14 Πόσοι από τους αναγνώστες θα υποστήριζαν την άποψη ότι ο Βαβυλώνιος που εκτελεί αυτές τις πράξεις γύρω στο 1750 π.χ., λύνει την εξίσωση x 9x + 10 = 0 ; 1 Στα βιβλία της σύγχρονης, πανεπιστημιακής Άλγεβρας η μελέτη της γενικής δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx + βx + γ = 0 γίνεται τελείως συνοπτικά, κυρίως για να δοθεί το πρώτο παράδειγμα εφαρμογής των αποτελεσμάτων της γενικής θεωρίας Galois (επίλυση εξισώσεων με ριζικά σε ένα σώμα) ή του θεμελιώδους θεωρήματος της Άλγεβρας (στο σώμα των μιγαδικών αριθμών). Για παράδειγμα, στην περίφημη Algebra του επιφανούς αλγεβριστή και ιστορικού των Μαθηματικών Bartel Leenert van der Waerden ( ) η σχετική παρουσίαση και των δύο περιπτώσεων καταλαμβάνει συνολικά περίπου μία σελίδα και περιλαμβάνει τα ε- ξής: Η επίλυση της γενικής εξίσωσης βαθμού x + px + q = 0 πρέπει σύμφωνα με τη γενική θεωρία να γίνεται μέσω μιας τετραγωνικής ρίζας ως τέ- 1 Η άποψη αυτή (την οποία πρώτος θα αμφισβητούσε ο γραφέας της πινακίδας!) αποτελούσε κυρίαρχη ερμηνευτική προσέγγιση στην ιστοριογραφία των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών για πολλές δεκαετίες. Το συγκεκριμένο ζήτημα εξετάζεται αναλυτικά στη συνέχεια του βιβλίου. Βλέπε: B. L. van der Waerden, Algebra I, σ.191 & σ.5.

8 8 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου τοια μπορεί να επιλέξει κανείς (βλέπε το συμπέρασμα της προηγούμενης παραγράφου) το γινόμενο διαφορών των ριζών x 1, x :. x - x = D D= p -4q. 1 Από εδώ και από την x1+ x =-p παίρνει κανείς τους γνωστούς τύπους επίλυσης x 1 = p D x = p D. Μοναδική προϋπόθεση αποτελεί ότι η χαρακτηριστική του βασικού σώματος δεν είναι. Όταν το βασικό σώμα είναι ειδικότερα το σώμα των μιγαδικών αριθμών, ο van der Waerden χρησιμοποιεί την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ως προάγγελο του θεμελιώδους θεωρήματος της Άλγεβρας. Αφού αποδεικνύει αρχικά ότι στο σώμα αυτό κάθε εξίσωση της μορφής x = a +bi (a, b πραγματικοί) είναι επιλύσιμη, γράφει: Από την προηγούμενη απόδειξη προκύπτει ότι στο σώμα των μιγαδικών αριθμών κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση x + px+ q= 0 μπορεί να λυθεί, αφού τεθεί στη μορφή Ê + ˆ p p x = -q. Ë 4 p Η λύση είναι λοιπόν x=- ± w, όπου το w σημαίνει μια οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης w = -q. 4 p Το «θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας», καλύτερα θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών, δηλώνει ότι στο σώμα C όχι μόνο κάθε δευτεροβάθμιο, αλλά κάθε μη σταθερό πολυώνυμο f(z) έχει μια ρίζα. Την περίοδο που ο Waerden έγραφε αυτές οι γραμμές, 3 οι εξισώσεις και οι ανισώσεις ου βαθμού αποτελούσαν έναν από τους πυλώνες της στοιχειώδους, σχολικής Άλγεβρας. Η σχετική θεωρία μαζί με πολυάριθμες ασκήσεις και προβλήματα κά- 3 Το απόσπασμα προέρχεται από την 8 η έκδοση (1971) της Algebra του Waerden (1 η έκδοση το 1930).

9 Eισαγωγή 9 λυπτε μεγάλο μέρος των διδακτικών βιβλίων, ενώ στην εξωσχολική βιβλιογραφία κυκλοφορούσαν πολλές μονογραφίες με αποκλειστικό περιεχόμενο τη μελέτη των ιδιοτήτων των ριζών του τριωνύμου ου βαθμού, τη διερεύνηση εξισώσεων και α- νισώσεων ου βαθμού με παραμετρικούς συντελεστές, την επίλυση προβλημάτων, καθώς και ικανό αριθμό από τις περιβόητες «συνδυαστικές» ασκήσεις, που συνδύαζαν το «τριώνυμο» με ετερόκλητα κεφάλαια της σχολικής Άλγεβρας και παράγονταν ως προϊόν μαζικής κατανάλωσης για τις ανάγκες των εισαγωγικών εξετάσεων. Η έμφαση στη μελέτη του τριωνύμου ου βαθμού, τόσο στη διδασκαλία όσο και στις εξετάσεις, είχε λάβει τέτοιες υπερβολικές διαστάσεις ώστε η μεγάλη διεθνής απόπειρα εκσυγχρονισμού των σχολικών Μαθηματικών που άρχισε να υλοποιείται στα τέλη της δεκαετίας του 1950, έβαλε εξαρχής στο στόχαστρο την «αρρώστια της τριωνυμίτιδας» (illness of trinomialitis). 4 Στα χρόνια που ακολούθησαν, οι τάσεις για εκσυγχρονισμό και εξορθολογισμό έφεραν στο προσκήνιο της σχολικής Άλγεβρας την έννοια της συνάρτησης, με αποτέλεσμα η «μελέτη του τριωνύμου» να συρρικνωθεί και να ενταχθεί μέσα στο ευρύτερο πλαίσιο μελέτης της πολυωνυμικής συνάρτησης ου βαθμού f(x) = αx + βx+ γ. Οι εξελίξεις αυτές μπορεί να περιόρισαν ποσοτικά την έκταση της διδασκαλίας των εξισώσεων και ανισώσεων ου βαθμού, αλλά δεν έχουν αλλάξει την ουσία του ζητήματος οι συγκεκριμένες έννοιες και ο «τύπος της διακρίνουσας» - β± β -4αγ x = α παραμένουν ουσιαστικά ένα από τα πιο βασικά αν και όχι πάντοτε ευχάριστα ενθυμήματα της μαθηματικής εκπαίδευσης των μαθητών όλου του κόσμου. Η σύντομη αυτή αναδρομή στο χώρο της ιστορίας, της επιστήμης και της εκπαίδευσης διεγείρει την έμφυτη ανθρώπινη περιέργεια να γνωρίσει την προέλευση και την εξέλιξη γεγονότων ή καταστάσεων που σήμερα εμφανίζονται περίπου ως αμετάβλητες, αιώνιες αλήθειες. Η περιέργεια αυτή, που είναι ουσιώδες χαρακτη- 4 Ο άλλος μεγάλος στόχος των μεταρρυθμιστών ήταν η κατάργηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, που εκφράστηκε με το περιβόητο σύνθημα «να φύγει ο Ευκλείδης». Βλέπε σχετικά: O.E.E.C., New Thinking in School Mathematics, 100, 63.

10 10 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου ριστικό της κριτικής σκέψης, ελάχιστα ενθαρρύνεται ή καλλιεργείται από τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο σημερινό σχολείο και η όποια παροχή ιστορικής γνώσης συνήθως συμπιέζεται μέσα στα ασφυκτικά περιθώρια ιστορικών σημειωμάτων των διδακτικών βιβλίων. Οι εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού έχουν τη δική τους, πολύ ενδιαφέρουσα ιστορική καταγωγή και εξέλιξη, η αφήγηση όμως της οποίας συχνά εξαντλείται σε αναπαραγωγή στερεοτύπων ή εγκλωβίζεται σε απριοριστικές και αναχρονιστικές ερμηνείες. Στα κεφάλαια που ακολουθούν θα επιχειρηθεί μια σύνθεση των στοιχείων ε- κείνων που συγκροτούν την πρώτη γνωστή διαπραγμάτευση εξισώσεων και ανισώσεων ου βαθμού στην ιστορική εξέλιξη των Μαθηματικών. Ενταγμένη με αποσπασματικό και μάλλον αινιγματικό τρόπο στα Αριθμητικά του Διόφαντου, η διαπραγμάτευση αυτή έχει προβληματίσει τους μαθηματικούς και ιστορικούς που ασχολήθηκαν με το συγκεκριμένο έργο, αλλά το ζήτημα δεν προβάλλεται όσο θα έπρεπε στη σχετική βιβλιογραφία. Αποτέλεσμα ευρύτερων ερευνών του συγγραφέα για το έργο του Αλεξανδρινού μαθηματικού κατά την τελευταία δεκαετία 5, το μεγαλύτερο μέρος αυτού του υλικού δημοσιεύεται για πρώτη φορά στο ανά χείρας βιβλίο. 5 Για το περιεχόμενο αυτών των ερευνών βλέπε: Y. Thomaidis, A Framework for Defining the Generality of Diophantos Methods in «Arithmetica». Archive for History of Exact Sciences 59, (005). Γ. Θωμαΐδης, Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου. Ιστορία & Μαθηματική Εκπαίδευση, Θεσσαλονίκη, Εκδόσεις Ζήτη (006). Y. Thomaidis, Some remarks on the meaning of equality in Diophantos Arithmetica. Historia Mathematica 38, 8 41 (011).

11 Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; 6 Κεφάλαιο Αρχαίες μαθηματικές παραδόσεις και σύγχρονες ιστορικές ερμηνείες Για να κατανοήσουμε την ιστορική εξέλιξη μιας μαθηματικής έννοιας χρειάζεται τις περισσότερες φορές να έχουμε πρόσβαση σε κείμενα γραμμένα πριν από πολλούς αιώνες και σε γλώσσες που σήμερα θεωρούνται νεκρές, με ανύπαρκτο ή υποτυπώδη συμβολισμό (και σε κάθε περίπτωση διαφορετικό από αυτόν που κατανοεί ένας σημερινός αναγνώστης). Επιπλέον, τα κείμενα αυτά είναι πολλές φορές αποσπασματικά, δηλαδή δεν περιέχουν κάποιο θεωρητικό υπόβαθρο με ορισμούς των εννοιών και ερμηνείες των μεθόδων που χρησιμοποιούν οι συγγραφείς τους στην επίλυση των προβλημάτων. Όπως γίνεται φανερό, η μελέτη αυτών των κειμένων αποτελεί μια εξειδικευμένη ερευνητική δραστηριότητα που διεξάγεται από τους ιστορικούς των Μαθηματικών, οι οποίοι έχουν αναπτύξει ειδικά εργαλεία και μεθόδους ανάλυσης και ερμηνείας. Είναι μάλιστα χαρακτηριστικό ότι τα μέσα που χρησιμοποιούν οι ιστορικοί δεν είναι αμετάβλητα αλλά εξελίσσονται και προσαρμόζονται στα νέα ιστοριογραφικά προβλήματα που ανακύπτουν με την πάροδο του χρόνου. Σ αυτό το πρώτο κεφάλαιο λοιπόν θα επιχειρήσουμε να δώσουμε ένα 6 Το περιεχόμενο αυτού του κεφαλαίου προέρχεται από επεξεργασία και επικαιροποίηση παλαιότερης εργασίας μου που είχε δημοσιευθεί στο περιοδικό Διάσταση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (τεύχος 1-, 199, σσ.56-64)

12 1 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου μικρό πανόραμα της ερευνητικής δραστηριότητας που αναπτύσσεται στο χώρο της ιστοριογραφίας των Μαθηματικών, έχοντας ως άξονα την ιστορική εξέλιξη των εξισώσεων ου βαθμού. Αν επιχειρήσει κανείς να ανιχνεύσει την καταγωγή των εξισώσεων ου βαθμού και καταφύγει στα κλασικά εγχειρίδια της Ιστορίας των Μαθηματικών, θα συναντήσει δύο στερεότυπες αναφορές: Η πρώτη παραπέμπει στους Βαβυλώνιους οι οποίοι θεωρείται ότι έλυναν εξισώσεις ου βαθμού ήδη από την περίοδο π.χ. (εποχή του βασιλιά Χαμμουραπί και των διαδόχων του), χρησιμοποιώντας μια μέθοδο παρόμοια προς τη σημερινή, αλλά διατυπωμένη με λόγια, στη μορφή οδηγιών. Η δεύτερη αναφορά γίνεται στους αρχαίους Έλληνες της κλασικής περιόδου οι οποίοι θεωρείται ότι έλυναν εξισώσεις ου βαθμού με γεωμετρικές μεθόδους, στο πλαίσιο της λεγόμενης «γεωμετρικής άλγεβρας». Οι θέσεις αυτές είναι ευρύτατα διαδεδομένες και μπορεί να τις συναντήσει κανείς ακόμη και στα ιστορικά σημειώματα των σχολικών βιβλίων. Τις τελευταίες δεκαετίες όμως η ιστορική έρευνα έχει αναδείξει ορισμένες όψεις του ζητήματος που θέτουν υπό έντονη αμφισβήτηση τις προηγούμενες θέσεις, αλλά και συνολικά την πρώιμη ιστορία της Άλγεβρας. Μπορούμε μάλιστα να υποστηρίξουμε ότι το συγκεκριμένο ζήτημα έχει συμβάλει καθοριστικά στη δημιουργία μιας ρήξης που οριοθετεί την «παραδοσιακή» από τη «σύγχρονη» σχολή ιστοριογραφίας των Μαθηματικών της αρχαιότητας. Ο B. van der Waerden, επιχειρώντας μια σύνθεση ανάμεσα σε διαφορετικές εποχές και μαθηματικές παραδόσεις, αναφέρει ότι αν συγκρίνουμε τα κείμενα των Βαβυλωνιακών πινακίδων με εκείνα του Ευκλείδη (περίπου 300 π.χ.), του Al Khwārizmī (περίπου μ.χ.) και του Omar Khayyām ( μ.χ.), μπορούμε να διακρίνουμε τρία διαφορετικά είδη άλγεβρας: 7 Α. Μικτή Άλγεβρα Βαβυλωνιακού τύπου, στην οποία ευθύγραμμα τμήματα προστίθενται με εμβαδά και εξισώνονται με αριθμούς. Β. Αριθμητική Άλγεβρα, στην οποία μόνο ρητοί αριθμοί m/n είναι δεκτοί για συντελεστές και λύσεις εξισώσεων, όπως στα «Αριθμητικά» του Διόφαντου. Γ. Γεωμετρική Άλγεβρα όπως η άλγεβρα του Omar Khayyām, στην οποία απαγορεύεται αυστηρά η ανάμειξη ευθυγράμμων τμημάτων, εμβαδών και όγκων. 7 Βλέπε: B. L. van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, σ.74.

13 Κεφ. 1. Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; 13 Τα θεμέλια αυτού του είδους άλγεβρας, υποστηρίζει ο αλγεβριστής Waerden, είχαν τεθεί από τον Ευκλείδη στο Βιβλίο II των Στοιχείων. Στα παραπάνω συνοψίζονται ορισμένες βασικές ερμηνευτικές προσεγγίσεις που χαρακτηρίζουν μια ολόκληρη σχολή ιστοριογραφίας των προελληνικών και ελληνικών Μαθηματικών. Κυρίαρχο στοιχείο αυτών των προσεγγίσεων αποτελεί η υπόθεση για την ύπαρξη, κατά την αρχαιότητα, ενός αλγεβρικού τρόπου σκέψης που ταυτίζεται ουσιαστικά με τη νεότερη συμβολική άλγεβρα. Ο όρος «γεωμετρική άλγεβρα» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στα τέλη του 19 ου αιώνα από τους ιστορικούς Hieronymus Zeuthen ( ) και Paul Tannery ( ), και καθιερώθηκε μετά την κλασική έκδοση των Στοιχείων από τον επιφανή ιστορικό των αρχαιοελληνικών Μαθηματικών Sir Thomas Heath ( ) που έκανε συστηματική χρήση του όρου στην ανάλυση του Ευκλείδειου έργου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο εισάγεται η ερμηνευτική οπτική της «γεωμετρικής άλγεβρας» αποτελεί η «παραδοσιακή» ερμηνεία της πρότασης 4 του Βιβλίου II των Στοιχείων: Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Θ Α Γ Η Β Κ Δ Ζ Ε Σχήμα Δηλαδή, αν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και Γ τυχαίο σημείο του, τότε το τετράγωνο που έχει πλευρά ολόκληρο το ΑΒ είναι ίσο με τα τετράγωνα που έχουν πλευρές τα τμήματα ΑΓ και ΓΒ συν το διπλάσιο του ορθογωνίου που περιέχεται από τα τμήματα ΑΓ και ΓΒ. Αυτή η σχέση σημαίνει ότι στο παραπάνω σχήμα ι- σχύει (ΑΒΕΔ) = (ΘΗΖΔ) + (ΓΒΚΗ) + (ΑΓΗΘ), με την επισήμανση ότι ο Ευκλείδης δεν εννοεί ισότητα αριθμητικών εμβαδών, αλλά ισότητα γεωμετρικών χωρίων η οποία στα Στοιχεία αποδεικνύεται αυστηρά μέσω μιας διαδικασίας που έχει θεωρητικοποιήσει την κατάτμηση, μετατόπιση και

14 14 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου ταύτιση των επιμέρους σχημάτων. Η συγκεκριμένη πρόταση όμως έχει ερμηνευθεί από τους ιστορικούς ως γεωμετρική διατύπωση και απόδειξη της αλγεβρικής ταυτότητας (α + β) = α + β + αβ, η οποία εκφράζει μια σχέση πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών. 8 Με τον τρόπο αυτό εισάγεται στην ανάγνωση του Ευκλείδειου έργου ένα ξένο σώμα, η έννοια του μέτρου των ευθυγράμμων τμημάτων και της επιφάνειας των γεωμετρικών σχημάτων. Ένα άλλο παράδειγμα, με το οποίο «εφευρίσκεται» αυτή τη φορά στα Στοιχεία η επίλυση των εξισώσεων ου βαθμού, αποτελεί η πρόταση 11 του ίδιου Βιβλίου, που είναι επίσης γνωστή ως πρόβλημα διαίρεσης ενός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο: Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ. Ζ Α Ε Γ Κ Η Θ Β Δ Σχήμα Δηλαδή, να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε δύο τμήματα ΑΘ και ΘΒ έτσι, ώστε το ορθογώνιο που περιέχεται από ολόκληρο το ΑΒ και το μικρότερο τμήμα (ΘΒ) να είναι ίσο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το μεγαλύτερο τμήμα (ΑΘ). Στο παραπάνω σχήμα, η σχέση αυτή σημαίνει ότι ισχύει (ΘΒΔΚ)=(ΖΗΘΑ), με την ίδια επισήμανση που έγινε για την πρόταση 4. Η πρόταση 11, που είναι ένα πρόβλημα αυθεντικής γεωμετρικής κατασκευής, χωρίς την παραμικρή αναφορά σε μήκη, εμβαδά και αριθμητικές πράξεις, έχει ερμηνευθεί ως γεωμετρική επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης α(α x) = x ή x + αx= α, 8 Βλέπε για παράδειγμα: T. Heath, The Thirteen Books of the Elements, Vol. 1, σ.389.

15 Κεφ. 1. Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις ου βαθμού; 15 όπου βέβαια το α εκφράζει το μήκος του τμήματος ΑΒ και ο άγνωστος x το μήκος του τμήματος ΑΘ. 9 Με αυτή την ερμηνευτική προσέγγιση λοιπόν, το Βιβλίο II των Στοιχείων παρουσιάζεται στο σημερινό αναγνώστη ως μια συλλογή αλγεβρικών ταυτοτήτων και εξισώσεων σε γεωμετρική μορφή, δηλαδή ένα βιβλίο «γεωμετρικής άλγεβρας». Η υπόθεση των ιστορικών για την ύπαρξη μιας «γεωμετρικής άλγεβρας» των αρχαίων Ελλήνων ισχυροποιήθηκε όταν ήρθαν στο φως αρχαιολογικά ευρήματα, που έδωσαν για πρώτη φορά μια αρκετά ικανοποιητική εικόνα των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών. Ο ιστορικός Otto Neugebauer ( ), ο οποίος τη δεκαετία του 1930 μελέτησε Βαβυλωνιακές πινακίδες μαθηματικού περιεχομένου και δημοσίευσε μεταφράσεις τους, ακολούθησε την ίδια ερμηνευτική μεθοδολογία, μεταγράφοντας το περιεχόμενό τους σε σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό. Έτσι, ορισμένα από τα προβλήματα των πινακίδων και οι μέθοδοι επίλυσής τους παρουσιάστηκαν ως ισοδύναμα με την επίλυση εξισώσεων ου βαθμού. Προχωρώντας όμως παραπέρα, ο Neugebauer έκανε την τολμηρή υπόθεση ότι οι αρχαίοι Έλληνες παρέλαβαν την αλγεβρική μέθοδο των Βαβυλωνίων και την περιέβαλαν με «γεωμετρικό ένδυμα», δημιουργώντας τη «γεωμετρική άλγεβρα». Οι προηγούμενες θέσεις προβλήθηκαν ιδιαίτερα από τον van der Waerden, στο πολύ γνωστό βιβλίο του Science Awakening (1 η έκδοση 1950) 10, και από τότε η ύπαρξη της Βαβυλωνιακής άλγεβρας και της συνακόλουθης «γεωμετρικής άλγεβρας» των αρχαίων Ελλήνων καθιερώθηκε ως ένα οριστικό και ακλόνητο συμπέρασμα της ιστορικής έρευνας και ενσωματώθηκε στα συνθετικά έργα της Ιστορίας των Μαθηματικών. Μια πρώτη συστηματική αμφισβήτηση αυτών των θέσεων έγινε από τον ιστορικό Árpád Szabó ( ) στο βιβλίο του Anfänge der griechischen Mathematik (1969) 11. Ο Szabó απέρριψε την ερμηνεία της «γεωμετρικής άλγεβρας» για το Βιβλίο II των Στοιχείων, επισημαίνοντας ότι οι προτάσεις που περιέχει έχουν καθαρά γεωμετρικό υπόβαθρο και προορισμό, χωρίς καμιά σχέση με την επίλυση εξισώσεων. Για παράδειγμα, η προαναφερθείσα πρόταση 11 του Βιβλίου II (διαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο) παίζει αποφασιστικό ρόλο στις προτάσεις 9 Βλέπε για παράδειγμα: T. Heath, ο.π., σ Το βιβλίο αυτό μεταφράστηκε στα Ελληνικά με τίτλο Η Αφύπνιση της Επιστήμης και εκδόθηκε από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης το Το βιβλίο αυτό μεταφράστηκε στα Ελληνικά με τίτλο Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηματικών και εκδόθηκε από το Τεχνικό Επιμελητήριο της Ελλάδος το 1973.

16 16 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου 10 και 11 του Βιβλίου ΙV που διαπραγματεύονται την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου. Παράλληλα ο Szabó απέρριψε την υπόθεση ότι οι Έλληνες παρέλαβαν αυτές τις μαθηματικές γνώσεις από τους Βαβυλώνιους, επισημαίνοντας το γεγονός ότι αν υπήρχε κάποιο είδος μεταφοράς μαθηματικών γνώσεων από τη Βαβυλώνα προς την Ελλάδα, τότε οι Έλληνες της κλασικής περιόδου θα είχαν κατεξοχήν οικειοποιηθεί το θεσιακό σύστημα αρίθμησης. 1 Ένα γενικότερο ρεύμα αμφισβήτησης, κυρίως για την ορθότητα ερμηνείας της αρχαίας μαθηματικής σκέψης με χρήση όρων και συμβολισμών από τα σύγχρονα Μαθηματικά εμφανίστηκε στη διάρκεια της δεκαετίας του Αποκορύφωμα αυτού του ρεύματος υπήρξε ένα πολεμικό άρθρο του Sabetai Unguru που υποστήριζε την ανάγκη να ξαναγραφεί η ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών. 13 Τα βασικά σημεία στα οποία θεμελιώθηκε η κριτική του Unguru, ήταν τα εξής: α) Υπάρχει σαφής διαφορά ανάμεσα στον γεωμετρικό και αλγεβρικό τρόπο σκέψης. Η γεωμετρία είναι σκέψη για το χώρο, τα σχήματα και τις ιδιότητές τους, ενώ η αλγεβρική σκέψη χαρακτηρίζεται από το λειτουργικό συμβολισμό και την ενασχόληση με μαθηματικές σχέσεις παρά με μαθηματικά αντικείμενα. β) Οι προτάσεις των Στοιχείων που ερμηνεύονται ως «αλγεβρικές ταυτότητες» ή «δευτεροβάθμιες εξισώσεις», έχουν συγκεκριμένο γεωμετρικό περιεχόμενο, εντάσσονται οργανικά στη λογική δομή του έργου και χρησιμοποιούνται από τον Ευκλείδη ως βασικά στοιχεία των γεωμετρικών κατασκευών. Ποια είναι επομένως η σκοπιμότητα, από ιστορική σκοπιά, της σύγχρονης αλγεβρικής ερμηνείας; 1 Μια έντονη κριτική της υπόθεσης του Neugebauer για τη Βαβυλωνιακή προέλευση των Ελληνικών Μαθηματικών είχε κάνει το 1968 και ο διακεκριμένος ιστορικός Ευάγγελος Σταμάτης ( ). Όμως ο Σταμάτης, ενώ αμφισβητεί την ύπαρξη μιας «Βαβυλωνιακής άλγεβρας», δεν κάνει το ίδιο για τη «γεωμετρική άλγεβρα» που είναι αποτέλεσμα της ίδιας ακριβώς ερμηνευτικής μεθοδολογίας. Βλέπε: Ε. Σταμάτη, Τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων. Ο Ευκλείδης, τόμος Β, τεύχος 1 (Σεπτέμβριος 1968), σσ.36 40, τεύχος (Οκτώβριος 1968), σσ.7 77 και τεύχος 3 (Νοέμβριος 1968), σσ Μια σύγχρονη άποψη για τη στάση των Ελλήνων απέναντι στα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων παρουσίασε πρόσφατα η ιστορικός των Βαβυλωνιακών Μαθηματικών Eleanor Robson, λαμβάνοντας υπόψη όχι μόνο το περιεχόμενο αλλά και το πλαίσιο μέσα στο οποίο αναπτύχθηκαν οι αντίστοιχες μαθηματικές παραδόσεις. Σε άρθρο της με τίτλο Influence, ignorance, or indifference? Rethinking the relationship between Babylonian and Greek mathematics, που δημοσιεύθηκε το 005 στο Δελτίο της Βρετανικής Εταιρείας για την Ιστορία των Μαθηματικών, η Robson υποστηρίζει την άποψη της «άγνοιας» ή και της «αδιαφορίας» των Ελλήνων για τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά. 13 S. Unguru, On the need to rewrite the history of Greek Mathematics. Archive for History of Exact Sciences 15(1), (1975).

17 Κεφάλαιο 4 Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού Το Βιβλίο IV, το οποίο σήμερα θεωρείται ότι ανήκει στην τελευταία τετράδα των 13 βιβλίων που αποτελούσαν την αρχική έκδοση των Αριθμητικών, 60 περιέχει 40 προβλήματα. Στην πορεία επίλυσης του τριακοστού πρώτου προβλήματος (το οποίο επιλύεται με δύο τρόπους) ο Διόφαντος παρέχει την πρώτη σαφή ένδειξη ότι διαθέτει μια συνθήκη για τον έλεγχο της ύπαρξης ρητών λύσεων μιας πλήρους εξίσωσης ου βαθμού, καθώς και έναν τρόπο εύρεσής τους Το πρόβλημα 31 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών Να διασπαστεί η μονάδα σε άθροισμα δύο αριθμών τέτοιων, ώστε αν προστεθεί σε καθένα από αυτούς δοθείς αριθμός, το γινόμενο [των αθροισμάτων] να δίνει τετράγωνο. ä Η προηγούμενη, γενική διατύπωση του προβλήματος IV31 μπορεί σήμερα να εκφραστεί στη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων με αγνώστους α και β: ÏÔ α+ β= 1 Ì ÔÓ (α + p)(β + q) = κ 60 Για το ζήτημα της κατανομής των 13 βιβλίων κεφαλαίων μέσα στο σώμα των Αριθμητικών βλέπε όσα αναφέρθηκαν στην υποσημείωση 35.

18 70 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Μια περιγραφή της πρώτης λύσης του Διόφαντου Ο Διόφαντος εισάγει δύο συγκεκριμένες τιμές (p = 3 και q = 5) για τους δεδομένους αριθμούς. Στη συνέχεια εισάγει ως άγνωστο x τον πρώτο από τους ζητούμενους αριθμούς οπότε η «υπόσταση» του δεύτερου θα είναι 1 x. Με αυτή την ά- μεση επιλογή του αγνώστου είναι x + 1 x = 1, δηλαδή ισχύει πάντοτε το πρώτο επίταγμα του προβλήματος. Τότε θα είναι α + p = x + 3 και β + q = 1 x + 5 = 6 x. Το γινόμενο των δύο «υποστάσεων» x + 3 και 6 x δίνεται απ ευθείας ίσο με 3x + 18 x και έτσι, σύμφωνα με το δεύτερο επίταγμα του προβλήματος, προκύπτει η εξίσωση: 3x + 18 x =. (4.1.1) Ο Διόφαντος επιλέγει για το δεύτερο μέρος τον τετράγωνο 4x και δημιουργεί την εξίσωση 3x + 18 = 5x, (4.1.) την οποία όμως απορρίπτει αμέσως, με τη φράση «δεν είναι η εξίσωση ρητή» (ουκ έστιν η ίσωσις ρητή). Κατόπιν επιχειρεί, όπως και στο πρόβλημα IV, έναν επαναπροσδιορισμό της επιλογής του τετραγώνου 4x για το δεύτερο μέρος της (4.1.1). Στη διάρκεια αυτού του επαναπροσδιορισμού γίνεται φανερό ότι χρησιμοποιεί ως συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων της (4.1.) τη σχέση: Ê1 ˆ Á 3 = Ë (που δεν ισχύει) (4.1.3) Σημειώνει ότι το πλήθος 5 των x στην (4.1.) προέρχεται από το άθροισμα 4+1 (δηλαδή 5x = 4x + x ). Για να ισχύει λοιπόν η (4.1.3) θα πρέπει, αντί του 4, να χρησιμοποιηθεί στο δεύτερο μέρος της (4.1.1) ένας τετράγωνος αριθμός με την εξής ιδιότητα: όταν αυξάνεται κατά μία μονάδα και πολλαπλασιάζεται επί 18 και στη συνέχεια το γινόμενο αυξάνεται κατά 9, το αποτέλεσμα να είναι τετράγωνος. Ο προσδιορισμός ενός τέτοιου τετράγωνου αριθμού συνιστά ένα υποπρό- 4 βλημα, το οποίο ενσωματώνεται μέσα στην επίλυση του αρχικού προβλήματος.

19 Κεφ. 4. Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού 71 Αν m είναι αυτός ο τετράγωνος αριθμός 61, τότε η προηγούμενη ιδιότητα οδηγεί διαδοχικά στις εξισώσεις 9 (m + 1) 18 + = ή m + = ή 7m + 81 =. 4 Ο Διόφαντος επιλέγει για το δεύτερο μέρος της τελευταίας τον τετράγωνο (8m + 9) = 64m + 144m + 81, οπότε προκύπτει η εξίσωση 8m = 144m. Η λύση της τελευταίας είναι m = 18 και άρα ο ζητούμενος τετράγωνος m = 34. Επιστρέφοντας στην αρχική εξίσωση (4.1.1), ο Διόφαντος θέτει τώρα: 3x + 18 x = 34x και δίνει αμέσως, χωρίς την παραμικρή διευκρίνιση, την τιμή του αγνώστου 78 6 x = = Άρα οι δύο ζητούμενοι αριθμοί είναι α= x= και β= 1 x= 19, οι οποίοι ι- 5 5 κανοποιούν τα δύο επιτάγματα του προβλήματος: =1 και Ê 6 + ˆÊ19 + ˆ Ê108ˆ Ë Á 3 Ë Á 5 = = Ë Á Μια περιγραφή της δεύτερης λύσης του Διόφαντου Ο Διόφαντος χρησιμοποιεί τους ίδιους δεδομένους αριθμούς (p = 3 και q = 5), αλλά καταφεύγει τώρα σε μια έμμεση επιλογή του αγνώστου ονομάζοντας x τον α + 3, οπότε οι «υποστάσεις» των ζητούμενων αριθμών είναι α= x 3 και β= 1 α= 4 x. Με αυτή την επιλογή, το πρώτο επίταγμα α + β = 1 ισχύει για κάθε τιμή του x, ενώ το δεύτερο επίταγμα (α + 3)(β + 5) = οδηγεί στην αρχική εξίσωση: 9x x =. (4.1.4) 61 Συμβολίζουμε τον άγνωστο τετράγωνο του υποπροβλήματος με m και όχι x, ώστε να μην υπάρξει σύγχυση με τον αρχικό άγνωστο x του προβλήματος. Ο Διόφαντος δεν αντιμετωπίζει τέτοιο πρόβλημα, επειδή χρησιμοποιεί το τελικό σίγμα (ς) για τον αρχικό άγνωστο και τη συντομογραφία Δ Υ για τον άγνωστο τετράγωνο του υποπροβλήματος.

20 7 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Όπως και στην προηγούμενη λύση ο Διόφαντος επιλέγει για το δεύτερο μέρος της (4.1.4) τον τετράγωνο 4x : 9x x = 4x. Από την τελευταία προσδιορίζει αμέσως τη λύση x = 9 5, αλλά τότε, όπως γράφει, η «υπόσταση» του α = x 3 οδηγεί σε μια αδύνατη αφαίρεση (ου δύναμαι α- φελείν). Αυτό το αποτέλεσμα οδηγεί στη διατύπωση του περιορισμού 3 < x < 4 (ώστε οι αφαιρέσεις x 3 και 4 x να έχουν νόημα) και στο συνήθη επαναπροσδιορισμό της αρχικής επιλογής 4x που οδήγησε στην τιμή = 9 x Η παρατήρηση ότι ισχύει = οδηγεί τον Διόφαντο στην αναζήτηση ενός τετραγώνου m τέτοιου, ώστε 3< < 4. m Από την ανίσωση αυτή προκύπτει ότι είναι m + 1< = 3, δηλαδή m 3 < και επίσης m + 1> 9, δηλαδή m > Ο Διόφαντος αναλύει την ανισότητα 5 < m < «σε τετραγωνικούς παρονομαστές», δηλαδή 4 80 < m < 18, και επιλέγει αμέσως, ως μια προφανή λύση, τον τετράγωνο m = = Επιστρέφοντας τώρα στην αρχική εξίσωση (4.1.4), θέτει 5 9x x = x, 16 και δίνει αμέσως την τιμή του αγνώστου x = 144, από την οποία προκύπτουν οι 41 αριθμοί α = x 3 = 1 41 και β = 4 x = 0 41 που ικανοποιούν τα επιτάγματα του προβλήματος.

21 Κεφ. 4. Πλήρεις εξισώσεις ου βαθμού Μια συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Στον πρώτο τρόπο επίλυσης του προβλήματος ο Διόφαντος μας παρέχει έμμεσες αλλά σαφείς ενδείξεις ότι γνωρίζει μια συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων δευτεροβάθμιων εξισώσεων, όπως η 3x + 18 = 5x καθώς και μέθοδο υπολογισμού τους. Η συνθήκη αυτή, που την εκφράσαμε προηγουμένως με τη σχέση (4.1.3), φαίνεται ότι προέρχεται από μια διαδικασία επίλυσης των συγκεκριμένων εξισώσεων με τη μέθοδο «συμπλήρωσης του τετραγώνου». Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει αν επιχειρήσουμε να λύσουμε τις εξισώσεις 3x + 18 = 5x και 3x + 18 = 35x με τον εξής τρόπο: Πίνακας 4..1 Βήμα 3x + 18 = 5x 3x + 18 = 35x 1 ο 5 3x = 5 5x 35 3x = 35 35x ο 3 ο 5 3 x Ê 3 ˆ Ë Ê ˆ = 5 x +Á Ë Ê 3 ˆ Ë 3 Ê3ˆ 3 = 5 x + Á 5 x Ë 35 3 x Ê 3 ˆ Ë = 35 x + Ê 3 ˆ Ë Ê 3 ˆ Ë =35 x + Ê 3 ˆ Ë 35 3 x 4 ο = Ê 3 - ˆ x = Ê 3 35x - ˆ Ë 4 Ë 5 ο «άρρητη εξίσωση» «ρητή εξίσωση» 6 ο 153 = 35x 3 7 ο x = = 6 5 fi 78 = 35x

22 74 Γ. Θωμαΐδης. Εξισώσεις και ανισώσεις δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου Αυτό που προκύπτει μέχρι στιγμής από το συγκεκριμένο πρόβλημα (IV31) είναι ότι ο Διόφαντος χρησιμοποιεί την αριθμητική παράσταση που εμφανίζεται στο πρώτο μέρος της εξίσωσης στο 3 ο βήμα, ως μια γνωστή συνθήκη που επιτρέπει να «διακρίνουμε» αν η εξίσωση έχει ρητή λύση. Επιπλέον, στην περίπτωση που η συνθήκη βεβαιώνει την ύπαρξη ρητής λύσης, η πρακτική του Διόφαντου υποδηλώνει ότι θεωρεί τετριμμένη τη διαδικασία υπολογισμού της που περιγράφεται στο 6 ο και 7 ο βήμα. Ο Διόφαντος θα «αναγκαστεί» να περιγράψει τη διαδικασία αυτή πιο αναλυτικά λίγο παρακάτω, όταν στη διάρκεια της επίλυσης του προβλήματος IV39 βρεθεί αντιμέτωπος με την ανίσωση 6x + 18 < x και επιχειρήσει να τη λύσει μέσω της αντίστοιχης εξίσωσης. 6 Όπως θα διαπιστώσουμε στις ενότητες αυτού του κεφαλαίου, ο Διόφαντος θα εξακολουθήσει στο Βιβλίο VI να επιλύει εξισώσεις ου βαθμού χρησιμοποιώντας τη συνθήκη ύπαρξης ρητών ριζών και τη διαδικασία υπολογισμού τους με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που άρχισε να το πράττει στο πρόβλημα IV31 δηλαδή ως γνωστά μαθηματικά αποτελέσματα που δεν χρειάζεται να εξηγηθούν στον αναγνώστη Το «σύνδρομο αποφυγής» της πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης Αν η σειρά των διασωθέντων βιβλίων των Αριθμητικών ταυτίζεται με την πραγματική σειρά που είχαν στην αρχική έκδοση του έργου, τότε είναι πράγματι ανεξήγητος ο σχεδόν «μυστικός» τρόπος με τον οποίο ο Διόφαντος χειρίζεται την πρώτη εμφάνιση της συνθήκης ύπαρξης ρητών λύσεων. Είναι χαρακτηριστικό ότι σε δύο προβλήματα του αμέσως προηγούμενου Βιβλίου III είχε απορρίψει τις εξισώσεις που προέκυψαν από τις αρχικές επιλογές των δεδομένων, παρά το γεγονός ότι αυτές θα μπορούσαν να μετασχηματιστούν σε πλήρεις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με ρητή λύση. Η πρώτη περίπτωση αφορά το πρόβλημα ΙΙΙ 10, στο οποίο ζητείται: Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι, ώστε το άθροισμα του γινομένου δύο οποιωνδήποτε από αυτούς με ένα δοθέντα αριθμό να δίνει τετράγωνο. 6 Το ζήτημα εξετάζεται λεπτομερώς στις ενότητες 5.1, 5. και 5.3 του επόμενου κεφαλαίου.

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος

Aλγεβρα A λυκείου B Τομος Aλγ ε β ρ α A υ κ ε ί ο υ B Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ειρά: Γενικό ύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α υκείου, Β Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Εξώφυλλο: Γεωργία αμπροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Ν. Καστάνης: Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών, Α.Π.Θ. 541 24, Θεσσαλονίκη, nioka@math.auth.gr

Ν. Καστάνης: Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών, Α.Π.Θ. 541 24, Θεσσαλονίκη, nioka@math.auth.gr 2 Γ. Θωμαΐδης: T.Θ. 400 29, 564 04, Θεσσαλονίκη, gthom@otenet.gr Ν. Καστάνης: Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών, Α.Π.Θ. 541 24, Θεσσαλονίκη, nioka@math.auth.gr Κ. Τζανάκης: Παιδαγωγικό Τμήμα Δ.Ε.,

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Το Ενημερωτικό Δελτίο μπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα μας www.didamath.gr

Το Ενημερωτικό Δελτίο μπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα μας www.didamath.gr ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ Επιστημονική Ένωση για τη Διδακτική των Μαθηματικών Ενημερωτικό Δελτίο Νο 1 Νοέμβρης 2009 Το Ενημερωτικό Δελτίο μπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Για κάθε διευκρίνιση, υπόδειξη ή πληροφορία, μπορείτε να απευθύνεστε στο συγγραφέα του βιβλίου: Δ.Κ.ΦΑΡΜΑΚΗΣ 2310 281450 ISBN 978-960-456-228-2 Copyright,

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

www.ziti.gr για το Λύκειο και το Γυμνάσιο ΠΛΗΡΕIΣ ΣΕΙΡΕΣ ΒΙΒΛΙΩΝ

www.ziti.gr για το Λύκειο και το Γυμνάσιο ΠΛΗΡΕIΣ ΣΕΙΡΕΣ ΒΙΒΛΙΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ημοτικό Γυμνάσιο Λύκειο ΕΠΑΛ ΑΣΕΠ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ Tεχνικά Θετικών και Θεωρητικών Επιστημών Παιδικό Μυθιστόρημα Λογοτεχνία Μελέτες Λευκώματα BIBΛIOΠΩΛEIO - KENTPIKH IAΘEΣH: Aρμενοπούλου 27, 546

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ

Σταύρος Σ. Λίτσας. Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς. Μιγαδικοί αριθμοί. ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 2013 ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Σταύρος Σ Λίτσας Μ α θ η μ α τ ι κ ό ς Μιγαδικοί αριθμοί i =- ΞΑΝΘΗ Αύγουστος 0 C:\Users\Stavros\Desktop\ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ internet\00 0 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ για internet Αdoc 7/07/ διάχυση της γνώσης Vincent Van Gogh Στη

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλης Κ. Παπαζάχος. Ταξίδι στο παρελθόν μου

Βασίλης Κ. Παπαζάχος. Ταξίδι στο παρελθόν μου Βασίλης Κ. Παπαζάχος Ταξίδι στο παρελθόν μου EΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ Θεσσαλονίκη 2009 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-186-5

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ! Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ. το ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ Η ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΣΤΑΣΕΙΣ, ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΣΥΝΗΘΕΙΕΣ. @ Επιστήμες της αγωγής Διευθυντής Μιχάλης Κασσωτάκης.

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ! Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ. το ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ Η ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΣΤΑΣΕΙΣ, ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΣΥΝΗΘΕΙΕΣ. @ Επιστήμες της αγωγής Διευθυντής Μιχάλης Κασσωτάκης. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ! Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ το ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ Η ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΣΤΑΣΕΙΣ, ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΣΥΝΗΘΕΙΕΣ @ Επιστήμες της αγωγής Διευθυντής Μιχάλης Κασσωτάκης ί>ηγο^η 26 Επιστήμες της Αγωγής 26 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Μία από τις πιο σηµαντικές διαδικασίες που χαρακτηρίζουν τη συγγραφή και δηµοσίευση µιας ερευνητικής εργασίας, είναι η αξιολόγησή της από έµπειρους επιστήµονες του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθήματα Νεοελληνικής Γλώσσας

Μαθήματα Νεοελληνικής Γλώσσας ΓΙΑΝΝΗΣ Ι. ΠΑΣΣΑΣ Μαθήματα Νεοελληνικής Γλώσσας Τεύχος Β (για τη Β Λυκείου) ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΣΣΑΣ Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα