Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet"

Transcript

1 Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu

2 Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q Skup realnih brojeva Supremum i infimum skupa Nizovi 2. Limes niza Ograničeni nizovi Podnizovi Cauchyev niz Redovi Konvergencija reda Kriteriji konvergencije Apsolutna konvergencija Limes funkcije 4 4. Jednostrani esi Limes u beskonačnosti i beskonačni es Neprekidne funkcije Vrste prekida funkcije Svojstva neprekidnih funkcija Neprekidnost elementarnih funkcija Jednostrana neprekidnost Derivacija funkcije Pravila deriviranja Derivacije trigonometrijskih funkcija i

3 SADRŽAJ ii 6.3 Derivacija kompozicije funkcija Derivacija inverzne funkcije Derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije Derivacije arkus funkcija Logaritamska derivacija Teoremi diferencijalnog računa 93 8 Primjene diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Ispitivanje toka funkcije Intervali monotonosti Ekstremi funkcije Konveksnost i konkavnost Skiciranje grafa funkcije Nizovi i redovi funkcija Nizovi realnih funkcija Redovi realnih funkcija Važnost uniformne konvergencije Redovi potencija i Taylorov red

4 Poglavlje Skupovi i funkcije U matematičkoj analizi pojmovi skup i funkcija su od fundamentalnog značaja. Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa skupovima prirodnih, racionalnih i realnih brojeva, i elementarnim funkcijama. Posebno, smatramo da je čitalac upoznat sa izgradnjom skupa realnih brojeva. Stoga u ovom poglavlju dajemo kratak pregled samo nekih pojmova vezanih za skupove i funkcije koji su nam potrebni u kasnijim izlaganjima. Pod pojmom skupa podrazumijevamo dobro definiranu kolekciju objekata koje nazivamo elementi skupa. Kada kažemo da je kolekcija dobro definirana to znaži da na nedvojben način možemo utvrditi koji elementi pripadaju skupu. Skupove obično označavamo velikim slovima A, B, C..., dok mala slova predstavljaju elemente skupa. Ako je x element skupa S, tada pišemo x S; u protivnom pišemo x / S. Skup možemo zadati tako da izlistamo njegove elemente ili da opišemo svojstvo koje na jedinstven način odredjuje elemente skupa. Na primjer, skup G = {α, β, γ, δ} (.) možemo definirati kao G = {x x je jedno od prva četiri slova grčke abecede }. (.2) Svaki element skupa potrebno je navesti točno jedan put, a poredak nije važan. Ako svi elementi skupa A pripadaju skupu B, tada kažemo da je A podskup od B i pišemo A B (ili B A). Za skupove A i B kažemo da su jednaki ako imaju iste elemente i pišemo A = B. Ako je A B i A B, tada pišemo A B i kažemo da je A pravi podskup od B. Očigledno je A = B ako i samo ako je A B i B A. Prazan skup je skup koji ne sadrži ni jedan element. Skup koji sadrži sve elemente u razmatranju nazivamo univerzalni

5 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 2 skup i označavamo sa U. Za svaki podskup A univerzalnog skupa imamo Na skupovima definiramo sljedeće operacije. A U. (.3) () Unija skupova A i B A B = {x x A ili x B} (.4) U ovom kontekstu veznik ili je inkluzivan što znači da x može biti i u A i u B. Dakle, A B se sastoji od onih elemenata koji pripadaju bilo skupu A bilo skupu B, ili su eventualno i u A i u B. (2) Presjek skupova A i B A B = {x x A i x B} (.5) Presjek A B sadrži one elemente koji pripadaju i skupu A i skupu B. (3) Komplement skupa A (4) Razlika skupova A i B A c = {x U x / A} (.6) A \ B = {x x A i x / B} (.7) (5) Kartezijev umnožak skupova A i B A B = {(a, b) a A, b B} (.8) Kartezijev umnožak se sastoji od uredjenih parova (a, b) takvih da je a A i b B. Uzimanje unije, presjeka i komplementa su tri osnovne operacije sa skupovima koje nazivamo Booleove operacije. Booleove operacije zadovoljavaju sljedeća svojstva: () komutativnost A B = B A, A B = B A (.9) (2) asocijativnost (A B) C = A(B C), (A B) C = A (B C) (.0) (3) idempotentnost A A = A, A A = A (.)

6 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 3 (4) distributivnost A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (.2) (5) de Morganovi teoremi (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c (.3) (6) involutivnost (A c ) c = A (.4) Definicija. Neka su X i Y neprazni skupovi. Funkcija f : X Y je pravilo koje svakom elementu x X pridružuje jedinstveni element y Y. Element y nazivamo slika elementa x i pišemo y = f(x). Skup X nazivamo domena funkcije, a skup f(x) = {f(x) x X} (.5) se nazivamo slika funkcije. Ako je f(x) = Y, tada kažemo da je f surjekcija na Y. Graf funkcije je podskup kartezijevog umnoška X Y definiran sa G(f) = {(x, f(x)) x X}. (.6) Ako su X R i Y R podskupovi realnih brojeva, tada G(f) često možemo predočiti kao krivulju u ravnini R 2 što je uobičajeno značenje grafa funkcije. Definicija.2 Neka je f : X Y funkcija. Ako f(x ) = f(x 2 ) implicira x = x 2, tada kažemo da je f injekcija. Ako za svaki y Y postoji x X takav da je y = f(x), tada kažamo da je f surjekcija. Drugim riječima, f je injekcija ako različite točke u X preslikava u različite točke u Y. Slično, f je surjekcija ako je slika funkcije f(x) jednaka skupu Y. Ako je f : X Y injekcija i surjekcija, tada kažemo da je f bijekcija. Neka je f : X Y injekcija. Tada se u svaki y f(x) preslikava jedinstveni x X, pa možemo definirati inverzno preslikavanje f : f(x) X pravilom f (y) = x ako i samo ako je f(x) = y. (.7) Inverzna funkcija f : f(x) X je očigledno bijekcija.

7 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 4 Pretpostavimo sada da su zadane dvije funkcije f : X Y i g : Y Z. g f : X Z definiramo pravilom Kompoziciju (g f)(x) = g(f(x)), x X. (.8) Kompozicija g f djeluje na točku x tako da prvo f djeluje na x, a zatim g djeluje na f(x). Za dvije funkcije f : X Y i g : X Y kažemo da su jednake ako je f(x) = g(x) za svaki x X. Ponekad je potrebno promatrati restrikciju funkcije f : X Y na podskup A X. U tom slučaju restrikciju f A : A Y definiramo sa f A (x) = f(x) za svaki x A. Funkciju id X : X X definiranu sa id X (x) = x za svaki x X nazivamo identiteta na X. Ova funkcija svaki element x X preslikava na samog sebe. Identiteta id X je očigledno bijekcija i vrijedi id X = id X. Neka je f : X Y injekcija i neka je f : f(x) X inverzno preslikavanje. Iz definicije inverzne funkcije slijedi f f = id X, f f = id f(x). (.9) U posebnom slučaju kada je f : X X bijekcija imamo f f = f f = id X.. Skupovi N, Z i Q Brojevi, 2, 3,... nazivaju se prirodni brojevi. Oni tvore skup prirodnih brojeva N = {, 2, 3,...}. (.20) Skup N je beskonačan pa ne možemo navesti sve njegove elemente. Zbog toga se služimo točkicama... koje znače i tako dalje. Skup prirodnih brojeva ima jedno važno svojstvo poznato kao aksiom o matematičkoj indukciji. To svojstvo nam omogućava da iz izvjesnih svojstava podskupa M N zaključimo da je M = N. Aksiom o matematičkoj indukciji Neka je M N. Pretpostavimo da M ima sljedeća svojstva: (i) M, (ii) n M n + M za svaki n M. Tada je M = N. Aksiom o matematičkoj indukciji se koristi za dokazivanje različitih tvrdnji u matematičkoj teoriji, a napose za proučavanje beskonačnih skupova.

8 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 5 Primjer. (Bernoullijeva nejednakost) Dokažite da je ( + x) n + nx, x (.2) za svaki n N. Nejednakost (.2) očigledno vrijedi za n =. Umjesto da dokazujemo da (.2) vrijedi za n = 2, 3, 4,... definirajmo M kao skup svih prirodnih brojeva za koje vrijedi ova nejednakost. M je neprezan skup jer je M. Neka je sada n M. Tada je ( + x) n + nx, x. (.22) Odavde slijedi ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + (n + )x + nx 2 + (n + )x, (.23) što implicira n + M. Dakle, pokazali smo da n M implicira n + M, pa je prema aksiomu o matematičkoj indukciji M = N. Time smo dokazali da Bernoullijeva nejednakost vrijedi za svaki prirodni broj n. Brojeve 0,,, 2, 2,... nazivamo cijeli brojevi. Skup cijelih brojeva označavamo sa Z, Z = {0,,, 2, 2,...}. (.24) Broj 0 ima istaknuto mjesto u skupu Z jer je to jedinstveni cijeli broj sa svojstvom 0 + x = x + 0 = x za svaki x Z. Racionalni brojevi su brojevi oblika m/n gdje su m Z i n N. Skup racionalnih brojeva označavamo sa Q, dakle, { m } Q = n m Z, n N. (.25) Skup Q je gust u smislu da za svaka dva racionalna broja a, b Q, a < b, postoji c Q takav da je a < c < b. Doista, ako su a = m/n i b = p/q gdje su m, p Z i n, q N, tada je c = a + b 2 = mq + np 2nq (.26) racionalan broj takav da je a < c < b. Ovo svojstvo gustoće nemaju skupovi prirodnih i cijelih brojeva..2 Skup realnih brojeva Poznato je da postoje brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomka m/n, m Z, n N. Primjer takvog broja je 2. Činjenicu da 2 / Q možemo dokazati metodom

9 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 6 kontradikcije. Pretpostavimo da je 2 = m/n za neke m Z i n N, i pokažimo da ova pretpostavka vodi na kontradikciju. Budući da je 2 > 0, to je m N. Razlomak m/n možemo potpuno skratiti pa pretpostavimo da su m i n relativno prosti. Kvadriranjem izraza 2 = m/n dobivamo m 2 = 2n 2 što implicira da je m 2, pa dakle i m paran broj. Stoga je m = 2k za neki k N. Sada (2k) 2 = 2n 2 daje n 2 = 2k 2 što implicira da je n takodjer paran broj, n = 2l za neki l N. Zaključujemo da m i n imaju zajednički faktor 2 što je u kontradikciji sa pretpostavkom da su m i n relativno prosti. Dakle, 2 / Q. Na sličan način se može pokazati da 2, 3 i 5 nisu racionalnih brojevi. Iz tog razloga uvodimo proširenje skupa Q na skup realnih brojeva koji označavamo sa R. Skup realnih brojeva ima svojstvo da svakoj točki na brojevnom pravcu možemo pridružiti točno jedan realan broj. Skup Q je pravi podskup skupa R, a realne brojeve koji nisu racionalni nazivamo iracionalni brojevi. Primjeri iracionalnih brojeva su 2, 3, 5, e, π. Aksiomi skupa realnih brojeva Postoji nekoliko pristupa konstrukciji skupa realnih brojeva R. Jedan od njih je aksiomatski pristup u kojem su svojstva realnih brojeva opisana aksiomima koji R definiraju kao potpuno i uredeno polje. Na skupu R definirane su dvije binarne operacije + i (koje nazivamo zbrajanje i množenje, redom) i binarna relacija sa sljedećim svojstvima: A Zbrajanje je asocijativno, (a + b) + c = a + (b + c) za svaki a, b, c R. (.27) A2 Zbrajanje je komutativno, a + b = b + a za svaki a, b R. (.28) A3 Postoji element 0 R takav da je 0 + a = a za svaki a R. A4 Za svaki a R postoji element a R takav da je a + ( a) = 0. A5 Množenje je asocijativno, (a b) c = a (b c) za svaki a, b, c R. (.29) A6 Množenje je komutativno, a b = b a za svaki a, b R. (.30)

10 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 7 A7 Postoji element R takav da je a = a za svaki a R. A8 Za svaki a R, a 0, postoji element a = /a R takav da je a a =. A9 Množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje a (b + c) = a b + a c (.3) Skup R zajedno sa aksiomima A A9 tvori polje. Na ovom polju definirana je relacija uredjaja koja ima sljedeća svojstva: A0 Za svaki a, b R vrijedi a = b ili a b ili b a. (.32) A a b i b a ako i samo ako je a = b. A2 Uredjajna relacija je tranzitivna, a b i b c a c. (.33) A3 Uredjajna relacija je u kompatibilna sa zbrajanjem, a b a + c b + c za svaki c R. (.34) A4 Uredjajna relacija je u kompatibilna s množenjem, 0 a i 0 b 0 ab. (.35) Ako je x y i x y, tada pišemo x < y, odnosno y > x. Za skup R koji zadovoljava aksiome A A4 kažemo da je uredjeno polje. A5 (Arhimedov aksiom) Za svaka dva realna broja a > 0 i b > 0 postoji n N takav da je na > b. Kada aksiomima A A4 pridodamo Arhimedov aksiom, kažemo da je R uredjeno Arhimedovo polje.

11 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 8.3 Supremum i infimum skupa Intervali su osnovni podskupovi skupa R s kojima ćemo se često susretati. Neka su a, b R gdje je a < b. Ograničeni interval je skup oblika [a, b] = {x R a x b}, (a, b) = {x R a < x < b}, (.36) [a, b) = {x R a x < b}, (a, b] = {x R a < x b}. (.37) Interval [a, b] se naziva zatvoreni interval, a (a, b) nazivamo otvoreni interval. Ograničeni intervali [a, b) i (a, b] nisu ni otvoreni ni zatvoreni. Neograničeni interval je skup oblika [a, ) = {x R x a}, (, b] = {x R x b}, (.38) (a, ) = {x R x > a}, (, b) = {x R x < b}. (.39) U ovoj notaciji pišemo R = (, ). Definicija.3 Neprazan skup S R je odozgo ograničen ako postoji M R takav da je x M za svaki x S. Svaki broj M sa navedenim svojstvom naziva se majoranta ili gornja medja skupa S. Ako skup S nije odozgo ograničen, kažemo da je S odozgo neograničen. Primjer.2 Skup (, b] = {x R x b} je odozgo ograničen. Gornja medja skupa je b, kao i svaki realni broj a > b. Primjer.3 Skup prirodnih brojeva N nije odozgo ograničen jer za svaki M R postoji n N takav da je n > M. Skupovi Z i Q takodjer nisu odozgo ograničeni. Neka je S odozgo ograničen skup. Tada S ima beskonačno mnogo gornjih medja, pa se prirodno postavlja pitanje da li postoji najmanja gornja medja. Na primjer, svaki realni broj x 0 je gornja medja skupa (, 0] s tim da je jasno da je 0 najmanja gornja medja. Definicija.4 Neka je S R odozgo ograničen skup. Realan broj L naziva se supremum skupa S ako vrijedi (i) x L za svaki x S, (ii) za svaki ε > 0 postoji x S takav da je L ε < x. Supremum skupa S označavamo sa L = sup S ili L = sup x. (.40) x S Ako je L S, tada kažemo da je L maksimum ili najveći element skupa S, i pišemo L = max S ili L = max x. (.4) x S

12 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 9 Svojstvo (i) kaže da je L gornja medja od S, a svojstvo (ii) da je L najmanja gornja medja od S. Ako S R nije ograničen odozgo, tada pišemo sup S = +. (.42) Primjer.4 Skupovi A = [0, ) i B = [0, ] imaju supremum L =, ali L / A dok je L B. Stoga pišemo sup A = i max B =. Primjer.5 Odredite supremum skupa { n } S = n + x N. (.43) Skup S je ograničen odozgo jer je n/(n + ) < za svaki n N. Pokažimo da je najmanja gornja medja od S. Neka je ε > 0. Tvrdimo da postoji n N takav da je ε < n n +. (.44) Da je ovo doista istina vidimo rješavanjem nejednadžbe (.44). Množenjem sa n + > 0 dobivamo što implicira n > ( ε)(n + ) = n εn + ε (.45) n > ε. (.46) ε Dakle, za svaki n N koj zadovoljava nejednakost (.46) vrijedi (.44). Time smo pokazali da je najmanja gornja medja od S, odnosno sup S =. Slična razmatranja vrijede za odozdo ograničene skupove. Definicija.5 Neprazan skup S R je odozdo ograničen ako postoji m R takav da je m x za svaki x S. Svaki broj m sa navedenim svojstvom naziva se minoranta ili donja medja skupa S. Ako S nije odozdo ograničen, kažemo da je S odozdo neograničen. Analogno pojmu supremuma možemo definirati najveću donju medju koju nazivamo infimum skupa. Definicija.6 Neka je S R odozdo ograničen skup. Realan broj K naziva se infimum skupa S ako vrijedi (i) K x za svaki x S, (ii) za svaki ε > 0 postoji x S takav da je x < K + ε.

13 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 0 Infimum skupa S označavamo sa K = inf S ili K = inf x. (.47) x S Ako je K S, tada kažemo da je K minumum ili najmanji element skupa S, i pišemo Ako S R nije ograničen odozdo, tada pišemo K = min S ili K = min x. (.48) x S inf S =. (.49) Za neprazan skup S R kažemo da je ograničen ako je ograničen odozdo i odozgo. protivnom kažemo da je S neograničen skup. Na primjer, skupovi Z i Q su neograničeni, dok je N ograničen odozdo i neograničen odozgo. Ako je S ograničen skup, tada je sup S < i inf S >, i očigledno je S [inf S, sup S]. (.50) Sva svojstva navedena u aksiomima A A5 ima i skup Q racionalnih brojeva. Stoga je Q uredjeno Arhimedovo polje. Medjutim, novo bitno svojstvo skupa R koje nema skup Q je dano sljedećim aksiomom. A6 (Dedekindov aksiom) Svaki odozgo ograničen skup S R ima supremum u R. Dedekindov aksiom se naziva još i aksiom o potpunosti skupa realnih brojeva. Iz Dedekindovog aksioma se može pokazati da svaki odozdo ograničen skup S R ima infimum u R. Za skup R zajedno sa aksiomima A A6 kažemo da je potpuno uredjeno polje. U

14 Poglavlje 2 Nizovi realnih brojeva 2. Limes niza Niz je svaka funkcija čija domena je skup prirodnih brojeva. U ovom poglavalju ćemo proučavati nizove realnih brojeva što će nas dovesti do pojma esa. Ovaj pojam ćemo proširiti na funkcije realne varijable u sljedećem poglavlju. Definicija 2. Niz realnih brojeva je svaka funkcija f : N R. Uobičajeno je da se vrijednost funkcije f(n) označava s a n. a, a 2, a 3,..., a realni broj a n nazivamo n-ti član niza. Niz označavano s {a n } ili Primjer 2. Odredite nekoliko prvih članova niza {a n } gdje je (a) a n = 2 n, (b) a = a 2 =, a n = a n + a n 2, (c) a n = c, c R. U primjeru (a) imamo a = 2 = 2, a 2 = 4 = 3 4, a 3 = 8 = 7 8,... (2.) Članovi niza u primjeru (b) su dani sa a =, a 2 =, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8, a 7 = 3,... (2.2) Ovaj niz naziva se Fibonaccijev niz. koeficijenta a n odredjena koeficijentima a n i a n 2. jednaki, To je niz je rekurzivno definiran jer je vrijednost U primjeru (c) svi članovi niza su c, c, c, c,..., (2.3)

15 POGLAVLJE 2. NIZOVI Slika 2.: Niz a n = 2 n. stoga ovaj niz nazivamo stacionaran niz. Jedan od važnih pojmova u teoriji nizova je konvergencija niza. Prirodno je zapitati se da li se članovi niza a n približavaju nekom realnom broju L kada indeks n raste? Na primjer, ako promotrimo članove niza a n = 2 n, (2.4) tada primijećujemo da kvocijent 2 n teži prema nuli kada n raste, pa u tom slučaju a n teži prema što vidimo na slici 2. Ovu ideju ćemo formalizirati u sljedećoj definiciji. Definicija 2.2 Kažemo da niz realnih brojeva {a n } ima es L R ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n L < ε. (2.5) Tada pišemo a n = L. (2.6) n Prema ovoj definiciji realan broj L je es niza {a n } ako razliku a n L možemo napraviti po volji malom ako je indeks n dovoljno velik. Nadalje, L ima svojstvo da se izvan svake ε-okoline broja L nalazi samo konačno mnogo članova niza {a n }, dok se unutar ε-okoline niza nalazi beskonačno mnogo članova niza za svaki ε > 0. Ako niz {a n } ima es, tada kažemo da niz konvergira, u protivnom kažemo da da divergira.

16 POGLAVLJE 2. NIZOVI 3 Definicija 2.3 Kažemo da niz {a n } divergira prema, i pišemo n a n =, ako za svaki M > 0 postoji n 0 N takav da je a n > M za svaki n > n 0. (2.7) Slično, kažemo da {a n } divergira prema, i pišemo n a n =, ako za svaki M < 0 postoji n 0 N takav da je a n < M za svaki n > n 0. (2.8) Primjer 2.2 Pokažimo da je = 0. (2.9) n n Prema Arhimedovom aksiomu za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je /n 0 < ε Tada za svaki n > n 0 vrijedi n 0 = n < n 0 < ε. (2.0) Time je dokazano da je n /n = 0 jer je ε > 0 odabran proizvoljno. Primjer 2.3 Pokažimo da je ( ) =. (2.) n 2 n Neka je a n = 2 n, i neka je ε > 0. Koristeći Bernoullijevu nejednakost (.2) dobivamo an = 2 n = ( + ) n n + < n. (2.2) Za odabrani ε > 0 postoji n 0 N takav da je /n 0 < ε. Stoga za svaki n > n 0 vrijedi čime je tvrdnja dokazana. an < n < n 0 < ε, (2.3) Primijetimo da za stacionarni niz {a n = c} trivijalno vrijedi n a n = c jer za svaki ε > 0 i svaki n N imamo a n c = c c = 0 < ε. (2.4) Primjer 2.4 Pokažite da niz {( ) n+ } divergira.

17 POGLAVLJE 2. NIZOVI 4 Prvih nekoliko članova niza je dano sa,,,,... (2.5) Intuitivno je jasno da ovaj niz divergira jer članovi niza stalno izmjenjuju vrijednosti i kada n. Pretpostavimo da je n a n = L za neki L R gdje je a n = ( ) n+. Tada je a n L = L za neparan n ili a n L = L = + L za paran n. Neka je R = max{ L, + L } > 0. Prema pretpostavci, za 0 < ε < R postoji n 0 N takav da je a n L < ε za svaki n > n 0. (2.6) Medjutim, a n L = R ili za paran n ili za neparan n što vodi na kontradikciju da je R < ε. Dakle, niz {a n } divergira. Teorem 2. Ako postoji, es niza je jedinstven. Dokaz. Pretpostavimo da niz {a n } ima dva esa, a n = L i a n = L 2. (2.7) n n Odaberimo ε > 0. Tada za ε 2 > 0 postoje n N and n 2 N takvi da Neka je n 0 = max{n, n 2 }. Tada za n > n 0 imamo n > n a n L < ε 2, (2.8) n > n 2 a n L 2 < ε 2. (2.9) a n L < ε 2 i a n L 2 < ε 2. (2.20) Ako je n > n 0, tada iz (2.20) slijedi L L 2 = L a n + a n L 2 a n L + a n L 2 < ε 2 + ε 2 = ε. (2.2) Kako je ε > 0 proizvoljno odabran, jednadžba (2.2) implicira da je L L 2 manje od bilo kojeg pozitivnog realnog broja. To je moguće samo ako je L = L 2, stoga je es jedinstven. Sada ćemo promotriti neka osnovna svojstva konvergentnih nizova, uključujući i pravila za računanje esa niza. Definicija 2.4 Kažemo da je niz {a n } ograničen ako postoji M > 0 takav da je a n < M za svaki n N. (2.22)

18 POGLAVLJE 2. NIZOVI 5 Slično se definira niz ograničen odozgo ili ograničen odozdo. Lema 2. Ako n a n = L postoji, tada je niz {a n } ograničen. Dokaz. Za ε = postoji n 0 N takav da je a n L < za svaki n > n 0. Odavde slijedi da je a n L a n L < za svaki n > n 0, (2.23) odnosno a n < + L za svaki n > n 0. (2.24) Neka je M = max{ a, a 2,..., a n0, + L }. Tada je očigledno što dokazuje da je niz {a n } ograničen. a n < M za svaki n > n 0, (2.25) Ograničen niz ne mora biti konvergentan. Na primjer, niz a n = ( ) n+ je ograničen jer je a n za svaki n N, ali n ( ) n+ ne postoji. Lema 2. je korisna u dokazivanju da odredjeni niz ne konvergira, jer ako {a n } nije ograničen, tada lema 2. implicira da n a n ne postoji. Na primjer, niz { n} nije ograničen stoga on divergira, i vrijedi n n =, Teorem 2.2 (Teorem o ukliještenom nizu) Pretpostavimo da je a n b n c n za svaki n N. Ako je n a n = n c n = L, tada je n b n = L. Dokaz. Iz nejednakosti a n b n c n dobivamo a n L b n L c n L, (2.26) odakle slijedi i b n L c n L (2.27) (b n L) (a n L) a n L. (2.28) Za odabrani ε > 0 postoje n, n 2 N takvi da je c n L < ε za svaki n > n, i a n L < ε za svaki n > n 2. Neka je n 0 = max{n, n 2 }. Tada za svaki n > n 0 vrijedi b n L c n L < ε i (b n L) a n L < ε, (2.29) što implicira b n L < ε. Dakle, n b n = L.

19 POGLAVLJE 2. NIZOVI 6 Jasno je da ovaj teorem vrijedi i ako je a n b n c n za svaki n > N gdje je N neki prirodni broj. Ovaj teorem nam dozvoljava da odredimo es niza {b n } ako je poznat es nizova {a n } i {c n } izmedju kojih je ukliješten niz {b n }. Odredjivanje esa primjenom definicije 2.2 nije praktično jer najprije trebamo imati kandidata za es, a zatim provjeriti da taj broj zaista zadovoljava definiciju 2.2. Medjutim, odredjivanje esa olakšavaju nam pravila za računanje esa dana sljedećim teoremom. Teorem 2.3 Neka su {a n } i {b n } konvergentni nizovi, i neka su n a n = A i n b n = B. Tada vrijedi (i) n (a n + b n ) = A + B, (ii) n ka n = ka za svaki k R, (iii) n a n b n = AB, (iv) n (/b n ) = /B ako je b n 0 i B 0, (v) n (a n /b n ) = A/B ako je b n 0 i B 0. Dokaz. (i) Odaberimo ε > 0. Tada za ε/2 > 0 postoji n N takav da n > n a n A < ε 2. (2.30) Slično, postoji n 2 N takav da n > n 2 b n B < ε 2. (2.3) Ako je n 0 = max{n, n 2 }, tada za n > n 0 imamo (a n + b n ) (A + B) = (a n B) + (b n B) a n A + b n B < ε 2 + ε 2 = ε. (2.32) Dakle, pokazali samo da za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je (a n + b n ) (A + B) < ε za svaki n > n 0. (2.33) Ovo pokazuje da je n (a n + b n ) = A + B. (ii) Ako je k = 0, tada je rezultat očigledan jer je ka n ka = 0 za svaki n N. Pretpostavimo da je k 0 i odaberimo ε > 0. Tada za ε/ k > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n A < ε k. (2.34)

20 POGLAVLJE 2. NIZOVI 7 Dakle, za n > n 0 vrijedi ka n ka = k a n A < k ε = ε, (2.35) k čime je dokazano da je n ka n = ka. (iii) Prema lemi 2., niz {a n } je ograničen jer je konvergentan. Neka je M > 0 takav da je a n < M za svaki n N. Odaberimo ε > 0. Tada postoji n N takav da za svaki n > n vrijedi a n A < i postoji n 2 N takav da za svaki n > n 2 imamo Neka je n 0 = max{n, n 2 }. Tada za svaki n > n 0 dobivamo ε 2( + B ), (2.36) b n B < ε 2M. (2.37) a n b n AB = a n b n a n B + a n B AB a n b n a n B + a n B AB = a n b n B + B a n A < M ε 2M + B ε 2( + B ) < ε 2 + ε = ε. (2.38) 2 Primijetimo da smo u nejednakosti (2.36) radije odabrali ocjenu ε/(2( + B )) umjesto ε/(2 B ) jer B može biti nula. Time je dokazano da je n a n b n = AB. (iv) Neka je B 0 i b n 0 za svaki n N. Za ε = B /2 postoji n N takav da Medjutim, n > n b n B < B 2. (2.39) B b n B b n, (2.40) što zajedno sa (2.39) implicira b n > B /2 za svaki n > n. Takodjer, postoji n 2 N takav da n > n 2 b n B < ε B 2 2. (2.4) Ako je n 0 = max{n, n 2 }, tada za n > n 0 imamo = b n B b n B b n B ε B 2 2 b n B < ε B 2 = ε, (2.42) 2 B

21 POGLAVLJE 2. NIZOVI 8 gdje smo uzeli u obzir da je / b n < 2/ B. Ovo pokazuje n /b n = /B. (v) Kako je n /b n = /B, primjenom rezultata (iii) dobivamo a n = a n = n b n n b n B A = A B. (2.43) Ilustrirajmo na sljedećim primjerima kako se gore navedeni teoremi mogu koristiti za odredjivanje esa. Primjer 2.5 Odredite 2n 2 + n n 2 + 3n. (2.44) Dijeljenjem brojnika i nazivnika sa n 2, te primjenom pravila iz teorema 2.3 dobivamo ( ) 2n 2 + n n 2 + 3n = 2 + n 2 + n 2 n n + 3 = 2 ) n n ( + 3 n = n 2 + n n 2 n + n 3 n = 2 = 2. (2.45) Provjerimo da je rezultat točan tako što ćemo pokazati da broj 2 zadovoljava definiciju esa. Neka je ε > 0. Primijetimo da je 2n2 + n 2 + 3n 2 2n 2 + 2(n 2 + 3n) = n 2 6n + 3n n 2 + 3n = 6n n 2 + 3n < 6n n 2 = 6 n. (2.46) Odaberimo n 0 N dovoljno velik takav da je /n 0 < ε/6. Tada za n > n 0 imamo Primjer 2.6 Pokažite da je 2n2 + n 2 + 3n 2 6 < n < 6 < ε. (2.47) n 0 n a/n = za svaki a > 0. (2.48)

22 POGLAVLJE 2. NIZOVI 9 (i) Pretpostavimo da je a. Tada je a /n za svaki n N. Definirajmo niz b n = a /n 0. Tada je a /n = + b n, stoga je prema Bernoullijevoj nejednakosti (.2). Dakle, a = ( + b n ) n + nb n (2.49) 0 b n a n. (2.50) Očigledno je n (a )/n = 0, stoga prema teoremu o ukliještenom nizu 2.2 imamo n b n = 0. Odavde slijedi n a /n = n ( + b n ) =. (ii) Pretpostavimo da je 0 < a <. Tada je /a > pa vrijedi n a/n = n ( n a) = (2.5) jer je n (/a) /n = prema rezultatu (i). Dakle, n a /n = za svaki a > Ograničeni nizovi U prethodnom odjeljku smo pokazali da je konvergentan niz nužno ograničen, ali ograničen niz ne mora biti konvergentan. Sada ćemo proučiti svojstva ograničenih nizova i pokazati da uz neke dodatne uvjete ograničeni niz konvergira. Takodjer ćemo promatrati podnizove ograničenih nizova. Definicija 2.5 Kažemo da je niz {a n } monotono rastući ako je a n a n+ za svaki n N (ili strogo rastući ako je a n < a n+ za svaki n N). Slično, kažemo da je {a n } mononotono padajući niz ako je a n a n+ za svaki n N (ili strogo padajući ako je a n > a n+ za svaki n N). Na primjer, niz { n n+ } je strogo rastući jer je dok je niz { 3 n+5 } strogo padajući jer je a n+ a n = n + n + 2 n n + = > 0, (2.52) (n + 2)(n + ) a n+ a n = 3 n n + 5 = 3 < 0. (2.53) (n + 6)(n + 5) Teorem 2.4 Neka je {a n } monontono rastući niz koji je ograničen odozgo. Tada {a n } konvergira i n a n = sup{a n }.

23 POGLAVLJE 2. NIZOVI 20 Dokaz. Skup {a n } je ograničen odozgo, pa prema Dedekindovom aksiomu ima supremum u R, sup{a n } = L. Tada za ε > 0 postoji n 0 N takav da je L ε < a n0 < L. Ako je n > n 0, tada zbog monontonosti niza imamo L ε < a n0 a n < L, (2.54) što povlači a n L < ε. (2.55) Dakle, n a n = L = sup{a n }. Sličan rezultat vrijedi za monotono padajuće nizove, inf a n = inf{a n }. Primjer 2.7 Svaki decimalni broj oblika 0.d d 2 d 3... prestavlja jedinstveni realni broj u intervalu [0, ]. Neka su d n, n N, brojevi iz skupa {0,, 2,...}. Definirajmo niz a = 0.d a 2 = 0.d d 2. a n = 0.d d 2... d n. Niz {a n } je monotono rastući jer je a n+ a n = d n+ 0. Takodjer, niz je ograničen odozgo sa, pa prema teoremu 2.4 niz ima es n a n = A. Ovaj es je realni broj u intervalu [0, ] kojeg prikazujemo u obliku beskonačnog decimalnog broja A = 0.d d 2 d Ponekad je es niza teško odrediti, medjutim teorem 2.4 nam daje uvjete pod kojima možemo barem dokazati egisitenciju esa. Promotrimo niz definiran s a n = ( + n) n. (2.56) Koristeći Newtonovu binomnu formulu može se pokazati da je niz {a n } monotono rastući, a n a n+, i ograničen odozgo jer je a n < 3 za svaki n N. (2.57)

24 POGLAVLJE 2. NIZOVI Slika 2.2: Niz a n = ( + n )n konvergira prema broju e. Prema teoremu 2.4 niz {a n } ima es koji ne prelazi 3. Ovaj es označavamo sa e, ( + n) n = e, (2.58) n i nazivamo Eulerov broj. Približna numerička vrijednost Eulerovog broja je e Niz (2.56) prikazan je na slici Podnizovi Definicija 2.6 Niz {b n } naziva se podniz niza {a n } ako postoje prirodni brojevi n < n 2 < n 3... takvi da je b k = a nk, k =, 2, 3,... (2.59) Primijetimo da je k n k za svaki k N. Primjer 2.8 Promotrimo niz a n = ( ) ( nπ sin n 2 ). (2.60) Lako se vidi da niz divergira jer sin ( ) nπ 2 prima diskretne vrijednosti 0, ±, ovisno o indeksu n, dok ( /n) konvergira prema. Medjutim, sljedeći podnizovi konvergiraju: (i) a 2k = ( ) sin(kπ) = 0, k =, 2, 3,... (2.6) 2k

25 POGLAVLJE 2. NIZOVI Slika 2.3: Niz a n = ( n ) sin( nπ 2 ) ima konvergentne podnizove {a 2n}, {a 4n } i {a 4n+ }. (ii) (iii) ( a 4k+ = ) ( ) (4k + )π sin 4k + 2 ( a 4k = ) ( ) (4k )π sin 4k 2 =, k = 0,, 2,... (2.62) 4k + ( = ), k =, 2, 3,... (2.63) 4k Podniz {a 2k } je stacionaran niz koji konvergira prema 0, podniz {a 4k+ } konvergira prema, dok podniz {a 4k } konvergira prema. Podnizove niza (2.60) lako uočavamo na slici 2.3. Dakle, iako niz {a n } ne konvergira, sadrži tri konvergentna podniza. Jasno je da ako niz {a n } sadrži dva podniza koji konvergiraju prema različitim esima, tada {a n } divergira. Lema 2.2 Niz {a n } konvergira prema L ako i samo ako svaki podniz niza {a n } konvergira prema L. Dokaz. Pretpostavimo da je n a n = L. Neka je {a nk } podniz niza {a n }. Za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n L < ε. (2.64) Neka je k 0 N takav da je n k0 > n 0. Tada za svaki k > k 0 imamo n k > n k0 > n 0 pa vrijedi a nk L < ε. Dakle, podniz {a nk } konvergira prema L. S druge strane, ako svaki podniz

26 POGLAVLJE 2. NIZOVI 23 konvergira prema L, tada je n a n = L jer je niz {a n } podniz samoga sebe. Jedan od važnih rezultata o nizovima kazuje da svaki ograničen niz nužno ima konvergentan podniz. Da bismo dokazali ovaj rezultat potrebno nam je sljedeće svojstvo realnih brojeva. Teorem 2.5 Neka su I = [a, b 2 ], I 2, = [a, b 2 ], I 3 = [a 3, b 3 ]... intervali realnih brojeva takavi da je I I 2 I 3... i n (b n a n ) = 0, Tada postoji točno jedan realan broj a takav da je n= I n = {a}. Dokaz. Niz {a n } je monotono rastući i ograničen odozgo sa b. Prema teoremu 2.4 niz {a n } je konvergentan, n a n = a za neki a R. Primijetimo da je a n b k za svaki k N, stoga je sup{a n } b k za svaki k N. Kako je sup{a n } = a, ovo implicira a k a b k, k N, (2.65) stoga je a I k za svaki k N, odnosno a k= I k. Dokažimo jedinstvenost broja a. Pretpostavimo da postoji b R takav da je b I k za svaki k N. Tada je a k b b k za svaki k N, odakle dobivamo 0 b a k b k a k. (2.66) Kako je k (b k a k ) = 0, prema teoremu o ukliještenom nizu 2.2 imamo (b a k) = 0. (2.67) k Slijedi da je b = k a k = a, stoga je a jedina točka u presjeku svih intervala I k. Teorem 2.6 (Bolzano-Weierstrass) Svaki ograničen niz ima konvergentni podniz. Dokaz. Ako je {a n } ograničen niz, tada postoji M > 0 takav da je a n < M za svaki n N. Stoga je a n [ M, M] za svaki n N. Barem jedan od intervala [ M, 0] ili [0, M] sadrži beskonačno mnogo članova niza {a n }. Označimo taj interval sa I 0. Ako I 0 podijeo na dva podintervala, tada barem jedan od njih sadrži beskonačno mnogo članova niza. Označimo taj interval sa I. Nastavljanjem ovog postupka dolazimo do silaznog niza intervala I 0 I I 2 I Duljina svakog intervala je I n < M/2 n. Ako I n = [a n, b n ], tada je b n a n = M 2 n, (2.68) što povlači n (b n a n ) = 0. Prema prethodnom teoremu postoji jedinstveni a R takav da je a I n za svaki n N. Odaberimo a n I, a n2 I 2, a n3 I 3,... takve da je n < n 2 < n 3 <.... Ovakav izbor je moguć jer svaki interval I n sadrži beskonačno mnogo

27 POGLAVLJE 2. NIZOVI 24 članova niza {a n }. Tada je {a nk } podniz niza {a n } sa svojstvom da a nk intervalu I k. Odavde dobivamo i a oba pripadaju a nk a I k = M 2 k, (2.69) što implicira k a nk = a. Bolzano-Weierstrassov teorem garantira da svaki ograničeni niz ima konvergentan podniz. Neograničeni nizovi mogu ali ne moraju imati konvergentne podnizove. Definicija 2.7 Realni broj x 0 nazivamo se gomilište niza {a n } ako postoji podniz {a nk } koji konvergira prema x 0. Neka je C skup svih gomilišta niza {a n }. Skup C može biti prazan, konačan ili beskonačan podskup skupa R. Ako je n a n = a, tada je C = {a} jer je a jedino gomilište niza {a n }. Ako je niz {a n } ograničen, tada je C neprazan ograničen skup. U tom slučaju definiramo es superior i es inferior niza {a n } sa sup a n = sup C i inf a n = inf C. (2.70) Ako niz {a n } nije ograničen odozgo, tada definiramo sup a n =. (2.7) Slično, ako {a n } nije ograničen odozdo, tada definiramo inf a n =. (2.72) Primjer 2.9 Promotrimo niz {a n } definiran sa,, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,, 2, 3, 4, (2.73) Svaki prirodni broj se ponavlja beskonačno mnogo puta jer nakon niza, 2,..., n dolazi niz, 2,..., n, n +, i taj postupak se ponavlja. Dakle, svaki prirodni broj je gomilište niza (2.73), stoga je C = N. Niz nije ograničen odozgo pa je sup a n =. U primjeru 2.8 gomilišta niza su C = {, 0, }, stoga je sup a n = i inf a n =. (2.74)

28 POGLAVLJE 2. NIZOVI 25 Teorem 2.7 Neka su L = inf a n i L 2 = sup a n. Tada za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je L ε < a n < L 2 + ε za svaki n > n 0. (2.75) Drugim riječima, za svaki ε > 0 svi članovi niza nalaze se u intervalu (L ε, L 2 +ε) počevši od nekog indeksa n 0 +. Dokaz. Kako su L i L 2 realni brojevi niz {a n } je ograničen. Neka je ε > 0 i pretpostavimo da je a n L ε za beskonačno mnogo članova niza. Tada postoje prirodni brojevi n < n 2 < n 3... takvi da je a nk L ε za svaki k N. (2.76) Podniz {a nk } je ograničen jer je {a n } ograničen. Prema Bolzano-Weierstrassovom teoremu {a nk } ima gomilište x 0 za koje (2.76) implicira x 0 L ε. Medjutim, točka x 0 je takodjer gomilište niza {a n } što je u kontradikciji sa definicijom L = inf a n. Dakle, a n L ε samo za konačno mnogo članova niza pa zaključujemo da postoji m N takav da je L ε < a n za svaki n > m. Slično se pokazuje da postoji m 2 N takav da je a n < L 2 + ε za svaki n > m 2. Neka je n 0 = max{m, m 2 }. Tada je L ε < a n < L 2 + ε za svaki n > n 0. (2.77) Neposredna posljedica ovog teorema je Korolar 2. n a n = L ako i samo ako je L = inf a n = sup a n. 2.4 Cauchyev niz Ako niz konvergira, tada su njegovi članovi a n proizvoljno blizu esa L kada je n dovoljno velik. Kako se članovi niza gomilaju oko esa, intuitivno zaključujemo da su a n i a m dovoljno blizu jedan drugome kada su n i m dovoljno veliki. Nizovi koji imaju ovo svojstvo nazivaju se Cauchyevi nizovi. Definicija 2.8 Niz {a n } naziva se Cauchyev niz ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da n, m > n 0 a n a m < ε. (2.78)

29 POGLAVLJE 2. NIZOVI 26 Lako se vidi da je svaki konvergentan niz Cauchyev. Pretpostavimo da je n a n = L. Tada za ε > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n L < ε 2. (2.79) Dakle, ako su n, m > n 0, tada imamo a n a m = a n L a m + L a n L + a m L < ε 2 + ε 2 = ε. (2.80) Istaknimo da su u polju realnih brojeva Cauchyevi nizovi su isto što i konvergentni nizovi. Ekvivalencija ova dva pojma je posljedica Dedekindovog aksioma prema kojem svaki neprazan odozgo ograničen skup realnih brojeva ima supremum u R. Teorem 2.8 Svaki Cauchyev niz je ograničen. Dokaz. Neka je {a n } Cauchyev niz. Tada za ε = postoji n 0 N takav da je a n a m < za svaki n, m > n 0. Odaberimo p > n 0 i primijetimo da za svaki n > n 0 vrijedi a n = a n a p + a p a n a p + a p < + a p. (2.8) Neka je M = max{ a, a 2,..., a n0, + a p }. Tada je a n M za svaki n N, (2.82) što pokazuje da je niz {a n } ograničen. Dokažimo sada naš glavni rezultat prema kojemu svaki Cauchyev niz realnih brojeva ima es u R.. Ovo je vrlo važno svojstvo skupa R koji nazivamo potpunost skupa realnih brojeva. Teorem 2.9 (Potpunost skupa realnih brojeva) Svaki Cauchyev niz realnih brojeva je konvergentan. Dokaz. Neka je {a n } Cauchyev niz realnih brojeva. Prema teoremu 2.8 niz {a n } je ograničen, stoga Bolzano-Weierstrassov teorem implicira da {a n } ima konvergentan podniz {a nk }. Neka je k a nk = a. Žeo pokazati da niz {a n} konvergira prema a. Odaberimo ε > 0. Tada za ε/2 > 0 postoji n 0 N takav da je a n a m < ε/2 za svaki n, m > n 0. Odaberimo član podniza a nk takav da je a nk a < ε/2 i n k > n 0. Tada za svaki n > n 0 vrijedi a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ε 2 + ε 2 = ε. (2.83) Time je dokazano da je n a n = A.

30 POGLAVLJE 2. NIZOVI 27 Korolar 2.2 Niz realnih brojeva {a n } konvergira ako i samo ako je {a n } Cauchyev niz. Istaknimo da pomoću ovog rezultata možemo ispitati konvergenciju nekog niza bez poznavanja njegovog esa. Naime, dovoljno je provjeriti da li je neki niz Cauchyev niz. Važno je napomenuti da ovaj rezultat ne vrijedi za polje racionalnih brojeva, odnosno da skup Q nije potpun. Navedimo jedan interesantan primjer Cauchyevog niza racionalnih brojeva čiji es nije u Q. Neka je {a n } niz sukcesivnih aproksimacija broja 2 koji se dobije na sljedeći način. Ako je a prva aproksimacija, tada je 2 = a + ε (2.84) gdje je ε pogreška za koju pretpostavljamo da je mala. Kvadriranjem jednadžbe (2.84) dobivamo 2 = a 2 + 2a ε + ε 2 a 2 + 2a ε (2.85) jer se ε 2 može zanemariti u odnosu na a i 2a ε. Iz jednadžbe (2.85) slijedi da je pogreška približno dana sa Dakle, sljedeća aproksimacija iznosi ε 2 a 2a = ε. (2.86) a 2 = a + ε = a + 2 a 2a = 2 (a + 2a ). (2.87) Definirajmo niz {a n } rekurzivnom relacijom a =, a n = ( a n + 2 ), n 2. (2.88) 2 a n Tada je prvih nekoliko članova niza dano sa Njihove numeričke vrijednosti su približno, 3 2, 7 2, ,... (2.89),.5,.46,.44,... (2.90) Niz definiran jednadžbom (2.88) je niz racionalnih brojeva. Može se pokazati da je {a n } Cauchyev niz koji konvergira prema 2 / Q, što pokazuje da skup Q nije potpun.

31 Poglavlje 3 Redovi realnih brojeva U ovom poglavalju ćemo proučavati redove ili beskonačne sume realnih brojeva. Redovi realnih brojeva imaju široku primjenu u matematičkoj teoriji i primjenama. Vidjet ćemo da se za redove realnih brojeva može definirati pojam konvergencije i da se takvi redovi mogu sumirati. Takodjer ćemo proučavati različita svojstva redova. 3. Konvergencija reda Promotrimo sljedeći problem. Neka je {a k } niz realnih brojeva. Kako možemo definirati beskonačnu sumu a k = a + a 2 + a 3 +? (3.) k= Očigledno ovakav izraz ne možemo evaluirati zbrajanjem osim ako je samo konačno mnogo brojeva a k različito od nule. Umjesto izraza (3.) promotrimo niz konačnih suma S = a, (3.2) S 2 = a + a 2, (3.3) S 3 = a + a 2 + a 3, (3.4). S n = a + a a n, (3.5). Uočimo da kada n raste, tada S n uključuje sve više članova reda a k pa sumu reda ima smisla definirati kao n S n, ako es postoji. Sada možemo dati formalnu definiciju reda. 28

32 POGLAVLJE 3. REDOVI 29 Definicija 3. Neka je {a k } niz realnih brojeva. Red realnih brojeva k= a k je niz {S n } gdje je S n = n k= a k. Realni broj a k naziva se k-ti član reda, a S n se naziva n-ta parcijalna suma reda. Definicija 3.2 Kažemo da red realnih brojeva k= a k konvergira prema S ako niz parcijalnih suma {S n } konvergira prema S. Ako niz {S n } divergira, tada kažemo da red k= a k divergira. Ako red konvergira, tada S nazivamo suma reda i pišemo a k = S. (3.6) k= U ovoj notaciji k= a k označava i red i njegovu sumu S. Kako se konvergencija reda definira preko konvergencije niza, mnogi rezultati o konvergenciji redova će ovisiti o odgovarajućim rezultatima o konvergenciji nizova. Primijetimo da red k= a k konvergira ako i samo ako za svaki N > 0 konvergira red k=n a k. Tada je Primjer 3. (Geometrijski red) a k = k= Neka je r <. Odredimo sumu reda N k= a k + a k. (3.7) k=n r k = + r + r 2 + r 3 + (3.8) k= Promotrimo odgovarajući niz parcijalnih suma S n = + r + r r n. (3.9) Da bismo mogli odrediti da li niz {S n } konvergira, potrebno je odrediti zatvoreni oblik izraza S n, odnosno sumirati potencije u jednadžbi (3.9). Množenjem jednadžbe (3.9) sa r dobivamo Odavde slijedi rs n = r + r r n + r n = S n + r n (3.0) S n = rn r. (3.) Kako je n r n = 0 za svaki r <, imamo n S n = n r n r = r. (3.2)

33 POGLAVLJE 3. REDOVI 30 Dakle, niz parcijalnih suma {S n } konvergira pa je red k= rk konvergentan. Suma reda iznosi r k = S n =, r <. (3.3) n r k= Red (3.8) nazivamo geometrijski red i jedan je važnih redova koji nalazi primjenu u raznim granama matematike. Ako je r, tada se može pokazati da geometrijski red divergira. Neka je r =. Tada je S n = = n, (3.4) pa niz parcijalnih suma divergira jer nije ograničen odozgo. Ako je r =, tada imamo S =, S 2 = 0, S 3 =, S 4 = 0,... (3.5) Očigledno je da niz parcijanih suma (3.5) divergira jer ima dva gomilišta 0 i. Slična razmatranja pokazuju da geometrijski red divergira za r >. Primijetimo da u ovom primjeru n-ti član reda ima svojstvo da je n r n = 0. Pokažimo da je ovo nužan uvjet za konvergenciju reda. Teorem 3. Ako red k= a k konvergira, tada je k a k = 0. Dokaz. Neka je S n = n k= a k. Ako red k= a k konvergira, tada je n S n = S za neki realni broj S. Primijetimo da je a n = S n S n za n 2, stoga je n a n = n (S n S n ) = n S n n S n = S S = 0. (3.6) Pomoću ovog teorema možemo prepoznati redove koji nisu konvergentni jer ako je k a k 0, tada red a k divergira. (3.7) Na primjer, red k= cos(π/k) divergira jer je ( π ) cos = 0. (3.8) k k Medjutim, uvjet k a k = 0 nije dovoljan da bi garantirao konvergenciju reda, kako pokazuje sljedeći primjer. n=

34 POGLAVLJE 3. REDOVI 3 Primjer 3.2 (Harmonijski red) Harmonijski red je definiran sa k= /k. Očigledno je k k = 0, (3.9) pa je ispunjen nužan uvjet za konvergenciju. Pokažimo da harmonijski red divergira. Za svaki n N vrijedi S 2 n = n = + ( ) ( ) + 8 ( + 2 n n ) 2 n + 2 n + ( ) ( ) ( + 2 n + 2 n + + ) 2 ( n = = + 2) n 2. (3.20) Ovdje smo koristili činjenicu da je 2 n + k 2 n + 2 n = 2 n za svaki k =, 2,... 2 n, stoga je 2 n + k 2 n, k =, 2,..., 2n. (3.2) Relacija (3.20) pokazuje da niz parcijalnih suma nije ograničen odozgo jer je S 2 n + n, n =, 2, 3,... (3.22) 2 Zaključujemo da niz {S n } divergira, stoga je harmonijski red divergentan iako je k /k = 0. Sljedeći rezultat slijedi izravno iz teorema 2.3 za nizove. Teorem 3.2 Neka su k= a k i k= b k konvergentni redovi, i neka je c R. Tada vrijedi (i) k= (a k + b k ) = k= a k + k= b k, (ii) k= c a k = c k= a k. Dokaz. Neka su A n = n k= a k i B n = n k= b k, i neka je S n = A n + B n. Tada je S n parcijalna suma reda k= (a k + b k ). Nizovi {A n } i {B n } su konvergentni pa je prema teoremu 2.3 n S n = n (A n + B n ) = n A n + n B n. (3.23)

35 POGLAVLJE 3. REDOVI 32 Odavde slijedi da je niz {S n } konvergentan, stoga red k= (a k + b k ) konvergira i vrijedi (a k + b k ) = k= a k + b k. (3.24) k= Slično se pokazuje da je k= c a k = c k= a k. 3.2 Kriteriji konvergencije Vrlo često je teško odrediti sumu nekog reda koji konvergira. Medjutim, ako zanemarimo na trenutak ovo pitanje, postoji nekoliko testova kojima se lako može odrediti da li je neki red konvergentan. Posebno mjesto zauzimaju kriteriji konvergencije (D Alambertov i Cauchyev kriterij) koji se temelje na usporedjivanju danog reda sa geometrijskim redom. Teorem 3.3 Red k= a k konvergira ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je za svaki n > n 0 i p N. k= a n+ + a n a n+p < ε (3.25) Dokaz. Ako red k= a k konvergira, tada je niz parcijalnih suma {S n = n k= a k} Cauchyev niz. Stoga za ε > 0 postoji n 0 N takav da je S m S n < ε za svaki n, m > n 0. Neka je m = n + p za neki p N. Tada je n+p S m S n = a k k= n a k = an+ + a n a n+p < ε. (3.26) k= Pretpostavimo sada da za ε > 0 postoji n 0 N takav da za svaki n > n 0 i p N vrijedi nejednakost (3.25). Tada je S m S n < ε za svaki n, m > n 0. Dakle, {S n } je Cauchyev niz, pa prema teoremu 2.9 konvergira. Teorem 3.3 implicira da za konvergenciju nisu važni prvih nekoliko članova reda, već ona ovisi isključivo o članova koji tvore ostatak reda. Ovaj intuitivni zaključak formaliziran je u sljedećoj lemi koja izravno slijedi iz teorema 3.3. Lema 3. Red k= a k konvergira ako i samo ako red k=n a k konvergira za svaki N N. Teorem 3.4 (Poredbeni kriterij) Neka je 0 < a k b k za svaki k N. (i) Ako k= b k konvergira, tada k= a k konvergira. (ii) Ako k= a k divergira, tada k= b k divergira.

36 POGLAVLJE 3. REDOVI 33 Dokaz. Definirajmo parcijalne sume A n = n k= a k i B n = n k= b k. Nizovi {A n } i {B n } su strogo rastući jer su a k, b k > 0 za svaki k N. Nadalje, iz nejednakosti 0 < a k b k slijedi 0 < A n B n za svaki n N. Preptostavimo da red k= b k konvergira. Tada je n B n = B za neki B R, pa je niz {A n } ograničen odozgo jer je A n B za svaki n N. Obzirom da je {A n } strogo rastući niz, prema teoremu 2.4 niz {A n } konvergira. Pretpostavimo sada da {A n } divergira. Tada {A n } nije ograničen odozgo što zbog A n B n implicira da {B n } nije ograničen odozgo. Dakle, {B n } divergira što povlači da red k= b k divergira. Napomenimo da zbog leme 3. isti zaključak vrijedi ako je 0 < a k b k, k N, za neki N N. Primjer 3.3 Pokažite da red k= /k! konvergira. Lako se pokazuje indukcijom da je 2 k k! za svaki k N. (3.27) Doista, tvrdnja je očigledna za k =. Pretpostavimo sada da nejednakost (3.27) vrijedi za k =, 2,..., n. Tada za k = n + imamo što pokazuje da tvrdnja vrijedi za k = n +. 2 n = 2 2 n 2n! < (n + )n! = (n + )!, (3.28) Prema aksiomu matematičke indukcije nejednakost (3.27) vrijedi za svaki k N. Iz (3.27) slijedi da je /k! /2 k za svaki k N. Kako za geometrijski red (za r = /2) vrijedi ( ) k = 2 2 k= = 2, (3.29) prema teoremu 3.4 red k= /k! konvergira. Navedimo još jednu verziju poredbenog kriterija. Teorem 3.5 Neka su a k > 0 i b k > 0 za svaki k N. Ako je k b k /a k > 0, tada k= a k i k= b k ili oba konvergiraju ili oba divergiraju. Dokaz. Neka je k b k /a k = L > 0. Prema lemi 2. niz {b k /a k } je ograničen, stoga postoji M > 0 takav da je b k a k < M za svaki k N. (3.30)

37 POGLAVLJE 3. REDOVI 34 Primijetimo da je a k = = > 0, (3.3) k b k k b k /a k L stoga je niz {a k /b k } takodjer ograničen. Dakle, postoji M 2 > 0 takav da je Kombiniranjem nejednakosti (3.30) i (3.32) dobivamo a k b k < M 2 za svaki k N. (3.32) 0 < a k < M 2 b k 0 < b k < M a k za svaki k N. (3.33) Prema poredbenom kriteriju 3.4 iz gornje nejednakosti zaključujemo da redovi k= a k i k= b k ili oba konvergiraju ili oba divergiraju. Primjer 3.4 Odredite da li red konvergira. k= k(k + ) (3.34) Primijetimo da vrijedi nejednakost < = k(k + ) k 2 k. (3.35) Neka su a k = k(k + ) i b k = k. (3.36) Tada je stoga je Kako harmonijski red divergira, teorem 3.5 implicira da red b k k(k + ) = = + a k k k, (3.37) b k = + k a k k k b k = k= a k = k= k= k= k =. (3.38) (3.39) k(k + ) (3.40)

38 POGLAVLJE 3. REDOVI 35 takodjer divergira. Jedan od važnih redova koji se koriste u poredbenom kriteriju je red oblika k=, p R, (3.4) kp kojeg nazivamo p-red. Može se pokazati da ovaj red konvergira ako i samo ako je p >. Teorem 3.6 (D Alambertov kriterij) Neka je a k > 0 za svaki k N i neka su R = sup a k+ /a k i r = inf a k+ /a k. (3.42) (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira, (ii) Ako je r >, tada k= a k divergira. Dokaz. (i) Pretpostavimo da je R < i odaberimo 0 < ε < R. Prema teoremu 2.7 postoji N N takav da je a k+ a k < R + ε < za svaki k N. (3.43) Definirajmo q = ε + R. Tada (3.43) implicira a k+ < q a k za svaki k N, pa iteracijom ove nejednakosti dobivamo Sada je k=n+ 0 < a k < q k N a N, k > N. (3.44) a k k=n+ q k N a N = a N jer je 0 < q <, što povlači da red k= a k konvergira. k= q k < (3.45) (ii) Neka je r > i neka je 0 < ε < r. Prema teoremu 2.7 postoji N N takav da je Neka je q = r ε. Nejednakost (3.46) implicira a k+ a k > r ε > za svaki k N. (3.46) a k > q k N a N, k > N, (3.47) što povlači k a k 0 jer je q >. Prema teoremu 3. red k= a k divergira. Korolar 3. Neka je a k > 0 za svaki k N, i neka je R = k a k+ /a k.

39 POGLAVLJE 3. REDOVI 36 (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira. (ii) Ako je R >, tada k= a k divergira. Primijetimo da u slučaju k a k+ /a k = ne možemo zaključiti da li red konvergira ili divergira. Na primjer, za redove k= /k i k= /k2 vrijedi a k+ k a k a k+ k a k = k = k k =, k + (3.48) k 2 =. (k + ) 2 (3.49) Medjutim, harmonijski red k= /k divergira ali red k= /k2 konvergira. Sljedeći kriterij se dokazuje na sličan način kao teorem 3.6. Teorem 3.7 (Cauchyev kriterij) Neka je a k > 0 za svaki k N, i neka je su (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira. (ii) Ako je r >, tada k= a k divergira. R = sup k a k i r = inf k a k. (3.50) Dokaz. (i) Neka je R < i neka je 0 < ε < R. Tada postoji N N takav da je k ak < R + ε < za svaki k > N. (3.5) Definirajmo q = R + ε. Iz gornje nejednakosti slijedi a k < q k za svaki k > N što povlači k=n+ a k k=n+ jer je 0 < q <. Ovo povlači da red k= a k konvergira. q k < (3.52) (ii) Pretpostavimo da je r > i odaberimo 0 < ε < r. Tada postoji N N takav da je k ak > r ε > za svaki k > N. (3.53) Ovo implicira a k > q k za svaki k > N gdje je q = r ε. Kako je k q k = jer je q >, to je k a k = što povlači da red k= a k divergira. Korolar 3.2 Neka je a k > 0 za svaki k N i neka je R = k k a k. (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira.

40 POGLAVLJE 3. REDOVI 37 (ii) Ako je R >, tada k= a k divergira. Kako je k k a k =, ne možemo zaključiti da li red konvergira ili divergira, pa su u tom slučaju potrebna daljnja ispitivanja. Primjer 3.5 Ispitajte konvergenciju reda Neka je a k = 2 k /k!. Tada imamo a k+ k a k = k k= 2 k+ (k + )! 2 k k!. (3.54) k! 2 k = k Prema D Alambertovom kriteriju red (3.54) konvergira. Primjer 3.6 Odredite da li red k= a k konvergira, gdje je, k je neparan, a k = 3 (k+3)/2, k je paran. 3 k/2 2 = 0. (3.55) k + (3.56) Pokušajmo primijenti D Alambertov kriterij. Kako je a k+ 3, k je neparan, = (3.57) a k 9, k je paran, niz {a k+ /a k } divergira jer ima gomilišta 3 i /9. Imamo sup a k+ /a k = 3 i inf a k+ /a k = /9, pa u ovom slučaju D Alambertov kriterij ne daje informaciju o konvergenciji reda. S druge strane, k, k je neparan, ak = 3 /2+3/(2k), k je paran, 3 /2 (3.58) pa odavde dobivamo k k a k = / 3 <. Stoga prema Cachyevom kriteriju slijedi da red k= a k konvergira. Ovaj primjer ilustrira činjenicu da izbor kriterija za ispitivanje konvergencije ovisi o prirodi samoga reda. Pomoću D alambertovog i Cauchyevog kriterija ispitujemo konvergenciju redova sa pozitivnim članovima. Medjutim, ponekad susrećemo redove čiji članovi imaju alternirajuće predznake. Takve redove nazivamo alternirajući redovi.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb, 9.9.06. ii Posljednji ispravak: srijeda, 3. svibanj 07. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

MATEMATIČKA ANALIZA I & II. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, MATEMATIČKA ANALIZA I & II Boris Guljaš predavanja Zagreb,.9.007. ii Posljednji ispravak: petak, 6. ožujak 009. Uvod Matematička analiza I. & II. su standardni jednosemestralni kolegiji koji se predaju

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014.

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014. UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Bihać, 014. c prof. dr. sc. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Recenzenti

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα