Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet"

Transcript

1 Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu

2 Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q Skup realnih brojeva Supremum i infimum skupa Nizovi 2. Limes niza Ograničeni nizovi Podnizovi Cauchyev niz Redovi Konvergencija reda Kriteriji konvergencije Apsolutna konvergencija Limes funkcije 4 4. Jednostrani esi Limes u beskonačnosti i beskonačni es Neprekidne funkcije Vrste prekida funkcije Jednostrana neprekidnost i neprekidnost na zatvorenom intervalu Svojstva neprekidnih funkcija Neprekidnost elementarnih funkcija Derivacija funkcije Pravila deriviranja Derivacije trigonometrijskih funkcija i

3 SADRŽAJ ii 6.3 Derivacija kompozicije funkcija Derivacija inverzne funkcije Derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije Derivacije arkus funkcija Logaritamska derivacija Teoremi diferencijalnog računa 94 8 Primjene diferencijalnog računa 0 8. L Hospitalovo pravilo Ispitivanje toka funkcije Intervali monotonosti Ekstremi funkcije Konveksnost i konkavnost Skiciranje grafa funkcije Nizovi i redovi funkcija Nizovi realnih funkcija Redovi realnih funkcija Važnost uniformne konvergencije Redovi potencija i Taylorov red

4 Poglavlje Skupovi i funkcije U matematičkoj analizi pojmovi skup i funkcija su od fundamentalnog značaja. Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa skupovima prirodnih, racionalnih i realnih brojeva, i elementarnim funkcijama. Posebno, smatramo da je čitalac upoznat sa izgradnjom skupa realnih brojeva. Stoga u ovom poglavlju dajemo kratak pregled samo nekih pojmova vezanih za skupove i funkcije koji su nam potrebni u kasnijim izlaganjima. Pod pojmom skupa podrazumijevamo dobro definiranu kolekciju objekata koje nazivamo elementi skupa. Kada kažemo da je kolekcija dobro definirana to znaži da na nedvojben način možemo utvrditi koji elementi pripadaju skupu. Skupove obično označavamo velikim slovima A, B, C..., dok mala slova predstavljaju elemente skupa. Ako je x element skupa S, tada pišemo x S; u protivnom pišemo x / S. Skup možemo zadati tako da izlistamo njegove elemente ili da opišemo svojstvo koje na jedinstven način odreduje elemente skupa. Na primjer, skup G = {α, β, γ, δ} (.) možemo definirati kao G = {x x je jedno od prva četiri slova grčke abecede }. (.2) Svaki element skupa potrebno je navesti točno jedan put, a poredak nije važan. Ako svi elementi skupa A pripadaju skupu B, tada kažemo da je A podskup od B i pišemo A B (ili B A). Za skupove A i B kažemo da su jednaki ako imaju iste elemente i pišemo A = B. Ako je A B i A B, tada pišemo A B i kažemo da je A pravi podskup od B. Očigledno je A = B ako i samo ako je A B i B A. Prazan skup je skup koji ne sadrži ni jedan element. Skup koji sadrži sve elemente u razmatranju nazivamo univerzalni

5 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 2 skup i označavamo sa U. Za svaki podskup A univerzalnog skupa imamo Na skupovima definiramo sljedeće operacije. A U. (.3) () Unija skupova A i B A B = {x x A ili x B} (.4) U ovom kontekstu veznik ili je inkluzivan što znači da x može biti i u A i u B. Dakle, A B se sastoji od onih elemenata koji pripadaju bilo skupu A bilo skupu B, ili su eventualno i u A i u B. (2) Presjek skupova A i B A B = {x x A i x B} (.5) Presjek A B sadrži one elemente koji pripadaju i skupu A i skupu B. (3) Komplement skupa A (4) Razlika skupova A i B A c = {x U x / A} (.6) A \ B = {x x A i x / B} (.7) (5) Kartezijev umnožak skupova A i B A B = {(a, b) a A, b B} (.8) Kartezijev umnožak se sastoji od uredenih parova (a, b) takvih da je a A i b B. Uzimanje unije, presjeka i komplementa su tri osnovne operacije sa skupovima koje nazivamo Booleove operacije. Booleove operacije zadovoljavaju sljedeća svojstva: () komutativnost A B = B A, A B = B A (.9) (2) asocijativnost (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) (.0) (3) idempotentnost A A = A, A A = A (.)

6 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 3 (4) distributivnost A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (.2) (5) de Morganovi teoremi (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c (.3) (6) involutivnost (A c ) c = A (.4) Definicija. Neka su X i Y neprazni skupovi. Funkcija f : X Y je pravilo koje svakom elementu x X pridružuje jedinstveni element y Y. Element y nazivamo slika elementa x i pišemo y = f(x). Skup X nazivamo domena funkcije, a skup f(x) = {f(x) x X} (.5) se nazivamo slika funkcije. Ako je f(x) = Y, tada kažemo da je f surjekcija na Y. Graf funkcije je podskup kartezijevog umnoška X Y definiran sa G(f) = {(x, f(x)) x X}. (.6) Ako su X R i Y R podskupovi realnih brojeva, tada G(f) često možemo predočiti kao krivulju u ravnini R 2 što je uobičajeno značenje grafa funkcije. Definicija.2 Neka je f : X Y funkcija. Ako f(x ) = f(x 2 ) implicira x = x 2, tada kažemo da je f injekcija. Ako za svaki y Y postoji x X takav da je y = f(x), tada kažamo da je f surjekcija. Drugim riječima, f je injekcija ako različite točke u X preslikava u različite točke u Y. Slično, f je surjekcija ako je slika funkcije f(x) jednaka skupu Y. Ako je f : X Y injekcija i surjekcija, tada kažemo da je f bijekcija. Neka je f : X Y injekcija. Tada se u svaki y f(x) preslikava jedinstveni x X, pa možemo definirati inverzno preslikavanje f : f(x) X pravilom f (y) = x ako i samo ako je f(x) = y. (.7) Inverzna funkcija f : f(x) X je očigledno bijekcija.

7 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 4 Pretpostavimo sada da su zadane dvije funkcije f : X Y i g : Y Z. g f : X Z definiramo pravilom Kompoziciju (g f)(x) = g(f(x)), x X. (.8) Kompozicija g f djeluje na točku x tako da prvo f djeluje na x, a zatim g djeluje na f(x). Za dvije funkcije f : X Y i g : X Y kažemo da su jednake ako je f(x) = g(x) za svaki x X. Ponekad je potrebno promatrati restrikciju funkcije f : X Y na podskup A X. U tom slučaju restrikciju f A : A Y definiramo sa f A (x) = f(x) za svaki x A. Funkciju id X : X X definiranu sa id X (x) = x za svaki x X nazivamo identiteta na X. Ova funkcija svaki element x X preslikava na samog sebe. Identiteta id X je očigledno bijekcija i vrijedi id X = id X. Neka je f : X Y injekcija i neka je f : f(x) X inverzno preslikavanje. Iz definicije inverzne funkcije slijedi f f = id X, f f = id f(x). (.9) U posebnom slučaju kada je f : X X bijekcija imamo f f = f f = id X.. Skupovi N, Z i Q Brojevi, 2, 3,... nazivaju se prirodni brojevi. Oni tvore skup prirodnih brojeva N = {, 2, 3,...}. (.20) Skup N je beskonačan pa ne možemo navesti sve njegove elemente. Zbog toga se služimo točkicama... koje znače i tako dalje. Skup prirodnih brojeva ima jedno važno svojstvo poznato kao aksiom o matematičkoj indukciji. To svojstvo nam omogućava da iz izvjesnih svojstava podskupa M N zaključimo da je M = N. Aksiom o matematičkoj indukciji Neka je M N. Pretpostavimo da M ima sljedeća svojstva: (i) M, (ii) n M n + M za svaki n M. Tada je M = N. Aksiom o matematičkoj indukciji se koristi za dokazivanje različitih tvrdnji u matematičkoj teoriji, a napose za proučavanje beskonačnih skupova.

8 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 5 Primjer. (Bernoullijeva nejednakost) Dokažite da je ( + x) n + nx, x (.2) za svaki n N. Nejednakost (.2) očigledno vrijedi za n =. Neka je M skup svih prirodnih brojeva za koje vrijedi ova nejednakost. M je neprezan skup jer je M. Neka je sada n M. Tada je ( + x) n + nx, x. (.22) Odavde slijedi ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + (n + )x + nx 2 + (n + )x, (.23) što implicira n + M. Dakle, pokazali smo da n M povlači n + M, pa je prema aksiomu o matematičkoj indukciji M = N. Time je dokazano da Bernoullijeva nejednakost vrijedi za svaki prirodni broj n. Brojeve 0,,, 2, 2,... nazivamo cijeli brojevi. Skup cijelih brojeva označavamo sa Z, Z = {0,,, 2, 2,...}. (.24) Broj 0 ima istaknuto mjesto u skupu Z jer je to jedinstveni cijeli broj sa svojstvom 0 + x = x + 0 = x za svaki x Z. Racionalni brojevi su brojevi oblika m/n gdje su m Z i n N. Skup racionalnih brojeva označavamo sa Q, dakle, { m } Q = n m Z, n N. (.25) Skup Q je gust u smislu da za svaka dva racionalna broja a, b Q, a < b, postoji c Q takav da je a < c < b. Doista, ako su a = m/n i b = p/q gdje su m, p Z i n, q N, tada je c = a + b 2 = mq + np 2nq (.26) racionalan broj takav da je a < c < b. Ovo svojstvo gustoće nemaju skupovi prirodnih i cijelih brojeva..2 Skup realnih brojeva Poznato je da postoje brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomka m/n, m Z, n N. Primjer takvog broja je 2. Činjenicu da 2 / Q možemo dokazati metodom

9 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 6 kontradikcije. Pretpostavimo da je 2 = m/n za neke m Z i n N, i pokažimo da ova pretpostavka vodi na kontradikciju. Budući da je 2 > 0, to je m N. Razlomak m/n možemo potpuno skratiti pa pretpostavimo da su m i n relativno prosti. Kvadriranjem izraza 2 = m/n dobivamo m 2 = 2n 2 što implicira da je m 2, pa dakle i m paran broj. Stoga je m = 2k za neki k N. Sada (2k) 2 = 2n 2 daje n 2 = 2k 2 što implicira da je n takoder paran broj, n = 2l za neki l N. Zaključujemo da m i n imaju zajednički faktor 2 što je u kontradikciji sa pretpostavkom da su m i n relativno prosti. Dakle, 2 / Q. Na sličan način se može pokazati da 2, 3 i 5 nisu racionalnih brojevi. Iz tog razloga uvodimo proširenje skupa Q na skup realnih brojeva koji označavamo sa R. Skup realnih brojeva ima svojstvo da svakoj točki na brojevnom pravcu možemo pridružiti točno jedan realan broj. Skup Q je pravi podskup skupa R, a realne brojeve koji nisu racionalni nazivamo iracionalni brojevi. Primjeri iracionalnih brojeva su 2, 3, 5, e, π. Aksiomi skupa realnih brojeva Postoji nekoliko pristupa konstrukciji skupa realnih brojeva R. Jedan od njih je aksiomatski pristup u kojem su svojstva realnih brojeva opisana aksiomima koji R definiraju kao potpuno i uredeno polje. Na skupu R definirane su dvije binarne operacije + i (koje nazivamo zbrajanje i množenje, redom) i binarna relacija sa sljedećim svojstvima: A Zbrajanje je asocijativno, (a + b) + c = a + (b + c) za svaki a, b, c R. (.27) A2 Zbrajanje je komutativno, a + b = b + a za svaki a, b R. (.28) A3 Postoji element 0 R takav da je 0 + a = a za svaki a R. A4 Za svaki a R postoji element a R takav da je a + ( a) = 0. A5 Množenje je asocijativno, (a b) c = a (b c) za svaki a, b, c R. (.29) A6 Množenje je komutativno, a b = b a za svaki a, b R. (.30)

10 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 7 A7 Postoji element R takav da je a = a za svaki a R. A8 Za svaki a R, a 0, postoji element a = /a R takav da je a a =. A9 Množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje a (b + c) = a b + a c (.3) Skup R zajedno sa aksiomima A A9 tvori polje. Na ovom polju definirana je relacija uredaja koja ima sljedeća svojstva: A0 Za svaki a, b R vrijedi a = b ili a b ili b a. (.32) A a b i b a ako i samo ako je a = b. A2 Uredajna relacija je tranzitivna, a b i b c a c. (.33) A3 Uredajna relacija je u skladu s zbrajanjem, a b a + c b + c za svaki c R. (.34) A4 Uredajna relacija je u kompatibilna s množenjem, 0 a i 0 b 0 ab. (.35) Ako je x y i x y, tada pišemo x < y, odnosno y > x. Za skup R koji zadovoljava aksiome A A4 kažemo da je uredeno polje. A5 (Arhimedov aksiom) Za svaka dva realna broja a > 0 i b > 0 postoji n N takav da je na > b. Kada aksiomima A A4 pridodamo Arhimedov aksiom, kažemo da je R uredeno Arhimedovo polje.

11 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 8.3 Supremum i infimum skupa Intervali su osnovni podskupovi skupa R s kojima ćemo se često susretati. Neka su a, b R gdje je a < b. Ograničeni interval je skup oblika [a, b] = {x R a x b}, (a, b) = {x R a < x < b}, (.36) [a, b) = {x R a x < b}, (a, b] = {x R a < x b}. (.37) Interval [a, b] se naziva zatvoreni interval, a (a, b) nazivamo otvoreni interval. Ograničeni intervali [a, b) i (a, b] nisu ni otvoreni ni zatvoreni. Neograničeni interval je skup oblika [a, ) = {x R x a}, (, b] = {x R x b}, (.38) (a, ) = {x R x > a}, (, b) = {x R x < b}. (.39) U ovoj notaciji pišemo R = (, ). Definicija.3 Neprazan skup S R je odozgo ograničen ako postoji M R takav da je x M za svaki x S. Svaki broj M sa navedenim svojstvom naziva se majoranta ili gornja meda skupa S. Ako skup S nije odozgo ograničen, kažemo da je S odozgo neograničen. Primjer.2 Skup (, b] = {x R x b} je odozgo ograničen. Gornja meda skupa je b, kao i svaki realni broj a > b. Primjer.3 Skup prirodnih brojeva N nije odozgo ograničen jer za svaki M R postoji n N takav da je n > M. Skupovi Z i Q takoder nisu odozgo ograničeni. Neka je S odozgo ograničen skup. Tada S ima beskonačno mnogo gornjih meda, pa se prirodno postavlja pitanje da li postoji najmanja gornja meda. Na primjer, svaki realni broj x 0 je gornja meda skupa (, 0] s tim da je jasno da je 0 najmanja gornja meda. Definicija.4 Neka je S R odozgo ograničen skup. Realan broj L naziva se supremum skupa S ako vrijedi (i) x L za svaki x S, (ii) za svaki ε > 0 postoji x S takav da je L ε < x. Supremum skupa S označavamo sa L = sup S ili L = sup x. (.40) x S Ako je L S, tada kažemo da je L maksimum ili najveći element skupa S, i pišemo L = max S ili L = max x. (.4) x S

12 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 9 Svojstvo (i) kaže da je L gornja meda od S, a svojstvo (ii) da je L najmanja gornja meda od S. Ako S R nije ograničen odozgo, tada pišemo sup S = +. (.42) Primjer.4 Skupovi A = [0, ) i B = [0, ] imaju supremum L =, ali L / A dok je L B. Stoga pišemo sup A = i max B =. Primjer.5 Odredite supremum skupa { n } S = n + n N. (.43) Skup S je ograničen odozgo jer je n/(n + ) < za svaki n N. Pokažimo da je najmanja gornja meda od S. Neka je ε > 0. Tvrdimo da postoji n N takav da je ε < n n +. (.44) Da je ovo doista istina vidimo rješavanjem nejednadžbe (.44). Množenjem sa n + > 0 dobivamo što implicira n > ( ε)(n + ) = n εn + ε (.45) n > ε. (.46) ε Dakle, za svaki n N koj zadovoljava nejednakost (.46) vrijedi (.44). Time smo pokazali da je najmanja gornja meda od S, odnosno sup S =. Slična razmatranja vrijede za odozdo ograničene skupove. Definicija.5 Neprazan skup S R je odozdo ograničen ako postoji m R takav da je m x za svaki x S. Svaki broj m sa navedenim svojstvom naziva se minoranta ili donja meda skupa S. Ako S nije odozdo ograničen, kažemo da je S odozdo neograničen. Analogno pojmu supremuma možemo definirati najveću donju medu koju nazivamo infimum skupa. Definicija.6 Neka je S R odozdo ograničen skup. Realan broj K naziva se infimum skupa S ako vrijedi (i) K x za svaki x S, (ii) za svaki ε > 0 postoji x S takav da je x < K + ε.

13 POGLAVLJE. SKUPOVI I FUNKCIJE 0 Infimum skupa S označavamo sa K = inf S ili K = inf x. (.47) x S Ako je K S, tada kažemo da je K minumum ili najmanji element skupa S, i pišemo Ako S R nije ograničen odozdo, tada pišemo K = min S ili K = min x. (.48) x S inf S =. (.49) Za neprazan skup S R kažemo da je ograničen ako je ograničen odozdo i odozgo. protivnom kažemo da je S neograničen skup. Na primjer, skupovi Z i Q su neograničeni, dok je N ograničen odozdo i neograničen odozgo. Ako je S ograničen skup, tada je sup S < i inf S >, i očigledno je S [inf S, sup S]. (.50) Sva svojstva navedena u aksiomima A A5 ima i skup racionalnih brojeva Q. Stoga je Q uredeno Arhimedovo polje. Medutim, novo važno svojstvo skupa R koje ne vrijedi u skupu Q je dano sljedećim aksiomom. A6 (Dedekindov aksiom) Svaki odozgo ograničen skup S R ima supremum u R. Sljedeći primjer pokazuje da skup Q ne zadovoljava Dedekindov aksiom. Neka je K = {x Q x 2 2}. (.5) Tada je 2 x 2 za svaki x K. Neka je ε > 0. Kako je skup Q gust u skupu R, postoji x Q takav da je 2 ε < x < 2 što povlači da je sup K = 2 / Q. U Dedekindov aksiom se naziva još i aksiom o potpunosti skupa realnih brojeva. Iz Dedekindovog aksioma se može pokazati da svaki odozdo ograničen skup S R ima infimum u R. Za skup R zajedno s aksiomima A A6 kažemo da je potpuno uredeno polje.

14 Poglavlje 2 Nizovi realnih brojeva 2. Limes niza Niz je svaka funkcija čija domena je skup prirodnih brojeva. U ovom poglavalju ćemo proučavati nizove realnih brojeva što će nas dovesti do pojma esa. Ovaj pojam ćemo proširiti na funkcije realne varijable u sljedećem poglavlju. Definicija 2. Niz realnih brojeva je svaka funkcija f : N R. Uobičajeno je da se vrijednost funkcije f(n) označava s a n. a, a 2, a 3,..., a realni broj a n nazivamo n-ti član niza. Niz označavano s {a n } ili Primjer 2. Odredite nekoliko prvih članova niza {a n } gdje je (a) a n = 2 n, (b) a = a 2 =, a n = a n + a n 2, (c) a n = c, c R. U primjeru (a) imamo a = 2 = 2, a 2 = 4 = 3 4, a 3 = 8 = 7 8,... (2.) Članovi niza u primjeru (b) su dani sa a =, a 2 =, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8, a 7 = 3,... (2.2) Ovaj niz naziva se Fibonaccijev niz. koeficijenta a n odredena koeficijentima a n i a n 2. jednaki, To je niz je rekurzivno definiran jer je vrijednost U primjeru (c) svi članovi niza su c, c, c,..., (2.3)

15 POGLAVLJE 2. NIZOVI Slika 2.: Niz a n = n n+. stoga ovaj niz nazivamo stacionaran niz. Jedan od važnih pojmova u teoriji nizova je konvergencija niza. Prirodno je zapitati što se dešava s članovima niza {a n } kada indeks n raste. Na primjer, na slici 2. primijećujemo da niz a n = n n +, (2.4) teži prema kada n postaje velik. U tom slučaju kažemo da niz {a n } konvergira prema. Ovu ideju ćemo formalizirati u sljedećoj definiciji. Definicija 2.2 Kažemo da niz realnih brojeva {a n } ima es L R ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n L < ε. (2.5) Tada pišemo n a n = L. (2.6) Prema ovoj definiciji realan broj L je es niza {a n } ako razliku a n L možemo napraviti po volji malom ako je indeks n dovoljno velik. Nadalje, L ima svojstvo da se izvan svake ε-okoline broja L nalazi samo konačno mnogo članova niza {a n }, dok se unutar ε-okoline niza nalazi beskonačno mnogo članova niza za svaki ε > 0. Ako niz {a n } ima es, tada kažemo da niz konvergira, u protivnom kažemo da divergira.

16 POGLAVLJE 2. NIZOVI 3 Definicija 2.3 Kažemo da niz {a n } divergira prema, i pišemo n a n =, ako za svaki M > 0 postoji n 0 N takav da je a n > M za svaki n > n 0. (2.7) Slično, kažemo da {a n } divergira prema, i pišemo n a n =, ako za svaki M < 0 postoji n 0 N takav da je a n < M za svaki n > n 0. (2.8) Primjer 2.2 Pokažimo da je = 0. (2.9) n n Prema Arhimedovom aksiomu za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je /n 0 < ε Tada za svaki n > n 0 vrijedi n 0 = n < n 0 < ε. (2.0) Time je dokazano da je n /n = 0 jer je ε > 0 odabran proizvoljno. Primjer 2.3 Pokažimo da je ( ) =. (2.) n 2 n Neka je a n = 2 n, i neka je ε > 0. Koristeći Bernoullijevu nejednakost (.2) dobivamo an = 2 n = ( + ) n n + < n. (2.2) Za odabrani ε > 0 postoji n 0 N takav da je /n 0 < ε. Stoga za svaki n > n 0 vrijedi čime je tvrdnja dokazana. an < n < n 0 < ε, (2.3) Primijetimo da za stacionarni niz {a n = c} trivijalno vrijedi n a n = c jer za svaki ε > 0 i svaki n N imamo a n c = c c = 0 < ε. (2.4) Primjer 2.4 Pokažite da niz {( ) n+ } divergira.

17 POGLAVLJE 2. NIZOVI 4 Prvih nekoliko članova niza je dano sa,,,,... (2.5) Intuitivno je jasno da ovaj niz divergira jer članovi niza stalno izmjenjuju vrijednosti i kada n. Pretpostavimo da je n a n = L za neki L R gdje je a n = ( ) n+. Tada je a n L = L za neparan n ili a n L = L = + L za paran n. Neka je R = max{ L, + L } > 0. Prema pretpostavci, za 0 < ε < R postoji n 0 N takav da je a n L < ε za svaki n > n 0. (2.6) Medutim, a n L = R ili za paran n ili za neparan n što vodi na kontradikciju da je R < ε. Dakle, niz {a n } divergira. Teorem 2. Ako postoji, es niza je jedinstven. Dokaz. Pretpostavimo da niz {a n } ima dva esa, a n = L i a n = L 2. (2.7) n n Odaberimo ε > 0. Tada za ε 2 > 0 postoje n N and n 2 N takvi da Neka je n 0 = max{n, n 2 }. Tada za n > n 0 imamo n > n a n L < ε 2, (2.8) n > n 2 a n L 2 < ε 2. (2.9) a n L < ε 2 i a n L 2 < ε 2. (2.20) Ako je n > n 0, tada iz (2.20) slijedi L L 2 = L a n + a n L 2 a n L + a n L 2 < ε 2 + ε 2 = ε. (2.2) Kako je ε > 0 proizvoljno odabran, jednadžba (2.2) implicira da je L L 2 manje od bilo kojeg pozitivnog realnog broja. To je moguće samo ako je L = L 2, stoga je es jedinstven. Sada ćemo promotriti neka osnovna svojstva konvergentnih nizova, uključujući i pravila za računanje esa niza. Definicija 2.4 Kažemo da je niz {a n } ograničen ako postoji M > 0 takav da je a n M za svaki n N. (2.22)

18 POGLAVLJE 2. NIZOVI 5 Slično se definira niz ograničen odozgo ili ograničen odozdo. Lema 2. Ako n a n = L postoji, tada je niz {a n } ograničen. Dokaz. Za ε = postoji n 0 N takav da je a n L < za svaki n > n 0. Odavde slijedi da je a n L a n L < za svaki n > n 0, (2.23) odnosno a n < + L za svaki n > n 0. (2.24) Neka je M = max{ a, a 2,..., a n0, + L }. Tada je očigledno što dokazuje da je niz {a n } ograničen. a n M za svaki n > n 0, (2.25) Ograničen niz ne mora biti konvergentan. Na primjer, niz a n = ( ) n+ je ograničen jer je a n za svaki n N, ali n ( ) n+ ne postoji. Lema 2. je korisna u dokazivanju da odredeni niz ne konvergira, jer ako {a n } nije ograničen, tada lema 2. implicira da n a n ne postoji. Na primjer, niz { n} nije ograničen stoga on divergira, i vrijedi n n =, Teorem 2.2 (Teorem o ukliještenom nizu) Pretpostavimo da je a n b n c n za svaki n N. Ako je n a n = n c n = L, tada je n b n = L. Dokaz. Iz nejednakosti a n b n c n dobivamo a n L b n L c n L, (2.26) odakle slijedi i b n L c n L (2.27) (b n L) (a n L) a n L. (2.28) Za odabrani ε > 0 postoje n, n 2 N takvi da je c n L < ε za svaki n > n, i a n L < ε za svaki n > n 2. Neka je n 0 = max{n, n 2 }. Tada za svaki n > n 0 vrijedi b n L c n L < ε i (b n L) a n L < ε, (2.29) što implicira b n L < ε. Dakle, n b n = L.

19 POGLAVLJE 2. NIZOVI 6 Jasno je da ovaj teorem vrijedi i ako je a n b n c n za svaki n > N gdje je N neki prirodni broj. Ovaj teorem nam dozvoljava da odredimo es niza {b n } ako je poznat es nizova {a n } i {c n } izmedu kojih je ukliješten niz {b n }. Odredivanje esa primjenom definicije 2.2 nije praktično jer najprije trebamo imati kandidata za es, a zatim provjeriti da taj broj zaista zadovoljava definiciju 2.2. Medutim, odredivanje esa olakšavaju nam pravila za računanje esa dana sljedećim teoremom. Teorem 2.3 Neka su {a n } i {b n } konvergentni nizovi, i neka su n a n = A i n b n = B. Tada vrijedi (i) n (a n + b n ) = A + B, (ii) n ka n = ka za svaki k R, (iii) n a n b n = AB, (iv) n (/b n ) = /B ako je b n 0 i B 0, (v) n (a n /b n ) = A/B ako je b n 0 i B 0. Dokaz. (i) Odaberimo ε > 0. Tada za ε/2 > 0 postoji n N takav da n > n a n A < ε 2. (2.30) Slično, postoji n 2 N takav da n > n 2 b n B < ε 2. (2.3) Ako je n 0 = max{n, n 2 }, tada za n > n 0 imamo (a n + b n ) (A + B) = (a n B) + (b n B) a n A + b n B < ε 2 + ε 2 = ε. (2.32) Dakle, pokazali samo da za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je (a n + b n ) (A + B) < ε za svaki n > n 0. (2.33) Ovo pokazuje da je n (a n + b n ) = A + B. (ii) Ako je k = 0, tada je rezultat očigledan jer je ka n ka = 0 za svaki n N. Pretpostavimo da je k 0 i odaberimo ε > 0. Tada za ε/ k > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n A < ε k. (2.34)

20 POGLAVLJE 2. NIZOVI 7 Dakle, za n > n 0 vrijedi ka n ka = k a n A < k ε = ε, (2.35) k čime je dokazano da je n ka n = ka. (iii) Prema lemi 2., niz {a n } je ograničen jer je konvergentan. Neka je M > 0 takav da je a n < M za svaki n N. Odaberimo ε > 0. Tada postoji n N takav da za svaki n > n vrijedi a n A < i postoji n 2 N takav da za svaki n > n 2 imamo Neka je n 0 = max{n, n 2 }. Tada za svaki n > n 0 dobivamo ε 2( + B ), (2.36) b n B < ε 2M. (2.37) a n b n AB = a n b n a n B + a n B AB a n b n a n B + a n B AB = a n b n B + B a n A < M ε 2M + B ε 2( + B ) < ε 2 + ε = ε. (2.38) 2 Primijetimo da smo u nejednakosti (2.36) radije odabrali ocjenu ε/(2( + B )) umjesto ε/(2 B ) jer B može biti nula. Time je dokazano da je n a n b n = AB. (iv) Neka je B 0 i b n 0 za svaki n N. Za ε = B /2 postoji n N takav da Medutim, n > n b n B < B 2. (2.39) B b n B b n, (2.40) što zajedno sa (2.39) implicira b n > B /2 za svaki n > n. Takoder, postoji n 2 N takav da n > n 2 b n B < ε B 2 2. (2.4) Ako je n 0 = max{n, n 2 }, tada za n > n 0 imamo = b n B b n B b n B ε B 2 2 b n B < ε B 2 = ε, (2.42) 2 B

21 POGLAVLJE 2. NIZOVI 8 gdje smo uzeli u obzir da je / b n < 2/ B. Ovo pokazuje n /b n = /B. (v) Kako je n /b n = /B, primjenom rezultata (iii) dobivamo a n = a n = n b n n b n B A = A B. (2.43) Ilustrirajmo na sljedećim primjerima kako se gore navedeni teoremi mogu koristiti za odredivanje esa. Primjer 2.5 Odredite 2n 2 + n n 2 + 3n. (2.44) Dijeljenjem brojnika i nazivnika sa n 2, te primjenom pravila iz teorema 2.3 dobivamo ( ) 2n 2 + n n 2 + 3n = 2 + n 2 + n 2 n n + 3 = 2 ) n n ( + 3 n = n 2 + n n 2 n + n 3 n = 2 = 2. (2.45) Provjerimo da je rezultat točan tako što ćemo pokazati da broj 2 zadovoljava definiciju esa. Neka je ε > 0. Primijetimo da je 2n2 + n 2 + 3n 2 2n 2 + 2(n 2 + 3n) = n 2 6n + 3n n 2 + 3n = 6n n 2 + 3n < 6n n 2 = 6 n. (2.46) Odaberimo n 0 N dovoljno velik takav da je /n 0 < ε/6. Tada za n > n 0 imamo Primjer 2.6 Pokažite da je 2n2 + n 2 + 3n 2 6 < n < 6 < ε. (2.47) n 0 n a/n = za svaki a > 0. (2.48)

22 POGLAVLJE 2. NIZOVI 9 (i) Pretpostavimo da je a. Tada je a /n za svaki n N. Definirajmo niz b n = a /n 0. Tada je a /n = + b n, stoga je prema Bernoullijevoj nejednakosti (.2). Dakle, a = ( + b n ) n + nb n (2.49) 0 b n a n. (2.50) Očigledno je n (a )/n = 0, stoga prema teoremu o ukliještenom nizu 2.2 imamo n b n = 0. Odavde slijedi n a /n = n ( + b n ) =. (ii) Pretpostavimo da je 0 < a <. Tada je /a > pa vrijedi n a/n = n ( n a) = (2.5) jer je n (/a) /n = prema rezultatu (i). Dakle, n a /n = za svaki a > Ograničeni nizovi U prethodnom odjeljku smo pokazali da je konvergentan niz nužno ograničen, ali ograničen niz ne mora biti konvergentan. Sada ćemo proučiti svojstva ograničenih nizova i pokazati da uz neke dodatne uvjete ograničeni niz konvergira. Takoder ćemo promatrati podnizove ograničenih nizova. Definicija 2.5 Kažemo da je niz {a n } monotono rastući ako je a n a n+ za svaki n N (ili strogo rastući ako je a n < a n+ za svaki n N). Slično, kažemo da je {a n } mononotono padajući niz ako je a n a n+ za svaki n N (ili strogo padajući ako je a n > a n+ za svaki n N). Na primjer, niz { n n+ } je strogo rastući jer je dok je niz { 3 n+5 } strogo padajući jer je a n+ a n = n + n + 2 n n + = > 0, (2.52) (n + 2)(n + ) a n+ a n = 3 n n + 5 = 3 < 0. (2.53) (n + 6)(n + 5) Teorem 2.4 Neka je {a n } monontono rastući niz koji je ograničen odozgo. Tada {a n } konvergira i n a n = sup{a n }.

23 POGLAVLJE 2. NIZOVI 20 Dokaz. Skup {a n } je ograničen odozgo, pa prema Dedekindovom aksiomu ima supremum u R, sup{a n } = L. Tada za ε > 0 postoji n 0 N takav da je L ε < a n0 < L. Ako je n > n 0, tada zbog monontonosti niza imamo L ε < a n0 a n < L, (2.54) što povlači a n L < ε. (2.55) Dakle, n a n = L = sup{a n }. Sličan rezultat vrijedi za monotono padajuće nizove, n a n = inf{a n }. Primjer 2.7 Svaki decimalni broj oblika 0.d d 2 d 3... prestavlja jedinstveni realni broj u intervalu [0, ]. Neka su d n, n N, brojevi iz skupa {0,, 2,...}. Definirajmo niz a = 0.d a 2 = 0.d d 2. a n = 0.d d 2... d n. Niz {a n } je monotono rastući jer je a n+ a n = d n+ 0. Takoder, niz je ograničen odozgo sa, pa prema teoremu 2.4 niz ima es n a n = A. Ovaj es je realni broj u intervalu [0, ] kojeg prikazujemo u obliku beskonačnog decimalnog broja A = 0.d d 2 d Ponekad je es niza teško odrediti, medutim teorem 2.4 nam daje uvjete pod kojima možemo barem dokazati egisitenciju esa. Promotrimo niz definiran s a n = ( + n) n. (2.56) Koristeći Newtonovu binomnu formulu može se pokazati da je niz {a n } monotono rastući, a n a n+, i ograničen odozgo jer je a n < 3 za svaki n N. (2.57)

24 POGLAVLJE 2. NIZOVI Slika 2.2: Niz a n = ( + n )n konvergira prema broju e. Prema teoremu 2.4 niz {a n } ima es koji ne prelazi 3. Ovaj es označavamo sa e, ( + n) n = e, (2.58) n i nazivamo Eulerov broj. Približna numerička vrijednost Eulerovog broja je e Niz (2.56) prikazan je na slici Podnizovi Definicija 2.6 Niz {b n } naziva se podniz niza {a n } ako postoje prirodni brojevi n < n 2 < n 3... takvi da je b k = a nk, k =, 2, 3,... (2.59) Primijetimo da je k n k za svaki k N. Primjer 2.8 Promotrimo niz a n = ( ) ( nπ sin n 2 ). (2.60) Lako se vidi da niz divergira jer sin ( ) nπ 2 prima diskretne vrijednosti 0, ±, ovisno o indeksu n, dok ( /n) konvergira prema. Medutim, sljedeći podnizovi konvergiraju: (i) a 2k = ( ) sin(kπ) = 0, k =, 2, 3,... (2.6) 2k

25 POGLAVLJE 2. NIZOVI Slika 2.3: Niz a n = ( n ) sin( nπ 2 ) ima konvergentne podnizove {a 2n}, {a 4n } i {a 4n+ }. (ii) (iii) ( a 4k+ = ) ( ) (4k + )π sin 4k + 2 ( a 4k = ) ( ) (4k )π sin 4k 2 =, k = 0,, 2,... (2.62) 4k + ( = ), k =, 2, 3,... (2.63) 4k Podniz {a 2k } je stacionaran niz koji konvergira prema 0, podniz {a 4k+ } konvergira prema, dok podniz {a 4k } konvergira prema. Podnizove niza (2.60) lako uočavamo na slici 2.3. Dakle, iako niz {a n } ne konvergira, sadrži tri konvergentna podniza. Jasno je da ako niz {a n } sadrži podnizove koji konvergiraju prema različitim esima, tada {a n } divergira. Lema 2.2 Niz {a n } konvergira prema L ako i samo ako svaki podniz niza {a n } konvergira prema L. Dokaz. Pretpostavimo da je n a n = L. Neka je {a nk } podniz niza {a n }. Za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n L < ε. (2.64) Neka je k 0 N takav da je n k0 > n 0. Tada za svaki k > k 0 imamo n k > n k0 > n 0 pa vrijedi a nk L < ε. Dakle, podniz {a nk } konvergira prema L. S druge strane, ako svaki podniz

26 POGLAVLJE 2. NIZOVI 23 konvergira prema L, tada je n a n = L jer je niz {a n } podniz samoga sebe. Jedan od važnih rezultata o nizovima kazuje da svaki ograničen niz nužno ima konvergentan podniz. Da bismo dokazali ovaj rezultat potrebno nam je sljedeće svojstvo realnih brojeva. Teorem 2.5 (Cantorov teorem) Neka su I = [a, b 2 ], I 2 = [a 2, b 2 ], I 3 = [a 3, b 3 ]... intervali realnih brojeva takavi da je I I 2 I 3... i n (b n a n ) = 0, Tada postoji točno jedan realan broj a takav da je n= I n = {a}. Dokaz. Niz {a n } je monotono rastući i ograničen odozgo sa b. Prema teoremu 2.4 niz {a n } je konvergentan, n a n = a za neki a R. Primijetimo da je a n b k za svaki k N, stoga je sup{a n } b k za svaki k N. Kako je sup{a n } = a, ovo implicira a k a b k, k N, (2.65) stoga je a I k za svaki k N, odnosno a k= I k. Dokažimo jedinstvenost broja a. Pretpostavimo da postoji b R takav da je b I k za svaki k N. Tada je a k b b k za svaki k N, odakle dobivamo 0 b a k b k a k. (2.66) Kako je k (b k a k ) = 0, prema teoremu o ukliještenom nizu 2.2 imamo (b a k) = 0. (2.67) k Slijedi da je b = k a k = a, stoga je a jedina točka u presjeku svih intervala I k. Teorem 2.6 (Bolzano-Weierstrass) Svaki ograničen niz ima konvergentni podniz. Dokaz. Ako je {a n } ograničen niz, tada postoji M > 0 takav da je a n < M za svaki n N. Stoga je a n [ M, M] za svaki n N. Barem jedan od intervala [ M, 0] ili [0, M] sadrži beskonačno mnogo članova niza {a n }. Označimo taj interval sa I 0. Ako I 0 podijeo na dva jednaka podintervala, tada barem jedan od njih sadrži beskonačno mnogo članova niza. Označimo taj interval sa I. Nastavljanjem ovog postupka dolazimo do silaznog niza intervala I 0 I I 2 I Duljina svakog intervala je I n < M/2 n. Ako I n = [a n, b n ], tada je b n a n = M 2 n, (2.68) što povlači n (b n a n ) = 0. Prema prethodnom teoremu postoji jedinstveni a R takav da je a I n za svaki n N. Odaberimo a n I, a n2 I 2, a n3 I 3,... takve da je n < n 2 < n 3 <.... Ovakav izbor je moguć jer svaki interval I n sadrži beskonačno mnogo

27 POGLAVLJE 2. NIZOVI 24 članova niza {a n }. Tada je {a nk } podniz niza {a n } sa svojstvom da a nk intervalu I k. Odavde dobivamo i a oba pripadaju a nk a I k = M 2 k, (2.69) što implicira k a nk = a. Bolzano-Weierstrassov teorem garantira da svaki ograničeni niz ima konvergentan podniz. Neograničeni nizovi mogu ali ne moraju imati konvergentne podnizove. Definicija 2.7 Realni broj x 0 nazivamo gomilište niza {a n } ako postoji podniz {a nk } koji konvergira prema x 0. Neka je C skup svih gomilišta niza {a n }. Skup C može biti prazan, konačan ili beskonačan podskup skupa R. Ako je n a n = a, tada je C = {a} jer je a jedino gomilište niza {a n }. Ako je niz {a n } ograničen, tada je prema Bolzano-Weierstrassovom teoremu C neprazan ograničen skup. Definicija 2.8 Neka je {a n } ograničen niz i neka je C skup svih njegovih gomilišta. Limes superior i es inferior niza {a n } su definirani sa sup a n = sup C i inf a n = inf C. (2.70) Ako niz {a n } nije ograničen odozgo, tada definiramo sup a n =. (2.7) Slično, ako {a n } nije ograničen odozdo, tada definiramo inf a n =. (2.72) Lako se vidi da su sup a n C i inf a n C; drugim riječima sup a n je najveće, a inf a n najmanje gomilište niza {a n }. Očigledno je inf a n sup a n. Primjer 2.9 Promotrimo niz {a n } definiran sa,, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,, 2, 3, 4, (2.73) Svaki prirodni broj se ponavlja beskonačno mnogo puta jer nakon niza, 2,..., n dolazi niz, 2,..., n, n +, i taj postupak se ponavlja. Dakle, svaki prirodni broj je gomilište niza

28 POGLAVLJE 2. NIZOVI 25 (2.73), stoga je C = N. Niz nije ograničen odozgo pa je sup a n =. U primjeru 2.8 gomilišta niza su C = {, 0, }, stoga je sup a n = i inf a n =. (2.74) Teorem 2.7 Neka je {a n } ograničen niz i neka su L = inf a n i L 2 = sup a n. Tada za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je L ε < a n < L 2 + ε za svaki n > n 0. (2.75) Drugim riječima, za svaki ε > 0 svi osim eventualno konačno mnogo članova niza se nalaze u intervalu (L ε, L 2 + ε). Dokaz. Neka je ε > 0. Prvo ćemo pokazati da je a n > L ε za sve osim eventualno mnogo članova niza. Pretpostavimo suprotno, odnosno da postoji podniz {a nk } takav da je a nk L ε za svaki k N. (2.76) Podniz {a nk } je ograničen jer je niz {a n } ograničen, pa prema Bolzano-Weierstrassovom teoremu {a nk } ima gomilište x 0 R. Relacija (2.76) povlači da je x 0 L ε < L. Medutim, x 0 je takoder gomilište niza {a n } što je u kontradikciji s pretpostavkom da je L = inf a n. Dakle, a n L ε vrijedi eventualno samo za konačno mnogo članova niza pa zaključujemo da postoji n N takav da je a n > L ε za svaki n > n. Slično se pokazuje da postoji n 2 N takav da je a n < L 2 + ε za svaki n > n 2. Definirajmo n 0 = max{m, m 2 }. Tada je L ε < a n < L 2 + ε za svaki n > n 0. (2.77) Neposredna posljedica ovog teorema je Korolar 2. n a n = L ako i samo ako je L = inf a n = sup a n. 2.4 Cauchyev niz Ako niz konvergira, tada su njegovi članovi a n proizvoljno blizu esa L kada je n dovoljno velik. Kako se članovi niza gomilaju oko esa, intuitivno zaključujemo da su a n i a m dovoljno blizu jedan drugome kada su n i m dovoljno veliki. Nizovi koji imaju ovo svojstvo nazivaju se Cauchyevi nizovi.

29 POGLAVLJE 2. NIZOVI 26 Definicija 2.9 Niz {a n } naziva se Cauchyev niz ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da n, m > n 0 a n a m < ε. (2.78) Lako se vidi da je svaki konvergentan niz Cauchyev. Pretpostavimo da je n a n = L. Tada za ε > 0 postoji n 0 N takav da n > n 0 a n L < ε 2. (2.79) Dakle, ako su n, m > n 0, tada imamo a n a m = a n L a m + L a n L + a m L < ε 2 + ε 2 = ε. (2.80) Istaknimo da su u polju realnih brojeva Cauchyevi nizovi su isto što i konvergentni nizovi. Ekvivalencija ova dva pojma je posljedica Dedekindovog aksioma prema kojem svaki neprazan odozgo ograničen skup realnih brojeva ima supremum u R. Teorem 2.8 Svaki Cauchyev niz je ograničen. Dokaz. Neka je {a n } Cauchyev niz. Tada za ε = postoji n 0 N takav da je a n a m < za svaki n, m > n 0. Odaberimo p > n 0 i primijetimo da za svaki n > n 0 vrijedi a n = a n a p + a p a n a p + a p < + a p. (2.8) Neka je M = max{ a, a 2,..., a n0, + a p }. Tada je a n M za svaki n N, (2.82) što pokazuje da je niz {a n } ograničen. Dokažimo sada naš glavni rezultat prema kojemu svaki Cauchyev niz realnih brojeva ima es u R.. Ovo je vrlo važno svojstvo skupa R koji nazivamo potpunost skupa realnih brojeva. Teorem 2.9 (Potpunost skupa realnih brojeva) Svaki Cauchyev niz realnih brojeva je konvergentan. Dokaz. Neka je {a n } Cauchyev niz realnih brojeva. Prema teoremu 2.8 niz {a n } je ograničen, stoga Bolzano-Weierstrassov teorem implicira da {a n } ima konvergentan podniz {a nk }. Neka je k a nk = a. Žeo pokazati da niz {a n} konvergira prema a. Odaberimo ε > 0. Tada za ε/2 > 0 postoji n 0 N takav da je a n a m < ε/2 za svaki n, m > n 0.

30 POGLAVLJE 2. NIZOVI 27 Odaberimo član podniza a nk takav da je a nk a < ε/2 i n k > n 0. Tada za svaki n > n 0 vrijedi a n a = a n a nk + a nk a a n a nk + a nk a < ε 2 + ε 2 = ε. (2.83) Time je dokazano da je n a n = A. Korolar 2.2 Niz realnih brojeva {a n } konvergira ako i samo ako je {a n } Cauchyev niz. Istaknimo da pomoću ovog rezultata možemo ispitati konvergenciju nekog niza bez poznavanja njegovog esa. Naime, dovoljno je provjeriti da li je neki niz Cauchyev niz. Važno je napomenuti da ovaj rezultat ne vrijedi za polje racionalnih brojeva, odnosno da skup Q nije potpun. Navedimo jedan interesantan primjer Cauchyevog niza racionalnih brojeva čiji es nije u Q. Neka je {a n } niz sukcesivnih aproksimacija broja 2 koji se dobije na sljedeći način. Ako je a prva aproksimacija, tada je 2 = a + ε (2.84) gdje je ε pogreška za koju pretpostavljamo da je mala. Kvadriranjem jednadžbe (2.84) dobivamo 2 = a 2 + 2a ε + ε 2 a 2 + 2a ε (2.85) jer se ε 2 može zanemariti u odnosu na a i 2a ε. Iz jednadžbe (2.85) slijedi da je pogreška približno dana sa Dakle, sljedeća aproksimacija iznosi ε 2 a 2a = ε. (2.86) a 2 = a + ε = a + 2 a 2a = 2 (a + 2a ). (2.87) Definirajmo niz {a n } rekurzivnom relacijom a =, a n = ( a n + 2 ), n 2. (2.88) 2 a n Tada je prvih nekoliko članova niza dano sa Njihove numeričke vrijednosti su približno, 3 2, 7 2, ,... (2.89),.5,.46,.44,... (2.90) Niz definiran jednadžbom (2.88) je niz racionalnih brojeva. Može se pokazati da je {a n } Cauchyev niz koji konvergira prema 2 / Q, što pokazuje da skup Q nije potpun.

31 Poglavlje 3 Redovi realnih brojeva U ovom poglavalju ćemo proučavati redove ili beskonačne sume realnih brojeva. Redovi realnih brojeva imaju široku primjenu u matematičkoj teoriji i primjenama. Vidjet ćemo da se za redove realnih brojeva može definirati pojam konvergencije i da se takvi redovi mogu sumirati. Takodjer ćemo proučavati različita svojstva redova. 3. Konvergencija reda Promotrimo sljedeći problem. Neka je {a k } niz realnih brojeva. Kako možemo definirati beskonačnu sumu a k = a + a 2 + a 3 +? (3.) k= Očigledno ovakav izraz ne možemo evaluirati zbrajanjem osim ako je samo konačno mnogo brojeva a k različito od nule. Umjesto izraza (3.) promotrimo niz konačnih suma S = a, (3.2) S 2 = a + a 2, (3.3) S 3 = a + a 2 + a 3, (3.4). S n = a + a a n, (3.5). Uočimo da kada n raste, tada S n uključuje sve više članova reda a k pa sumu reda ima smisla definirati kao n S n, ako es postoji. Sada možemo dati formalnu definiciju reda. 28

32 POGLAVLJE 3. REDOVI 29 Definicija 3. Neka je {a k } niz realnih brojeva. Red realnih brojeva k= a k je niz {S n } gdje je S n = n k= a k. Realni broj a k naziva se k-ti član reda, a S n se naziva n-ta parcijalna suma reda. Definicija 3.2 Kažemo da red realnih brojeva k= a k konvergira prema S ako niz parcijalnih suma {S n } konvergira prema S. Ako niz {S n } divergira, tada kažemo da red k= a k divergira. Ako red konvergira, tada S nazivamo suma reda i pišemo a k = S. (3.6) k= U ovoj notaciji k= a k označava i red i njegovu sumu S. Kako se konvergencija reda definira preko konvergencije niza, mnogi rezultati o konvergenciji redova će ovisiti o odgovarajućim rezultatima o konvergenciji nizova. Primijetimo da red k= a k konvergira ako i samo ako za svaki N > 0 konvergira red k=n a k. Tada je Primjer 3. (Geometrijski red) a k = k= Neka je r <. Odredimo sumu reda N k= a k + a k. (3.7) k=n r k = + r + r 2 + r 3 + (3.8) k= Promotrimo odgovarajući niz parcijalnih suma S n = + r + r r n. (3.9) Da bismo mogli odrediti da li niz {S n } konvergira, potrebno je odrediti zatvoreni oblik izraza S n, odnosno sumirati potencije u jednadžbi (3.9). Množenjem jednadžbe (3.9) sa r dobivamo Odavde slijedi rs n = r + r r n + r n = S n + r n (3.0) S n = rn r. (3.) Kako je n r n = 0 za svaki r <, imamo n S n = n r n r = r. (3.2)

33 POGLAVLJE 3. REDOVI 30 Dakle, niz parcijalnih suma {S n } konvergira pa je red k= rk konvergentan. Suma reda iznosi r k = S n =, r <. (3.3) n r k= Red (3.8) nazivamo geometrijski red i jedan je važnih redova koji nalazi primjenu u raznim granama matematike. Ako je r, tada se može pokazati da geometrijski red divergira. Neka je r =. Tada je S n = = n, (3.4) pa niz parcijalnih suma divergira jer nije ograničen odozgo. Ako je r =, tada imamo S =, S 2 = 0, S 3 =, S 4 = 0,... (3.5) Očigledno je da niz parcijanih suma (3.5) divergira jer ima dva gomilišta 0 i. Slična razmatranja pokazuju da geometrijski red divergira za r >. Primijetimo da u ovom primjeru n-ti član reda ima svojstvo da je n r n = 0. Pokažimo da je ovo nužan uvjet za konvergenciju reda. Teorem 3. Ako red k= a k konvergira, tada je k a k = 0. Dokaz. Neka je S n = n k= a k. Ako red k= a k konvergira, tada je n S n = S za neki realni broj S. Primijetimo da je a n = S n S n za n 2, stoga je n a n = n (S n S n ) = n S n n S n = S S = 0. (3.6) Pomoću ovog teorema možemo prepoznati redove koji nisu konvergentni jer ako je k a k 0, tada red a k divergira. (3.7) Na primjer, red k= cos(π/k) divergira jer je ( π ) cos = 0. (3.8) k k Medjutim, uvjet k a k = 0 nije dovoljan da bi garantirao konvergenciju reda, kako pokazuje sljedeći primjer. n=

34 POGLAVLJE 3. REDOVI 3 Primjer 3.2 (Harmonijski red) Harmonijski red je definiran sa k= /k. Očigledno je k k = 0, (3.9) pa je ispunjen nužan uvjet za konvergenciju. Pokažimo da harmonijski red divergira. Za svaki n N vrijedi S 2 n = n = + ( ) ( ) + 8 ( + 2 n n ) 2 n + 2 n + ( ) ( ) ( + 2 n + 2 n + + ) 2 ( n = = + 2) n 2. (3.20) Ovdje smo koristili činjenicu da je 2 n + k 2 n + 2 n = 2 n za svaki k =, 2,... 2 n, stoga je 2 n + k 2 n, k =, 2,..., 2n. (3.2) Relacija (3.20) pokazuje da niz parcijalnih suma nije ograničen odozgo jer je S 2 n + n, n =, 2, 3,... (3.22) 2 Zaključujemo da niz {S n } divergira, stoga je harmonijski red divergentan iako je k /k = 0. Sljedeći rezultat slijedi izravno iz teorema 2.3 za nizove. Teorem 3.2 Neka su k= a k i k= b k konvergentni redovi, i neka je c R. Tada vrijedi (i) k= (a k + b k ) = k= a k + k= b k, (ii) k= c a k = c k= a k. Dokaz. Neka su A n = n k= a k i B n = n k= b k, i neka je S n = A n + B n. Tada je S n parcijalna suma reda k= (a k + b k ). Nizovi {A n } i {B n } su konvergentni pa je prema teoremu 2.3 n S n = n (A n + B n ) = n A n + n B n. (3.23)

35 POGLAVLJE 3. REDOVI 32 Odavde slijedi da je niz {S n } konvergentan, stoga red k= (a k + b k ) konvergira i vrijedi (a k + b k ) = k= a k + b k. (3.24) k= Slično se pokazuje da je k= c a k = c k= a k. 3.2 Kriteriji konvergencije Vrlo često je teško odrediti sumu nekog reda koji konvergira. Medjutim, ako zanemarimo na trenutak ovo pitanje, postoji nekoliko testova kojima se lako može odrediti da li je neki red konvergentan. Posebno mjesto zauzimaju kriteriji konvergencije (D Alambertov i Cauchyev kriterij) koji se temelje na usporedjivanju danog reda sa geometrijskim redom. Teorem 3.3 Red k= a k konvergira ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji n 0 N takav da je za svaki n > n 0 i p N. k= a n+ + a n a n+p < ε (3.25) Dokaz. Ako red k= a k konvergira, tada je niz parcijalnih suma {S n = n k= a k} Cauchyev niz. Stoga za ε > 0 postoji n 0 N takav da je S m S n < ε za svaki n, m > n 0. Neka je m = n + p za neki p N. Tada je n+p S m S n = a k k= n a k = an+ + a n a n+p < ε. (3.26) k= Pretpostavimo sada da za ε > 0 postoji n 0 N takav da za svaki n > n 0 i p N vrijedi nejednakost (3.25). Tada je S m S n < ε za svaki n, m > n 0. Dakle, {S n } je Cauchyev niz, pa prema teoremu 2.9 konvergira. Teorem 3.3 implicira da za konvergenciju nisu važni prvih nekoliko članova reda, već ona ovisi isključivo o članova koji tvore ostatak reda. Ovaj intuitivni zaključak formaliziran je u sljedećoj lemi koja izravno slijedi iz teorema 3.3. Lema 3. Red k= a k konvergira ako i samo ako red k=n a k konvergira za svaki N N. Teorem 3.4 (Poredbeni kriterij I) Neka je 0 < a k b k za svaki k N. (i) Ako k= b k konvergira, tada k= a k konvergira. (ii) Ako k= a k divergira, tada k= b k divergira.

36 POGLAVLJE 3. REDOVI 33 Dokaz. Definirajmo parcijalne sume A n = n k= a k i B n = n k= b k. Nizovi {A n } i {B n } su strogo rastući jer su a k, b k > 0 za svaki k N. Nadalje, iz nejednakosti 0 < a k b k slijedi 0 < A n B n za svaki n N. Preptostavimo da red k= b k konvergira. Tada je n B n = B za neki B R, pa je niz {A n } ograničen odozgo jer je A n B za svaki n N. Obzirom da je {A n } strogo rastući niz, prema teoremu 2.4 niz {A n } konvergira. Pretpostavimo sada da {A n } divergira. Tada {A n } nije ograničen odozgo što zbog A n B n implicira da {B n } nije ograničen odozgo. Dakle, {B n } divergira što povlači da red k= b k divergira. Napomenimo da zbog leme 3. isti zaključak vrijedi ako je 0 < a k b k, k N, za neki N N. Primjer 3.3 Pokažite da red k= /k! konvergira. Lako se pokazuje indukcijom da je 2 k k! za svaki k N. (3.27) Doista, tvrdnja je očigledna za k =. Pretpostavimo sada da nejednakost (3.27) vrijedi za k =, 2,..., n. Tada za k = n + imamo što pokazuje da tvrdnja vrijedi za k = n +. 2 n = 2 2 n 2n! < (n + )n! = (n + )!, (3.28) Prema aksiomu matematičke indukcije nejednakost (3.27) vrijedi za svaki k N. Iz (3.27) slijedi da je /k! /2 k za svaki k N. Kako za geometrijski red (za r = /2) vrijedi ( ) k = 2 = 2, (3.29) 2 k= prema teoremu 3.4 red k= /k! konvergira. Navedimo još jednu verziju poredbenog kriterija. Teorem 3.5 (Poredbeni kriterij II) Neka su a k > 0 i b k > 0 za svaki k N. Ako je k b k /a k > 0, tada k= a k i k= b k ili oba konvergiraju ili oba divergiraju. Dokaz. Neka je k b k /a k = L > 0. Prema lemi 2. niz {b k /a k } je ograničen, stoga postoji M > 0 takav da je b k a k < M za svaki k N. (3.30)

37 POGLAVLJE 3. REDOVI 34 Primijetimo da je a k = = > 0, (3.3) k b k k b k /a k L stoga je niz {a k /b k } takodjer ograničen. Dakle, postoji M 2 > 0 takav da je Kombiniranjem nejednakosti (3.30) i (3.32) dobivamo a k b k < M 2 za svaki k N. (3.32) 0 < a k < M 2 b k 0 < b k < M a k za svaki k N. (3.33) Prema poredbenom kriteriju 3.4 iz gornje nejednakosti zaključujemo da redovi k= a k i k= b k ili oba konvergiraju ili oba divergiraju. Primjer 3.4 Odredite da li red konvergira. k= k(k + ) (3.34) Primijetimo da vrijedi nejednakost < = k(k + ) k 2 k. (3.35) Neka su a k = k(k + ) i b k = k. (3.36) Tada je stoga je Kako harmonijski red divergira, teorem 3.5 implicira da red b k k(k + ) = = + a k k k, (3.37) b k = + k a k k k b k = k= a k = k= k= k= k =. (3.38) (3.39) k(k + ) (3.40)

38 POGLAVLJE 3. REDOVI 35 takodjer divergira. Jedan od važnih redova koji se koriste u poredbenom kriteriju je red oblika k=, p R, (3.4) kp kojeg nazivamo p-red. Može se pokazati da ovaj red konvergira ako i samo ako je p >. Teorem 3.6 (D Alambertov kriterij) Neka je a k > 0 za svaki k N i neka su (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira, (ii) Ako je r >, tada k= a k divergira. R = sup a k+ a k i r = inf a k+ a k. (3.42) Dokaz. (i) Pretpostavimo da je R < i odaberimo 0 < ε < R. Prema teoremu 2.7 postoji N N takav da je a k+ a k < R + ε < za svaki k N. (3.43) Definirajmo q = ε + R. Tada (3.43) implicira a k+ < q a k za svaki k N, pa iteracijom ove nejednakosti dobivamo Sada je k=n+ 0 < a k < q k N a N, k > N. (3.44) a k k=n+ q k N a N = a N jer je 0 < q <, što povlači da red k= a k konvergira. k= q k < (3.45) (ii) Neka je r > i neka je 0 < ε < r. Prema teoremu 2.7 postoji N N takav da je Neka je q = r ε. Nejednakost (3.46) implicira a k+ a k > r ε > za svaki k N. (3.46) a k > q k N a N, k > N, (3.47) što povlači k a k 0 jer je q >. Prema teoremu 3. red k= a k divergira. Korolar 3. Neka je a k > 0 za svaki k N, i neka je R = k a k+ /a k.

39 POGLAVLJE 3. REDOVI 36 (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira. (ii) Ako je R >, tada k= a k divergira. Primijetimo da u slučaju k a k+ /a k = ne možemo zaključiti da li red konvergira ili divergira. Na primjer, za redove k= /k i k= /k2 vrijedi a k+ k a k a k+ k a k = k = k k =, k + (3.48) k 2 =. (k + ) 2 (3.49) Medjutim, harmonijski red k= /k divergira ali red k= /k2 konvergira. Sljedeći kriterij se dokazuje na sličan način kao teorem 3.6. Teorem 3.7 (Cauchyev kriterij) Neka je a k > 0 za svaki k N, i neka je su (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira. (ii) Ako je r >, tada k= a k divergira. R = sup k a k i r = inf k a k. (3.50) Dokaz. (i) Neka je R < i neka je 0 < ε < R. Prema teoremu 2.7 postoji N N takav da je k ak < R + ε < za svaki k > N. (3.5) Definirajmo q = R + ε. Iz gornje nejednakosti slijedi a k < q k za svaki k > N što povlači k=n+ a k k=n+ jer je 0 < q <. Ovo povlači da red k= a k konvergira. q k < (3.52) (ii) Pretpostavimo da je r > i odaberimo 0 < ε < r. Prema teoremu 2.7 postoji N N takav da je k ak > r ε > za svaki k > N. (3.53) Ovo implicira a k > q k za svaki k > N gdje je q = r ε. Kako je k q k = jer je q >, to je k a k = što povlači da red k= a k divergira. Korolar 3.2 Neka je a k > 0 za svaki k N i neka je R = k k a k. (i) Ako je R <, tada k= a k konvergira.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI

1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

2. Konvergencija nizova

2. Konvergencija nizova 6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb,

OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE. Boris Guljaš. predavanja. Zagreb, OSNOVE MATEMATIČKE ANALIZE Boris Guljaš predavanja Zagreb, 3.2.2014. ii Posljednji ispravak: utorak, 18. travanj 2017. Sadržaj 1 Skupovi N, Z, Q, R, C, R n 1 1.1 Skupovi N, Z, Q, R........................

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Preddipl. studij molekularne biologije predavanja. Damir Bakić. 26. siječnja 2009.

Matematika. Preddipl. studij molekularne biologije predavanja. Damir Bakić. 26. siječnja 2009. Matematika Preddipl. studij molekularne biologije predavanja Damir Bakić 26. siječnja 2009. i Plan Ovo je nastavni materijal za kolegij Matematika namijenjen studentima preddiplomskog studija biologije,

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

1 Svojstvo kompaktnosti

1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. Preddiplomski studij molekularne biologije. Damir Bakić

MATEMATIKA. Preddiplomski studij molekularne biologije. Damir Bakić MATEMATIKA Preddiplomski studij molekularne biologije Damir Bakić i Predgovor Ovo je nastavni materijal za kolegij Matematika namijenjen studentima preddiplomskog studija biologije, smjer Molekularna biologija.

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015. Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

1. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi

1. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi . Nizovi - definicija i osnovni pojmovi Definicija i osnovni pojmovi Definicija... Svako preslikavanje a : N R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom: Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115

4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA

IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα