Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata"

Transcript

1 Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata are urmatoarele proprietati, oricare ar fi x,y,z din R: 1) R este corp comutativ : a) (x+y)+z=x+(y+z) b) x+y=y+x c) exista 0 a.i. x+0 =x d) exista x a.i. x+(-x)=0 e) (xy)z=x(yz) f) xy=yx g) exista 1 a.i. x 1=x h) x(y+z)=xy+xz i) exista x a.i. xx =1, daca x 0, x =1/x 2) R este corp ordonat : a) x x b) x y si y x rezulta x=y c) x y si y z rezulta x z d) x y sau y x e) x y rezulta x+z y+z f) x y si 0 z rezulta xz yz 3) R este corp complet ordonat(axioma Cantor-Dedekind) : Orice submultime A, nevida de numere reale, marginita superior, (contine un element M, la dreapta caruia nu se afla elemente din A) are margine superioara in R. M=supA. Orice submultime A, nevida de numere reale, marginita inferior, (contine un element m, la stinga caruia nu se afla elemente din A) are margine inferioara in R. m=infa. O submultime A, nevida de numere reale, este marginita daca exista un numar real m, astfel incit IxI<m, oricare ar fi x din A. Dreapta incheiata: R=RU{- ; + } V R, se numeste vecinatate a lui x 0 din R daca exista ε>0 a.i. V ( x 0 -ε; x 0 +ε) sau V (ε; + ) daca x 0 =+ sau V (- ; -ε) daca x 0 =- P1 Intre doua numere x si y diferite(x<y) din R, exista cel putin un numar rational r si cel putin un numar irational α : x<r<y, x< α<y Rezulta ca intre doua numere x si y diferite(x<y) din R, exista o infinitate de numere rationale r si o infinitate de numere irationale α. P2 Oricare ar fi numerele reale x>0 si y exista un numar natural n astfel incit nx>y.(axioma lui Arhimede) Rezulta ca oricare ar fi y din R, exista un numar natural n astfel incit n>y. Daca n y<n+1 si n din Z, n=[y]=partea intreaga a lui y. Inegalitatea lui Bernolli Oricare ar fi numarul real a -1 si n numar natural avem inegalitatea (1+a) n 1+na.

2 Limite de siruri 1. Orice functie f:n * R se numeste sir. Notam f(n)=x n. Ex. 1. x 1. n =n, x, x 1 =1, x 2 =2, x 3 =3,... n =n,, x 1 =1, x 2 =2, x 3 =3, x 2. n =n-1 x, x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2,... n =n-1, x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2, x 3. n =1/n x, x 1 =1, x 2 =1/2, x 3 =1/3... n =1/n 4. x n = n 2, x 1 =1, x 2 =1/2, x 3 =1/ x +1, x 1 = 2, x 2 = 5, 3 = n 5. x n =n 2 = n 2 +1, x 1 = 2, x 2 = 5, x 3 = x - 1, x 1 =0, x 2 =3, x 3 =8... n =n 2-1, x 1 =0, x 2 =3, x 3 = x 0 =x 1 =1, x n+1 =x n +x n-1, n>0 2. Un sir (x n ) este marginit, daca si numai daca, (Ξ) (exista) M>0, astfel incit I x n I M, (V) (oricare ar fi) n N. Ex. 1. x n =n, este nemarginit, pt.ca (V) M>0, (Ξ)n N a.i. n>m (axioma Arhimede) 2. x n =1/3 n, marginit(0< x n <1) 3. x n =1/n, marginit, pt.ca 0< x n <1 4. x n = n 2 +1, nemarginit(m<n< n 2 +1, etc...) 5. x n =n 2-1, nemarginit(m<n<n 2-1, etc...) 6. x n = n+1- n, marginit(0<x n =1/( n+1+ n)<1/2) 7. x n =(2n+1)/(2n-1) 8. x n =3 n /n, 9. x n =(-1) n 2 n /(2 n +1) 10. x n =n sin(nπ/3), 11. x n =3 n /(n!), 12. x n =( (2n-1))/( (2n)), 13. x n =2 cos(π/2 n+2 ), 14. x 0 = 2, x n+1 = 2+x n, 15. x n =(n!)/5 n 3. Un sir (x n ) este strict crescator daca x n <x n+1 oricare ar fi n N; x n+1 -x n >0 sau x n+1 /x n >1 si crescator daca x n x n Un sir (x n ) este strict descrescator daca x n >x n+1 oricare ar fi n N; x n+1 - x n <0 sau x n+1 /x n <1; este descrescator daca x n x n+1. Ex. 1. x n =n, strict crescator, n<n+1 2. x n =n-1, strict crescator, n-1<n 3. x n =1/n, strict descrescator, 1/n>1/(n+1) 4. x n = n 2 +1, strict crescator, n<n+1, n 2 <(n+1) 2, n 2 +1<(n+1) 2 +1, n 2 +1< (n+1) x n =n 2-1, strict crescator, n 2-1< (n+1) 2-1= n 2 +2n+1-1= n 2 +2n 6. x n =n/(n+1), x n+1 /x n = (n+1)(n+1)/(n(n+2))= (n 2 +2n+1)/( n 2 +2n)=1+1/(n 2 +2n)>1, strict crescator 7. x n =(n+2)/(n+1), x n+1 /x n = (n+3)(n+1)/(n+2) 2 = (n 2 +4n+3)/( n 2 +4n+4)<1, strict descrescator 8. x n =1/2 n, x n+1 /x n =2 n /2 n+1 =1/2<1, strict descrescator 9. x n = n+1- n, strict crescator, n+1>n, n+1> n 10. x n =2 n /n! x n+1 /x n =(2 n+1 /(n!(n+1)))(n!/ 2 n )=2/(n+1) 1, descrescator(ne-strict) 11. x n =1+(-1) n, x n+1 -x n =2(-1) n, nu este monoton(este >0 daca n=par si <0 daca n=impar) 12. x n =(n!)/(n+1), 13. x n =2 n /n, 14. x n =3 n, 15. sin(nπ/3)

3 5.Spunem ca x este limita sirului x n, n N daca orice vecinatate a lui x contine toti termenii sirului, cu exceptia(eventual) a unui numar finit dintre termenii sirului;x n x, x n este convergent catre x, sau x n tinde catre x. 6. Spunem ca x este limita sirului x n, n N daca si numai daca, pentru orice numar real ε>0, exista un rang n ε (care depinde de ε), astfel incit, pentru orice n n ε sa avem I x n xi<ε. Ex.1: x n =n/(3n+1), are limita 1/3(lim x n =1/3) n Sa aratam ca pentru orice ε>0, exista un rang n ε astfel incit Ix n -1/3I<ε. Ix n -1/3I= I n/(3n+1)-1/3i=1/(3n+1)< ε, pt. n>(1-ε)/(3ε), luam n ε =[(1-ε)/(3ε)]+1, daca 0<ε 1 si n ε =1 daca ε>1 2. x n =1+(-1) n, nu este convergent (x 2n =2, x 2n+1 =0); exista o vecinatate a lui 2 in care sunt o infinitate de termeni, x 2n =2 V 2 =(2-ε;2+ε), 0<ε<1, dar o infinitate de termeni x 2n+1 =0 nu apartin lui V 2 7. Daca sirul x n, n N, x n >0 este strict crescator si nemarginit, atunci sirul y n =1/x n, n N, are limita 0. ( lim 1/x n =0) n Ex.1: Sirurile x n =1/n, y n =1/(3n+1), z n =1/2 n, a n =1/ n, b n =1/n 2, c n =(0,2) n, d n =1/n x (x>0), etc... au limita Daca I x n xi a n,oricare ar fi n N si a n 0, atunci x n x. Ex.1: x n =n/(5n+3), Ix n 1/5I=I-5/(5n+3)I=5/(5n+3), dar a n =5/(5n+3) are limita 0, pentru ca 5n+3 este strict crescator si nemarginit, rezulta x n 1/5 2. x n =(sin(nπ/3)/(n 2 ), sin(nπ/3)/(n 2 ) (nπ/3)/(n 2 ) (π/(3n) 0 3. x n =(n!)/(n n ), x n =( n)/(n n... n)< (1 n n... n)/((n n... n)(n))=1/n 0 9. Daca a n, b n si c n sunt trei siruri care satisfac conditiile: 1) a n b n c n oricare ar fi n N si n n 0 N, n 0 dat 2) lim a n =lim c n =a, atunci sirul b n este convergent si are aceeasi limita, adica lim b n =a. Ex.1: x n =1/(3n+2), 0<x n <1/n, dar a n =1/n are limita 0, pentru ca n este strict crescator si nemarginit, rezulta x n 0 Ex.2: x n =2/n+1/n 2, 1/n<2/n<x n <2/n+1/n=3/n, dar 1/n si 1/n 2 au limita 0, rezulta ca x n 0 Ex.3: x n =n/ n 2 +1, n/(n+1)=n/ (n+1) 2 < x n =n/ n 2 +1= n 2 /(n 2 +1)< (n 2 +1)/(n 2 +1)=1, dar n/(n+1) are limita 1, rezulta ca x n 1

4 10.Siruri fundamentale : 1) a n =1/n 0 (sirul x n =n, este crescator nemarginit) 2) a n =1/ n 0 (n>m, oricare ar fi M>0(ax.Arhimede)) 3) a n =n α 0, daca α<0 4) a n =a n, daca a>1 5) a n =a n 0, daca -1<a<1 6) a n =(1+1/n) n e, unde 2<e>3, e=2, x n 7) a n =(1+1/x n ) e, daca sirul x n 0 8) a n =(ln(1+x n ))/(x n ) 1, daca sirul x n 0 a n =( 5 n)ln(1/ 3 n +1)= ( 5 n)(1/ 3 n)((ln(1/ 3 n +1))/(1/ 3 n))= ( n -2/15 )((ln(1/ 3 n +1))/(1/ 3 n)) 1 0=0 9) a n =(a x n -1)/(x n ) lna, daca sirul x n 0 a n =n( n e-1)=(e 1/n -1)/(1/n) lne=1 b n =n( n 2-1)=(2 1/n -1)/(1/n) ln2 10) a n =((1+x n ) α -1)/(x n ) α, daca sirul x n 0, α R a n =( n)((1+ n +1- n) 5-1)= ( n)( n +1- n)((1+ n +1- n) 5-1)/ ( n+1- n))= (( n)/( n+1+ n))((1+ n+1- n) 5-1)/( n +1- n)) Rezulta, lim a n = 5 1/2 11) (sin x n )/( x n ) 1, daca x n 0 a n =nsin(1/n)=(sin(1/n))/(1/n) 1 12) a n =a n /n, daca a>1 (a=1+b, b>0, a n =(1+b) n = 1+C n 1 b+ C n 2 b b n )> C n 2 b 2 =b 2 (n(n-1))/2 Rezulta a n =a n /n> b 2 (n-1)/2=n(b 2 (1-1/n)/2)>M, oricare ar fi M>0 (ax.arhimede) 13) a n =a n /n k, daca a>1, k>1 a n =a n /n k =(a n/k /n) k =b n /n, unde b= a 1/k >1, deci sirul 12 14) a n = n n 1, n 2 a n+1 < a n n+1 n n+1< n n(n+1) n n(n+1) n+1 (n+1) < n (n+1) n < n n+1 ((n+1)/n) n < n (1+1/n) n < n(dem. prin inductie) Dar, 1< a n si descrescator, rezulta a n 1 15) a n = n 1 p +2 p +3 p +...+n p 1, n 2, p 1 0<Ia n -1I<(( n n) p+1-1) 0 16) a n =ln(n)/n 0 17) a n = log a (n)/n 0, a>0, a 1

5 11.Nedeterminari; operatii fara sens - ; 0 ; / ; 0/0 ;1 ; 0 ; 0 0 ; 1. Nedeterminare de tipul : - a) a n =n, b n =-n+1, lim(a n + b n )=1 b) a n =n, b n =-n+2, lim(a n + b n )=2 c) a n =n+(-1) n, b n =-n, lim(a n + b n )= (-1) n, dar (-1) n nu este convergent. Deci, operatia - nu are sens. Cum se ridica o nedeterminare de tipul : - : 1) a n = n n+2=( - )=n( 1+2/n 2-1/n+2/n 2 = (1-0= 2) a n = n 2 +n+1 - n 2 -n+1=n( 1+1/n+1/n 2-1-1/n+1/n 2 )= (0)= n( 1+1/n+1/n /n+1/n 2 )( 1+1/n+1/n 2-1-1/n+1/n 2 )/ ( 1+1/n+1/n /n+1/n 2 )=(2n)/( 1+1/n+1/n /n+1/n 2 ) 1 2. Nedeterminare de tipul : 0 a) a n =n 2, b n =1/n, lim(a n b n )= b) a n =n, b n =1/n 2, lim(a n b n )=0 c) a n =n, b n =(-1) n /n, lim(a n b n )= (-1) n, dar (-1) n nu este convergent. Deci, operatia 0 nu are sens. Cum se ridica o nedeterminare de tipul : 0 : 1) a n =n( (n+3)/(n+2) 1)=0( )=n( n+3 - n+2)/( n+2))= n/(( n+3 + n+2) ( n+2))=n/( n 2 +5n+6 + n 2 +4n+4)= n/(n( 1+5/n+6/n /n+4/n 2 ))= 1/( 1+5/n+6/n /n+4/n 2 ) rezulta lim a n =1/2 2) a n =(n 2 /(n+1))sin(1/n) =(n/(n+1))( sin(1/n))/(1/n)) 1 3. Nedeterminare de tipul : / a) a n =n, b n =-n+1, lim(a n /b n )=-1 b) a n =n, b n =2n+1, lim(a n /b n )=1/2 c) a n =n(-1) n, b n =n, lim(a n /b n )= (-1) n, dar (-1) n nu este convergent. Deci, operatia / nu are sens. Cum se ridica o nedeterminare de tipul : / : 1) a n =n/(n+1)=n/(n(1+1/n))=1/(1+1/n) 1 2) a n =2n/(n+1)=2n/(n(1+1/n))=2/(1+1/n) 2 3) a n =(2n 2 +7)/(5n 2 +3n+1)=n 2 (2+7/n 2 )/(n 2 (5+3/n+1/n 2 ))= (2+7/n 2 )/( 5+3/n+1/n 2 ) 1

6 4) a n =n/( (n+3)/(n+2) 1) =n/(n( 1+5/n+6/n 2 1/n)) = 1/( 1+5/n+6/n 2 1/n) 1 5) a n =n/( n 2 +3) = n/(n( 1+3/ n 2 )) =1/( 1+3/ n 2 ) 1 6) a n = n/( n 2 +5n+6 + n 2 +4n+4)= n/(n( 1+5/n+6/n /n+4/n 2 ))= 1/( 1+5/n+6/n /n+4/n 2 ) rezulta lim a n =1/2 7) a n =(n 2 /(n+1))sin(1/n) =(n/(n+1))( sin(1/n))/(1/n)) 1 8) a n =(25+2n 3 )/(3n 3 +1) =(n 3 (2+25/n 3 ))/(n 3 (3+1/n 3 )) 2/3 9)a n =((1+n) 4 -(n-1) 4 )/(n 3 )=(8(1+n 2 ))/n 2, 8<a n <8(1+n) 2 /n 2 =8(1+1/n) 8 4. Nedeterminare de tipul : 0/0 a) a n =1/n, b n =2/n, lim(a n /b n )=1/2 b) a n =1/n, b n =1/n 2, lim(a n /b n )= + c) a n =(-1) n /n b n =1/n, lim(a n /b n )= (-1) n, dar (-1) n nu este convergent. Deci, operatia 0/0 nu are sens. Cum se ridica o nedeterminare de tipul : 0/0 : 1. a n = n( n e - 1)=( n/n)(e 1/n -1)/(1/n) 0 1=0 2. a n = n+1(ln(1+1/(n+1))=( n+1/(n+1))(ln(1+1/(n+1))/(1/(n+1)) =0 1=0 5. Nedeterminare de tipul : 1 a) a n =e 1/n, b n =n, lim(a n b n )=e b) a n =e 1/n, b n =n 2, lim(a n b n )= c) a n : e -1, e 1/2, e -1/3, e 1/4,... b n =n, lim(a n b n )= nu este convergent. Deci, operatia 1 nu are sens. Cum se ridica o nedeterminare de tipul 1 : Folosim limita : lim(1+ x n ) x n =e, si egalitatea x=e lnx 1) a n =((n+1)/(n+2)) n = Sirul x n =((n+1)/(n+2)) n =(1+((n+1)/(n+2)-1)) n =(1+(-1/(n+2))) n =((1+(-1/(n+2))) (-(n+2)) ) (-n/(n+2)) Sirul y n =-n/(n+2) =are limita -1, iar sirul z n = (1+(-1/(n+2))) (-(n+2)) are limita e, deci limita cautata este e -1

7 2) a n =((n 2 +3)/(n 2 +2)) n Sirul x n =(1+(n 2 +3)/(n 2 +2)-1) n =(1+(1/(n 2 +2))) n = ((1+(1/(n 2 +2))) n2 +2 ) n/(n2 +2) Sirul y n = ((1+(1/(n 2 +2))) n2 +2 ) tinde catre e, iar sirul z n =n/(n 2 +1) tinde catre 0, deci lim a n =e 0 =1 3) a n =(1+(n+3)/(n 2 +2)) n Sirul x n =(1+(n+3)/(n 2 +2)) n = (((1+((n+3)/(n 2 +2))) (n2 +2)/(n+3) ) (n+3)/(n2 +2) ) n e Sirul y n = ((1+((n+3)/(n 2 +2))) (n2 +2)/(n+3) ) tinde catre e, iar sirul z n =n(n+3)/(n 2 +2) tinde catre 1, deci lim a n =e 1 =e 6. Nedeterminare de tipul : 0 a) a n =e n2, b n =1/n, lim(a n b n )=+ b) a n =e n2, b n =-1/n, lim(a n b n )= 0 c) a n = e n, b n =(-1) n b /n, lim(a n n )= nu este convergent. Deci, operatia 0 nu are sens. 1) a n =(3 n +1) 1/n =(3 n ) 1/n (1+1/3 n )) 1/n =(3)(1+1/3 n )) 1/n 0 7. Nedeterminare de tipul : 0 0 a) a n =1/n, b n =-1/(n+1), lim(a n b n )=+ b) a n =1/n, b n =1/(n+1), lim(a n b n )=0 c) a n =(-1) n /n, b n =1/n, lim(a n b n )=0= (-1) n, dar (-1) n nu este convergent. Deci, operatia - nu are sens. 1) a n =1/(3 n +1) 1/n =1/((3 n ) 1/n (1+1/3 n )) 1/n )=1/((3)(1+1/3 n )) 1/n ) 1/3

8 Exercitii suplimentare: 1. a n =n/(n+1) 2. a n = 3 n+1 3. a n =3n/(2n+1) 4. a n = 1/ ( 3 n+1) 5. a n =(4n+5)/(3n+2) 6. a n = (1+ n)/ (2 n+1) 7. a n = (2lnn+5)/ (3lnn-2) 8. a n = n+2 - n

9 Limite de functii 1. Fie A o submultime nevida a lui R. Un punct x 0 apartinind lui x 0 RU{+ ; - }, se numeste punct de acumulare al multimii A, daca in orice vecinatate V, a lui x 0 exista puncte din A; (V-{ x 0 }) A. Daca notam cu A multimea punctelor de acumulare ale multimii A, atunci daca x 0 A nu inseamna ca x 0 A. De exemplu : a) 3 A=(3;12], dar 3 A =[3;12]. b) A={1;2;3}, A = c) A=N, A ={+ } d) A={1/n / n N, n>0}, A ={0} e) A=Z, A ={+ ; - } f) A=R, A =RU{+ ; - }=R 2. Fie A o submultime nevida a lui R. Un punct x 0 apartinind lui x 0 A, se numeste punct izolat al multimii A, daca exista cel putin o vecinatate V, a lui x 0 in care nu exista puncte din A diferite de x 0 ; (V-{ x 0 }) A=. 3. Fie A o submultime nevida a lui R. Un punct x 0 apartinind lui x 0 RU{+ ; - }, este un punct de acumulare al submultimii A, daca si numai daca exista un sir x n, x n A, x n x 0, oricare ar fi n N, sir cu proprietatea ca lim (x n )= x Fie A o submultime nevida a lui R si x 0 un punct de acumulare al multimii A, iar f:a R si l R. Spunem ca l este limita functiei f in x 0 daca pentru orice sir x n x 0, x n A { x 0 }, sirul f(x n ) l. lim f(x)= l. x x 0 Ex.1: f(x)=1/(3x+2) Sa calculam limf(x) cind x. Pentru sirul n x n =1/(3n+2), 0<x n <1/n, dar a n =1/n are limita 0, pentru ca n este strict crescator si nemarginit, rezulta x n 0. Dar trebuie sa aratam ca pentru orice sir a n, sirul y n =f(a n ) 0 Calcul y n =1/(3a de n limite +2), 0<y pentru n <1/a functii n, dar simple: 1/a n are limita 0 pentru ca a n este strict crescator si nemarginit, rezulta y n 0.

10 Ex.2: lim((x+1)/(3x+2)) =(0+1)/(3 0+2)=1/2 x 0 Ex.3: lim((x 2 +1)/(3x+2)) =(1 2 +1)/(3 1+2)=2/5 x 1 Ex.4: lim(e x+1 ) =e 0+1 =e x 0 Ex.5: lim(ln(x 2 +1)/(3x+2)) =ln2/(3 1+2)=ln2/5 x 1 5.Fie f:a R, g:a R, x 0 A, l R, astfel incit : 1) If(x)-lI g(x), oricare ar fi x A 2) lim g(x) = 0 x x0 atunci lim f(x) = l x x0 6.Fie f:a R, g:a R, h:a R, x 0 A, l R, astfel incit : 1) g(x) f(x) h(x), oricare ar fi x A 2) lim g(x) = lim h(x)=l x x0 x x0 atunci lim f(x) = l. x x0 7. Limite de functii remarcabile, cind x x 0 : 1. lim P(x)=P(x 0 ), daca P(x) este un polinom cu coeficienti in R 2. lim P(x)/Q(x)= P(x 0 )/Q(x 0 ), daca P(x), Q(x) sunt polinoame 3. lim x α = x 0 α, α R fixat, x 0 (0; ) 4. lim a x = a x0, a>0, a 1 fixat, x 0 R 5. lim log a x= log a x 0, x>0, a>0, a 1 fixat, x 0 (0; ) 6. lim sinx= sinx 0 7. lim cosx= cosx 0 8. lim tgx= tgx 0 9. lim ctgx= ctgx lim arcsinx= arcsinx lim arccosx= arccosx lim arctgx= arctgx lim arcctgx= arcctgx 0

11 8. Limite de functii remarcabile, cind x 0 : 1. lim sinx/x= 1 2. lim tgx/x= 1 3. lim arcsinx/x= 1 4. lim arctgx/x= 1 5. lim ln(1+x)/x=1 6. lim (a x -1)/x=ln a, a>0, a 1 7. lim ((1+x) α -1)/x=α α R 8. lim (1+x) 1/x =e 9. lim x α /a x =0, a>1, α>0 10. lim log a x/x α =0, a>1, α>0 9. Limite de functii remarcabile, cind x ± 1. lim P(x)= ± 2. lim a x =+, lim a x =0, (a>1) lim a x =0, lim a x = +, (0<a<1) lim loga x = +, lim log a x = -, a> lim loga x = -, lim log x = +, 0<a<1 a lim arctgx=π/2, lim arctgx= - π/ lim arcctgx=0, lim arcctgx= π + -

12 1.Inlocuire directa Metoda inlocuirii directe inseamna ca daca avem de calculat limita functiei f intr-un punct x 0 si putem calcula valoarea functiei f(x 0 ), adica aceasta este o operatie cu sens, atunci limita este chiar f(x 0 ): lim f(x)=f(x 0 ). Daca prin inlocuire directa ajumgem la un caz de nedeterminare, adica avem o operatie fara sens, atunci prin artificii de calcul adecvate fiecarui caz in parte incercam sa eliminam nedeterminarea, asa cum vom vedea in continuare.. Inlocuire directa: Ex.1: lim(x+1) =(0+1)=1 0 Ex.2: lim(x 2 +1) = Ex.3: lim(x 2 +2x-7)/(x+3) = 1 1 Ex.4: lim(e x+1 ) = Ex.5: lim(e 2x-1 )/ (x 2 +2) = 1 2 Ex.6: lim(ln(x)) = Ex.7: lim(ln(x-3))/(x+1) = e 4 Ex.8: lim( x+ln(x-3)) = Ex.9: lim(1+ln(x-3)) 1/(1+ln(x-3)) = 4 4 Ex.10: lim(( x+ln(x-8)/(x/3-2)) = Ex.11: lim((x 2-9)/(x-3))= 9 3 Ex.12: lim((sinx)/(x)) = Ex.13: lim(cos(1/x)) = π/3 2/π Ex.14: lim(30 x +arccos(x)) = Ex.15: lim(x+sinx)/x = 0 π/2 Limite laterale Ex.1: lim((x+9)/(x-3))=12/0, deci prin inlocuire directa avem o operatie fara sens x 3 Calculam limita la stinga lui 3, adica pentru siruri care tind spre 3 prin valori mai mici decit 3 : x n 3 si x n <3 pentru orice n, numar natural. Pentru x<3, x 3, avem f(x)<0, deci lim f(x)=12/(-0)=-, iar pentru x>3, x 3, avem f(x)>0, deci lim f(x)=12/(+0)=+ x 3 x 3 x<3 x>3 In general daca a>0 atunci scriem formal a/0=+, iar daca a<0 atunci a/0=-. Notam cu l s =limita la stinga si l d =limita la dreapta. Daca l s =l d atunci lim f(x)= l s =l d x x 0

13 2.Cazul de nedeterminare - 1) lim(1/(x-1)) (2/(x 2-1))=lim(1/(x+1))=1/ ) lim(2/(x 2 -x))-(2/(x-1))=lim((2-2x)/(x(x-1)))= lim(-2/(x))= ) lim(x - 1+x 2 )= lim((x - 1+x 2 ) (x+ 1+x 2 ))/(x + 1+x 2 )= lim((-1)/(x + 1+x 2 )=0 4) lim(x( 1+x 2 -x))= lim(x( 1+x 2 -x)(x+ 1+x 2 ))/(x + 1+x 2 )= lim(x)/(x + 1+x 2 )= lim(1/(1 + 1/x 2 +1)=1/2 6) lim((e 3x -2e x )/(e 3x - e 2x ))= lim(e 3x (1-2/e 2x )/(e 3x (1-1/e x ))=1 7) lim(x - 1+3x+x 2 )= 8) lim( x 2 +6x+5 x 3)x=

14 3.Cazul de nedeterminare 0/0 1) lim(x-1)/(x 2-1)=lim(1/(x+1))=1/ ) lim( x-1)/(x-1)=lim(1/( x+1))=1/ ) lim( x+1-1)/x=lim(x/(x( x+1)+1))= lim(1/( x+1+1))=1/( 2+1) ) lim(sin3x)/(5x)=lim(sin3x/((3x)5/3)=(3/5) lim(sin3x/(3x))=3/ ) lim(1-cos 2 2x)/(5x 2 )=lim(sin 2 2x/((2x) 2 (5/4)))=4/ ) lim( cosx-1)/(x 2 )=lim(cosx-1)/(x 2 ( cosx+1))= 0 0 lim(-2sin 2 x/2)/((x/2) 2 (4)( cosx+1))= lim(-2)/(4( cosx+1))=-1/ ) lim(lnx)/(x 2-1)=lim(ln(t+1)/(t(t+2)))=1/ ) lim(e 3x -1)/x= lim(3t)/(ln(t+1))= 3 (notam t= e 3x -1, x=(1/3)ln(1+t)) 0 0 9) lim(x x - 27)/(x+5 x - 24)= 3 10) lim( 1+x - 1-x)/(x)= 0 11) lim( 4+x - 5x)/( 4x+3-5+2x)= 1 12) lim(1-1-x 2 )/(xsinx)= 0 13) lim( x+ 3 x -2)/(x-1)= 1 14) lim( x+9-3)/(sin(3x))= 0

15 4.Cazul de nedeterminare / 1) lim(x-1)/(x 2-1)=lim(1/(x+1))=0 2) lim(x 2 +x)/(x 2-1)=lim(x/(x-1))= lim(x/(x(1-1/x))= lim(1/(1-1/x))=1 3) lim(2x 3 +x)/(3x 2-1)= + 4) lim(-2x 3 +x)/(3x 3-1)= -2/3 5) lim(-2x 3 +x)/(3x 3-1)= -2/3-6) lim((2 3x +2 2x )/(2 3x +2 4x ))= lim(2 3x (1 +1/2 x )/( 2 4x (1/2 x +1))=0 7) lim(2x)/( x 2-1)= 8) limln(x 2-1)/(ln(x 5-1))= 9) lim(2x+5)/( x 2 +4x-1)= -

16 4.Cazul de nedeterminare 1 1) lim(1+sinx) 2/x = 0 2) lim(1+x) 2cosecx = 0 3) lim(1+sinxtgx) 2/x2 = 0 4) lim(1+x ) 2/(x-2) = 2

17 Functii continue 1. Fie A o submultime nevida a lui R si x 0 un punct de acumulare al multimii A, iar f:a R. Spunem ca functia f este continua in x 0 daca lim f(x)= f(x 0 ) x x0 Ex.1: f(x)=1/(3x+2) limf(x) =1/2, deci x=0 este punct de continuitate 0 limf(x) = -, daca x<-2/3 si limf(x) = +, daca x>-2/3-2/3-2/3 Deci nu exista limita lui f(x) cind x -2/3, si deci functia nu este continua. Ex.2: f(x)= 1 daca x Q nu este continua in nici un punct Calcul de limite pentru functii simple: 0 daca x R-Q 2. Fie A o submultime nevida a lui R si x 0 un punct al multimii A, iar f:a R. Spunem ca functia f este discontinua in x 0 daca lim f(x) f(x 0 ) sau limitele laterale in x 0 sunt finite si distincte x x 0 3. Fie A o submultime nevida a lui R si x 0 un punct al multimii A, iar f:a R. Spunem ca x 0 este un punct de discontinitate de speta 1, daca limitele laterale in x 0 exista si sunt finite si distincte sau daca limitele laterale in x 0 exista si sunt finite si egale, dar diferite de f(x 0 ). 4. Fie A o submultime nevida a lui R si x 0 un punct al multimii A, iar f:a R. Spunem ca x 0 este un punct de discontinuitate de speta 2, daca cel putin o limita laterala in x 0 nu exista sau daca cel putin o limita laterala in x 0 este infinita. 5. Fie I un interval al lui R si f:i R. Spunem ca functia f, are proprietatea lui Darboux daca pentru orice a,b din I si orice λ intre f(a) si f(b), exista c intre a si b astfel incit λ =f(c). Se poate demonstra ca pentru orice interval J inclus in I, f(j) este interval si ca orice functie continua pe I are proprietatea lui Darboux. Exista functii discontinue care au proprietatea lui Darboux : f(x)=sin(1/x) daca x 0 si f(x)=1 daca x=0, nu are limita in x=0(l s =-1,l d =1), dar are proprietatea Darboux pe orice interval.

18 Consecinte: 1. Daca f are proprietatea lui Darboux pe [a;b] si f(a)f(b)<0 atunci exista cel putin un punct c intre a si b astfel incit f(c)=0, deci ecuatia f(x)=0 are solutia x=c. f(x)=x 2-1 pentru 0 x 2, f(x)=(x+1)/(x-2) pentru -2 x 0 2. Daca f are proprietatea lui Darboux pe I si nu se anuleaza pe intervalul I atunci f pastreaza un semn constant pe I, adica functia este fie pozitiva pe I, fie negativa. f(x)=x 2-1 pentru x>2, f(x)=(x+1)/(x-2) pentru x<-2 Cercetati daca functia f: R R, este continua in punctul x 0 indicat: Ex.1: f(x)=(x+1)/(3x+2) in punctul x 0 =2, si in x 0 =-2/3 Ex.2: f(x)= x+1 daca x<-1, in punctul x 0 = -1, si in x 0 =1 x 2-1 daca x -1 Ex.3: f(x)= 1/(x+2) daca x -2, in punctul x 0 =2, si in x 0 =-2 1 daca x=-2 Ex.4: f(x)= ln(x) daca x>0 in punctul x 0 =e, si in x 0 =0 1 daca x=0 Ex.5: f(x)= 1/x daca x>0 in punctul x 0 =1, si in x 0 =0 1 daca x 0 Proprietatea lui Darboux: Cercetati daca functia f: I R, are proprietatea lui Darboux : Ex.1: f(x)=(x+1)/(3x+2) pe I=[0;2] (este continua deci Darboux) Ex.2: f(x)= x+1 daca x<-1, I=[-2;0] x-1 daca x -1 f([-3/2;-1/2]) [-1/2;-3/2] Fie -2/3 [-3/2;-1/2], sa aratam ca nu exista nici un punct a [-3/2;-1/2] astfel incit f(a)=-2/3. Presupunem ca f(a)=-2/3, rezulta a+1=-2/3 daca a<-1, deci a=-5/3<-3/2, adica a=-5/3 [-3/2;-1/2]. Pentru a -1 ecuatia f(a)=-2/3 devine a-1=-2/3, a= 1/3, a=1/3 [-3/2;-1/2]. Am demonstrat astfel ca -2/3 nu este imaginea prin functia f a nici unui element din intervalul [- 3/2;-1/2], deci f nu are proprietatea lui Darboux.

19 Derivate 1. Fie A o submultime nevida a lui R si x 0 un punct de acumulare al multimii A, iar f:a R. Spunem ca functia f este derivabila in x 0 daca exista si este finita limita f (x 0 ) = lim f(x) - f(x 0 ) x x x - x 0 0 Ex.1: f(x)=1/(3x+2) lim(f(x)- f(0))/(x-0) =lim(1/(3x+2)-1/2)/x= lim(-3/(2(3x+2)))=-3/4 x Ex.2: f(x)= x lim(f(x)- f(1))/(x-1) =lim( x - 1)/(x-1)= lim(1/( x+1))=1/2 x Calcul de limite pentru functii simple: Ex.3: f(x)= x sin(1/x) daca x 0 0 daca x=0 lim(f(x)- f(0))/(x-0) =lim(x sin1/x)/x= lim(sin1/x))=nu exista, deci f(x)=nederivabila x Derivatele functiilor elementare 1) f(x)=c, f (x)=0, oricare ar fi c real si fixat(o constanta, f(x)=2,f(x)=-1,...) 2) f(x)=x n, f (x)= nx n-1, oricare ar fi n real (f(x)=x 3, f (x)=3x 2,...) 3) f(x)= n x, f (x)=1/(n n x n-1 ), n>1 natural (f(x)= 3 x, f (x)=1/(3 3 x 2 ),...) 4) f(x)=a x, f (x)= a x lna oricare ar fi a>0, a 1, real (f(x)=2 x, f (x)=2 x ln2,...) 5) f(x)=log a x, f (x)=1/(xlna), x>0, a>0, a 1,real (f(x)= log 2 x, f (x)=1/(xln2)) 6) f(x)=lnx, f (x)=1/x, x>0, (f(x)= ln(x+2), f (x)=1/(x+2),...) 7) f(x)=sinx, f (x)=cosx, (f(x)= sin(x+2), f (x)=cos(x+2),...) 8) f(x)=cosx, f (x)=-sinx, (f(x)= cos(x+2), f (x)=-sin(x+2),...) 9) f(x)=tgx, f (x)=1/cos 2 x, (f(x)= tg(x+2), f (x)=1/cos 2 (x+2),...) 10) f(x)=ctgx, f (x)=-1/sin 2 x, (f(x)= ctg(x+2), f (x)=-1/sin 2 (x+2),...) 11) f(x)=arcsinx, f (x)=1/( 1-x 2 ) 12) f(x)=arccosx, f (x)=-1/( 1-x 2 ) 13) f(x)=arctgx, f (x)=1/(1+x 2 ) 14) f(x)=arcctgx, f (x)=-1/(1+x 2 ) 15) suma : (f+g) =f +g, produsul: (fg) =f g+fg, (λf) =λf, (f/g) =(f g-fg )/g 2, 16) Derivatele functiilor compuse:(g f) =(g f)f =g (f)f 17) Derivatele functiei inverse: (f -1 ) =1/(f f -1 )

20 2. Interpretarea geometrica a derivatei 1.Fie A o submultime nevida a lui R si x 0 un punct al multimii A, iar f:a R. Ecuatia tangentei in punctul P(x 0 ;f(x 0 )) este de forma: y- f(x 0 )= f (x 0 )(x- x 0 ), deci f (x 0 ) este panta tangentei. 2.Spunem ca punctul P(x 0 ;f(x 0 )) este un punct unghiular pentru graficul lui f, daca functia nu este derivabila in punctul x 0, dar cel putin una dintre derivatele laterale este finita, adica ori ambele derivate laterale sunt finite, dar distincte, ori una dintre derivatele laterale este finita, iar cealalta este infinita(in acest caz tangenta este verticala). 1. f(x)=ix 2-1I pentru x 0 =1 3.Spunem ca punctul P(x 0 ;f(x 0 )) este un punct de inflexiune pentru graficul lui f, daca functia nu este derivabila in punctul x 0, dar ambele derivate laterale sunt infinite si egale, deci tangenta traverseaza graficul. 1. f(x)= 3 x pentru x 0 =0 2. f(x)= 3 x-2 pentru x 0 =2

21 4.Spunem ca punctul P(x 0 ;f(x 0 )) este un punct de intoarcere pentru graficul lui f, daca functia nu este derivabila in punctul x 0, dar ambele derivate laterale sunt infinite si distincte. 1. f(x)= Ix-2I pentru x 0 =2 5.(Tr.Fermat) Fie f:i R, derivabila in x 0,unde x 0 este un punct interior lui I. Daca x 0 este un punct de extrem al functiei f, atunci f (x 0 )=0. Adica, derivata se anuleaza intr-un punct de extrem si cum derivata in x 0 este panta tangentei in x 0, rezulta ca tangenta in x 0 este paralela cu axa Ox. Reciproca teoremei nu este adevarata:ex. f(x)=x 3. Practic x 0 este un punct de extrem al functiei f, daca si numai daca, f (x 0 )=0 si f are semne contrare de o parte si de alta a punctului x 0, deci rezolvam ecuatia f (x)=0 si studiem semnul derivatei. x x 1 x 2 x 3... f (x) (Tr.Darboux) Fie f:i R, derivabila pe I, atunci f are proprietatea lui Darboux pe I. 7.(Tr.Rolle) Fie f:[a;b] R, cu proprietatile: 1) f este derivabila pe (a;b), 2) f este continua pe [a;b] 3) f(a)=f(b) atunci exista c (a;b) astfel incit f (c)=0. Consecinte: Fie f : I R, derivabila pe I atunci: 1) Intre doua solutii reale ale ecuatiei f(x)=0 exista cel putin o solutie reala a ecuatiei f (x)=0, adica exista cel putin un numar c I astfel incit f (c)=0. x x 1 x 1 x 2 x 3... x 2... f (x) f(x) 0 0 2) Intre doua solutii reale x 1 si x 2 consecutive ale ecuatiei f (x)=0, adica f (x 1 )=0, f (x 2 )=0, exista cel mult o solutie reala a ecuatiei f(x)=0, adica exista cel mult un numar c (x 1 ;x 2 ) astfel incit f(c)=0 si aceasta se intimpla(exista c) daca f(x 1 )f(x 2 )<0, iar daca f(x 1 )f(x 2 )>0 punctul c nu exista.

22 8.(Tr.Lagrange) Fie f:[a;b] R, cu proprietatile: 1) f este derivabila pe (a;b), 2) f este continua pe [a;b] atunci exista c (a;b) astfel incit f(b)-f(a)=f (c)(b-a). Consecinte: Fie f : I R, derivabila pe I atunci: 1) f este crescatoare pe I daca si numai daca f (x) 0, oricare ar fi x din intervalul I. 2) f este descrescatoare pe I daca si numai daca f (x) 0, oricare ar fi x din intervalul I. 3) Daca derivata unei functii pe un interval este nula, atunci functia este constanta pe acel interval. 4) Daca doua functii au derivate egale pe un interval, ele difera printr-o constanta pe acel interval. 9.(Tr. Cauchy) Fie f,g:[a;b] R, cu proprietatile: 1) f si g sunt derivabile pe (a;b) 2) f si g sunt continue pe [a;b] 3) si g (x) 0, oricare ar fi x (a;b) atunci g(a) g(b) si exista c (a;b) astfel incit (f(b)-f(a))/ (g(b)-g(a))=f (c)/ g (c) 10.(Tr.l Hospital, cazul 0/0 si cazul / ) Fie f,g : A R, si x 0 un punct de acumulare pentru intervalul A Daca : a) lim f(x)=lim g(x)=0 sau lim f(x)=lim g(x)=± x x x x x x x x b)f si g sunt derivabile pe A-{ x 0 } si g (x) 0 oricare ar fi x A { x 0 } c) lim f (x)/g (x)=l (numarul l RU{- ;+ }) x x 0 atunci lim f(x)/g(x)=l x x 0 (Cu alte cuvinte, in cele 2 ipoteze, limita raportului functiilor f/g este egala cu limita raportului derivatelor f /g ) 11. Daca P(x) este un polinom de gradul n, atunci x=a este radacina multipla de ordinul k, a ecuatiei P(x)=0 daca si numai daca P(a)= P (a)= P (a)=...= P (k-1) (a)=0 si P (k) (a) 0

23 Consecinte: a) Cazul - se reduce la 0/0 astfel : f-g=(1/g-1/f)/(1/(fg)) b) Cazul 0 se reduce la 0/0 astfel : fg =g/(1/f) sau se reduce la cazul / astfel : fg =f/(1/g) c) Cazul 1 se reduce la 0, apoi la 0/0 sau / astfel : prin logaritmare ln(f g ) =g(lnf) =... d) Cazul 0 0 se reduce la 0, apoi la 0/0 sau / astfel : ln(f g ) =g(lnf) e) Cazul 0 se reduce la 0, apoi la 0/0 sau / astfel : ln(f g ) =g(lnf)

24 Reprezentarea grafica a functiilor Pentru a trasa graficul unei functii f:d R, parcurgem urmatoarele etape: 1. Domeniul de definitie = stabilim domeniul maxim daca nu este precizat, adica multimea D, a punctelor pentru care operatiile care definesc functia f, au sens 2. Intersectia graficului cu axele de coordonate = aflam coordonatele punctelor P(x;y) care sunt atit pe graficul functiei f cit si pe axe, pe Ox, respectiv Oy. Astfel, punctul in care graficul intersecteaza Ox, are coordonatele A(0;y), unde y=f(0). Iar punctul in care graficul intersecteaza Oy, are coordonatele B(x;0), unde x este solutia ecuatiei f(x)=0. 3. Limite, asimptote = aflam limitele functiei in punctele de acumulare in care functia nu este definita, apoi aflam ecuatiile asimptotelor la graficul functiei: - asimptotele verticale : x=a daca limf(x)= ± a limx/(x+1)= + limx/(x+1)= -, x=-1 este asimptota asimptotele orizontale :y= limf(x) limx/(x+1)= 1 ± ± - asimptotele oblice : m=limf(x)/x, n=lim(f(x)-mx) ± ± m=lim(2x 2 )/(x(x+1))=2, n=lim(f(x)-mx)=lim(-2x)/(x+1)=-2, y=2x-2 ± ± ± 4. Derivata I = calculam f, rezolvam ecuatia f (x)=0, aflam coordonatele punctelor in care f nu este derivabila(punctele unghiulare si punctele de intoarcere). Studiem semnul derivatei (f 0 functia f este crescatoare, daca f 0 f este descrescatoare) si aflam coordonatele punctelor de extrem (maxim si minim)(f (x 0 )=0 si semne contrare in jurul lui x 0 f ( x 0 -ε) f ( x 0 +ε)<0 ), studiem convexitatea(f =crescatoare) si concavitatea(daca f = descrescatoare) graficului.

25 5. Derivata II = calculam f, rezolvam ecuatia f (x)=0, aflam coordonatele punctelor in care f nu este derivabila(punctele unghiulare si punctele de intoarcere). Studiem semnul derivatei si aflam coordonatele punctelor de inflexiune(f (x 0 )=0 si f ( x 0 -ε) f ( x 0 +ε)<0), daca este cazul, studiem convexitatea(tine apa)(f 0) si concavitatea(nu tine apa)(f 0) graficului. 6. Tabloul de variatie x - x 1 x 1 x 2 + f (x) (semnul) f (x) (semnul) f(x) (M) (i) (m) 7. Trasarea graficului=trasam graficul punind mai intii punctele remarcabile(m,m,i, intersectiile cu axele, punctele de discontinuitate) si asimptotele, convexitatea/concavitatea, punctele de intoarcere, punctele unghiulare, etc... Ex. f:d R, f(x)=(x-1)/(x+1) 1) Domeniul de definitie D=R-{-1} pentru ca numitorul se anuleaza daca x+1=0, x=-1 2) Intersectiile graficului cu axele Intersectia cu OY, y=f(0)=-1, A(0 ;-1) Intersectia cu OX, f(x)=0, x-1=0, x=1, B(1 ;0) 3) Limite, asimptote lim f(x)=1, deci dreapta y=1 este asimptota orizontala la ± ± Regula: daca sunt asimptote orizontale nu exista asimptote oblice. Asimptote verticale pentru x=-1 care este punct de acumulare: lim f(x)=+ lim f(x)=-, deci dreapta x=-1 este asimptota -1(<-1) -1(>-1)

26 4) Derivata I: f (x)=2/(x+1) 2 lim f (x)= +, iar semnul lui f este evident f >0-1 5) Derivata II: f (x)=- 4/(x+1) 3 lim f (x)= +, lim f (x)= -, iar semnul lui f este evident f < daca x>-1 si f >0 daca x<-1 6. Tabloul de variatie ACEST TABLOU ESTE BINE SA-L FACETI DE LA INCEPUT SI SA-L COMPLETATI PE MASURA CE CALCULATI x f (x) f (x) f(x) (-1) (0) 1 7. Trasarea graficului 1-1 O 1-1

27 Ex.2. f:d R, f(x)=(2x 2 )/(x+1) 1) Domeniul de definitie D=R-{-1} pentru ca numitorul se anuleaza daca x+1=0, x=-1 2) Intersectiile graficului cu axele Intersectia cu Ox, y=f(0)=0, O(0 ;0) Intersectia cu Oy, O(0 ;0) 3) Limite, asimptote lim f(x)= ± ± Regula: daca nu sunt asimptote orizontale ar putea sa existe asimptote oblice de forma y=mx+n, unde : m=limf(x)/x=lim (2x 2 )/(x 2 +x)=2, n=lim(f(x)-mx)=lim(-2x)/(x+1)=-2 ± ± ± ± asimptota oblica este dreapta y=2x-2 Asimptote verticale pentru x=-1 care este punct de acumulare: lim f(x)=- lim f(x)=+, deci dreapta x=-1 este asimptota -1(<-1) -1(>-1) 4) Derivata I: f (x)=2x(x+2)/(x+1) 2 lim f (x)= -, iar semnul lui f este f <0 daca -2<x<0 si f >0 daca -1 x<-2 sau x>0 5) Derivata II: f (x)= 4(x+1)/(x+1) 4 lim f (x)= -, lim f (x)= +, iar semnul lui f este evident f < daca x<-1 si f >0 daca x>-1 6. Tabloul de variatie x f (x) + +(0) (0) f (x) f(x) - (-8) - + (0) + M m

28 7. Trasarea graficului O 1-2 (-2;-8)M -8

29 Primitive 1.Fie f:i R, I=interval. Functia F:I R cu proprietatile: a) F este derivabila pe I b) F (x)=f(x) pentru orice x din intervalul I se numeste primitiva a lui f pe I. Scriem : f(x)dx=f(x)+c, deaorece daca F (x)=f(x) atunci si (F(x)+C) =f(x), unde C este o constanta reala oarecare. 1. 0dx=C 2. dx=x+c 3. xdx=x 2 /2+C 4. x 2 dx=x 3 /3+C 5. x 3 dx=x 4 /4+C 6. x n dx=x n+1 /(n+1)+c 7. (1/x)dx=lnIxI+C 8. (a x )dx=(a x )/lna+c 9. (1/(x 2 -a 2 ))dx=(1/(2a))lni(x-a)/(x+a)i+c 10. (1/(x 2 +a 2 ))dx=(1/(a))arctg(x/a)+c 11. (1/ (a 2 -x 2 ))dx=arcsin(x/a)+c 12. (1/ (x 2 +a 2 ))dx=ln(x+ x 2 +a 2 )+C 13. (1/ (x 2 -a 2 ))dx=lnix+ x 2 -a 2 I+C 14. sinxdx=-cosx+c 15. cosxdx=sinx+c 16. (1/cos 2 x)dx=tgx+c 17. (1/sin 2 x)dx=ctgx+c 18. (tgx)dx=-lnicosxi+c 19. (ctgx)dx=lnisinxi+c

30 2.Fie f,g:i R, I=interval doua functii derivabile cu derivate continue pe I, atunci(formula de integrare prin parti) : f(x)g (x)dx=f(x)g(x) - f (x)g(x)dx xlnxdx= (lnx)(x 2 /2) dx=(lnx)(x 2 /2) - (lnx) (x 2 /2)dx=(lnx)(x 2 /2) - (1/x)(x 2 /2)dx=(lnx)(x 2 /2) - (x/2)dx=(lnx)(x 2 /2) - (1/2) xdx=(lnx)(x 2 /2) - (1/2) (x 2 /2)+C=(lnx)(x 2 /2) - (x 2 /4)+C=... Obs.: formula da rezultate daca : a) f(x)=p(x)=polinom si g(x)=lnx b) f(x)=p(x)=polinom si g(x)=ln c) f(x)=p(x)=polinum si g(x)=e x d) f(x)=p(x)=polinum si g(x)=sinx, g(x)=cosx, g(x)=arcsinx, g(x)=arccosx, g(x)=arctgx, g(x)=arcctgx, Ex.1. x 2 e x dx= x 2 e x - e x (x 2 ) dx= x 2 e x - e x (2x)dx= x 2 e x (2xe x - e x (2x) dx)= x 2 e x (2xe x - 2 e x dx)= x 2 e x (2xe x - 2e x )= Fie f:i J si g:j R Daca : a) f este derivabila b) g admite primitiva G atunci g(f(x))f (x)dx=g(f(x)) + C Ex.1. (2x)/(x 2 +5)dx= (1/t)dt=lnItI+C, am notat t= x 2 +5, rezulta dt=2xdx, am facut deci o schimbare de variabila 4.Fie f:[a;b] R, continua si functia F:[a;b] R o primitiva a lui f pe [a;b](formula Leibniz-Newton). b Scriem : f(x)dx=f(b) F(a) si citim integrala de la a la b. a iar interpretarea geometrica a integralei(un numar) este ca ea reprezinta aria dintre grafic axa Ox si dreptele x=a si x=b.

31 1 Ex.1. xe x dx=f(1) F(0)= -1 0 Calculam mai intii primitivele xe x dx= x(e x ) dx= xe x - (x) e x dx= xe x - e x dx= xe x - e x = e x (x 1)=F(x), deci F(1) F(0)=-1 Ex.2. Sa calculam aria cuprinsa intre dreptele x=0 si x=1 si graficul functiei f(x)= 1+x x dx=(2/3)(1+x) 1+x = F(1) F(0) = (2/3)(2 2-1) 0 0 Calculam mai intii primitivele : 1+ x dx=(2/3)(1+x) 1+ x + C = F(x)

32 Structuri algebrice 1. Fie M o multime nevida. Orice functie f, definita pe MxM cu valori in M, f:mxm M se numeste lege de compozitie pe M. Notam f(x;y)=x y, iar legea notata cu, poate fi + sau /x, sau orice alta operatie definita ca mai sus si notata cu un semn oarecare(,,,,...). 2. Fie f:zxz Z, f(x;y)=x+y-2 Z, Notam x y=x+y-2. De exemplu : 2 3=2+3-2=3 Z, -2 (-3)=-2-3-2=-7 Z, etc Deci oricare ar fi x;y Z, avem evident si f(x;y)=x+y-2 Z, deci legea de compozitie este bine definita. 3. Fie f:r * * + x R + R * +, f(x;y)=(x+y)/2 R * +, Notam x y=(x+y)/2. De exemplu : 2 3=(2+3)/2=5/2 R * +,1/2 (2/3)=(7/6)/2=7/12 R * +, etc Deci oricare ar fi x;y R * +, avem evident si f(x;y)=(x+y)/2 R * +, deci legea de compozitie este bine definita. 4. Fie M 2 (Z) multimea matricelor de ordinul 2 cu elemente din Z, adica matrice de forma a b cu a;b;c;d Z c d Fie A multimea matricelor din M 2 (Z) de forma a b cu a;b;d Z 0 d Sa aratam operatia de inmultire obisnuita a matricelor este o lege de compozitie bine definita pe A, adica sa aratam ca inmultirea a doua matrice din A este tot o matrice din A. a b x y = ax ay+bz A 0 d 0 z 0 dz 5. Fie G={e;a;b;c} si f:gxg G, o lege de compozitie cu proprietatile e 2 =e,a 2 =e si c 2 =e, se cere sa completati tabla operatiei care este compatibila cu proprietatile date. e a b c e e a b c a a e?? b b??? c c?? e

33 6. Fie U 3 ={z C/ z 3 =1} si operatia de inmultire obisnuita a numerelor complexe. Sa aratam ca inmultirea numerelor complexe este o lege de compozitie pe U 3, adica sa aratam ca inmultirea a doua numere din U 3 este un element din U 3. z 1 =1, z 2 =(-1+i 3)/2, z 3 =(-1-i 3)/2 Deci: z 1 z 2 =z 2, z 1 z 3 =z 3, z 2 z 3 =((-1+i 3)/2)((-1-i 3)/2)=((-1) 2 -( i 3) 2 )/4= (1-( i) 2 ( 3) 2 )/4=(1-( -1)(3))/4=(1-( -3))/4=(1+3)/4=4/4=1=z 1 7. Pentru orice n>0 din Z, fixat si a Z exista q,r Z, unic determinati astfel incit : a=nq+r, 0 r<n.(tr.impartirii cu rest) Numarul r din relatia de mai sus il notam cu r = a mod n, si citim a modulo n, deci r este restul modulo n sau redusul modulo n al numarului intreg n. Astfel, pentru n=5 numarul r poate fi 0;1;2;3;4, daca n=8 atunci r poate fi 0;1;2;3;4;5;6;7, etc... Rezulta ca: 8 mod 8 = 0, 9 mod 8 = 1, 10 mod 8 = 2, 11 mod 8 = 3, 12 mod 8 = 4, 13 mod 8 = 5, 14 mod 8 = 6, 15 mod 8 = 7, 16 mod 8 = 0, 17 mod 8 = 1, 18 mod 8 = 2, 19 mod 8 = 3, etc... Definim adunarea si inmultirea modulo n astfel: a + b = (a+b) mod n a b = (ab) mod n Ex.1. Alcatuiti tablele operatiilor de adunare si inmultire modulo 5 si modulo 8:

34 9.O lege de compozitie este : a) asociativa daca (x*y)*z=x*(y*z) b) comutativa daca x*y=y*x c) o lege definita pe M are element neutru e M daca e*x=x*e=x, oricare ar fi x M d) Fie (*) o lege definita pe M care are element neutru e M si este asociativa daca doua elemente x,x M verifica relatia x *x =x*x =e, atunci x este simetricul lui x. Se mai spune ca x este simetrizabil. Se poate demonstra ca x este unic daca exista si (x*y) =y *x, iar (x ) =x. 10. Fie (G;*) o multime nevida si cu o lege de compozitie cu urmatoarele proprietati: a) asociativa : (x*y)*z=x*(y*z) b) exista e G astfel incit e*x=x*e=x, oricare ar fi x G c) oricare ar fi x G exista x G astfel incit x *x =x*x =e Daca, in plus, legea de compozitie este si comutativa, adica x*y=y*x oricare ar fi x,y G, atunci grupul este comutativ sau abelian. Intr-un grup G, daca a*x=a*y atunci x=y, iar daca x*a=y*a atunci x=y(simplificarea la stinga respectiv simplificarea la dreapta). Intr-un grup G, ecuatia a*x=b are solutia unica x=a *b, iar ecuatia y*a=b are solutia unica y=b*a. 11. Fie (G;*) si (H;o) doua grupuri si f:g H o functie bijectiva. Daca f(x*y)=f(x)of(y), pentru orice x;y G atunci f se numeste izomorfism de grupuri. Se poate demonstra ca daca f este izomorfism de grupuri atunci si f -1 (functia inversa a lui f) este izomorfism de grupuri. 12. O multime nevida (A;+; ) inzestrata cu doua legi de compozitie se numeste inel daca : G) (A;+) este grup abelian M) (A; ) este grup monoid( este operatie asociativa si cu element neutru) D) inmultirea este distributiva fata de adunare, adica: x(y+z)=xy+xz, (y+z)x=xy+zx, oricare ar fi x ;y ;z A Daca inmultirea este comutativa atunci inelul este comutativ.

35 Un inel este inel fara divizori ai lui zero daca pentru x 0 si y 0 avem si xy 0. Un inel comutativ cu cel putin doua elemente si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate. Fie A si B doua inele si f:a B o functie bijectiva. Daca f(x+y)=f(x)+f(y) si f(xy)=f(x)f(y), pentru orice x;y A, atunci f este izomorfism de inele. 13. Un inel (K;+; ) inzestrata cu doua legi de compozitie se numeste corp daca : e) 0 1 s) oricare ar fi x K exista x K astfel incit x x =xx =1 Daca inmultirea este comutativa atunci corpul este comutativ. Fie K si K doua corpuri si f:k K un izomorfism de inele. Spunem ca f este izomorfism de corpuri.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018 TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei

Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei 0 aprilie 04 Cuprins Algebră 5 Analiza 39 3 Trigonometrie 6 4 Geometrie 69 5 Modele teste 73 5.

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii... Cuprins GEOMETRIE 1 Vectori 1 11 Segmente orientate Vectori în plan 1 12 Operaţii cu vectori 3 13 Vectori coliniari 8 14 Vectori de poziţie 10 15 Drepte paralele, concurente Colinearitate 12 16 Produsul

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 013 Axa prioritară nr. 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE

Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II n α+1 1

GRADUL II n α+1 1 GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1) Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilul matematică - fizică, informatică, metrologie BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Se consideră funcția f : D R, f(x) = x(x 1)+ x(x+1). 1. Să se determina domeniul maxim de definiție D, domeniul

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014 If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα