Numerička matematika 4. predavanje
|
|
|
- Ἐλισάβετ Λαιμός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Numerička matematika 4. predavanje Saša Singer web.math.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2011, 4. predavanje p.1/95
2 Sadržaj predavanja Rješavanje linearnih sustava: Hilbertove matrice. Teorija perturbacije linearnih sustava (nastavak). Uloga reziduala i iterativno poboljšanje rješenja. Struktura LR (LU) faktorizacije. Matrice za koje ne treba pivotiranje. Simetrične pozitivno definitne matrice. Faktorizacija Choleskog. Pivotiranje u faktorizaciji Choleskog. Aproksimacija i interpolacija: Uvod u problem aproksimacije (norme, linearnost). NumMat 2011, 4. predavanje p.2/95
3 Informacije Moja web stranica za Numeričku matematiku je mat/ Tamo su kompletna predavanja od prošle tri godine, a stizat će i nova (kako nastaju). Skraćena verzija skripte 1. dio (prvih 7 tjedana): mat/num mat1.pdf Skraćena verzija skripte 2. dio (drugih 6 tjedana): mat/num mat2.pdf NumMat 2011, 4. predavanje p.3/95
4 Informacije demonstratori Kolegij Numerička matematika ima čak tri demonstratora: Anastasia Kruchinina termin: srijeda, Ines Marušić termin: srijeda, 14 16, uz prethodnu najavu mailom, Melkior Ornik termin: četvrtak, Demosi lijepo mole da im se najavite mailom koji dan ranije! Njihove mail adrese nadete na oglasnoj ploči, ili se javite meni. NumMat 2011, 4. predavanje p.4/95
5 Hilbertove matrice NumMat 2011, 4. predavanje p.5/95
6 Hilbertova matrica Primjer. Kod aproksimacije polinomima javljaju se linearni sustavi oblika H n x = b, gdje je H n Hilbertova matrica reda n, tj. (H n ) ij = 1, ili i+j n n + 1 H n = n n + 1 2n 1 NumMat 2011, 4. predavanje p.6/95
7 Hilbertova matrica Da bismo ispitali točnost rješenja, stavimo desnu stranu b(i) := n H n (i,j) = j=1 n j=1 1 i + j 1, i = 1,...,n, tako da je egzaktno rješenje sustava x T = [1, 1,..., 1]. Što možemo očekivati od rješenja takvog sustava? Pogled na Frobeniusovu normu matrice A kaže da ona nije naročito velika, tj. H n F = n n 2 1 i + j 1 n n 1 = n. i=1 i=1 i=1 i=1 NumMat 2011, 4. predavanje p.7/95
8 Hilbertova matrica Medutim... ne treba gledati samo normu matrice!!! Uvjetovanost Hilbertovih matrica je vrlo visoka: n κ 2 (H n ) n κ 2 (H n ) n κ 2 (H n ) NumMat 2011, 4. predavanje p.8/95
9 Hilbertova matrica n = 2, 5 Za sustav s Hilbertovom matricom, u extended točnosti, umjesto svih jedinica u rješenju, dobivamo: Red 2 x(1) = x(2) = Red 5 x(1) = x(4) = x(2) = x(5) = x(3) = NumMat 2011, 4. predavanje p.9/95
10 Hilbertova matrica n = 10 x(1) = x(6) = x(2) = x(7) = x(3) = x(8) = x(4) = x(9) = x(5) = x(10) = Uvjetovanost: NumMat 2011, 4. predavanje p.10/95
11 Hilbertova matrica n = 15 x(1) = x(9) = x(2) = x(10) = x(3) = x(11) = x(4) = x(12) = x(5) = x(13) = x(6) = x(14) = x(7) = x(15) = x(8) = Uvjetovanost: NumMat 2011, 4. predavanje p.11/95
12 Hilbertova matrica n = 20 x(1) = x(11) = x(2) = x(12) = x(3) = x(13) = x(4) = x(14) = x(5) = x(15) = x(6) = x(16) = x(7) = x(17) = x(8) = x(18) = x(9) = x(19) = x(10) = x(20) = Uvjetovanost NumMat 2011, 4. predavanje p.12/95
13 Uvjetovanost Hilbertovih matrica Može se pokazati da za uvjetovanost Hilbertove matrice H n vrijedi formula κ 2 (H n ) ( ) 4n /4 πn za n. Dakle, iako Hilbertove matrice imaju idealna svojstva, simetrične, pozitivno definitne (čak totalno pozitivne = determinanta svake kvadratne podmatrice je pozitivna), njihova uvjetovanost katastrofalno brzo raste! Krivci za to su elementi inverza H 1 n. NumMat 2011, 4. predavanje p.13/95
14 Inverz Hilbertove matrice Recimo, H5 1 izgleda ovako: H 1 5 = A kako tek izgledaju elementi H 1 20? NumMat 2011, 4. predavanje p.14/95
15 Inverz Hilbertove matrice Elementi inverza Hn 1 Hilbertove matrice mogu se eksplicitno izračunati u terminima binomnih koeficijenata (H 1 n ) ij = ( 1) i+j (i + j 1) ( ) ( )( ) 2 n + i 1 n + j 1 i + j 2. n j n i i 1 Lako se vidi da ovi elementi vrlo brzo rastu za malo veće n. Pogledajte NumMat 2011, 4. predavanje p.15/95
16 Perturbacije linearnih sustava (nastavak) NumMat 2011, 4. predavanje p.16/95
17 Još malo o perturbacijama linearnih sustava Ocjenu koliko se najviše promijenilo rješenje sustava Ax = b, ako perturbiramo samo A ili samo b, ako perturbiramo i A i b, možemo dobiti direktno po normi i po elementima. Pretpostavimo da smo perturbirali samo A. Umjesto sustava Ax = b, tada rješavamo sustav (A + A)(x + x) = b. Takoder, možemo pretpostaviti da za operatorsku normu perturbacije vrijedi A ε A. Komentar. Ako je ε točnost računanja, tolika perturbacija je napravljena već pri spremanju elemenata matrice u računalo. NumMat 2011, 4. predavanje p.17/95
18 Perturbacija matrice A Oduzimanjem Ax = b od (A + A)(x + x) = b dobivamo A x + A (x + x) = 0. Množenjem slijeva s A 1 i sredivanjem dobivamo x = A 1 A (x + x). Uzimanjem norme lijeve i desne strane, a zatim ocjenjivanjem odozgo, dobivamo x A 1 A x + x ε A 1 A x + x = εκ(a) ( x + x ), pri čemu je κ(a) = A A 1 uvjetovanost matrice A. NumMat 2011, 4. predavanje p.18/95
19 Perturbacija matrice A Premještanjem na lijevu stranu svih pribrojnika koji sadrže x dobivamo (1 εκ(a)) x εκ(a) x. Ako je εκ(a) < 1, a to znači i A A 1 < 1, onda je x εκ(a) 1 εκ(a) x, što pokazuje da je pogreška u rješenju (relativno, po normi) približno proporcionalna uvjetovanosti matrice A. NumMat 2011, 4. predavanje p.19/95
20 Perturbacija vektora b Pretpostavimo sad da, umjesto sustava Ax = b, rješavamo A(x + x) = b + b. Opet, pretpostavljamo da za operatorsku normu perturbacije vektora b vrijedi b ε b. Oduzimanjem Ax = b od A(x + x) = b + b izlazi A x = b. Množenjem slijeva s A 1 dobivamo x = A 1 b. NumMat 2011, 4. predavanje p.20/95
21 Perturbacija vektora b Uzimanjem norme lijeve i desne strane, a zatim ocjenjivanjem odozgo, dobivamo x A 1 b ε A 1 b = ε A 1 Ax ε A 1 A x = εκ(a) x, što pokazuje da je pogreška u rješenju (relativno, po normi) ponovno, proporcionalna uvjetovanosti matrice A. Sada možemo generalizirati ove rezultate na slučaj kad perturbiramo istovremeno i A i b. NumMat 2011, 4. predavanje p.21/95
22 Perturbacija matrice A i vektora b Teorem. Neka je Ax = b i gdje je (A + A) (x + x) = b + b, A ε E, b ε f, pri čemu je E neka matrica, a f neki vektor. Takoder, neka je ε A 1 E < 1. Tada, za x 0, vrijedi ocjena x x ε 1 ε A 1 E ( A 1 f x + A 1 E ). NumMat 2011, 4. predavanje p.22/95
23 Perturbacija matrice A i vektora b Komentar: Uobičajeno se za E uzima A, jer je to pogreška koju napravimo spremanjem matrice A u računalo. Jednako tako, za f se uzima b. U tom slučaju je x x ε 1 ε A 1 A = ε 1 εκ(a) ε 1 εκ(a) = 2εκ(A) 1 εκ(a). ( A 1 b x + A 1 A ( ) A 1 Ax + κ(a) x ( ) A 1 A x + κ(a) x ) NumMat 2011, 4. predavanje p.23/95
24 Perturbacija matrice A i vektora b Dokaz (skica). Provodi se na sličan način kao za pojedinačne perturbacije matrice A, odnosno, vektora b. Ako od (A + A) (x + x) = b + b oduzmemo Ax = b, dobivamo A x = b Ax A x. Množenjem s A 1 slijeva, a zatim korištenjem svojstava operatorskih normi, s malo truda, izlazi traženo. Malo kompliciranije, mogu se dobiti i ocjene za perturbacije po elementima. Na primjer, uz pretpostavke da je A εe, b εf, gdje je E neka matrica, a f neki vektor (v. Higham, ASNA2). NumMat 2011, 4. predavanje p.24/95
25 Komentar rezultata teorije perturbacija Uočimo da sve ocjene vrijede samo za dovoljno male perturbacije matrice A. Na primjer, za relativne perturbacije po normi, mora biti ε A 1 E < 1, odnosno, εκ(a) < 1. Druga relacija se dobiva za E = A. U protivnom, ocjena ne vrijedi (nazivnik nula ili krivi znak), tj. relativna greška (po normi) može biti po volji velika. Pitanje. Što kaže obratna analiza grešaka zaokruživanja, tj. koje su ocjene na perturbacije? NumMat 2011, 4. predavanje p.25/95
26 Rezultati obratne analize grešaka zaokruživanja NumMat 2011, 4. predavanje p.26/95
27 Obratna ocjena za LR faktorizaciju Teorem. U aritmetici računala računamo LR faktorizaciju zadane matrice A reda n. Pretpostavimo da je algoritam uspješno završio, bez pojave prevelikih ili premalih brojeva koji nisu prikazivi, i bez pokušaja dijeljenja s nulom. Izračunati trokutasti faktori L i R onda zadovoljavaju L R = A + A, A γ n L R, gdje je γ n standardna oznaka za mjeru grešaka zaokruživanja γ n := nu 1 nu. NumMat 2011, 4. predavanje p.27/95
28 Obratna ocjena za rješenje sustava Teorem. U aritmetici računala računamo rješenje linearnog sustava Ax = b, s matricom A reda n. Uz iste pretpostavke kao u prošlom teoremu, neka su L i R izračunati trokutasti faktori u LR faktorizaciji matrice A, i neka je x izračunato rješenje sustava Ax = b. Onda postoji perturbacija A matrice A za koju vrijedi (A + A) x = b, A γ 3n L R. Za zaključak o relativnoj grešci, fali nam još neka veza izmedu L R i A. NumMat 2011, 4. predavanje p.28/95
29 Put do relativnih ocjena U idealnom slučaju, željeli bismo da je A u A. To bi odgovaralo grešci zaokruživanja koju napravimo početnim spremanjem elemenata matrice A u memoriju računala. No, to nije realistično. Nad svakim elementom matrice A vrši se još najviše n aritmetičkih operacija. Zato ne možemo očekivati nešto bolje od ocjene oblika A c n u A, gdje je c n konstanta reda veličine n, tj. c n u cγ n. NumMat 2011, 4. predavanje p.29/95
30 Relativne ocjene idealni slučaj Na primjer, takvu ocjenu dobivamo pod uvjetom da L i R zadovoljavaju da je L R = L R. To je idealan slučaj i, naravno, ne vrijedi uvijek. Ako to vrijedi, onda iz prvog teorema izlazi L R = L R = A + A A + A A + γ n L R, pa, prebacivanjem članova dobivamo L R 1 1 γ n A. NumMat 2011, 4. predavanje p.30/95
31 Relativne ocjene idealni slučaj (nastavak) Ako tu relaciju uvrstimo u drugi teorem, onda izlazi (A + A) x = b, A γ 3n 1 γ n A, tj. izračunato rješenje x ima malu obratnu relativnu grešku po komponentama. Za koje matrice vrijedi idealno L R = L R? Na primjer, ako LR faktorizacija daje nenegativne elemente u faktorima L i R, tj. vrijedi L,R 0 (po elementima). Takve su tzv. totalno nenegativne ili totalno pozitivne matrice. Javljaju se, na primjer, kod splajn interpolacije (v. kasnije). NumMat 2011, 4. predavanje p.31/95
32 Što je bitno za stabilnost? Iz prethodna dva teorema slijedi da stabilnost LR faktorizacije i rješenja linearnog sustava ne ovisi o veličini multiplikatora, već o veličini elemenata koji se javljaju u matrici L R, relativno obzirom na elementu matrice A. Naime, ta matrica L R može imati male elemente, iako su joj multiplikatori m ij = l ij veliki, ali može imati i velike elemente, a da su joj multiplikatori reda veličine 1. NumMat 2011, 4. predavanje p.32/95
33 Analiza i procjena stabilnosti algoritma Za lakšu analizu, ne gleda se po svim elementima, već se analizira omjer normi L R. A Bitno: ovaj omjer ovisi o algoritmu kojim računamo LR faktorizaciju! Kod LR faktorizacije bez pivotiranja, omjer normi može biti proizvoljno velik. Na primjer, pokažite da je za matricu [ ] ε taj omjer jednak ε 1. NumMat 2011, 4. predavanje p.33/95
34 Stabilnost parcijalnog pivotiranja Kod parcijalnog pivotiranja znamo da vrijedi l ij 1 za sve i j. Kad uvrstimo m ik = l ik u formule transformacije a (k+1) ij = a (k) ij m ik a (k) kj, indukcijom po koracima eliminacije, dobivamo da vrijedi r ij 2 i 1 max k i a kj. Dakle, kod parcijalnog pivotiranja L je malen, a R je ograden relativno obzirom na A. NumMat 2011, 4. predavanje p.34/95
35 Ocjena stabilnosti preko faktora rasta Tradicionalno, obratna analiza greške izražava se preko faktora rasta (engl. growth factor) ρ n = max i,j,k a (k) ij max i,j a ij. U procesu Gaussovih eliminacija, očito vrijedi da je r ij = a (i) ij ρ n max a ij. i,j što daje ogradu za R, relativno obzirom na A. Može se naći i precizna veza izmedu omjera normi i faktora rasta. NumMat 2011, 4. predavanje p.35/95
36 Obratna ocjena za sustav preko faktora rasta Teorem (Wilkinson). Neka je A regularna kvadratna matrica reda n i neka je x izračunato rješenje sustava Ax = b Gaussovim eliminacijama s parcijalnim pivotiranjem u aritmetici računala. Tada vrijedi (A + A) x = b, A n 2 γ 3n ρ n A. U prethodnom teoremu, pretpostavka da koristimo parcijalno pivotiranje nije nužna. Naime, isto vrijedi i za Gaussove eliminacije bez pivotiranja, samo s malo drugačijom konstantom. Naravno, faktor rasta može biti puno veći! NumMat 2011, 4. predavanje p.36/95
37 Rezidual i iterativno poboljšanje rješenja NumMat 2011, 4. predavanje p.37/95
38 Rezidual približnog rješenja Kad rješenje sustava Ax = b računamo približno (računalom), umjesto pravog rješenja x, dobivamo približno rješenje ˆx. Veličinu r = b Aˆx, zovemo rezidual izračunatog rješenja ˆx. Napomena. Egzaktni rezidual pravog rješenja x je r = 0! Medutim, ako je (egzaktni) rezidual velik, onda sigurno nismo blizu pravom rješenju, ali rezidual može biti malen, a da izračunato rješenje sustava nije ni blizu pravom. NumMat 2011, 4. predavanje p.38/95
39 Izračunati rezidual Primjer. Gledamo izračunato rješenje ˆx linearnog sustava H 20 x = b s desnom stranom takvom da je x T = [1, 1,..., 1]. Kad računamo u extended točnosti, izračunati rezidual ˆr = b Aˆx je nula-vektor (kraćenje), a komponente rješenja ˆx su bile u stotinama. Ovo ponašanje je u skladu s teorijom perturbacija, koja garantira mali rezidual r, za iole razumne perturbacije, a rješenje može biti katastrofalno, ako je uvjetovanost matrice A velika. NumMat 2011, 4. predavanje p.39/95
40 Uloga reziduala poboljšanje točnosti Reziduali se mogu iskoristiti za poboljšavanje netočnog rješenja linearnog sustava. To se obično provodi u tri koraka može i iterativno. Izračuna se rezidual r = b Aˆx, pri čemu je ˆx izračunato (ili približno) rješenje sustava. Riješi se sustav Ad = r, gdje je d korekcija. Korekcija se doda izračunatom rješenju y = ˆx + d, što bi trebalo dati bolje rješenje y. Postupak se može ponoviti s y, umjesto ˆx. NumMat 2011, 4. predavanje p.40/95
41 Računanje reziduala mora u većoj točnosti Ovo ima smisla samo ako se prvi korak računanje reziduala r = b Aˆx radi u većoj točnosti od one u kojoj je izračunat ˆx. To je nužno zbog kraćenja, tako da izračunati ˆr ima dovoljnu relativnu točnost. Preostala dva koraka standardno se rade u običnoj točnosti, kao za ˆx (to je ideja!). Tipično se računanje reziduala radi u dvostrukoj točnosti jedinična greška reda veličine u 2, obzirom na jednostruku. Na pr. double, prema single. NumMat 2011, 4. predavanje p.41/95
42 Kad ne treba pivotirati u LR faktorizaciji? NumMat 2011, 4. predavanje p.42/95
43 Struktura LR faktorizacije Ako matrica A koja ulazi u LR faktorizaciju ima nekakvu strukturu, pitanje je kad će se ta struktura sačuvati. To je posebno bitno za sustave gdje je A takva da se bitna informacija o njoj može spremiti u bitno manje od n 2 elemenata. Ako ne pivotiramo, onda se čuvaju, recimo, sljedeće forme: R R L L Prva su vrpčaste matrice, a druga su rupe udesno i nadolje. NumMat 2011, 4. predavanje p.43/95
44 Kad ne moramo pivotirati? Dakle, zgodno je znati kad ne treba pivotirati, a da imamo garantiranu stabilnost algoritma eliminacija, odnosno, LR faktorizacije. Odgovor. Postoje tipovi matrica kod kojih ne moramo pivotirati. Na primjer, to su: strogo dijagonalno dominantne matrice po stupcima, tj. matrice za koje vrijedi n a jj > a ij, i=1 i j dijagonalno dominantne matrice po recima (i j), simetrične pozitivno definitne matrice (v. malo kasnije). NumMat 2011, 4. predavanje p.44/95
45 Kad ne moramo pivotirati? Za dijagonalno dominantne matrice po stupcima, treba samo pokazati da iza prvog koraka eliminacije ostaju dijagonalno dominantne po stupcima. 1. Zaključak. a 11 0 i maksimalan po apsolutnoj vrijednosti u 1. stupcu, pa sigurno možemo napraviti 1. korak eliminacije. Dobivamo matricu A (2) oblika [ A (2) = a 11 a 1 0 S pri čemu je S regularna (dokaz korištenjem determinanti). 2. Korak. Moramo pokazati da je matrica S dijagonalno dominantna po stupcima. ], NumMat 2011, 4. predavanje p.45/95
46 Kad ne moramo pivotirati? Za j = 2,...,n vrijedi n n a (2) ij = a ij a i1 a 1j a 11 i=2 i j i=2 i j n a ij + i=2 i j a 1j a 11 n a i1 i=2 i j (dijagonalna dominantnost obje sume) < ( a jj a 1j ) + a 1j a 11 ( a 11 a j1 ) = a jj a 1j a j1 a 11 (koristimo a b a b ) a jj a 1j a 11 a j1 = a (2) jj, što pokazuje da je i A (2) dijagonalno dominantna po stupcima. NumMat 2011, 4. predavanje p.46/95
47 Dijagonalno dominantne matrice preciznije Za kompleksnu matricu A C n n kažemo da je dijagonalno dominantna po stupcima ako vrijedi n a jj a ij, j = 1,...,n. i=1 i j Ako vrijedi stroga nejednakost (>), za sve j = 1,...,n, onda kažemo da je A strogo dijagonalno dominantna po stupcima. Matrica A je (strogo) dijagonalno dominantna po recima, ako je A (strogo) dijagonalno dominantna po stupcima (i j). U oba slučaja, Gaussove eliminacije i LR faktorizacija su savršeno stabilne i bez pivotiranja. NumMat 2011, 4. predavanje p.47/95
48 GE i LR za dijagonalno dominantne matrice Teorem (Wilkinson). Neka je A kompleksna regularna kvadratna matrica reda n. Ako je A dijagonalno dominantna po recima ili stupcima, tada A ima LR faktorizaciju bez pivotiranja i za faktor rasta vrijedi ρ n 2. Ako je A dijagonalno dominantna po stupcima, tada je l ij 1 za sve i, j, u LR faktorizaciji bez pivotiranja. To znači da parcijalno pivotiranje ne radi nikakve zamjene redaka (najveći element je već na dijagonali). Napomena. Regularnost samo osigurava da dijagonalni elementi ne smiju biti nula, jer dozvoljavamo. Dokaz. Sličan prethodnom (v. skripta ili Higham, ASNA2). NumMat 2011, 4. predavanje p.48/95
49 Simetrične pozitivno definitne matrice NumMat 2011, 4. predavanje p.49/95
50 Simetrične pozitivno definitne matrice Za simetrične/hermitske pozitivno definitne matrice radi se simetrizirana varijanta LR faktorizacije jer je 2 puta brža nego obična LR faktorizacija, čuva strukturu matrice A čak i kad računamo u aritmetici računala, množenjem faktora uvijek dobivamo simetričnu matricu. Simetrizirana LR faktorizacija zove se faktorizacija Choleskog. Prisjećanje. Matrica je hermitska ako je A = A. Ako je A R n n, onda je hermitska matrica isto što i simetrična, tj. = T. NumMat 2011, 4. predavanje p.50/95
51 Simetrične pozitivno definitne matrice Pozitivna definitnost matrice se ne vidi odmah. Uobičajeno se unaprijed, iz prirode problema zna da je neka matrica pozitivno definitna. Matrica A F n n je pozitivno definitna ako je x Ax > 0, za svaki x F n, x 0. Ekvivalentni uvjeti za pozitivnu definitnost: sve svojstvene vrijednosti od A su pozitivne, tj. vrijedi λ k (A) > 0, za k = 1,...,n, gdje λ k označava k-tu najveću svojstvenu vrijednost; NumMat 2011, 4. predavanje p.51/95
52 Simetrične pozitivno definitne matrice Ekvivalentni uvjeti (nastavak): sve vodeće glavne minore od A su pozitivne, tj. vrijedi det(a k ) > 0, za k = 1,...,n, gdje je A k = A(1 : k, 1 : k) vodeća glavna podmatrica od A reda k. Posljedica. Sve vodeće glavne podmatrice A k su regularne, za k = 1,...,n. Digresija. Katkad se puno lakše vidi da neka matrica nije pozitivno definitna. Pokažite da nisu pozitivno definitne matrice koje na dijagonali imaju negativan element ili nulu. NumMat 2011, 4. predavanje p.52/95
53 Pozitivna definitnost i simetrija Za kompleksne matrice A C n n, može se pokazati da vrijedi A je pozitivno definitna = A je hermitska (A = A ). Za realne matrice A R n n to ne mora vrijediti, tj. pozitivno definitna matrica ne mora biti simetrična (može biti i A A T ). Medutim, u numerici se vrlo često koristi stroža varijanta pojma koja, po definiciji, uključuje i simetriju: Realna matrica A R n n pozitivno definitna ako je simetrična i za svaki x R n, x 0, vrijedi x T Ax > 0. Da ne bude zabune, u nastavku, koristimo strožu definiciju! U tom slučaju, originalni pojam (bez simetrije) katkad se zove samo pozitivnost matrice A. NumMat 2011, 4. predavanje p.53/95
54 LR Faktorizacija za sim. poz. def. matrice Iz ekvivalentnog uvjeta odmah izlazi da se za hermitsku/simetričnu pozitivno definitnu matricu uvijek može napraviti LR faktorizacija bez pivotiranja (v. Teorem o LR)! NumMat 2011, 4. predavanje p.54/95
55 Simetrizacija faktorizacija Choleskog Tvrdnja. Za hermitsku/simetričnu pozitivno definitnu matricu A, LR faktorizaciju možemo napisati u obliku A = LDL. Ta faktorizacija se obično zove LDL faktorizacija. Kako se dobije ova faktorizacija? U LR faktorizaciji matrice A, faktor R se rastavi na gdje je D dijagonalna, R = DM, a M gornja trokutasta s jedinicama na dijagonali. NumMat 2011, 4. predavanje p.55/95
56 Faktorizacija Choleskog Da se dobije takva faktorizacija, Dakle, dijagonalni elementi R stave se na dijagonalu od D, svaki redak u R podijeli se s dijagonalnim elementom u tom retku da se dobije M. A = LDM, M donjetrokutasta, regularna. Zbog hermitičnosti/simetrije vrijedi pa je LDM = MDL... A = A = (LDM ) = MDL, NumMat 2011, 4. predavanje p.56/95
57 Faktorizacija Choleskog (nastavak)... LDM = MDL. Množenjem slijeva s L 1 i zdesna s L dobivamo DM L = L 1 MD. Na lijevoj strani imamo produkt gornjetrokutastih matrica, a na desnoj strani donjetrokutastih, pa su ti produkti dijagonalne matrice. Te dijagonalne matrice su jednake D (jer i M i L imaju na dijagonali jedinice), pa je L 1 MD = D = MD = LD = M = L. NumMat 2011, 4. predavanje p.57/95
58 Faktorizacija Choleskog Nadalje, D ima pozitivne elemente, jer bi inače postojao vektor x takav da je (Ax,x) = (LDL x,x) = (DL x,l x) := (Dy,y) 0. Dakle, D možemo rastaviti na D = gdje je dijagonalna i ii = D ii. Tada LDL faktorizaciju možemo napisati u obliku: A = LDL = (L )( L ) = (L )( L ) = (L )(L ). NumMat 2011, 4. predavanje p.58/95
59 Faktorizacija Choleskog Uz oznaku R := (L ) dobivamo faktorizaciju Choleskog A = R R. Digresija. Mnogi slovom L označavaju L := L, pa se u literaturi faktorizacija Choleskog može naći napisana kao A = LL. Oprez: taj L nema jedinice na dijagonali! Kad znamo da postoji, Faktorizacija Choleskog se može i direktno izvesti, znajući da je A = R R. NumMat 2011, 4. predavanje p.59/95
60 Algoritam Ograničimo se na realni slučaj. Tada je i a ij = r ki r kj, i j, k=1 pa dobivamo sljedeću rekurziju za elemente: za j = 1,...,n : r ij = r jj = ( a ij ( a jj i 1 k=1 j 1 k=1 Za j = 1 računamo samo r 11. r ki r kj )/r ii, i = 1,...,j 1, r 2 kj) 1/2. NumMat 2011, 4. predavanje p.60/95
61 Algoritam Greške zaokruživanja moguć negativan izraz pod korijenom. Faktorizacija Choleskog za j = 1 do n radi { /* Nadi j-ti stupac od R */ /* Supstitucija unaprijed iznad dijagonale */ za i = 1 do j - 1 radi { sum = A[i, j]; za k = 1 do i - 1 radi { sum = sum - R[k, i] * R[k, j]; }; R[i, j] = sum / R[i, i]; }; NumMat 2011, 4. predavanje p.61/95
62 Algoritam /* Dijagonalni element */ sum = A[j, j]; za k = 1 do j - 1 radi { sum = sum - R[k, j]**2; }; ako je sum > 0.0 onda { R[j, j] = sqrt(sum) }; inače /* Matrica nije pozitivno definitna, STOP */ }; NumMat 2011, 4. predavanje p.62/95
63 Komentar na algoritam Uočimo da: se po prethodnoj rekurziji matrica R generira stupac po stupac, dok se u LR faktorizaciji R generirala redak po redak, a L stupac po stupac; ovo je tzv. jik varijanta algoritma, a naziv dolazi od poretka petlji, uz prirodno imenovanje indeksa; ovo nije jedina varijanta za realizaciju algoritma. Složenost algoritma (broj aritmetičkih operacija) je približno jednaka OP(n) 1 3 n3, što je približno polovina složenosti LR faktorizacije. NumMat 2011, 4. predavanje p.63/95
64 Rješenje linearnog sustava Kad imamo faktorizaciju Choleskog A = R T R, onda se rješenje linearnog sustava Ax = b svodi na dva rješavanja trokutastih sustava koje lako rješavamo: R T y = b, Rx = y, sustav R T y = b supstitucijom unaprijed y 1 = b 1 /r 11 ( y i = b i i 1 j=1 r ji y j )/r ii, i = 2,...,n, NumMat 2011, 4. predavanje p.64/95
65 Rješenje linearnog sustava sustav Rx = y supstitucijom unatrag x n = y n /r nn ( x i = y i n j=i+1 r ij x j )/r ii, i = n 1,..., 1. Za razliku od LR faktorizacije, ovdje u obje supstitucije imamo dijeljenja. Zbog toga se često koristi LDL T oblik faktorizacije: u algoritmu nema računanja drugih korijena; rješavaju se tri linearna sustava: Lz = b, Dy = z, L T x = y. L ima jediničnu dijagonalu, pa štedimo n dijeljenja. NumMat 2011, 4. predavanje p.65/95
66 Može li LDL T za simetrične matrice? Može li se LDL T faktorizacija napraviti za bilo koju simetričnu matricu A (uz dozvolu da matrica D ima i negativne elemente)? To ne vrijedi! Kontraprimjer: [ A = ], Pomaže li simetrična permutacija redaka/stupaca? Ne! Poopćenje na indefinitne matrice dobivamo tako da dozvolimo dijagonalne blokove reda 2 u matrici D. NumMat 2011, 4. predavanje p.66/95
67 Pivotiranje u faktorizaciji Choleskog I kod faktorizacije Choleskog možemo koristiti pivotiranje. Da bismo očuvali simetriju radne matrice, pivotiranje mora biti simetrično, tj. radimo istovremene zamjene redaka i stupaca u A A P T AP, gdje je P matrica permutacije. Simetrična zamjena dijagonalni element zamjenjuje mjesto s dijagonalnim! Standardni izbor pivotnog elementa u k-tom koraku je a (k) rr = max k i n a(k) ii, što odgovara potpunom pivotiranju u Gaussovim eliminacijama. NumMat 2011, 4. predavanje p.67/95
68 Pivotiranje u faktorizaciji Choleskog Ovim postupkom dobivamo faktorizaciju Choleskog P T AP = R T R, a za elemente matrice R vrijedi r 2 kk j i=k r 2 ij, j = k + 1,...,n, k = 1,...,n. Posebno, to znači da R ima nerastuću dijagonalu r 11 r nn > 0. Napomena. Usporedite kasnije s rezultatom za QR faktorizaciju s pivotiranjem stupaca. NumMat 2011, 4. predavanje p.68/95
69 Aproksimacija i interpolacija NumMat 2011, 4. predavanje p.69/95
70 Općenito o problemu aproksimacije Što je problem aproksimacije? Poznate su neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom podskupu X R. Na osnovu tih informacija, želimo funkciju f zamijeniti nekom drugom funkcijom ϕ na skupu X, ili na još većem skupu, tako da su funkcije f i ϕ bliske u nekom smislu. Skup X je najčešće: interval oblika [a,b] (koji može biti i neograničen), ili diskretni skup točaka. Pitanje: Zašto uopće želimo zamjenu f ϕ? NumMat 2011, 4. predavanje p.70/95
71 Oblici problema aproksimacije Problem aproksimacije javlja se u dva bitno različita oblika. Prvi oblik: Znamo funkciju f (analitički ili slično), ali je njezina forma prekomplicirana za računanje. U tom slučaju, izaberemo neke informacije o f i po nekom kriteriju odredimo aproksimacijsku funkciju ϕ. Prednosti ovog oblika problema aproksimacije: Možemo birati informacije o f koje ćemo koristiti. Jednako tako, možemo ocijeniti grešku dobivene aproksimacije ϕ, obzirom na prave vrijednosti funkcije f. NumMat 2011, 4. predavanje p.71/95
72 Oblici problema aproksimacije (nastavak) Drugi oblik: Ne znamo funkciju f, već samo neke informacije o njoj, na primjer, vrijednosti na nekom (diskretnom) skupu točaka. Zamjenska funkcija ϕ odreduje se iz raspoloživih informacija. Osim samih podataka (poznate vrijednosti), ove informacije mogu uključivati i očekivani oblik ponašanja tih podataka (tj. funkcije ϕ). Mane ovog oblika problema aproksimacije: Ne može se napraviti ocjena pogreške, bez dodatnih informacija o nepoznatoj funkciji f. NumMat 2011, 4. predavanje p.72/95
73 Prvi oblik problema primjene Prvi oblik se obično koristi u teoriji za razvoj numeričkih metoda na bazi aproksimacije. Na primjer, za numeričko integriranje funkcija (integriramo aproksimaciju), rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Praktični primjer: programska biblioteka za računanje raznih elemenatrnih funkcija (exp, sin, cos, sqrt i sl), Traži se maksimalna brzina i puna točnost, na razini osnovne greške zaokruživanja. Realizacija standardno ide racionalnim aproksimacijama. NumMat 2011, 4. predavanje p.73/95
74 Drugi oblik problema primjene Drugi oblik problema se vrlo često javlja u praksi. Na primjer, kod mjerenja nekih veličina (rezultat je tablica ), osim izmjerenih podataka, pokušavamo aproksimirati i podatke koji se nalaze izmedu izmjerenih točaka. To je ključna svrha ovakve aproksimacije! Napomena. Kod mjerenja se javljaju i greške mjerenja. Zato postoje posebne tehnike vrste aproksimacija, za ublažavanje tako nastalih grešaka. Na primjer, metoda najmanjih kvadrata. NumMat 2011, 4. predavanje p.74/95
75 Izbor aproksimacijske funkcije ϕ Aproksimacijska funkcija ϕ bira se: prema prirodi modela izbor dolazi iz problema, ali tako da bude relativno jednostavna za računanje. Obično se prvo fiksira (izabere) neki skup funkcija F. Onda se traži najbolja aproksimacija ϕ iz tog skupa F. Skup F može biti vektorski prostor, ali ne mora. Za praktično računanje, funkcija ϕ obično ovisi o nekom konačnom broju parametara a k, k = 0,...,m, koje treba odrediti po nekom kriteriju aproksimacije. Ideja: Sve moguće vrijednosti ovih m + 1 parametara odreduju skup svih dozvoljenih funkcija F. NumMat 2011, 4. predavanje p.75/95
76 Parametrizacija aproksimacijske funkcije ϕ Kad funkciju ϕ zapišemo u obliku ϕ(x) = ϕ(x;a 0,a 1,...,a m ), kao funkciju koja ovisi o parametrima a k, onda kažemo da smo da smo izabrali opći oblik aproksimacijske funkcije ϕ (u odnosu na skup F). Prema obliku ovisnosti o parametrima, aproksimacijske funkcije možemo grubo podijeliti na: linearne aproksimacijske funkcije, nelinearne aproksimacijske funkcije. Koje su bitne razlike izmedu ove dvije grupe? NumMat 2011, 4. predavanje p.76/95
77 Linearne aproksimacijske funkcije Opći oblik linearne aproksimacijske funkcije je ϕ(x) = a 0 ϕ 0 (x) + a 1 ϕ 1 (x) + + a m ϕ m (x), gdje su ϕ 0,...,ϕ m poznate funkcije koje znamo računati. Linearnost u ovisnosti o parametrima znači: traženi parametri su koeficijenti u linearnoj kombinaciji poznatih funkcija. Velika prednost: Odredivanje parametara a k obično vodi na linearne probleme (koji su lakše rješivi od nelinearnih): sustave linearnih jednadžbi, ili linearne probleme optimizacije. NumMat 2011, 4. predavanje p.77/95
78 Linearne aproksimacijske funkcije (nastavak) Standardni model za linearni oblik aproksimacije: skup dozvoljenih funkcija F je vektorski prostor, a funkcije ϕ 0,...,ϕ m su neka baza u tom prostoru. Unaprijed se bira (fiksira): vektorski prostor F, odgovarajuće dimenzije m + 1, baza ϕ 0,...,ϕ m u F. Napomena. Kod približnog numeričkog računanja, dobar izbor baze je ključan za stabilnost postupka i točnost izračunatih vrijednosti parametara aproksimacijske funkcije ϕ. NumMat 2011, 4. predavanje p.78/95
79 Primjer 1 polinomi Nekoliko primjera najčešće korištenih vektorskih prostora F. Polinomi. Uzimamo F = P m, gdje je P m vektorski prostor polinoma stupnja m. Standardni izbor baze je ϕ k (x) = x k, za k = 0,...,m, tj. ϕ(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m. Nije nužno da ϕ zapisujemo u bazi { 1, x,..., x m }. Upravo suprotno, vrlo često je neka druga baza bitno bolja. Na primjer, { 1, (x x 0 ), (x x 0 ) (x x 1 ),... }, gdje su x 0,x 1,... zadane točke (v. kod interpolacije). Ortogonalni polinomi, obzirom na pogodno izabrani skalarni produkt (v. kod najmanjih kvadrata). NumMat 2011, 4. predavanje p.79/95
80 Primjer 2 trigonometrijski polinomi Trigonometrijski polinomi. Za funkcije ϕ k uzima se prvih m + 1 funkcija iz skupa { 1, cosx, sin x, cos 2x, sin 2x,... }. Koriste se za aproksimaciju periodičkih funkcija na intervalu perioda ovdje, recimo, [0, 2π]. Primjena je, na primjer, u obradi i modeliranju signala. Varijacije u izboru baze: Koristi se dodatni faktor u argumentu sinusa i kosinusa (x λx) koji služi za kontrolu perioda. Ponekad se biraju samo parne ili samo neparne funkcije iz ovog skupa. NumMat 2011, 4. predavanje p.80/95
81 Primjer 3 polinomni splajnovi Polinomni splajnovi. To su funkcije koje su po dijelovima polinomi. Ako su zadane točke x 0 < < x n, onda se splajn funkcija na svakom podintervalu svodi na polinom odredenog fiksnog (niskog) stupnja, ϕ p k, k = 1, 2,...,n, [xk 1,x k ]= a p k su polinomi najčešće stupnjeva 1, 2, 3 ili 5. U točkama x i obično se zahtijeva da funkcija ϕ zadovoljava još i uvjete ljepljenja vrijednosti funkcije i nekih njezinih derivacija, ili nekih aproksimacija za te derivacije. Splajnovi se često koriste zbog dobrih ocjena greške aproksimacije i kontrole oblika aproksimacijske funkcije. NumMat 2011, 4. predavanje p.81/95
82 Nelinearne aproksimacijske funkcije Nelinearne aproksimacijske funkcije ϕ ϕ(x) = ϕ(x;a 0,a 1,...,a m ), imaju nelinearnu ovisnosti o parametrima aproksimacijske funkcije a 0,...,a m. Pripadni skup dozvoljenih funkcija F najčešće nije vektorski prostor. Odredivanje parametara a k, općenito, vodi na nelinearne probleme: sustave nelinearnih jednadžbi, ili nelinearne probleme optimizacije. NumMat 2011, 4. predavanje p.82/95
83 Primjer 4 eksponencijalne funkcije Par primjera najčešće korištenih oblika nelinearnih aproksimacijskih funkcija. Eksponencijalne aproksimacije. Imaju oblik linearne kombinacije eksponencijalnih funkcija s parametrima u eksponentu: ϕ(x) = c 0 e b 0x + c 1 e b 1x + + c r e b rx, Broj nezavisnih parametara je m + 1 = 2r + 2. Opisuju, na primjer, procese rasta i odumiranja u raznim populacijama, s primjenom u biologiji, ekonomiji i medicini. NumMat 2011, 4. predavanje p.83/95
84 Primjer 5 racionalne funkcije Racionalne funkcije. Imaju opći oblik ϕ(x) = b 0 + b 1 x + + b r x r c 0 + c 1 x + + c s x s, i m + 1 = r + s + 1 nezavisnih parametara, a ne r + s + 2, kako formalno piše. Objašnjenje. Razlomci se mogu proširivati, ako su b i, c i parametri, onda su to i tb i, tc i, za t 0; uvijek možemo fiksirati jedan od koeficijenata b i ili c i, a koji je to obično slijedi iz prirode modela. Ovako definirane racionalne funkcije imaju mnogo bolja svojstva aproksimacije nego polinomi, a pripadna teorija je relativno nova. NumMat 2011, 4. predavanje p.84/95
85 Kriteriji aproksimacije interpolacija Interpolacija je zahtjev da se funkcije f i ϕ podudaraju na nekom konačnom skupu točaka. Te točke nazivamo čvorovi interpolacije. Zahtjevu se može, ali i ne mora, dodati zahtjev da se u čvorovima, osim funkcijskih vrijednosti, poklapaju i vrijednosti nekih derivacija. U najjednostavnijem obliku interpolacije, kad se podudaraju samo funkcijske vrijednosti, od podataka o funkciji f koristi se samo informacija o njenoj vrijednosti na skupu od n + 1 točaka, tj. podaci (x k,f k ), gdje je f k := f(x k ), za k = 0,...,n. NumMat 2011, 4. predavanje p.85/95
86 Kriteriji aproksimacije interpolacija Parametri a 0,...,a n (mora ih biti točno onoliko koliko i podataka, tj. m = n) odreduju se iz uvjeta ϕ(x k ;a 0,a 1,...,a n ) = f k, k = 0,...,n, što je, općenito, nelinearni sustav jednadžbi. Linearnost funkcije ϕ povlači da parametre a k dobivamo iz sustava linearnih jednadžbi koji ima točno n + 1 jednadžbi za n + 1 nepoznanica. Matrica tog sustava je kvadratna. NumMat 2011, 4. predavanje p.86/95
87 Kriteriji aproksimacije minimizacija pogreške Minimizacija pogreške je drugi kriterij odredivanja parametara aproksimacije. Funkcija ϕ bira se tako da se minimizira neka odabrana norma pogreške e(x) = f(x) ϕ(x) u nekom odabranom prostoru funkcija F za ϕ, na nekoj domeni X. Ove aproksimacije, često zvane i najbolje aproksimacije po normi, dijele se na diskretne ako se norma pogreške e minimizira na diskretnom skupu podataka X; kontinuirane ako se norma pogreške e minimizira na kontinuiranom skupu podataka X. NumMat 2011, 4. predavanje p.87/95
88 Kriteriji aproksimacije minimizacija pogreške Standardno se kao norme pogreške koriste 2-norma i -norma. Za 2-normu pripadna se aproksimacija zove srednjekvadratna, a metoda za njeno nalaženje zove se metoda najmanjih kvadrata. Funkcija ϕ, odnosno njeni parametri, se traže tako da bude min e(x) 2. ϕ F NumMat 2011, 4. predavanje p.88/95
89 Kriteriji aproksimacije minimizacija pogreške U diskretnom slučaju je X = {x 0,...,x n }, pa raspisom prethodne relacije dobivamo n (f(x k ) ϕ(x k )) 2 min, k=0 a u kontinuiranom slučaju b (f(x) ϕ(x)) 2 dx min. a Preciznije, minimizira se samo ono pod korijenom. NumMat 2011, 4. predavanje p.89/95
90 Kriteriji aproksimacije minimizacija pogreške U slučaju -norme pripadna se aproksimacija zove minimaks aproksimacija, a parametri se biraju tako da se nade min e(x). ϕ F U diskretnom slučaju traži se a u kontinuiranom slučaju max f(x k) ϕ(x k ) min, k=0,...,n max f(x) ϕ(x) min. x [a,b] NumMat 2011, 4. predavanje p.90/95
91 Kriteriji aproksimacije minimizacija pogreške Ovaj je tip aproksimacija poželjniji od srednjekvadratnih, jer se traži da maksimalna greška bude minimalna, ali ih je općenito mnogo teže izračunati (na primjer, dobivamo problem minimizacije nederivabilne funkcije!). Za znatiželjne: U praksi norme, pored funkcije mogu uključivati i neke njene derivacije. Primjer takve norme b [ f = (f(x))2 + (f (x)) 2] dx, a na prostoru C 1 [a,b] svih funkcija koje imaju neprekidnu prvu derivaciju na [a,b]. NumMat 2011, 4. predavanje p.91/95
92 Ključni problemi kod aproksimacije Matematički problemi koje treba riješiti: egzistencija i jedinstvenost rješenja problema aproksimacije, što ovisi o tome koje funkcije f aproksimiramo kojim funkcijama ϕ (dva prostora) i kako mjerimo grešku e (norma); analiza kvalitete dobivene aproksimacije vrijednost najmanje pogreške i ponašanje funkcije greške e (jer norma je ipak samo broj), konstrukcija algoritama za računanje najbolje aproksimacije. NumMat 2011, 4. predavanje p.92/95
93 Veza aproksimacije i interpolacije diskretno U diskretnom slučaju, problem interpolacije na konačnom skupu točaka X (točke iz X su čvorovi interpolacije), možemo smatrati specijalnim, ali posebno važnim slučajem aproksimacije po normi na skupu X, uz neku od standardnih normi na konačnodimenzionalnim prostorima (ovisi o tome odakle biramo ϕ). Posebnost: uz minimizaciju norme pogreške e min, dodatno tražimo da je minimum norme pogreške jednak nuli, tj. min e = 0, što je onda ekvivalentno odgovarajućim uvjetima interpolacije. NumMat 2011, 4. predavanje p.93/95
94 Veza aproksimacije i interpolacije primjer Primjer. Neka je X = {x 0,...,x n } i tražimo aproksimacijsku funkciju ϕ u prostoru P n svih polinoma stupnja najviše baš n. Kao kriterij aproksimacije uzmimo neku p-normu (1 p ) vektora e grešaka funkcijskih vrijednosti na skupu X. Za 1 p <, zahtjev je ( n ) 1/p e p = f ϕ p = f(x k ) ϕ(x k ) p min. Za p =, tražimo k=0 e = f ϕ = max k=0,...,n f(x k) ϕ(x k ) min. NumMat 2011, 4. predavanje p.94/95
95 Veza aproksimacije i interpolacije primjer Očito je e p = 0 ekvivalentno uvjetima interpolacije f(x k ) = ϕ(x k ), k = 0,...,n. Medutim, nije jasno može li se to postići, tj. postoji li takva aproksimacijska funkcija ϕ P n za koju je minimum norme greške jednak nuli, tako da je ϕ i interpolacijska funkcija. U nastavku, pokazat ćemo da je odgovor potvrdan za ovaj primjer. Razlog: Prostor P n, u kojem tražimo aproksimaciju, ima taman dovoljno veliku dimenziju. NumMat 2011, 4. predavanje p.95/95
Numerička matematika 4. predavanje
Numerička matematika 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumMat 2009, 4. predavanje p.1/67 Sadržaj predavanja Rješavanje linearnih sustava: Pivotiranje
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
5. Aproksimacija i interpolacija
APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Numerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Potpuno pivotiranje. Faktorizacija Choleskog
Potpuno pivotiranje Potpuno pivotiranje kao pivota odabire po modulu najveći element iz cijele podmatrice dolje desno Osim zamjene redaka, ovdje je dozvoljena i zamjena stupaca (preimenovanje tj mijenjanje
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
LINEARNI PROSTORI
7 4 Pokažite da je matrica cos α e iβ sin α e iβ sin α cos α unitarna za sve α, β R Ispitajte ima li linearni sistem samo trivijalno rješenje 3 5 3 4 x x x 3 = 3 Nadite opće rješenje problema y = Ay, gdjejea
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Numerička matematika 2. predavanje
Numerička matematika 2. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 2. predavanje p. 1/141 Sadržaj predavanja Uvodna priča o greškama
Riješeni zadaci: Linearna algebra
Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Numerička matematika 7. predavanje
Numerička matematika 7. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2018, 7. predavanje p. 1/96 Sadržaj predavanja Metoda najmanjih kvadrata:
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Numerička analiza 16. predavanje
Numerička analiza 16. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.1/69 Sadržaj predavanja Besselove funkcije i Millerov algoritam:
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},