Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Predavanje 7. Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine. Dinko Osmanković"

Transcript

1 Predavanje 7 Napredna poglavlja teorije skupova; Booleove algebre višeg reda; Digitalne i analogne veličine Dinko Osmanković Kurs: Matematička logika i teorija izračunljivosti

2 Sadržaj predavanja 1 Prirodni brojevi kao skupovi Model prirodnog broja Kardinalnost Ekvipotentni skupovi Hilbert Grand Hotel Schröder-Bernsteinov teorem Cantorov teorem Hipoteza kontinuuma 2 Proturječnosti naivne teorije skupova Russellov paradoks Cantorov paradoks Burali-Forti paradoks Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova Proturječnosti ZFC teorije Alternativne teorije skupova 3 Booleova prekidačka algebra Booleova algebra Homomorfizam i izomorfizam Stoneov teorem 4 Kontinualne, diskretne i digitalne veličine

3 Pojam prirodnog broja Peanovi aksiomi Nula, u oznaci 0, predstavlja prirodan broj; Svaki prirodan broj n, ima svog sljedbenika n (ili S(n), succ(n)) Nula nije sljedbenik niti jednog prirodnog broja; Ako dva prirodna broja imaju jednake sljedbenike, oni su i sami jednaki; Ako neki skup sadrži nulu i sljedbenika svakog svog elementa, tada on sadrži sve prirodne brojeve (aksiom indukcije) Posljednji aksiom omogućeva definiranje operacija + i u skupu N, kao i relaciju potpunog poretka.

4 Peanovi aksiomi - proširenje Peanovi aksiomi Nula, u oznaci 0, predstavlja prirodan broj; Za svaki prirodan broj x, vrijedi x = x Za svaka dva prirodna broja x i y vrijedi da ako je x = y, tada je i y = x Za svaka tri prirodna broja x, y i z vrijedi da ako je x = y i y = z, tada je x = z Skup prirodnih brojeva je zatvoren nad relacijom =. Ako je n prirodan broj, tada je i n prirodan broj Za dva prirodna broja x i y vrijedi x = y ako i samo ako je x = y (funckija sljedbenik je injektivna) Ne postoji prirodan broj x kojem je 0 sljedbenik Ako je skup K takav da je: 0 K Za svaki broj x K vrijedi: x K x K tada skup K sadrži sve prirodne brojeve.

5 Aritmetika prirodnih brojeva Operacija + Operacija + se definira kao preslikavanje + : N 2 N zadano rekurzivno: n + 0 = n n + m = (n + m) Primjer = = (2 + 2) = (2 + 1 ) = (2 + 1) = (2 + 0 ) = = (2 + 0) = 2 = 3 = 4 = 5 Operacija Operacija se definira kao preslikavanje : N 2 N zadano rekurzivno: n 0 = 0 n m = n + (n m) Primjer 2 3 = = 2 + (2 2) = 2 + (2 1 ) = 2 + (2 + (2 1)) = = 2 + (2 + (2 0 )) = 2 + (2 + (2 + (2 0))) = 2 + (2 + (2 + 0)) = 2 + (2 + 2) = = 6 Algebarska struktura (N, +,, 0, 0 ) se naziva komutativni semi-prsten.

6 Potpuni poredak prirodnih brojeva Relacija Za dva broja x, y N vrijedi x y ako i samo ako postoji z N takav da vrijedi x + z = y. Ako je x y, vrijedi: x + z y + z x z y z Algebarska struktura (N, +,, 0, 0, ) se naziva uredeni semi-prsten.

7 Model prirodnog broja Frege-Russelov model Prirodni broj n predstavlja klasu ekvivalencije konačnog skupa, gdje je relacija ekvivalencije dva skupa A i B definirana kao #A = #B. Von Neumannov model Prirodni broj n je rekurzivno definiran kao: 0 = n = n {n} Na ovaj način se prvih nekoliko prirodnih brojeva može zapisati na sljedeći način: 0 = 1 = 0 {0} = {0} = { } = { } 2 = {0, 1} =... = {, { }} 3 = {0, 1, 2} =... = {, { }, {, { }}}

8 Kardinalni broj skupa Definicija Neka je S skup. Ako u skupu S postoji n jedinstvenih elemenata, gdje je n nenegativan cijeli broj, kaže se da je skup S konačan i da je n kardinalnost skupa S i označava se sa #S ili S. Primjer Neka je skup A skup svih neparnih prirodnih brojeva manjih od 10. Tada je #A = 5. Primjer Kardinalni broj praznog skupa je # = 0.

9 Ekvipotentni skupovi Definicija Neka su A i B skupovi. Kaže se da su skupovi A i B ekvipotentni (ili ekvipolentni) ako postoji bijekcija f : A B Primjer Neka je skup A = {1, 2, 3}, a skup B = {a, b, c}. Ova dva skupa su ekvipotentna jer postoji bijekcija izmedu ova dva skupa, npr. f (1) = a; f (2) = b; f (3) = c. Definicija Neka su A i B skupovi. Ako postoji bijekcija f : A B i vrijedi #B = n <, tada je skup A konačan. Ako bijekcija ne postoji niti za jedno n <, tada je skup A beskonačan.

10 Ekvipotentni skupovi - beskonačni skupovi (1/2) Primjer Neka je skup P = {n n = 2k k N} skup parnih brojeva. Moguće je konstruirati bijekciju sa skupom N: te vrijedi P N Primjer f : N P = f (n) = 2n, Neka je skup Q = {n n = k 2 k N} skup potpunih kvadrata prirodnih brojeva. Moguće je konstruirati bijekciju sa skupom N: f : N Q = f (n) = n 2, te vrijedi Q N Kardinalni broj skupa N je #N = ℵ 0.

11 Ekvipotentni skupovi - beskonačni skupovi (2/2) Primjer Koji je kardinalni broj skupa Z? Neka je zadana funkcija f : N Z: ( ) f (n) = što se može iskazati pravilom: Očigledno vrijedi Z N, te je #Z = ℵ 0. f (n) = ( 1) n n/2 Primjer Koji je kardinalni broj skupa Q? Neka je zadana funkcija f : N Q: f (n) = /2 1/ /3 1/ /4 1/4 2/3 2/3 3/2 3/ /5... Očigledno vrijedi Z N, te je #Z = ℵ 0.

12 Hilbert Grand Hotel

13 Hilbert Grand Hotel

14 Hilbert Grand Hotel

15 Hilbert Grand Hotel

16 Hilbert Grand Hotel

17 Hilbert Grand Hotel

18 Hilbert Grand Hotel

19 Kardinalni broj skupa R Cantorov dijagonalni postupak Pretpostavimo da je skup R ekvipotentan sa skupom N. Tada je moguće konstruirati bijekciju f : N R: ( ) f (n) = a 1.a 11 a 12 a a 2.a 21 a 22 a a 3.a 31 a 32 a Ako sada formiramo broj y = 0.b 1 b 2 b 3... takav da vrijedi b i a ii, onda je y f (1), y f (2),... U općem slučaju je y f (n). Drugim riječima, broj y se ne nalazi u nizu f (1), f (2), f (3),..., odnosno, preslikavanje f ne može biti bijekcija. #R Kardinalni broj skupa R je kontinuum, tj. #R = c.

20 Schröder-Bernsteinov teorem Schröder-Bernsteinov teorem Ako su A i B skupovi za koje vrijedi #A #B i #B #A, tada je #A = #B. Drugim riječima, ako postoje injektivne funkcije f : A B i g : B A, tada postoji bijekcija izmedu A i B. Primjer Pokažite da je #(0, 1) = #(0, 1] Kako je (0, 1) (0, 1], funkcija f (x) = x je injektivna funkcija sa (0, 1) (0, 1]. Neka je funkcija g(x) = x/2 sa (0, 1] na (0, 1/2] (0, 1). Ova funkcija je takoder injektivna, pa prema prethodnom teoremu postoji bijekcija izmedu (0, 1) i (0, 1]. Primjer Funkcija f = 2 atan(x) je bijekcija f : R ( 1, 1). π

21 Kardinalni broj skupa F Cantorov dijagonalni postupak Pretpostavimo da je skup svih funkcija sa R na R, u oznaci F = {f f : R R} ekvipotentan sa skupom R. Tada je moguće konstruirati bijekciju f : R F: Φ(x) = f x takva da se medu funkcijama f x, x R nalaze sve funkcije sa R na R. Definirajmo funciju g(x) f x. Stoga je #F #R. Kako postoji bijekcija izmedu R i skupa konstantnih funkcija {f f : R R c R f (x) = c}, vrijedi #F #R, odnosno #F > #R. #F Kardinalni broj skupa F je #F = f.

22 Cantorov teorem Cantorov teorem Neka je f : A P(A) neka funkcija sa A na P(A). Tada f nije sirjektivna, što za posljedicu ima da #A < #P(A). Dokaz: Neka je zadan skup B = {x A x / f (x)}. Ako bi funkcija f bila sirjektivna, tada bi postojao a A takav da je f (a) = B. Medutim, konstrukcijom a B a / f (a) = B se dobiva kontradikcija, te f ne može biti sirjektivna, a samim tim ni bijektivna. Funkcija g : A P(A) definirana sa g(x) = {x} je injektivna, pa je #A < #P(A). Posljedica Vrijedi #A < #P(A) < #P(P(A)) <... Posljedica Vrijedi #N = 2 ℵ0. Takoder vrijedi #R = #P(N).

23 Hipoteza kontinuuma Hipoteza kontinuuma Ne postoji skup S za koji vrijedi ℵ 0 < #S < 2 ℵ 0 = c. Posljedica Kako vrijedi aksiom izbora, tada postoji najmanji kardinalni broj ℵ 1 > ℵ 0, odnosno ℵ 1 = 2 ℵ 0 = c. Generalizirana hipoteza kontinuuma Vrijedi ℵ α+1 = 2 ℵα.

24 Russellov paradoks Russellov paradoks Neka je skup S skup svih skupova koji ne sadrže sami sebe, tj. S = {X X / X }. Da li je ova definicija u skladu sa aksiomom specifikacije? Da li je skup S član skupa S? PARADOKS!

25 Cantorov paradoks Cantorov paradoks Neka je skup S skup svih skupova, a P(S) njegov partitivni skup. Kako su elementi partitivnog skupa P(S) skupovi, a skup S sadrži sve skupove, tada vrijedi P(S) S, odnosno #P(S) #S. Cantorov teorem tvrdi da je #S < #P(S)?! PARADOKS!

26 Burali-Forti paradoks Burali-Forti paradoks Neka je skup S skup svih ordinalnih brojeva (npr. prema Von Neumannovom modelu prirodnog broja). Vrijedi: 1 Svaki dobro ureden skup ima jedinstven ordinalni broj 2 Svaki segment ordinala (npr. bilo koji skup ordinala ureden u prirodnom redosljedu a koji sadrži sve prethodnike svakog svog elementa) ima ordinalni broj koji je veći od svakog ordinala unutar segmenta (što je posljedica n = n {n}) 3 Skup A svih ordinala u prirodnom poretku je dobro ureden Tada prema (1) i (3), skup A ima ordinalni broj α. Kako prema (3) vrijedi α A, tada iz (2) slijedi α < α. PARADOKS! Kako je u Von Neumannovom modelu ordinalni broj skupa jednak kardinalnom broju, dolazi se do istog paradoksa ako se primjenjuje zaključivanje za kardinalne brojeve.

27 Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova I Aksiom obuhvatnosti (obimnosti): Dva skupa su jednaka ako i samo ako sadrže iste elemente; Aksiom praznog skupa: Postoji skup koji nema elemenata; Aksiom neuredenog para: Za bilo koja dva skupa A i B postoji novi skup koji ima A i B kao jedine elemente; Aksiom unije: Za bilo koji skup A postoji skup čiji su elementi oni i samo oni elementi koji su elementi onih skupova koji su elementi skupa A; Aksiom partitivnog skupa: Za bilo koji skup A postoji skup koji se sastoji od svih skupova koji imaju svojstvo da je svaki njihov element ujedno i element skupa A;

28 Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova II Aksiom beskonačnosti: Postoji skup koji sadrži prazan skup kao svoj element i koji je takav da ukoliko je skup X neki njegov element, tada je skup koji sadrži skup X i sve elemente skupa X takoder njegov element; Aksiom regularnosti (zasnovanosti, redukcije): Medu elementima nekog skupa A koji su i sami skupovi, uvijek postoji skup koji nema zajedničkih elemenata sa skupom A; Aksiom razdvajanja (separacije): Za svaki skup A i predikat P(x) definiran nad elementima skupa A postoji skup čiji su elementi oni i samo oni elementi koji zadovoljavaju predikat P(x);

29 Zermelo Fraenkelova aksiomatska teorija skupova III Aksiom zamjene: Iz svakog skupa A moguće je kreirati novi skup B tako što se svi elementi skupa A transformiraju po nekom zakonu; preciznije, za svaki skup A i predikat P(x, y) kod kojeg elementi x uzimaju vrijednosti iz skupa A, postoji skup B koji se sastoji od onih elemenata y koji zadovoljavaju predikat P(x, y) kada x uzima vrijednosti iz skupa A; Aksiom izbora: Za svaku kolekciju C nepraznih podskupova nekog skupa S moguće je formirati novi skup od po jednog elementa iz svakog elementa kolekcije C.

30 Proturječnosti ZFC teorije Banach Tarski paradoks Ako je data kugla u trodimenzionalnom prostoru, postoji njena dekompozicija u konačno mnogo medusobno disjunktnih dijelova koji se mogu uklopiti na način da tvore dvije identične kopije polazne kugle. Da li je moguće podijeliti kuglu na beskonačno mnogo medusobno disjunktnih dijelova? Hmmm...

31 Aksiom izbora Aksiom izbora Aksiom izbora može se neformalno iskazati na sljedeći način: Ako je dat skup nepraznih kutija, moguće je izabrati objekat iz svake od kutija Šta ako imamo jednu kutiju? Šta ako imamo konačno mnogo kutija? Šta ako imamo beskonačno mnogo kutija? Vitalijev skup Neka je relacija V relacija za koju vrijedi x V y ako i samo ako x y Q. Kako je ovo relacija ekvivalencije na skupu R, tada postoji faktor skup R/ V. Elementi ovog faktor skupa su podskupovi skupa R (kojih je neprebrojivo mnogo). Prema aksiomu izbora moguće je konstruirati novi skup (Vitalijev skup) koji za elemente uzima po jedan element iz svake od klasa ekvivalencije. Ovaj skup nije moguće odrediti i iako je podskup skupa R, on nema Lebesgueovu mjeru.

32 Alternativne teorije skupova 1 Zermelo Fraenkel teorija 1 Zermelo teorija skupova 2 Generalna teorija skupova 3 Kripke Platekova teorija skupova 2 Teorije zasnovane na skupovima (klasama) i pravim klasama: 1 Von Neumann Bernays Gödelova teorija skupova 2 Morse Kelley teorija skupova 3 Tarski Grothendieck teorija skupova 3 New Foundations (+ urelementi) 4 Interna teorija skupova (ne-standardna analiza)

33 Booleova algebra Definicija Booleova algebra je algebarska struktura (B,,,, 0, 1), gdje su, : B B B binarne operacije (join, meet), : B B unarna operacija (complement), te elementi 0, 1 B koji zadovoljavaju sljedeće osobine za a, b B: 1 a 1 = a 0 = a 2 a a = 0, a a = 1 3 a a = a a = a 4 a b = b a, a b = b a 5 (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) 6 a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) 7 (a b) = a b, (a b) = a b

34 Izomorooleova algebra Definicija Booleova algebra je algebarska struktura (B,,,, 0, 1), gdje su, : B B B binarne operacije (join, meet), : B B unarna operacija (complement), te elementi 0, 1 B koji zadovoljavaju sljedeće osobine za a, b B: 1 a 1 = a 0 = a 2 a a = 0, a a = 1 3 a a = a a = a 4 a b = b a, a b = b a 5 (a b) c = a (b c), (a b) c = a (b c) 6 a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c) 7 (a b) = a b, (a b) = a b

35 Homomorfizam Definicija Neka su A = (B,,,, 0, 1) i B = (B,,,, 0, 1) Booleaove algebre. Preslikavanje f : A B se naziva homomorfizmom ako ono zadržava cjelokupnu strukturu Booleovih algebri: f (0) = 0, f (1) = 1 f (a b) = f (a) f (b), f (a b) = f (a) f (b) f ( a) = f (a). Ako je preslikavanje bijektivno, ono se naziva izomorfizmom. Primjeri izomorfnih Booleovih algebri: ({, },,,,, ) ({, U},,, C,, U) ({1, 2, 3, 6}, NZS(x, y), NZD(x, y), n/x, 1, 6), x {1, 2, 3, 6}, n = 6

36 Stoneov teorem Definicija Svakoj algebri A se pridružuje topološki prostor. Ako je algebra A Booleova algebra, onda je taj topološki prostor Stoneov prostor, u oznaci S(A). Taj prostor je kompaktni potpuno nepovezan Hausdorffov prostor. Stoneov teorem Svakoj Booleova algebra A je izomorfna sa algebrom otvoreno-zatvorenih podskupova prostora S(A). Posljedica Svakoj Booleova algebra A definirana nad konačnim skupom za koji je #A = n je izomorfna sa Booleovom algebrom (P(B)),,, C,, B) ako i samo ako je #P(B) = #A.

37 Booleova algebra nad skupom od 4 elementa (1/2) Primjer Konstruirati Booleovu algebru nad skupom B = {0, α, β, 1} sa binarnim operatorima i i unarnim operatorom, te specijalnim elementima 0 i 1. y x y 0 α β α β 1 x α α α 1 1 β β 1 β y x y 0 α β x α 0 α 0 α β 0 0 β β 1 0 α β 1 x x 0 1 α β β α 1 0

38 Booleova algebra nad skupom od 4 elementa (2/2) Primjer Konstruirati Booleovu algebru nad skupom B = {0, α, β, 1} sa binarnim operatorima i i unarnim operatorom, te specijalnim elementima 0 i 1. {a,b} 6 1 {a} {b} 2 3 α β {} 1 0 x y x = x y y = x y

39 Kontinualne, diskretne i digitalne veličine; Konverzija Kontinualne, diskretne i digitalne veličine A/D i D/A konverzija Uzorkovanje, kvantizacija Shannon Nyquistov teorem o uzorkovanju Rekonstrukcija analogne veličine iz diskretne: x a (t) = n= ( t ) x d (n)sa T n

40 Q & A

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

1 Svojstvo kompaktnosti

1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

1. Skupovi Algebra skupova

1. Skupovi Algebra skupova 1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Kardinalni brojevi i Lebegova mera

Kardinalni brojevi i Lebegova mera Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacyu/mii Matematika i informatika 1 (1-2) (2008), 41-50 Kardinalni brojevi i Lebegova mera Dragan S Dor dević U ovom radu prikazujemo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzija vektorskog prostora

Dimenzija vektorskog prostora UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

1 Algebarske operacije i algebraske strukture

1 Algebarske operacije i algebraske strukture 1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Flag-tranzitivni linearni prostori

Flag-tranzitivni linearni prostori Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe

Διαβάστε περισσότερα

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα