ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ"

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ

2 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ 3 ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ (DISCOUNT) 7 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΙΤΛΩΝ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) 11 ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ) 12 ΧΡΗΜΑΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (ΡΑΝΤΕΣ) 22 ΔΑΝΕΙΑ 29

3 2 ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ) Το μέγεθος του απλού τόκου (Ι) είναι ανάλογο με τα τρία άλλα ποσά, δηλαδή το Kεφάλαιο ( K ή C ),το χρόνο ( n ή t ) και το επιτόκιο (i). I = Κ n i Παρατηρήσεις 1. Κατά την εφαρμογή του παραπάνω τύπου πρέπει να προσέχουμε ώστε ο χρόνος n να εκφράζεται στην ίδια χρονική περίοδο στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο, δηλαδή αν το επιτόκιο είναι ετήσιο, εξαμηνιαίο, τριμηνιαίο κ.λ.π. πρέπε ι αντίστοιχα και η διάρκεια τοκισμού να είναι n έτη, n εξάμηνα, n τρίμηνα κ.λ.π. 2. Αν το επιτόκιο είναι ετήσιο και η διάρκεια τοκισμού αναφέρεται σε μήνες, τότε ο τύπος του τόκου θα γίνει:.. i Ι = 12 όπου ο αριθμός των μηνών τοκισμού μ, δηλαδή η διάρκεια τοκισμού, εκφράζεται σε κλάσμα του έτους. 3. α) Αν το επιτόκιο είναι ετήσιο και η διάρκεια τοκισμού αναφέρεται σε ημ έρες, τότε ο βασικός τύπος του τόκου θα γίνει:.. i.. i Ι = ή Ι = για δίσεκτο έτος, όπου ο αριθμός των ημερών τοκισμού ν, εκφράζεται πάλι σε κλάσμα του έτους (έτος πολιτικό). β) Αν στον παραπάνω τύπο θεωρήσουμε, για διευκόλυνση των υπολογισμών, ότι το έτος περιλαμβάνει 360 ημέρες και κάθε μήνας 30 ημέρες (έτος εμπορικό), ο τύπος γίνεται:.. i I = 360 γ) Επειδή ο τρόπος υπολογισμού με εμπορικό έτος είναι άδικος για τον οφειλέτη, μια συμβιβαστική λύση είναι να θεωρείται ότι το έτος έχ ει 360 ημέρες, αλλά ο κάθε μήνας να έχει τον πραγματικό αριθμό ημερών του, όπως και στο πολιτικό έτος ( έτος μικτό). Ο τύπος είναι.. i πάλι: I = 360 Τοκάριθμος- Σταθερός Διαιρέτης Τους υπολογισμούς στην εύρεση του τόκου όταν ο χ ρόνος δίνεται σε ημέρες, διευκολύνουν ο τοκάριθμος και ο σταθερός διαιρέτης :.. i.. i Αν πάρουμε τους τύπους I = και Ι = και διαιρέσουμε τους όρους του κλάσματος δια i, θα έχουμε:

4 3 I =.. i / i 360/ i ή Ι = K. 360/ i και Ι =.. i / i 365/ i ή Ι = K. 365/ i To γινόμενο Κν λέγεται Τοκάριθμος και συμβολίζεται με Ν. Το πηλίκο 360/i ή 365 / i λέγεται Σταθερός διαιρέτης και συμβολίζεται με Δ. Τότε ο τύπος γίνεται: Ι = K. ή Ι = όπου Δ = 360 i ή Δ = 365 i. Τελική Αξία Η τελική αξία Κn ενός κεφαλαίου Κο μετά απο n έτη θα είναι: Κn = Ko +I δηλ. Kn =Ko +Ko n i ή Kn = Ko (1+ni) Οταν το επιτόκιο είναι ετή σιο και οχρόνος εκφράζεται σε μήνες, η τελική αξία θα είναι : Κμ = Κο ( i ) Οταν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες, η τελική αξία θα εί ναι : Kv = Ko ( i) και Kv = Ko ( i) και K ν = Ko + 0 ή K ν = Ko (1 + ) Oι παραπάνω τύποι μπορούν να λυθούν ως προς Κο και τότε θα δώσουν την παρούσα αξία ( αρχικό κεφάλαιο ) συναρτήσει της τελικής του αξίας. Πρόβλημα: Σε πόσο χρόνο ένα κεφάλαιο διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται κ.λ.π. Λύση:Για να το λύσουμε, μπορούμε να αντικαταστήσουμε στον κατάλληλο τύπο, όπου Kn = 2Ko Kn = 3Ko κ.λ.π. Π.χ. αν αντικαταστήσουμε στον τύπο: Kn=Ko (1+ni), όπου Kn = 2Ko,θα βρούμε n= i 1 και αν αντικαταστήσουμε στον τύπο: K ν = Ko (1 + ), όπου Kν = 2Ko, θα βρούμε ν=δ Επίσης, αν Κν = 3 Κο,, θα βρούμε: ν = 2Δ

5 4 Αρα το κεφάλαιο θα διπλασιασθεί σε n = i 1 έτη ή σε τόσες ημέρες,όσος είναι ο σταθερός διαιρέτης.επίσης θα τριπλασιασθεί σε μέρες ίσες με το διπλάσιο του σταθερού διαιρέτη. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ 1) Ενα κεφάλαιο τοκίστηκε προς 21% για 6 έτη και έγινε μαζί με τους τόκους του Eυρώ. Ποιό ήταν το αρχικό κ εφάλαιο και ποιός ο τόκος του; (Απ. Κο = Eυρώ, Ι = Eυρώ ). 2) Κεφάλαιο έχει τοκισθεί επί 180 ημέρες προς 15 % και έγιν ε με τον τόκο του Eυρώ. Ποιό είναι το κεφάλαιο ; ( έτος μικτό). (Απ. Ko = Eυρώ). 3)Κεφάλαιο τοκίσθηκε προς 18% επί 5 μήνες και το τοκοκεφάλαιο τοκίσθηκε πάλι προς 24% και έδωσε μηνιαίο τόκο Eυρώ.. Ποιό ήταν το αρχικό κεφάλαιο (Απ ). 4) Κεφάλαιο τοκίσθηκε επί 90 ημέρες και έγινε με τους τόκους του Eυρώ. Το τοκοκεφάλαιο ξανατοκίσθηκε για άλλες 120 ημέρες και έγινε μαζί με τους τόκους του ,5 Eυρώ. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο( έτος μικτό). (Απ. i= 15%, Ko = ). 5) Στις 20 Φεβρουαρίου, ο έμπορος χ δανείσθηκε ένα χρηματικό ποσό με τη συμφω νία να το εξοφλήσει την 20η Απριλίου του ίδιου έτους. Ο πιστωτής κράτησε προκαταβολικώς τον τόκο του ποσού που δάνεισε προς 30% και ο χ εισέπραξε Eυρώ. Ποιό είναι το οφειλόμενο ποσό; Ετος μικτό. (Απ. K = ). 6) Μια βιομηχανική επιχείρηση δανε ίσθηκε απο την Εμπορική Τράπεζα Ελλάδος ένα χρηματικό ποσό για 72 ημέρες προς 25%. Η τράπεζα κράτησε προκαταβολικά τον τόκο του δανεισθέντος ποσού και η επιχείρηση έλαβε τελικά Eυρώ. Ποιό είναι το ποσό το οποίο δανείσθηκε η επιχείρηση ; ( έτος μικ τό). ( Απ. K= ). 7) Ο Α ζήτησε απο τον Β δάνειο Eυρώ. για χρονικό διάστημα 120 ημερών με ετήσιο επιτόκιο 0,20 και συμφωνήθηκε να κρατηθεί ο τόκος προκαταβολικά. Αν χρησιμοποιηθεί έτος πολιτικό, να βρεθεί τι ποσό πήρε στα χέρια του ο Α. (Απ. = ). 8) Ενας έμπορος πλήρωσε στις 25 Ιανουαρίου Ευρώ, για τόκους και κεφάλαιο ενός δανείου που είχε πάρει στις 30 Αυγούστου του προηγούμενου έτους με επιτόκιο 12%. Ποιό ήταν το αρχικό χρέος; Ετος μικτό.( απ Ευρώ. ) 9) Κάποιος κατέθεσε σε μια τράπεζα ένα ποσό προς 15% και ένα ίσο ποσό προς 18 %. Μετά απο 18 μήνες πήρε συνολικά τόκους και κεφάλαιο Ευρώ. Πόσα είχε τοποθετήσει και πόσοι είναι οι τόκοι κάθε τοποθέτησης; (απ , τόκοι και ) 10) Ενα κεφάλαιο τοκίσθηκε επι 80 ημέρες και έγινε με τους τόκους του Ευρώ. Το ποσό αυτό ξανατοκίσθηκε για 120 ημέρες με το ίδιο επιτόκιο και έγινε με τους τόκους του Ευρώ. Να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο.ετος μικτ ό. ( ).

6 5 11) Τι ποσό πρέπει να ζητήσει κάποιος σαν δάνειο ώστε αν κρατηθεί προκαταβολικά ο τόκος με ετήσιο επιτόκιο 24% και για χρονικό διάστημα 150 ημερών, να εισπράξει Ευρώ. (απ ,11 Ευρώ) 12) Κάποιος κατέθεσε στις σε μια τράπεζα ένα κεφάλαιο.στις τα χρήματα αυτά είχαν γίνει με τους τόκους τους Ευρώ. Το ποσό αυτό ξανατοκίστηκε για 160 ημέρες με το ίδιο επιτόκιο και έγινε με τους τόκους του Ευρώ. Να βρείτε το αρχικό κεφάλαιο και το επιτόκιο. Ετος μικτό. (απ. i = 15%, Ko = Ευρώ.) 13) Υπάλληλος κατέθεσε σε μια τράπεζα 250 Ευρώ στις 4 Ιουλίου και 100 Ευρώ στις 20 Οκτωβρίου. Στις 31 Δεκεμβρίου του ιδίου έτους ο συνολικός τόκος στο βιβλιάριο ήταν 29 Ευρώ. Με ποιό επιτόκιο υπολογίσθηκαν οι τόκοι των παραπάνω καταθέσεων; Ετος μικτό. (απ. 20% ). 14) Δύο κεφάλαια διαφέρουν κατά Ευρώ. Το μεγαλύτερο τοκίσθηκε με επιτόκιο 4% και το μικρότερο με επιτόκιο 5%. Αν στα κεφάλαια αυτά προστεθούν και οι ετήσιοι τόκοι τους αντίστοιχα, θα γίνουν ίσα. Να βρεθούν τα αρχικά κεφάλαια. ( απ , Ευρώ.) 15) Δύο κεφάλαια τοκίσθηκαν το πρώτο στις 31 Ιανουαρίου και το δεύτερο στις 16 Απριλίου του ιδίου έτους με επιτόκιο 9% και 18% αντίστοιχα. Αν γνωρίζετε οτι το δεύτερο είναι 2πλάσιο του πρώτου και οτι στις 8 Οκτωβρίου του ιδίου έτους έδωσαν και τα δύο μαζί τελική αξία Ευρώ, να βρείτε τα δύο κεφάλαια. ( απ & Ευρώ ) 16) Ενα κεφάλαιο Ευρώ τοκίζεται με επιτόκιο 16% με απλό τόκο και έτος μικτό. α) Σε πόσο χρονικό διάστημα θα διπλασιαστεί ; β) Σε πόσο χρονικό διάστημα θα τριπλασιαστεί; (απ. α) 6,25 έτη β) 12,5 έτη). 17) Κάποιος κέρδισε στο λαχείο ένα ποσό και δάνεισε αμέσως τα 6/10 του ποσού με ετήσιο επιτόκιο 24% ενώ το υπόλοιπο το κατέθεσε με ετήσιο επιτόκιο 21% 8 μήνες αργότερα. Πόσα χρήματα κέρδισε στο λαχείο, αν 3 χρόνια μετά την κατάθεση πήρε τόκο Ευρώ; (απ Ευρώ.) 18)Ενα κεφάλαιο τοκίστηκε επί 18 μήνες και έδωσε τόκο το 1/12 της αξίας του. Να βρείτε το επιτόκιο. (απ %) 19)Κάποιος δάνεισε με απλό τόκο Ευρώ με επιτόκιο 24%. Αργότερα συ μφώνησε να μειώσει το επιτόκιο σε 18%. Να βρείτε το χρόνο που μεσολάβησε μέχρι την αλλαγή του επιτοκίου αν μετά απο 1 έτος πήρε συνολικά τόκο Ευρώ. Ετος εμπορ ικό. (απ. μ1= 3 μήνες). 20) Ενας πατέρας θέλει να καταθέσει Ευρώ με απλό τόκο και επιτόκιο 20% για τα δύο παιδιά του, ηλικίας σήμερα 8 και 13 ετών. Πως πρέπει να μοιράσει το ποσό, ώστε τα δύο μερίδια να δώσουν ίσες τελικές αξίες όταν το κάθε παιδί γίνει 18 ετών; ( απ και Ευρώ) 21)Ενας καταθέτης έχει στην τράπεζα Ευρώ σ' ένα λογαριασμό με επιτόκιο 15% και Ευρώ σε άλλο λογαριασμό

7 6 με επιτόκιο 18%. Αν μέχρι σήμερα το πρώτο έχει δώσει τόκο 6400 Ευρώ και το δεύτερο 3600 Ευρώ, μετά απο πόσο χρονικό διάστημα ο συνολικός τόκος που θα έ χει δώσει το πρώτο θα είναι διπλάσιος από τον συνολικό τόκο που θα έχει δώσει το δεύτερο. Έτος μικτό. ( απ. ν=320 ημέρες ). ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ( DISCOUNT ) Προεξόφληση μιας συν/κής λέγεται η διαδικασία με την οποία ο κάτοχος της συν/κής (εκδότη ς ή οπισθογράφος) την μεταβιβάζει( συνήθως σε Τράπεζα) πριν απο τη λήξη της και εισπράττει ένα χρηματικό ποσό (Α) μικρότερο από το ποσό που γράφει επάνω η συν/κή ( Κ ). Το ποσό που γράφει επάνω λέγεται Ονομαστική Αξία ( Κ ) της συν/κής και το ποσό που θα εισπράξει ο κομιστής κατά την προεξόφληση λέγεται Παρούσα Αξία (Α). Η διαφορά Κ-Α είναι το ποσό που θα κρατήσει η Τράπεζα σαν τόκο για το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί απο την ημέρα προεξόφλησης μέχρι την ημέρα λήξης της συν/κής. Ο τόκος αυτός λέγεται προεξόφλημα ή υφαίρεση (Ε). Το προεξόφλημα ( Ε) υπολογίζεται με απλό τόκο όταν ο χρόνος προεξόφλησης είναι μικρός. Για χρονικά διαστήματα πάνω απο ένα έτος το προεξόφλημα υπολογίζεται με ανατοκισμό. Στην ουσία η προεξόφληση είναι μια μορφή δανεισμού χρημάτω ν και μάλιστα περίπτωση δανεισμού στην οποία η Τράπεζα κρατάει προκαταβολικά τον Τόκο. Το κεφάλαιο δανεισμού Κ είναι η ονομαστική αξία ( Κ ) της συν/κήςτο ελαττωμένο κεφάλαιο (Κ*) που θα εισπράξει πράγματι ο δανειζόμενος είναι η παρούσα αξία ( Α ) της συ ν/κής. Ο τόκος που θα κρατήσει η Τράπεζα είναι το προεξόφλημα ( Ε ).Ισχύει η σχέση: Ονομαστική αξία = Παρούσα αξία + Προεξόφλημα ή συμβολικά Κ = Α + Ε Χρόνος προεξόφλησης λέγεται το χρονικό διάστημα απο την ημέρα προεξόφλησης μέχρι την ημέρα λήξης τ ης συν/κής. Αν και υπάρχουν διαφορές στις Τράπεζες στον τρόπο που υπολογίζουν το χρόνο προεξόφλησης, συνήθως υπολογίζονται σαν τοκοφόρες και η ημέρα προεξόφλησης και η ημέρα λήξης της συν/κής. Επιτόκιο προεξόφλησης λέγεται το επιτόκιο υπολογισμού του προεξοφλήματος. Το ύψος του καθορίζεται απο την Τράπεζα Ελλάδος και κυμαίνεται γύρω στο 25%. Υπάρχουν δύο είδη προεξόφλησης. Η εξωτερική και η εσωτερική. Εξωτερική λέγεται η προεξόφληση όταν το προεξόφλημα υπολογίζεται επί της ονομαστικής αξίας ( Κ ) της συ ν/κής με τη μέθοδο υπολογισμού απλού τόκου.

8 7 Εσωτερική λέγεται η προεξόφληση όταν το προεξόφλημα υπολογίζεται επί της παρ ούσας αξίας (Α ) της συν/κής, ε πίσης με απλό τόκο. Ι. Εξωτερική προεξόφληση Στην εξωτερική προεξόφληση το προεξόφλημα λέγεται εξωτερικό (Ε) και υπολογίζεται πάνω στην ονομαστική αξία ( Κ ) με τους τύπους του απλού τόκου. Κμ i Kv i K v Ε= Κ n i ή Ε = ή Ε = ή Ε = ( ή 365) Δ Η παρούσα αξία ( Α ) στην εξωτερική προεξόφληση υπολογίζεται απο τη θεμελιώδη σχέση της προεξόφλησης: Κ = Α + Ε Α = Κ - Ε και αν αντικαταστήσω το Ε απο κάποιον απο τους παραπάνω τύπους: Κ ν Α= Κ ( 1 ) Δ Επειδή όμως στην πράξη η Τράπεζα κάνει και άλλες κρατήσεις για να βρούμε το πραγματικό ποσό που θα πρέπει να πάρει ο πιστ ωτής πρέπει να αφαιρέσουμε και τις κρατήσεις αυτές. Αν παραστήσουμε την προμήθεια με θ, τα διάφορα έξοδα με το ε και το χαρτόσημο με το χ θα ισχύουν τα εξής: Το χαρτόσημο υπολογίζεται συνήθως εφάπαξ άρα αφαιρείται απλώς. Η προμήθεια υπολογίζεται σε ποσοσ τό επί της ονομαστικής αξίας για κάθε μήνα προεξόφλησης και τα μέρη του μήνα θεωρούνται ολόκληροι μήνες. Δηλαδή θα αφαιρέσουμε ένα ποσοστό. 100 για την προμήθεια κατά μήνα και για ολόκληρους μήνες. Τα έξοδα υπολογίζονται σαν ποσο στό κατά εκατοντάδα και για ολόκληρη εκατοντάδα ή κατά χιλιάδα και για ολόκληρη χιλιάδα και θα αφαιρεθεί ένα ποσοστό.. Ετσι ο τελικός τύπος της πραγματικής 100 αξίας θα είναι: Κ ν Κ θ Κε Α= Κ χ Δ

9 8 ΙΙ. Εσωτερική προεξόφληση Στην εσωτερική προεξόφληση το προεξοφλημα λέγεται εσωτερικό (Ε 1 ) και υπολογίζεται πάνω στην παρούσα αξία, είναι δηλαδή ο τόκος της παρούσας αξίας. Αυτή η παρούσα αξία θα είναι τώρα διαφορετική ( Α 1 ). Αυτό το Α1 δεν μπορεί να υπολογισθεί απο τη σχέση: Κ = Α 1 +Ε 1 (1) διότι σ'αυτή την ισότητα τόσο τοα 1 όσο και το Ε 1 είναι άγνωστα. Θα ισχύει όμως εξ ορισμού και η σχέση: Α 1 ν Α 1 v i Α 1 μ i Ε 1 = ή Ε 1 = ή Ε 1 = ή Ε 1 = Α 1 n 1 i Δ 360 ( 365) 12 Αντικαθιστούμε μια απο τις σχέσεις αυτές, έστω την πρώτ η, στη σχέση ( 1 ) θα έχομε: Α 1 ν ν Δ + ν Κ = Α ή Κ = Α 1 ( ) ή Κ = Α 1 ( ) ή Δ Δ Δ Κ Δ ή Α 1 = ( 2 ) Δ + ν Ο τύπος (2) μας δίνει την παρούσα αξία Α 1 απο την ονομαστική (Κ). Και το προεξόφλημα θα υπολογισθεί εύκολα απο τους τύπους του απλού τόκου : Α 1 ν Κ Δ ν Κν Ε 1 = ή Ε 1 = ή Ε 1 = ( 3 ) Δ Δ + ν Δ Δ+ν Η εξωτερική προεξόφληση είναι άδ ική για τον οφειλέτη, γιατί η τράπεζα υπολογίζει τον τόκο επι της ονομαστικής αξίας, ενώ προσφέρει μικρότερο ποσό ( την παρούσα αξία ). Το μέγεθος της αδικίας φαίνεται απο το εξής:. Αν στον τύπο Ε =, γίνει ν = Δ τότε Ε = Κ και για ν> Δ θα είναι Ε > Κ δηλαδή στην εξωτερική προεξόφληση, το προεξόφλημα μπορεί να γίνει ίσο ή και μεγαλύτερο ( 1 ) απο την ονομαστική αξία.

10 9. Αν γίνει το ίδιο στον τύπο της εσωτερικής Ε = παρατηρούμε ότι πάντα θα ισχύει Ε < Κ όποια τιμή και αν πάρει ο ν. Στην πράξη χρησιμοποιείται η εξωτερική προεξόφληση, επειδή για μικρές τιμές του ν δεν υπάρχει ουσιαστική διαφορά και επειδή οι σχετικοί υπολογισμοί είναι πιο απλοί, αν και τώρα με τη χρήση των Η /Υ αυτός ο ισχυρισμός έχει πάψει να ισχύει. Πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης Επειδή η τράπεζα κατά την προεξόφληση κρατά όχι μόνο το προεξόφλημα δηλαδή τον τόκο αλλά και διάφορα άλλα έξοδα, ονομάζουμε πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης j το υποθετικό εκείνο επιτόκιο με το οποίο αν τοκιζόταν το καθαρό ποσό που θα πάρει αυτός που δίνει την συν/κή για προεξόφληση, θα έδινε τόκο ίσο με το προεξόφλημα + έξοδα σε χρόνο ίσο με το χρόνο προεξόφλησης.αν λοιπόν η συν/κή προεξοφλείται ν ημέρες πριν τη λήξη της το πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης θα βρεθεί απο τη σχέση: Α ν j K- A = και λύνονται ως προς j : 360 ( 365) ( K - A ) 360 ( K - A ) 365 j = ή j = A v A v Παράδειγμα. Μια τράπεζα προεξοφλεί γραμμάτιο 2000 Ευρώ, 60 ημέρες πριν τη λήξη με επιτόκιο 18% και κρατάει επιπλέον για προμήθεια και για έξοδα 1,5%. Με ποιό πραγματικό επιτόκιο έγινε η προεξόφληση; Λύση Δ=2000 Κ ν θ + ε 2000 x x 1,5 A = K K = Δ = = 1910 Ευρώ.Αντικαθιστώντας τώρα στον τύπο του πραγματικού επιτοκίου θα έχομε: J =0, ή J = 28 % περίπου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ 1. Μια συν/κή ονομαστικής αξίας 3000 Ευρώ που έληγε στις 30 Ιανουαρίου 2003 προεξοφλήθηκε στις προς 30%. Να βρεθεί το εξωτερικό και το εσωτερικό προεξόφλημα καθώς και το καθαρό ποσό που εισέπραξε ο εκδότης της, αν η τράπεζα κράτησε: α) προμήθεια 1,5 % β) πάγια έξοδα 30 Ευρώ. Στις τοκοφόρες ημέρες η τράπεζα υπολογίζει και τις 2 επιπλέον για το νόμιμο περιθώριο πληρωμής της συν/κής. Ετος μικτό. Λύση : ν= 45 Δ = 1200

11 10 Κν 3000 x 45 Ε = = = 112,5 Ευρώ. Δ 1200 Κν 3000 x 45 Ε 1 = = = 108,434 Ευρώ. Δ + ν 1245 Κ ν Κ θ Α = Κ = , = Δ 100 = ,5 = Ευρώ. Κν Κ θ Α 1 = Κ = = 2 816,7 Ευρώ. Δ+ν Αγόρασε κάποιος είδη αξίας 2000 Ευρώ και για να τα εξοφλήσει υπογράφει συν/κή 3μηνης λήξης με επιτόκιο 25%. Να βρείτε την ονομαστική αξία της συν/κής όταν υπολογισθεί και προμήθεια 3% και πάγια έξοδα 5%ο. Εξωτερική προεξόφληση. Ετος μικτό. 3. Να βρείτε την παρούσα αξία συν/κής 2500 Ευρώ, που προεξοφλήθηκε εξωτερικά 120 ημέρες πριν τη λήξη της με επιτόκιο 24% και κρατήσεις: προμήθεια 2%, έξοδα 0,5% κατά μήνα, Ε.Φ.Τ.Ε 3 %. Ετος μικτό. 4.Ενα γραμμάτιο ονομαστικής αξίας 1200 Ευρώ, προεξοφλήθηκε εξωτερικά με ετήσιο επιτόκιο 20%, 75 ημέρες πριν τη λήξη του. Η τράπεζα κράτησε ακομη προμήθεια 1% το μήνα και για ολόκληρους μήνες και 3%ο εισπρακτικά καθώς και 15 Ευρώ για διάφορα έξοδα. Να βρείτε το πραγματικό επιτόκιο προεξόφλησης με έτος μικτό Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Ι Σ Ο Δ Υ Ν Α Μ Α Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Α 1. Ενας έμπορος οφείλει τα εξής γραμμάτια : 800 Ευρώ λήξης σε 70 ημέρες, 500 Ευρώ λήξης σε 50 ημέρες και 900 Ευρώ, λήξης σε 40 ημέρες απο σήμερα. Θέλει να τα αντικαταστήσει με ένα γραμμάτιο που να λήγει σε 60 ημέρες απο σήμερα. Να υπολογισθεί η ονομαστική αξία Κ του ενιαίου γραμματίου εξωτερικώς, με επιτόκιο 18 % και εποχή ισοδυναμίας :α) την ημέρα υπολογισμού β) την κοινή λήξη. Ετος μικτό. 2. Οφείλει κάποιος τα γραμμάτια: α) που λήγει στις 10-4 β) που λήγει στις 10-5 και γ ) που λήγει στις Τα αντικαθιστά με άλλα τρία α ) που λήγει στις 15 Μαρτίου β ) λήξης στις 20 Μαίου και Πότε θα λήγει το τελευταίο ; 3. Πότε πρέπει να λήγει γραμμάτιο αξίας δρχ, το οποίο την 1η Σεπτεμβρίου αντικαθιστά τα εξής γραμμάτια : α ) δρχ. λήξεως 10 Οκτωβρίου και β ) δρχ λήξεως 19 Νοεμβρίου. Επιτόκιο 8 % και έτος πολιτικό. Εποχή ισοδυναμίας : η ημέρα υπολογισμού και η κοινή λήξη.( Απ. 18 Δεκ Δεκ. ) 4. Οφείλει κάποιος γραμμάτιο δρχ. που λήγει την 20 Απριλίου. Για να εξοφλήσει το γραμμάτιο υπογράφει τα εξής γραμμάτια : α) δρχ λήξεως 21 Μαρτίου, β ) λήξεως 10 Απριλίου, γ) δρχ λήξεως 10 Μαίου και δ )

12 11 γραμμάτιο που λήγει στις 10 Ιουνίου. Να βρεθεί η ονομαστική αξία του δ' γραμματίου. Εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη. Επιτόκιο 7% και έτος πολιτικό. ( Απ , 81) ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ) Ανατοκισμός ή σύνθετος τόκος ή σύνθετη κεφαλαιοποίηση λέγεται το σύστημα κεφαλαιοποίησης στο οποίο ο χρόνος τοκισμού χωρίζεται σε ίσες χρονικές περιόδους και ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου προστίθεται στο κεφάλαιο και αποτελεί παραγωγικό κεφάλαιο για τις επόμενες χρονικές περιόδους. Έστω ότι ένα κεφάλαιο Κο ανατοκίζεται για n χρονικές περιόδους ίσες με π με επιτόκιο i για κάθε χρονική περίοδο π. Αν στο τέλος της 1ης χρονικής περιόδου η τελική αξία του κεφαλαίου Κ 0 γίνει Κ 1 θα ισχύει η σχέση : Κ 1 = Κ 0 ( 1+ i ) και στο τέλος της δεύτερης περιόδου θα είναι : Κ 2 = Κ 1 ( 1 + i ). Επίσης στο τέλος της τρίτης : Κ 3 = Κ 2 ( 1 + i ). Ετσι στο τέλος της n χρονικής περιόδου : Κ n = Κ n-1 ( 1 + i ). Πολλαπλασιάζω κατά μέλη και μετά τις απλοποιήσεις θα έχω : Κ n = Κ 0 ( 1 + i ) n (1) Ο αριθμός ( 1 + i ) n λέγεται συντελεστής τελικής αξίας ανατοκισμού και δίνεται απο ειδικούς πίνακες για τα διάφορα i και n. Στον τύπο αυτό το n παριστάνει τον αριθμό των χρονικών περιόδων κατά τις οποίες γίνεται ο ανατοκισμός. Δηλαδή αν ο ανατοκισμός είναι ετήσιος το επιτόκιο θα είναι επίσης ετήσιο και το n θα παριστάνει έτη, αν είναι εξαμηνιαίος θα πρέπει να μετατραπεί ο χρόνος σε εξάμηνα και να αντικατασταθεί το ετήσιο επιτόκιο με το ανάλογο εξαμηνιαίο. Ε ύ ρ ε σ η τ ο υ α ρ χ ι κ ο ύ κ ε φ α λ α ί ο υ Αν είναι γνωστή η τελική αξία Κn και ζητάμε το αρχικό κεφάλαιο Κο, που όταν ανατοκισθεί για n χρονικές περιόδους με επιτόκιο i, γίνεται ίσο με Κn, τότε θα λύσουμε τον τύπο (1) του ανατοκισμού ως προς Κο Κ n Κ ο = ή Κ ο = Κ n ( 1 + i ) -n (2 ) (1 + i ) n Εύρεση του χρόνου ανατοκισμού Για να βρούμε το χρόνο που πρέπει να ανατοκισθεί ένα κεφάλαιο Κο με ετήσιο επιτόκιο i για να γίνει ίσο με Κn, λύνουμε τον τύπο ( 1 ) ως προς n : K n = K o ( 1 + i ) n άρα ( 1 + i ) n = K n / K 0 Απο αυτή τη σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε το n με δύο τρόπους:

13 12 1ος τρόπος:. Απο τους πίνακες. Κάνουμε τη διαίρεση K n / K 0 και αναζητούμε το πηλίκο στους αριθμούς της στήλης i των πινάκων. Αν τον βρούμε η αντίστοιχη γραμμή θα μας δώσει αμέσως το n. Αν δεν τον βρούμε θα πάρουμε τους δύο αριθμούς που ανάμεσα τους βρίσκεται ο αριθμός μας και θα βρούμε τα έτη στα οποία αντιστοιχούν. Υποθέτοντας οτι η αύξηση του χρόνου είναι ανάλογη προς την αύξηση της τιμής του ( 1 + i ) n θα βρούμε τελικά με ακρίβεια το χρόνο. 2ος τρόπος : Αν στη σχέση ( 1 + i ) n δύο μελών θα έχουμε: = K n / K 0 πάρουμε τους λογαρίθμους και των log ( 1 + i ) n = log(k n / K 0 ) ή n log ( 1 + i ) = log (K n / K 0 ) και συνεχίζουμε χρησιμοποιώνται λογαριθμικούς πίνακες ή " κομπιουτεράκι " με πλήκτρο log. Παράδειγμα 4 : Μετά απο πόσα χρόνια, ένα κεφάλαιο 2500 Ευρώ που ανατοκίζεται κάθε χρόνο με επιτόκιο 15% γίνεται 13375,625 Ευρώ. Λύση : Kn = Ko ( 1 + i ) n ή ( 1 + i ) n n = = 5, Στους πίνακες του ( 1 + i ) n αναζητάμε τον αριθμό 5,35025 και ειδικά στη στήλη του 15 %. Τον βρίσκουμε στη γραμμή n = 12. Αρα ο χρόνος είναι 12 έτη. K 0 Παράδειγμα 5 : Μετά πόσο χρόνο ένα κεφάλαιο Ευρώ που ανατοκίζεται κάθε χρόνο με επιτόκιο 18% γίνεται Ευρώ. Λύση : Παίρνουμε τον τύπο Kn = Ko ( 1 + i ) n και λύνουμε ως προς ( 1 + i ) n. ( 1 + i ) n = Kn/ K 0 = / = 3, ος τρόπος : Αναζητούμε τον αριθμό που βρήκαμε στους πίνακες του ( 1 + i ) n και στο επιτόκιο 18%. Ο ίδιος δεν υπάρχει αλλά βρίσκεται ανάμεσα στους 3, και 4, που αντιστοιχούν σε 8 και 9 έτη. Aν υποθέσουμε οτι η αύξηση του χρόνου στο διάστημα ( 6,7 ) έτη είναι ανάλογη με την αύξηση της τιμής του ( 1 + 0,18 ) θα έχουμε την αναλογία: n - n 1 Ψ Ψ = ( 4 ) Τύπος της γραμμικής παρεμβολής. n 2 - n 1 Ψ 2 Ψ 1 Σ'αυτόν τον τύπο n 1 και n 2 είναι τα δύο ακέραια χρονικά διαστήματα που ανάμεσά τους βρίσκεται ο αριθμός που ζητάμε δηλαδή τα 8 και 9 έτη (n 1 = 8, n 2 = 9 ) και Ψ1, Ψ2 είναι οι δύο αριθμοί του πίνακα που ανάμεσά τους βρίσκεται ο αριθμός μας. Επίσης Ψ είναι ο αριθμός μας, δηλαδή το K n / K 0. Με αντικατάσταση, θα έχουμε : n = 3, , , , ή n 8 1 = 0, , = 0, ή

14 13 n -8 = 0, ή n = 8 + 0, = 8, = 8 έτη + 0, x 12 = 8 έτη και 2 μήνες + 0, = 8 έτη 2 μήνες και 28 ημέρες περίπου. 2ος τρόπος : Με χρήση λογαριθμικών πινάκων ή " κομπιουτεράκι " με πλήκτρο log. Με ανάλογο τρόπο γίνεται και η εύρεση του επιτοκίου. Ανάλογα επιτόκια - Ισοδύναμα επιτόκια Ας ονομάσουμε i το επιτόκιο που αναφέρεται σε μια χρονική περίοδο π και i ' το επιτόκιο που αναφέρεται σε υποδιαίρεση της περιόδου π, έστω στην περίοδο 1 i π' = π. Αν i' =, τότε το i' λέγεται ανάλογο επιτόκιο του i για τη χρονική μονάδα π'. Επίσης αν i είναι το επιτόκιο μιας χρονικής περιόδου π = μπ* (η περίοδος π είναι πολλαπλάσιο της περιόδου π* ) και ισχύει : i = μ i* τότε το i* θα λέγεται ανάλογο επιτόκιο του i για τη χρονική μονάδα π*. Π.χ. Αν έχουμε ετήσιο επιτόκιο i = 18%, το ανάλογο εξαμηνιαίο επιτόκιο του i θα είναι: i * = 0,18/2 = 0,09 = 9%. και το ανάλογο τετραμηνιαίο θα είναι i * = 0,18/3 = 0,06 = 6% Επίσης αν έχουμε τριμηνιαίο επιτόκιο i* = 4%, το ανάλογο ετήσιο επιτόκιο του i* θα είναι : i = 4x4 = 16%. Ισοδύναμα επιτόκια Δύο επιτόκιο i και i' που αναφέρονται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους π και π' θα λέγονται ισοδύναμα όταν: ίσα κεφάλαια τοκιζόμενα με τα επιτόκια i και i' δίνουν ίσες τελικές αξίες για οποιοδήποτε χρονικό διάστημα. Για να βρούμε τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα ισοδύναμα επιτόκια δύο διαφορετικών χρονικών περιόδων, χωρίζουμε τη χρονική περίοδο π, στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο i σε λ ίσες χρονικές περιόδους π', όπου λ φυσικός αριθμός. ( Αν το π είναι 1 έτος τότε το λ θα είναι 2,3,4,6, ή 12, οπότε το έτος χωρίζεται αντίστοιχα σε εξάμηνα, τετράμηνα, τρίμηνα, διμηνίες ή μήνες). Ονομάζουμε i λ το επιτόκιο κάθε μιας περιόδου π' που είναι ισοδύναμο με το i. Τότε η τελική αξία ενός κεφαλαίου Κ στο τέλος της πρώτης περιόδου π θα είναι : Κ 1 = Κ (1 + i ). Επίσης η τελική αξία του κεφαλαίου Κ στο τέλος της πρώτης περιόδου π, όταν ανατοκίζεται σε κάθε χρονική 1 περίοδο π' = ---- π θα είναι Κ λ = Κ ( 1 + i λ ) λ λ

15 14 Αφού τα επιτόκια είναι ισοδύναμα, θα πρέπει οι δύο τελικές τους αξίες να είναι ίσες δηλαδή Κ( 1 + i ) = K ( 1 + i λ ) λ άρα 1 + i = ( 1 + i λ ) λ ( 5 ) και 1 + i λ = 1 + i = ( 1 + i ) 1/λ άρα: i λ = 1 + i - 1 ( 6 ) ή i λ = ( 1 + i ) 1/λ - 1 ( 6' ) Υπάρχει πίνακας που μας δίνει τις τιμές του ( 1 + i ) 1/λ για τα διάφορα επιτόκια. Φυσικά μπορούμε να υπολογίσουμε το ( 1 + i ) 1/λ με κομπιουτεράκι που μας δίνει την λ τάξεως ρίζα του 1 + i. Παράδειγμα : Για ετήσιο επιτόκιο i= 18% το ισοδύναμο εξαμηνιαίο είναι : i 2 = ( 1 + 0,18 ) 1/2-1 = 1, = 0, ~ 8,63% το ισοδύναμο τριμηνιαίο θα είναι : i4 = ( 1 + 0,18 ) 1/4-1 =1, = 0, ~ 4,22% το ισοδύναμο μηνιαίο θα είναι: i 12 = ( 1 + 0,18 ) 1/12-1 = 1, = 0, ~ 1,39 % Aν ξέρουμε το επιτόκιο ενός μικρότερου χρονικού διαστήματος και θέλουμε να βρούμε το επιτόκιο ενός πολλαπλάσιου του χρονικού διαστήματος ( Κπ), χρησιμοποιούμε τον τύπο (5) 1 + i = (1 + i λ ) λ ή i = (1 + i λ ) λ -1 ή i (κ) = ( 1 + i ) κ -1 (7) Στον τύπο (7) το i (κ) πήγε στη θέση του i και συμβολίζει το επιτόκιο στο πολλαπλάσιο χρονικό διάστημα Κπ, το i πήγε στη θέση του i λ και συμβολίζει το επιτόκιο στο αρχικό χρονικό διάστημα π και το Κ πήγε στη θέση του λ και είναι ο αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε το χρονικό διάστημα π για να πάρουμε το πολλαπλάσιο του Κπ. Ετσι αν για παράδειγμα έχουμε τριμηνιαίο επιτόκιο 4% τότε το ισοδύναμο (2) 6μηνιαίο θα είναι : i (2) = (1 + 0,04 ) 2-1 = 1, = 0,0816 ~ 8,16% και το ισοδύναμο ετήσιο θα είναι : i (4) = (1 + 0,04 ) 4-1 = 1, = 0,16986 ~ 16,9% Γενίκευση του τύπου του ανατοκισμού Αποδείξαμε οτι ένα κεφάλαιο Κο που ανατοκίζεται για n περιόδους, θα έχει τελική αξία στο τέλος της n περιόδου : Kn = Ko ( 1 + i ) n.

16 15 Αν όμως ένα κεφάλαιο ανατοκίζεται για n χρονικές περιόδους και μ/λ μέρη της περιόδου π, τότε η τελική αξία μετά απο n +μ/λ περιόδους π, θα υπολογισθεί με δύο τρόπους ανάλογα με το πως θα βρούμε τον τόκο στο χρονικό διάστημα μ/λ της περιόδου π. α) Αν ο τόκος στο διάστημα μ π/λ υπολογισθεί με ανατοκισμό, όπως και στις προηγούμενες ακέραιες περιόδους π, τότε θα έχουμε : Kn = Ko (1 + i ) n+ μ/λ = Ko (1 +i) n (1 +i) μ/λ (9) Ο τύπος ( 9) λέγεται εκθετικός τύπος του ανατοκισμού ή εκθετική συνθήκη. Αν η περίοδος π είναι ένα έτος, το χρονικό διάστημα n έτη και μ μήνες θα γραφτεί n + μ/12 και η τελική αξία μετά απο n έτη και μ μήνες θα είναι : Kn = Ko (1 + i ) n+ μ/12 = Ko (1 +i) n (1 +i) μ/12 Αν η περίοδος π είναι ένα εξάμηνο τότε ο τύπος θα γίνει : Kn = Ko (1 + i ) n+ μ/6 = Ko (1 +i) n (1 +i) μ/6 β) Αν ο τόκος στο διάστημα μπ/λ υπολογισθεί με τον τύπο του απλού τόκου ( ενώ στις προηγούμενες ακέραιες περιόδους θα υπολογισθεί με ανατοκισμό τότε η τελική αξία μετά απο n + μ/λπεριόδους π θα γίνει: μ μ Kn = Kn + Kn i = Ko ( 1+ i) n + Ko (1 + i ) n i λ λ μ Κn = Ko ( 1 + i ) n ( i ) ( 10 ) λ Ο τύπος (10) λέγεται μικτός τύπος του ανατοκισμού ή μικτή συνθήκη. Αν η ακέραια περίοδος είναι το έτος ο τύπος (10) θα γίνει : μ Κn = Ko ( 1 + i ) n ( i ) 12 και αν είναι το εξάμηνο : μ Κn = Ko ( 1 + i ) n ( i ) 6 Επίσης αν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη ( ή εξάμηνα ) μήνες και ημέρες τότε οι μήνες μετατρέπονται σε μέρες και εφαρμόζεται ο τύπος με τη μορφή :

17 16 ν Κn = Ko ( 1 + i ) n ( i ) 365 Παράδειγμα : Κεφάλαιο Κ = Ευρώ ανατοκίζεται κάθε χρόνο με i = 16%. Ποιά είναι η τελική του αξία μετά απο 5 χρόνια και 4 μήνες ; Λύση : α) με τον εκθετικό τύπο : Kn = Ko (1 + i ) 5+ 4/12 = x1,16 5 x1,16 4/12 = x 2, x 1, = , 8285 β ) με το γραμμικό τύπο: 4 Kn = ( 1 + 0,16 ) 5 ( x 0,16 ) = 12 = x 1,16 5 ( 1 + 0,0533 ) = x 2, x 1,0533 = , Ασκήσεις 1. Το ετήσιο επιτόκιο τοκισμού ενός κεφαλαίου είναι 8%. Να υπολογισθεί το ισοδύναμο εξαμηνιαίο τετραμηνιαίο τριμηνιαίο και μηνιαίο. Λύση : Το ετήσιο επιτόκιο είναι 8%. Το ισοδύναμο εξαμηνιαίο είναι : i 2 = ( 1 + i ) 1/λ - 1 = ( 1 + 0,08 ) 1/2-1 = 1,08 6/12-1 = 0, = 3,92 %. To ισοδύναμο τετραμηνιαίο : i 3 = ( 1 + 0,08 ) 1/3-1 = ( 1,08 ) 4/12-1 = 0, = 2,598 %. To ισοδύναμο τριμηνιαίο : i 4 = ( 1+ 0,08 ) 1/4-1 = 1,08 3/12-1 = 0, = 1,94 %. To ισοδύναμο μηνιαίο : i 12 = ( 1+ 0,08 ) 1/12-1 = 0, = 0,64 %. 2. Να υπολογισθεί το εξαμηνιαίο πραγματικό επιτόκιο, το οποίο είναι ισοδύναμο προς το πραγματικό ετήσιο του 6%. Λύση : Το εξαμηνιαίο ( πραγματικό ) επιτόκιο που είναι ισοδύναμο με ετήσιο ( πραγματικό ) 6% είναι : i 2 = ( 1,06) 1/2-1 = 1,06 6/12-1 = 0, = 2,96 % 3. Το ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο είναι 10%. Να υπολογισθεί το εξαμηνιαίο ονομαστικό επιτόκιο και το ετήσιο πραγματικό επιτόκιο αν ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο. Λύση : Ισχύει γενικά :ετήσιο ονομαστικό j = λi λ και για το εξαμηνιαίο j = 2i 2 = 10% = 0,10. Αρα i 2 = 0,10/2 = 0,05 Eπίσης αν ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο ισχύει j = 4 i 4 = 0,10.

18 17 Αρα i 4 = 0,10/4 = 0,025. Kαι i = ( 1 + 0,025 ) 4-1 = 1, =0, = 10,38 % 4. Το ετήσιο επιτόκιο είναι 16%, να βρεθεί το ανάλογο τριμηνιαίο. Λύση : Αν i = 16% = 0,16 το ανάλογο τριμηνιαίο είναι : 0,16/4 = 0,04 = 4 %. 5. Το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 2%. Ποιό είναι το ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο. Λύση : Αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 2 % δηλ. i 4 = 0,02 τότε απο τη σχέση : ( 1 + i λ ) λ = 1 + i, θα έχουμε ( 1 + 0,02 ) 4 = 1 + i και i = ( 1 + 0,02 ) 4-1 = 0, = 8,24 %. 6. Ο ανατοκισμός γίνεται κάθε τρίμηνο και το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 6%. Να βρεθούν τα εξής επιτόκια :α). Το ισοδύναμο ετήσιο. β) Το ισοδύναμο εξαμηνιαίο. γ) Το ισοδύναμο μηνιαίο. δ) Το ανάλογο ετήσιο. ε) Το ανάλογο εξαμηνιαίο. στ) Το ανάλογο μηνιαίο. Λύση : Αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 6 % τότε : α) Το ισοδύναμο ετήσιο είναι : i = ( 1 + i 4 ) 4-1 = ( 1 + 0,06 ) 4-1 = 0, = 26,25%. β) Το ισοδύναμο εξαμηνιαίο είναι : i = ( 1 + i 2 ) 2-1 = ( 1+ 0,06) 2-1 = 0,1236 = 12,36 %. γ) Το ισοδύναμο μηνιαίο είναι : i 3 = ( 1 + 0,06 ) 1/3-1 = ( 1,06 ) 4/12-1 = 0, = 1,96 %. δ) Το ανάλογο ετήσιο είναι : 0,06 x 4 = 0,24 = 24 %. ε) Το ανάλογο εξαμηνιαίο είναι :0,06 x 2 = 0,12 = 12 %. στ) Το ανάλογο μηνιαίο είναι : 0,06 : 3 = 0,02 = 2 %. Προεξόφληση τίτλου με ανατοκισμό Αν ένα γραμμάτιο, ονομαστικής αξίας Κ προεξοφλείται με επιτόκιο προεξόφλησης i που αναφέρεται σε χρονική περίοδο π και η προεξόφληση γίνεται πριν απο n τέτοιες χρονικές περιόδους π, το προεξόφλημα υπολογίζεται με ανατοκισμό. Η παρούσα αξία Α του γραμματίου την ημέρα της προεξόφλησης θα είναι το ποσό που αν ανατοκισθεί για n χρονικές περιόδους με επιτόκιο i θα γίνει ίσο με Κ. Δηλαδή χρησιμοποιούμε μόνο εσωτερική προεξόφληση γιατί η εξωτερική μπορεί να μας οδηγήσει και σε τιμές του προεξοφλήματος μεγαλύτερες (! ) της ονομαστικής αξία.

19 18 Η παρούσα αξία θα υπολογισθεί ως εξής: Θα πρέπει : Κ = Α ( 1 + i ) n άρα A = Κ/ ( 1 + i ) n ή A = K ( 1 + i) n ( 13 ) Το προεξόφλημα Ε θα υπολογισθεί ως εξής : Θα πρέπει : Ε = Κ - Α δηλ. E = K - K( 1 + i) n ( 14 ) Παράδειγμα : Ενα κεφάλαιο λήγει μετά 3 έτη και προεξοφλείται με ετήσιο επιτόκιο 16%. Να βρείτε την παρούσα αξία και το προεξόφλημα. Λύση : A= K(1 + i ) -n = x 1,16-3 = x 0, = ,85. Αρα το προεξόφλημα θα είναι : Ε = Κ - Α = ,328,85 = ,15. Ισοδύναμα γραμμάτια στον ανατοκισμό Οπως και στα προβλήματα βραχυπρόθεσμων οικονομικών πράξεων έτσι και στον ανατοκισμό, ένα κεφάλαιο θεωρείται ισοδύναμο με άλλα κεφάλαια σε μια ορισμένη στιγμή αν τη στιγμή αυτή, η παρούσα αξία του κεφαλαίου που αντικαθιστά τα άλλα, είναι ίση με το άθροισμα των παρουσών αξιών των άλλων. Παρούσα αξία του Κ = ( παρ.αξ.κ 1 ) + ( παρ.αξ. Κ 2 ) ( παρ. αξ Κ μ ) Δήλ. αν έχω τα κεφάλαια Κ 1, Κ 2,..., Κ μ που πρέπει να πληρωθούν μετά απο n 1, n 2,...,n μ έτη και αντικατασταθούν απο ένα κεφάλαιο Κ που θα λήγει μετά απο n έτη με επιτόκιο i η εξίσωση ισοδυναμίας θα γίνει: α) Με εποχή ισοδυναμίας την ημέρα υπολογισμού: Κ (1 +i ) -n K 1 ( 1 + i ) n 1 + K 2 ( 1 + i ) n K μ ( 1 + i ) n μ (16) β ) Με εποχή ισοδυναμίας την κοινή λήξη : K = K 1 ( 1 +i ) -( n 1-n) + K 2 ( 1+i ) -(n 2-n) K μ ( 1 + i ) -( n μ-n) Απο τις σχέσεις αυτές υπολογίζουμε το Κ ή το n όταν δίνονται τα υπόλοιπα μεγέθη. Παράδειγμα : Ενας έμπορος οφείλει Ευρώ, που πρέπει να τα πληρώσει μετα απο 4 έτη, Ευρώ που πρέπει να τα πληρώσει μετά απο 8 έτη και Ευρώ που πρέπει να τα πληρώσει μετά απο 10 έτη. Τι ποσό θα πληρώσει μετά απο 6 έτη για να τα εξοφλήσει όλα αν το επιτόκιο είναι 6% και εποχή ισοδυναμίας α) η ημέρα υπολογισμού; β) η κοινή λήξη ; Λύση : α) εποχή ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού. Εφαρμόζω τον τύπο ( 16 ).

20 19 Κ ( 1 + 0,06 ) 6 = K1 ( 1 + 0,06) 4 + K2 ( 1+ 0,06 ) 8 + K3 ( 1 + 0,06 ) 10 Κx 0, = x 0, x 0, x 0, ή K x 0, = , , ,33 K x 0, = ,8 και K = ,87. Aσκήσεις στον Ανατοκισμό 1. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου Ευρώ, που ανατοκίζεται κάθε 6 μήνες για 10 έτη με ετήσιο επιτόκιο 8%. Αν στο τέλος των 5 πρώτων ετών προεξοφλήσει το κεφάλαιο που βρέθηκε, ποιά θα είναι η παρούσα αξία του και ποιό το προεξόφλημα; Λύση : Αν θεωρήσουμε το 8% ετήσιο ανάλογο του εξαμηνιαίου, τότε το εξαμηνιαίο θα είναι : i /2 = 0,08/2=0,04 n = 10 έτη = 20 εξάμηνα Kn = Ko ( 1 + i/2) 20 = x ( 1 + 0,04) 20 = = x 2,1912 = Ευρώ. Αν το κεφάλαιο Κ n προεξοφληθεί 5 έτη πριν τη λήξη του θα γίνει : Κ = Κn ( 1 + 0,04 ) -10 διότι τα 5 έτη = 10 εξάμηνα Κ = x 0,6756 = ,44 Ευρώ. Αρα το προεξόφλημα, δηλαδή οι τόκοι των 5 τελευταίων ετών, θα είναι Ε = ,44 = ,56 Ευρώ. 2. Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου Ευρώ, που ανατοκίζονται για 8 έτη και 4 μήνες με 10%. Λύση : Κο = , i = 10%= 0,10, n = 8 έτη + 4 μήνες Kn = Ko ( 1+ i ) n+μ/12 = ( 1 + 0,10 ) 8+4/12 = = x 1,10 8 x 1,10 4/12 = = x 2, x 1, = ,07 Ευρώ. 3. Nα βρεθεί η τελική αξία Ευρώ, μετά απο 10 έτη αν ανατοκίζονται κάθε εξάμηνο με 3μηνιαίο επιτόκιο 2 % αν α) το τριμηνιαίο επιτόκιο 2% είναι το ανάλογο του εξαμηνιαίου. β) αν είναι το ισοδύναμο του εξαμηνιαίου. Λύση : α) αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι ανάλογο του εξαμηνιαίου, τότε το εξαμηνιαίο θα είναι 4% και η τελική αξία, μετά απο 10 έτη ή 20 εξάμηνα: Κn = Ko ( 1 + 0,04 ) 20 = x 2, = ,46 Ευρώ. β) αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι το ισοδύναμο του εξαμηνιαίου τότε η τελική αξία μετά απο 10 έτη ή 4x10 = 40 τρίμηνα θα είναι : Κn = Ko ( 1 + 0,02 ) 40 = x 2,20804 = Ευρώ. 4. Να βρείτε το ποσό που αν ανατοκισθεί ανά τρίμηνο θα γίνει μετά απο 5 έτη και 2 μήνες ,09 Ευρώ, αν το τριμηνιαίο επιτόκιο είναι 6%. Λύση: i = 0,06, Kn = ,09 δρχ, Κο = ; n = 5 έτη + 2 μήνες = 20 τρίμηνα + 2/3 του τριμήνου. Kn = Ko ( 1 + i ) n άρα Ko = Kn/ (1 + i ) n = Kn ( 1 + i ) -n Αρα Κο = ,09 (1 + 0,06 ) - (20 + 2/3 ) = ,09 x 1,06-20 x 1,06-2/3 =

21 ,09 x 1,06-20 x 1,06-1+1/3 = ,09 x 1,06-21 x 1,06 1/ ,09 x 1,06-21 x 1,06 4/12 = ,09 x 0, x 1, = Ευρώ. 5. Ποιό κεφάλαιο πρέπει να καταθέσουμε με ανατοκισμό, ώστε μετά απο 10 έτη να γίνει Ευρώ, αν τα 5 πρώτα έτη ο ανατοκισμός είναι 6 μηνιαίος με εξαμηνιαίο επιτόκιο 8% και μετά γίνει ετήσιος με ετήσιο επιτόκιο 10% ; Λύση : Τα πρώτα 5 έτη θα πάρουμε ένα κεφάλαιο Κ1 = Κο ( 1 + 0,08 ) 10 διότι n = 10 εξάμηνα.αυτό το κεφάλαιο θα ανατοκισθεί με ετήσιο ανατοκισμό τα 5 επόμενα έτη και θα γίνει Κ2 = Κ1 ( 1 + 0,10 ) 5 θα πρέπει Κ2 = Ευρώ. Αρα : Κο ( 1 + 0,08 ) 10 ( 1 + 0,10 ) 5 = Ευρώ. ή Κο = 3.000/ 2, x 1,61051 = , 13 Ευρώ. 6. Κάποιος κατέθεσε σε μια τράπεζα Ευρώ. για 8 έτη και 3 μήνες. Τα πρώτα 3 έτη το ποσό τοκίσθηκε με ανατοκισμό ετήσιο με επιτόκιο 12 %. Το υπόλοιπο χρονικό διάστημα έγινε ανατοκισμός κάθε εξάμηνο με ονομαστικό επιτόκιο 20%. Να βρεθεί η τελική αξία του κεφαλαίου. Λύση : Κ1 = x ( 1 + 0,12 ) 3 = x 1, = 1.404,928 To υπόλοιπο διάστημα το Κ1 τοκίσθηκε με ονομαστικό 20% άρα i = 0,2/2 = 0,10 το κάθε εξάμηνο για χρονικό διάστημα 5 έτη και 3 μήνες δηλ /2 εξάμηνα. Αρα η τελική αξία θα είναι : Κn = K1 ( 1 + 0,10 ) 10+1/2 = K1 x 1,1 10 x 1,1 1/2 = 1.404,928 x 2, x 1, = 3.821,8813 Ευρώ. 7. Oφείλει κάποιος να πληρώσει μετά απο 5 χρόνια Ευρώ.. Συμφωνεί όμως να πληρώσει σε 2 χρόνια απο σήμερα δρχ και 6 μήνες αργότερα Ευρώ. και να εξοφλήσει το χρέος του ένα χρόνο νωρίτερα. Τι ποσό πρέπει να πληρώσει για την εξόφληση του χρέους ; Ανατοκισμός ετήσιος και ετήσιο επιτόκιο 20 %. 8. Να βρεθεί το κεφάλαιο, το οποίο όταν ανατοκίζεται κάθε χρόνο με ετήσιο επιτόκιο 20 % δίνει στο τέλος του τέταρτου έτους τόκο Ευρώ. ( απ Ευρώ ) 9. Να βρεθεί το κεφάλαιο το οποίο όταν ανατοκίζεται κάθε τετράμηνο με τετραμηνιαίο επιτόκιο 5%, γίνεται σε 5 χρόνια Ευρώ. (απ Ευρώ ) 10. Μια βιοτεχνία δανείσθηκε ένα ποσό Α με ετήσιο επιτόκιο 16% και μετά 2 χρόνια δανείσθηκε με τους ίδιους όρους ποσό Β διπλάσιο απο το πρώτο. Αν η βιοτεχνία εξόφλησε τα δάνεια 5 χρόνια μετά τη σύναψη του δεύτερου δανείου πληρώνοντας Ευρώ. Να βρεθούν τα ποσά Α και Β. ( απ. Α = Ευρώ & Β = Ευρώ) 11. Μια επιχείρηση δανείσθηκε κεφάλαιο Κ για 7 χρόνια με συμφωνία ο ανατοκισμός να είναι ετήσιος τα 3 πρώτα χρόνια με ετήσιο επιτόκιο 16% και τα υπόλοιπα να είναι πάλι ετήσιος αλλά με ετήσιο επιτόκιο 18%. Να βρεθεί το Κ αν η επιχείρηση πλήρωσε μετά απο τα 7 χρόνια Ευρώ. ( απ Ευρώ)

22 21 ΧΡΗΜΑΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (Ρ Α Ν Τ Ε Σ ) Ράντα ( ή Reddita ή Rente ή Rent), λέγεται μια σειρά ίσων κεφαλαίων που τα καταθέτουμε σε ίσα χρονικά διαστήματα για να αποκτήσουμε ένα κεφάλαιο ή για να εξοφλήσουμε ένα χρέος. Τελική αξία ληξιπρόθεσμης ράντας Η τελική αξία μιας ληξιπρόθεσμης ράντας με όρο R θα είναι : R [( 1 + i ) n - 1] Vτελ = R Sn ή Vτελ = i όπου ( 1 i) n 1 Sn = i είναι ο συντελεστής τελικής αξίας ράντας. Τελική αξία προκαταβλητέας ράντας Η τελική αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με όρο R θα είναι : R ( 1 + i ) [ ( 1 + i ) n -1 ] V' τελ = R ( 1 + i ) S n = ( 2 ) i Αρχική ( ή παρούσα) αξία ληξιπρόθεσμης ράντας Η αρχική ή παρούσα αξία μιας ληξιπρόθεσμης ράντας με όρο R θα είναι : Vαρχ = R α n = R 1 (1 i) i n όπου α n = 1 (1 i) i n είναι ο συντελεστής παρούσας αξίας ράντας. Αρχική ( ή παρούσα) αξία προκαταβλητέας ράντας. Η αρχική ή παρούσα αξία μιας προκαταβλητέας ράντας με όρο R θα είναι : V αρχ = R ( 1 + i ) α n = R ( 1 + i ) 1 (1 i) i n

23 22 Τακτοποίηση ράντας Πολλές φορές, όταν ζητάμε το πλήθος n των όρων της ράντας και δεν βγαίνει ακέραιος αριθμός με τη μέθοδο που περιγράψαμε προηγουμένως, μπορούμε να τροποποιήσουμε τον όρο R,ώστε να αποκτήσει η ράντα ακέραιο αριθμό όρων, την πλησιέστερη ακέραια τιμή του n, μικρότερη ή μεγαλύτερη, απο τον αριθμό που βρήκαμε. Η τροποποίηση αυτή, λέγεται τακτοποιήση ράντας και γίνεται όπως φαίνεται παρακάτω: Εφαρμογή : Για να εξοφλήσουμε ένα δάνειο με επιτόκιο 18%, συμφωνήσαμε να πληρώνουμε κάθε χρόνο 4250 Ευρώ και η πρώτη δόση να πληρωθεί ένα ( 1 ) έτος μετά τη σύναψη του δανείου. Σε πόσα χρόνια θα εξοφλήσουμε το δάνειο; Λύση : Οι δόσεις του δανείου είναι άμεση ληξιπρόθεσμη ράντα με R = 4250, i = 18% και V αρχ = Απο τον τύπο Vαρχ = R α n i έχουμε : α n i = V αρχ /R = = 4, O αριθμός αυτός δεν υπάρχει στον οικονομικό πίνακα στη στήλη του 18%, αλλά βρίσκεται ανάμεσα στους 4, και 4, που αντιστοιχούν στις γραμμές n = 11 και n= 12. Αρα θα γίνει τακτοποίηση της ράντας, με έναν απο τους παρακάτω τρόπους : α) θα αυξήσουμε τον όρο R και θα πάρουμε ράντα με n = 11 όρους. Ο νέος όρος θα είναι: V αρχ R = = = ,8 α 11 18% 4, β) θα ελαττώσουμε τον όρο R και θα πάρουμε ράντα με n = 12 όρους. Ο νέος όρος θα είναι R = V αρχ /α = / 4, = ,9. γ) θα πάρουμε ράντα με n = 11όρους ίσους με R και έναν επιπλέον όρο, που θα πληρωθεί μια περίοδο μετά απο τον 11ο όρο και θα είναι ίσος με τη διαφορά της δοθείσας V αρχ μείον την αρχική αξία ράντας με 11 όρους, αν θεωρήσουμε ότι η διαφορά αυτή ανατοκίζεται επί 12 έτη. Ο επιπλέον όρος θα είναι δηλαδή: R ' = [ α ] ( 1 + 0,18 ) 12 = 1544,8165.

24 23 Μέλλουσες ράντες Στις μέλλουσες ράντες, η αρχή βρίσκεται λ περιόδους μετά απο την εποχή υπολογισμού. Για να βρούμε την αρχική αξία ( παρούσα αξία ) της μέλλουσας ράντας, βρίσκουμε την αρχική αξία της άμεσης ράντας ( με τα ίδια στοιχεία ) και την προεξοφλούμε για λ περιόδους πριν την αρχή της. Οπότε θα έχουμε τους τύπους: Για ληξιπρόθεσμη μέλλουσα: Vλ = R α n i ( 1 + i ) -λ ( 10 ) V λ = R a n i ( 1 + i ) -λ = R α n i ( 1 + i ) ( 1 + i ) -λ Για προκαταβλητέα μέλλουσα V ' λ = R α n i ( 1 + i ) -λ+1 ( 11 ) Εφαρμογή 1 : Ενας πατέρας κατέθεσε όταν γεννήθηκε το παιδί του ένα ποσό στην τράπεζα, ώστε όταν το παιδί του γίνει 15 ετών να αρχίσει να παίρνει το χρόνο για μια δεκαετία για τα έξοδα των σπουδών του. Τι ποσό κατέθεσε αν το επιτόκιο ήταν 17% ; Λύση : Ο πατέρας κατέθεσε ένα ποσό ίσο με την αρχική αξία μιας μέλλουσας ράντας, που ο πρώτος όρος της θα καταβληθεί στο τέλος του 15ου έτους. Δηλαδή : V λ = R α ( 1 + 0,17 ) -14 = x 4, x 0, = = ,82 Ευρώ. Εφαρμογή 2 : Ενας υπάλληλος κατέθεσε ένα ποσό σε μια τράπεζα, ώστε όταν πάρει τη σύνταξή του, να εισπράττει Ευρώ το χρόνο για 10 χρόνια. Τι ποσό κατέθεσε αν τα χρήματά του ανατοκίζονται με 17% το χρόνο και ο υπάλληλος θα πάρει σύνταξη 6 χρόνια μετά την κατάθεση των χρημάτων; Λύση : Το ποσό που κατέθεσε είναι η αρχική αξία μέλλουσας προκαταβλητέας ράντας. Vλ = R α n i ( 1 + i ) -λ+1 = x 4, x 1,17-5 = ,8. Αρξάμενες ράντες Στις αρξάμενες ράντες, η αρχή βρίσκεται λ περιόδους πριν απο την εποχή υπολογισμού. Για να βρούμε την αρχική αξία ( παρούσα αξία ) της αρξάμενης ράντας θα ανατοκίσουμε την αρχική αξία της άμεσης ράντας με τα ίδια στοιχεία, για λ περιόδους. Δηλαδή: Για ληξιπρόθεσμη αρξάμενη V λ = R α n i ( 1 + i ) λ ( 12 )

25 24 Και για προκαταβλητέα αρξάμενη V ' λ = R an i ( 1 + i ) λ = R α n i ( 1 + i ) ( 1 + i ) λ ή V ' λ = R α n i ( 1 + i ) λ+1 ( 13 ) Εφαρμογή 1 : Να βρείτε την αρχική αξία ράντας ληξιπρόθεσμης που αποτελείται απο 20 όρους όταν ο κάθε όρος είναι Ευρώ, n περίοδος ένα έτος, το επιτόκιο 12% και ο πρώτος όρος πληρώθηκε πριν απο πέντε χρόνια. Λύση : V λ = R α 15 0,12 ( 1 + 0,12 ) 5 = x 6,81087 x 1,76234 = ,137 Εφαρμογή 2: Να βρείτε την αρχική αξία ράντας προκαταβλητέας, που αποτελείται απο 20 όρους των Ευρώ, επιτόκιο 12% και που άρχισε πριν απο 5 χρόνια. Λύση : V ' λ = R α 20 0,12 ( 1 + i ) 6 = x 7,46944 x 1,97382 = ,66 Διηνεκείς ράντες Διηνεκείς λέγονται οι ράντες με άπειρο πλήθος όρων. Για να βρούμε την αρχική αξία μιας διηνεκούς ράντας θα αθροίσουμε τις αρχικές αξίες των όρων της. Για τη μοναδιαία ληξιπρόθεσμη ράντα με ετήσιο επιτόκιο i, θα έχουμε: α = ( 1+ i ) -1 + ( 1 + i ) ( 1 + i ) -n +... To δεύτερο μέλος είναι το άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο ( 1 + i ) -1 και λόγο ( 1 + i ) Xρησιμοποιούμε τον τύπο S = 1 1 (1 i) 1 Αρα α n i = = 1 1 (1 i) i Kαι αν έχουμε όρο R, τότε ισχύει ο παρακάτω τύπος : Παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης διηνεκούς: V = R i ( 14 ) ( 15) Παρούσα αξία προκαταβλητέας διηνεκούς όρου R: V ' = R ( 1 i) i ( 16 )

26 25 Δ Α Ν Ε Ι Α. Ε Ν Ι Α Ι Α Δ Α Ν Ε Ι Α Δάνειο λέγεται ένα κεφάλαιο που δίνεται για ένα χρονικό διάστημα σε φυσικά ή σε νομικά πρόσωπα με ορισμένους όρους, οι οποίοι καθορίζονται απο πριν, με κοινή συμφωνία των δύο συμβαλλομένων μερών. Διάρκεια του δανείου λέγεται το χρονικό διάστημα απο την ημέρα που δόθηκε το δάνειο μέχρι την ημέρα που θα επιστραφεί. Απόσβεση του δανείου λέγεται η διαδικασία που ακολουθείται κατά τη διάρκεια του δανείου με σκοπό την εξόφληση του. Οι διάφοροι τρόποι απόσβεσης λέγονται και συστήματα απόσβεσης δανείων. Tα δάνεια χωρίζονται : 1. Σε βραχυπρόθεσμα διαρκείας μέχρι ένα έτος, που ανήκουν στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές συναλλαγές και τα σχετικά προβλήματα λύνονται με τις μεθόδους που αναπτύξαμε στα πρώτα κεφάλαια ( μέθοδοι απλού τόκου ). 2. Σε μακροπρόθεσμα, που διαρκούν πάνω απο ένα έτος και τα σχετικά προβλήματα λύνονται με τις μεθόδους του ανατοκισμού ( σύνθετος τόκος ). Στην τραπεζική πρακτική συναντάμε και ενδιάμεση κατηγορία, τα μεσοπρόθεσμα δάνεια διάρκειας απο ένα έως πέντε έτη. Αυτά όμως δεν αποτελούν ιδιαίτερη κατηγορία γιατί πάλι τα σχετικά προβλήματα λύνονται με ανατοκισμό. ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΣΜΑ ΔΑΝΕΙΑ Σ' αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τα μακροπρόθεσμα δάνεια. Κατ'αρχήν θα τα ξεχωρίσουμε σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τα ΕΝΙΑΙΑ και τα ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΑ. ΕΝΙΑΙΟ λέγεται ένα δάνειο, όταν ο δανειστής είναι ένας. ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟ λέγεται ένα δάνειο, όταν οι δανειστές είναι πολλοί. Τόσο τα ενιαία, όσο και τα Ομολογιακά, χωρίζονται σε εξοφλητέα όταν μετά απο ένα συμφωνημένο χρονικό διάστημα εξοφλούνται και πάγια όταν δεν υπάρχει προκαθορισμένος χρόνος εξόφλησης, οπότε ο οφειλέτης μπορεί να εξοφλήσει το δάνειο οποιαδήποτε στιγμή ή να μην το εξοφλήσει και να πληρώνει συνεχώς τους τόκους. Πάγια δάνεια συνάπτονται μεταξύ κράτους και διαφόρων οικονομικών οργανισμών, δήμων, κοινοτήτων ή και μεταξύ κρατών. Εμείς θα ασχοληθούμε με εξοφλητέα δάνεια. ΑΠΟΣΒEΣΗ ΕΝΙΑΙΩΝ ΔΑΝΕΙΩΝ ΙΙ. ΔΑΝΕΙΑ ΕΝΙΑΙΑ ΕΞΟΦΛΗΤΕΑ ΤΟΚΟΧΡΕΩΛΥΤΙΚΩΣ Για να εξοφληθεί ένα ενιαίο δάνειο τοκοχρεωλυτικώς, ο οφειλέτης πληρώνει στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου ένα ποσό που λέγεται δόση του δανείου ή τοκοχρεωλύσιο του δανείου. Αυτό το ποσό αποτελείται απο δύο μέρη. Το ένα είναι για την πληρωμή των τόκων τηςπεριόδου ( τόκος ) και το άλλο είναι για την εξόφληση του κεφαλαίου του δανείου ( χρεωλύσιο ). Υπάρχουν πολλοί τρόποι ( συστήματα ) απόσβεσης ενιαίων δανείων τοκοχρεωλυτικώς. Εδώ θα εξετάσουμε τους σπουδαιότερους:

27 26 1. Σύστημα απόσβεσης ίσων μερών κεφαλαίου. Είναι ένα απλό σύστημα, που εφαρμόζεται για δάνεια μικρής διάρκειας. Το χρεωλύσιο είναι το 1 /n του κεφαλάιου Κο τους δανείου ( Ρ = K/n ) και οι τόκοι υπολογίζονται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου επί του κεφαλαίου που έχει απομείνει κάθε φορά. Παράδειγμα : Κάποιος δανείσθηκε και συμφώνησε να κάνει απόσβεση του δανείου με τη μέθοδο ίσων μερών κεφαλαίου. Το επιτόκιο δανεισμού είναι 14 % ( ετήσιο ), η διάρκεια του δανείου 6 έτη και οι δόσεις θα πληρώνονται στο τέλος κάθε έτους. Να συντάξετε τον πίνακα απόσβεσης του δανείου. Λύση : Το χρεωλύσιο θα είναι Ρ = K/n = 6.000/6 = Aρα θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα απόσβεσης: Ετος Τόκος Χρεωλύσιο Τοκοχρεωλύσιo Εξοφλημένο ποσό Υπόλοιπο 1ο ο ο ο ο ο Σύστημα απόσβεσης σταθερού χρεωλύσιου. Σύμφωνα με το σύστημα αυτό ο οφειλέτης πληρώνει στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου στον τόκο Κο i ο οποίος παραμένει σταθερός μέχρι την εξόφληση. Επίσης πληρώνει ένα ποσό που λέγεται χρεωλύσιο και είναι τόσο ώστε ανατοκιζόμενο για όλες τις χρονικές περιόδους με το ίδιο επιτόκιο i να μας δώσει τελική αξία ίση με το κεφάλαιο Κο του δανείου. Οπότε το τοκοχρεωλύσιο δηλαδή η κάθε δόση του δανείου θα είναι τόσο ώστε η τελική του αξία ( τελική αξία ληξιπρόθεσμης ράντας n όρων με επιτόκιο i να είναι : R S n i = Ko i S n i + Ko δηλαδή να είναι ίση με το άθροισμα της τελικής αξίας των τόκων συν το κεφάλαιο Κο του δανείου. Και αν λύσουμε ως προς R :

28 27 1 R = Ko i + Ko ( 5 ) S n i και αν ονομάσουμε Ρ n i το χρεωλύσιο της μιας ( 1 ) νομισματικής μονάδας θα έχουμε : R = Ko i + K o Ρ n i ( 5' ) Παράδειγμα: Ενας δήμος πήρε δάνειο για 5 έτη με ίσες ετήσιες τοκοχρεωλυτικές δόσεις και ετήσιο επιτόκιο 12 %. Να βρείτε το ετήσιο τοκοχρεωλύσιο και να συντάξετε τον πίνακα απόσβεσης του δανείου. Λύση : Το ετήσιο τοκοχρεωλύσιο θα είναι : R = Ko i + Ko P n i = = x 0, x 0, = = ,970 = ,970 (τόκος ) ( χρεωλύσιο) Πίνακας απόσβεσης δανείου Ετός Τοκοχρ/σιο Τόκος Χρεωλύσιο Εξοφλημένο Υπόλοιπο ποσό 1ο , , ,030 2ο , , , ,141 3ο , , , ,668 4ο , , , ,739 5ο , , ,982 0 Διευκρινίσεις : Ο τόκος, το χρεωλύσιο, άρα και το τοκοχρεωλύσιο παραμένουν σταθερά σ'αυτή τη μέθοδο. Για να βρούμε το εξοφλημένο ποσό εργαζόμαστε ως εξής:στο τέλος του πρώτου έτους το εξοφλημένο ποσό είναι το χρεωλύσιο. Γιαν κάθε επόμενο έτος πολλαπλασιάζουμε το εξοφλημένο ποσό του προηγούμενου έτους επί ( 1 + i ) ( συντελεστής ανατοκισμού ) επειδή ανατοκίζεται για μια ακόμη χρονική περίοδο και προσθέτουμε το χρεωλύσιο. Συνεχίζουμε έτσι μέχρις ότου γίνει πλήρης απόσβεση του δανείου. 2. Σύστημα απόσβεσης με τη μέθοδο του προοδευτικού χρεoλυσίου ( Γαλλική μέθοδος ) Σύμφωνα με το σύστημα αυτό ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου υπολογίζεται πάνω στο ανεξόφλητο ποσό του δανείου. Και επειδή το ανεξόφλητο ποσό συνεχώς

29 28 μειώνεται κατά το χρεωλύσιο της προηγούμενης περιόδου, ο τόκος μειώνεται κατά τον τόκο του χρεωλύσιου της προηγούμενης περιόδου. Το χρεωλύσιο κάθε περιόδου είναι η διαφορά : Τοκοχρεωλύσιο μείον τον τόκο. Αν ο τόκος μειώνεται, το χρεωλύσιο θα αυξάνεται σε κάθε περίοδο γι'αυτό και η μέθοδος αυτή λέγεται μέθοδος του προοδευτικού χρεωλυσίου. Συγκεκριμένα τα χρεωλύσια αποτελούν αύξουσα γεωμετρική πρόοδο της οποίας οι όροι είναι: P1 = P n i P2 = P1 ( 1 + i ) P3 = P1 ( 1 + i )²... Pμ = P1 ( 1+ i ) μ-1 Το εξοφλημένο ποσό Εμ στο τέλος της μ - περιόδου θα είναι ίσο με το άθροισμα των χρεωλυσίων των προηγουμένων περιόδων : Εμ = Ρ1 + Ρ Ρμ = Ρ1 + Ρ1 ( 1 + i ) + P1 ( 1 + i ) ²+...+ P1 ( 1 + i ) μ-1 P1 [ 1 + ( 1+ i ) + ( 1 + i ) ² ( 1 + i ) μ-1 ] = = P1 S μ i = K P n i S μ i δηλαδή: Εμ = Κ P n i S μ i ( 6 ) To ανεξόφλητο υπόλοιπο στο τέλος της μιοστής περιόδου είναι : Νμ = Κ - Κ Ρ n i S μ i ( 7 ) και ο τόκος της μιοστής περιόδου είναι : Ιμ = [ Κ - Κ Ρ n i S μ i ] i ( 8 ) Παράδειγμα : Να λυθεί το πρόβλημα του προηγούμενου παραδείγματος με τη μέθοδο του προοδευτικού χρεωλυσίου : Λύση : Κ= , i = 0,12, n = 5 To ετήσιο τοκοχρεωλύσιο είναι : R = Ko i + Ko P n i = = δρχ Πίνακας απόσβεσης δανείου με τη μέθοδο προοδευτικού χρεωλυσίου Τέλος έτους Τοκοχρ/σιο Τόκος Χρεωλύσιο Εξοφλημένο ποσό Ανεξόφλητο ποσό , , , Διευκρινίσεις: - Ο τόκος κάθε έτους θα βρεθεί αν πολλαπλασιάσουμε το ανεξόφλητο ποσό επί το επιτόκιο ( K i ) - Το εξοφλημένο ποσό είναι κάθε φορά το άθροισμα των χρωλυσίων. - Το ανεξόφλητο ποσό είναι το υπόλοιπο του Κο μείον το εξοφλημένο.

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 1 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 3. ΔΑΝΕΙΑ Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 38 3. ΔΑΝΕΙΑ Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων 3.1 Χρήσιμες Εφαρμογές Τα δάνεια χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα ενιαία ή αδιαίρετα και τα ομολογιακά.

Διαβάστε περισσότερα

εκτοκιζόµενοι τόκοι ενσωµατώνονται στο κεφάλαιο και ανατοκίζονται. Εφαρµόζεται τ και 4 1=

εκτοκιζόµενοι τόκοι ενσωµατώνονται στο κεφάλαιο και ανατοκίζονται. Εφαρµόζεται τ και 4 1= ΑΣΚΗΣΗ Έστω τραπεζική κατάθεση ταµιευτηρίου µε ετήσιο επιτόκιο 8%. Ποιο είναι το πραγµατικό (effective) ετήσιο επιτόκιο, αν ο εκτοκισµός γίνεται κάθε τρίµηνο (εξάµηνο); Το πραγµατικό επιτόκιο είναι η ετήσια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = (100.000 0,12 2=) 24.000 ευρώ

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Σηµειώσεις στο Μάθηµα Ειδικά Θέµατα Χρηµατοδοτικής Διοίκησης. Π. Φ. Διαµάντης Α.Α.Δράκος 1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Τα Δάνεια, είναι τα πολύ γνωστά σε όλους µας πιστωτικά προϊόντα στα οποία η αποπληρωµή

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 1: Βασικοί Χρηματοοικονομικοί Ορισμοί Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδ. Έτος: 1-1 Θέμα 1 α) Ο επενδυτής μπορεί να εκμεταλλευτεί τις

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία του Χρήµατος

Χρονική Αξία του Χρήµατος ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ι ΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ email: thkazanas@teiath.gr Χρονική Αξία του Χρήµατος Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Η αξία του χρήµατος (όπως λ.χ. ενός

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Κατασκευάστε ένα λογιστικό φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Η επιχείρηση που έχει στην κατοχή της ένα γραμμάτιο προς είσπραξη μπορεί να το εκμεταλλευτεί ποικιλοτρόπως:

Η επιχείρηση που έχει στην κατοχή της ένα γραμμάτιο προς είσπραξη μπορεί να το εκμεταλλευτεί ποικιλοτρόπως: Η Λογιστική των γραμματίων Α- Γραμμάτια εισπρακτέα Κάθε επιχείρηση φέρει στο χαρτοφυλάκιο της γραμμάτια ή συναλλάσσεται με αυτά. Ειδικότερα για τα «γραμμάτια εισπρακτέα» κάθε επιχείρηση τηρεί ένα λογαριασμό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑ.Λ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑ.Λ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ΟΥ & 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΑ.Λ Σηµειώστε αν είναι σωστή ή λανθασµένη καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις σηµειώνοντας το αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ FV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την μελλοντική αξία μιας επένδυσης βάσει περιοδικών, σταθερών πληρωμών και σταθερού επιτοκίου. =FV(επιτόκιο; αριθμός περιόδων; δόση αποπληρωμής; παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ

ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ Η επένδυση μπορεί επίσης να ορισθεί ως η απόκτηση ενός περιουσιακού στοιχείου (π.χ. χρηματοδοτικού τίτλου) με την προσδοκία να αποφέρει μια ικανοποιητική απόδοση. Η

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28 Άσκηση 1 Η κατασκευαστική εταιρία Κ εξετάζει την περίπτωση αγοράς μετοχών της εταιρίας «Ε» με πληρωμή σε μετρητά. Κατά τη διάρκεια της χρήσης που μόλις ολοκληρώθηκε, η «Ε» είχε κέρδη ανά μετοχή 4,25 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 π.μ. π.μ. .......

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Διοικητική Λογιστική Λογιστική Εταιρειών Διδάσκοντες: Νικόλαος Ηρειώτης & Δημήτριος Μπάλιος Σημειώσεις με θέμα «Πιστωτικοί Τίτλοι»

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου. Ομολογίες, Διάρκεια, Προθεσμιακά Επιτόκια, Ανταλλαγές Επιτοκίων

Διεθνείς Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου. Ομολογίες, Διάρκεια, Προθεσμιακά Επιτόκια, Ανταλλαγές Επιτοκίων Διεθνείς Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου Ομολογίες, Διάρκεια, Προθεσμιακά Επιτόκια, Ανταλλαγές Επιτοκίων 1 Η ομολογία είναι ένα εμπορικό έγγραφο, με το οποίο η εκδότρια εταιρεία αναγνωρίζει (ομολογεί) ότι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνή Λογιστικά Πρότυπα

Διεθνή Λογιστικά Πρότυπα Διεθνή Λογιστικά Πρότυπα Απαιτήσεις (ΔΛΠ 39) Διδάσκων: Δρ. Γεώργιος Α. Παπαναστασόπουλος Εισαγωγή Οι απαιτήσεις είναι βασικά αντικείμενο του: ΔΛΠ 39 «Χρηματοπιστωτικά Μέσα: Αναγνώριση και Επιμέτρηση» (Financial

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΕΡΩΤΗΣΗ. (5 μονάδες) Θέλετε να αξιολογήσετε τέσσερα ομόλογα. Όλα τα ομόλογα έχουν 0 χρόνια μέχρι την λήξη και ονομαστική αξία.000. Το ομόλογο Α έχει κουπόνι με ετήσια απόδοση % το οποίο παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Διοικητική Λογιστική Λογιστική Εταιρειών Διδάσκοντες: Νικόλαος Ηρειώτης & Δημήτριος Μπάλιος Σημειώσεις με θέμα την 3 η ομάδα του

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα 6 ου εργαστηρίου

Αντικείμενα 6 ου εργαστηρίου 1.1 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α 6 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Οδηγιών. BrainStorm. Δάνεια

Εγχειρίδιο Οδηγιών. BrainStorm. Δάνεια Εγχειρίδιο Οδηγιών BrainStorm Δάνεια Βασικές Ρυθμίσεις Προγράμματος BrainStorm Δάνεια Με το παρακάτω κείμενο αυτό τονίζουμε ορισμένα σημεία που πρέπει να τους δοθεί προσοχή κατά την φάση της εγκατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί.

Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. Εργαστήριο 9 ο Με την βοήθεια του Microsoft Excel μεταφέρουμε τα παραδείγματα σε ένα φύλλο εργασίας και στην συνέχεια λύνουμε την άσκηση που ακολουθεί. NPER Αποδίδει το πλήθος των περιόδων μιας επένδυσης,

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 01 ΑΠΟΓΕΥΜΑΤΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1 π.μ. π.μ.)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις Β κοινού κορμού 2011-2012. 1. Να βρείτε το χ ώστε οι αριθμοί χ+14, 2χ+2, -4 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.

Επαναληπτικές ασκήσεις Β κοινού κορμού 2011-2012. 1. Να βρείτε το χ ώστε οι αριθμοί χ+14, 2χ+2, -4 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. Επαναληπτικές ασκήσεις Β κοινού κορμού 2011-2012 Πρόοδοι 1. Να βρείτε το χ ώστε οι αριθμοί χ+14, 2χ+2, -4 να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 2. Να σχηματίσετε την Α.Π. που έχει α 8 =30 και α 12 =46 3. Σε Α.Π.

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2009-10 Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

(Πολιτική. Οικονομία ΙΙ) Τμήμα ΜΙΘΕ. Καθηγητής Σπύρος Βλιάμος. Αρχές Οικονομικής ΙΙ. 14/6/2011Εαρινό Εξάμηνο 2010-2011. (Πολιτική Οικονομία ΙΙ) 1

(Πολιτική. Οικονομία ΙΙ) Τμήμα ΜΙΘΕ. Καθηγητής Σπύρος Βλιάμος. Αρχές Οικονομικής ΙΙ. 14/6/2011Εαρινό Εξάμηνο 2010-2011. (Πολιτική Οικονομία ΙΙ) 1 Αρχές Οικονομικής ΙΙ (Πολιτική Οικονομία ΙΙ) Καθηγητής Σπύρος Βλιάμος Τμήμα ΜΙΘΕ Καθηγητής Σπύρος Βλιάμος 2010-2011 Αρχές Οικονομικής ΙΙ (Πολιτική Οικονομία ΙΙ) 1 Θεματικές Ενότητες Επισκόπηση της Μακροοικονομικής-Τα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Τραπεζική Λογιστική Θέματα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 15 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015

Τραπεζική Λογιστική Θέματα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 15 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 Τραπεζική Λογιστική Θέματα εξετάσεων Σεπτεμβρίου 15 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 Άσκηση 1 Η τράπεζα Α αγόρασε την 31.12.2014,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Άσκηση (με 40 εγγραφές) Δίδεται ο ισολογισμός έναρξης της επιχείρησης Ε.Κ. την 31/12/10 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Ε.Κ. ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 31/12/10 ΠΑΘΗΤΙΚΟ+Κ.Θ. ΤΑΜΕΙΟ 40000 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 48000

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου)

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου) ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου Ορισμός: είναι το κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων που έχουν όλοι οι επενδυτές της εταιρείας (μέτοχοι και δανειστές) Κόστος ευκαιρίας: είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Καταβολής Ασφαλιστικών Εισφορών προς τους Ασφαλισμένους Κύριας Ασφάλισης

Οδηγίες Καταβολής Ασφαλιστικών Εισφορών προς τους Ασφαλισμένους Κύριας Ασφάλισης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΟΑΕΕ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ-ΠΑΡΟΧΩΝ ΤΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΝΑΥΤΙΚΩΝ & ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΑΚΤΟΡΩΝ Ταχ. Διευθ.:Ακτή Μιαούλη 17-19 Ταχ. Κωδ.:

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΡ. - 2.900 1.250 1.900 1.585 1.280 Π.ΚΤΡ. - 2.900 1.147 1.599 1.224 907 Κ.Π.Α. 1.977

ΚΤΡ. - 2.900 1.250 1.900 1.585 1.280 Π.ΚΤΡ. - 2.900 1.147 1.599 1.224 907 Κ.Π.Α. 1.977 1.Έχετε να επιλέξτε για την κατάθεση ενός ποσού 150 Euro, στην τράπεζα Αλφα µε σταθερό επιτόκιο 10% για 5 έτη και ανατοκισµό στο τέλος κάθε έτους, και την κατάθεση 148 Euro στην τράπεζα Βήτα µε το ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΕΣ ΟΦΕΙΛΕΣ

ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΕΣ ΟΦΕΙΛΕΣ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ «ΡΥΘΜΙΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΟΦΕΙΛΩΝ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΤΩΤΙΚΑ Ι ΡΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ» ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ποιες οφειλές αφορά

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ A. Η Έννοια της Παρούσας και της Μελλοντικής Αξίας A1. Εισαγωγή στην έννοια της χρονικής αξίας του χρήµατος Η «πράξη» της αναγωγής σε παρούσα και

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 44. 33.03.02 Κάλτσιος 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 40.02 Οφειλόμενο μετοχικό κεφάλαιο κοινών μετοχών 40.02.00 Παπασωτηρίου

Άσκηση 44. 33.03.02 Κάλτσιος 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 40.02 Οφειλόμενο μετοχικό κεφάλαιο κοινών μετοχών 40.02.00 Παπασωτηρίου Άσκηση 44 33 ΧΡΕΩΣΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΟΙ 33.03 Μέτοχοι λ/σμός κάλυψης κεφαλαίου 33.03.00 Παπασωτηρίου 48.000 33.03.01 Χρήστου 120.000 33.03.02 Κάλτσιος 72.000 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 40.02 Οφειλόμενο μετοχικό κεφάλαιο κοινών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α ΜΕΡΟΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΘΗΝΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ - ΣΥΝΤΑΞΗ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΝΙΚΟΣ 1 ΜAΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΕΠ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΔΑΠΑΝΗΣ Y = C + I + G + ( X M) Y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος

Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κεφάλαιο 2: Αξία του Χρήματος Κ2.1 Βασικές έννοιες Μέθοδοι λήψης οικονομοτεχνικών αποφάσεων Οι βασικές μέθοδοι για να παρθεί μια απόφαση με βάση οικονομοτεχνικά κριτήρια είναι: 1. Η μέθοδος της παρούσας

Διαβάστε περισσότερα

Συμπλήρωση εκκαθαριστικής δήλωσης ΦΠΑ δικηγόρου με βιβλία Β κατηγορίας (Εσόδων - Εξόδων)

Συμπλήρωση εκκαθαριστικής δήλωσης ΦΠΑ δικηγόρου με βιβλία Β κατηγορίας (Εσόδων - Εξόδων) Συμπλήρωση εκκαθαριστικής δήλωσης ΦΠΑ δικηγόρου με βιβλία Β κατηγορίας (Εσόδων - Εξόδων) 1. Τρίμηνο: 1.7-30.9.2010 Α. Εκροές (Αμοιβές) 1. Παράσταση σε δικαστήριο, για ιδιώτη. Ελάχιστη αμοιβή 500. Κράτηση

Διαβάστε περισσότερα

Asset & Liability Management Διάλεξη 1

Asset & Liability Management Διάλεξη 1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη Η μέτρηση και η αντιμετώπιση του επιτοκιακού κινδύνου Μιχάλης Ανθρωπέλος anthopel@unipi.g

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα εγγραφής στο Ημερολόγιο και το Γενικό Καθολικό με τα ακόλουθα λογιστικά γεγονότα:

Παραδείγματα εγγραφής στο Ημερολόγιο και το Γενικό Καθολικό με τα ακόλουθα λογιστικά γεγονότα: Παραδείγματα εγγραφής στο Ημερολόγιο και το Γενικό Καθολικό με τα ακόλουθα λογιστικά γεγονότα: 1. Στις 2/12/2010 αγοράστηκαν εμπορεύματα (εκτυπωτές Η/Υ) αξίας 8000 αντί 6000 με μετρητά 1500, με απλή πίστωση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικό Σχέδιο - Βασικά

Επιχειρηματικό Σχέδιο - Βασικά Επιχειρηματικό Σχέδιο - Βασικά στοιχεία χρηματο-οικονομικής οικονομικής ανάλυσης 1 ο θερινό σχολείο νεανικής επιχειρηματικότητας Πανεπιστήμιο Αιγαίου Μ. Μπεκιάρης Ποια ζητήματα θα μας απασχολήσουν; Πώς

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ TΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ»

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ TΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ» ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ TΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Credit Risk Διάλεξη 4

Credit Risk Διάλεξη 4 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Credt Rsk Διάλεξη 4 Αντιστάθμιση πιστωτικού κινδύνου Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unp.gr http://web.xrh.unp.gr/faculty/anthropelos

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΑΝΕΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΚΥΠΡΟΥ ΑΠΟ / ΣΕ ΜΗ ΚΑΤΟΙΚΟΥΣ

ΕΡΕΥΝΑ ΑΝΕΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΚΥΠΡΟΥ ΑΠΟ / ΣΕ ΜΗ ΚΑΤΟΙΚΟΥΣ ΕΡΕΥΝΑ ΑΝΕΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΕΣΕΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΚΥΠΡΟΥ ΑΠΟ / ΣΕ ΜΗ ΚΑΤΟΙΚΟΥΣ Οδηγίες συµπλήρωσης εντύπων αναφορικά µε το δανεισµό και των καταθέσεων κατοίκων Κύπρου (1) από / σε µη-κατοίκους. 1. ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΛΗΚΤΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΛΗΚΤΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΛΗΚΤΟΤΗΤΑΣ Εισαγωγή Ο κίνδυνος επιτοκίων προέρχεται τόσο από τη διαφορά ληκτότητας που υπάρχει μεταξύ των στοιχείων του ενεργητικού και του παθητικού, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

2) Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ονομαστική αξία του πιστοποιητικού με το συγκεκριμένο αυξημένο επιτόκιο όπως και προηγουμένως, δηλαδή θα έχουμε:

2) Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ονομαστική αξία του πιστοποιητικού με το συγκεκριμένο αυξημένο επιτόκιο όπως και προηγουμένως, δηλαδή θα έχουμε: 2) Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ονομαστική αξία του πιστοποιητικού με το συγκεκριμένο αυξημένο επιτόκιο όπως και προηγουμένως, δηλαδή θα έχουμε: ( ) ( ) 3) Επομένως η θεωρητική αξία του πιστοποιητικού

Διαβάστε περισσότερα

Πανοζάχος Δημήτρης Επιμόρφωση Στελεχών Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων

Πανοζάχος Δημήτρης Επιμόρφωση Στελεχών Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων Πανοζάχος Δημήτρης Επιμόρφωση Στελεχών Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων 1 Μηνιαίως Υποβάλλεται έως από τους Φορείς Γενικής Κυβέρνησης στην εποπτεύουσα αρχή τους, έως την 12 η ημέρα του επόμενου μήνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ»

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ» ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ» (Συµπληρωµατικές των διανεµοµένων συγγραµµάτων) Μ. ΓΚΛΕΖΑΚΟΣ 2009 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις που ακολουθούν είναι αποσπασµατικές και αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Asset & Liability Management Διάλεξη 2

Asset & Liability Management Διάλεξη 2 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asse & Liabiliy Managemen Διάλεξη 2 Η μέτρηση και η αντιμετώπιση του επιτοκιακού κινδύνου (συνέχεια) Μιχάλης Ανθρωπέλος anhropel@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα