Zadaci iz Geometrije 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Zadaci iz Geometrije 4"

Transcript

1 Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je pravilan tetraedar ABCD ivice a. Neka su M i N redom središta duži AB i CD. Dokazati da je MN zajednička normala mimoilaznih pravih AB i CD. Odrediti dužinu duži MN. 3. Tačke A 1, B 1, C 1, D 1 su težišta pljosni BCD, ACD, ABD, ABC tetraedra ABCD. Dokazati da se težišne linije AA 1, BB 1, CC 1, DD 1 seku u jednoj tački T koja ih deli u odnosu 3 : 1. (Tačka T se zove težište tetraedra, a tetraedar A 1 B 1 C 1 D 1 je dualan tetraedru ABCD). 4. Dokazati da se težišta tetraedra i njemu dulanog tetraedra poklapaju i da je njihovo zajedničko težište centar homotetije ta dva tetraedra. 5. Dat je tetraedar ABCD. Tačke M, N, P, Q su, redom, središta ivica AB, CD, AD, BC, tog tetraedra. Dokazati da težište T tetraedra polovi duži MN i P Q. 6. Dat je pravilan tetraedar ABCD ivice a. Odrediti: a) visinu H tetraedra b) ugao izmedu dve susedne pljosni. 7. Pravilan oktaedar je dualno upisan u kocku ivice a. U oktaedar je zatim dualno upisana kocka manje ivice. Odrediti dužine ivica oktaedra i manje kocke. 8. Dat je pravilan oktaedar ABCDEF ivice a. Odrediti: a) rastojanje izmedju dve naspramne (paralelne) pljosni b) ugao izmedu susednih pljosni. 9. Dokazati da je presek kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i ravni α koja sadrži središte S kocke i ortogonalna je na njenu prostornu dijagonalu, pravilan šestougao. 10. Dat je pravilan tetraedar ABCD, a tačke M i N su središta njegovih ivica AB i CD. a) Dokazati da rotacija R oko prave MN za opružen ugao preslikava tetraedar na sebe. b) Dokazati da proizvoljna ravan α koja sadrži pravu M N razlaže tetraedar na dva podudarna poliedra. c) Dokazati da postoji ravan α koja sadrži pravu MN, a koja tetraedar seče po kvadratu. 11. a) Odrediti ravan čiji je presek sa kockom paralelogram koji nije pravougaonik. b) Da li presek kocke i ravni može biti trapez? 12. Date su tri tačke P, Q, R na ivicama kocke. Skicirati presek kocke i ravni α odredjene tim tačkama.

2 13. Zadati tačke P, Q, R na ivicama kocke tako da je presek njima odredjene ravni α i kocke a) trougao b) četrougao d) petougao e) šestougao. 14. Odrediti ravan α koja seče pravilni oktaedar po pravilnom šestouglu. 15. Dat je pravilan tetraedar ABCD. Tačke M, N, P, Q su, redom, središta ivica AB, CD, AD, BC, tog tetraedra. Dokazati da je MN P Q. 2 Afina preslikavanja 1. Nacrtati sliku trougla ABC pri homotetiji sa centrom u tački S sa koeficijentom k = Nacrtati sliku kvadrata ABCD pri rotaciji oko tačke S za ugao φ = π Odrediti formule rotacije oko tačke C( 2, 3) za ugao φ = 5π 6. Odrediti sliku N tačke N(1, 3). 4. Odrediti formule homotetije sa centrom S(1, 2) i koeficientom k = 3. Odrediti sliku tačke M(2, 5). 5. Odrediti formule smicanja koje kvadrat ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), preslikava u paralelogram A B C D, A (0, 0), B (2, 0), C (5, 2), D (3, 2). 6. Odrediti formule afinog preslikavanja f koje kanonski trougao A 0 B 0 C 0, A 0 (0, 0), B 0 (1, 0), C 0 (0, 1) preslikava u trougao ABC, A(1, 2), B(2, 4), C 0 (3, 3). 7. a) Odrediti formule afinog preslikavanja h koje trougao ABC preslikava u trougao A B C, ako je A(1, 1), B(1, 2), C(4, 4) i A (5, 4), B (7, 8), C (4, 1). b) Odrediti odnos površina tih trouglova. c) Da li trouglovi imaju istu orijentaciju? 8. Afino preslikavanje f slika redom temena kvadrata ABCD, A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1), u temena četvorougla A B C D, A (2, 0), B (4, 3 2 ), D (5, 4). a) Odrediti koordinate tačke C = f(c); b) Precizno opisati četvorougao A B C D ; c) Prestaviti f kao kompoziciju, redom, skaliranja, rotacije i translacije i odrediti mu jednačine. 9. Dati su kvadrat ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2) i paralelogram A B C D, A (4, 2), B (9, 2), C (11, 5 a) Odrediti koordinate tačke D. b) Odrediti afino preslikavanje f koje slika ABCD u A B C D kao kompoziciju, redom, skaliranja, smicanja i translacije. 10. Afino preslikavanje f slika redom temena kvadrata ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), u temena četvorougla A B C D, A (3, 0), B (15, 5), D ( 11, 6). a) Odrediti teme 2 C = f(c); b) Precizno opisati četvorougao A B C D ; c) Predstaviti f kao kompoziciju, redom, skaliranja, rotacije i translacije i odrediti mu formule; d) Šta je slika kruga upisanog u kvadrat ABCD i kolika joj je površina. 11. Odrediti afino preslikavanje (kao kompoziciju rotacije, homotetije i translacije) koje kvadrat ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), preslikava u kvadrat SCP D, gde je S = AC BD, a P se odreduje kao četvrta tačka kvadrata. Skicirati!

3 3 Projektivna preslikavanja 1. a) Odrediti, u homogenim koordinatama, jednačinu prave p = AB, A(1, 5 ) i B( 3, 0); b) Pokazati 2 da tačka C( 1 : 5 : 3) pripada pravoj p; c) Odrediti tačku D takvu da važi H(A, B; C, D). 2. U proširenoj afinoj ravni date su prave m : x 1 + 2x 2 x 3 = 0, i n : 2x 1 x 2 + 3x 3 = 0. a) Odrediti presek P pravih m i n; b) Odrediti pravu k koja sadrži tačke P i C( 1 : 5 : 3) i pravu l koja sadrži tačku P i paralelna je pravoj p : 5x 8y + 15 = 0; c) Odrediti dvorazmeru pravih (m, n, k, l). 3. Date su kolinearne tačke A(1, 1), B(5, 5), C( 1, 1), D ( 3 2, 3 2). Koristeći afini smisao dvorazmere, izračunati (A, B, C, D). 4. Telefonski stubovi A, B, C, D, E, F... su u stvarnosti udaljeni 40m i kolinearni. Koja je pozicija slika stubova D, E i F na perspektivnom crtežu ako je A B = 5cm, B C = 4cm? 5. a) Pokazati da ivice trotemenika ABC razbijaju projektivnu ravan trotemenika na 4 oblasti; b) Dokazati da su te oblasti projektivno ekvivalentne. 6. Data je matrica P = i tačke A 0 (0, 0), B 0 (1, 0) i C 0 (0, 1). a) Odrediti sliku A B C trotemenika A 0 B 0 C 0 pri projektivnom preslikavanju f čija je matrica P. b) Skicirati trotemenik A B C i osenčiti sliku unutrašnjosti trougla A 0 B 0 C a) Odrediti projektivno preslikavanje kojim se pravougaonik ABCD, A( 2, 1), B(2, 1), C(2, 1), D( 2, 1) slika u trapez A B C D, A ( 3, 1), B (3, 1), C (1, 1), D ( 1, 1); b) Dokazati (bez računanja) da su središsta duži AB i CD kao i beskonačno daleka tačka prave AB jedine fiksne tačke ovog preslikavanja. 4 Homologije 1. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovarajućih tačaka M, M. Nacrtati (treba samo crtež 1 ) sliku kvadrata u toj homologiji. 2. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovarajućih tačaka S i S. Nacrtati (treba samo crtež) sliku kruga sa centrom S u toj homologiji. 3. Dokazati da su osa s, protivosa u i horizont v medusobno paralelne prave. 4. Dokazati da je perspektivno kolinearno preslikavanje odredeno sa a) centrom S, osom s i parom tačaka A, A ; b) centrom S, osom s i parom pravih a, a ; c) centrom S, osom s i protivosom u; d) centrom S, osom s i horizontom v ; e) centrom S, protivosom u i horizontom v. 5. (crtež) Odrediti sliku duži AB u homologiji f koja je zadata osom s, protivosom u i centrom S ako: a) Duž AB seče protivosu; b) Duž AB ne seče protivosu. 1 Lenjirom i šestarom, obavezno

4 6. (crtež) Dati su centar S, osa s i protivosa u homologije f. Ako trougao seče protivosu, odrediti njegovu sliku. 7. Dokazati da je svaka neidentička projektivna involucija (f 2 = Id), projektivne ravni, homologija. 8. (analiza, konstrukcija, crtež, diskusija) Data su prava s, p i trougao ABC. Odrediti afinu homologiju f čija je osa prava s, zraci afinosti paralelni pravoj p, a slika trougla ABC (AC = BC) jednakokraki trougao A B C. 9. (analiza, konstrukcija, crtež, diskusija) Data je prava s i paralelogram ABCD. Odrediti afinu homologiju sa osom s koja dati paralelogram preslikava u kvadrat. 10. (analiza, konstrukcija, crtež, diskusija) Dat je paralelogram ABCD i prave p, s. Odrediti afinu homologiju f čija je osa prava s, zraci afinosti su paralelni pravoj p, a slika datog paralelograma romb. 11. (analiza, konstrukcija, dokaz, diskusija) Data je veća osa AB elipse i tačka M koja pripada elipsi. Konstruisati manju osu elipse. 5 Krive drugog reda 1. (radjeno na predavanjima) a) Pokazati da projektivno preslikavanje f proširene afine ravni zadato formulama λx 1 = x 3, λx 2 = x 2, λx 3 = x 1, preslikava krug x 2 + y 2 = 1 u hiperbolu x 2 y 2 = 1. b) Naći zapis preslikavanja f u afinim koordinatama. c) Da li je f homologija i ako jeste odrediti mu centar osu i protivosu? 2. Pokazati da je krug projektivno ekvivalentan paraboli u proširenoj afinoj ravni. 3. a) U proširenoj afinoj ravni odrediti centar krive drugog reda Γ date jednačinom x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0. b) Odrediti tangente iz tačke A(2 : 2 : 1) na Γ. c) Odrediti tangente iz tačke P (1 : 1 : 5) na Γ. 4. Dokazati da je direktrisa elipse (hiperbole, parabole) polara odgovarajuće žiže. 5. Dokazati da su središta paralelnih tetiva elipse kolinearne tačke i da prava koja ih sadrži, sadrži centar elipse (konjugovani dijametri). Šta se dešava u slučaju hiperbole, odnosno parabole? 6. Elipsa upisana u trougao ABC dodiruje njegove stranice BC, CA, AB redom u tačkama P, Q, R. Dokazati da su prave AP, BQ i CR konkurentne. 7. (analiza, konstrukcija, dokaz, diskusija) Date su tačke A, B, C, D, E nedegenerisane krive drugog reda Γ i prava p A. Konstruisati drugu presečnu tačku krive Γ i prave p. 8. (analiza, konstrukcija, dokaz, diskusija) Date su asimptote a, b i jedna tangenta t hiperbole Γ. Iz tačke S t konstruisati drugu tangentu m na hiperbolu Γ. 9. Date su tačke A, B, C i pravac o ose parabole, kao i prava p A. Konstruisati drugu presečnu tačku X prave p i parabole. 6 Dezargova teorema 1. Date su prave a, b koje se seku u tački S i tačka P koja im ne pripada. Koristeći samo lenjir konstruisati pravu c = P S ne koristeći tačku S. 2. U proizvoljan četvorougao upisan je trapez čije su osnove paralelne jednoj dijagonali četvorougla. Dokazati da se bočne strane trapeza seku na drugoj dijagonali četvorougla.

5 7 Metoda odstojanja normalnog projektovanja 7.1 Osnovni zadaci 1. Data je prava p projekcijama svojih tačaka M(M, OM 0 ) i N(N, ON 0 ). Konstruisati: a) trag prave p; b) pravu veličinu duži MN; c) nagibni ugao prave p. 2. Data je prava p(p, M(M, OM 0 )) i tačka R(R, OR 0 ) koja joj ne pripada. Odrediti pravu r koja sadrži tačku R i paralelna je pravoj p. 3. Odrediti medusobni položaj pravih p(p, M(M, OM 0 )) i q(q, N(N, ON 0 )) ako je: a) p q ; b) p q = {R }. 4. Odrediti ravan α koja sadrži a) dve paralelne prave p(p, M(M, OM 0 )) i q(q); b) dve prave koje se seku p(p, M(M, OM 0 )), q(q, M(M, OM 0 )) u tački M; c) pravu p(p, M(M, OM 0 )) i tačku A(A, OA 0 ) koja joj ne pripada. 5. Data je ravan α(a, A, OA 0 ), tačka S koja joj pripada i duž d. Nacrtati projekciju kruga k koji pripada ravni α, ima centar S, a poluprečnik mu je podudaran duži d. 6. Odrediti projekciju kruga čiji je centar data tačka S(S, OS 0 ), a koji dodiruje datu pravu p(p, Q, OQ 0 ). 7. Odrediti presek ravni α(a, A, OA 0 ) i β(b, B, OB 0 ) ako važi: a) a b = {P }; b) a b. 8. Odrediti rastojanje izmedu paralelnih ravni α(a, A, OA 0 ) i β(b). 9. Odrediti prodor prave p(p, A, OA 0 ) kroz ravan τ(t, M, OM 0 ). 10. Date su ravan τ(t, K, OK 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. a) Konstruisati normalu n iz tačke M na ravan τ. b) Odrediti tačku N simetričnu tački M u odnosu na τ. 11. Date su prava n(n, S, OS 0 ) i tačka K(K, OK 0 ). a) Konstruisati ravan τ koja sadrži tačku K i normalna je na pravu n. b) Odrediti udaljenost tačke K od prave n. 12. Data je ravan α(a, A, OA 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati trag ravni β koja sadrži tačku M i paralelna je sa α. 7.2 Složeniji zadaci 1. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, S, OS 0 ). Konstruisati projekciju pravilne četvorostrane piramide ABCDV, čija osnova ABCD ima središte S i pripada ravni τ. Visina piramide je podudarna datoj duži h. Odrediti zatim presek piramide i ravni σ koja je paralelna ravni τ i sadrži tački S 1 koja visinu deli u odnosu 1 : 2 počevši od vrha V. 2. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, L, OL 0 ) i tačka E(E, OE 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati projekciju pravilnog oktaedra ABCDEF, čije je teme data tačka E, dijagonalni presek ABCD pripada ravni τ, a ivica AB gradi ugao π sa tragom t ravni τ. Odrediti zatim presek 6 oktaedra sa ravni β koja sadrži pravu t i deli visinu oktaedra EF u odnosu 1 : 3 mereno od tačke E.

6 3. Metodom odstojanja data je prava s(s, R, OR 0 ) i tačka A(A, OA 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati projekciju valjka kome je osa prava s, tačka A pripada kružnici jedne osnove, a visina valjka je jednaka prečniku osnove. Odrediti zatim presek valjka i ravni β koja sadrži tangentu na osnovu valjka u tački A i središte visine valjka. 4. Metodom odstojanja data je prava p(p, Q, OQ 0 ) i tačka C(C, OC 0 ). Konstruisati projekciju tetraedra ABCD čije teme C je data tačka, a ivica AB pripada datoj pravoj p. 5. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, M(M, OM 0 )) i tačka A 1 (A 1, OA 10 ). Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 čije je teme data tačka A 1, pljosan ABCD pripada ravni τ, a ivica AB gradi ugao od π sa tragom t ravni τ. Odrediti zatim presek kocke i ravni β koja sadrži centar 3 kocke i paralelna je sa projekcijskom ravni π. 6. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, M(M, OM 0 )) i tačka V (V, OV 0 ) τ Odrediti projekciuju kupe kojoj je vrh data tačka V, osnova pripada ravni τ, a visina kupe je duplo veća od prečnika osnove. Odrediti zatim presek kupe i ravni β koja sadrži pravu r : M r, r t i deli visinu kupe u odnosu 2 : 3 mereno od vrha V. 7. Date su mimoilazne prave p(p, A, OA 0 ) i q(q, B, OB 0 ). Odrediti zajedničku normalu n i rastojanje izmedju pravih p i q. 8. Data je tačka E(E, OE 0 ) i prava p(p, N, ON 0 ) koja ne sadrži tačku E. Konstruisati projekciju pravilnog oktadera ABCDEF ako je teme E data tačka, a ivica AB pripada pravoj p (ABE je pljosan oktaedra). 9. Data je ravan τ(t, M, OM 0 ) i tačka S(S, OS 0 ) van ravni τ. Predstaviti normalnu projekciju pravog valjka ako je tačka S središte osnove, τ tangentna ravan valjka i izvodnice valjka grade ugao od π sa tragom t ravni τ. Visina valjka je jednaka 3r, gde je r poluprečnik osnove Metodom odstojanja normalnog projektovanja data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ako je teme A data tačka, dijagonalni presek BDD 1 B 1 pripada ravni τ, a prava BD sadrži M. 11. Data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju tetraedra ABCD kome je teme A data tačka, pljosan BCD pripada ravni τ, a ivica BC zaklapa ugao od π sa tragom t 6 ravni τ. Odrediti zatim presek tetraedra sa ravni β čiji je trag prava t i koja sadrži središte visine tetraedra iz temena A. 12. Data je tačka S(S, OS 0 ) i prava p(p, A, OA 0 ). Konstruisati projekciju prave kupe kojoj je središte osnove tačka S, jedna izvodnica kupe pripada pravoj p, a ugao izmedju visine kupe i izvodnice jednak π Date su tačke S i T. Konstruisati projekciju sfere koja ima centar u S i sadrži T. Zatim odrediti presek sfere i ravni τ koja je normalna na duž ST i deli je u odnosu 1 : 2 posmatrano od S. 14. Metodom odstojanja date su paralelne ravni α(a, A(A, OA 0 )) i β(b). Odrediti projekciju kvadra čije osnove pripadaju ravnima α i β ako je odnos dužine, širine i visine kvadra 3 : 2 : 1. Tačka A je jedno teme kvadra, a ivica AB gradi ugao π sa tragom a ravni α. 8

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija - vežbe

Analitička geometrija - vežbe Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent

Διαβάστε περισσότερα

Radni materijal 17 PRIZME

Radni materijal 17 PRIZME Radni materijal 17 PRIZME Odreži i zalijepi slike u bilježnicu, izvedi formule za oplošje i obujam, označi i izvedi formule za plošne i prostorne dijagonale. Oplošje OBP = + Volumen ili obujam V = Bv slika

Διαβάστε περισσότερα

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03 POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija

Projektivna geometrija Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija 12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT

PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE

LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Transformacije u 3D i projekcije

Računarska grafika. Transformacije u 3D i projekcije Računarska grafika Transformacije u 3D i projekcije I ove se pretpostavlja konvencija pokretne virtuelne kamere Postoji formalna sličnost sa transformacijama u 2D grafici: oaje se jean član jenačina (a

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:

Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0: askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,

Διαβάστε περισσότερα

Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni

Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET Neophodnost uslova komutativnosti i asocijativnosti kod Dezargovih i Paposovih ravni MASTER RAD Autor Snežana Milosavljević Mentor dr Miroslava Antić Beograd

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Potencija taqke. Duxan uki

Potencija taqke. Duxan uki Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Hiperbola. Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je razlika rastojanja ma koje tačke od dveju datih tačaka stalan broj.

Hiperbola. Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je razlika rastojanja ma koje tačke od dveju datih tačaka stalan broj. Hiperbola Definicija Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je razlika rastojanja ma koje tačke od dveju datih tačaka stalan broj..stalne tačke F1(-c, 0), F2(c, 0) su žiže hiperbole, njihovo rastojanje

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK GEOMETRJSKE KRKTERSTKE

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

ODREĐIVANJE TEŽIŠTA KRUTOG TELA Korišćenjem Varinjonove teoreme, dobija se: = Gi. = G z

ODREĐIVANJE TEŽIŠTA KRUTOG TELA Korišćenjem Varinjonove teoreme, dobija se: = Gi. = G z TEŽIŠTE Svako kruto telo je sačinjeno od velikog brojačestica (elementarnih delova). Kada se telo nalazi u blizini Zemljine površine na svaku od tihčestica dejstvuje sila njene težine koja je usmerena

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Vizualizacija prostora Lobačevskog

Vizualizacija prostora Lobačevskog Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Vizualizacija prostora Lobačevskog Marijana Babić Beograd, 2010. godine MENTOR Dr. Srdan Vukmirović ČLANOVI KOMISIJE Dr. Srdan Vukmirović Dr. Predrag

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009.

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; II EO KC Niš, 9. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009.

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009. Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 009. Autori: Mr Nada Damljanović Mr Rale Nikolić Recenzenti: Prof. dr Mališa

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα