Zadaci iz Geometrije 4
|
|
- Ήρα Αγγελίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je pravilan tetraedar ABCD ivice a. Neka su M i N redom središta duži AB i CD. Dokazati da je MN zajednička normala mimoilaznih pravih AB i CD. Odrediti dužinu duži MN. 3. Tačke A 1, B 1, C 1, D 1 su težišta pljosni BCD, ACD, ABD, ABC tetraedra ABCD. Dokazati da se težišne linije AA 1, BB 1, CC 1, DD 1 seku u jednoj tački T koja ih deli u odnosu 3 : 1. (Tačka T se zove težište tetraedra, a tetraedar A 1 B 1 C 1 D 1 je dualan tetraedru ABCD). 4. Dokazati da se težišta tetraedra i njemu dulanog tetraedra poklapaju i da je njihovo zajedničko težište centar homotetije ta dva tetraedra. 5. Dat je tetraedar ABCD. Tačke M, N, P, Q su, redom, središta ivica AB, CD, AD, BC, tog tetraedra. Dokazati da težište T tetraedra polovi duži MN i P Q. 6. Dat je pravilan tetraedar ABCD ivice a. Odrediti: a) visinu H tetraedra b) ugao izmedu dve susedne pljosni. 7. Pravilan oktaedar je dualno upisan u kocku ivice a. U oktaedar je zatim dualno upisana kocka manje ivice. Odrediti dužine ivica oktaedra i manje kocke. 8. Dat je pravilan oktaedar ABCDEF ivice a. Odrediti: a) rastojanje izmedju dve naspramne (paralelne) pljosni b) ugao izmedu susednih pljosni. 9. Dokazati da je presek kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i ravni α koja sadrži središte S kocke i ortogonalna je na njenu prostornu dijagonalu, pravilan šestougao. 10. Dat je pravilan tetraedar ABCD, a tačke M i N su središta njegovih ivica AB i CD. a) Dokazati da rotacija R oko prave MN za opružen ugao preslikava tetraedar na sebe. b) Dokazati da proizvoljna ravan α koja sadrži pravu M N razlaže tetraedar na dva podudarna poliedra. c) Dokazati da postoji ravan α koja sadrži pravu MN, a koja tetraedar seče po kvadratu. 11. a) Odrediti ravan čiji je presek sa kockom paralelogram koji nije pravougaonik. b) Da li presek kocke i ravni može biti trapez? 12. Date su tri tačke P, Q, R na ivicama kocke. Skicirati presek kocke i ravni α odredjene tim tačkama.
2 13. Zadati tačke P, Q, R na ivicama kocke tako da je presek njima odredjene ravni α i kocke a) trougao b) četrougao d) petougao e) šestougao. 14. Odrediti ravan α koja seče pravilni oktaedar po pravilnom šestouglu. 15. Dat je pravilan tetraedar ABCD. Tačke M, N, P, Q su, redom, središta ivica AB, CD, AD, BC, tog tetraedra. Dokazati da je MN P Q. 2 Afina preslikavanja 1. Nacrtati sliku trougla ABC pri homotetiji sa centrom u tački S sa koeficijentom k = Nacrtati sliku kvadrata ABCD pri rotaciji oko tačke S za ugao φ = π Odrediti formule rotacije oko tačke C( 2, 3) za ugao φ = 5π 6. Odrediti sliku N tačke N(1, 3). 4. Odrediti formule homotetije sa centrom S(1, 2) i koeficientom k = 3. Odrediti sliku tačke M(2, 5). 5. Odrediti formule smicanja koje kvadrat ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), preslikava u paralelogram A B C D, A (0, 0), B (2, 0), C (5, 2), D (3, 2). 6. Odrediti formule afinog preslikavanja f koje kanonski trougao A 0 B 0 C 0, A 0 (0, 0), B 0 (1, 0), C 0 (0, 1) preslikava u trougao ABC, A(1, 2), B(2, 4), C 0 (3, 3). 7. a) Odrediti formule afinog preslikavanja h koje trougao ABC preslikava u trougao A B C, ako je A(1, 1), B(1, 2), C(4, 4) i A (5, 4), B (7, 8), C (4, 1). b) Odrediti odnos površina tih trouglova. c) Da li trouglovi imaju istu orijentaciju? 8. Afino preslikavanje f slika redom temena kvadrata ABCD, A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1), u temena četvorougla A B C D, A (2, 0), B (4, 3 2 ), D (5, 4). a) Odrediti koordinate tačke C = f(c); b) Precizno opisati četvorougao A B C D ; c) Prestaviti f kao kompoziciju, redom, skaliranja, rotacije i translacije i odrediti mu jednačine. 9. Dati su kvadrat ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2) i paralelogram A B C D, A (4, 2), B (9, 2), C (11, 5 a) Odrediti koordinate tačke D. b) Odrediti afino preslikavanje f koje slika ABCD u A B C D kao kompoziciju, redom, skaliranja, smicanja i translacije. 10. Afino preslikavanje f slika redom temena kvadrata ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), u temena četvorougla A B C D, A (3, 0), B (15, 5), D ( 11, 6). a) Odrediti teme 2 C = f(c); b) Precizno opisati četvorougao A B C D ; c) Predstaviti f kao kompoziciju, redom, skaliranja, rotacije i translacije i odrediti mu formule; d) Šta je slika kruga upisanog u kvadrat ABCD i kolika joj je površina. 11. Odrediti afino preslikavanje (kao kompoziciju rotacije, homotetije i translacije) koje kvadrat ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), preslikava u kvadrat SCP D, gde je S = AC BD, a P se odreduje kao četvrta tačka kvadrata. Skicirati!
3 3 Projektivna preslikavanja 1. a) Odrediti, u homogenim koordinatama, jednačinu prave p = AB, A(1, 5 ) i B( 3, 0); b) Pokazati 2 da tačka C( 1 : 5 : 3) pripada pravoj p; c) Odrediti tačku D takvu da važi H(A, B; C, D). 2. U proširenoj afinoj ravni date su prave m : x 1 + 2x 2 x 3 = 0, i n : 2x 1 x 2 + 3x 3 = 0. a) Odrediti presek P pravih m i n; b) Odrediti pravu k koja sadrži tačke P i C( 1 : 5 : 3) i pravu l koja sadrži tačku P i paralelna je pravoj p : 5x 8y + 15 = 0; c) Odrediti dvorazmeru pravih (m, n, k, l). 3. Date su kolinearne tačke A(1, 1), B(5, 5), C( 1, 1), D ( 3 2, 3 2). Koristeći afini smisao dvorazmere, izračunati (A, B, C, D). 4. Telefonski stubovi A, B, C, D, E, F... su u stvarnosti udaljeni 40m i kolinearni. Koja je pozicija slika stubova D, E i F na perspektivnom crtežu ako je A B = 5cm, B C = 4cm? 5. a) Pokazati da ivice trotemenika ABC razbijaju projektivnu ravan trotemenika na 4 oblasti; b) Dokazati da su te oblasti projektivno ekvivalentne. 6. Data je matrica P = i tačke A 0 (0, 0), B 0 (1, 0) i C 0 (0, 1). a) Odrediti sliku A B C trotemenika A 0 B 0 C 0 pri projektivnom preslikavanju f čija je matrica P. b) Skicirati trotemenik A B C i osenčiti sliku unutrašnjosti trougla A 0 B 0 C a) Odrediti projektivno preslikavanje kojim se pravougaonik ABCD, A( 2, 1), B(2, 1), C(2, 1), D( 2, 1) slika u trapez A B C D, A ( 3, 1), B (3, 1), C (1, 1), D ( 1, 1); b) Dokazati (bez računanja) da su središsta duži AB i CD kao i beskonačno daleka tačka prave AB jedine fiksne tačke ovog preslikavanja. 4 Homologije 1. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovarajućih tačaka M, M. Nacrtati (treba samo crtež 1 ) sliku kvadrata u toj homologiji. 2. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovarajućih tačaka S i S. Nacrtati (treba samo crtež) sliku kruga sa centrom S u toj homologiji. 3. Dokazati da su osa s, protivosa u i horizont v medusobno paralelne prave. 4. Dokazati da je perspektivno kolinearno preslikavanje odredeno sa a) centrom S, osom s i parom tačaka A, A ; b) centrom S, osom s i parom pravih a, a ; c) centrom S, osom s i protivosom u; d) centrom S, osom s i horizontom v ; e) centrom S, protivosom u i horizontom v. 5. (crtež) Odrediti sliku duži AB u homologiji f koja je zadata osom s, protivosom u i centrom S ako: a) Duž AB seče protivosu; b) Duž AB ne seče protivosu. 1 Lenjirom i šestarom, obavezno
4 6. (crtež) Dati su centar S, osa s i protivosa u homologije f. Ako trougao seče protivosu, odrediti njegovu sliku. 7. Dokazati da je svaka neidentička projektivna involucija (f 2 = Id), projektivne ravni, homologija. 8. (analiza, konstrukcija, crtež, diskusija) Data su prava s, p i trougao ABC. Odrediti afinu homologiju f čija je osa prava s, zraci afinosti paralelni pravoj p, a slika trougla ABC (AC = BC) jednakokraki trougao A B C. 9. (analiza, konstrukcija, crtež, diskusija) Data je prava s i paralelogram ABCD. Odrediti afinu homologiju sa osom s koja dati paralelogram preslikava u kvadrat. 10. (analiza, konstrukcija, crtež, diskusija) Dat je paralelogram ABCD i prave p, s. Odrediti afinu homologiju f čija je osa prava s, zraci afinosti su paralelni pravoj p, a slika datog paralelograma romb. 11. (analiza, konstrukcija, dokaz, diskusija) Data je veća osa AB elipse i tačka M koja pripada elipsi. Konstruisati manju osu elipse. 5 Krive drugog reda 1. (radjeno na predavanjima) a) Pokazati da projektivno preslikavanje f proširene afine ravni zadato formulama λx 1 = x 3, λx 2 = x 2, λx 3 = x 1, preslikava krug x 2 + y 2 = 1 u hiperbolu x 2 y 2 = 1. b) Naći zapis preslikavanja f u afinim koordinatama. c) Da li je f homologija i ako jeste odrediti mu centar osu i protivosu? 2. Pokazati da je krug projektivno ekvivalentan paraboli u proširenoj afinoj ravni. 3. a) U proširenoj afinoj ravni odrediti centar krive drugog reda Γ date jednačinom x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0. b) Odrediti tangente iz tačke A(2 : 2 : 1) na Γ. c) Odrediti tangente iz tačke P (1 : 1 : 5) na Γ. 4. Dokazati da je direktrisa elipse (hiperbole, parabole) polara odgovarajuće žiže. 5. Dokazati da su središta paralelnih tetiva elipse kolinearne tačke i da prava koja ih sadrži, sadrži centar elipse (konjugovani dijametri). Šta se dešava u slučaju hiperbole, odnosno parabole? 6. Elipsa upisana u trougao ABC dodiruje njegove stranice BC, CA, AB redom u tačkama P, Q, R. Dokazati da su prave AP, BQ i CR konkurentne. 7. (analiza, konstrukcija, dokaz, diskusija) Date su tačke A, B, C, D, E nedegenerisane krive drugog reda Γ i prava p A. Konstruisati drugu presečnu tačku krive Γ i prave p. 8. (analiza, konstrukcija, dokaz, diskusija) Date su asimptote a, b i jedna tangenta t hiperbole Γ. Iz tačke S t konstruisati drugu tangentu m na hiperbolu Γ. 9. Date su tačke A, B, C i pravac o ose parabole, kao i prava p A. Konstruisati drugu presečnu tačku X prave p i parabole. 6 Dezargova teorema 1. Date su prave a, b koje se seku u tački S i tačka P koja im ne pripada. Koristeći samo lenjir konstruisati pravu c = P S ne koristeći tačku S. 2. U proizvoljan četvorougao upisan je trapez čije su osnove paralelne jednoj dijagonali četvorougla. Dokazati da se bočne strane trapeza seku na drugoj dijagonali četvorougla.
5 7 Metoda odstojanja normalnog projektovanja 7.1 Osnovni zadaci 1. Data je prava p projekcijama svojih tačaka M(M, OM 0 ) i N(N, ON 0 ). Konstruisati: a) trag prave p; b) pravu veličinu duži MN; c) nagibni ugao prave p. 2. Data je prava p(p, M(M, OM 0 )) i tačka R(R, OR 0 ) koja joj ne pripada. Odrediti pravu r koja sadrži tačku R i paralelna je pravoj p. 3. Odrediti medusobni položaj pravih p(p, M(M, OM 0 )) i q(q, N(N, ON 0 )) ako je: a) p q ; b) p q = {R }. 4. Odrediti ravan α koja sadrži a) dve paralelne prave p(p, M(M, OM 0 )) i q(q); b) dve prave koje se seku p(p, M(M, OM 0 )), q(q, M(M, OM 0 )) u tački M; c) pravu p(p, M(M, OM 0 )) i tačku A(A, OA 0 ) koja joj ne pripada. 5. Data je ravan α(a, A, OA 0 ), tačka S koja joj pripada i duž d. Nacrtati projekciju kruga k koji pripada ravni α, ima centar S, a poluprečnik mu je podudaran duži d. 6. Odrediti projekciju kruga čiji je centar data tačka S(S, OS 0 ), a koji dodiruje datu pravu p(p, Q, OQ 0 ). 7. Odrediti presek ravni α(a, A, OA 0 ) i β(b, B, OB 0 ) ako važi: a) a b = {P }; b) a b. 8. Odrediti rastojanje izmedu paralelnih ravni α(a, A, OA 0 ) i β(b). 9. Odrediti prodor prave p(p, A, OA 0 ) kroz ravan τ(t, M, OM 0 ). 10. Date su ravan τ(t, K, OK 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. a) Konstruisati normalu n iz tačke M na ravan τ. b) Odrediti tačku N simetričnu tački M u odnosu na τ. 11. Date su prava n(n, S, OS 0 ) i tačka K(K, OK 0 ). a) Konstruisati ravan τ koja sadrži tačku K i normalna je na pravu n. b) Odrediti udaljenost tačke K od prave n. 12. Data je ravan α(a, A, OA 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati trag ravni β koja sadrži tačku M i paralelna je sa α. 7.2 Složeniji zadaci 1. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, S, OS 0 ). Konstruisati projekciju pravilne četvorostrane piramide ABCDV, čija osnova ABCD ima središte S i pripada ravni τ. Visina piramide je podudarna datoj duži h. Odrediti zatim presek piramide i ravni σ koja je paralelna ravni τ i sadrži tački S 1 koja visinu deli u odnosu 1 : 2 počevši od vrha V. 2. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, L, OL 0 ) i tačka E(E, OE 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati projekciju pravilnog oktaedra ABCDEF, čije je teme data tačka E, dijagonalni presek ABCD pripada ravni τ, a ivica AB gradi ugao π sa tragom t ravni τ. Odrediti zatim presek 6 oktaedra sa ravni β koja sadrži pravu t i deli visinu oktaedra EF u odnosu 1 : 3 mereno od tačke E.
6 3. Metodom odstojanja data je prava s(s, R, OR 0 ) i tačka A(A, OA 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati projekciju valjka kome je osa prava s, tačka A pripada kružnici jedne osnove, a visina valjka je jednaka prečniku osnove. Odrediti zatim presek valjka i ravni β koja sadrži tangentu na osnovu valjka u tački A i središte visine valjka. 4. Metodom odstojanja data je prava p(p, Q, OQ 0 ) i tačka C(C, OC 0 ). Konstruisati projekciju tetraedra ABCD čije teme C je data tačka, a ivica AB pripada datoj pravoj p. 5. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, M(M, OM 0 )) i tačka A 1 (A 1, OA 10 ). Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 čije je teme data tačka A 1, pljosan ABCD pripada ravni τ, a ivica AB gradi ugao od π sa tragom t ravni τ. Odrediti zatim presek kocke i ravni β koja sadrži centar 3 kocke i paralelna je sa projekcijskom ravni π. 6. Metodom odstojanja data je ravan τ(t, M(M, OM 0 )) i tačka V (V, OV 0 ) τ Odrediti projekciuju kupe kojoj je vrh data tačka V, osnova pripada ravni τ, a visina kupe je duplo veća od prečnika osnove. Odrediti zatim presek kupe i ravni β koja sadrži pravu r : M r, r t i deli visinu kupe u odnosu 2 : 3 mereno od vrha V. 7. Date su mimoilazne prave p(p, A, OA 0 ) i q(q, B, OB 0 ). Odrediti zajedničku normalu n i rastojanje izmedju pravih p i q. 8. Data je tačka E(E, OE 0 ) i prava p(p, N, ON 0 ) koja ne sadrži tačku E. Konstruisati projekciju pravilnog oktadera ABCDEF ako je teme E data tačka, a ivica AB pripada pravoj p (ABE je pljosan oktaedra). 9. Data je ravan τ(t, M, OM 0 ) i tačka S(S, OS 0 ) van ravni τ. Predstaviti normalnu projekciju pravog valjka ako je tačka S središte osnove, τ tangentna ravan valjka i izvodnice valjka grade ugao od π sa tragom t ravni τ. Visina valjka je jednaka 3r, gde je r poluprečnik osnove Metodom odstojanja normalnog projektovanja data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ako je teme A data tačka, dijagonalni presek BDD 1 B 1 pripada ravni τ, a prava BD sadrži M. 11. Data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju tetraedra ABCD kome je teme A data tačka, pljosan BCD pripada ravni τ, a ivica BC zaklapa ugao od π sa tragom t 6 ravni τ. Odrediti zatim presek tetraedra sa ravni β čiji je trag prava t i koja sadrži središte visine tetraedra iz temena A. 12. Data je tačka S(S, OS 0 ) i prava p(p, A, OA 0 ). Konstruisati projekciju prave kupe kojoj je središte osnove tačka S, jedna izvodnica kupe pripada pravoj p, a ugao izmedju visine kupe i izvodnice jednak π Date su tačke S i T. Konstruisati projekciju sfere koja ima centar u S i sadrži T. Zatim odrediti presek sfere i ravni τ koja je normalna na duž ST i deli je u odnosu 1 : 2 posmatrano od S. 14. Metodom odstojanja date su paralelne ravni α(a, A(A, OA 0 )) i β(b). Odrediti projekciju kvadra čije osnove pripadaju ravnima α i β ako je odnos dužine, širine i visine kvadra 3 : 2 : 1. Tačka A je jedno teme kvadra, a ivica AB gradi ugao π sa tragom a ravni α. 8
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότεραGeometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd
Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραRadni materijal 17 PRIZME
Radni materijal 17 PRIZME Odreži i zalijepi slike u bilježnicu, izvedi formule za oplošje i obujam, označi i izvedi formule za plošne i prostorne dijagonale. Oplošje OBP = + Volumen ili obujam V = Bv slika
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPOLIEDRI. Ivana Bojović 171/03
POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότερα9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar
9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje
Διαβάστε περισσότεραEuklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραGIMNAZIJA LAZAREVAC ZADACI IZ MATEMATIKE ZA MATURSKI ISPIT
GIMNAZIJA LAZAREVAC ZADACI IZ MATEMATIKE ZA MATURSKI ISPIT I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI I POLINOMI Uprostiti izraz ab abab : ab ba ab yy y y y y y y Uprostiti izraz : Uprostiti izraz Uprostiti izraz
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 19. novembar 2014. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija
12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραMilan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)
.7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραPRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT
PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραTehnologija bušenja II
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότεραZnačenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine
56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA
Διαβάστε περισσότεραKružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu MASTER RAD Kružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora Tomović Siniša Beograd, Januar 2013. Mentor: Dr Zoran Lučić Članovi komisije:
Διαβάστε περισσότερα