3. IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ"

Transcript

1 IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ H συµπεριφορά πολυµερικών ρευστών, όπως τήγµατα και διαλύµατα, υπό την επίδραση τάσεων µπορεί κάτω από ορισµένες συνθήκες να προσοµοιάζει εκείνη των στερεών, πέρα από το γεγονός ότι παρουσιάζουν µη γραµµική εξάρτηση των τάσεων από τους ρυθµούς παραµόρφωσης. Η µελέτη της ροής των πολυµερών αποτελεί κλάδο της γενικότερης επιστήµης της ΡΕΟΛΟΓΙΑΣ. Το 1929 για πρώτη φορά παγκοσµίως ιδρύθηκε η Εταιρεία Ρεολογίας των ΗΠΑ (Society of Rheology, S.O.R.), και υπό την προεδρία του Bingham υιοθέτησε το ρητό του ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΥ (6 ος αιώνας π.χ.) ΤΑ ΠANTA ΡEI και σαν σύµβολο την κλεψύδρα. ίχως αµφιβολία το νερό είναι ρευστό επειδή ρέει αµέσως. Στους καθεδρικούς ναούς της Ευρώπης έχει παρατηρηθεί ότι το κάτω µέρος των υαλοπινάκων ή των βιτρώ είναι παχύτερο από το πάνω. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται ότι η ύαλος έχει ουσιαστικά υποστεί ροή, αλλά σε διάστηµα περισσότερο από 100 χρόνια. Είναι εποµένως θέµα χρόνου για να υπάρξει ροή. - Η χρονική σταθερά για το νερό λ = s (σύµφωνα µε θεωρητικές εκτιµήσεις) - Η χρονική σταθερά για την ύαλο λ = 100 χρόνια (σύµφωνα µε εκτιµήσεις από παρατηρήσεις σε ναούς) - Η χρονική σταθερά για πολυµερικά τήγµατα λ = s (σύµφωνα µε µετρήσεις)

2 3-2 Ο Reiner χρησιµοποίησε τη βιβλική έκφραση ότι και τα όρη ρέουν προ του Θεού [Ύµνος της εβώρας, Κριτές 5:5] για να ορίσει τον αριθµό DEBORAH. λ De = = θ χρονος υλικου χρονος επεξεργασιας Ας επιλέξουµε ένα τυπικό πολυµερές µε λ = 1 s. Όταν ο χρόνος επεξεργασίας είναι µεγάλος (θ ), δηλ. De 0, τότε το υλικό συµπεριφέρεται σαν ρευστό. Όταν ο χρόνος επεξεργασίας είναι µικρός (θ 0), De, και το πολυµερές συµπεριφέρεται σαν στερεό. Σε πολλές διεργασίες µορφοποίησης πολυµερών, η διέλευση µέσα από µήτρες εκβολής ή έγχυσης µπορεί να διαρκέσει από s, και έτσι έχουµε De = Εποµένως, η συµπεριφορά πολυµερικών τηγµάτων έχει χαρακτηριστικά αφ ενός µεν υγρών (ιξώδες) αφ ετέρου δε στερεών (ελαστικότητα), και αναφέρεται σαν ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. Σκοπός της ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑΣ είναι η ανάπτυξη και επίλυση µαθηµατικών µοντέλων που περιγράφουν την ιξωδοελαστική συµπεριφορά των πολυµερών. Tο πιο απλό (ΙΞΩ ΕΣ) µοντέλο ρευστού είναι το Νευτωνικό τ = µγ, που αντιπροσωπεύεται από το µηχανικό ανάλογο του αποσβέστη κραδασµών (αµορτισέρ). M. Reiner, Phys. Today, Jan. 1964, p. 62.

3 3-3 Tο πιο απλό (EΛAΣTIΚΟ) µοντέλο στερεού είναι το Χουκιανό τ=gγ, που αντιπροσωπεύεται από το µηχανικό ανάλογο του ελατηρίου. Ας δηµιουργήσουµε ένα ιδεατό µηχάνηµα που αποτελείται από το ΝΕΥΤΩΝΙΚΟ αποσβεστήρα και το ΧΟΥΚΙΑΝΟ ελατήριο: τ = µγ τ = Gγ όπου γ = παραµόρφωση και γ = ρυθµός παραµόρφωσης. Tο σύνθετο υλικό (δηλ. το ιδεατό µηχάνηµα ή µηχανικό ανάλογο) θα έχει ρυθµό παραµόρφωσης ίσο µε το άθροισµα των ατοµικών ρυθµών παραµορφώσεων: γ = γ + γ fluid τ τ γ = + µ G solid µ τ + τ = µγ G Το πηλίκο µ/g έχει διαστάσεις χρόνου και συνήθως παριστάνεται µε το λ τ + λτ = µγ Αυτό είναι το επωνοµαζόµενο µοντέλο ρευστού ΜΑXWELL. Στο µαθηµατικό µοντέλο, το γ αντιπροσωπεύει παραµόρφωση επιµήκυνσης, όµως µπορεί να γενικευθεί για

4 3-4 να συµπεριλάβει την παραµόρφωση διάτµησης ή καλύτερα παραµόρφωση γ και ρυθµό παραµόρφωσης γ. Ας υποθέσουµε ότι το µηχανικό µοντέλο του Maxwell ξαφνικά τεντώνεται σε µια νέα θέση όπου και παραµένει. Αυτό σηµαίνει ότι επιβάλλουµε µια σταθερά επέκταση (παραµόρφωση) γ = σταθ. και εποµένως γ = 0. Η εξίσωση Maxwell γίνεται Έστω τ = S όταν t = 0, τότε Έτσι βλέπουµε ότι όταν t = λ, τ + λτ = 0 d τ+ λ τ = 0 dt t λ 1 τ = Ce τ = Se t λ τ= S e Εποµένως το λ αντιπροσωπεύει το χρόνο που απαιτείται για να φθίνει η τάση κατά 1/e=0.37, και ονοµάζεται ΧΡΟΝΟΣ ΧΑΛΑΡΩΣΗΣ. Η φυσική σηµασία της ποσότητας αυτής µπορεί να γίνει καλύτερα αντιληπτή µε αναφορά και πάλι στο µηχανικό ανάλογο. Εάν επιβάλουµε µια ξαφνική επέκταση, το ελατήριο θα αντιδράσει αµέσως. Όµως, η τάση θα χαλαρώσει βαθµιαία (εκθετικά), καθώς ο αποσβεστήρας θα αρχίσει και θα συνεχίσει να κινείται. Εάν περάσει αρκετός χρόνος, η τάση θα αποκτήσει τελικά µηδενική τιµή. Αν τα στοιχεία ελατήριο και έµβολο συνδεθούν σε παράλληλη διάταξη

5 3-5 τ = Gγ τ = µ γ τότε έχουµε το µοντέλο Voigt. Τα στοιχεία στο µοντέλο Maxwell υφίστανται την ίδια δύναµη, ενώ στο µοντέλο Voigt υφίστανται την ίδια επιµήκυνση. Η εξίσωση Voigt γίνεται τ = µγ + Gγ µε αρχική συνθήκη σε t = 0: γ = γ ο Θέτουµε ως συνήθως τ = 0 µ = λ G όπου λ είναι ο χρόνος χαλάρωσης. µ Τότε: γ + γ = 0 G Άρα γ + 1 γ = 0 λ Άρα Εάν t = λ, γ = γ γ = e / λ 0e t γ γ = = 0.37γ 0 Άρα λ είναι ο χρόνος που απαιτείται για την παραµόρφωση να µειωθεί στο 0.37 της αρχικής της τιµής.

6 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡA ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Είναι πολύ σπουδαία λόγω των πειραµατικών διατάξεων για µετρήσεις ιξωδοελαστικής συµπεριφοράς πολυµερών. Θεωρούµε υλικά που υπόκεινται σε περιοδική τάση ή παραµόρφωση µε το χρόνο. (α) Χουκιανό Στερεό Υπόκειται σε απλή διάτµηση όπου η παραµόρφωση γ µεταβάλλεται περιοδικά µε το χρόνο: γ = γ sin( ω ) 0 t όπου γ ο = µέγιστη παραµόρφωση ω = 2πf = γωνιακή ταχύτητα f = συχνότητα παραµόρφωσης (1/s) Η ρεολογική εξίσωση του Χουκιανού στερεού είναι: τ = Gγ = Gγ sin( ω ) 0 t Άρα τάση και παραµόρφωση είναι σε φάση. Η περίοδος του πλήρους κύκλου είναι 1/f s /4f 1/2f 3/4f f 3 4 Στα 1 και 3 έχουµε αποθήκευση ενέργειας, ενώ στα 2 και 4 έχουµε απόδοση ενέργειας.

7 3-7 Ορίζουµε τον στιγµιαίο ρυθµό απορρόφησης ενέργειας ανά µονάδα όγκου σαν W I = τ γ Η ολική ενέργεια που αποθηκεύεται στο υλικό στο 1 ο τεταρτηµόριο του κύκλου είναι: W 1 = (1/ 4) f (1/ 4) f (1/ 4) f WI dt = τ γdt = Gγ 0 sin( ωt)[ γ 0 sin( ωt)]' dt = 0 0 Ολοκλήρωση στο µισό κύκλο ή σε όλο τον κύκλο δίνει (β) Νευτωνικό Ρευστό 0 W = 0 γ = γ ο sin(ωt) τ = µγ = µωγ ο cos(ωt) G 2 γ 0 2 Άρα η τάση είναι επίσης ηµιτονοειδής, αλλά ακριβώς 90 ο εκτός φάσης µε την παραµόρφωση. Τάση και ρυθµός παραµόρφωσης είναι όµως σε φάση. Η ενέργεια στο 1 ο τεταρτηµόριο δίνεται από: W I = (1/ 4) f (1/ 4) f τγdt = µω γ ο cos ( ωt) dt = 0 0 π ( ) µωγ 4 2 ο Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει και για τα W 2, W 3, W 4. Εποµένως, W = πµω(γ ο ) 2 Επειδή η ιξώδης ροή είναι µια διαδικασία µη αντιστρεπτή, η ενέργεια αυτή εµφανίζεται σα θερµότητα και αυξάνει τη θερµοκρασία του υλικού. (γ) Ιξωδοελαστικά Yλικά

8 3-8 Τα υλικά αυτά έχουν τόσο πολύπλοκη συµπεριφορά (ούτε είναι σε φάση αλλά ούτε εκτός φάσης µε 90 ο ) που υπάρχει ανάγκη να εισάγουµε µιγαδικές µεταβλητές, και µάλιστα τις τ* και γ*, όπου τ* η µιγαδική τάση διάτµησης και γ* η µιγαδική παραµόρφωση. Θεωρούµε ότι τ* = τ + iτ γ* = γ + iγ Στο παρακάτω σχήµα, που απεικονίζει το µιγαδικό επίπεδο, δ είναι η γωνία φάσης του υλικού. Εκτός αυτού για δική µας ευκολία στους υπολογισµούς θα θεωρήσουµε ότι γ* = γ Im τ τ* δ Re τ Ορίζουµε το µιγαδικό µέτρο διάτµησης G* (complex shear modulus) ως G* = τ* / γ* = G + ig όπου G το µέτρο αποθήκευσης ενέργειας (storage modulus) και G το µέτρο απώλειας ενέργειας (loss modulus) G* = (τ + iτ ) / γ = τ / γ + i(τ / γ ) = G + ig Άρα G = τ / γ

9 3-9 G = τ /γ tanδ = τ /τ = G /G Ορίζουµε την µιγαδική υποχώρηση J* (complex compliance) ως J* = 1 / G* = γ* / τ* και είναι J* = J + ij όπου J η υποχώρηση αποθήκευσης (storage compliance) J η υποχώρηση απώλειας (loss compliance) J = G / [(G ) 2 + (G ) 2 ] = γ / τ J = G / [(G ) 2 + (G ) 2 ] = γ /τ tanδ = J /J Ορίζουµε το µιγαδικό ιξώδες µ* (complex viscosity) ως µ* = τ* / γ * = µ iµ Αποδεικνύεται ότι: γ* = iωγ* Αλλά G* = τ* / γ* = iω(τ* / γ* ) = iωµ* Τότε G = ωµ = ω(τ / γ ) G = ωµ = ω( τ / γ ) tanδ = µ / µ Σε ιξωδοελαστικό υλικό ο στιγµιαίος ρυθµός απορρόφησης ενέργειας ανά µονάδα όγκου δίνεται από τη σχέση W I = τ (t) γ (t) Μετά από πράξεις βγαίνει ότι W I = WG [ γ (t)] 2

10 3-10 Η ολική ενέργεια που απορροφάται κατά τη διάρκεια ενός κύκλου είναι W = 1/ f 1/ f 2 widt = ωg' ' [ γ '( t)] dt = 0 0 ωg'' 1/ f 0 [ γ sin(2πft)] ο 2 dt W = πg (γ ο ) 2 Οι ιξωδοελαστικές ιδιότητες εξαρτώνται από τη συχνότητα και τη θερµοκρασία. Το µοντέλο Maxwell ( τ + λτ = µγ ) δίνει τις εξής σχέσεις για τα G και G G = (Gω 2 λ 2 ) / (1 + ω 2 λ 2 ) G = (Gωλ) / (1 + ω 2 λ 2 ) ********************************************************* Ας θεωρήσουµε πολυµερικό τήγµα που υφίσταται διάτµηση σε ιξωδόµετρο, π.χ. είτε σε ρεογωνιόµετρο είτε σε οµοαξονικό κύλινδρο (βλ. παρακάτω): Γωνία µερικών µοιρών

11 3-11 h Ρευστό Εάν η περιστροφή ξαφνικά σταµατήσει, δηλ. γ = 0, η τάση που έχει µετρηθεί δεν θα γίνει αµέσως µηδέν (όπως θα συνέβαινε σε Νευτωνικά ρευστά), αλλά θα φθίνει µε εκθετικό τρόπο, όπως φαίνεται στο επόµενο διάγραµµα. Τάση, τ B A Χρόνος, t Το πολυµερές Β έχει µεγαλύτερο χρόνο χαλάρωσης από το πολυµερές A. Εποµένως, η χαρακτηριστική συµπεριφορά χαλάρωσης των τάσεων των πολυµερών µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το ρεολογικό χαρακτηρισµό τους. Προφανώς δεν αρκεί να χαρακτηρίζονται τα πολυµερή από το ιξώδες τους µόνο, αλλά επίσης

12 3-12 από τους χρόνους χαλάρωσης. Εάν το υλικό έχει µεγάλους χρόνους χαλάρωσης, είναι δυνατό κατά τη διάρκεια επεξεργασίας του να στερεοποιηθεί προτού προλάβουν οι τάσεις του να χαλαρώσουν τελείως. Εποµένως, είναι δυνατό να παραχθεί προϊόν µε σηµαντικό ποσό εγκλωβισµένων (frozen-in) τάσεων. Αυτές οι τάσεις µπορεί τελικά να απελευθερωθούν και να οδηγήσουν σε φαινόµενα συρρίκνωσης (shrinkage) και σκέβρωσης (warpage) (που είναι ανεπιθύµητα) ή σε πρώιµο ράγισµα (cracking) ή εξασθένηση (γέρασµα, aging). Η συµπεριφορά χαλάρωσης επηρεάζεται από το µέγεθος και την ευελιξία του πολυµερούς. Ρευστά µικρών µορίων, σαν το νερό, έχουν εξαιρετικά µικρούς χρόνους χαλάρωσης, της τάξης µεγέθους των δευτερολέπτων σύµφωνα µε θεωρητικές εκτιµήσεις, ενώ τυπικά πολυµερή έχουν χρόνους χαλάρωσης µεταξύ δευτερολέπτων ΚΑΘΕΤΕΣ ΤΑΣΕΙΣ Μπορούµε να φανταστούµε τις µακρές µοριακές αλυσίδες να ενεργούν σαν ελαστικά (λαστιχάκια) ή ελατήρια. Με την επιµήκυνση τα ελατήρια τεντώνονται γύρω από ένα περιστρεφόµενο στέλεχος και εξασκούν συνθλιπτική δύναµη πρός τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής σαν στραγγάλισµα, που έχει σαν αποτέλεσµα την προσροή του ρευστού προς τον άξονα. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται αναρρίχηση στελέχους ή φαινόµενο Weissenberg. Το αντίθετο (δηλ. κατάβαση επιφάνειας) παρατηρείται µε Νευτωνικά ρευστά, και οφείλεται σε φυγόκεντρες δυνάµεις.

13 3-13 Tο φαινόµενο αναρρίχησης (Weissenberg) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µέτρηση της διαφοράς κάθετων τάσεων. Κάνοντας χρήση του (αντεστραµµένου) οργάνου κώνου και πλάκας, µπορεί να µετρηθεί η κάθετη δύναµη N. Αποδεικνύεται ότι η δύναµη αυτή οφείλεται στη διαφορά των τάσεων που αναπτύσσονται στο άνοιγµα µεταξύ του κώνου και της πλάκας. N θ φ s Έτσι έχουµε N 2N = τ τ = πr Όπως αναφέραµε προηγουµένως, αυτή η διαφορά κάθετων τάσεων µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το χαρακτηρισµό των πολυµερών. Για ορισµένα πολυµερή είναι αρκετά µεγάλη, ενώ για άλλα είναι µάλλον µικρή, ανάλογα µε την κατανοµή µοριακών βαρών (MWD). Πολυµερή µε ευρεία MWD (π.χ. µεγάλη ουρά µοριακού βάρους) έχουν και µεγάλα N 1. Έχει βρεθεί εµπειρικά πως για πολλά δείγµατα πολυστυρενίου (PS) του εµπορίου ισχύει περίπου ή εξής σχέση:

14 3-14 N 1 = = τ Aτ b 166. σε Pa Φυσικά η σχέση αυτή δεν έχει γενική ισχύ, αλλά αναφέρεται για να εκτιµηθεί το σχετικό µέγεθος των τ και N 1. Εποµένως, στην εκβολή µπορούµε να φθάσουµε µέχρι τ w =10 5 Pa (ή 0.1 ΜPa), και η παραπάνω σχέση δίνει το µέγεθος της διαφοράς των κάθετων τάσεων στο τοίχωµα, N. ( ). τ. ( ) = = = 700 kpa wall Η διαφορά κάθετων τάσεων N 1 είναι η κύρια αιτία της διόγκωσης των πολυµερών κατά την έξοδό τους από µήτρες εκβολής ή αγωγούς. Νευτωνικό Πολυµερές ιογκώσεις µέχρι και 400% έχουν µετρηθεί για πολυµερικά τήγµατα (!). Όταν ένα πολυµερές διέρχεται µέσα από έναν αγωγό ή µήτρα εκβολής, οι αλυσίδες τεντώνονται (δηλ. ενεργούν σαν λαστιχάκια ή ελατήρια) και αναπτύσουν τάσεις.

15 r 1 z D d Αποδεικνύεται ότι τ 11 > τ 22 και N 1 = τ 11 - τ 22 > 0. Με την έξοδο του πολυµερούς από τον αγωγό, οι τάσεις αναγκάζονται να χαλαρώσουν µε αποτέλεσµα την επέκταση του ρευστού και την επερχόµενη διόγκωσή του. Έτσι έχουµε d = D f N 1 ( ) Επειδή το N 1 είναι µεγαλύτερο για τα πολυµερή ευρείας MWD, παρατηρείται και µεγαλύτερη διόγκωση για αυτά! 3.3. ΥΠΕΡΒΑΣΗ ΤΑΣΕΩΝ (STRESS OVERSHOOT) Κατά την εκκίνηση της ροής, π.χ. σε ρεόµετρο κώνου και πλάκας, τα Νευτωνικά ρευστά φθάνουν στο επίπεδο της επιβαλλόµενης τάσης αµέσως, σε αντίθεση µε τα πολυµερικά ρευστά που παρουσιάζουν φαινόµενα υπέρβασης (οvershoot), όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα:

16 3-16 Τάση, τ Πολυµερές Νευτωνικό Χρόνος, t Φαινόµενα υπέρβασης τάσεων παρατηρούνται επίσης στο συνοβιακό ρευστό στις κλειδώσεις των γονάτων... όταν αναπηδάει κάποιος!!! 3.4. ΙΞΩ ΕΣ ΕΠΙΜΗΚΥΝΣΗΣ ενός ρευστού. Ας θεωρήσουµε µονοαξονικό τέντωµα κυλινδρικού στοιχείου A F Φυσικά, είναι δύσκολο να φανταστούµε τέντωµα υγρού όπως το νερό. Όµως τα πολυµερικά τήγµατα έχουν αρκετή δύναµη στον εφελκυσµό και µπορούν να τεντωθούν αρκετά χωρίς να σπάσουν. Το γεγονός αυτό έχει επιτρέψει την παραγωγή συνθετικών νηµάτων για ρουχισµό και άλλων προϊόντων κατανάλωσης. Ορίζουµε το ιξώδες επιµήκυνσης σαν η σ ε e = 11

17 3-17 όπου σ 11 είναι η τάση επιµήκυνσης σ 11 = F A και ε είναι ο ρυθµός επιµήκυνσης ε = V xx Αποδεικνύεται µαθηµατικά ότι για Νευτωνικά ρευστά η σχέση µεταξύ ιξώδους διάτµησης και ιξώδους επιµήκυνσης είναι (σχέση Trouton) η e = 3µ όπου µ είναι το Νευτωνικό ιξώδες διάτµησης. Όµως, δεν είναι αναγκαίο να µετρηθεί το ιξώδες επιµήκυνσης των Νευτωνικών ρευστών (είναι δύσκολο να τεντώσει κανείς ένα ρευστό οµοιόµορφα). Για πολυµερή όµως ή σχέση του Trouton η e =3µ δεν ισχύει. Συνήθως, η e = 10η 10 2 η. Στο παρακάτω σχήµα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση ενός τυπικού ιξώδους επιµήκυνσης σαν συνάρτηση του ρυθµού επιµήκυνσης. Σε πολύ χαµηλούς ρυθµούς επιµήκυνσης, η σχέση του Trouton ισχύει, κατόπιν όµως παρατηρείται ένα µέγιστο (για ε 10-1 s -1 ), που συνοδεύεται από µείωση (συνήθως) του ιξώδους, όπως απεικονίζεται σχηµατικά. η e,0 = 3η 0 η 0 Περιοχή ισχύος της σχέσης Trouton η e (ιξώδες επιµήκυνσης) η (διατµητικό ιξώδες) ε η γ

18 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΡΕΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ Για τα Νευτωνικά ρευστά αρκεί να µετρηθεί το (σταθερό) ιξώδες τους (εννοείται ιξώδες διάτµησης). Έτσι είναι δυνατό να προβλεφθεί η ροϊκή συµπεριφορά τους και να αποφασιστεί η επεξεργασία τους. Αλλά για τα πολυµερικά τήγµατα χρειαζόµαστε: (1) Ιξώδες διάτµησης είκτης τήγµατος η γ Ο δείκτης τήγµατος (ΜFΙ) παρέχεται συνήθως από τους παραγωγούς πολυµερών, αλλά αντιπροσωπεύει µόνον ένα σηµείο κοντά στο Νευτωνικό πλατώ στην καµπύλη του ιξώδους. Το ιξώδες µετριέται µε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας στην περιοχή γ 2 10 ~ 10 1 s και µε το τριχοειδές ιξωδόµετρο στην περιοχή γ 1~ 10 3 s 1. (2) Πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων N 1 = τ 11 - τ 22 N 1 γ

19 3-19 Μετριέται µε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας στην περιοχή 10 ~ 10 s γ 2 1. Είναι επίσης απαραίτητη η λήψη µετρήσεων σε υψηλά γ, αλλά µέχρι στιγµής δεν υπάρχουν ακριβείς και αξιόπιστες µέθοδοι. (3) Χαλάρωση τάσεων τ Χρόνος Μπορεί να µετρηθεί µε το να σταµατήσουµε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας και να παρατηρήσουµε πως φθίνουν οι τάσεις µε το χρόνο. (4) Ιξώδες επιµήκυνσης η e ε

20 3-20 Πολύ δύσκολο να γίνουν ακριβείς µετρήσεις. Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι, π.χ. τεντώνοντας εκβαλλόµενο νήµα ή τραβώντας το µε σύστηµα κυλίνδρων. (5) Υπέρβαση τάσεων Μπορεί να µετρηθεί µε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας κατά την εκκίνηση του πειράµατος. Τάση, τ Χρόνος, t

21 ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΕΤΡΙΕΤΑΙ; Οι παραγωγοί πολυµερών δίνουν µόνο το ΕΙΚΤΗ (ΡΟΗΣ) ΤΗΓΜΑΤΟΣ (που αποτελεί απλά ένα µόνο σηµείο στην καµπύλη ιξώδους). Χρειάζονται και δεδοµένα του ιξώδους διάτµησης η, εάν πρέπει να σχεδιαστούν µήτρες εκβολής, κλπ., ή να καθοριστούν το P και Q, κλπ. Χρειάζονται επίσης δεδοµένα για την πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων N 1, εάν υπάρχουν προβλήµατα µε τη διόγκωση των πολυµερών. Επίσης το N 1 είναι υπεύθυνο για τα φαινόµενα παρουσίας στροβίλων και αστάθειας κατά τη διάρκεια της ροής ή ελαττωµάτων που µπορούν να παρουσιαστούν στα τελικά προϊόντα. Χρειάζονται δεδοµένα για τη χαλάρωση των τάσεων εάν υπάρχουν προβλήµατα εγκλωβισµένων τάσεων ή σκέβρωσης του τελικού προϊόντος. Χρειάζονται δεδοµένα ιξώδους επιµήκυνσης εάν το πολυµερές χρησιµοποιείται για παραγωγή συνθετικών ινών ή άλλες επεξεργασίες που συναπάγονται τέντωµα, π.χ. θερµοµόρφωση, χύτευση ή µόρφωση µε φύσηµα, κατασκευή φιλµ, κλπ. Χρειάζονται δεδοµένα υπέρβασης τάσεων όποτε υπάρχουν ασυνεχείς επεξεργασίες (δηλ. όχι εκβολή, που είναι συνεχής επεξεργασία, αλλά χύτευση ή µόρφωση µε έγχυση, κλπ.). Σε τελική ανάλυση πρέπει:

22 3-22 να έχει κανείς καλή επίγνωση της κάθε επεξεργασίας µορφοποίησης να γνωρίζει ποιές ιδιότητες είναι σηµαντικές για τη συγκεκριµένη διεργασία να µετρήσει τις ιδιότητες αυτές ΡΟΗ ΣΕ ΑΠΟΤΟΜΗ ΣΥΣΤΟΛΗ Σε ροή πολυµερικών τηγµάτων ο αριθµός Reynolds είναι πολύ µικρός (Re = , προσέγγιση έρπουσας ροής). Όταν ρέει Νευτωνικό ρευστό από µεγάλο ρεζερβουάρ σε αγωγό µικρής διαµέτρου σε χαµηλούς αριθµούς Re, οι ροϊκές γραµµές ακολουθούν το σχήµα του τοιχώµατος, και παρατηρείται ο σχηµατισµός ενός πολύ µικρού στροβίλου στη γωνία του ρεζερβουάρ. Μικρός στρόβιλος P Γραµµική πτώση Μήκος Στο ρεζερβουάρ: δεν παρουσιάζεται µετρήσιµη πτώση πίεσης P, επειδή η ακτίνα είναι πολύ µεγάλη.

23 3-23 Στο µακρύ (τριχοειδή) αγωγό: η πτώση πίεσης είναι γραµµική (όπως αποδείκτηκε προηγουµένως) και δίνεται από: P L = 2τ w R Στην περιοχή εισόδου: λόγω της κάµψης των ροϊκών γραµµών έχουµε µικρή πτώση πίεσης, που µπορεί να προσδιοριστεί από αριθµητική προσοµοίωση (π.χ. µε το FLOWCAD ) επίλυσης του πλήρους συστήµατος των εξισώσεων διατήρησης, και που έχει βρεθεί να δίνεται από τη σχέση (για αξονοσυµµετρικές συστολές λόγου 4:1), P e w ( ) = 2τ Η σχέση αυτή σηµαίνει ότι η πτώση πίεσης που προκαλείται από την παρουσία της συστολής ισοδυναµεί µε αγωγό παραπάνω µήκους L/R = Να σηµειωθεί ότι η σχέση αυτή ισχύει µόνο για Νευτωνικά ρευστά. Για ρευστά που υπακούουν τον εκθετικό νόµο, αντίστοιχοι υπολογισµοί έχουν δώσει µεγαλύτερες τιµές της σταθεράς L/R. Π.χ. για εκθετικό δείκτη n = 0.4 (που αντιστοιχεί σε τυπικό PS του εµπορίου) η σχέση γίνεται P e = 2τ ( 110. ) w ιαπιστώνουµε µια αύξηση της σταθεράς, αλλά όχι πολύ διαφορετική από τη Νευτωνική τιµή. Όµως, πειράµατα µε τυπικά τήγµατα εµπορικού PS µε n = 0.4 δίνουν πολύ µεγάλες πτώσεις πίεσης εισόδου!!! (µέχρι και 10 φορές µεγαλύτερες από την παραπάνω τιµή).

24 3-24 Μεγάλος στρόβιλος P P e εισόδου Μήκος Η P e εισόδου για πολυµερή µπορεί εποµένως να είναι µεγάλη και να κυµαίνεται στην κλίµακα (. ) ~ τ ( ) P e τ w w = ανάλογα µε την παροχή (υψηλή για υψηλά Q). ΓΙΑΤΙ; Η ύπαρξη στροβίλου είναι (µερικώς) υπεύθυνη για την υψηλή P e - αλλά γιατί όµως υπάρχει στρόβιλος; Αυτό έχει αποτελέσει ένα πολύ αντιφατικό πρόβληµα (και ίσως να παραµένει ακόµα). Μεταξύ των ετών πίστευαν ότι το P e σχετίζεται µε το N 1 (πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων), που αναπτύσονται σε τριχοειδείς αγωγούς. Πρόσφατες µαρτυρίες και έρευνες προτείνουν ότι το P e σχετίζεται µε το ιξώδες επιµήκυνσης (η e ). Είναι χαρακτηριστικό ότι ο Cogswell (ICI-UK) πρότεινε µέθοδο µέτρησης του ιξώδους επιµήκυνσης η e από το P εισόδου. Ο Cogswell βρήκε ότι

25 3-25 όπου η e ( + ) ( ) n 1 P = e 2 32ηγ γ = 4 Q 3 πr Η παραπάνω σχέση δίνει το ιξώδες επιµήκυνσης σε ρυθµό επιµήκυνσης 2 4ηγ ε = 3 1 ( n+ ) P e όπου n είναι ο δείκτης του εκθετικού νόµου η= 1 mγ n Να σηµειωθεί ότι η µέθοδος αυτή δεν είναι 100% ακριβής, αλλά θεωρείται αποδεκτή, ιδίως σε υψηλούς ρυθµούς επιµήκυνσης, δηλ s -1, όπου είναι κατά κανόνα αδύνατο να ληφθούν ακριβή αποτελέσµατα µε οποιαδήποτε άλλη µέθοδο Η ΙΟΡΘΩΣΗ BAGLEY ΣΤΗΝ ΤΡΙΧΟΕΙ Η ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΙΑ Όταν κάνουµε πειράµατα µε τριχοειδείς αγωγούς µετράµε συνήθως την πίεση στο ρεζερβουάρ από τη δύναµη στο έµβολο. P res P e P total P cap

26 3-26 Εποµένως, P total = P res + P e + P cap, αλλά P res 0. Στις προηγούµενες εξισώσεις, π.χ. για να πάρουµε το τ w =( P/2L)R, το P είναι η πίεση µόνο στον τριχοειδή αγωγό, P cap. Αλλά στις µετρήσεις πίεσης έχουµε P total = P e + P cap. Εποµένως, πρέπει κατά κάποιον τρόπο να αφαιρέσουµε τη συµβολή της πίεσης εισόδου P e. Ένας τρόπος είναι η χρήση τριχοειδούς αγωγού µηδενικού µήκους (δηλ. οπής) για τον προσδιορισµό του P e. P res P e Έτσι, P = P P capillary total entry Τέτοιου είδους ιξωδόµετρο πωλείται στο εµπόριο από τη βρετανική εταιρεία ROSAND. Με τα περισσότερα όργανα χρησιµοποιείται όµως µια άλλη µέθοδος υπολογισµού. Συνήθως γίνεται χρήση 3 ή 4 τριχοειδών ιξωδοµέτρων, και τα αποτελέσµατα παρίστανται γραφικά σε κλίµακα P vs L/R.

27 3-27 Ευθεία γραµµή (συνήθως) P e L/R Μπορούµε να γράψουµε, τ w P = L + R e 2 όπου e είναι γνωστή σαν διόρθωση Bagley, που και µερικές φορές γράφεται σαν n B ΣΥΝΟΨΗ ΙΟΡΘΩΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΤΡΙΧΟΕΙ Η ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΙΑ Πρώτα υπολογίζεται ο φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης, γ = 4 Q app 3 πr Για τη διόρθωση του ρυθµού διάτµησης γίνεται χρήση της διόρθωσης Rabinowitsch, γ w 4Q 3 true = + 3 πr 4 ( ) 1 4 dln Q d ln τ w Για τον υπολογισµό της διατµητικής τάσης,

28 3-28 τ w = P L 2 R που είναι αποδεκτός εάν ο αγωγός είναι πολύ µακρύς, π.χ. L/D 40 (σφάλµατα µικρού %). Για τη διόρθωση της διατµητικής τάσης γίνεται χρήση της διόρθωσης Bagley. τ w = true ( ) P L + R e 2 Τότε, µπορεί να υπολογιστεί το αληθινό ιξώδες από την παρακάτω εξίσωση, η τ γ = wtrue ( ) wtrue ( ) ΡΟΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟ ΑΓΩΓΟ ΜΕ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΣΤΑ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ Η συνθήκη µη ολίσθησης (δηλ. η παραδοχή ότι η ταχύτητα του ρευστού ισούται µε την ταχύτητα του τοιχώµατος µε το οποίο βρίσκεται σε επαφή) έχει αποτελέσει το θεµέλιο της ρευστοµηχανικής πάνω από ένα περίπου αιώνα. Με τα πολυµερικά τήγµατα έχει παρατηρηθεί ότι πάνω από µια ορισµένη τιµή της διατµητικής τάσης στο τοίχωµα επέρχεται ολίσθηση (συνήθως γύρω στα 0.09 MPa για τα PE). Η ταχύτητα ολίσθησης V s αποτελεί σηµαντική ποσότητα, αλλά είναι δύσκολο να µετρηθεί. Παραθέτουµε µια σχετικά εύκολη µέθοδο µέτρησης που προτάθηκε από τον Mooney πριν από µερικά χρόνια. Ο φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης δίνεται από γ = 4 Q app 3 πr

29 3-29 Η παροχή για µέση ταχύτητα χωρίς ολίσθηση V avg δίνεται από Q =πr 2 Vavg Στην περίπτωση µε ταχύτητα ολίσθησης V s ( avg s) Q = πr 2 V V s και ο φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης µε ολίσθηση δίνεται από γ app,s 4 4 = = 3 πr ( V V ) Q s avg s R που µπορεί να γραφεί σαν γ app,s 4Q s 4V = s 3 πr R ή 4Qs 4V = γ 3 app, s + πr R Η γραφική παράσταση του όρου 4Q/πR 3 µε το 1/R πρέπει να δώσει οριζόντια γραµµή παράλληλη µε τον άξονα x, εάν δεν υπάρχει ολίσθηση. Εάν υπάρχει ολίσθηση, η κλίση της καµπύλης πρέπει να ισούται µε 4V s. s 4Q/πR 3 ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΜΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗ 1/R

30 3-30 Μια ευκολότερη (αλλά λιγότερο ακριβής) µέθοδος για τη µέτρηση της ταχύτητας ολίσθησης είναι δυνατή εάν οι σταθερές του εκθετικού νόµου έχουν προσδιοριστεί από πειράµατα όπου δεν υπήρχε ολίσθηση. Κάνοντας αναφορά στο προηγούµενο κεφάλαιο ανάλυσης τριχοειδούς ιξωδοµετρίας, έχουµε τ n = mγ w τ w m Q n = πr 4n n n Εποµένως, στην περίπτωση ολίσθησης τ w 4 s m Q 4V 3n + 1 = 3 πr R 4n n n Επιλύοντας για την ταχύτητα ολίσθησης 1/ n 4V s 4Q w 4n = 3 R R τ π m 3n + 1 Tούτο σηµαίνει ότι εάν τα m και n είναι γνωστά από πειράµατα χωρίς ολίσθηση, η ταχύτητα ολίσθησης µπορεί να προσδιοριστεί µε τη χρήση ενός και µόνο τριχοειδούς αγωγού. Μετρήσεις µε τις προηγούµενες µεθόδους έχουν γίνει από διάφορους ερευνητές. Παρουσιάζονται συνήθως υπό τη µορφή V s = Aτ β w όπου β = 2 4 (συνήθως) Για το PVC, τέτοιες µετρήσεις έχουν δώσει V s = 180τ 228. w όπου το τ w δίνεται σε MPa και το V s σε mm/s. Για τα PE, η ολίσθηση πιστεύεται ότι συµβαίνει πάνω από µια κρίσιµη τιµή της διατµητικής τάσης των 0.09 MPa, και η αντιπροσωπευτική έκφραση δίνεται από V s = 11050τ 329. w

31 3-31 όπου το τ w δίνεται σε MPa και το V s σε mm/s (ισχύει περίπου στην κλίµακα 0.1 MPa < τ w < 0.3 MPa). Για να βάλουµε όλα τα παραπάνω στο κατάλληλο πλαίσιο, παραθέτουµε ορισµένους αριθµούς που συναντώνται σε τυπική επεξεργασία εκβολής. Η διατµητική τάση µπορεί να είναι γύρω στα 0.2 MPa και η µέγιστη ταχύτητα στο κέντρο της µήτρας γύρω στα 250 mm/s. Η παραπάνω εξίσωση δίνει ταχύτητα ολίσθησης V s = 55 mm/s. Εποµένως, το προφίλ ταχύτητας µοιάζει µε εκείνο του παρακάτω σχήµατος. 55 mm/s 250 mm/s Φυσικά, όλοι οι παραπάνω υπολογισµοί και εκτιµήσεις θα πρέπει να γίνουν αποδεκτοί µε κάποια επιφύλαξη. Στο µεγαλύτερο ποσοστό των περιπτώσεων όπου µετριέται το ιξώδες σε υψηλούς ρυθµούς διάτµησης και τάσεων, είναι µάλλον σίγουρο ότι θα υπάρξει ολίσθηση µέχρι κάποιο βαθµό. Άρα, αυτό που ονοµάζουµε διατµητική λέπτυνση (και που αντικατοπτρίζεται στο δείκτη του εκθετικού νόµου n) µπορεί επίσης να οφείλεται και σε ολίσθηση. Εποµένως, οι τιµές των m και n µπορεί να µην είναι ακριβείς σε ροή χωρίς ολίσθηση.

32 ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Από τις µετρήσεις µόνιµης κατάστασης που αναφέρθηκαν: Το ιξώδες διάτµησης η µετριέται εύκολα κάνοντας χρήση των οργάνων κώνου και πλάκας και τριχοειδούς ιξωδόµετρου. Η πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων N 1 µπορεί να µετρηθεί για ρυθµούς παραµόρφωσης µέχρι 10 s -1, αλλά τα όργανα για αυτό είναι µάλλον ακριβά. Το ιξώδες επιµήκυνσης η e - δύσκολο να µετρηθεί - µέθοδοι ανακριβείς - όργανα πολύ ακριβά Η τάση χαλάρωσης και υπέρβαση τάσης έχουν περιορισµούς στις µετρήσεις συνήθως από (α) αδράνεια ή (β) πειραµατικές δυσκολίες για βραχείς χρόνους, καθώς επίσης και από (γ) δοµικές αλλαγές του υλικού, και τελικά (δ) την υποµονή του ερευνητή για πάρα πολύ µακρούς χρόνους. Η καλύτερη εναλλακτική λύση είναι να καταφύγει κανείς σε δυναµικές µετρήσεις, δηλ. επιβάλλοντας στο όργανο κώνου και πλάκας µια ηµιτονοειδή τάση ή παραµόρφωση. Τέτοιες µετρήσεις είναι σχετικά εύκολες. Μπορεί να παράγει κανείς υψηλές συχνότητες ταλαντώσεων χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Οι µαθηµατικοί τύποι των διαφόρων δυναµικών ποσοτήτων είναι µάλλον πολύπλοκοι (και δεν θα δοθούν εδώ). Αρκεί

33 3-33 να ειπωθεί ότι η τάση και η εφαρµοζόµενη παραµόρφωση βρίσκονται εκτός φάσης. ΟΡΙΣΜΟΙ (χωρίς απόδειξη): ταση σε ϕαση G ( ω) = µετρο αποθηκευσης µεγιστη παραµορϕωση ταση εκτος ϕασης G ( ω) = µετρο απωλειας µεγιστη παραµορϕωση Το δυναµικό ιξώδες ορίζεται σαν G η ( ω) = ω ( ω) Μια εµπειρική σχέση, που ονοµάζεται κανόνας των COX-MERZ, ορίζει ότι το η (ω) είναι ταυτόσηµο µε το ηγ ( ) µε τη συχνότητα ω να αντιστοιχεί στο ρυθµό διάτµησης γ. η και η η η η γ η ω Ενώ για το ιξώδες µόνιµης κατάστασης η µπορούµε να µετρήσουµε µε τον κώνο και πλάκα µέχρι 10 s 1, για το η µπορούµε να φθάσουµε σε συχνότητες µέχρι 500 s -1 χωρίς δυσκολία... και

34 3-34 ( ) η( ω) ηγ = για τα περισσότερα (αλλά όχι για όλα) τα πολυµερή. Άρα, µπορούµε να µετρήσουµε το ιξώδες µόνιµης κατάστασης από δυναµική λειτουργία του ιξωδόµετρου κώνου και πλάκας. Από το σχήµα των καµπυλών G και G G" log G η log G G' G' G c Σηµείο διασταύρωσης G" ω c ω µπορούµε να συνάγουµε τη δοµή του πολυµερούς (έµµεσα αλλά αποτελεσµατικά), π.χ. η τιµή του G =G στο σηµείο διασταύρωσης συσχετίζεται µε τον πολυσκεδασµό του πολυπροπυλένιου. Ο δείκτης πολυσκεδασµού (polydispersity index, P.I.), που σχετίζεται µε το λόγο των µέσων µοριακών βαρών βάρους (M w ) και αριθµού (M n ), υπολογίζεται από το µέτρο διασταύρωσης G c ως ακολούθως PI..= 105 ( Pa) όπου G G G c = = στη συχνότητα διασταύρωσης ω c. G c

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Εχοντας συζητήσει τις περιπτώσεις των καθαρά ελαστικών και ιξώδων σωµάτων, µπορούµε να εξετάσουµε τώρα πιο πολύπλοκες περιπτώσεις. Περιπτώσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ

ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Ρεολογική συμπεριφορά ρευστών Υλική σχέση Νευτωνικά και μη νευτωνικά ρευστά Τανυστής ιξώδους Τάσης και ρυθμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ - ΡΕΟΛΟΓΙΑ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ - ΡΕΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ - ΡΕΟΛΟΓΙΑ Ρεολογία Επιστήµη που εξετάζει την ροή και την παραµόρφωση των υλικών κάτω από την άσκηση πίεσης. Η µεταφορά των υγρών στην βιοµηχανία τροφίµων συνδέεται άµεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών

Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών Θεοχαροπούλου Ηλιάνα 1, Μπακιρτζή Δέσποινα 2, Οικονόμου Ευαγγελία, Σαμαρά Κατερίνα 3, Τζάμου Βασιλική 4 1 ο Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Θεσ/νίκης «Μανόλης

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ZHTHMA Στις ερωτήσεις έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης Η πραγµατική επιφάνεια ξήρανσης είναι διασπαρµένη και ασυνεχής και ο µηχανισµός από τον οποίο ελέγχεται ο ρυθµός ξήρανσης συνίσταται στην διάχυση της θερµότητας και της µάζας µέσα από το πορώδες στερεό.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός ιδιοτήτων ροής ιδιοτήτων µεταφοράς µε µεθόδους Μοριακής υναµικής

Υπολογισµός ιδιοτήτων ροής ιδιοτήτων µεταφοράς µε µεθόδους Μοριακής υναµικής Υπολογισµός ιδιοτήτων ροής ιδιοτήτων µεταφοράς µε µεθόδους Μοριακής υναµικής Η έρευνα χρηµατοδοτείται από τη ΓΓΕΤ, στο πλαίσιο του προγράµµατος ΠΕΝΕ 03Ε 588. Φίλιππος Σοφός Υποψήφιος διδάκτωρ Επιβλέποντες:

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) Θέµα 1 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Φυσική Γ Λυκείου (Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης) 1.1 Πολλαπλής επιλογής A. Ελαστική ονοµάζεται η κρούση στην οποία: α. οι ταχύτητες των σωµάτων πριν και µετά την κρούση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain)

Μηχανικές ιδιότητες υάλων. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) Μηχανικές ιδιότητες υάλων Η ψαθυρότητα των υάλων είναι μια ιδιότητα καλά γνωστή που εύκολα διαπιστώνεται σε σύγκριση με ένα μεταλλικό υλικό. Διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης (stress-stain) E (Young s modulus)=

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΑ ΡΕΥΜΑΤΑ Ένα ρεύµα ονοµάζεται εναλλασσόµενο όταν το πλάτος του χαρακτηρίζεται από µια συνάρτηση του χρόνου, η οποία εµφανίζει κάποια περιοδικότητα. Το συνολικό ρεύµα που διέρχεται από µια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΕΡΙΩΝ. 1. Δώστε τον ορισμό τον τύπο και το διάγραμμα σε άξονες P v της ισόθερμης μεταβολής. σελ. 10. και

ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΕΡΙΩΝ. 1. Δώστε τον ορισμό τον τύπο και το διάγραμμα σε άξονες P v της ισόθερμης μεταβολής. σελ. 10. και ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑΕΡΙΩΝ 1. Δώστε τον ορισμό τον τύπο και το διάγραμμα σε άξονες P v της ισόθερμης μεταβολής. σελ. 10 ορισμός : Ισόθερμη, ονομάζεται η μεταβολή κατά τη διάρκεια της οποίας η θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5)

δ) µειώνεται το µήκος κύµατός της (Μονάδες 5) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 011-01 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1 η (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/1/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα

Κεφάλαιο T3. Ηχητικά κύµατα Κεφάλαιο T3 Ηχητικά κύµατα Εισαγωγή στα ηχητικά κύµατα Τα κύµατα µπορούν να διαδίδονται σε µέσα τριών διαστάσεων. Τα ηχητικά κύµατα είναι διαµήκη κύµατα. Διαδίδονται σε οποιοδήποτε υλικό. Είναι µηχανικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟ ΙΞΩΔΕΣ ΔΙΑΦΑΝΩΝ ΚΑΙ ΑΔΙΑΦΑΝΩΝ ΥΓΡΩΝ (ASTM D 445, IP 71)

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟ ΙΞΩΔΕΣ ΔΙΑΦΑΝΩΝ ΚΑΙ ΑΔΙΑΦΑΝΩΝ ΥΓΡΩΝ (ASTM D 445, IP 71) ΘΕΩΡΙΑ Ιξώδες ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟ ΙΞΩΔΕΣ ΔΙΑΦΑΝΩΝ ΚΑΙ ΑΔΙΑΦΑΝΩΝ ΥΓΡΩΝ (ASTM D 445, IP 71) Το ιξώδες είναι η ιδιότητα που έχει ένα ρευστό να παρουσιάζει αντίσταση κατά τη ροή του, ως αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα κινείται πάνω σε μια λεία επιφάνεια, υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης όπως το σχήμα

Ένα σώμα κινείται πάνω σε μια λεία επιφάνεια, υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης όπως το σχήμα 1 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 8 η Ένα σώμα κινείται πάνω σε μια λεία επιφάνεια, υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης όπως το σχήμα Νόμοι του Νεύτωνα: Fx = Fσυνθ = m α Χ (1) Fy + N = mg (δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 26 Απριλίου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 015 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 015 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση

4.1.α. Κρούσεις. Κρούσεις. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. 4.1.22. Κρούση και τριβές. 4.1.23. Κεντρική ανελαστική κρούση 4.1.α.. 4.1.21. Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση. Μια πλάκα µάζας Μ=4kg ηρεµεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=250ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Εκτρέπουµε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

6.2. ΤΗΞΗ ΚΑΙ ΠΗΞΗ, ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ

6.2. ΤΗΞΗ ΚΑΙ ΠΗΞΗ, ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ 45 6.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΦΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΦΑΣΕΩΝ Όλα τα σώµατα,στερεά -ά-αέρια, που υπάρχουν στη φύση βρίσκονται σε µια από τις τρεις φάσεις ή σε δύο ή και τις τρεις. Όλα τα σώµατα µπορεί να αλλάξουν φάση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ -Ειδικότητα Υδραυλική Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 05 ΜΕΤΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Αντικείμενο της άσκησης αυτής είναι η μέτρηση της διαφοράς φάσης μεταξύ δύο κυματομορφών τάσης σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΥδροδυναµικέςΜηχανές

ΥδροδυναµικέςΜηχανές ΥδροδυναµικέςΜηχανές Χαρακτηριστικές καµπύλες υδροστροβίλων Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Θεωρητικήχαρακτηριστική υδροστροβίλου Θεωρητική χαρακτηριστική υδροστροβίλου

Διαβάστε περισσότερα

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών O11 Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί α) στη μελέτη του φαινομένου της εξασθένησης φωτός καθώς διέρχεται μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής

Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής Θ1 Προσδιορισµός συντελεστή γραµµικής διαστολής 1. Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα µελετηθεί το φαινόµενο της γραµµικής διαστολής και θα προσδιοριστεί ο συντελεστής γραµµικής διαστολής ορείχαλκου ή χαλκού..

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης

Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης ΠΩΣ ΝΑ ΕΠΙΛΕΞΕΤΕ ΗΛΕΚΤΡΟΔΟΝΗΤΗ ITALVIBRAS Συστήματα και Μέθοδοι Δόνησης Τα συστήματα στα οποία χρησιμοποιείται η δόνηση μπορούν να χωριστούν στις εξής κατηγορίες: Συστήματα ελεύθερης ταλάντωσης, τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10 ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10 1. Τρια αντικείµενα Α, Β και C µε µάζα m, 2m και 8m αντίστοιχα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και στις θέσεις που φαίνονται στο σχήµα. Σε ποια θέση (x,y) πρέπει να τοποθετεί ένα τέταρτο

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι:

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Χρήσεις της διαστατικής ανάλυσης Η διαστατική ανάλυση είναι μία τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση των προβλημάτων της Ρευστομηχανικής. Οι εφαρμογές της διαστατικής

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014. ÄÉÁÍüÇÓÇ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 23 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα