3. IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ"

Transcript

1 IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ H συµπεριφορά πολυµερικών ρευστών, όπως τήγµατα και διαλύµατα, υπό την επίδραση τάσεων µπορεί κάτω από ορισµένες συνθήκες να προσοµοιάζει εκείνη των στερεών, πέρα από το γεγονός ότι παρουσιάζουν µη γραµµική εξάρτηση των τάσεων από τους ρυθµούς παραµόρφωσης. Η µελέτη της ροής των πολυµερών αποτελεί κλάδο της γενικότερης επιστήµης της ΡΕΟΛΟΓΙΑΣ. Το 1929 για πρώτη φορά παγκοσµίως ιδρύθηκε η Εταιρεία Ρεολογίας των ΗΠΑ (Society of Rheology, S.O.R.), και υπό την προεδρία του Bingham υιοθέτησε το ρητό του ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΥ (6 ος αιώνας π.χ.) ΤΑ ΠANTA ΡEI και σαν σύµβολο την κλεψύδρα. ίχως αµφιβολία το νερό είναι ρευστό επειδή ρέει αµέσως. Στους καθεδρικούς ναούς της Ευρώπης έχει παρατηρηθεί ότι το κάτω µέρος των υαλοπινάκων ή των βιτρώ είναι παχύτερο από το πάνω. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται ότι η ύαλος έχει ουσιαστικά υποστεί ροή, αλλά σε διάστηµα περισσότερο από 100 χρόνια. Είναι εποµένως θέµα χρόνου για να υπάρξει ροή. - Η χρονική σταθερά για το νερό λ = s (σύµφωνα µε θεωρητικές εκτιµήσεις) - Η χρονική σταθερά για την ύαλο λ = 100 χρόνια (σύµφωνα µε εκτιµήσεις από παρατηρήσεις σε ναούς) - Η χρονική σταθερά για πολυµερικά τήγµατα λ = s (σύµφωνα µε µετρήσεις)

2 3-2 Ο Reiner χρησιµοποίησε τη βιβλική έκφραση ότι και τα όρη ρέουν προ του Θεού [Ύµνος της εβώρας, Κριτές 5:5] για να ορίσει τον αριθµό DEBORAH. λ De = = θ χρονος υλικου χρονος επεξεργασιας Ας επιλέξουµε ένα τυπικό πολυµερές µε λ = 1 s. Όταν ο χρόνος επεξεργασίας είναι µεγάλος (θ ), δηλ. De 0, τότε το υλικό συµπεριφέρεται σαν ρευστό. Όταν ο χρόνος επεξεργασίας είναι µικρός (θ 0), De, και το πολυµερές συµπεριφέρεται σαν στερεό. Σε πολλές διεργασίες µορφοποίησης πολυµερών, η διέλευση µέσα από µήτρες εκβολής ή έγχυσης µπορεί να διαρκέσει από s, και έτσι έχουµε De = Εποµένως, η συµπεριφορά πολυµερικών τηγµάτων έχει χαρακτηριστικά αφ ενός µεν υγρών (ιξώδες) αφ ετέρου δε στερεών (ελαστικότητα), και αναφέρεται σαν ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ. Σκοπός της ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑΣ είναι η ανάπτυξη και επίλυση µαθηµατικών µοντέλων που περιγράφουν την ιξωδοελαστική συµπεριφορά των πολυµερών. Tο πιο απλό (ΙΞΩ ΕΣ) µοντέλο ρευστού είναι το Νευτωνικό τ = µγ, που αντιπροσωπεύεται από το µηχανικό ανάλογο του αποσβέστη κραδασµών (αµορτισέρ). M. Reiner, Phys. Today, Jan. 1964, p. 62.

3 3-3 Tο πιο απλό (EΛAΣTIΚΟ) µοντέλο στερεού είναι το Χουκιανό τ=gγ, που αντιπροσωπεύεται από το µηχανικό ανάλογο του ελατηρίου. Ας δηµιουργήσουµε ένα ιδεατό µηχάνηµα που αποτελείται από το ΝΕΥΤΩΝΙΚΟ αποσβεστήρα και το ΧΟΥΚΙΑΝΟ ελατήριο: τ = µγ τ = Gγ όπου γ = παραµόρφωση και γ = ρυθµός παραµόρφωσης. Tο σύνθετο υλικό (δηλ. το ιδεατό µηχάνηµα ή µηχανικό ανάλογο) θα έχει ρυθµό παραµόρφωσης ίσο µε το άθροισµα των ατοµικών ρυθµών παραµορφώσεων: γ = γ + γ fluid τ τ γ = + µ G solid µ τ + τ = µγ G Το πηλίκο µ/g έχει διαστάσεις χρόνου και συνήθως παριστάνεται µε το λ τ + λτ = µγ Αυτό είναι το επωνοµαζόµενο µοντέλο ρευστού ΜΑXWELL. Στο µαθηµατικό µοντέλο, το γ αντιπροσωπεύει παραµόρφωση επιµήκυνσης, όµως µπορεί να γενικευθεί για

4 3-4 να συµπεριλάβει την παραµόρφωση διάτµησης ή καλύτερα παραµόρφωση γ και ρυθµό παραµόρφωσης γ. Ας υποθέσουµε ότι το µηχανικό µοντέλο του Maxwell ξαφνικά τεντώνεται σε µια νέα θέση όπου και παραµένει. Αυτό σηµαίνει ότι επιβάλλουµε µια σταθερά επέκταση (παραµόρφωση) γ = σταθ. και εποµένως γ = 0. Η εξίσωση Maxwell γίνεται Έστω τ = S όταν t = 0, τότε Έτσι βλέπουµε ότι όταν t = λ, τ + λτ = 0 d τ+ λ τ = 0 dt t λ 1 τ = Ce τ = Se t λ τ= S e Εποµένως το λ αντιπροσωπεύει το χρόνο που απαιτείται για να φθίνει η τάση κατά 1/e=0.37, και ονοµάζεται ΧΡΟΝΟΣ ΧΑΛΑΡΩΣΗΣ. Η φυσική σηµασία της ποσότητας αυτής µπορεί να γίνει καλύτερα αντιληπτή µε αναφορά και πάλι στο µηχανικό ανάλογο. Εάν επιβάλουµε µια ξαφνική επέκταση, το ελατήριο θα αντιδράσει αµέσως. Όµως, η τάση θα χαλαρώσει βαθµιαία (εκθετικά), καθώς ο αποσβεστήρας θα αρχίσει και θα συνεχίσει να κινείται. Εάν περάσει αρκετός χρόνος, η τάση θα αποκτήσει τελικά µηδενική τιµή. Αν τα στοιχεία ελατήριο και έµβολο συνδεθούν σε παράλληλη διάταξη

5 3-5 τ = Gγ τ = µ γ τότε έχουµε το µοντέλο Voigt. Τα στοιχεία στο µοντέλο Maxwell υφίστανται την ίδια δύναµη, ενώ στο µοντέλο Voigt υφίστανται την ίδια επιµήκυνση. Η εξίσωση Voigt γίνεται τ = µγ + Gγ µε αρχική συνθήκη σε t = 0: γ = γ ο Θέτουµε ως συνήθως τ = 0 µ = λ G όπου λ είναι ο χρόνος χαλάρωσης. µ Τότε: γ + γ = 0 G Άρα γ + 1 γ = 0 λ Άρα Εάν t = λ, γ = γ γ = e / λ 0e t γ γ = = 0.37γ 0 Άρα λ είναι ο χρόνος που απαιτείται για την παραµόρφωση να µειωθεί στο 0.37 της αρχικής της τιµής.

6 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡA ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Είναι πολύ σπουδαία λόγω των πειραµατικών διατάξεων για µετρήσεις ιξωδοελαστικής συµπεριφοράς πολυµερών. Θεωρούµε υλικά που υπόκεινται σε περιοδική τάση ή παραµόρφωση µε το χρόνο. (α) Χουκιανό Στερεό Υπόκειται σε απλή διάτµηση όπου η παραµόρφωση γ µεταβάλλεται περιοδικά µε το χρόνο: γ = γ sin( ω ) 0 t όπου γ ο = µέγιστη παραµόρφωση ω = 2πf = γωνιακή ταχύτητα f = συχνότητα παραµόρφωσης (1/s) Η ρεολογική εξίσωση του Χουκιανού στερεού είναι: τ = Gγ = Gγ sin( ω ) 0 t Άρα τάση και παραµόρφωση είναι σε φάση. Η περίοδος του πλήρους κύκλου είναι 1/f s /4f 1/2f 3/4f f 3 4 Στα 1 και 3 έχουµε αποθήκευση ενέργειας, ενώ στα 2 και 4 έχουµε απόδοση ενέργειας.

7 3-7 Ορίζουµε τον στιγµιαίο ρυθµό απορρόφησης ενέργειας ανά µονάδα όγκου σαν W I = τ γ Η ολική ενέργεια που αποθηκεύεται στο υλικό στο 1 ο τεταρτηµόριο του κύκλου είναι: W 1 = (1/ 4) f (1/ 4) f (1/ 4) f WI dt = τ γdt = Gγ 0 sin( ωt)[ γ 0 sin( ωt)]' dt = 0 0 Ολοκλήρωση στο µισό κύκλο ή σε όλο τον κύκλο δίνει (β) Νευτωνικό Ρευστό 0 W = 0 γ = γ ο sin(ωt) τ = µγ = µωγ ο cos(ωt) G 2 γ 0 2 Άρα η τάση είναι επίσης ηµιτονοειδής, αλλά ακριβώς 90 ο εκτός φάσης µε την παραµόρφωση. Τάση και ρυθµός παραµόρφωσης είναι όµως σε φάση. Η ενέργεια στο 1 ο τεταρτηµόριο δίνεται από: W I = (1/ 4) f (1/ 4) f τγdt = µω γ ο cos ( ωt) dt = 0 0 π ( ) µωγ 4 2 ο Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει και για τα W 2, W 3, W 4. Εποµένως, W = πµω(γ ο ) 2 Επειδή η ιξώδης ροή είναι µια διαδικασία µη αντιστρεπτή, η ενέργεια αυτή εµφανίζεται σα θερµότητα και αυξάνει τη θερµοκρασία του υλικού. (γ) Ιξωδοελαστικά Yλικά

8 3-8 Τα υλικά αυτά έχουν τόσο πολύπλοκη συµπεριφορά (ούτε είναι σε φάση αλλά ούτε εκτός φάσης µε 90 ο ) που υπάρχει ανάγκη να εισάγουµε µιγαδικές µεταβλητές, και µάλιστα τις τ* και γ*, όπου τ* η µιγαδική τάση διάτµησης και γ* η µιγαδική παραµόρφωση. Θεωρούµε ότι τ* = τ + iτ γ* = γ + iγ Στο παρακάτω σχήµα, που απεικονίζει το µιγαδικό επίπεδο, δ είναι η γωνία φάσης του υλικού. Εκτός αυτού για δική µας ευκολία στους υπολογισµούς θα θεωρήσουµε ότι γ* = γ Im τ τ* δ Re τ Ορίζουµε το µιγαδικό µέτρο διάτµησης G* (complex shear modulus) ως G* = τ* / γ* = G + ig όπου G το µέτρο αποθήκευσης ενέργειας (storage modulus) και G το µέτρο απώλειας ενέργειας (loss modulus) G* = (τ + iτ ) / γ = τ / γ + i(τ / γ ) = G + ig Άρα G = τ / γ

9 3-9 G = τ /γ tanδ = τ /τ = G /G Ορίζουµε την µιγαδική υποχώρηση J* (complex compliance) ως J* = 1 / G* = γ* / τ* και είναι J* = J + ij όπου J η υποχώρηση αποθήκευσης (storage compliance) J η υποχώρηση απώλειας (loss compliance) J = G / [(G ) 2 + (G ) 2 ] = γ / τ J = G / [(G ) 2 + (G ) 2 ] = γ /τ tanδ = J /J Ορίζουµε το µιγαδικό ιξώδες µ* (complex viscosity) ως µ* = τ* / γ * = µ iµ Αποδεικνύεται ότι: γ* = iωγ* Αλλά G* = τ* / γ* = iω(τ* / γ* ) = iωµ* Τότε G = ωµ = ω(τ / γ ) G = ωµ = ω( τ / γ ) tanδ = µ / µ Σε ιξωδοελαστικό υλικό ο στιγµιαίος ρυθµός απορρόφησης ενέργειας ανά µονάδα όγκου δίνεται από τη σχέση W I = τ (t) γ (t) Μετά από πράξεις βγαίνει ότι W I = WG [ γ (t)] 2

10 3-10 Η ολική ενέργεια που απορροφάται κατά τη διάρκεια ενός κύκλου είναι W = 1/ f 1/ f 2 widt = ωg' ' [ γ '( t)] dt = 0 0 ωg'' 1/ f 0 [ γ sin(2πft)] ο 2 dt W = πg (γ ο ) 2 Οι ιξωδοελαστικές ιδιότητες εξαρτώνται από τη συχνότητα και τη θερµοκρασία. Το µοντέλο Maxwell ( τ + λτ = µγ ) δίνει τις εξής σχέσεις για τα G και G G = (Gω 2 λ 2 ) / (1 + ω 2 λ 2 ) G = (Gωλ) / (1 + ω 2 λ 2 ) ********************************************************* Ας θεωρήσουµε πολυµερικό τήγµα που υφίσταται διάτµηση σε ιξωδόµετρο, π.χ. είτε σε ρεογωνιόµετρο είτε σε οµοαξονικό κύλινδρο (βλ. παρακάτω): Γωνία µερικών µοιρών

11 3-11 h Ρευστό Εάν η περιστροφή ξαφνικά σταµατήσει, δηλ. γ = 0, η τάση που έχει µετρηθεί δεν θα γίνει αµέσως µηδέν (όπως θα συνέβαινε σε Νευτωνικά ρευστά), αλλά θα φθίνει µε εκθετικό τρόπο, όπως φαίνεται στο επόµενο διάγραµµα. Τάση, τ B A Χρόνος, t Το πολυµερές Β έχει µεγαλύτερο χρόνο χαλάρωσης από το πολυµερές A. Εποµένως, η χαρακτηριστική συµπεριφορά χαλάρωσης των τάσεων των πολυµερών µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το ρεολογικό χαρακτηρισµό τους. Προφανώς δεν αρκεί να χαρακτηρίζονται τα πολυµερή από το ιξώδες τους µόνο, αλλά επίσης

12 3-12 από τους χρόνους χαλάρωσης. Εάν το υλικό έχει µεγάλους χρόνους χαλάρωσης, είναι δυνατό κατά τη διάρκεια επεξεργασίας του να στερεοποιηθεί προτού προλάβουν οι τάσεις του να χαλαρώσουν τελείως. Εποµένως, είναι δυνατό να παραχθεί προϊόν µε σηµαντικό ποσό εγκλωβισµένων (frozen-in) τάσεων. Αυτές οι τάσεις µπορεί τελικά να απελευθερωθούν και να οδηγήσουν σε φαινόµενα συρρίκνωσης (shrinkage) και σκέβρωσης (warpage) (που είναι ανεπιθύµητα) ή σε πρώιµο ράγισµα (cracking) ή εξασθένηση (γέρασµα, aging). Η συµπεριφορά χαλάρωσης επηρεάζεται από το µέγεθος και την ευελιξία του πολυµερούς. Ρευστά µικρών µορίων, σαν το νερό, έχουν εξαιρετικά µικρούς χρόνους χαλάρωσης, της τάξης µεγέθους των δευτερολέπτων σύµφωνα µε θεωρητικές εκτιµήσεις, ενώ τυπικά πολυµερή έχουν χρόνους χαλάρωσης µεταξύ δευτερολέπτων ΚΑΘΕΤΕΣ ΤΑΣΕΙΣ Μπορούµε να φανταστούµε τις µακρές µοριακές αλυσίδες να ενεργούν σαν ελαστικά (λαστιχάκια) ή ελατήρια. Με την επιµήκυνση τα ελατήρια τεντώνονται γύρω από ένα περιστρεφόµενο στέλεχος και εξασκούν συνθλιπτική δύναµη πρός τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής σαν στραγγάλισµα, που έχει σαν αποτέλεσµα την προσροή του ρευστού προς τον άξονα. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται αναρρίχηση στελέχους ή φαινόµενο Weissenberg. Το αντίθετο (δηλ. κατάβαση επιφάνειας) παρατηρείται µε Νευτωνικά ρευστά, και οφείλεται σε φυγόκεντρες δυνάµεις.

13 3-13 Tο φαινόµενο αναρρίχησης (Weissenberg) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µέτρηση της διαφοράς κάθετων τάσεων. Κάνοντας χρήση του (αντεστραµµένου) οργάνου κώνου και πλάκας, µπορεί να µετρηθεί η κάθετη δύναµη N. Αποδεικνύεται ότι η δύναµη αυτή οφείλεται στη διαφορά των τάσεων που αναπτύσσονται στο άνοιγµα µεταξύ του κώνου και της πλάκας. N θ φ s Έτσι έχουµε N 2N = τ τ = πr Όπως αναφέραµε προηγουµένως, αυτή η διαφορά κάθετων τάσεων µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το χαρακτηρισµό των πολυµερών. Για ορισµένα πολυµερή είναι αρκετά µεγάλη, ενώ για άλλα είναι µάλλον µικρή, ανάλογα µε την κατανοµή µοριακών βαρών (MWD). Πολυµερή µε ευρεία MWD (π.χ. µεγάλη ουρά µοριακού βάρους) έχουν και µεγάλα N 1. Έχει βρεθεί εµπειρικά πως για πολλά δείγµατα πολυστυρενίου (PS) του εµπορίου ισχύει περίπου ή εξής σχέση:

14 3-14 N 1 = = τ Aτ b 166. σε Pa Φυσικά η σχέση αυτή δεν έχει γενική ισχύ, αλλά αναφέρεται για να εκτιµηθεί το σχετικό µέγεθος των τ και N 1. Εποµένως, στην εκβολή µπορούµε να φθάσουµε µέχρι τ w =10 5 Pa (ή 0.1 ΜPa), και η παραπάνω σχέση δίνει το µέγεθος της διαφοράς των κάθετων τάσεων στο τοίχωµα, N. ( ). τ. ( ) = = = 700 kpa wall Η διαφορά κάθετων τάσεων N 1 είναι η κύρια αιτία της διόγκωσης των πολυµερών κατά την έξοδό τους από µήτρες εκβολής ή αγωγούς. Νευτωνικό Πολυµερές ιογκώσεις µέχρι και 400% έχουν µετρηθεί για πολυµερικά τήγµατα (!). Όταν ένα πολυµερές διέρχεται µέσα από έναν αγωγό ή µήτρα εκβολής, οι αλυσίδες τεντώνονται (δηλ. ενεργούν σαν λαστιχάκια ή ελατήρια) και αναπτύσουν τάσεις.

15 r 1 z D d Αποδεικνύεται ότι τ 11 > τ 22 και N 1 = τ 11 - τ 22 > 0. Με την έξοδο του πολυµερούς από τον αγωγό, οι τάσεις αναγκάζονται να χαλαρώσουν µε αποτέλεσµα την επέκταση του ρευστού και την επερχόµενη διόγκωσή του. Έτσι έχουµε d = D f N 1 ( ) Επειδή το N 1 είναι µεγαλύτερο για τα πολυµερή ευρείας MWD, παρατηρείται και µεγαλύτερη διόγκωση για αυτά! 3.3. ΥΠΕΡΒΑΣΗ ΤΑΣΕΩΝ (STRESS OVERSHOOT) Κατά την εκκίνηση της ροής, π.χ. σε ρεόµετρο κώνου και πλάκας, τα Νευτωνικά ρευστά φθάνουν στο επίπεδο της επιβαλλόµενης τάσης αµέσως, σε αντίθεση µε τα πολυµερικά ρευστά που παρουσιάζουν φαινόµενα υπέρβασης (οvershoot), όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα:

16 3-16 Τάση, τ Πολυµερές Νευτωνικό Χρόνος, t Φαινόµενα υπέρβασης τάσεων παρατηρούνται επίσης στο συνοβιακό ρευστό στις κλειδώσεις των γονάτων... όταν αναπηδάει κάποιος!!! 3.4. ΙΞΩ ΕΣ ΕΠΙΜΗΚΥΝΣΗΣ ενός ρευστού. Ας θεωρήσουµε µονοαξονικό τέντωµα κυλινδρικού στοιχείου A F Φυσικά, είναι δύσκολο να φανταστούµε τέντωµα υγρού όπως το νερό. Όµως τα πολυµερικά τήγµατα έχουν αρκετή δύναµη στον εφελκυσµό και µπορούν να τεντωθούν αρκετά χωρίς να σπάσουν. Το γεγονός αυτό έχει επιτρέψει την παραγωγή συνθετικών νηµάτων για ρουχισµό και άλλων προϊόντων κατανάλωσης. Ορίζουµε το ιξώδες επιµήκυνσης σαν η σ ε e = 11

17 3-17 όπου σ 11 είναι η τάση επιµήκυνσης σ 11 = F A και ε είναι ο ρυθµός επιµήκυνσης ε = V xx Αποδεικνύεται µαθηµατικά ότι για Νευτωνικά ρευστά η σχέση µεταξύ ιξώδους διάτµησης και ιξώδους επιµήκυνσης είναι (σχέση Trouton) η e = 3µ όπου µ είναι το Νευτωνικό ιξώδες διάτµησης. Όµως, δεν είναι αναγκαίο να µετρηθεί το ιξώδες επιµήκυνσης των Νευτωνικών ρευστών (είναι δύσκολο να τεντώσει κανείς ένα ρευστό οµοιόµορφα). Για πολυµερή όµως ή σχέση του Trouton η e =3µ δεν ισχύει. Συνήθως, η e = 10η 10 2 η. Στο παρακάτω σχήµα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση ενός τυπικού ιξώδους επιµήκυνσης σαν συνάρτηση του ρυθµού επιµήκυνσης. Σε πολύ χαµηλούς ρυθµούς επιµήκυνσης, η σχέση του Trouton ισχύει, κατόπιν όµως παρατηρείται ένα µέγιστο (για ε 10-1 s -1 ), που συνοδεύεται από µείωση (συνήθως) του ιξώδους, όπως απεικονίζεται σχηµατικά. η e,0 = 3η 0 η 0 Περιοχή ισχύος της σχέσης Trouton η e (ιξώδες επιµήκυνσης) η (διατµητικό ιξώδες) ε η γ

18 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΡΕΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ Για τα Νευτωνικά ρευστά αρκεί να µετρηθεί το (σταθερό) ιξώδες τους (εννοείται ιξώδες διάτµησης). Έτσι είναι δυνατό να προβλεφθεί η ροϊκή συµπεριφορά τους και να αποφασιστεί η επεξεργασία τους. Αλλά για τα πολυµερικά τήγµατα χρειαζόµαστε: (1) Ιξώδες διάτµησης είκτης τήγµατος η γ Ο δείκτης τήγµατος (ΜFΙ) παρέχεται συνήθως από τους παραγωγούς πολυµερών, αλλά αντιπροσωπεύει µόνον ένα σηµείο κοντά στο Νευτωνικό πλατώ στην καµπύλη του ιξώδους. Το ιξώδες µετριέται µε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας στην περιοχή γ 2 10 ~ 10 1 s και µε το τριχοειδές ιξωδόµετρο στην περιοχή γ 1~ 10 3 s 1. (2) Πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων N 1 = τ 11 - τ 22 N 1 γ

19 3-19 Μετριέται µε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας στην περιοχή 10 ~ 10 s γ 2 1. Είναι επίσης απαραίτητη η λήψη µετρήσεων σε υψηλά γ, αλλά µέχρι στιγµής δεν υπάρχουν ακριβείς και αξιόπιστες µέθοδοι. (3) Χαλάρωση τάσεων τ Χρόνος Μπορεί να µετρηθεί µε το να σταµατήσουµε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας και να παρατηρήσουµε πως φθίνουν οι τάσεις µε το χρόνο. (4) Ιξώδες επιµήκυνσης η e ε

20 3-20 Πολύ δύσκολο να γίνουν ακριβείς µετρήσεις. Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι, π.χ. τεντώνοντας εκβαλλόµενο νήµα ή τραβώντας το µε σύστηµα κυλίνδρων. (5) Υπέρβαση τάσεων Μπορεί να µετρηθεί µε το ιξωδόµετρο κώνου και πλάκας κατά την εκκίνηση του πειράµατος. Τάση, τ Χρόνος, t

21 ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΕΤΡΙΕΤΑΙ; Οι παραγωγοί πολυµερών δίνουν µόνο το ΕΙΚΤΗ (ΡΟΗΣ) ΤΗΓΜΑΤΟΣ (που αποτελεί απλά ένα µόνο σηµείο στην καµπύλη ιξώδους). Χρειάζονται και δεδοµένα του ιξώδους διάτµησης η, εάν πρέπει να σχεδιαστούν µήτρες εκβολής, κλπ., ή να καθοριστούν το P και Q, κλπ. Χρειάζονται επίσης δεδοµένα για την πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων N 1, εάν υπάρχουν προβλήµατα µε τη διόγκωση των πολυµερών. Επίσης το N 1 είναι υπεύθυνο για τα φαινόµενα παρουσίας στροβίλων και αστάθειας κατά τη διάρκεια της ροής ή ελαττωµάτων που µπορούν να παρουσιαστούν στα τελικά προϊόντα. Χρειάζονται δεδοµένα για τη χαλάρωση των τάσεων εάν υπάρχουν προβλήµατα εγκλωβισµένων τάσεων ή σκέβρωσης του τελικού προϊόντος. Χρειάζονται δεδοµένα ιξώδους επιµήκυνσης εάν το πολυµερές χρησιµοποιείται για παραγωγή συνθετικών ινών ή άλλες επεξεργασίες που συναπάγονται τέντωµα, π.χ. θερµοµόρφωση, χύτευση ή µόρφωση µε φύσηµα, κατασκευή φιλµ, κλπ. Χρειάζονται δεδοµένα υπέρβασης τάσεων όποτε υπάρχουν ασυνεχείς επεξεργασίες (δηλ. όχι εκβολή, που είναι συνεχής επεξεργασία, αλλά χύτευση ή µόρφωση µε έγχυση, κλπ.). Σε τελική ανάλυση πρέπει:

22 3-22 να έχει κανείς καλή επίγνωση της κάθε επεξεργασίας µορφοποίησης να γνωρίζει ποιές ιδιότητες είναι σηµαντικές για τη συγκεκριµένη διεργασία να µετρήσει τις ιδιότητες αυτές ΡΟΗ ΣΕ ΑΠΟΤΟΜΗ ΣΥΣΤΟΛΗ Σε ροή πολυµερικών τηγµάτων ο αριθµός Reynolds είναι πολύ µικρός (Re = , προσέγγιση έρπουσας ροής). Όταν ρέει Νευτωνικό ρευστό από µεγάλο ρεζερβουάρ σε αγωγό µικρής διαµέτρου σε χαµηλούς αριθµούς Re, οι ροϊκές γραµµές ακολουθούν το σχήµα του τοιχώµατος, και παρατηρείται ο σχηµατισµός ενός πολύ µικρού στροβίλου στη γωνία του ρεζερβουάρ. Μικρός στρόβιλος P Γραµµική πτώση Μήκος Στο ρεζερβουάρ: δεν παρουσιάζεται µετρήσιµη πτώση πίεσης P, επειδή η ακτίνα είναι πολύ µεγάλη.

23 3-23 Στο µακρύ (τριχοειδή) αγωγό: η πτώση πίεσης είναι γραµµική (όπως αποδείκτηκε προηγουµένως) και δίνεται από: P L = 2τ w R Στην περιοχή εισόδου: λόγω της κάµψης των ροϊκών γραµµών έχουµε µικρή πτώση πίεσης, που µπορεί να προσδιοριστεί από αριθµητική προσοµοίωση (π.χ. µε το FLOWCAD ) επίλυσης του πλήρους συστήµατος των εξισώσεων διατήρησης, και που έχει βρεθεί να δίνεται από τη σχέση (για αξονοσυµµετρικές συστολές λόγου 4:1), P e w ( ) = 2τ Η σχέση αυτή σηµαίνει ότι η πτώση πίεσης που προκαλείται από την παρουσία της συστολής ισοδυναµεί µε αγωγό παραπάνω µήκους L/R = Να σηµειωθεί ότι η σχέση αυτή ισχύει µόνο για Νευτωνικά ρευστά. Για ρευστά που υπακούουν τον εκθετικό νόµο, αντίστοιχοι υπολογισµοί έχουν δώσει µεγαλύτερες τιµές της σταθεράς L/R. Π.χ. για εκθετικό δείκτη n = 0.4 (που αντιστοιχεί σε τυπικό PS του εµπορίου) η σχέση γίνεται P e = 2τ ( 110. ) w ιαπιστώνουµε µια αύξηση της σταθεράς, αλλά όχι πολύ διαφορετική από τη Νευτωνική τιµή. Όµως, πειράµατα µε τυπικά τήγµατα εµπορικού PS µε n = 0.4 δίνουν πολύ µεγάλες πτώσεις πίεσης εισόδου!!! (µέχρι και 10 φορές µεγαλύτερες από την παραπάνω τιµή).

24 3-24 Μεγάλος στρόβιλος P P e εισόδου Μήκος Η P e εισόδου για πολυµερή µπορεί εποµένως να είναι µεγάλη και να κυµαίνεται στην κλίµακα (. ) ~ τ ( ) P e τ w w = ανάλογα µε την παροχή (υψηλή για υψηλά Q). ΓΙΑΤΙ; Η ύπαρξη στροβίλου είναι (µερικώς) υπεύθυνη για την υψηλή P e - αλλά γιατί όµως υπάρχει στρόβιλος; Αυτό έχει αποτελέσει ένα πολύ αντιφατικό πρόβληµα (και ίσως να παραµένει ακόµα). Μεταξύ των ετών πίστευαν ότι το P e σχετίζεται µε το N 1 (πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων), που αναπτύσονται σε τριχοειδείς αγωγούς. Πρόσφατες µαρτυρίες και έρευνες προτείνουν ότι το P e σχετίζεται µε το ιξώδες επιµήκυνσης (η e ). Είναι χαρακτηριστικό ότι ο Cogswell (ICI-UK) πρότεινε µέθοδο µέτρησης του ιξώδους επιµήκυνσης η e από το P εισόδου. Ο Cogswell βρήκε ότι

25 3-25 όπου η e ( + ) ( ) n 1 P = e 2 32ηγ γ = 4 Q 3 πr Η παραπάνω σχέση δίνει το ιξώδες επιµήκυνσης σε ρυθµό επιµήκυνσης 2 4ηγ ε = 3 1 ( n+ ) P e όπου n είναι ο δείκτης του εκθετικού νόµου η= 1 mγ n Να σηµειωθεί ότι η µέθοδος αυτή δεν είναι 100% ακριβής, αλλά θεωρείται αποδεκτή, ιδίως σε υψηλούς ρυθµούς επιµήκυνσης, δηλ s -1, όπου είναι κατά κανόνα αδύνατο να ληφθούν ακριβή αποτελέσµατα µε οποιαδήποτε άλλη µέθοδο Η ΙΟΡΘΩΣΗ BAGLEY ΣΤΗΝ ΤΡΙΧΟΕΙ Η ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΙΑ Όταν κάνουµε πειράµατα µε τριχοειδείς αγωγούς µετράµε συνήθως την πίεση στο ρεζερβουάρ από τη δύναµη στο έµβολο. P res P e P total P cap

26 3-26 Εποµένως, P total = P res + P e + P cap, αλλά P res 0. Στις προηγούµενες εξισώσεις, π.χ. για να πάρουµε το τ w =( P/2L)R, το P είναι η πίεση µόνο στον τριχοειδή αγωγό, P cap. Αλλά στις µετρήσεις πίεσης έχουµε P total = P e + P cap. Εποµένως, πρέπει κατά κάποιον τρόπο να αφαιρέσουµε τη συµβολή της πίεσης εισόδου P e. Ένας τρόπος είναι η χρήση τριχοειδούς αγωγού µηδενικού µήκους (δηλ. οπής) για τον προσδιορισµό του P e. P res P e Έτσι, P = P P capillary total entry Τέτοιου είδους ιξωδόµετρο πωλείται στο εµπόριο από τη βρετανική εταιρεία ROSAND. Με τα περισσότερα όργανα χρησιµοποιείται όµως µια άλλη µέθοδος υπολογισµού. Συνήθως γίνεται χρήση 3 ή 4 τριχοειδών ιξωδοµέτρων, και τα αποτελέσµατα παρίστανται γραφικά σε κλίµακα P vs L/R.

27 3-27 Ευθεία γραµµή (συνήθως) P e L/R Μπορούµε να γράψουµε, τ w P = L + R e 2 όπου e είναι γνωστή σαν διόρθωση Bagley, που και µερικές φορές γράφεται σαν n B ΣΥΝΟΨΗ ΙΟΡΘΩΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΤΡΙΧΟΕΙ Η ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΙΑ Πρώτα υπολογίζεται ο φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης, γ = 4 Q app 3 πr Για τη διόρθωση του ρυθµού διάτµησης γίνεται χρήση της διόρθωσης Rabinowitsch, γ w 4Q 3 true = + 3 πr 4 ( ) 1 4 dln Q d ln τ w Για τον υπολογισµό της διατµητικής τάσης,

28 3-28 τ w = P L 2 R που είναι αποδεκτός εάν ο αγωγός είναι πολύ µακρύς, π.χ. L/D 40 (σφάλµατα µικρού %). Για τη διόρθωση της διατµητικής τάσης γίνεται χρήση της διόρθωσης Bagley. τ w = true ( ) P L + R e 2 Τότε, µπορεί να υπολογιστεί το αληθινό ιξώδες από την παρακάτω εξίσωση, η τ γ = wtrue ( ) wtrue ( ) ΡΟΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟ ΑΓΩΓΟ ΜΕ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΣΤΑ ΤΟΙΧΩΜΑΤΑ Η συνθήκη µη ολίσθησης (δηλ. η παραδοχή ότι η ταχύτητα του ρευστού ισούται µε την ταχύτητα του τοιχώµατος µε το οποίο βρίσκεται σε επαφή) έχει αποτελέσει το θεµέλιο της ρευστοµηχανικής πάνω από ένα περίπου αιώνα. Με τα πολυµερικά τήγµατα έχει παρατηρηθεί ότι πάνω από µια ορισµένη τιµή της διατµητικής τάσης στο τοίχωµα επέρχεται ολίσθηση (συνήθως γύρω στα 0.09 MPa για τα PE). Η ταχύτητα ολίσθησης V s αποτελεί σηµαντική ποσότητα, αλλά είναι δύσκολο να µετρηθεί. Παραθέτουµε µια σχετικά εύκολη µέθοδο µέτρησης που προτάθηκε από τον Mooney πριν από µερικά χρόνια. Ο φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης δίνεται από γ = 4 Q app 3 πr

29 3-29 Η παροχή για µέση ταχύτητα χωρίς ολίσθηση V avg δίνεται από Q =πr 2 Vavg Στην περίπτωση µε ταχύτητα ολίσθησης V s ( avg s) Q = πr 2 V V s και ο φαινοµενικός ρυθµός διάτµησης µε ολίσθηση δίνεται από γ app,s 4 4 = = 3 πr ( V V ) Q s avg s R που µπορεί να γραφεί σαν γ app,s 4Q s 4V = s 3 πr R ή 4Qs 4V = γ 3 app, s + πr R Η γραφική παράσταση του όρου 4Q/πR 3 µε το 1/R πρέπει να δώσει οριζόντια γραµµή παράλληλη µε τον άξονα x, εάν δεν υπάρχει ολίσθηση. Εάν υπάρχει ολίσθηση, η κλίση της καµπύλης πρέπει να ισούται µε 4V s. s 4Q/πR 3 ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΜΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗ 1/R

30 3-30 Μια ευκολότερη (αλλά λιγότερο ακριβής) µέθοδος για τη µέτρηση της ταχύτητας ολίσθησης είναι δυνατή εάν οι σταθερές του εκθετικού νόµου έχουν προσδιοριστεί από πειράµατα όπου δεν υπήρχε ολίσθηση. Κάνοντας αναφορά στο προηγούµενο κεφάλαιο ανάλυσης τριχοειδούς ιξωδοµετρίας, έχουµε τ n = mγ w τ w m Q n = πr 4n n n Εποµένως, στην περίπτωση ολίσθησης τ w 4 s m Q 4V 3n + 1 = 3 πr R 4n n n Επιλύοντας για την ταχύτητα ολίσθησης 1/ n 4V s 4Q w 4n = 3 R R τ π m 3n + 1 Tούτο σηµαίνει ότι εάν τα m και n είναι γνωστά από πειράµατα χωρίς ολίσθηση, η ταχύτητα ολίσθησης µπορεί να προσδιοριστεί µε τη χρήση ενός και µόνο τριχοειδούς αγωγού. Μετρήσεις µε τις προηγούµενες µεθόδους έχουν γίνει από διάφορους ερευνητές. Παρουσιάζονται συνήθως υπό τη µορφή V s = Aτ β w όπου β = 2 4 (συνήθως) Για το PVC, τέτοιες µετρήσεις έχουν δώσει V s = 180τ 228. w όπου το τ w δίνεται σε MPa και το V s σε mm/s. Για τα PE, η ολίσθηση πιστεύεται ότι συµβαίνει πάνω από µια κρίσιµη τιµή της διατµητικής τάσης των 0.09 MPa, και η αντιπροσωπευτική έκφραση δίνεται από V s = 11050τ 329. w

31 3-31 όπου το τ w δίνεται σε MPa και το V s σε mm/s (ισχύει περίπου στην κλίµακα 0.1 MPa < τ w < 0.3 MPa). Για να βάλουµε όλα τα παραπάνω στο κατάλληλο πλαίσιο, παραθέτουµε ορισµένους αριθµούς που συναντώνται σε τυπική επεξεργασία εκβολής. Η διατµητική τάση µπορεί να είναι γύρω στα 0.2 MPa και η µέγιστη ταχύτητα στο κέντρο της µήτρας γύρω στα 250 mm/s. Η παραπάνω εξίσωση δίνει ταχύτητα ολίσθησης V s = 55 mm/s. Εποµένως, το προφίλ ταχύτητας µοιάζει µε εκείνο του παρακάτω σχήµατος. 55 mm/s 250 mm/s Φυσικά, όλοι οι παραπάνω υπολογισµοί και εκτιµήσεις θα πρέπει να γίνουν αποδεκτοί µε κάποια επιφύλαξη. Στο µεγαλύτερο ποσοστό των περιπτώσεων όπου µετριέται το ιξώδες σε υψηλούς ρυθµούς διάτµησης και τάσεων, είναι µάλλον σίγουρο ότι θα υπάρξει ολίσθηση µέχρι κάποιο βαθµό. Άρα, αυτό που ονοµάζουµε διατµητική λέπτυνση (και που αντικατοπτρίζεται στο δείκτη του εκθετικού νόµου n) µπορεί επίσης να οφείλεται και σε ολίσθηση. Εποµένως, οι τιµές των m και n µπορεί να µην είναι ακριβείς σε ροή χωρίς ολίσθηση.

32 ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Από τις µετρήσεις µόνιµης κατάστασης που αναφέρθηκαν: Το ιξώδες διάτµησης η µετριέται εύκολα κάνοντας χρήση των οργάνων κώνου και πλάκας και τριχοειδούς ιξωδόµετρου. Η πρώτη διαφορά κάθετων τάσεων N 1 µπορεί να µετρηθεί για ρυθµούς παραµόρφωσης µέχρι 10 s -1, αλλά τα όργανα για αυτό είναι µάλλον ακριβά. Το ιξώδες επιµήκυνσης η e - δύσκολο να µετρηθεί - µέθοδοι ανακριβείς - όργανα πολύ ακριβά Η τάση χαλάρωσης και υπέρβαση τάσης έχουν περιορισµούς στις µετρήσεις συνήθως από (α) αδράνεια ή (β) πειραµατικές δυσκολίες για βραχείς χρόνους, καθώς επίσης και από (γ) δοµικές αλλαγές του υλικού, και τελικά (δ) την υποµονή του ερευνητή για πάρα πολύ µακρούς χρόνους. Η καλύτερη εναλλακτική λύση είναι να καταφύγει κανείς σε δυναµικές µετρήσεις, δηλ. επιβάλλοντας στο όργανο κώνου και πλάκας µια ηµιτονοειδή τάση ή παραµόρφωση. Τέτοιες µετρήσεις είναι σχετικά εύκολες. Μπορεί να παράγει κανείς υψηλές συχνότητες ταλαντώσεων χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Οι µαθηµατικοί τύποι των διαφόρων δυναµικών ποσοτήτων είναι µάλλον πολύπλοκοι (και δεν θα δοθούν εδώ). Αρκεί

33 3-33 να ειπωθεί ότι η τάση και η εφαρµοζόµενη παραµόρφωση βρίσκονται εκτός φάσης. ΟΡΙΣΜΟΙ (χωρίς απόδειξη): ταση σε ϕαση G ( ω) = µετρο αποθηκευσης µεγιστη παραµορϕωση ταση εκτος ϕασης G ( ω) = µετρο απωλειας µεγιστη παραµορϕωση Το δυναµικό ιξώδες ορίζεται σαν G η ( ω) = ω ( ω) Μια εµπειρική σχέση, που ονοµάζεται κανόνας των COX-MERZ, ορίζει ότι το η (ω) είναι ταυτόσηµο µε το ηγ ( ) µε τη συχνότητα ω να αντιστοιχεί στο ρυθµό διάτµησης γ. η και η η η η γ η ω Ενώ για το ιξώδες µόνιµης κατάστασης η µπορούµε να µετρήσουµε µε τον κώνο και πλάκα µέχρι 10 s 1, για το η µπορούµε να φθάσουµε σε συχνότητες µέχρι 500 s -1 χωρίς δυσκολία... και

34 3-34 ( ) η( ω) ηγ = για τα περισσότερα (αλλά όχι για όλα) τα πολυµερή. Άρα, µπορούµε να µετρήσουµε το ιξώδες µόνιµης κατάστασης από δυναµική λειτουργία του ιξωδόµετρου κώνου και πλάκας. Από το σχήµα των καµπυλών G και G G" log G η log G G' G' G c Σηµείο διασταύρωσης G" ω c ω µπορούµε να συνάγουµε τη δοµή του πολυµερούς (έµµεσα αλλά αποτελεσµατικά), π.χ. η τιµή του G =G στο σηµείο διασταύρωσης συσχετίζεται µε τον πολυσκεδασµό του πολυπροπυλένιου. Ο δείκτης πολυσκεδασµού (polydispersity index, P.I.), που σχετίζεται µε το λόγο των µέσων µοριακών βαρών βάρους (M w ) και αριθµού (M n ), υπολογίζεται από το µέτρο διασταύρωσης G c ως ακολούθως PI..= 105 ( Pa) όπου G G G c = = στη συχνότητα διασταύρωσης ω c. G c

3. IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ

3. IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ 3-1 3. IΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ H συµπεριφορά πολυµερικών ρευστών, όπως τήγµατα και διαλύµατα, υπό την επίδραση τάσεων µπορεί κάτω από ορισµένες συνθήκες να προσοµοιάζει εκείνη των στερεών, πέρα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ MΗΤΣΟΥΛΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής Τοµέα Μεταλλουργίας & Τεχνολογίας Υλικών ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΘΗΝΑ ΤΡΙΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΙΞΩ ΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Εχοντας συζητήσει τις περιπτώσεις των καθαρά ελαστικών και ιξώδων σωµάτων, µπορούµε να εξετάσουµε τώρα πιο πολύπλοκες περιπτώσεις. Περιπτώσεις που

Διαβάστε περισσότερα

2. ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ

2. ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ 2-2. ΡΟΗ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ 2.. ΙΞΩ ΕΣ Το ιξώδες αποτελεί εκείνη την ιδιότητα του ρευστού που αντιπροσωπεύει αντίσταση στη ροή. Πιο συγκεκριµένα, κάποιος πιο τεχνικός ορισµός θα αναφερόταν

Διαβάστε περισσότερα

-.................4...5. -..6. ANAΛΥΣΗ ΣΕ ΤΡΙΧΟΕΙ ΕΣ ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΟ Για Νευτωνικά ρευστά ο τύπος Hagen-Poiseuille (δηλ. η προηγούµενη εξίσωση για την πτώση πίεσης για n) 8 4 P µ L Q R π µπορεί να χρησιµοποιηεί

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ

ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Ρεολογική συμπεριφορά ρευστών Υλική σχέση Νευτωνικά και μη νευτωνικά ρευστά Τανυστής ιξώδους Τάσης και ρυθμού

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ρεολογία πολυμερών

EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ρεολογία πολυμερών EΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ Ενότητα : Ρεολογία πολυμερών Διδάσκων : Κων/νος Τσιτσιλιάνης, Καθηγητής Ουρανία Κούλη, Ε.ΔΙ.Π. Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Σκοπός Η εξάσκηση των φοιτητών με την ρεολογία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ - ΡΕΟΛΟΓΙΑ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ - ΡΕΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ - ΡΕΟΛΟΓΙΑ Ρεολογία Επιστήµη που εξετάζει την ροή και την παραµόρφωση των υλικών κάτω από την άσκηση πίεσης. Η µεταφορά των υγρών στην βιοµηχανία τροφίµων συνδέεται άµεσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση Τεράστια σημασία του ιξώδους: Ύπαρξη διατμητικών τάσεων που δημιουργούν απώλειες ενέργειας Απαραίτητες σε κάθε μελέτη Είδη ροών Στρωτή ή γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 23 ΜΑΪOY 2016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 3 ΜΑΪOY 016 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Θεωρούµε ινώδες σύνθετο υλικό ενισχυµένο µονοδιευθυντικά µε συνεχείς ίνες. Για τη µελέτη της µηχανικής συµπεριφοράς µιας τυχαίας στρώσης, πρέπει να είναι γνωστές οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 8. Μελέτη Ροπής Αδρανείας Στερεών Σωµάτων

ΠΕΙΡΑΜΑ 8. Μελέτη Ροπής Αδρανείας Στερεών Σωµάτων ΠΕΙΡΑΜΑ 8 Μελέτη Ροπής Αδρανείας Στερεών Σωµάτων Σκοπός του πειράµατος Σκοπός του πειράµατος είναι η µελέτη της ροπής αδρανείας διαφόρων στερεών σωµάτων και των στροφικών ταλαντώσεων που εκτελούν γύρω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων

Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων 1-13 Άσκηση 1 η : Μετατρέπουμε τα δεδομένα από το αγγλοσαξονικό σύστημα στο SI: Διάμετρος άξονα: Dax 3 ice 3i.5 c i 7.6 c.76 Πλάτος περιβλήματος: Wi 6 ice 6i.5 c i 15. c.15 Διάκενο

Διαβάστε περισσότερα

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση Τεράστια σημασία του ιξώδους: Ύπαρξη διατμητικών τάσεων που δημιουργούν απώλειες ενέργειας Απαραίτητες σε κάθε μελέτη Είδη ροών Τυρβώδης ροή αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0

Reynolds. du 1 ξ2 sin 2 u. (2n)!! ( (http://www.natgeotv.com/uk/street-genius/ videos/bulletproof-balloons) n=0 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη Μηχανική Ι, Τμήμα Κ. Τσίγκανου & Ν. Βλαχάκη, Μαΐου 7 Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες, Καλή επιτυχία ( = bonus ερωτήματα) Ονοματεπώνυμο:,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΛΟΓΩ ΔΙΝΩΝ Γ. Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦYΛΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ Διατύπωση των εξισώσεων Θεωρούμε κύλινδρο διαμέτρου D, μήκους l, και μάζας m. Ο κύλινδρος συγκρατειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7/4/06 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις - 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράµμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διαβάστε περισσότερα

Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών

Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών Θεοχαροπούλου Ηλιάνα 1, Μπακιρτζή Δέσποινα 2, Οικονόμου Ευαγγελία, Σαμαρά Κατερίνα 3, Τζάμου Βασιλική 4 1 ο Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Θεσ/νίκης «Μανόλης

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

1ο ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέμα 1: Α. Στις ερωτήσεις 1-3 να σημειώσετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Ένα σώμα μάζας m

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο : Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

A e (t σε sec). Το πλάτος των ταλαντώσεων

A e (t σε sec). Το πλάτος των ταλαντώσεων ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 1. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις µε πλάτος που µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε την 0,01t σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ Άνοιξη 2007 Εισαγωγή Σκοπός της παρούσης ενότητας ασκήσεων είναι η αφοµοίωση των εισαγωγικών παραδόσεων του µαθήµατος «Υπόγεια Υδραυλική», της σύνδεσης της ύλης παραδόσεων

Διαβάστε περισσότερα

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι...

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι... 1. Ο νόµος του Hooke υποστηρίζει ότι οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι.των...που τις προκαλούν. 2. Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα υποστηρίζει ότι οι δυνάµεις που αναφέρονται στο νόµο αυτό έχουν... µέτρα,......

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑ. (συνέχεια) Περιστροφικά ιξωδόμετρα μεγάλου διάκενου.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑ. (συνέχεια) Περιστροφικά ιξωδόμετρα μεγάλου διάκενου. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑ (συνέχεια) Περιστροφικά ιξωδόμετρα μεγάλου διάκενου. Στα ιξωδόμετρα αυτά ένας μικρός σε διάμετρο κύλινδρος περιστρέφεται μέσα σε μια μεγάλη μάζα του ρευστού. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

PP οι στατικές πιέσεις στα σημεία Α και Β. Re (2.3) 1. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ

PP οι στατικές πιέσεις στα σημεία Α και Β. Re (2.3) 1. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2: ΡΟΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ 1. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Η πειραματική εργασία περιλαμβάνει 4 διαφορετικά πειράματα που σκοπό έχουν: 1. Μέτρηση απωλειών πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής.

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 05 Έργο και Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ102 1 Όταν μια δύναμη δρα σε ένα σώμα που κινείται,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ

ÊÏÑÕÖÇ ÊÁÂÁËÁ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ZHTHMA Στις ερωτήσεις έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Τα προβλήµατα που υπάρχουν πάντα στις περιπτώσεις βαρυτοµετρικών διαχωρισµών είναι η γνώση της συµπεριφοράς των στερεών, όσον αφορά στην καταβύθισή τους µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ΜΕ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ΜΕ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΟΡΟΥΣ ΜΕ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ Παράγοντας Αποτελεσματικότητας Ειδικά για αντίδραση πρώτης τάξης, ο παράγοντας αποτελεσματικότητας ισούται προς ε = C

Διαβάστε περισσότερα

ηλεκτρικό ρεύµα ampere

ηλεκτρικό ρεύµα ampere Ηλεκτρικό ρεύµα Το ηλεκτρικό ρεύµα είναι ο ρυθµός µε τον οποίο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο από µια περιοχή του χώρου. Η µονάδα µέτρησης του ηλεκτρικού ρεύµατος στο σύστηµα SI είναι το ampere (A). 1 A =

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο.

Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 1 3 υ υ 1 1. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

m e j ω t } ja m sinωt A m cosωt

m e j ω t } ja m sinωt A m cosωt ΕΝΟΤΗΤΑ IV ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 26 Στρεόµενα διανύσµατα Σε κυκλώµατα όπου η διέγερση είναι περιοδική και ηµιτονοειδής οι τάσεις και τα ρεύµατα αναπαρίστανται µε µιγαδικούς αριθµούς, ή όπως συνήθως λέµε

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό.

Theory Greek (Greece) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Q1-1 Δύο προβλήματα Μηχανικής (10 Μονάδες) Παρακαλώ διαβάστε τις Γενικές Οδηγίες που θα βρείτε σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε να εργάζεστε στο πρόβλημα αυτό. Μέρος A. Ο Κρυμμένος Δίσκος (3.5 Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 Ιξώδες Ταχύτητα διάτμησης Αριθμός Reynolds Διδάσκων Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος (Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο.

Είδη κυµάτων. Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Σε κάποιο φυσικό µέσο προκαλείται µια διαταραχή. Το κύµα είναι η διάδοση της διαταραχής µέσα στο µέσο. Κεφάλαιο T2 Κύµατα Είδη κυµάτων Παραδείγµατα Ένα βότσαλο πέφτει στην επιφάνεια του νερού. Κυκλικά κύµατα ξεκινούν από το σηµείο που έπεσε το βότσαλο και αποµακρύνονται από αυτό. Ένα σώµα που επιπλέει στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΟΛΟΓΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ρεολογία

ΡΕΟΛΟΓΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ρεολογία 1 ΡΕΟΛΟΓΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ Ρεολογία είναι η επιστήµη η αφιερωµένη στη µελέτη της παραµόρφωσης και της ροής της ύλης. Η ροή των ρευστών αποτελεί ένα σηµαντικό κοµµάτι της, µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον για το µηχανικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μακροσκοπική ανάλυση ροής

Μακροσκοπική ανάλυση ροής Μακροσκοπική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Μακροσκοπική ανάλυση Όγκος ελέγχου και νόμοι της ρευστομηχανικής Θεώρημα μεταφοράς Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ορμής

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Εξαιτίας της συνιστώσας F X αναπτύσσεται εντός του υλικού η ορθή τάση σ: N σ = A N 2 [ / ] Εξαιτίας της συνιστώσας F Υ αναπτύσσεται εντός του υλικού η διατμητική τάση τ: τ = mm Q 2 [ N / mm ] A

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συµπληρώνει σωστά την

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης Η πραγµατική επιφάνεια ξήρανσης είναι διασπαρµένη και ασυνεχής και ο µηχανισµός από τον οποίο ελέγχεται ο ρυθµός ξήρανσης συνίσταται στην διάχυση της θερµότητας και της µάζας µέσα από το πορώδες στερεό.

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής 501 Ορμή και Δυνάμεις Θεώρημα Ώθησης Ορμής «Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος είναι ίση με την ώθηση της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα» = ή Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται διανυσματικά. 502 Θεώρημα Ώθησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός ιδιοτήτων ροής ιδιοτήτων µεταφοράς µε µεθόδους Μοριακής υναµικής

Υπολογισµός ιδιοτήτων ροής ιδιοτήτων µεταφοράς µε µεθόδους Μοριακής υναµικής Υπολογισµός ιδιοτήτων ροής ιδιοτήτων µεταφοράς µε µεθόδους Μοριακής υναµικής Η έρευνα χρηµατοδοτείται από τη ΓΓΕΤ, στο πλαίσιο του προγράµµατος ΠΕΝΕ 03Ε 588. Φίλιππος Σοφός Υποψήφιος διδάκτωρ Επιβλέποντες:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2013 Γ Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1. Σώμα

Διαβάστε περισσότερα

6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα

6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6.1 Εισαγωγή Όταν θέτουμε σε κίνηση κάποια μόρια ενός ρευστού μέσω μιας αντλίας ή ενός φυσητήρα, η κίνηση μεταδίδεται και στα υπόλοιπα μόρια του ρευστού μέσω των αλληλεπιδράσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ

ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ ΡΟΗ ΑΕΡΑ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΛΙΝΔΡΟ Η μελέτη της ροής μη συνεκτικού ρευστού γύρω από κύλινδρο γίνεται με την μέθοδο της επαλληλίας (στην προκειμένη περίπτωση: παράλληλη ροή + ροή διπόλου). Εδώ περιοριζόμαστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Διαγώνισμα Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επιμέλεια Θεμάτων Σ.Π.Μαμαλάκης Ζήτημα 1 ον 1.. Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων. Όταν η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 - Ιξωδοελαστικότητα

Κεφάλαιο 10 - Ιξωδοελαστικότητα Κεφάλαιο - Ιξωδοελαστικότητα Ποια είναι η μηχανική αντοχή ενός πολυμερούς; Στόχοι του κεφαλαίου Οι έννοιες της τάσης και της παραμόρφωσης. Ερπυσμός, χαλάρωση τάσης. Μοντέλα Maxwell, Kelvin και πιο πολύπλοκα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα