ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΥΣΚΟΛΕΥΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΥΣΚΟΛΕΥΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ;"

Transcript

1 Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΥΣΚΟΛΕΥΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ; Αθανάσιος Γαγάτσης, Κύπρος Ιωάννου, Ανδρούλα Σιηµητρά- Κωνσταντίνου, Όλγα Χριστοδουλίδου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι ρητοί αριθµοί αποτελούν θεµελιώδη µαθηµατική έννοια. Κατά συνέπεια ένα µεγάλο µέρος του αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών της πρωτοβάθµιας εκπαίδευσης στις περισσότερες χώρες, αφορά τη διδασκαλία των θετικών ρητών αριθµών. Παρά την έµφαση που δίνεται στα αναλυτικά προγράµµατα, οι ρητοί αριθµοί αποτελούν έννοια που δύσκολα κατανοούν οι µαθητές. Αυτό φαίνεται από τις επιδόσεις των µαθητών σε σχετικές ασκήσεις αλλά και από τα αποτελέσµατα πολλών ερευνητικών εργασιών. Ειδικότερα στην εργασία αυτή παρουσιάζονται ορισµένες δυσκολίες των µαθητών για την κατανόηση και µάθηση της έννοιας του κλάσµατος. Με βάση ένα πολυδιάστατο µοντέλο ερµηνείας των δυσκολιών µάθησης που βασίζεται σε δυσκολίες διδακτικής, επιστηµολογικής και αναπαραστατικής φύσης. 1. Εισαγωγή Παρ όλο που στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση σηµαντικό µέρος του χρόνου διδασκαλίας αφιερώνεται στη διδασκαλία των κλασµάτων και γενικά των ρητών αριθµών εν τούτοις µε βάση τα αποτελέσµατα αξιολογήσεων τα κλάσµατα είναι µια δύσκολη έννοια που δύσκολα κατανοούν οι µαθητές ((Brousseau, Brousseau & Warfield, 2004; Kieren, 1993; Lamon, 1999; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1981; Carpenter, Lindquist, Brown, Kouba, Silver, & Swaffort, 1988; Traverς, & Westbury, Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Σύµφωνα µε τους ερευνητές, υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους οι µαθητές δυσκολεύονται στην κατανόηση των κλασµάτων. Οι δυσκολίες των µαθητών οφείλονται από τη µια στη φύση των κλασµάτων και από την άλλη στον τρόπο διδασκαλίας τους. Στην εργασία αυτή αρχικά σκιαγραφείται µια ιστορική αναδροµή µε βάση την επιστηµολογική εξέλιξη και τη χρήση των κλασµάτων µε αναφορά σε τέσσερις χρονικές περιόδους. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια του κλάσµατος µε βάση το θεωρητικό µοντέλο που περιλαµβάνει τις πέντε διαστάσεις του κλάσµατος όπως τις εισηγήθηκαν διάφοροι ερευνητές: α) το κλάσµα ως µέρος όλου β) το κλάσµα ως λόγος γ) το κλάσµα ως µέτρο δ) το κλάσµα ως διαίρεση και ε) το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής. Παρουσιάζονται επίσης ο ρόλος των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των κλασµάτων καθώς και διάφορα λάθη των µαθητών που σχετίζονται µε τα κλάσµατα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 99

2 Α. Γαγάτσης κ.á. 2.Ιστορικά στοιχεία για την έννοια του κλάσµατος Η ιστορική µελέτη της έννοιας του κλάσµατος- είναι πολύ σηµαντική για δυο κυρίως λόγους: από τη µια πλευρά για ανακάλυψη των προβληµάτων στα οποία έδωσε λύση η συγκεκριµένη µαθηµατική έννοια και από την άλλη για προσδιορισµό πιθανών εµποδίων στην εξέλιξη της έννοιας αυτής. Η ιστορική εξέλιξη της έννοιας του κλάσµατος περιλαµβάνει πολλά στάδια, τα οποία διαφοροποιούνται τόσο από το πεδίο εφαρµογών της, όσο και από την εννοιολογική της υπόσταση θεωρητική ή επιστηµολογική. Πρώτη περίοδος: Αιγύπτιοι Βαβυλώνιοι (2000 π. Χ 500 π. Χ) Ιστορικά στοιχεία που χρονολογούνται από το π.χ. φανερώνουν ότι η έννοια του κλάσµατος ήταν γνωστή στους αρχαίους Αιγυπτίους (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Για το κτίσιµο των πυραµίδων, (2700 π. Χ.), είναι βέβαιο πως ήταν απαραίτητη η εκτεταµένη γνώση των αναλογιών και κατά συνέπεια η χρήση των κλασµάτων ήταν αναγκαία. Τα αιγυπτιακά εναδικά κλάσµατα αποτελούν µια πρώτη µορφή αυτού που σήµερα ονοµάζεται κλάσµα. Παράλληλα µε τους αρχαίους Αιγυπτίους, οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα σύστηµα αρίθµησης µε αξία θέσης και βάση το εξήντα. Οι αριθµοί γράφονταν ως αθροίσµατα δυνάµεων του εξήντα. Οι Βαβυλώνιοι αναπαριστούσαν κοινά κλάσµατα ως εξηκονταδικά. Για παράδειγµα, το ½ ισοδυναµεί µε το 30, το 1/3 µε το 20 κλπ. Αντίθετα µε τα αιγυπτιακά εναδικά, τα εξηκονταδικά κλάσµατα είχαν µορφή ακεραίου και προέκυψαν, καθώς υποδιαιρούσαν το χρόνο σε 360 µέρες, την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα (Burton, 1988). Το σύστηµα µέτρησης του χρόνου στην εποχή µας είναι αποµεινάρι του βαβυλωνιακού εξηκονταδικού συστήµατος. εύτερη περίοδος: Αρχαίοι Έλληνες (600 π. Χ 300 µ. Χ) Οι Πυθαγόρειοι ( π. Χ.), ο Πλάτωνας (4 ος αι. π.χ.) φαίνεται να δέχονται µόνο την ύπαρξη των ακεραίων αριθµών. Τον 4ο αιώνα π. Χ. επικρατεί η αντίληψη του Πλάτωνα για το αδιαίρετο της µονάδας. Η αντίληψη αυτή έρχεται σε σύγκρουση µε την έννοια του κλάσµατος. Το κλάσµα στην αρχαία Ελλάδα έχει την ίδια τυπολογία µε τα αιγυπτιακά κλάσµατα, µε µόνη διαφορά ότι εκεί τα κλάσµατα ονοµάζονται µέρη ή µόρια. Η ιδέα του λόγου, ακόµη και όταν αναφέρεται σε αυτά τα µέρη, δε σχετίζεται µε αριθµητική ποσότητα (Fowler, 1987). Οι αρχαίοι Έλληνες αντί να αναφέρουν ότι µια ποσότητα είναι τα 2/5 µιας άλλης αναφέρουν ότι ο λόγος τους είναι 2 στα 5. Τρίτη περίοδος: Άραβες Λατίνοι (700 µ. χ 1600 µ. χ) Πρώτοι οι Άραβες κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα έδωσαν µεγάλη ώθηση στις διαδικασίες των πράξεων. Εισήγαγαν την έννοια και το συµβολισµό του κλάσµατος µε τη σηµερινή του µορφή και εισήγαγαν τη χρήση της αρίθµησης µε δεκαδική θέση. (Σταφυλίδου, 2001). Επιπλέον, οι µαθηµατικοί της εποχής εκείνης, στην προσπάθειά τους να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που δηµιουργούσαν οι υπολογισµοί µε κλάσµατα, τα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 100

3 Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; οποία περιλάµβαναν τεράστιους αριθµούς, επιχείρησαν να ανακαλύψουν νέους πιο εύχρηστους αλγόριθµους για την επίλυση των µαθηµατικών προβληµάτων. Ως λύση το πρόβληµα αυτό ήρθε η χρήση των δεκαδικών αριθµών. (Γαγάτσης,, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Τέταρτη περίοδος (1600 µ. Χ 1900 µ. Χ) Την περίοδο αυτή ο Euler δίνει πλήρη ορισµό του κλάσµατος ως µαθηµατικής αφηρηµένης έννοιας. Συγκεκριµένα, αναφέρει ότι αν το πηλίκο δύο αριθµών δεν είναι ακέραιος, τότε υπάρχει ένα ιδιαίτερο είδος αριθµού που ονοµάζεται κλάσµα και που δηλώνει ένα τέτοιο πηλίκο. Ορίζει, δηλαδή, το κλάσµα α / β, ως το πηλίκο διαίρεσης του α δια του β, τα οποία ονοµάζει αριθµητή και παρονοµαστή. Επίσης, ορίζει το κλάσµα α / β ως το γινόµενο του ακεραίου α επί την κλασµατική µονάδα 1/β. Επιπρόσθετα, διακρίνει τις εξής περιπτώσεις κλασµάτων: (α) το κλάσµα α / α, όπου ο αριθµητής είναι ίσος µε τον παρονοµαστή και το κλάσµα είναι ίσο µε το 1, (β) το κλάσµα α / β, όπου α < β, το οποίο είναι µικρότερο του 1 και (γ) το κλάσµα α / β, όπου α > β, το οποίο είναι µεγαλύτερο του 1 (Σταφυλίδου, 2001). 3. Η έννοια του κλάσµατος Όπως έχει αναφερθεί και στην εισαγωγή της εργασίας, ένας άλλος πολύ σηµαντικός λόγος που καθιστά τη διδασκαλία των κλασµατικών αριθµών µια πολύπλοκη διαδικασία, σχετίζεται µε την άποψη που έχουν αρκετοί ερευνητές (Kieren 1976; Behr,Lesh, Post and Silver 1983; Sinicrope & Mick Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004), ότι η διδασκαλία των κλασµάτων πρέπει να γίνεται µέσω ενός θεωρητικού µοντέλου, που σχετίζεται µε τη διδασκαλία διαφόρων διαστάσεων του κλάσµατος. Ένα τέτοιο θεωρητικό µοντέλο είναι: α) το κλάσµα ως µέρος όλου β) το κλάσµα ως λόγος γ) το κλάσµα ως µέτρο δ) το κλάσµα ως διαίρεση και ε) το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής. α) Tο κλάσµα ως µέρος όλου: Σε αυτήν τη περίπτωση, το κλάσµα µπορεί να παρουσιαστεί ως µέρος µιας επιφάνειας ενός γεωµετρικού σχήµατος, που είναι χωρισµένη σε οµοιόµορφα τµήµατα ή ως µέρος ενός συνόλου αντικειµένων. Το κλάσµα ως µέρος επιφάνειας - είναι συνήθως και η πρώτη επαφή των παιδιών µε τα κλάσµατα και θεωρείται ευκολότερη προσέγγιση σε σχέση µε τις υπόλοιπες (Kouba, Zawojewski, & Strutchens 1997; Larson Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Μετά τη διδασκαλία του κλάσµατος ως µέρος επιφάνειας, συνήθως ακολουθεί η διδασκαλία του κλάσµατος ως µέρος ενός συνόλου αντικειµένων. β) Το κλάσµα ως λόγος: Το κλάσµα ως λόγος αποδίδεται µε την έννοια της σύγκρισης µεταξύ δύο ποσοτήτων. Οι µαθητές πρέπει να αντιληφθούν την έννοια των σχετικών ποσών (Lamon,1993; Marshall, 1993) για να κατανοήσουν πλήρως την έννοια των κλασµάτων ως αναλογίας. Πρέπει να κατανοήσουν ότι οι δύο ποσότητες που βρίσκονται σε σχέση αναλογίας, αλλάζουν µαζί πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται- ώστε η σχέση τους να παραµένει σταθερή. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 101

4 Α. Γαγάτσης κ.á. γ) Το κλάσµα ως µέτρο: Η αριθµητική γραµµή εκφράζει την έννοια του αριθµού ως µέτρο, δηλαδή ως απόσταση (Lamon, 1999). Το κλάσµα µπορεί να παρουσιαστεί ως ένα σηµείο πάνω στην αριθµητική γραµµή µεταξύ δύο ακεραίων. Αυτό είναι µια δεξιότητα πολύ χρήσιµη για την εννοιολογική κατανόηση των κλασµάτων παρόλο που είναι αρκετά αφηρηµένη για τους µαθητές. Η Ni (2002) επισηµαίνει ότι πάνω στην αριθµητική γραµµή µπορούν να αναπαρασταθούν θεµελιώδεις έννοιες των κλασµατικών αριθµών, όπως για παράδειγµα, η πυκνότητα, η διαδοχικότητα, η µοναδικότητα και το άπειρο των κλασµατικών αριθµών. Η µονάδα µέτρησης της αριθµητικής γραµµής, µπορεί να διαιρείται συνεχώς σε µικρότερες µονάδες, παρουσιάζοντας διαφορετικά ονόµατα κλασµάτων. Όταν διαφορετικές µονάδες καλύπτουν την ίδια απόσταση, τότε έχουµε ισοδυναµία κλαµάτων. ηλαδή η αριθµητική γραµµή επιλύει το πρόβληµα των ενδιάµεσων αριθµών αφού αναπαριστά το κλάσµα που βρίσκεται ανάµεσα στα δύο αρχικά κλάσµατα. δ) Το κλάσµα ως διαίρεση: Όσον αφορά τη διάσταση κλάσµατος ως πηλίκου, το κλάσµα µπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσµα της διαίρεσης του αριθµητή διά του παρονοµαστή. Οι µαθητές πρέπει να κατανοήσουν το ρόλο του διαιρετέου και του διαιρέτη και να κατανοήσουν ότι ο διαιρετέος αναφέρεται στον αριθµό των αντικειµένων που θα µοιραστούν ενώ ο διαιρέτης, στον αριθµό των ίσων κοµµατιών που θα µοιραστεί το κάθε αντικείµενο. Για παράδειγµα, ο Marshall(1993) αναφέρει ότι αν ζητηθεί από τους µαθητές να µοιράσουν 3 πίτσες σε 4 παιδιά, οι µαθητές πρέπει να κατανοήσουν ότι οι πίτσες θα µοιραστούν σε τέταρτα και το κάθε παιδί θα πάρει τρία κοµµάτια. ε) Το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής: Το κλάσµα ως πολλαπλασιαστής σηµαίνει ότι για το γινόµενο 4Χ 3/5 ο πολλαπλασιασµός 4Χ3 προηγείται της διαίρεσης µε το 5. Το γινόµενο των κλασµάτων σε αντίθεση µε το γινόµενο ακεραίων µπορεί να δίνει αποτέλεσµα µικρότερο από τους παράγοντες που πολλαπλασιάζονται. 4. Η έννοια των κλασµάτων και οι αναπαραστάσεις Οι αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται στο ηµοτικό Σχολείο για την προσέγγιση των κλασµατικών εννοιών και την οικοδόµηση των ρητών αριθµών, παίζουν καθοριστικό ρόλο στη σηµασία της έννοιας. Ο Vergnaud (1996) τις θεωρεί συστατικό των εννοιών. Υπάρχουν αναπαραστάσεις συγκεκριµένων καταστάσεων ή περιπτώσεων, οι οποίες λειτουργούν άλλοτε ως πρότυπα παραδείγµατα των εννοιών (π.χ. τα πρότυπα σχήµατα στη γεωµετρία, το γεωµετρικό σχήµα που σχεδιάζουµε σε µια συγκεκριµένη άσκηση µε βάση ορισµένα δεδοµένα), άλλοτε ως αντιπρόσωποι της έννοιας και άλλοτε απλώς αποτελούν αντικείµενο µελέτης. Υπάρχουν επίσης αναπαραστάσεις εµπράγµατες (παρουσιάζουν αντικείµενα), εικονικές ή διαγραµµατικές (παρουσιάζουν εικόνες αντικειµένων αναπαραστάσεις) 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 102

5 Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; Η διδασκαλία των κλασµατικών εννοιών γίνεται κυρίως µε τη χρήση εικονικών και διαγραµµατικών αναπαραστάσεων. Η χρήση αυτών των αναπαραστάσεων δίνει στους µαθητές τη δυνατότητα οπτικής επεξεργασίας των δεδοµένων. Σύµφωνα µε τους Γαγάτση, Μιχαηλίδου και Σιακαλλή (2001) τα παιδιά στα πλαίσια της διδασκαλίας των Μαθηµατικών, έρχονται σε επαφή µε µια µεγάλη ποικιλία εξωτερικών αναπαραστάσεων. Για να υπάρξει βαθιά εννοιολογική κατανόηση µιας µαθηµατικής έννοιας θα πρέπει να υπάρχουν οι εξής δεξιότητες: α) Ικανότητα αναγνώρισης της έννοιας µέσα από ποικιλία αναπαραστάσεων της, β) Ικανότητα ευέλικτου χειρισµού της έννοιας ανάµεσα στις ποιοτικά διαφορετικές αναπαραστάσεις της. γ) Ικανότητα µετάφρασης της έννοιας από τη µία µορφή αναπαράστασης στην άλλη. Για την ανάπτυξη της δεξιότητας για µετάφραση από τη µια αναπαράσταση των κλασµατικών αριθµών στην άλλη, τα παιδιά χρειάζονται πληροφορίες σχετικά µε το πώς αναπαρίστανται τα κλάσµατα, µε τη χρήση εικόνων και χειριστικών αντικειµένων. Οι πληροφορίες αυτές αναµένεται να βοηθήσουν στην αµφίδροµη µετάφραση ανάµεσα στη µαθηµατική συµβολική αναπαράσταση και την αναπαράσταση ενσωµάτωσης (βλ. διάγραµµα 1) Μαθηµατική συµβολική αναπαράσταση 2 3 Παίρνω 2 από τα 3 µέρη Αναπαράσταση ενσωµάτωσης (2) 3 ιάγραµµα1: Μετάφραση ανάµεσα στη µαθηµατική συµβολική αναπαράσταση και την αναπαράσταση ενσωµάτωσης. Ένα άλλο χαρακτηριστικό σκέψης, που είναι θεµελιώδες για την επιτυχία του παιδιού σε προβλήµατα σειροθέτησης και ισοδυναµίας, είναι η σταδιακή απεξάρτηση της σκέψης από ενσωµατώσεις που χρησιµοποιούνται για την αναπαράσταση κλασµάτων. Η θέση αυτή αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την απόκτηση κλασµατικής σκέψης (Behr et al., Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004). Τα παιδιά µπορούν να βοηθηθούν να αντιληφθούν ότι η σκέψη είναι ανεξάρτητη από τις ενσωµατώσεις µε τη χρήση χειριστικών µοντέλων στα οποία δεν υπάρχει προκαθορισµένη µονάδα. Με τον τρόπο αυτό το παιδί µπορεί να επιλέξει τη µονάδα για αναπαράσταση δύο κλασµάτων. Έτσι αντιλαµβάνεται ότι µια οµάδα από 6 (ή πολλαπλάσια του 6) αντικείµενα µπορεί να οµαδοποιηθεί σε 6 υποοµάδες και να οµαδοποιηθεί ξανά σε 3 υποοµάδες. Το παιδί καθορίζει µε νοητικούς χειρισµούς ότι µια µονάδα των 6 (ή πολλαπλάσιο του 6) είναι απαραίτητη. Όταν τα παιδιά έχουν προχωρήσει σε αυτό το επίπεδο, η χρήση ενσωµατώσεων αποτελεί επιβεβαίωση µιας πρόβλεψης βασισµένης σε νοητικούς χειρισµούς. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 103

6 Α. Γαγάτσης κ.á. 5. υσκολίες, παρανοήσεις και λάθη των µαθητών Όπως αναφέρουν διάφοροι ερευνητές (Boulet, 1998;Davis, Hunting & Pearn,1993. Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001) αν και δίνεται µεγάλη έµφαση στη διδασκαλία των κλασµατικών αριθµών, οι µαθητές συνεχίζουν να παρουσιάζουν πάρα πολλές αδυναµίες διότι είναι γεγονός ότι τα κλάσµατα αποτελούν ένα περίπλοκο κατασκεύασµα. Η ανάπτυξη όµως της ικανότητας των παιδιών να χειρίζονται τους κλασµατικούς αριθµούς αποτελεί ανάγκη της καθηµερινής ζωής και από την άλλη σύµφωνα µε τους Behr,Lesh, Post, & Silver(1983. Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004) οι κλασµατικοί αριθµοί αποτελούν το θεµέλιο πάνω στο οποίο στηρίζονται οι στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις. Γιατί όµως οι µαθητές κάνουν τόσα πολλά λάθη και έχουν τόσες πολλές παρανοήσεις και δυσκολίες; Γενικά οι δυσκολίες που συναντούν οι µαθητές αποδίδονται τόσο στην εννοιολογική φύση των ρητών αριθµών, στο συµβολισµό και τις αναπαραστάσεις τους, τις διαδικασίες λογισµού µε κλασµατικούς αριθµούς (Γαγάτσης, Α. Μιχαηλίδου, Ε. Σιακαλλή, Μ. 2001; Φιλίππου & Χρίστου, 1995) αλλά και σε επιστηµολογικά εµπόδια. Λάθη παρανοήσεις επιστηµολογικής φύσης: Ορισµένα σηµαντικά λάθη οφείλονται στο επιστηµολογικό εµπόδιο των φυσικών αριθµών: α) Στη διαίρεση µε κλάσµα 6: ½ = 3 β) Στην πρόσθεση οµωνύµων κλασµάτων 4/8+3/8=7/16 γ) Στην πρόσθεση ετερωνύµων κλασµάτων 1/2+1/3=1/5 Λάθη παρανοήσεις εννοιολογικής φύσης: Οι δυσκολίες, οι σχετικές µε την εννοιολογική φύση των ρητών αριθµών, οφείλονται στην πυκνή δοµή των ρητών αριθµών σε αντίθεση µε τη διακριτή δοµή των φυσικών αριθµών, οι οποίοι αποτελούν το µοντέλο πάνω στο οποίο οργανώνεται η οικοδόµηση της έννοιας του κλασµατικού αριθµού. Ως σηµαντικότερες δυσκολίες εννοιολογικής φύσης αναφέρονται οι εξής: α) Η σύνδεση του κλάσµατος κ/µ µε την απόλυτη αξία των φυσικών αριθµών κ και µ. β) Η αντίληψη ότι ανάµεσα σε δύο διαδοχικά κλάσµατα όπως 1/3 και 2/3 δεν υπάρχει άλλος κλασµατικός αριθµός. γ) Η αντίληψη ότι η κλασµατική µονάδα είναι σταθερό µέγεθος. δ) Η κυριαρχία της αντίληψης της σχέσης µέρους µέρους, αντί της σχέσης µέρους όλου. ε) Ο λογιστικός χειρισµός των αριθµητών ανεξάρτητα από τους παρονοµαστές. στ) Η δυσκολία των παιδιών να υπερβούν την κλασµατική ποσότητα, να αποσυνδέσουν δηλαδή το κ/µ του χ από το χ και να οικοδοµήσουν τελικά την έννοια του κλασµατικού αριθµού. Λάθη παρανοήσεις αναπαραστατικής φύσης: α) Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλασµάτων ως µέρος συνεχούς επιφάνειας: Οι µαθητές ενδέχεται να δυσκολεύονται στην αναγνώριση του κλάσµατος µέσα από 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 104

7 Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; συνεχή επιφάνεια αφού, σύµφωνα µε τους Φιλίππου & Χρίστου (1995) στρέφουν την προσοχή τους µόνο στο µέρος που χρωµατίζεται ή αποκόπτεται και δεν συγκρατούν και τις δύο διαστάσεις που απεικονίζει ένας κλασµατικός αριθµός. Επίσης µπορεί να µην κατανοούν ότι τα µέρη πρέπει να είναι ισοδύναµα, για να ισχύει η σχέση που αντανακλά το κλάσµα. β) Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλασµάτων ως µέρος συνόλου αντικειµένων. Εδώ οι µαθητές µπορεί να απαντούν µε κλάσµα, αλλά να αναφέρονται σε λόγο και όχι σε µέρος από σύνολο αντικειµένων, όχι απαραίτητα ίδιου σχήµατος ή µεγέθους. Επίσης δυσκολεύονται να απαντήσουν σε παρόµοιες ασκήσεις όπου το σύνολο των αντικειµένων είναι πιο µεγάλο από τον παρονοµαστή του κλάσµατος που τους ζητείται να επιλέξουν (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλάσµατος ως λόγου: Το κλάσµα 3/4 µπορεί να εκφράζει 3 αγόρια για κάθε 4 κορίτσια ή 3:4. Αυτό προκύπτει µέσα από συγκρίσεις µεταξύ επιµέρους οµάδων εντός µιας ολότητας (παράδειγµα: 3 αγόρια και 4 κορίτσια ο λόγος των κοριτσιών προς τα αγόρια είναι 4 : 3). Εδώ παίζει ρόλο και η σειρά αναφοράς του κάθε επιµέρους συνόλου. Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλάσµατος ως µέτρου: Η χρήση της αριθµητικής γραµµής στην αναπαράσταση της έννοιας του κλάσµατος βασίζεται στο ότι τα κλάσµατα αποτελούν σηµεία πάνω στη γραµµή και ταυτόχρονα αποστάσεις από το σηµείο 0. Οι δυσκολίες σχετικά µε την αναπαράσταση της έννοιας πάνω στην αριθµητική γραµµή, σύµφωνα µε διάφορους ερευνητές ( Behr et al.1983; Bright et al Στο: Γαγάτσης, Α. Μιχαηλίδου, Ε. Σιακαλλή, Μ. 2001) είναι οι εξής: α) υσκολίες στην αναγνώριση της µονάδας αναφοράς του κλάσµατος στην αριθµητική γραµµή. β) υσκολίες στην επίλυση προβληµάτων στα οποία οι υποδιαιρέσεις στην αριθµητική γραµµή δεν ισούνται µε τον παρονοµαστή του κλάσµατος. γ) υσκολίες στην επίλυση προβληµάτων στα οποία οι υποδιαιρέσεις της αριθµητικής γραµµής δεν είναι παράγοντες ή πολλαπλάσια του παρονοµαστή του κλάσµατος. δ) υσκολίες στη µετάφραση ανάµεσα στη συµβολική και εικονική αναπαράσταση των πληροφοριών της αριθµητικής γραµµής. Σε έρευνα τους οι Γαγάτσης και Ηλία (2004), διαπίστωσαν ότι στα έργα µε αριθµητική γραµµή, οι µαθητές είχαν τις χαµηλότερες επιδόσεις. Αρκετές φορές οι µαθητές µετρούν τα σηµεία αντί τα διαστήµατα πάνω στην αριθµητική γραµµή. Άλλοι ερευνητές (Ni, 2002) υποστηρίζουν ότι η αριθµητική γραµµή περιλαµβάνει παραπλανητικά στοιχεία για τους µαθητές οι οποίοι έχουν παρανοήσεις ή δεν έχουν αναπτύξει πλήρως την έννοια των κλασµατικών αριθµών, για αυτό αποτελεί όχι απλώς µοντέλο για τη διδασκαλία των κλασµάτων, αλλά και αξιολογικό εργαλείο για τον εντοπισµό των παρανοήσεων των µαθητών. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 105

8 Α. Γαγάτσης κ.á. Λάθη των µαθητών στην αναγνώριση κλασµάτων ως διαίρεση: Αν και γίνεται αναφορά σε προβλήµατα διαίρεσης από την καθηµερινή ζωή, οι µαθητές δυσκολεύονται να δουν το κλάσµα ως διαίρεση ανάµεσα σε δύο αριθµούς. (π.χ.: πόση ποσότητα σοκολάτας θα φάνε έξι παιδιά, αν υπάρχουν µόνο 4 σοκολάτες;) Λάθη παρανοήσεις διδακτικής φύσης Η αλγοριθµική προσέγγιση και η έµφαση στην διαδικαστική γνώση και την παραδοσιακή διδασκαλία δηµιουργεί δυσκολίες στην κατανόηση των κλασµατικών αριθµών αφού οι διαδικασίες και οι κανόνες εφαρµόζονται µηχανικά (Hart, 1981; Kerslake,1986; Ni,2001. Στο:Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004). Η παραδοσιακή διδασκαλία των κλασµάτων περιλαµβάνει την πρόωρη χρήση συµβολικών αναπαραστάσεων (σύµβολο κλάσµατος, αλγόριθµοι) και δίνει έµφαση στην υπο-έννοια µέρος-όλο και στο εµβαδόν κύκλου. Αρκετοί δάσκαλοι προσεγγίζουν τα κλάσµατα µε τον τρόπο σκέψης ενός ενήλικα και όχι ενός παιδιού και δίνουν έµφαση στον τυπικό συµβολικό τρόπο παρουσίασης των κλασµάτων, όπως αυτός έχει οικοδοµηθεί πλήρως σε ένα ενήλικα. Κατά τη διδασκαλία δίνεται σηµασία στη διαδικαστική γνώση (κανόνων, αλγορίθµων, διαδικασιών), όπου οι γνώσεις αυτές µαθαίνονται µηχανικά, µένοντας ασύνδετες µε την έννοια και χωρίς οι µαθητές να γνωρίζουν το γιατί τις εφαρµόζουν. Επιπλέον κατά τη διδασκαλία γενικότερα, δεν επιχειρείται µία συνειδητοποιηµένη σύνδεση και συσχέτιση της έννοιας των κλασµάτων µε τους δεκαδικούς και τους ακεραίους ή ακόµα και µία σύγκριση, ώστε οι µαθητές να εντοπίζουν τι κρατάµε και τι πετάµε από τις γνώσεις µας αυτές όταν µιλάµε για παράδειγµα για την έννοια των κλασµάτων. Ακόµα ο τρόπος παρουσίασης των αναπαραστάσεων για τα κλάσµατα είναι συγκεκριµένος, στερεότυπος, συχνά πολύ καθοδηγούµενος. (π.χ. Ο µαθητής έχει να σκιάσει το 3/4 ενός ορθογωνίου ή ενός κύκλου, τα οποία είναι εκ των προτέρων χωρισµένα σε 4 ίσα µέρη). Επειδή οι αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται έχουν µια στερεότυπη µορφή σχηµάτων, ο διαχωρισµός αυτών των σχηµάτων τείνει να εξελιχθεί σε στερεότυπο. Ένα ακόµα συµπέρασµα που εξάγεται έρευνες είναι πως όταν το σχήµα παρουσιάζεται µε στερεότυπη µορφή, δηλαδή χωρισµένο σε τόσα µέρη όσα και ο παρονοµαστής του κλάσµατος, οι µαθητές ακολουθούν πάντα την ίδια διαδικασία για να σκιάσουν την επιφάνεια που τους ζητείται. Στην περίπτωση αυτή οι µαθητές απλά καταµετρούν τόσα µέρη, όσα και ο αριθµητής του κλάσµατος. Ο σχηµατισµός ενός τέτοιου στερεοτύπου στο µυαλό των µαθητών οδηγεί σε εσφαλµένες αντιλήψεις. Η διαδικασία καταµέτρησης κάνει τους µαθητές να επικεντρώνουν την προσοχή τους µόνο στον αριθµητή του κλάσµατος, αγνοώντας τον παρονοµαστή. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να ενισχύεται η δυσκολία των µαθητών να αντιληφθούν το κλάσµα ως µία ποσότητα, ένα αριθµό που η σηµασία του προέρχεται από τη σχέση που έχει ο αριθµητής µε τον παρονοµαστή. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 106

9 Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; Οι αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται κατά κόρον για τη διδασκαλία της έννοιας των κλασµάτων είναι αναπαραστάσεις εµβαδού επιφάνειας. Τα γεωµετρικά σχήµατα και το εµβαδόν τους λειτουργούν ως το άλλο πλαίσιο «µεταφοράς», οι ιδιότητες του οποίου αποτελούν το υπόβαθρο ανάδειξης των χαρακτηριστικών και των ιδιοτήτων των κλασµατικών αριθµών. Όµως σύµφωνα µε τους Καλδρυµίδου Κοντοζήση (2003) (Στο: Γαγάτσης, Α. και Ηλία, Ι., 2003) η χρήση των γεωµετρικών σχηµάτων ως µέσων για κατανόηση της αριθµητικής σηµασίας των κλασµάτων, προϋποθέτει την πολύ καλή γνώση των σχηµάτων, των ιδιοτήτων τους και των σχέσεων των µερών τους. Η πείρα όµως αποδεικνύει ότι η προαπαιτούµενη αυτή γνώση δεν είναι κτήµα όλων των µαθητών. Ενδεχόµενο αποτέλεσµα αυτής της έλλειψης γνωσιολογικού υποβάθρου των µαθητών, για τις γεωµετρικές έννοιες και του εννοιολογικού πεδίου της επιφάνειας, είναι οι µαθητές να επικεντρώνονται κάθε φορά στη συγκεκριµένη περίπτωση που έχουν να επεξεργαστούν και όχι στην έννοια των κλασµάτων που αναπαρίστανται µέσω της επιφάνειας. Αποτέλεσµα είναι οι γεωµετρικές αναπαραστάσεις από µέσο οργάνωσης των πληροφοριών για κατανόηση της έννοιας των κλασµάτων, να µετατρέπονται σε αντικείµενο επεξεργασίας. Αρκετές φορές τα σχήµατα που χρησιµοποιούνται ως αναπαραστάσεις καταστάσεων µέρους όλου µπορεί να οδηγήσουν σε παρανοήσεις, ανάλογα µε το πώς τις αντιλαµβάνονται οι µαθητές. Αυτό συµβαίνει αν οι µαθητές αντί να επικεντρώνουν την προσοχή τους στην έννοια του κλάσµατος, επικεντρώνονται στην ίδια την αναπαράσταση του αντικειµένου. Η ύπαρξη δύο σχηµάτων δηµιουργεί προϋποθέσεις για εννοιολογική σύγχυση, δεδοµένου ότι η πρόσθεση εµφανίζεται ως ένωση των µερών, αλλά όχι ως ένωση του όλου. Η χρήση της αριθµητικής γραµµής ως αναπαράστασης για την πρόσθεση των κλασµάτων µπορεί να ενισχύει την αναπαραγωγή της οργάνωσης των φυσικών αριθµών και τη διακριτή θεώρηση για το σύνολο των κλασµατικών αριθµών. 6. Συµπεράσµατα-Συζήτηση Τα κλάσµατα είναι µια από τις πιο σηµαντικές και ταυτόχρονα πιο πολύπλοκες έννοιες στη διδασκαλία των Μαθηµατικών. Έτσι φαίνεται φυσικό που ο Pluvinage, F. (1988) αναρωτιέται κατά πόσο είναι αναγκαίο να διδάσκονται τα κλάσµατα, αφού πλέον στις οθόνες των διαφόρων ηλεκτρονικών µέσων που χρησιµοποιούµε στη ζωή µας εµφανίζονται αριθµοί µόνο σε δεκαδική µορφή. Έτσι τα παιδιά της κοινωνίας µας, από µικρή ηλικία έρχονται σε επαφή µε τους δεκαδικούς αριθµούς. Στη συνέχεια της εργασίας του, ο Pluvinage, F. θέτει την επιστηµολογική άποψη η οποία αντικρούει ένα τέτοιο ενδεχόµενο. Υποστηρίζει ότι πρέπει να αντισταθούµε στην τάση να πετάξουµε ή να καθυστερήσουµε τη διδασκαλία των κλασµάτων, διότι τα κλάσµατα εκφράζουν έννοιες που προηγούνται µε φυσικό τρόπο αυτών που εκφράζονται µε δεκαδική µορφή. Μπορούµε να συνδέσουµε δηλαδή τα κλάσµατα µε τις διαδικασίες µέτρησης και τους δεκαδικούς, µε τα αποτελέσµατα µέτρησης. Και από επιστηµολογική άποψη είναι 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 107

10 Α. Γαγάτσης κ.á. φανερό ότι πρώτα πρέπει να δούµε τη µέτρηση µέσα σε καταστάσεις όπου υπάρχουν µοντέλα αναφοράς πριν κατασκευάσουµε τα µοντέλα µετρήσεων. Για την καλύτερη κατανόηση της έννοιας των κλασµάτων προτείνεται η εκκίνηση από τις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών και -πιο συγκεκριµένα από την αντίληψη ότι το κλάσµα είναι µέρος όλου - στοχεύοντας σε µία ολοκληρωµένη οικοδόµηση της έννοιας µέσα από την τακτική εναλλαγής αναπαραστάσεων - εικονική, συµβολική, λεκτική. Είναι φανερό ότι, εάν κατά τη διδασκαλία των κλασµάτων επικεντρωνόµαστε µόνο σε ένα συγκεκριµένο µοντέλο αναπαράστασης, τότε αναπόφευκτα θα οδηγούµαστε σε ελλιπή κατανόηση της έννοιας του κλάσµατος. Προκύπτει επίσης η ανάγκη αναδιοργάνωσης των λαθών, που συνιστούν επιστηµολογικά εµπόδια. Προκειµένου λοιπόν βοηθήσουµε τα παιδιά να αποφύγουν παρανοήσεις, θα πρέπει να κατέχουµε µία ολοκληρωµένη εικόνα της φύσης και του εύρους των παρανοήσεων, που έχουν δηµιουργήσει τα παιδιά. Κατά συνέπεια θα πρέπει να προβαίνουµε σε πρακτικές όπως η υποβολή προφορικών ερωτήσεων (think aloud), η οποία µπορεί να βοηθήσει στο να αντιληφθούµε τον τρόπο που τα παιδιά αντιλαµβάνονται µία έννοια και κατ επέκταση, τις νοητικές αναπαραστάσεις και νοητικά µοντέλα (προϋπάρχουσες γνώσεις) (Vosniadou,2003.Στο:Γαγάτσης, Α. Μιχαηλίδου, Ε. Σιακαλλή, Μ. 2001) που έχουν ήδη δηµιουργήσει και στα οποία έχουν καταλήξει, ιδιαίτερα µέσα από τις καθηµερινές τους εµπειρίες αλλά και τη γνώση τους για τους ακέραιους αριθµούς. Στη βάση λοιπόν αυτή, µπορούµε να δηµιουργήσουµε ένα µοντέλο διδασκαλίας, το οποίο να πλησιάζει τη σκέψη των παιδιών. Με άλλα λόγια θα µπορούσε να ξεκινά από την ορθή αντίληψη των παιδιών, ότι ο χωρισµός επιφάνειας ή αντικειµένων βασίζεται κατά κανόνα στη δίκαιη µοιρασιά-µοιράζω σε ίσα µέρη. Από εκεί και πέρα µπορούµε να κτίσουµε πάνω σε αυτό, ζητώντας από τους µαθητές να ασκηθούν σε αυτό, χρησιµοποιώντας όχι µόνο µοντέλα αµφιµονοσήµαντης αντιστοιχίας αλλά και µη οµοιόµορφο υλικό. Με άλλα λόγια κατά τον διαµερισµό µιας επιφάνειας θα µπορούσε να χρησιµοποιείται όχι µόνο ο συνήθης χωρισµός γεωµετρικών σχηµάτων σε ίσα µέρη αλλά και ο συνδυασµός διαφορετικών γεωµετρικών σχηµάτων, όπως τρίγωνα, τετράγωνα, ορθογώνια. Έτσι λοιπόν, τα παιδιά θα αντιληφθούν ότι µπορούµε να έχουµε µέρη ίσα µεταξύ τους, αλλά και µέρη ισοδύναµα σε µέγεθος, που να αναπαριστούν την ίδια ποσότητα. Για να συµβεί αυτό, θα πρέπει προηγουµένως να οικοδοµηθεί µία πολύ καλή γνώση των γεωµετρικών σχηµάτων, που να αφορά στις ιδιότητές τους και στη χρήση των µερών τους (Kαλδρυµίδου και Κοντοζήσης, 2003). Επιπλέον σύµφωνα µε τους ίδιους (Καλδρυµίδου και Κοντοζήσης, 2003) οι στερεότυπες µορφές µε τις οποίες παρουσιάζονται στα παιδιά οι διάφορες αναπαραστάσεις των κλασµατικών εννοιών για παράδειγµα ο στερεότυπος χωρισµός ενός τετραγώνου σε τέταρτα από τη µια οδηγούν τα παιδιά στο σωστό αποτέλεσµα, άλλα ταυτόχρονα δεν εξασφαλίζουν την οικοδόµηση της αντίστοιχης έννοιας. Θα πρέπει να δίνεται έµφαση στη διδασκαλία µέσω της αριθµητικής γραµµής και έµφαση στη διδασκαλία και αξιολόγηση της µάθησης µε αριθµητική γραµµή. Η χρήση της αριθµητικής γραµµής βοηθά στον εντοπισµό παρανοήσεων των µαθητών αναφορικά µε την έννοια του κλάσµατος και τη µονάδα αναφοράς συµβάλλοντας έτσι τόσο στην κατανόηση της έννοιας, όσο και στις πράξεις µε κλάσµατα (Keijzer & 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 108

11 Γιατί οι Mαθητές υσκολεύονται στα Κλάσµατα; Terwel, 2000: Keijzer & Terwel, 2001: Ni,2000. Στο: Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία, Ι., Σπύρου, Π., 2004) Η διδασκαλία των ακέραιων αριθµών αποτελεί επιστηµολογικό εµπόδιο στη διδασκαλία των ρητών αριθµών και οι µαθητές εφαρµόζουν ιδιότητες των ακεραίων αριθµών στις πράξεις µε τους κλασµατικούς αριθµούς. Σύµφωνα µε τις Σταφυλίδου και Βοσνιάδου (2002). Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001) οι µαθητές θεωρούν τον αριθµητή και τον παρονοµαστή ενός κλάσµατος ως δύο διαφορετικούς ακέραιους αριθµούς που είναι ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλο. Οι Philippou & Christou, (1994) επισηµαίνουν την έλλειψη συνδέσεων ανάµεσα στην εννοιολογική και διαδικαστική γνώση των κλασµατικών αριθµών γεγονός που αποτελεί ένδειξη της αποσπασµατικότητας των γνώσεων των µαθητών και της έµφασης που δίνεται στην παραδοσιακή διδασκαλία. Επίσης υποστηρίζουν ότι µεγάλο ποσοστό παιδιών δεν συνδέει τη δηµιουργία κλασµάτων µε την πράξη της διαίρεσης παρόλο που λεκτικά τουλάχιστον αναφέρονται συχνά στην πράξη αυτή στην προσπάθεια τους να εξηγήσουν την έννοια των κλασµάτων. Οι µαθητές θα πρέπει να ενθαρρύνονται για αιτιολόγηση των απαντήσεών τους στη βάση πάντα του εννοιολογικού ορισµού της έννοιας και για επινόηση δικών τους αναπαραστάσεων για την ισοδυναµία ρητών αριθµών, που να έχουν νόηµα για τους ίδιους. Σε κάθε βήµα θα πρέπει να τονίζονται συνειδητά οι σχέσεις µε προηγούµενα διδαχθέντα σηµεία και τυχόν οµοιότητες µε τη δοµή του συστήµατος και των πράξεων των ακεραίων, ώστε να διευκολύνεται η οικοδόµηση συσχετιστικής και κατ επέκταση εννοιολογικής κατανόησης για τα κλάσµατα (σύνδεση εννοιολογικής-διαδικαστικής γνώσης). Τέλος πιστεύουµε ότι η συστηµατική µελέτη των λαθών, των παρανοήσεων και των επεξηγήσεων των µαθητών, είναι πολύ σηµαντική για τον εκπαιδευτικό διότι τον βοήθα να προσεγγίσει και να αναλύσει τον τρόπο σκέψης των παιδιών ώστε να µπορεί να προγραµµατίζει τις αναγκαίες παρεµβάσεις που θα οδηγούν σε µια ολοκληρωµένη κατανόηση της έννοιας των κλασµάτων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γαγάτσης, Α., Ευαγγελίδου, Α., Ηλία Ι., Σπύρου Π. (2004). Αναπαραστάσεις και µάθηση των Μαθηµατικών; Λευκωσία: Intercollage Press. Ηλία Ι., Γαγάτσης, Α.(2004). Η εικόνα στην επίλυση προβλήµατος: Αρωγός ή εµπόδιο; Λευκωσία: Iδρυµα Προώθησης Έρευνας: Πανεπιστήµιο Κύπρου. Γαγάτσης,Α., Μιχαηλίδου Ε., και Σιακαλλή Μ. (2001).Θεωρίες Αναπαράστασης και Μάθηση των Μαθηµατικών. Πανεπιστήµιο Κύπρου,Λευκωσία. Καλδρυµίδου, Μ., & Κοντοζήσης,.(2003). Εικονικές αναπαραστάσεις και εννοιολογική προσέγγιση των κλασµατικών εννοιών: Η έννοια του µισού στα νήπια. Στο: Γαγάτσης, Α & Ηλία, Ι., (2003) Οι αναπαραστάσεις και τα 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 109

12 Α. Γαγάτσης κ.á. γεωµετρικά µοντέλα στη Μάθηση Μαθηµατικών (Τόµος1,σ ).Λευκωσία: Intercollege Press. Lamon, S. J.(1999). Teaching Fractions and Ratios for Understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Lamon, S. J.: (1993). Ratio and Proportion: Children's Cognitive and Metacognitive Process, in T. P. Carpenter, E. Fennema and T. A. Romberg (eds.), Rational Numbers: An Integration of Research, Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey, pp Marshall, S. P.: (1993). Assessment of Rational Number Understanding: A Schema Based Approach, in T. P. Carpenter, E. Fennema and T. A. Romberg (eds.). Rational Numbers: An Integration of Research. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates (pp ). Ni, Y.(2002). Number lines as assessment procedure for diagnostic utility and achievement estimation. Manuscript submitted to British Journal of Educational Psychology for publication. Pluvinage F. (1988). Η µάθηση των αριθµών στην εποχή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. ιάσταση,2, σ Θεσσαλονίκη: ΕΜΕ. Φιλίππου,Γ.,& Χρίστου Κ.(1995). ιδακτική των Μαθηµατικών. Αθήνα: αρδανός. Σταφυλίδου, Σ. (2001). Μαθηµατικές Έννοιες και ιαδικασίες Μάθησης: Η Ανάπτυξη της Έννοιας του Κλάσµατος. Αδηµοσίευτη ιδακτορική ιατριβή. Αθήνα. Vergnaud, G.(1996).The theory of conceptual fields. In: L.Steffe, P.Nesher,P.Cobb,g.Goldin,B.Greer,(eds).Τheories of Mathematical Learning.. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates (pp ). 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 110

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Αναπαραστάσεις και Κατανόηση Συνόλων Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥΣ Ειρήνη Αριστοτέλους, Χρυστάλλα Περικλέους, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΔΙ.ΜΕ.ΠΑ. Β ΦΑΣΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ Θέμα Εργασίας ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind

Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind Εκµάθηση προµαθηµατικών εννοιών για ΑµεΑ στο φάσµα του Αυτισµού µε το λογισµικό LT125-ThinkingMind Λαδιάς Αναστάσιος, Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής Β Αθήνας Μπέλλου Ιωάννα, Σχολικός Σύµβουλος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΣΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Απευθύνεται: Σε κάθε εκπαιδευτικό που ενδιαφέρεται να βελτιώσει και να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία του/της. Στους/ις υποψήφιους/ες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΕ ΙΟ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ Επιµέλεια: Καλαντζής Παναγιώτης, ηµ. Σχ. Παίδων «Π. & Α. Κυριακού». Γνωστικό αντικείµενο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΗΜΟΤΙΚΟΥ 1. ΤΙΤΛΟΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ: Μονάδες µέτρησης επιφανείας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ιαισθητικές Αντιλήψεις στην Έννοια της Πιθανότητας ΙΑΙΣΘΗΤΙΚΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κώστας Κωνσταντίνου, Γεωργία Τάνου, Ιλιάδα Ηλία, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Όνοµα: Τάσος Αναστάσιος Επώνυµο: Μικρόπουλος Τίτλος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Εργαστήριο Εφαρµογών Εικονικής Πραγµατικότητας στην Εκπαίδευση, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Όταν κοιτάς από ψηλά Σχήµα-Ανάγλυφο της Γης

Όταν κοιτάς από ψηλά Σχήµα-Ανάγλυφο της Γης ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Η γη από το διάστηµα» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µικρές τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Ο καιρός» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ Αναγνωσιµότητα και Eικόνες ΑΝΑΓΝΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης, Ιλιάδα Ηλία, Στυλιανή Καταλάνου Μοδεστίνα Μοδέστου, Ορτάνζια Ιωάννου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Λεμονίδης Χ. (2007). Ο εκσυγχρονισμός των μαθηματικών περιεχομένων στα νέα βιβλία της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Γέφυρες, 31:24-31. Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Απόστολος Μιχαλούδης

Απόστολος Μιχαλούδης ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ Ανάπτυξη και εφαρμογή διδακτικών προσομοιώσεων Φυσικής σε θέματα ταλαντώσεων και κυμάτων Απόστολος Μιχαλούδης υπό την επίβλεψη του αν. καθηγητή Ευριπίδη Χατζηκρανιώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

Ο ρόλος των πολλαπλών αναπαραστάσεων στην κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων: Σύγκριση της επίδοσης Κυπρίων και Ελλαδιτών μαθητών

Ο ρόλος των πολλαπλών αναπαραστάσεων στην κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων: Σύγκριση της επίδοσης Κυπρίων και Ελλαδιτών μαθητών Ο ρόλος των πολλαπλών αναπαραστάσεων στην κατανόηση της πρόσθεσης κλασμάτων: Σύγκριση της επίδοσης Κυπρίων και Ελλαδιτών μαθητών Δεληγιάννη Ελένη Πανεπιστήμιο Κύπρου Ηλία Ιλιάδα Πανεπιστήμιο Κύπρου Γαγάτσης

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE Θέµα ιερεύνησης: Σχεδιασµός γραµµάτων Μπορώ να φτιάξω το δικό µου επεξεργαστή κειµένου; Στη διερεύνηση αυτή οι µαθητές καλούνται να κατασκευάσουν µια γραµµατοσειρά µε όλα τα κεφαλαία γράµµατα του ελληνικού

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Μαρία Ηροδότου, Πολίνα Ιωάννου, Κατερίνα Κοντογιάννη, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ 2011 ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ Τα σύγχρονα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Οδηγίες Εγκατάστασης & Εγχειρίδιο Χρήσης Πίνακας περιεχομένων 1. Εισαγωγή... 3 2. Οδηγίες εγκατάστασης...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µικρές τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Η έννοια της ανακύκλωσης» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Το ιδακτικό Υλικό στο Κεφάλαιο των Πιθανοτήτων της Γ τάξης του ηµοτικού: Τρόπος Κατανόησης και ιαχείρισής του από Μαθητές και ασκάλους Χρυσάνθη Σκουµπουρδή και Φραγκίσκος Καλαβάσης Περίληψη Στην εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Concept Mapping: H Βασισµένη στον Η/Υ ηµιουργία Εννοιολογικών Χαρτών και η ιδακτική Αξιοποίησή τους.

Concept Mapping: H Βασισµένη στον Η/Υ ηµιουργία Εννοιολογικών Χαρτών και η ιδακτική Αξιοποίησή τους. 4ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ - ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 1 Concept Mapping: H Βασισµένη στον Η/Υ ηµιουργία Εννοιολογικών Χαρτών και η ιδακτική Αξιοποίησή τους. Κωνσταντίνα Στούµπου Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ ΣΕ ΠΑΙ ΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΚΑΙ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΤΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ ΣΕ ΠΑΙ ΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΚΑΙ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ιδακτικό Συµβόλαιο και Παιδιά Προσχολικής Ηλικίας ΤΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ ΣΕ ΠΑΙ ΙΑ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΚΑΙ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Χρύσω Γεωργίου, Ελένη Ζαννέττου, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών Αγωγής, Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΕΡΕΥΝΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΕΡΕΥΝΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Trends in International Mathematics and Science Study ΕΠΑΡΧΙΑΚΕΣ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΘΕΩΡΗΤΩΝ - ΔΙΕΥΘΥΝΤΩΝ Φεβρουάριος 2014 Περιεχόμενο συνάντησης

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης Ενσωμάτωση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Τιμοθέου Σάββας & Χριστοφορίδης Μιχάλης Μελέτη και γραφική Παράσταση Συνάρτησης Τμήμα:Γ6 ( με 18 μαθητές)

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα

ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα ιδασκαλία της Ροµποτικής Επιστήµης στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Εµπειρίες από άλλα εκπαιδευτικά συστήµατα και προσαρµογή στην Ελληνική πραγµατικότητα Αντώνιος Τζες Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµατος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικές Ανάγκες στον Αυτισμό. Μαρίτσα Καμπούρογλου Λογοπεδικός Ίδρυμα για το Παιδί «Η Παμμακάριστος»

Εκπαιδευτικές Ανάγκες στον Αυτισμό. Μαρίτσα Καμπούρογλου Λογοπεδικός Ίδρυμα για το Παιδί «Η Παμμακάριστος» Εκπαιδευτικές Ανάγκες στον Αυτισμό Μαρίτσα Καμπούρογλου Λογοπεδικός Ίδρυμα για το Παιδί «Η Παμμακάριστος» Παράγοντες που επιδρούν στη μάθηση Η σοβαρότητα του αυτισμού Το επίπεδο της νοητικής τους ικανότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo Εμπλεκόμενες έννοιες «Γραφή» και άμεση εκτέλεση εντολής. Αποτέλεσμα εκτέλεσης εντολής.

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Επαγγελματικές κάρτες

Επαγγελματικές κάρτες Επαγγελματικές κάρτες Αφροδίτη Οικονόμου Νηπιαγωγός afoikon@uth.gr Η παρουσίαση αναπτύχθηκε για την πλατφόρμα Ταξίδι στον γραμματισμό Θεματική: Τα επαγγέλματα των γονιών της τάξης μας ΤΙΤΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Θ. Κώτσης ΠΤΔΕ Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, kkotsis@cc.uoi.gr

Κωνσταντίνος Θ. Κώτσης ΠΤΔΕ Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, kkotsis@cc.uoi.gr ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 5 ου ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΥ ΣΥΝΕΔΡΙΟΥ, ΤΕΥΧΟΣ Α Οι Φυσικές Επιστήμες στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση Η ικανοποιητική δεξιότητα των τυφλών μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Πάσχου Αικατερίνη 1 katpas@sch.gr 1 Εκπαιδευτικός Πληροφορικής, 2 ο ΕΠΑ.Λ. Καρδίτσας Περίληψη Το μάθημα Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση (Δημοτικό)

Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση (Δημοτικό) ΕΣΠΑ 2007-13\Ε.Π. Ε&ΔΒΜ\Α.Π. 1-2-3 «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21 ου αιώνα) Νέο Πρόγραμμα Σπουδών, Οριζόντια Πράξη» MIS: 295450 Με την συγχρηματοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης (Ε. Κ. Τ.) Μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

3ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας. «Το Φως» Παναγιωτάκης Χαράλαμπος 1, Βενιώτη Ανθή 2

3ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας. «Το Φως» Παναγιωτάκης Χαράλαμπος 1, Βενιώτη Ανθή 2 3ο Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ «Το Φως» Παναγιωτάκης Χαράλαμπος 1, Βενιώτη Ανθή 2 1 Καθηγητής, Φυσικός, 2 ο Γενικό Λύκειο Αγ. Νικολάου Κρήτης xaralpan@gmail.com 2 Καθηγήτρια, Φυσικός,

Διαβάστε περισσότερα

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4%

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς ===================================================================================== Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ

ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΜΑΘΗΣΗ ΜΕΣΩ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 1 ΑΠΌ ΤΗ «ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ»ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΆΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΏΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΉ ΤΗΣ ΣΤΗΝ ΤΆΞΗ Ε.ΚΟΛΈΖΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ 1. Τι αλλαγές επιχειρούν τα νέα ΠΣ; 2 2. Γιατί το πέρασμα στην πράξη (θα)

Διαβάστε περισσότερα

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πολυάριθµες είναι οι περιοχές όπου ένα ταλέντο ή µία χαρακτηριστική κλίση µπορεί να εκδηλωθεί. Το ταλέντο στα µαθηµατικά έχει ιδιαίτερα απασχολήσει την επιστηµονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ Οι Δ/τές ως προωθητές αλλαγών με κέντρο τη μάθηση Χαράσσουν τις κατευθύνσεις Σχεδιάσουν την εφαρμογή στη σχολική πραγματικότητα Αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΙ ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ: ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ60/70 (78 ώρες)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΙ ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ: ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ60/70 (78 ώρες) ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΙ ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ: ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ60/70 (78 ώρες) 1. 9 Εκπαιδευτική χρήση βασικών εργαλείων πληροφορικής, πολυµεσικών εργαλείων και του διαδικτύου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 169 Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών - Τεύχος 1 (Γενικό Μέρος) Ενότητα 3.6.2 Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 1. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Τα ταξίδια και οι περιπέτειες του Μεγάλου Αλεξάνδρου

Τα ταξίδια και οι περιπέτειες του Μεγάλου Αλεξάνδρου ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Ο Μέγας Αλέξανδρος και τις εκστρατείες του» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α

, α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194. α α α α α α α α α «α µα. α α µ «α α µα» α , α µα.., asotirakis@aegean.gr, 2241025931 α α α, α µα.., kmath@otenet.gr, 2241065194 ΠΕΡΙΛΗΨΗ α α α α µα α 04. α α α α α α α α α α «α µα µα» µ µ α µα α α α α µ α α µ «α α µα» α µα α α µ α µ α α α α α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Για τα παιδιά (αλλά και για τους γονείς)...

Για τα παιδιά (αλλά και για τους γονείς)... Eισαγωγικό σημείωμα: «Οι κατ οίκον εργασίες στη διδασκαλία των μαθηματικών» Οι εργασίες «για το σπίτι» ή όπως λέγονται στις παιδαγωγικές επιστήμες οι κατ οίκον εργασίες αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της

Διαβάστε περισσότερα

Στα παρακάτω θα αναφερθούµε σε µερικά µόνον σηµεία του άρθρου.

Στα παρακάτω θα αναφερθούµε σε µερικά µόνον σηµεία του άρθρου. ΛΟΓΟΙ ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΘΡΟ: BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 1, Number 6, November 1979 RATIO IN EARLY GREEK MATHEMATICS BY D. H. FOWLER Contents 1. Introduction 2. Arithmetike

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νίκος Μιχαηλίδης, Πληροφορικός ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 24 Φεβρουαρίου 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης

ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών. Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης ΕΠΑ 331 Διδακτική των Μαθηματικών Παρουσίαση «Γεωμετρία» ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1 ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Van Hiele Επίπεδο 0. Επίπεδο Σφαιρικής ή ολικής αντίληψης 1. Αναγνωρίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Προσεγγίσεις και Εργαλεία για τη Διδασκαλία της Πληροφορικής

Διδακτικές Προσεγγίσεις και Εργαλεία για τη Διδασκαλία της Πληροφορικής Περιεχόμενα Πρόλογος... 11 Κεφ.1 Θεωρητικό Πλαίσιο της Διδακτικής: Βασικές Έννοιες, Σχεδιασμός και Οργάνωση Διδασκαλίας, Εκπαιδευτική Αξιολόγηση Μ. Γρηγοριάδου, Ε. Γουλή και Α. Γόγουλου... 15 1.1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα