Προηγμένα Ευρετικά Διαχώρισης Πεδίων Τιμών Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προηγμένα Ευρετικά Διαχώρισης Πεδίων Τιμών Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών"

Transcript

1 Προηγμένα Ευρετικά Διαχώρισης Πεδίων Τιμών Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών Μαρία Άννα Γ. Περιδέλη * Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημιούπολη, Ιλίσια, 15784, Αθήνα, Ελλάς Περίληψη Μελετάμε την συμβολή της Διαχώρισης των Πεδίων Τιμών σε διάφορα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών. Προκειμένου να μειωθεί ο χρόνος και ο χώρος αναζήτησης, εισάγονται νέα προηγμένα ευρετικά για την διαχώριση και, συνεπώς, την σμίκρυνση των πεδίων τιμών των μεταβλητών. Μελετάται η απόδοση τους με χρήση του επιλυτή NAXOS σε σχέση με άλλες μεθόδους αναζήτησης. Επίσης, τονίζεται η σημασία της διαχώρισης πεδίου τιμών σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, αυτό της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, στο οποίο σημειώθηκαν αποδοτικότερα αποτελέσματα. Λέξεις-κλειδιά: προγραμματισμός με περιορισμούς, επιλυτής NAXOS, διαχώριση, πεδίο-α τιμών, πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης πλακιδίων 1 Εισαγωγή Έχετε ακούσει για το πλήθος των chips που υπάρχουν πάνω σε μια μητρική πλακέτα; Έχετε βρεθεί μπροστά σε μια γεμάτη αποθήκη και να θέλετε να τοποθετήσετε κάποιο μεγάλο αντικείμενο αλλά να μην χωράει; Όλα αυτά είναι προβλήματα χωροθέτησης, μια υποκατηγορία των Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών της Τεχνητής Νοημοσύνης, τα οποία συναντάμε συχνά μπροστά μας. Σε αυτή την εργασία, προσπαθούμε να βελτιώσουμε διάφορα επιλύσιμα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών και ειδικά το πρόβλημα της χωροθέτησης σε μια απλή του μορφή. Σε αυτό θα μας βοηθήσει και η ιδέα της διαχώρισης. Συγκεκριμένα, θα δουλέψουμε πάνω στον επιλυτή NAXOS που είναι προγραμματισμένος σε C++ για να επιλύει Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών και θα προσπαθήσουμε να επεκτείνουμε το ευρετικό κομμάτι της επιλογής τιμής από ένα πεδίο τιμών μιας μεταβλητής. Για αυτή την επιλογή θα εισάγουμε και θα χρησιμοποιήσουμε την διαχώριση του πεδίου τιμών σε ποικίλου μεγέθους κομμάτια καθώς και την δίκαια διαχώριση πεδίου τιμών μιας μεταβλητής, δηλαδή τον χωρισμό σε πεδία που θα έχουν περισσότερες πιθανότητες να ικανοποιούν τους περιορισμούς στους οποίους μετέχει μια μεταβλητή. * Επιβλέπων Καθηγητής: Παναγιώτης Σταματόπουλος Επιβλέπων Υποψήφιος Διδάκτωρ: Νικόλαος Ποθητός

2 2 Συγκρίνοντας τις κλασικές μεθόδους αναζήτησης με τις μεθόδους αναζήτησης διαχώρισης πεδίου τιμών μεταβλητών, θα αποδείξουμε ότι η δεύτερη κατηγορία έχει καλύτερη απόδοση σε προβλήματα χωροθέτησης και συγκεκριμένα στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. 2 Προγραμματισμός με Περιορισμούς Μια σημαντική κατηγορία προβλημάτων με τα οποία ασχολείται η Τεχνητή Νοημοσύνη, και συγκεκριμένα ένα πεδίο της, ο προγραμματισμός με περιορισμούς, είναι τα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών, στα οποία η λύση είναι ένα σύνολο από τιμές που ικανοποιούν διάφορους περιορισμούς. Ο ακριβής ορισμός τους περιλαμβάνεται μέσα στο εξής τρίπτυχο [1]: Περιορισμένες μεταβλητές (variables), που αντιπροσωπεύονται με το σύνολο V = {V 1,V 2,,V n }. Πεδία τιμών των μεταβλητών (domains), που αντιπροσωπεύονται με το σύνολο D = {D 1,D 2,,D n }. Το πεδίο τιμών D i περιέχει όλες τις επιτρεπόμενες τιμές που μπορούν να δοθούν στη μεταβλητή V i. Περιορισμοί μεταξύ των μεταβλητών (constraints), που αντιπροσωπεύονται με το σύνολο C = {C 1,C 2,,C m }. Κάθε C i περιλαμβάνει μια σχέση μεταξύ των πεδίων τιμών ενός συνόλου μεταβλητών S i που ανήκουν στο V, οι οποίες συμμετέχουν στον περιορισμό. Ως λύση ενός προβλήματος ικανοποίησης περιορισμών ορίζεται μια ανάθεση (assignment) σε όλες τις μεταβλητές V i του προβλήματος (πλήρης ανάθεση), έτσι ώστε να ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί C i του προβλήματος, δηλαδή να είναι όλοι αληθείς (συνεπής ανάθεση). 2.1 Ο Επιλυτής NAXOS Ο NAXOS SOLVER [2] είναι μια προγραμματιστική βιβλιοθήκη υλοποιημένη στην αντικειμενοστραφή γλώσσα C++, η οποία στοχεύει στην επίλυση προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών. Η χρησιμότητα της έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να λύσει οποιοδήποτε πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών αν εκφραστεί με τον κατάλληλο τρόπο, δηλαδή διαχωρίζει τον τρόπο επίλυσης, ο οποίος είναι ίδιος για όλα τα προβλήματα από τα ζητούμενα ενός προβλήματος. Ο επιλυτής δέχεται ως εισόδους τις μεταβλητές του προγράμματος οι οποίες πρέπει να λάβουν τιμή, καθώς και τους περιορισμούς (εκφρασμένοι ως μαθηματικές σχέσεις στην C++) και παράγει σαν έξοδο μια λύση, δηλαδή τις τιμές των μεταβλητών που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς. 3 Η Αναζήτηση στα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών Στον τομέα της Τεχνητής Νοημοσύνης έχουν αναπτυχθεί ποικίλες μορφές αναζήτησης σε μια προσπάθεια γρήγορης και βέλτιστης επίλυσης μεγάλων και δύσκολων προβλημάτων, όπως η βέλτιστη κάλυψη σήματος σε ασύρματα

3 δίκτυα τηλεπικοινωνιών. Προτού όμως προταθεί μια λύση για κάθε πρόβλημα είναι απαραίτητη η σωστή διατύπωση του προβλήματος, τα δεδομένα του δηλαδή αλλά και τα ζητούμενα του [1]. Η αρχική κατάσταση, δηλαδή η αναπαράσταση της αρχικής εικόνας του προβλήματος σε μια κατανοητή γλώσσα προγραμματισμού ή συμβόλων. Η συνάρτηση διαδόχων, η οποία παίρνει ως όρισμα μια κατάσταση x του προβλήματος και επιστρέφει ένα σύνολο (ενέργεια, διάδοχος) που προσδιορίζει τις δυνατές επόμενες «διαδοχικές» καταστάσεις αν εφαρμοστούν κάποιες συγκεκριμένες «ενέργειες». Ο έλεγχος στόχου που καθορίζει τις καταστάσεις στόχου, δηλαδή ποιες καταστάσεις δεχόμαστε ως τελικές ενός προβλήματος. Η συνάρτηση κόστους μονοπατιού, που είναι το άθροισμα του κόστους όλων των ενεργειών μιας μετάβασης από μία κατάσταση σε μία άλλη. Στα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών έχουμε μετάβαση από μία κατάσταση σε άλλη όταν επιλέγεται μεταβλητή και της ανατίθεται μια τιμή. Τελική κατάσταση (κατάσταση στόχου) είναι αυτή που έχει όλες τις μεταβλητές δεσμευμένες με κάποια τιμή, ενώ ταυτόχρονα ικανοποιούνται οι περιορισμοί του προβλήματος. Τα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών τα οποία εξετάσαμε σε αυτή την εργασία είναι πολύ κλασικά στην Τεχνητή Νοημοσύνη. Πρόκειται για: α) το πρόβλημα του πολλαπλασιασμού, όπου θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε δυο τριψήφιους αριθμούς, έτσι ώστε σε όλη την ανάλυση και τη διαδικασία του πολλαπλασιασμού κάθε ψηφίο να εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές, β) το πρόβλημα των κοινωνικών παικτών του γκολφ με σκοπό την τοποθέτηση g x s παικτών σε g ομάδες με s άτομα η κάθε μία για μια περίοδο w εβδομάδων έτσι ώστε κάθε παίκτης να βρίσκεται κάθε βδομάδα σε μια ομάδα με διαφορετικούς παίκτες από όλες τις προηγούμενες που συμμετείχε, γ) το πρόβλημα του χρωματισμού ενός γράφου, ώστε κάθε κόμβος να έχει διαφορετικό χρώμα από τον γειτονικό του και να έχουμε τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων, δ) το πρόβλημα του διαμερισμού αριθμών σε υποσύνολα, ώστε τα αθροίσματα των δύο υποσυνόλων να έχουν την ελάχιστη διαφορά, ε) το πρόβλημα των μαγικών τετραγώνων n-τάξης, στα οποία οποθετούνται οι πρώτοι n 2 φυσικοί αριθμοί με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των n αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο να είναι ίσο, στ) το πρόβλημα των Ν-βασιλισσών, όπου θέλουμε να τοποθετήσουμε Ν βασίλισσες σε μια σκακιέρα Ν x N ώστε να μη «συγκρούονται» μεταξύ τους σύμφωνα με τους κανόνες στο σκάκι, ζ) το πρόβλημα της κατασκευής του γνωστού παιχνιδιού Sudoku, όπου έχουμε n 2 τετράγωνα που σχηματίζουν ένα μεγάλο τετράγωνο και σε κάθε μικρό τετράγωνο οι πρώτοι φυσικοί αριθμοί ως n 2 εμφανίζονται ακριβώς μια φορά, όπως και σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη του μεγάλου τετραγώνου, η) το πρόβλημα της Ελάχιστης Κομβικής Επικάλυψης, που δεδομένου ενός γράφου, ζητείται το ελάχιστο σύνολο των κόμβων ώστε να καλύπτουν κάθε ακμή του γράφου (δηλαδή κάθε ακμή του γράφου να «ακουμπάει» τουλάχιστον έναν από αυτούς τους κόμβους) και τέλος θ) το πρόβλημα της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, όπου δημιουργούνται τυχαία μικρά ορθογώνια 3

4 4 πλακίδια και πρέπει να τοποθετηθούν σε ένα μεγάλο ορθογώνιο χωρίς να υπερκαλύπτονται μεταξύ τους. Κάποιες κλασικές μέθοδοι αναζήτησης είναι οι: Πρώτα Κατά Βάθος (DFS), με Περιορισμένη Ασυμφωνία (LDS), Διαμοιρασμού Πίστωσης (credit), Φραγμένου Βάθους με Οπισθοδρόμηση (DBS), με Περιορισμένες Αναθέσεις (LAN), με Φραγμένη Κατά Βάθος Ασυμφωνία (DBDS), με Επαναληπτική Διεύρυνση (Ibroad), με Φραγμένη Οπισθοδρόμηση (BBS), Πρώτα Κατά Βάθος με Επανεκκινήσεις (Rdfs), Ένα-Δείγμα (onesamp), Επαναληπτική Δειγματοληψία (IsampStepping), με Σταδιακό Περιορισμό Πλάτους (GNS) και με Συναρτησιακό Περιορισμό Πλάτους (FNS). Τις δυο τελευταίες αναζητήσεις εισήγαγε ο Φοίβος Θεοχάρης στην πτυχιακή του εργασία [3]. 4 Δυο Νέες Μέθοδοι Αναζήτησης Σχετιζόμενες με την Διαχώριση Πεδίου Τιμών Μεταβλητών 4.1 Η Απλή Διαχώριση Πεδίου Τιμών Μεταβλητών Σε αυτή την εργασία εισάγουμε μια καινούρια ιδέα στην αναζήτηση λύσης στον προγραμματισμό με περιορισμούς, το ευρετικό της Διαχώρισης Πεδίου Τιμών (DomainSplitting). Ο προβληματισμός που οδήγησε στη συγκεκριμένη ιδέα ήταν το «βάρος» των πιθανών τιμών των μεταβλητών ενός προβλήματος. Σε κάποια προβλήματα, ενώ μια μεταβλητή μπορεί να έχει μεγάλο πεδίο τιμών, από τις λύσεις του προβλήματος παρατηρείται ότι οι επιτρεπτές τιμές της συγκεντρώνονται σε μια περιοχή του πεδίου τιμών, π.χ. σε αυτές που βρίσκονται κοντά στο 0. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι η επιβολή περιορισμών στο πρόβλημα, δηλαδή οι περιορισμοί «στενεύουν» τα όρια μιας μεταβλητής που συμμετέχει σε αυτούς. Σε όσους περισσότερους περιορισμούς συναντάται μια μεταβλητή, τόσο πιο πολύ οι τιμές της θα συγκεντρώνονται σε μια μικρή περιοχή του πεδίου τιμών της. Θα μπορούσαμε, λοιπόν, να βελτιώσουμε την απόδοση ενός προβλήματος αν εστιάσουμε την προσοχή μας στην ανάθεση τιμών στις μεταβλητές από μία συγκεκριμένη περιοχή του πεδίου τιμών της ανάλογα με τα ζητούμενα του προβλήματος; Ας εξετάσουμε παρακάτω τον τρόπο λειτουργίας της Διαχώρισης Πεδίου Τιμών. Το αντικείμενο αυτής της αναζήτησης εστιάζεται στο ευρετικό επιλογής τιμής σε μια περιορισμένη μεταβλητή. Αντί κατά την διαδικασία της αναζήτησης να αναθέτουμε τιμή σε μια μεταβλητή και να επιβάλλουμε εκ των υστέρων συνέπεια ακμών ώσπου να βρούμε λύση, αποκόπτουμε ένα κομμάτι από το πεδίο τιμών της και κρατάμε τις υπόλοιπες. Έτσι, η ανάθεση δεν γίνεται απ' ευθείας, παρά μόνο όταν έχουν μείνει δύο τιμές στο πεδίο τιμών της μεταβλητής. Η πιο κοινή διαχώριση πεδίου τιμών είναι στα 2, δηλαδή η «διχοτόμηση» πεδίου τιμών. Ο λόγος που αποτελεί την default τιμή για αυτή την αναζήτηση είναι ότι όταν δεν είμαστε σίγουροι ακριβώς για την περιοχή που μαζεύονται οι τιμές των μεταβλητών, είναι πιο εύκολο να προσδιορίσουμε αν είναι στο πρώτο μισό ή στο δεύτερο, ώστε να «καλύπτουμε» πολλές τιμές μαζί. Όταν

5 5 όμως μπορούμε να προβλέψουμε από πιο πριν τα όρια της περιοχής με τις μαζεμένες επιτρεπτές τιμές για τις μεταβλητές, τότε μπορούμε να διαχωρίσουμε, δηλαδή να «σπάσουμε» τα πεδία τιμών σε ποσοστά, π.χ. στο 10% των πεδίων τιμών αν ξέρουμε ότι οι μικρότερες τιμές είναι πιο πιθανές να οδηγήσουν σε λύση. Αυτή ακριβώς την ιδέα εισάγαμε στην διαχώριση πεδίου τιμών, δηλαδή την μεταβλητότητα του ποσοστού στο οποίο θα διαχωρίσουμε ένα πεδίο τιμών. Οδηγήσαμε, δηλαδή, την απλή «διχοτόμηση» στην μεταβλητή «διαχώριση». Η υλοποίηση της διαχώρισης τιμών πεδίων μεταβλητών για προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών έγινε ως επέκταση στη βιβλιοθήκη του επιλυτή NAXOS και είχε σαν αποτέλεσμα μια ακόμα μέθοδο αναζήτησης για τον επιλυτή, την goaldomainsplittinglabeling. 4.2 Η «Δίκαια» Διαχώριση Πεδίου Τιμών Μεταβλητών Η ιδέα για την διαχώριση του πεδίου τιμών ξεκίνησε με τον προβληματισμό αν οι τιμές των μεταβλητών οι οποίες οδηγούν σε λύση μαζεύονται σε κάποια περιοχή των πεδίου τιμών τους. Ωστόσο, με βάση αυτό δημιουργούνται κάποια νέα ερωτήματα... Είναι σε κάθε μεταβλητή οι «καλές» τιμές της μαζεμένες σε παρόμοιο σημείο με τις άλλες π.χ. στο 10% του πεδίου τιμών της; Και αν με τον όρο «καλές» τιμές εννοούμε αυτές που ικανοποιούν τους περιορισμούς, τότε δεν εξαρτάται από πόσους και ποιους περιορισμούς συμμετέχει η κάθε μεταβλητή; Δεν θα έπρεπε η διαχώριση να έχει σαν αποτέλεσμα δύο πεδία τιμών, που να είναι εξίσου πιθανό να βρίσκεται η λύση ή στο ένα ή στο άλλο και να εξετάζεται πρώτα αυτό με τις λιγότερες τιμές ή μόνο το ένα από τα δύο αν υπάρχει συμμετρία; Αυτά και κάποια άλλα παρόμοια ερωτήματα έρχονται να μας φέρουν την πρόκληση μιας διαφορετικής διαχώρισης τιμών, πιο «δίκαιας» για τις μεταβλητές ενός προβλήματος ικανοποίησης περιορισμών. Θα μπορούσαμε να ενσωματώσουμε στη διαχώριση πεδίου τιμών ένα διαφορετικό ευρετικό επιλογής τιμής, το οποίο όπως όλα, έχει σαν σκοπό να προτείνει την τιμή από το πεδίο τιμών μιας μεταβλητής που θα οδηγήσει με μεγαλύτερη πιθανότητα σε λύση (succeed-first heuristic) [4]. Υποθέτοντας ότι στα αριθμητικά προβλήματα περιορισμών, αυτό που παίζει σημαντικό ρόλο είναι να είμαστε συνεπείς στα όρια των πεδίων τιμών, αφού τα διαστήματα είναι συνεχή [5], μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα διαδεδομένο ευρετικό, αυτό της επιλογής της τιμής για την οποία έχουμε περισσότερες τιμές υποστήριξης (supporters), αλλά σε σύνολα. Αντί δηλαδή να κόβουμε ένα πεδίο τιμών τυχαία σε κάποιο σημείο, θα ήταν ενδιαφέρον να δοκιμάσουμε να το χωρίσουμε σε δυο «ισοβαρή» μέρη όσον αφορά τον αριθμό των τιμών υποστήριξης για τα δυο σύνολα τιμών που θα προκύψουν. Έτσι, θα έχουμε σαν αποτέλεσμα μια πιο «δίκαια» διαχώριση για τις τιμές κάθε μεταβλητής. Δοκιμάσαμε να εξετάσουμε περαιτέρω αυτό το ευρετικό της «δίκαιας» διαχώρισης που σκεφτήκαμε. Να σημειωθεί ότι τα πεδία των τιμών που θα ασχοληθούμε απαρτίζονται από διαδοχικούς ακεραίους.

6 6 Συγκεκριμένα, λέμε ότι μια τιμή μεταβλητής έχει «βάρος» ίσο με το πλήθος των τιμών των άλλων μεταβλητών οι οποίες ικανοποιούν τη συγκεκριμένη τιμή στους περιορισμούς στους οποίους εμπλέκεται. Για παράδειγμα, στον περιορισμό X = Y, αν το πεδίο τιμών της μεταβλητής X είναι D x ={4,5,6} και το πεδίο τιμών της μεταβλητής Y είναι D y = {2,3,4}, τότε η τιμή 4 στο πεδίο D x έχει μία τιμή υποστήριξης από το πεδίο D y (την 4 του D y ), ενώ οι τιμές 5 και 6 δεν έχουν καμία τιμή υποστήριξης. Έτσι, στο ευρετικό θα επιλέγαμε αυτή την τιμή. Παρατηρούμε, ότι το συγκεκριμένο ευρετικό εξαρτάται από τους περιορισμούς στους οποίους συμμετέχει κάθε μεταβλητή προκειμένου να συγκεντρώσει το πλήθος των «υποστηρικτών» κάθε τιμής του πεδίου τιμών της, ώστε να μπορέσει μετά να κάνει τη διαχώριση στο πεδίο σε ένα ποσοστό που να χωρίζει ισοβαρώς το διάστημα. Από κάθε περιορισμό προκύπτουν ξεχωριστοί κανόνες εύρεσης τιμών υποστήριξης. Στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων πάνω στο οποίο σχεδιάσαμε τη «δίκαια» διαχώριση, η «δικαιοσύνη» έγκειται στο διαφορετικό βάρος κάποιων τιμών των μεταβλητών του προβλήματος, ώστε να εξεταστούν πρώτα οι τιμές που είναι πιο πιθανές να ικανοποιούν τους περιορισμούς. Το πώς θα διαμορφώσουμε το βάρος μπορούμε να το επηρεάσουμε εκτός από τις παραμέτρους του προβλήματος και από έναν παράγοντα Α, ο οποίος είναι default 50%, και καθορίζει πόσο θέλουμε τα δυο διαστήματα που θα προκύψουν να είναι ισοβαρή στις τιμές υποστήριξης των μεταβλητών τους. 5 Πειραματικά Αποτελέσματα των Μεθόδων Αναζήτησης στα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών 5.1 Σύγκριση της Απλής Διαχώρισης Πεδίου Τιμών Μεταβλητών με τις Κλασικές Μεθόδους Αναζήτησης Εξετάσθηκαν διάφορα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών προκειμένου να εντοπιστούν εκείνες οι υποκατηγορίες στις οποίες η Διαχώριση Πεδίου Τιμών θα έχει καλύτερη απόδοση από τις κλασικές μεθόδους αναζήτησης. Η συγκεκριμένη κατηγορία είναι τα προβλήματα χωροθέτησης κι εδώ θα παρουσιάσουμε το πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων (rectangle packing). Στα υπόλοιπα προβλήματα η διαχώριση πεδίου τιμών συμπεριφέρθηκε ανάλογα με τις κλασικές μεθόδους αναζήτησης, ωστόσο δεν μπόρεσε να ξεπεράσει σε απόδοση 2-3 από αυτές. Πρέπει όμως να τονίσουμε ότι σημείωσε πολύ καλύτερους χρόνους από κάποιες άλλες μεθόδους κι έτσι αξίζει μια θέση σαν μέθοδος αναζήτησης στα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Στο πρόβλημα της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, όπως αναφέραμε και πιο πάνω, το ακριβές ζητούμενο είναι η τοποθέτηση ενός συνόλου τυχαίων παραγόμενων ορθογωνίων διάφορων μεγεθών σε ένα μεγαλύτερο ορθογώνιο (περιοχή τοποθέτησης) με τρόπο ώστε τα ορθογώνια να μη «συγκρούονται» μεταξύ τους και όλες οι πλευρές των ορθογωνίων να είναι

7 7 παράλληλες προς τις πλευρές της περιοχής τοποθέτησης [6]. Τα δεδομένα του προγράμματος που υλοποιεί το πρόβλημα είναι οι διαστάσεις της περιοχής τοποθέτησης, ο επιθυμητός αριθμός των ορθογωνίων που θέλουμε να τοποθετήσουμε μαζί με ένα άνω όριο στις διαστάσεις τους και η μέθοδος που θα εφαρμοστεί στην αναζήτηση του προβλήματος (στην περίπτωση της διαχώρισης πεδίου τιμών εισάγεται και το ποσοστό της διαχώρισης). Τα αποτελέσματα της σύγκρισης των κλασικών μεθόδων αναζήτησης και της απλής διαχώρισης πεδίου τιμών μεταβλητών (domain splitting DS) με το default ποσοστό της διαχώρισης 50% (DS/2) για 3 στιγμιότυπα του προβλήματος είναι τα εξής: Σχήμα 1. Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος των κλασικών μεθόδων και της απλής διαχώρισης σε δευτερόλεπτα για 3 διαφορετικά στιγμιότυπα, με την τιμή 0 στις μεθόδους να θεωρείται αποτυχία. Να σημειωθεί εδώ πως ο άξονας των y είναι σε λογαριθμική κλίμακα ώστε να φαίνονται όλες οι τιμές λόγω του μεγάλου εύρους τους στην κλίμακα του χρόνου. Να σημειωθεί επίσης πως για την τρίτη μέτρηση όπου οι άλλες μέθοδοι αποτυγχάνουν, η «διχοτόμηση» πεδίου τιμών κάνει δευτερόλεπτα. Μετά την εισαγωγή της διαχώρισης πεδίου τιμών, φαίνεται η διαφορά στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης, καθώς λύνονται δύσκολα στιγμιότυπα που οι κλασικές μέθοδοι αναζήτησης δεν μπορούσαν να λύσουν σε λογικό χρόνο. Είναι εμφανές η διαφορά στο χρόνο εκτέλεσης στο μεσαίο στιγμιότυπο σε σχέση με την μέθοδο αναζήτησης DFS.

8 8 5.2 Σύγκριση της «Δίκαιας» Διαχώρισης Πεδίου Τιμών Μεταβλητών με τις Κλασικές Μεθόδους Αναζήτησης Προτού προχωρήσουμε στην παράθεση των αποτελεσμάτων, πρέπει να τονίσουμε ότι δεν πρόκειται για μια πλήρη σύγκριση των μεθόδων, γιατί η «δίκαια» διαχώριση διαμορφώνεται διαφορετικά σε κάθε πρόβλημα ανάλογα με τις μεταβλητές και τους περιορισμούς που υπάρχουν, ενώ η απλή διαχώριση και οι κλασικές μέθοδοι εφαρμόζονται σε κάθε πρόβλημα μιας και είναι ανεξάρτητες από τους περιορισμούς του προβλήματος. Μιας και η διαχώριση πεδίου τιμών φάνηκε να έχει καλά αποτελέσματα σε χωροταξικά προβλήματα, όπως το πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, οι δοκιμές μας περιορίστηκαν στο συγκεκριμένο πρόβλημα, όπου εξετάσαμε τους περιορισμούς του προβλήματος προκειμένου να διατυπώσουμε μια πιο «δίκαιη» τιμή διαχώρισης για κάθε μεταβλητή. Τα αποτελέσματα της «δίκαιας» διαχώρισης (fair domain splitting FDS) με το default ποσοστό-α 50% σε σύγκριση με τις κλασικές μεθόδους για 3 στιγμιότυπα του προβλήματος είναι τα εξής: Σχήμα 2. Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος των κλασικών μεθόδων και της «δίκαιας» διαχώρισης σε δευτερόλεπτα για 3 διαφορετικά στιγμιότυπα, με την τιμή 0 στις μεθόδους να θεωρείται αποτυχία. Για μια ακόμα φορά φαίνεται ξεκάθαρα η συμβολή της διαχώρισης πεδίου τιμών, και σε αυτή την εκδοχή της, στο πρόβλημα της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. Δεν τίθεται, δηλαδή, θέμα ότι η διαχώριση πεδίου

9 9 τιμών, είτε πρόκειται για την απλή, είτε για την «δίκαια» δίνει λύση σε στιγμιότυπα του προβλήματος που οι κλασικές μέθοδοι αποτυγχάνουν. 5.3 Σύγκριση των Δυο Μεθόδων Αναζήτησης Διαχώρισης Πεδίου Τιμών Μεταβλητών στο Πρόβλημα Τοποθέτησης Ορθογώνιων Πλακιδίων Τέλος παρουσίαζουμε μια σύγκριση μεταξύ των δύο ειδών διαχώρισης πεδίου τιμών, της απλής και της «δίκαιας» στο στιγμιότυπο του προβλήματος με τις μεγαλύτερες παραμέτρους, που πλησιάζει περισσότερο τις πραγματικές διαστάσεις του προβλήματος τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. Τα αποτελέσματα για τα όλα τα ποσοστά των δύο ειδών διαχώρισης σε αυτό το στιγμιότυπο είναι τα εξής: Σχήμα 3. Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος της απλής και της «δίκαιας» διαχώρισης σε δευτερόλεπτα για το 3 ο στιγμιότυπο με όλα τα ποσοστά διαχώρισης. Φαίνεται ξεκάθαρα η συμβολή της «δίκαιας» διαχώρισης πεδίου τιμών στο πρόβλημα όχι μόνο σε σχέση με τις κλασικές μεθόδους, αλλά και σε σχέση με την απλή διαχώριση πεδίου τιμών, στο default (προκαθορισμένο) ποσοστό 50%. Σημειώνουμε την μεγάλη επιρροή των ακραιών ποσοστών στη «δίκαια» διαχώριση, καθώς για μεσαία ποσοστά για τον καθορισμό του Α φαίνεται μια ελαφρά καλύτερη απόδοση απ' ό,τι στην απλή, ενώ αντίστροφα όσο εφαρμόζουμε ακραίες τιμές ποσοστών η «δίκαια» διαχώριση έπεται της απλής. Ωστόσο και οι δυο μέθοδοι ανεβάζουν το χρόνο τους στα ακραία ποσοστά και έχουν παρόμοιους χρόνους σε αυτά. Εύκολα εξάγεται το συμπέρασμα πως όσο περισσότερο προσαρμόζουμε την διαχώριση πεδίου τιμών στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων (και επιλέγουμε μη ακραία

10 10 ποσοστά), τόσο πιο πολύ μειώνουμε τον χρόνο εκτέλεσης του προγράμματος και αυξάνουμε την επίδοσή του. 6 Συμπεράσματα και Μελλοντικές Κατευθύνσεις Η συνεισφορά αυτής της εργασίας ήταν η εισαγωγή μιας καινούριας μεθόδου αναζήτησης, της διαχώρισης πεδίου τιμών στον επιλυτή προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών NAXOS SOLVER. Παρουσιάσαμε δυο πλευρές αυτής της αναζήτησης, την γενική μέθοδο διαχώρισης και την «δίκαια» διαχώριση πεδίου τιμών που προσαρμόζεται ξεχωριστά σε κάθε πρόβλημα και καταλήξαμε σε ένα γνωστό πρόβλημα χωροθέτησης, το πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, στο οποίο οι δυο μέθοδοι διαχώρισης πεδιου τιμών είχαν καλύτερη απόδοση ενώ οι κλασικές μέθοδοι αναζήτησης αδυνατούσαν να δώσουν λύση. Η «δίκαια» διαχώριση λόγω του ότι λαμβάνει υπόψιν τους περιορισμούς ενός προβλήματος, σε γενικές γραμμές, είχε μεγαλύτερες αποδόσεις από την απλή, με το μειονέκτημα όμως της μη καθολικότητας. Ίσως επειδή στα μηχανήματα που έγιναν οι μετρήσεις η διαθέσιμη μνήμη έφτανε τα 2GB η κλιμάκωση να μην ήταν πολύ μεγάλη, όμως ενδεχομένως σε μηχανήματα με μεγαλύτερη μνήμη να φαινόταν περισσότερο η συμβολή της «δίκαιας» διαχώρισης στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. Θα ήταν ενδιαφέρον στο μέλλον να επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε αυτές τις δύο μεθόδους σε διάφορες παραλλαγές του προβλήματος τυχαίας τοποθέτησης που προσομοιάζουν ακόμα περισσότερες καταστάσεις της καθημερινότητας ή σε άλλα προβλήματα που ανήκουν στην κατηγορία της χωροθέτησης με περιορισμούς ή ακόμα και σε άλλες κατηγορίες προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών, όπου η διαχώριση πεδίου τιμών έχει να προσφέρει αποδοτικότερα αποτελέσματα από τις υπόλοιπες μεθόδους αναζήτησης... Αναφορές 1. Russel, S., and Norvig, P. (2003) Artificial Intelligence: A modern approach, Pearson Education Inc. (p ) 2. Ποθητός, N. (2012) NAXOS SOLVER: Εγχειρίδιο Χρήσης, 3. Θεοχάρης, Φ. (2007) Προηγμένες Μέθοδοι Αναζήτησης για Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών, Πτυχιακή Εργασία, Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. 4. Bartak, R. (2003) Constraint-based scheduling: An introduction for newcomers, in: Prep. of the 7th IFAC Workshop on Intelligent Manufacturing Systems. 5. Jussien, N., and Lhomme, O. (1998) Dynamic Domain Splitting for numeric CSP, in: Proc. Eur'n Conf. on Artificial Intelligence, Brightong. 6. Rudova, H., and Vermirovsky, K. (2004) Random Placement Problem,

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 3η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 3η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 3η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ικανοποίηση Περιορισμών Κατηγορία προβλημάτων στα οποία είναι γνωστές μερικές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 4η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται κυρίως στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Καθηγητής : Κουμπαράκης Μανόλης Ημ/νία παράδοσης: 11/01/2011 Ονομ/μο φοιτητή : Μπεγέτης Νικόλαος Α.Μ.:

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams

ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams Αλέκα Σεληνιωτάκη Ηράκλειο, 26/06/12 aseliniotaki@csd.uoc.gr ΑΜ: 703 1. Περίληψη Συνεισφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Περιγραφή Προβλημάτων Διαισθητικά, σε ένα πρόβλημα υπάρχει μια δεδομένη κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Προβλημάτων

Περιγραφή Προβλημάτων Τεχνητή Νοημοσύνη 02 Περιγραφή Προβλημάτων Φώτης Κόκκορας Τμ.Τεχν/γίας Πληροφορικής & Τηλ/νιών - ΤΕΙ Λάρισας Παραδείγματα Προβλημάτων κύβοι (blocks) Τρεις κύβοι βρίσκονται σε τυχαία διάταξη πάνω στο τραπέζι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή.

Ορολογία Αλγόριθμος, υπολογιστική σκέψη, αλγοριθμική σκέψη, αποδοτικότητα, δοκιμή. Το παζλ ανταλλαγής Ηλικίες: 7 ενήλικες Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Καμία Χρόνος: 50-60 λεπτά Μέγεθος ομάδας: 8 με 30 Εστίαση Τι είναι αλγόριθμος; Δοκιμή Αποδοτικότητα αλγορίθμων Υπολογιστική και αλγοριθμική

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Διάσπασης Συμμετριών για Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών

Μέθοδοι Διάσπασης Συμμετριών για Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών Μέθοδοι Διάσπασης Συμμετριών για Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών Καλλιρρόη Δογάνη * Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστημιούπολη, Ιλίσια,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 17η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 17η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 17η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται: στο βιβλίο Artificia Inteigence A Modern Approach των S. Russe και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ

ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ (ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΚΕΦ. 6 ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ «ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ» ΤΩΝ ΒΛΑΧΑΒΑ, ΚΕΦΑΛΑ, ΒΑΣΙΛΕΙΑ Η, ΚΟΚΚΟΡΑ & ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ) Ι. ΧΑΤΖΗΛΥΓΕΡΟΥ ΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ Είναι γνωστές µερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 2008

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 2008 Τετάρτη 25/6/2008 Σελ 1/8 Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Θ Ε Σ Σ Α Λ Ι Α Σ Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ι Κ Η Σ Χ Ο Λ Η Τ Μ Η Μ Α Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ω Ν Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ο Ν Ι Κ Ω Ν Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Σ Τ Ω Ν, Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 6. Ικανοποίηση Περιορισµών. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 6 Ικανοποίηση Περιορισµών Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Ικανοποίηση Περιορισµών Ένα πρόβληµα ικανοποίησης περιορισµών (constraint

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Επιμέλεια Καραβλίδης Αλέξανδρος. Πίνακας περιεχομένων

Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Επιμέλεια Καραβλίδης Αλέξανδρος. Πίνακας περιεχομένων Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Πίνακας περιεχομένων Τίτλος της έρευνας (title)... 2 Περιγραφή του προβλήματος (Statement of the problem)... 2 Περιγραφή του σκοπού της έρευνας (statement

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 7η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ανάπτυξη μιας προσαρμοστικής πολιτικής αντικατάστασης αρχείων, με χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. 2. Τι ονομάζουμε επίλυση προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης.

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης. Ανάλογα με το αν ένας αλγόριθμος αναζήτησης χρησιμοποιεί πληροφορία σχετική με το πρόβλημα για να επιλέξει την επόμενη κατάσταση στην οποία θα μεταβεί, οι αλγόριθμοι αναζήτησης χωρίζονται σε μεγάλες κατηγορίες,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός των νέων δελτίων

Οδηγός των νέων δελτίων Οδηγός των νέων δελτίων 4-7 Νέα εποχή Η ΟΠΑΠ Α.Ε. στο πλαίσιο της δυναμικής της ανάπτυξης, προχωρά στην αναμόρφωση και ανανέωση των παιχνιδιών της. Με ακόμη πιο λειτουργικό σχεδιασμό, μοντέρνα εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων και Τεχνικές Αναζήτησης Εισαγωγή

Επίλυση Προβλημάτων και Τεχνικές Αναζήτησης Εισαγωγή Επίλυση Προβλημάτων και Τεχνικές Αναζήτησης Εισαγωγή επίλυση προβλημάτων μέσω αναζήτησης κάθε πρόβλημα το οποίο μπορεί να διατυπωθεί αυστηρά λύνεται μέσω αναζήτησης. Για τα περισσότερα ενδιαφέροντα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 2 η Τύποι Δεδομένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδομένων Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μονοδιάστατοι πίνακες Πότε πρέπει να χρησιμοποιούνται πίνακες Πολυδιάστατοι πίνακες Τυπικές επεξεργασίες πινάκων Εισαγωγή Η χρήση των μεταβλητών με δείκτες στην άλγεβρα είναι ένας ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού Σκοπός του παιχνιδιού είναι να τοποθετήσει πρώτος ο παίκτης όλα τα πλακίδιά του στο τραπέζι.

Σκοπός του παιχνιδιού Σκοπός του παιχνιδιού είναι να τοποθετήσει πρώτος ο παίκτης όλα τα πλακίδιά του στο τραπέζι. Σκοπός του παιχνιδιού Σκοπός του παιχνιδιού είναι να τοποθετήσει πρώτος ο παίκτης όλα τα πλακίδιά του στο τραπέζι. Βασικοί Κανόνες Τα πλακίδια ανακατεύονται και τοποθετούνται με την όψη προς τα κάτω στο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δυαδική Αναζήτηση Σχέδιο Δραστηριότητας: Παιχνίδι: Βρες τον αριθμό

Ενότητα: Δυαδική Αναζήτηση Σχέδιο Δραστηριότητας: Παιχνίδι: Βρες τον αριθμό Ενότητα: Δυαδική Αναζήτηση Σχέδιο Δραστηριότητας: Παιχνίδι: Βρες τον αριθμό 1 Εισαγωγή Σκεφτείτε έναν αριθμό από το 1 έως το 1000 και απαντήστε στην ερώτηση: Ο αριθμός που σκεφτήκατε είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά

Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Χάρτινα κουτιά Χάρτινα χειροποίητα κουτιά Περίληψη: Στη δραστηριότητα αυτή οι μαθητές διερευνούν τη χωρητικότητα κουτιών σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που προκύπτουν από ένα χαρτόνι συγκεκριμένων διαστάσεων. Οι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης.

Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (ΕΑ) είναι καθολικοί στοχαστικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης, εμπνευσμένοι από τις βασικές αρχές της φυσικής εξέλιξης. Ένα από τα γνωστότερα παραδείγματα των ΕΑ είναι ο Γενετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο

ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Πρώτη Σειρά Ασκήσεων (Υποχρεωτική, 25% του συνολικού βαθμού στο μάθημα) Ημερομηνία Ανακοίνωσης: 22/10/2014 Ημερομηνία Παράδοσης: Μέχρι 14/11/2014 23:59

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβλητες: Q, NSW, V, T, SA, WA, NT. Πεδίο Ορισμού: Για κάθε μεταβλητη το ίδιο. D i ={R, G, B} όπου i= Q, NSW,., NT.

Μεταβλητες: Q, NSW, V, T, SA, WA, NT. Πεδίο Ορισμού: Για κάθε μεταβλητη το ίδιο. D i ={R, G, B} όπου i= Q, NSW,., NT. 1. Στην άσκηση μας, μας έχει δωθεί ένας γράφος, ο οποίος αντιπροσωπεύει ένα χάρτη και μάλιστα αυτόν της Αυστραλίας. Στον γράφο αυτό υπάρχουν και κόμβοι, οι οποίοι αφορούν με τη σειρά τους τις διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

Β Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους

Β Ομάδα Ασκήσεων Λογικού Προγραμματισμού Ακαδημαϊκού Έτους Page 1 of 10 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Β Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους 2015-16 Οι ασκήσεις της ομάδας αυτής πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 2. Πίνακες 45 23 28 95 71 19 30 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 21/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιους μαθησιακούς στόχους θα προσδιορίζατε στα πλαίσια της διδακτικής δραστηριότητας;

1. Ποιους μαθησιακούς στόχους θα προσδιορίζατε στα πλαίσια της διδακτικής δραστηριότητας; Σας έχει ανατεθεί η διδασκαλία της μετα-ελεγχόμενης επανάληψης (εντολή «όσο») στα πλαίσια μιας διδακτικής ώρας της Γ λυκείου. Οι μαθητές έχουν πραγματοποιήσει ένα εισαγωγικό μάθημα για τους προκαθορισμένους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ. ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning. Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ

ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ. ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning. Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ ΑΥΤΟΝΟΜΟΙ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Othello-TD Learning Βόλτσης Βαγγέλης Α.Μ. 2011030017 Η παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος Αυτόνομοι Πράκτορες και σχετίζεται με λήψη αποφάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος =================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά Τσάπελη Φανή ΑΜ: 243113 Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots Τελική Αναφορά Περιγραφή του παιχνιδιού Το παιχνίδι dots παίζεται με δύο παίχτες. Έχουμε έναν πίνακα 4x4 με τελείες, και σκοπός του κάθε παίχτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0

Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 2 6xy + 11y 2 8y + 8 = 0 Άσκηση 1 Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου A(x, y), αν αυτές επαληθεύουν την ισότητα: x 6xy + 11y 8y + 8 = 0 Τι είναι αυτό που έχει δοθεί στην άσκηση; Μία ισότητα την οποία επαληθεύουν οι x, y. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Για παράδειγμα η αρχική και η τελική κατάσταση αναπαριστώνται ως εξής: (ένα λίτρο)

Για παράδειγμα η αρχική και η τελική κατάσταση αναπαριστώνται ως εξής: (ένα λίτρο) 8 1 η ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Απάντηση 1ης άσκησης Κατάσταση (κόμβοι): Αναπαριστούμε μια κατάσταση του προβλήματος με ένα διατεταγμένο ζεύγος (X,Y) όπου X είναι τα λίτρα στο βάζο Α (χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ

Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Περιεχόμενα Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23 Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 1. Επαναληπτικοί αλγόριθμοι: Μέτρα προόδου και αναλλοίωτες συνθήκες.....................................................29

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές

Γραφικά με υπολογιστές Γραφικά με Υπολογιστές Ενότητα # 3: Εισαγωγή Φοίβος Μυλωνάς Τμήμα Πληροφορικής Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους

Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους ΠΜΣ: «Παραγωγή και ιαχείριση Ενέργειας» ιαχείριση Ενέργειας και ιοίκηση Έργων Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους Επ. Καθηγητής Χάρης ούκας, Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & ιοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Τεχνητή νοημοσύνη

Πληροφορική 2. Τεχνητή νοημοσύνη Πληροφορική 2 Τεχνητή νοημοσύνη 1 2 Τι είναι τεχνητή νοημοσύνη; Τεχνητή νοημοσύνη (AI=Artificial Intelligence) είναι η μελέτη προγραμματισμένων συστημάτων τα οποία μπορούν να προσομοιώνουν μέχρι κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποιώντας λογικές πύλες χρησιμοποιώντας perceptrons

Υλοποιώντας λογικές πύλες χρησιμοποιώντας perceptrons Υλοποιώντας λογικές πύλες χρησιμοποιώντας perceptrons Ένας μικρός οδηγός Λευτέρης Ασλάνογλου Προπτυχιακός Φοιτητής Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πάτρας Τρίτη, 5 Ιουνίου 2012 Το παρακάτω είναι ένα tutorial

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ31, Απαντήσεις Ερωτήσεων Quiz - ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ 1 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑ 1 Έστω h µία παραδεκτή ευρετική συνάρτηση. Είναι η συνάρτηση h ½ παραδεκτή; a. Ναι, πάντα. b. Όχι, ποτέ. c.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Ιστορική αναδρομή του Sudoku Μαθηματικό περιεχόμενο Συμμετρίες της λύσης Ενδιαφέροντα δεδομένα ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Αρχικό όνομα Number Place

Διαβάστε περισσότερα