Προηγμένα Ευρετικά Διαχώρισης Πεδίων Τιμών Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προηγμένα Ευρετικά Διαχώρισης Πεδίων Τιμών Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών"

Transcript

1 Προηγμένα Ευρετικά Διαχώρισης Πεδίων Τιμών Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών Μαρία Άννα Γ. Περιδέλη * Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημιούπολη, Ιλίσια, 15784, Αθήνα, Ελλάς Περίληψη Μελετάμε την συμβολή της Διαχώρισης των Πεδίων Τιμών σε διάφορα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών. Προκειμένου να μειωθεί ο χρόνος και ο χώρος αναζήτησης, εισάγονται νέα προηγμένα ευρετικά για την διαχώριση και, συνεπώς, την σμίκρυνση των πεδίων τιμών των μεταβλητών. Μελετάται η απόδοση τους με χρήση του επιλυτή NAXOS σε σχέση με άλλες μεθόδους αναζήτησης. Επίσης, τονίζεται η σημασία της διαχώρισης πεδίου τιμών σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, αυτό της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, στο οποίο σημειώθηκαν αποδοτικότερα αποτελέσματα. Λέξεις-κλειδιά: προγραμματισμός με περιορισμούς, επιλυτής NAXOS, διαχώριση, πεδίο-α τιμών, πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης πλακιδίων 1 Εισαγωγή Έχετε ακούσει για το πλήθος των chips που υπάρχουν πάνω σε μια μητρική πλακέτα; Έχετε βρεθεί μπροστά σε μια γεμάτη αποθήκη και να θέλετε να τοποθετήσετε κάποιο μεγάλο αντικείμενο αλλά να μην χωράει; Όλα αυτά είναι προβλήματα χωροθέτησης, μια υποκατηγορία των Προβλημάτων Ικανοποίησης Περιορισμών της Τεχνητής Νοημοσύνης, τα οποία συναντάμε συχνά μπροστά μας. Σε αυτή την εργασία, προσπαθούμε να βελτιώσουμε διάφορα επιλύσιμα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών και ειδικά το πρόβλημα της χωροθέτησης σε μια απλή του μορφή. Σε αυτό θα μας βοηθήσει και η ιδέα της διαχώρισης. Συγκεκριμένα, θα δουλέψουμε πάνω στον επιλυτή NAXOS που είναι προγραμματισμένος σε C++ για να επιλύει Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών και θα προσπαθήσουμε να επεκτείνουμε το ευρετικό κομμάτι της επιλογής τιμής από ένα πεδίο τιμών μιας μεταβλητής. Για αυτή την επιλογή θα εισάγουμε και θα χρησιμοποιήσουμε την διαχώριση του πεδίου τιμών σε ποικίλου μεγέθους κομμάτια καθώς και την δίκαια διαχώριση πεδίου τιμών μιας μεταβλητής, δηλαδή τον χωρισμό σε πεδία που θα έχουν περισσότερες πιθανότητες να ικανοποιούν τους περιορισμούς στους οποίους μετέχει μια μεταβλητή. * Επιβλέπων Καθηγητής: Παναγιώτης Σταματόπουλος Επιβλέπων Υποψήφιος Διδάκτωρ: Νικόλαος Ποθητός

2 2 Συγκρίνοντας τις κλασικές μεθόδους αναζήτησης με τις μεθόδους αναζήτησης διαχώρισης πεδίου τιμών μεταβλητών, θα αποδείξουμε ότι η δεύτερη κατηγορία έχει καλύτερη απόδοση σε προβλήματα χωροθέτησης και συγκεκριμένα στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. 2 Προγραμματισμός με Περιορισμούς Μια σημαντική κατηγορία προβλημάτων με τα οποία ασχολείται η Τεχνητή Νοημοσύνη, και συγκεκριμένα ένα πεδίο της, ο προγραμματισμός με περιορισμούς, είναι τα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών, στα οποία η λύση είναι ένα σύνολο από τιμές που ικανοποιούν διάφορους περιορισμούς. Ο ακριβής ορισμός τους περιλαμβάνεται μέσα στο εξής τρίπτυχο [1]: Περιορισμένες μεταβλητές (variables), που αντιπροσωπεύονται με το σύνολο V = {V 1,V 2,,V n }. Πεδία τιμών των μεταβλητών (domains), που αντιπροσωπεύονται με το σύνολο D = {D 1,D 2,,D n }. Το πεδίο τιμών D i περιέχει όλες τις επιτρεπόμενες τιμές που μπορούν να δοθούν στη μεταβλητή V i. Περιορισμοί μεταξύ των μεταβλητών (constraints), που αντιπροσωπεύονται με το σύνολο C = {C 1,C 2,,C m }. Κάθε C i περιλαμβάνει μια σχέση μεταξύ των πεδίων τιμών ενός συνόλου μεταβλητών S i που ανήκουν στο V, οι οποίες συμμετέχουν στον περιορισμό. Ως λύση ενός προβλήματος ικανοποίησης περιορισμών ορίζεται μια ανάθεση (assignment) σε όλες τις μεταβλητές V i του προβλήματος (πλήρης ανάθεση), έτσι ώστε να ικανοποιούνται όλοι οι περιορισμοί C i του προβλήματος, δηλαδή να είναι όλοι αληθείς (συνεπής ανάθεση). 2.1 Ο Επιλυτής NAXOS Ο NAXOS SOLVER [2] είναι μια προγραμματιστική βιβλιοθήκη υλοποιημένη στην αντικειμενοστραφή γλώσσα C++, η οποία στοχεύει στην επίλυση προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών. Η χρησιμότητα της έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να λύσει οποιοδήποτε πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών αν εκφραστεί με τον κατάλληλο τρόπο, δηλαδή διαχωρίζει τον τρόπο επίλυσης, ο οποίος είναι ίδιος για όλα τα προβλήματα από τα ζητούμενα ενός προβλήματος. Ο επιλυτής δέχεται ως εισόδους τις μεταβλητές του προγράμματος οι οποίες πρέπει να λάβουν τιμή, καθώς και τους περιορισμούς (εκφρασμένοι ως μαθηματικές σχέσεις στην C++) και παράγει σαν έξοδο μια λύση, δηλαδή τις τιμές των μεταβλητών που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς. 3 Η Αναζήτηση στα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών Στον τομέα της Τεχνητής Νοημοσύνης έχουν αναπτυχθεί ποικίλες μορφές αναζήτησης σε μια προσπάθεια γρήγορης και βέλτιστης επίλυσης μεγάλων και δύσκολων προβλημάτων, όπως η βέλτιστη κάλυψη σήματος σε ασύρματα

3 δίκτυα τηλεπικοινωνιών. Προτού όμως προταθεί μια λύση για κάθε πρόβλημα είναι απαραίτητη η σωστή διατύπωση του προβλήματος, τα δεδομένα του δηλαδή αλλά και τα ζητούμενα του [1]. Η αρχική κατάσταση, δηλαδή η αναπαράσταση της αρχικής εικόνας του προβλήματος σε μια κατανοητή γλώσσα προγραμματισμού ή συμβόλων. Η συνάρτηση διαδόχων, η οποία παίρνει ως όρισμα μια κατάσταση x του προβλήματος και επιστρέφει ένα σύνολο (ενέργεια, διάδοχος) που προσδιορίζει τις δυνατές επόμενες «διαδοχικές» καταστάσεις αν εφαρμοστούν κάποιες συγκεκριμένες «ενέργειες». Ο έλεγχος στόχου που καθορίζει τις καταστάσεις στόχου, δηλαδή ποιες καταστάσεις δεχόμαστε ως τελικές ενός προβλήματος. Η συνάρτηση κόστους μονοπατιού, που είναι το άθροισμα του κόστους όλων των ενεργειών μιας μετάβασης από μία κατάσταση σε μία άλλη. Στα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών έχουμε μετάβαση από μία κατάσταση σε άλλη όταν επιλέγεται μεταβλητή και της ανατίθεται μια τιμή. Τελική κατάσταση (κατάσταση στόχου) είναι αυτή που έχει όλες τις μεταβλητές δεσμευμένες με κάποια τιμή, ενώ ταυτόχρονα ικανοποιούνται οι περιορισμοί του προβλήματος. Τα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών τα οποία εξετάσαμε σε αυτή την εργασία είναι πολύ κλασικά στην Τεχνητή Νοημοσύνη. Πρόκειται για: α) το πρόβλημα του πολλαπλασιασμού, όπου θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε δυο τριψήφιους αριθμούς, έτσι ώστε σε όλη την ανάλυση και τη διαδικασία του πολλαπλασιασμού κάθε ψηφίο να εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές, β) το πρόβλημα των κοινωνικών παικτών του γκολφ με σκοπό την τοποθέτηση g x s παικτών σε g ομάδες με s άτομα η κάθε μία για μια περίοδο w εβδομάδων έτσι ώστε κάθε παίκτης να βρίσκεται κάθε βδομάδα σε μια ομάδα με διαφορετικούς παίκτες από όλες τις προηγούμενες που συμμετείχε, γ) το πρόβλημα του χρωματισμού ενός γράφου, ώστε κάθε κόμβος να έχει διαφορετικό χρώμα από τον γειτονικό του και να έχουμε τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων, δ) το πρόβλημα του διαμερισμού αριθμών σε υποσύνολα, ώστε τα αθροίσματα των δύο υποσυνόλων να έχουν την ελάχιστη διαφορά, ε) το πρόβλημα των μαγικών τετραγώνων n-τάξης, στα οποία οποθετούνται οι πρώτοι n 2 φυσικοί αριθμοί με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των n αριθμών σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο να είναι ίσο, στ) το πρόβλημα των Ν-βασιλισσών, όπου θέλουμε να τοποθετήσουμε Ν βασίλισσες σε μια σκακιέρα Ν x N ώστε να μη «συγκρούονται» μεταξύ τους σύμφωνα με τους κανόνες στο σκάκι, ζ) το πρόβλημα της κατασκευής του γνωστού παιχνιδιού Sudoku, όπου έχουμε n 2 τετράγωνα που σχηματίζουν ένα μεγάλο τετράγωνο και σε κάθε μικρό τετράγωνο οι πρώτοι φυσικοί αριθμοί ως n 2 εμφανίζονται ακριβώς μια φορά, όπως και σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη του μεγάλου τετραγώνου, η) το πρόβλημα της Ελάχιστης Κομβικής Επικάλυψης, που δεδομένου ενός γράφου, ζητείται το ελάχιστο σύνολο των κόμβων ώστε να καλύπτουν κάθε ακμή του γράφου (δηλαδή κάθε ακμή του γράφου να «ακουμπάει» τουλάχιστον έναν από αυτούς τους κόμβους) και τέλος θ) το πρόβλημα της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, όπου δημιουργούνται τυχαία μικρά ορθογώνια 3

4 4 πλακίδια και πρέπει να τοποθετηθούν σε ένα μεγάλο ορθογώνιο χωρίς να υπερκαλύπτονται μεταξύ τους. Κάποιες κλασικές μέθοδοι αναζήτησης είναι οι: Πρώτα Κατά Βάθος (DFS), με Περιορισμένη Ασυμφωνία (LDS), Διαμοιρασμού Πίστωσης (credit), Φραγμένου Βάθους με Οπισθοδρόμηση (DBS), με Περιορισμένες Αναθέσεις (LAN), με Φραγμένη Κατά Βάθος Ασυμφωνία (DBDS), με Επαναληπτική Διεύρυνση (Ibroad), με Φραγμένη Οπισθοδρόμηση (BBS), Πρώτα Κατά Βάθος με Επανεκκινήσεις (Rdfs), Ένα-Δείγμα (onesamp), Επαναληπτική Δειγματοληψία (IsampStepping), με Σταδιακό Περιορισμό Πλάτους (GNS) και με Συναρτησιακό Περιορισμό Πλάτους (FNS). Τις δυο τελευταίες αναζητήσεις εισήγαγε ο Φοίβος Θεοχάρης στην πτυχιακή του εργασία [3]. 4 Δυο Νέες Μέθοδοι Αναζήτησης Σχετιζόμενες με την Διαχώριση Πεδίου Τιμών Μεταβλητών 4.1 Η Απλή Διαχώριση Πεδίου Τιμών Μεταβλητών Σε αυτή την εργασία εισάγουμε μια καινούρια ιδέα στην αναζήτηση λύσης στον προγραμματισμό με περιορισμούς, το ευρετικό της Διαχώρισης Πεδίου Τιμών (DomainSplitting). Ο προβληματισμός που οδήγησε στη συγκεκριμένη ιδέα ήταν το «βάρος» των πιθανών τιμών των μεταβλητών ενός προβλήματος. Σε κάποια προβλήματα, ενώ μια μεταβλητή μπορεί να έχει μεγάλο πεδίο τιμών, από τις λύσεις του προβλήματος παρατηρείται ότι οι επιτρεπτές τιμές της συγκεντρώνονται σε μια περιοχή του πεδίου τιμών, π.χ. σε αυτές που βρίσκονται κοντά στο 0. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι η επιβολή περιορισμών στο πρόβλημα, δηλαδή οι περιορισμοί «στενεύουν» τα όρια μιας μεταβλητής που συμμετέχει σε αυτούς. Σε όσους περισσότερους περιορισμούς συναντάται μια μεταβλητή, τόσο πιο πολύ οι τιμές της θα συγκεντρώνονται σε μια μικρή περιοχή του πεδίου τιμών της. Θα μπορούσαμε, λοιπόν, να βελτιώσουμε την απόδοση ενός προβλήματος αν εστιάσουμε την προσοχή μας στην ανάθεση τιμών στις μεταβλητές από μία συγκεκριμένη περιοχή του πεδίου τιμών της ανάλογα με τα ζητούμενα του προβλήματος; Ας εξετάσουμε παρακάτω τον τρόπο λειτουργίας της Διαχώρισης Πεδίου Τιμών. Το αντικείμενο αυτής της αναζήτησης εστιάζεται στο ευρετικό επιλογής τιμής σε μια περιορισμένη μεταβλητή. Αντί κατά την διαδικασία της αναζήτησης να αναθέτουμε τιμή σε μια μεταβλητή και να επιβάλλουμε εκ των υστέρων συνέπεια ακμών ώσπου να βρούμε λύση, αποκόπτουμε ένα κομμάτι από το πεδίο τιμών της και κρατάμε τις υπόλοιπες. Έτσι, η ανάθεση δεν γίνεται απ' ευθείας, παρά μόνο όταν έχουν μείνει δύο τιμές στο πεδίο τιμών της μεταβλητής. Η πιο κοινή διαχώριση πεδίου τιμών είναι στα 2, δηλαδή η «διχοτόμηση» πεδίου τιμών. Ο λόγος που αποτελεί την default τιμή για αυτή την αναζήτηση είναι ότι όταν δεν είμαστε σίγουροι ακριβώς για την περιοχή που μαζεύονται οι τιμές των μεταβλητών, είναι πιο εύκολο να προσδιορίσουμε αν είναι στο πρώτο μισό ή στο δεύτερο, ώστε να «καλύπτουμε» πολλές τιμές μαζί. Όταν

5 5 όμως μπορούμε να προβλέψουμε από πιο πριν τα όρια της περιοχής με τις μαζεμένες επιτρεπτές τιμές για τις μεταβλητές, τότε μπορούμε να διαχωρίσουμε, δηλαδή να «σπάσουμε» τα πεδία τιμών σε ποσοστά, π.χ. στο 10% των πεδίων τιμών αν ξέρουμε ότι οι μικρότερες τιμές είναι πιο πιθανές να οδηγήσουν σε λύση. Αυτή ακριβώς την ιδέα εισάγαμε στην διαχώριση πεδίου τιμών, δηλαδή την μεταβλητότητα του ποσοστού στο οποίο θα διαχωρίσουμε ένα πεδίο τιμών. Οδηγήσαμε, δηλαδή, την απλή «διχοτόμηση» στην μεταβλητή «διαχώριση». Η υλοποίηση της διαχώρισης τιμών πεδίων μεταβλητών για προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών έγινε ως επέκταση στη βιβλιοθήκη του επιλυτή NAXOS και είχε σαν αποτέλεσμα μια ακόμα μέθοδο αναζήτησης για τον επιλυτή, την goaldomainsplittinglabeling. 4.2 Η «Δίκαια» Διαχώριση Πεδίου Τιμών Μεταβλητών Η ιδέα για την διαχώριση του πεδίου τιμών ξεκίνησε με τον προβληματισμό αν οι τιμές των μεταβλητών οι οποίες οδηγούν σε λύση μαζεύονται σε κάποια περιοχή των πεδίου τιμών τους. Ωστόσο, με βάση αυτό δημιουργούνται κάποια νέα ερωτήματα... Είναι σε κάθε μεταβλητή οι «καλές» τιμές της μαζεμένες σε παρόμοιο σημείο με τις άλλες π.χ. στο 10% του πεδίου τιμών της; Και αν με τον όρο «καλές» τιμές εννοούμε αυτές που ικανοποιούν τους περιορισμούς, τότε δεν εξαρτάται από πόσους και ποιους περιορισμούς συμμετέχει η κάθε μεταβλητή; Δεν θα έπρεπε η διαχώριση να έχει σαν αποτέλεσμα δύο πεδία τιμών, που να είναι εξίσου πιθανό να βρίσκεται η λύση ή στο ένα ή στο άλλο και να εξετάζεται πρώτα αυτό με τις λιγότερες τιμές ή μόνο το ένα από τα δύο αν υπάρχει συμμετρία; Αυτά και κάποια άλλα παρόμοια ερωτήματα έρχονται να μας φέρουν την πρόκληση μιας διαφορετικής διαχώρισης τιμών, πιο «δίκαιας» για τις μεταβλητές ενός προβλήματος ικανοποίησης περιορισμών. Θα μπορούσαμε να ενσωματώσουμε στη διαχώριση πεδίου τιμών ένα διαφορετικό ευρετικό επιλογής τιμής, το οποίο όπως όλα, έχει σαν σκοπό να προτείνει την τιμή από το πεδίο τιμών μιας μεταβλητής που θα οδηγήσει με μεγαλύτερη πιθανότητα σε λύση (succeed-first heuristic) [4]. Υποθέτοντας ότι στα αριθμητικά προβλήματα περιορισμών, αυτό που παίζει σημαντικό ρόλο είναι να είμαστε συνεπείς στα όρια των πεδίων τιμών, αφού τα διαστήματα είναι συνεχή [5], μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα διαδεδομένο ευρετικό, αυτό της επιλογής της τιμής για την οποία έχουμε περισσότερες τιμές υποστήριξης (supporters), αλλά σε σύνολα. Αντί δηλαδή να κόβουμε ένα πεδίο τιμών τυχαία σε κάποιο σημείο, θα ήταν ενδιαφέρον να δοκιμάσουμε να το χωρίσουμε σε δυο «ισοβαρή» μέρη όσον αφορά τον αριθμό των τιμών υποστήριξης για τα δυο σύνολα τιμών που θα προκύψουν. Έτσι, θα έχουμε σαν αποτέλεσμα μια πιο «δίκαια» διαχώριση για τις τιμές κάθε μεταβλητής. Δοκιμάσαμε να εξετάσουμε περαιτέρω αυτό το ευρετικό της «δίκαιας» διαχώρισης που σκεφτήκαμε. Να σημειωθεί ότι τα πεδία των τιμών που θα ασχοληθούμε απαρτίζονται από διαδοχικούς ακεραίους.

6 6 Συγκεκριμένα, λέμε ότι μια τιμή μεταβλητής έχει «βάρος» ίσο με το πλήθος των τιμών των άλλων μεταβλητών οι οποίες ικανοποιούν τη συγκεκριμένη τιμή στους περιορισμούς στους οποίους εμπλέκεται. Για παράδειγμα, στον περιορισμό X = Y, αν το πεδίο τιμών της μεταβλητής X είναι D x ={4,5,6} και το πεδίο τιμών της μεταβλητής Y είναι D y = {2,3,4}, τότε η τιμή 4 στο πεδίο D x έχει μία τιμή υποστήριξης από το πεδίο D y (την 4 του D y ), ενώ οι τιμές 5 και 6 δεν έχουν καμία τιμή υποστήριξης. Έτσι, στο ευρετικό θα επιλέγαμε αυτή την τιμή. Παρατηρούμε, ότι το συγκεκριμένο ευρετικό εξαρτάται από τους περιορισμούς στους οποίους συμμετέχει κάθε μεταβλητή προκειμένου να συγκεντρώσει το πλήθος των «υποστηρικτών» κάθε τιμής του πεδίου τιμών της, ώστε να μπορέσει μετά να κάνει τη διαχώριση στο πεδίο σε ένα ποσοστό που να χωρίζει ισοβαρώς το διάστημα. Από κάθε περιορισμό προκύπτουν ξεχωριστοί κανόνες εύρεσης τιμών υποστήριξης. Στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων πάνω στο οποίο σχεδιάσαμε τη «δίκαια» διαχώριση, η «δικαιοσύνη» έγκειται στο διαφορετικό βάρος κάποιων τιμών των μεταβλητών του προβλήματος, ώστε να εξεταστούν πρώτα οι τιμές που είναι πιο πιθανές να ικανοποιούν τους περιορισμούς. Το πώς θα διαμορφώσουμε το βάρος μπορούμε να το επηρεάσουμε εκτός από τις παραμέτρους του προβλήματος και από έναν παράγοντα Α, ο οποίος είναι default 50%, και καθορίζει πόσο θέλουμε τα δυο διαστήματα που θα προκύψουν να είναι ισοβαρή στις τιμές υποστήριξης των μεταβλητών τους. 5 Πειραματικά Αποτελέσματα των Μεθόδων Αναζήτησης στα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών 5.1 Σύγκριση της Απλής Διαχώρισης Πεδίου Τιμών Μεταβλητών με τις Κλασικές Μεθόδους Αναζήτησης Εξετάσθηκαν διάφορα Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών προκειμένου να εντοπιστούν εκείνες οι υποκατηγορίες στις οποίες η Διαχώριση Πεδίου Τιμών θα έχει καλύτερη απόδοση από τις κλασικές μεθόδους αναζήτησης. Η συγκεκριμένη κατηγορία είναι τα προβλήματα χωροθέτησης κι εδώ θα παρουσιάσουμε το πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων (rectangle packing). Στα υπόλοιπα προβλήματα η διαχώριση πεδίου τιμών συμπεριφέρθηκε ανάλογα με τις κλασικές μεθόδους αναζήτησης, ωστόσο δεν μπόρεσε να ξεπεράσει σε απόδοση 2-3 από αυτές. Πρέπει όμως να τονίσουμε ότι σημείωσε πολύ καλύτερους χρόνους από κάποιες άλλες μεθόδους κι έτσι αξίζει μια θέση σαν μέθοδος αναζήτησης στα προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών. Στο πρόβλημα της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, όπως αναφέραμε και πιο πάνω, το ακριβές ζητούμενο είναι η τοποθέτηση ενός συνόλου τυχαίων παραγόμενων ορθογωνίων διάφορων μεγεθών σε ένα μεγαλύτερο ορθογώνιο (περιοχή τοποθέτησης) με τρόπο ώστε τα ορθογώνια να μη «συγκρούονται» μεταξύ τους και όλες οι πλευρές των ορθογωνίων να είναι

7 7 παράλληλες προς τις πλευρές της περιοχής τοποθέτησης [6]. Τα δεδομένα του προγράμματος που υλοποιεί το πρόβλημα είναι οι διαστάσεις της περιοχής τοποθέτησης, ο επιθυμητός αριθμός των ορθογωνίων που θέλουμε να τοποθετήσουμε μαζί με ένα άνω όριο στις διαστάσεις τους και η μέθοδος που θα εφαρμοστεί στην αναζήτηση του προβλήματος (στην περίπτωση της διαχώρισης πεδίου τιμών εισάγεται και το ποσοστό της διαχώρισης). Τα αποτελέσματα της σύγκρισης των κλασικών μεθόδων αναζήτησης και της απλής διαχώρισης πεδίου τιμών μεταβλητών (domain splitting DS) με το default ποσοστό της διαχώρισης 50% (DS/2) για 3 στιγμιότυπα του προβλήματος είναι τα εξής: Σχήμα 1. Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος των κλασικών μεθόδων και της απλής διαχώρισης σε δευτερόλεπτα για 3 διαφορετικά στιγμιότυπα, με την τιμή 0 στις μεθόδους να θεωρείται αποτυχία. Να σημειωθεί εδώ πως ο άξονας των y είναι σε λογαριθμική κλίμακα ώστε να φαίνονται όλες οι τιμές λόγω του μεγάλου εύρους τους στην κλίμακα του χρόνου. Να σημειωθεί επίσης πως για την τρίτη μέτρηση όπου οι άλλες μέθοδοι αποτυγχάνουν, η «διχοτόμηση» πεδίου τιμών κάνει δευτερόλεπτα. Μετά την εισαγωγή της διαχώρισης πεδίου τιμών, φαίνεται η διαφορά στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης, καθώς λύνονται δύσκολα στιγμιότυπα που οι κλασικές μέθοδοι αναζήτησης δεν μπορούσαν να λύσουν σε λογικό χρόνο. Είναι εμφανές η διαφορά στο χρόνο εκτέλεσης στο μεσαίο στιγμιότυπο σε σχέση με την μέθοδο αναζήτησης DFS.

8 8 5.2 Σύγκριση της «Δίκαιας» Διαχώρισης Πεδίου Τιμών Μεταβλητών με τις Κλασικές Μεθόδους Αναζήτησης Προτού προχωρήσουμε στην παράθεση των αποτελεσμάτων, πρέπει να τονίσουμε ότι δεν πρόκειται για μια πλήρη σύγκριση των μεθόδων, γιατί η «δίκαια» διαχώριση διαμορφώνεται διαφορετικά σε κάθε πρόβλημα ανάλογα με τις μεταβλητές και τους περιορισμούς που υπάρχουν, ενώ η απλή διαχώριση και οι κλασικές μέθοδοι εφαρμόζονται σε κάθε πρόβλημα μιας και είναι ανεξάρτητες από τους περιορισμούς του προβλήματος. Μιας και η διαχώριση πεδίου τιμών φάνηκε να έχει καλά αποτελέσματα σε χωροταξικά προβλήματα, όπως το πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, οι δοκιμές μας περιορίστηκαν στο συγκεκριμένο πρόβλημα, όπου εξετάσαμε τους περιορισμούς του προβλήματος προκειμένου να διατυπώσουμε μια πιο «δίκαιη» τιμή διαχώρισης για κάθε μεταβλητή. Τα αποτελέσματα της «δίκαιας» διαχώρισης (fair domain splitting FDS) με το default ποσοστό-α 50% σε σύγκριση με τις κλασικές μεθόδους για 3 στιγμιότυπα του προβλήματος είναι τα εξής: Σχήμα 2. Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος των κλασικών μεθόδων και της «δίκαιας» διαχώρισης σε δευτερόλεπτα για 3 διαφορετικά στιγμιότυπα, με την τιμή 0 στις μεθόδους να θεωρείται αποτυχία. Για μια ακόμα φορά φαίνεται ξεκάθαρα η συμβολή της διαχώρισης πεδίου τιμών, και σε αυτή την εκδοχή της, στο πρόβλημα της τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. Δεν τίθεται, δηλαδή, θέμα ότι η διαχώριση πεδίου

9 9 τιμών, είτε πρόκειται για την απλή, είτε για την «δίκαια» δίνει λύση σε στιγμιότυπα του προβλήματος που οι κλασικές μέθοδοι αποτυγχάνουν. 5.3 Σύγκριση των Δυο Μεθόδων Αναζήτησης Διαχώρισης Πεδίου Τιμών Μεταβλητών στο Πρόβλημα Τοποθέτησης Ορθογώνιων Πλακιδίων Τέλος παρουσίαζουμε μια σύγκριση μεταξύ των δύο ειδών διαχώρισης πεδίου τιμών, της απλής και της «δίκαιας» στο στιγμιότυπο του προβλήματος με τις μεγαλύτερες παραμέτρους, που πλησιάζει περισσότερο τις πραγματικές διαστάσεις του προβλήματος τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. Τα αποτελέσματα για τα όλα τα ποσοστά των δύο ειδών διαχώρισης σε αυτό το στιγμιότυπο είναι τα εξής: Σχήμα 3. Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος της απλής και της «δίκαιας» διαχώρισης σε δευτερόλεπτα για το 3 ο στιγμιότυπο με όλα τα ποσοστά διαχώρισης. Φαίνεται ξεκάθαρα η συμβολή της «δίκαιας» διαχώρισης πεδίου τιμών στο πρόβλημα όχι μόνο σε σχέση με τις κλασικές μεθόδους, αλλά και σε σχέση με την απλή διαχώριση πεδίου τιμών, στο default (προκαθορισμένο) ποσοστό 50%. Σημειώνουμε την μεγάλη επιρροή των ακραιών ποσοστών στη «δίκαια» διαχώριση, καθώς για μεσαία ποσοστά για τον καθορισμό του Α φαίνεται μια ελαφρά καλύτερη απόδοση απ' ό,τι στην απλή, ενώ αντίστροφα όσο εφαρμόζουμε ακραίες τιμές ποσοστών η «δίκαια» διαχώριση έπεται της απλής. Ωστόσο και οι δυο μέθοδοι ανεβάζουν το χρόνο τους στα ακραία ποσοστά και έχουν παρόμοιους χρόνους σε αυτά. Εύκολα εξάγεται το συμπέρασμα πως όσο περισσότερο προσαρμόζουμε την διαχώριση πεδίου τιμών στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων (και επιλέγουμε μη ακραία

10 10 ποσοστά), τόσο πιο πολύ μειώνουμε τον χρόνο εκτέλεσης του προγράμματος και αυξάνουμε την επίδοσή του. 6 Συμπεράσματα και Μελλοντικές Κατευθύνσεις Η συνεισφορά αυτής της εργασίας ήταν η εισαγωγή μιας καινούριας μεθόδου αναζήτησης, της διαχώρισης πεδίου τιμών στον επιλυτή προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών NAXOS SOLVER. Παρουσιάσαμε δυο πλευρές αυτής της αναζήτησης, την γενική μέθοδο διαχώρισης και την «δίκαια» διαχώριση πεδίου τιμών που προσαρμόζεται ξεχωριστά σε κάθε πρόβλημα και καταλήξαμε σε ένα γνωστό πρόβλημα χωροθέτησης, το πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων, στο οποίο οι δυο μέθοδοι διαχώρισης πεδιου τιμών είχαν καλύτερη απόδοση ενώ οι κλασικές μέθοδοι αναζήτησης αδυνατούσαν να δώσουν λύση. Η «δίκαια» διαχώριση λόγω του ότι λαμβάνει υπόψιν τους περιορισμούς ενός προβλήματος, σε γενικές γραμμές, είχε μεγαλύτερες αποδόσεις από την απλή, με το μειονέκτημα όμως της μη καθολικότητας. Ίσως επειδή στα μηχανήματα που έγιναν οι μετρήσεις η διαθέσιμη μνήμη έφτανε τα 2GB η κλιμάκωση να μην ήταν πολύ μεγάλη, όμως ενδεχομένως σε μηχανήματα με μεγαλύτερη μνήμη να φαινόταν περισσότερο η συμβολή της «δίκαιας» διαχώρισης στο πρόβλημα τυχαίας τοποθέτησης ορθογώνιων πλακιδίων. Θα ήταν ενδιαφέρον στο μέλλον να επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε αυτές τις δύο μεθόδους σε διάφορες παραλλαγές του προβλήματος τυχαίας τοποθέτησης που προσομοιάζουν ακόμα περισσότερες καταστάσεις της καθημερινότητας ή σε άλλα προβλήματα που ανήκουν στην κατηγορία της χωροθέτησης με περιορισμούς ή ακόμα και σε άλλες κατηγορίες προβλημάτων ικανοποίησης περιορισμών, όπου η διαχώριση πεδίου τιμών έχει να προσφέρει αποδοτικότερα αποτελέσματα από τις υπόλοιπες μεθόδους αναζήτησης... Αναφορές 1. Russel, S., and Norvig, P. (2003) Artificial Intelligence: A modern approach, Pearson Education Inc. (p ) 2. Ποθητός, N. (2012) NAXOS SOLVER: Εγχειρίδιο Χρήσης, 3. Θεοχάρης, Φ. (2007) Προηγμένες Μέθοδοι Αναζήτησης για Προβλήματα Ικανοποίησης Περιορισμών, Πτυχιακή Εργασία, Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. 4. Bartak, R. (2003) Constraint-based scheduling: An introduction for newcomers, in: Prep. of the 7th IFAC Workshop on Intelligent Manufacturing Systems. 5. Jussien, N., and Lhomme, O. (1998) Dynamic Domain Splitting for numeric CSP, in: Proc. Eur'n Conf. on Artificial Intelligence, Brightong. 6. Rudova, H., and Vermirovsky, K. (2004) Random Placement Problem,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός των νέων δελτίων

Οδηγός των νέων δελτίων Οδηγός των νέων δελτίων 4-7 Νέα εποχή Η ΟΠΑΠ Α.Ε. στο πλαίσιο της δυναμικής της ανάπτυξης, προχωρά στην αναμόρφωση και ανανέωση των παιχνιδιών της. Με ακόμη πιο λειτουργικό σχεδιασμό, μοντέρνα εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 19: Το πρόβλημα με τις 8 Βασίλισσες

Σενάριο 19: Το πρόβλημα με τις 8 Βασίλισσες Σενάριο 19: Το πρόβλημα με τις 8 Βασίλισσες Ταυτότητα Σεναρίου Τίτλος : Το πρόβλημα με τις 8 Βασίλισσες Γνωστικό Αντικείμενο: Εφαρμογές Λογισμικού Διδακτική Ενότητα: Σχεδιάζω Εφαρμόζω. Τμηματική υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ. Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μαθησιακές δυσκολίες ΙΙ Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Μάρτιος 2010 Προηγούμενη διάλεξη Μαθησιακές δυσκολίες Σε όλες

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης! Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Αλγόριθµοι τυφλής

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΛ ΣΙΔΗΡΟΚΑΣΤΡΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑ Α2

ΕΠΑΛ ΣΙΔΗΡΟΚΑΣΤΡΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑ Α2 ΕΠΑΛ ΣΙΔΗΡΟΚΑΣΤΡΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑ Α2 13 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑ Α2 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Παράγοντες που καθορίζουν την τελική τιμή πώλησης. Όταν αποφασίσετε ότι ήρθε η ώρα να πουλήσετε το αυτοκίνητο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις

Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (PROJECT) Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις (Quantitative Approaches to Research) Δρ ΚΟΡΡΕΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΑΘΗΝΑ 2013 Ποσοτικές ερευνητικές προσεγγίσεις (Quantitative Research

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Βάλβης Δημήτριος Μηχανικός Πληροφορικής ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Γ. Χαραλαμπίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα εργασίας. MicroWorlds Pro. Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο. Β. Χ. Χρυσοχοΐδης

Φύλλα εργασίας. MicroWorlds Pro. Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο. Β. Χ. Χρυσοχοΐδης Φύλλα εργασίας MicroWorlds Pro Πολυμεσικές Εφαρμογές με την χρήση της γλώσσας LOGO Στο Γυμνάσιο Β. Χ. Χρυσοχοΐδης Πρόεδρος Συλλόγου Εκπαιδευτικών Πληροφορικής Φλώρινας 2 «Σχεδίαση και ανάπτυξη δραστηριοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013

Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 27 Μαρτίου 2013 Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωσή σας με τις θεμελιώδεις θεωρητικές και πρακτικές πτυχές

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

TFT TV. Τι είναι οι TFT και πως λειτουργούν;

TFT TV. Τι είναι οι TFT και πως λειτουργούν; TFT TV Τι είναι οι TFT και πως λειτουργούν; Η ετυμολογία του όρου TFT (Thin Film Transistor ή τρανζίστορ λεπτού φιλμ) μας παραπέμπει στο δομικό στοιχείο ελέγχου της οθόνης, που είναι το τρανζίστορ. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΥΜΒΕΒΛΗΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΤΟΝ Ε.Ο.Π.Υ.

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΥΜΒΕΒΛΗΜΕΝΟΥΣ ΜΕ ΤΟΝ Ε.Ο.Π.Υ. Τ.Ε.Ι ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗ ΑΣΘΕΝΩΝ» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ : ~ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗ ΚΥΡΙΑΚΗ, 1925~

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Απόστολος Μιχαλούδης

Απόστολος Μιχαλούδης ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ Ανάπτυξη και εφαρμογή διδακτικών προσομοιώσεων Φυσικής σε θέματα ταλαντώσεων και κυμάτων Απόστολος Μιχαλούδης υπό την επίβλεψη του αν. καθηγητή Ευριπίδη Χατζηκρανιώτη

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Οδηγίες Εγκατάστασης & Εγχειρίδιο Χρήσης Πίνακας περιεχομένων 1. Εισαγωγή... 3 2. Οδηγίες εγκατάστασης...

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς

3.12 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς 312 Το Πρόβλημα της Μεταφοράς Σ αυτή την παράγραφο και στις επόμενες μέχρι το τέλος του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με μερικά σπουδαία είδη προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2005-6) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 Στόχος Η εργασία επικεντρώνεται σε θέματα προγραμματισμού για Τεχνητή Νοημοσύνη και σε πρακτικά θέματα εξάσκησης σε Κατηγορηματική Λογική. Θέμα 1: Απλές Αναζητήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς

ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack. Χλης Νικόλαος-Κοσμάς ΠΛΗ 513-Αυτόνομοι Πράκτορες Χειμερινό εξάμηνο 2012 Εφαρμογή αλγορίθμων ενισχυτικής μάθησης στο παιχνίδι Βlackjack Χλης Νικόλαος-Κοσμάς Περιγραφή παιχνιδιού Βlackjack: Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νίκος Μιχαηλίδης, Πληροφορικός ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 24 Φεβρουαρίου 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

Οι φορητοί υπολογιστές στην εκπαίδευση: Μελέτη περίπτωσης ως προς τις συνέπειες στη διδασκαλία και το μιντιακό γραμματισμό

Οι φορητοί υπολογιστές στην εκπαίδευση: Μελέτη περίπτωσης ως προς τις συνέπειες στη διδασκαλία και το μιντιακό γραμματισμό Παιδαγωγικά ρεύματα στο Αιγαίο Προσκήνιο 1 Οι φορητοί υπολογιστές στην εκπαίδευση: Μελέτη περίπτωσης ως προς τις συνέπειες στη διδασκαλία και το μιντιακό γραμματισμό Δημήτρης Σπανός 1 dimitris.spanos@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ. Διδάσκουσα Δρ Β.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ. Διδάσκουσα Δρ Β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β. Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 1 Σύνολο χαρακτήρων της Pascal Για

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14 ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Νέες Τεχνολογίες Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργασία στο Μαθήμα Σχεδίαση Εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Υπολογιστών ΙΙ (Ασκήσεις Πράξης)

Δίκτυα Υπολογιστών ΙΙ (Ασκήσεις Πράξης) TEI Σερρών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Δίκτυα Υπολογιστών ΙΙ (Ασκήσεις Πράξης) Subnetting-VLSM-Troubleshooting IP Τομέας Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων Δρ. Αναστάσιος Πολίτης Καθηγητής Εφαρμογών anpol@teiser.gr

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Περιμένης Κυριάκος Καθηγητής Τεχνολογίας Υπ/ντής 3 ου ΓΕΛ Κερατσινίου perimeniskiriakos@windowslive.

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Περιμένης Κυριάκος Καθηγητής Τεχνολογίας Υπ/ντής 3 ου ΓΕΛ Κερατσινίου perimeniskiriakos@windowslive. Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περιμένης Κυριάκος Καθηγητής Τεχνολογίας Υπ/ντής 3 ου ΓΕΛ Κερατσινίου perimeniskiriakos@windowslive.com Ο Ρόλος του Εκπαιδευτικού Στηρίζει τους μαθητές στην αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:ΙΜΣΙΡΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ Α.Ε.Μ: 1986 ΕΞΑΜΗΝΟ: Ε ΘΕΜΑ: «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ» ΣΧΟΛΕΙΟ: 1 Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΑΞΗ: Ε ΤΜΗΜΑ: Ε 2 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Βασικά Στοιχεία Το αλφάβητο της C Οι βασικοί τύποι της C Δηλώσεις μεταβλητών Είσοδος/Έξοδος Βασικές εντολές της C Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑ Ρ Μ Α ΜΑΤΙ Τ ΣΜΟΣ

ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑ Ρ Μ Α ΜΑΤΙ Τ ΣΜΟΣ Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Εξάμηνο Α' Φύλλο Ασκήσεων 3 ΔΟΜΕΣ ΕΠAΝΑΛΗΨΗΣ Διδάσκοντες: Μάγια Σατρατζέμη, Αλέξανδρος Χατζηγεωργίου, Ηλίας Σακελλαρίου, Στέλιος Ξυνόγαλος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 169 Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών - Τεύχος 1 (Γενικό Μέρος) Ενότητα 3.6.2 Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 1. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Οξέα (Π. ΤΟΦΗ) Ποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματος;

Οξέα (Π. ΤΟΦΗ) Ποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματος; Σύντομη Περιγραφή Διερεύνησης Οξέα (Π. ΤΟΦΗ) Ποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματος; Στόχος της διερεύνησης ήταν να διαφανεί το αν κάποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματός μας. Αρχικά, θελήσαμε να διερευνήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένας μαθητής της Γ γυμνασίου, για να περάσει το μάθημα της Πληροφορικής θα πρέπει να βγάλει γενικό μέσο όρο (ΓΜΟ) 9.5 Το πρόγραμμα που

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία Β2

Ερευνητική Εργασία Β2 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΛ ΠΑΤΡΑΣ Ερευνητική Εργασία Β2 Σχολικό έτος 2014-15 Β τετράμηνο Θέμα: «Τριτοβάθμια Εκπαίδευση και επαγγελματική αποκατάσταση» Ερευνητικό υποερώτημα: «Ποια τα Κριτήρια για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ (Μηχανισμοί Ελέγχου Προσπέλασης)

ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ (Μηχανισμοί Ελέγχου Προσπέλασης) ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ (Μηχανισμοί Ελέγχου Προσπέλασης) Καλλονιάτης Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας, Πανεπιστήμιο Αιγαίου http://www.ct.aegean.gr/people/kalloniatis

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές αρχές διοίκησης. μιας μικρής επιχείρησης

Γενικές αρχές διοίκησης. μιας μικρής επιχείρησης Γενικές αρχές διοίκησης μιας μικρής επιχείρησης Η επιχείρηση αποτελεί μια παραγωγική - οικονομική μονάδα, με την έννοια ότι συνδυάζει και αξιοποιεί τους συντελεστές παραγωγής (εργασία, κεφάλαιο, γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν

Αν τότε. αλλιώς. Τέλος_αν. Τέλος_αν Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ω Ν Σ Ε Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Ο Π Ε Ρ Ι Β Α Λ Λ Ο Ν Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα