פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד"

Transcript

1 פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה f(3) f(2) = אבל 3.2 לא על 3} :{1, 2, לא קיים dom(f) x כך ש 2 =.f(x) (ב) g : R R כאשר 5) 3 + (x g(x) = חח"ע ועל (A) :P נגדיר פונקציה l : R R כך ש x 5.l(x) = 3 אז,g l = l g = Id R כלומר הפונקציה g הפיכה ולכן חח"ע ועל R. (ג) (A) t : P (A) P כאשר A קבוצה לא ריקה כלשהי ו t(x) = A \ X חח"ע ועל R: נשים לב (A) t, t = Id P על כן הפונקציה הפיכה. (ד) (Z) h : P (Z) P (Z) P כאשר B} h( A, B ) = {a b 2 a A, b לא חח"ע: לדוגמה {5} = {0} ) h( {5}, h( {9}, {2} ) = אבל {0} {5}, {2} {9}, על (Z) :P לכל (Z) A P נכון ש.h( A, {0} ) = {a 0 2 a A} = A 2. תהי f : A B פונקציה. (זכרו כי פונקציה היא קבוצה של זוגות סדורים) (א) האם יכול להיות ש f יחס שקילות על קבוצה כלשהי? הוכיחו את טענתכם. אם עניתם שכן, מצאו תנאי מספיק והכרחי לכך. פתרון: כן, תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא ש f. = Id A זהו תנאי מספיק כיוון ש Id A הוא פונקציה ובנוסף זהו יחס שקילות על A. נראה כי זהו תנאי הכרחי, כלומר אם f : A B וגם f יחס שקילות אז בהכרח f. = Id A נשים לב ש,dom(f) = dom(id A ) = A ולכן מספיק להוכיח f(x) = Id A (x) = x לכל מכיוון ש f. x, f(x) f נכון ש x כלשהו, אז מכיוון ש ( dom(f x A יהי.x A יחס סימטרי נכון ש f(x), x f ומטרנזיטיביות f נובע,x. x f מכיוון ש f היא פונקציה וגם x, f(x), x, x f מתקבל ש x.f(x) = (ניתן להראות ש f,x x גם ישירות באמצעות רפלקסיביות, כיוון שאם f יחס שקילות עם dom(f) = A אז f בפרט יחס שקילות על A) (ב) האם יכול להיות ש f יחס סדר חד על קבוצה כלשהי? הוכיחו את טענתכם. אם עניתם שכן, מצאו תנאי מספיק והכרחי לכך. פתרון: כן, תנאי מספיק והכרחי לכך הוא = range(f) A. לשם נוחות נניח כי.range(f) = B נניח = B A ונראה ש f יחס סדר חד: אם ל x כלשהו,x x f אז x A B וזו סתירה להנחה, לכן f יחס אנטי רפלקסיבי. יהיו x, y, z איברים כלשהם, אם x, y, y, z f אז, y A B וזוהי סתירה להנחה. לכן מקרה זה לעולם לא מתרחש ו f היא יחס טרנזיטיבי (באופן ריק). נניח ש f יחס סדר חד ונראה ש = B A: נניח בשלילה שקיים.b A B אז קיימים זוגות. b, c, a, b f מטרנזיטיביות f נקבל. b, b = b, c f ולכן,b = c נובע a, b, a, c f וגם פונקציה מכך ש f. a, c f אבל זוהי סתירה, כיוון שלפי הנחה f אנטי רפלקסיבית. 1

2 3. יהיו A ו B קבוצות. (א) (ב) מצאו תנאי מספיק לכך שהיחס A B הוא פונקציה. האם התנאי שמצאתם בסעיף הקודם הוא גם תנאי הכרחי לכך שהיחס A B הוא פונקציה? (ג) הוכיחו או הפריכו: אם A B היא פונקציה, אז היא פונקציה על B. פתרון: התנאי המספיק וההכרחי לכך ש B A הוא פונקציה הוא (1 B או = A). זהו תנאי מספיק כיוון שאם {b} B = ל b כלשהו אז בבירור לכל x, y, x, z A B נכון ש b,y = z = ואם = A או = B אז = B,A כלומר A B היא הפונקציה הריקה. נראה כי זהו תנאי הכרחי: מספיק להראות כי כאשר התנאי אינו מתקיים, A B אינה פונקציה. נניח כי התנאי אינו מתקיים, כלומר קיימים b 1, b 2 B כך ש b 1 b 2 וקיים.a A אז a, b 1, a, b 2 A B וגם,b 1 b 2 ולכן לפי הגדרה A B אינה פונקציה..4 יהיו g : A B ו f : B C פונקציות. הוכיחו: (א) אם f חח"ע וגם g חח"ע אז f g חח"ע. הוכחה: נניח f חח"ע וגם g חח"ע. אם g(y) f g(x) = f אז f(g(y)) f(g(x)) = ומחח"ע f נובע g(y).g(x) = מחח"ע g והשוויון g(y) g(x) = נובע.x = y אז f g חח"ע. (ב) אם f על C וגם g על B אז f g על.C הוכחה: נניח f על C וגם g על B. יהי.c C מכיוון ש f על C קיים y B כך ש c.f(y) = מכיוון ש g על B קיים x A כך ש y.g(x) = כעת, f g(x) = f(g(x)) = f(y) = c ולכן g).c range(f קיבלנו (g C range(f ומכיוון ש g f היא פונקציה ל C, מתקיים שוויון. אז f g היא על C. (ג) אם g חח"ע ועל B אז: ל A. היא פונקציה מ B g 1 i..a חח"ע ועל g 1.ii הוכחה: נניח כי g חח"ע ועל B. ראשית נראה כי היחס 1 g הוא פונקציה. אם 1 g x, y, x, z אז, y, x, z, x g כלומר g(z) g(y) = x = ולכן מחח"ע g נובע.y = z כעת נראה כי 1 g חח"ע. אם 1 g, x, z, y, z כלומר,g 1 (x) = g 1 (y) = z אז.x = y בהכרח פונקציה, ומכיוון ש g z, x, z, y g כיוון ש g על B, נכון ש range(g) = B ולכן.dom(g 1 ) = B באותו האופן, כיוון ש.A על היא פונקציה מ B g אז הראנו ש 1.range(g 1 ) = A נכון ש dom(g) = A (ד) אם f g חח"ע אז g חח"ע. הוכחה: נניח f g חח"ע. אם g(y) g(x) = אז f(g(y)),f(g(x)) = כלומר g(y) f g(x) = f ומחח"ע f g נובע.x = y 2

3 (ה) אם f g על C אז f על.C הוכחה: נניח f g על.C יהי c C אז כיוון ש g f על C קיים x A כך ש c.f g(x) = אז g(x) B וגם.C על ו f C = range(f) אז.c range(f) כלומר,f(g(x)) = f g(x) = c Y חח"ע ועל f : X Y אם"ם קיימת X Y 5. נגדיר את היחס על (N) P: (א) הוכיחו כי הוא יחס שקילות על (N) P. הוכחה: רפלקסיביות על (N) P: לכל (N) X P היחס Id X הוא פונקציה חח"ע ועל מ X ל X ולכן.X X סימטריות: יהיו (N) X, Y P כך ש. X Y אז קיימת f : X Y חח"ע ועל. לפי שאלה 4 סעיף ג', f 1 : Y X היא חח"ע ועל ולכן.Y X טרנזיטיביות: יהיו (N) X, Y, Z P כך ש X Y וגם.Y Z אז קיימת f : X Y חח"ע ועל Y וקיימת g : Y Z חח"ע ועל Z. משאלה 4 סעיפים א' ו ב' מתקבל כי.X Z ולכן Z היא חח"ע ועל g f : X Z נגדיר את היחס e על N: N (א) 6. f(n) < נכון ש ( g(n n > כך שלכל N 0 N 0 N או שקיים f = g אם"ם f e g N. N הוא יחס סדר חלקי על e הוכיחו כי i. הוכחה: רפלקסיביות על :N N לכל f N N נכון ש f f = ולכן.f e f אנטי סימטריות: יהיו f, g N N כך ש g f e וגם.g e f נניח בשלילה כי.f g מהגדרת e נובע כי קיים N 1 N כך שלכל n > N 1 נכון ש ( g(n f(n) < וכן קיים,n 0 > max{n 1, N 2 כך ש { נבחר n 0.g(n) < נכון ש ( f(n n > כך שלכל N 2 N 2 N אז ) 0 f(n 0 ) < g(n וגם ) 0 g(n 0 ) < f(n ובפרט ) 0.g(n 0 ) < g(n זוהי סתירה, לכן ההנחה שלנו אינה אפשרית ובהכרח f. = g טרנזיטיביות: יהיו f, g, h N N כך ש g f e וגם.g e h אם f = g או g = h אז f e h וסיימנו, אז נניח שאין זה המקרה. מהגדרת e נובע כי קיימים N 1, N 2 N כך שלכל n טבעי, אם n > N 1 אז g(n) f(n) < ואם n > N 2 אז h(n).g(n) < נסמן } 2,N 0 = max{n 1, N אז לכל n > N 0 נכון ש ( g(n f(n) < וגם h(n) g(n) < ובפרט.f e h לפי הגדרה,.f(n) < h(n).ii האם e הוא יחס סדר קווי? הוכיחו קביעתכם פתרון: לא, זהו אינו יחס סדר קווי, { נראה זאת ע"י מציאת דוגמה { נגדית. זוגי, n 0 זוגי, n 1 g(n) = f(n) = נגדיר את הפונקציות: אי זוגי, n 1 אי זוגי, n 0 אז f, g N N אך f ו g אינן ניתנות להשוואה ב e מכיוון ש f g וכן g(n) f(n) לכל n זוגי וגם f(n) g(n) לכל n אי זוגי. 3

4 .iii הוכיחו כי אם {f i } i N N N סדרה של פונקציות, אז קיימת פונקציה f N N כך ש e.i N לכל f i f הוכחה: נגדיר את הפונקציה f(n) = n f j (n) + 1 j=1 אז f N N וכן אם,i N אז לכל n > i נכון ש f. i אז f היא פונקציה כפי e f ולכן לפי הגדרה f(n) = n j=1 f j(n) + 1 > f i (n) שרצינו. הערה: נשים לב כי למעשה הוכחנו שאי אפשר לסדר את כל הפונקציות מהקבוצה N N כסדרה כי לכל סדרה מצאנו פונקציה שאינה מופיעה בסדרה. כיוון שסדרה היא למעשה פונקצייה מהטבעיים, הוכחנו כי לא קיימת פונקציה מהטבעיים על N. N בהמשך הקורס, כאשר נדבר על נושא העוצמות, נוכל לנסח עובדה זו במדיוק כ "עוצמת הקבוצה N N גדולה ממש מעוצמת הטבעיים". (ב) נסמן 0} > x R >0 = {x R ונגדיר את היחס 0 על R>0 :R f(δ) < g(δ) נכון ש 0 < δ < ε כך שלכל ε R או שקיים >0 f = g אם"ם f 0 g הוכיחו כי 0 הוא יחס סדר חלקי על 0<R R הוכחה: הוכחה זו היא למעשה אותה ההוכחה ש e הוא יחס סדר חלקי. רפלקסיביות על R>0 :R לכל R>0 f R נכון ש f f = ולכן.f 0 f אנטי סימטריות: יהיו R>0 f, g R כך ש g f 0 וגם.g 0 f נניח בשלילה כי.f g מהגדרת 0 נובע כי קיים >0 R ε 1 כך שלכל < δ < ε 1 0 נכון ש ( g(δ f(δ) < וכן קיים >0 R ε 2 כך שלכל < δ < ε 2 0 נכון ש ( f(δ.g(δ) < נבחר δ 0 כך ש { < δ 0 < min{ε 1, ε 2,0 אז ) 0 f(δ 0 ) < g(δ וגם ) 0 g(δ 0 ) < f(δ ובפרט ) 0.g(δ 0 ) < g(δ זוהי סתירה, לכן ההנחה שלנו אינה אפשרית ובהכרח f. = g טרנזיטיביות: יהיו f, g, h N N כך ש g f 0 וגם.g 0 h אם f = g או g = h אז f 0 h וסיימנו, אז נניח שאין זה המקרה. מהגדרת 0 נובע כי קיימים 0< R ε 1, ε 2 כך שלכל δ ממשי, אם < δ < ε 1 0 אז g(δ) f(δ) < ואם < δ < ε 2 0 אז h(δ).g(δ) < נסמן } 2,ε 0 = min{ε 1, ε אז לכל < δ < ε 0 0 נכון ש ( g(δ f(δ) < וגם h(δ) g(δ) < ובפרט.f 0 h לפי הגדרה,.f(δ) < h(δ).7 יהיו פונקציות.f, g R R נגדיר R}.f g = { r, f(r) g(r) r הוכיחו או הפריכו: f g R R הוכחה: אם r, y, r, z f g אז,y = f(r) g(r) = z לכן f g היא פונקציה. אם f חח"ע וגם g חח"ע אז f g חח"ע. דוגמה נגדית: נבחר f(r) = g(r) = r ואז f g(r) = f g( r) = r 2 לכל.r R (א) (ב) 4

5 (ג) אם f על R וגם g על R אז f g על.R דוגמה נגדית: נבחר f(r) = g(r) = r ואז 0 2 f g(r) = r לכל r R ובפרט.range(f g) R + R (ד) אם f g על R אז f על R או g על.R 1, r > 0 דוגמה נגדית: נבחר = 0 r g(r) = 0, ו r.f(r) = אז f ו g אינן על R אבל 1, r < 0.R היא על f g = Id R (ה) לכל f R R קיימת g R R כך ש g f על.R דוגמה נגדית: אם נבחר פונקציה f שמתאפסת בכל נקודה פרט למספר סופי של נקודות, לכל g גם f g תתאפס בכל נקודה פרט למספר סופי של נקודות ולכן (g range(f תהיה קבוצה סופית, ובפרט שונה מ R. (ו) קיימות f, g R R כך ש g.f g = f הוכחה: נבחר f(r) = α r לאיזשהו α R ונבחר = 1 g(r) לכל.r R אז לכל r R.f g = f g ולכן f g(r) = f(g(r)) = f(1) = α 1 = f(r) g(r) = f g(r) 5

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות: שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים

קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים אוטומטים ושפות פורמליות 236353 סמסטר אביב 2016 קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים קובץ ונערך ע"י אורן אשכנזי ומיכל הורוביץ תכונות סגור ודקדוקים רגולריים. עבור שפות L 1, L 2 מעל א"ב Σ נגדיר

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות

Διαβάστε περισσότερα

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E של הלמה של צורן י י י י שומים של צורן הל מה תזכרת יהי R יחס טרנזיטיבי מעל קבוצה Ω 1 הג הג a< Rb ( arb bra), a Rb ( arb a= א לכל, ab Ωנגדיר (b R >סדר R קדם-סדר קהה מעל Ω (=טרנזיטיבי ורפלקסיבי מעל Ω) ו לא

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב, סמסטר אביב תשע"ה, אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה shpilka@post.tau.ac.il שרייבר

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים

אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים מבוסס על תרגולים של מר גולדגביכט עומר, אוניברסיטת בר אילן 2012. שיעור 1 הגדרות: א"ב: אוסף סופי ולא ריק של סימנים/אותיות/תווים. נסמן אותו באות. דוגמאות: 9},... 1,,{0, {א,..,.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים)

תורת ההסתברות 2: (או הסתברות ותהליכים סטוכסטים) תורת ההסתברות : או הסתברות ותהליכים סטוכסטים סוכם על ידי תום חן tomhen@gmail.com בדצמבר 04 שימו לב יתכנו שגיאות בטקסט עידכונים יתבצעו במהלך הסמסטר נא לדווח שגיאות ל gidi.amir@gmail.com או לחלופין שלשמור

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשסג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה נושאי הקורס 0.2 א"ב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן?

הרצאה נושאי הקורס 0.2 אב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? הרצאה 1 0.1 נושאי הקורס 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? בקורס זה נעסוק בבעיות חישוב הנקראות בעיות הכרעה. בהינתן קלט, אנו נבצע "חישוב" ובסופו נחזיר תשובה האם הקלט

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב יובל אדם Young man, in mathematics you don t understand things. You just get used to them. - John von Neumann תוכן עניינים 2 פרולוג....................................

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות.

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 1. מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1. גאומטריית המישור. אוקלידס רצה לדעת

Διαβάστε περισσότερα

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 1 מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1 גאומטריית המישור אוקלידס

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) פרק 7.

הרצאות בבקרה לא-לינארית (046196) פרק 7. הרצאות בבקרה לא-לינארית (04696) מאת פרופ' נחום שימקין טכניון הפקולטה להנדסת חשמל חורף תשס"ה פרק 7. יציבות מוחלטת של מערכות משוב נעבור עתה לדיון ביציבות של מערכת משוב מסוג מסוים הכוללת מערכת לינארית ורכיב

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות (1) 80420

תורת ההסתברות (1) 80420 תורת ההסתברות (1) 80420 איתי שפירא 4 באוקטובר 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shapira@gmail.com תוכן עניינים 0 מבוא והשלמות 6 0.1 נושאים מתורת הקבוצות.......................... 6 0.2 נושאים

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 כתוב אוטומט דטרמיניסטי לשפות הבאות מעל הא"ב.Σ={,} א. *Σ. q, ב. q, ג. {ε}, q, q ד. } = 3 {w w mod, q, q,, ה. ''} {w w does not contin the sustring q 4 q 3 q q כתוב אוטומט דטרמיניסטי

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 6 אותה מ M תקודד ע''י מחרוזת רווח ! מכונת טיורינג אוניברסלית

חישוביות הרצאה 6 אותה מ M תקודד ע''י מחרוזת רווח ! מכונת טיורינג אוניברסלית לשיה ספציפית ול ל שיה כללית חישוביות הרצאה 6 כונת טיורינג כונת טיורינג אוניברסלית פונקציות שאינן ניתנות לחישוב עד כה נקטנו בגישה שלכל שיה יש לבנות שלה שבצעת את השיה הספציפית הזו אך בציאות לא בונים חשב

Διαβάστε περισσότερα