סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9"

Transcript

1 סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 תוכן העניינים מבוא לפרק "סימני התחלקות" ב 3, ב 6 וב א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) ב. סימן ההתחלקות ב ג. סימן ההתחלקות ב ד. סימן ההתחלקות ב נספחים לפרק מבדק מסכם דפי רב דף

2 מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " כדי לעבוד בפרק זה על התלמידים לדעת לפתור תרגילי חילוק שבהם מחלקים מספר דו-ספרתי או תלת-ספרתי במספר חד-ספרתי. לפתרון תרגילים כאלה הם יכולים להשתמש באלגוריתם של חילוק ארוך. לפתרון תרגילי החילוק אפשר להשתמש גם בכל אלגוריתם מתאים אחר (למשל, חיסור חוזר או פילוג). סימני ההתחלקות הנלמדים בכיתות ג' ו ד' בכיתה ג' סימן ההתחלקות ב- 2 : מספר מתחלק ב- 2, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא זוגית. סימן ההתחלקות ב- 5 : מספר מתחלק ב- 5, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא 5 או 0. סימן ההתחלקות ב- 10 : מספר מתחלק ב- 10, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא 0. בכיתה ד' - בפרק הנוכחי סימן ההתחלקות ב- 3 : מספר מתחלק ב- 3, אם ורק אם סכום הספרות שלו מתחלק ב- 3. סימן ההתחלקות ב- 6 : מספר מתחלק ב- 6, אם ורק אם הוא מתחלק גם ב- 2 וגם ב- 3. סימן ההתחלקות ב- 9 : מספר מתחלק ב- 9, אם ורק אם סכום הספרות שלו מתחלק ב- 9. שימו לב, סימני ההתחלקות מקיימם את הקשר הלוגי אם ורק אם. אפשר להציג את הקשר כך: אם מספר מתחלק ב 2, ספרת היחידות שלו היא זוגית. וההפך: אם ספרת היחידות של מספר היא זוגית, המספר מתחלק ב 2. הקשר בין מספר המתחלק ב 3 למספר המתחלק ב 9 אינו קשר אם ורק אם. אם מספר מתחלק ב 9, המספר מתחלק גם ב 3, אך הקשר ההפוך אינו מתקיים: אם מספר מתחלק ב 3, המספר אינו בהכרח מתחלק ב 9. לדוגמה: 24 מתחלק ב 3, אך אינו מתחלק ב 9. 38

3 מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " כפולות ומחלקים כשעוסקים במספרים הטבעיים (השלמים החיוביים), אומרים שמספר מתחלק במספר אחר, אם אין שארית בתוצאה של פעולת החילוק. דוגמאות: 15 מתחלק ב 3, כי = 5 3, 15 : והתוצאה של פעולת החילוק היא מספר שלם ללא שארית. 15 אינו מתחלק ב- 4, כי (שארית 3) 3 = 4, 15 : ובתוצאה של פעולת החילוק יש שארית. אם מספר a מתחלק במספר b (כאמור, ללא שארית), אומרים שהמספר a הוא כפולה של המספר b וגם שהמספר b הוא מחלק של המספר a. בדוגמה הראשונה לעיל נאמר ש 15 הוא כפולה של 3, ו 3 הוא מחלק של 15. כיצד בודקים אם מספר מתחלק במספר אחר? בפרק נלמדות שתי דרכים שבעזרתן אפשר לבדוק אם מספר מסוים מתחלק במספר אחר: 1. מבצעים את פעולת החילוק ובודקים את התוצאה: אם התוצאה היא מספר שלם ללא שארית, התשובה היא שהמספר מתחלק במספר האחר, ואם בתוצאה יש שארית, המספר אינו מתחלק. דוגמה: האם 2,645 מתחלק ב- 2? מחלקים: (שארית 1) 1,322 = 2. 2,645 : בתוצאה של החילוק יש שארית, ולכן המסקנה היא ש- 2,645 אינו מתחלק ב לעתים קרובות אפשר למצוא אם מספר מסוים מתחלק במספר אחר גם בלי לבצע את החילוק. אפשר לעשות זאת לפי סימנים. הסימנים האלה נקראים סימני התחלקות. דוגמה: האם 171 מתחלק ב 3? מוצאים את סכום הספרות = מכיוון שהסכום 9 מתחלק ב 3, המספר מתחלק ב 3. יש דרך נוספת לקביעת ההתחלקות של מספר כלשהו במספר אחר. כדי לקבוע אם מספר כלשהו, a, מתחלק במספר אחר, b, אפשר לנסות להציג אותו כסכום של שני מחוברים (או יותר) שכולם מתחלקים באותו המספר, b. אם זה אפשרי, הרי שהמספר מתחלק ב b, אם לא, המספר איננו מתחלק ב b. דוגמאות: האם 714 מתחלק ב 7? נציג את 714 כסכום של מספרים המתחלקים ב 7 : = מכיוון שכל אחד מהמחוברים מתחלק ב 7, הרי שהסכום גם הוא מתחלק ב 7. רוב התלמידים, תופסים זאת באופן אינטואיטיבי. הנה הסבר מתמטי: = 2) ( = = 14 = מתחלק ב 7, כי הוא מכפלה של 7 במספר אחר. האם 9,918 מתחלק ב 9? נציג את 9,918 כסכום של מספרים המתחלקים ב 9 : = ,918. מאחר שכל אחד מהמחוברים מתחלק ב 9, הרי שהסכום גם הוא מתחלק ב 9. הסבר מתמטי:. 9,918 = 9, = 9 1, = 9 (1, ) = 9 1,102 39

4 מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " האם 9,993 מתחלק ב 9? נציג את 9,993 כסכום של מספרים המתחלקים ב 9 ומספר נוסף שאיננו מתחלק ב 9 :. 9,993 = 9, דרך זו לקביעת ההתחלקות של מספר כלשהו במספר אחר נוחה לשימוש וגם מפתחת את תובנת המספרים. לפיכך אם נשאר זמן, מומלץ להציג דרך זו לפני התלמידים. איך מוצאים סימן התחלקות? מציאת סימני ההתחלקות יכולה להיעשות בשתי רמות. לדוגמה, נבדוק מהו סימן ההתחלקות ב- 2. רמה א אפשר לברר מהי סימן ההתחלקות על ידי חילוק מספרים רבים וניסיון למצוא חוקיות. לדוגמה, כדי למצוא מהו סימן ההתחלקות ב- 2 בודקים את ההתחלקות ב- 2 של כל המספרים השלמים מ- 1 עד 30. המספרים המתחלקים ב 2 :.30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2 המספרים שאינם מתחלקים ב- 2 :.29,27,25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1 מבדיקת ההתחלקות ב- 2 של 30 המספרים נוצר הרושם שקיימת חוקיות בחלוקה ב- 2. ואכן לגבי המספרים שבדקנו - כל המספרים שספרת היחידות שלהם היא זוגית מתחלקים ב- 2, וכל המספרים שספרת היחידות שלהם היא אי-זוגית אינם מתחלקים ב- 2. מבדיקת 30 המספרים ניתן להניח אפוא את ההכללה הזאת: כל מספר שספרת היחידות שלו היא זוגית מתחלק ב- 2, וכל מספר שספרת היחידות שלו היא אי-זוגית אינו מתחלק ב- 2. מבחינה לוגית - אי אפשר להכליל על סמך מספר מוגבל של דוגמאות. עדיין צריך להוכיח שהטענה נכונה לכל המספרים. רמה ב אפשר להוכיח בדרך לוגית את סימן ההתחלקות ב- 2. כל מספר שלם אפשר לרשום כסכום לפי המבנה העשרוני שלו (סכום של יחידות, עשרות, מאות וכן הלאה). דוגמה: = 2, ,645 המספרים , 10, וכן הלאה מתחלקים ב- 2, ולכן גם כל הכפולות שלהם (40, 2, , וכדומה) מתחלקות ב- 2. גם סכום הכפולות האלה (40 2,000) מתחלק ב- 2. נשאר לבדוק אם ספרת היחידות מתחלקת ב- 2 או לא: אם ספרת היחידות מתחלקת ב- 2 (זוגית), המספר מתחלק ב- 2. אם ספרת היחידות היא אי-זוגית, המספר אינו מתחלק ב

5 מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " בהוכחה הזאת השתמשנו בשני כללים: 1. אם אחד הגורמים מתחלק במספר מסוים, גם המכפלה מתחלקת במספר זה. לדוגמה: 100 מתחלק ב- 2, ולכן גם ( ) מתחלק ב אם כמה מספרים מתחלקים במספר מסוים, גם הסכום שלהם מתחלק באותו מספר. לכן גם 40) 2,640 (2, מתחלק ב- 2. בשני הכללים האלה נשתמש בהמשך בהוכחות של סימני ההתחלקות ב- 3 וב- 9. בפרק הלימוד הנוכחי עוסקים בסימני ההתחלקות ב- 3, ב- 6 וב- 9 ברמה א בלבד: בודקים מספר מוגבל של מספרים ומנסים להגיע לידי הכללה. אנחנו עושים זאת אף שדרך זו אינה מדויקת מבחינה לוגית, משום שרוב הילדים בגיל הזה עדיין אינם "בשלים" להוכחות מתמטיות כלליות. נביא כאן גם את ההוכחות לסימני ההתחלקות ב- 3, ב- 6 וב- 9 (ההוכחות יכולות להתאים לתלמידים מתקדמים). בבדיקת ההתחלקות של מספרים במספר מסוים אנחנו מקפידים לבדוק גם מספרים שמתחלקים במספר וזה וגם מספרים שאינם מתחלקים בו - כך מוצאים סימן התחלקות הקיים בכל המספרים המתחלקים במספר הזה ואינו קיים במספרים שאינם מתחלקים בו. הוכחות של סימני ההתחלקות התחלקות ב- 9 כדי למצוא סימן להתחלקות ב- 9 נחפש הצגה של המספרים כסכום של מחוברים שאנו יודעים שהם מתחלקים ב- 9 ושארית שקל לבדוק אם היא מתחלקת ב- 9. המספרים , 9, וכן הלאה מתחלקים ב- 9 לכן ננסה להציג כל מספר כסכום של כפולות של 9, , וכן הלאה ועוד שארית. µ Ω µ ± ± ± Ω Ω µ πππ ± ππ ± π ± µ πππ ππ π µ דוגמה: שארית שיש לבדוק יודעים בוודאות שמתחלק ב 9 אם מתחלקת ב 9 השארית היא למעשה סכום הספרות של המספר, ולכן נשאר לבדוק אם סכום הספרות של המספר מתחלק ב- 9. סכום הספרות של מספר המתחלק ב- 9 יכול להיות 9 (המספר 81, למשל), 18 (המספר 774, למשל), 27 (המספר 84474, למשל) וכדומה. 41

6 מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " סכום הספרות הסופי בחוברת לתלמיד סימני ההתחלקות ב 3 וב 9 מוגדרים לפי סכום הספרות ולא לפי סכום הספרות הסופי. ניתן גם להציג את סכום הספרות הסופי כהגדרה של סימני ההתחלקות וניתן אף לנסח אותו יחד עם התלמידים בתוך כדי דיון. בדיון מציגים מספר רב ספרתי המתחלק ב 9 וסכום ספרותיו גדול יחסית, למשל 8,888,886. התלמידים יחשבו את סכום הספרות (54), ובשלב זה תדון אתם המורה בשאלה: מה קורה אם לא יודעים אם 54 מתחלק ב 9? דיון זה יעודד אצל התלמידים חשיבה לוגית וייתכן שיוליך אותם להשתמש שוב בסימן ההתחלקות - חישוב סכום הספרות. בדרך זו הם יגיעו לכלל של חישוב סכום הספרות הסופי של המספר הנבדק. דוגמאות: 78,471 מתחלק ב 9, כי סכום הספרות הסופי הוא 9: = 9, = 27 47,879 איננו מתחלק ב 9, כי סכום הספרות הסופי איננו 9: = 8, = 35 לסיכום, כדי לבדוק אם מספר מתחלק ב 9, בודקים את סכום הספרות או את סכום הספרות הסופי של המספר: אם סכום הספרות של מספר מתחלק ב 9, המספר מתחלק ב 9. אם סכום הספרות הסופי של מספר הוא 9, המספר מתחלק ב 9. דוגמה: האם 888,987 מתחלק ב- 9? נבדוק אם סכום הספרות הסופי של המספר מתחלק ב- 9 : 888, סכום הספרות סכום הספרות סכום הספרות סכום הספרות של המספר 888,987 הוא אינו מתחלק ב 9, ולכן 888,987 אינו מתחלק ב 9. כאמור, אפשר לבדוק את סכום הספרות הסופי: סכום הספרות הסופי של המספר 888,987 הוא 3. סכום הספרות הסופי אינו 9, ולכן 888,987 אינו מתחלק ב

7 מבוא לפרק "סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 " התחלקות ב 3 כמו בהתחלקות ב- 9 גם בהתחלקות ב- 3 נציג את המספר שאת התחלקותו ב- 3 רוצים לבדוק כסכום של כפולות של , 99, וכדומה ועוד שארית. דוגמה: האם 4,743 מתחלק ב- 3? 4,743 = = = ( ) + ( ) מכיוון ש- 9 מתחלק ב- 3, גם כל כפולה של 9 מתחלקת ב- 3, כלומר, , 9, מתחלקים ב 3, ולכן גם סכום המחוברים שבסוגריים השמאליים מתחלק ב- 3. נשאר לבדוק אם סכום המחוברים שבסוגרים הימניים (סכום הספרות של המספר) מתחלק ב 3, וכמו שראינו בסימן ההתחלקות ב 9 - אפשר לבדוק אם סכום הספרות הסופי של המספר מתחלק ב 3. לסיכום, כדי לבדוק אם מספר מתחלק ב 3, בודקים את סכום הספרות או את סכום הספרות הסופי של המספר: אם סכום הספרות של המספר מתחלק ב 3, המספר מתחלק ב 3. אם סכום הספרות הסופי של המספר מתחלק ב 3, המספר מתחלק ב 3. התחלקות ב 6 כדי למצוא אם מספר מתחלק ב 6, מסתמכים על ידע קודם: 2 3 = 6, ולכן אפשר לראות שמספר מתחלק ב 6, אם הוא מתחלק גם ב- 2 (ספרת היחידות שלו זוגית) וגם ב 3 (סכום ספרותיו מתחלק ב- 3 ). מסקנה: מספר מתחלק ב 6, רק אם ספרת היחידות שלו זוגית וגם סכום הספרות שלו מתחלק ב 3. פירוט הנושאים בפרק א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) ביחידה זו חוזרים על סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 שנלמדו בכיתה ג' ועוסקים בניסוחים השונים המבטאים התחלקות של מספר במספר אחר: "כפולה של", "מתחלק ב" וגם "מתחלק ב...ללא שארית". ב. סימן ההתחלקות ב 3 ביחידה זו לומדים את סימן ההתחלקות ב 3 וכן חוקרים את הכפולות של 3 על ישר המספרים וגם בלוח המאה וכן את הקשר בין כפולות אלה לכפולות של 9. ג. סימן ההתחלקות ב 9 ביחידה זו לומדים את סימן ההתחלקות ב 9 וכן חוקרים את הכפולות של 9 על ישר המספרים וגם בלוח המאה במטרה לפתח את תובנת המספר. ד. סימני ההתחלקות ב 6 ביחידה זו חוקרים את הכפולות של 2 ואת הכפולות של 3, בודקים מתי הן מתלכדות ומנסחים את סימן ההתחלקות ב 6. 43

8 א. סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) מה לומדים ביחידה זו? מזכירים את משמעות המושגים האלה בעולם המספרים הטבעיים: 1. מתחלק ב... (או מתחלק ב... ללא שארית) x מתחלק ב y, אם בתוצאת התרגיל x : y אין שארית. לדוגמה: 51 מתחלק ב 3, כי = : 58 אינו מתחלק ב 5, כי (שארית (3 11 = : 2. כפולה של....y z = x כך ש z אם קיים,y הוא כפולה של x 3. מחלק של... y הוא מחלק של, x אם בתוצאת התרגיל x : y אין שארית. סימן ההתחלקות ב 2 : אם ספרת היחידות של מספר היא זוגית, המספר מתחלק ב 2. אם ספרת היחידות של מספר היא אי זוגית, המספר אינו מתחלק ב 2. סימן ההתחלקות ב 5 : אם ספרת היחידות של מספר היא 0 או 5, המספר מתחלק ב 5. אם ספרת היחידות של מספר אינה 0 או 5, המספר אינו מתחלק ב 2. סימן ההתחלקות ב 10 : אם ספרת היחידות של מספר היא 0 (אפס), המספר מתחלק ב 10. אם ספרת היחידות של מספר אינה 0, המספר אינו מתחלק ב 10. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 נלמדו בכיתה ג', בחוברת "המספרים עד - 10,000 חלק ב", עמודים המטרות העיקריות של הפעילויות ביחידה זו: א. לברר אם התלמידים מבינים את המשמעות של "מספר מתחלק במספר אחר" (עמוד 62). ב. להזכיר לתלמידים את שלושת סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 ולתרגל אותם, לפני שלומדים סימני התחלקות חדשים ומורכבים יותר (עמודים 64-63). ואלה סימני ההתחלקות: מספר מתחלק ב 2, אם ספרת היחידות שלו זוגית. מספר מתחלק ב 5, אם ספרת היחידות שלו היא 5 או 0. מספר מתחלק ב 10, אם ספרת היחידות שלו היא 0. 44

9 א. סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) פעילות פתיחה: סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 כל תלמיד מתבקש לרשום על דף עשרה מספרים דו ספרתיים. בכל שלב המורה אומרת הגדרה כלשהי, והתלמידים בודקים אם יש ברשימתם מספרים המתאימים להגדרה ומסמנים אותם. מנצח: הראשון שסימן את כל המספרים (או הראשון שסימן מספר אחר של מספרים לפי מה שהוחלט או שמחליטים מראש לסיים אחרי זמן שנקבע מראש). דוגמאות להגדרות: מספרים המתחלקים (או שאינם מתחלקים) ב 10 מספרים המתחלקים (או שאינם מתחלקים) ב 5 מספרים המתחלקים (או שאינם מתחלקים) ב 2 מספרים המתחלקים ב... ואינם מתחלקים ב... מספרים שספרת היחידות/העשרות שלהם היא... מספרים הגדולים/הקטנים מ... הערה: בשלבים שבהם ההגדרה קשורה לסימני התחלקות מומלץ לרכז על הלוח מספרים מתאימים שמצאו התלמידים ברשימותיהם. עמוד 62 בפעילות 1 אפשר להסביר בדרכים שונות וכל תלמיד יכול לבחור את דרך ההסבר הנוחה לו. הנה דוגמאות להסברים אפשריים לסעיף ב: כותבים תרגיל חילוק ופותרים: = 24 4, 96 : אין שארית בתוצאה ולכן 96 מתחלק ב 4. מנסים להשלים תרגיל כפל מתאים: 4 24 = מתחלק ב 4, ולכן גם (100-4) 96 מתחלק ב 4. בפעילות 2 כל התשובות בסעיף ב נכונות ומטרת הפעילות להזכיר את המושגים "כפולה של", "מתחלק ב..", "מחלק של..." ו"מתחלק ב.. ללא שארית". 45

10 א. סימני התחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה) עמודים פעילות 3 נועדה להזכיר את השימוש בסימן ההתחלקות ב 5. סימן התחלקות זה הוא בדרך כלל אינטואיטיבי לילדים ומובן להם שכל מספר שספרת היחידות שלו היא 5 או 0 מתחלק ב 5, וכל מספר שספרת היחידות שלו שונה מ 0 או מ 5 אינו מתחלק ב 5. בפעילות 4 עוסקים בהתחלקות ב 2 דרך סיפור על קבוצות של רקדנים שרוצות לרקוד ריקודי זוגות. במקרה זה בודקים התחלקות ב 2 על ידי חלוקת קבוצה לזוגות (חילוק להכלה). אפשר, כמובן, לבדוק התחלקות ב 2 על ידי חלוקה לשתי קבוצות שוות (חילוק לחלקים). בפעילות 5 עוסקים בהתחלקות ב 10 : מספר המתחלק גם ב 2 וגם ב 5 מתחלק גם ב 10. חשוב גם להכליל ולומר שספרת היחידות של מספרים אלה היא 0. 46

11 ב. סימן ההתחלקות ב 3 פעילות פתיחה המורה רושמת על הלוח מספר, לדוגמה:, 435 ושואלת: - האם המספר מתחלק ב 5? - האם המספר מתחלק ב 10? - האם המספר מתחלק ב 2? - האם המספר מתחלק ב 3? התלמידים עדיין לא למדו את סימן ההתחלקות ב 3 וכאן המקום לערוך דיון בכיתה: איך נוכל לבדוק אם המספר 435 מתחלק ב 3? בשלב זה הדרך היא לפתור את תרגיל החילוק: = : בתוצאה אין שארית, ולכן התשובה היא שהמספר 435 מתחלק ב 3. טעות רווחת - מכיוון ששלושת סימני ההתחלקות שנלמדו עד כה נשענים על הבדיקה של ספרת היחידות, יש תלמידים שמשליכים מכך על הבדיקה של התחלקות ב 3 וחושבים שמספר מתחלק ב 3, אם ספרת היחידות שלו היא 3. מומלץ לעשות פעילות דומה עם מספר שאינו מתחלק ב 3, לדוגמה:. 713 מסקנה מהפעילות: בשלב זה כדי לדעת אם מספר נתון מתחלק ב 3 או אינו מתחלק ב 3 עלינו לחלק ולבדוק. בפעילויות הבאות נלמד סימן שבעזרתו נוכל לבדוק אם מספר מתחלק ב 3 בלי לפתור את תרגיל החילוק. עמוד 65 בפעילויות שבעמוד זה עוסקים בתובנות הקשורות להתחלקות ב 3. בפעילות 1 רואים שהמספרים המתחלקים ב 3 יוצרים על ישר המספרים סדרה בקפיצות של 3. בפעילות 2 לומדים דרך בחינת דוגמאות שאם מוסיפים 3 או כפולה של 3 למספר המתחלק ב 3, התוצאה גם היא מספר המתחלק ב 3, ולהפך: אם מוסיפים מספר שאינו מתחלק ב 3, למספר המתחלק ב 3, התוצאה היא מספר שאינו מתחלק ב 3. אין המטרה כאן להביא את התלמידים לידי שליטה בכללים אלה, אלא המטרה היא "שיחושו" את הדברים דרך דוגמאות העוסקות במקרים הפשוטים. פעילות פתיחה מציירים על הלוח ישר מספרים כזה: מבקשים מהתלמידים לרשום במחברת את המספרים המתחלקים ב 3, ומקיפים אותם על ישר המספרים. מציירים על הישר קפיצות (בקשתות) ומבקשים מהתלמידים להתאים תרגיל לכל קפיצה. - קפיצה מ 66 ל 69 (69=66+3) - קפיצה מ 69 ל 72 (72=69+3) - קפיצה מ 66 ל 72 (72=66+6) - קפיצה מ 69 ל 75 (75=69+6) 47

12 ב. סימן ההתחלקות ב 3 שואלים: מה משותף לכל התרגילים? כותבים על הלוח את התרגילים האלה: מבקשים מהתלמידים למצוא, בלי לפתור את התרגילים, אילו תוצאות יתחלקו ב 3. הרחבה: כותבים על הלוח את המספר 130 ושואלים אם הוא מתחלק ב 13 (כן, כי.(13 10 =130 מבקשים מהתלמידים למצוא: - שלושה מספרים בין 130 ל 200 המתחלקים ב שלושה מספרים בין 130 ל 200 שאינם מתחלקים ב 13. עמודים פעילות 3 בסעיף א התלמידים מתבקשים לסמן תחילה את המספרים שלגביהם הם יכולים לקבוע בוודאות שהם מתחלקים ב 3 או שהם אינם מתחלקים ב 3 ומומלץ לבקש מהם לנמק את קביעתם. לגבי מספרים שהתלמידים אינם בטוחים אם הם מתחלקים ב 3 יש להנחות אותם לבדוק כל מספר כזה על ידי תרגיל של חילוק ב 3 : - אם בתוצאה אין שארית, המספר מתחלק ב 3. דוגמה: = 17 3, 51 : מכאן: 51 מתחלק ב 3. - אם בתוצאה יש שארית, המספר אינו מתחלק ב 3. דוגמה: (שארית 2) 17 = 3, 53 : מכאן: 53 אינו מתחלק ב 3. בסעיפים ג-ה בודקים את סכומי הספרות של המספרים המתחלקים ב 3 לעומת סכומי הספרות של המספרים שאינם מתחלקים ב 3. מומלץ לתת לתלמידים לנסות למצוא בעצמם את סימן ההתחלקות ב 3 לפני שנותנים להם את הניסוח המדויק. בפעילות 4 בודקים בשני אופנים אם מספר מתחלק ב 3 גם לפי סכום הספרות וגם על ידי פתרון תרגיל חילוק. דיון לסיכום הפעילות: - האם כדי לקבוע אם מספר מתחלק ב 3 צריך לבדוק את סכום הספרות שלו וגם לפתור את תרגיל החילוק? - איזו מהדרכים נוחה יותר לבדיקת התחלקות ב 3? בפעילויות 5 ו 6 בונים מספרים המתחלקים ב 3 ומספרים שאינם מתחלקים ב 3 על ידי שימוש בסימן ההתחלקות. בפעילות 5 בונים מספרים תלת ספרתיים שספרת היחידות שלהם 5. בסעיף א אפשר להנחות את התלמידים לעבוד כך: משלימים את אחת הספרות, למשל את ספרת המאות 3:. 3 5 יש כמה אפשרויות להשלמת ספרת העשרות כך שסכום הספרות יתחלק ב 3 : , 315, 48

13 ב. סימן ההתחלקות ב 3 באופן דומה אפשר למצוא עוד הרבה מספרים מתאימים. בסעיף ב משלימים באופן דומה, אבל למספרים שסכום ספרותיהם אינו מתחלק ב 3. בפעילות 7 מיישמים את סימן ההתחלקות ב 3. בסעיפים ה ו ו למעשה מחפשים מספרים דו ספרתיים שונים שספרת העשרות שלהם היא 8 והם מתחלקים ב 3. יש 3 אפשרויות: , 81, רב דף 8 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 91. רב דף 9 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 92. רב דף 10 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד

14 ג. סימן ההתחלקות ב 9 פעילות פתיחה המורה כותבת מספר על הלוח, למשל:. 165 שאלה: האם המספר הנתון מתחלק ב 3? תשובה: התלמידים מחשבים את סכום הספרות: = מתחלק ב 3, ולכן 165 מתחלק ב 3. שאלה: האם המספר הנתון מתחלק ב 9? תשובה: התלמידים עדיין לא למדו את סימן ההתחלקות ב 9, ולכן עליהם לחלק את המספר הנתון ב 9 : (שארית 3) 18 = : יש שארית בתוצאה, ולפיכך 165 אינו מתחלק ב 9. שאלה: האם תוכלו למצוא מספר המתחלק ב 3 וגם מתחלק ב 9? תשובה: לאחר שימצאו התלמידים דוגמאות שונות מתאימות, ייתכן שאף יכלילו: כל המספרים המתחלקים ב 9 מתאימים, כי הם מתחלקים גם ב 3. התלמידים צריכים להיות ערים לכך שכאשר המשימה היא לבדוק אם מספר x מתחלק במספר y, הם יכולים לענות על סמך סימן ההתחלקות ב y (אם הם מכירים אותו) בלי לפתור את תרגיל החילוק. אם התלמידים אינם מכירים את סימן ההתחלקות, עליהם לפתור את תרגיל החילוק ולענות לפי התוצאה (אם אין שארית המספר מתחלק, אם יש שארית המספר אינו מתחלק). המלצה: במהלך הלימוד של סימני התחלקות חדשים מומלץ מדי פעם לפתוח שיעור או לסכם שיעור בעזרת סדרת שאלות על בדיקת ההתחלקות ולשלב גם שאלות שבעזרתן בודקים התחלקות שסימנה לא נלמד וחייבים לחלק כדי לענות. דוגמה: האם 378 מתחלק ב 7? סימן ההתחלקות ב 7 לא נלמד, ולכן כדי לענות חייבים לפתור את תרגיל החילוק = : אין שארית בתוצאה, ולכן התשובה: 378 מתחלק ב לעומת זאת כדי לבדוק אם 378 מתחלק ב 3, בודקים את סכום הספרות: = סכום הספרות (18) מתחלק ב 3, ולכן 378 מתחלק ב 3. עמודים בפעילות 1 התלמידים מתרגלים קפיצות של 9 על ישר המספרים. התלמידים יכולים להבין שנוח למצוא את המספר הבא המתחלק ב 9 על ידי של 10 קדימה ודילוג של 1 לאחור. כך הם מגלים שבכל עשרת המספר המתחלק ב 9 "נסוג" מקום אחד שמאלה בתוך העשרת: בפעילות 2 עוסקים בכפולות של 9 וכפולות של 3 על לוח המאה. סימון הכפולות של 9 נועד למציאת החוקיות של פיזור המספרים האלה על הלוח. התלמידים מגלים שהכפולות של 4 מסודרות על קו אלכסון היורד מימין לשמאל ויכולים לנסות להסביר מדוע הסידור הוא כזה (כי = , כלומר המשמעות של קפיצה של 10 על לוח המאה היא "ירידה" למשבצת שמתחת למספר הנתון, וקפיצה של 9 היא קפיצה למספר שמשמאלו). כמו כן בפעילות זו התלמידים נוכחים לדעת שכל המספרים המתחלקים ב 9 מתחלקים גם ב 3 (המספרים האלה מסומנים גם ב וגם ב ), ומספר המספרים המתחלקים ב 3 גדול פי 3 ממספר המספרים המתחלקים ב 9. 50

15 ג. סימן ההתחלקות ב 9 בעמודים עוסקים בסימן ההתחלקות ב 9 באופן דומה לתהליך שנעשה לגבי סימן ההתחלקות ב 3 (בעמודים 67-66). המסקנה מפעילות 6 בעמוד 72: כשמחליפים את סדר הספרות של מספר, סכום הספרות אינו משתנה ולכן גם ההתחלקות ב 9 אינה משתנה. פעילות 7 בעמוד 72 דומה לפעילות 2 בעמוד 65, והמטרה היא לפתח את החוש למספרים בנושא ההתחלקות ב = = = פעילות פתיחה בדקו אם המספר 684 מתחלק ב 9. 18) = 4 18, מתחלק ב 9, ומכאן 684 מתחלק ב 9.) בדקו את השערותיכם בעזרת סימן ההתחלקות ב 9. מה מסקנתכם מהפעילות? = = = שערו אילו מתוצאות התרגילים האלה מתחלקות ב 9 : = = = = = = תלמידים ברמת הבנה גבוהה מסיקים מהפעילות שאם למספר המתחלק ב 9 מוסיפים מספר המתחלק ב 9 או מחסרים ממנו מספר המתחלק ב 9 - גם התוצאה מתחלקת ב 9. אם מוסיפים או מחסרים מספר שאינו מתחלק ב 9, גם התוצאה אינה מתחלקת ב 9. מובן שאין הכרח שכל התלמידים יגיעו להכללה זו. 51 רב דף 11 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 94.

16 ג. סימן ההתחלקות ב 9 רב דף 12 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד

17 ד. סימן ההתחלקות ב 6 פעילות פתיחה המורה רושמת על הלוח מספרים ושואלת: לגבי אילו מהמספרים האלה אתם יכולים לקבוע בוודאות שהם מתחלקים ב 6 בלי לחלק אותם? אילו מהם אינם מתחלקים ב 6? נמקו: מומלץ להתמקד בנימוקי התלמידים. הנה דוגמאות לנימוקים של תלמידים: 54 מתחלק ב 6, כי הוא מופיע בשורת הכפולות של 6 בלוח הכפל. 61 אינו מתחלק ב 6, כי 60 מתחלק ב 6 ולכן אינו מתחלק ב אינו מתחלק ב 6, כי הוא מספר אי זוגי. 300 מתחלק ב 6, כי 30 מתחלק ב 6. עמודים בפעילויות 4-3 שבעמוד 74 רואים על ישר המספרים ועל לוח המאה את המספרים המתחלקים גם ב 2 וגם ב 3, והמטרה לתת את התחושה לסימן ההתחלקות ב 6 המוצג בעמוד 75. בפעילות 5 מומלץ לדון באוסף המספרים המתאימים לארבע השורות האחרונות בטבלה. מעניין לשאול את התלמידים אם בשורות אלה אפשר להשלים את הטור השמאלי גם לפני שמשלימים את המספר בטור הימני. (התשובה: בוודאי שאפשר. המספר מתחלק ב 6 רק במקרה שכתוב כן / כן בשני הטורים האמצעיים, כלומר, רק במקרה שספרת היחידות זוגית וסכום הספרות מתחלק ב 3.) הצעה נוספת: המורה תאמר מספר תלת ספרתי כלשהו שספרת המאות שלו 3, והתלמידים יבדקו לאיזו מהשורות האלה המספר מתאים. רב דף 13 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד

18 ד. סימן ההתחלקות ב 6 רב דף 14 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 97. עמודים בפעילות 6 רצוי שהסברי התלמידים יהיו מבוססים על סימן ההתחלקות ב 6. מובן שגם נימוק על ידי פתרון תרגיל חילוק הוא מדויק ונכון. לדוגמה: 99 אינו מתחלק ב 6. נימוקים אפשריים: (שארית (3 16 = 6, 99 : יש שארית בתוצאה. ספרת היחידות (9) היא אי זוגית. 39 = , מתחלק ב 6, אך 39 אינו מתחלק ב 6. בפעילות 10 בעמוד 77 כל המספרים הם זוגיים (כי נתון שספרת היחידות היא זוגית). יש להשלים את הספרות החסרות, כך שסכום הספרות יתחלק ב 3. אלה המספרים המתאימים: א. 930,630,330 ב.,246,216,186,156,126, ג..732,432,132 פעילות 11 בעמוד 78 למעשה מסכמת את סימני ההתחלקות ב 2, ב 3, ב 5, ב 6 וב 9. יש תלמידים שבשלב זה כבר בשלים לעשות קיצורי דרך ולנמק גם בלי לבדוק עד הסוף. למשל: קבוצה של 135 רקדנים אינה מתאימה לריקוד זוגות, ולכן בוודאי גם אינה מתאימה לריקוד שישיות. בארבע השורות האחרונות של הטבלה מומלץ לרכז על הלוח את אוסף המספרים שמצאו התלמידים לכל שורה. 54

19 ד. סימן ההתחלקות ב 6 רב דף 15 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 98. רב דף 16 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 99. רב דף 17 נמצא בסוף מדריך זה, עמוד 100. כאן מתאים המבדק המסכם שבסוף מדריך זה, עמוד

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי

גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא.

א. חוקיות תשובות 1. א( קבוצות ספורט ב( עצים ג( שמות של בנות ד( אותיות שיש להן אות סופית ; ה( מדינות ערביות. 2. א( שמעון פרס חיים הרצוג. ב( לא. א. חוקיות. א( 1; ב( ; ג( השמיני; ד( ; ה( האיבר a שווה לפי - מיקומו בסדרה ; ו( = ;a ז( 9 = a ;.6 א( דוגמה: = a. +.7 א( =,1 + = 6 ;1 + ג( את המספר האחרון: הוא זה שמשתנה מתרגיל לתרגיל. 8. ב( 1 7 a, המספר

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. זוויות צמודות

שיעור 1. זוויות צמודות יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t

הרצאה 3 קומבינטוריקה נוסחת ניוטון משפט מולטינומי. + t עבור ( ) + t ROBABILITY AND STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר Eugee Kazieper All rights reserved 5/6 כל הזכויות שמורות 5/6 הרצאה קומבינטוריקה עצרת של מספר ופונקצית גאמא עקרון הכפל סידורים ובחירות תמורות

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט אוניברסיטת ירושלים הנושא: אינדוקציה מתמטית - אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה הוכן ע"י: נצה מובשוביץ-הדר, המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, הטכניון, חיפה. תקציר: במאמר מוצגות

Διαβάστε περισσότερα

Ô«Δ Ÿ ŒÁ Ë» ÀÙΔ È È ÎÏÓÓ Â È ÎÏÓÓ 2247 מיום

Ô«Δ Ÿ ŒÁ Ë» ÀÙΔ È È ÎÏÓÓ Â È ÎÏÓÓ 2247 מיום ß ÈÎÏ ÂÓÏ ÍÈ Ó Ô«Δ Ÿ ŒÁ Ë» ÀÙΔ È ÂÒÈ ÙÒ È Ï ÈËÓ Ó È È ÎÏÓÓ Â È ÎÏÓÓ appleèèë È Â appleîâ È Ò ÂÊÈÏ ÒÈ È appleèèë È Â È Â Ù ÈÚ Ó ıâúèè Ô Â Ï ÎÈÓ ÈËÓ Ó ıâúèè 2247 מיום 25.3.07 È Ò ÂÊÈÏ ÒÈ È Â appleîâ appleèèë

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות: שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311 יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן -

פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן - פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 0 חודשי הולדת לכל ילד אפשרויות,לכן לכן - 0 A 0 מספר קומבינציות שלא מכילות את חודש תשרי הוא A) המאורע המשלים ל- B הוא "אף תלמיד לא נולד באחד מהחודשים אב/אלול",

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

Regular Expressions (RE)

Regular Expressions (RE) Regular Expressions (RE) ביטויים רגולריים עד כה דנו במספר מודלים חישוביים להצגת (או ליצור) שפות רגולריות וראינו שכל המודלים האלה הם שקולים מבחינת כוח החישובי שלהם. בסעיף זה נראה עוד דרך להצגת (או ליצור)

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשס"ו מס' סטודנט:

TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשסו מס' סטודנט: TECHNION ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מבני נתונים 234218 1 מבחן מועד ב ' סמסטר אביב תשס"ו מרצה: אהוד ריבלין מתרגלים: איתן

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשסג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

"שקר". במקום המילים "אמת" או "שקר" משתמשים באותיות T ו- F (באנגלית truth אמת, false שקר (

שקר. במקום המילים אמת או שקר משתמשים באותיות T ו- F (באנגלית truth אמת, false שקר ( . חלק : 1 תחשיב הפסוקים. 1) פסוקים. משתנים פסוקיים. ערכי האמת. בדיבור יום-יומי אנו משתמשים במשפטים שונים. לדוגמא: " יורם סטודנט ", "בישראל בקיץ חם.", "מה השעה?", "דג כרפיון עף בשמיים.", "לך הביתה!", "פרות

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 7

מודלים חישוביים תרגולמס 7 מודלים חישוביים תרגולמס 7 13 באפריל 2016 נושאי התרגול: מכונת טיורינג. 1 מכונת טיורינג נעבור לדבר על מודל חישוב חזק יותר (ובמובן מסוים, הוא מודל החישוב הסטנדרטי) מכונות טיורינג. בניגוד למודלים שראינו עד

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

יחידה - 7 זוויות חיצוניות

יחידה - 7 זוויות חיצוניות יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. מושגים והגדרות

שיעור 1. מושגים והגדרות יחידה 12: הגדרות, משפטים והוכחות שיעור 1. מושגים והגדרות בעבר הגדרנו מושגים רבים: זוויות צמודות, זוויות קדקודיות, חפיפה של מצולעים, דמיון של מצולעים ועוד. נדון בשאלות מהי הגדרה, וכיצד מגדירים מושג במתמטיקה.

Διαβάστε περισσότερα

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה עבודת קיץ לקראת כיתה ט' מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה

תורת המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה תורת המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה יובל קפלן ( בקורס "תורת סיכום הרצאות פרופ אלכס לובוצקי ) המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה" (80611) באוניברסיטה העברית,.007 8 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך עלÎידי יובל קפלן.

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים עוזי וישנה

מבנים אלגבריים עוזי וישנה מבנים אלגבריים עוזי וישנה מבנים אלגבריים מהדורה 2.58 למתרגל הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס 'מבנים אלגבריים' למדעי המחשב, 89-214, באוניברסיטת בר אילן. הקורס (בהיקף של שעתיים הרצאה

Διαβάστε περισσότερα