CUPRINS 8. Statica solidului rigid... 1 Cuprins..1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CUPRINS 8. Statica solidului rigid... 1 Cuprins..1"

Transcript

1 CURS 8 STATICA SOLIDULUI RIGID CUPRINS 8. Statica solidului rigid Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul Generalităţi Echilibrul solidului rigid liber...4 Test de autoevaluare Legăturile ideale ale solidului rigid în problema plană Solid rigid static determinat...12 Test de autoevaluare Încărcări...14 Test de autoevaluare Bibliografie modul 17 Rezumat modul.18 Rezolvarea testelor de autoevaluare Statica solidului rigid Introducere modul În acest modul se vor studia condiţiile de echilibru pentru solidul rigid liber şi solidul rigid cu legături ideale. Se vor prezenta legăturile ideale ale solidului rigid în plan, modul de evaluare al acţiunilor (încărcări) şi se va defini o noţiune foarte importantă pentru inginerul constructor, noţiunea de corp static determinat. Mecanica I 1

2 Obiective modul După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să exprime echilibrul solidului rigid liber; - legăturile ideale ale solidului rigid în problema plană; - să aplice corect legături unui solid rigid pentru ca acesta să devină un corp static determinat; - să utilizeze diferite tipuri de încărcări; - să exprime echilibrul solidului rigid cu legături ideale. 2 ore Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. Durata medie de studiu individual 8.1. Generalităţi Solidul rigid este un corp nedeformabil, adică acel corp la care distanţa dintre oricare două puncte nu se modifică indiferent de acţiunile exercitate asupra lui. Un solid rigid este liber dacă poate ocupa orice poziţie în spaţiu. Dacă un solid rigid nu poate ocupa orice poziţie în spaţiu datorită restricţiilor de natură geometrică impuse punctelor lui, acesta se numeşte solid rigid cu legături. Dacă reacţiunile corespunzătoare legăturilor au direcţia normală la suprafaţa reprezentând legătura, solidul rigid este supus unor legături ideale (fără frecare). Poziţia unui solid rigid se defineşte prin poziţiile punctelor lui. Bineînţeles, se va căuta definirea poziţiei solidului rigid prin definirea poziţiei a cât mai puţine puncte din acesta (figura 8.1). Fie solidul rigid liber din figura 8.1.a. Se va defini poziţia punctului A în raport cu sistemul de referinţă ales. Este ca şi când s-ar fixa acel punct al corpului. Deoarece solidul se poate roti în jurul punctului A, se defineşte şi poziţia altui punct B. Se constată că solidul se poate roti în raport cu axa ce conţine punctele A şi B, deci este necesară definirea poziţiei unui al treilea punct (C) astfel încât acest punct să nu fie coliniar cu punctele A şi B. Deoarece solidul nu-şi Mecanica I 2

3 mai poate modifica poziţia, rezultă că pentru definirea acesteia este nevoie de definirea a nouă parametri de poziţie (coordonatele celor trei puncte distincte şi necoliniare). z O C(x C,y C,z C ) l 3 l 2 l 1 A(x A,y A,z A ) B(x B,y B,z B ) y y O B(x B,y B ) l A(x A,y A ) x x a) b) Fig Definirea poziţiei solidului rigid liber Dar solidul este nedeformabil, adică distanţele între cele trei puncte nu se modifică. Aceasta înseamnă că între cele nouă cordonate există trei dependenţe: Rezultă că pentru a defini complet poziţia unui solid rigid în spaţiu este nevoie de şase parametri de poziţie independenţi. Pentru definirea poziţiei unui solid rigid liber în plan (figura 8.1.b) este nevoie de definirea poziţiei a două puncte distincte ale acestuia. Între coordonatele acestor puncte este o dependenţă: Rezultă că pentru definirea poziţiei unui solid rigid în plan este nevoie de trei parametri de poziţie independenţi. Fie un solid rigid liber în spaţiu (figura 8.2.a). Pentru modificarea poziţiei acestui solid există şase posibilităţi independente de mişcare (trei translaţii paralele cu axele de coordonate şi trei rotaţii în raport cu trei axe paralele cu axele de coordonate). Rezultă că un solid rigid liber are, în spaţiu, şase grade de libertate (un grad de libertate este o posibilitate independentă de mişcare). Mecanica I 3

4 z y O y O x x a) b) Fig Gradele de libertate ale unui solid rigid liber Fie un solid rigid liber în problema plană (figura 8.2.b). Se observă că pentru modificarea poziţiei acestui solid este nevoie de trei mişcări independente (două translaţii paralele paralele cu axele de coordonate şi o rotaţie în raport cu o axă perpendiculară pe planul solidului). Rezultă că în plan un solid rigid liber are trei grade de libertate. În ambele situaţii (spaţiu sau plan) numărul parametrilor de poziţie independenţi este egal cu numărul gradelor de libertate: 8.2. Echilibrul solidului rigid liber Fie un solid rigid liber aflat în repaus. Condiţia ca solidul să rămână în repaus este ca sistemul de forţe ce acţionează asupra lui să fie în echilibru. Se va spune în această situaţie că solidul rigid este în echilibru. Condiţiile vectoriale de echilibru pentru un sistem de forţe sunt: unde este rezultanta sistemului de forţe iar este momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu un punct oarecare O. Aceste condiţii se pot pune sub forma: Mecanica I 4

5 Condiţiile scalare de echilibru se obţin proiectând condiţiile vectoriale pe axele sistemului de referinţă: În problema plană (atunci când solidul este acţionat de un sistem de forţe coplanare acţionând în planul solidului) condiţiile scalare sunt: Se observă că pentru exprimarea echilibrului unui solid rigid liber se pot scrie două ecuaţii de proiecţii de forţe şi o ecuaţie de proiecţii de momente. Aceste condiţii înseamnă că solidul nu trebuie să se mişte pe direcţiile gradelor lui de libertate. O ecuaţie de proiecţie de forţe are ca rezultat suprimarea unei translaţii pe direcţia axei pe care se realizează proiecţia de forţe iar o ecuaţie de proiecţie de momente are ca rezultat suprimarea rotaţiei solidului în raport cu axa pe care se proiectează momentele. Astfel, prin scrierea a două ecuaţii de forţă se suprimă translaţiile posibile în plan iar prin scrierea ecuaţiei de moment în raport cu un punct din planul forţelor se suprimă rotaţia în raport cu axa perpendiculară pe planul forţelor ce trece prin punctul considerat. Practic, în plan se suprimă posibilitatea solidului de a se roti în jurul punctului în raport cu care se scrie ecuaţia de moment (figura 8.3.a). A B a) b) Fig Suprimarea gradelor de libertate ale unui solid rigid Suprimarea posibilităţilor de mişcare ale unui solid rigid se poate face şi în alt mod (figura 8.3.b). Astfel, se observă că dacă se suprimă rotaţia solidului în raport cu două puncte atunci se suprimă implicit şi translaţia solidului pe direcţie perpendiculară pe dreapta ce conţine cele două puncte. În figura 8.3.b s-au ales punctele A şi B pe orizontală. Dacă solidului i se Mecanica I 5

6 suprimă posibilitatea de a se roti în raport cu punctul A atunci punctul B nu se poate deplasa pe direcţie verticală. La fel, dacă se suprimă rotaţia solidului în raport cu punctul B atunci punctul A nu se poate deplasa pe direcţie verticală. Deorece corpul este solid rigid rezultă că nici un alt punct al lui nu se poate deplasa pe verticală. În acest mod se poate înlocui o ecuaţie de forţă cu o ecuaţie de moment. Astfel se pot scrie, pentru exemplul considerat, următoarele condiţii de echilibru: La scrierea în acest mod a ecuaţiilor de echilibru se observă că există situaţia în care sistemul de ecuaţii este nedeterminat. Aceasta se întâmplă atunci când ecuaţia de forţă utilizată se scrie pe direcţie perpendiculară pe dreapta ce conţine punctele în raport cu care s-au scris ecuaţiile de moment (adică se suprimă acelaşi grad de libertate atât prin ecuaţia de forţă cât şi printr-o ecuaţie de moment). Situaţia prezentată trebuie evitată în scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru. Rezultă exprimarea condiţiilor de echilibru printr-o singură ecuaţie de forţă şi două ecuaţii de moment: Exprimarea condiţiilor de echilibru se poate face şi prin trei ecuaţii de moment, cu restricţia ca punctele în raport cu care se exprimă aceste ecuaţii să fie necoliniare: Mecanica I 6

7 Test de autoevaluare 1 1. Indicaţi enunţul corect: a) Solidul rigid este un corp nedeformabil; b) Solidul rigid este un model utilizat de mecanica teoretică; c) Solidul rigid este corpul pentru care distanţa dintre oricare două puncte nu se modifică indiferent de acţiunile exercitate asupra lui. 2. Enunţul,,Un solid rigid liber are în plan trei grade de libertate este: a) adevărat; b) fals. 3. Ce restricţie se impune dacă se exprimă echilibrul unui solid rigid prin două ecuaţii de forţă şi o ecuaţie de moment? Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului Legăturile ideale ale solidului rigid în problema plană Legăturile unui solid rigid sunt restricţii de natură geometrică impuse punctelor solidului. Este evident că orice asemenea restricţie produce efecte asupra posibilităţilor de mişcare ale solidului, în sensul suprimării acestor posibilităţi. Rezultă că legăturile suprimă grade de libertate solidului rigid. În plan, legăturile ideale ale solidului rigid cele mai utilizate sunt: - reazemul simplu; - reazemul articulat (articulaţia); - reazemul încastrat (încastrarea). Reazemul simplu. Prin definiţie reazemul simplu este legătura ideală (punctuală şi fără frecare) care suprimă corpului un grad de libertate. Reazemul simplu se poate obţine prin legarea unui punct al corpului cu un fir (figura 8.4.a) sau cu un pendul (bară rigidă scurtă care permite rotaţia în jurul extremităţilor ei figura 8.4.b). În ambele cazuri este suprimată posibilitatea de deplasare a punctului pe direcţia firului Mecanica I 7

8 (într-un singur sens) sau pe direcţia pendulului (în ambele sensuri). Dacă solidul rigid se sprijină pe alt corp (figura 8.4.c) este suprimată posibilitatea de mişcare a punctului de contact dintre cele două corpuri pe normala la tangenta în punctul de rezemare. direcţia reazemului simplu a) b) c) d) e) Fig Realizarea şi schematizarea reazemului simplu direcţia reazemului simplu Reazemul simplu se schematizează în două moduri. Prima schematizare (figura 8.4.d) este sub forma unui triunghi având o latură dublată. Direcţia reazemului simplu este perpendiculara dusă pe latura dublată. Prin această schematizare reazemul simplu este indicat ca legătură bilateră şi este o schematizare utilizată în special în problema plană. A doua schematizare (figura 8.4.e) este exprimată printr-un pendul şi este utilizată în problema spaţială. Direcţia reazemului simplu este direcţia pendulului iar legătura este bilateră. n n n A t A a) b) c) Fig Reacţiunea introdusă de reazemul simplu Prin aplicarea axiomei legăturilor reazemul simplu poate fi înlocuit cu o reacţiune ce va avea următoarele caracteristici (figura 8.5): mărimea necunoscută (se determină din condiţiile de echilibru ale solidului rigid); direcţia direcţia reazemului simplu (normală la tangenta în punctul de contact dintre solidul rigid şi suprafaţa reprezentând legătura figura 8.5.a); Mecanica I 8

9 sensul nedeterminat, dar nu o necunoscută independentă (fiind o legătură bilateră, se alege iniţial un sens oarecare, semnul necunoscutei validând sau nu sensul ales); punctul de aplicaţie punctul în care se aplică reazemul simplu. Se observă că reazemul simplu suprimă solidului rigid un grad de libertate şi introduce în calcul o singură necunoscută scalară (mărimea reacţiunii corespunzătoare acestuia). Reazemul articulat (articulaţia) Prin definiţie reazemul articulat este legătura ideală ce imobilizează un punct al solidului rigid. Articulaţia permite solidului doar posibilitatea de a se roti în jurul punctului fixat deci îi suprimă acestuia două grade de libertate (translaţiile pe două direcţii ortogonale). Articulaţia se poate realiza prin suspendarea unui punct al solidului fie cu ajutorul a două fire ideale (figura 8.6.a), fie prin intermediul a doi penduli (figura 8.6.b). Schematizarea articulaţiei se face fie sub forma unui triunghi legat de mediul de rezemare (figura 8.6.c) fie prin doi penduli dispuşi ca în figura 8.6.d. a) b) c) d) Fig Realizarea şi schematizarea articulaţiei Prin aplicarea axiomei legăturilor articulaţia poate fi înlocuită cu o reacţiune ce va avea următoarele caracteristici (figura 8.7): mărimea necunoscută (se determină din condiţiile de echilibru ale solidului rigid); direcţia necunoscută(se determină din condiţiile de echilibru ale solidului rigid); sensul nedeterminat, dar nu o necunoscută independentă (fiind o legătură bilateră, se alege iniţial un sens oarecare, semnul necunoscutei validând sau nu sensul ales); Mecanica I 9

10 punctul de aplicaţie punctul în care se aplică articulaţia. α a) b) Fig Reacţiunea introdusă de articulaţie c) În calcul se preferă să se lucreze cu necunoscute de acelaşi fel (dacă se poate cu necunoscute de tip mărime de forţă). De aceea se descompune reacţiunea în două componente cu mărimile necunoscute dar cu direcţiile cunoscute (de regulă orizontală, notată respectiv verticală, notată ). Articulaţia suprimă solidului rigid două grade de libertate şi introduce în calcul două necunoscute scalare (mărimile a două forţe de direcţii cunoscute). În spaţiu se disting mai multe tipuri de articulaţii: articulaţia sferică imobilizează un punct al solidului şi suprimă trei grade de libertate; articulaţia cilindrică cu direcţie fixă (lagăr) imobilizează o dreaptă ce trece prin solid şi suprimă patru grade de libertate; articulaţia cilindrică cu axă variabilă (articulaţie cilindrică) suprimă solidului două grade de libertate. Reazemul încastrat (încastrarea) Prin definiţie încastrarea este legătura ideală ce suprimă solidului rigid toate gradele de libertate (îl imobilizează). Încastrarea se realizează prin imobilizarea mai multor puncte ale solidului, prin introducerea acestuia în mediul de rezemare, prin sudarea (lipirea) de acesta sau prin introducerea a trei penduli (figura 8.8). Mecanica I 10

11 Încastrarea nu poate fi realizată ca o legătură punctuală, fiind nevoie de o linie de încastrare (în plan) sau de o suprafaţă de încastrare (în spaţiu). Pentru că încastrarea este o legătură ideală (deci şi punctuală) se admite un punct teoretic de încastrare (de obicei centrul de greutate al liniei sau curbei de încastrare). punct teoretic de încastrare a) punct teoretic de încastrare b) c) punct teoretic de încastrare Fig Realizarea şi schematizarea încastrării Prin aplicarea axiomei legăturilor încastrarea se înlocuieşte cu un sistem de forţe de legătură necunoscute în fiecare punct de contact între solid şi mediul exterior. Acest sistem de forţe se poate reduce în punctul teoretic de încastrare rezultând: - o reacţiune forţă având mărimea şi direcţia necunoscute, sensul nedeterminat şi punctul de aplicaţie în punctul teoretic de încastrare; - o reacţiune moment cu mărimea necunoscută şi sens nedeterminat. Deaorece este mai simplu de lucrat cu necunoscute de acelaşi fel, reacţiunea forţă se va descompune pe două direcţii convenabile (de regulă orizontală şi verticală), astfel încât necunoscutele corespunzătoare vor fi de tip mărime de forţă (figura 8.9). punct teoretic de încastrare α Fig Reacţiunile introduse de încastrare O încastrare suprimă solidului trei grade de libertate şi introduce în calcul trei necunoscute scalare (două necunoscute mărime de forţă şi o necunoscută mărime de moment). În spaţiu, o încastrare suprimă solidului şase grade de libertate. Mecanica I 11

12 8.4. Solid rigid static determinat Fie un solid rigid liber. Acesta va avea un număr (notat N GL ) de grade de libertate (trei grade de libertate în plan şi şase grade de libertate în spaţiu). Rezultă că pentru un solid rigid se pot scrie un număr de ecuaţii de echilibru (notat cu E) egal cu numărul gradelor de libertate (trei ecuaţii de echilibru în plan şi şase ecuaţii de echilibru în spaţiu). Dacă se introduc legături (echivalente cu N l legături simple) acestea vor introduce în calcul N necunoscute scalare (N=N l ). Se disting următoarele situaţii: 1) Legăturile simple nu sunt suficiente pentru ca solidul să fie imobilizat ( ). În această situaţie solidul păstrează grade de libertate şi se numeşte mecanism; 2) Este introdus numărul minim de legături simple, dispuse astfel încât solidul să fie imobilizat ( ). În această situaţie solidul se numeşte corp static determinat (deoarece din punct de vedere matematic problema este una determinată numărul de ecuaţii de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor introduse de legături); 3) Este introdus numărul minim de legături simple pentru a imobiliza solidul ( ) dar acesta nu este imobilizat, păstrând posibilităţi de mişcare în imediata vecinătate a poziţiei de echilibru. Această situaţie se numeşte formă critică şi este de evitat. Un solid aflat în situaţia de formă critică pastrează posibilităti limitate de mişcare (deci putem spune că are comportare de mecanism), îndeplineşte o condiţie a corpului static determinat ( ) dar când problema trebuie rezolvată se constată că este o problemă nedeterminată; 4) Este introdus un număr de legături mai mare decât numărul minim ( ) şi solidul este imobilizat. Problema este una nedeterminată din punct de vedere matematic iar solidul se numeşte corp static nedeterminat. În continuare se va aborda situaţia corpului static determinat în problema plană. Un corp static determinat trebuie să îndeplinească două condiţii: a) Condiţia cantitativă: numărul de ecuaţii de echilibru independente trebuie să fie egal cu numărul de necunoscute introduse de legături. sau Mecanica I 12

13 b) Condiţia calitativă: corpul să fie imobilizat. Deoarece în plan numărul ecuaţiilor de echilibru independente scrise pentru un corp este trei se vor face scheme de imobilizare ale unui corp, scheme în care legăturile introduse sunt echivalente cu introducerea a trei legături simple. 1) Un corp imobilizat cu ajutorul a trei reazeme simple (figura 8.10.a). posibilitate de mişcare posibilitate de mişcare a) b) c) forme critice Fig Corp cu trei reazeme simple Un corp cu trei reazeme simple este static determinat dacă direcţiile reazemelor simple nu sunt toate trei paralele (posibilitate de translaţie pe direcţie perpendiculară pe direcţia reazemelor figura 8.10.b) sau dacă direcţiile celor trei reazeme simple nu sunt concurente în acelaşi punct (posibilitate de rotaţie în jurul punctului de concurenţă figura 8.10.c). 2) Un corp imobilizat cu ajutorul unei articulaţii şi a unui reazem simplu (figura 8.11.a). a) posibilitate de mişcare (formă critică) b) Fig Corp cu o articulaţie şi un reazem simplu Mecanica I 13

14 Un corp cu o articulaţie şi un reazem simplu este static determinat dacă direcţia reazemului simplu nu trece prin articulaţie (posibilitate de rotaţie în jurul punctului în care se află articulaţia figura 8.11.b). 3) Un corp imobilizat cu ajutorul unei încastrări (figura 8.12). Fig Corp cu încastrare Un corp încastrat este întotdeauna static determinat. 1. Câte grade de libertate suprimă corpului un reazem simplu? a) 1; b) 2; c) 3. Test de autoevaluare 2 2. Enunţul,,Încastrarea poate fi realizată ca o legătură punctuală este: a) adevărat; b) fals. 3. Definiţi corpul static determinat. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului Încărcări Acţiunile asupra corpurilor se modelează prin sisteme de forţe denumite încărcări sau forţe active (date). Încărcările pot fi concentrate (acţiunile sunt concentrate pe o zonă suficient de redusă pentru a putea fi considerată punctuală) sau distribuite (pe lungime în problema plană sau pe suprafaţă în problema spaţială). Din punct de vedere al tipului încărcării, se disting încărcări de tip forţă sau încărcări de tip moment. Mecanica I 14

15 Se vor prezenta câteva categorii de încărcări: Forţa concentrată (figura 8.13.a) Este forţa ce acţionează într-un punct al unui corp producând asupra acestuia atât efect de forţă cât şi efect de moment. F M a) b) Fig Încărcări concentrate Momentul concentrat (figura 8.13.b) Momentul concentrat este o încărcare echivalentă acţiunii unui sistem de forţe ce se reduce la un cuplu de forţe. Momentul concentrat se reprezintă într-un punct al corpului. Cum în Mecanică toate corpurile sunt rigide, momentul concentrat este un vector liber, deci nu interesează punctul său de aplicaţie (interesează doar faptul că asupra corpului acţionează acest moment concentrat). Momentul concentrat produce asupra corpului pe care acţionează doar efect de moment (nu produce efect de forţă). Pentru încărcările distribuite se va prezenta modul de abordare a trei tipuri de încărcări întâlnite mai des, cu precizarea că legile de variaţie ale acestora sunt practic infinite. Acestea sunt încărcări distribuite pe lungime, fiind sisteme de forţe paralele: Forţa distribuită uniform (figura 8.14) Forţa distribuită uniform are aceeaşi intensitate p pe toată lungimea de distribuţie l. Direcţia şi sensul se indică prin direcţia şi sensul unor săgeţi ce reprezintă forţele care alcătuiesc această încărcare. Dacă sensul nu este indicat în mod explicit, sensul încărcării este de la încărcare la elementul pe care acţionează. Forţa uniform distribuită este echivalentă cu acţiunea unei singure forţe având mărimea, direcţia şi sensul identice cu cele ale forţei distribuite şi punctul de aplicaţie la jumătatea lungimii de distribuţie. Mecanica I 15

16 l p p l p l pl pl pl l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 Fig Forţa concentrată echivalentă unei forţe distribuite uniform Forţa distribuită liniar Există două situaţii de forţă distribuită liniar: - forţa distribuită triunghiular distribuţia începe de la intensitatea zero şi variază liniar până la intensitatea maximă p a forţei (figura 8.15); - forţa distribuită trapezoidal distribuţia începe de la intensitatea p 1 a forţei şi variază liniar până la intensitatea p 2 a forţei (figura 8.16). Forţa distribuită triunghiular este echivalentă cu acţiunea unei singure forţe având mărimea, direcţia şi sensul identice cu cele ale forţei distribuite şi punctul de aplicaţie la o treime din lungimea de distribuţie măsurată de la baza triunghiului ce reprezintă distribuţia. În figura 8.15 se arată doar forţa echivalentă corespunzătoare unei forţe distribuite cu direcţia verticală ce acţionează pe o lungime orizontală. Celelalte situaţii se tratează analog cu cele de la forţa distribuită uniform (figura 8.14). p l 2l/3 l/3 Fig Forţa concentrată echivalentă unei forţe distribuite triunghiular Forţa distribuită trapezoidal se consideră ca sumă a două forţe distribuite triunghiular (figura 8.16) Mecanica I 16

17 p 2 p 1 l l/3 l/3 l/3 Fig Forţele concentrate echivalente unei forţe distribuite trapezoidal Test de autoevaluare 3 1. Definiţi noţiunea de încărcare. 2. Enunţul momentul concentrat este un vector liber, deci nu interesează punctul său de aplicaţie este corect pentru: a) corpuri deformabile; b) corpuri rigide; c) corpuri deformabile şi corpuri rigide. 3. Enunţul Forţa uniform distribuită este echivalentă cu acţiunea unei singure forţe având mărimea, direcţia şi sensul identice cu cele ale forţei distribuite şi punctul de aplicaţie la jumătatea lungimii de distribuţie este: a) adevărat; b) fals. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag ; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga, A. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. Partea I, Editura Conspress, Bucureşti, 2003, pag ; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag Mecanica I 17

18 În acest modul s-a tratat problema echilibrului solidului rigid liber şi a solidului rigid cu legături ideale. Pentru solidul rigid liber s-au prezentat combinaţiile de ecuaţii ce rezolvă această problemă. Rezumat modul S-au definit, ca mod de realizare şi reprezentare, legăturile ideale ale solidului rigid în plan şi s-au introdus noţiunile de mecanism, corp static determinat, corp static nedeterminat şi formă critică. Pentru un corp static determinat s-au prezentat combinaţiile de legături ideale posibile (pentru problema plană). Finalul cursului a fost ocupat cu definirea încărcărilor şi cu expunerea modului de lucru cu unele încărcări mai des întâlnite. 1. a, b, c; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 1 3. Consultare aspecte teoretice pag a; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 2 3. Consultare aspecte teoretice pag Consultare aspecte teoretice pag. 14; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 3 3. b. Mecanica I 18

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1 CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide........... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 9.1. Generalităţi. Legături intermediare...2

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

9. Statica solidului rigid...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

9. Statica solidului rigid...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 9 STATICA SOLIDULUI RIGID CUPRINS 9. Statica solidului rigid...1 Curins...1 Introducere...1 9.1. Asecte teoretice...2 9.2. Alicaţii rezolvate...3 9. Statica solidului rigid În acest seminar se

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1

CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1 CURS 7 STATICA UNCTULUI MATERIAL CURINS 7. Statica punctului material.......... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 7.1. Generalităţi...2 7.2. Echilibrul punctului material liber...3

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig.

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

2.1.1 Grindă dreaptă simplu rezemată încărcată cu o sarcină concentrată

2.1.1 Grindă dreaptă simplu rezemată încărcată cu o sarcină concentrată Seminar. Calculul forțelor de legătură (reacțiunilor) la bare drepte simplu rezemate. Introducere Calculul forțelor de legătură reprezintă primul pas (obligatoriu), din algoritmul de abordare al oricărei

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE

MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE 1. Obiectul mecanicii corpului deformabil În mecanica generală corpul solid - este considerat rigid nedeformabil. Această ipoteză este adecvată şi suficientă

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei I. Forţa I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei Interacţionăm cu lumea în care trăim o lume în care toate corpurile acţionează cu forţe unele asupra altora! Întrebările indicate prin: * 1 punct

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita 1. Generalităţi Există mai multe metode pentru a determina

Διαβάστε περισσότερα

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ 1.1 Noţiuni fundamentale Mecanica este una dintre ştiinţele fundamentale ale naturii, având ca

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA 200 .Momentul unei forţe în raport cu un punct şi în raport cu o axă. Cuplu de forţe Momentul unei forţe F în raport cu un punct O se defineşte ca fiind produsul

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor.

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor. Dinamica 1 Dinamica Masa Proprietatea corpului de a-si pastra starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma cand asupra lui nu actioneaza alte corpuri se numeste inertie Masura inertiei este masa

Διαβάστε περισσότερα

SOLICITAREA DE TRACŢIUNE COMPRESIUNE

SOLICITAREA DE TRACŢIUNE COMPRESIUNE CPITOLUL 4 SOLICITRE DE TRCŢIUE COMPRESIUE 4.1. Forţe axiale Dacă asupra unei bare drepte se aplică forţe dirijate în lungul axei longitudinale bara este solicitată la tracţiune (Fig.4.1.a) sau la compresiune

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI.

FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI. 2.1.Metoda secţiunilor CAPITOLUL 2 FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI. În orice corp solid există forţe interioare, de structură, care asigură păstrarea formei şi dimensiunilor corpului.

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE CU AJUTORUL UNUI PENDUL FIZIC

DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE CU AJUTORUL UNUI PENDUL FIZIC DETERMNAREA ACCELERAŢE GRAVTAŢONALE CU AJUTORUL UNU PENDUL FZC 1. Scopul lucrării În lucrare se studiază mişcarea oscilatorie a unui corp, montat astfel încât să constituie un pendul fizic; se determină

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1. . (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

IV. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE

IV. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE IV. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE 4.1 Consideraţii generale În numeroase probleme de echilibru corpurile rigide interacţionează mecanic, formând sisteme de corpuri rigide între

Διαβάστε περισσότερα