Determinantes. 1. Introdución. 2. Determinantes de orde dúas. 1. Introdución 2. Determinantes de orde dúas. 3.3 Determinantes de orde tres

Transcript

1 Determnntes. Introducón. Determnntes de orde dús. Determnntes de orde tres. Menor complementro dun elemento. dxunto dun elemento. Determnntes de orde tres. Propeddes dos determnntes de orde tres. Rngo dun mtrz. Cálculo do rngo polo método de Guss. Cálculo do rngo por determnntes 6. Mtrz nvers por determnntes 6. Mtrz dxunt 6. Propeddes d mtrz trspost d dxunt 6. Cálculo d nvers. Introducón Pr resolver problems relcondos cos mtrces e precso clculr mtrces nverss. Nest undde estudremos mportnc dos determnntes, número socdo un mtrz cdrd, que nos ndcrá exstenc ou non d mtrz nvers. Tmén estudremos o rngo dun mtrz, sto é, o número de ls ou columns lnelmente ndependentes.. Determnntes de orde dús cd mtrz cdrd de orde dús cmdo determnnte de orde dús, d orm segunte: sócselle un número rel, O determnnte dun mtrz cdrd de orde dús é gul o produto dos elementos d dgonl prncpl, menos o produto dos elementos d dgonl secundr. o determnnte d mtrz smbolzrse por det() Not: Obsérvse que o número de sumndos dun determnnte de orde dús é dous, concde co vlor de!

2 Clcul o determnnte d mtrz det() ( ) 8 +. Determnntes de orde tres. Menor complementro dun elemento Dd un mtrz cdrd de orde tres, cámse menor complementro do elemento j, smbolzdo por M j, o determnnte d mtrz cdrd de orde dús, que result de suprmr en l e column j, ás que pertence o elemento j. Dd mtrz serán: os menores dos elementos e, M e M, M prmer column n mtrz. M column n mtrz., determnnte que se conseguu o suprmr segund l e, determnnte que se conseguu o suprmr tercer l e prmer Dd mtrz, clcul os menores e os dxuntos de e. M ( ) ( ) M ( ) ( ) 6 +

3 . dxunto dun elemento Cámse dxunto do elemento j, e represéntse por j, o menor complementro de j preceddo do sgno + ou, segundo que sum dos subíndces + j sex pr ou mpr, respectvmente. Pódese expresr d segunte orm: j ( ) +j M j Por exemplo, os dxuntos e dos elementos e serán: ( ) + M ( ) + ( ) + M ( ) + Dd mtrz, e clculr o vlor dos dxuntos de e ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ). Determnntes de orde tres cd mtrz cdrd de orde tres socáselle un número, cmdo determnnte de orde tres, d segunte orm: + + O determnnte dun mtrz cdrd de orde tres é gul á sum dos elementos dun l ou column multplcdos polos dxuntos correspondentes. N órmul nteror, o determnnte expresouse como produto d prmer l polos seus dxuntos; pódese comprobr que o vlor do determnnte é ndependente d l ou column que se elx pr o seu cálculo. S se oper sobre dencón nteror, prece expresón desenvolvd do determnnte de orde tres:

4 + + + ( ) ( ) + ( ) + + Ordénnse s sums e derenzs: + + Not: Os ses produtos nterores concden co número! 6 e obtéñense con snxelez mednte cmd Regr de Srrus: Produtos con sgno + Produtos con sgno Os produtos con sgno (+) órmnos os elementos d dgonl prncpl e os outros dous os prlelos el polos dos vértces opostos. Os produtos con sgno ( ) órmnos os elementos d dgonl secundr e os outros dous os prlelos el polos dos vértces opostos. Clculr o determnnte d mtrz mednte o desenvolvemento 6 polos elementos dun lñ e plcndo Regr de Srrus. ) Desenvólvese pol segund l: 6 ( ) ( ) ( ) + (6 6) + ( ) ( ) + 9.

5 b) Pol Regr de Srrus: Produtos con sgno más: Produtos con sgno menos: Propeddes dos determnntes de orde tres Neste prtdo desenvólvense lguns propeddes pr os determnntes de orde tres, que son válds pr os determnntes de clquer orde. Dts propeddes serven pr cltr o cálculo de determnntes.. O vlor do determnnte dun mtrz cdrd é gul o do seu trspost: det() det( t ) Sex ( ) clcul o seu determnnte e o d sú trspost. t Est propedde permte cer extensv s propeddes ds ls ás columns.. Se nun mtrz cdrd se permutn entre s dús ls, o seu determnnte cmb de sgno. Sex mtrz ( ) permut l prmer co segund e clcul o determnnte. e

6 . Se un mtrz cdrd ten dús ls gus, o determnnte socdo é cero. Pódese rzor, se se cmbsen entre s s dús ls gus, resultrí o mesmo determnnte e, pol propedde nteror, o vlor do determnnte serí un número que debe concdr co seu oposto e este é o cero. Sex mtrz ( ) clcul o seu determnnte.. Se un mtrz ten nulos os elementos dun l ou column o seu determnnte é cero. 7 Dd mtrz ( )clculemos o seu determnnte Se os elementos dun l ou column multplícnse por un número, o determnnte qued multplcdo polo devndto número. k kd kg b e c k d g b e c guldde compróbse o desenvolver os dous membros d guldde. 6. Se un mtrz ten dús ls proporcons, o determnnte socdo é cero. b c b c d e d b b e c c plcáronse s propeddes e. 6

7 7. Se todos os elementos dun l dun mtrz poden descompoñerse en sum de dous sumndos, o seu determnnte pode descompoñerse n sum de dous determnntes do modo segunte: b b c c d e g b c d e g + b c d e g guldde compróbse o desenvolver os dous membros d guldde. 8. Se un l dun mtrz é sum doutrs dús multplcds por números dstntos de cero, o determnnte socdo é cero. Tendo en cont s propeddes 7, e. d g d g e e d e d e + g g d g e 9. Se un l dun mtrz súmselle outr l multplcd por clquer número dstnto de cero, o determnnte d mtrz resultnte non vrí. Isto é: d g b e c d m g b e mb c mc plcr o segundo membro s propeddes 8 e 6. Est propedde plcrse pr nulr todos os elementos dun l menos un, e deste xeto cltr o cálculo do determnnte mednte o desenvolvemento polos elementos des l.. O determnnte do produto de dous mtrces cdrds é gul o produto dos determnntes dos mtrces ctores. det( B) det() det(b) Sexn s mtrces ( ) e B ( ) comprob propedde nteror. B B 7 8 7

8 . Rngo dun mtrz Nun sstem de ecucóns lnes con solucón, os termos ndependentes obtéñense mednte combncón lnel dos coecentes ds ncógnts; por exemplo, o sstem: x y 9 x 7y pódese escrbr en orm vectorl sí: 9 x + y 7 sú solucón x e y permte obter os termos ndependentes como combncón lnel dos coecentes ds ncógnts. Se se orm mtrz dos coecentes do sstem M e sú mpld cos 7 9 termos ndependentes, dse que column dos termos 7 ndependentes é combncón lnel ds columns que ormn os coecentes. Neste prtdo proundrse n dependenc e ndependenc lnel dos vectores ls e columns que ormn s mtrces; conceptos necesros pr determnr o rngo ds mtrces, que á sú vez será de undmentl pr o estudo dos sstems lnes que é o obxectvo undmentl do Álxebr Lnel. Vectores l e vectores column dun mtrz Un l (column) L dun mtrz é combncón lnel ou lnelmente dependente ds sús prlels L, L,..., L n, se exsten α, α,..., α n números res, cos que se obtén guldde: L α L + α L α n L n s ls (columns) non dependentes dnse lnelmente ndependentes. Dd mtrz Estud dependenc ou ndependenc ds Estudo ds sús ls: dse que e son lnelmente dependentes. e son lnelmente ndependentes. Estudo ds sús columns: tercer column é sum é un combncón de, c c + c lnelmnete depende. curt column pódese comprobr que é un combncón lnel d e column, c αc + βc lnelmnte dependente. Polo tnto o número de ls e columns lnelmente ndependentes d mtrz No concden; exemplo é nteror dous. o número de ls e 8

9 Teorem: En tod mtrz o número de ls e de columns lnelmente ndependentes concde. Estse en condcóns de denr o rngo dun mtrz, como o número ds sús ls ou ds sús columns lnelmente ndependentes. Se mtrz é de orde n e o seu rngo é, escríbese rngo() determncón do rngo dun mtrz é complcdo se se prtr d dencón de dependenc; por este motvo estudrnse dous métodos que cltn o seu cálculo e que combndos resultn summente ecces.. Cálculo do rngo polo método de Guss Consste en plcr á mtrz un sere de trnsormcóns elements, que dexn nvrnte o rngo, t consegur un mtrz reducd ou grdud n cl o rngo se determn de nmedto. Trnsormcóns que dexn nvrnte o rngo: Intercmbr s poscóns ds ls entre s. Multplcr un l por un número dstnto de cero. Sumr un l outr multplcd por un número dstnto de cero. O rngo dun mtrz polo método de Guss é o número de ls d sú mtrz reducd ou grdud non nuls. 7 Clcul o rngo d segunte mtrz ( 6 7 ( 6 7) 7 7) ( ) + 7 ( 6 ) O rngo d mtrz é dous rn(). Cálculo do rngo por determnntes Pr denr e determnr o rngo por determnntes é necesro dr lgúns conceptos novos. Menores dun mtrz Cámse menor de orde d mtrz de orde m x n o determnnte dun mtrz cdrd de orde ormd polos elementos de ls e columns d mtrz. Os menores de orde órmnse o suprmr de tods s orms posbles m ls e n columns n mtrz. Rngo dun mtrz por determnntes é orde do mor menor non nulo. 9

10 Dd mtrz lgúns dos seus menores son: De orde dús:, 7,,,..., 8 Os menores de orden serán:,, Todos nulos. O rngo dest mtrz será dous rn() 6. Mtrz nvers por determnntes Os determnntes serán un nov errment pr clculr mtrz nvers, como se verá contnucón. 6. Mtrz dxunt Dd un mtrz cdrd cámse mtrz dxunt de e represéntse por dx(), á mtrz que result de substtuír cd elemento j d mtrz polo seu dxunto correspondente j. Dd mtrz clculr sú mtrz dxunt. Clcúlnse todos os dxuntos e temos en cont os sgnos: + 6, 9, + 8, +, +,, + Polo tnto, mtrz dxunt de será: dx() 6 8 9

11 6. Propeddes d mtrz trspost d dxunt O produto dun mtrz pol trspost d sú dxunt é un mtrz esclr n que os elementos d dgonl prncpl concden co vlor do determnnte de. É dcr, no cso dun mtrz de orde tres: (dx()) t (dx()) t demostrcón dest propedde se prtr d dencón ds mtrces dxunt e trspost e s propeddes dos determnntes. 6. Cálculo d nvers Tendo en cont os resultdos obtdos prtr d propedde d mtrz trspost terse: (dx()) t I No cso de, e uncmente nest stucón, pódense dvdr os dos membros por e qued: dx t )) ( ( I Por últmo, tendo en cont dencón de mtrz nvers I, dentcndo s dús gulddes tense mtrz nvers por determnntes, terse: dx t )) ( ( Comprobr que se cumpre propedde nteror pr s mtrces do exemplo nteror. (dx()) t t

12 No desenvolvemento do cálculo d mtrz nvers obtvéronse os seguntes resultdos: Uncmente teñen nvers quels mtrces cuxo determnnte é dstnto de cero, é dcr, s mtrces regulres. nvers dun mtrz regulr é gul á trspost d sú dxunt, dvdd polo determnnte de. Comprobr se mtrz ten nvers e, en cso rmtvo, clcull. º clculmos o determnnte:. Como det(), mtrz ten nvers. º Clculmos mtrz dxunt: dx() º Clculmos trspost d dxunt: (dx()) t º dvdmos mtrz polo determnnte ( dx( )) t Propeddes d mtrz nvers ) O produto de dús mtrces nvertbles é nvertble e sú nvers é gul o produto d nvers do segundo ctor pol nvers do prmero ctor. ( B) B b) nvers d trspost é gul á trspost d nvers. ( t ) ( ) t