Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli
|
|
- Δημόκριτος Καλύβας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Sistem Rexee sistema linearnih jednaqina a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b =. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m je svaka ureena n-torka brojeva (λ 1, λ 2, λ 3,..., λ n ) takva da kada se svako pojav ivae promen ive x i zameni brojem λ i, jednaqine postaju jednaqine koje su taqne tj. taqne su jednakosti a 11 λ 1 + a 12 λ 2 + a 13 λ a 1n λ n = b 1 a 21 λ 1 + a 22 λ 2 + a 23 λ a 2n λ n = b 2 a 31 λ 1 + a 32 λ 2 + a 33 λ a 3n λ n = b =. a m1 λ 1 + a m2 λ 2 + a m3 λ a mn λ n = b m. Za dva sistema kaemo da su ekvivalentna ukoliko su im skupovi rexea isti. Gausov algoritam Ideja Gausovog algoritma za rexavae sistema linearnih jednaqina je da se u koracima pribliava rexeu tako xto se sistem smauje za po jednu jednaqinu i jednu nepoznatu. Takav pristup rexavau sistema omoguava sledee tvree. Ako se jedan sistem dobija tako xto se u drugom: -zamene mesta dvema jednaqinama, -jednoj jednaqini se doda druga pomnoena nekim brojem, -jednaqina se pomnoi brojem razliqitim od nule, onda su takvi sistemi ekvivalentni. Za pomenute operacije na jednaqinama sistema kaemo da su elementarne transformacije sistema. Konkretan opis Gausovog algoritma bi bio sledei: U svakom koraku u bilo kojoj jednaqini koja nema markirane promen ive markiramo bilo koju promen ivu 1, a zatim elementarnim operacijama eliminixemo upravo markiranu promen ivu iz jednaqina koje nemaju nijednu markiranu promen ivu. Postupak nastav amo sve dok se ne desi jedna od dve stvari: -javila se jednakost u kojoj se (efektivno) ne jav a nijedna nepoznata i sama jednakost je netaqna, -svaka jednaqina ima markiranu promen ivu ili nema promen ivu uopxte. Kada zavrximo proceduru markiraa i eliminisaa, onda da e postupamo ovako: 1. Ako se pojavila jednakost koja ne sadri nepoznate i netaqna je, onda sistem nema rexea. 2. Ako se javila jednakost koja ne sadri nepoznate i taqna je, ona ne utiqe na da e rexavae sistema, zanemarujemo je i nastav amo sa rexavaem sistema. 3. Ako se nije pojavila jednakost koja ne sadri nepoznate i netaqna je, prelazimo na izraqunavae 1 Ne smemo markirati dve promen ive u istoj jednaqini. 1
2 vrednosti nepoznatih. Tu razlikujemo dva sluqaja: 3.a Ako ima promen ivih koje nisu markirane ni u jednoj jednaqini, za ih kaemo da su slobodne 2 i ostale promen ive izraavamo preko ih. Markirane promen ive izraavamo redom obrnutim od redosleda markiraa, tako da prvo izraavamo promen ivu koju smo posledu markirali a posledu izraavamo promen ivu koju smo prvu markirali. Uobiqajen je i naqin da slobodnim promen ivim dodelimo slobodne parametre α, β, γ... pa su onda sve promen ive izraene preko tih parametara. 3.b Ako nema promen ive koja nije markirana ni u jednoj jednaqini, onda izraqunavamo vrednosti nepoznatih i to redom obrnutim od redosleda markiraa, tako da prvo raqunamo vrednost nepoznate koju smo posledu markirali a posledu raqunamo vrednost nepoznate koju smo prvu markirali. Primer 1: Rexiti sistem 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 2x + 2y z + t = 2 Gausovim algoritmom. Rexee: U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu. 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 2x + 2y z + t = 2 Prvoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Qetvrtoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 1. Dobijamo sistem: 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 4x 3y + z = 1. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 4x 3y + z = 1 Prvoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Dobijamo sistem: x y = 2 5x + 2y = 3 4x 3y + z = 1. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. 2 ihov broj je stepen slobode sistema. 2
3 x y = 2 5x + 2y = 3 4x 3y + z = 1 Treoj jednaqini dodajmo prvu pomnoenu brojem 5. Dobijamo sistem: x y = 2 + 7y = 7 4x 3y + z = 1. Treu jednaqinu pomnoimo brojem 1 7. To je jedina jednaqina koja nema markirane promen ive i ima (taqno jednu) nemarkiranu. Markirajmo tu prome ivu. x y = 2 + y = 1 4x 3y + z = 1 Poxto vixe nema jednaqina u kojima nijedna nepoznata nije markirana, stajemo sa procesom markiraa i eliminisaa i izraqunavamo vrednosti markiranih nepoznatih. Vrednost svake od nepoznatih raqunamo iz jednaqine u kojoj je markirana. Izraqunavae vrximo u obrnutom redu od markiraa. Poxto je promen iva y posleda markirana, enu vrednost prvu raqunamo. x y = 2 4x 3y + z = 1 Pretposleda markirana promen iva je x. ona markirana je prvo izrazimo x y = 2 x = y + 2, a zatim zamenimo y enom vrednoxu. x = 1 4x 3y + z = 1 y = 1 ena vrednost je ona koju sledeu raqunamo. Iz jednaqine u kojoj je y = 1 x = 1 Trea nepoznata od nazad koju smo markirali je z, pa je to trea promen iva qiju vrednost raqunamo. 4x 3y + z = 1 z = 1 + 4x + 3y z = 2 y = 1 x = 1 z = 2. Nepoznatu koju smo prvu markirali posledu raqunamo. t = 3 6x 5y + 2z 3
4 t = 0 Izraqunate su vrednosti svih nepoznatih: Skup rexea sistema je R = (1, 1, 2, 0)}. y = 1 x = 1 z = 2 t = 0. Gausovim algoritmom nazivamo i postupak koji se od opisanog razlikuje samo u tome xto umesto prve reqenice u opisu stoji:,,u svakom koraku u bilo kojoj jednaqini koja nema markirane promen ive markiramo bilo koju promen ivu, a zatim elementarnim operacijama eliminixemo upravo markiranu promen ivu iz svih jednaqina sem iz one u kojoj je markirana". Na prethodnom primeru, to bi izgledalo ovako: U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu. 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 2x + 2y z + t = 2 Prvoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Qetvrtoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 1. Dobijamo sistem: 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 4x 3y + z = 1. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 4x 3y + z = 1 Prvoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Drugoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Dobijamo sistem: x y = 2 2x y + t = 1 5x + 2y = 3 4x 3y + z = 1. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. x y = 2 2x y + t = 1 5x + 2y = 3 4x 3y + z = 1 4
5 Drugoj jednaqini dodajmo prvu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo prvu pomnoenu brojem 5. Qetvrtoj jednaqini dodajmo prvu pomnoenu brojem 4. Dobijamo sistem: x y = 2 3y + t = 3 + 7y = 7 7y + z = 9. Treu jednaqinu pomnoimo brojem 1 7. To je jedina jednaqina koja nema markirane promen ive i ima (taqno jednu) nemarkiranu. Markirajmo tu prome ivu. x y = 2 3y + t = 3 + y = 1 7y + z = 9 Prvoj jednaqini dodajmo treu. Drugoj dodajmo treu pomnoenu brojem 3. Qetvrtoj dodajmo treu pomnoenu brojem 7. Dobijamo sistem: x = 1 + t = 0 + y = 1 + z = 2. Ovim postupkom smo sistem sveli na qetiri jednaqine oblika a i x i = b i. U naxem sluqaju su svi keoficijenti a i jednaki jedinici, zato xto smo jednaqinu 7y = 7 mnoili brojem 1 7 u toku samog postupka, pa da eg raquna nema. Skup rexea sistema je R = (1, 1, 2, 0)}. Primer 2: Rexiti sistem 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 8x + 3y z + t = 3 Gausovim algoritmom. Rexee: U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu. 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 8x + 3y z + t = 3 Prvoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Qetvrtoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 1. Dobijamo sistem: 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 2x 2y + z = 6. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. 5
6 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 2x 2y + z = 6 Prvoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 3. Dobijamo sistem: 13x y = 12 2x 2y + z = 6. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. 13x y = 12 2x 2y + z = 6 Treoj jednaqini dodajmo prvu i sistem postaje: 0 = 0 2x 2y + z = 6. Trea jednaqina ne zavisi od promen ivih (jer se ne pojav uju u oj) i taqna je. Zato je brixemo iz sistema (jer ne nosi nikakva ograniqea za promen ive) i sistem postaje: 2x 2y + z = 6. Svaka jednaqina ima po jednu markiranu promen ivu i tu je postupak markiraa i eliminisaa promen ivih zavrxen. Ostala je jedna nemarkirana promen iva. Ona je slobodna. Sada je sistem:, α R 2x 2y + z = 6 tj. 2x 2y + z = 6, α R. Prvo raqunamo (tj. izraavamo preko slobodnih) vrednost poslede markirane nepoznate. 6
7 tj. y = 12 13x 2x 2y + z = 6 y = 12 13α 2x 2y + z = 6, α R, α R Zatim raqunamo vrednost prethodno markirane nepoznate. y = 12 13α z = 6 2x + 2y, α R y = 12 13α z = 30 28α, α R Na kraju raqunamo vrednost nepoznate koju smo prvu markirali. y = 12 13α t = 3 6x 5y + 2z z = 30 28α, α R y = 12 13α t = 3α 3 z = 30 28α, α R Konaqno je y = 12 13α t = 3α 3 z = 30 28α, α R pa je skup rexea sistema R = (α, 12 13α, 30 28α, 3α 3) α R}. Naravno, i u ovom sluqaju smo mogli koristiti izmeeni Gausov algoritam: U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu. 7
8 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 8x + 3y z + t = 3 Prvoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Qetvrtoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 1. Dobijamo sistem: 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 2x 2y + z = 6. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 2x 2y + z = 6 Prvoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Drugoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo qetvrtu pomnoenu brojem 3. Dobijamo sistem: 10x + y + t = 9 13x y = 12 2x 2y + z = 6. U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu koja ne sadri neku ranije markiranu nepoznatu. 10x + y + t = 9 13x y = 12 2x 2y + z = 6 Drugoj jednaqini dodajmo prvu pomnoenu brojem 1, treoj dodajmo prvu i qetvrtoj dodajmo prvu pomnoenu brojem 2 i sistem postaje: 3x + t = 3 0 = 0 28x + z = 30. Trea jednaqina postaje jednakost koja je taqna nezavisno od vrednosti promen ivih pa sistem postaje: 3x + t = 3 28x + z = 30. Svaka jednaqina u sebi ima markiranu promen ivu pa je postupak markiraa i eliminisaa promen ivih zarvxen. Promen iva koja nije markirana ni u jednoj jednaqini je slobodna., α R 8
9 3x + t = 3 28x + z = 30 tj. 3x + t = 3 28x + z = 30, α R. Izrazimo markirane promen ive iz jednaqina u kojima su markirane. 13x, α R. 3x + t = 3x 3 28x + z = 30 28x tj. 13α 3x + t = 3α 3 28x + z = 30 28α, α R. Naravno, opet dobijamo y = 12 13α t = 3α 3 z = 30 28α, α R pa je skup rexea sistema R = (α, 12 13α, 30 28α, 3α 3) α R}. Primer 3: Rexiti sistem 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 6x + 5y 2z + t = 3 Gausovim algoritmom. Rexee: U bilo kojoj jednaqini markirajmo bilo koju nepoznatu. 3x 5y + 2z 2t = 6 5x + 3y z + 2t = 0 6x + 5y 2z + t = 3 Prvoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Treoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 2. Qetvrtoj jednaqini dodajmo drugu pomnoenu brojem 1. Dobijamo sistem: 9
10 9x + 5y 2z = 0 7x 7y + 3z = 6 0 = 6. Posleda jednaqina je postala jednakost koja nije taqna, pa samim tim nije taqna ni za jedan izbor vrednosti promen ivih, a to da e znaqi da nema izbora vrednosti nepoznatih za koje je svaka jednakost taqna, tj. sistem nema rexea ili skup svih rexea je R =. 10
11 Rang matrice Elementi a 11, a 22, a 33,... qine glavnu dijagonalu matrice A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n..... a m1 a m2 a m3... a mn. Ako su svi elementi neke vrste (kolone) jednaki nuli, onda za u kaemo da je nula vrsta (kolona). Matrica A je stepenasta ako su ispueni sledei uslovi: 1. Ispod svake nula vrste je nula vrsta; 2. Ako neka vrsta nije nula vrsta i prvi element razliqit od nule u toj vrsti je u koloni k, onda su u sledeoj vrsti u prvih k kolona svi elementi jednaki nuli: Ako a i1 = a i2 =... a i(k 1) = 0 i a ik 0, onda a (i+1)1 = a (i+1)2 =... a (i+1)k = 0. Matrica A je jako stepenasta ako su ispueni sledei uslovi: 1. Ispod svake nula vrste je nula vrsta; 2. Ako je a ii = 0, onda su svi elementi i-te vrste jednaki nuli, tj. ako je neki element glavne dijagonale jednak nuli, onda su svi elementi egove vrste jednaki nuli. 3. Svi elementi ispod glavne dijagonale su jednaki nuli. Matrica A je dijagonalna ako su svi elementi van ene glavne dijagonale jednaki nuli, tj. ako je a ij = 0 kad god je i j. Napomena: Najqexe se pojmovi glavna dijagonala i dijagonalana matrica definixu samo za kvadratne matrice. Za potrebe raqunaa ranga, zgodno je te definicije proxiriti na matrice bilo kog formata, xto je ovde uqieno. Osobine: Dijagonalna matrica je jako stepenasta matrica. Jako stepenasta matrica je stepenasta matrica. Svaka matrica se elementarnim transformacijama moe dovesti do jako stepenaste matrice. Svaka matrica se elementarnim transformacijama na vrstama moe dovesti do stepenaste matrice. Primeri: Sledee matrice su jako stepenaste: [ ],, [ , , ],, 11
12 , , , , Sledee matrice su stepenaste i nisu jako stepenaste: [ [ ] ],, , Sledee matrice nisu stepenaste: , , Pri raqunau ranga matrice koristimo sledee qienice. I qienica: Rang matrice i oj transponovane su jednaki. II qienica: Rang matrice se ne mea ukoliko na vrstama i kolonama matrice vrximo neke od elementarnih transformacija: 1. zamene mesta dvema vrstama (kolonama), 2. mnoee vrste (kolone) brojem razliqitim od nule, 3. dodavae jedne vrste (kolone) pomnoene nekim brojem drugoj vrsti (koloni). III qienica: 1. Rang jako stepenaste matrice, matrice qiji transponat je jako stepenasta matrica (a time i dijagonalne matrice) je jednak broju elemenata glavne dijagonale koji su razliqiti od nule. To je istovremeno broj nenula vrsta. 2. Rang stepenaste matrice 3, matrice qiji transponat je stepenasta matrica je jednak broju nenula vrsta. 3 a time i jako stepenaste 12
13 Koristei elementarne transformacije, moemo od poqetne matrice napraviti jako stepenastu matricu. Tada je za raqunae ranga dovo no prebrojati elemente glavne dijagonale koji su razliqiti od nule. Takoe, koristei elementarne transformacije na vrstama, moemo od poqetne matrice napraviti stepenastu matricu. Tada je za raqunae ranga dovo no prebrojati nenula vrste matrice. Dakle, postupak raqunaa ranga matrice bi mogao da bude sledei: Markiramo bilo koji element razliqit od nule. Ako je to element a ij onda zamenimo mesta i-toj i prvoj vrsti i j-toj i prvoj koloni. Na taj naqin je prvi markiran element postao prvi element glavne dijagonale. Elementarnim transformacijama od elemenata ispod markiranog napravimo nule. Markiramo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti koja nema ve markiran element. Zamenimo vrstu u kojoj se on nalazi sa drugom vrstom i kolonu u kojoj se on nalazi sa drugom kolonom. markirani element postaje drugi element glavne dijagonale. markiranog napravimo nule. Na taj naqin drugi Elementarnim transformacijama od elemenata ispod Markiramo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti koja nema ve markiran element. Zamenimo vrstu u kojoj se on nalazi sa treom vrstom i kolonu u kojoj se on nalazi sa treom kolonom. markirani element postaje trei element glavne dijagonale. markiranog napravimo nule. Na taj naqin trei Elementarnim transformacijama od elemenata ispod Postupak nastav amo dok god postoje vrste u kojima nema markiranih elemenata i u ima elementi razliqiti od nule. Na kraju postupka je rang matrice jednak broju elemenata glavne dijagonale koji su razliqiti od nule. Primer 1: Izraqunajmo rang matrice Rexee: Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti i bilo kojoj koloni Zamenimo vrstu u kojoj se nalazi sa prvom vrstom i kolonu u kojoj se nalazi sa prvom kolonom. Recimo da prvo zamenimo kolone Zatim zamenimo vrstu u kojoj se nalazi sa prvom vrstom Sada pravimo nule ispod markiranog elementa. Prvu vrstu pomnoenu brojem 2 dodajmo drugoj, pomnoenu brojem 4 dodajmo treoj i pomnoenu brojem 3 dodajmo qetvrtoj. 13
14 Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti koja ne sadri ranije markiran element Zamenimo mesta qetvrtoj i drugoj koloni Sada pravimo nule ispod markiranog elementa. Drugu vrstu pomnoenu brojem 2 dodajmo treoj i pomnoenu brojem 3 dodajmo qetvrtoj Ponovo markirajmo bilo koji element bilo koje vrste koja nema ranije markirani element Poxto ispod poslede markiranog elementa nema elemenata razliqitih od nule i poxto nema vrsta koje nemaju markirani element i istovremeno imaju element razliqit od nule, ovim je posao markiraa zarvxen. Rang matrice je broj elemenata glavne dijagonale razliqitih od nule. rang = rang = 3 Napomena: Na kraju ovog postupka, broj elemenata glavne dijagonale koji su razliqiti od nule je jednak broju markiranih elemenata u matrici. Dakle, u opisu postupka je moglo da stoji,,rang matrice je broj markiranih elemenata u matrici" umesto,,rang matrice je broj elemenata glavne dijagonale koji su razliqiti od nule"! Kako se broj markiranih elemenata ne mea zamenom mesta vrstama i kolonama, ne moramo ih dovoditi na mesto glavne dijagonale, dok god drimo u glavi da je,,praviti nule ispod markiranog elementa" (u originalnom postupku) isto xto i,,praviti nule u presecima kolone markiranog elementa i onih vrsta koje nemaju markirani element". 14
15 Dakle, postupak raqunaa ranga matrice bi mogao da bude sledei: Markiramo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti koja nema ranije markiran element. Elementarnim transformacijama napravimo nule u koloni markiranog elementa ali samo na mestima koje pripadaju vrstama koje nemaju markirani element. Nastavimo postupak dok god postoje vrste u kojima nema markiranih elemenata i u ima elementi razliqiti od nule. Na kraju postupka, rang matrice je jednak broju markiranih elemenata. Prethodni primer bi izgledao ovako. Primer 1(na drugi naqin): Izraqunajmo rang matrice Rexee: Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti i koloni Elementarnim transformacijama napravimo nule u presecima kolone markiranog elementa i vrstama koje nemaju markirani element Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti koja ne sadri markirane elemente Elementarnim transformacijama napravimo nule u presecima kolone markiranog elementa i vrstama koje nemaju markirani element Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti koja ne sadri markirane elemente
16 Rang matrice je broj markiranih elemenata. rang = rang = 3 Napomena: Sve xto smo radili na vrstama, vai i za kolone. Evo ilustracije: Primer 1(na trei naqin): Izraqunajmo rang matrice Rexee: Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj vrsti i koloni Elementarnim transformacijama napravimo nule u presecima vrste markiranog elementa i kolonama koje nemaju markirani element Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj koloni koja ne sadri markirane elemente Elementarnim transformacijama napravimo nule u presecima vrste markiranog elementa i kolonama koje nemaju markirani element Markirajmo bilo koji element razliqit od nule u bilo kojoj koloni koja ne sadri markirane elemente. 16
17 Elementarnim transformacijama napravimo nule u presecima vrste markiranog elementa i kolonama koje nemaju markirani element Rang matrice je broj markiranih elemenata. rang = rang = 3 Napomena: Pri transformaciji martice dozvo eno je mexati elementarne operacije na vrstam i elementarne operacije na kolonama, raditi malo na vrstama, malo na kolonama. 17
18 Teorema Kroneker-Kapeli Primena teoreme Kronekera i Kapelija na sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x a 3n x n = b =. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m podrazumeva raqunae rangadveju matrica: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n rang matrice sistema A = a 31 a 32 a a 3n..... a m1 a m2 a m3... a mn i rang matrice sistema i slobodnih qlanova A B = a 11 a 12 a a 1n b 1 a 21 a 22 a a 2n b 2 a 31 a 32 a a 3n b a m1 a m2 a m3... a mn b m i pri raqunau rangova dozvo eno je qiniti elementarne transformacije i na vrstama i na kolonama. Napomena 1: Ukoliko se pri raqunu vrxe samo transformacije na vrstama, onda se dobija matrica koja odgovara sistemu koji bi se dobio da se na poqetni sistem primene taqno one transformacije na jednaqinama koje smo pri raqunu ranga matrice primenili na vrstama. Zato je poe no vrxiti samo elementarne transformacije na vrstama. Napomena 2: Sve elementarne operacije na vrstama koje izvrximo kad raqunamo rang matrice A mogu da poslue kao poqetni deo elementarnih operacija na vrstama koje qinimo da bismo izraqunali rang matrice A B. Napomena 3: Imajui u vidu prethodne dve napomene, radi uxtede, istovremeno raqunamo rang matrica A i a 11 a 12 a a 1n b 1 a 21 a 22 a a 2n b 2 A B tako xto transformixemo matricu A P = a 31 a 32 a a 3n b 3 strogo vodei raquna o sledee..... a m1 a m2 a m3... a mn b m dve stvari: -radimo samo sa vrstama (da bismo kasnije mogli da nastavimo Gausov algoritam) -dok god postoje elementi matrice A (levo od vertikalne crte; svi elementi osim elemenata poslede kolone) koje moemo markirati, ih markiramo. Tada je rang matrice A jednak broju markiranih elemenata levo od vertikalne crte, a rang matrice A B jednak broju svih markiranih elemenata matrice A P. Primer 1: Koristei Kroneker-Kapelijevu teoremu diskutovati broj rexea sistema 18
19 x + y pz + t = 0 x + y + 2z + pt = 1 2x + y + z + 2t = 0 x + y + z + t = 0 u zavisnosti od realnog parametra p. U sluqajevima kad sistem ima rexea, nai ih. 1 1 p 1 0 Rexee: Matrica A P za zadati sistem je p Elemente poslede kolone ne markiramo dok postoje elementi ostalih kolona koje moemo markirati. Elementi a 13 i a 24 zavise od vrednosti parametra p. Kako mi smemo da markiramo samo elemente koji nisu jednaki nuli, da bismo izbegli diskusiju za koje vrednosti parametra p su navedeni elementi razliqiti, a za koje su jednaki nuli, markiraemo elemente koji ne zavise od parametra p, dok god takvih elemenata razliqitih od nule ima (levo od vertikalne crte). Da bismo imali xto jednostavniji raqun, poe no je birati element iz onih kolona i vrsta u kojima se ne pojav uju elementi qija vrednost zavisi od vrednosti paramera p, kad god takvih elemenata ima (levo od vertikalne crte). U naxem sluqaju, to su elementi prve dve kolone i poslede dve vrste. Ako izaberemo element a 32 ili a 43 imaemo najmae raquna. Recimo da markiramo element a p p Elementarnim transformacijama na vrstama napravimo nule u koloni markiranog elementa. 1 0 p p Jedini element u qijoj vrsti i koloni nema elemenata qije vrednosti zavise od parametra p je a 41. Markirajmo ga. 1 0 p p Elementarnim transformacijama na vrstama napravimo nule u koloni markiranog elementa. 0 0 p p Jedini element (levo od vertikalne crte) qija vrednosti ne zavisi od parametra p je a 23. Markirajmo ga. 19
20 0 0 p p Drugu jednaqinu pomnoenu brojem p + 1 dodajmo prvoj (p + 1)(p 1) p p Ostala je jedna vrsta u kojoj nismo markirali ni jedan element. Prva tri elemnta te vrste su nule, tako da je jedini kandidat za markirae levo od crte (tj. koji pripada matrici A) element a 14. ega smemo da markiramo samo u onim sluqajevima kada je razliqit od nule. a 14 = 0 (p 1)(p + 1) = 0 (p = 1 ili p = 1) Zato razlikujemo tri sluqaja: p = 1, p = 1 i p 1, 1}. I sluqaj p = 1: Za ovu vrednost parametra p, matrica koju smo do sad transformisali postaje Samo prva vrsta matrice nema markirane elemente, a oni elementi koji odgovaraju matrici A (elementi levo od crte) su nule, pa za markirae jedino preostaje element a Rang matrice A je broj markiranih elemenata levo od crte, dakle rang(a) = 3, a rang matrice A P je broj markiranih elemenata u celoj matrici, dakle rang(a P ) = 4. Po Kroneker-Kapelijevoj teoremi, zato xto rangovi matrica nisu jednaki, sistem nema rexea. II sluqaj p = 1: Za ovu vrednost parametra p, matrica koju smo do sad transformisali postaje Svi elementi prve vrste su jednaki nuli, pa nemamo xta da markiramo. Rang matrice A je broj markiranih elemenata levo od crte, dakle rang(a) = 3, a rang matrice A P je broj markiranih elemenata u celoj matrici, dakle rang(a P ) = 3. Po Kroneker-Kapelijevoj teoremi, zato xto su rangovi matrica jednaki, sistem ima rexea. 20
21 Poxto je broj nepoznatih vei od ranga matrice A P, sistem ima beskonaqno mnogo rexea. Stepen slobode sistema je n rang(a P ) = 1. Reximo sistem. S obzirom da smo koristili jedino transformacije na vrstama, poqetni sistem je ekvivalentan onom kome je matrica Dakle, poqetni sistem je ekvivalentan sistemu 0 = 0 + z 2t = 1 2x + y +z +2t = 0 x t = 0. Promen iva t je slobodna. t = α, α R + z 2t = 1 2x + y +z +2t = 0 x t = 0 t = α z = 2α + 1 2x + y +z +2t = 0, α R x t = 0 t = α z = 2α + 1 x = α 2x + y +z +2t = 0, α R t = α z = 2α + 1 x = α y = 2α 1, α R R = ( α, 2α 1, 2α + 1, α) α R}. III sluqaj p 1, 1}: Element a 14 matrice 21
22 0 0 0 (p + 1)(p 1) p p nije nula pa smemo da ga markiramo (p + 1)(p 1) p p Rang matrice A je broj markiranih elemenata levo od crte, dakle rang(a) = 4 i rang matrice A P je broj markiranih elemenata u celoj matrici, dakle rang(a P ) = 4. Po Kroneker-Kapelijevoj teoremi, zato xto su rangovi matrica jednaki, sistem ima rexea. Poxto je broj nepoznatih jednak rangu matrice A P, sistem ima jedinstveno rexee. Reximo sistem. S obzirom da su koristili jedino transformacije na vrstama, poqetni sistem je ekvivalentan onom kome je matrica (p + 1)(p 1) p p Dakle, poqetni sistem je ekvivalentan sistemu (p + 1)(p 1)t = p + 1 +z +(p 1)t = 1 2x +y +z +2t = 0 x t = 0. Izraqunajmo vrednosti markiranih promen ivih (u redu obrnutom od reda markiraa). t = 1 p 1 +z +(p 1)t = 1 2x +y +z +2t = 0 x t = 0 t = 1 p 1 z = 0 2x +y +z +2t = 0 x t = 0 1 t = p 1 z = 0 x = 1 p 1 2x +y +z +2t = 0 22
23 R = t = 1 p 1 z = 0 x = 1 p 1 y = 0 ( 1 )} p 1, 0, 0, 1. p 1 23
Sistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru
Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016.
Matematiqka logika u raqunarstvu, Januar 3. februar 2016. 1. Na jeziku L = { }, gde je binarni relacijski simbol, posmatrajmo teoriju T koju qine sledee dve aksiome teorije skupova: x y (y x); i xy (x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK
SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 2.1 Pojam matrice..........................
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2B. (Donekle otesana graa) Miroslav Pavlovi )
Matematika 2B (Donekle otesana graa) Miroslav Pavlovi ) ) e-mail : miroslavpvlvc@gmail.com Sadraj 1 Matrice i determinante 3 1.1 Operacije sa matricama.................................... 3 1.2 Inverzna
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα