Sadržaj 4STARI VIJEK 4PRVO TISUĆLJEĆE 4PETNAESTO STOLJEĆE 4ŠESNAESTO STOLJEĆE 4SEDAMNAESTO STOLJEĆE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sadržaj 4STARI VIJEK 4PRVO TISUĆLJEĆE 4PETNAESTO STOLJEĆE 4ŠESNAESTO STOLJEĆE 4SEDAMNAESTO STOLJEĆE"

Transcript

1

2 velika otkrića 100 znanstvenika koji su promijenili svijet

3

4 velika otkrića 100 znanstvenika koji su promijenili svijet jon BalCHin

5 Sadržaj 4STARI VIJEK Anaksimandar Pitagora Hipokrat iz Kosa Demokrit iz Abdere Platon Aristotel Euklid Arhimed Hiparh PRVO TISUĆLJEĆE Zang Heng Ptolemej Galen iz Pergama Al-Hvarizmi PETNAESTO STOLJEĆE Johannes Gutenberg Leonardo da Vinci Nikola Kopernik Naslov izvornika: Jon Balchin QUANTUM LEAPS SCIENTISTS WHO CHANGED THE WORLD Arcturus Publishing Limited VELIKA OTKRIĆA 100 ZNANSTVENIKA KOJI SU PROMIJENILI SVIJET STANEK d.o.o., Varaždin, Kućan Marof, Marofska 45, Varaždin Tel.: +385 (042) Sva prava pridržana. Bez pisanog dopuštenja nakladnika nijedan dio ove knjige ne smije se ni na koji način umnožavati, fotokopirati, digitalizirati, i na bilo koji način reproducirati. ISBN Prevoditelj: Nebojša Buđanovac Lektura: Tanja Miličić - Cepernić Korektura: Diana Greblički - Miculinić Urednik: Josip Stanek Za nakladnika: Nadica Stanek Grafički urednik i priprema za tisak: Zoran Stanek 4ŠESNAESTO STOLJEĆE Andreas Vesalius William Gilbert Francis Bacon Galileo Galilei Johannes Kepler William Harvey Johann van Helmont René Descartes SEDAMNAESTO STOLJEĆE Blaise Pascal Robert Boyle Christiaan Huygens Anton van Leeuwenhoek Robert Hooke Tiskano u Hrvatskoj travanj CIP zapis je dostupan u računalnome klatalogu Nacionalne i sveučilišne knjižnice u Zagrebu pod brojem

6 4OSAMNAESTO STOLJEĆE Sir Isaac Newton Edmund Halley Thomas Newcomen Daniel Fahrenheit Benjamin Franklin Joseph Black Henry Cavendish Joseph Priestley James Watt Charles de Coulomb Joseph Montgolfier Karl Wilhelm Scheele Antoine Lavoisier Count Alessandro Volta Edward Jenner John Dalton André-Marie Ampère DEVETNAESTO STOLJEĆE Amedeo Avogadro Louis Joseph Gay-Lussac Charles Babbage Michael Faraday Charles Darwin James Joule Louis Pasteur Johann Mendel Jean-Joseph Lenoir Lord Kelvin James Maxwell Alfred Nobel Wilhelm Gottlieb Daimler Dmitrij Mendeljejev Wilhelm Conrad Röntgen Thomas Alva Edison Alexander Graham Bell Antoine-Henri Becquerel Paul Ehrlich DVADESETO STOLJEĆE Nikola Tesla Sir John Joseph Thomson Sigmund Freud Heinrich Rudolf Hertz Max Planck Leo Baekeland Thomas Hunt Morgan Marie Curie Ernest Rutherford Braća Wright Guglielmo Marconi Frederick Soddy Albert Einstein Alexander Fleming Robert Goddard Niels Bohr Erwin Schrödinger Henry Moseley Edwin Hubble Sir James Chadwick Frederick Banting Louis de Broglie Enrico Fermi Werner Heisenberg Linus Pauling Robert Oppenheimer Sir Frank Whittle Edward Teller William Shockley Alan Turing Jonas Salk Rosalind Franklin James Dewey Watson Stephen Hawking Tim Berners-Lee Znanstvenici A Z

7 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Predgovor Živjeti u današnje vrijeme znači biti suočen s dostignućima znanosti. Televizija, stroj s unutarnjim izgaranjem, zrakoplov i kompjutor, samo su neki su od proizvoda koje nam je dala znanost. Također, ti potrošački proizvodi samo su jedan vid dobrobiti koju znanost može donijeti čovječanstvu. Primjerice, polje medicine često je zanemareno u korist nekih glamuroznijih područja, poput astrofizike ili raketne tehnike. Donedavno, još u prošlom stoljeću, smrt od zaraznih bolesti bila je svakodnevna prijetnja. Velike boginje i paraliza ubile su milijune ljudi prije nego što je Edward Jenner došao do jednostavnog ali presudnog otkrića da su mljekarice koje su bile zaražene kravljim boginjama imune na velike boginje, a Jonas Salk zatim razvio cjepivo protiv paralize. Te bolesti nastavile su odnositi žrtve i u modernom svijetu, a krivac za to nije znanost, već opiranje bogatih država da blagodati znanosti podijele sa siromašnima. Znanost je proizvela i neke manje korisne proizvode: tenk, automatsku pušku i atomsku bombu. Bez obzira na moralnu upitnost, rezultati znanosti jasno su vidljivi, pa ona stoji nasuprot religiji, čarobnjaštvu i praznovjerju. Proizvodi znanosti vrlo su važni, ali možda je još važnija sama znanstvena metoda koja polazi od empirijskog opažanja i vodi do teorije, a zatim opet, uz nove empirijske dokaze, do promjene i razvoja prvobitne teorije. Mi još uvijek možemo molitvom prizivati kišu, ali sada ipak razumijemo fizikalne uzroke vremenskih promjena i donekle ih možemo predvidjeti; više ih ne pripisujemo djelovanju nekoga božanstva niti žrtvujemo prvorođenu djecu kako bi nam se bogovi smilovali. Ta je metoda u suprotnosti s nekadašnjim načinima otkrivanja istine uz pomoć autoriteta, koji točnost nečega nisu određivali na temelju onoga što se tvrdilo, već onoga tko je to tvrdio. Znanstvenici koji su našli mjesto u ovoj knjizi promatrali su svijet oko sebe. Odbacivši pojam autoritarne istine, predlagali su teorije kojima bi objasnili svijet, i te iste teorije opet modificirali kako bi ih uskladili s dalnjim opažanjima. Nije uvijek bilo lako naći put iz tame praznovjerja prema svjetlosti razuma. Kad se Vesalius odvažio suprotstaviti Galenovu autoritetu, proglasili su ga lažljivcem i luđakom, a tvrdnje braće Montgolfier nailazile su na sumnjičavost. I Galileo i Kopernik zamalo su završili na lomači poput Giordana Bruna, predloživši heliocentrični Sunčev sustav koji je bio suprotan prihvaćenoj crkvenoj dogmi. No njih dvojica bili su ustrajni u svojim tvrdnjama i time osvijetlili put ostatku čovječanstva. Ljude koji su našli mjesto na stranicama ove knjige, Bertrand Russel pjesnički je opisao kao zenitno blještavilo ljudske genijalnosti. Dokle će nas dovesti svjetlost koju su ostavili i koliko daleko će još napredovati znanost, odgovorit će nam novi naraštaji znanstvenika koji će mijenjati svijet.

8 100 znanstvenika koji su promijenili svijet

9 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Anaksimandar Oko godine prije Krista Bilješke o nadnevcima Osim da je rođen u grčkom gradu Miletu na azijskoj obali Turske, vjerojatno oko 611. godine prije Krista, o Anaksimadrovu životu ne znamo baš mnogo. Razlog tome je činjenica da je on sam vrlo malo pisao, prepustivši taj zadatak svojim učenicima. Ono što znamo došlo je do nas iz druge ruke, od kasnijih grčkih znanstvenika-filozofa koji su se zainteresirali za rad slavnog prethodnika. Zamislite svijet za koji svatko zna da je ravan, oslonjen na stupove, usred pustoši. Općeprihvaćena predodžba je da je taj je svijet smješten u središtu svemira nalik šatoru, a zvijezde koje su sve jednako udaljene od Zemlje, smještene su natiskane na njegovu rubu. I zamislite sada da odjednom netko kaže, suprotno prihvaćenom mišljenju, da svijet pluta, da nema oslonac, a da su Mjesec i Sunce ne samo na različitim udaljenostima, već kruže oko trodimenzionalne Zemlje. Takav bi koncept bio revolucionaran i značio bi potpunu promjenu postojeće predodžbe o svemiru. Smatra se da je ta-kav ogroman znanstveno-spoznajni skok učinio upravo Anaksimandar. 4 TEORIJA BESKONAČNOGA Često nazvan ocem suvremene astronomije, Anaksimandar je početna točka modernog zapadnjačkog poimanja svemira. Tom Grku, koji se rodio i umro u Miletu, u današnjoj Turskoj, mnogi su pripisali brojna i daleka 8

10 A n a k s i m a n d a r Anaksimandar je zapravo prvi shvatio pojam prostora: otkrio je da svemir ima dubinu. putovanja, za vrijeme kojih se navodno oblikovalo njegovo gledište na svemir. Anaksimandar je bio učenik Talesa iz Mileta, poznatog po originalnim doprinosima fizici, filozofiji, geometriji i astronomiji. Kao i o Talesovu, tako se i o Anaksimandrovu životu zna vrlo malo detalja, a sačuvan je samo jedan dio njegova izvornog teksta, a ni on nije potpun. Sve ostalo što znamo opisali su kasnije Grci, a najviše doznajemo od Aristotela i Teofrasta. Oni ga više pamte kao filozofa, a manje kao prirodoslovca i zagovornika hrabre teorije o beskonačnome ili neograničenome. Ta je ideja bila njegovo početno načelo, iz kojega potječu sve stvari, bez početka i kraja, mjesto odakle dolaze sva nebesa i svjetovi u njima (iz Teofrastova opisa Anaksimandrova djela). Njegova ideja u astronomiji imala je dalekosežan utjecaj i bila je priprema za teorije koje su promijenile svijet. 4 TOPOGRAFSKI SVEMIR Misao o Zemlji koja potpuno slobodno lebdi u središtu svemira predstavlja najvažniji Anaksimandrov iskorak. Drugi grčki mislioci su prihvatili mišljenje da je Zemlja ravna ploča koja se održava na vodi, stupovima ili na neki drugi čvrsti način. Premda Anaksimandar očito nije ništa znao o gravitaciji, svoju tvrdnju branio je pretpostavkom da Zemlja, budući da je smještena u središtu svemira, na istim udaljenostima od njegovih krajnjih točaka, ne teži da se giba ni prema gore, ni prema dolje, ni u stranu, a kako je nemoguće gibati se istodobno u suprotnim smjerovima, ona neizbježno ostaje tamo gdje se nalazi (tako Aristotel objašnjava Anaksimandrovu teoriju). S obzirom da Zemlja stoji, to mu je omogućilo da predloži da Sunce, Mjesec i zvijezde obilaze krug oko Zemlje. Ovo objašnjava zašto Sunce zalazi na zapadu, a izlazi na istoku. Kada se ovoj ideji doda da Zemlja ima dubinu (premda ju je Anaksimandar još zamišljao kao valjak s ravnom plohom na vrhu, koja je samo površina Zemlje), pojavljuje se novo, revolucionarno viđenje svijeta. 4 PRAZNINA MEĐU ZVIJEZDAMA Anaksimandar je zapravo otkrio pojam prostora ili svemira s dubinom. Kada je odbacio ideju o Zemlji zarobljenoj u nebeskoj kupoli, nešto kao planetarij, krenuo je s tvrdnjom da se nebeska tijela (Sunce, Mjesec i zvijezde) nalaze na različitim udaljenostima od Zemlje, a između njih je praznina ili prostor ispunjen zrakom. Pokušao je odrediti udaljenost tih tijela od Zemlje, ali je pogrešno pretpostavio da su zvijezde najbliže, pa Mjesec, a najudaljenije je Sunce. Možda je Anaksimandar i nacrtao svoju verziju karte svemira. Iako je u detaljima bila pogrešna, ona je vjerojatno bila napredak u grafičkoj predodžbi o svemiru. Ostala postignuća Anaksimandar nije bio samo astronom. Navodno je prenio sunčani sat iz Babilona u Grčku i upotrebljavao ga za određivanje solsticija i ekvinocija. Isto tako, smatra se da je tvorac prve geografske karte svijeta, što je samo po sebi bio veliki skok naprijed. U biologiji ga možemo smatrati nehotičnim prethodnikom Darwinove teorije evolucije. Naime, vjerovao je da se ljudski rod razvio iz prvobitnih životinja koje su nastanjivale Zemlju. Anaksimandar je vjerovao da su to bile primitivne ribe, koje su svoje nove oblike poprimale zbog isparavanja vode zagrijane suncem. 9

11 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Pitagora Oko godine prije Krista Kronologija Oko 525. godine prije Krista Pitagoru su zarobili Babilonci. Godine 518. prije Krista on osniva vlastitu akademiju u Krotonu, današnjem mjestu Crotone u južnoj Italiji. Mnogi su ga smatrali kultnim vođom. Oko 500. godine prije Krista Pitagora napušta politički sve nestabilniji Kroton i seli Metapont. Oživotu ovog grčkog matematičara i filozofa malo toga se može reći. Poteškoću stvara i to što su mnoga otkrića koja su se pripisivala Pitagori, zapravo otkrivena kao plod rada njegovih učenika i pripadnika vjerskofilozofske škole, zvanih pitagorovci. Osim toga, sljedbenici i biografi odnosili su se prema Pitagori kao osnivaču bratstva s jednom vrstom strahopoštovanja, pa je danas teško znati što su u vezi s njime legende, a što činjenice. 4 EKSPERIMENTALNA MATEMATIKA Sa sigurnošću znamo da je Pitagora izvodio praktične pokuse kojima je otkrivao vezu između matematike i glazbe. Smatra se da je ili vješao utege različitih težina na niz žica, ili je eksperimentirao s različitim duljinama žice, istražujući kakav je matematički odnos između tonova dobivenih trzanjem žice, duljine žice i težine utega. Otkrio je da jednostavni omjeri cijelih brojeva između duljina žice, primjerice između žice neke duljine i žice dvostruke 10

12 P i t a g o r a Sve što je fizičke prirode, zvijezde i cijeli svemir, matematički su povezani. duljine, proizvode skladne tonove. Ta opažanja su u konačnici dovela do stvaranja glazbenih ljestvica, onakvih kakve poznajemo danas. Ne samo što je to bilo značajno glazbeno otkriće već je vjerojatno tada prvi put jedan fizikalni zakon izražen matematički. To je bio začetak matematičke fizike. 4 SVIJET KAO KUGLA Iako je Pitagora imao ograničene mogućnosti kojima je mogao poduprijeti svoja uvjerenja, ideja o skladnim odnosima među fizičkim objektima dovela ga je do zamisli da Zemlja ima oblik kugle. Za Pitagoru i njegove sljedbenike ideja o savršenom matematičkom odnosu između kugle koja ima kružnu putanju i zvijezda koje se slično kreću unutar kuglastog svemira (baš kao što se glazbeni tonovi skladno uvijaju i ovise jedni o drugima) činila se mnogo privlačnijom od Anaksimandrove cilindrične Zemlje ili Zemlje u obliku ravne ploče. Taj je svjetonazor postao toliko uvjerljiv da je nadahnuo kasnije grčke znanstvenike, uključujući i Aristotela, da traže i konačno nađu fizikalne i matematičke dokaze teorije da je svijet zaista kuglasta oblika. 4 PLTAGORA I NJEGOVA ŠKOLA Pitagora je osnovao svoju školu u Krotonu, u Italiji, a jedan od njezinih ciljeva bilo je dalje istraživanje odnosa između fizičkog svijeta i matematike. Zaista, od pet ključnih vjerovanja kojih su se držali pitagorovci jedno je bilo dominantno, a to je poi-manje da je sve broj. Drugim riječima, stvarnost je u svojoj osnovi matematička, a sve su stvari u prirodi, poput glazbenih ljestvica ili kuglaste Zemlje i njezinih pratioca zvijezda i svemira, međusobno matematički povezane. Pokusi su pitagorovce doveli do brojnih otkrića, poput onog da je zbroj kutova u trokutu jednak zbroju dvaju pravih kutova (180 ). Drugi otkriveni poučak bio je da je zbroj unutarnjih kutova u pravilnom n-terokutu jednak kutu koji je 2n 4 puta veći od pravoga kuta. No njihovo vjerojatno najveće aritmetičko otkriće jest otkriće iracionalnih brojeva. Došlo je iz saznanja da se kvadratni korijen iz dva ne može izraziti kao savršeni razlomak. To je bio najveći udarac za pitagorovsku ideju o savršenstvu, pa je prema nekim tvrdnjama čak bilo pokušaja zataškavanja ovog otkrića. 4 PITAGORIN POUČAK Čuveni Pitagorin poučak vjerojatno je bio poznat još Babiloncima, ali je moguće da ga je Pitagora prvi matematički dokazao. Kvadrat nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata nad katetama još se može izraziti i kao a2 + b2 = c2 gdje su a i b katete, a c je hipotenuza. Ostala postignuća Ironično je da je Pitagora danas najpoznatiji po svom poučku, za koji se znalo još dvije tisuće godina ranije, a istovremeno su njegova originalna otkrića ostala nedovoljno poznata. Može se reći da je otkrićem glazbene ljestvice Pitagora ostavio veći utjecaj na povijest svijeta nego jednom jednostavnom i posuđenom formulom. Pitagori se također pripisuje da je dvije tisuće godina prije Kristofora Kolumba zamišljao Zemlju kao kuglu. 11

13 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Hipokrat iz Kosa Oko godine prije Krista Bilješka o nadnevcima Osim da je rođen na otoku Kosu, vjerojatno sredinom petog stoljeća prije Krista, ostali detalji o Hipokratu su magloviti. Kao i u slučaju Anaksimandra, ono malo podataka za koje se zna toliko je nepouzdano da ih ne treba ni isticati. Veći dio onoga što se pripisuje Hipokratu sadržano je u Hipokratovoj zbirci, nizu od šezdeset do sedamdeset medicinskih tekstova napisanih u kasnom petom i u ranom četvrtom stoljeću prije Krista. Opće je poznato da sam nije mogao napisati sva ta djela, pa su zato pouzdani podaci o njegovu životu i ostavštini ostali nepoznati. Pisani tijekom stotinjak godina, prilično različiti po stilu i zaključivanju, ti radovi vjerojatno su stigli iz knjižnice medicinskog učilišta u Kosu, a moguće je da ih je prvenstveno sabrao autor kojemu su kasnije i pripisani. Hipokratu je Aristotel dao nadimak veliki liječnik, ali je danas poznatiji kao otac medicine. Bez obzira na nepouzdanost podataka o njegovu životu, Hipokrat je bez sumnje čovjek koji je postavio temelje medicinskoj znanosti i prilično utjecao na njezin daljnji razvoj, sve do današnjih dana. 12

14 H i p o k r a t i z K o s a Upute koje je Hipokrat propisivao još su i danas, dvije tisuće godina poslije njega, dobra medicina. 4 ZDRAVORAZUMSKI PRISTUP Hipokrat je bio mišljenja da su bolest i njezino liječenje u potpunosti zemaljski. Zanemario je praznovjerje i usredotočio se na prirodno i pojedinačno promatranje bolesti, bilježeći i analizirajući simptome i tijek bolesti. U Hipokratovu pristupu medicini prognoza bolesti bila je najvažnija točka, uz težnju da se u budućnosti izbjegnu okolnosti koje su dovele do bolesti. Međutim, razvoj lijekova ili dalekosežno liječenja nije smatrano važnim. Po Hipokratu, ono što dolazi od prirode, treba i liječiti prirodom; zato su odmor, zdrava prehrana, tjelovježba, higijena i svjež zrak najbolji lijek za liječenje i sprječavanje bolesti. Hodanje je čovjeku najbolji lijek, pisao je Hipokrat. 4 TEORIJA HUMORA Hipokrat je tijelo smatrao jedinstvenom cjelinom, a ključ zdravlja pripisivao je očuvanju prirodne ravnoteže unutar te cjeline. Smatrao je da na ravnotežu utječu četiri tjelesna soka (humora ili temperamenta), a to su krv, sluz, crna i žuta žuč. Tijelo je zdravo kada su sva četiri humora podjednako prisutna, a bolest se rasplamsa kada jedno od njih znatno dominira. Način za povratak ravnoteže i zdravlje su aktivnosti i prehrana koje će stimulirati druge tjelesne sokove, istodobno potiskujući onaj humor koji je prevladao. Iako po mjerilima današnje medicine ovaj postupak nije znanstven, sama činjenica da je Hipokrat propisivao takvo prirodno i zemaljsko rješenje već znači veliko postignuće. Štoviše, ideja o humorima i njihovu liječenju održala se tijekom sljedeća dva tisućljeća, u svakom slučaju sve do sedamnaestog, a u nekim aspektima i do devetnaestog stoljeća. Povrh svega, preporuke o zdravom životu, dijeti i tjelovježbi još se i danas, dvije tisuće godina poslije Hipokrata, smatraju najboljim lijekom. Osim toga, u uporabi su i termini koje je nekada uveo Hipokrat: osoba s viškom crne žuči bila je melankolična, a osoba u koje je dominirala flegma ili sluz bila je flegmatična. 4 HIPOKRATOVA ZAKLETVA Vrlo čudno, ali čini se da Hipokrat nije osobno napisao ni riječi od svoga najtrajnijeg naslijeđa. Hipokratovu zakletvu vjerojatno je skovao neki njegov sljedbenik. To je kratak tekst s utvrđenim pravilima ponašanja kojih su se ubuduće svi liječnici morali držati. Osim toga, ona određuje etičku odgo-vornost liječnika prema bolesniku i potpuno poš-tovanje povjerljivosti. To je bio pokušaj da se liječnici Hipokratove tradicije odvoje od duhovnih i praznovjernih nadriliječnika tog doba. Svjedok trajnosti Hipokratove zakletve je činjenica da je i danas prisežu studenti medicinskih fakulteta kada diplomiraju. Hipokratova ostavština Prije Hipokrata u području liječenja nije bilo nikakve znanosti. Postojalo je vjerovanje da je bolest božja kazna i da upletanje ne dolazi iz prirodnih, nego iz natprirodnih uzroka. Zato je i jedino liječenje dolazilo od natprirodnoga: uz pomoć magije, čarobnjaštva, praznovjerja ili vjerskog rituala. Hipokrat se svojim mišljenjem i samouvjerenošću suprotstavio uvjerenjima toga doba. Njegov je pristup unio racionalnost u neracionalnost, a time je medicina zakoračila u doba razuma. Postoje, zapravo, dvije stvari, govorio je Hipokrat iz Kosa, znanost i vjerovanje; od prve potječe znanje, od druge neznanje. 13

15 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Demokrit iz Abdere Oko godine prije Krista Bilješka o nadnevcima Kao i mnogi njegovi suvremenici, Demokrit nije ostavio pisane tragove o svom radu pa su nam detalji njegova učenja poznati iz spisa kasnijih Grka, prvenstveno Aristotela, koji mu je proturječio, i Epikura, koji ga je podržavao. Jedini djelomično pouzdan podatak je onaj o njegovu rođenju, oko 460. godine prije Krista, iako neki stručnjaci smatraju da je to bila 490. godina prije Krista. John Dalton danas je svjetski poznat kao utemeljitelj atomske teorije, zahvaljujući njegovim radovima iz devetnaestog stoljeća, u kojima je iznosio da se elementi sastoje od sitnih, nedjeljivih čestica. Ipak, ideje o atomu i sustavni dokazi o tome kako oni grade fizički svijet postojali su više od dva tisućljeća, a tumačio ih je Demokrit iz Abdere, u Trakiji. 4 ATOMSKA TEORIJA Riječ atom dolazi od grčke riječi atomon, što znači nedjeljiv. Dalton je ovaj pojam uveo dva tisućljeća kasnije, kada je iskoristio istu riječ u svojoj tezi. Ali čak ni Demokrit nije bio prvi. Njegov učitelj Leukip, a također i Anaksagora, upotrebljavali su ovaj pojam za nedjeljive čestice. Međutim, Demokrit je prvi predložio sveobuhvatnu teoriju o ulozi atoma u izgradnji čitavog svemira. Za razliku od Daltona, svoju teoriju nije 14

16 D e m o k r i t i z A b d e r e Demokrit je sustavnim argumentima zastupao važnost atoma u izgradnji svijeta. mogao potkrijepiti znanstvenim dokazima, već je ona ostala samo zdravorazumska pretpostavka. Ipak, mnogi aspekti Demokritove teorije aktualni su i danas. 4 ATOMI, TVAR I PRAZNINA Za Demokrita su postojale samo dvije stvari: prostor i tvar. Prostor se sastojao od praznine, beskonačno velikog vakuuma, u kojemu se nalazi bezbroj atoma koji čine tvar. Atomi i prostor postojali su oduvijek jer ništa ne može nastati ni iz čega. Atomi, kao sastavni dijelovi svega na Zemlji, ali i na planetima i zvijezdama, bili su i uvijek će biti isti: čvrsti, nelomljivi, nevidljivi blokovi, koji se nikad ne mijenjaju. Oni se jednostavno u praznini povezuju s drugim atomima i tako oblikuju različite stvari, od stijena, do biljaka i životinja. Kada te stvari umru ili se raspadnu, one se razgrađuju, a atomi su slobodni i povezuju se ponovno s drugim atomima u nove oblike. Demokrit je vjerovao da način vezivanja među atomima ovisi o njihovim različitim oblicima. Iako je sastav atoma isti, u tekućinama imaju glatke, okrugle rubove pa mogu kliziti jedni preko drugih, a oni u čvrstim tvarima imaju oštre rubove i zupce, te se mogu zakvačiti jedni za druge. Demokrit je smatrao da rubovi atoma uzrokuju i druge razlike među stvarima, primjerice u slučaju okusa: slatki okus nastaje zbog velikih, okruglih atoma, a ljuti zbog teških, hrapavih atoma. Isto tako, objašnjavao je i boju stvari položajem atoma u spoju, zbog kojega je sjena koju atom baca svjetlija ili tamnija, ili je nema. Demokritove teze značajne su jer potpuno odbacuju pomisao na duhovnost i religioznost. Duša je objašnjavana kao užurbano gibanje atoma koji su se našli zatvoreni u tijelu. Atomi reagiraju na poremećaje drugih atoma u tijelu ili izvan njega. Gibanje stvara osjete koji djeluju na um, a koji je i sam skup atoma, i proizvodi misli, osjećaje i ostalo. Demokrit tvrdi da umiranjem tijela duša prestaje postojati zato što se raspao predmet koji je atome držao na okupu. Oslobođeni atomi se razdvajaju i tako mogu doći u dodir s drugim atomima kako bi stvorili nove oblike. Ovdje nema mjesta ni za kakve apstraktne pojmove o natprirodnim pojavama ili o zagrobnom životu. 4 DETERMINIZAM U Demokritovu modelu nema mjesta ni ideji slobodnog izbora. Svi ljudski postupci određeni su atomima koji udaraju u tijelo, ali ne kao dio nekoga velikog plana ili uređenja, već se atomi sudaraju s drugim atomima u praznom prostoru kako su to oduvijek činili i zauvijek će činiti, pa ljudi uopće nemaju mogućnost slobodne volje. Matematička ostavština Iako je suvremena znanost neke elemente Demokritova učenja odbacila, ipak je to bio prvi pokušaj da se sveukupan svemir objasni pomoću nekoliko jednostavnih fizikalnih i matematičkih zakona. To je bila velika promjena u razmišljanjima o ustrojstvu svijeta, a znanstvenici se i danas time bave. Demokritu se također pripisuje i otkriće matematičkog zakona po kojem je obujam stošca trećina obujma valjka iste osnovice i visine te slične formule za odnos između piramide i pripadne prizme. 15

17 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Platon Oko godine prije Krista Kronologija Platon je rođen 427. godine prije Krista u Ateni ili u njezinoj okolici godine prije Krista, nakon Sokratova smaknuća, Platon s gađenjem napušta Atenu godine prije Krista Platon prvi put posjećuje Siciliju 387. godine prije Krista, nakon povratka u Atenu, Platon osniva vlastitu akademiju, utvrdu intelektualne izvrsnosti sve do njezina zatvaranja po nalogu cara Justinijana 529. godine. Da bi se moglo razumjeti kako je Platon dolazio do zaključaka koji su ostavili tragove u zapadnjačkoj civilizaciji, potrebno je je razumjeti što je na njega samoga izvršilo utjecaj. Platon je rođen u Ateni ili blizu nje, u trenutku kad je ona bila grad-država i smatrana najvažnijim prosvijećenim i kulturnim mjestom. Platon je bio pod jakim utjecajem Sokrata, drugog velikog filozofa i svog sugrađanina. Sokratov pristup obuhvaćao je neprekidno traganje za jasnijim definicijama riječi i jasnijim načinom poimanja riječi, s ciljem da se dosegne istina, često skrivena iza nerazumne i zlonamjerne upotrebe samih tih riječi. S obzirom na to, Platon je uveo pojam realnosti, što je postalo okosnicom njegova kasnijeg pristupa znanosti, a posebno metafizici. 4 SOKRATOV UTJECAJ Sokrat je pogubljen 399. godine prije Krista, pod optužbom da kvari atensku mladež svojim 16

18 P l a t o n Ne znate li geometriju, ne ulazite. Natpis nad ulazom u Platonovu akademiju buntovničkim idejama. Platonova reakcija na to bio je bijeg iz Atene i odlazak na putovanje po mnogim zemljama, koje je potrajalo čak više od desetljeća. Na tim je putovanjima upoznao pitagorovce, skupinu ljudi koja će još snažnije utjecati na njega. Krotonska škola, koju je utemeljio Pitagora, od svog je osnutka promicala tezu da je sve broj. 4 TEORIJA OBLIKA Kombinacija tih dvaju utjecaja na Platona, udružena naravno s njegovim djelom, dovela ga je do Teorije oblika, njegove glavne ostavštine znanstvenoj misli. Ona se zasniva na tvrdnji da je priroda viđena ljudskim očima, iskvarena verzija prave stvarnosti ili oblika. Izraženo usporedbom, čovjek je poput pećinskog čovjeka koji cijelog života gleda samo u stražnji zid pećine. Ono što tada vidi kao stvarnost su sjene koje sunce baca na taj zid. Prema tome, izravnim promatranjem sjena malo se toga može naučiti. Za Platona je uvijek postojao vječan, osnovni matematički oblik i red u svemiru, a ljudi to ne vide savršeno, već im je često pogled iskvaren vlastitim iracionalnim prividom i predrasudama o tome kakve bi stvari trebale biti. Prema tome, za Platona, kao i za pitagorovce, jedini je ispravan pristup znanosti onaj racionalni i matematički, koji teži otkrivanju sveopćih istina, bez obzira na ljudsko postojanje. To vrednovanje numeričkih metoda prilično je utjecalo na modernu znanost, pa su sljedbenici, prativši ovu tradiciju, dolazili do otkrića putem matematičkog predviđanja. Primjerice, aritmetički proračun da će buduća otkrića imati određene osobine, prepoznajemo u slučaju dotad nepoznatih elemenata prvog periodnog sustava Dmitrija Mendeljejeva. Kasnija su znanstvena istraživanja dokazala da je matematika imala pravo. To je metoda kojom se znanstvenici i danas mnogo koriste. 4 AKADEMIJA Mnogo opipljiviji način Platonova utjecaja na znanstvenu misao dogodio se osnivanjem akademije 387. godine prije Krista, nakon povratka u Atenu. Neki autori tvrde da je ta ustanova bila prvo europsko sveučilište, a njezina osnovna načela govore u prilog tome. Platonov je utjecaj bio prisutan u potpunosti. Priča se da je iznad ulaza u školu stajao natpis: Ne znate li geometriju, ne ulazite. U stoljećima koja su dolazila, atenska je akademija postala vodeći autoritet za matematiku, astronomiju, prirodne znanosti i filozofiju, a i druga područja. Preživjela je skoro tisuću godina, a onda ju je rimski car Justinijan zatvorio 529. godine, kada otprilike počinje razdoblje mračnoga srednjeg vijeka. Platonova ostavština Platon je danas jedan od najvećih filozofa zapadne tradicije. Zato možda nije potpuno jasno kako je uvršten u knjigu o znamenitim znanstvenicima. Međutim, on je utjecao na razvoj prirodnih znanosti gotovo na jednak način kao i na mnogo drugih akademskih područja, poput pedagogije, književnosti, političke teorije, epistemologije i estetike. Tijekom povijesti, Platonovo znanstveno i filozofsko nasljeđe prošlo je kroz znatnu preobrazbu i nova tumačenja, ali njegov je logički pristup ostao snažan i postojan svjedok njegovih dalekosežnih ideja. 17

19 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Aristotel Oko godine prije Krista Kronologija 367. godine prije Krista Aristotel dolazi na Platonovu akademiju u Ateni godine prije Krista, poslije Platonove smrti, napušta akademiju i odlazi na otok Lezbos godine prije Krista postaje učitelj mladom Aleksandru Makedonskom, koji će kasnije postati slavni Aleksandar Veliki godine prije Krista vraća se u Atenu i osniva vlastitu školu, licej godine prije Krista optužen je za bezbožnost: kako bi spriječio grad Atenu da dvaput zgriješi protiv filozofije, Aristotel se vraća u Halkidu, gdje umire sljedeće godine. Aristotelovo učenje o fizici i kozmologiji prevladavalo je u zapadnoj misli sve do vremena Galileija i Newtona, kad se pokazalo da je najvećim dijelom bilo pogrešno. Započeo je od predodžbe da svaka stvar može biti načinjena od jednoga od četiriju elemenata: zemlje, vode, zraka ili vatre. 4 ČETIRI ELEMENTA Aristotel je prihvatio mišljenje da je Zemlja u središtu svemira, te da se Mjesec, Sunce, planeti i zvijezde oko nje gibaju po savršenim kružnicama. Vjerovao je da svi elementi uvijek imaju težnju povratka na svoje prirodno mjesto, pa, primjerice, bačeni kamen pada na zemlju čim uklonimo zapreku koja ga je u tome sprečavala zemljin se element, budući da je gušći i teži, 18

20 A r i s t o t e l Aristotelovu se učenju u nekim razdobljima pripisivao gotovo božanski autoritet. prirodno nastoji gibati prema dolje, u smjeru središta planeta. Vodeni elementi plutaju po površini, zrak se izdiže iznad zemlje i vode, a težnja vatre je da se uzdigne iznad svih njih, što objašnjava pružanje vatre u visinu. Po istoj metodi, Aristotel je mogao dati objašnjenje zašto kamen najprije leti kroz zrak, umjesto da odmah ide prema dolje, što bi se moglo očekivati. To se zbiva zato što zrak teži k tome da ispuni prazninu nastalu nakon prolaska kamena, i gura kamen, sve dok on ne izgubi svoju horizontalnu brzinu, i padne na tlo. 4 PETI ELEMENT Međutim, Aristotel se suočava s problemom. Stav da sve na svijetu teži prema svome prirodnome mjestu bio je u neskladu s njegovim učenjem da se ostatak kozmosa giba u savršenom i usklađenom redu, bez ikakvih poremećaja ili guranja za mjesto, tipičnih za zemaljske elemente (da nije tako, planeti i zvijezde bi pali na Zemlju kao središte svemira). Da bi to objasnio, Aristotel je tradicionalnoj četvorki dodao i peti element, nazvan eter, koji ima prirođeno kružno kretanje. Eter upravlja svime što je dalje od Mjeseca, što objašnjava besprijekorno kretanje i stabilnost, a sve ispod toga je pod zakonima ostalih četiriju elemenata. Iako je ovo objašnjenje za suvremenog čovjeka teško prihvatljivo, ono je bilo općeprihvaćeno tijekom cijelih dvaju tisućljeća poslije Aristotela. Postavivši ga, Aristotel je snažno utjecao na razvoj znanstvene misli, no uglavnom time što je dugotrajno i bezrezervno prihvaćanje njegovih zakona usporilo napredak znanosti. U drugim područjima fizike Aristotel je bio točniji u procjenama. Primjerice, učvrstio je ideju, koju je prije zastupao Pitagora, da Zemlja ima oblik kugle. Za vrijeme pomrčine Mjeseca uočio bi polukružnu sjenu koju je na Mjesec, očito, bacala kugla. Tijekom putovanja u pravcu sjevera ili juga, gledao je kako se zvijezde pomiču, sve dok neke od njih postupno ne nestaju iz vida. Njegov je zaključak je bio da je i tome razlog okrugli oblik Zemlje. 4 PREMA BIOLOGIJI U području biologije Aristotel je pogriješio s tvrdnjom da je srce sjedište uma, a ne mozak. Budući da je bio dosljedan empirijskom pristupu, činio je seciranja životinja da bi potvrdio ili odbacio određena vjerovanja, primjerice da embrij nastaje u trenutku oplodnje ili da je spol životinje određen položajem u maternici. Aristotel je također bio među prvima koji su težili metodičkoj klasifikaciji životinja na temelju načina razmnožavanja, pa ih je podijelio na životinje koje nose na svijet žive mlade i one koje nesu jaja. Ta je podjela osnovica suvremene taksonomije. Aristotelova ostavština Za razliku od svog učitelja i mentora Platona, Aristotel je vjerovao da se promatrajući prirodu može mnogo toga naučiti. Ovaj je pristup primijenio u mnogim područjima ljudskog znanja kako bi potvrdio, odbacio ili nadopunio ono što je u području fizike, filozofije, astronomije i biologije već bilo poznato. Iako je bio učenik Platonove akademije gotovo dvadeset godina, njih dvojica imala su u mnogočemu suprotna mišljenja. No, Aristotelovo je učenje ostavilo na zapadnu civilizaciju jednako dubok utjecaj kao i učenje njegova učitelja Platona. U području znanstvene spoznaje, Aristotel je imao čak i jači utjecaj, toliki da su nadolazeća stoljeća njegova učenja prihvatila kao neupitna, gotovo kao božanske istine, što nije uvijek imalo dobre posljedice za čovječanstvo. 19

21 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Euklid Oko godine prije Krista Kronologija Učenja starih mislilaca uglavnom su nam poznata, ali ne i njihovi životi i vrijeme u kojom su živjeli. Kao što smo već rekli, taj dio često nam je maglovit, a upravo to u potpunosti vrijedi i za Euklida. Iako svaki srednjoškolac zna njegovo ime, njegov je život nepoznanica; ne zna se gdje je studirao, pa čak ni gdje se rodio. Prema priči, egipatski kralj Ptolemej I. Soter upitao je Euklida o učenju geometrije nekim bržim načinom, a ne čitanjem njegovih 13 svezaka o toj temi. Euklid mu je odgovorio: Za geometriju nema kraljevskoga puta, Vaše Veličanstvo. Euklid je utro jedan od najveličanstvenijih putova u geometriju, a to se cijeni već više od dvije tisuće godina. 4 ELEMENTI Euklidova je ostavština dobro znana, ali nam je život velikog matematičara ostao tajna. Vjerojatno je studirao kod Platona u Ateni, a dobar dio života proveo u Aleksandriji gdje je osnovao matematičku akademiju. Nije jasno je li sva djela koja mu se pri-pisuju uključujući Data, O dijeljenju, Optika i Fenomeni dovršio sam, ili je radeći na tome imao pomoć svojih 20

22 E u k l i d Poslije Biblije, Elementi su vjerojatno najproučavanija knjiga u povijesti. studenata, ali jasno je da je utjecaj tih tekstova bio golem. Elementi, Euklidovo remek-djelo o geometriji, imalo je značajan utjecaj na zapadnjačko akademsko mišljenje. Postoji tvrdnja da su Elementi, poslije Biblije, najcitiranija, najproučavanija i najprevođenija knjiga u povijesti. Razlog tome je dvostruk: što je izrekao i kako je to izrekao. Možemo sa sigurnošću reći da je način kako je to izrekao utjecao na budući način izlaganja bilo kojega matematičkoga, znanstvenoga, teološkoga i filozofskoga teksta. Tome je tako jer je Euklid imao sustavni pristup pisanju, postavljajući niz aksioma (temeljnih istina) na početku, nakon čega slijede dokazi teorema, koji se opet temelje na prije dokazanim istinama. Taj logični postupak koji je nalik zidanju zida postavio je akademski predložak za dokazivanje znanja, a i danas je standardni model istraživanja. 4 GEOMETRIJSKA SINTEZA Skup znanja koje je Euklid sabrao u svojih trinaest svezaka Elemenata, toliko je sveobuhvatno i uvjerljivo da je ovaj priručnik ostao već više od dva tisućljeća nepromijenjen i neosporen. Sigurno je da sve teorije nisu njegove; on je jednostavno želio sva znanja o ge-ometriji, i druga matematička znanja, sabrati u jedinstven tekst. Tako su u njima, primjerice, navedene ideje prethodnih grčkih matematičara Eudoksa, Teteusa i Pitagore, no mnogi su detaljni dokazi Euklidovi, kao i mnoštvo drugih originalnih priloga. Prvih šest svezaka obrađuju ravninsku geometriju (osnovna svojstva trokuta, kvadrata, pravokutnika i kružnica te srodni sadržaji) i neka druga temeljna matematička načela, poput Eudoksove teorije razmjera. Sljedeće četiri knjige posvećene su teoriji brojeva i uključuju znameniti dokaz da postoji beskonačan broj prostih brojeva. Posljednja tri dijela bave se geometrijom prostora. 4 NEEUKLIDSKI PROSTORI Ironično, ali kasniji matematičari našli su pogreške u nekim početnim aksiomima u knjizi. Posljednji od njih potvrđen je kao najkontroverzniji. Taj aksiom o paralelnosti tvrdi da se kroz točku koja leži izvan pravca može povući samo jedan pravac koji se s početnim pravcem ne siječe (tj. paralelni pravac). Ovo je pitanje u devetnaestom stoljeću istraživao mađarski matematičar Janos Bolyai, rodom iz Rumunjske. Preuzevši očevo životno djelo, pokušao je dokazati Euklidov paralelni postulat, otkrivši na kraju da je zapravo nedokaziv. Time je započela nova škola matematičkog razmišljanja, kasnije ojačana uvjerenjem Alberta Einsteina da je geometrija prostora također neeuklidska, što se kasnije potvrdilo točnim. Euklidova ostavština Iako su otkrića u posljednja dva stoljeća pokazala da su vrijeme i prostor drugačiji od onoga što je u određenim uvjetima tvrdio Euklid, time nisu umanjena njegova postignuća. Sabrati Elemente na takav način, imati utjecaj takvih ogromnih razmjera na razvitak zapadne civilizacije i ostati jedini autoritet u geometriji tijekom tako dugog razdoblja (čak i danas,) ostavština je koja je usporediva s ostavštinom samo još nekoliko genija u povijesti. 21

23 V e l i k a o t k r i ć a : z n a n s t v e n i k a k o j i s u p r o m i j e n i l i s v i j e t Arhimed Oko godine prije Krista Kronologija 213. godine prije Krista Arhimedovi ratni strojevi oslabili su napad Rimljana na Siracusu godine prije Krista Rimljani osvajaju Siracusu, a Arhimeda je ubio rimski vojnik tijekom opsade grada. 75. godine prije Krista rimski državnik Ciceron pronalazi i obnavlja Arhimedov grob. Dajte mi oslonac i pomaknut ću Zemlju, poznate su riječi koje je Arhimed navodno uputio narodu u Siracusi. Iako do toga nije došlo, napravio je malu polugu kralju Hijeronu, za pomicanje brodova. Uz takve odvažne predstave i njegovu briljantnost kao izumitelja, inženjera i matematičara, među svojim suvremenicima bio je veoma omiljen i cijenjen. 4 MATEMATIČAR Od njegovih djela nisu koristi imali samo ljudi tog vremena. Mnogi njegovi pronalasci i danas su ovdje s nama. Kao prvo i povrh svega, on je bio čisti matematičar i često se smatra jednim od najvećih matematičara svih vremena, kako piše u oxfordskom Leksikonu znanstvenika. Prvi je upotrijebio izraz koji kaže da je obujam kugle 4πr3/3, gdje je r polumjer kugle. Drugi radovi u istom području, koji su izloženi u djelu O kugli i valjku, doveo ga je do rezultata da se površina 22

24 A r h i m e d Dajte mi oslonac i dovoljno dugačku polugu, i ja ću vam pomaknuti Zemlju. kugle može izraziti kao četverostruki najveći presjek kugle.također, njegov je rezultat da je obujam kugle jednak dvjema trećinama obujma valjka opisanoga oko te kugle. Izračunao je da broj π ima približnu vrijednost 22/7. To je broj koji je u upotrebi već 1500 godina poslije Arhimeda. 4 ARHIMEDOV ZAKON Arhimed je otkrio i zakon da na tijelo uronjeno u tekućinu djeluje uzgon, sila koja tijelo postiskuje prema gore i jednaka je težini istisnute tekućine. Prema legendi, do tog je otkrića došao razmišljajući o zadatku dobivenom od kralja Hijerona: želio je da provjeri je li jedna od njegovih kruna načinjena od čistog zlata ili nije. Arhimed je o tom problemu često razmišljao. Kupajući se, primijetio je da iz kade izlazi više tekućine kad tijelo više uranja u vodu. Shvatio je da krunu treba uroniti u vodu, izmjeriti količinu istisnute vode i doznati obujam krune. Trebao je pronaći i jednak obujam čistog zlata, te izvagati čisto zlato i krunu. Nakon usporedbe dobivenih rezultata, mogao je odgovoriti na kraljevo pitanje. Smatra se da je tijekom tog otkrića Arhimed bio toliko izvan sebe od ushićenja da je izletio gol na ulicu, vičući Heureka! (Našao sam!). 4 KOLOTURJA I POLUGE Arhimed je postao slavan po svojim praktičnim primjenama, koje su ljudima tog doba značile više od matematike. Zahvaljujući praktičnoj demonstraciji, kralju Hijeronu je pomaknut brod pomoću male poluge, koja je pak bila povezana s nizom drugih poluga. Arhimed je znao da će pokus uspjeti jer je već razradio opću teoriju poluga. On je matematički razumio odnos između duljine poluge, položaja potpornja, tereta koji je trebalo dignuti i sile potrebne za pomak tog tereta. Dakle, mogao je napraviti poluge za bilo koju vrsta tereta koju treba podići. Protumačio je i načelo djelovanja kolotura, vitla, vijka i klina, te pronašao način za određivanje težišta predmeta. 4 ARHIMED IDE U RAT Za doba u kojem je živio, vjerojatno su najvažniji bili njegovi ratni strojevi, izumljeni u vrijeme rimske opsade Siracuse i Drugoga punskog rata. Rimljani su zbog nepažljive obrane uspjeli osvojiti Siracusu, a Arhimeda je ubio rimski vojnik, dok je on marljivo radio matematičke crteže. Navodno su mu posljednje riječi bile: Mladiću, ne dirajte moje krugove! Ostala postignuća Pronalasci Arhimedov vijak: uređaj za crpljenje vode iz brodova i za natapanje polja. Arhimedova kliješta: veliki ratni stroj, korišten u obrani Siracuse. Njime se potezanjem za pramac mogao prevrnuti cijeli brod. Složeno koloturje: omogućilo je dizanje golemih tereta s minimalnim utroškom energije. Metoda iscrpljivanja: matematička metoda koja je slična integralnom računu, a Arhimed je njome uspio proračunati ploštine i obujmove dvodimenzionalnih ploha i trodimenzionalnih tijela. Otkrića Arhimedova je zasluga hidrostatika, znanost o ponašanju tijela uronjenih u vodu (vidi Arhimedov zakon). Također je otkrio načela mehaničke statike i piknometrije (mjerenja obujma i gustoće tijela). Poznat je i kao otac integralnog računa. Među ostalim, njegovim su se proračunima kasnije koristili Kepler, Fermat, Leibniz, Newton i drugi. 23

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

ALFA List - 1. Festival matematike Split 2013. Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013. ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012.

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. Kazimir Majorinc Povijest Lispa 12. j Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. MIT Research Laboratory of Electronics, Quarterly Progress Report, 15. travnja, 1959. Sadrži jednu od bar četiri

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan

ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan Broj 1-4 (2009)/1-2 (2010) ARISTOTEL: O DUŠI fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan Uvod Predstavljamo danas Aristotelovo djelo koje se naziva περι ψυχης; latinski je naziv De anima, a hrvatski O duši. Da

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav,

Nastavna jedinica. Gibanje tijela je... tijela u... Položaj točke u prostoru opisujemo pomoću... prostor, brzina, koordinatni sustav, 1. UVOD 1. * Odgovorite na sljedeća pitanja tako da dopunite tvrdnje. 1.1 Što je gibanje tijela? Gibanje tijela je... tijela u... 1.2 Osnovni parametri u kinematici su... i... 1.3 Na koji način opisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Historicizam. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. Historicizam je proučavanje odredenog

Historicizam. Iz rječnika metodike. Zdravko Kurnik, Zagreb. Historicizam je proučavanje odredenog Iz rječnika metodike Historicizam Zdravko Kurnik, Zagreb Uspješnost nastave matematike ovisi o mnogim činiteljima. Važne ideje za ostvarenje ovog cilja nastavnik matematike nalazi već u načelima nastave

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

*** **** policije ****

*** **** policije **** * ** *** **** policije * ** *** **** UVOD na i M. Damaška i S. Zadnik D. Modly ili i ili ili ili ili 2 2 i i. koja se ne se dijeli na. Samo. Prema policija ima i na licije Zakon o kaznenom postupku (ZKP)

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα