ELASTIKOTASUNAREN TEORIA ETA MATERIALEN ERRESISTENTZIA. Ruben Ansola Loyola

Transcript

1

2 ELSTIKOTSUNREN TEORI ET MTERILEN ERRESISTENTZI Ruben nsola Loyola Udako Euskal Unibertsitatea Bilbo, 005

3 HEZKUNTZ, UNIBERTSITTE ET IKERKET SIL DERTMENTO DE EDUCCIÓN UNIVERSIDDES E INVESTIGCIÓN «Liburu hau Hekunta, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren lagunta argitaratu da» Udako Euskal Unibertsitatea Ruben nsola ISBN: Lege-gordailua: BI Inprimategia: RGM, Bilbo alaren diseinua: Iñigo Ordogoiti Hikunta-uenketen arduraduna: Jose Ramon Etxebarria Bilbao Banataileak: UEU. Erribera 4,. D BILBO telf Faxa Helbide elektronikoa: argitalpenak@ueu.org Zabalten: Igerabide, 88 DONOSTI Galaraita dago liburu honen kopia egitea, osoa nahi atikakoa, edoein modutara delarik ere, ediio honen Copyright-jabeen baimenik gabe.

4 Dianari

5

6 Eskuartean duun liburu honetan Elastikotasunaren Teoria eta Materialen Erresistentia deituriko irakasgaien oinarriak aurketen dira. Liburua hamalau kapitulutan dago banatuta. Lehenbiiko sei kapituluetan Elastikotasunaren Teoriako konteptu garrantitsuenak garaten dira, gainerako gaien ulermenerako einbestekoak direnak. Bigarren atia Materialen Erresistentiari eskainita dago, eta bertan, teoria gain, enbait ariketa ebati ere jasoten dira. Liburu hau euskara ikasten edo irakasten duten ikasle nahi irakasleei uenduta dago. Ian ere, aken urteotan euskara poliki-poliki sartu joan da goi mailako eskoletan. Einbestekoa da, bera, eskaera horri erantuna emango dioten testuliburuak prestatu eta argitaratea. Erabiltaile gutiok lan honi probetxu ona atera dieaiouela espero dut. Horrela balit, ordaindutat iango nuke neure burua. Estimatuko nituke liburu hau erabiliko dutenen iriti eta kritikak; beste argitalpen baterako edota jarraipena emateko iradokiun ein hobeak iango lirateke. kenik, eskerrak eman nahi nikieke Bilboko Ingeniarita Goi Eskolan irakaskuntan daramatadan urteetan lagundu eta gidatu nauten Mekanika Saileko irakasleei, besteak beste, José ntonio Tárrago eta Javier Canales katedradunei. Bukateko, e nituke aipatu gabe uti nahi urte horietan ehar eduki ditudan ikasleak, beraien arreta eta ekarpen baliotsuengatik. Halaber, eskerrik beroenak UEU kultur erakundeari, honelako lanen sustataile iateagatik. Bihoakie denei nire eskerrik beroenak.

7

8 urkibidea. SRRER Konteptu orokorrak Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia Egituren diseinua Egituretako elementu arruntak Egituretako materialak Oinarriko hipotesiak Liburuaren edukia TENTSIO KONTZETU Sarrera Barneko eta kanpoko indarrak Tentsio konteptua untu bateko tentsio-egoera. Tentsio-matriea Oreka-ekuaioak Erreferentia-sistemaren aldaketa Tentsio nagusiak Osagai intrintsekoen muturreko balioak Tentsio oktoedrikoa Tentsio esferikoa eta desbiderapen-tentsioa Mohr-en irkuluak DEFORMZIOREN TEORI OROKORR Sarrera Deformaio unitarioak Deformaio txikien teoria. Deformaio unitarioen esanahi fisikoa Deformaio-matriea Biraketa-matriea Bateragarritasun-ekuaioak SOLIDO ELSTIKOREN ORTER-LEGEK Sarrera Trakio-saiakunta Deformaio-energia elastikoa Hooke-ren lege orokorra Material elastiko isotropoen portaera-legeak. Lame-ren ekuaioak

9 8 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia 4.6. Konstante elastikoak Tentsio eta deformaio termikoak ROBLEM ELSTIKOREN EBZEN Sarrera Desplaamenduen formulaioa. Navier-en ekuaioak Tentsioen formulaioa. Michell-en eta Beltrami-ren ekuaioak Ekuaio-sistemaren ebapena Saint Venant-en printipioa Gainearpen-printipioa Elastikotasun laua iry-ren funtioa roblema elastikoaren ebapena printipio bariaionalen bide HUTSEGITE-TEORIK Sarrera Hutsegite-teorien oinarriak Tentsio normal maximoaren teoria Luetarako deformaio unitario maximoaren teoria Tentsio ebakitaile maximoaren teoria Deformaio-energia maximoaren teoria Distortsio-energia maximoaren teoria Mohr-en teoria ortaera harikorra eta portaera hauskorra IEZ RISMTIKOK Sarrera Sekioko esfortuak piea prismatikoetan iea prismatikoekin osatutako egiturak Euskarriak eta erreakioak Esfortuen diagramak iea prismatikoen oreka-ekuaio diferentialak RDTZEKO INDRR Sarrera Tentsio-egoera trakio edo konpresio hutsean Deformaio-egoera trakio edo konpresio hutsean isu propioaren eragina Egitura hiperestatikoak trakiopean eta konpresiopean Hasierako tentsioak Tentsio termikoak Deformaio plastikoak trakiopean eta konpresiopean Horma meheko presio-ontien kalkulua

10 urkibidea 9 9. MKURDURREN TEORI OROKORR Sarrera Makurdura hutsa Makurdura bakuna Horma meheko sekioen makurdura Makurdura asimetrikoa Habe heterogeneoak Makurdura konposatua eta konpresio esentrikoa Makurdura plastikoa DEFORMZIOK MKURDUREN Sarrera Kurba elastikoaren metodoa Momentuen aaleren metodoa: Mohr-en teoremak Habe konjokatuaren metodoa Indar ebakitailearen eragina Tenperaturaren aldaketak sortutako makurdura Gainearpen-printipioa deformaioen kalkuluan EGITUR HIERESTTIKOEN KLKULU Sarrera Egitura hiperestatikoen kalkulurako metodoak Indarren metodoa egitura hiperestatikoen kalkulurako Hiru momentuen ekuaioa Habeen desplaamendu horiontalak Lotura urrunak dituten egiturak: ortikoak Simetria- eta antisimetria-propietateak Tenperaturaren eragina sistema hiperestatikoetan BIHURDURREN TEORI OROKORR Sarrera Sekio irkularreko pieen bihurdura Bihurdura isostatikoa eta bihurdura hiperestatikoa Transmisio-ardaten kalkulua Makurdurarekin konbinaturiko bihurdura Sekio irkularra e duten pieen bihurdura Horma meheko sekio abalduen bihurdura Horma meheko sekio itxien bihurdura Bihurdura plastikoa

11 0 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia 3. METODO-ENERGETIKOK Sarrera Deformaio-energia elastikoa Deformaio-energiaren espresioa esfortu desberdinen funtioan Clapeyron-en teorema Elkarrekikotasun-teoremak Castigliano-ren lehen teorema Engesser-en lehenengo teorema eta Castigliano-ren bigarren teorema Karga unitarioaren metodoa Engesser-en bigarren teorema Talken teoria GILBORDUR Sarrera Egonkortasuna eta utabeen gilbordura Euler-en karga kritikoa Zutabeen karga kritikoa lotura-baldinten arabera Esentrikoki kargatutako utabeak Sekantearen formula ω koefiienteen metodoa BIBLIOGRFI

12 . Sarrera.. KONTZETU OROKORRK Elastikotasunaren Teoria eta Materialen Erresistentia gorput deformagarrien portaera ikasten duten ientiak dira. Bi jakintagai horiek Mekanika iena eaguten den irakasgaiaren barnean koka ditakegu. Mekanikak gorputen higidura ulerteko balio diguten tresnak eskainten dikigu, eta arlo desberdin ugari dago osatuta. Sarritan, atal horien arteko muga definitea e da lan erraa iaten. rlo horiek bata bestetik bereiteko erabilten den oinarriko iripidea atertutako partikula edo gorputen iaera da. Dakigun beala, partikula bat dimentsiorik gabeko puntu material bat da. artikula horietako enbait elkartu gero, gorput bat lortuko genuke. Horrela, likido eta gasen partikulak ikasten dituen mekanikaren atalari Fluidoen Mekanika derito, eta gorput urrunak aterten dituenari Solidoen Mekanika. Elastikotasunaren Teoria eta Materialen Erresistentia aken talde horretan daude kokaturik. Solidoak aterteko orduan, bi motatako solidoak desberdindu behar ditugu: urrunak eta deformagarriak. Solido deformagarriak itxura- edo forma-aldaketak jasan ditaketen gorputak dira. Forma-aldaketa horiei deformaioak derite. lderanti, solido urrunek ein deakete inolako itxura-aldaketarik eduki; hots, solido perfektuak direla suposaten da. Beste era batera esanda, solido urrunek translaioak edo biraketak bakarrik eduki ditakete, eta horien puntuen arteko posiio erlatiboa inoi e da aldaten. Halere, ehatak ian nahi badugu, solido gutiak dira deformagarriak, e baitago urruntasun infinitua duen materialik. Hau da, deformaten e den solidorik e da existiten. Dena den, enbait kasutan solidoa urruna dela onar deakegu akats handirik egiteko beldurrik gabe. Esate baterako, gorput baten abiadura edo aeleraioak atertu nahi ditugunean, e dago gorputaren forma-aldaketa ikasi beharrik. Elastikotasunaren Teoriak eta Materialen Erresistentiak, ordea, abiapuntu modura solidoak deformagarriak direla onarten dute beti, eta, bera, solido deformagarrien mekanikari dagokion irakasgai bat da. Ondorio, liburu honetan gorputaren higidurak e du garrantirik edukiko, eta alde batera utiko dugu. Ian ere, atertuko ditugun egiturak orekan hau da, geldirik dauden sistemak iango dira.

13 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia.. ELSTIKOTSUNREN TEORI ET MTERILEN ERRESISTENTZI Elastikotasunaren Teoriaren eta Materialen Erresistentiaren helburuak berdinak diren arren, bien artean desberdintasun garrantitsuak daude. Ikus ditagun, labur bada ere, bi jakintagai horien bereitasun apimarragarrienak. Elastikotasunaren Teoriak gorput elastikoak aterten ditu, hots, indarrak desagertu eta gero hasierako itxura eta neurriak berreskuraten ditutenak. Gorput horietako puntuetan, kanpotik eragiten duten akioen eta gorputaren erantunaren artean dagoen erlaioa matematikoki formulaten du. Elastikotasunaren Teoriak lorten dituen ondorioak orokorrak dira eta edoein forma duten gorputen kalkulurako aplika daiteke. Liburu honetan Elastikotasunaren Teoriaren oinarriko konteptuak baino e ditugu agertuko, eta portaera lineala duten kasuetara mugatuko gara. Ikusiko dugun beala, Elastikotasunaren Teoriaren formulaio matematikoak oso konplexuak dira eta gutxitan lor daiteke soluio espliituak; eta metodo numerikoak erabili behar dira, planteaten dituen ekuaioak askatu ahal iateko. Materialen Erresistentiak, aldi, gorput gutientat orokorrak diren emaitak lorten saiatu orde, egituretan sarrien erabilten diren elementuak bakarrik ikasten ditu. Hau da, elementu tipikoak aterten ditu. Elementu horien geometria nahiko sinplea iaten da eta, horreta baliatu, analisia erraten duten hipotesi sinplifikataileak erabil daiteke, eta soluioa Elastikotasunaren Teoriaren bide baino akarrago lor daiteke. Dudarik gabe, Materialen Erresistentiaren bide lorten den soluioa e da Elastikotasunaren Teoriak eskainten duena beain ehata. Halere, hurrengo atal batean aalduko ditugun elementu tipikoen kasuan, Materialen Erresistentia aplikatu lor daitekeen emaitak eharo onargarriak dira, egindako akatsa arbuiagarria ianik. Bi jakintagai horien artean bada beste desberdintasun garrantitsu bat ere. Elastikotasunaren Teoria, ienak aditera ematen duen beala, gorput elastikoen analisira mugaten da. Materialen Erresistentiak, aldi, portaera elastikoa galdu duten egituren analisia egin deake. ortaera plastikoa aterten duten jakintagaiei plastikotasuna eta biskoelastikotasuna derite. Halere, Elastikotasunaren Teoriaren desabantailarik handiena erabilten dituen formulaioen konplexutasuna da. Ian ere, gorputeko puntu bakoitean planteaten dituen ekuaioak eharo orokorrak diren arren, gutxitan aska daiteke soluio espliitua lorteko, egitura oso sinpleak ian eean. Dena den, Elastikotasunaren Teoria e da batertu behar, horrek argituko dikigulako Materialen Erresistentian erabiliko ditugun oinarriko konteptu eta magnitudeak. Gainera, Elastikotasunaren Teoriaren bide Materialen Erresistentian lortutako emaiten ehatasuna neur daiteke, egindako hurbilketak egokiak diren jakin ahal iateko. Gaur egun, konputagailuek aken urteotan eagutu duten bilakaera sakona dela-eta, Elastikotasunaren Teoriak planteatutako ekuaioak numerikoki ebat daiteke, eta horrela geometria eta mugako baldinta konplexuak dituten problementat ere soluioak lor daiteke. Era horretan, Elastikotasunaren Teoria eta Materialen Erresistentia garai batean baino bateratuago daudela esan deakegu.

14 Sarrera 3.3. EGITUREN DISEINU Gorago aipatu dugun beala, liburu honetan aurketen diren jakintagaien helburua egiturak diseinatu eta kalkulateko balioko diguten tresnak eskaintea da. Egitura elementu desberdinen bide osatutako edoein sistema da, kanpotik eragiten dioten indarrak eusteko gai dena. ulkiak, mahaiak, uhaitak, hegakinak, armiarma-sareak eta abar egiturak dira. Zentuko diseinuak egin ahal iateko, beharrekoa da materialen portaera ongi eagutea. Hori dela-eta, Materialen Erresistentia eta Elastikotasunaren Teoria oinarriko irakasgaiak dira ingeniaritako alor askotan. Liburu honetan ehar materialen portaera ulerteko balioko diguten formulak eta ekuaioak aurketuko ditugu. Ingeniariek eta arkitektoek eresan eta erantukiun handia daukate egituren diseinuan. Egiturak mota askotakoak eta oso desberdinak ian daitekeen arren (ubiak, itsasontiak, etxebiitak, urtegiak, etab.), badira gutientat berdinak diren enbait eaugarri. Esate baterako, lehen iendatu ditugun egitura gutiak giakien behar desberdinak beteteko pentsatuta daude. restian aurreratu dugun beala, egitura gutien beste betebehar bat kanpoko eraginei aurre egitea da, behera etorri gabe. Eutsi behar dieten indar horien artean, haiearen presioa, elurraren pisua, uraren bultada, automobilen pisua eta abar aipa ditakegu. Horie gain, egiturak kanpoko eragin desberdin ugari jasan ditake, adibide, tenperatura-aldaketen eragina, euskarrien ustekabeko mugimenduak, muntaian egindako akatsek sortutakoak, etab. Eragin horiek gutiak sinbolikoki eta enbait hurbilketa egin ondoren adieraiko ditugu. Ian ere, suposatutako indarren ehatasunak eragin ikaragarria ian deake aken emaitan eta, bera, kontu handiarekin atertu behar dira indarrak. Egituretan parte harten duten aldagaien kopurua oso handia dene, egitura bat diseinateko orduan jarraitu behar den lehenengo pausoa modelo matematiko sinplifikatu bat lortea da, benetan garrantitsuak diren aldagaiak kontuan hartu. Ondoren, modelo matematiko horri hurrengo gaietan ikusiko ditugun ekuaio eta erlaio matematikoak aplikatuko dikiogu. Kalkuluak egiten hasi aurretik aurredimentsionatea egin behar da, hau da, behin-behineko neurri batuk aukeratu behar ditugu abiapuntu modura. Ondoren, Elastikotasunaren Teoriaren eta Materialen Erresistentiaren bide egituraren erantuna kalkula daiteke, hau da, kanpoko eraginen ondorio gorputeko puntuetan agerten diren tentsio eta deformaioen balioak lor daiteke. Balio horiek onargarriak e badira, elementuaren diseinua aldatu beharko dugu, eta proesua berriro errepikatu, diseinu egokia lortu arte. Egituren diseinua, bera, iteraio-proesu bat da. Datoen kapituluetan ikusiko dugun beala, egiturak oinarriko baldinta batuk bete behar ditu onargarria iateko. lde batetik, egiturak erresistentia egokia eduki behar du, hau da, kanpoko kargei hautsi gabe eutsi behar die. E da hau, halere, egiturak bete behar duen baldinta bakarra. Hautsi gabe irautea gain, egiturak urruntasun egokia eduki behar du, hots, kanpoko indarrei gehiegiko deformaiorik jasan gabe eutsi behar die. Ian ere, egitura bat hautsi e arren, deformaioak handiegiak badira, egitura onarteina bihur daiteke. kenik, egitura egonkorra ian behar da, hau da, ein eduki ditake ustekabeko deformaio nabarmenak. ken baldinta hau gilbordura ieneko fenomenoarekin erlaionatuta dago, aken kapituluan ikusiko dugun beala. Bukateko, e da ahatu behar egitura

15 4 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia bat egokia den ala e erabakiteko orduan, erresistentia edo urruntasuna gain beste hainbat baldinta ere kontuan hartu behar direla, adibide, ekonomikoak eta estetikoak..4. EGITURETKO ELEMENTU RRUNTK Egituren funtseko helburua, bera, jasaten dituten indarrei aurre egitea da. Esate baterako, etxebiita batean eragiten duen haiearen indarra edo elurraren pisua egituraren oinarrietara transmititu beharra dago. Gaua bera esan daiteke ubi baten gainetik igaroten diren beribilek eragiten duten pisua. Indar horiek egituran ehar transmititen dira oinarriko euskarrietara iritsi arte, eta transmititeko modua egituraren geometriaren menpe dago. Egiturek forma eta itxura oso desberdinak eduki ditakete eta hemen gutiak iendatea einekoa iango litateke. Halere, egitura gehienak elementu gutxi batuk konbinatu lor daiteke. Egituretan sarritan agerten diren elementu tipiko horiek dira, hain uen, Materialen Erresistentiak aterten dituenak. Elementu arrunt horien portaera eagutu gero, egitura ugari kalkulateko gai iango gara. Elementu horiek hiru taldetan sailka daiteke: piea prismatikoak, xaflak eta oskolak. Gorput horiek dituten bereitasun geometrikoei esker, kalkulua asko erraten duten hurbilketak eta hipotesi sinplifikataileak egin ditakegu. Ikus ditagun laburki hiru elementu horien eaugarriak. iea prismatikoak luera handia daukaten pieak dira, eharkako sekioaren neurriekin alderatu. Hau da, dimentsio bat beste biak baino asko handiago da. Elementu horiek mai agerten dira egituretan (habeak, utabeak, ardatak etab.), eta hiruretatik garrantitsuenak direla esan deakegu. Bestetik, xaflak lodiera txikiko elementu lauak dira. Beste era batera esanda, dimentsio bat beste biak baino asko txikiagoa da. iea prismatikoen bi dimentsiotako kasua direla esan daiteke. Xaflak ere sarritan erabilten diren elementuak dira, adibide, eraikuntetako solairuak egiteko. kenik, oskolak ere lodiera txikia duten elementuak dira, baina e dira lauak iaten xaflak beala. Bien artean dagoen diferentia oskolek duten kurbadura da. Hori dela-eta, xaflek eta oskolek lan egiteko duten era oso desberdina da. Oskolak lamina hitarekin ere eaguten dira. Oskolen adibide dira ur- eta gas-biltegiak, elietako kupulak, onti-kroskoak, etab. Hiruretatik garrantitsuena eta gehien erabilten dena piea prismatikoa dela esan deakegu. Hori dela-eta, liburu honetan Materialen Erresistentiari eskainitako gaietan piea prismatikoak eta horiekin osatutako egiturak baino e ditugu atertuko. Salbuespen gisa oskolen kalkulurako oinarriko arau batuk ere ikusiko ditugu, presiopean dauden horma meheko ontien analisia egiteko balioko digutenak. naliatu beharreko elementua hiru talde horietakoren batean sailkatu ein daitekeenean, eingo dugu Materialen Erresistentia erabili, eta Elastikotasunaren Teoria aplikatu beharko dugu..5. EGITURETKO MTERILK Egitura batek kanpoko kargei eusteko duen gaitasuna, erabilitako materialen menpe dago neurri handi batean. Lehen esandakoaren hariari heldu, materialen eaugarri garrantitsuenak erresistentia eta urruntasuna dira. E dago dudarik ingeniaritako aplikaio gehienetan erresistentia handiko materialak erabiltea komeni dela. ltairua sarrien

16 Sarrera 5 erabilten den materiala da, erresistentia altua duelako eta portaera oso antekoa trakiopean nahi konpresiopean. Beste material batuk, ordea, harriak edo hormigoiak adibide, konpresiopean erresistentia egokia duten arren, oso ahulak dira trakiopean. Egiturek beren pisu propioa ere jasan behar dutene, materialen erresistentiaren eta dentsitatearen arteko erlaioa oso adieragarria da, eta erabakigarria gerta liteke enbait kasutan. Hegakinen kasuan, adibide, erlaio horrek garranti handia du, hegakina ahalik eta arinena iatea komeni baita. Hori dela-eta, hegakinetan aluminioa edo titanioa bealako materialak erabilten dira, altairuaren anteko erresistentia baina pisu asko txikiagoa dutelako. Erresistentia gain, materialak urruntasun egokia eduki behar du, hau da, ein ditake deformaio handiegiak ian kanpoko indarrek eragiten dutenean. Kautxua, adibide, e da etxebiitak egiteko material egokia. Kontuan hartu behar da, gainera, egitura bat behera etorri e arren, jasaten dituen deformaioak handiegiak badira, buruhauste handiak ekar ditakeela. Ian ere, etxebiita bateko habeen deformaioa handiegia bada, pitadurak ager daiteke solairuetako hormetan eta oruan, onarteina dena. Eraikuntako materialek eduki behar duten beste propietate bat elastikotasuna da. Indarrak desagertu ondoren materialek hasierako forma berreskurateko duten gaitasunari elastikotasuna derito. Kontuan hartu behar da, egitura askotan indarrak e direla konstanteak iaten, agertu eta desagertu egiten direla. Indar horiek sorten dituten deformaioak metatu joango balira, denbora laburrean deformaio onarteinak sortuko lirateke. lderanti, egituraren portaera elastikoa bada, indarrek sorten dituten deformaioak desagertu egiten dira indarrak aplikateari uti ondoren. ltairua, egurra edo hormigoia bealako materialek portaera elastikoa agerten dute aplikatutako indarrak muga baten apitik daudenean. Material gutiak lehenago edo beranduago hautsi egiten diren arren, hausteko duten era oso desberdina ian daiteke. Harikorrak deriten materialek deformaio handiak jasaten ditute hautsi baino lehen. ltairua, aluminioa eta metal gehienak harikorrak dira. lderanti, material hauskorrak bat-batean apurten dira, ia deformaiorik jasan gabe. Harria edo hormigoia bealako materialak hauskorrak dira. Gehienetan material harikorrak hauskorrak baino komenigarriagoak iaten dira, hautsi baino lehen asko deformaten direlako, hutsegitea gertu dagoela ohartarai. Esandakoaren arabera, material gutiek desabantailak daukatela ondoriota daiteke. Hori dela-eta, mai material desberdinak nahasten dira, desabantaila horiek gainditu ahal iateko. restian aipatu dugun beala, hormigoia ahula da trakiopean, baina konpresioerresistentia altua du. Gainera, erakargarria egiten duten enbait eaugarri dauka: e da erreten, beste material batuekin konparatu nahiko merkea da, eta forma desberdin askotako elementuak eraiki daiteke. Eta trakiopean duen erresistentia handiteko, altairuko barrak sarten aikio, hormigoi armatua deiten dena lortu. Gaur egun erabilten diren material berri asko hormigoi armatuaren printipio berean oinarriten dira, material konposatuak kasu. Material konposatu gehienek plastikoko oinarri bat edukiten dute, beirako unten bide urrunten dena. Horrela, aldi berean plastikoaren malgutasuna eta unten erresistentia dituen materiala lorten da.

17 6 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia.6. OINRRIZKO HIOTESIK Liburu honetan ehar atertuko ditugun gorputek oinarriko hipotesi batuk beteten ditutela onartuko dugu. Hipotesiak honako hauek dira: jarraitutasuna, homogeneotasuna eta isotropia. Horre gain, deformaioak txikiak direla suposatuko dugu. Gorput bati dagokion bolumen gutia materia beteta dagoenean, gorputa jarraitua dela esaten da. Beste hit batuetan esanik, maila mikroskopikoan topatuko genukeen egitura atomiko erreala e da kontuan harten. Era berean, materialak akatsik e duela onartuko dugu (pitadurak, burbuilak, hutsuneak etab.). Hipotesi hori beteten dela onarteak kalkulu infinitesimala aplikateko aukera emango digu. Ian ere, gorput jarraituen propietateak eta portaera definiten duten funtioak ere jarraituak iango dira. Halaber, atertuko ditugun gorputak homogeneoak direla suposatuko dugu, hots, puntu gutietako propietateak berdinak direla. kenik, puntu bateko propietateak norabide gutietan berdinak direnean, materiala isotropoa dela esaten da. Material errealak perfektuak e direne, goian aipatutako baldintak gutxitan beteten dira. ltairu-puska bati mikroskopio baten lagunta so egine gero, kristal desberdin ugari osatuta dagoela ikusiko genuke, eta kristal horietako bakoitaren portaera e dela isotropoa. Hormigoi-ati bat atertu gero, anteko irudia edukiko genuke. Halere, hipotesi horiek beteten direla onartu lorten diren emaitak bat dato saiakunta esperimentalen bide lorten direnekin. Ian ere, kristal horien kopurua ikaragarri handia da, eta bakoitaren norabidea, aleatorioa. Ondorio, kristal bakoitaren portaera isotropoa ian e arren, maila makroskopikoan agerian gelditen den portaera isotropoa da. Gainera, lehen aipatutako hipotesiak onarteak asko erratuko dikigu kalkuluak. Dena den, kontu handiarekin ibili behar da hiru hipotesietako bat e dela beteten oso nabaria denean, eren kasu horretan hemen ikusiko ditugun enbait espresio eta formula alferrikakoak bihur baitaiteke. Bukateko, atertuko ditugun egituren deformaioak txikiak direla suposatuko dugu. Hipotesi hau benetako gorput askotan beteten da, egiturak diseinaten direnean bilaten den helburuetako bat urruntasun egokia lortea delako. Hau da, egitura erreal askotan e da alde handirik egoten hasierako geometriaren eta bukaerakoaren artean, eta itxura oso antekoa edukiten dute. Deformaioak gehienetan txikiak iaten direla ulerteko, nahikoa da etxebiita bati edo ubi bati so egitea. Kasu horietan egiturak jasaten duen deformaioa ia sumaeina iaten da. Hipotesi hori oso garrantitsua da, datoen gaietan ikusiko dugun beala..7. LIBURUREN EDUKI Liburu honen lehen atia Elastikotasunaren Teoriari eskainita dago. Kapitulu edo gai horietan ehar materialen portaera ulerteko oinarrikoak diren magnitudeak ikusiko ditugu. Bigarren gaian tentsio konteptua eta indarren orekarekin erlaionatutako ekuaioak aurketen dira. Ondoren, hirugarren gaian puntu bateko deformaio-egoera nola defini daitekeen aalten da. Tentsioak eta deformaioak atertu ondoren, laugarren gaian portaeralegeak nola lor daitekeen ikusiko dugu. Bosgarren gaian portaera elastikoa duten gorputen erantuna kalkulateko erabili behar den ekuaio-sistemara iritsiko gara, eta sistema hori ebateko metodo batuk deskribatuko ditugu. Elastikotasunaren Teoriaren inguruko gaiak

18 Sarrera 7 bukateko, seigarrenean hutsegite-teoria garrantitsuenak aalduko dira, materialen haustura edo isurpena noi gertaten diren aurresateko balio dutenak. Ondoren, Materialen Erresistentiarekin hasiko gara. Zapigarren gaian piea prismatikoaren bereitasunak aurketu eta gero, hurrengo ataletan sekioko esfortu desberdinak analiatuko ditugu banaka-banaka. Lehenik eta behin, ortigarren gaian ardateko indarrak sorten dituen tentsio eta deformaioak nola kalkulaten diren ikusiko dugu. Bederatigarren gaian, momentu makurtailearen ondorio agerten diren tentsioen kalkulua aterten da, eta hamargarrenean, makurdurapean dauden piea prismatikoen deformaioa. Momentu makurtaileak sortutako tentsio eta deformaioak kalkulaten ikasi eta gero, hamaikagarren gaian egitura hiperestatikoak deskribaten dira. kenik, piea prismatikoetan eragin deaketen esfortuekin bukateko, hamabigarren gaian momentu bihurtailea aalduko dugu. Egituren kalkuluan daukaten garrantia dela-eta, hamahirugarren gaia teorema energetikoei eskainita dago, eta bertan printipio eta teorema garrantitsuenak ondoriotaten dira. Liburua bukateko, hamalaugarren kapituluan utabeen gilbordura ikasten da.

19

20 . Tentsio konteptua.. SRRER Gorput jarraitu baten portaera eagutu eta kanpotik jasaten dituen eraginei nola erantuten dien jakin ahal iateko, lehenik eta behin gorputaren oreka estatikoa iurtateko bete behar diren baldintak atertuko ditugu. Eaguna den beala, gorput bat orekan egon dadin, ondoko ekuaioen bide emanik datoen lege estatikoak bete behar dira, hots, indar gutien batura nulua iatea, eta indar gutien momentu baliokidea edoein punturekiko nulua iatea, non x, y eta hiru ardat independente diren. F = 0 F = 0 F = 0 x y M = 0 M = 0 M = 0 x y (-) Jarraian ikusiko dugun beala, gorputaren kanpoaldetik eragiten duten indarrek eta gorputaren barnean sorten direnek ere bete behar ditute (-) ekuaioak. Orekabaldinta horiek egitura bere osotasunean hartuta aplikaten direnean, gorput librearen diagrama erabili, kanpoko indarren eta euskarrietako erreakioen arteko erlaioa aurki daiteke. Egitura-ati desberdinetan banatu ondoren aplikatu gero, berri, goiko ekuaioen bide gorputaren barnean agerten diren indarrak lor daiteke. Barne-indar horien deskribapena eta gorputean ehar nola banaten eta transmititen diren ikastea iango da, hain uen, gai honen helburu nagusia. Bigarren kapitulu honetan, bera, magnitude estatikoak eta horien arteko erlaioak iango ditugu atergai. Gorput batean eragin deaketen indar-mota desberdinak sailkatu eta gero, tentsio konteptua aurketuko da. Ondoren, puntu bateko tentsio-egoeraren deskribapena egingo dugu, eta tentsioaren osagaiek bete behar dituten ekuaioak lortuko ditugu. Tentsio nagusiak definitu eta horien propietateak aaldu ondoren, akenik, tentsioen adierapen grafiko garrantitsuenak jaso bukatuko dugu gaia... BRNEKO ET KNOKO INDRRK Ingurune jarraitu baten analisia egiteko eagutu behar diren indarrak bi talde desberdinetan sailka daiteke: kanpoko indarrak eta barneko indarrak. Jatorria gorputetik at duten indarrei kanpoko indarrak derite eta gorputaren deformaio eta materialarekiko independenteak dira. Indar horien artean, bi talde berei daiteke: bolumen-indarrak eta aaleko indarrak (edo gainaal-indarrak). Bolumenindarrek gorputeko puntu gutietan eragiten dute, eta bera, inguruneari dagokion

21 0 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia bolumen osoan ehar banatuta egoten dira. Mota horretako indarren adibide dira, esate baterako, pisua eta inertia-indarra. untu bakoitean, indarren bolumen-unitateko balioari Φ(x, y, ) deituko diogu. Eskuarki, bektore honek hiru osagai dauka: Φ = Φ x i + Φ y j + Φ k. (-) Ikus daitekeene, bolumen-unitateko indarra posiioaren funtioa da eta, bera, balio desberdinak eduki ditake aukeratutako puntuaren arabera. Gainaal-indarrak, berri, gorputaren gainaalean eragiten duten indarrak dira; adibide, ubiek jasan behar dituten amak, fluido batek urtegiko hormaren aurka egiten duen bultada, egituren euskarrietako erreakioak, etab. Gainaaleko puntuetan eragiten duen aalera-unitateko indarra T(x, y, ) funtioaren bide adieraiko dugu eta, oro har, bolumen-indarrekin gertaten den beala, puntu bakoitean bektore desberdin bat edukiko dugu, hots: T = T x i + T y j + T k. (-3) Horre gain, gainaal-indarrak bi motatakoak ian daiteke: puntualak eta banatuak. Indarrak aalera infinitesimal batean, hau da, puntu batean aplikatuta daudenean, puntualak edo kontentratuak direla esango dugu. alera-ati finitu batean aplikatuta badaude, aldi, indar banatuak deituko diegu. Dena dela, sailkapen hori e da eharo ehata, ein esan daitekeelako benetako indar puntualak existiten direnik. Ian ere, indar bar aplikatu ahal iateko, beti da beharrekoa aalera finitu bat edukitea, txikia bada ere. Bera, hitaren esanahi hertsia hartuta, indar gutiak dira banatuak. Halere, indarra aplikaten den aalera egituraren hedadura baino asko txikiagoa denean, oker handirik gabe suposa daiteke puntu bakar batean eragiten duela. Goian aipatutako indar-mota desberdinak.. irudiko gorputean adierai dira. Indar banatuak aalera- edo luera-unitateko ematen dira eta q letra iendatuko ditugu. Indar puntualentat berri, letra larriak erabiliko ditugu. q.. irudia. 3

22 Tentsio konteptua ter ditagun orain barneko indarrak. Kanpotik eragiten dieten indarrei erantuteko, gorputak deformatu egiten dira eta, ondorio, gorputen barnean indar berri batuk agertuko aikigu. Ian ere, edoein gorput osaten duten partikulen artean, erakarpenindarrak egoten dira beti. Hori dela-eta, gorputa kanpoko indarren eraginpean deformatu partikulen arteko posiio erlatiboa aldaten denean, interakio-indar batuk agerten dira, barne-indar deituko ditugunak. Indar horiek kanpoko indarrei aurre egiten diete eta gorputaren hasierako itxura berreskuraten saiaten dira. Barne-indarrak agerian uteko, Cauchy-k aurketuriko sekioen metodoa edo ebaketaprintipioa erabiliko dugu. Horretarako, suposa deagun orekan dagoen gorput jarraitu batean kanpoko indar batuek eragiten dutela,..a. irudian adieraten den beala. I I F F π II 4 3 II 4 3 (a) (b).. irudia. Gorputa orekan dagoene, estatikaren ekuaioak bete beharko dira, hau da, i indar gutien batura nulua ian beharko da: = 0. i (-4) i Demagun orain gorputa π plano irudikari baten bide bi atitan banaten dugula (ikus..b. irudia). Ondorio, ebaketa egin ondoren, i deitu ditugun indarretako batuk gorputaren ati batean geldituko dira aplikaturik, eta gainerakoak, beste atian. Bera, (-4) ekuaioa honelaxe idat deakegu: i i i i i i i + = 0 =, i (-5)

23 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia i i non eta gorputaren goiko eta beheko atian aplikatutako indarrak diren, hurrene hurren. Bistakoa den beala, gorputa ebaki eta ati horietako bakoita bere aldetik aterten badugu, jada e dira oreka egoteko behar diren baldintak beteko, indar berri batuk agertu eean. reseski, (-5) ekuaiotik ondoriota daitekeen beala, bolumen-ati bakoitean aplikatuta dauden indarren batura e da nulua iango gehienetan. Halere, abiapuntu gisa gorputa orekan dagoela suposatu dugune, gorput horren puska gutiek orekan jarraitu behar dute. Ondorio, oreka iurtateko, einbestekoa da π planoaren gainaalean hau da, gorput barruan enbait indar agertea. Goian esan beala, indar horiei barneindar deituko diegu, eta ebakidura-planoan ehar abalduta daudela suposatuko dugu. ter deagun orain, adibide, I atiaren oreka estatikoa. Zati horretan π planoan ehar eragiten duten barne-indarrei F deituko diegu. Indar gutien baturak ero eman behar duene, erlaio hau bete beharko da: i i i i i + F = 0 F = =. (-6) Ikus daitekeen beala, F bektorea eta II atian eragiten duten i indarren batura baliokideak dira. Ian ere, beheko atian eragiten duten kanpoko indarrak gorputean ehar transmititen dira, eta ondorio, goiko atian barne-indar batuk agerraraten ditute. Beste era batean esanda, F indar-multoak hauxe adieraten du: II atiak I atian daukan eragina, hots, π planoan ehar egiten dion indarra. Era berean, II atian estatikaren legeak aplikatuko bagenitu, honako hau edukiko genuke: i i i i i + F = 0 F = =. (-7) Bera, F barne-indarra I atian aplikatutako i indarren baturaren berdina da. Kasu honetan, F bektoreak gorputaren goiko atiak behekoari egiten dion indarra adieraten du. kenik, (-6) eta (-7) erlaioak (-5) ekuaioan ordetu gero, honako hau lorten da: F = F ; (-8) hau da, ebakidura-planoan agerten diren barne-indarrak berdinak dira baina aurkako norankoa dute. Emaita hori e da harritekoa, eren, Newton-en akio-erreakio printipioaren arabera, gorput batek beste bati egiten dion indarra bigarrenak lehenengoari egiten dionaren berdina baita, aurkako einuarekin. restian esandakoa laburtu, egitura batean kanpoko indar-multo batek eragiten duenean, barne-indar batuk agertu behar dira, gorputaren ati desberdinetan orekabaldintak bete daiteen. Barne-indar horiek ebaketa-printipioa eta estatikaren ekuaioak erabilita kalkula daiteke. Ebakidura-planoan aukeratutako aurpegiaren arabera, agerten diren indarrek balio berdina baina aurkako norankoa edukiko dute. Bukateko, higiten ari den gorput baten analisia egitea nahiko bagenu, goian esandako gutia baliokoa litateke. Egin beharreko aldaketa bakarra, kanpoko indarrei inertia-indarrak gehitea iango litateke. Era horretan, problema dinamikoa problema i i

24 Tentsio konteptua 3 estatiko bihurten da (D lambert-en printipioa) eta egitura orekan balego beala ater deakegu, estatikaren ekuaioen bide..3. TENTSIO KONTZETU Tentsio hita nahiko hit arrunta da eguneroko biitan, eta makina bat esanahi desberdin eduki ditake. Jarraian ikusiko dugun beala, guri dagokigun alorrean, tentsioa barneindarrak gorputean ehar nola banaten diren eaguteko balioko digun oinarriko magnitudea da. Tentsio konteptua definiteko, har deagun berriro..b. irudian agerten den gorputaren behealdeko atia. Ian bedi delakoa ebakidura-planoan kokaturiko puntu bat, eta delakoa puntu horren inguruan dagoen aalera txiki bat (ikus.3. irudia). lanoaren norabide-bektoreari n deituko diogu eta kanpoaldera uenduta egongo da. urreko atalean ikusi dugun beala, plano horretan ehar barne-indar batuk transmititen dira, gorputaren atiek elkarri egiten dikioten indarren ondorio. Indar horien banaketa π ebakiduraplanoan ehar jarraitua dela suposatuko dugu. aaleran ehar eragiten ari den indarra F bektorearen bide adieraiko dugu eta, oro har, edoein norabide eduki ahal iango du. F n π.3. irudia. Demagun orain aalerak erorant joten duela. Orduan, limitean, F indarraren eta aaleraren arteko erlaioari puntuan π planoarekiko dagoen tentsioa derito. Hots: F df σ n = lim =, (-9) 0 d non σ n delakoa tentsio bektorea den. Bektore horrek π ebakidura-planoan ehar puntuan aalera-unitateko egiten den indarra adieraten du. Bestalde, (-9) ekuaioan, F/ frakioa limite finitu baterant doala suposaten da, eta aaleran eragiten duten indarren momentua nulua dela edoein punturekiko. Bera, ingurune jarraituak aterteko erabiliko dugun ereduan, aalera-unitateko indarra goian definitutako tentsio bektorearen bide dator emana; baina aalera-unitateko transmititen diren momentuak nuluak direla suposatuko dugu.

25 4 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia urreko espresioan agerten diren magnitudeak indarra eta aalera dira; bera, naioarteko SI sisteman tentsioa N/m -tan, hau da, pascal-etan (a) neurten da. Halere, denbora lue tentsioa kg/cm -tan neurtu ian da, eta e da harritekoa oraindik ere unitate hori enbait leku eta testuliburutan aurkitea. Oro har, puntu bateko tentsio-bektorea desberdina da aukeraten den π ebakiduraplanoaren arabera edo, beste era batera esanda, n norabide-bektorearen arabera. Hori delaeta, σ hikiari n apindiea gehituko diogu, puntuko tentsioa norabide-bektorearen menpe dagoela adierateko: σ n = σ (, n). (-0) Ian ere,.3. irudiko π planoaren orde beste edoein plano (edo norabide) aukeratu ian bagenu, lortutako σ n tentsioaren balioa desberdina iango litateke. Horregatik, puntu berean egon daitekeen tentsio-bektoreen kopurua infinitua da, eta bera, beharrekoa iango da tentsioa ein planorekiko kalkulaten den adieratea. Hurrengo atalean frogatuko dugun beala, puntu eta norabide bate osaturiko bikote bakoitari σ n tentsio-bektore bakarra dagokio. kio-erreakio printipioaren arabera,..b. iruditik hauxe ondoriota daiteke: σ (, n) = σ (, n) = σ n, (-) hau da, puntu batean tentsioa aurkakoak diren n eta n norabideetan kalkulatu gero, balio berdina lorten da baina aurkako einuarekin. Hots, ebakidura-planoaren aurpegi batean dagoen tentsioa, beste aurpegian dagoen berdina da, baina kontrako norankoarekin. restian esan beala, kasu orokorrean, σ n tentsio bektoreak e du n bektorearen norabide bera edukiko, hau da, e da planoarekiko elkarut iango. Bera, bektore hori bi osagai desberdinetan bana deakegu,.4.a. irudian adieraten den beala. Osagai horiei osagai intrintsekoak derite, eta erreferentia-sistemarekiko independenteak dira. n y σ nn σ ny σ n σ n σ n σ nx x τ nt (a).4. irudia. (b)

26 Tentsio konteptua 5 lanoarekiko elkarut den osagaiari tentsio normala (σ nn ) deituko diogu, eta bere modulua tentsio-bektorea n norabidean proiektatu lor daiteke: σ nn = σ n. n (-) Tentsio normala positiboa denean, trakiokoa dela esaten da, eta negatiboa denean, berri, konpresiokoa. Osagai horren esanahi fisikoa garrantitsua da, puntu batean gorputaren ati batek bestean daukan eragina aalten baitu, tira edo bulta egiten dion adierai; trakioko tentsioek bananteko joera adieraten dute, eta konpresiokoek elkartekoa. Bigarren osagai intrintsekoa, tentsio ebakitailea edo ukitailea deiten da (τ nt ), eta σ n tentsio-bektorea π planoan proiektatuta lorten da (ikus.4.a. irudia). Osagai honek gorputaren ati batek bestearen gainean labainteko daukan joera adieraten du. Osagai intrintsekoak elkarutak direne, tentsio normalaren eta tentsio ebakitailearen moduluen artean honako erlaio hau beteten da: σ = σ + σ n nn nt. (-3) Tetraedro hori orekan egongo da kanpotik eragiten dioten bolumen- eta gainaalindarren eraginpean. Gainaal-indarrak tetraedroa inguraten duen materialak transmititutako akioen ondorio dira, eta tetraedroaren lau aurpegietan eragiten dute. Isolatutako bolu- Osagai intrintsekoe gain, tentsio-bektorea deskonposateko orduan ardat koordenatuak ere erabil daiteke,.4.b. irudian agerten den eran. Kasu horretan x, y eta ardatekiko paraleloak diren hiru osagai lortuko ditugu, σ nx, σ ny eta σ n, osagai globalak deiten direnak. Moduluak atertu, tentsio-bektorearen eta osagai globalen arteko erlaioa hauxe da: σn = σnx + σny + σn. (-4) E da ahatu behar, tentsio-bektorea plano batekiko emanda egon behar dela beti. Ondorio, puntu bateko tentsio-bektoreak ein daiteke besterik gabe bektorialki batu, indar arruntak balira beala, plano berarekiko adierairik e badato..4. UNTU BTEKO TENTSIO-EGOER. TENTSIO-MTRIZE Lehen ikusi dugune, kanpoko indarren eraginpean dagoen gorput bateko puntuetan infinitu tentsio-bektore topa daiteke, puntutik pasaten diren planoen kopurua ere infinitua baita. Tentsio-bektore horiek gutiak puntuaren tentsio-egoera definiten dute. Segidan ikusiko dugun beala, tentsio-egoera eaguteko, nahikoa da elkarutak diren hiru norabidetan eragiten duten tentsio-bektoreak kalkulatea. Horiek lortu ondoren, beste edoein planori dagokion tentsio-bektorea lortu ahal iango dugu, atal honetan frogatuko den beala. Har deagun orekan dagoen ingurune jarraitu bat eta ian bedi delakoa ingurune horren barneko puntu bat. untu horren inguruan, tetraedro infinitesimal bat isolatuko dugu, non BC, B eta C hiru aurpegiak x, y eta ardatekiko elkarutak diren, hurrene hurren,.5. irudian erakusten den beala. Laugarren aurpegia BC aurpegia plano arbitrario bat da, n bektore unitarioarekiko elkaruta, eta horren kosinu uentaileak n x, n y eta n dira.

27 6 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia menaren neurriak txikiak direne, kanpoko indarren balioa tetraedroaren puntu gutietan berdina dela suposatuko dugu, hots, puntuan duten balioaren berdina dela. y C σ C σ BC n σ n e e x e 3 B σ B.5. irudia. Esan beala, estatikako ekuaioen arabera indar horien gutien batura nulua ian behar da. Horta,.. atalean erabilitako idakera berrartu, bolumen- eta gainaal-indarrek honako oreka-ekuaio hau bete beharko dute: dφ + dt = 0. (-5) Bolumen-indarrek tetraedroaren puntu gutietan eragiten dutene kanpokoetan eta barnekoetan, alegia, indar horien baliokidea honelaxe idat deakegu: dφ = Φ. dv, (-6) non Φ delakoa bolumen-unitateko indarra den. Gainaal-indarrek, berri, tetraedroaren kanpoko gainaalean bakarrik eragiten dute, hau da, gorputaren lau aurpegietan. Bera, indar horiek honelaxe idat ditakegu: dt = dt BC + dt C + dt B + dt BC, (-7) non (-7) ekuaioko batugaiek tetraedroaren lau aldeetan aplikatutako gainaal-indarrak adieraten dituten. Indar horietako bakoita, puntuan ardat koordenatuen norabidean daukagun tentsioen funtioan idat daiteke, berehala ikusiko dugun beala. puntuan x ardataren norabidean dagoen tentsio-bektoreari σ x = σ(, e ) deituko diogu, ardat horren norabidea daukan bektore unitarioa e ianik. Era berean, y eta ardatetako tentsio-bektoreak, hau da, e eta e 3 norabideei dagokienak, σ y = σ(, e ) eta σ = σ(, e 3 ) iango dira, hurrene hurren. Lehen aipatu dugune, tetraedroaren hiru

28 Tentsio konteptua 7 aurpegi ardat koordenatuekiko elkarutak dira. Bera, plano horien norabide-bektoreek e, e eta e 3 bektore unitarioen norabide bera edukiko dute, baina kontrako norankoa, norabide-bektoreak gorputaren kanpoaldera uenduta daudelako. Bera, σ BC = σ(, e ) = σ(,e ) = σ x, σ B = σ(, e ) = σ(,e ) = σ y, (-8) σ C = σ(, e 3 ) = σ(,e 3 ) = σ. Berri, BC planoari dagokion tentsioa σ n = σ(, n) eran adieraiko dugu, plano hori n norabide arbitrarioarekiko elkaruta baita. Orduan,.3. atalean emandako definiioa gogoratu, tentsioak aalera-unitateko indarra adieraten duene, (-7) ekuaioa era honetan berridat daiteke: dt = σ n d BC σ x d BC σ y d B σ d C. (-9) Hemen d BC, d BC, d C eta d B tetraedroaren aurpegien aalerak dira. rdat koordenatuekiko elkarutak diren aalerak plano inklinatuaren aaleraren funtioan idat daiteke, n bektore unitarioaren kosinu uentailee baliatu: d BC = n. x dbc, d B = n. y dbc, (-0) d C = n. dbc. Hiru erlaio horiek (-9) ekuaiora eramane gero, aaleko indarrentat honako espresio hau lorten dugu: dt = (σ n σ x n x σ y n y σ n ) d BC, (-) eta bolumen- eta gainaal-indarrak (-5) oreka-ekuaioan ordetu: (σ n σ x n x σ y n y σ n ) d BC + ΦdV= 0. (-) Tetraedroaren bolumena erorant doaneko limitean, BC plano inklinatua puntutik pasatuko da, eta σ n bektoreak puntu horretan n norabidean dagoen tentsioa adieraiko digu. Bera, limitean bolumen infinitesimala aalera infinitesimalarekin parekatu arbuiagarria dene: hots, (σ n σ x n x σ y n y σ n ) d BC = 0, (-3) σ n = σ x n x + σ y n y + σ n. (-4) Bera, (-4) ekuaiotik ondoriota daitekeen beala, hiru norabide elkaruten tentsio-bektoreak eagutu gero, beste edoein plano arbitrariori dagokion tentsioa kalkula daiteke. Ikus deagun orain nola berridat deakegun espresio hori matrieen bide. rdat koordenatuen norabideetan kalkulatutako tentsio-bektoreek hau da, σ x, σ y eta σ -k bektoreek edoein norabide eduki deakete. Bektore bakoitaren hiru osagaiak honelaxe deituko ditugu:

29 8 Elastikotasunaren teoria eta materialen erresistentia σ x = σ xx e + τ xy e + τ x e 3, σ y = τ yx e + σ yy e + τ y e 3, (-5) σ = τ x e + τ y e + σ e 3. Osagai horien lehenengo apindieak tentsio-bektoreak ein planori dagokion adieraten du, eta bigarrenak, osagaiaren norabidea. Osagai normalak, hau da, plano koordenatuekiko elkarutak direnak, σ hikia iendatuko ditugu, eta osagai ebakitaileak, berri, τ hikia. Era berean, σ n tentsio eeagunak hiru osagai edukiko ditu: σ n = σ nx e + σ ny e + σ n e 3 (-6) Honelatan, bada, (-5) eta (-6) ekuaioak (-4) espresioan ordeten baditugu, σ nx e + σ ny e + σ n e 3 = (σ xx e + τ xy e + τ x e 3 ) n x + (-7) + (τ yx e + σ yy e + τ y e 3 ) n y + (τ x e + τ y e + σ e 3 ) n, eta eskuinaldeko terminoak berrantolatu: σ nx e + σ ny e + σ n e 3 = (σ xx n x + τ yx n y + τ x n ) e + (-8) + (τ xy n x + σ yy n y + τ y n ) e + (τ x n x + τ y n y + σ n ) e 3. kenik, berdinta-ikurraren alde bateko eta besteko batugaiak osagai osagai berdinten baditugu, honako hiru ekuaio hauetara iristen gara: σ nx = σ xx n x + τ yx n y + τ x n, σ ny = τ xy n x + σ yy n y + τ y n, (-9) σ n = τ x n x + τ y n y + σ n. Matrieen bide, hiru ekuaio horiek honelaxe adiera daiteke: edo laburrago: σ σ σ nx ny n σ σ σ xx yx x nx = σ xy σ yy σy ny, (-30) σ x σ y σ n t σ n = T n. (-3) (.3) espresioa Cauchy-ren formula da, t eta puntu batean edoein norabidetan dagoen tentsio-bektorea kalkulateko balio du. T matrieari tentsio-matriea derito eta, ikus daitekeene, matrie horren utabeak x, y eta norabideetako tentsio-bektoreak dira, hain uen. Bera, lehen aurreratu dugun beala, elkarutak diren hiru planotako tentsiobektoreak eagutu gero, puntuaren tentsio-egoera definituta geraten da, eren ekuaio horrek puntuan σ n eta n bektoreen artean dagoen bana-banako erlaioa definiten baitu. Oro har, tentsio-matriearen bederati osagaiak puntuaren posiioaren funtioak iango dira. Funtio horiek x, y eta koordenatuekiko jarraituak direla onartuko dugu. untu bateko tentsio-egoera adierapen grafiko baten bide ere deskriba daiteke. Demagun puntua paralelepipedo txiki baten entroan dagoela, eta paralelepipedo horren