LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI"

Transcript

1 UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU DANIEL Absolvent: BUDESCU ANGELA CLUJ - NAPOCA, 2010

2 Cuprins 1 Centrul de greutate al unui triunghi 3 2 Centrul cercului circumscris unui triunghi 11 3 Centrul cercului înscris într-un triunghi 18 4 Ortocentrul unui triunghi 28 5 Punctul lui Gergonne 40 6 Punctul lui Nagel 46 7 Punctul lui Longchamps 55 8 Punctul lui Bevan 59 9 Bibliografie 65

3 1 Centrul de greutate al unui triunghi Punctul de concurenţă al medianelor unui triunghi ABC se numeşte centrul de greutate X(2) al triunghiului ABC şi se notează cu G. Centrul de greutate al unui triunghi este un punct interior triunghiului. 1) Centrul de greutate al unui triunghi se află pe fiecare mediană la o treime de mijlocul laturii opuse corespunzătoare şi la două treimi de vârful corespunzător. Figure 1: Fie triunghiul ABC şi M a, M b, M c mijloacele laturilor BC, AC, AB. Triunghiul M a M b M c se numeşte triunghi median. (Fig. 1) Teorema lui Menelaus aplicată triunghiului AM a C şi transversalei B G M b ne dă: BM a BC MbC M b A GA = 1 GA = BC = 2 GA = 2GM a GA = 2 GM a GM a BM a 3 AM a şi GM a = 1 3 AM a. 2) Distanţele de la centrul de greutate al unui triunghi la vârfurile triunghiului sunt egale cu: 1 2(b2 + c 3 2 ) a 2, 1 2(a2 + c 3 2 ) b 2, 1 2(b2 + a 3 2 ) c 2. 3

4 Utilizând teorema medianei în ABC obţinem: 2(b 2 + c 2 ) a 2 AM a = = (b 2 + c 2 ) a 2. Deoarece GA = 2 3 AM a GA = (b 2 + c 2 ) a 2 = 1 2(b2 + c 3 2 ) a 2. Analog, GB = 1 3 2(a2 + c 2 ) b 2 şi GC = 1 3 2(a2 + b 2 ) c 2. 3) Distanţele de la centrul de greutate al unui triunghi la laturile triunghiului sunt egale cu: 1 3 h a, 1 3 h b, 1 3 h c, unde h a, h b, h c sunt lungimile înălţimilor triunghiului ABC. Figure 2: Fie G a şi H a proiecţiile punctelor G, respectiv A pe BC. (Fig. 2) Din asemănarea triunghiurilor GG a M a şi AH a M a rezultă: GG a h a = GM a AM a = 1 3, deci GG a = 1 3 h a. 4

5 Teorema lui Stewart Fie triunghiul ABC şi M un punct pe latura BC. Atunci: AB 2 MC + AC 2 BM AM 2 BC = BC BM MC. Figure 3: Aplicând teorema cosinusului în triunghiurile ABM şi AM C (Fig. 3) obţinem: AB 2 = AM 2 + BM 2 2 AM BM cos( AMB) AC 2 = AM 2 + MC 2 2 AM MC cos( AMC). Cum cos( AMC) = cos(180 AMB) = cos( AM B), rezultă: AB 2 MC = AM 2 MC + BM 2 MC 2 AM BM MC cos( AMB) AC 2 MB = AM 2 MB + MC 2 MB + 2 AM MC MB cos( AMB). Însumând egalităţile precedente obţinem: AB 2 MC + AC 2 BM = AM 2 (MC + MB) + BM MC(MB + MC) AB 2 MC + AC 2 BM = AM 2 BC + BM MC BC. 5

6 Teorema lui Leibniz Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Pentru orice punct M din planul triunghiului ABC este adevărată relaţia: MA 2 + MB 2 + MC 2 = AB2 + BC 2 + CA 2 + 3MG 2. 3 Fie A mijlocul laturii BC (Fig. 4). Figure 4: Relaţia lui Stewart aplicată în triunghiul AMA dă: MA 2 A G + MA 2 AG AA AG GA = MG 2 AA. Înlocuind egalităţile: A G = 1 3 AA, AG = 2 3 AA, MA 2 = 2(MB2 + MC 2 ) BC 2, 4 AA = 2(AB2 + AC 2 ) BC 2 în relaţia: MA 2 A G+MA 2 AG AA AG GA = MG 2 AA 4 dau concluzia. Consecinţe: 1) Daca M G, atunci GA 2 + GB 2 + GC 2 = AB2 + BC 2 + CA 2 relaţia din teorema lui Leibniz devine: MA 2 + MB 2 + MC 2 = GA 2 + GB 2 + GC 2 + 3MG 2. 3 şi 6

7 2) Din relaţia lui Leibniz rezultă că: MA 2 + MB 2 + MC 2 AB2 + AC 2 + BC 2 3 cu egalitate dacă punctul M coincide cu G. 8) Pentru orice punct M din planul triunghiului ABC este adevărată relaţia: MG = MA + MB + MC. 3 Figure 5: Din teorema medianei scrisă vectorial avem: MM a = 1 2 ( MB + MC) (Fig. 5). Din: GA = 2 MG = GM a MA + 2 MM a MG = MA + MB + MC. 3 Consecinţe: 1) Dacă M G relaţia de mai sus devine: GA + GB + GC = 0 2) Dacă M A relaţia devine: AG = AB + AC 3 7

8 9) Coordonatele baricentrice absolute ale centrului de greutate al unui triunghi ABC sunt: G( 1 3, 1 3, 1 3 ). 10) Afixul centrului de greutate al unui triunghi ABC este egal cu: z G = z A + z B + z C. 3 11) În orice triunghi ABC este adevărată relaţia: GA 2 + GB 2 + GC 2 = a4 + b 4 + c 4. 9 GA = 1 3 2(b2 + c 2 ) a 2 ; Ridicând la pătrat relaţia GA 2 = 1 9 [2(b2 + c 2 ) a 2 ] rezultă: Analog, GA 4 = 1 81 [4(b4 + c 4 + 2b 2 c 2 ) 4a 2 (b 2 + c 2 ) + a 4 ]. GB 4 = 1 81 [4(a4 + c 4 + 2a 2 c 2 ) 4b 2 (a 2 + c 2 ) + b 4 ], GC 4 = 1 81 [4(a4 + b 4 + 2a 2 b 2 ) 4c 2 (a 2 + b 2 ) + c 4 ]. Rezultă: GA 4 + GB 4 + GC 4 = a4 + b 4 + c ) O dreaptă d, care nu este paralelă cu BC şi trece prin centrul de greutate G al triunghiului ABC, intersectează laturile AB şi AC în punctele M, respectiv N. Atunci: BM MA + CN NA = 1. Fie M a mijlocul laturii BC şi fie D, E, F, L proiecţiile punctelor B, M a, C, respectiv A pe dreapta d (Fig. 6). Triunghiurile ALG şi M a EG sunt asemenea, rezultă că: M a E = BD + CF 2, GA = 2GM a, AL = 2M a E AL = BD + CF. Din asemănarea triunghiurilor BDM şi ALM precum şi a triunghiurilor CF N şi ALN rezultă: BM MA = BD LA CN şi NA = CF BM, deci: LA MA + CN NA = BD LA + CF LA = LA LA = 1. 8

9 Figure 6: 13) Fie P un punct în interiorul triunghiului ABC. Prin punctul P ducem paralelele P L, P M şi P N la laturile BC, AC, respectiv AB (L AB, M BC, N AC). Dacă ariile triunghiurilor BP L, CP M, şi AP N sunt egale, atunci P este centrul de greutate al triunghiului ABC. Fie L = P L AC (Fig. 7). Figure 7: Atunci, A [BP L] = A [CP M] = A [CP L ]. 9

10 Cum LL BC, rezultă că înălţimile din B şi C ale triunghiurilor BP L şi CP L sunt egale şi deci P L = P L, adică P aparţine medianei ce pleacă din A. Analog, se arată că punctul P aparţine medianei ce pleacă din A. Analog, se arată că punctul P aparţine şi celorlalte mediane, deci P este centrul de greutate al triunghiului ABC. 10

11 2 Centrul cercului circumscris unui triunghi Punctul de intersecţie al mediatoarelor unui triunghi ABC se numeşte centrul cercului circumscris triunghiului ABC X(3) şi se notează cu O. Raza acestui cerc se numeşte raza cercului circumscris triunghiului ABC şi se notează cu R. T riunghiul podar este triunghiul format de proiecţiile ortogonale ale unui punct pe BC, CA, AB. (Fig. 8) Figure 8: DEF - Triunghi podar 1)Triunghiul podar al centrului cercului circumscris unui triunghi ABC este triunghiul median al acestuia. T riunghiul pedal este triunghiul format de picioarele cevienelor unui punct. 2) Fie A B C triunghiul pedal al centrului cercului circumscris triunghiului ABC. Atunci: A B A C = sin 2C sin 2B, B C B A sin 2A = sin 2C şi C A C B = sin 2B sin 2A. Avem: m( BAA )=m( BAO)= 1 [180 2 m(ĉ)]=90-m(ĉ) şi 2 m( CAA )=m( CAO)= 1 2 [180-m( ˆB)] = 90-m( ˆB) (Fig. 9). Din teorema sinusurilor aplicată în triunghiurile ABA şi ACA rezultă: 11

12 A B sin A = AA sin B sin( π 2 A B Figure 9: C) = AA sin B, respectiv A C sin A = AA sin C A C sin( π AA = B) sin C, de unde A B A C = sin C sin B cos C cos B 2 = sin 2C sin 2B. Analog se arată că B C B A sin 2A = sin 2C şi C A C B = sin 2B sin 2A. 3)Fie A B C ABC. Atunci: AO OA = triunghiul pedal al centrului cercului circumscris triunghiului sin 2B + sin 2C, BO = sin 2A OB sin 2C + sin 2A, CO = sin 2B OC sin 2A + sin 2B. sin 2C Din teorema lui Van-Aubel rezultă: AO OA = AB B C + AC C B sin 2C sin 2B = + sin 2A sin 2A Analog se arată şi pentru celelalte inegalităţi. sin 2B + sin 2C =. sin 2A 12

13 4) Fie O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC. Pentru orice punct M din planul triunghiului este adevărată egalitatea: MO = sin 2A MA + sin 2B MB + sin 2C MC sin 2A + sin 2B + sin 2C. (Fig. 10) Din AO OA = iar din A B A C MO = MO = sin 2B + sin 2C sin 2A rezultă: MO = sin 2C = rezultă: MA = sin 2B Figure 10: sin 2B + sin 2C MA + sin 2A 1 + sin 2C MB sin 2B MC sin 2C sin 2B sin 2B + sin 2C sin 2A sin 2A sin 2B MB + sin 2C MC MA + (sin 2B + sin 2C) sin 2B + sin 2C sin 2A + sin 2B + sin 2C sin 2A MA + sin 2B MB + sin 2C MC. sin 2A + sin 2B + sin 2C = MA, sin 2B MB + sin 2C MC sin 2B + sin 2C 13

14 Observaţie: Ţinând cont de identitatea: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C = 2S R, 2 unde S reprezintă aria triunghiului ABC, egalitatea demonstrată anterior devine: MO = R2 (sin 2A MA + sin 2B MB + sin 2C MC). 2S 5) Coordonatele baricentrice ( absolute ale centrului ) cercului circumscris unui R 2 R2 R2 triunghi ABC sunt: O sin 2A, sin 2B, sin 2C. 2S 2S 2S 6) Fie z a, z b, z c afixele vârfurilor unui triunghi ABC. Afixul centrului cercului circumscris triunghiului ABC este egal cu: z o = sin 2A z A + sin 2B z B + sin 2C z c. sin 2A + sin 2B + sin 2C 7) Coordonatele unghiulare ale centrului cercului circumscris unui triunghi ascuţitunghic ABC sunt egale cu: m( BOC) = 2 m(â), m( COA) = 2m( B), m( AOB) = 2m(Ĉ). BOC este unghi la centru, deci are măsura egală cu măsura arcului BC. COA este unghi la centru, deci are măsura egală cu măsura arcului ĈA. AOB este unghi la centru, deci are măsura egală cu măsura arcului ÂB. 8) Raza cercului circumscris unui triunghi oarecare este egală cu R = abc 4S, unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului şi S este aria acestuia. A ABC = a b sin B 2 = ac 2 b 2R = abc 4R. 9) Consecinţă: Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral de latură l este R = l 3 3. R = l3 4S = l3 4 4 l 2 3 = l = l

15 10) Distanţele de la centrul cercului circumscris unui triunghi ascuţitunghic ABC la laturile triunghiului sunt egale cu: a ctga ctgb ctgc. 2 Avem OM a = R cos A = Figure 11: a 2 sin A cos A = a ctga. (Fig. 11) 2 Analog OM b = R cos B = b 2 ctgb şi OM c = R cos C = c 2 ctgc. 11) Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, atunci OG 2 = R 2 a2 + b 2 + c 2. 9 Din Teorema lui Leibniz rezultă: MA 2 + MB 2 + MC 2 = AB2 + BC 2 + CA MG 2. 15

16 Dacă M coincide cu O rezultă: OA 2 + OB 2 + OC 2 = AB2 + BC 2 + CA 2 + 3OG 2 3 9R 2 = AB 2 + BC 2 + CA 2 + 9OG 2 9OG 2 = 9R 2 (AB 2 + BC 2 + CA 2 ) OG 2 = R 2 a2 + b 2 + c ) Dacă I a este centrul cercului A - exînscris în triunghiul ABC atunci: OI 2 a = R 2 + 2Rr a. Figure 12: Fie A cel de-al doilea punct în care dreapta AI a intersectează cercul circumscris triunghiului ABC (Fig. 12). Utilizând puterea punctului I a faţă de cercul circumscris triunghiului ABC obţinem: OI 2 a R 2 = AI a A I a (1). 16

17 În triunghiul AI a A c, sin A 2 = r a AI a sau AI a = sinusurilor rezultă: BA sin A 2 r a sin A 2 = 2R, adică BA = 2R sin A 2 = A I a (3). (2), iar în triunghiul ABA din teorema Din relaţiile (1),(2) şi (3), rezultă OI 2 a R 2 = 2Rr a, de unde OI 2 a = R 2 + 2Rr a. Observatie : OIa 2 = R 2 + 2Rr a este relaţia lui Euler. 17

18 3 Centrul cercului înscris într-un triunghi 1) Bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente. Fie triunghiul ABC şi A, B, C picioarele bisectoarelor unghiurilor A,B,C, iar I = BB CC. (Fig. 13) Fie C a, C b, C c proiecţiile punctului I pe laturile BC, CA, AB. Din congruenţa triunghiurilor BC a I cu BC c I, respectiv CC a I cu CC b I rezultă că C a I C c I şi C a I C b I, de unde rezultă C c I C b I, adică punctul I aparţine şi bisectoarei AA. 2) Deoarece punctul I de concurenţă se află la distanţă egală faţă de laturile triunghiului ABC, el este centrul unui cerc tangent interior laturilor triunghiului. Punctul I se numeşte centrul cercului inscris X(1) în triunghiul ABC. Figure 13: 3) Raza cercului înscris în triunghiul ABC se notează cu r. 18

19 4) Triunghiul C a C b C c ale cărui vârfuri sunt punctele de tangenţă dintre laturile triunghiului şi cercul înscris se numeşte triunghiul de contact al triunghiului ABC. 5) Distanţele de la centrul cercului înscris într-un triunghi la laturile triunghiului sunt egale cu raza cercului înscris în acest triunghi. 6) Distanţele de la centrul cercului înscris într-un triunghi la vârfurile r r r triunghiului sunt egale cu:,,. sin A 2 sin B 2 sin C 2 Din triunghiul AIC c rezultă sin A 2 = Analog BI = r, CI = r. r AI AI = r sin A 2. sin B 2 sin C 2 7) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Atunci AI = 4R sin B 2 sin C 2. (Fig. 14) Figure 14: 19

20 Se cunoaşte formula ariei unui triunghi A [ABC] = a b sinc, unde a, b, c sunt laturile 2 acestuia. Din teorema sinusului A [ABC] = 2R sina 2R sinb sinc 2 Avem : A [AIB] = c r 2, A [AIC] = b r 2, A [BIC] = a r 2 Rezultă că A [ABC] = r = 2R 2 sinasinbsinc. (1) A [ABC] = r a + b + c 2 2R(sinA + sinb + sinc), adică A [ABC] = r R(sinA+sinB +sinc). 2 Dar sina + sinb + sinc = 2sin A + B cos A B + 2sin C cosc 2 = ( π = 2sin 2 C ) cos A B + 2sin C cosc 2 = 2cosC 2 cosa B + 2sin C 2 2 cosc 2 = = 2cos C ( cos A B + sin C ) = 2cos C ( cos π 2B C + sin C ) = = 2cos C ( π 2 cos 2 2B + C ) + sin C ( ( 2 2 = 2cosC sin B + C ) + sin C ) = = 2cos C 2 2sin B + C 2 + C 2 2 cosb + C 2 C 2 2 = 4cos C ( π 2 cos 2 B + C ) cos B 2 2 = = 4cos C 2 cosa 2 cosb 2 = 4cosA 2 cosb 2 cosc 2 A [ABC] = 4rRcos A 2 cosb 2 cosc 2. (2) Din (1) şi (2) rezultă: 4rRcos A 2 cosb 2 cosc 2 = 2R2 sinasinbsinc = ( = 2R 2 2sin A ) ( 2 cosa 2sin B ) ( 2 2 cosb 2sin C ) 2 2 cosc r = 4Rsin A 2 2 sinb 2 sinc 2. Avem AI = r sin A 2 =4R sin A 2 sin B 2 sin C 2 sin A 2 =4R sin B 2 sin C 2. Analog BI = r sin B 2 =4R sin A 2 sin B 2 sin C 2 sin B 2 =4R sin C 2 sina 2. CI = r sin C 2 =4R sin A 2 sin B 2 sin C 2 sin C 2 =4R sin A 2 sin B 2. 20

21 8) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci: m( BIC) = m( BAC), m(âib) = m( ACB), m(ĉia) = m( ABC). Figure 15: m( BIC) = m( BIA ) + m( A IC) = [m( BAI) + m(âbi)] + [m(ĉai) + m( ICA)] (Fig.15). m( BIC) = m( BAC) [m( ABC) + m( ACB)] = m( BAC). Analog se determină şi măsurile celorlalte unghiuri. 9) Fie ABC un triunghi de laturi a, b, c, I este centrul cercului înscris în triunghi şi M un punct din planul triunghiului. Atunci: a MA + b MB + c MC = (a + b + c) MI. Din teorema bisectoarei rezultă BA A C = c, de unde MA = b MB + c MC. b b + c 21

22 Figure 16: Teorema lui Menelaus aplicată triunghiului AA C (Fig. 16) şi transversalei B I B dă: AI IA A B BC CB B A b + c MA + MA Atunci: MI = a 1 + b + c a = 1, de unde rezultă că AI IA = b + c a. = a MA + b MB + c MC a + b + c. 10) Coordonatele ( baricentrice ) ale centrului cercului circumscris triunghiului a ABC sunt: 2p, b 2p, c. 2p 11) Fie z A, z B, z C afixele vârfurilor A, B, C ale triunghiului ABC de laturi a,b,c. Afixul centrului cercului înscris este egal cu z I = a z A + b z B + c z C. a + b + c Alegem un sistem cartezian cu originea în punctul O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Din teorema bisectoarei (Fig. 17) avem: c b = BA A C sau z B + c de unde rezultă că z A = b z C 1 + c. b c b + c = BA BC, deci BA = ac b + c, 22

23 Figure 17: Teorema bisectoarei aplicată în triunghiul ABA pentru bisectoarea BI ne dă: b + c AB = IA sau IA = b + c z A + z BA IA IA a, deci A a 1 + b + c a = a z A + b z B + c z C. a + b + c 12) Dacă C a C b C c este triunghiul de contact al triunghiului ABC atunci AC b = AC c = p a, BC a = BC c = p b, CC a = CC b = p c, unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, AC, BA, iar p = a + b + c. 2 (Fig. 18) Figure 18: 23

24 Fie AC b = x = AC c, BC a = y = BC c, CC a = z = CC b, de unde rezultă că: 2(x + y + z) = a + b + c = 2p, deci p = x + y + z. Cum y + z = a, z + x = b rezultă x = p a, y = p b, z = p c. 13) Dacă r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, atunci: r = p a ctg A 2 = p b ctg B 2 = p c ctg C. 2 Din triunghiul dreptunghic AIC b, rezultă ctg A 2 = p a. r Analog se obţin şi celelalte egalităţi. Consecinţă: p = r ctg A 2 B 2 C 2. Avem p a + p b + p c = r(ctg A 2 + ctg B 2 + ctg C 2 ) = r ctg A 2 B 2 C 2. 14) Daca O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, R raza cercului circumscris triunghiului ABC şi r raza cercului înscris în acest triunghi, atunci: IO 2 = R 2 2Rr. Fie A cel de-al doilea punct în care dreapta AI intersectează cercul circumscris triunghiului ABC. (Fig. 19) Utilizând puterea punctului I faţă de cercul circumscris triunghiului ABC obţinem: AI A I = (R + IO)(R IO) = R 2 IO 2, adică OI 2 R 2 = AI A I (1). În triunghiul AIC c, sin A 2 = r AI sau AI = r sin A 2 (2). 24

25 Figure 19: Avem: m( BIA ) = m( IAB) + m( IBA) = 1 [m(â) + m( B)] 2 şi m( IBA ) = 1 2 m( B) + m( CBA ) = 1 2 m( B) + m( A AC) = 1 2 m( B) m(â). Din teorema sinusurilor în triunghiul ABA rezultă: BA sin A 2 = 2R, adică BA = 2R sin A 2 = A I (3). Din relaţiile (1), (2), (3) rezultă IO 2 = R 2 2Rr (Relaţia lui Euler). 15) Măsura unghiului determinat de bisectoarea interioară unghiului A a triunghiului ABC şi înălţimea din A este egală cu: 1 2 m( B) m(ĉ). Fie H a piciorul înălţimii din A şi A piciorul bisectoarei din A. (Fig. 20) Considerăm cazul în care A (H a C), cazul în care A (H a B) tratându-se analog. 25

26 Figure 20: Din m( H a AA ) = 1 m(â) m( H a AB) = m(â) [90 m( B)] = = 1 [ 1 (m(â) 2 m(â) 2 + m( B) ) ] + m(ĉ) m( B) rezultă m( H a AA ) = 1 2 [m( B) m(ĉ)]. 16) Proiecţiile vârfului A al triunghiului ABC pe cele patru bisectoare ale unghiurilor B şi C sunt coliniare. Figure 21: 26

27 Fie P, Q şi R, S proiecţiile vârfului A pe bisectoarele exterioare, respectiv interioare ale vârfurilor B şi C. (Fig. 21) Patrulaterele P BRA şi CQAS sunt dreptunghiuri, deci P R trece prin M, mijlocul lui AB şi SQ trece prin N, mijlocul laturii AC. Deoarece MBR MRB RBC rezultă că MR BC, deci R aparţine dreptei MN. Analog se arată că S MN, deci punctele P, Q, R, S coliniare. 27

28 4 Ortocentrul unui triunghi Punctul de intersecţie al înălţimilor unui triunghi se numeşte ortocentrul triunghiului X(4) şi se notează cu H. Dacă triunghiul ABC este ascuţitunghic, ortocentrul se află în interiorul triughiului(fig. 22) Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, ortocentrul triughiului este punctul A (Fig. 23). Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic, ortocentrul se află în exteriorul triughiului ABC (Fig. 24). Figure 22: Figure 23: 28

29 Figure 24: În triunghiul ABC, fie H a, H b, H c picioarele înălţimilor duse din vârfurile A,B,respectiv C pe laturile triunghiului ABC. Triunghiul H a H b H c se numeşte triunghiul ortic al triunghiului ABC. 1) Fie H ortocentrul unui triunghi nedreptunghic ABC şi H a H b H c triunghiul său ortic. Sunt adevărate egalităţile: BH a H a C = tgc tgb, CH b H b A = tga tgc, AH c H c B = tgb tga. (Fig. 25) Figure 25: Din triunghiurile dreptunghice BH a A şi CH a A rezultă BH a = AH a tgb şi CH a = AH a tgc, de unde BH a H a C = tgc. Analog se arată şi celelalte egalităţi. tgb 29

30 2) Fie H ortocentrul unui triunghi nedreptunghic ABC şi H a H b H c triunghiul său ortic. Sunt adevărate egalităţile: AH HH a = cos A cos B cos C, BH = HH b cos B cos C cos A, CH = HH c cos C cos A cos B. Din teorema lui Van-Aubel rezultă: Analog se demonstrează şi celelalte egalităţi. AH HH a = AH b H b C + AH c H c B = tgc tga + tgb tga = cos A cos B cos C. 3) Pentru orice punct M din planul unui triunghi nedreptunghic ABC este adevărată egalitatea: MH = tga tga + tgb + tgc MA + tgb tga + tgb + tgc MB + tgc tga + tgb + tgc MC. (Fig. 26) Din AH HH a = MH = tgc + tgb tga tgc + tgb MA + tga 1 + tgc + tgb tga Figure 26: şi BH a H a C = tgc tgb avem: MH a = tga MA + (tgc + tgb) MH a tga + tgb + tgc 30 şi

31 MH a = MB + tgc tgb MC 1 + tgc tgb = tgb MB + tgc MC, de unde rezultă concluzia. tgb + tgc 4) Coordonatele baricentrice ( absolute ale ortocentrului H al unui triunghi ) tga ascuţitunghic ABC sunt: H tga + tgb + tgc, tgb tga + tgb + tgc, tgc. tga + tgb + tgc 5) Fie z a,z b,z c afixele vârfurilor triunghiului ABC. Afixul ortocentrului H al triunghiului ABC este egal cu: tga z H = tga + tgb + tgc z tgb A + tga + tgb + tgc z tgc B + tga + tgb + tgc z C. 6) Coordonatele unghiulare ale ortocentrului unui triunghi ascuţitunghic ABC sunt egale cu: m( BHC) = 180 m(â), m( CHA) = 180 m( B), m( AHB) = 180 m(ĉ). Figure 27: Avem: m( BHC) = m( Hb HH c ) = 180 m(â) (deoarece patrulaterul AH chh b inscriptibil) (Fig. 27) este Analog m( CHA) = 180 m( B) şi m( AHB) = 180 m(ĉ). 31

32 7) Distanţele de la ortocentrul unui triunghi ABC la vârfurile acestuia sunt egale cu: 2R cos A, 2R cos B, 2R cos C. Figure 28: Deoarece patrulaterul BH a HH c este inscriptibil (Fig. 28) rezultă m( H c HA) = m( B), atunci sin H c HA = sin B = H ca AH, de unde AH = AH c sin B = b cos A sin B Analog se arată că BH = 2R cos B şi CH = 2R cos C. = 2R cos A. 8) Consecinţă: AH + BH + CH = 2(R + r). ( Avem: AH + BH + CH = 2R(cos A + cos B + cos C) = 2R sin A 2 sin B 2 sin C ) ; 2 dar r R = 4 sin A 2 sin B 2 sin C, deci AH + BH + CH = 2(R + r). 2 32

33 9) Distanţele de la ortocentrul unui triunghi ABC la laturile acestuia sunt egale cu: 2R cos B cos C, 2R cos C cos A, 2R cos A cos B. Figure 29: Din triunghiul BHH a rezultă HH a = BH cos C = 2R cos B cos C (Fig. 29). Analog HH b = 2R cos C cos A şi HH c = 2R cos A cos B. 10) În triunghiul ABC fie H a, H b, H c picioarele înălţimilor, M a, M b, M c mijloacele laturilor BC, CA respectiv AB şi A, B, C mijloacele segmentelor AH,BH respectiv CH. Punctele H a, H b, H c, M a, M b, M c, A, B, C sunt conciclice.cercul pe care se găsesc cele 9 puncte se numeşte cercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte. În triunghiul dreptunghic AH a B, H a C mediană, deci H a M c = AB 2 (1), iar M a M b este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci M a M b = AB 2 (2) (Fig. 30). Din (1) şi (2) rezultă că M a M b = H a M c şi cum M c M b BC (deoarece M c M b este linie mijlocie în triunghiul ABC) rezultă că patrulaterul M c H a M a M b este trapez isoscel, deci punctele M a, M b, M c şi H a aparţin unui cerc C. Analog se arată că punctele H b şi H c aparţin cercului C. În triunghiul BHC, M a C este linie mijlocie, deci M a C BH, de unde HBC C M a C (3). 33

34 Figure 30: Patrulaterul BH a HH c fiind inscriptibil (m( BH a H) + m( BH c H) = 180 ) rezultă că HBH a HH c H a (4). Din relaţiile (3) şi (4) rezultă că inscriptibil, deci C aparţine cercului C. C M a C H a H c H, adică patrulaterul C M a H a H c este Analog, se demonstrează că punctele A şi B sunt pe cercul C. Observaţii: i) Punctele A, B, C mijloacele segmentelor AH, BH, CH se numesc punctele euleriene ale triunghiului ABC. ii) Centrul cercului lui Euler se noteaza cu O 9 X(5). iii) Dreapta OH se numeşte dreapta lui Euler a triunghiului ABC. 34

35 12) Ortocentrul H al triunghiului ABC aparţine dreptei lui Euler a triunghiului ABC. 13)Centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC este mijlocul segmentului OH, unde O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar H ortocentrul acestuia. Deoarece OM a BC rezultă OM a HH a, adică patrulaterul HOM a H a este trapez, perpendicularele ridicate din mijloacele coardelor H a M a, H b M b şi H c M c ale cercului lui Euler trec prin mijlocul segmentului OH, deci prin O 9. 14) Centrul de greutate G al triunghiului ABC se află pe dreapta lui Euler a triunghiului ABC şi GH = 2OG. (Fig. 31) Figure 31: Fie G 1 = AM a HO. Din asemănarea triunghiurilor AHG 1 şi M a OG 1 avem: AG 1 = AH = HG 1 G 1 M a OM A G 1 O (1). 35

36 Fie A = AO C(ABC). Avem m( A CA) = 90, deci A C CA, dar BH AC de unde BH A C. Analog, CH A B, deci patrulaterul BHA C este paralelogram, deci punctele H, M a şi A sunt coliniare. Din asemănarea triunghiurilor OM a A şi AHA rezultă AH OM a = AA OA = 2R R = 2 (2) (unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC). Din relaţiile (1) şi (2) rezultă AG 1 G a M a = HG 1 G 1 O = 2, sau AG 1 = 2G 1 M a, adică G 1 este centrul de greutate G al triunghiului ABC şi HG = 2GO. Observaţie: Din demonstraţia anterioară rezultă 12GO 9 = 6GO = 4OO 9 = 3HO. 15) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC şi O centrul cercului circumscris acestui triunghi, atunci HO 2 = R 2 (1 8 cos A cos B cos C). Puterea punctului H faţă de cercul circumscris triunghiului ABC este egală cu: P 2 h = AH 2HH a = R 2 OH 2 sau 2R cos A 4R cos B cos C = R 2 OH 2 de unde rezultă concluzia. 16) Simetricul ortocentrului H al triunghiului ABC faţă de mijlocul unei laturi se află pe cercul circumscris triunghiului. Fie M a mijlocul laturii BC şi A punctul diametral opus lui A. (Fig. 32) Deoarece BH AC şi A C AC rezultă BH CA. Analog, rezultă BH CA, deci patrulaterul BHCA este paralelogram, deci simetricul lui H faţă de M a este situat pe cercul circumscris triunghiului ABC. 36

37 Figure 32: 17) Simetricul ortocentrului H al triunghiului ABC faţă de una din laturile triughiului se află pe cercul circumscris triunghiului. Figure 33: Fie A 1 punctul de intersecţie dintre înălţimea AH a şi cercul circumscris triunghiului ABC (Fig. 33) Deoarece m( HBH a ) = 90 m( BAC) = 90 m( BA 1 A) = m( A1 BH a ) rezultă că înălţimea BH a este şi bisectoarea unghiului HH a = H a A 1. HBA1, adică triunghiul HBA 1 este isoscel, deci 37

38 Observaţie: Fie A 1, B 1 şi C 1 simetricele ortocentrului H faţă de laturile BC,AC, respectiv AB. Triunghiul A 1 B 1 C 1 se numeşte triunghiul circumpedal al ortocentrului triunghiului ABC. Figure 34: A 1 B 1 C 1 triunghiul circumpedal al ortocentrului triunghiului ABC 18) Dacă L este proiecţia ortocentrului triunghiului ABC pe mediana AM a şi L 1 este simetricul lui L faţă de M a, atunci L 1 aparţine cercului circumscris triunghiului ABC. Fie H a piciorul înălţimii duse din A pe BC. (Fig. 35) Avem LM a = M a L 1. Deorece patrulaterul HH a M a L este inscriptibil, din puterea punctului A faţă de cercul circumscris acestui patrulater rezultă: AM a (AM a M a L) = AH a AH. Dar AH = 2R cosa, cosa = b2 + c 2 a 2 AH a AH = b2 + c 2 a 2 2 2bc, AH a = 2 S a = AM a (AM a M a L) (1) = b c 2 R rezultă: 38

39 Figure 35: Fie L = AL C, (C fiind cercul circumscris triunghiului ABC). Analog, AM a M a L = BM a M a C = a2 4. Dar AMa 2 = 2(b2 + c 2 ) a 2, de unde rezultă că AM a (AM a M a L ) = b2 + c 2 a 2 (2). 4 2 Din relaţiile (1) şi (2) rezultă M a L M a L, deci M a L 1 = M a L sau L L, de unde rezultă concluzia. 39

40 5 Punctul lui Gergonne 1) Într-un triunghi ABC dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente. Figure 36: Fie C a, C b, C c punctele de tangen aă dintre cercul înscris în triunghiul ABC şi laturile BC, AC, respectiv AB.(Fig.36) Cum BC a = BC c, CC a = CC b, AC b = AC c, avem: C ab C a C CbC C b A CcA = 1, iar din reciproca C c B teoremei lui Ceva rezultă că dreptele AC a, BC b şi CC c sunt concurente. Punctul Γ de concurenţă al dreptelor AC a, BC b, şi CC c se numeşte punctul lui Gergonne X(7). 2) Dacă Γ este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC, iar C a C b C c triunghiul său de contact, AΓ a(p a) atunci: = ΓC a (p b)(p c), BΓ bp b = ΓC b (p c)(p a), CΓ c(p c) = ΓC c (p a)(p b). Din teorema lui Van-Aubel rezultă: Analog se demonstrează şi celelalte egalităţi. AΓ = AC c ΓC a C c B + AC b C b C = p a p b + p a p c = a(p a) (p b)(p c). 40

41 3) Dacă Γ este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC, atunci pentru orice punct M din planul triunghiului ABC, este adevărată egalitatea: MΓ = 1 ( 1 MA + 1 MB + 1 ) MC, unde s = 1 s p a p b p c p a + 1 p b + 1 p c. (Fig. 37) Figure 37: Din AΓ ΓC a = a(p a) (p b)(p c) rezultă MΓ = MA a(p a) MC a (p b)(p c) a(p a) (p b)(p c) (1), dar BC a C a C = p b MB + p b MC p c, de unde MC a = p c 1 + p b p c = (p c) MB + (p b) MC a (2). Din relaţiile (1) şi (2) rezultă concluzia. 4) Coordonatele baricentrice relative ale punctului lui Gergonne sunt: ( ) 1 Γ p a, 1 p b, 1. p c 41

42 5) Fie z A, z B, z C afixele vârfurilor A, B, C ale triunghiului ABC de laturi a, b, c. Afixul punctului lui Gergonne corespunzător triunghiului ABC este egal cu: z Γ = 1 p a z A + 1 p b z B + 1 p c z C 1 p a + 1 p b + 1 p c. 6) Fie ABC un triunghi neisoscel, C a C b C c triunghiul său de contact, A = C b C c BC, B = C a C c BC, C = C a C b AC. Punctele A, B, C sunt coliniare. (Fig. 38) Figure 38: Teorema lui Menelaus aplicată în triunghiul ABC pentru transversalele A C c C b, B C c C a, respectiv C C a C b dă: A B A C CcA C c B CbC C b A = 1, B C B A CaB C a C CcA C c B = 1, C A C B CaB C a C CbC ( c b A = 1, de unde rezultă: A B A C B C B A C A C B = Ca C C a B CbA C b C CcB ) 2 = 1. C c A Atunci, din reciproca teoremei lui Menelaus rezultă că punctele A, B, C sunt coliniare. 42

43 Dreapta ce conţine punctele A, B, C se numeşte dreapta lui Gergonne. 7) Dreptele care unesc vârfurile unui triunghi ABC cu punctele de contact dintre un cerc exînscris şi dreptele AB, BC, CA sunt concurente. Figure 39: Fie A 1, B 1, C 1 punctele de contact dintre cercul A- exînscris şi dreptele BC, CA, respectiv AB. (Fig. 39) Cum AB 1 = AC 1, BA 1 = BC 1 şi CA 1 = CB 1 rezultă: A 1B A 1 C B1C B 1 A C1A C 1 B = 1 şi din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele AA 1, BB 1 şi CC 1 sunt concurente într-un punct Γ a. Analog se obţin punctele Γ b şi Γ c. Punctele Γ a, Γ b, Γ c se numesc adjunctele punctului Gergonne. 43

44 8) În triunghiul ABC, fie U (AB) şi V (AC). Punctul lui Gergonne (Γ) al triunghiului ABC aparţine dreptei U V dacă şi numai dacă: UA UB 1 p b + V C V A 1 p c = 1, unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA, p a respectiv AB, iar p este semiperimetrul triunghiului ABC. Figure 40: Fie C a C b C c triunghiul de contact al triunghiului ABC (Fig. 40). Deoarece dreapta UV trece prin punctul lui Gergonne atunci UB UA CaC BC + V C V A BC a BC = ΓC a AC a (Relaţia lui Van-Aubel). Dar, AΓ ΓC a = a(p a) UB, de unde rezultă (p b)(p c) UA 1 p b + V C V A 1 p c = 1 p a. 9) Dacă A [ABC], A [ΓBC], A [ΓAC], A [ΓAB] sunt ariile triunghiului ABC, ΓBC, ΓAC, respectiv ΓAB, unde Γ este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC, atunci A [ABC] + A [ABC] + A [ABC] = r a + r b + r c. A [ΓBC] A [ΓAC] A [ΓAB] r Fie C a C b C c triunghiul de contact al triunghiului ABC (Fig.41). Dacă p = a + b + c, atunci AC b = AC c = p a, BC c = BC a = p b, CC a = CC b = p c. 2 44

45 Figure 41: Dacă A şi Γ sunt proiecţiile punctelor A şi Γ pe latura BC obţinem: A [ABC] A [ΓBC] = AA BC ΓΓ BC = AA ΓΓ Din relaţia lu Van-Aubel avem : A [ABC] A [ΓBC] = 1 + AΓ ΓC a = 1 + r b + r c r a A [ABC] A [ΓBC] = r a + r b + r c r b = AC a ΓC a. AΓ ΓC a = p a p b + p a p c = r b r a + r c r a de unde: = r a + r b + r c r a, A [ABC] A [ΓBC] = r a + r b + r c r c. şi analog Prin sumarea relaţiilor precedente şi ţinând seama că 1 r = 1 r a + 1 r b + 1 r c, rezultă concluzia. 45

46 6 Punctul lui Nagel Fie τ a, τ b, tau c punctele de contact dintre cercurile A-exînscris, B-exînscris, respectiv C- exînscris cu laturile BC, CA, respectiv AB ale triunghiului ABC. Teorema lui Nagel Dreptele Aτ a, Bτ b, Cτ c sunt concurente. Figure 42: Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC şi p semiperimerul său (Fig. 42). Fie Bτ a = x şi τ a C = y. Atunci, x + y = a şi x + c = y + b de unde: x = p c şi y = p b, deci τ ab τ a C = p c p b. 46

47 Analog τ bc τ b A = p a p c şi τ ca τ c B = p b p a, de unde rezultă τ ab τ a C τbc τ b A τca τ c B teoremei lui Ceva rezultă că dreptele Aτ a, Bτ b, Cτ c sunt concurente. = 1 şi din reciproca Observaţii: 1)Punctul de concurenţă al dreptelor Aτ a, Bτ b, Cτ c se numeşte punctul lui Nagel X(8). 2) Afixul punctului lui Nagel (N) al triunghiului ABC este dat de: z n = 1 p [(p a)z a + (p b)z b + (p c)z c ]. 3)Triunghiul τ a τ b τ c (Fig. 43) se numeşte triunghiul lui Nagel sau triunghiul cotangentic. Figure 43: Triunghiul cotangentic τ a τ b τ c 4) Triunghiul cotangentic τ a τ b τ c este triunghiul cevian al punctului lui Nagel. 2) Dacă N este punctul lui Nagel al triunghiului ABC, atunci pentru orice M din planul triunghiului este adevărată egalitatea: MN = 1 [(p a) MA + (p a) MB + (p c) MC]. p 47

48 3) Coordonatele baricentrice absolute ale punctului lui Nagel sunt ( p a N a, p b, p c ). b c 4) Într-un triunghi ABC, punctul lui Nagel (N), centrul de greutate (G) şi centrul cercului înscris (I) sunt coliniare şi GN = 2GI. Fie A piciorul bisectoarei din A (Fig. 44). Figure 44: Din teorema bisectoarei rezultă A B A C = c b şi de aici: A B = a + c b + c. Teorema bisectoarei aplicată în triunghiul ABA ne dă: de unde: IA AA = a 2p ; 48 IA IA = c A B = b + c a (1)

49 Dacă M a este mijlocul segmentului BC iar τ a şi τ b punctele de tangenţă al cercurilor A- exînscris şi B- exînscris cu latura BC respectiv AC, atunci: M a τ a = a 2 (p b) = b c 2, A M a = a 2 ac b + c de unde Mτ a MA = b + c a (2). = a(b c) 2(b + c), Din relaţiile (1) şi (2) rezultă IM a Aτ a şi de aici: IM a Aτ a Fie G = AM a IN. Cum IM AN rezultă GA GM a = AN IM a = GN GI (4). Din relaţiile (3) şi (4) rezultă: GA = NA AA (5). GM a Aτ a IA = IA AA (3). Teorema lui Menelaus aplicată în triunghiul Aτ a C şi transversala τ b N B ne dă: τ a A τ b C BC Nτ a Bτ a NA p c = 1, de unde p a a p c Nτ a NA = 1 şi de aici Nτ a NA = p a a, adică Nτ a Aτ a = a p. Atunci, relaţia (5) devine GA GM a = a p 2p a = 2, de unde GA = 2GM a (6), adică G este centrul de greutate al triunghiului ABC, deci punctele N, G şi I sunt coliniare. Din relaţiile (4) şi (6) rezultă: GN = 2GI. Observaţie: Dreapta IN se numeşte dreapta lui N agel. 5) Într-un triunghi ABC fie O centrul cercului circumscris, H ortocentrul său, I centrul cercului înscris triunghiului, N punctul lui Nagel al triunghiului ABC. Atunci: HN = 2OI şi HN OI. Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Atunci, HG = 2GO (dreapta lui Euler) şi NG = 2GI. (Fig. 45) Din asemănarea triunghiurilor OGI şi HGN (deoarece că HN OI şi HN = 2OI. NGH GH ÔGI şi GN = GO GI ) rezultă 49

50 Figure 45: 6) Consecinţă: Într-un triunghi ABC fie O centrul cercului circumscris, H ortocentrul său, I centrul cercului înscris triunghiului, N punctul lui Nagel al triunghiului ABC. Segmentele HI şi ON sunt congruente. Din trapezul isoscel HNOI rezultă HI ON (Fig. 45) 7) În triunghiul ABC fie O centrul cercului circumscris, I centrul cercului înscris, N punctul lui Nagel şi O 9 centrul cercului lui Euler. Dreapta care uneşte mijloacele segmentelor NI şi NO conţine punctul O 9. (Fig. 46) În triunghiul NOI, dreapta (d) care uneşte mijloacele laturilor NO şi NI este paralelă cu dreapta OI, deci paralelă şi cu HN. 50

51 Figure 46: În triunghiul NOH, dreapta d fiind paralelă cu NH rezultă că trece şi prin mijlocul lui OH, adică prin O 9 -centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC. 8) Fie C a C b C c triunghiul de contact al triunghiului ABC şi (D a, E a, F a ), (D b, E b, F b ), (D c, E c, F c ) punctele de tangenţă dintre cercurile A, B, C-exînscrise corespunzătoare triunghiului ABC cu laturile BC, CA respectiv AB. Dreptele AC a, BE c, CF b sunt concurente. (Fig. 47) Fie a, b, c lungimile laturilor BC, CA, respectiv AB şi p semiperimetrul triunghiului ABC. Avem BC a = p b, CC a = p c, AF b = p c, BF b = p, CE c = p, AE c = p b, de unde: BC a FbA CC a F b B EcC E c A = 1, adică dreptele AC a, BE c şi CF b sunt concurente într-un punct N a. 51

52 Figure 47: Observaţii: 1) Analog, cevienele BC b, CF a şi AD c sunt concurente într-un punct N b iar cevienele CC c, AD b, BE a sunt concurente într-un punct N c. 2)Punctele N a, N b, N c se numesc punctele adjuncte ale punctului lui Nagel. 9) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC, H a H b H c triunghiul ortic al triunghiului ABC, A = AO H b H c, B = BO H a H c, C = CO H b H a. Dreptele A H a, B H b, C H c sunt concurente în pucntul lui Nagel al triunghiului ortic H a H b H c. Deoarece A, B, C sunt centrele cercurilor exînscrise corespunzătoare triunghiului ortic H a H b H c, iar AO, BO, CO sunt perpendiculare pe H b H c, H c H a, respectiv H a H b (Fig. 48), rezultă că: 52

53 Figure 48: A, B, C sunt punctele de tangenţă dintre cercurile exînscrise triunghiului ortic cu laturile acestuia, deci dreptele A H a, B H b, C H c sunt concurente în punctul lui Nagel al triunghiului ortic H a H b H c. 10) În triunghiul ABC, fie U (AB), V (AC). Dacă dreapta UV trece prin punctul lui Nagel (N) al triunghiului ABC, atunci UB UA (p b)+ V C (p c) = p a. V A (Fig. 49) Fie τ a, τ b, τ c punctele de tangenţă ale cercurilor exînscrise cu laturile BC, CA, respectiv AB. Deoarece N U V atunci Van-Aubel). Atunci: UB UA p b + V C a V A p c a UB UA τac BC + V C V A Bτ a BC = Nτ a AN şi Nτ a AN = p a, de unde rezultă concluzia. a = p a p (relaţia lui 53

54 Figure 49: 54

55 7 Punctul lui Longchamps Simetricul ortocentrului H al unui triunghi faţă de centrul cercului circumscris O al unui triunghi ABC se numeşte punctul lui Longchamps (L) X(20). 1) Ortocentrul H, centrul cercului circumscris O şi punctul lui Longchamps L sunt coliniare şi HO OL şi LH = 2OH. (fig. 50) Figure 50: Rezultă din definiţia punctului lui Longchamps. Consecinţă: Dacă G este punctul de greutate al unui triunghi ABC, atunci LG = 4 3 OH. 2) Punctul lui Longchamps al triunghiului ABC aparţine dreptei lui Euler a triunghiului ABC. (Fig. 51) Rezultă din definiţia punctului lui Longchamps. 55

56 Figure 51: T riunghiul anticomplementar (sau antimedian) al triunghiului ABC este triunghiul A B C determinat de paralele duse prin vârfurile triunghiului ABC la laturile opuse. 3) Punctul lui Longchamps al unui triunghi ABC este ortocentrul triunghiului anticomplementar al triunghiului ABC. Figure 52: 56

57 Fie H ortocentrul triunghiului ABC şi L 1 ortocentrul triunghiului anticomplementar A B C, D = A L 1 BC, H a = AH BC şi O 1 mijlocul segmentului L 1 H. (Fig. 52) Din congruenţa triunghiurilor BDA şi AH a C rezultă BD CH a (1). Fie O proiecţia lui O 1 pe BC. Cum O 1 este mijlocul segmentului L 1 H rezultă că O este mijlocul segmentului DH a, adică DO OH a (2). Din relaţiile (1) şi (2) rezultă că BO O C, adică O 1 O este mediatoarea laturii BC. Analog se arată că O 1 aparţine şi mediatoarelor laturilor AC, respectiv AB, adică O 1 coincide cu O-centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar cum L 1 este simetricul lui H faţă de O rezultă că coincide cu L-punctul lui Longchamps al triunghiului ABC. 4) Fie C A cercul având centrul în vârful A al triunghiului ABC şi raza de lungime egală cu cea a laturii opuse BC; analog se definesc şi cercurile C B şi C C. Axele radicale ale perechilor de cercuri considerate sunt concurente în punctul lui Longchamps al triunghiului ABC. Figure 53: 57

58 Fie A B C triunghiul anticomplementar al triunghiului ABC şi A piciorul înălţimii din A pe B C. (Fig. 53) Fie M al doilea punct de intersecţie dintre cercurile C A şi C C, iar L = A A B M este perpendiculară pe linia centrelor AC, iar AC A C (AC fiind linie mijlocie în triunghiul A B C ), rezultă B M A C, deci B M este dreapta suport a înălţimii din B a triunghiului anticomplementar A B C. Atunci L, punctul de intersecţie dintre înălţimile A A şi B M este ortocentrul triunghiului A B C, deci L este punctul lui Longchamps (proprietatea 2). Analog axele radicale ale cercurilor C A şi C B, respectiv C B şi C C trec tot prin L, deci L este centrul radical al cercurilor C A, C B, C C. 58

59 8 Punctul lui Bevan T riunghiul antisuplementar I a I b I c este triunghiul determinat de bisectoarele exterioare ale triunghiului ABC. Fie I a, I b, I c centrele cercurilor A, B, C - exînscrise corespunzătoare triunghiului ABC şi I a I b I c triunghiul antisuplementar corespunzător triunghiului ABC. Cercul circumscris triunghiului I a I b I c se numeşte cercul lui Bevan. Centrul cercului circumscris triunghiului I a I b I c se numeşte punctul lui Bevan X(40). 1) Perpendicularele duse din punctele I a, I b, I c pe laturile BC, CA, respectiv AB ale triunghiului ABC sunt concurente în punctul lui Bevan. Figure 54: Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului exînscris (Fig. 54) Deoarece perpendicularele duse din vârfurile unui triunghi XY Z pe laturile triunghiului ortic corespunzător sunt concurente în centrul cercului exînscris triunghiului XY Z, atunci perpendicularele duse din centrele cercurilor exînscrise I a, I b, I c pe laturile BC, CA, respectiv 59

60 AB sunt concurente în centrul cercului circumscris triunghiului I a I b I c, adică în punctul lui Bevan. Consecinţă: Triunghiul podar al punctului lui Bevan al triunghiului ABC este triunghiul cotangentic τ a τ b τ c al triunghiului ABC. 2) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC şi O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Punctele I, O şi V sunt coliniare. (Fig. 55) Figure 55: Punctul I este ortocentrul triunghiului antisuplementar I a I b I c, V centrul cercului circumscris triunghiului, iar O este centrul cercului Euler al triunghiului I a I b I c, deci punctele I, O şi V sunt coliniare, ele aparţinând dreptei lui Euler a triunghiului I a I b I c. Consecinţă: Segmentele IO şi OV sunt congruente, deoarece centrul cercului lui Euler este mijlocul segmentului determinat de ortocentru, respectiv centrul cercului circumscris unui triunghi. 60

61 3) Punctul lui Bevan este centrul cercului circumscris triunghiului antisuplementar I a I b I c corespunzător triunghiului ABC. Centrul cercului înscris (I) în triunghiul ABC este ortocentrul triunghiului I a I b I c. Punctul lui Bevan (V ) al triunghiului ABC este simetricul lui I faţă de centrul cercului circumscris triunghiului ABC (centrul cercului Euler al triunghiului I a I b I c ), deci V este centrul cercului circumscris triunghiului antisuplementar I a I b I c. 4) Raza cercului lui Bevan este egală cu 2R, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC. (Fig. 56) Figure 56: Fie R V raza cercului Bevan şi A, B, C lungimile laturilor triunghiului I a I b I c. 61

62 Deoarece m( BI a C) = 90 1 m(â), m( CI b A) = m( B) şi m( AI c B) = m(ĉ), iar triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului I a I b I c, rezultă: a = a cos( BI a C) = a cos( m(â) = a sin a 2, de unde a = a sin A 2. Analog, b = b şi c = c. sin B 2 sin C 2 Atunci, folosind formulele A [IaI b I c] = R(a + b + c), A [ABC] = 4Rrsin A 2 sinb 2 sinc 2 şi R = 2R. abc 2 A [ABC] rezultă: R V = a b c 4 A [IaI b I c] = abc 4sin A 2 sinb 2 sinc 2 R(a + b + c) = abc 2 A [ABC] = 5) Punctul lui Bevan V al triunghiului ABC şi I centrul cercului înscris triunghiului ABC se află la aceeaşi distanţă faţă de dreapta lui Euler a triunghiului ABC. Dreapta lui Euler a triunghiului ABC trece prin centrul circumscris O al triunghiului ABC, iar cum V şi I sunt egal depărtate de O, rezultă că V şi I se află la aceeaşi distanţă faţă de dreapta lui Euler a triunghiului ABC. 4) Punctul lui Nagel (N), Longchamps(L) şi Bevan (V ) ale triunghiului ABC sunt coliniare şi NV V L. (Fig. 57) Fie H, G, I, O ortocentrul, centrul de greutate, centrul cercului înscris, respectiv centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Avem HN OI şi HN = 2OI, V este simetricul lui I faţă de O, iar L este simetricul ortocentrului H al triunghiului ABC faţă de O. 62

63 Figure 57: Avem NI NG = 3 2, V O V I = 1 2, LG LO = 4 NI, de unde 3 NG V O V I LG LO = 1 şi din reciproca teoremei lui Menelaus aplicată în triunghiul IGO rezultă că punctele L, V, şi N sunt coliniare. Mai mult, deoarece OI HN rezultă OV HN şi cum O este mijlocul segmentului HL rezultă că V este mijlocul segmentului LN, deci LV V N. Consecinţă: HN = 2OV = IV. 5) Paralelele duse prin punctul lui Bevan al triunghiului ABC la bisectoarele interioare ale unghiurilor triunghiului ABC intersecteză laturile opuse în punctele A, B, C. Dreptele AA, BB, CC sunt concurente. Deoarece V este centrul cercului circumscris triunghiului antisuplementar I a I b I c (Fig. 58), iar dreptele care unesc vârfurile triunghiului ortic respectiv cu punctele de intersecţie dintre mediatoarele laturilor triunghiului de referinţă sunt concurente, rezultă concluzia. 63

64 Figure 58: 64

65 9 Bibliografie [1] Barbu Cătălin, T eoreme f undamentale din geometria triunghiului, Editura Unique, Bacău, [2] Brânzei D.,ş.a., Geometrie, Editura Paralela 45, Piteşti, [3] Kimberling C., Encyclopedia of triangle center, [4] Lalescu T., Geometria triunghiului, Editura Tineretului, Bucureşti, [5] Mihalescu C., Geometria elementelor remarcabile, Editura Tehnică, Bucureşti, [6] Moise E., Geometrie elementara din punct de vedere superior, E.D.P, Bucureşti, [7] Pătraşcu E., P robleme de concurenta si coliniaritate, Editura Neuron, Focşani,

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

BISECTOAREI GLISANTE

BISECTOAREI GLISANTE ÎN LEGĂTURĂ CU TEOREMA BISECTOAREI GLISANTE de ANDREI ECKSTEIN, TIMIŞOARA În aceast articol ne propunem să reunim diverse proprietăţi cunoscute, legate de teorema bisectoarei glisante şi de bogatul ei

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr. I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu

Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu apitole speciale de geometrie pentru profesori amelia Frigioiu Galaţi, 2010 2 uprins 1 Geometrie sintetică plană 1 1.1 oncurenţa liniilor importante într-un triunghi............ 1 1.1.1 oncurenţa medianelor,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

P A + P C + P E = P B + P D + P F.

P A + P C + P E = P B + P D + P F. Fie P un punct situat în interiorul cercului C. Prin punctul P se duc trei coarde care determină în jurul punctului P şase unghiuri de 60. Notăm A, B, C, D, E, F (în ordine) capetele acestor coarde. Arătaţi

Διαβάστε περισσότερα

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2015

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2015 kp p Am folosit kp faptul că lim n p (q) q kp p + +... + π n P p [ k ] q q 6 ; ca urmare, kp p π k 6 π 6 π. Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. /05 ( ) p p A. Nivel gimnazial

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

PUNCTUL.DREAPTA. PLANUL

PUNCTUL.DREAPTA. PLANUL PUNCTUL.DREPT. PLNUL 1.Punctul : notatii:,,c, E=F P Q P Q 2.Dreapta d sau dreapta (d) Semidreapta O, notata [O O sau (O, adica fara O 3.Segmentul, notat [] M (),[),(] M este mijlocul lui [] daca M=M=/2

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a

SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a 1 Asem`narea SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a 1) Teorema lui Thales : O paralel` la o latur` a unui triunghi determin` pe celelalte dou` laturi segmente propor\ionale. AD AE DE BC, sau alte variante.

Διαβάστε περισσότερα

Drepte concurente în conexiune cu punctele I, Γ, N Temistocle Bîrsan 1

Drepte concurente în conexiune cu punctele I, Γ, N Temistocle Bîrsan 1 rete concurente în conexiune cu unctele I, Γ, Temistocle îrsan 1 1 otaţii şi teoreme utilizate ie un triunghi oarecare otăm cu,, unctele de tangenţă a cercului înscris (I, r) la dretele, şi resectiv u

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

cercului circumscris triunghiului ABE.

cercului circumscris triunghiului ABE. Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Ediția a IV-a 2012-2013 Problema 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 y 3 ) 2. Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent x

Διαβάστε περισσότερα

Tema 8 DISTANTE IN SPATIU Prof. Gr. I PIRVU MIHAI Școala gimnazială nr. 43 Ferdinand Constanta

Tema 8 DISTANTE IN SPATIU Prof. Gr. I PIRVU MIHAI Școala gimnazială nr. 43 Ferdinand Constanta Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-015-016 https://015cjemctawikispacescom/home Tema 8 DISTANTE IN SPATIU 001016 Prof Gr I PIRVU MIHAI Școala gimnazială nr 4 Ferdinand Constanta

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de geometrie

Elemente de geometrie 6 Elemente de geometrie ercet=m [i descoperim 1 Puncte şi linii el mai înalt vîrf de pe Pămînt este vîrful Everest (homolungma) din unţii Himalaya. El se află la altitudinea de 8 848 m deasupra nivelului

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A IV-A I. Suma a două numere naturale este 75. Dacă adunăm de patru ori primul număr cu de trei ori al doilea număr obţinem 40. Aflaţi numărul cel mai mare. Eugenia Miron

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri

Διαβάστε περισσότερα

RECREAŢ II MATEMATICE

RECREAŢ II MATEMATICE Anul IV, Nr. Iulie Decembrie 00 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Editura Crenguţ a Gâldă u IAŞ I, 00 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Soluţiile problemelor propuse în nr. 2/2011

Soluţiile problemelor propuse în nr. 2/2011 Soluţiile problemelor propuse în nr. /11 Clasele primare P.6. Fie numerele a = 1 + şi b = 9. Înlocuiţi cercul şi pătratul cu cifre corespunzătoare astfel încât a + b = 15. (Clasa I) Amalia Munteanu, elevă,

Διαβάστε περισσότερα

Soluţiile problemelor propuse în nr. 2 / 2006

Soluţiile problemelor propuse în nr. 2 / 2006 Soluţiile problemelor propuse în nr. / 6 Clasele primare P.. În piramida alăturată unelenumeres-auşters de-a lungul timpului. Putem să le punem la loc? (Clasa I ) Ionela Bărăgan, elevă, Iaşi Soluţie. =

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida Prof. Jiduc Gabriel. AutoCAD: Comenzi de desenare

Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida Prof. Jiduc Gabriel. AutoCAD: Comenzi de desenare Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida Prof. Jiduc Gabriel AutoCAD: Comenzi de desenare Comenzi de desenare Un desen în AutoCAD este format din una sau mai multe entităţi grafice O entitate grafică este reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1 Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

STRATEGII DE REZOLVARE A SUBIECTELOR DE LA SIMULAREA EVALUĂRII NAȚIONALE FEBRUARIE 2016

STRATEGII DE REZOLVARE A SUBIECTELOR DE LA SIMULAREA EVALUĂRII NAȚIONALE FEBRUARIE 2016 STRATEGII DE REZOLVARE A SUBIECTELOR DE LA SIMULAREA EVALUĂRII NAȚIONALE FEBRUARIE 016 Ștefănuț Ciochină 1 Aurora Valea 1 1. Tipuri de itemi Noțiunea de item presupune existența a trei factori esențiali:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

:: Test 1 Partea I Partea II

:: Test 1 Partea I Partea II :: Test 1 1. Numărul care este cu 1 mai mic decât 79 este.. Primele două zecimale exacte ale numărului 5 sunt.. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 6 este. 4. Rezultatul calculului : 9 5 1800

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα